algebra-trigonometria-y-geometria-analitica-3ra-edicion-dennis-g-zill

Ejercicios 10.5, página 466 9. z1 5 2i 11. 5p
z2 r 5 1, u 5
1. y 5 !2sen( px 1 3p/4); amplitud: !2; periodo: 2; 3

cambio de fase: 34; un ciclo de la gráfica es: y z1
y (0, 2) x
√2
1 z2

–3 1 x !10
4 4 5 r 5 , u 5 341.57°

– √2 4

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 10 13. r 5 3 !2, u 5 289.47° 15. 4
17. r 5 3 !2, u 5 p
3. y 5 2sen (2x 1 p/6); amplitud: 2; periodo: p; 19. p
cambio de fase: p/12; un ciclo de la gráfica es: 4 r 5 2, u 5
6
y
21. r 5 !5, u 5 333.43° 23. 3p 3p
2 z 5 4 acos 1 isen b
22

11π pp
12 25. z 5 10 acos 1 i sen b

x 66

π 5π 27. z 5 !29 (cos 111.8° 1 i sen 111.8°)
12 12
– 29. z 5 !34(cos 300.96° 1 isen 300.96°)

–2 31. z 5 2 !2 acos 5p 1 isen 5pb
44

5. y 5 sen (x 1 5p/4); amplitud: 1; periodo: 2p; 33. 1 1 i 35. 25 !3 2 5i
cambio de fase: 5p/4; un ciclo de la gráfica es
37. !3 1 i 39. 1 2 1 !3i
y 2 2
1 4 8
41. 5 !5 1 5 !5i

43. z1z2 5 18 !2 acos 3p 1 i sen 3p
4 4 b,

5 x z1 5 !2 acos p 1 i sen p b
– 4 –4 3 z2 4 4 4
4
p p z1 1 p p
45. z1z2 5 8 a cos 1 i sen b, z2 5 acos 6 1 i sen b

–1 2 2 2 6

7. y 5 !13 sen (2t 1 0.5880); amplitud: !13 de pie; 23p 23p
4 4 47. z1z2 5 10 !2 acos 12 1 i sen 12 b,

periodo: p segundos; frecuencia: 1/p ciclos por segundo z1 !2 acos 5p isen 5pb
z2 5 12 12
9. y 5 !5 sen (4t 1 4.2487); amplitud: !5 de pie; 5 1
2 2

periodo: p/2 segundos; frecuencia: 2/pciclos pp

por segundo 49. z1z2 5 2 !3 acos 1 i sen b < 3.3461 1 0.8966i,
12 12
11. y0 5 25 !4 3, v0 5 5
2
z1
13. I(t) 5 I0 sen (vt 1 u 1 f) z2 5 7p 1 i 7p < 20.4483 1 1.6730i
!3 acos sen b

12 12

pp
51. z1z2 5 12 acos 8 1 isen b < 11.0866 1 4.5922i,
8
Ejercicios 10.6, página 471
z1 3 3p 3p b
1. z1 5 2 2 5i 3. z1 1 z2 5 3 2 i z2 5 4 acos 8 1 i sen 8 < 0.2870 1 0.6929i
y
y
z1

z1 Ejercicios 10.7, página 475
x
1. 21 3. 2 !2 1 2 !2i
x (3, –1)
z2 5. 22243 !3 2 243 i
2

7. aproximadamente 19.5543 1 123.4610 i

9. aproximadamente 26.5099 1 19.2605i

11. 216i 13. 21

(2, –5) 15. 28i 17. 264

5. z1 1 z2 5 6 1 2i 7. z1z2 5 22 2 2i 19. 216 !3 1 16i 21. 216 !2
y y
23. 27 2 24i 25. 1 1 !3i, 22, 1 2 !3i
(6, 2)
27. 0.9239 1 0.3827i, 20.3827 1 0.9239i,
x
z2 20.9239 2 0.3827i, 0.3827 2 0.9239i

z1 x 29. !4 2 (1 1 1 !3i ), !4 2 (212 !3 1 1 i ),
z2 2 2 2
z1 !4 2 (221 1 !3i), !4 2 ( 1 12i)
2 2 2 !3 2

(–2, –2) 31. !4 2(0.9239 1 0.3827i), !4 2(20.9239 2 0.3827i)

33. 1.9754 1 0.3129i, 0.7167 1 1.8672i, 21.2586 1 1.5543i,

21.9754 2 0.3129i, 20.7167 2 1.8672i, 1.2586 2 1.5543i

RESP-26 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

35. 1, 1 1 1 !3i, 221 1 1 !3i, 21, 212 2 1 !3i, 1 2 1 !3i 5. Vértice: (0, 0) 7. Vértice: (0, 0)
2 2 2 2 2 2 Focos: (0, 24) Focos: (0, 7)
Directriz: y 5 4 Directriz: y 5 27
y Eje: x 5 0 Eje: x 5 0
y
– 1 + √3 i 1 + √3 i y x2 = 28y
2 2 2 2
x
x
11. Vértice: (25, 21)
–1 1 x x2 = –16y Focos: (25, 22)
2 11 Directriz: y 5 0
– 2 Eje: x 5 25
y
– 1 – √3 i 1 – √3 i 9. Vértice: (0, 1) Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 11
2 2 2 2 Focos: (4, 1) x
Directriz: x 5 24
37. n 5 8k, k 5 1, 2, 3, . . . ; n 5 2 1 8k, k 5 0, 1, 2, . . . ; Eje: y 5 1

y

n 5 5 1 8k, k 5 0, 1, 2, . . . ; n 5 1 1 8k, k 5 0, 1, 2, . . .

39. 1 !2 1 1 !2i, 1 !2 2 1 !2i, (y – 1)2 = 16x
2 2 2 2 x

221 !2 1 1 !2i, 221 !2 2 1 !2i
2 2

41. 22 1 2 !3i, 2 2 2!3i

Capítulo 10. Ejercicios de repaso, página 477 (x + 5)2 = –4(y + 1)

A. 1. verdadero 3. verdadero 5. verdadero 13. Vértice: (25, 26) 15. Vértice: (225, 21)
Focos: (24, 26) (2 25, 15 )
B. 1. Senos 3. Cosenos 5. z 5 5(cosp 1 isen p) Directriz: x 5 26 Focos: 2 16
Eje: y 5 26
7. 1 ( cos 5° 1 i sen 5°) 9. 1 y Directriz: y 5 2 17
4 16
x 5
C. 1. g 5 80°, a 5 5.32, c 5 10.48 Eje: x 5 2 2

3. a 5 15.76, b 5 99.44°, g 5 29.56° y

5. 42.61 m 7. 118 ft

9. (a) 42.35° 11. 16,927.6 km

13. frente: 18.88°; parte de atrás: 35.12° 15. V(u) 5 160sen 2u

17. L(u) 5 3csc u 1 4sec u

19. V(u) 5 360 1 75cot u

21. A(f) 5 100cos f 1 50sen 2f x

23. r 5 3 !2, u 5 7p 3 !2acos 7p 1 i sen 7p
, 4 4b
(y + 6)2 = 4(x + 5) (x 5 )2 1 y
4 2 4

25. r 5 !13, u 5 123.69°, !13(cos 123.69° 1 isen 123.69°) + = ( + 1)

27. 22 2 2!3i 17. Vértice: (3, 4) 19. Vértice: (0, 0)

19p 19p Focos: (52, 4) Focos: ( 0, 1 )
8
29. z1z2 5 2 !2 acos 12 1 isen b,
12 Directriz: x 5 7 Directriz: y 5 2 1
2 8

z1 !2 11p 11p Eje: y 5 4 Eje: x 5 0
z2 2 acos 12 isen 12 b
5 1 y y

31. 28 1 8i

33. 2, 0.6180 1 1.9021i, 21.6180 1 1.1756i,

21.6180 2 1.1756i, 0.6180 2 1.9021i

35. (x 2 3 !3 2 3 i ) ( x 1 3 !3 2 23i) (x 1 3i) x x
2 2 2 (y – 4)2 = –2(x – 3)

x2 = 1 y
2

Ejercicios 11.1, página 487 21. Vértice: (3, 0) 23. Vértice: (22, 1)
Focos: (3, 21)
1. Vértice: (0, 0) 3. Vértice: (0, 0) Directriz: y 5 1 Focos: (21, 1)
Focos: (1, 0) Eje: x 5 3
Directriz: x 5 21 Focos: ( 2 1 , 0) Directriz: x 5 23
Eje: y 5 0 3 y
1 Eje: y 5 1
y Directriz: x 5 3
y
Eje: y 5 0

y x

y2 = 4x x
x
x (x – 3)2 = –4y

y2 = – 4 x
3
(y – 1)2 = 4(x + 2)

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-27

25. x2 5 28y 27. y2 5 216x 13. Centro: ( 0, 2 1 ) y
2 x
29. y2 5 10x 31. (x 2 2)2 5 12y
Foco: (0, 2 1 6 !3)
33. (y 2 4)2 5 212(x 2 2) 35. (x 2 1)2 5 32(y 1 3) 2

37. (y 1 3)2 5 32x 39. x2 5 7y Vértices: ( 0, 2 5 ) , (0, 3 )
2 2

41. (x 2 5)2 5 224(y 2 1) 43. x2 5 1 y Puntos extremo del eje menor:
2
(21, 2 1 ), ( 1, 2 1 )
45. (3, 0), (0, 22), (0, 26) 47. (23!2, 0), (3!2, 0), (0, 9) 2 2

49. en el foco, a 6 pulgadas del vértice Excentricidad: !3/2

51. y 5 22 53. 27 ft x2 + (y + 1 )2 = 1
1 4 2

55. 4.5 ft 57. (a) 8

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 11 15. Centro: (1, 22) y
x
Foco: (1, 22 6 !6)

Ejercicios 11.2, página 493 Vértices: (1, 22 6 !15)

1. Centro: (0, 0) 3. Centro: (0, 0) Puntos extremo del eje menor:

Foco: (64, 0) Foco: (0, 6 !15) (22, 22), (4, 22)
Excentricidad: "52
Vértices: (65, 0) Vértices: (0, 6 4)

Puntos extremo del eje menor: Puntos extremo del eje menor:

(0, 63) Excentricidad: 4 (61, 0) Excentricidad: !15/4 (x – 1)2 + (y + 2)2 = 1
5 9 15

yy

17. Centro: (2, 21) y

x Foco: (2, 25), (2, 3)

x Vértices: (2, 26), (2, 4) x
Puntos extremo del eje menor:

(21, 21), (5, 21)

x2 + y2 =1 Excentricidad: 4
25 9 5

x2 + y2 =1 (x – 2)2 + (y + 1)2 = 1
1 16 9 25

5. Centro: (0, 0) 7. Centro: (0, 0)

Foco: (6 !7, 0) Foco: (0, 6 !5) 19. Centro: (0, 23) y
x
Vértices: (64, 0) Vértices: (0, 63) Foco: (6 !6, 23)

Puntos extremo del eje menor: Puntos extremo del eje menor: Vértices: (23, 23), (3, 23)

(0, 63) (62, 0) Puntos extremo del eje menor:

Excentricidad: !7/4 Excentricidad: !5/3 (0, 23 6 !3)
Excentricidad: !6/3
yy

x2 + (y + 3)2 = 1
9 3
x
x

x2 y2 x2 y2 x2 y2
16 9 21. 1 5 1 23. 1 5 1

25 16 89

+ =1 x2 y2 x2 y2 (x 2 1)2 (y 1 3)2
4 9 25. 1 5 1 27. 1 5 1
+ =1
19 16 4

9. Centro: (1, 3) y x2 y2 x2 y2
29. 1 5 1 31. 1 5 1
Foco: (1 6 !13, 3)
9 13 11 9
Vértices: (26, 3), (8, 3)
Puntos extremo del eje menor: 33. x2 y2 35. x2 (y 2 1)2
(1, 23), (1, 9) 1 51 1 51
3 12 16 4
Excentricidad: !13/7 x
(x 2 1)2 (y 2 3)2 x2 (y 2 2)2
37. 1 5 1 39. 1 5 1
7 16 45 9
(x – 1)2 (y – 3)2
49 + 36 = 1
41. La distancia mínima es 28.5 millones de millas; la distancia

11. Centro: (25, 22) y mayor es 43.5 millones de millas

Foco: (25, 22 6 !15) 43. Aproximadamente 0.97

Vértices: (25, 26), (25, 2) x 45. 12 ft
Puntos extremo del eje menor:
(26, 22), (24, 22) 47. El trozo de cuerda debe ser de 4 pies de largo. Las tachuelas

Excentricidad: !15/4 deben colocarse a !7/2 del centro del rectángulo en el eje

mayor de la elipse.

49. En el eje mayor, a 12 pies de cualquier desde el centro

(x + 5)2 (y + 2)2 de la habitación
1 16
+ =1 51. 5x2 2 4xy 1 8y2 2 24x 2 48y 5 0

RESP-28 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

Ejercicios 11.3, página 502 15. Centro: (24, 7) y
x
1. Centro: (0, 0) 3. Centro: (0, 0) Foco:(24, 7 6 !13)
Vértices: (24, 7 6 2!2)
Foco: (6 !41, 0) Foco: (0, 6 !73)
Asíntota: y 5 7 6 "58 (x 1 4)
Vértices: (64, 0) Vértices: (0, 68) Excentricidad: "183

Asíntota: y 5 6 5 x Asíntota: y 5 6 8 x
4 3

Excentricidad: !41/4 Excentricidad: !73/8

y y

x 17. Centro: (2, 1) (y – 7)2 – (x + 4)2 = 1 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 11
x 85
Foco:(2 6 !11, 1) y
x2 – y2 =1 Vértices: (2 6 !6, 1)
16 25 x
Asíntota: y 5 1 6 "56(x 2 2)
Excentricidad: "161

y2 – x2 =1
64 9

5. Centro: (0, 0) 7. Centro: (0, 0) (x – 2)2 – (y – 1)2 = 1
6 5
Foco: (62!5, 0) Foco: (0, 62!6)
Vértices: (0, 62!5) 19. Centro: (1, 3) y
Vértices: (64, 0)
Asíntota: y 5 612 x Asíntota: y 5 6 !5x Foco: (1, 3 6 1 !5)
2
Excentricidad: !5/2
Excentricidad: "65 Vértices: (1, 2), (1, 4)
y
y Asíntota: y 5 3 6 2(x 2 1)

Excentricidad: !5/2

x

x

x

(y – 3)2 – (x – 1)2 = 1
1
x2 y2 1
16 4
– =1 4

x2 y2 y2 x2 x2 y2
21. 2 5 1 23. 2 5 1 25. 2 5 1

9 16 4 12 97

y2 – x2 =1 27. y2 x2 29. x2 y2 31. y2 x2
20 4 25 2 11 5 1 2 51 2 51
45 64 16
9. Centro: (5, 21) y 44
x2 y2 (y 1 3)2 (x 2 1)2
Foco: (5 6 !53, 21) 33. 2 5 1 35. 2 5 1
4 64
Vértices: (3, 21), (7, 21) 9 45

Asíntota: y 5 21 6 7 (x 2 5) x (x 1 1)2 (y 2 2)2 39. x2 y2
2 37. 2 5 1 2 51
45 48
Excentricidad: !53/2
(y 2 3)2 (x 1 1)2 (y 2 4)2 (x 2 2)2
41. 2 5 1 43. 2 5 1
14 14

(x – 5)2 – (y + 1)2 = 1 45. (27, 12)
4 49 47. 7y2 2 24xy 1 24x 1 82y 1 55 5 0

11. Centro: (0, 4) 13. Centro: (3, 1) Ejercicios 11.4, página 508

Foco: (0, 4 6 !37) Foco: (3 6 !30, 1) !23, !3
2
Vértices: (0, 22), (0, 10) Vértices: (3 6 !5, 1) 1. (4!2, 22!2) 3. A221 2 2 1 B
2

Asíntota: y 5 4 6 6x Asíntota: y 5 1 6 !5(x 2 3) 5. (4 1 !3, 1 2 4!3) 7. (24, 0)

Excentricidad: !37/6 Excentricidad: !6 9. aproximadamente (2.31, 6.83)

yy 11. elipse rotada 45°, 3xr2 1 yr2 5 8,

y

y′ x′

xx 45°
x

(y – 4)2 – x2 =1 (x – 3)2 – (y – 1)2 = 1
36 1 5 25

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-29

13. parábola rotada 45°, yr2 5 4 !2x,r 19. y y
y
xx
y′ x′

45° 21. y y
x

xx

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 11 15. hipérbola rotada aproximadamente 27°, 2xr2 2 3yr2 5 6, 23. y y x
y′ y 25. y x

x′ y
a
u ≈ 27°x

x x
a
–a
17. elipse, 3(xr1 !5)2 1 8yr2 5 24 –a
27. y y
a
19. parábola, (yr2 1)2 5 2(xr2 )3

2

21. (a) yr 5 xr2

(b) coordenadas xryr: (0, 1 ); coordenadas xy: 1 281, !3 2 xx
4 8

(c) yr 5 241, 2x 2 2 !3y 5 1 –a
23. hipérbola 25. parábola 27. elipse

Ejercicios 11.5, página 515 29. (3, 0); (0, 1), (0, 3)
31. El segmento de recta entre (x1, y1) y (x2, y2).
1. t 23 22 21 0 1 2 3 y 33. x 5 95 !2 t, y 5 216t2 1 95 !2 t, t $ 0;
x
y 21 0 1 2 345 (190 !2, 190 !2 2 64) < (268.70, 204.70)

3 5 7 9 35. x 5 6"r2 2 L2 sen2f, y 5 L sen f
2 2 2 2
2 3 4

intersecciones: (24, 0), (0, 2); curva: 1 Capítulo 11. Ejercicios de repaso, página 517
2
x

A. 1. verdadero 3. falso 5. verdadero 7. verdadero
13. verdadero 15. falso
3. y 5. y 9. verdadero 11. verdadero
3. (x 2 1)2 5 8(y 1 5)
17. falso 19. falso 7. 1

B. 1. y2 5 20x 11. (0, 2 !2), (0, !2)

5. (0, 0) 15. recta
19. (0, 2), (0, 2)
2 9. ( 3, 0); ( 3, 1), ( 3, 1)
1 3. Vértice: (1, 0)
x1 13. 1 Foco: (1, 1)
7. y 1 Directriz: y 1
x 17. (5, 0) Eje: x 1
9. y y
C. 1. Vértice: (0, 3)

Foco: ( 2, 3)

Directriz: x 2

Eje: y 3

y

2 x x
1
2
11. y 5 x2 1 3x 2 1, x $ 0 (x – 1)2 = –4y
15. y 5 ln x, x . 0 x
1 x
(y – 3)2 = –8x
13. x 5 1 2 2y2, 21 # x # 1
x2 y2

17. 1 5 1
16 4

RESP-30 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

5. (x 2 1)2 5 8(y 1 5) 7. (x 2 1)2 5 3(y 2 2) 5. (– 4,– 6 )

9. Centro: (0, 5) 11. Centro: ( 1, 3) O –6 Eje
Vértices: (0, 10), (0, 0) Vértices: ( 1, 1), ( 1, 5) polar

Foco: (0, 25 2 !22), Foco: (21, 3 2 !3), 7. (a) (2, 25p/4) (b) (2, 11p/4)
(0, 25 1 !22 ) (21, 3 1 !3 ) (d) (22, 2p/4)
(c) (22, 7p/4) (b) (4, 7p/3)
y y (d) (24, 2 2p/3)
(b) (1, 13p/6)
x 9. (a) (4, 25p/3) (d) (21, 25p/6)
15. (23, 3!3)
(c) (24, 4p/3)
(b) (22!2, p/4)
11. (a) (1, 211p/6) (b) (22, 2p/3) Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 12

(c) (21, 7p/6) (b) (27, p)

x 13. ( )214,!3
4

x2 + (y + 5)2 = 1 (y – 3)2 17. (22!2, 22!2)
3 25 4
(x + 1)2 + = 1 19. (a) (2!2, 23p/4)

x2 y2 15. x2 1 (y 1 2)2 5 1 21. (a) (2, 2p/3)
13. 1 5 1 4
23. (a) (7, 0)
41 16
25. y

17. Centro: (0, 0) 19. Centro: (3, 1) x
Vértices: ( 1, 0), (1, 0) 2 4 Eje
Vértices: (2, 1), (4, 1)
Foco: (2!2, 0), ( !2, 0) polar
Foco: (3 2 !10, 21),
Asíntotas: y 5 6x
(3 1 !10, 21)
Asíntotas:

y 1 1 5 63(x 2 3)

y y 27. y

x x x
Eje
x2 – y2 = 1 (x – 3)2 – (y + 1)2 =1 polar
9
x2 y2 29. y
21. 2 5 1
x2 y2 x
36 28 23. 2 5 1 1 Eje
25. y
4 16 polar
y'
x' 31. r 5 5 csc u 33. u 5 tan 21 7

x 35. r 5 2/(1 1 cos u) 37. r 5 6

39. r 5 1 2 cos u 41. x 5 2
43. (x2 1 y2)3 5 144x2y2 45. (x2 1 y2)2 5 8xy
47. x2 1 y2 1 5y 5 0 49. 8x2 2 12x 2 y2 1 4 5 0

51. 3x 1 8y 5 5

y' 2 – x' 2 =1
16 16
Ejercicios 12.2, página 534

27. (x 1 5)2 1 (y 2 2)2 5 1 29. 1.95 3 109 m 1. círculo 3. la recta pasa por el polo
4
yy

Ejercicios 12.1, página 525 r=6 θ = π
3
x
1. π 3. π Eje x
2 polar Eje
polar
(3, π) O Eje O
polar 1 π
(– 2 , 2 ) Eje
polar

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-31

5. espiral 7. cardioide 29. lemniscata 31.
y y r2 = –25 cos 2 θ y
y r = 2θ 1 r = 1 + cos θ
2 10
–5 x x 10 r = 2θ
5 Eje –10
x Eje x
polar 1 Eje –2 polar Eje
polar
polar

–1

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 12 9. cardioide 11. caracol con bucle interior 33. r 5 5 35. r 5 4 2 3cos u
y r = 2(1 + sen ) r = 1 – 2 cos θ y 2

37. r 5 2cos 4u 39. (2, p/6), (2, 5p/6)

41. (1, p/2), (1, 3p/2), origen 43. ( ) ( )(0, 0),!23, p , !23, 2p
3 3

x x Ejercicios 12.3, página 540
Eje Eje
polar polar 1. e 5 1, parábola
y
3. e 5 1 , elipse
4

13. caracol cóncavo 15. caracol convexo y
y r = 4 – 3 sen y r = 4 + cos

–2 2 x 2 x x
–2 Eje Eje Eje
polar –2 polar
–2 polar

2 x r= 2 16
Eje 1 – sen θ 4 + cos θ
polar
r=

5. e 5 2, hipérbola 7. e 5 2, hipérbola
y y

17. rosa 19. rosa x x
y r = sen 2θ y Eje
Eje polar
x r = 3 cos 3θ polar
Eje
polar x r= 4 18
Eje 1 + 2 sen θ 3 – 6 cos θ
21. rosa polar
y
r=

9. e 5 1, parábola 11. e 5 2, (y 2 4)2 x2
y 2 51
23. círculo con centro en el eje x 4 12
y
r = 6 cos θ

r = cos 5θ x x
Eje Eje
x polar
Eje polar
polar

6
r = 1 – cos θ

25. círculo con centro en el eje y 27. lemniscata (x 2 24 ) 2 y2 15. r 5 3
5 1 1 cos u
13. e 5 2 , 1 144 5 1
y r = –3 sen θ y 3 1 296
x
r2 = 4 sen 2θ 25 5
Eje
x 17. r 5 4 19. r 5 12
polar Eje 1 1 2cos u
polar 3 2 2sen u

21. r 5 1 1 cos 3 1 2p/3) 3
(u 23. r 5

1 2 sen u

25. r 5 1 27. r 5 1
1 2 cos u
2 2 2sen u

29. vértice: (2,p/4)

RESP-32 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

31. vértices: (10, p/3) y (130, 4p/3) 43. 10.16, 30.26° 45. 2i 10j

1.495 3 108 47. El curso real crea un ángulo de 71.6° desde el punto
35. r 5
33. rp 5 8 000 km de partida.
1 2 0.0167cos u
49. 52.9 mi/h

Ejercicios 12.4, página 548 Ejercicios 12.5, página 555

1. 0v0 5 2, u 5 11p/6 3. 0v0 5 5, u 5 2p 1. 10 3. 1 5. 17
11. 68
y y 7. 12 9. 13 17. H2167, 28256I

u uv 13. 13 15. 8 23. 63.43 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 12
x x 2 29. c 5 3

v (5, 0) 19. 25 !2 21. 102.53
(√3, –1)
25. no ortogonal 27. ortogonal

33. 2 !10 35. 23 !2
5
2251i 28 227 i 7 2752i 96
37. (a) 1 5 j (b) 1 2 j 39. 1 25 j

41. 1 000 ft-lb 43. 78 ft-lb
5

5. 0v0 5 8, u 5 2p/3 7. 0v0 5 10!2, u 5 3p/4 Capítulo 12. Ejercicios de repaso, página 557

y (–10, 10) y
(–4, 4√3)
A. 1. verdadero 3. verdadero
5. falso 7. verdadero

v u 9. falso 11. verdadero

v 13. falso
u
x x B. 1. (1, 1) 3. (10, 3p/2)

5. 1 7. hipérbola
2
11. p/2 radianes o 90°
9. caracol convexo

9. 83, 29, 81, 49, 826, 299, 82, 139 13. 12 i 1 5 j
13 13

11. 80, 39, 828, 19, 812, 269, 8228, 29 C. 1. (x 2 )1 2 1 (y 2 )1 2 5 1 3. r 5 4sen u
2
2 2

13. H292, 2249I, H2121, 2247I, 815, 219, 8217, 2209 5. (0, 2), (0, 232) (b) (2!6, 3p/4)
7. (a) ( !6, 2p/4)

15. 231i 2 14j, 42i 1 11j 9. círculo de radio 5; 11. círculo con centro

17. 2125 i 2 3 j, 11 i 2 3j centro en el origen en el eje y
2
yy

19. 5.8i 1 8.5j, 26.6i 2 10.3j

21. y 23. y u 2

u+v x x
2 Eje
v polar
1
u u–v u–v u+v 1 x
x y Eje
v
y x polar
25. v
2v v 13. cardioide 15. caracol convexo
y
27. y
–2v
2 x 1
x –2 Eje
polar x
–2v 1 Eje

polar

2v

29. componente horizontal: 4; componente vertical: 26 17. rosa 19. elipse
31. componente horizontal: 210; componente vertical: 8 y
33. (a) 2acos 3p i 1 sen 3p jb (b) 2 !2 i 1 !2 j y

44 x 1
Eje 1
35. (a) 6 a cos 5p i 1 sen 5p jb (b) 23!3i 1 3j polar x
6 6 Eje

polar

37. (a) 81/ !2, 1/ !29 (b) 821/ !2, 21/ !29

39. (a) 80, 219 (b) 80, 19 41. H153, 12 I
13

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-33

21. r 5 3sen10u 23. (2 2 !5, 4 !5 ), ( 2 !5, 245 !5)
5 5 5
23. (a) r 5 2 cos (u 2 p/4) (b) x2 1 y2 5 !2x 1 !2y
25. (2!5, 0), (!5, 0), (22, 21), (2, 21)
25. (b) centro (b/2, a/2), radio 21"a2 1 b2
27. (21 2 !3, 1 2 !3), (21 1 !3, 1 1 !3),
27. 13i 2 12j 29. 3i 2 7j
(1 2 !3, 21 2 !3), (1 1 !3, 21 1 !3)
31. 7i 2 13j 33. 23
!17
29. e a p 1 2np, !2b P n 5 0, 61, . . . f
35. i 1 j 37. !13 1 2 !2
42
39. 2!2acos p i 1 sen p jb 1 4
44 41. 2 !17 i 1 !17 j p !2 P
a4 22b
x e 1 (2n 1 1)p, n 5 0, 61, . . .f

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 13 Ejercicios 13.1, página 566 31. p
e a 6 1 2np, 1b ` n 5 0, 61, . . . f

1. (0, 2); consistente; independiente 5p
x e a 6 1 2np, 1b ` n 5 0, 61, . . . f
3. (21123, 21335); consistente; independiente
5. sin soluciones; independiente 7p
x e a 6 1 2np, 21b ` n 5 0, 61, . . . f
7. (23, 212); consistente; independiente
11p
9. (22a 1 4, a); a un número real; consistente; dependiente x e a 6 1 2np, 21b ` n 5 0, 61, . . . f

11. (1, 2, 3); consistente; independiente

13. (21, 12, 23); consistente; independiente 33. (0.1, 21), (100, 000, 5) 35. (2101, 2201), (99, 199)

15. sin soluciones; independiente 37. (5, log3 5)

17. (0, 0, 0); consistente; independiente 39. ( !3, !3, 22!3), (2!3, 2!3, 2!3)

19. ( 7, 25, 1 ); consistente; independiente 41. (1/ !3, !2/3, 1/ !3), (21/ !3, !2/3, 21/ !3),
3

21. (2a 1 3b 2 2, b, a); a y b números reales; (1/ !3, 2!2/3, 1/ !3), (21/ !3, 2!2/3, 21/ !3),

consistente; dependiente (1, 0, 0), (21, 0, 0)

23. sin soluciones; independiente 43. 50 ft 3 80 ft 45. cada radio es de 4 cm

25. (1, 2, 4, 8); consistente; independiente 47. aproximadamente 7.9 in 3 12.7 in

27. x 5 2, y 5 3 49. 2 pies 3 2 pies 3 8 pies, o aproximadamente

29. x 5 103, y 5 1027 7.06 pies 3 7.06 pies 3 0.64 pies

200 cos 15° 200 cos 25°
31. T1 5 sen 40° < 300.54, T2 5 sen 40° < 281.99
Ejercicios 13.3, página 580
33. plano: 575 mi/h; viento: 25 mi/h

35. 50 gal del primer tanque; 40 gal del segundo 11 3. 63
22
37. P1: 4 h; P2: 12 h; P3: 6 h 41. 20 A, 5 B y 15 C 1. 2 2 2
39. 25 x x12 x11 x25

5. 3 2 10 1 21 33
2 2
7. 2 1 2
x11 x12 x13 x14 x24

Ejercicios 13.2, página 572 59 11 1 1
x 2 3 1 (x 2 3)2
1. dos soluciones 9. 11. 24 1 4 1 x 4 2 1 (x 4 2)2
y x
x=5 3. dos soluciones x2 1 1
y –x2 + y = –1
11 7 1 1 5

13. 227 2 9 1 3 1 x 2 1 2 x 54 3
x
x2 x3 2 1

1 5x 2 2 17. 36 1 2 47x 1 26
15. x 2 1 1 x2 1 9 7 7

x 2x 2 3 x2 2 x 1 1
x = y2
x 19. 79 2 21t 2 4
t2 1 1
24 1 4 1
t11 t21

5. una solución x2 + y = 4 2x x 1 2x
y 7. (21, 21), (2, 2) 21. x2 1 2 2 x2 1 1 23. x2 1 1 1 (x2 1 1)2

11 1 13 1 13
27. 2 3 6
25. x3 1 x 1 2 1 2
x21 x11 2 x 1 2 2x 1 1

x2 – 4x + y2 = –3 29. x3 1 2x2 1 3x 1 6 1 64 1 15x 1 2
5 x2 1 5
x 2
2 1

x

x2 + y2 = 1 Ejercicios 13.4, página 584

9. (1, 1) 11. (0, 1) 1. y 3. y
y = 2x
13. ( !3, 3) 15. sin soluciones
x
17. (2!5, !5), ( !5, !5)

19. (0, 0), (22!5, 4), (2!5, 4), (22!3, 24), (2!3, 24) x
x + 3y = 6
21. sin soluciones

RESP-34 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

5. y 7. y 29. 31.
x y = x2 + 1
y
2x + y = –1 y x2 + y2 = 2
9. y y = 1 + √x
y = (x – 1)2 x
x x
11. y = |x|
13. y x = 2 y = x y
y = |x + 2| 33. x

x y = –x2 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 13

y

1 x2 – 1 y2 = 1
9 4

x

y=0

35. y 37. 3x 1 2y $ 12
y = x3 + 1
15. y x – y = 0 • x 1 2y $ 8
x $ 0, y $ 0

x x=0 x=1

x

x+y=1 y=0 x
y
17. sin soluciones 19. 39. x 1 y # 10
•1 # x # 5
2#y#6

x – 3y = –9 Ejercicios 13.5, página 590

x 1. mínimo: 11; máximo: 33

3. mínimo: 0; máximo: 39
2

5. mínimo: 12; máximo: 54

7. mínimo: 1; máximo: 13

21. y x=3 23. y 9. mínimo: 0; máximo: 30

y = 2x 11. mínimo: 25; máximo: 175
x+y=4 3
x 13. mínimo: 638. La función objetivo no tiene máximo, ya que

puede crecer sin cota al aumentar x.

y=1 y = –x 15. mínimo: 1310. La función objetivo no tiene máximo, ya que
y=x+2 x=1 x puede crecer sin cota al aumentar x o y.

17. 50 radios por satélite; 100 reproductores de DVD

19. tres cápsulas de X; una de Y

21. 1 300 pantalones vaqueros de diseñador y 50 genéricos a la

tienda de lujo; ningún pantalón vaquero de diseñador y 1 200

de marca genérica a la tienda de descuento. La ganancia

máxima es $28 855.

25. 27. 23. 17 kg de plantas acuáticas y 16 kg de plantas terrestres.

y –2x + y = 2 y 1 x2 + 1 y2 = 1 Capítulo 13. Ejercicios de repaso, página 593
x–y=5 9 4

x x2 + y2 = 1 A. 1. verdadero 3. verdadero
x + 3y = 10
x 5. falso 7. verdadero
9. verdadero

B. 1. inconsistente 3. semiplano
5. división larga 7. dependiente
9. segundo

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-35

C. 1. ( 1, 0), (6, 27) 3. 3 15 23 16 24 14 27
c2 6d, c2 10 d , c 8 32 d , c 6 28 d
24 !5 5, 24 !5 24 !5 5, 4 !5 4 !5 5, 24 !5 4 !5 5, 4 !5
5 5 5 5
( ) ( ) ( ) ( )3. , , ,

5. (100, 2) 7. (e2, e21) 5. 7 25 4 29
c 2 d , c22 d , c 0 d , c24 d
9. (0, 0, 0) 11. (21, 4, 25)

13. ( 22, 1 ) 15. 33 7. [14 22], [6 8], [40 12], [22 19]
64

17. longitud del lado del cuadrado: 4 2 p < 0.03; 1 2 21 22 0 0 22 24
9. c d , c d, c d, c d
4(4 1 p) 3 4 23 24 0 0 26 28
1 0.14
radio del círculo: 4 1 p < 11. c 3 1 d , c 5 4 d
22 22 8 20
11 7 14 16 26 13
21. x2 1 4 2 (x2 1 4)2
Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 14 19. 3 1 4 2 12 13. c 12 14 d , £ 12 212 21 §
x x21 x13 3 22
12 218 30
23. y = –x y y = x 25. y –x + y = 7 4 2 8 40 0 0

15. £ 5 1 9 § , £ 16 0 2 §

x x+y=5 0 0 40 2 3 5

y = –1 x 17. AB no está definida; c1 2 23 d
00 0

x+y=1 19. c 23 4 d , [211] 21. c 19 218d
6 28 230 31
27. y x2 + y2 = 4
23. c 3 8 24 25
d 25. c d
26 216 8 10

x2 + (y – 2)2 = 4 27. c238 d 29. 2 3 n
x 22 33. c23 5 9, c12 5 12

31. 2 3 3

y $ x2 37. 25 15
29. e c 26 22 d

y$22x

y # x2 33. mínimo: 20; máximo: 380 1312
31. e 43. c 1 1 1 2 d . Una entrada de 1 significa que P5, P6, P7

y#22x o P8 ha tenido sólo un contacto secundario con X o Y. Una
entrada de 2 significa dos contactos secundarios, ya sea con
35. 6 hectáreas de maíz y 6 de avena X o Y, y así sucesivamente.

Ejercicios 14.1, página 601 120 20

45. £ 144 24 § . Las tres entradas en la primera columna

1. 3 3 3 22 d 3. 3 3 2 9d 288 48
5. 1 3 1 21 7. 3 3 1 18 representan (en dólares) el impuesto estatal sobre las ventas de
9. 5 3 7 11. 7 amplificadores, radios y bocinas, respectivamente, en la tienda
13. 29 15. 234 de menudeo. Las entradas en la segunda columna representan
el impuesto municipal sobre las ventas de amplificadores,
17. c 0 21 19. c 1 4 radios y bocinas, respectivamente, en la tienda de menudeo.
10 28
950 475 380

21. c 4 2 4 47. ≥ 760 190 475 ¥
84 1 900 570 190
3 d 23. no igual 49. [385]
25. igual 8 27. x 5 3, y 5 24, z 5 21

3

29. x 5 9, y 5 223, z 5 54, w 5 1 31. x 5 62, y 5 63 950 950 950

25 15 Ejercicios 14.3, página 617
35. £ 2 6 §
33. c1 1d 1. M11 5 22, M12 5 3, M21 5 0, M22 5 4; A11 5 22, A12 5 23,
10 9
2

00 0 A21 5 0, A22 5 4
4§
37. £ 4 1 25 3. M11 5 5, M12 5 10, M13 5 3, M21 5 235, M22 5 29,

M23 5 221, M31 5 28, M32 5 216, M33 5 15; A11 5 5,

22 3 A12 5 210, A13 5 3, A21 5 35, A22 5 29, A23 5 21, A31 5 28,

A32 5 16, A33 5 15

5. 27 7. 12

Ejercicios 14.2, página 608 9. a2 1 b2 11. 60

13. 261 15. 2862

1. 26 4 4 8 28 2 17. 2abcd 19. Teorema 12.3.2(ii)
c d, c d,
06 21. Teorema 12.3.2(i)
10 0 2 4
4 28 12 17 218 7 23. Teorema 12.3.2(v), donde 24 veces la tercera fila se suma
c
0 16 d, c d a la primera fila
28 0 8 15

25. Teorema 12.3.2(iv)

RESP-36 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

27. 101 29. 560 41. x 5 22, y 5 4, z 5 6, w 5 25
37. 25, 2 39. 22, 21, 3
43. i1 5 1258, i2 5 265, i3 5 12 45. x 5 0.3, y 5 20.12, z 5 4.1
25
41. Al sumar la segunda fila a la tercera se obtiene:
47. x 5 3.76993, y 5 21.09071, z 5 24.50461, w 5 23.12221

111

†a b c† Ejercicios 14.6, página 640

a1b1c a1b1c a1b1c 1. x 5 2, y 5 21 3. x 5 21, y 5 213
5. x 5 1232, y 5 2131 7. x 5 3, y 5 23
111 9. x 5 2, y 5 0, z 5 1
13. x 5 22, y 5 1, z 5 0 11. x 5 3, y 5 1, z 5 4
5 (a 1 b 1 c) † a b c † # 17. x 5 0, y 5 1, z 5 1, w 5 0 15. x 5 21, y 5 41, z 5 5
21. x 5 265, y 5 36 19. x 5 22, y 5 212
111 25. y 5 1.1x 2 0.3 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 14
Con base en el teorema 12.3.2(iv), el último 29. 1, 4, 7 23. y 5 0.4x 1 0.6

determinante es 0 27. y 5 1.3571x 1 1.9286

43. 23 45. 0
47. 26 49. 24

Ejercicios 14.4, página 626 31. (b) v5 d 2 2 d 2 ; D 5 1 t 2 d 2 2 t 22d 2
2 2 1 1 2 1

1 1 Å t 2 t 2 2Å t 2 2 t 2
2 1 2 1
5 5
3. c 2 d 5. no existe la inversa (c) 947.9 m; 1531 m/s
235
5

1 221a 0 21 1

7. c 2a 1 d 9. £ 0 1 0 § Ejercicios 14.7, página 644
1

2a 2a 1 1 21

1 218 0 1. x 5 4, y 5 23 3. x 5 2, y 5 7
4
5. x 5 235, y 5 253 7. x 5 4, y 5 24, z 5 25
11. no existe la inversa 13. £ 0 1 0§
2 9. x 5 4, y 5 1, z 5 2 11. x 5 41, y 5 43, z 5 1

0 0 215 13. x 5 1, y 5 0, z 5 21, w 5 2 15. x 5 5, y 5 3, z 5 10

2175 4

15. c 2 15 d 17. no existe la inversa
1
Ejercicios 14.8, página 648
15 15

1 0 21 213 1 1. (a) c 35 15 38 36 0 d
1d 3 27 10 26 20 0
19. c 4
0 5 21. £ 1 4 219 §
3 9

223 229 1 3. (a) c 48 64 120 107 40 d
18 32 40 75 67 25

7 2343 10 212 1 234 243
66 33 4
7 22 ¥
23. £ 2323 33 2313 § 25. ≥ 0 1 22 1 31 44 15 61 50 49 41
21636 0 00
2323 5 3 5. (a) £ 24 29 15 47 35 31 21 §
33 0 212 3 2
2
27. A 5 c22 3 d 1 215 15 0 215 25 219
3 24
7. STUDY_HARD 9. MATH_IS_IMPORTANT_

11. DAD_I_NEED_MONEY_TODAY

Ejercicios 14.5, página 634 15 22 20 8 23 6 22

13. (a) Br5 £ 10 22 18 23 25 2 25 §

1. 4 26 4 26 P 1d 3 26 26 14 23 16 12
c d, c
1 3 1 37

1 21 0 1 21 0 1

3. £ 0 1 1 § , £ 0 1 1 2 § Capítulo 14. Ejercicios de repaso, página 649

2 0 21 2 0 21 3 A. 1. verdadero 3. falso
5. verdadero 7. falso
5. ( )21, 1 9. verdadero 11. falso
3

7. (3a 2 4, a); con a cualquier número real

9. (2, 1, 23) B. 1. 3 3 6 3. a32 5 10
5. 7
11. (21, a 2 4, a); con a cualquier número real 24 6
c8 23 d
13. (231a 1 38, 13a 1 31, a); con a cualquier número real 7.

15. ( 4, 3, 1 ) 17. (3, 21, 0)
3

19. sin solución 21. (0, 0, 0) 9. 0 1 11. 6
c1 0d
23. (10a, 8a, a); con a cualquier número real

25. (1, 2, 1, 0) C. 1. x 1, y 1, z 0

27. (19a 1 27, 210a 2 10, 2a 1 3, a); con a cualquier 5. A11 5 214, A12 5 218, A13 5 13, A21 5 14, A22 5 9,

número real A23 5 210, A31 5 27, A32 5 23, A33 5 8

29. (273a 1 73, 275a 2 74, a); con a cualquier número real 7. 128 9. 2

31. sin solución 0 221
c1
33. 2Na 1 2H2O S 2NaOH 1 H2 11. aeg 2 cef 13. 1 d
35. Fe3O4 1 4C S 3Fe 1 4CO
37. 3Cu 1 8NHO3 S 3Cu(NO3)2 1 4H2O 1 2NO 5 10
39. f (x) 5 22x2 1 6x 1 4
16 2263

15. c 23 4 d 17. x 5 31, y 5 1
20 3

23 23

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-37

19. x 5 21, y 5 22, z 5 25 21. x 5 27, y 5 8, z 5 9 9. diverge 11. converge en !2

23. x 5 7135, y 5 212465 25. 68 13. diverge 15. converge en 5
6

1 x 1 21 17. converge en 5 19. converge en 0
2 x2 2 1 0§
27. x 5 61, A21 5 x2 1 £ 0 x 21. 2 23. 61
2x 9 99

21 25. 1 313 27. 4
999

29. [2 210 8] 31. [232] 29. 2 31. 81
5 7

78 54 99 33. diverge 35. 2130

33. [211 22] 35. £ 104 72 132 § 1 (b) 1
37. (a) Sn 5 1 2 n 1 1
226 218 233 39. 75 ft

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 15 0 213 78 2951 41. !3
37. £ 8 § 39. £ 18 5
126 §
7 22 21508 5
Ejercicios 15.4, página 679
12 2154
5

Ejercicios 15.1, página 659 1. (i) 2 5 (1)2 1 1, es verdadera. (ii) Supóngase que S(k)
2 1 4 1 c1 2k 5 k2 1 k, es verdadera. Entonces
1. 21, 1, 21, 1, 21, . . . 3. 1, 3, 6, 10, 15, . . . 2 1 4 1 c1 2k 1 2(k 1 1) 5 k2 1 k 1 2(k 1 1)
5 k2 1 k 1 2k 1 2
5. 12, 15, 110, 117, 216, . . . 7. 21, 2, 23, 4, 25, . . . 5 (k2 1 2k 1 1) 1 (k 1 1)

9. 0, 13, 123, 157, 241, . . . 11. 22, 4, 28, 16, 232, 36, . . . 5 (k 1 1)2 1 (k 1 1).
15. 3, 31, 23, 213, 3, . . .
13. 419, 8, 1 19. 1, 12, 16, 214, 1120, . . . Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración
81

17. 0, 2, 8, 26, 80, . . . queda completa.

21. 7, 9, 11, 13, 15, . . . 3. (i) 12 5 1 1( 1 1 1)[2(1) 1 1] 5 1 2 # 3, es verdadera.
6 6
(ii) Supóngase que S(k), 12 1 22 1 c1 k2 5
23. d 5 25; an 5 4 2 5(n 2 1); an11 5 an 2 5, a1 5 4
1 k(k 1 1) (2k 1 1), es verdadera. Entonces
( )25. r 5 243; an 5 4 243 n21; an11 5 234an, a1 5 4 6
c1
12 1 22 1 k2 1 (k 1 1)2 5 1 k(k 1 1)(2k 1 1) 1 (k 1 1)2
6

27. d 5 211; an 5 2 2 11(n 2 1); an11 5 an 2 11, a1 5 2 k(k 1 1)(2k 1 1) 1 6(k 1 1)2
5
29. r 5 0.1y; an 5 0.1(0.1y)n21; an11 5 (0.1y)an, a1 5 0.1
6
223; 3 223 223 an, 3
( )31. 8 n21; an11 8 (k 1 1)[k(2k 1 1) 1 6(k 1 1)]
r5 an 5 5 a1 5 5

33. 113 35. 1 6
2 (k 1 1) (2k2 1 7k 1 6)
5
37. 1 39. 255
8 6

41. 4, 7, 10, 13, . . . 43. $3 870 (k 1 1)[(k 1 2)(2k 1 3)]
5
45. 6.6% 47. $145
6
49. 57 665 51. 32
1
53. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . 5 6 (k 1 1)[(k 1 1) 1 1] [2(k 1 1) 1 1].

Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración

queda completa.

Ejercicios 15.2, página 665 5. (i) 1 1 1 5 1, es verdadera. (ii) Supóngase que S(k)
2 2

1. 14 3. 40 1 1 c1 1 1
a 22 2k b 2k
5. 23 7. 1 1 !2 1 !3 1 2 1 !5 1 1 1 5 1,
2 2

9. 1 2 1 1 1 2 1 5 es verdadera. Entonces

11. a (2k 1 1)
k51

5 (21)k 5 2k 1 1 a1 1 1 c1 1 1 1 5 a1 1 1 1 c1 1 2
13. 15. a 2 22 2k 2k11b 2k11 2 22 2kb 2k11
a 3 # 2k k51 2k 1 1 1 1

k50

17. 35 19. 564 12
5 a1 2 2k b 1 2k11
21. 748 23. 40
81

25. 66.666 27. 85 11
128 5 1 2 2k 1 2k 5 1.
Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración
29. a1 5 29, a10 5 45 31. 80
2

33. 12 x15 1 y15 queda completa.
35. x13y(x 1 y)
11
37. n2 1 n 39. 500, 500 7. (i) 5 , es verdadera. (ii) Supóngase que S(k)
41. $13 500 # 1
47. aproximadamente 69.73 ft 43. 72 m 1 (1 1 1) 1 1

49. aproximadamente 55.6 mg 1 1 1 1 c1 1 5 k , es verdadera.
1#2 2#3 1 1 1
k(k 1) k

Ejercicios 15.3, página 674 Entonces 1 1 1 1 c1 k(k 1 1)
1#2 2#3 1
1. converge en 0 3. converge en 0
7. diverge 1
5. converge en 1 1
2
(k 1 1)[(k 1 1) 1 1]

RESP-38 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

k1 19. (i) Puesto que r . 1, la proposición r k . 1 es verdadera.
51 (ii) Supóngase que S(k):

k 1 1 (k 1 1)[(k 1 1) 1 1]

k(k 1 2) 1 1 si r . 1, entonces r k . 1 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 15
5 es verdadera. Entonces, para r . 1,

(k 1 1)(k 1 2) r k11 5 r k # r . r k # 1 . 1 # 1 5 1.
k2 1 2k 1 1 Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración
queda completa.
5
(k 1 1)(k 1 2) Ejercicios 15.5, página 684
(k 1 1)2

5
(k 1 1)(k 1 2)
k11

5.
(k 1 1) 1 1

Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración 1. 6 3. 1 5. 144 7. 10
queda completa. 9. 7 60 13. n

11. 4

9. (i) 1 5 1 (4 2 1) es verdadera. (ii) Supóngase que S(k), 1 17. 5! 19. 100!
3 15. (n 1 1) (n 1 2)2(n 1 3)
c1
1 1 4 1 42 1 4k21 5 1 (4k 2 1), es verdadera. Entonces
3

1 1 4 1 42 1 c1 4k21 1 4k 5 1 (4k 2 1) 1 4k 21. 4!5! 23. 4! 25. n! 27. verdadero
3

5 1 4k 1 4k 2 1 2! (n 2 2)!
3 3
29. falso 31. verdadero 33. x4 2 10x2y4 1 25y8
5 4 4k 2 1 35.
3 3 x6 2 3x4y2 1 3x2y4 2 y6
37.
5 1 (4k11 2 1). 39. x2 1 4x3/2y1/2 1 6xy 1 4x1/2y3/2 1 y2
3 41.
43.
Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración 45. x10 1 5x8y2 1 10x6y4 1 10x4y6 1 5x2y8 1 y10
49.
queda completa. a323a2b13ab22 b323a2c1 6abc 2 3b2c 1 3ac223bc22 c3

11. (i) La proposición (1)3 1 2(1) es divisible entre 3 es verdadera. n 5 6: 1 6 15 20 15 6 1; n 5 7: 1 7 21 35 35 21 7 1

(ii) Supóngase que S(k), k3 1 2k es divisible entre 3 es verdadera; 6ab5 47. 220x6y6

en otras palabras, k3 1 2k 5 3x para algún entero x. Entonces 2 240x4 51. 2 002x5y9

(k 1 1)3 1 2(k 1 1) 5 k3 1 3k2 1 3k 1 1 1 2k 1 2 53. 2144y7 55. 252

5 k3 1 2k 1 3k2 1 3k 1 3 57. 0.95099

5 (k3 1 2k) 1 3(k2 1 k 1 1)

5 3x 1 3(k2 1 k 1 1) Ejercicios 15.6, página 692
5 3(x 1 k2 1 k 1 1),

es divisible entre 3. Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y 1. abc, acb, bac, bca, cab, cba
(ii) la demostración queda completa.
3. Aquí (x, y) representa el número de x en el dado rojo y
13. (i) La proposición 4 es factor de 5 2 1 es verdadera. (ii) Supón-
gase que S(k), 4 es factor de 5k 2 1 es verdadera. Entonces el número de y en el dado negro

5k11 2 1 5 5k # 5 2 1 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
5 5k # 5 2 5 1 4
5 5(5k 2 1) 1 4. (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3),

(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

5. 576 7. 800

Puesto que 4 es factor de 5k 2 1 y de 4, se desprende que es 9. 120 11. 6

factor de 5k11 2 1. Así, S(k 2 1) es verdadera. Por (i) y 13. 9 900 15. 20, 160

(ii) la demostración queda completa. 17. 6 19. 1 225

15. (i) La proposición 7 es factor de 32 2 21 5 9 2 2 es verdadera. 21. 78 23. 1
(ii) Supóngase que S(k), 7 es factor de 32k 2 2k es verdadera.
25. 24 27. (a) 5 040 (b) 2 520
Entonces 32(k11) 2 2k11 5 32k # 32 2 2k # 2
5 32k # 9 2 2k # 2 29. 66 31. 252
5 32k # (2 1 7) 2 2k # 2
5 2(32k 2 2k) 1 7 # 32k. 33. 90 35. 10

37. 56 39. (a) 360 (b) 1 296 (c) 2 401

41. C(5, 3) # C(3, 2) # 5! 5 3 600 43. (a) 40 (b) 80

Puesto que 7 es factor de 32k 2 2k y de 7 # 32k, se desprende que
es factor de 32k12 2 2k11. Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y Ejercicios 15.7, página 699

(ii) la demostración queda completa. 1. 5HH, HT, TH, TT6

17. (i) La proposición, (1 1 a)1 $ 1 1 (1)a para a $ 21, es verda- 3. 51H, 2H, 3H, 4H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 6T6
dera. (ii) Supóngase que S(k), (1 1 a)k $ 1 1 ka para a $ 21,
5. 3 7. 1
13 6
es verdadera. Entonces, para a $ 21,
9. 1 11. 1
36 8

(1 1 a)k11 5 (1 1 a)k(1 1 a) 13. 13 # 48 < 0.00024 4 # C(13, 5)
$ (1 1 ka)(1 1 a) C(52, 5) 15. < 0.002

C(52, 5)

5 1 1 ka2 1 ka 1 a 17. 1 2 C(39, 5) < 0.78 19. 1 2 1 < 0.999
$ 1 1 ka 1 a 210
C(52, 5)

5 1 1 (k 1 1)a. 21. 15 23. (a) 28 (b) 134
16 143 143

Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración

queda completa.

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-39

25. 1 27. 6 1 2 5 2 19. (i) (1 1 )1 5 1 1 1, es verdadera. (ii) Supóngase que S(k)
1 024 36 36 9
1

29. 10 1 5 5 3 31. 1 (1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 )1 c(1 1 )1 5 k 1 1,
100 100 20 6 1 2
3 k
33. 3 o 60% 35. 2
5 3 es verdadera. Entonces

(1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 )1 c(1 1 1 ) ( 1 1 k 1 1)
1 2 k 1
Capítulo 15. Ejercicios de repaso, página 702 3

5 (k 1 1)(1 1 k 1 1)
1

A. 1. falso 3. verdadero 5 (k 1 1 1 1)

5. verdadero 7. verdadero 5 k 1 2.

9. verdadero 11. verdadero Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 15 B. 1. 2x 1 7, 2x 1 10, 2x 1 13, . . . queda completa.

3. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5. 2 21. 40 23. 28
2 3 4 5 5
9
7. 2 700 9. 4 25. (n 1 1)(n 1 2)(n 1 3)

11. 8 27. a4 1 16a3b 1 96a2b2 1 256ab3 1 256b4
15

C. 1. 6, 3, 0, 23, 26, . . . 3. 21, 2, 23, 4, 25, . . . 29. x10 2 5x8y 1 10x6y2 2 10x4y3 1 5x2y4 2 y5

5. 1, 3, 14, 72, 434, . . . 7. 281 31. 2175 000a5b9 33. 210x6y12z12
11. C
9. 341 35. 37th 37. 1
256 5

15. (i) 12(1 1 1)2 5 4 es divisible entre 4. (ii) Supóngase que S(k), 39. converge en 0

k2(k 1 1)2 es divisible entre 4 es verdadera. Entonces 41. HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

(k 1 1)2(k 1 2)2 5 (k 1 1)2(k2 1 4k 1 4) 43. (a) 496 (b) 328 45. 120
5 k2(k 1 1)2 1 4(k 1 1)3
47. 720
es divisible entre 4 puesto que cada término es divisible entre 49. (a) 2 # 10!12! < 3.48 3 1015 (b) 22! < 1.124 3 1021
4. Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración
queda completa. 51. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),

17. (i) 1(1!) 5 2! 2 1 5 1, es verdadera. (ii) Supóngase que S(k) (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3),
1(1!) 1 2(2!) 1 c1 k(k!) 5 (k 1 1)! 21,
(4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}

53. 25 55. (iii)
102
14 1 17
57. (a) 33 (b) 11 (c) 33

es verdadera. Entonces 59. (a) 24 (b) [C(15, 1 4) < 11.1 1 1017 < 9 3 10218
1(1!) 1 2(2!) 1 c1 k(k!) 1 (k 1 1)(k 1 1)! 5) ]4C(15, 3
5 (k 1 1)! 2 1 1 (k 1 1)(k 1 1)!
5 (k 1 1)! (1 1 k 1 1) 2 1
5 (k 1 1)! (k 1 2) 2 1
5 (k 1 2)! 2 1.

Así, S(k 1 1) es verdadera. Por (i) y (ii) la demostración
queda completa.

RESP-40 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

ÍNDICE ANALÍTICO

A aritmética de vectores, 543
Arquímedes, 521
Abel, Niels Henrik, 265, 290 asíntota(s), 300, 302
abscisa, 169
adición, 18 de una función racional, 300, 302, 303, 304
horizontal, 302, 303, 320
con denominadores comunes, 54
de dos funciones senoidales, 463 determinación de, 304-305
álgebra, 2, 47 oblicua, 302, 304
de los polinomios, 85
teorema fundamental del, 283 determinación de, 307-308
algoritmo de división para polinomios, 276 vertical, 302, 326
amplitud, 399, 402
de la función coseno, 398-399 determinación de, 304
de la función seno, 398-399 axioma, 3
ángulo(s)
agudo, 360, 365 B
central, 361, 390
complementarios, 360 base
coterminales, 356, 359 de los exponentes enteros, 64
cuadrantal, 361 de una función exponencial, 318
de depresión, 447 de una función logarítmica, 324-325
de elevación, 447 diez, 327
de referencia, 380, 394-395 e, 327
reformulación de la, 328
propiedad de los, 381
doble, fórmula para obtener el, 542 bicondicional, 5, 8-9
entre vectores, 552 binomio, 84
lado inicial de un, 356 biunívoca (o uno a uno), función, 243. Véase
lado terminal de un, 356
medidas de, 356-364 también función(es)
medio, fórmula para obtener el, 420 inversa de la, 243-243, 245
obtuso, 360 Briggs, Henry, 317
posición normal de un, 356
recto doble, 360 C
suplementarios, 360
vértice del, 356 caída libre, objeto en, 224
Apolonio, 481, 482 calculadora, uso de la,
arco
coseno, función, 427. Véase también conversión de radianes a grados, 374
exactitud de la, 445
función(es) modo de grados, 374
parabólico, 486 resolución de triángulos, 444-445
seno, función, 425-426. Véase también valores de las funciones trigonométricas,

función(es) 374, 444-445
tangente, 428. Véase también función(es) cálculo proposicional, 3
argumento, 14, 15, 16 cambio de base, 335
de un número complejo, 468 cancelación, 99
Cantor, George, 21
caracoles, 529

aplanado, 530
con bucle interno, 530
convexo, 530

ÍND-1

ÍNDICE ANALÍTICO cardinalidad, 23-24 conectivos lógicos, 4, 30
cardioide, 529, 530 bicondicional, 5, 8-9
caso ambiguo de la ley de senos, 455-456 condicional, 5, 7-8
catenaria, 350 conjunción, 5, 6
catetos, 365 disyunción exclusiva, 5, 7
disyunción inclusiva, 5, 6-7
adyacente, 365 negación, 5
opuesto, 365
Cavalieri, Bonaventura, 521 conjugado
Cayley, Arthur, 597 de un número complejo, 282
centro, de una propiedades del, 142
circunferencia, 175 par, 282
elipse, 489, 491
hipérbola, 495, 496, 499 conjunción, 5, 6, 18
cero(s), conjunto(s), 1-2, 48
de una función, 204
determinación aproximada de los, 205 de postulados del sistema, 3
reales de una función, 296 de verdad, 19
aproximación de un, en una función polinomial 297 descripción de,
Chladni, Ernest Florens, 443
ciclo, 398, 409 por comprensión, 22
compresión horizontal del, 400 por extensión, 22
cicloide, 513 diferencia de, 34
circulares, funciones, 390-391 diferencia simétrica de, 35
signos de las funciones, 392 disjuntos, 38, 48
círculo, 174-175 elementos y, 21
con centro en el origen, 527 equipotentes, 24
con centro en un eje, 531 familia de, 27
unitario, 175, 390, 391, 433 finito, 23
cociente, 52, 276, 470 iguales, 22-23
de diferencias, 238-239 infinito, 23
codificación, 645 intersección de, 30-31, 34, 48
coeficiente(s), 84 propiedades de la, 30
binomiales, 682, 683 no comparables, 26
matriz de, 628, 636 no disjuntos, 38-39
principal de un polinomio, 84, 266 operaciones con, 30
cofactor, 612-613 potencia, 27-28
cofunciones, 367-368, 372 solución, 112, 144, 158, 174, 582
combinación, 689 técnicas de conteo y, 38, 41, 42
aritmética, 235 teoría de, 23
terminología de, 48
dominio de una, 236, 238 tipos de, 23
de funciones, 235 unión de, 31-32, 33
compleción (completar) del cuadrado, 176-177 dos, 48
composición de funciones, 238. Véase también unitario, 25
universal (o universo), 19, 25
función(es) universo, 19
componentes de un vector, 542 vacío, 24-25, 48
constante
horizontal, 546 de crecimiento, 338
vertical, 546 de decaimiento, 339
comportamiento de la gravitación universal, 193
en los extremos, 268-269, 303 de proporcionalidad, 190
local, 269-270 de resorte, 465
global de una función, 202. Véase también función, 218, 230, 238. Véase también función(es)
conteo, 38-39, 41, 42, 653, 686
función(es) principio fundamental de, 687-691
composición de funciones, 236-237 contingencia, 13
compresión vertical, 214, 218 continua, función, 230. Véase también función(es)
condicional, 5, 7-8

ÍND-2 ÍNDICE ANALÍTICO

contradicción, 12 D ÍNDICE ANALÍTICO
contradominio, 407
conversión entre grados y radianes, 360 Dantzing, George B., 559
coordenada(s), 58, 168 datación con carbono, 340
decaimiento radiactivo, 339
del punto medio, 61 decimal(es), 50
polares, 521-526
finitos, 50
convenciones sobre las, 522 periódico, 672
conversión de, 523-525 periódicos o recurrentes, 50
pruebas de simetría en, 528 decodificación, 645
secciones cónicas en, 536-542 decreciente, función, 223. Véase también función(es)
Copérnico, Nicolás, 355 definida por partes, función, 228. Véase también
cosecante, 377, 407
definición de, 407 función(es)
gráfica de la función, 408 DeMoivre, Abraham, 472
coseno, 389, 390 demostración matemática, 17
amplitud de la función, 398-399 denominador, 53
desplazada, gráfica de, 402-403
fórmula para el ángulo doble, 542 mínimo común, 100
fórmula para ángulo medio, 420 Descartes, René, 167, 168
gráfica de la función, 350, 397-407
hiperbólico, 349, 350 regla de los signos de, 54
ley del, 457-458, 460 desigualdad(es), 58, 59, 112, 147, 178
cotangente, 377
definición, 407 con valor absoluto, 150-153
gráfica de la función, 408 estrictas, 59, 158
periodo de la función, 408 equivalentes, operaciones de, 145
Cramer, Gabriel, 643 lineales, 144, 145
regla de, 643-644
creciente, función, 223. Véase también función(es) con dos variables, 581
crecimiento demográfico, 338-339 resolución de, 145
criptografía, 645 solución de la, 144
cuadrado no estrictas, 59, 158
perfecto, 95 no lineales, 583
completar el, 176-177 polinomiales, 154-155
cuadrante, 168 reglas para resolver, 155-157
cuadrática, función, 218, 230. Véase también racionales, 154-155, 157
simultáneas, 147
función(es) resolución de, 148
cuantificador, 19 triangular, 61
desplazamiento(s),
existencial, 19-20 combinación de, 212
universal, 19 de la fase, 402
cuerda focal, 484 horizontales, de una gráfica, 211-212
curva(s) verticales, de una gráfica, 211-212
braquistócrona, 514 determinante(s), 597, 611-619, 641
cerrada, 511 de los coeficientes, 636
cicloidal, 513 de n-ésimo orden, 611
de rosas, 531 de orden n, 611
parametrización de, 514 de una matriz, 612
propiedades de los, 616
solución alternativa de la, 514 diagonal principal de una matriz, 599
parametrizada, 510 diagrama
plana, 510, 514 de árbol, 686
de Venn, 26, 30
gráfica de una, 510 diámetro, 484
punto inicial, 511 diferencia, 52
punto terminal, 511 de dos cuadrados, 87, 95
rectangulares, 514 de dos cubos, 95
tautócroma, 514 de conjuntos, 34
simétrica, 35

ÍNDICE ANALÍTICO ÍND -3

ÍNDICE ANALÍTICO dígitos significativos, 67 raíces de una, 131
Diofanto, 111 raíz de la, 127
dirección, 542 solución de una, 112
directriz de una parábola, 482, 536 traducción de palabras en una, 118
discontinua, función, 230, 303. Véase también trigonométricas, 433-439
eje
función(es) de la parábola, 482
discriminante, 131, 508 de simetría, 219
distancia, 170 imaginario, 467
mayor de una elipse, 490
entre puntos en la recta numérica, 61 menor de una elipse, 490
fórmula de la, 170, 174 polar, 522
disjuntos, conjuntos, 38, 48. Véase también conjunto(s) real, 467
disyunción rotación de un, 504-505
exclusiva, 5, 7 x, 168, 180
inclusiva, 5, 6-7
dividendo, 276 intersecciones con el, 178
división, 54, 99 y, 168, 180
de cero, 55
de funciones polinomiales, 275-281 intersecciones con el, 178
sintética, 278-280, 285 elemento(s), 21, 48
elevación, ángulo de, 447
guía para la, 279 eliminación
divisor, 276
dominio, 98, 200, 201-202, 203, 208, 243, 266, 300, de Gauss-Jordan, 631-632
método de, 563, 569
318, 392, 407. Véase también función(es) elipse, 489-495, 536, 537, 538
de la variable, 83 aplicaciones de la, 493
restringido, 247 centro de la, 489, 491
ecuación de la, 490
E eje mayor de la, 490
eje menor de la, 490
ecuación(es), 112 foco de la, 489
con dos variables, 174 vértice de la, 490
condicional, 112 elipsis, 49
construcción de una, 118 entero(s)
cuadráticas, 127, 142 positivos, 48, 49, 158
de movimiento, 465
de rectas, 183 impar, 72
de una recta horizontal, 186 par, 72
de una recta vertical, 186 equipotentes, conjuntos, 24. Véase también conjunto(s)
de valor absoluto, 150-151 error, 259
diofánticas, 111 escala de Richter, 343
en una variable, 112 escalar, 542
equivalentes, 113 producto, 603-604
exponenciales y logarítmicas, 331-338 escalón, función, 229
solución de, 331-332 espacio
lineal, 113, 127, 186, 187 bidimensional, 168
con dos variables, 560 muestral, 694
con n variables, 560 espiral de Arquímedes, 528
con tres variables, 562 espirales, 527
operaciones que producen, 113 estiramiento vertical, 214, 218
paramétricas, 509 evento(s), 694
aplicaciones de las, 513 cierto, 696
pendiente-intersección, 185 complemento de un, 696
polares, 526 imposible, 696
de cónicas, 536-537 mutuamente excluyentes, 697
gráficas de, 526-534 unión de dos, 697
polinomial de grado n, 127 excentricidad, 492, 536
punto-pendiente, 184-185

ÍND-4 ÍNDICE ANALÍTICO

exponencial, función, 318-324, 325. Véase también función(es), 199, 200 ÍNDICE ANALÍTICO
función(es) arco coseno, 427
arco seno, 425-426
natural, 321-322 arco tangente, 428
propiedades de una, 320 ceros reales de una, 204
exponente(s), 64, 318 circulares, 390-391
enteros, 64 signos de las, 392
ley de los, 65, 86, 318-319 combinación de, 235
racionales, 78 comportamiento global de, 202
expresión(es) composiciones de una, 238
algebraica, 83 constante, 218, 230, 238
fraccionaria, 102 continuas, 230
racional propia, 575 creación de una, 251
racionales, 98 creciente, 223
extremo relativo, 270 cuadrática, 218, 230
de importe postal, 228
F decreciente, 223
definidas por partes, 228
factor(es), 92 diferencia de la, 238
conjugado, uso de un, 74 discontinua, 230, 303
de funciones polinomiales, 282 dominio de una, 201, 208
entrada de la, 200
factorización, 92, 94 escalón, 229
de fórmulas, 95 exponencial, 318-324, 325
de polinomios, 92, 94, 95 natural, 321-322
cuadráticos, 93 propiedades de una, 320
método de, 127 gráfica de una, 202, 218
hiperbólica, 349-351
falacia, 15 impar, 210-211, 393, 409
Fermat, Pierre de, 653 inversa, 242, 244
Ferrari, Ludovico, 265, 290 propiedades de la, 244
finito, conjunto, 23. Véase también conjuntos lineal, 218, 230
foco, 536 logística, 339
máximo entero, 229
de una elipse, 489 objetivo, 586
de una hipérbola, 495 par, 210-211, 393
de una parábola, 482 periódicas, 392
Fontana, Gregorio, 521 piso, 230
Fontana, Nicolò (Tartaglia), 265, 290 polinomiales, 218
forma escalonada por filas, matriz y, 628 potencia, 208
fórmula(s) recíprocas, 407
cuadrática, 130 salida de la, 200
de ángulo doble, 419 suma de la, 238
traducción de palabras a, 250
del coseno, 419 uno a uno (biunívoca), 243
del seno, 419 inversa de la, 243-243, 245
de cambio de base, 335-336 valor absoluto, 231- 232
de conversión, 359 valor de la, 200
de factorización, 95
de la distancia, 170, 174 función coseno, 397, 415
de la longitud del arco, 361 fórmulas
de mitad de ángulo, 420 de diferencia, 415
de recursión, 655 de suma, 415
del punto medio, 171 propiedades de la, 398-399
fracción(es), 53
equivalentes, 54 función logarítmica, 324-331
impropia, 276, 579 contradominio, 325
parciales, descomposición en, 575
propia, 276
frecuencia, 465
fuerza resultante, 547

ÍNDICE ANALÍTICO ÍND -5

ÍNDICE ANALÍTICO dominio de una, 325 del conjunto solución, 581
propiedades de la, 326 estiramientos y compresiones
racional, 300-312
(transformaciones no rígidas),
gráfica de una, 306-307 214-215
recíproca desplazada, 301 gráfica de una función, 202, 218
función polinomial, 265-275 polares, 533
constante, 266 por transformaciones, 222
punto de inflexión de la, 224
gráfica de una, 267 reflexiones, 213-214
cuadrática, 266, 290 graficación de puntos, 169
cúbica, 266
de cuarto grado, 265, 266, 290 H
de grado n impar, 268, 270
de grado n par, 268, 270 Hiparco, 355, 521
de quinto orden, 266 Hipatia, 481, 482
de segundo grado, 265, 290 hipérbola, 495-504, 536, 537, 538
de tercer grado, 265, 290
de un sólo término, 267 aplicaciones de la, 501
gráfica de una, 271 asíntotas de la, 497
lineal, 266 centro de la, 495, 496, 499
potencia, 267 ecuación de la, 496
raíces reales de una, 270, 289-296 eje conjugado de la, 496-497
función seno, 39, 415 eje transversal de la, 496
fórmulas excentricidad de la, 500
foco de la, 495
de diferencia, 415, 417 ramas de la, 495
de suma, 415, 417 vértice de la, 496
propiedades de la, 398-399 hiperbólica, función, 349-351. Véase también
función trigonométrica, 391
cálculo del valor de una, 381-382 función(es)
de ángulos especiales, 371-375 hipotenusa, 365
de ángulos generales, 375-386 hipótesis, 17
de los números reales, 390 Hooke, Robert, 190
gráficas de la, 407-414
inversas, 424 I
propiedades de las, 424-425, 429-430
uso de, 437 identidad(es), 112, 350
valores de la, 390 aditiva, 51, 141, 603
de cofunción, 368
G multiplicativa, 51, 141
pitagórica, 368-369, 378-379, 391, 414
Galilei, Galileo, 481, 482 por cociente, 366
Gauss, Carl Friedrich, 265, 283 recíprocas, 366
geometría, 2, 3 trigonométrica, 414

euclidiana, 371 igualdad
n-dimensional, 597 de números complejos, 139
Germain, Marie-Sophie, 443 de matrices, 599
grado(s), 84, 266, 356
conversión a radianes, 360, 374 iguales, conjuntos, 22-23. Véase también
uso de la calculadora y, 374 conjunto(s)
de un polinomio, 84, 127
gráfica(s), 144, 174, 178 imagen
con un agujero, 309 de x, en funciones, 200
de desigualdades, 223 especular, 179
de las funciones seno y coseno, 397-407
desplazada, 222-223, 268 impar, función, 210-211, 393, 409. Véase también
desplazamientos horizontales y verticales función(es)

(transformaciones rígidas), 211-213 índice, 72
de la suma, 661

inducción matemática, 676-680
principio de, 676-677

infinito, conjunto, 23. Véase también conjunto(s)

ÍND-6 ÍNDICE ANALÍTICO

interés compuesto, 342 logaritmo(s), ÍNDICE ANALÍTICO
intersecciones de base 10, 371, 327
leyes de los, 327-328
con el eje x, 178, 203, 205, 220, 300 natural, 317, 327
con el eje y, 178, 203, 205, 220
de conjuntos, 30-31, 34, 48, 147 lógica, 2, 4
logística, función, 339. Véase también
propiedades de la, 30
intervalo función(es)
longitud de arco, 361
abierto, 146
cerrado, 147 M
extremos del, 146
no acotado, 146 magnitud, 542
semiabierto, 147 de un número complejo, 467
inversa
de una función, 242, 244. Véase también función(es) Malthus, Thomas R., 339
masa, 465
propiedades de la, 244
de una matriz, 620 desplazamiento inicial de la, 465
inverso velocidad inicial de la, 465
aditivo, 51, 604 Matemática, 294, 329
multiplicativo, 51, 620 matriz (matrices), 597-602
adjunta de la, 622
K álgebra de, 602
aumentadas, 627-636
Kepler, Johannes, 481, 482 cero, 603
columna, 599
L cuadrada, 598, 620
de codificación, 646
Lacroix, Sylvestre François, 521 de coeficientes, 628, 636
Lauchen, von, George Joachim, 355 de decodificación, 646
Leibniz, Gottfried Wilhelm, 167, 199 equivalentes por filas de una, 628
lemniscatas, 532 fila, 599
ley(es) forma escalonada por filas, 628
identidad, 607
asociativas, 36 igualdad de, 599
conmutativas, 36 inversa de una, 620-627, 636-641
de Boyle, 192 multiplicación de, 605-606
de De Morgan, 34, 36 orden de la, 598
de Hooke, 190 producto escalar de una, 603
de identidad y absorción, 36 producto interno de, 608
de la Gravitación Universal de Newton, 192, 493 rectangular, 598
de los cosenos, 457-458, 460 reducción por filas de una, 628
de los exponentes, 65, 86, 318-319 resta de, 604
solución de, 637
enteros, 66 suma de, 602
racionales, 79-80 transposición de una, 600
de los logaritmos, 327-328 máximo
de los radicales, 72-73 entero, función, 229
de senos, 453, 460 (mínimo) de una función cuadrática,
de tricotomía, 59
del álgebra, 36 229, 587
del enfriamiento/calentamiento de Newton, 341-342 mayor que, 58, 59
del movimiento planetario de Kepler, 493 medida angular
distributivas, 36, 86
idemponentes, 36 en grados, 356
involutiva, 36 en minutos, 357
Libby, Willard, 341 en radianes, 358
límites de los valores en segundos, 357
de coseno, 392 fórmulas de conversión, 359-360
de seno, 392 menor que, 58, 59
lineal, función, 218, 230

ÍNDICE ANALÍTICO ÍND -7

ÍNDICE ANALÍTICO Méré, Chevalier de, 653 positivos, 49
método(s) no negativos, 49
números complejos, 135, 138, 265, 282
de completar el cuadrado, 129-130 argumento de, 468
de eliminación, 563, 569 conjugado de un, 282
de factorización, 127 eje imaginario de un, 467
de la bisección, 297, 298 eje real de un, 467
de la raíz cuadrada, 128-129 forma trigonométrica de los, 467-469
de la tabla de signos, 155 igualdad de, 139
de mínimos cuadrados, 258 magnitud de un, 467
de sustitución, 561-562, 569 multiplicación de, 140
para determinar f-1, 244-245 parte imaginaria de los, 139
peiu, 87 parte real de los, 139
mínimo común denominador, 100 potencias de un, 472
minutos, medida de un ángulo, 357 propiedades de los, 140
modelo(s) raíces de un, 472, 473
matemático, 190, 224, 338 resta de, 140
exponenciales y logarítmicos, 338-349 suma de, 140
modus ponendo ponens, 15, 18 unidad imaginaria de un, 282
modus tollens, 18
monomio, 84 O
movimiento
armónico simple, 463, 465 operaciones
curvilíneo, 510 con conjuntos, 30, 36
multiplicación, 54, 99 con vectores, 544
de matrices, 605-606
de números complejos, 140 orden de una matriz, 598
por escalar, 542, 603 ordenada, 168
origen, 58, 179-180
N
de la recta real, 527
Napier, John, 317
negación, 5 P
Newton, Isaac, 167, 481, 482, 493
notación, 302 par
conjugado, 286
algebraica, 47 función, 210-211, 393. Véase también función(es)
científica, 67 ordenado, 467, 522
de conjuntos, 376
de intervalos, 146 parábola, 179, 209, 218, 221, 267, 482, 483, 484, 536,
factorial, 681, 683 537, 538
matricial, 599
por comprensión, 48 aplicaciones de la, 485
por extensión, 48 cuerda focal de la, 484
sigma, 259, 661, 683 directriz de la, 482, 536
ecuación de la, 483
propiedades de la, 662 eje de la, 482
numerador, 53 excentricidad de la, 492
número(s) foco de la, 482
vértice de la, 484
e, 321 paraboloides, 485
imaginario puro, 139 parametrización de curvas rectangulares y polares, 510,
irracionales, 49
naturales, 48, 158 514
primo, 296 parámetro, 510
racionales, 49
reales, 4, 47, 48, 49, 139, 265, 282 eliminación del, 511-513
parte imaginaria de un número complejo, 139
negativos, 49 parte real de un número complejo, 139
parte imaginaria de un, 282 Pascal Blaise, 653, 681
parte real de un, 282
triángulo de, 681
Peacock, George, 521
pendiente de una recta, 183-184

ÍND-8 ÍNDICE ANALÍTICO

pérdida de soluciones, 435 de mezclas, 121, 125 ÍNDICE ANALÍTICO
periódicas, funciones, 392 de números, 124
periodicidad, 392, 408 de trabajo, 122, 125
periodo, de las funciones trigonométricas, 392, 393, de velocidad, 120-121, 124
diversos, 122-123
400, 402, 408, 465 producto(s), 470
permutación, 687 escalar de una matriz, 603
pH de una solución, 344 interno de una matriz, 550
Pitágoras, 133 notables, 83, 86
punto, 550-556
teorema de, 49, 133, 170, 365, 368, 371, 372, 457
plano interpretación física del, 554
propiedades del, 550
cartesiano, 167-168 programación lineal, 559, 586-592
complejo, 467 progresión aritmética, 655-656
xy, 168, 174, 183 propiedad(es)
población inicial, 338 asociativa, 30, 32, 51
polinomial, función, 218. Véase también función(es) conmutativa, 30, 32, 51
polinomio(s), 83-84 de cancelación, 53
álgebra de los, 85 de cerradura, 51
cero, 84 de identidad, 51
de grado n en la variable x, 84 de igualdad, 53
división de, 89 de la diferencia de conjuntos, 34
en cuatro variables, 88 de la existencia de la identidad, 30, 32
en dos variables, 88 de la existencia de un elemento absorbente, 30, 32
en tres variables, 88 de la multiplicación por cero, 53, 127
factorización de, 92 de la sustracción y negativos, 53
nulo, 266, 300 del inverso, 51
producto de, 89 distributiva de la intersección respecto

dos, 86 a la unión, 33, 52
suma de, 89 distributiva de la unión respecto
polo, 522
porcentaje, 50 a la intersección, 33
de decrecimiento, 50 uno a uno, 332-333
de incremento, 50 transitiva, 59
posición de equilibrio, 465 proporcionalidad, 190
postulado, 3. Véase también axioma proposiciones, 2
potencia racional de x, 78 compuestas, 4
potencia(s), 64 equivalentes, 11-12, 13
de un número complejo, 472 implicación de, 16-17
entera simples, 4
prueba(s)
negativa de x, 64 de la recta horizontal, 243
positiva de x, 64 de la recta vertical, 203
función, 208 de simetría, 180
premisa, 14 punto
principio(s) crítico, 269
de comprensión o abstracción, 21 de inflexión de la gráfica, 224
de extensión, 21 de prueba, 582
de inducción matemática, 677-678 medio, 61-62, 171, 172
fundamental de conteo, 686-687
de conteo, 686-693 R
probabilidad, 694-701
de un evento, 694 racionalización, 74
límites de la, 696 radián
problemas
de dimensiones, 125 medida de un ángulo, 356
de edad, 118-119, 124 conversión a grados, 374
de inversión, 119-120, 124 uso de la calculadora, 374

ÍNDICE ANALÍTICO ÍND -9

ÍNDICE ANALÍTICO radical, 71, 72, 80 reglas de inferencia, 17
leyes de los, 72-73 adición, 18
conjunción, 18
radicando, 72, 201 modus ponens, 18
radio de una circunferencia, 175, 339-340 modus tollens, 18
raíz(es), 71 silogismo disyuntivo, 18
silogismo hipotético, 18
cantidad de, 283, 289 simplificación, 18
compleja, 282, 474
cuadrada, 71-72 residuo, 276
resta, 99
principal, 138 restricción, 251, 586
cúbica, 71-72, 474-475 Rheticus, George Joachim, 355
de funciones polinomiales, 282 Richter, Charles F., 343
de multiplicidad, 128 rotación

m, 270-273, 283 de ejes, 504-505
de un número complejo, 473 ecuaciones de, 505
de una ecuación cuadrática, 131 eliminación del término xy, 506-507
división de, 275-281 secciones cónicas sin, 508
n-ésima principal, 71
racionales, 290-293 de gráficas polares, 533
real, 282, 289-296 rumbo, 459

determinación de, 290 S
repetida, 270
simple, 270, 283 Saint-Vincent de, Grégoire, 521
rango de una función, 200, 221, 243, 392. Véase secante

también dominio y función definición de, 407
rapidez, 547 dominio de la, 376
recíproca, función, 407. Véase también gráfica de la función, 410
periodo de la función, 408-409
función(es) sección cónica, 481, 536
recíproco, 51, 620 rotada, 539
recta(s), 209 sector, 361
segundo, medida de un ángulo, 357
con pendiente, 267 semicírculo, 177
crecimiento de la, 183 inferior, 203
de los números reales, 58 superior, 203
semiplano, 581
distancia en la, 61 seno, 389, 390
de mínimos cuadrados, 258, 260, 638 amplitud de la función, 399-402
del mejor ajuste, 259 ciclo, 398, 409
ecuación de la, forma desplazado, gráfica de, 402-403
fórmula para el ángulo doble, 502
pendiente-intersección, 185 fórmula para el ángulo medio, 420
forma punto-pendiente, 184-185 función, reducción a una, 463-464
horizontal, 185, 267 gráfica de la función, 350, 397-407
numérica real, 58 hiperbólico, 350
paralelas, 187 inverso, 425
pendiente de la, 183-184 ley del, 453, 460
perpendiculares, 187
que pasan por el origen, 527 casos ambiguos de la, 455-456
recorrido de la, 183 periodo de la función, 400
verticales, 185 propiedades de la función, 399
rectángulo auxiliar de una hipérbola, 497 series, 661-667
reducción a una función seno, 463-464 aritméticas, 662
reflexión, de gráficas, 213, 246 convergentes, 667
regla(s) divergentes, 667
de cálculo, 317 geométricas, 664
de Cramer, 643-644
de la adición de la probabilidad, 698
de los signos, 54
para resolver desigualdades polinomiales, 155-157

ÍND-10 ÍNDICE ANALÍTICO

finitas, 664 divergentes, 667, 668, 669 ÍNDICE ANALÍTICO
infinita, 671 finitas, 654
suma de una, 672 geométrica, 657
infinitas, 670 infinita, 654
suma de la, 670 límite de la, 668
sigma, notación, 259 rango de una, 654
signo(s) razón común de la, 657
de un producto, propiedades del, 155 término de la, 654
algebraicos, 377 suma, 99
de las funciones circulares, 392 de errores cuadráticos, 259
de un cociente, propiedades de, 157 de dos cubos, 95, 96
silogismo de los cuadrados, 259
disyuntivo, 18 de funciones, 238
hipotético, 18 de matrices, 602
Silvestre, James Joseph, 597 de números complejos, 140
símbolo(s) notación de, 259
de infinito, 146, 147 sustitución
de desigualdad, 59 hacia atrás, 563-565, 629
simetría, 179, 208, 210, 270 método de, 561-562, 569
pruebas de, 180 sustituciones trigonométricas, 414
simplificación, 18, 73-74, 81, 99, 100, 103 sustracción con denominadores comunes, 54
sistema(s)
consistente de ecuaciones, 560 T
de coordenadas rectangulares, 167, 168, 390, 467
de desigualdades, 580-586 tabla(s)
solución de, 581-582 de verdad, 5, 9-10
de ecuaciones, 258 de cuerdas, 355
de ecuaciones lineales, 560 de valores de las funciones trigonométricas, 355
solución de un, 560
de ecuaciones no lineales, 569-575 tangente, 204, 376,
de los números reales, 51 definición de, 407
propiedades básicas de los, 51 fórmula de diferencia, 418
homogéneos, 566 fórmula de suma, 418
inconsistente, 560 fórmula para el ángulo doble, 542
sobredeterminado, 258 fórmula para el ángulo medio, 420
solución(es) gráfica de la función, 350, 397-407
conjugadas, 143
de desigualdades lineales, 144 tasa
con dos variables, 580-586 de crecimiento, 338
de mínimos cuadrados, 639 de decaimiento, 339
de sistema de ecuaciones, 112
exponenciales y logarítmicas, 331-338 tautología, 12, 13
lineales, 560 técnicas de conteo 38-39, 41, 42
de triángulos rectángulos, 444-446 temperatura ambiente, 341
de una matriz, 637 teorema
extraña, 114, 333-334, 436
factible, 586 de DeMoivre, 473
de pH, 344 de desarrollo, 614, 617
Sorense, Soren, 344 de la factorización completa, 283
subconjunto, 25, 48 de las raíces complejas, 287
sucesión(es), 654-660 de las raíces racionales, 291
aritmética, 655 de Pitágoras, 49, 133, 170, 365, 368, 371, 372, 457
convergentes, 667, 669 del binomio, 680-686
de sumas parciales, 670 del factor, 282
definidas, 655 del residuo, 277, 282
del triángulo isósceles, 3
del valor intermedio, 296-297
fundamental del álgebra, 283
teoría
de conjuntos, 21, 23, 30, 47, 48

ÍNDICE ANALÍTICO ÍND -11

ÍNDICE ANALÍTICO de la probabilidad, 21, 653 futuro, 342-343
de los determinantes, 597 máximo, 587
de los grupos, 21 mínimo, 587
heliocéntrica, 355 variable(s),4, 83
término dependiente, 200
constante, 84 independiente, 200
n-ésimo, 654 resolución de, 115
teoría de conjuntos, 23 variación, 190
tiempo, 465 combinada, 190-191
topología, 21 conjunta, 190-191
transformación(es), 208, 410. Véase también gráfica(s) directa, 190, 191
combinación de, 214-215 inversa, 190, 191-192
no rígidas, 214, 238 vector(es)
rígidas, 211, 238 ángulo de dirección del, 543
triángulo(s) aritmética de, 543
de Pascal, 681 cero, 543
rectángulos, 360, 361, 460 columna, 599, 608
de base estándar, 546
aplicaciones de, 446-453 de desplazamiento, 542
solución de, 444-446
trigonometría del, 365-369 punto inicial del, 542
tricotomía, ley de, 59 punto terminal del, 542
trigonometría, 2, 355, 443 de posición, 542
trinomio, 84 componentes del, 542
tripleta ordenada, 560 en el plano, 542-549
fila, 599, 608
U forma trigonométrica de un, 547
horizontales, 546
unidad imaginaria, 138 normalización del, 546
unión de conjuntos, 31-32, 33, 48, 152 operaciones con, 544
universal (o universo), conjunto, 19, 25. Véase también propiedades de las, 544
ortogonales, 552
conjunto(s) unitarios, 545
uno a uno (biunívoca), función, 243 verticales de longitud, 546
Verhulst, P. F., 339
inversa de la, 243-243, 245 vértice, 219, 356, 482, 587
de la parábola, 484
V de un ángulo, 356
de una elipse, 490
vacío, conjunto, 24-25, 48. Véase también conjunto(s) de una hipérbola, 490
valor(es) vida media, 340
Viète, Françoise, 2, 47
absoluto, 59-60, 467
propiedades del, 60 X

absoluto, función, 231- 232 x cubum (cubo), 2, 47
de coseno, 371, 372, 373 x quadratum (cuadrado), 2, 47
de la expresión, 83
de las funciones trigonométricas, 390
de seno, 371, 372, 373
de tangente, 373
de verdad, 2, 10

ÍND-12 ÍNDICE ANALÍTICO

Créditos

Índice de contenido
pág v (arriba) © Doug Pahael/ShutterStock, Inc.; pág. vi (arriba), cortesía de Joe Ross; pág. vi (en

medio) © Dainis Derics/ShutterStock, Inc.; pág. vi (abajo) © olly/ShutterStock, Inc.; pág. vii (pri-
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Capítulo 2
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Capítulo 3
pág. 111 cortesía de Joe Ross; pág. 124 © lightpoet/ShutterStock, Inc.; pág. 133 cortesía de la Biblioteca

Nacional de Medicina de E.U.; pág. 134 © Tatiana Belova/ShutterStock, Inc.; pág. 158 © michae-
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Capítulo 4
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(arriba) © S. Borisov/ShutterStock, Inc.; pág. 194 (abajo) © Michael Onisiforou/ShutterStock,
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Capítulo 5
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Joanna Lee, pág. 227 © John Lund/age footstock; pág. 238 cortesía de la marina estadounidense.

Capítulo 6
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división de impresión y fotografía [número de reproducción crph.3c00653]; pág. 310 © Pindyurin
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Capítulo 7
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(arriba) cortesía de Janice Haney Carr/CDC; pág. 339 (arriba y abajo) © Biblioteca Nacional de
Medicina de E.U.; pág. 340 © Jones & Bartlett Learning, fotografía de Kimberly Potvin; pág. 341
(arriba) Jules le Baron, cortesía de AIP Emilio Segre Visual Archives; pág. 341 (izquierda) cortesía
de la autoridad de antigüedades de Israel; pág. 342 © Johanna Goodyear/ShutterStock, Inc.; pág.
343 cortesía de los Archivos del Instituto de Tecnología de California/foto de James McClanahan;
pág. 344 cortesía de The Carlsberg Group; pág. 346 (izquierda) © Robert Harding Picture Library
Ltd./Alamy Images; pág. 346 (derecha, arriba) Targa/age fotostock; pág. 346 (abajo derecha) cor-

C-1

Créditos tesía del Museo de Arqueología del sur de Tirol (www.iceman.it); pág. 347 (arriba) © Ron Hilton/
ShuttereStock, Inc.; pág. 347 (abajo) © Thomas WeiSenfels/ShutterStock, Inc.; pág. 348 (izquierda
arriba) cortesía de USGS; pág. 348 © Edi Engeler, Keystone/AP Photos; pág. 349 © Tad Denson/
ShutterStock, Inc.; pág. 350 © Caleb969/Dreamstime.com

Capítulo 8
pág. 355 © Sergey Shandin/ShutterStock, Inc.; pág. 363 cortesía del Mariner 10, equipo de astrología

y USGS; pág. 364 © Monkey Business Images/ShutterStock, Inc.; pág. 383 © Ron Buskirk/Alamy
Images; pág. 385 © Doug James/ShutterStock, Inc.

Capítulo 9
pág. 389 © Gabi Moisa/ShutterStock Inc.; pág. 421 © Fernando Batista/ShutterStock, Inc.; pág. 432

cortesía del servicio del Parque Nacional de E.U.

Capítulo 10
pág. 443 © Mikhail Khusid/ShutterStock, Inc.; pág. 451 (arriba) © Paul Fries/ShutterStock, Inc.; pág.

452 (abajo) © Peter Elvidgel/ShutterStock, Inc.; pág. 452 © Mary Lane/ShutterStock, Inc.; pág. 460
© Roman Sigaev/ShutterStock, Inc.

Capítulo 11
págs. 481 y 482 cortesía de la NASA/JPL; pág. 482 (arriba) © Christos Georghiou/ShutterStock, Inc.;

pág. 485 (abajo) cortesía de NASA/JPL; pág. 486 (arriba) © dragon_fang/ShutterStock, Inc.; pág.
486 (en medio) © [email protected]/ShutterStock, Inc.; pág. 486 (abajo) © Corbis; pág. 493 © Brand
X Pictures/Alamy Images; pág. 514 © Corbis; pág. 515 cortesía de Robert Guy/Instituto Nacional
contra el Cáncer de E.U.; pág. 519 © David Page/Alamy Images

Capítulo 12
pág. 521 © Michael Monahan/ShutterStock, Inc.; pág. 528 de Wilson Bentley, The Snowflake Man,

resumen anual de la Monthly Weather Review, 1902. Foto cortesía de la colección del Servicio
Nacional del Clima de E.U./NOAA; pág. 533 © Dmitry Nikolaev/ShutterStock, Inc.; pág. 539
cortesía del Mariner 10, equipo de astrología y USGS; pág. 541 © Datacraft/age fotostock; pág.
548 © Elnur/ShutterStock, Inc.

Capítulo 13
pág. 559 © Skocko/ShutterStock, Inc.; pág. 579 © Corbis; pág. 591 (arriba) © Robert Kneschke/

ShutterStock, Inc.; pág. 592 (abajo) © Steve Bower/ShutterStock, Inc.

Capítulo 14
pág. 597 © Skcocko/ShutterStock, Inc.; pág. 608 © Africa Studio/ShutterStock, Inc., pág. 640 © Matty

Symons/ShutterStock, Inc.

Capítulo 15
pág. 653 © Andrea Danti/ShutterStock, Inc.; pág. 660 cortesía de Liam Quin; pág. 667 (derecha arriba)

© Melvin Longhurst/Alamy Images; pág. 667 (izquierda abajo) © Fesus Robert/ShutterStock, Inc.;
pág. 673 © Sofos Design/ShutterStock, Inc.; pág. 677 © Monkey Business Images/ShutterStock,
Inc.; pág. 689 © Sergielev/ShutterStock, Inc.; pág. 692 (arriba) © Juan Carlos Tinjaca/Shutter-
Stock, Inc.; pág. 692 (abajo) © Tony Rolls/Alamy Images; pág. 693 cortesía de Pressman Toy
Corporation; pág. 694 (arriba) © James Steidl/ShutterStock, Inc; pág. 694 (abajo) © Gjermund
Alsos/ShutterStock, Inc.; pág. 695 © Sebastian Kaulitzki/ShutterStock, Inc.; pág. 699 © xiver/
ShutterStock, Inc.; pág. 701 © Monkey Business Images/ShutterStock, Inc.

A menos que se indique otra cosa, Jones & Bartlett Learning tiene los derechos de autor de todas las
fotografías e ilustraciones.

C-2 Créditos