algebra-trigonometria-y-geometria-analitica-3ra-edicion-dennis-g-zill

Para la segunda condición, suponemos que (9) es verdadera para algún entero positivo
n 5 k:

1a 1 b2k 5 a k b ak 1 a k b ak21b 1 # # # 1 a k b ak2rbr 1 # # # 1 a kk b bk. (11)
0 1 r

A partir de esta suposición debemos demostrar, entonces, que (9) es verdadera para n 5 k 1 1.
Para ello, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por (a 1 b) y obtenemos:

(a 1 b)(a 1 b)k 5 (a 1 b) c k b ak 1 ak bak21b 1 # # # 1 a k b ak 2 rbr 1 # # # k bk d
a ab
01 rk

5 k b (ak11 1 akb) 1 k b ( akb 1 ak21b2) 1 # # # 1 akb (ak2r11br 1 ak2rbr11) 1 # # # 1 k (abk 1 bk11)
a a ab
01 r k

5 k b ak11 1 k 1 k b d akb 1 k 1 k b d ak21b2 1 # # # 1 ca k b 1 a k d ak2r11br 1 # # # 1 a k b bk11.
a ca b a ca b a b
0 01 12 r21 r k

Usando (10) para reescribir el coeficiente del (r 1 1)-ésimo término en (12) como

a k b 1 akb 5 ak 1 1b
r21 r r

y los hechos de que (a 1 b)(a 1 b)k 5 (a 1 b)k 1 1,

k k11 k k11
a b 5 1 5 a b, y akb 5 1 5 ak b,
00 1 1

la última línea en (12) se convierte en

1a 1 b 2 k11 5 ak 1 1 b ak11 1 ak 1 1 b akb 1 # # # 1 ak 1 1 b ak11 2 rbr 1 # # # 1 akk 1 1 b bk11.
0 1 r 1 1

Como se trata de (9) con n sustituido por k 1 1, la demostración está completa por el princi-
pio de inducción matemática.

Ejercicios15.5 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-39.

En los problemas 1 a 12, calcule la expresión dada. 6
1. 3! 8. a3b
2. 5!
2! 7
3. 9. a b
5!
6! 6
4.
3! 9
5. 3!4! 10. a b
6. 0!5!
5 9
7. a b
3 4
11. a b

1

4
12. ab
0

684 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

En los problemas 13 a 16, simplifique la ecuación dada. 15
n! 40. a2x 1 x b
41. (a 2 b 2 c)3
13. 42. (x 1 y 1 z)4

(n 2 1)! 43. Remítase al triángulo de Pascal y determine los coeficien-
(n 2 1)! tes en el desarrollo de (a 1 b)n para n 5 6 y n 5 7.

14. 44. Si f(x) 5 xn, donde n es un entero positivo, use el teorema
del binomio para simplificar el cociente de diferencias
(n 2 3)!
n!(n 1 1)! f(x 1 h) 2 f(x)
.
15.
h
(n 1 2)!(n 1 3)!
(2n 1 1)!

16.

(2n)!

En los problemas 17 a 26, use la notacion factorial para rees- En los problemas 45 a 54, halle el término indicado en el
cribir la expresión dada. desarrollo de la expresión dada.
17. 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 45. Sexto término de (a 1 b)6
18. 7 ? 6 ? 4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 46. Segundo término de (x 2 y)5
19. 100 ? 99 ? 98 ??? 3 ? 2 ? 1 47. Cuarto término de (x2 2 y2)6
20. t(t 2 1)(t 2 2) ??? 3 ? 2 ? 1 48. Tercer término de (x 2 5)5
21. (4 ? 3 ? 2 ? 1)(5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1) 49. Quinto término de (4 1 x)7
22. (6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1)/(3 ? 2 ? 1) 50. Séptimo término de (a 2 b)7
23. 4 ? 3 51. Décimo término de (x 1 y)14
24. 10 ? 9 ? 8 52. Quinto término de (t 1 1)4
25. n(n 2 1), n $ 2 53. Octavo término de (2 2 y)9
26. n(n 2 1)(n 2 2) ??? (n 2 r 1 1), n $ r 54. Noveno término de (3 2 z)10
55. Obtenga el coeficiente del término constante (x 1 1/x)10.
En los problemas 27 a 32, conteste verdadero o falso.
56. Obtenga los primeros cinco términos del desarrollo de
27. 5! 5 5 ? 4! _________ (x2 2 y)11.

28. 3! 1 3! 5 6! _________ 57. Utilice los primeros cuatro términos del desarrollo de
(1 2 0.01)5 para obtener una aproximación de (0.99)5.
8! Compare con la respuesta obtenida con una calculadora.
29. 5 2! _________
58. Utilice los primeros cuatro términos del desarrollo de
4! (1 1 0.01)10 para obtener una aproximación de (1.01)10.
Compare con la respuesta obtenida con una calculadora.
30. 8! 5 2 _________
4

31. n!(n 1 1) 5 (n 1 1)! _________

32. n! 5 (n 2 1)! _________ Para la discusión
n

En los problemas 33 a 42, use el teorema del binomio para 59. Sin sumar los términos, determine el valor de 4 4 4k.
desarrollar la expresión dada. akb
33. (x2 2 5y4)2 a
34. (x21 1 y21)3
35. (x2 2 y2)3 k50
36. (x22 1 1)4
37. (x1/2 1 y1/2)4 55 x52k
38. (3 2 y2)4 60. Si ak b 5 0, ¿cuál es el valor de x?
39. (x2 1 y2)5 a

k50

61. Use el teorema del binomio para demostrar que

n (21 )k n 5 0.
akb
a

k50

62. Use el teorema del binomio para demostrar que

n 1 n 1 # # # 1 n 5 2n.
ab ab ab
01 n

15.5 Teorema del binomio 685

63. Demuestre que 64. Demuestre que
n n n11
n n2r n
ar 2 1b 1 ar b 5 a r b, 0 , r # n. ar b 5 ar b, 0 # r , n.
1 1 r 1 1

15.6 Principios de conteo

Introducción Una gran variedad de problemas prácticos requiere contar el número de
maneras en las que puede ocurrir algo. Por ejemplo, el prefijo del teléfono de cierta univer-
sidad es 642. Si al prefijo lo siguen cuatro dígitos, ¿cuántos números telefónicos son posibles
antes de que se necesite un segundo prefijo? Seremos capaces de resolver este y otros (ejem-
plo 2) problemas usando las técnicas de conteo que se presentan en esta sección.

Diagramas de árbol Comencemos por considerar un problema más abstracto. ¿Cuántos
arreglos se pueden hacer con tres letras a, b y c, usando dos letras al mismo tiempo? Una
manera de resolver este problema es enumerar todos los posibles arreglos. Como se muestra
en la FIGURA 15.6.1 se puede usar un diagrama de árbol para ilustrar todas las posibilidades.
Desde el punto llamado “comienzo”, segmentos de recta salen hacia cada una de las tres
posibles elecciones para la primera letra. Desde cada uno de éstos, un segmento de recta sale
hacia cada una de las posibles opciones para una segunda letra. Cada posible combinación
corresponde a un camino o rama del árbol, que empieza en el punto “comienzo” y va a la
derecha a través del árbol. Vemos que hay seis arreglos:

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Comienzo Primera Segunda Seis
letra letra arreglos
ab FIGURA 15.6.1 Diagrama de árbol
b para el número de arreglos de a, b,
a ac c, tomando dos letras a la vez
ba
c
bc
a ca
b
cb
c

a
c

b

Otra forma de resolver este problema es reconocer que cada arreglo consta de una selec-
ción de letras para llenar los dos espacios en blanco indicados

.

Primera Segunda
letra letra

Cualquiera de las tres letras a, b o c puede escogerse para la primera posición. Una vez que
se haya hecho esta elección, cualquiera de las dos letras restantes puede elegirse para la
segunda posición. Puesto que cada una de las tres letras de la primera posición se puede
asociar con cualquiera de las dos restantes, el número total de arreglos está dado por el pro-
ducto

3 # 2 5 6.

Primera Segunda
letra letra

Este ejemplo sencillo ilustra el principio fundamental de conteo.

686 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

Teorema 15.6.1 Principio fundamental de conteo 687

Si un suceso puede ocurrir de m maneras y, despues de que ha ocurrido, un segundo suceso
puede presentarse de n maneras, entonces el número total de las maneras en las que ambos
sucesos pueden suceder es el producto mn.

Este principio fundamental de conteo puede extenderse a tres o más sucesos de manera
obvia:

Simplemente multiplique el número de maneras en que cada suceso puede ocurrir.

■ EJEMPLO 1 Número de atuendos

Un estudiante universitario tiene cinco camisas, tres pantalones y dos pares de zapatos.
¿Cuántos conjuntos de una camisa, un pantalón y un par de zapatos puede usar?
Solución Tres selecciones o sucesos pueden ocurrir, con cinco opciones para el primero
(elegir una camisa), tres para el segundo (escoger un pantalón) y dos para el tercero (selec-
cionar un par de zapatos). Según el principio fundamental de conteo, el número de con-
juntos es el producto 5 ? 3 ? 2 5 30.

Ahora regresamos al problema planteado en la introducción.

■ EJEMPLO 2 Números telefónicos

El prefijo telefónico de cierta universidad es 642. Si al prefijo le siguen cuatro dígitos,
¿cuántos números telefónicos son posibles antes de que se necesite un segundo prefijo?
Solución Pueden ocurrir cuatro sucesos: seleccionar el primer dígito después del prefijo,
elegir el segundo dígito después del prefijo y así sucesivamente. Puesto que los dígitos
repetidos se permiten en los números telefónicos, cualquiera de los 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 o 9 pueden escogerse para cada posición. Entonces hay 10 ? 10 ? 10 ? 10 5 10 000
números telefónicos posibles con el prefijo 642.

■ EJEMPLO 3 Arreglos de letras

¿Cuántas formas hay de ordenar las letras de la palabra CARTÓN?
Solución Puesto que CARTÓN tiene seis letras diferentes, hay seis sucesos: escoger la
primera letra, escoger la segunda, etcétera. Se puede elegir cualquiera de las seis letras para
la primera posición; entonces, cualquiera de las cinco letras restantes se puede escoger
para la segunda posición; luego, cualquiera de las cuatro letras restantes se puede es-
coger para la tercera posición y así sucesivamente. El número total de ordenaciones es
6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 720.

Permutaciones Una permutación es un arreglo que se hace usando algunos o todos los
elementos de un conjunto, sin repetirlos. Esto significa que ningún elemento del conjunto
aparece más de una vez en el arreglo. Por ejemplo, 312 es una permutación de los dígitos del
conjunto {1, 2, 3}, pero 112 no lo es. En el ejemplo 3, cada uno de los nuevos arreglos de las
letras de la palabra CARTÓN (por ejemplo, CONTRA) es una permutación. De forma más
general, tenemos la definición siguiente.

Definición 15.6.1 Permutación

Un arreglo ordenado de r elementos seleccionados de un conjunto de n distintos elementos
se llama permutación de n elementos tomados r a la vez (con n $ r).

15.6 Principios de conteo

Notación Usaremos el símbolo P(n, r) para representar el número de permutaciones de⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎬⎜⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎠⎜
⎞
n objetos diferentes, tomando r a la vez (otras notaciones usadas comúnmente son nPr, Prn

y Pn,r). Usando la notación P(n, r) escribimos el número de permutaciones de cinco objetos,
tomados tres a la vez como P(5, 3).

Es posible hallar una fórmula explícita para P(n, r), es decir, el número de permutacio-
nes de n objetos tomando r a la vez para 0 # r # n. Para r $ 1, podemos pensar en el proceso
de formar una permutación de n objetos tomando a r cada vez como r sucesos: escogemos el
primer objeto, escogemos el segundo objeto, etcétera. Cuando hacemos la primera elección,
hay n objetos disponibles; cuando hacemos la segunda elección hay n 2 1 objetos; para la
tercera elección, hay n 2 2 objetos, y así sucesivamente. Cuando elegimos el objeto r-ésimo
hay n 2 (r 2 1) objetos para elegir. Así, del teorema 15.6.1

r factores

P(n, r) 5 n(n 2 1)(n 2 2) c(n 2 (r 2 1))
o P(n, r) 5 n(n 2 1)(n 2 2) c(n 2 r 1 1). (1)

Una expresión alterna para P(n, r), que supone notación factorial, se puede hallar multiplicando
el miembro derecho de (1) por

(n 2 r)!
5 1.

(n 2 r)!

El resultado es

(n r)! ⎜
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎠⎜
⎬
n(n 2 1)(n 2 2) c(n 2 r 1 1)(n 2 r)(n 2 r 2 1) c2 # 1
P(n, r) 5 ,
(n 2 r) !

o P(n, r) 5 n! . (2)

(n 2 r)!

Cuando r 5 n, la fórmula (2) se convierte en

n!
P(n, n) 5 5 n!,

0!

puesto que 0! se define como 1. Este resultado es el mismo que el obtenido usando el prin-
cipio enunciado en el teorema 13.6.1

P(n, n) 5 n(n 2 1)(n 2 2) … 2 ? 1 5 n!, (3)

puesto que cualquiera de los n objetos puede escogerse primero, cualquiera del resto de los
objetos puede elegirse segundo, etcétera. En el ejemplo 3, el número de arreglos de seis letras
de la palabra CARTÓN es el número de permutaciones de las seis letras usando las seis a la
vez, es decir, P(6, 6) 5 6! 5 720.

Si r 5 0, definimos P(n, 0) 5 1 , lo cual es consistente con (2).

■ EJEMPLO 4 Aplicación de (2) y (3)

Calcule a) P(5, 3); b) P(5, l), y c) P(5, 5).

Solución Usando la fórmula (2) encontramos que

2!
⎞
⎠⎬
5! 5 # 4 # 3 # 2 # 1
a) P(5, 3) 5 5! 55 5 60,

(5 2 3)! 2! 2!

4!
⎜ ⎬
⎞ ⎠⎜
5! 5! 5 # 4 # 3 # 2 # 1
b) P(5, 1) 5 55 5 5.
(5 2 1)! 4! 4!

688 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

c) Por la fórmula (3) obtenemos
P(5, 5) 5 5! 5 5 .4 . 3 . 2 . 1 5 120.

■ EJEMPLO 5 Otorgamiento de medallas

En una pista se encuentran seis atletas y entran en el carril de los 100 metros. ¿De cuántas
maneras se pueden organizar para ganar medallas de oro, de plata y de bronce?

Solución Deseamos contar el número de maneras de organizar a tres de los seis atletas
en las posiciones ganadoras. La solución está dada por el número de permutaciones de
seis elementos (los atletas) tomando tres a la vez:

P(6, 3) 5 6! 6!
5 5 120.
(6 2 3)! 3!

Este problema también se puede resolver usando el principio fundamental de conteo. Puesto
que se deben hacer tres elecciones, con seis atletas disponibles para la medalla de oro,
cinco para la de plata y cuatro para la de bronce, obtenemos 6 ? 5 ? 4 5 120.

■ EJEMPLO 6 Arreglos de libros Diez libros en un estante

¿Cuántos arreglos son posibles para colocar 10 libros en un estante?

Solución Deseamos hallar el número de permutaciones de 10 objetos que se toman 10 a
la vez, o P(10, 10) 5 10! 5 3 628 800.

Combinaciones En el análisis anterior estábamos interesados en el número de maneras
de arreglar o de escoger r elementos de un conjunto de n elementos, donde se consideraba el
orden en el que se debían arreglar o escoger. Sin embargo, en ciertas aplicaciones el orden
de los elementos no es importante. Por ejemplo, si se debe escoger un comité de dos entre
cuatro estudiantes: Angie, Brandon, Cecilia y David, el comité formado al escoger a Angie
y a Brandon es el mismo que el formado al elegir a Brandon y a Angie. Una selección de
objetos en los que el orden no establece ninguna diferencia se llama combinación.

Definición 15.6.2 Combinación

Un subconjunto de r elementos de un conjunto de n elementos se llama combinación de n
elementos tomando r a la vez (con n $ r).

Notación Usamos el símbolo C(n, r) para representar el número de combinaciones de n
objetos distintos tomando r a la vez. Usando (2) es posible derivar una fórmula para C(n, r).
Al comienzo de esta sección vimos que hay seis arreglos (permutaciones) de las tres letras
a, b y c tomando dos a la vez:

misma misma
combinación combinación

T TT T (4)

ab ac ba bc ca cb.

cc

misma
combinación

En (4) vemos que si descartamos el orden en el que las letras están enumeradas tenemos tres
combinaciones: ab ac bc. Así, C(3, 2) 5 3. Vemos que cada una de estas combinaciones se
puede arreglar de 2! modos, para dar la lista de permutaciones (4). Por el principio funda-
mental de conteo,

P(3, 2) 5 6 5 2!C(3, 2).

15.6 Principios de conteo 689

En general, para 0 Ͻ r # n, cada una de las combinaciones C(n, r) se puede arreglar
nuevamente en r! maneras diferentes, así que

P(n, r) 5 r! C(n, r),

n!

C(n, r) 5 P(n, r) (n 2 r)!
o 5 .
r! r!

Así, C(n, r) 5 n! .

(n 2 r)!r!

Para r 5 0, definimos C(n, 0) 5 1, lo cual es consistente con la fórmula (5).

Nótese que C(n, r) es idéntica al coeficiente binomial n del desarrollo de (a 1 b)n,
ab
r

donde n es un entero no negativo [véanse (7) y (8) en la sección 15.5].

■ EJEMPLO 7 Aplicación de la fórmula (5)

Calcule a) C(5, 3), b) C(5, l) y c) C(5, 5).

Solución Usando la fórmula (5), tenemos lo siguiente.

3?2?1
{
a) C(5, 3) 5 5! 5! 5 # 4 # 3!{
55 5 10,
(5 2 3)!3! 2! 3! 2! 3!

4?3?2?1

b) C(5, 1) 5 5! 5! 5 # 4!
55 5 5,
(5 2 1)!1! 4! 1! 4! 1!

c) C(5, 5) 5 5! 5! 1
5 5 5 1.
(5 2 5)!5! 0! 5! 0!
{

1

■ EJEMPLO 8 Número de rondas de cartas

¿Cuántas rondas diferentes de cinco cartas pueden distribuirse de una baraja de 52 car-
tas?

Solución Puesto que una ronda es la misma, no importa el orden de las cartas, usamos
combinaciones para resolver este problema. La solución es

C(52, 5) 5 52! 52 # 51 # 50 # 49 # 48 # 47!
5
47! 5! 47! 5!

52 # 51 # 50 # 49 # 48

5 5 2 598 960.
5!

Nótese que cancelamos el mayor de los dos factores 47! y 5! para simplificar el cálculo
de C(52, 5).

■ EJEMPLO 9 Organización de un club

Un club de cartas tiene ocho miembros.
a) ¿De cuántas maneras se puede escoger a tres miembros para que sean presidente,
secretario y tesorero?
b) ¿De cuántas maneras se puede escoger un comité de tres miembros?

690 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

Solución Para elegir los funcionarios sí importa el orden, en tanto que para escoger a un

comité el orden de la selección no afecta al comité resultante. Así, en a) contamos permu-

taciones y en b) contamos combinaciones. Obtenemos

a) 8!
P(8, 3) 5 5 336,
5!

b) C(8, 3) 5 8! 5 56.
5!3!

Al decidir si usamos la fórmula para P(n, r) o C(n, r), consideramos lo siguiente. Advertencia

• Se trabaja con permutaciones si se están considerando arreglos en los que los diferentes
órdenes de los mismos objetos se deben contar.

• Se trabaja con combinaciones si se están considerando maneras de escoger objetos en
los que el orden de los objetos escogidos no establece ninguna diferencia.

■ EJEMPLO 10 Elección de reporteros

La junta directiva de un periódico universitario tiene seis reporteros del penúltimo año y
ocho del último. ¿De cuántas maneras se pueden escoger a dos reporteros de penúltimo
año y a tres del último año para una tarea especial?

Solución Pueden ocurrir dos sucesos: la selección de dos reporteros de penúltimo año y
la selección de tres de último año. Puesto que el orden en el que se escoge a los dos repor-
teros de penúltimo año no establece ninguna diferencia, contamos combinaciones. Por
tanto, el número de maneras de seleccionar a los dos reporteros de penúltimo año es

6!
C(6, 2) 5 5 15.

4!2!

Asimismo, al seleccionar a los tres reporteros del último año el orden no importa, por lo
que de nuevo contamos las combinaciones:

8!
C(8, 3) 5 5 56.

5!3!

Así, escogemos a los reporteros de penúltimo año de 15 maneras, y por cada una de estas
selecciones, hay 56 formas de elegir a los reporteros del último año. Aplicando el princi-
pio fundamental de conteo obtenemos

C(6, 2) ? C(8, 3) 5 15 ? 56 5 840

maneras de hacer las elecciones para la tarea especial.

■ EJEMPLO 11 Selección para una vitrina

Un almacén de quesos tiene 10 variedades de queso nacional y ocho variedades de queso
importado. ¿De cuántas maneras se puede colocar en una vitrina una selección de seis
quesos, que tenga dos variedades de queso nacional y cuatro de queso importado?

Solución Las variedades nacionales se pueden escoger de C(10, 2) maneras y las varie-
dades importadas de C(8, 4) maneras. Así, por el principio fundamental de conteo, los seis
quesos se pueden seleccionar de C(10, 2) ? C(8, 4) formas. Hasta este momento de la
solución, el orden no ha sido importante para hacer la selección de los quesos. Ahora
observamos que cada selección de seis quesos se puede colocar o arreglar en la vitrina de
P(6, 6) maneras. Así, el número total de maneras en que se pueden exhibir los quesos es

C(10, 2) # C(8, 4) # P(6, 6) 5 10! # 8! # 6!

8! 2! 4! 4! (6 2 6)!
5 2 268 000.

15.6 Principios de conteo 691

Ejercicios15.6 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-39.

Use un diagrama de árbol para resolver los problemas 1 a 4. 21. C(13, 11)
22. C(8, 2)
1. Enumere todos los arreglos posibles de las letras a, b 23. C(2, 0)
y c. 24. C(7, 4)

2. Si una moneda se arroja cuatro veces, enumere todas las Aplicaciones diversas
posibles sucesiones de caras (C) y sellos (S).
En los problemas 25 a 28, use permutaciones.
3. Si se lanza un dado rojo y otro negro, enumere todos los 25. Retrato familiar ¿De cuántas maneras se puede formar
resultados posibles.
una familia de cuatro en una fila para que le tomen un
4. Si se lanza al aire una moneda y luego se lanza un dado, retrato familiar?
enumere todos los resultados posibles.
Una familia de cuatro personas
Use el principio fundamental de conteo para resolver los pro- 26. Trabajo voluntario Como parte de una campaña para
blemas 5 a 8.
recaudar fondos, se proporcionan a un voluntario cinco
5. Número de comidas Una cafetería ofrece ocho ensaladas, nombres para que se comunique con esas personas. ¿En
seis entradas, cuatro platos fuertes y tres postres. ¿Cuántas cuántos órdenes puede realizar la tarea el voluntario?
comidas pueden formarse eligiendo una porción de cada 27. Scrabble Un jugador de Scrabble tiene las siete letras
categoría? siguientes: A, T, E, L, M, Q, F.
a) ¿Cuántas “palabras” diferentes de siete letras puede
6. Número de sistemas ¿Cuántos sistemas estereofónicos
formados por altavoces, receptor y reproductor de CD considerar?
pueden comprarse si una tienda vende seis modelos de b) ¿Cuántas “palabras” diferentes de cinco letras?
altavoces, cuatro de receptores y dos de reproductores
de discos compactos? El juego Scrabble®
28. Política En una clase de 24 se celebran elecciones para
7. Número de prefijos ¿Cuántos prefijos de tres dígitos de
teléfono son posibles si ni 0 ni 1 pueden ocupar el primer presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. ¿De cuán-
lugar? tas maneras se pueden ocupar los cargos?

8. Número de placas de automóvil Si una placa tiene tres
letras seguidas de tres números, ¿cuántas placas son posi-
bles si la primera letra no puede ser O ni I?

En los problemas 9 a 16, calcule P(n, r).

9. P(6, 3)

10. P(6, 4)

11. P(6, 1)

12. P(4, 0)

13. P(100, 2)

14. P(4, 4)

15. P(8, 6)

16. P(7, 6)

En los problemas 17 a 24 evalúe C(n, r).

17. C(4, 2)

18. C(4, 1)

19. C(50, 2)

20. C(2, 2)

692 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

En los problemas 29 a 32, use combinaciones. color cualquiera de seis posible. Indique cuántos códigos
son posibles si
29. ¡Buena suerte! Un estudiante debe responder a 10 pre- a) No se permiten repeticiones.
guntas cualesquiera de un examen de 12 preguntas. ¿De b) Se permiten repeticiones.
cuántas maneras puede el estudiante seleccionar las pre- c) Se permiten repeticiones y ranuras vacías.
guntas?
40. Super Mastermind Algunos anuncios comerciales del
30. Laboratorio de química Para una clase de laboratorio de juego Super Mastermind (una versión más difícil del juego
química, un estudiante debe identificar correctamente tres Mastermind descrito en el problema 39) aseguran que son
muestras “desconocidas”. ¿De cuántas maneras puede ele- posibles hasta 59 000 códigos. Si Super Mastermind
gir las tres muestras entre 10 sustancias químicas? requiere llenar cinco ranuras con un color cualquiera de
ocho y si se permiten espacios vacíos y repeticiones, ¿es
31. Voluntarios ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse correcto lo que dicen los anuncios?
cinco sujetos de un grupo de 10 voluntarios para un expe-
rimento psicológico?

32. Popurrí ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse cua-
tro hierbas de ocho disponibles para hacer un popurrí?

En los problemas 33 a 44, use una o más de las técnicas estu- El juego Mastermind
diadas en esta sección para resolver el problema de conteo
dado. 41. Juego de letras Con cinco consonantes y tres vocales,
¿cuántas “palabras” de cinco letras pueden formarse que
33. Concurso de ortografía Si 10 estudiantes participan en tengan tres consonantes y dos vocales?
un concurso de ortografía, ¿de cuántas maneras pueden
otorgarse el primero y segundo premios? 42. Luces defectuosas Una caja contiene 24 luces para árbol
de navidad, cuatro de las cuales salen defectuosas. Indique
34. Farándula Una compañía de teatro tiene un repertorio de cuántas maneras se pueden elegir cuatro focos para
que consta de ocho obras dramáticas, seis comedias y cua- que
tro números musicales. ¿De cuántas maneras puede selec- a) Los cuatro en su totalidad salgan defectuosos.
cionarse un programa que conste de una obra dramática b) Los cuatro en su totalidad salgan buenos.
seguida por una comedia o por un número musical? c) Dos salgan buenos y dos defectuosos.
d) Tres salgan buenos y uno defectuoso.
35. ¿Cuáles quieres? Un pediatra permite que un niño muy
bien portado escoja dos juguetes cualesquiera de 5 jugue- 43. Más juegos de letras Indique cuántas “palabras” de tres
tes de plástico pequeños para llevar a casa. ¿Cuántas selec- letras pueden formarse con cuatro consonantes y dos voca-
ciones de juguetes son posibles? les si
a) La letra de en medio ha de ser una vocal.
36. Clasificaciones de un torneo Si ocho equipos participan b) La primera letra no puede ser una vocal. Suponga que
en un torneo de fútbol, ¿de cuántas maneras diferentes no se permiten letras repetidas.
pueden decidirse el primero, segundo y tercer lugares,
suponiendo que no se permiten empates? 44. Escaparate de una tienda Un almacén de vinos tiene
12 vinos de California diferentes y ocho vinos franceses
37. Otro Jackson Pollock Si ocho colores están disponibles distintos. Indique de cuántas maneras un grupo de seis
para hacer una pintura abstracta con salpicaduras, ¿cuántas vinos consistente en cuatro vinos californianos y dos fran-
combinaciones de colores son posibles si sólo se eligen ceses
tres colores? a) Se puede seleccionar para exhibición en el escapa-
rate.
38. Distribución de asientos Tres parejas reservaron asien- b) Se puede colocar en fila en una repisa del escapa-
tos en una fila de un teatro. Indique de cuántas maneras rate.
pueden sentarse si
a) No hay restricciones.
b) Cada pareja desea sentarse junta.
c) Las tres mujeres y los tres hombres desean sentarse en
dos grupos.

39. Mastermind En un popular juego de mesa llamado
Mastermind que se inventó en Inglaterra, un jugador crea
un “código” secreto cuando llena cuatro ranuras con un

15.6 Principios de conteo 693

15.7 Introducción a la probabilidad

Introducción Como mencionamos en el capítulo introductorio, el desarrollo de la teoría
matemática de la probabilidad fue motivado inicialmente por preguntas que se plantearon
en el siglo xvii acerca de los juegos de azar. Hoy, las aplicaciones de la probabilidad se
encuentran en medicina, deportes, leyes, negocios y en muchas otras áreas. En esta sección
presentamos solamente una breve introducción a este tema fascinante.

Terminología Consideremos un experimento que tiene un número finito de posibles
resultados o consecuencias. El conjunto S de todos los posibles resultados de un experimento
en particular se llama espacio muestral del experimento. Para los efectos de este curso,
supondremos que cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Así, si el experimento
consiste en lanzar al aire una moneda, hay dos resultados igualmente posibles: que caiga cara
o que caiga sello. Si representamos el resultado de obtener cara o sello con H o T, respecti-
vamente, entonces el espacio muestral puede escribirse en notación de conjuntos como

S 5 {H, T} (1)

Hay dos resultados de lanzar Todo subconjunto E de un espacio muestral S se llama evento. En general, un evento E se
al aire una moneda compone de uno o más resultados de un experimento. Por ejemplo,

Un dado que muestra 4 es uno E 5 {H} (2)
de seis posibles resultados
es el evento de obtener una cara cuando se lanza la moneda.

■ EJEMPLO 1 Espacio muestral y dos eventos

En un solo lanzamiento de un dado justo existen iguales probabilidades de obtener un 1,
2, 3, 4, 5 o 6. Por tanto, el espacio muestral del experimento de lanzar un dado es el con-
junto

S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. (3)

a) El evento E1 de obtener un 4 en un lanzamiento del dado es el subconjunto E1 5 {4}
de S.

b) El evento E2, consistente en obtener un número impar en un lanzamiento del dado, es
el subconjunto E2 5 {1, 3, 5} de S.

Usaremos la notación n(S) para simbolizar el número de resultados en un espacio mues-

tral S y n(E) para denotar el número de resultados asociados con el evento E. Por tanto, en el

ejemplo 1, tenemos que n(S) 5 6; en los incisos a) y b) del ejemplo, tenemos que n(E1) 5 1
y n(E2) 5 3, respectivamente.

La definición de la probabilidad P(E) de un evento E se expresa en términos de n(S) y

n(E).

Definición 15.7.1 Probabilidad de un evento

Sea S el espacio muestral de un experimento y E un evento. Si cada resultado del experi-
mento es igualmente probable, entonces la probabilidad del evento E está dada por

n(E) (4)
P(E) 5 ,

n(S)

donde n(E) y n(S) denotan el número de resultados de E y S, respectivamente.

694 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

■ EJEMPLO 2 Probabilidad de lanzar una cara

Halle la probabilidad de obtener una cara si lanza una moneda al aire.

Solución De (1) y (2), E 5 {H}, S 5 {H, T} y, por tanto, n(E) 5 1 y n(S) 5 2. Por (4)
de la definición 15.7.1, la probabilidad de obtener una cara es

P(E) 5 n(E) 1
5.
n(S) 2

■ EJEMPLO 3 Tres probabilidades

En un solo lanzamiento de un dado, obtenga la probabilidad
a) de obtener un 4, b) de obtener un número impar, c) de obtener un número que no
sea un 4.

Solución Los símbolos E1, E2 y E3 denotan, respectivamente, los eventos de los incisos
a), b) y c) de este ejemplo. Además, en cada inciso tenemos S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a) Del inciso a) del ejemplo 1, E1 5 {4} y, por tanto, n(E1) 5 1 y n(S) 5 6. Por (4), la
probabilidad de obtener un 4 al lanzar un dado es entonces

P(E1) 5 n(E1) 5 1
n(S) .

6

b) Del inciso b) del ejemplo 1, E2 5 {1, 3, 5} y, por tanto, n(E2) 5 3 y n(S) 5 6. De
nuevo, por (4), la probabilidad de obtener un número impar al lanzar un dado es

P(E2) 5 n(E2) 5 3 5 1
n(S) 6 .

2

c) El evento de obtener un número que no sea un 4 al lanzar el dado es el subconjunto

E3 5 {1, 2, 3, 5, 6} de S. Usando n(E3) 5 5 y n(S) 5 6, la probabilidad de obtener un
número que no sea 4 es

P(E3) 5 n(E3) 5 5
n(S) .

6

■ EJEMPLO 4 Probabilidad de 7

Encuentre la probabilidad de obtener un total de 7 cuando se lanzan dos dados.

Solución Puesto que hay seis números en cada dado, concluimos del principio funda-
mental de conteo de la sección 15.6 que hay 6 ? 6 5 36 posibles resultados en el espacio
muestral S; es decir, n(S) 5 36. En la tabla siguiente hemos enumerado las posibles ma-
neras de obtener un total de 7

E total de 7 en dos dados Una de seis posibles
maneras de obtener 7 al
Primer dado 1 2 3 4 lanzar un par de dados
Segundo dado 6 5 4 3
56
21

En la tabla vemos que n(E) 5 6. De ahí que, por (4), la probabilidad de obtener un total
de 7 al lanzar dos dados es

P(E) 5 n(E) 6 1
5 5.
n(S) 36 6

15.7 Introducción a la probabilidad 695

■ EJEMPLO 5 Aplicación de combinaciones

Una bolsa contiene cinco canicas blancas y tres negras. Si se sacan tres canicas al azar,
¿cuál es la probabilidad de que todas sean blancas?

Solución El espacio muestral S del experimento es el conjunto de todas las combinacio-
nes posibles de tres canicas que se han sacado de las ocho que había en la bolsa. El núme-
ro de maneras de escoger tres canicas de una bolsa de ocho es el número de combinacio-
nes de ocho objetos tomando tres a la vez; es decir, n(S) 5 C(8, 3). De igual forma, el
número de maneras de escoger tres canicas blancas de cinco blancas es el número de
combinaciones n(E) 5 C(5, 3). Puesto que el evento E es “todas las canicas son blancas”,
tenemos

5!

P(E) 5 n(E) C(5, 3) 3!2! 5
5 5 5.
n(S) C(8, 3) 8! 28

3!5!

Límites de la probabilidad de un evento Puesto que cualquier evento E es un subconjunto
del espacio muestral S, se deduce que 0 # n(E) # n(S). Si dividimos la última desigualdad
entre n(S), vemos que

n(E) n(S)
0# #

n(S) n(S)
o 0 # P(E) # 1.

Si E 5 S, entonces n(E) 5 n(S) y P(E) 5 n(S)/n(S) 5 1; en tanto que si E no tiene ele-
mentos, tomamos E 5 [, n([) 5 0 y P(E) 5 n([)/n(S) 5 0/n(S) 5 0. Si P(E) 5 1, entonces
E siempre sucede y E se llama evento cierto. Por otra parte, si P(E) 5 0, entonces E es un
evento imposible, es decir, E nunca sucede.

■ EJEMPLO 6 Lanzamiento de un dado

Suponga que lanzamos un dado justo una vez.
a) ¿Qué probabilidad hay de obtener 7?
b) ¿Qué probabilidad hay de obtener un número menor que 7?

Solución a) Como el número 7 no está incluido en el conjunto S de todos los posibles
resultados (3), el evento E de “obtener un 7” es un evento imposible; es decir, E 5 [,
n([) 5 0. Por tanto,

P(E) 5 n([) 0
5 5 0.
n(S) 6

b) Puesto que los resultados de lanzar un dado son todos enteros positivos menores que
7, tenemos E 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 5 S. Por consiguiente, E es un evento cierto y

P(E) 5 n(E) 6
5 5 1.
n(S) 6

Complemento de un evento El conjunto de todos los elementos del espacio muestral que
no pertenece a E se llama complemento de E y se representa con E9. Por ejemplo, en el
lanzamiento de un dado, si E es el evento de “obtener un 4”, entonces, E9 es el evento de
“obtener cualquier número excepto 4”. En virtud de que los eventos son conjuntos, podemos

696 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

describir la relación entre un evento E y su complemento E9 por medio de operaciones de
unión e intersección:

E x E9 5 S y E y E9 5 [. Para repasar los temas de unión e
intersección de conjuntos, véase la
En vista de las propiedades anteriores, escribimos n(E) 1 n(E9) 5 n(S). Dividiendo ambos sección 1.8.
miembros de esta última igualdad ente n(S) vemos que las probabilidades de E y E9 se rela-
cionan por También puede repasar la unión y
la intersección de dos conjuntos en
n(E) n(Er) n(S) la sección 2.1.
15
697
n(S) n(S) n(S)

o P(E) 1 P(Er) 5 1. (5)

Por ejemplo, el complemento del evento E1 5 {4} en el inciso a) del ejemplo 3 es el conjunto

E19 5 E3 5 {1, 2, 3, 5, 6} en el inciso c). Obsérvese que, de acuerdo con (5), tenemos que
1 5
P(E1) 1 P(E3) 5 P(E1) 1 P(E19) 5 6 1 6 5 1.

La relación (5) es útil en cualquiera de las dos formas:

P(E) 5 1 2 P(E9) o P(E9) 5 1 2 P(E). (6)

La segunda de las dos fórmulas en (6) nos permite encontrar la probabilidad de un evento, si
conocemos la probabilidad de su complemento. A veces es más fácil calcular P(E9) que P(E).
También es interesante notar que la ecuación P(E) 1 P(E9) 5 1 puede interpretarse diciendo
que algo debe suceder.

■ EJEMPLO 7 Probabilidad de un as

Si se sacan cinco cartas de una baraja de 52 y no se remplazan, ¿cuál es la probabilidad
de obtener por lo menos un as?

Solución Sea E el evento de obtener por lo menos un as. Puesto que E consta de todas
las manos de cinco cartas que contienen 1, 2, 3 o 4 ases, es realmente más fácil considerar
E9; es decir, todas las manos de cinco cartas que no contienen ases. El espacio muestral S
consta de todas las posibles manos de cinco cartas. Con base en la sección 15.6 tenemos
que n(S) 5 C(52, 5). Puesto que 48 de las 52 cartas no son ases, obtenemos n(E9) 5 C(48,
5). Por (4), la probabilidad de obtener cinco cartas, ninguna de las cuales es un as, está
dada por

P(Er) 5 C(48, 5) 5 1 712 304
.
C(52, 5) 2 598 960

Por la primera fórmula en (5), la probabilidad de obtener cinco cartas de las cuales por lo
menos una es un as es

P(E) 5 1 2 P(Er) 5 1 2 1 712 304 < 0.3412.
2 598 960

Hasta este punto hemos considerado la probabilidad de un solo evento. En el siguiente
análisis examinaremos la probabilidad de dos o más eventos.

Unión de dos eventos Se dice que dos eventos E1 y E2 son mutuamente excluyentes si
no tienen resultados, o elementos comunes. En otras palabras, los eventos E1 y E2 no pueden
ocurrir al mismo al tiempo. En términos de conjuntos, E1 y E2 son conjuntos disjuntos o
ajenos; es decir, E1 y E2 5 [. Recuerde que el conjunto E1 x E2 consta de los elementos
incluidos en E1 o en E2. En este caso de eventos mutuamente excluyentes, el número de
resultados del conjunto E1 x E2 está dado por

n(E1 x E2) 5 n(E1) 1 n(E2) (7)

15.7 Introducción a la probabilidad

Si dividimos (7) entre n(S) obtenemos (8)
n(E1 x E2) 5 n(E1) 1 n(E2) .
n(S) n(S) n(S)

En vista de (4), la expresión anterior es la misma que
P(E1 x E2) 5 P(E1) 1 P(E2).

En el ejemplo que sigue volvemos a los resultados del ejemplo 3.

■ EJEMPLO 8 Eventos mutuamente excluyentes

En un solo lanzamiento de un dado justo, calcule la probabilidad de obtener un 4 o un
número impar.

Solución Por el ejemplo 3, los dos eventos son E1 5 {4}, E2 5 {1, 3, 5} y el espacio
muestral es de nuevo S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Los eventos de obtener un 4 y obtener un

número impar son mutuamente excluyentes: E1 y E2 5 {4} y {1, 3, 5} 5 [. Así, por
(8), la probabilidad P(E1 o E2) de obtener un 4 o un número impar está dada por

P(E1 E2) 5 P(E1) 1 P(E2) 5 1342
1 5 5 .
x 6 6 6 3

Solución alternativa Por E1 x E2 5 {1, 2, 4, 5}, n(E1 x E2) 5 4 y, por tanto, (4) de la
definición 15.7.1 da por resultado

P(E1 x E2) 5 n(E1 x E2) 5 4 5 2
n(S) 6 .

3

La propiedad aditiva en (8) se extiende a la probabilidad de tres o más eventos mutua-
mente excluyentes (véanse los problemas 31 y 32 de los ejercicios 15.7.)

Regla de la adición La fórmula (8) es sólo un caso especial de una regla más general.

En (8) no hay resultados en común en los eventos E1 y E2. Desde luego, no siempre sucede
así. Por citar un caso, en el experimento de lanzar un solo dado, los eventos E1 5 {1} y
E2 5 {1, 3, 5} no son mutuamente excluyentes porque el número 1 es un elemento de ambos
conjuntos. Cuando dos conjuntos E1 y E2 tienen una intersección que no está vacía, el número
de resultados en n(E1 x E2) no está dado por (7) sino, más bien, por la fórmula

Véase el problema 76 de los ejerci- n(E1 x E2) 5 n(E1) 1 n(E2) 2 n(E1 y E2). (9)
cios 2.1.

Dividiendo (9) entre n(S) se obtiene

n(E1 x E2) 5 n(E1) 1 n(E2) 2 n(E1 y E2)
n(S) n(S) n(S) n(S)

o P(E1 x E2) 5 P(E1) 1 P(E2) 2 P(E1 y E2). (10)

El resultado de (10) se llama regla de la adición de la probabilidad.

■ EJEMPLO 9 Probabilidad de una unión de dos eventos

En un solo lanzamiento de un dado, calcule la probabilidad de obtener un 1 o un número
impar.

698 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

Solución Los conjuntos son E1 5 {1}, E2 5 {1, 3, 5} y S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ahora
bien, {1} y {1, 3, 5} 5 {1} para que n(E1 y E2) 5 1. Así, por (10), la probabilidad de
lanzar un 1 o un número impar está dada por

P(E1 E2) 5 P(E1) 1 P(E2) 2 P(E1 E2) 5 13131
1 2 5 5 .
x y 6 6 6 6 2

Solución alternativa Puesto que E1 es un subconjunto de E2, E1 x E2 5 E2 5 {1, 3, 5}
y n(E1 x E2) 5 3. Por (4) de la definición 15.7.1,

P(E1 x E2) 5 n(E1 x E2) 5 3 5 1
n(S) 6 .

2

Es útil pensar en los símbolos P(E1 x E2) y P(E1 y E2) de (10) como P(E1 o E2) y P(E1 Nota
y E2), respectivamente.

■ EJEMPLO 10 Probabilidad de una unión de dos eventos

Se saca una sola carta de una baraja. Calcule la probabilidad de obtener un as o un cora-
zón.

Solución Como se muestra en la fotografía de la derecha, una baraja contiene 52 cartas

divididas entre cuatro palos con 13 cartas de cada palo. Así, el espacio muestral S de este

experimento consta de las 52 cartas. El evento E1 de sacar un as está formado por los 4
ases y, por tanto, la probabilidad de sacar un as es P(E1) 5 542. El evento E2 de sacar una

carta que sea un corazón se compone de los 13 corazones de ese palo y, por tanto, la pro-

babilidad de sacar un ccoonrsaezcóuneensciPa,(EP2()E51 y5123E. 2P)u5est51o2.qPuoer uno de los corazones es un as,
n(E1 y E2) 5 1 y, en tanto, por (10)

as o un corazón as corazón as y un corazón

⎠⎞⎬⎜⎜

⎞
⎠⎬
⎞
⎠⎬

⎞⎠⎬⎜⎜
P(E1 x E2) 5 P(E1) 1 P(E2) 2 P(E1 y E2)
Baraja de 52 cartas del ejemplo 10
4 13 1 16 4
5 1 2 5 5.

52 52 52 52 13

Ejercicios15.7 Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-39.

En los problemas 1 a 4, use la notación de conjuntos para 8. Sacar un número menor que 3 al lanzar un solo dado.
escribir el espacio muestral del experimento dado. 9. Sacar dos unos (un total de 2) al lanzar dos dados.
10. Sacar un total de 7 u 11 al lanzar dos dados.
1. Se lanzan dos monedas. 11. Obtener sólo caras cuando se lanzan al aire tres mone-
2. Se lanzan tres monedas.
3. Se lanza una moneda y después un dado. das.
4. Se lanzan dos dados. 12. Obtener exactamente una cara cuando se lanzan al aire tres

En los problemas 5 a 12, encuentre la probabilidad en el monedas.
evento dado.
En los problemas 13 a 16, halle la probabilidad de obtener la
5. Sacar un as en una baraja de 52 cartas. mano indicada, sacando 5 cartas sin remplazarlas, en una
6. Sacar un diamante en una baraja de 52 cartas. baraja de 52 cartas.
7. Sacar un 2 al lanzar un solo dado. 13. Cuatro de la misma clase (por ejemplo, cuatro reyes).

15.7 Introducción a la probabilidad 699

14. Una escalera (cinco cartas en sucesión, como 4, 5, 6, 7, 8, 27. Talento nato En juego de dados llamado craps, el juga-
donde un as puede contar como 1 o como as). dor lanza dos dados y gana en la primera oportunidad si
obtiene una total de 7 u 11. Calcule la probabilidad de
15. Una flor (cinco cartas, todas del mismo palo). ganar en el primer lanzamiento.

16. Una flor imperial (10, joto, reina, rey y un as, todos del 28. Negro o rojo Un cajón contiene ocho pares de calcetines
mismo palo). negros, cuatro blancos y dos rojos. Si saca un par de cal-
cetines al azar, calcule la probabilidad de que sea negro o
En los problemas 17 a 20, use la primera fórmula en (5) para rojo.
calcular la probabilidad del evento dado.
29. ¿Quieres apostar? Al principio de la temporada de béis-
17. Obtener por lo menos un corazón si se sacan cinco cartas,
sin remplazo, de una baraja de 52 cartas. bol, un corredor de apuestas estima que la probabilidad de

18. Obtener por lo menos una figura si se sacan cinco cartas, que los Dodgers ganen la Serie Mesudned2i10a.lCeosndeba11s0eyelnaepsrtoas-
sin remplazo, de una baraja de 52 cartas. babilidad de que los Mets ganen

19. Obtener por lo menos una cara en 10 lanzamientos de una probabilidades, determine la probabilidad de que los
moneda.
Dodgers o los Mets ganen la Serie Mundial.
20. Obtener por lo menos un 6 cuando se lanzan tres dados.
30. Buenas calificaciones Un estudiante estima que la pro-
Aplicaciones diversas
babilidad de obtener una A en cierto curso de matemáticas
21. Planeación familiar Suponga que la probabilidad de es de 130, una B, 52; una C, 15, y una D, 110. ¿Cuál es la proba-
tener un niño es la misma que de tener una niña. Encuentre bilidad de que obtenga una A o una B?
la probabilidad de que una familia con cinco hijos tenga
al menos una niña. 31. Lanzamiento de dados Se lanzan dos dados. Calcule la
probabilidad de que el total que muestren los dados sea
22. ¡Gracias! ¡Uy! Después de que Joshua escribe notas de cuando mucho 4.
agradecimiento personalizadas a cada una de sus tres tías
por los regalos que le enviaron en su cumpleaños, su her- 32. Lanzamiento de una moneda Se lanza al aire una moneda
mana las mete aleatoriamente en sobres previamente rotu-
lados. Calcule la probabilidad de que a) cada tía reciba la cinco veces. E1 es el evento de obtener tres sellos, E2 es el
nota de agradecimiento correcta, b) por lo menos una de evento de obtener cuatro sellos y E3 es el evento de obte-
las tías reciba la nota de agradecimiento correcta. ner cinco sellos. Intuitivamente, indique cuál de las

23. Se solicita personal Se considera que cinco solicitantes siguientes probabilidades a) P(E1 o E2); b) P(E2 o E3);
hombres y ocho solicitantes mujeres reúnen los requisitos c) P(E1 o E2 o E3) representa el menor número. Ahora
para ocupar tres puestos idénticos como cajeros de banco. calcule cada probabilidad en los incisos a) a c).
Si tres de los solicitantes se seleccionan al azar, calcule la
probabilidad de que 33. Lluvia pertinaz De acuerdo con el periódico, hay una
a) Sólo contraten mujeres. probabilidad de 40% de que mañana llueva. ¿Qué proba-
b) Contraten por lo menos a una mujer. bilidad hay de que mañana no llueva?

24. Formación de un comité Un comité de seis personas será 34. ¿Perderá? Una jugadora de tenis cree que tiene 75% de
elegido al azar de un grupo de cuatro administradores, siete probabilidad de ganar un torneo. Suponiendo que se jue-
profesores y ocho miembros del personal. Calcule la pro- guen desempates, ¿cuál cree que sea la probabilidad de
babilidad de que los cuatro administradores y ningún que pierda?
profesor formen parte del comité.
En los problemas 35 y 36, proceda como en el ejemplo 10
25. Adivinanza En un examen de 10 preguntas de verdadero para calcular la probabilidad indicada.
o falso, calcule la posibilidad de obtener 100% de aciertos
si un estudiante adivina la respuesta a cada pregunta. 35. Más lanzamientos de dados Se lanzan dos dados. Calcule
la probabilidad de que el total que muestren sea un número
26. Caramelo En una caja de 20 chocolates de la misma par o un múltiplo de 3.
forma y apariencia, se sabe que 10 están rellenos de cara-
melo. Cuatro chocolates se seleccionan al azar de la caja. 36. Selección al azar En ABC Plumbing and Heating
Calcule la probabilidad de que los cuatro estén rellenos de Company, 30% de los trabajadores son mujeres, 70% son
caramelo. plomeros y 40% de los trabajadores son plomeras. Si se
elige un trabajador al azar, calcule la probabilidad de que
En los problemas 27 a 30, proceda como en el ejemplo 8 para sea mujer o plomero.
calcular la probabilidad indicada.
Para la discusión

37. Se puede crear un dado de 12 caras en la forma de un
dodecaedro regular; cada cara del dado es un pentágono
regular (FIGURA 15.7.1). Cuando se lanza, una de las caras
pentagonales quedará en posición horizontal respecto a la

700 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

superficie de la mesa. Si cada uno de los números de 1 a 39. Para la rueda giratoria que se ilustra en la FIGURA 15.7.3,
6 aparece dos veces en el dado, demuestre que la probabi-
lidad de cada resultado es igual que para un dado de 6 caras sea S el espacio muestral de una sola vuelta de la rueda
común y corriente.
giratoria. Sean B y R los eventos de que la aguja marque

azul o rojo, respectivamente, para que S 5 {B, R}. ¿Qué

error hay, si acaso, en el cálculo P(B) 5 n(B)/n(S) 5 1 para
2

la probabilidad de que la aguja marque azul?

FIGURA 15.7.1 Dado R
de 12 caras para el B
problema 37

38. Suponga que un dado es un dodecaedro regular de 12 caras FIGURA 15.7.3 Rueda giratoria
como en el problema 37, donde cada cara del dado es un para el problema 39
pentágono regular. Pero en este caso, suponga que cada
cara tiene inscrito uno de los números 1, 2, …, 12, como Proyecto
se muestra en la FIGURA 15.7.2.
a) Si se lanzan dos de estos dados, ¿qué probabilidades 40. Problema de cumpleaños Calcule la probabilidad de que
hay de obtener un total de 13? en un grupo de n personas, por lo menos dos tengan el
b) ¿Un total de 8? mismo cumpleaños. Suponga que el año tiene 365 días.
c) ¿Un total de 23? Considere tres casos:
d) ¿Qué número total es el menos probable que apa- a) n 5 10; b) n 5 25, c) n 5 90.
rezca?

11

3

12

8 FIGURA 15.7.2 Dado
de 12 caras para el
problema 38 Mismo cumpleaños

Repaso de conceptos Debe ser capaz de mencionar el significado de cada uno de los conceptos siguientes.

Sucesión Convergencia: Diagrama de árbol
término general sucesión Principio fundamental de conteo
serie infinita Permutación
Sucesión definida recursivamente Combinación
fórmula recursiva Divergencia Resultados
sucesión Eventos
Sucesión aritmética serie infinita Espacio muestral
diferencia común Probabilidad de un evento
Serie geométrica infinita Complemento de un evento
Sucesión geométrica Suma de una serie geométrica Eventos mutuamente excluyentes
razón común Decimal periódico como serie Regla de la adición de la probabilidad

Serie geométrica
Notación sigma Teorema del binomio

índice de la suma notación factorial
Serie aritmética coeficiente binomial
Serie geométrica

Repaso de conceptos 701

CAPÍTULO 15 Ejercicios de repaso Las respuestas a los problemas impares
seleccionados comienzan en la página RESP-40.

A. Verdadero o falso 11. Si E1 y E2 son eventos mutuamente excluyentes tales que
1 13,
P(E1) 5 5 y P(E2) 5 entonces P(E1 x E2) 5 _______.

En los problemas 1 a 12, conteste verdadero o falso.

1. 2(8!) 5 16! _________ 12. Si P(E1) 5 0.3, P(E2) 5 0.8 y P(E1 y E2) 5 0.7, entonces
P(E1 x E2) 5 ___________.

10! C. Ejercicios de repaso
2. 5 10 _________
En los problemas 1 a 4, enumere los primeros cinco términos
9! de la sucesión dada.

3. (n 2 1)!n 5 n! _________ 1. {6 2 3(n 2 1)}

4. 210 Ͻ 10! _________ 2. {25 1 4n}

ax 1 20 3. {(21)nn}
5. No hay término constante en el desarrollo de 1 x2 b .
_________ (21)n2n
4. e f
6. Hay exactamente 100 términos en el desarrollo de (a 1
b)100. _________ n13

7. Una sucesión definida recursivamente por an11 5 (21)an 5. Enumere los primeros cinco términos de la sucesión defi-
es una sucesión geométrica. _________ nida por a1 5 1, a2 5 3 y an 5 (n 1 1)an21 1 2.

8. {ln5n} es una sucesión aritmética. _________ 6. Obtenga el decimoséptimo término de la sucesión aritmé-
tica cuyo primer término es 3 y tercer término es 11.
9. a 5 ln k 5 ln120 ____
k5 7. Obtenga el primer término de la sucesión geométrica cuyo
1 tercer término es 221 y cuarto término es 1.

10. 1 5 0.999… _________ 8. Obtenga la suma de los primeros 30 términos de la sucesión
definida por a1 5 4 y an11 5 an 1 3.
11. 0! 5 1 _________
9. Obtenga la suma de los primeros 10 términos de la
12. P(n, n) 5 n! _________ serie geométrica cuyo primer término es 2 y razón común
es 212.
B. Llene los espacios en blanco
10. Escriba 2.515151… como una serie geométrica infinita y
En los problemas 1 a 12, llene los espacios en blanco. exprese la suma como un cociente de enteros.

1. Los tres términos de siguientes la sucesión aritmética 11. El mejor regalo Determine cuál es el mejor regalo de las
opciones siguientes:
2x 1 1, 2x 1 4, … son ____________. a) $10 cada mes durante 10 años.
b) 10¢ el primer mes, 20¢ el segundo mes, 30¢ el tercer
2. x 1 x2 1 x3 1 c1 x10 5 __ ___ mes, y así sucesivamente, recibiendo un incremento
2 4 6 20 de 10¢ cada mes durante 10 años.
a __ c) 1¢ el primer mes, 2¢ el segundo mes, 4¢ el tercer mes,
y así sucesivamente, duplicando la cantidad recibida
3. El quinto término de la sucesión e n1 f es ______. cada mes durante 2 años.
ak51k
12. Distancia recorrida El astrónomo y físico italiano
4. El vigésimo término de la sucesión aritmética 22, 3, 8, … Galileo Galilei (1564-1642) descubrió que la distancia
es ______________. que una masa se mueve por un plano inclinado en inter-
valos de tiempo consecutivos es proporcional a un número
2n 1 1 entero impar. Por tanto, la distancia total D que una masa
5. La razón común r de la sucesión geomética e 5n21 f es se moverá por el plano inclinado en n segundos es propor-
cional a 1 1 3 1 5 1 … 1 (2n 2 1). Demuestre que D es
___________. proporcional a n2.

6. 100 5 _________ 13. Anualidad Si una tasa anual de interés r se compone
ab continuamente, entonces la cantidad S acumulada en una
100

50

7. ak51(3 1 2k) 5 _________

8. a 100 (21 ) k 5 ________
k51

9. 3 2 1 1 1 2 1 1 c 5 _________
3 9

10. Para 0 x 0 . 1, `1 5 _________
ak50 xk

702 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

anualidad inmediatamente posterior al n-ésimo depósito 10 7
de P dólares está dado por 34. Tercer término de a a 2 3bcb

S 5 P 1 Per 1 Pe2r 1 ? ? ? 1 Pe(n21)r. 35. Un múltiplo de x2 ocurre como ¿cuál término del desarro-
llo de (x1/2 1 1)40?
Demuestre que

1 2 ern 36. Resuelva x en:
S 5 P 1 2 er .
n anb x2n22k(24)k 5 0.
k
14. Cifra de ventas En 2009 una nueva empresa de alta tec- a
nología proyectó que sus ventas se duplicarían cada año
en los siguientes cinco años. Si las ventas en 2009 fueron k50
de $1 000 000, ¿a cuánto se espera que asciendan las ven-
tas en 2014? 37. Si el primer término de una serie geométrica infinita es 10
y la suma de la serie es 25/2, ¿cuál es el valor de la razón
común r?

En los problemas 15 a 20, use el principio de inducción mate- 38. Considere la sucesión {an} cuyos primeros cuatro términos
mática para demostrar que la proposición siguiente es verda- son
dera para todo entero positivo n.
1, 1 1 21, 1 1 2 1 1, 1 1 1 1 , . . . .
15. n2(n 1 1)2 es divisible entre 4. 1 2 1
2 2 1 1
n 2

16. a (2k 1 6) 5 n(n 1 7) a) Con a1 5 1, obtenga la fórmula recursiva que define
la sucesión.
k21
b) ¿Cuáles son los términos quinto y sexto de la suce-
17. 1(1!) 1 2(2)! 1 ? ? ? 1 n(n!) 5 (n 1 1)! 2 1
sión?
18. 9 es factor de 10n11 2 9n 2 10

19. a1 1 1 1 1 1 1 ca1 1 1 5n11 En los problema 39 y 40, conjeture si la sucesión dada con-
1b a1 2b a1 3b nb verge.

20. (cos u 1 isen u)n 5 cos nu 1 isen nu, donde i2 5 21 2n
39. e f
En los problemas 21 a 26, evalúe la expresión dada.
6! n!

21. 40. !3, "3 !3, #3"3 !3, . . . .

4! 23! 41. Si una moneda se lanza al aire tres veces, use un diagrama
6!4! de árbol para encontrar todas las posibles sucesiones de
cara (H) y sello (T).
22.
42. Enumere todos los números posibles de tres dígitos usando
10! sólo los guarismos 2, 4, 6 y 8.
23. C(7, 2)
43. Helado Si hay 32 sabores de helado, indique de cuántas
24. P(9, 6) maneras se puede ordenar un cono doble si ambas bolas
(n 1 3)! de helado
a) Deben ser de diferentes sabores.
25. b) Han de ser del mismo sabor.

n! [Pista: suponga que el orden en el que se colocan las bolas
(2n 1 1)! de helado en el cono no importa].

26. 44. Más helado En una barra de postres hay tres sabores de
helado, seis aderezos, dos tipos de nueces y crema batida.
(2n 2 1)! Indique cuántos helados diferentes se pueden preparar que
consistan en un sabor de helado con un aderezo si
En los problemas 27 a 30, use el teorema del binomio para a) Se requieren nueces y crema batida.
desarrollar la expresión dada. b) Las nueces son optativas, pero se requiere crema ba-
27. (a 1 4b)4 tida.
28. (2y 2 1)6 c) Tanto las nueces como la crema batida son optativas.
29. (x2 2 y)5
30. (4 2 (a 1 b))3 45. Cree su propia pizza Domingo’s Pizza ofrece 10 ingre-
dientes adicionales. ¿Cuántas pizzas diferentes se pueden
En los problemas 31 a 34, obtenga el término indicado en el hacer usando sólo tres de los ingredientes?
desarrollo de la expresión dada.
31. Cuarto término de (5a 2 b3)8
32. Décimo término de (8y2 2 2x)11
33. Quinto término de (xy2 1 z3)10

Ejercicio de repaso 703

46. Ordenaciones ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 57. ¿Está de suerte? Un cajón contiene ocho calcetines
ocho libros en un estante? negros y cuatro blancos. Si se sacan dos calcetines al azar,
indique la probabilidad de que se obtenga un par
47. Reorganizaciones Al armar un acertijo de palabras a) Negro.
revueltas, ¿cuántas reorganizaciones de las letras de la b) Blanco.
palabra shower son posibles? c) Coordinado.

48. Tiempo de sembrar El catálogo de semillas de Burtee 58. Bingo Una carta de bingo tiene cinco filas y cinco colum-
ofrece nueve variedades de tomates. ¿De cuántas maneras nas (FIGURA 15.R.2). Cinco números cualesquiera del 1 al 15
puede un jardinero seleccionar tres para sembrar? aparecen en la primera columna (designada como B); cinco
números cualesquiera del 16 al 30 aparecen en la segunda
49. Modelado Hay 10 atuendos informales y 12 formales columna (I); cuatro números cualesquiera del 31 al 45 apa-
que se modelarán en un desfile de modas. Indique en cuán- recen en la tercera columna (N), donde se encuentra un cua-
tos órdenes diferentes se pueden exhibir si drado en el medio que está marcado como “LIBRE”; cinco
a) Todos los atuendos informales se agrupan por un lado números cualesquiera del 46 al 60 aparecen en la cuarta
y todos los formales por otro. columna (G); y cinco números cualesquiera del 61 al 75
b) No hay restricciones para el orden. aparecen en la última columna (O). ¿Cuántas cartas diferen-
tes de Bingo son posibles? (Considere que dos cartas son
50. En las carreras ¿De cuántas maneras se pueden decidir diferentes si dos entradas correspondientes son diferentes.)
el primero, segundo y tercer lugares si 10 caballos parti-
cipan en una carrera? Suponga que no hay empates. B I NGO

En los problemas 51 y 52, use la notación de conjuntos para 1 16 33 52 72
escribir el espacio muestral del experimento dado.
12 20 41 47 65
51. La rueda giratoria de la FIGURA 15.R.1 gira dos veces.

52. La rueda giratoria de la figura 15.R.1 gira una vez y luego
se lanza al aire una moneda.

45 2 22 LIBRE 55 68

31 FIGURA 15.R.1 Rueda giratoria 7 30 36 60 74
2 para los problemas 51 y 52
FIGURA 15.R.2 Carta
53. Cartas Si se sacan dos cartas de una baraja de 52, ¿cuál 8 28 45 49 61 de Bingo para el
es la probabilidad de que ambas cartas sean negras?
problema 58
54. Selección de un bolígrafo Se seleccionan cinco bolígra-
fos al azar de un lote de 100 bolígrafos Pic. Si 90% de este 59. Más bingo Una versión de bingo requiere que un jugador
lote de bolígrafos Pic escriben la primera vez, indique qué cubra todos los números de la carta conforme se van anun-
probabilidad hay de que ciando los números al azar (véase el problema 58).
a) Los cinco bolígrafos seleccionados escriban la prime- a) ¿Cuál es la cantidad mínima de números que deben
ra vez. anunciarse para que pueda haber un ganador en esta
b) Ninguno de ellos escriba la primera vez. versión?
c) Por lo menos uno de ellos escriba la primera vez. b) Suponga que hay un ganador con la cantidad mínima
de números anunciados que obtuvo en el inciso a).
55. Planeación familiar Suponga que la probabilidad de dar ¿Qué probabilidad hay de que la carta jugada sea la
a luz a una niña es igual a la probabilidad de dar a luz a un ganadora en ese punto?
niño. En una familia de cuatro hijos, ¿qué es más probable:
i) que todos los hijos sean del mismo sexo; ii) que haya 60. Áreas Sea {An} la sucesión de áreas de los triángulos
dos de cada sexo, iii) que haya tres de un sexo y uno del isósceles que se ilustran en la figura 15.R.3. Obtenga la
otro? suma de la serie infinita A1 1 A2 1 A3 1 . . .

56. Joven típica Las estadísticas indican que la probabilidad y
de morir en el año siguiente de una joven de 20 años es de 1
0.0006. ¿Qué probabilidad hay de que una joven “típica”
de 20 años sobreviva al año próximo? ... ...
A1 A2 A3 An

1 3 7 9 23 3 25 x
2 2 4 4 88
1 2 n

FIGURA 15.R.3 Triángulos isósceles para el problema 60

704 CAPÍTULO 15 Sucesiones, series y probabilidad

Examen final Las respuestas a los problemas impares seleccionados comienzan en la página RESP-1.

En los problemas 1 a 14, llene los espacios en blanco. 19. Los puntos (1, 3), (3, 11), y (5, 19) son colineales.
_______
1. Completar el cuadrado en x para 2x2 1 6x 1 5 resulta en
__________. 20. La función f (x) 5 x5 2 4x3 1 2 es una función impar.

2. En el desarrollo del binomio (1 2 2x)3, el coeficiente de _______
x2 es _______.
21. x 1 1 es un factor de la función f (x) 5 64x4 1 16x3 1 48x2
3. En notación de intervalos, el conjunto solución de 4
x(x2 2 9)
x2 2 25 $ 0 es ________. 2 36x 2 12. _______

4. Si a 2 3 es un número negativo, entonces ua 2 3u 5 22. Si b2 2 4ac , 0, la gráfica de f (x) 5 ax2 1 bx 1 c, con
________. a Z 0, no interseca el eje x. _______

5. Si u5xu 5 80, entonces x 5 ________. 23. f (x) 5 !x es una función racional. _______

6. Si (a, b) es un punto en el tercer cuadrante, entonces 2x 1 1
(2a, b) es un punto situado en el _______ cuadrante.
24. Si f (x) 5 x5 1 3x 2 1, entonces existe un número c en
7. Si el punto (1, 7) está en una gráfica, dé las coordenadas
de otro punto en la misma gráfica si es simétrico respecto [21, 1] tal que f (c) 5 0. _______
al: 25. La gráfica de la función f (x) 5 1 1 1 no tiene
a) Eje x. ________
b) Eje y. ________ intersecciones con el eje x. _____x_2_ 1 x 2 2
c) Origen. ________
26. x 5 0 es una asíntota vertical en la gráfica de la función
8. Las rectas 6x 1 2y 5 1 y kx 2 9y 5 5 son paralelas si x2 2 2x
k 5 _______. Las rectas son perpendiculares si k 5
________. racional f (x) 5 x . _______
27. La gráfica de y 5 cos (x/6) es la gráfica de y 5 cos x exten-
9. La factorización completa de la función f (x) 5 x3 2 2x2
2 6x es _______. dida horizontalmente. ________

10. Los únicos ceros racionales posibles de f (x) 5 x3 1 4x 1 28. f (x) 5 csc x no está definida en x 5 p/2. _______
2 son _______.
29. La función f (x) 5 e24x2 no es de uno a uno. ______
11. El desplazamiento de fase de la gráfica de y 5 5 sen(4x 1
p) es _______. 30. La función exponencial f (x) 5 1 3 2 x aumenta en el intervalo
2
12. Si f (x) 5 x4 arctan(x/2), entonces el valor exacto de f (22)
es ________. (2`, `). _______

13. 5 ln 2 2 ln32 5 ln _______. 31. El dominio de la función f (x) 5 ln x 1 ln(x 2 4) es (4, `).
______
14. La gráfica de y 5 ln(2x 1 5) tiene la asíntota vertical x 5
_______. 32. Las soluciones de la ecuación ln x2 5 ln 3x son x 5 0 y
x 5 3. ________
En los problemas 15 a 32, responda verdadero o falso.
33. Relacione el intervalo dado con la desigualdad correspon-
15. El valor absoluto de cualquier número real x es positivo. diente.
__________ i) [2, 4]
ii) [2, 4)
16. La desigualdad uxu . 21 no tiene soluciones. _______ iii) (2, 4)
iv) (2, 4]
17. Para cualquier función f , si f (a) 5 f (b), entonces a 5 b. a) ux 2 3u ≤ 1
_______ b) 1 , x 2 1 ≤ 3
c) 22 , 2 2 x ≤ 0
18. La gráfica de y 5 f (x 1 c), c . 0, es la gráfica de y 5 f (x) d) ux 2 3u , 1
desplazada c unidades a la derecha. _______
34. Escriba la solución de la desigualdad en valor absoluto u3x
2 1u . 7 usando notación de intervalos.

35. La respuesta a un problema dado al final de un texto de
matemáticas es 1 1 !3, pero su respuesta es 2/(!3 2 1).
¿Está usted en lo correcto?

36. ¿En qué cuadrantes de un plano cartesiano se sitúa el
cociente x/y negativo?

37. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes describe mejor una 46. f (x) 5 1 . Exprese f en términos de sec x y tan x.

circunferencia que pasa por el origen? Los símbolos a, b, 1 1 sen x

c, d y e representan diferentes constantes reales que no son 47. f (x) 5 e3lnx. Exprese f como potencia de x.

cero. 48. f (x) 5 ux2 2 3xu. Exprese f sin signos de valor absoluto.
a) ax2 1 by2 1 cx 1 dy 1 e 5 0
b) ax2 1 ay2 1 cx 1 dy 1 e 5 0 En los problemas 49 y 50, resuelva la ecuación f(x) 5 0
c) ax2 1 ay2 1 cx 1 dy 5 0 siguiendo la instrucción dada.
d) ax2 1 by2 1 cx 1 dy 5 0
e) ax2 1 ay2 1 e 5 0 49. f (x) 5 x2 1 ( 4 2 x2)21/2(22x) 1 2x"4 2 x2. Reescriba
f ) ax2 1 ay2 1 cx 1 e 5 0 2

f como una sola expresión sin exponentes negativos.

38. Relacione la función racional f que se indica con la frase 50. f (x) 5 2 sen x cos x 2 sen x. Obtenga los ceros de f en el
más apropiada. intervalo [2p, p].

i) x4 En los problemas 51 y 52, calcule y simplifique el cociente
f (x) 5 x2 2 2 de diferencias

x2 f(x 1 h) 2 f(x)
ii) f (x) 5 x2 1 2 h

x5 para la función dada.
iii) f (x) 5 x2 1 2
3x
x3 51. f (x) 5
iv) f (x) 5 x2 1 2
a) asíntota oblicua 2x 1 5
52. f (x) 5 2x3 1 10x2
b) sin asíntotas
53. Considere la función trigonométrica y 5 28 sen (px/3).
c) asíntota horizontal ¿Cuál es la amplitud de la función? Dé un intervalo en el
d) asíntota vertical cual se complete un ciclo de la gráfica.

39. ¿Cuál es el rango de la función racional f (x) 5 10 ? 54. Si tan u 5 !5 y p , u , 3p/2, entonces, ¿cuál es el valor
1 de cos u?
x2 1
55. Suponga que f (x) 5 sen x y f(c) 5 0.7. Indique cuál es el
!x 1 2 valor de
40. ¿Cuál es el dominio de la función f (x) 5 x2 ?

41. Obtenga una ecuación de la recta que pasa por el origen y 2f (2c) 1 f (c 1 2p) 1 f (c 2 6p)?
por el punto de intersección de las gráficas de x 1 y 5 1
y 2x 2 y 5 7.

42. Obtenga una función cuadrática f cuya gráfica tiene 56. Suponga que f(x) 5 sen x y g(x) 5 ln x. Resuelva
la intersección con y (0, 26) y el vértice de la gráfica es ( f + g)(x) 5 0.
(1, 4).
57. Obtenga las intersecciones con los ejes x y y de la parábola
Para quienes tomarán un curso de cálculo próximamente, a cuya ecuación es (y 1 4)2 5 4(x 1 1).
menudo se les pedirá que reescriban una función ya sea en
una forma más sencilla o en una forma que sea más útil para 58. Encuentre el centro, los focos, los vértices y los extremos
resolver el problema. En los problemas 43 a 48, reescriba del eje menor de la elipse cuya ecuación es
cada función siguiendo la instrucción dada. En cálculo, se
esperaría que el alumno supiera qué hacer dado el contexto x2 1 2y2 1 2x 2 20y 1 49 5 0
del problema.
59. Las asíntotas oblicuas de una hipérbola son y 5 25x 1 2
43. f (x) 5 "x6 1 4 2 x3. Exprese f como cociente usando y y 5 5x 2 8. ¿Cuál es el centro de la hipérbola?
racionalización y simplificación.
60. Desde un punto a 220 pies de distancia de la base una
44. f (x) 5 5x3 2 4x2 !x 1 8 antena de telefonía móvil una persona mide un ángulo de
!3 x . Realice la división indicada inclinación de 30° desde el suelo hasta la parte más alta
de la antena. ¿Cuál es el ángulo de inclinación hasta la
y exprese cada término como potencia de x. parte más alta de ésta si la persona se traslada a un punto
100 pies más cerca de la base?
7x2 2 7x 2 6
45. f (x) 5 x3 2 x2 . Descomponga f en fracciones par- 61. El yodo 131 es radiactivo y se usa en ciertos procedimien-
tos médicos. Suponga que el yodo 131 se descompone
ciales.

706 EXAMEN FINAL

exponencialmente. Si la vida media del yodo 131 es de 8 En los problemas 71 a 74, obtenga el n-ésimo término an de
días, ¿cuánto queda de una muestra de 5 gramos al cabo la sucesión dada.
de 15 días?
71. 22, 21, 0, 1, …
62. La ecuación de coordenadas polares r 5 3 cos 4u es una
rosa con ocho pétalos. Obtenga todos los ángulos medidos 72. 0, 3, 8, 15, …
en radianes que satisfagan 0 ≤ u ≤ 2p, para la que uru 5
3. 73. 1 000, 2100, 10, 21, …

63. Resuelva el sistema lineal 74. 1, 17, 1 , 1 , c
13 19
x 2 2y 1 3z 5 1
• x 1 y 2 z55 75. Si d es un dígito (cualquier número de 0 a 9), obtenga un
número racional cuya representación decimal sea 0.
4x 2 5y 1 8z 5 8 ddd…

e interprete la solución en términos geométricos. 1 21 1
x04 76. Si A 5 £ 1 1 1 §, explique por qué det A 5 0, con

64. Resuelva la ecuación † 0 x 0 † 5 0 para x. 2 22
40x base en las propiedades de los determinantes.

65. A continuación se presenta un sistema no lineal de ecua- 77. Obtenga los coeficientes a, b y c en números reales de
ciones tomado de un libro de cálculo: modo que los puntos (21, 23), (1, 25) y (2, 0) queden
situados en la gráfica de la función cuadrática f (x) 5 ax2
2xl 5 24 1 bx 1 c.
• 2yl 5 2y
78. Si los puntos P1, P2 y P3 son colineales, como se ilustra
x2 1 y2 5 9. en la FIGURA EXF.1, entonces obtenga una ecuación que
relacione las distancias d(P1, P2), d(P2, P3) y d(P1, P3).
Resuelva x, y y l.
P3
66. Represente gráficamente el sistema de desigualdades
y # 2x P1 P2

• 6y 2 7x $ 10 FIGURA EXF.1 Gráfica
x $ 0. para el problema 78

En los problemas 67 a 70, responda la pregunta sobre la suce- 79. Obtenga los valores de las seis funciones trigonométricas
sión del ángulo u que se ilustra en la FIGURA EXF.2.

128, 64, 32, 16, …

67. ¿Cuál es el octavo término de la sucesión? 5 θ3
68. ¿Cuál es la suma S8 de los primeros ocho términos de la
4
sucesión? FIGURA EXF.2 Triángulo
69. ¿La sucesión es convergente o divergente? para el problema 79
70. Diga si la serie infinita
80. Si sen u 5 2245, 90° , u , 180°, obtenga a) sen 2u, b) cos
128 1 64 1 32 1 16 1 … 2u, c) tan 2u.

tiene una suma S.

EXAMEN FINAL 707



RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS
SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

Ejercicios 1.1, página 4 9. P S Q Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 2

1. Sí, F 11. 7 . 9 o el Sol es un astro frío.
3. Sí, V
5. No 13. Si 7 no es menor que 9 entonces el Sol es un astro
7. Sí, V frío.
9. No
11. Sí, F 15. Si la temperatura está por debajo de cero y 7 , 9
13. Sí, V entonces el Sol es un astro frío.
15. No
17. 7 , 9 y el Sol es un astro frío si y sólo si la tempera-
Ejercicios 1.2, página 10 tura está por debajo de cero.

1. P ∧ Q 19. 7 , 9 y el Sol es un astro frío, y el Sol es un astro frío
3. P S Q y la temperatura está por debajo de cero.
5. P 4 Q
7. P S Q 21.

p q p∧q ∼ (p ∧ q)

VVV F
VF FV
FVFV
F F FV

23. (p → q) → (p ∨ ∼q) → p ∧ q
p q p → q ∼q p ∨ ∼q p ∧ q (p ∨ ∼q) → p ∧ q
V
VV V F V V V V
F F V
VF F V V F V F
F F
FV V F F

FF V V V

25. P: Un número p es real Q: p es no racional Q S Ejercicios 1.3, página 14
(P ∧ Q)
1. Tautología
27. F 3. Contingencia
5. Tautología
29. F 7. Tautología
9. Contingencia
31. Un byte tiene 7 bits y una palabra consta de 2 bytes. 11. No
F
Ejercicios 1.4, página 18
33. No ocurre a la vez que un byte tiene 7 bits y una
palabra 2 bytes. V 1. Sí
3. No
35. Un byte tiene 7 bits y una palabra tiene 2 bytes, o un 5. No
bit es un 0 o un 1, y un byte tiene 7 bits o un byte es 7. Sí
un 0 o un 1. V 9. No

37. ∼q

39. ∼r ∧ ∼p. F

RESP-1

11. q p ↔ q p → q (p ↔ q) → (p → q) 17. {xux es entero y 0 # x # 9}
p 19. {xux es la capital de la República Dominicana}

VV V V V Ejercicios 1.7, página 29
VF F F V
FV F V V 1. 1) 1 2) 9 3) 3 4) 7 5) 0 6) ` 7) ` 8) 2 9) 1 11) 5 12) ` 13) ` 14)
FF V V V 28 15) ` 16) 9 17) 10 18) 2 19) 1 20) 0

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 1 Tautología q p ∧ q (p ∧ q) → p 3. E 5 {xux es un número entero para tal que 4 1 3 5 3} j 5 {}
13. E5J

p 5. {1}
7. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 7, 8, 9}
VVV V 9. A, B, C, D son subconjuntos de A y B son subconjuntos uno del
VF F V
FVF V otro, D ( C.
FFF V 11. A y D, B y D.
13. C 5 A y B ( A siempre
Tautología
Si A ( B entonces A ( A y B ‹ A 5 A y B 5 C
15. v(p) 5 F v(q) 5 F 15. H
17. H
17. Por silogismo hipótetico se tiene p S (s ∨ q). Por simplificación 19. H o (
p y por modus ponens s ∨ q y por simplificación ∼q y por silo- 21. H o (
gismo disyuntivo S. 23. (
25. V
Ejercicios 1.5, página 20 27. F
29. V
1. x es más rápido que José. 31. V
33. V
3. Si x es más rápido que y entonces y es más alto que x. 35. V
37. V
5. Miguel es más rápido que José, o Miguel es más alto que José 39. F
y José pesa más de 200 libras. 41. F
43. F
7. Cualquiera sea x, x es más rápido que José si y sólo si José pesa 45. F
más de 200 libras. 47. {[, {}}
49. {[, {a}, {b}, {c}, {d}, {e}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e},
9. Existe y tal que para todo x, si x es más rápido que y entonces
x pesa más de 200 libras. {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e}, {a, b, c}, {a, b, d},
{a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {c, d, e}, {b, c, d},
11. ∼(;x, P(x)) P(x): x es bonita. {b, c, e}, {b, d, e}, {a, b, c, d}, {a, b, c, e}, {a, b, d, e},
13. ∼('x, P(x)) P(x); x ama a todo el mundo. {a, c, d, e}, {b, c, d, e}, {a, b, c, d, e}.
15. ('x, P(x)) ∨ (∼R) P(x): x es más grande que cualquier solución 51. {a}
53. No
conocida. R: hay solución. 55. No
57. Sí
17. F 59. No
61. No
19. V 63. No
65. Sí
21. V

Ejercicios 1.6, página 23

1. {0}
3. {0}
5. {}
7. {5, 10, 15, 20, 25…} no es posible.
11. {xux es una vocal del alfabeto}
13. {xux es un impar}
15. {xux es un cuadrado perfecto diferente de 1}

RESP-2 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

Ejercicios 1.8, página 37 47. B
U
1. {a, b, c, d, e, f, g}
3. {e, g, i} A Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 1
5. {e} A9 y B 5 B 2 A
7. {e, f, g, h, i, a, c}
9. {f, g, h, i} 49. B
11. {f, g}
13. {a, b, c} U
15. {d, e} A
17. {a, c}
19. {a, c, g, i} C
21. {1, 3, 5, 7, 9, 10}
23. {2} (A9 Δ B9) y C9
25. {1, 2, 6, 7, 8, 9, 10} 5 [(A9 x B9) 2 (A9 y B9)] y C9
27. [ 5 [(A y B)9 2 (A x B)9] y C9
29. U 5 [(A y B)9 y (A x B)] y C9
31. A
33. A 51. V
35. A
37. U 53. F
39. B
41. 55. F

U 57. {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}

AB 59. [

AxB 61. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
63. x H (A x B) 4 x x A x B 4 x x ∧ x x B
43.
U 4 x H A9 ∧ x H B9
4 x H A9 y B9
AB 65. A y B9 5 A 4 B9 ) A
A2B 4AyB5[
67. x H (A y B) y C 4 x H (A y B) ∧ x H C
45. B 4 (x H A ∧ x H B) ∧ x H C
U 4 x H A ∧ (x H B ∧ x H C)
4xHA∧xHByC
A 4 x H A y (B y C)
C
Ejercicios 1.9, página 42
(A9 y B9) y C9 5 (A x B x C)
1. 3

3. 16

5. 9

7. 5

9. 10

11. (a) 3, (b) 30

13. 175, 115

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-3

15. 19 Contrapositiva: si yo soy el rey de Inglaterra, entonces 2 1 2
17. 20 5 4.
19. 100 3. r S q
5. Contradicción
Ejercicios de repaso, página 44 7. Contingencia
9. Sí
1. Recíproca: si no soy el rey de Inglaterra, entonces 2 1 2 5 4. 11. F, 'x, x dividido por 2 no es entero, V
Inversa: si 2 1 2 5 4, entonces yo soy el rey de Inglaterra.

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 1 13. (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) ∼p ∼q ∼p ∨ ∼r [(p ∨ r) ∧ (q ∨ r)] ∧ (∼p ∨ ∼r)
p q r p∨r q∨r
V FF F F
VVV V V V FV V V
VV F V V V FF F F
VFV V V F FV V F
VF F V F V VF V V
F VV V V V VV V F
FVF F V V VF V V
F FV V V F VV V F
FFF F F

15. Sí 19. 'x, 'y, x , y ∧ (;z, z # x ∨ z ≥ y)
17. Falacia 21. F

23.

p q p→q ∼q p ∨ ∼q p ∧ q (p ∨ ∼q) → p ∧ q (p → q) → (p ∨ ∼q) → p ∧ q

VV V FV V V V
VF F VV F F V
FV V FF F V V
FF V VV F F F

25. Si no seré feliz, no me ascenderán por contrapositiva, por mo- 49. {0, 7, 8, 9}
dus ponens no me ascendieron y por contrapositiva se obtiene 51. {[, {1}, {3}, {5}, 1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}
la conclusión, es válido. 53. A Δ A 5 (A x A) 2 (A y A) 5 A 2 A 5 [
55. {0, 1, 2, 3}
27. Si v(p) es v entonces por modus ponens v(q ∨ r) 5 v y por si- 57. P({0, 1, 2, 3}) 2 {[}
logismo disyuntivo v(s ∨ t) 5 v, luego p S s ∨ t. 59. U

29. Si existe un miembro x del club tal que cualquiera sea la línea B
aérea y, x ha sido pasajero de y, entonces, cualquiera sea la lí- A
nea aérea y, existe un miembro x del club tal que x ha sido
pasajero de y. 61. B
U
31. Cualquiera sea el miembro x del club y cualquiera sea la línea A
aérea y, x ha sido pasajero de y si y sólo si cualquiera sea la
línea aérea y, y cualquiera sea el miembro x del club, x ha sido C
pasajero de y.
63. V
33. Si t 2 8 es racional, entonces t 2 8 1 8 5 t también es racional, 65. V
lo que contradice la hipótesis; por tanto, t 2 8 es irracional. 67. (a) 180 (b) 60 (c) 70 (d) 120 (e)190
69. (a) 225 (b) 25 (c) 100 (d) 125 (e)105
35. A 2 B 5 A A y B 5 [ B 2 A 5 B

37. `

39. `

41. V

45. F

45. F

47. [

RESP-4 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

Ejercicios 2.1, página 56 Ejercicios 2.3, página 68

1. {1, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15} 1 3. (2y)4 5. 425 7. x23
1. 83
3. {1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14}

5. {1, 8} 7. {3, 9, 11, 12, 14} 9. (a) 81 (b) 1 (c) 281
81 (c) 2419
(c) 21
9. 521, 22, 1, 26 11. 523, 4 6 11. (a) 49 (b) 1 19. 0
13. 522, 216 3 49 27. x4

15. 5x 0 x 5 2n, n [ Z6 13. (a) 1 (b) 1

17. propiedad 3(i) 19. propiedad 2(i) 15. 232 17. 1 21. 13 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 2
5 29. 221x6

21. propiedad 3(ii) 23. propiedad 4(ii) 23. 11 25. 276

25. propiedad 5(ii) 27. propiedad 4(i) 31. 25 1 35. 25x2 37. 56
33. 1011
29. propiedad 2(ii) 31. propiedad 5(i)

33. propiedad 10(iv) 35. propiedad 7(i) 64x6 41. x 43. 49ab 9y9
39. y3 45.
37. propiedad 9(i) 39. propiedad 8(ii)
x

41. propiedad 16(i) 43. propiedad 13 47. a6b10 49. 2x2y4z6 51. negativo 53. positivo
59. A 5 pr2 61. V 5 pr2h
31c 55. positivo 57. A 5 s2
c (b) 1.05 3 1025
45. 2a 47. 63. (a) 1.05 3 106 (b) 1.2 3 10210
(b) 0.0000325
49. 0 51. (a) mayor que 65. (a) 1.2 3 109

67. (a) 32 500 000

Ejercicios 2.2, página 62 69. (a) 0.0000000000000000987 (b) 9 870 000 000 000

1. 3. x . 0 71. 4.9064 3 1024 73. 9.533 3 1026

–2 –1 0 1 2 75. 8.2500 3 1013

– 1 4 2.5 77. (a) 7 200 000 000 000 (b) 7.2 3 1012
2 3

5. x 1 y $ 0 7. b $ 100 79. (a) 32 000 000 000 000 000 000 (b) 3.2 3 1019

9. 0 t 2 1 0 , 50 11. 23 , 15 81. 1.335 3 109

13. 1.33 , 4 15. 3.14 , p 83. (a) $14 261 000 000 000 (b) $1.4261 3 1013
3

17. 22 $ 27 85. aproximadamente 1.5 3 1019 mi

19. 2.5 $ 5 y 5 $ 2.5 ambas son correctas
2 2

21. 423 $ 2.6 23. 7
157

25. 22 27. 22
7

29. !5 31. 4 2 p

33. 4 35. 4 Ejercicios 2.4, página 76

37. 3 2 !5 39. 8 2 !7 1. 25 3. 10 5. 0.1 7. 234
13. 0.5x2z2 15. 4ab
41. 2.3 2 !5 43. 2p 2 6.28 1 xy2
9. xy2 11. z3
45. 2h 47. 2 2 x

49. x 2 2 51. 0 17. 1 19. 1 21. 0.2 23. ab2
3 7b
53. 0 55. 21

57. (a) 4 (b) 5 59. (a) 0.2 (b) 0.7 25. xyz5 27. abc 29. 2rs3 31. !2x2

61. (a) 3 (b) 26.5 63. (a) 3 (b) 0 33. !3 35. !x 1 1
9 x11

65. a 5 2, b 5 8 67. a 5 21.5, b 5 5.5

69. m 5 4 1 p, b 5 4 1 2p 37. 27 1 2 !10 x 1 2 !xy 1 y
3 39.

x2y

71. a 5 23 2 !2, b 5 23 2 !2 "3 (x 2 1)2
2 43. 4

73. (10)(10) 5 100 75. p . 3.14 41. !3 2 x21
45. 2 47. 1
77. 7 5 0.63 79. !2 . 1.4
11 !2(x 1 h) 1 !2x !x 1 h 1 1 1 !x 1 1

81. Natalie vive a 5 de milla o a 3 de milla de Greg.
4 4

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-5

49. 5!x 51. 2 !3 2 Ejercicios 2.7, página 97

53. (6x 2 3y 1 4x2) !2x a 1. 2x(6x2 1 x 1 3) 3. (2y 2 z)(y 1 3)
(1 2 a)Ä b
57. s 5 !A 55. 5. (3t 1 s)(5a 1 b) 7. xyz(z2 2 y2 1 x2)

61. 7.74 3 103 m/s 59. c 5 "a2 1 b2 9. (p2 1 1) (2p 2 1) 11. (6x 2 5)(6x 1 5)

13. (2xy 2 1)(2xy 1 1) 15. (x 2 y) (x 1 y) (x2 1 y2)

17. (x 2 y) (x 1 y) (x2 1 y2) (x4 1 y4)

19. (2xy 1 3) (4x2y2 2 6xy 1 9)

21. (y 2 1) (y 1 1) (y2 1 y 1 1) (y2 2 y 1 1)

Ejercicios 2.5, página 81 23. (x 2 3)(x 2 2) 25. (y 1 5)(y 1 2)

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 2 1. (ab)1/3 3. x24/3 5. (x 1 y)1/7 7. (x 1 x1/2)1/2 27. (x 2 2) (x 1 2) (x2 1 1) 29. (r 1 1)2
9. "3 a2 11. "3 9a2 13. 3 1 "3 a2 15. 3 31. 33. (x 1 5)2
35. (x 2 2y)(x 1 y)
"3 a2 (s 2 4t)2 37. (2p 1 5)(p 1 1)

17. (a) 7 (b) 1 39. (6a2 2 5) (a2 1 3) 41. (2x 2 y)(x 2 3y)
19. (a) 0.0000128 7
43. (x2 1 y2) (x4 1 y4 2 x2y2 1 3x2 2 3y2 1 3)
(b) 1
0.0000128 5 78 125 45. (x 2 y)2

21. (a) 2 187 (b) 22 1 47. (y 2 x) (y 1 x) (x4 1 y4 1 x2y2 2 3x2 2 3y2 1 3)
23. 12x5/6 187
49. (1 2 2v) (1 1 2v) (1 1 4v2) (1 1 16v4)
31. 125x1/2y3/2 25. 4a13/6 27. x7/8 29. a1/2b
33. c2/3 51. (x 1 2) (x 2 1) (x2 2 2x 1 4) (x2 1 x 1 1)
64x3z 9a2
d2/3 35. y4 37. b4 53. (rs 2 2t) (r2s2 1 2rst 1 4t2)

b6c3/2 55. (a 2 b) (a 1 b)2 57. (4z 2 y)(z 1 2y)
43. a4
39. 1 41. 125x3 51. !6 64 5 2 45. p1/6q1/2 59. (4a 2 3b)2 61. (x 2 !3)(x 1 !3)
53. "4 x3 1
63. ( !5y 2 1)( !5y 1 1) 65. (a 1 2 ) 2
67. (a 2 !2b)(a 1 !2b)
47. r 49. !6 500 69. (2!6 2 x) (2!6 1 x)
s

55. "8 a3 57. 8 000 59. 0.00001x5y10

61. aproximadamente 1.0139 s 63. 1 126.30 ft /s Ejercicios 2.8, página 104

Ejercicios 2.6, página 90 x11 z23
1. x 1 4 3. z2 2 3z 1 9
7. w 1 3
1. (a) 30 (b) 15 (c) 6 5. 3x 1 5
4 (c) 0 2x 1 3 w23
3. (a) 2192 (c) 21 11. b2(b 2 2) (b 1 3) (b 2 6)
5. (a) 225 (b) 1 (c) 0.2 9. (x 1 2)(x 2 1) 15. x2(x 2 1) (x 1 1)2
7. (a) 2.6 2 13. c(c 2 1) (c 1 1)2 19. 7z 1 1

(b) 234 7z 2 1

(b) 20.025 y2 1 x2
23. y2 2 x2
9. polinomio; grado 1; coeficiente principal 8 17. 1
11. no es un polinomio 28x 1 2
13. polinomio; grado 101; coeficiente principal 26 21. 2x2 2 2x 1 5 27. 2x2 1 3x 2 2
15. no es un polinomio x2 2 1
17. 3x5 1 x3 2 8x2 1 6x 2 6 x2 2 1
19. 6y3 1 y2 2 2y 2 7 r2 2 4r 1 2 31. x2 1 x 2 1
25. r2 2 r 2 12 35. u 1 7

21. 23x4 1 5x2 2 1 t2 1 t 2 20 u12
23. 3x7 2 7x6 1 x5 2 x4 1 2x2 2 8x 2 14 29. t2 1 t 2 6 q11
39.
25. 22t3 2 2t2 2 27t 1 46 33. 1 q24
27. 2v2 2 8v2 2 24v 3x 2 6 1 2 x3
43. 1 1 x3
29. y4 1 y3 2 y2 1 14y 2 20 x2
31. 15a4 2 a3b 1 8a2b2 2 8ab3 1 11b4 37. x2 1 9x 1 20 xy
47.
33. 6a3 2 5a2b 1 3ab2 2 b3 35. 5 2 20s 41. 2s 1 3
37. 1 2 x2 1 2x6y 39. x2 1 x 2 2 s15 x2y

41. 2r6 2 13r3 2 7 43. 10t2 1 26t 2 56 z 51. ab
b2a
45. 24x 2 2!x 2 2 47. 3x2 1 7.63x 1 1.47 45.
2 55. w!u 1 u !w
49. x2 2 2143x 2 1 51. 1 1 10b 1 25b2 uw
12 22x 2 h
23x2 2 3xh 2 h2
53. 50x2 1 40x 1 8 55. 4 2 3x 49. x2(x 1 h)2 59. x3(x 1 h)3
59. 8x3 2 36x2 1 54x 2 27 v2 2 u2
57. y22 2 4x2 63. x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3 63. 1 2 3x2
67. 729 1 y3 53. u4v4 2x1/2(x2 1 1)2
61. x6y9 1 6x4y6 1 12x2y3 1 8

65. a3 2 27 71. x2 1 2xy 1 y2 1 2x 1 2y 1 1 57. !xy 1 !y

69. 625x4 2 y4

73. x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3 1 3x2 1 6xy 1 3y2 1 3x 1 3y 1 1 !xy 1 !x

75. x4/3 2 x2/3 11 61. 210
77. y6 2 x6 (2x 2 1)(2x 1 2h 2 1)

79. x6 2 x5 2 x3 1 x2 65. R1R2R3
81. (a) 24x3 2 8x2 1 100x 1 200 R1R2 1 R1R3 1 R2R3

(b) 28x2 1 40x 1 280

RESP-6 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

Capítulo 2. Ejercicios de repaso, página 107 Ejercicios 3.2, página 124

A. 1. falso 3. falso 5. falso 7. falso 1. 12, 38 3. 15, 16, 17 5. 13 años 7. 9.6%
9. verdadero 11. falso 13. falso 15. falso
17. falso 19. verdadero 21. verdadero 23. falso 9. $4 000 11. 183 1 mi 13. 4 h
25. verdadero 3 3
15. Auto: 40 km/h bicicleta: 10 km/h

17. 3.75 qt

B. 1. 0,1, 2 3. irracional 19. 0.5 ft3 de 10% de turba; 1.5 de 30% de turba

5. izquierda 7. recíproco o inverso 21. 20% de $3.95 por libra; 80% de 4.20 por libra

multiplicativo 23. 24 h < 3.43 h 25. 75 min
7 29. 6 cm, 7 cm, 8 cm

9. x3/4 11. polinomio; 4, 3, 0 27. 10 cm por 15 cm

13. 0 b 2 a 0 15. notación científica 31. 8 cm 33. 47

17. disjunto 35. 110 37. 13 monedas de 5 centavos; Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 3

19. x es la base, 3 es el exponente o potencia 39. 27 17 monedas de 10 centavos

21. conmutativa 41. 20 43. 10 meses

C. 1. 51, 2, 3, 4, 5, 7, 96 3. 52, 46 45. (a) No hay diferencia.
(b) Sea x el costo original de un artículo. Si se obtiene
5. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 7. x 2 y $ 10
primero un d% de descuento y luego se añade f %

9. 21.4 . 2 !2 11. 2 , 0.67 de impuesto por venta queda expresado mediante
13. 3 2 !8 3

15. x2 1 5 dt
ax 2 100 xb a1 1 100 b. Si se suma primero f %
17. 2(t 1 5)

19. (a) 9.3 (b) 1.15 del impuesto por venta y luego se obtiene el d%
queda expresado mediante:
21. 108u5v8 x4
23. td
ax 1 xb a1 2 b. Factorizando, cada una de estas
2y
100 100
4c8 y1/9
25. d6 27. td
expresiones es igual a a1 1 b a1 2 b x.
x
100 100
29. 25 31. xy3

2q3 35. (3 1 !2) !xy
33. p2
Ejercicios 3.3, página 135
37. x1/2 39. 7.023 3 1027

41. 5 3 1021 1. 524, 46 3. 521, 1 6
5. 52216 2
(b) $5.267 3 1010 9. 5215, 2256
43. (a) $52 670 000 000 13. 523, 0, 36 7. 53, 46

45. 4x3 2 4x2 1 9x 2 6 47. a3 2 2a2 2 5a 2 6 17. 52 !17, !176 11. 5214, 1 6
4
49. 9z8 2 12z5 1 4z2 51. 9x4 2 25y2
15. 5225, 0, 5 6
53. (3x 1 2)(4x 2 9) 55. (y 2 3)(2x 1 3) 2

57. (2x 1 5y2) (4x2 2 10xy2 1 25y4) 19. 525 2 !5, 25 1 !56

3x 2 3 21. 521 2 !3, 21 1 !36 23. 52b, b6
61. x2 2 4
59. (2t2 2 s)2 25. 5a 2 b, a 1 b6 27. 521 2 !2, 21 1 !26

29. 5232, 216 31. 51 2 3 !1010, 1 1 3 !10 6
10
1 1
63. xy 65. x 33. 52 2 !335, 2 1 !35 6 35. 531, 26
3

r2 1 2rs 24(3x2 1 3xh 1 h2) 37. 52536 39. 514 2 !21005, 1 1 !105 6
67. s2 1 2rs 69. x3(x 1 h)3 4 20

41. sin soluciones reales 43. 512 2 !23, 1 1 !3 6
2 2

20x 1 8 73. 2!s 2 2!t 45. 56"3 2 !2, 6"3 1!26 47. 531, 46
71. (2x 1 1)3/4 s2t
49. 5222 !2, 2 1 2 !26 51. sin soluciones reales

75. 2 53. 52 !42, 0, !2 6 55. 52 !15, !156
!2x 1 2h 1 3 1 !2x 1 3 4

57. V 59. r 5 1 a2h 1 Å h2 1 2A
r 5 Ä ph 2 pb

Ejercicios 3.1, página 116 61. t 5 (2v0 1 "v20 1 2gs )/g 63. 2, 18

1. equivalente 3. equivalente 65. 4 67. 7, 15

5. no equivalente 7. 5276 69. Base: 17 cm; altura: 14 cm 71. 18 m por 20 m

9. 52156 11. 516 13. 52256 15. 5126 73. 5 000 ft2 75. 30 cm, 40 cm, 50 cm
17. 536 19. 506 21. 523.56 23. 50.56
77. 90 mi

25. 52126 27. 516 29. 506 31. 5216 79. John condujo a 53 mi/h; James, a 48 mi/h
33. 5216 35. 536 37. 516 39. 5x 0 x 2 26
81. 12 83. 3 m

41. 596 43. 516 45. [ 47. 546 85. 9 in. por 18 in. 87. 14.7 m

49. a 5 3 51. c 5 237 53. a 5 21 55. r 5 C/2p Ejercicios 3.4, página 143
59. P 5 A/(1 1 rt)
57. t 5 I/Pr 63. m1 5 Fr2/(gm2) 1. 2i
5. 2i
61. n 5 (an 2 a 1 d)/d 9. i 3. i
13. 23 2 !3i 7. 2i
65. R2 5 RR1/(R1 2 R) 11. 10i
15. 21 1 4i
67. (a) TF 5 95TC 1 32 (b) 23°F, 32°F, 60.8°F, 95°F, 212°F

69. 84 años 71. 268.2875°C

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-7

17. 2 2 13i 19. 29 2 15i ]33. [0, 6); )

21. 211 1 7i 23. 1 2 5i 0 6
35. 22x 1 7 37. 3
25. 35i 27. 1 1 4i

29. 21 1 12i 31. 210 39. 2x 2 2 41. 4

33. 218 2 16i 35. 15 1 8i 43. El número es menor que 572.

37. 4 39. 4 1 3 i 45. Con el descuento, el frasco grande es más barato si cuesta
25 25

41. 20 2 16 i 43. 1 1 1 i menos de $5.30.
41 41 2 2

45. 6 2 4i 47. i 47. Una persona puede recorrer 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 o

49. 2563 1 32 i 51. 11 1 9 i 16 cuartos de milla.
53 2 2
2163 4
53. 2 13 i 55. 9 1 i

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 3 57. x 5 2, y 5 3 59. x 5 29, y 5 220 Ejercicios 3.6, página 153
2
63. x 5 51, y 5 225
61. x 5 24, y 5 25

65. 63i 67. 6 !10 i 1. 5241, 3 6 3. 5212, 5 6
2 4 6
5. 523, 26
69. 1 2 !7 i, 1 1 !7 i 71. 24 2 6i, 24 1 6i 7. 523, 36
4 4 4 4
(245, 4 ); )
73. 1 2 !31 i, 1 1 !31 i 75. 6i, 6 !2i 9. 51, 1 2 !2, 1 1 !26 (11. 5
8 8 8 8 4
5
77. !2 1 !2 i, 2 !2 2 !2 i – 4 0
2 2 2 2 5 (

)13. (2`, 210) x (4, `); 4

Ejercicios 3.5, página 149 –10 0

15. [3, 4]; []

1. (2`, 0); ) 0 34

0 17. (2`, 21 2 !2] x [12!2, `);

3. [5, `); ] –1 –√2 1 –√2
0
5 ] [

5. (8, 10]; )[ 0
0
8 10 (19. (273, 3); )

7. [22, 4]; ] [ – 7 0 3
3

–2 0 4 21. (4.99, 5.01); 0

9. 27 # x # 9 11. x , 2 5

13. 4 , x # 20

15. 4x 1 4 $ x

4x 1 4 2 x # x 2 x d por i)

3x 1 4 2 4 # 0 2 4 d por i) ()

1 ( 3x) # 1 (24 ) d por ii) 4.95 4.99 5.01 5.05
3 3
x # 243 23. 0 x 2 4 0 , 7 25. 0 x 2 5 0 . 4

17. 0 , 2(4 2 x) , 6 27. 0 x 1 3 0 $ 2; (2`, 25] x [21, `)

0 , 8 2 2x , 6 29. 0 AB 2 AM 0 # 3 31. (11.95, 12.05)

28 1 0 , 28 1 8 2 2x , 28 1 6 d por i) 33. 0 x 2 0.623 0 # 0.005; [0.618, 0.628]

28 , 22x , 22 Ejercicios 3.7, página 159
212(28) . 221(22x) . 221(22) d por iii)
4.x.1 o 1,x,4 1. (2`, 25) x (3, ` ) 3. (2, 6)

)19. (25, `); 0 5. (2`, 0] x [5, ` ) 7. (23, 3)

–5 9. [ 11. (24, 4)

21. (2`, 4]; ] 13. [22!3, 2!3] 15. 5236

0 4 17. (22, 3) 19. [23, 3)

23. (2`, 3 ) ; ) 21. (2`, )1 x (1, `) 23. (2`, )2 x [2112, `)
4
03 3 5

4 25. (2`, 28) 27. [

29. (25, 0] x [1, ` ) 31. (2`, 21) x [1, 2]

25. ( 5 ] ] 33. (23, 22) x (21, `) 35. [22, 21] x [1, 2]
2
2`, ; 5 37. (2`, 25)
2
0 39. (2`, 24) x (24, 23) x (23, 5) x (5, `)

41. (2`, 1 2 )!5 x (1 1 !25, `)
2 2
)27. (210, 6); ) 2

6 5 !13 5 !213, `
( ] [ )43. 2 2 2
2`, 2 x 1

–10 0 45. (a) (0, 1) (b) (2`, 0) x (1, ` )

)29. (25, 3); ) 47. Sí, porque el conjunto solución de x 2 2 1 # 0 es [21, 1]

–5 0 3 49. Si el número es x . 0, entonces x . 3.

] )31. [210, 28); 51. n . 10

53. Si x representa el ancho, entonces x . 7.

–10 –8 0 55. R . 10
3

RESP-8 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

Capítulo 3. Ejercicios de repaso, página 161 19. (3, 6)
21. y
A. 1. falso 3. verdadero 5. falso 7. verdadero 9. verdadero 23. y
y=2
B. 1. x # 9 3. 26 x=0
5. x 5 5, x 5 15 7. 0 x 2 !2 0 . 3

9. 2a x x

C. 1. 5256 3. 526

5. 5 4 6 7. 5 1 2 1 i, 1 1 1 i 6 y=0
3 2 2 2 2
y = –2
9. 524, 3 6 11. 5 3 6 x = –1 x=1
2 4
27. 2 !5
13. 53 2 2!15, 3 1 !15 6 15. 565!2i6
2
25. y
17. 52, 21 2 !3i, 21 1 !3i6
Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 4
19. 56"22 1 2!3, 6"2 1 2!3i6

21. 516 23. 5696 x
25. 576 27. (2`, 23]

29. (4, 12) 31. (2`, 210) x (10, ` )

33. (231, 3) 35. [21, 5 ]
2
37. (21, 0) x (1, `)
39. (0, 1) x (1, ` )

41. (a) 26 , x # 2 (b) (26, 2] x = –4 x=4

43. (a) x $ 24 (b) [24, `) 29. 10 31. 5
pq
45. b 5 A22ac 33. no es un triángulo rectángulo 35. es un triángulo rectángulo
2(a 1 c) 47. f 5
p1q 37. es un triángulo isósceles

49. x 5 6a"b2 2 y2 51. 10 2 2i 39. (a) 2x 1 y 2 5 5 0
b
55. 1 1 (b) Los puntos (x, y) se encuentra en la bisectriz
53. 22 2 7i 5 10
1 i perpendicular del segmento de recta que une A y B.

57. 22145 2 23 i 59. x 5 136, y 5 4 41. (6, 8) y (6, 24) 43. (1, 5 )
25 2

61. x 5 22, y 5 2 63. 15, 18 45. (229, 5 ) 47. (3a, 223b)
2
65. 88 67. 59.1 mi/h
69. 2 m 71. 4 mi/h 49. (5, 21) 51. (27, 210)
73. 5 in.
75. (2, 2.5) 53. 6 55. (2, 25)

77. $10 000 a 6%; $20 000 a 8% 79. 25 57. (72, )13 , (4, 7), (29, )15

2 2

81. aproximadamente 0.34 cm Ejercicios 4.2, página 180

83. (a) t , 34.5°C 1. centro (0, 0); radio !5
y
(b) No. Si Pv 5 t 5 37° C, entonces 3. centro (0, 3); radio 7
37 5 30.1 1 0.2(37)2(4.1220.13(37))v. Se deduce que y
v 5 26590, pero no tiene sentido obtener una velocidad de
viento negativa en esta aplicación.

(c) t . 4.12/0.13 < 31.7°C x (0, 3)
85. (a) T 5 "D3/216
(0, 0) x
(b) aproximadamente 0.19245 h u 11.55 min.

Ejercicios 4.1, página 172 5. centro (21, 3 ) ; radio 1 7. centro (0, 4); radio 4
2

1. y 3. y y

(4, 5) (3, 3)

(2, 3) (–1, 4 ) (0.5, 1.5)
(0, 2) 3 1

x x

(– 1 , –2) (0, 0)
2

(–1, –3) x
1
5. II 7. III 9. II 11. I 13. III 15. IV
17. (–b, –a) y 9. centro ( 1, 2); radio 3
(–a, –a)
(b, –a) 11. centro (10, 8); radio 6
(a, b) 13. centro ( 1, 4); radio "323
15. x2 1 y2 5 1
(–b, b) (–a, b) 17. x2 1 (y 2 2)2 5 2
(a, –b) x 19. (x 2 1)2 1 (y 2 6)2 5 8
21. x2 1 y2 5 5
(b, –b) 23. (x 2 5)2 1 (y 2 6)2 5 36
(–a, –b)

(a, a)

(–b, a) (b, a) (–a, a)

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-9

25. y 27. y 5. 1; y 7. 2152

2

1 1 1 x
1 x –1 123

–1

x –2

29. y 5 3 1 "4 2 x2; x 5 "4 2 (y 2 3)2 1 9. 43; ( 4, 0), (0, 3); 11. 23; (29, 0), (0, 23);
y y
Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 4 31. y 33. y

x

xx x

13. 225; (4, 0), ( 0, 8 ) ; 15. 223; (23, 0), (0, 1);
5
y
y

35. (3 2 !13, 0), (3 1 !13, 0),

(0, 26 2 2!10), (0, 26 1 2!10) (0, 1 ); x
2 x
37. (0, 0); origen 39. (21, 0), no hay simetría

41. (0, 0); eje x 43. ( 2, 0), (2, 0), (0, 4); eje y 17. y 5 2 x 1 4 19. y 5 2
3 3 23. y 5 22x 1 7
45. (1 2 !3, 0), (1 1 !3, 0), (0, 22); no hay simetría
21. y 5 2x 1 3

47. (0, 0), (2!3, 0), ( !3, 0); origen 25. y 5 1 27. x 5 22

49. (0, 4), (0, 4); eje x 29. y 5 23x 2 2 31. x 5 5

51. (0, 3), (0, 3), ejes x y y y el origen 33. y 5 24x 1 11 35. y 5 251x 2 5

53. (2!7, 0),( !7, 0); origen 37. (a) y (c) son paralelos, (b) y (e) son paralelos; (a) y (c) son

55. ( 4, 0), (5, 0), (0, 2130); no hay simetría perpendiculares a (b) y (e); (d) es perpendicular a (f)

57. (9, 0), (0, 3); no hay simetría 39. (a) y (d) son perpendiculares, (b) y (c) son perpendiculares,
(e) y (f) son perpendiculares
59. (9, 0), (0, 9); no hay simetría
41. y 5 x 1 3
61. ( 4, 0), (4, 0), (0, 4), (0, 4), ejes x y y y el origen

63. ejes x y y y el origen 65. eje y

67. y 69. y Ejercicios 4.4, página 193

1. 12 3. 3

5. (a) F 40x (b) 1.25 ft 7. s 16t2; 400 ft; 80 ft

xx 9. La longitud debe ser 4L. 11. aproximadamente 2.06 m2

13. FL 5 k I1I2 ; FL es cuádruple
r2

71. y 15. P 5 k T aproximadamente 3 646 ft3
;
V

17. 4 de julio; aproximadamente 2 357 cm/s

19. aproximadamente 0.016 cm

x

Capítulo 4. Ejercicios de repaso, página 195

A. 1. falso 3. verdadero 5. verdadero

7. falso 9. verdadero 11. verdadero

Ejercicios 4.3, página 188 13. verdadero 15. verdadero 17. verdadero

19. verdadero 21. verdadero

1. 272; y 3. 5; y B. 1. 265 3. 43, (212, 0), (0, 16)

4 4 5. 3 7. (4, 3) y ( 4, 3)
3 3 2
2 2
1 x 1 9. (2, 27), 2 !2 11. x1 5 212; y2 5 9
123 13. cuadrantes II y IV 15. x 5 22
–1
–1 –2 x 17. semicírculo 19. !10
–2 –3
–3 –4 1 23 45 C. 1. un triángulo rectángulo
–4 –5
–5 –6 3. y 5 1 x 5. y 5 2145 x 1 8
–6 3 9. x2 1 y2 5 16

–7 7. (1, 2), (24, 4)

11. (x 1 9)2 1 (y 2 3)2 5 100, (x 2 9)2 1 (y 1 3)2 5 100

RESP-10 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

13. (0, 24) 15. x 5 4, x 5 22 (c) y (d) y
19. (3, 0), (5, 26) (e)
17. x2 5 4y 23. (g) 35. (a)
(c)
21. x 2 !3y 1 4!3 2 7 5 0 29. (d) x

25. (h) 27. (b) x
x
Ejercicios 5.1, página 205 x
y
1. 24, 2, 8, 35 3. 0, 1, 2, !6 (f) y
x
5. 232, 0, 23, !2

7. 22x2 1 3x, 28a2 1 6a, 22a4 1 3a2, 250x2 2 15x, Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 5

28a2 2 2a 1 1, 22x2 2 4xh 2 2h2 1 3x 1 3h

9. 22, 2 11. [21, `)
13. (2`, 1)
15. 5x ƒ x 2 0, x 2 36

17. 5x ƒ x 2 56 19. (2`, `)

21. [25, 5] 23. (2`, 0] x [5, ` ) y (b) y

25. (22, 3] 27. no es función

29. función 31. [24, 4], [0, 5]

33. [1, 9], [1, 6] 35. 256
37. 2, 3 39. 0, 13, 29

41. 1, 1 43. (8, 0), (0, 4) x

45. (23, 0), (25, 0), (0, 15) 47. (0, 241) (d)
yy
49. ( 2, 0), (2, 0), (0, 3)

51. f1(x) 5 !x 1 5, f2(x) 5 2 !x 1 5; [25, ` )
53. 0, 23.4, 0.3, 2, 3.8, 2.9; (0, 2)

55. 3.6, 2, 3.3, 4.1, 2, 4.1; ( 3.2, 0), (2.3, 0), (3.8, 0)

57. (a) 2; 6; 120; 5 040 (c) (n 1 1)(n 1 2) xx

Ejercicios 5.2, página 215 (e) y (f) y
x
1. par 3. ni par ni impar
7. par
5. impar 11. impar

9. par (b) y x
x
13. ni par ni impar ππ
2
15. (a) y 37. (a) (b)
y
y

x x –π – π
1 2

–1

–π π ππ x
2 2
17. (a) (b) –
y x y
y 1

(c) (d)
y
x 1

–2π – 3π π x x
2 2 π π 3π
19. f (2) 5 4, f (23) 5 7 21. g(1) 5 5, g(24) 5 28 –π – – π 22
25. ( 8, 1), ( 3, 4) 2
23. (22, 3), (3, 22) 29. (2, 1), ( 3, 4)
(b) y –1 –1

27. ( 6, 2), ( 1, 3) x

31. ( 2, 15), (3, 60) (e) (f )
33. (a) y y
y 1

1

π ππ x π x
2 2 2 ππ
–π – –π – 2

x –1 –1

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-11

(g) y (h) y 23. (a) (1, 0), (2, 0), (0, 2) (b) y 5 (x 2 )3 2 2 1
4
1 ( )32, 214 3 2
2 2
(c) , x 5 (d) y

1 –π – π 1 π x
x 2 2 2 π
π
–π π π –
2 2
–

–1 x

39. y 5 (x 2 1)3 1 5 41. y 5 2(x 1 7)4 25. (a) (0, 3) (b) y 5 4(x 2 )1 2 1 2

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 5 (21, 2), 1 2
2
(c) x 5 (d) y

Ejercicios 5.3, página 224

1. f (x) 5 1 x 1 11
2 2

3. (265, 8 ) ; 5. ( 1, 3);
3 y

y

x

27. (a) (1 2 !3, 0), (1 1 !3, 0), (0, 1)
221 ( x 3
(b) y 5 2 1)2 1 2

(c) (1, 3 ) , x 5 1
2

(d) y

x x
9. 2x 1 h
7. 9 x
15. y
11. 2x 4 h
13. y

x 29. (a) (5, 0), (0, 25)
(b) y 5 (x 2 5)2

(c) (5, 0), x 5
(d) y

17. y x
x
5

x
1

31. El mínimo valor de la función es f (4 ) 5 2133; [2133, `)
3

33. Creciente en [0, `), decreciente en [2`, 0]

35. Creciente en (2`, 23], decreciente en [23, `)
37. La gráfica de y 5 x2 se desplaza horizontalmente 10 unidades

19. (a) (0, 0), ( 5, 0) (b) ( )y 5x 1 5 2 2 25 a la derecha.
2 4 39. La gráfica de y 5 x2 se comprime verticalmente, luego se refle-
(c) (252, )2245 , x 5 252
(d) y ja en el eje x, después se desplaza horizontalmente 4 unidades

x a la izquierda y luego verticalmente 9 unidades hacia arriba.
41. Como f(x) 5 (2x 2 6)2 2 4 5 (x 1 6)2 2 4, la gráfica de f es

la gráfica de y 5 x2 desplazada horizontalmente 6 unidades ha-

cia la izquierda y luego desplazada verticalmente 4 unidades

hacia abajo.

43. y 5 (x 1 2)2 45. y 5 2x2 2 1

47. y 5 2(x 2 1)2 1 5 49. f (x) 5 2x2 1 3x 1 5

51. f (x) 5 4(x 2 1)2 1 2

21. (a) ( 1, 0), (3, 0), (0, 3) (b) y 5 2(x 2 1)2 1 4 53. ( 4, 8), (1, 3), 55. ( 2, 2), (0, 2),
(c) (1, 4), x 1 (d) y
yy

x x
x
RESP-12
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

57. (a) d 2 5 5x2 2 10x 1 25 (b) (1, 2) 21. ( 3, 0), (1, 0), (0, 1); 23. (53, 0), (0, 25);
59. (a) s(t) 5 216t2 1 64t 1 6, v(t) 5 232t 1 64 continua;
y continua;
(b) 70 ft, 0 ft/s (c) 4 s, 64 ft/s x y

61. (a) 117.6 m, 9.8 m/s (b) en 5 segundos (c) 49 m/s 25. ( 1, 0), (1, 0), (0, 1); 27. (0, 0), (2, 0); x
continua; continua;
63. (a) TF 5 9 TC 1 32 y y
5

65. $1 680.00; aproximadamente 35.3 años
67. (a) La gráfica de R(D) 5 2kD2 1 kPD es una parábola con

vértice en 2b/2a 5 (2kP)/(22k) 5 P/2. Como k es po-

sitiva, la gráfica se abre hacia abajo, y por tanto R(D) es

un máximo en este valor. Puesto que R(D) mide la velo-

cidad de propagación de la enfermedad, se concluye que Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 5

ésta se difunde más rápido cuando la mitad de la población

está infectada.
(b) 3 3 1025

(c) aproximadamente 48

(d) aproximadamente 62, 79, 102 y 130

Ejercicios 5.4, página 232 x x
x
1. 2, 4, 5 3. 3, 0, 8, 2 1 2!2 29. (22, 0), (2, 0), (0, 2); 31. (1, 0), (0, 1);
continua; continua;
5. (a) 1 (b) 1 (c) 0 (d) 1 (e) 1 (f) 0 y y
7. (a) 3 (b) 21, !2 (c) !3 22, 1 (d) !3 23, 0

(e) !3 (f) 2 11. (0, 0); continua;
9. (0, 0); continua;

yy

x

x
x

33. (1, 0), (0, 1); continua;

y

13. Los puntos (x, 0) son las intersecciones y x
con el eje x, donde 22 # x , 21; 4
(0, 2) es la intersección con el eje y; 3 35. 521, 16
la función es discontinua en cada valor
entero de x. 2
1

–4 –3 –2 –1 123 x x 1 2, x , 0
–1 37. f (x) 5 • 22x 1 2, 0 # x , 2
–2
22, x $ 2

2x, x , 23

15. Los puntos (x, 0) son las inter- y 39. f (x) 5 • "9 2 x2, 23 # x , 3

secciones con el eje x, donde 2 x, x $ 3

0 # x , 1; (0, 0) es la intersección 1 41. y
x 4
con el eje; la función es disconti-
nua en cada valor entero de x. –2 –1–1 1 2 3 4 5 2

–2

–3 2 4x

–4 –4 –2
–2

17. ( 3, 0), (0, 3); continua; y 43. f (x) 5 e 1, x . 0
21, x , 0

45. k 5 1

x 22, 23 , x # 22
21, 22 , x # 21

19. ( 2, 0), (2, 0), (0, 2); continua; y 47. g(x) 5 <x= 5 f 0, 21 , x # 0
1, 0 , x # 1

2, 1 , x # 2

3, 2 , x # 3
x

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-13

Ejercicios 5.5, página 240 39. y 41. y

1. ( f 1 g) (x) 5 3x2 2 x 1 1, dominio: (2`, ` )

( f 2 g) (x) 5 2x2 1 x 1 1, dominio: (2`, ` )

( fg) (x) 5 2x4 2 x3 1 2x2 2 x, dominio: (2`, ` ) x
x
( f/g)(x) 5 (x2 1 1) / (2x2 2 x), números reales, excepto
1
x 5 0 y x 5 2

3. ( f 1 g)(x) 5 x 1 !x 2 1, dominio: [1, `),

( f 2 g)(x) 5 x 2 !x 2 1, dominio: [1, `), 43. y
( fg)(x) 5 x !x 2 1, dominio: [1, `),

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 5 ( f/g)(x) 5 x/ !x 2 1, dominio: [1, `)

5. ( f 1 g) (x) 5 3x3 2 3x2 1 3x 1 1, dominio: (2`, ` ),

( f 2 g) (x) 5 3x3 2 5x2 1 7x 2 1, dominio: (2`, ` ),

( fg) (x) 5 3x5 2 10x4 1 16x3 2 14x2 1 5x, dominio: (2`, ` ),

( f/g) (x) 5 (3x3 2 4x2 1 5x) / (1 2 x)2, números reales, x

excepto x 5 1 45. (a) ( 2, 3), (1, 0) (b) d 5 2x2 2 x 1 2
7. ( f 1 g)(x) 5 !x 1 2 1 !5 2 5x, dominio: [22, 1],
(c) 9
( f 2 g)(x) 5 !x 1 2 2 !5 2 5x, dominio: [22, 1], 4
( fg)(x) 5 !5(x 1 2)(1 2 x), dominio: [22, 1],
47. (a) 28x 2 4h (b) 224.4
(b) 17.3
49. (a) 6x 1 3h 2 1 (b) 32.91

f 5 x12 dominio: [22, 51. (a) 3x2 1 3xh 1 h2 1 5
a g b (x) , 1]
Å5 2 5x 1
53. (a) (b) 10
9. 10, 8, 21, 2, 0 (4 2 x)(4 2 x 2 h) 9

11. ( f + g)(x) 5 x, dominio: [1, `); 55. (a) 21 (b) 2251
(g + f ) (x) 5 "x2 5 ƒ x ƒ, dominio: (2`, ` )
(x 2 1)(x 1 h 2 1)

13. (f + g)(x) 5 1 , dominio: (2`, `); 1 83
1 93
2x2 1 57. (a) 12 (b)
x(x 1 h)
4x2
(g + f )(x) 5 4x2 2 4x 1 2 x 5 1 59. 2
2 4x 1 , números reales, excepto 2 !x 1 h 1 !x

1

15. ( f + g)(x) 5 x, (g + f )(x) 5 x 61. d 5 "10 000 1 250 000t2; aproximadamente 2 502 ft

17. (f + g)(x) 5 x3 1 1 (g + f )(x) 5 x2
x , x3 1 1

19. ( f + g)(x) 5 x 1 1 1 !x 2 1, Ejercicios 5.6, página 247 3. no es uno a uno
(g + f )(x) 5 x 1 1 1 !x 9. no es uno a uno
1. no es uno a uno
21. ( f + f )(x) 5 4x 1 18, a f + 1b (x) 5 6x 1 19 5. uno a uno
f x13 7. uno a uno;

23. (f + f )(x) 5 x4, af + 1 5 1 yy
f b(x) x4

25. ( f + g + h)(x) 5 ƒx 2 1ƒ x
27. ( f + g + g) (x) 5 54x4 1 7 x

29. ( f + f + f )(x) 5 8x 2 35
31. f (x) 5 x5, g(x) 5 x2 2 4x
33. f (x) 5 x2 1 4 !x, g(x) 5 x 2 3

35. y y 19. El dominio es [4, `); el rango es [0, `)
x
21. f 21(x) 5 4 x . 0, y . 0
x2,
25. f 21(x) 5 !3 x 2 2,
23. f 21(x) 5 212 x 1 3,

37. ... ... y x y y
y= 1 x f f

x + 3, – 3 ≤ x < –2 –3 –2 –1 f –1 f –1
x + 2, – 2 ≤ x < –1 x x
x + 1, –1≤x<0
x, 1 23
x – 1, 0≤x<1
x – 2, 1≤x<2
2≤x<3

RESP-14 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

27. f 21(x) 5 (2 2 x)2, x # 2, 27. A(x) 5 12xp 2 x2, [0, 1 p]
y 2

29. F(x) 5 2x 1 16 000 , (0, `)

x

31. C(x) 5 4x 1 640 000 , (0, ` )

f –1 x

33. A(x) 5 x2 1 128 000 (0, `)
,
x
f
x 35. V(x) 5 20x 2 40x2, [0, 1 ]
2

29. f 21(x) 5 x 1 1 el dominio de f 21 es el conjunto de los nú- 37. 64
, A(y) 5 40 1 4y 1 , (0, ` )
y
2x Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 5
meros reales, excepto x 5 0; su rango es el conjunto de los 39. V(x) 5 5x"64 2 x2, [0, 8]

números reales, excepto 21; el rango de f es el conjunto de
los número reales, excepto y 5 0

31. f 21(x) 5 3x , dominio de f 21 es el conjunto de números Ejercicios 5.8, página 260
2x 2 7
1. y 5 0.4x 1 0.6
reales, excepto x 5 72; rango de f 21 es el conjunto de núme- 3. y 5 1.1x 2 0.3
ros reales, excepto y 5 23; rango de f es el conjunto de números 5. y 5 1.3571x 1 1.9286
7 7. v 5 20.8357T 1 234.333; 117.335, 100.621
reales, excepto y 5 2 9. (a) y 5 0.5996x 1 4.3665; y 5 20.0232x2 1 0.5618x 1 4.5942;

33. (20, 2) 35. (12, 9) y 5 0.00079x3 2 0.0212x2 1 0.5498x 1 4.5840

( (37. 39.
y y = f –1(x) y 3, 0
2
x

(0, 1) y = f (x)

(0, –1) Capítulo 5. Ejercicios de repaso, página 261
x
A. 1. falso 3. falso

41. f 21(x) 5 1 !x 2 2, x $ 2; 43. f 21(x) 5 2"1 2 x2, [0, 1]; 5. verdadero 7. verdadero
2 y f –1 9. verdadero 11. verdadero
13. verdadero 15. falso
y 17. falso 19. verdadero

f

21. verdadero

1 f B. 1. 231 3. (2`, 5)
5. x 5 0, x 5 2 7. 22

f –1 9. f (x) 5 4x 1 4

x 1 x 11. (1 2 !2, 0), (1 1 !2, 0), (0, 21)
7
Ejercicios 5.7, página 254 13. f (x) 5 4 ( x 1 2)2 15. (10, 2)

17. (0, 5) 19. 28

1. 50 C. 1. f (x) 5 x2, g(x) 5 3x 2 5
S(x) 5 x 1 , (0, `) x
x
3. (a) y 5 (x 1 3)3 2 2 (b) y 5 x3 2 7 (c) y 5 (x 2 1)3
3. S(x) 5 3x2 2 4x 1 2, [0, 1] (d) y 5 2x3 1 2 (e) y 5 2x3 2 2 (f ) y 5 3x3 2 6

5. A(x) 5 100x 2 x2, [0, 100] 5. dominio:(p/2, 3p/2); rango:(2`, `)

7. A(x) 5 2x 2 1 x2, [0, 4] x 1 1, x , 0 y
2

9. d(x) 5 "2x2 1 8, (2`, ` ) 7. f (x) 5 • 2x 1 1, 0 # x , 1,

11. P(A) 5 4!A, (0, `) x 2 1, x $ 1

13. 1 x
d(C ) 5 C, (0, `)
p

15. A(h) 5 1 h2, (0, ` ) 9. A partir de la gráfica de f se observa que f (x) . 0 para toda x;
!3
por tanto, el dominio de g es (2`, `).
17. A(x) 5 1 x2, (0, ` ) 11. f 21(x) 5 21 1 !3 x
4p
13. 26x 2 3h 1 16
19. s(h) 5 30h
, [0, 25) 2x 1 h
25 2 h 15. 2x2(x 1 h)2

21. S(w) 5 3w2 1 1 200 (0, `) 17. A(h) 5 h2(1 2 p/4)
,
w 19. d(s) 5 !3s

23. d(t) 5 20"13t2 1 8t 1 4, (0, ` )

25. 120h2, 0#h,5 21. (a) d(t) 5 6t (b) d(t) 5 "902 1 (90 2 6t)2
V(h) 5 e , [0, 8] 23. A(x) 5 2x(1 2 px), donde x es el radio del semicírculo
1 200h 2 3 000, 5 # h # 8

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-15

Ejercicios 6.1, página 273 35. y 37. y

1. y 3. y

1 x 1 x 1 x 1
1 1 1 1
x

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 6 5. y 7. y 39. y 41. (b) f (x) 5 (x 2 1)2(x 1 2)
x x x
1
1

9. impar 11. ni par ni impar 43. k 5 2176 45. k 5 2130
13. (f) 17. (b)
19. 15. (e) 21. y 47. los enteros positivos impares
y
49. el dominio es [0, 15]; V

la gráfica de V es: 3 000

2 000

1 1 000

x 1 x x
1 1 5 10 15 20 25

Ejercicios 6.2, página 281

23. y 25. y 1. f (x) 5 x2 # 8 1 4x 2 7

3. f (x) 5 (x2 1 x 2 1) # (5x 2 12) 1 21x 2 11

5. f (x) 5 (x 1 2)2 # (2x 2 4) 1 5x 1 21

x 7. f (x) 5 (3x2 2 x) # (9x 1 3) 1 4x 2 2
x
9. f (x) 5 (6x2 1 4x 1 1) # (x3 2 2) 1 12x2 1 8x 1 2

11. r 5 6 13. r 5 29
15. r 5 76 8

17. f (2) 5 2

19. f (25) 5 274 ( )21. f 1 5 303
23. q(x) 5 2x 1 3, r 5 11 2 16

27. y 29. y 25. q(x) 5 x2 2 4x 1 12, r 5 234

27. q(x) 5 x3 1 2x2 1 4x 1 8, r 5 32

29. q(x) 5 x4 2 4x3 1 16x2 2 8x 1 32, r 5 2132

x 31. q(x) 5 x2 2 2x 1 !3, r 5 0

1 33. f (23) 5 51 35. f (1) 5 1
1
37. f (4) 5 5 369 39. k 5 21

x 41. k 5 215 43. k 5 24

Ejercicios 6.3, página 288

31. y 33. y 1. f (x) 5 4(x 2 1 ) ( x 2 1)2
4

1 3. 5 no es cero
1
x 1 5. f (x) 5 3(x 1 2 ) ( x 2 2 1 !2 ) (x 2 2 2 !2 )
1 3

x 7. f (x) 5 4(x 1 3)(x 2 5)(x 2 1 ) (x 1 )1
2
2

9. f (x) 5 9(x 2 1)(x 1 )1 2(x 1 8)

3

11. x 2 5 no es un factor

13. f (x) 5 (x 2 1)(x 1 1 1 1 !7i) ( x 1 1 2 1 !7i)
2 2 2 2

15. x 2 1 no es un factor
3

17. f (x) 5 (x 2 1)(x 2 2)(x 2 2i)(x 1 2i)

19. f (x) 5 2(x 2 1)2(x 1 1)(x 1 )3

2

RESP-16 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

21. f (x) 5 3(x 2 5 ) ( x 1 2i ) ( x 2 2i) 7. Asíntotas: x 5 223, y 5 2 9. Asíntotas: x 1, y 1
3
Intersecciones: (49, 0), (0, 23) Intersecciones: (1, 0), (0, 1)
23. f (x) 5 5(x 2 2 ) ( x 1 1 2 i)(x 1 1 1 i)
5 yy

25. f (x) 5 (x 2 3)(x 1 3)(x 2 1 1 2i)(x 2 1 2 2i)

27. f (x) 5 (x 2 2) (x 2 1) (x 1 3)2 5 x4 1 3x3 2 7x2 2 15x 1 18

29. f (x) 5 x5 2 6x4 1 10x3

31. f (x) 5 x2 2 2x 1 37 2

33. 0 es una raíz simple; 5 es una raíz de multiplicidad 2; 1 es una –2 2 x x
4 2 –2

raíz de multiplicidad 3

35. 232 es una raíz de multiplicidad 2; 2 es una raíz de multiplicidad 2
3

37. k 5 236; f (x) 5 2(x 2 3)(x 1 1 2 !5i)(x 1 1 1 !5i) Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 6

39. f (x) 5 2116(x 2 4) (x 1 2)2

11. Asíntotas: x 1, y 0 13. Asíntotas: x 0, y 0

Intersecciones: (0, 1) Intersecciones: ninguno

Ejercicios 6.4, página 295 yy

1. 2 3. 3 5. 1 (multiplicidad 2)
5 2

7. no hay raíces racionales 9. 31, 3
2

11. 0, 1 13. 23, 0, 2 15. 3
2
x
17. 215 19. 221(multiplicidad 2); 1 ( multiplicidad 2) x
3

21. 83, 221 2 1 !5, 221 1 1 !5;
2 2

f (x) 5 (8x 2 3)(x 1 1 1 1 !5) (x 1 1 2 1 !5)
2 2 2 2

23. 54, 52, 2 !2, !2;

f (x) 5 (5x 2 4)(2x 2 5)(x 1 !2)(x 2 !2)

25. 24, 21, 1, 2!5, !5; 15. Asíntotas: x 1, 17. Asíntotas: x 0,

f (x) 5 (x 1 4)(x 1 1)(x 2 1)(x 1 !5)(x 2 !5) x 1, y 0 x 2, y 0
Intersecciones: (0, 0) Intersecciones: ninguno
27. 0, 1, 3, 21 2 !2, 21 1 !2;
y y
f (x) 5 4x(x 2 1)(x 2 3)(x 1 1 1 !2)(x 1 1 2 !2)

29. 21, 1 (multiplicidad 2); f (x) 5 (x 1 1) (4x 2 1)2(x2 2 2x 1 3)
4

31. 212

33. 223, 2, 22 2 !3, 22 1 !3 xx

35. 1(multiplicidad 3)

37. f (x) 5 3x4 2 x3 2 39x2 1 49x 2 12

39. f (x) 5 216(x 2 1) (x 2 2) (x 2 3)

41. 3 in. o 1 ( 7 2 !33) < 0.63 in.
2

19. Asíntotas: x 0, 21. Asíntotas: x 1, y 2

Ejercicios 6.5, página 298 y1 Intersecciones ( 2, 0), (2, 0),
Intersecciones: ( 1, 0), (1, 0) (0, 8)

1. 21.531 3. 21.314 yy

5. 1.611; 3.820 7. 21.141; 1.141

9. 1.730 in.

Ejercicios 6.6, página 310

1. x 3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001 x
f1x2 62 602 6 002 60 002 600 002
2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999 x
x 258 2598 25 998 259 998 2599 998
f1x2 23. Asíntotas: x 0, 25. Asíntotas: x 2,

3. Asíntotas: x 5 2, y 5 0 5. Asíntotas: x 5 21, y 5 1 yx yx2
Intersecciones: (0, 0)
Intersecciones: (0, 221) Intersecciones: ( 3, 0), (3, 0) Intersecciones: (0, 0)
y
y yy

xx
x

x

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-17

27. Asíntotas: x 1, 29. Asíntotas: x 1, 3. 7x3 1 14x2 1 22x 1 53 1 109
x22
yx1 x 0, y x 1

Intersecciones: (3, 0), ( 1, 0), (0, 3) Intersecciones: (2, 0) 5. r 5 f (23) 5 2198 7. n entero positivo impar

yy 9. 61, 63, 65, 615, 621, 632, 652, 6125, 614, 634, 645, 6145,

681, 683, 658, 6185

11. f (x) 5 (x 2 2)(x 2 7 1 1 !3i) ( x 2 7 2 1 !3i)
2 2 2 2

xx 13. k 5 2221 15. k 5 3
2

17. f (x) 5 3x2(x 1 2)2(x 2 1) 19. (f )

21. (d) 23. (h)

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 7 25. (c) 27. (b)

29. y 5 0, x 5 24, x 5 2, (22, 0), (0, 2 1 ) ,
4

y

31. (3, 0); 33. (4, 4);
y
y
1

x

2 x

2

x

–1 –5 –2 5

35. ( 3, 6) 37. x25 Ejercicios 7.1, página 323 3. (0, 1); y 0; decreciente
3x(x 2 3) y5 y x
x22 1. (0, 1); y 0; decreciente
39. y 5 y –4 –2 2
(x 1 1)(x 2 2) 4 –1

41. Hay un hoyo en la gráfica 43. Hay un hoyo en la gráfica en 3

en x 1 x1 2 –2

Intersecciones: ( 1, 0), (0, 1) Intersecciones: ninguno 1

yy x –3

–4 –2 24 –4

x x 5. (0, 2); y 0; creciente 7. (0, 4); y 5; creciente
45. R S 5 cuando r S ` y y
47. I(x) S ` cuando x S 01; 4 2 x
I(x) S ` cuando x S 1002 2
3 –4 –2
–2
2
–4
1

–4 –2 x
2

R I 9. (0, 2); y 3; creciente 11. (0, 21 1 e23); y 1;

5 creciente

y y
4 4

5 r 0.1 2 2
2 4x
x –2 x
100 –2 2

Capítulo 6. Ejercicios de repaso, página 313 –4 –2

A. 1. verdadero 3. verdadero 13. f (x) 5 6x 15. f (x) 5 (e22)x 5 e22x
5. verdadero 7. verdadero 17. (5, `) 19. (210, 0), (0, 10)
9. verdadero 11. falso 21. x . 4 23. x , 2
15. falso 25. y 27. y
13. falso
17. verdadero 1 3

B. 1. (1, 0); (0, 0), (5, 0) 3. f (x) 5 x4 x
7. x 5 1, x 5 4 1 2 3 45
5. k 5 2 11. n 5 0, n 5 1, n 5 2 2
3

9. y 5 212 1

C. 1. 3x3 2 12x 1 1 1 212x 1 5 x
2x2 2 1 –1 1

RESP-18 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

29. y 31. y x 41. el intervalo ( 3, 3) 43. log10 50
1 1234 45. ln (x2 2 2) 47. ln1 5 0
–1
–1 x –2 49. 0.3011 51. 1.8063
–1 1 –3
–2 –4 53. 0.3495 55. 0.2007
–3 35.
57. 0.0969 59. 1.6609
33.
61. ln y 5 10 ln x 1 1 ln ( x2 1 5) 2 1 ln (8x3 1 2)
2 3

63. ln y 5 5 ln (x3 2 3) 1 8 ln (x4 1 3x2 1 1)

221 ln x 2 9 ln (7x 1 5)

y y 123 x Ejercicios 7.3, página 336 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 7
4 –3 –2 –1
3 1. 2 3. 2
2
1 5. 1.0802 7. 2

–2 x –1 9. 3 11. 0.3495
2
13. 2.7712 15. 64

37. 26 29 17. 63 19. 20.8782
9 9
y 5 x 1 21. 32 23. 45

25. 6110 27. 81
31. 100
Ejercicios 7.2, página 329 29. 3 35. 1
2

1. 221 5 log 4 1 3. 4 5 log 1010 000 33. 2, 8
2 7. 27 5 128
11. bv 5 u 37. 4 39. 7
5. 2s 5 log tv 15. 3 41. 0, 2 2
19. 36
9. ( !3)8 5 81 23. f (x) 5 log7 x 43. 1, 16
27. (2`, 0); (21, 0), x 5 0
13. 27 45. log5 (1 1 !2) 5 ln(1 1 !2)
y
17. e 2 ln 5

21. 1 x 47. e22, e 49. 0
7 –2 –1
51. (23, 0)
25. (0, ` ); (1, 0), x 5 0 –2
(1 ln 43, 0)
y –4 53. 1 ln < (1.7925, 0)

55. (23, 0), (22, 0), (0, 0)

4 57. aproximadamente 20.6606

2 59. aproximadamente 20.4481, 1.5468

x y y
12 y = 4ex
–2

29. (23, `); (5, 0), x 5 23 31. (0, `); (e, 0), x 5 0

y y y = 3–x y = 3x2 x
4 2 x y = 2(3)x
3 63. e23, e3
2 1 23 4 5
1 x

x –2
–2 2 4 6 8
–4 61. !10 < 3.1623
–1

33. 21 , x , 0 y
y = log10x
35. ln x, x . 0
f (x) 5 e ln(2x), , (21, 0), (1, 0), x 5 0 1
x , 0

y x x
1 24
10
–4 –2
–1 y = log10 10
–2 x
–3

37. y 39. el intervalo (32, `) 65. 9 67. x < 2.1944
3

2 Ejercicios 7.4, página 345
1
1. (a) P(t) 5 P0e0.3466t (b) 5.66P0 (c) 8.64 h
x 3. 2 344 5. 201
224

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-19

7. (a) 82 (b) 8.53 días (c) 2 000 17. C, D, A, B 312h 2 3
(d) P 19.

2000 h

21. (ii) 23. (iv)

1500 25. (iii)

27. desplazamiento hacia arriba de una unidad

1000 ( )29. f (x) 5 5e(216 ln5)x 5 5e20.2682x 1 x
31. f(x) 551 2

500 33. Después de duplicarse se necesitan 9 horas para volverse

t a duplicar. Dicho de otro modo, se requieren 18 horas

5 10 15 20 para que la población cuadruplique su tamaño original.

(días) 35. 0.0625A0 o 6 41% de la cantidad inicial A0
37. 4.3%
Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 8 9. A(t) 5 200e20.005077t; 177 mg
11. aproximadamente 100 g, 50 g, 25 g 39. 1
13. aproximadamente k 5 20.08664; 34.58 días x 5 [ln b 2 ln (ln a 2 lny)]
15. 0.6730 A0; 0.2264 A0 c
17. Aproximadamente 16 253 años
19. Aproximadamente 92% Ejercicios 8.1, página 362
21. (a) 220.2° F (b) 9.2 minutos (c) 80°F
23. 8.74 minutos 1. y 3. y
25. Aproximadamente 1.6 horas
27. $4 851 651.95; $2.35 3 1015 60° 135°
29. $3 080.37 en interés x x
31. (a) 6 días (b) 19.84%

33. t 5 L ln a1 2 IR b 5. y 7. y
2
RE

35. aproximadamente 25 veces más fuerte

37. 5.5 39. 6 x x
1140° x
41. 7.6 43. 5 3 1024 9. y –240°

45. 2.5 3 1027 47. 10 veces más ácida 3x 11. y

49. 158.5 veces más ácida 51. 5.62 3 1025 ergs 7
6
53. 1022 watts/cm2

55. 65 dB

57. (a) 2.46 mm (b) 0.79 mm, 0.19 mm (c) 7.7 3 1026 mL

Ejercicios 7.5, página 351 13. y 15. y

7. (a) !13 (b) !2133, 2 !313, !213, 223
2

x 3 radianes
–6 x

Capítulo 7. Ejercicios de repaso, página 352

A. 1. verdadero 3. verdadero 5. verdadero 17. 10.6547° 19. 5.17°

7. falso 9. verdadero 11. falso 21. 210°46r48s 23. 30°48r36s

13. verdadero 25. p/18 27. p/4

B. 1. (0, 5); y 5 6 3. (23, 0); x 5 24 29. 3p/2 31. 223p/18
5. 21
7. 1 000 33. 40° 35. 120°
9. 6
13. 3 11. 1 37. 225° 39. 177.62°
17. 27.8577 9
21. 8
15. 3 1 e 41. 155° 43. 110°

19. 64 45. 2205° 47. 7p/4

49. 1.3p 51. 2p 2 4 < 2.28

C. 1. log5 0.2 5 21 3. 91.5 5 27 53. 2p/4
7. 221
5. 22 55. (a) 41.75° (b) 131.75°
11. 22 1 ln6
ln 7 57. (a) El ángulo dado es mayor a 90°. (b) 81.6°
9. 1 2 log2 7 5 1 2 ln 2
59. (a) p/4 (b) 3p/4

13. m 5 1 ln(P/S) 15. y 61. (a) El ángulo dado es mayor que p/2. (b) p/3
2 4
63. (a) 216°; 1.2p (b) 21 845°; 210.25p
r
65. Porque la aguja de la hora se mueve en sentido dextrógitro:

2 260°, 2p/3

x 67. (a) 16 h (b) 2 h

–4 –2 24 69. (a) 9 (b) 15
–2
71. (a) 1.5 (b) 85.94°
–4
75. (a) 0.000072921 rad/s (b) 3.074641 km/s

77. 1.15 millas terrestres

RESP-20 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

79. (a) 3p rad/s (b) 300p cm/s 5. sen u 5 1, cos u 5 0, tanu no está definida, cscu 5 1, secu
81. (a) 711.1 rev/min (b) 4 468 rad /min no está definida, cot u 5 0

Ejercicios 8.2, página 369 7. sen u 5 3 !1313, cos u 5 22 !1313, tan u 5 232, csc u 5 !313,
sec u 5 2 !213, cot u 5 223

1. sen u 5 54, cos u 5 35, tan u 5 43, cot u 5 34, sec u 5 53, csc u 5 5 9. sen u 5 2 !33, cos u 5 2 !36, tan u 5 !22, csc u 5 2 !3,
4

3. sen u 5 3 !1010, cos u 5 !1010, tan u 5 3, cot u 5 31, sec u 5 2 !26, cot u 5 !2

sec u 5 !10, csc u 5 !10 11. III 13. II
3 15. I 17. II

5. sen u 5 25, cos u 5 !521, tan u 5 2 !2121, cot u 5 !221,

sec u 5 5 !2121, csc u 5 5 19. cos u 5 2 !415, tan u 5 2 !1515, csc u 5 4, sec u 5 4 !15 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 8
2 cot u 5 2 !15 2,

7. sen u 5 13, cos u 5 2 !3 2, tan u 5 !42, cot u 5 2 !2, 15

sec u 5 3 !4 2, csc u 5 3 21. sen u 5 23 !1010, cos u 5 2 !1010, csc u 5 2 !310, sec u 5 2 !10,

9. sen u 5 y x yx
, cosu 5 , tanu 5 , cotu 5 , 1
"x2 1 y2 "x2 1 y2 x y cot u 5 3

"x2 1 y2 "x2 1 y2 23. sen u 5 2110, cos u 5 3 !1011, tan u 5 2 !3311, sec u 5 103!311,

secu 5 , cscu 5 cotu 5 23 !11
xy
25. cos u 5 2 !5 6, tan u 5 2 !126, csc u 5 25, sec u 5 51!26,
11. tan u 5 23, cot u 5 23, sec u 5 !313, csc u 5 !13 cotu 5 22 !6
2

13. tan u 5 21!55, cot u 5 3 !2 5, sec u 5 71!55, csc u 5 7 27. sen u 5 8 !6565, cos u 5 !6565, csc u 5 !865, sec u 5 !65, cotu 5 1
2 8

15. cos u 5 8 !6565, cot u 5 8, sec u 5 !865, csc u 5 !65 29. 6 !91
10

17. sen u 5 53, cos u 5 54, tan u 5 43, cot u 5 4 31. sen u 5 6 !55, cos u 5 62 !5
3 5

19. sen u 5 2 !3 2, tan u 5 2 !2, cot u 5 !42, sec u 5 3 33. cos u 5 251, sen u 5 62 !6
5

21. cos u 5 153, tan u 5 152, cot u 5 152, sec u 5 153, csc u 5 13
12
35. u (radianes)
23. sen u 5 12, cos u 5 !23, tan u 5 !33, cot u 5 !3, csc u 5 2 0° u (grados) seno u coseno u tan u
0 0 1 0
25. sen u 5 2 !2929, cos u 5 5 !2929, cot u 5 52, sec u 5 !529, csc u 5 !29
2

27. sen u 5 2 !710, cos u 5 37, tan u 5 2 !310, cot u 5 3 !2010, csc u 5 7 !10 30° p 1 !3 !3
20 45° 6 2 23

29. 1 ( !6 2 !2) 31. !2 2 1 p !2 !2
4 4 2 2
1
33. 3 35. 2 37. 21

39. 0 41. 5 43. 1 60° p !3 1 !3
49. !3 3 2 2
45. 1 47. 1
2

51. 2 !3 53. 1 90° p 1 0—
3 2 2

Ejercicios 8.3, página 374 120° 2p !3 221 2 !3
135° 3 2
150°
1. tan45° 5 1, cot45° 5 1, sec45° 5 !2, csc45° 5 !2 180° 3p !2 2 !2 21
210° 4 2 2
225°
3. 1 5. 2 7. !2 240° 5p 1 2 !3 2 !3
4 2 270° 6 2 2 3
(1 300°
9. 18 11. !6 1 !2) 315°
4 330°
360°
13. 9!3 15. 0 17. 2!2 p 0 21 0

19. 3 21. 2 2 !3 7p 212 !3 !3
4 6 2 3

23. sen 17° 5 0.2924, cos17° 5 0.9563, tan17° 5 0.3057, 2

cot17° 5 3.2709, sec17° 5 1.0457, csc17° 5 3.4203 5p 2 !2 2 !2 1
4 2 2
25. sen 14.3° 5 0.2470, cos14.3° 5 0.9690, tan14.3° 5 0.2549,

cot14.3° 5 3.9232, sec14.3° 5 1.0320, csc14.3° 5 4.0486 4p 2 !3 221 !3
3 2
27. sen 71.50417° 5 0.9483, cos71.50417° 5 0.3172,

tan71.50417° 5 2.9894, cot71.50417° 5 0.3345, 3p 21 0 —
2

sec71.50417° 5 3.1522, csc71.50417° 5 1.0545

29. sen p 5 0.5878, cos p 5 0.8090, tan p 5 0.7265, 5p 2 !3 1 2 !3
5 5 5 3 2 2

cot p 5 1.3764, sec p 5 1.2361, csc p 5 1.7013 7p 2 !2 !2 21
5 5 5 4 2 2

31. sen 0.6725 5 0.6229, cos0.6725 5 0.7823,

tan0.6725 5 0.7963, cot0.6725 5 1.2558, 11p 221 !3 2 !3
6 2 3
sec0.6725 5 1.2783, csc 0.6725 5 1.6053

2p 0 1 0

Ejercicios 8.4, página 383

1. sen u 5 45, cos u 5 53, tan u 5 34, csc u 5 54, sec u 5 35, cot u 5 3 37. 21 39. !3
4
41. !3 43. 22
3. sen u 5 21123, cos u 5 153, tan u 5 2152, csc u 5 21132, 2

sec u 5 153, cot u 5 2152 45. 22 47. 1
2

49. 1 51. no definido

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-21

53. 60°, 240° 55. 135°, 225° Ejercicios 9.2, página 404
59. 0, p
57. 270° 1. y 3. y
63. 5p/6, 11p/6 3
61. 3p/4, 5p/4 3 2
(b) 983.21642 cm/s2 2 1
65. 4.81 m 1
1 x 7. y 5 23 sen x
67. (a) 978.0309 cm/s2 2 2
(c) 980.61796 cm/s2
–1
2 x
2
Capítulo 8. Ejercicios de repaso, página 386
5. y
Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 9 A. 1. verdadero 3. falso 5. falso 2

7. verdadero 9. verdadero –2 x
2
B. 1. 57° 3. en dirección levógira 5. 2

7. 5 9. p/3 –4
2

C. 1. y 3. y –6

225° 9. y 5 1 2 3 cos x 11. (n, 0), donde n es un número entero

x x 13. ((2n 1 1)p, 0), donde n es un número entero

5 15. (p/4 1 np, 0), donde n es un número entero
6
– 17. (p/2, 0); (p/2 1 2np, 0), donde n es un número entero

19. y 5 3sen 2x 21. y 5 1 cos px
2

5. 22p/3 7. 0.27p 23. y 5 2sen px
11. 131.78°
9. 20° 25. amplitud: 4; periodo: 2 27. amplitud: 3; periodo: 1

13. 70°30r 15. 177°37r1s y y

17. 445 , 805 , 275 , 635 (Nota: puede haber otras respuestas.) 4 3

19. sen u 5 2 !5 5, cos u 5 2 !55, tan u 5 22, cot u 5 212, 2 2
1

sec u 5 2 !5, cscu 5 !5 xx
2
12 –1 1 1
21. sen u 5 23 !3434, cos u 5 25 !3434, tan u 5 53, cot u 5 53, –2 –2 2

sec u 5 2 !534, csc u 5 2 !34 –4 –3
3

23. senu 5 24 !7 3, tan u 5 4 !3, cot u 5 !123, sec u 5 27, 29. amplitud: 4; periodo: 2p 31. amplitud: 1; periodo: 3p
csc u 5 271!23 y y
6 2
25. sen u 5 2 !2626, cos u 5 5 !2626, tan u 5 215, sec u 5 !526, 4
2
cscu 5 2 !26 1
π 2π
27. sen u 5 217, cos u 5 24 !7 3, tan u 5 !123, cot u 5 4 !3, –2 x x
sec u 5 271!23 3π 3π

2

29. sen u 5 6 !1717, cos u 5 < 4 !1717, tan u 5 241, sec u 5 < !417,

cscu 5 6 !17

31. !2 33. 21 33. amplitud: 1; periodo: 2p; 35. amplitud: 1; periodo: 2p;
2 37. 120°, 240°
cambio de fase: p/6 cambio de fase: p/6
35. 45°, 135° 41. 3p/4, 7p/4
y y
39. p/3, 2p/3

11

Ejercicios 9.1, página 396

1. (b) ( )2 !23, 221 3. (b) (0, 21) x π x
4 7π
5. (b) ( )21,2!3 7. (b) ( )!23,1 6 13 – 4
2 2 6

9. (b) (0.2675, 0.9636) 11. (b) (0.6084, 20.7937) –1 –1

13. (b) (0.9833, 20.1822) 15. (b) (20.8569, 20.5155) 37. amplitud: 4; periodo: p; 39. amplitud: 3; periodo: 4p;

17. 1 19. !2 cambio de fase: 3p/4 cambio de fase: 2p/3
2 2

21. 21 23. 21 y y
25. sen t es de periodicidad 2p 27. sen t es una función impar 4 3

29. cos t es una función par 31. !21 2 2
5 3π 1

33. 2 !5 35. 221"2 2 !2 x –1 2π x
3 7π –2 3 14π

37. 221"2 1 !2 3

39. t 5 p/4 1 2np, t 5 3p/4 1 2np, donde n es un número entero –2 4 4 –3

41. t 5 (2n 1 1)p, donde n es un número entero –4

RESP-22 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

41. amplitud: 4; periodo: 6; 43. 3p 25. periodo: 1; y
cambio de fase: 1 y 5 25 1 3 cos a6x 1 2 b
intersecciones x: (n , 0), donde n es un entero; 4
y
4 asíntotas: x 5 2n 1 1 , n es un entero; 3
2
2 2

1

–1 1 x
x –2 1
2
–3
1 7 –4
–2
–4 y 27. periodo: p/2; y Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 9
3 4
45. y 2n 1 1 3
3 intersecciones x: a 4 p, 0b, 2
1
– x x donde n es un entero; π πx
3 –1 42
2 asíntotas: x 5 np/2, n es un entero; –2
33 –3
–3 2 –4
–3 33

y = 3 sen (3x – ) –3

y = 3 cos (3x – )

47. y y 29. periodo: 2p; y
0.7 0.7 p 4
3
0.5 1 x x intersecciones x: a 1 2np, 0b, 2 π 3π x
2 1
0.5 1 22
donde n es un entero; ––π21
–2
3p –3
asíntotas: x 5 1 2np, n es un entero; –4

2

–0.7 –0.7
y = 0.7 sen [4π (x – 4)] y = 0.7 cos [4π (x – 4)]

51. 53. 31. periodo: 1; y
4
θd intersecciones x: (1 1 n, 0), 3
π 20 4
10 2
donde n es un entero; 1
t 15
π 2π asíntotas: x 5 n, n es un entero;

10 1 1 1 x
–π 2
–1 4
10 5
–2

t –3
33.
π5 10 15 20 25 –4

2

periodo: 2p; y
4
Ejercicios 9.3, página 413 2n 1 1
asíntotas: x 5 p, n es un entero;
2 3

1. x 2p 3p 5p p 7p 5p 4p 3p 5p 7p 11p 2p 2
3 4 6 6 432 3 4 6
1

11 1 x
tanx 2 !3 21 2 0 1 !3 2 2 !3 21 2 0 π π 3π 2π
!3 !3 !3 –1 2 2

1 11 –2

cotx 2 21 2 !3 2 !3 1 0 2 21 2 !3 2 –3
!3 !3 !3
–4

3. !3 5. no definido 35. periodo: 2; y

7. 22/ !3 9. 21 asíntotas: x 5 n, n es un entero; 4
13. no definido
11. 22 3

15. 22 17. !2 2

19. cot x 5 212, sec x 5 2 !5, cos x 5 2 !15, sen x 5 !25, csc x 5 !5 1
2
x
1132
21. sen x 5 43, cos x 5 !47, tan x 5 !37, cot x 5 !37, sec x 5 4 –1
!7 –2 22

23. tan x 5 3, cot x 5 31, sec x 5 6 !10, cscx 5 6 !10 –3
3
–4

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-23

37. periodo: 2p/3; y 31. p/4 x x
asíntotas: x 5 np/3, n es un entero; 33. 35.
4
3 "1 1 x2 "1 2 x2
2
1π 37. "1 2 x2 39. "1 1 x2 43. y
xx
2 π
π π 2π x 41. y 2

–1 6 3 3 π
–2 2
–3
–4

Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 9 39. periodo: p; y x x
47. 1
2n 2 1 –1
asíntotas: x 5 p, n es un entero; 4 45. y
4 y π
3 2π
π π
2 2
–1
1

π π 3π π x
4 2
–1 4

–2 x

–3 x –1 12
1
–4

p 49. dominio: (2`, `); 51. dominio: (2`, 21] x [1, `);
41. cot x 5 2tan ax 2 b rango: (0, p)
rango: [0, p/2) x (p/2, p]
2

Ejercicios 9.4, página 421 yy
ππ

1. a sen u 3. a tan u
5. tan u
7. !7 cos u ππ
7 22

9. (!2 1 1 !3) 11. (!2 1 1 !3) xx
–1 1
4 4

13. (!2 1 1 !3) 15. 2 1 !3

4

17. (!2 1 2 !3) 19. (!2 !3 2 1) 53. (a) x en (2`, `) (b) x en (0, p)

4 4

21. !2(2 1 1 !3) 23. 22 1 !3 55. (a) x en (2`, 21] x [1, `) (b) x en [0, p/2) x (p/2, p]
4

25. (!2 1 2 !3) 27. (!2 !3 1 1) 59. 0.9273 61. 0.7297

4 4

29. !2(2 1 1 !3) 31. sen 2b 63. 2.5559 65. 19.9°, 70.1°
4
67. 5.76° 69. f 5 0.5404 radianes < 31°
33. 2p
cos
5
Ejercicios 9.6, página 438
35. (a) 5 (b) 22 !14 (c) 22 !14
9 9 5

37. (a) 3 (b) 4 (c) 4 p 2p
5 5 3 1. x 5 1 2np o x 5 1 2np, donde n es un número entero
39. (a) 2116199 (b) 2112609 120
(c) 119 33

41. "2 1 !3 43. "2 1 !2 3. p 7p
2 2 x 5 1 2np o x 5 1 2np, donde n es un número entero
44
45. "2 2 !2
2 47. 22 5. 5p
x 5 1 np, donde n es un número entero
6

"2 2 !3 7. x 5 p 1 2np 5 (2n 1 1)p, donde n es un número entero

49. (a) 2 !13 (b) 3 !13 (c) 3 9. x 5 np, donde n es un número entero
13 13 2

51. (a) 2"(5 2 !5)/10 (b) "(5 1 !5)/10 11. 3p
x 5 1 2np, donde n es un número entero
2
(c) 2"(3 1 !5)/2
13. u 5 60° 1 360° n, u 5 120° 1 360° n, donde n es un número entero

53. (a) !30 (b) !6 (c) !5 15. u 5 135° 1 180° n, donde n es un número entero
6 6 5
17. u 5 120° 1 360° n, u 5 240° 1 360° n, donde n es un número
55. (a) 292( !10 1 1) (b) 1 ( !5 2 4 !2) entero
9

(c) 2 (1 2 !10 ) (d) 1 ( !5 1 4 !2) 19. x 5 np, donde n es un número entero
9 9

57. 2"2 1 !3 < 3.86 21. sin soluciones

23. u 5 120° 1 360° n, u 5 240° 1 360° n, donde n es un número
entero

Ejercicios 9.5, página 430 25. u 5 90° 1 180° n, u 5 135° 1 180° n, donde n es un número entero

1. 0 3. p 5. p/3 27. p
x 5 1 np, donde n es un número entero
7. 2p/3 2
13. 2p/4 9. p/4 11. 2p/6
19. !5/5 4 29. u 5 10° 1 120° n, u 5 50° 1 120° n, donde n es un número entero
15. 5 17. 2!5/2
25. 1.2 31. p
21. 5 23. 1 x 5 1 2np, donde n es un número entero
3 5 2

27. p/16 29. 0 2p 4p
33. x 5 np, x 5 1 2np, x 5 1 2np, donde n es un número
3 3
entero

RESP-24 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR

35. u 5 30° 1 360° n, u 5 150° 1 360° n, u 5 270° 1 360° n, 17. 0 19. 12
13

donde n es un número entero 21. "1 2 x2 23. 6sen (px/2); 26sen (px/2)

37. p 25. 3 sen (4x 2 p); 23sen (4x 1 p)
x 5 1 np, donde n es un número entero
2 27. y 5 2sen x, y 5 cos(x 1 p/2)

39. x 5 np, donde n es un número entero 29. y 5 1 1 1 sen ( x 1 p/2), y 5 1 1 1 cos x
2 2
p
41. u 5 2np, u 5 1 2np, donde n es un número entero
2
Ejercicios 10.1, página 445
43. p 5p
x 5 1 2np, x 5 1 2np, donde n es un número entero 1. b 5 2.04, c 5 4.49
66 3. a 5 11.71, c 5 14.19
5. a 5 60°, b 5 30°, a 5 2.6
45. u 5 90° 1 180° n, u 5 360° n, donde n es un número entero 7. a 5 21.8°, b 5 68.2°, c 5 10.8 Respuestas a los problemas seleccionados de número impar, CAPÍTULO 10
9. a 5 48.6°, b 5 41.4°, b 5 7.9
47. (p/3, 0), (2p/3, 0), (p, 0) 11. a 5 8.5, c 5 21.7
49. (32, 0), (130, 0), (134, 0)

51. (p, 0), (2p, 0), (3p, 0)

53. (p/3, 0), (p, 0), (5p/3, 0)

55. La ecuación tiene infinidad 57. La ecuación tiene infinidad

de soluciones. de soluciones. Ejercicios 10.2, página 449

y = tan x y y = cot x 1. 52.1 m 3. 66.4 ft
y

y=x y=x 5. 409.7 ft 7. altura: 15.5 ft; distancia: 12.6 ft

9. 8.7° 11. 34 157 ft < 6.5 mi

– π 13. 20.2 ft 15. 6 617 ft
2
x 17. Sí, ya que la altitud de la tormenta es de aproximadamente
x π 3π
–π π 6.3 km
22 21. 227 100 mi c
23. h 5

cota 1 cotb

59. 1.37, 1.82 61. 1.02, 0.55 25. La altura es aproximadamente 1.35; el área es aproxima-

63. 0.58, 1.57, 1.81 65. 30°, 150° damente 4.8
27. h(u) 5 1.25tan u

67. 60° (1 1 n), 29. 11
u(x) 5 arctan a x b 2 arctan a2x b, donde x se mide
69. t 5 120 6 1 donde n es un número entero

71. (a) 36.93 millones de kilómetros cuadrados en metros
(b) w 31 semanas (c) Agosto

Ejercicios 10.3, página 456

Capítulo 9. Ejercicios de repaso, página 440 1. g 5 80°, a 5 20.16, c 5 20.16
3. a 5 92°, b 5 3.01, c 5 3.89
A. 1. falso 3. verdadero 5. verdadero 7. verdadero 5. a 5 79.61°, g 5 28.39°, a 5 12.41
7. sin solución
9. verdadero 11. verdadero 13. verdadero 15. falso 9. a 5 24.46°, b 5 140.54°, b 5 12.28;

17. falso 19. verdadero

B. 1. 2 !5 3. 6 5. 4p/3 7. 10 a 5 155.54°, b 5 9.46°, b 5 3.18
5 11. (5, 0) 11. sin solución

9. p/5 13. a 5 45.58°, g 5 104.42°, c 5 13.56;

13. "(3 2 !2 ) /6, 2"(3 1 !2 ) /6, 2 !14 5 a 5 134.42°, g 5 15.58°, c 5 3.76
2, 2
15. sin solución 17. 15.80 ft
9 9

C. 19. 9.07 m 21. 10.35 ft

1. amplitud: 5; periodo: 2p 3. amplitud: 10; periodo: 2p/3; 23. 8.81°

cambio de fase: p/6

y y y = 10 cos (–3x + 2 ) Ejercicios 10.4, página 460
10 y = 5(1 + sen x) 10
1. a 5 37.59°, b 5 77.41°, c 5 7.43
5 x 3. a 5 52.62°, b 5 83.33°, g 5 44.05°
x 5. a 5 25°, b 5 57.67°, c 5 7.04
2 7. a 5 76.45°, b 5 57.10°, g 5 46.45°
32 33 9. a 5 27.66°, b 5 40.54°, g 5 111.80°
22 11. a 5 36.87°, b 5 53.13°, g 5 90°
–10 13. a 5 26.38°, b 5 36.34°, g 5 117.28°
5. p/2, p 15. b 5 10.24°, g 5 147.76°, a 5 6.32
9. p/4 7. p/6, 5p/6, 7p/6, 11p/6 17. 35.94 millas náuticas
13. 2p/3 19. (a) S33.66°O (b) S2.82°E
11. 20.68, 0.92 21. a 5 119.45°, b 5 67.98°
23. 91.77, 176.18
15. 3 !7
7

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SELECCIONADOS DE NÚMERO IMPAR RESP-25