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Didáctica de las matemáticas - Ma. del Carmen Chamorro-FREELIBROS.ORG

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Published by Marvin's Underground Latino USA, 2018-08-30 15:11:25

Didáctica de las matemáticas - Ma. del Carmen Chamorro-FREELIBROS.ORG

Didáctica de las matemáticas - Ma. del Carmen Chamorro-FREELIBROS.ORG

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 191

→ →
3/4 de 1/2 de (3/4de)

María y Antonio coinciden en que hay situaciones en las que se puede apli- CAPÍTULO
car la multiplicación de fracciones, que pueden ser idóneas para relacionar dos
significados de las fracciones (una relación de una parte con un todo y como un 7
operador), además de subrayar la noción de unidad que muchas veces está im-
plícita en el propio manejo de símbolos y que no se insiste lo suficiente. Anto-
nio y María se dan cuenta que cambiando las fracciones en la situación anterior,
y comparando los procedimientos, acciones y simbolizaciones utilizadas y anali-
zándolas con sus alumnos pueden ser un buen contexto para introducir algunos
significados para la multiplicación de fracciones.

Pedro ha comprado 3/4 de una pizza y se ha comido la mitad de lo que ha com-
prado, ¿qué fracción de la pizza entera se ha comido?

Pedro ha comprado 4/3 de pizza y se ha comido 1/5 de lo que ha comprado, ¿qué
fracción de la pizza entera se ha comido?

Antonio sugiere que el mismo análisis debería realizarse si la operación hu-
biera sido la multiplicación de números decimales, ya que debería ser importan-
te fijarse en el significado de los números y en el significado de la operación.
María propone ver qué saldría si piensan en la operación 0,3 × 0,25.

– ¿Qué significados podrían tener los números 0,3 y 0,25?

– ¿Qué significados debería tener la operación de multiplicar (simbolizada
por «×»).

– ¿Qué situaciones se podrían plantear coherentes con dichos significados?

– ¿Cómo se podría representar esta multiplicación?

2. Matemáticas escolares: fracción,
decimales y razón

2.1. Interpretaciones para los números racionales

Un número racional a/b tiene muchas interpretaciones, lo que determina
como objetivo de enseñanza que los alumnos lleguen a dotar de significado a las
diferentes interpretaciones, pero también establecer relaciones entre ellas. Cua-
tro son las interpretaciones que vamos a considerar: medida, reparto, operador
y razón.

192 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

• Medida: relación entre una parte y un todo (sea éste continuo o discreto). Las
situaciones que configuran esta interpretación del número racional implican
situaciones de medida y por tanto consideran un todo dividido en partes. El
número racional indica la relación entre la parte y el todo. Por ejemplo,
Pedro se ha comido los 4/5 de una pizza.
3/5 de las fichas que tengo son rojas
Juan ha pintado el 60% de la pared

Los modos de representación que podemos usar son:
– Las que se apoyan en el modelo «área».

– Una representación de 4/5, considerando el rectángulo grande como la
unidad y para indicar la relación entre la parte sombreada y el rectángulo
grande (o una representación de 1/5 considerando el rectángulo grande
como unidad y para indicar la relación entre los rectángulos sin sombrear
y el rectángulo grande).

– Una representación de 5/3 si consideramos la parte sombreada la unidad.

– Las que se apoyan en el modelo conjunto (magnitud discreta).

El modelo conjunto puede ser:

• Una representación de 3/5 si la unidad es el conjunto total de fichas y la
parte el grupo de fichas sombreadas, y considerando cada fracción unita-
ria (1/n) formada por un grupo de dos fichas.

• 6/10 en el caso anterior si consideramos cada fracción unitaria (1/n) for-
mada por un grupo de una ficha.

• 5/3 si la unidad es el grupo de fichas sombreadas y la parte el grupo to-
tal de fichas considerando la fracción unitaria 1/3 formada por dos fichas).

• 10/6 en el caso anterior con cada fracción unitaria formada por una ficha.

La noción de unidad y de partes congruentes. El desarrollo de la idea de uni-
dad se pone de manifiesto en las tareas que consisten en reconstruir la unidad
dada la representación de la parte

Actividad 1: Si es 2/3 de la unidad. ¿Cuál es la unidad?

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 193

Actividad 2: Es 2/3. Encuentra la unidad

En el desarrollo del significado de unidad (significado para el todo) la infor-
mación que puede proceder desde la representación usada puede proporcionar
información diferente ya que la misma «cantidad» puede ser representada por
números diferentes.

Si la unidad es , entonces 1/2 sería

Es 3/4, si la unidad es

Es 3/8, si la unidad es CAPÍTULO

Una reflexión análoga puede hacerse utilizando magnitudes discretas (por 7
ejemplo fichas). El significado de la unidad y lo que conlleva en el desarrollo de
la competencia con los números racionales al principio de la enseñanza de las
fracciones es de suma importancia. En cada nueva situación, los alumnos debe-
rían acostumbrarse a preguntarse «¿cuál es la unidad?».

La otra idea importante en la interpretación medida es la noción de parte
(subgrupos) equivalente. En este sentido,

– La parte puede estar subdividida en otras partes.

– El tamaño (la cantidad) de una subparte (subgrupo) depende del número
de partes que se realicen.

– La manera en la que pensemos sobre la unidad y la parte nos propor-
cionará representaciones simbólicas diferentes (por ejemplo, 3/5 = 6/10
en la representación de fichas anterior). Esta idea está vinculada a la con-
ceptualización de la fracción unitaria (1/n) como «unidad» con la que
«contar». En el caso anterior la diferencia en la representación simbólica
generada se apoya en considerar como fracción unitaria 2 fichas o 1 ficha.

La noción de equivalencia se apoya en la idea de realizar diferentes divisiones
que resultan en la misma relación entre la parte y el todo. Desde este contexto,
la actividad de realizar divisiones múltiples debe emparejarse con la actividad de
repartos equitativos como fundamentos para la comprensión de los números ra-
cionales. Los profesores deberían animar a los alumnos a realizar dibujos y que

194 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

puedan producir diferentes maneras de dividir la unidad. En este tipo de situa-
ciones se debería animar a los alumnos a escribir símbolos para las diferentes di-
visiones realizadas.

– Reparto: cociente y números decimales

Juan tiene que repartir 3 pizzas entre 5 amigos. ¿Qué fracción de pizza le co-
rresponde a cada amigo?

Los números racionales pueden ser vistos como un cociente, es decir, como
el resultado de una división en situaciones de reparto. 3/5 es la cantidad de piz-
za que le corresponde a cada amigo de Juan en la situación de reparto anterior.
Lo que importa en este tipo de actividades es el proceso a través del cual los
alumnos hacen el reparto. Por ejemplo en la tarea propuesta, un alumno puede
dividir 3 pizzas en mitades (1/2), dar a cada uno de los 5 niños una mitad de
pizza y le sobra otra mitad. A continuación divide esta mitad en 5 partes y da a
cada uno de los niños una de esas partes (1/5 de 1/2).

Cada uno de los niños ha recibido una cantidad de pizza que a nivel simbó-
lico se puede representar por:

1/2 + (1/5 de 1/2)

Otro niño puede repartir inicialmente cada pizza entre los 5 niños (por lo
que cada niño recibir de cada pizza 1/5). Lo que recibe cada niño expresado a
nivel simbólico es:

1/5 + 1/5 + 1/5 = 3 veces 1/5 = 3 × 1/5

Estas situaciones de reparto llevan implícita la idea de que la parte que le to-
ca a cada niño es equivalente en tamaño (partes congruentes) aunque no nece-
sariamente de la misma forma.

En las situaciones de reparto se debería animar a los niños a que realizaran
dibujos de las acciones y simbolizaran las diferentes partes. Las ideas de suma y
equivalencia aparecen de manera natural en este tipo de situaciones. Los alum-
nos deberían buscar diferentes partes equivalentes en los diferentes repartos
realizados y expresiones simbólicas para cada una de ellas como una manera de
relacionarse con las operaciones.

Por otra parte, la idea de división está intrínsecamente vinculada a la idea de
número racional. Como hemos visto anteriormente, las fracciones se forman
mediante divisiones. Las fracciones decimales se forman con divisiones en 10
partes de una unidad, y realizando divisiones sucesivas. En este caso, situar un

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 195

número racional en la recta numérica depende de la división de la unidad en par- CAPÍTULO
tes equivalentes.
7
La idea de aproximaciones sucesivas. El significado de la fracción como co-
ciente puede producir, al realizar la división, una expresión decimal finita o in-
finita. Por ejemplo,

• 1/3 produce una expresión decimal infinita 0,3333…

• 1/4 produce una expresión finita, 0,25.

Las expresiones decimales finitas tienen la ventaja de que es posible encon-
trar una «fracción decimal» equivalente y por tanto una fracción equivalente con
el denominador con potencias de 5 y 2 (los divisores de 10), por ejemplo:

1/4 = 0,25 = 25/100

Ante la tarea de convertir una fracción en una expresión decimal mediante
una división, como los restos de la división, deben ser menores que el denomi-
nador, entonces sólo existe un número finito de restos de la división diferente.
Por lo que, si el resto no llega a ser cero (con lo que obtendríamos una expre-
sión decimal finita) habrá un momento en el que se repetirá algún resto y ob-
tendremos el inicio de un nuevo ciclo. Tenemos así las expresiones decimales
infinitas pero periódicas. En el caso de las expresiones decimales infinitas, perió-
dicas o no, podemos usar aproximaciones (expresiones decimales finitas) con un
grado de aproximación tan grande como se quiera teóricamente. Utilizando la
recta numérica como una manera de visualizar la posición del número, al reali-
zar divisiones en cada intervalo, cuando el intervalo [0,1] es dividido en diez
partes podemos situar el número 1/3 con un error menor que una décima,
cuando el intervalo está dividido en décimas (1/10) × 1/3 estará situado entre
[0,3; 0,4]. Si cada sub-intervalo lo dividimos en diez partes, podemos situar
1/3 con una aproximación de centésimas (1/100) × 1/3 estará situado entre
[0,33, 0,34]. Cada vez que hagamos diez divisiones en cada uno de los sub-in-
tervalos obtenemos una aproximación diez veces mayor. De ahí la potencialidad
de las fracciones decimales, correspondientes a las expresiones decimales finitas,
como aproximaciones determinadas de una expresión decimal infinita.

01

0,3 1
0

0,33

De esta forma los decimales finitos se pueden usar para aproximar cualquier
número con la exactitud deseada (que se suele denominar «error» en los prime-
ros años de Secundaria, y en Primaria se suele indicar por la unidad del sistema
de numeración decimal con la que se aproxima, como vimos en la escena 2 del
capítulo 1) (por ejemplo, «aproximar el cociente con décimas o centésimas»).

196 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

Posteriormente en Secundaria la técnica de aproximaciones sucesivas se amplía

a números irracionales (por ejemplo ͙ෆ5, ͙2ෆ, ..., etc.) de ahí la importancia del

significado de los números decimales construido en Primaria vinculado al signifi-
cado del sistema de numeración decimal y a la noción de aproximación sucesiva.

• Operador. Significado funcional de la preposición «de»

La interpretación del número racional como operador se apoya en el signifi-
cado de función. Un número racional actuando sobre una parte, un grupo o un
número modificándolo. Por ejemplo «3/5 de» es visto como una sucesión de
«multiplicar por 3, y dividir por 5» (o dividir por 5 y multiplicar por 3).

3/5 de P = 1/5 de (3P) = 3 (P/5)

Es decir, «3/5 de» significa:

– 3 veces 1/5 de la unidad.

– 1/5 de (3 veces la unidad).

En contextos físicos la interpretación operador está vinculada a aumentos o
disminuciones. El operador «3/5 de» es la sucesión de una multiplicación (ha-
ce una cantidad tres veces su tamaño original) y una división (reduce una canti-
dad 1/5 de su tamaño inicial).

Reducir la longitud del siguiente segmento en 3/5 de la longitud inicial,

con la interpretación operador el número racional 3/5 proporciona la relación
entre el número inicial y el resultado. Una representación de los resultados pro-
ducidos por un número racional como operador es una tabla:

Entrada 10 15 20 50
Salida 6 9 12 30

Los alumnos, dada una tabla, pueden realizar actividades de identificar el
operador, o identificar la salida dada una entrada (o viceversa, la entrada dada
una salida).

• Índice comparativo: razón

Una razón es una comparación de dos cantidades (de igual o diferente mag-
nitud).

La razón 12 km en 9 minutos (12/9) compara km y minutos.
La razón 4 huevos blancos por 2 huevos marrones en un pack de 6 huevos (4:2).
La fracción 4 huevos blancos en el pack de 6 huevos (2/3).

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 197

Ana quiere comprarse una camisa que vale 20 euros. Su madre queda con ella CAPÍTULO
que le pagará 2 euros por cada 3 euros que pague Ana. En este caso ¿cuánto dine-
ro debe sacar Ana de la hucha para comprarse la camisa? 7

La relación entre chicos y chicas en el aula es 3 chicas por cada 2 chicos (3:2)

Una planta medía 11 cm, a las dos semanas medía 14 cm. ¿Cuánto ha crecido
en relación a lo que media hace dos semanas? (3/11)

El 33% de los alumnos han suspendido el examen de matemáticas (33:100).

En una fiesta hay 24 comensales en una mesa con 16 pizzas. Pero hay que reor-
ganizar las mesas. ¿Cómo los sentamos en 2 mesas (o 3 mesas) y repartimos las piz-
zas para que sigan teniendo lo mismo?

La información que proporciona una razón es distinta del sentido cardinal de
los números naturales. Las razones pueden ser comparaciones parte-parte en un
conjunto o comparaciones parte-todo. En los ejemplos anteriores la relación en-
tre chicos y chicas es una comparación parte-parte del conjunto total de la cla-
se. En esta situación nosotros no conocemos cuál es el número total de alumnos
de la clase, pero la razón nos da información sobre la relación entre chicos y chi-
cas. En el ejemplo 3, la razón 3/11 nos proporciona información sobre lo que
ha crecido la planta en dos semanas en relación a su tamaño inicial. Es una rela-
ción parte-parte considerando el todo la altura en estos momentos, que viene
dada por la altura inicial más lo que ha crecido (11 + 3 = 14). Por otra parte, el
ejemplo 4 muestra un índice comparativo estandarizado, un porcentaje, que
muestra una comparación parte-todo (33 de 100).

La interpretación parte-todo descrita antes puede ser considerada un caso par-
ticular de las razones parte-todo. La generalidad de la interpretación como razón
consiste en que nos permite comparar cantidades de magnitudes diferentes, mien-
tras que en la interpretación parte-todo en un contexto de medida sólo nos per-
mite comparar cantidades del mismo tipo. Con la interpretación razón, la
representación de 10 fichas (4 de ellas rojas) usada en la interpretación parte-todo
puede tener el significado de 2:3 (o 3:2), indicando un índice comparativo entre el
número de partes blancas y oscuras (o relación entre el número de partes oscuras
y blancas). En el modelo conjunto (magnitud discreta), la representación anterior
puede tener el significado de 4:6 (o 6:4) relación entre fichas blancas y oscuras (o
relación entre número de fichas oscuras y blancas) considerando cada ficha.

3. Pensamiento matemático de los estudiantes:
hacia la competencia matemática con los
números racionales

Como se ha descrito en el capítulo 1, una de las dimensiones de la compe-
tencia matemática es la comprensión conceptual de las nociones concebida

198 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

como la posibilidad de establecer relaciones entre diferentes nociones y proce-
dimientos. También, el hecho de desarrollar destrezas vinculadas a la comuni-
cación plantea la necesidad de representar las ideas sobre las que se va a hablar.
Para poder comunicar y usar las ideas matemáticas en diferentes contextos es ne-
cesario utilizar representaciones externas de dichos conceptos. Algunas de estas
representaciones externas han sido mostradas a lo largo de este capítulo.

ESCENA 2. El caso de Carlos y Javier: el uso de los modos
de representación en la construcción y comunicación
del significado para las fracciones

Cuando he enseñado las fracciones, nunca he tenido muchas dificultades.
Mis alumnos normalmente han entendido rápidamente la idea de fracción. Con
las operaciones ocasionalmente he tenido más dificultades, pero proponiéndoles
mucha práctica he conseguido que una mayoría de ellos superara bien los exá-
menes. Este año estoy dando 5° y, como el año pasado ya vimos alguna cosa de
fracciones, pensé que podríamos empezar este tema recordando alguna cosa del
año pasado. Para ello, coloqué la siguiente tarea en la pizarra:

¿Qué son los 5/4 de ?

Me di cuenta de que había algún grupo de alumnos que no entendían bien
la tarea.

Mientras estaban realizando este ejercicio, me acerqué a Javier, y le repetí la
tarea, pidiéndole que me explicara cómo lo estaba haciendo. Él empezó a divi-
dir en partes un rectángulo que tenía pintado en un folio, y dibujó lo siguiente:

Luego sombreó cada una de las partes para indicar que tenía cinco cuartos.

Para intentar obtener más información sobre el significado de fracción que se
podía tener en ese momento, propuse a Carlos la siguiente tarea, en la que se
utilizan fichas como modo de representación. En estos momentos, sabía que no
se había utilizado este modo de representación en la introducción de la idea de
fracción, pero intentaba ver lo que sucedía.

¿Cuántas fichas son los 2/3 de 6 fichas?

En el proceso de resolución, Carlos dibujó un círculo, lo dividió en tres par-
tes distintas y colocó dos fichas sobre el círculo, dando como respuesta 2 fichas.

**

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 199

La situación descrita en la escena 2 en la que Javier y Carlos realizaban una ma- CAPÍTULO
nipulación de la representación de 5/4 y 2/3 para responder a las tareas propues-
tas nos está dando información sobre su representación interna de los conceptos y 7
los significados asociados a la idea de unidad y parte congruente. En este tipo de
situaciones podemos hablar de dos tipos de influencias. Por una parte, de las ca-
racterísticas de las representaciones internas de los conceptos (en la escena 2 la no-
ción de unidad, y de parte congruente) hacia la actividad del aprendiz en una
determinada tarea, y por otra, la actividad del aprendiz con diferentes tareas in-
fluirá en las características de las representaciones internas (en su comprensión).

La comprensión de los números racionales será mejor en la medida en que
las diferentes formas de verlos estén relacionadas (conectadas). Por ejemplo, la
relación entre 3/4, 0,75, 75%, 75/100. Desde una perspectiva general, la com-
prensión está vinculada al establecimiento de conexiones entre diferentes repre-
sentaciones internas de los conceptos. Desde esta idea las conexiones entre
representaciones internas se pueden estimular mediante la construcción de co-
nexiones entre las correspondientes representaciones externas.

Lo que se está planteando es establecer conexiones entre estos diferentes mo-
dos de representación como una forma de favorecer las conexiones entre las re-
presentaciones internas que ayudan a caracterizar la comprensión de los
números racionales. Desde este posicionamiento teórico para entender la com-
prensión de las nociones matemáticas en Primaria se pueden derivar principios
didácticos sobre los que organizar la enseñanza.

Algunas características del desarrollo de la competencia con los números ra-
cionales son:

– Los estudiantes poseen nociones informales de repartos equitativos, medi-
das y sobre proporciones.

– El desarrollo de la competencia con los números racionales es un proceso
largo que se inicia en la Educación Primaria pero va más allá de la Educa-
ción Primaria.

– Las relaciones entre las diferentes dimensiones de la competencia mate-
mática se considera clave para el desarrollo en el dominio de los números
racionales.

Las nociones informales de los alumnos de repartos equitativos y medida
proporcionan el contexto fenomenológico sobre el que construir los significa-
dos vinculados a los números racionales. Desde esta perspectiva, las actividades
de reparto equitativo y medida en relación a los números racionales desempe-
ñan el mismo papel que las actividades de contar en relación a la construcción
de los significados de los números naturales. En este tipo de actividades, una
idea que está implícita es la de «partes equivalentes». El trabajo inicial con mi-
tades, cuartos y octavos realizado en los primeros años de Primaria con las acti-
vidades de realizar dobleces en un folio (unidad) y desarrollar el lenguaje
vinculado a dichas acciones («una mitad», «un cuarto» y ...) constituye el inicio
de la enseñanza para las fracciones, que posteriormente se completa con los

200 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

tercios y los quintos. Posteriormente este conocimiento informal de los alum-
nos de las situaciones de repartos equivalentes permite la introducción de situa-
ciones que muestran la equivalencia de fracciones

«Hemos repartido 3 pizzas entre 5 niños. ¿Cuántas pizzas necesitaremos si hay
15 niños para que todos reciban la misma cantidad?».

3.1. La construcción de los significados: un modelo
recursivo

El conocimiento informal de los alumnos descansa en el uso de representa-
ciones (externas e internas) junto con instrumentos cognitivos, como son la no-
ción de unidad, y repartos equivalentes (mecanismos constructivos), y el uso del
lenguaje. Junto con la idea de «todo» y reparto equitativo los alumnos utilizan
la idea de contar como un mecanismo constructivo con lo que se subraya el pa-
pel que pueden desempeñar las fracciones unitarias (1/n) en el proceso de cons-
trucción del significado de los números racionales.

Kieren (1993) identifica cuatro formas de conocer los contenidos matemáti-
cos relativos a los números racionales:

– Conocimiento etnomatemático, que es el que poseen los alumnos, deriva-
do de las situaciones en las que normalmente viven. Por ejemplo, su co-
nocimiento de los repartos equitativos, su conocimiento de las partes en
las que se reparte una pizza en relación a la pizza entera, etc.

– Conocimiento intuitivo, que supone el uso de los instrumentos cognitivos
(mecanismos constructivos), representaciones y el uso informal del len-
guaje.

– Conocimiento técnico-simbólico es el que resulta de trabajar con expre-
siones simbólicas los números racionales.

– Conocimiento axiomático-deductivo, corresponde al conocimiento de la
estructura matemática.

Lo que sigue son algunos protocolos de Kieren (1993) que ayudan a ejem-
plificar estas diferentes maneras de conocer.

En Educación Primaria una característica importante de esta manera de en-
tender las formas de conocer los números racionales radica en las relaciones que
se pueden establecer entre los tres primeros tipos de conocimiento. Es decir, de
qué manera las representaciones y el lenguaje utilizados ayudan a dotar de sig-
nificado a los símbolos y su manipulación. Una característica de estas diferentes
maneras de conocer es su carácter recursivo. Es decir, los alumnos pueden utili-
zar ideas procedentes de diferentes maneras de conocer para justificar sus accio-
nes. Por ejemplo, se puede probar que 6/9 es equivalente a 4/6 en un nivel
simbólico buscando dos fracciones con el mismo denominador, o utilizando una

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 201

Actividad 3: ¿quién obtiene más pizza? CAPÍTULO

Una persona A que es una de las 3 personas para repartirse 2 pizzas. 7

La persona B que es una de las 8 personas para repartirse 5 pizzas.

Juan (8 años). La misma cantidad. Le doy a cada uno la mitad y me sobra un poco.

(La validez del argumento se apoya en su experiencia diaria)

Esteban & Ross (9 años). Ellos no coinciden. Ross divide las primeras 2 pizzas cada una en 3 partes y las
segundas 5 pizzas cada una en 8 partes. Él realiza un argumento físico «encajando» 5[1/8 trozo], que
empareja con 2[1/3 trozo]. Esteban realiza el argumento contrario. Ellos coinciden «están terriblemente
próximos».

(La validación utiliza instrumentos y resultados intuitivos)

Jaime (12 años)

2/3 más ya que 1/3 de 1/2 es 1/6 y 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3, y

1/2 + 1/8 = 4/8 + 1/8 = 5/8 y 1/6 > 1/8 ya que el denominador es más pequeño, por lo que las pie-
zas son más grandes.

(La validación procede de la intuición y de argumentos simbólicos).

Samuel (12 años) 2/3 es mayor

2/3 = 16/24

5/8 = 15/24

16/24 > 15/24

2/3 > 5/8

(Validación simbólica)
Fuente: Kieren, (1993): «Racional and fraccional number: From Quotient Fields to Recursive Understanding. En T. Car-
penter, E. Fennema & T Romberg (Eds.) Rational Numbers. An Integration of Research. Lawrence Erlbaum Associa-
tes: Hillsdale, NJ. (pp. 70).

representación en forma de rectángulo, y comprobar que la dos fracciones re-
presentan la misma cantidad. La posibilidad de justificar las acciones a nivel sim-
bólico y utilizando representaciones y manipulaciones concretas se apoya en la
naturaleza recursiva del pensamiento.

Una manera de entender el proceso de construcción del conocimiento y, por
tanto, de la noción de comprensión se inicia con las acciones del aprendiz en un
punto que permite asumir que es el punto de inicio. En el caso de las fracciones
pueden ser las acciones de dividir en parte equivalentes o las actividades de re-
construir la unidad. En el caso de la introducción a los algoritmos de la suma o
la resta de fracciones sería la posibilidad de realizar nuevas divisiones en una par-
te para poder renombrarla. Las actividades de este estilo pueden permitir al
aprendiz construir representaciones internas de la noción de fracción o de la de
fracción equivalente vinculada a las representaciones externas utilizadas y al tipo
de acción realizada. Trabajar en problemas de repartos equivalentes anotando
simbólicamente lo realizado ayuda a la construcción de estas representaciones
internas.

202 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

doblando
→

3/4 6/8

Las actividades de comunicar y explicar lo realizado ayudan en el proceso de
observar semejanzas y patrones en las acciones y símbolos utilizados y se apo-
yan en el uso de las representaciones internas (poseer representaciones internas).
Poseer y usar las imágenes formadas por las representaciones internas implica
empezar a considerar dichos aspectos de los números racionales como objetos
mentales y puede permitir empezar a observar patrones y semejanzas. En estos
momentos es cuando los aprendices pueden observar que para generar una fa-
milia de fracciones equivalentes pueden hacerlo multiplicando o dividiendo el
numerador y el denominador por el mismo número. En este nivel de com-
prensión el aprendiz puede generar una familia de fracciones equivalentes in-
cluso en el caso de que físicamente no pueda realizarlo o le resulte difícil
hacerlo.

×3

× 2 × 3/2

246
ᎏᎏ ᎏᎏ ᎏᎏ
369

: 2 : 2/3

:3

Existen otros niveles de comprensión que permiten al aprendiz formalizar
estas relaciones y patrones. En el ejemplo que estamos considerando cuando se
es capaz de pensar en la forma de obtener una familia de fracciones equivalen-
tes pensando que se cumple para toda fracción.

«Sea cual sea la fracción a/b, podemos obtener una fracción equivalente ak /
bk, siendo k un número natural.»

Este proceso sigue y podemos imaginarnos cómo se podría llegar a cons-
truir niveles de comprensión cada vez más sofisticados en los que el uso de sis-
temas de símbolos específicos y lenguaje adecuado permite manejar objetos
mentales cada vez más abstractos. El cuadro siguiente muestra un esquema del
modelo para una teoría recursiva de la comprensión matemática como se ha
descrito.

En las secciones siguientes analizaremos con más detalle los procesos de
construir imágenes (representaciones internas) desde el proceso de adscribir sig-
nificados a las representaciones externas y la acción sobre ellas.

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 203

Inventando
Estructurando
Observando
Formalizando

Observando propiedades
Teniendo imágenes
Construyendo imágenes
Haciendo

Fuente: Kieren (1993) Racional and fraccional numbers. From quotient fields to recursive un-
derstanding. En T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.) Rational Numbers. An Integra-
tion of Research. Lawrence Erlbaum: Hillsdale, NJ, (p. 72)

3.2. Modos de representación y su uso como CAPÍTULO
instrumentos de aprendizaje
7

Los números racionales son construcciones mentales que permiten organizar
algunas situaciones, como vimos en el segundo apartado de este capítulo. Para
poder comunicarnos y compartir estas ideas es necesario representarlas para lo
que utilizamos diferentes modos de representación:

– Representaciones materiales como tangram, cartulinas, números en color
(regletas Cuisenaire, etc.), bloques multibase, fichas...

– Símbolos, 0,45, a/b, 7/3, 8:6.

– Dibujos y diagramas.

– Lenguaje.

Los modos de representación son instrumentos para comunicar, pensar, cal-
cular y compartir información. Visto de esta manera y considerando la caracteri-
zación de la competencia matemática realizada en el Capítulo 1, los modos de
representación apoyan el desarrollo de la competencia matemática al permitir
desarrollar procesos de comunicación. El uso de diferentes modos de represen-
tación para comunicar las ideas matemáticas permite que los aprendices aprendan

204 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

a evaluar formas alternativas de representar sus ideas, y poder juzgar la idoneidad
de las representaciones utilizadas por los compañeros.

Desde esta perspectiva del desarrollo de la competencia matemática, apren-
der a construir e interpretar las representaciones implica aprender a participar en
«prácticas» de comunicar y razonar en las que se utilizan las diferentes repre-
sentaciones. Este uso de las representaciones para generar competencia mate-
mática implica que si los alumnos simplemente realizan tareas de construir
representaciones que ya se le proporcionan, no pueden generar oportunidades
de aprender las ventajas y limitaciones de las diferentes formas de presentación,
o cómo llegar a utilizar estas representaciones como instrumentos con los que
generar competencia matemática (desarrollando cada una de las cinco dimen-
siones: comprensión conceptual, eficacia en los procedimientos, pensamiento
estratégico, comunicación y actitudes). Desde aquí se derivan dos tipos de acti-
vidades que están vinculadas con el uso de las representaciones como instru-
mentos de aprendizaje:

– Construir.

– Interpretar.

Una precaución hay que tener en estos momentos, las representaciones no
deben ser enseñadas como un fin en sí mismo, sino como instrumentos para ge-
nerar la competencia matemática (construir comprensión y comunicar informa-
ción, por ejemplo). Si las representaciones deben ser usadas como instrumentos
para desarrollar la comprensión y la comunicación, los alumnos deben vincular-
las a la consecución de un fin (resolución de problemas…). Finalmente, para que
una cosa funcione como una representación de algo, los aprendices deben in-
terpretarla y darle significado. Esto se puede conseguir cuando los alumnos pue-
dan implicarse en aprender a construir representaciones e interpretarlas
participando en discusiones sobre las ventajas e inconvenientes de cada una de
ellas.

Las representaciones se construyen para propósitos específicos durante la re-
solución de problemas y cuando se pretende comunicar a otros estos intentos de
resolución. De esta manera, las representaciones con frecuencia proporcionan
algún tipo de modelo del pensamiento de los estudiantes. Así, durante el pro-
ceso de resolución de una tarea, los alumnos pueden construir representaciones
basadas en una comprensión parcial de las nociones sobre las que se apoya.

• Significados adscritos a las representaciones

Algunas veces podemos suponer que las representaciones de las nociones ma-
temáticas conllevan en sí mismas los significados que quieren transmitir. En la
enseñanza-aprendizaje de las fracciones algunas veces se suele olvidar que para
que algo funcione como una representación de algo, alguien tiene que interpre-
tarla y darle significado. Por ejemplo, la figura de un polígono suele utilizarse pa-
ra representar alguna idea relativa a las fracciones. Así, un rectángulo con cinco

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 205

divisiones y tres de ellas sombreadas suele utilizarse para representar la fracción
3/5. Muchas veces el significado de la unidad está implícito en el propio uso de
la representación, y no es discutido. La necesidad de discutir los diferentes sig-
nificados asociados a las representaciones se manifiesta en las siguientes tareas
que ponen de manifiesto que la representación utilizada no conlleva de manera
unívoca un significado. Es necesario entonces considerar como variable didácti-
ca el proceso de adscripción de los significados a las representaciones como par-
te ineludible en la interacción entre alumnos y entre profesor y alumnos. El
proceso de comunicación en el aula es el medio por el cual se da el proceso de
adscripción de significados por los diferentes interlocutores.

Actividad 4:

¿Puedes ver 3/5 de alguna cosa en la figura? CAPÍTULO
¿Puedes ver 5/3 de alguna cosa?
¿Puedes ver 5/3 de 3/5? 7
¿Puedes ver 2/3 de 3/5?
¿Puedes ver 1 dividido entre 3/5?

Actividad 5:

Ante una cuadrícula 8 × 10 como la siguiente
Sombrea 0,725 de la cuadrícula.
Sombrea el 33% de la cuadrícula.
Sombrea 17/20 de la cuadrícula.
Explica cómo lo haces.

En este sentido, los dibujos llegan a ser representaciones cuando los alumnos
les den significado para interpretarlos. Así, construir representaciones e inter-
pretarlas son dos actividades que apoyan los procesos de comunicación y la cons-
trucción de imágenes (representaciones internas). Por lo tanto, comprender una
representación incluye conocer que puede haber diferentes interpretaciones aso-
ciadas. De ahí que tareas como las anteriores pueden ayudar a que los alumnos

206 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

aprendan a construir representaciones internas flexibles en las que desarrollar las
convenciones de la interpretación de los dibujos.

• Relación semántica-sintáctica

Cuando los estudiantes son introducidos en el manejo de los símbolos, por
ejemplo en la introducción de los algoritmos de cálculo, sin considerar los sig-
nificados implícitos, los alumnos pueden cometer errores. Dichos errores mues-
tran la influencia que ejerce lo aprendido sobre los números naturales en este
nuevo dominio numérico. Algunos de estos errores son:

– Al plantear la suma 2/3 + 7/4 dar como respuesta 9/7 indicando que han
sumado los numeradores y los denominadores.

– Cuando se les pide estimar el resultado de 12/13 + 7/8, decir que puede
ser 19 o 21.

– Cuando los alumnos pueden pensar que 1/5 es mayor que 1/3 porque 5
es mayor que 3.

– Que 4/5 y 5/6 son iguales porque la diferencia entre el numerador y el
denominador es 1 en los dos casos.

O cuando usan los decimales

– Ante la operación 6 + 0,2 responden 0,8.

– Cuando se dice que 0,33 es mayor que 0,4 ya que 33 es mayor que 4.

– Cuando consideran que no hay ningún número decimal entre 2,34 y 2,35.

– Ante una suma de números decimales como 2,45 + 0,7 colocan los nú-
meros en forma vertical alineándolos por la derecha sin considerar el valor
de las unidades.

2,45
+ 0,7

Estos errores muestran que los alumnos pueden llegar a manejar los símbo-
los (sintaxis) sin considerar los significados asociados (semántica). Los errores
sistemáticos que pueden realizar los alumnos, como los señalados con anteriori-
dad, se pueden considerar como instrumentos de diagnosis útiles para el profe-
sor, mostrando las características de conocimiento incompleto que están
construyendo los alumnos.

Una manera de ayudar a que los alumnos manejen los símbolos con los sig-
nificados vinculados es proporcionar desde un primer momento experiencias de
repartir cantidades de manera equitativa utilizando dibujos, materiales concre-
tos y conectar estas acciones con los símbolos matemáticos. Actividades que po-
tencian la comprensión de los alumnos de la noción de unidad ayudan a
desarrollar una mejor vinculación entre los aspectos semánticos y sintácticos en

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 207

el manejo de los símbolos para los números racionales. Ejemplos de este tipo de
tareas ya han sido descritos al principio de este capítulo.

En el dominio de los cálculos con las fracciones y los números decimales un
aspecto importante que ayuda a potenciar la vinculación de los significados con
la manipulación de los símbolos es desarrollar aproximaciones utilizando situa-
ciones:

• Ana ha utilizado 3/2 de kilo para pintar una pared. Juan ha utilizado 5/4
de kilo. ¿Cuánta pintura han utilizado entre los dos?

• Inés ha comprado 3/5 de pizza, pero ha metido en el microondas la mitad de
la que ha comprado para calentarla. ¿Qué fracción de una pizza ha metido
en el microondas?

• Tengo 5 tazas de mermelada. La receta de pastel me dice que se necesitan 2/3
de una taza para hacer un pastel. ¿Cuántos pasteles puedo hacer?

Actividades vinculadas a estas situaciones pueden ser:

– Modelar la situaciones con dibujos o materiales concretos.

– Describir los procesos de solución generados.

– Explicar por qué las soluciones producidas tienen sentido.

Actividad 6: Dada la expresión 1/2 + 2/3, CAPÍTULO

– Utilizando folios (magnitud continua) como material concreto modela el proceso de obtención del re- 7
sultado y relaciona las manipulaciones y acciones realizadas con los pasos que constituyen el algorit-
mo.

– Utilizando fichas (magnitud discreta) como concreto modela el proceso de obtención del resultado y
relaciona las manipulaciones y acciones realizadas con los pasos que constituyen el algoritmo.

– Discute con tus compañeros las diferencias entre los dos procesos de modelación desarrollados (con
folios y con fichas), ¿qué modo de representación parece favorecer la relación entre la modelación y
los diferentes pasos dados en el algoritmo realizado a nivel de símbolos?

– Redacta un problema que pueda resolverse con esta suma de fracciones y relaciona la interpretación
de las fracciones y de la suma que intervienen.

En este contexto la noción de sentido numérico entendido como una forma
de pensar sobre los números y la habilidad para operar de manera flexible apoya-
da en una red conceptual que relaciona los conceptos de unidad, partes con-
gruentes, agrupamiento y valor de posición del sistema de numeración decimal,
etc. que implica el desarrollo y la interconexión de las cinco dimensiones en las
que hemos caracterizado la competencia matemática (véase Capítulo 1) permite:

– Realizar juicios sobre la racionalidad de los resultados producidos en los
problemas numéricos.

208 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

– La posibilidad de generar algoritmos no convencionales.
– Relacionar las fracciones y los decimales con las propiedades de las opera-

ciones.
El desarrollo de la competencia matemática puede ayudar a que resuelvan
de otra manera la situación descrita en el Capítulo 1 con la división con nú-
meros decimales (escena 2). En el caso de la suma y resta con decimales, el
uso de materiales estructurados puede ayudar a relacionar el manejo de los
símbolos con su significado. Representar previamente los números con los
bloques multibase (por ejemplo, en la cuenta 2,45 + 0,7) utilizando como
unidad la placa, como décima la barra y como centésima la ficha, se obtiene
para 2,45:

Y para 0,7:

Confundir las décimas con las centésimas con esta representación resulta más
difícil. Este tipo de situaciones permite también reflexionar sobre la relatividad
del uso de una determinada representación para cada tipo de unidad (por ejem-
plo, usando el cubo grande para representar la unidad).

4. Razonamiento proporcional

Una proporción es una igualdad de dos razones. El razonamiento propor-
cional es el que se desencadena cuando se resuelven situaciones como las si-
guientes, reflejando, en las explicaciones que se puedan proporcionar, las
relaciones estructurales de estas situaciones. Desde esta perspectiva no es una
manifestación de razonamiento proporcional el solo uso de la técnica «de la re-
gla de tres» o resolviendo expresiones como a/b=x/d multiplicando en cruz.
Las siguientes situaciones reflejan características de relaciones de proporcionali-
dad y constituyen contextos en las que se pueden manifestar los procesos de ra-
zonamiento proporcional.

• Pedro compró 12 kilos de naranjas por 18 euros. ¿Cuánto hubiera pagado por
9 kilos?

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 209

• Ana quiere comprarse una camisa que vale 20 euros. Su madre queda con
ella que le pagará 2 euros por cada 3 euros que pague Ana. En este caso,
¿cuánto dinero debe sacar Ana de la hucha para comprarse la camisa?

• Un ciclista A recorre 25 km en 20 minutos. Otro ciclista B recorre 20 km en
15 minutos. ¿Cuál lleva mayor velocidad?

En la primera de las situaciones anteriores, los protocolos siguientes mues-
tran rasgos de razonamiento proporcional:

«Si Pedro ha pagado 18 euros por 12 kilos de naranjas, entonces la mitad de ki-
los valdrán la mitad de dinero. Así, 6 kilos valdrán 9 euros, y también 3 kilos val-
drán 4,5 euros.

Luego como 9 kilos son 6 más 3 entonces valdrán 9 euros + 4,5 euros que es 13,5
euros».

«Si 12 kilos de naranja valen 18 euros entonces 1 kilo valdrá 1,5 euros. Luego
9 kilos valdrán 9 × 1,5 que es 13,5 euros».

Las situaciones comparten entre sí una serie de relaciones estructurales que
podemos singularizar en:

Kilos naranjas precio
12 18

9 CAPÍTULO

Muestran dos tipos de relaciones. Una relación funcional que vincula mag- 7
nitudes diferentes como es precio/kilo, y que refleja el sentido de la unidad de
la razón (18/12 es el precio de 1 kilo de naranjas). Por otra parte, existe una re-
lación entre cantidades de la misma magnitud, generando una razón escalar (por
ejemplo, 12/9). El razonar usando estas relaciones tanto de manera cualitativa
como cuantitativa caracteriza el razonamiento proporcional. El uso de sucesio-
nes numéricas que mantienen las relaciones estructurales de la situación pro-
porcional ayuda a que los alumnos generen rasgos de este tipo de razonamiento.

kilos 3 6 12 6 + 3
euros 4,5 9 18 9+ 4,5

La sucesión de números proporcionales permite explicitar en los procesos de
comunicación y de resolución de problemas las dos características de las relacio-
nes estructurales que conforman la situación de proporcionalidad:

– La constancia de las razones escalares.

– La constante de proporcionalidad (o «unidad de razón»).

La generación del razonamiento proporcional es una pieza clave en la transi-
ción de los alumnos de Primaria a Secundaria. En cierta medida el razonamiento

210 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

proporcional consolida el conocimiento matemático escolar de las fracciones, nú-
meros decimales y razones de la Educación Primaria y se constituye en piedra an-
gular para los estudios posteriores en matemáticas y ciencias en Secundaria.

De la misma forma que ocurría con las fracciones, los alumnos suelen tener
un conocimiento informal sobre las situaciones de proporcionalidad, y también
como ocurría con el dominio de las fracciones y los números decimales, la pér-
dida de significado puede favorecerse si existe una prematura introducción de
los símbolos y de las técnicas que se pueden aplicar en las situaciones de pro-
porcionalidad. En el currículo de Primaria, las situaciones de proporcionalidad
suelen plantearse en el tercer ciclo (y principalmente en 6°), aunque los alum-
nos de edades más tempranas pueden generar aproximaciones cualitativas a este
tipo de situaciones, centrándose las situaciones de enseñanza en los significados
dados «relativamente» (utilizando el término «en relación a»). Teniendo en
cuenta estos aspectos es necesario considerar que:

– Los alumnos necesitan desarrollar un «sentido de la noción de razón» en-
tendido como el índice comparativo que proporciona información sobre
una situación, y por tanto distinguir las situaciones en las que es posible
aplicar este índice comparativo de las situaciones en las que no es posible.
Esto implica reconocer que en una situación de proporcionalidad los cam-
bios en una magnitud implican cambios en la otra, pero que el índice com-
parativo entre cantidades correspondientes es constante.

– Los alumnos deben desarrollar un lenguaje apropiado para pensar sobre,
comunicar y explicarse en este tipo de situaciones. El desarrollo del voca-
bulario apropiado es por tanto un aspecto clave vinculado al desarrollo de
la competencia matemática.

Con el análisis de situaciones en las que se den relaciones de proporcionali-
dad y situaciones en las que no se den estas relaciones, los alumnos pueden de-
sarrollar una intuición desde la que apoyar el «sentido de razón» y dotar de
significado a los símbolos utilizados para expresar proporciones.

– Comparaciones absolutas y relativas

Una de las características más importantes del razonamiento proporcional es
la habilidad para analizar cambios relativos y absolutos que están vinculados a
realizar comparaciones aditivas o multiplicativas. Por ejemplo, analicemos la si-
guiente situación:

Hace dos semanas la planta A medía 8 cm y la planta B medía 12 cm. En es-
tos momentos la planta A mide 11 cm y la planta B 15 cm. ¿Cuál de las dos plan-
tas ha crecido más?

La respuesta a esta cuestión no es única y depende del tipo de comparación
en el que nos fijemos. Si nos fijamos en los «cambios absolutos», es decir nos
centramos en la diferencia, la planta A pasó de 8 cm a 11 cm, por lo que creció
3 cm. La planta B paso de 12 cm a 15 cm, por lo que creció 3 cm. Con esta

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 211

comparación podemos concluir que las dos plantas crecieron 3 cm y por tanto
crecieron lo mismo. Si nos fijamos en los «cambios relativos», debemos fijarnos
en los cambios en relación a la altura inicial. La planta A creció 3 cm de los 8
que media al principio, por lo que su crecimiento relativo a su altura inicial es
de 3/8 de su altura inicial. La planta B creció 3 cm de los 12 que media al prin-
cipio, por lo que su crecimiento relativo a su altura inicial es de 3/12 de su al-
tura inicial. Por lo tanto, como 3/8 es mayor que 3/12 la planta A creció más
que la planta B. La diferencia en la respuesta está justificada en función de si
realizamos una comparación absoluta o relativa. Precisamente la habilidad para
pensar en términos relativos está vinculada al desarrollo del razonamiento pro-
porcional. En este sentido, los alumnos de Primaria deben ser capaces de llegar
a comprender la diferencia entre estos dos tipos de comparaciones: comparación
absoluta cuando nos fijamos en el crecimiento absoluto y comparación relativa
cuando se compara el crecimiento a la altura inicial. La noción de razón, como
un índice comparativo entre dos cantidades, es la que fundamenta este segundo
tipo de aproximación.

– Tablas de sucesiones de números proporcionales como
instrumento de aprendizaje

El uso de sucesiones de números que mantienen relaciones de proporciona- CAPÍTULO
lidad desde alguna situación concreta puede ser una buena ayuda para construir
los contextos donde los alumnos pueden empezar a desarrollar procesos de ra- 7
zonamiento proporcional. Las tablas con sucesiones de números, como las utili-
zadas al principio de esta sección, deben ser pensadas como instrumentos que
faciliten el desarrollo de maneras de pensar ante situaciones de proporcionalidad.
Sin embargo, el solo uso de las tablas como instrumento de aprendizaje no ase-
gura por sí mismo el desarrollo del razonamiento proporcional. Por ejemplo, en
el primero de los protocolos descritos en esta sección, el alumno está utilizando
estrategias aditivas de manera iterativa para buscar la respuesta al problema plan-
teado combinando mitades y dobles. Esta estrategia de construcción de la solu-
ción aunque correcta no nos asegura que el alumno esté pensando en relaciones
multiplicativas. Como por ejemplo, ¿este alumno se da cuenta que la relación en-
tre el número de kilos y los euros pagados es constante en todas las columnas de
la tabla? Este tipo de respuesta genera una cuestión, ¿hasta qué punto esta estra-
tegia utilizada por el alumno puede ser válida cuando las relaciones entre los nú-
meros implicados cambie y no sea fácil calcular mitades y dobles? El protocolo 2
muestra la respuesta de un alumno que sí parece haber identificado la relación
multiplicativa, una relación que es lo suficientemente potente para ser indepen-
diente de la magnitud de los números que estén en la situación.

Para el maestro se plantea la cuestión de cómo ayudar a los alumnos a que
desarrollen razonamientos de proporcionalidad que puedan llegar a ser inde-
pendientes de los números utilizados. Una sugerencia es variar el tipo de pre-
guntas que se plantean a los alumnos, y la estructura entre las cantidades y
números, para forzar a los alumnos a ir más allá de la zona en la que son efica-

212 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

ces procedimientos más primitivos. Desde el punto de vista de la planificación
del profesor y del diseño o selección de tareas las variables que habría que con-
siderar pueden ser:

– Problemas en los que ambas cantidades aumenten.

– Problemas en los que ambas cantidades disminuyan.

– Problemas implicando relaciones de proporcionalidad inversa.

– Problemas con números diferentes de los naturales.

– Problemas en los que su proceso de resolución se apoye en multiplicacio-
nes/divisiones y sumas/restas.

– Problemas que no puedan ser resueltos con estrategias de doblar y calcu-
lar mitades.

Por ejemplo, con el problema de las naranjas podemos hacer las siguientes
modificaciones atendiendo a las sugerencias anteriores:

• Problema 1. Si 5 kilos de naranjas valen 7 euros. ¿Cuántos kilos puedo com-
prar con 350 euros?

• Problema 2. Si 2,5 kilos de naranjas valen 7 euros. ¿Cuánto valen 9 kilos?

• Problema 3. Si 38 kilos de naranjas valen 25 euros. ¿Cuántas naranjas pue-
do comprar con 17,5 euros?

Cada una de estas modificaciones puede ayudar a generar nuevas estrategias y
perfilar la eficacia de los procedimientos empleados. La construcción de las tablas
permite explicitar las estrategias que pueden utilizarse para buscar la solución y
por tanto singularizar las relaciones multiplicativas entre las cantidades. Por lo
tanto, si el objetivo es generar contextos en los que poder discutir el dominio de
eficacia y las limitaciones de las estrategias utilizadas, una discusión previa se cen-
tra en el proceso de construcción de las tablas y en la necesidad de reflejar fiel-
mente las relaciones estructurales de la situación. Los diagramas siguientes
muestran algunas de las posibles estrategias vinculadas a los problemas anteriores:

Para el problema 1

Kilos 5 500 350
euros 7 700
:2
× 100
:5 ×9
Para el problema 2
×2 1 9
14/5 = 2,8
Kilos 2,5 5
euros 7 14

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 213

Para el problema 3

Kilos 38 19 7,6

euros 25 12,5 5 17,5

:2

:5
±

El uso de las tablas como un instrumento de aprendizaje hay que entenderlo CAPÍTULO
como una construcción personal (o de grupo a través de las interacciones entre
compañeros) que intenta dar cuenta de los procesos de pensamiento (y por tan- 7
to de las características del razonamiento proporcional generado). Aunque el
profesor pueda recoger las estrategias planteadas por los alumnos y explicitar los
atajos o procedimientos más eficaces, son los propios alumnos los que deben ha-
cerlos suyos en última instancia. En este sentido, la competencia matemática en-
tendida como el desarrollo de las relaciones entre las cinco dimensiones descritas
en el Capítulo 1 (comprensión, eficacia en el uso de los procedimientos, pensa-
miento estratégico, comunicación y actitudes) es ejemplificada en este tipo de si-
tuaciones a través del uso de las tablas. Las tablas se consideran entonces como
instrumentos de aprendizaje al permitir explicitar las relaciones estructurales en-
tre las cantidades y las estrategias empleadas. Además, las tablas permiten ser usa-
das como un instrumento que facilita la comunicación y explicación de las
estrategias empleadas. Los contextos en los que los alumnos pueden construir los
procesos de razonamiento mejorando sus estrategias iniciales, desde la identifica-
ción de las relaciones estructurales de los problemas (pensamiento estratégico),
pueden permitir de manera adicional crear autoconfianza y por tanto generar ac-
titudes positivas hacia la propia capacidad de resolución de problemas.

5. Actividades

Actividad 7: Preguntas sobre la Escena 2.
• ¿Era posible que se le hubiera «olvidado» lo que sabía de fracciones del año pasado?
• ¿Existe alguna «influencia» en representar la unidad como un rectángulo o como un círculo?
• ¿Son las fichas una representación para las fracciones más difícil que el dibujo de figuras geométricas?
• ¿Qué papel desempeñan el tipo de tareas que se proponen en el significado de fracción que tienen

los aprendices?
• ¿Las fracciones son algo más que «hacer partes y coger algunas»?
• ¿Es necesario saber hacer estos ejercicios para hacer correctamente las cuentas con fracciones?
• ¿Vale la pena dedicar tiempo a este tipo de tareas y no directamente a enseñarle las operaciones con

fracciones?

214 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

Actividad 8:
EL CASO DE BEATRIZ. Razón y proporcionalidad en 6° de Primaria
Beatriz es una maestra en una escuela en el extrarradio de una gran ciudad. Ha estado trabajando en
esta escuela durante los últimos 10 años. Ella siempre había estado dando clase en el segundo ciclo de
Primaria pero hace dos años durante una de las últimas reestructuraciones que hubo en el colegio le
ofrecieron pasar al tercer ciclo empezando desde 5° curso. Le pareció una idea interesante porque le
permitía cambiar un poco y aceptó. El año pasado dió por primera vez 5° y este año estaba en 6° con
los mismos alumnos. Su clase tenía 26 alumnos con niveles bastante diferentes, y algunos más nervio-
sos de la cuenta, lo que algunas veces le ocasionaba algunos problemas de disciplina pero que había sa-
bido manejar hasta estos momentos.
Beatriz pensaba que el temario de 6° curso no es muy diferente del de 5°, aunque tenía algunas cosas
más y se amplían cosas dadas en los cursos anteriores. Uno de los contenidos que aparecían nuevos era
la proporcionalidad y los porcentajes. Beatriz pensaba que este tema tenía alguna relación con las frac-
ciones y los decimales y que por tanto no debería encontrarse con muchas dificultades, y que estaba el
«algoritmo de la regla de tres» que permitía resolver las situaciones de proporcionalidad. En este senti-
do, Beatriz identificaba esta parte del temario con la regla de tres, la noción y aplicación de porcentajes
y las situaciones de las escalas en planos y mapas y lo consideraba un contenido bastante útil.
Cuando Beatriz empezó a preparar el tema vió que el libro de texto traía problemas de «regla de tres»
en la primera parte, pero que previamente introducía las relaciones en situaciones a través de «series de
números proporcionales». Una de estas situaciones era la siguiente:
Andrés pagó 1920 pesetas por 12 azulejos iguales, ¿cuánto pagará por 5 azulejos?
Observa cómo resuelve el problema Andrés:
1 azulejo cuesta → 1920 : 12 = 160 ptas.
2 azulejos cuestan → 160 · 2 = 320 ptas.
3 azulejos cuestan → 160 · 3 = 480 ptas.
De esta forma se puede completar la siguiente tabla:

Número de azulejos 1 2 3 4 5

Precio en pesetas 160 320 480 640 800

Andrés pagará 800 pesetas por 5 azulejos.
Observa que en la tabla anterior se puede pasar de los números de la primera fila a los números de la
segunda fila multiplicando por 160.
También podemos pasar de los números de la segunda fila a los números de la primera fila dividiendo
por 160.

Número de azulejos 1 2 3 4 5

Precio en pesetas 160 320 480 640 800

Número de azulejos 1 2 3 4 5

Precio en pesetas 160 320 480 640 800

Por eso decimos que la serie de números
1, 2, 3, 4, 5, y 160, 320, 480, 640, 800
son dos series de números proporcionales y la tabla se llama tabla de proporcionalidad.

Fuente: Matemáticas 6°. Edt. Santillana; página 134. Evidentemente, este libro de Santillana se editó antes de la aparición
del euro (N. del E.).

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 215

A continuación aparecían ejercicios que consistían en dada una fila y el nú-
mero que multiplica o divide obtener la otra fila, y dada una fila y un número
de la otra, determinar el número que permite pasar de una a otra multiplicando
o dividiendo y rellanar la tabla.

En estos momentos Beatriz no tenia idea de cómo iban a responder los alum-
nos a este tipo de situación y cómo podría introducir los procedimientos para re-
solver los problemas de regla de tres que aparecían en el texto a partir de esta
introducción. El procedimiento de la regla de tres que ella conocía y que se po-
día aplicar para resolver la mayoría de los problemas que aparecían en el texto te-
nía poco que ver, inicialmente, con lo de las series de números proporcionales.

Por otra parte, a Beatriz le gustaba siempre saber lo que los alumnos podían
conocer del tema antes de empezar, pero como no tenía experiencia en 6° cur-
so no tenía una idea clara de cómo iban a responder sus alumnos. Por eso, pen-
só en utilizar la situación que aparecía al principio del tema para recabar
información

1) Andrés pagó 1 920 pesetas por 12 azulejos iguales ¿cuánto pagará por 3 azu-
lejos? Ahora completa la siguiente tabla teniendo en cuenta los datos del problema

Número de azulejos Precio CAPÍTULO
3 1 920
6 7
9
12
15

¿Cómo habéis obtenido el precio de 6 azulejos?

¿Y el precio de 3 azulejos?

¿Y el precio de 15 azulejos?

Cuando recogió las respuestas se dio cuenta que había una gran variedad pe-
ro que podían agruparse de alguna manera. Algunas de las respuestas obtenidas
se incluyen en las páginas 216 a 219.

216 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 217

CAPÍTULO

7

218 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo... 219

CAPÍTULO

7

220 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

Cuestiones

A)
– ¿Consideras que fue una buena tarea?
– ¿Crees que la tarea utilizada por Beatriz puede ayudar a describir las con-
cepciones previas de los alumnos sobre las series de números proporciona-
les y la proporcionalidad?
– ¿Tú habrías utilizado esta tarea u otra?; ¿por qué?; ¿con qué objetivos?

B)
– ¿Qué es lo que parece que entienden los alumnos?
– ¿Por qué crees que han contestado de la forma en que lo han hecho?
– ¿Qué piensas que pueden estar pensando los alumnos?
– Ordena las respuestas de los alumnos según las características del razona-
miento proporcional que manifiestan. Justifica tu respuesta.
¿Cuál crees que puede ser el motivo por el cual los niños C y D han contes-

tado de la forma en la que lo han hecho?, ¿cuál puede ser la diferencia en su for-
ma de entender la tarea propuesta?

C)
¿Cómo tendrías en cuenta la información recogida a partir de estas respues-

tas para planificar la enseñanza de esta lección?

BIBLIOGRAFÍA

CASTRO, E. y TORRALBO, M. (2001): «Fracciones en el currículo de la Educación Primaria»
(pp. 285-314). En E. CASTRO (Ed.) Didáctica de la Matemática en la Educación Prima-
ria. Síntesis: Madrid.

CASTRO, E. (2001): Números decimales (pp. 315-346) En E. CASTRO (Ed.) Didáctica de la
Matemática en la Educación Primaria. Síntesis: Madrid.

CENTENO, J. (1988): Los números decimales. ¿Por qué?, ¿Para qué? Síntesis: Madrid.
LLINARES, S. y SÁNCHEZ, V. (1988): Fracciones. Síntesis: Madrid.
FERNÁNDEZ, F. (2001): «Proporcionalidad entre magnitudes» (pp. 533-558). En E. CASTRO

(Ed.) Didáctica de la Matemática en la Educación Primaria. Síntesis: Madrid.

CAPÍTULO 8

El tratamiento escolar de las
magnitudes y su medida

ÍNDICE

1. Introducción
2. Objetivos
3. La medida y el saber sabio de referencia. Los entornos

de la medida
4. Los obstáculos en medida
5. La realidad escolar. Las dificultades de alumnos y

profesores
6. Los fenómenos de enseñanza
7. Reflexiones didácticas y epistemológicas en torno a la

noción de unidad
8. La medida imagen. El espejismo de la medida exacta
9. El tratamiento de la longitud en la Educación Primaria

9.1. Los dos modelos de medida de la longitud.
9.2. Una propuesta de ingeniería didáctica para la

enseñanza de la longitud
Bibliografía

Mª del Carmen Chamorro

222 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

1. Introducción

La medida de magnitudes constituye un bloque de contenidos tradicional-
mente tratado tanto en la Enseñanza Primaria como en la Secundaria, ninguna
reforma del currículo ha dejado fuera este núcleo temático de gran utilidad en
la vida práctica de cualquier ciudadano. Pero es que, además de esta utilidad, si
se analiza desde un punto de vista matemático qué conocimientos hay detrás
de la medida de magnitudes encontramos conceptos refinados y complejos que
han sido incorporados a las matemáticas superiores de manera muy reciente.
Nos referimos, evidentemente, a la teoría de la medida de gran importancia en
matemáticas.

Sin embargo, es justamente la consideración de que se trata de un conoci-
miento social (al fin y al cabo casi todos los adultos saben medir o creen que sa-
ben medir), lo que genera no pocas paradojas en su enseñanza. Así, la escuela
abandona parte de esa enseñanza, por ejemplo la medición efectiva de objetos,
en el convencimiento de que el alumno acabará aprendiendo ciertas cosas por
su cuenta, en sus experiencias familiares y sociales, lo que luego resulta ser fal-
so. Convierte, por tanto, en objetos didácticamente invisibles1 saberes y conoci-
mientos que el alumno tendrá después necesidad de utilizar, bien para adquirir
nuevos conocimientos, bien para su vida personal.

Tradicionalmente se trata de un tema considerado difícil tanto para los niños
como para los maestros.

Los maestros se suelen limitar al trabajo formal de cambio de unidades del
Sistema Métrico Decimal, que es presentado de forma algorítmica, pues lo que
se trata es de manejar una regla para dominar de manera rápida las equivalencias
entre unidades, por lo que no es de extrañar que sea considerado por los profe-
sores como un tema abstracto y ¡poco práctico! Esta práctica está en la mayoría
de los casos encaminada a entrenar a los alumnos en la resolución de ejercicios
de los manuales escolares, enseñándoles lo que podríamos llamar procedimien-
tos de algoritmización a realizar mecánicamente, y que, por su propia naturale-
za, encierran una pérdida del sentido que tienen los cambios de unidades, pero
eso sí, crean la ficción de que el alumno aprende, al confundir aprendizaje con
la resolución de ejercicios del libro.

Los alumnos se encuentran con grandes dificultades para encontrar sentido
a estas actividades, actividades que hay que hacer notar, no se realizan nunca
fuera de la escuela. ¿Quién en su vida privada ha necesitado pasar de metros a
decímetros, o de kilos a hectogramos? Planteadas así las cosas, no es de extrañar
que la trasposición didáctica clásica de la medida se reduzca a un mero saber

1 Sobre la noción de invisibilidad didáctica, puede consultarse RUIZ HIGUERAS, L.: «La invisibi-
lidad institucional de los objetos matemáticos. Su incidencia en el aprendizaje de los alumnos», en
CHAMORRO, M.C. (ed.).: Dificultades del aprendizaje de las matemáticas, MECD, 2001, Madrid.

El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 223

escolar, sin prácticamente utilidad alguna fuera de la escuela, y muy distante,
epistemológicamente hablando, del saber matemático de referencia.

Otra paradoja presente en la enseñanza de las magnitudes es que, a pesar de
tratarse de un saber antiguo que siempre ha estado en el currículo, por lo que
debería estar bien estudiado, no hay una relación clara entre las demandas so-
ciales y culturales relativas a la medida, y la transposición didáctica que se hace
de la misma en la enseñanza, en la que se evitan las prácticas efectivas de medi-
ción, lo que convierte la enseñanza de la medida en un discurso teórico, que co-
mo veremos más adelante versa fundamentalmente sobre cuestiones aritméticas
más que de medida. Los ciudadanos hacen, en general, una mala utilización de
los instrumentos de medida, y encuentran dificultades en los cálculos con me-
didas, de longitud y dinero fundamentalmente, sin que la escuela haga nada por
cambiar este estado de cosas.

El conocimiento de la medida de magnitudes es esencial para que el alumno
pueda comprender lo que pasa a su alrededor. La medida es el medio de con-
trol por excelencia que va a permitirle interpretar la realidad (relaciones comer-
ciales, lectura de la prensa, etc.) y criticarla a partir de datos (interpretación de
presupuestos, tasas de empleo o paro, porcentajes de polución, etc.). Esto hace
que la medida se erija en instrumento fundamental en relación con otras áreas
del currículo, permitiendo un mejor tratamiento de ejes transversales como por
ejemplo, la educación para el consumo.

El reto didáctico va a consistir en encontrar situaciones didácticas que permi- CAPÍTULO
tan la construcción con significado de los conceptos esenciales de medida, para
lo cual habrá que implicar al alumno, al que se debe proporcionar las herramien- 8
tas necesarias para desenvolverse en su vida como ciudadano.

2. Objetivos

• Conocer las concepciones espontáneas de los alumnos en torno a la medi-
da de magnitudes.

• Analizar los conceptos de medida que deben ser enseñados en la Ense-
ñanza Primaria.

• Pasar revista de manera crítica a la transposición didáctica habitual de la
medida de magnitudes.

• Estudiar los fenómenos de enseñanza propios de la enseñanza de la medi-
da y sus consecuencias didácticas.

• Proporcionar pautas para la enseñanza de las magnitudes lineales, en par-
ticular la longitud, en la Educación Primaria.

224 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

3. La medida y el saber sabio de referencia.
Los entornos de la medida

Partiendo de la noción matemática de magnitud2 [conjunto M de clases de
equivalencia en el que se ha definido una suma ⊕ y un orden < que dota al con-
junto (M, <, ⊕) de la estructura de monoide conmutativo y arquimediano], y
de medida (aplicación que va de M a un conjunto de números positivos, , +,

+, +, que viene determinada por la cantidad u escogida, denominada unidad,
y que tiene como imagen el 1), podemos distinguir en la medida de magnitu-
des varios entornos distintos:

– Objetos soporte.
– La magnitud considerada.
– Las cantidades de magnitud.
– La aplicación medida.
– La medida imagen.
– La medida concreta.
– La medición.
– El orden de magnitud.

Esta distinción de entornos va a servirnos para analizar tanto los disfuncio-
namientos de la transposición didáctica y los fenómenos de enseñanza asociados,
como para diseñar una acción didáctica adecuada que tome en consideración la
naturaleza epistemológica de la noción de medida, pues de hecho, cada uno de
estos entornos proporciona un medio a-didáctico que posibilita trabajar aspec-
tos distintos, todos ellos constitutivos de las nociones de magnitud y medida.

La medida Objetos La magnitud
aplicación soporte

La medida La medición
imagen

La medida El valor
concreta particular o
cantidad de
El orden de magnitud
magnitud

Figura 1. Los diferentes entornos de la medida.

2 Para más detalle, consultar BELMONTE, J.M. y CHAMORRO, M.C. (1988): El problema de la
medida, Madrid: Síntesis.

El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 225

La transposición didáctica de la medida de magnitudes se caracteriza, entre CAPÍTULO
otras cosas, por la existencia de una gran variedad de términos y el uso de un vo-
cabulario flotante que designa de forma indistinta tanto acciones como conceptos 8
de naturaleza matemática y social bien distintas. Lo anterior no es sino un signo
externo del deficiente tratamiento que recibe la medida tanto en la Enseñanza
Primaria como en la Secundaria, en las que abundan los errores de tipo matemá-
tico y se obvian importantes aspectos de la medida de magnitudes, obteniéndose
como resultado una transposición didáctica reductora e incompleta, que bajo el
pretexto de enseñar aspectos prácticos útiles para la vida corriente, dedica la ma-
yor parte del tiempo al aprendizaje de procesos algoritmizados de escasa utilidad
más allá de los ejercicios escolares.

El concepto de magnitud está ausente de los currícula, sin que preocupen los
problemas de decantación y apreciación de cada magnitud en particular, y sin
que haya un trabajo sistemático sobre los métodos de comparación, lo que es
ciertamente complejo en magnitudes como la superficie o el volumen.

Trabajar el entorno relativo a la cantidad de magnitud supone trabajar la re-
lación de equivalencia, es decir la adquisición de criterios que permitan al alum-
no saber cuándo dos longitudes, dos superficies, dos masas o dos volúmenes son
equivalentes en magnitud; es decir, trabajar los problemas de conservación de la
magnitud, que si bien son adquiridos muy rápidamente y a edades muy tem-
pranas en el caso de la longitud o la capacidad, son tardíos y lentos en el caso de
la superficie (12 a 14 años) o el volumen (13 a 17 años).

El descubrimiento y aplicación de los criterios de equivalencia en una mag-
nitud no son objeto de trabajo específico, por lo que se recurre a la compara-
ción a través de los resultados obtenidos por medición, produciéndose así un
deslizamiento epistemológico que sustituye las actividades de medida por meras
actividades de tipo numérico.

Reconocer que la cantidad de superficie puede ser la misma en dos figuras de
forma muy distinta no es un conocimiento trivial, debe ser construido de una
manera laboriosa, y más cuando se sabe que existe un obstáculo epistemológico
que hace que los alumnos tiendan a identificar superficie con forma, es decir,
creen que el cambio de forma lleva aparejado el cambio de superficie.

En la situación que se describe a continuación, se trata de que los alumnos
descubran, justamente, que la superficie no es subsidiaria de la forma o el perí-
metro.

Material, para cada grupo de cuatro alumnos:

• Regla y tijera disponibles sobre la mesa de la maestra.

• Cuatro figuras poligonales recortadas diferentes, las mismas para todos los grupos, que han sido cons-
truidas con las piezas del tangram.

• Si los alumnos piden el tangram, se les dirá que no lo tenemos, que sólo tenemos los triángulos pe-
queños.

226 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

Organización de la clase:

Se trabaja en grupos de 4, todos los grupos son emisores en una primera fase y receptores en una se-
gunda.

Objetivo didáctico:

Se trata de provocar la utilización de un patrón como medio de resolver el problema de la comunica-
ción de la medida del área de una superficie, así como de institucionalizar la escritura del área en fun-
ción de la unidad.

Descripción de la actividad:

Primera Fase.

La maestra distribuye a cada grupo de 4, después de haber enunciado la consigna, una hoja en la que
hay dibujadas cuatro figuras.

Consigna:

1) «Vais a buscar un método para comunicar, mediante un mensaje escrito, sin utilizar el dibujo, la su-
perficie de una figura poligonal cualquiera, a alguien que no la vea.»

2) «Si vuestro método es bueno, el mensaje debe permitir construir una figura poligonal que tenga la
misma cantidad de superficie que la que escojáis de las cuatro que hay en la hoja que se os ha re-
partido.»

3) «Pedidme el material que necesitéis.»

La maestra escribe en la pizarra, a modo de recordatorio: método, mensaje escrito, misma cantidad de
superficie...

Para asegurarse de que los niños han comprendido la consigna, la maestra pide a uno que repita lo que
hay que hacer.

4) Desarrollo

La maestra pide a cada grupo que se ponga a trabajar, y les dice que vengan a buscarla una vez que el
grupo se haya puesto de acuerdo sobre el método de trabajo. En ese momento, comienza para ese gru-
po la Segunda Fase.

La maestra nombra los grupos A que serán emisores y los grupos B que serán los receptores corres-
pondientes.

Intercambio de mensajes entre los grupos A y B correspondientes. Trabajo de los alumnos.

Después de unos 30 minutos, durante los cuales los alumnos habrán tenido la oportunidad de poner a
prueba su método, al menos una vez, la maestra para el trabajo para pasar al debate.

La maestra pregunta a cada par de grupos si han conseguido que funcionen los mensajes o no, y pide
que expliquen el procedimiento seguido.

De entre los métodos aparecidos, la maestra debe dejar claro que si bien M3 (descomposición en polí-
gonos regulares) es válido, y ha sido usado con éxito en otras situaciones de geometría para reproduc-
ción de polígonos regulares, es sin embargo muy lento, ya que hay que localizar primero, y describir
después, muchas piezas. La conclusión es la misma si el método consiste en localizar y describir las pie-
zas del tangram con que se ha construido la figura.

Los resultados de las sesiones tercera y cuarta, en las que se ha concluido que perímetro y área son mag-
nitudes independientes, deben ser suficientes como para rechazar de forma inmediata métodos como
el M1 que usan el perímetro de la figura.
El método M2 (dar el perímetro de la figura) debe desacreditarse en virtud de los resultados obtenidos
en la sesión anterior, en la que se ha visto que puede haber varios rectángulos isoperimétricos de dis-
tinta área.

El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 227

Si ningún alumno ha propuesto el método M4 (ver cuántos triángulos pequeños del tangram caben en
la figura), la maestra pregunta expresamente: ¿y si tuviéramos una sola pieza para construir la superfi-
cie? ¿Cuál podría ser? Se discute entonces las cualidades de dicha pieza: una pieza fácil de colocar, re-
producir y describir y que pavimente el plano.

Aportación de informaciones por parte de la maestra:

La maestra institucionaliza el vocabulario e introduce la palabra unidad, así como la manera correcta de
escribir el resultado de una medida.

Dos alumnas de 5º de Primaria, Esperanza y Laura, han mandado a Miguel CAPÍTULO
Ángel y Cristina el siguiente mensaje: «Tiene forma de cabeza de zorro. Empe-
zando por arriba a la derecha, y de arriba abajo, el orden de las medidas son: 8
2,9 cm; 4 cm; 4 cm y 5,7 cm. De abajo a arriba: 4 cm; 3,8 cm y 5,6 cm. De de-
recha a izquierda 4 cm y 4 cm».

Como se ve, el mensaje muestra el interés que los alumnos tienen en dar
cuenta de la forma de la figura, no sólo dicen a qué se parece, sino que inten-
tan, evidentemente sin ningún éxito, indicar la posición de cada uno de los la-
dos. Reproducir una figura equivalente en superficie, es para la mayoría de los
alumnos respetar la forma.

Éste es otro mensaje, para la misma figura, enviado por Clara y Borja: «Arri-
ba del todo de esta figura hay dos triángulos que encuadran otro más grande va-
cío (como las orejas de un gato), las medidas de los triángulos: cada triángulo
tiene un ángulo recto que se sitúa en el borde del trapecio que hay debajo. El
lado del triángulo que toca el trapecio mide 3 cm. La altura de estos triángulos
mide 2,8 cm. El último lado mide 4,2 cm. Debajo hay un trapecio cuya altura
mide 5,9 cm. La base mide 9 cm. El lado mide 4,3 cm, y la altura es de 3 cm.
Debajo del trapecio hay una especie de barco o barca, cuya altura mide 2,1 cm,
la base 4 cm, los lados 4 cm y la altura 2,9 cm.

La mayoría de los mensajes toman en consideración la forma, considerándo-
la como elemento constitutivo de la superficie, hasta el punto de no poder di-

Figura 2.

228 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

sociarlas, entendiendo que cualquier mensaje para reproducir una superficie
equivalente incluye necesariamente la forma. No se aprecia influencia de la for-
ma particular de cada figura sobre el mensaje a que da lugar, es decir que esta
manera de proceder es independiente del aspecto icónico de la figura en cues-
tión, lo que se acaba de describir pasa con todas las figuras.

Actividad 1: Buscar en manuales escolares ejercicios y actividades de medida. Hacer corresponder ca-
da uno de ellos con el entorno correspondiente. Ordenar después los entornos de mayor a menor nú-
mero de actividades. ¿Qué puede deducirse?

La medición es casi siempre ficticia y tiene un claro carácter ostensivo3, que
tiene por finalidad sustituir la medición en la realidad de objetos concretos. Por
ello las nociones de aproximación, estimación y orden de magnitud no suelen
estar contempladas y desarrolladas en los currícula. Hay identificación de entor-
nos en algunos casos, y ausencia de otros que son sistemáticamente ignorados,
por lo que las manipulaciones a que se somete el saber sabio de referencia a efec-
tos de ser enseñado producen reducciones y graves modificaciones que pueden
calificarse de ilegítimas desde un punto de vista epistemológico.

Así, la medida concreta de los objetos, expresada por un número y una uni-
dad, sirve de soporte a la mayoría de las actividades que se proponen a los
alumnos, sustituyéndose las engorrosas prácticas de medición de objetos por
operaciones aritméticas elementales o ejercicios de ordenación de números,
que suplen las tareas de clasificar y ordenar objetos atendiendo a una magni-
tud. La mayoría de los problemas que tratan de medida parten en sus enun-
ciados de medidas concretas ya efectuadas, por lo que el trabajo a realizar se
reduce a su adición o sustracción, o bien multiplicación o división por un nú-
mero natural, respondiendo claramente a enunciados típicos de problemas
aditivos.

En el caso de las magnitudes pluridimensionales, de las que se hablará en el
capítulo siguiente, la correspondencia con los enunciados de producto de me-
didas4 es total: conocidas las dimensiones lineales hay que encontrar la superfi-
cie o el volumen, o bien, conocidas la superficie o el volumen y la otra u otras
dimensiones hay que encontrar la que falta.

Actividad 2: Analizar los problemas de medida de los libros de texto y comprobar la afirmación anterior.

3 El adjetivo ostensivo proviene del latín ostendere que significa presentarse con insistencia, es
decir, ostentar. Aquí usamos el adjetivo en el sentido de que el maestro es el que mide, muestra có-
mo, y de ahí se deduce que ya se ha medido, lo que evidentemente es una metáfora de medición.

4 Ver la tipología de problemas multiplicativos en el Capítulo 6 de Estructuras multiplicativas.

El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 229

Hay por tanto una clara sustitución de saberes en la que los verdaderos pro-
blemas de medida se sustituyen por problemas aritméticos, los procesos de
medición por el uso de fórmulas, y los ejercicios sobre conversiones, que ocu-
pan más de la mitad del tiempo de trabajo dedicado a la medida, son un me-
ro ejercicio de numeración decimal.

Muchos conocimientos de medida de gran uso social habían dejado de ense-
ñarse por considerar que podían aprenderse de forma privada; tal es el caso de los
procedimientos de medición, el manejo de instrumentos de medida, el uso y lec-
tura de instrumentos graduados y la estimación de medidas. Sin embargo, los
profundos cambios sociales, así como los avances tecnológicos en metrología,
han desterrado la mayoría de las prácticas sociales de medición, de manera que
los conocimientos que antes podían extraerse del ámbito privado son ahora muy
escasos. En la sociedad, los metros láser han desplazado a la cinta métrica, las ba-
lanzas digitales a las de platillos, los objetos industriales a los artesanales, y con
ello se ha privado a los alumnos de las experiencias necesarias para conceptuali-
zar las nociones de medida, por lo que la escuela debe replantearse de forma ur-
gente retomar a su cargo esos aprendizajes.

Actividad 3: CAPÍTULO
• Hacer un repertorio de las ocasiones de hacer mediciones que ofrece la vida escolar y social al alum-
8
no de Primaria.
• Hacer una lista de situaciones que demanden el uso de alguna medición y que puedan ser usadas en

el ámbito escolar.

4. Los obstáculos en medida

A los efectos reductores de la transposición didáctica hay que unir las prácti-
cas habituales, productoras de obstáculos didácticos, que refuerzan a menudo
obstáculos epistemológicos constatados y tipificados. Tal es el caso de:

– El uso casi exclusivo, como objetos soporte de las diferentes magnitudes, de objetos idealizados, pre-
viamente decantados, provenientes casi siempre del microespacio, dibujados la mayoría de las veces,
y matematizados en el caso de la superficie y el volumen (polígonos y poliedros), lo que dificulta el
reconocimiento en la realidad y en los objetos cotidianos de la magnitud correspondiente, convir-
tiendo las mediciones en acciones casi imposibles.

– El constante ejercicio de conversiones de unidades, expresando una medida en unidades sucesiva-
mente distintas y de diferente orden de magnitud, que tiene como efecto la imposibilidad de fijar el
orden de magnitud de los objetos más comunes, destruyéndolo en algunos casos, e imposibilitando
la consecución de un objetivo importante en medida: la estimación.

– La costumbre habitual de dar las superficies dibujadas y no recortadas constituye un obstáculo didác-
tico que favorece la identificación perímetro/superficie. Esta representación favorece la identificación
de la superficie con el borde, permitiendo la confusión entre el objeto representado y el contenido de
la representación. Esta práctica impide, además, la aparición de procedimientos de comparación de su-
perficies, que contribuyen a instalar en los alumnos una concepción geométrica de la superficie.

230 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

– El tratamiento estándar del cambio de unidades, que es un problema clave para comprender el con-
cepto de medida, utiliza un procedimiento algorítmico basado en la memorización (escalera, casillas
de unidades, etc.), altamente didactificado, y que nada tiene que ver con el problema conceptual del
cambio de unidades. El desarrollo de las representaciones que se hace un individuo en torno al cam-
bio de unidades está ligado a la adquisición e interiorización de distintas representaciones del mismo
hecho, y que tienen tanto un soporte verbal, como manipulativo, geométrico o aritmético, por lo que
la práctica habitual en nada contribuye a tales propósitos.

Por ello:

• La medición real de objetos diversos tomados del entorno cotidiano es
una actividad didáctica no sólo conveniente, sino también posible, si bien
exige un gran esfuerzo de preparación didáctica por parte del profesor. La
medición es la puerta de entrada para abordar cuestiones inherentes a la
medida como son el problema del error y la aproximación.

• Para asegurar la comprensión y descubrimiento de las relaciones entre uni-
dades es necesario recurrir a actividades de manipulación, tanto en el mar-
co aritmético como geométrico. En particular, abordar el Sistema Métrico
Decimal sin haber tratado previamente el cambio de unidades no conven-
cionales, dificulta, y puede llegar a imposibilitar, la comprensión de las re-
gularidades propias del mismo.

5. La realidad escolar. Las dificultades
de alumnos y profesores

A pesar de ser un tema habitual en todos los currícula de matemáticas, las
cuestiones metodológicas más complejas en torno a la enseñanza de las magni-
tudes siguen sin resolverse. Las condiciones materiales en las que se desarrolla el
trabajo escolar pueden calificarse de mínimas, los maestros cuentan, como todo
material, con reglas y cintas métricas, y si acaso alguna balanza, por lo que las
actividades de tipo práctico, y las mediciones en particular, son muy escasas y se
realizan con muchos obstáculos materiales y de gestión de la clase.

Las dificultades de los alumnos en este tema siguen siendo las mismas de una generación a otra de es-
tudiantes, lo que unido a lo anterior, configura un panorama en el que los cambios operados en los su-
cesivos cuestionarios han afectado poco a las cuestiones didácticas de fondo.

• Las prácticas escolares, que son muy homogéneas de unas clases a otras, se centran sobre todo en las
actividades de tipo formal, dedicando mucho tiempo a solucionar los problemas derivados de la es-
critura correcta de una medida y a las conversiones de unidades, en las que, paradójicamente, se si-
guen concentrado las mayores dificultades de los alumnos. Por el contrario, las actividades de
estimación y aproximación de medidas, que serían de gran utilidad en la vida corriente, son las me-
nos frecuentes.

• El aprendizaje del manejo de instrumentos se limita a la cinta métrica y la balanza, sin que ni siquie-
ra haya un trabajo sistemático que permita asegurar que los alumnos comprenden el sentido de la

El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 231

graduación de estos instrumentos. En relación a la graduación ningún manual escolar se plantea un
trabajo específico, de forma que se sobreentiende que su comprensión y lectura forman parte de un
aprendizaje social que no está bajo la responsabilidad de la escuela.

• Una característica común a la mayoría de los alumnos de la enseñanza elemental es, en consecuen-
cia, su ignorancia de los métodos usuales de medición, un desconocimiento del funcionamiento de los
instrumentos de medida, y por tanto una defectuosa elección de los que deben ser utilizados en una
situación de medida concreta. Parece, sin embargo, necesario e inevitable, realizar ciertas prácticas pa-
ra comprender qué es la medida.

• Incapacidad de los alumnos para distinguir magnitudes diferentes, por ejemplo superficie y períme-
tro, masa y volumen, etc. En particular, la confusión entre perímetro y superficie, constatada ya por
Lunzer5, es de tal persistencia que puede ser considerada como un obstáculo epistemológico6 que re-
quiere un tratamiento específico. Así, muchos adultos continúan creyendo que una finca A, que tiene
una valla de mayor longitud que otra B, tiene también, en todos los casos, mayor superficie que B.

Y es que cuando el alumno no hace otra cosa que calcular con los resultados de CAPÍTULO
las mediciones, practicar por tanto la aritmética, es muy fácil caer en las trampas de
los índices figurales, como en el caso en el que asocia una gran masa a un objeto 8
voluminoso, o una mayor área a una superficie de mayor perímetro; el alumno ca-
rece de las experiencias de referencia que pueden ayudar a crear un conflicto, y por
tanto una ruptura, entre las imágenes intuitivas y las deducciones lógicas de cier-
tas propiedades de las que gozan la superficie, la longitud o el volumen.

La incapacidad para distinguir magnitudes diferentes se ha visto propiciada en
muchos casos por los Cuestionarios Oficiales que no incluían el concepto de
magnitud y los pasos necesarios para su constitución, preocupándose tan sólo por
las fórmulas que dan la superficie o el volumen en función de las dimensiones
longitudinales del objeto. Este tratamiento ha favorecido la identificación objeto
(perteneciente a una clase de objetos soporte de la magnitud en cuestión) / mag-
nitud (cualidad de una clase de objetos que es considerada) / número (que da la
medida de esa magnitud en función de una unidad, de ese objeto).

En Primaria y Secundaria la magnitud más tratada es la longitud, seguida del
tiempo, la capacidad, la masa, y a mucha distancia, la superficie y el volumen.
Los alumnos confunden con frecuencia superficie con volumen, perímetro con
superficie, y masa con volumen.

• Las unidades de medida usadas son, casi de forma exclusiva, las del Siste-
ma Métrico Decimal, cuya introducción no suele verse precedida de siste-
mas de unidades no convencionales. Es sin embargo conveniente, y de
gran ayuda, presentar al alumno situaciones que le ayuden a descubrir la
utilidad de un sistema de unidades, aunque tal sistema no sea regular o no
coincida con el sistema legal en uso. El currículo español así lo recomien-
da, al citar expresamente entre los procedimientos las mediciones con uni-
dades convencionales y no convencionales.

5 VINH BANG y LUNZER, ERIC: Conservations spatiales, París, PUF, 1965.
6 Véase en el Capítulo 3 la noción de obstáculo epistemológico.

232 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

• El tratamiento de la superficie y el volumen comporta aún más dificul-
tades que el de las magnitudes lineales, ya que, entre otras cosas, las con-
cepciones de tipo perimétrico que poseen los alumnos constituyen un
fuerte obstáculo que se manifiesta bajo aspectos diferentes. Los métodos
de medida de superficie y volumen están también muy algoritmizados,
usándose medios didactificados como la cuadrícula o aritmetizados co-
mo las fórmulas obtenidas usando las dimensiones lineales, en tanto que
métodos como la equidescomposición o la pavimentación, que toman en
consideración la naturaleza del concepto de magnitud, son poco fre-
cuentes.

Actividad 4: Describa lo que se recuerde del trabajo que sobre medida de magnitudes se hacía en la
escuela cuando usted era estudiante. Observe después alguna clase actual sobre este tema. Establezca
las similitudes y diferencias observadas.

6. Los fenómenos de enseñanza

Entre otros fenómenos, algunos ya mencionados, que los futuros maestros
deben conocer están:

• La sustitución de saberes; bajo el título de actividades de medición, se
esconde un amplio abanico de cuestiones que poco o nada tienen que ver
con ella. Si se hace un análisis de los libros de texto, ejercicios y evalua-
ciones, se pone en evidencia que la medida es una excusa para trabajar ac-
tividades de domino aritmético, relativas a la numeración y al uso de los
números naturales y decimales, produciéndose el reemplazo de las magni-
tudes por los números, de la medición por el conteo. Las razones de esta
sustitución habría que buscarlas tanto del lado de la epistemología de los
profesores como del contrato didáctico.

• La aritmetización de la medida, consistente en que el acceso a la medi-
da se hace a través de instrumentos numerizados (balanzas digitales, me-
dida de longitudes usando rayos láser, etc.), puede tener a nuestro juicio
consecuencias de distinta índole, todas ellas importantes. Con la aritmeti-
zación de la medida se van a remplazar las magnitudes por los números.
En una balanza analógica la masa de un objeto se materializa, sea a través
de las pesas que equilibran el objeto, en una balanza tipo Roverbal, o por
el recorrido de la aguja sobre una escala graduada en las de un solo plato,
en ambos casos hay un índice que puede ser apreciado por los sentidos7.

7 Nótese que a medida que las balanzas se hacen más sofisticadas, la comparación directa entre
dos cantidades de magnitud se hace imposible. En una balanza de dos platos, basta con colocar en
cada plato la cantidad correspondiente y observar para dónde se inclina la balanza. En las balanzas
de un solo plato la comparación es ya indirecta, a través de un intermediario que es la escala. En el
caso de las balanzas digitales el elemento intermediario de la comparación son los números.

El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 233

En una balanza digital no puede encontrarse ninguna referencia a la idea CAPÍTULO
de masa, los dos platillos, la graduación e incluso la aguja han desapareci-
do. Es el orden de los números el que nos da el orden sobre los objetos. 8

• La dialéctica medida aproximada / medida exacta no se presenta en
ningún momento en la concepción que los alumnos tienen de la medida.
La medida es presentada como algo más o menos exacto sin que la pre-
cisión juegue un papel importante. El problema de la precisión debe ser
tenido en cuenta porque es esencial para aprendizajes posteriores de tipo
tecnológico-científicos, además es imposible pensar en una buena con-
ceptualización de la idea de medida que no tenga en cuenta la aproxima-
ción.

• El papel y la categoría de los errores no son examinados. La distinción
entre los errores relativos a la medición (error absoluto, error relativo), que
siempre existen, los errores de cálculo y los errores de redondeo no se ha-
ce en la escuela. El sentido de los errores, el análisis de la mayoración y mi-
noración de los mismos no se produce. Hay también en la actividad escolar
una cierta confusión entre aproximación y error.

• La existencia de una transposición didáctica reductora y desequilibra-
da que sólo toma en cuenta ciertos planos de los que intervienen en el
concepto de medida. Así por ejemplo, hay un estatuto inexistente del or-
den de magnitud, es decir, el 8º entorno no es tomado en cuenta y rara
vez es trabajado de forma sistemática.

Los ejercicios de conversiones de escrituras, concebidos como ejercicios de
numeración, como trabajo formal sobre la numeración8, destruyen la estima-
ción del orden de magnitud en tanto que medio de control de las mediciones.
Aunque matemáticamente las siguientes escrituras sean equivalentes: 3,42 m,
32,4 dm, 324 cm, 3 240 mm a efectos de controlar el orden de magnitud, no
suponen lo mismo. Para un alumno que controle las medidas del microespacio
en cm, las expresiones 32,4 dm o 3 240 mm no le ayudan en su control, no son
equivalentes desde el punto de vista de la evaluación. Así, los continuos cam-
bios de unidades no permiten al alumno estabilizar el orden de magnitud de
los objetos.

Si se quiere que el alumno utilice sistemáticamente la estimación, debe estar
previamente familiarizado con el orden de magnitud, entendido en tanto que
tamaño habitual de un objeto, de los objetos de su entorno en primer lugar.
Posteriormente debe adquirir como referencia la longitud de distancias domés-
ticas, urbanas, geográficas y astronómicas. Lo anterior debe ser conseguido a lo
largo de toda la Enseñanza Obligatoria y requiere de la ejercitación sistemática
y no esporádica.

8 En la numeración, las conversiones consisten en el paso de decenas a unidades, de centenas a
decenas, etc.; en el SMD el equivalente consiste en pasar de decímetros a metros, de hectómetros
a decámetros, etc.

234 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

• La evacuación del currículo de ciertos contenidos que quedan bajo la exclusiva responsabilidad del
alumno que debe hacer uso de sus conocimientos privados: criterios de ordenación y clasificación
atendiendo a una magnitud, construcción y sentido de la graduación, técnicas de medición de super-
ficies y volúmenes, etc.

• El tratamiento monográfico, como medidas producto, de las magnitudes pluridimensionales, aspec-
to sobre el que volveremos en el capítulo siguiente.

7. Reflexiones didácticas y epistemológicas
en torno a la noción de unidad

Teóricamente, fijar la aplicación medida supone fijar la unidad. Desde un
punto de vista didáctico, concienciar a los alumnos de la importancia y necesi-
dad de fijar la unidad es un aspecto clave y de gran importancia, que requiere
un tratamiento privilegiado, mediante el diseño de situaciones didácticas especí-
ficas que permitan descubrir a los alumnos el papel que juega la unidad en el es-
tablecimiento de la medida de magnitudes.

Entre los errores más frecuentes que cometen los alumnos en el ámbito de
la medida está precisamente el olvido, a la hora de expresar el resultado de una
medición, de la o las unidades; es decir, de aquello que es básico para la deter-
minación de la aplicación medida. Subsanar este tipo de errores pasa por asegu-
rar en los alumnos la idea de que el cambio de unidad tiene como resultado el
cambio de lo que llamamos medida de una cantidad de magnitud, y que viene
a ser algo así como el teorema fundamental de la medida a nivel elemental, por
lo que requiere del diseño de situaciones fundamentales capaces de caracterizar
los conocimientos matemáticos específicos subyacentes.

El descubrimiento de que existe un código específico que permite expresar,
sea la longitud de una banda o el área de una superficie, no es nada banal. Muy
al contrario, los alumnos tienden a utilizar de manera espontánea descripciones
que incluyen la forma, el color, la disposición espacial o propiedades geométri-
cas del objeto que carecen de interés y utilidad para dar información sobre la
cantidad de magnitud en cuestión, y sólo con un trabajo específico previamen-
te diseñado en forma de situación fundamental, que comprenda:

– Fase de acción: determinación experimental de la longitud, la superficie, la
masa, etc.

– Fase de comunicación: búsqueda de un mensaje para comunicar una me-
dida.

– Fase de validación: el mensaje emitido permite o no la fabricación de un
objeto equivalente al inicial en longitud, superficie, masa, etc., a los re-
ceptores. Es posible el descubrimiento del papel e importancia que juega
la unidad en la determinación y comunicación de informaciones concer-
nientes a la medida.

El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 235

Otro aspecto bien distinto del anterior, pero no menos importante, es el re- CAPÍTULO
lativo al reconocimiento de las cualidades que deben guiar la elección de la uni-
dad, destacando entre éstas el carácter de universalidad, cualidad que en un 8
primer momento no aparece como evidente para los alumnos de la enseñanza
elemental.

Desde un punto de vista histórico, sabemos que hasta finales del Siglo XVIII
no se produce la unificación de las unidades de medida, y ello gracias al Sistema
Métrico Decimal, dejando atrás estadios más primitivos en los que las unidades
están adaptadas a condiciones de existencia y usos comunes, ligadas pues a usos
locales, y tienen a menudo carácter antropométrico. La idea de universalizar las
unidades de medida comienza a tomar cuerpo a fines del siglo XVII, considerán-
dose a Gabriel Mouton, matemático, astrónomo y clérigo, promotor de tal idea.
Tras no pocos avatares, el 18 germinal del año III (7/4/1795), se instaura en
Francia el Sistema Métrico Decimal, fijándose para las medidas republicanas las
nomenclaturas siguientes:

– Longitud: metro (del griego µε´τρον, medida).

– Superficie agraria: área (del latín area, superficie).

– Capacidad, volumen: litro (del griego λιτρα, nombre que tenía en la An-
tigüedad una especie de medida para líquidos).

– Masa: gramo (del griego γρα´µµα, nombre del peso que los romanos lla-
maban scrupulum).9

Conforme a las disposiciones de la ley que fijan las unidades antes citadas, se
construyen los patrones correspondientes y se materializan las unidades. La eje-
cución de tan vasto proyecto de unificación hace exclamar a Lavoisier: «Nada
tan grande y tan simple a la vez, ni tan coherente en todas sus partes, ha salido
nunca de la mano del hombre».

Esta reseña histórica, aunque breve, nos sirve para fundamentar varias refle-
xiones de naturaleza didáctica.

En primer lugar, el largo tiempo transcurrido hasta el establecimiento de un
sistema de medida universal señala una gran coincidencia entre la filogénesis y la
ontogénesis en distintos aspectos. Hay que señalar la fuerte resistencia, que du-
rante mucho tiempo tienen los alumnos, a utilizar las unidades convencionales,
en beneficio del uso como patrones, de objetos que proceden de su entorno y
que, aunque más imprecisos, les resultan más próximos afectivamente. El recha-
zo de tales usos sólo puede provocarse a partir de actividades en las que éstos se
manifiesten, claramente, como inadecuados y ligados a estrategias inapropiadas
que los hacen fracasar en una tarea concreta; cualquier otro procedimiento, tal
como la imposición o introducción gratuita e injustificada, estará basada más en
factores sociales que lógico-matemáticos.

9 MOREAU, H.: Le système métrique, París, Chiron, 1975, p. 32.

236 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

Por razones similares se justifica de alguna forma un tratamiento didáctico en
el que el Sistema Métrico Decimal no sea abordado hasta después de haber tra-
bajado ampliamente con unidades antropométricas primero, y patrones arbitra-
rios después; pues si la elaboración de la idea de sistema de medida no es ni
simple ni fácil para los alumnos de Primaria, conceptualizar un sistema perfecta-
mente concebido como el Sistema Métrico Decimal es poco menos que impo-
sible sin un trabajo previo que permita comprender los procesos de medición y
la idea de unidad.

En otro orden de cosas, al igual que los patrones de medida fueron cons-
truidos para ser manipulados, el trabajo con las unidades, al menos con aquellas
cuyo tamaño lo permite, requiere de la manipulación para familiarizarse con el
orden de magnitud, requisito previo para cualquier estimación en medida, y úni-
ca vía para acceder al descubrimiento y estructuración posterior de la relación
entre los distintos órdenes de unidades.

Actividad 5: Describir las condiciones que debe cumplir un objeto para que pueda ser usado como uni-
dad de medida de longitud o de capacidad respectivamente.

8. La medida imagen. El espejismo
de la medida exacta

En la enseñanza elemental el número-medida se reduce, en general, a los nú-
meros enteros, fraccionarios o decimales, obtenidos a través del fraccionamien-
to de la unidad10, evitando en todo momento la aparición o utilización de los
números reales, lo que obliga, en muchos casos, a admitir el espejismo de la me-
dida exacta de un objeto a nivel experimental, sin entrar de lleno en el debate
de la precisión y la aproximación. Se escoge generalmente un valor central del
intervalo en el que se mueven los distintos resultados obtenidos, o bien la mo-
da, sin dar a los alumnos ni los medios ni la oportunidad para juzgar sobre el
error cometido, su origen y su importancia.

El método de conmensuración11, que permitiría eliminar alguno de los pro-
blemas citados más arriba, apenas si es utilizado en la escuela, y es percibido

10 El método consiste en dividir una unidad u en partes iguales, una de las cuales, u’, hará las
veces de nueva unidad, para a continuación pasar a contar el número total de estas nuevas unida-
des, que en conjunto tendrán la misma magnitud que el objeto en cuestión. Si esto no es posible,
se procede a dividir de nuevo la unidad u’ según el mismo procedimiento, y así sucesivamente has-
ta obtener como medida una fracción.

11 El método, utilizado ya por los griegos, está en la base de los intercambios comerciales pri-
mitivos (5 ovejas se cambian por una vaca, 2 sacos de trigo por 3 de maíz, etc.) y puede expresar-
se mediante una igualdad como la siguiente:

p x µ U (A) = n x µ U (U)
que no significa otra cosa que: p objetos A miden lo mismo que n objetos U.

El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 237

erróneamente por los profesores como menos preciso. La ventaja de su utiliza- CAPÍTULO
ción es que, si bien ambas estrategias son modelos de acción, la conmensuración
es susceptible de ser una estrategia de base para el aprendizaje del fracciona- 8
miento de la unidad, mientras que el proceso inverso en el orden de aprendiza-
je supondría la aparición de obstáculos de diversa índole.

En todo caso, lo que caracteriza a la medida imagen en el contexto escolar
es la tendencia generalizada a proporcionar un número como resultado de una
medida, sin mención expresa de la unidad, lo que es tanto como decir que se da
la imagen mediante una aplicación, sin que se diga cuál es ésta.

Igualmente hay un rechazo generalizado, tanto en la vida real, como en el
comercio o la escuela, al uso de encuadramientos en aquellos casos en los que
es imposible dar una medida entera. El encuadramiento, en lugar de disminuir
la incertidumbre del resultado obtenido, es percibido por los alumnos como una
imprecisión, que es rápidamente evacuada con la aparición y uso de los decima-
les, de forma que su utilización se restringe al uso científico. Incluso cuando los
alumnos de la enseñanza elemental desconocen aún la existencia de los núme-
ros decimales, encuentran una forma muy particular de expresar una medida no
entera, con la ilusión de darla como entera: la expresión «y medio» expresa una
fracción indeterminada y universal de la unidad. Así, en las sesiones que hemos
llevado a cabo sobre la longitud con los alumnos de 8 años, una longitud com-
prendida entre 3 y 4 cm es designada a menudo, en tanto que los alumnos des-
conocen el valor y existencia del milímetro, por 3 cm y medio, de forma que el
medio representa una cantidad que no es fija y que sirve para expresar la impo-
sibilidad de dar como medida un número entero. Expresiones del estilo 5 cm y
1 mm tienen también a menudo un significado distinto entre los niños, del que
un adulto le daría: «5 cm y un poquito».

En nuestra opinión, si se desea introducir el uso de los encuadramientos en
la escuela, lo que tiene gran interés en relación con la naturaleza del trabajo
científico experimental y de la medida en particular, debería hacerse en relación
con tareas que demanden una estimación y no un resultado preciso en una me-
dición, pues en la estimación tiene pleno sentido refinar sucesivamente los in-
tervalos en los que va a encontrarse la medida del objeto estimado, instalando
en los alumnos la idea de que la justa medida sólo puede ser proporcionada por
la anticipación de un cálculo, mientras que en la práctica sólo puede aspirarse a
aproximaciones cada vez mejores, es decir, refinando el intervalo de estimación.

Nosotros hemos trabajado con medidas enteras, y ello porque los alumnos
no disponen de otro sistema numérico que el de los números naturales, limi-
tándonos a un trabajo de sensibilización, realizado sobre todo con motivo de las
mediciones efectivas que los alumnos van a hacer en distintos momentos de la
ingeniería que propondremos.

Actividad 6: Inventariar prácticas sociales en las que predomina el espejismo de la medida exacta/entera.

238 Didáctica de las Matemáticas para Primaria

9. El tratamiento de la longitud
en la Educación Primaria

Si bien a la longitud se le dedica más tiempo que al resto de las magnitudes, el
tratamiento que de ella se hace está completamente didactificado. Su consideración
implícita como objeto de enseñanza transparente hace que las actividades propues-
tas rara vez se propongan el descubrimiento o construcción por parte del alumno
de conceptos o propiedades. Los ejercicios están fuertemente institucionalizados y
muy desequilibrados en relación con los distintos aspectos de la medida.

9.1. Los dos modelos de medida de la longitud

Bessot y Eberhard12 hacen un estudio teórico que conduce a determinar los
modelos correspondientes a las dos concepciones de designación de una longi-
tud: la medida con una unidad o patrón y la localización sobre una escala.

La tabla que sigue, debida a las autoras antes citadas, presenta un compen-
dio del tipo de situaciones en relación con el instrumento usado y el modelo de
longitud que pone en funcionamiento en los alumnos. La progresión de activi-
dades que propondremos, si bien no agota la totalidad de posibilidades, hace un
tratamiento bastante extenso de la mayoría.

Como se ve, una longitud puede quedar determinada de dos maneras:
– Utilizando un patrón o unidad u. En este caso, basta con transportar dicho patrón sobre la longitud

en cuestión y ver cuántos patrones hay que poner para cubrir por completo la longitud del objeto. En
el caso más general, la longitud del objeto a, designada por m(a), no será un número entero de pa-
trones, por lo que se obtendrá un encuadramiento del tipo: n · u < m(a) < (n+1) · u
– Utilizar una escala, escala que normalmente está graduada de forma regular, numerada y que tiene
fijado un origen, si bien como se ve en la tabla existen otras posibilidades. En este caso, basta con co-
locar la longitud haciendo coincidir un extremo de la misma con el origen de la escala y leer el nú-
mero de la graduación que coincide con el otro extremo de la longitud. Éste es el procedimiento
habitual de medida de una longitud sirviéndose de un instrumento graduado (caso 5c), una cinta mé-
trica, una regla, etc.

Actividad 7: Buscar situaciones o instrumentos en los que se usen escalas de los tipos que aparecen en
la tabla.

Actividad 8: Examinar, en particular, las propiedades de la graduación de una regla.

12 BESSOT, A. y EBERHARD, M.: «Une approche didactique des problèmes de la mesure», en Re-
cherches en Didactique des Matématiques, vol. 4.3., págs. 293-324, La Pensée Sauvage, Grenoble, 1983.

El tratamiento escolar de las magnitudes y su medida 239

9.2. Una propuesta de ingeniería didáctica
para la enseñanza de la longitud

Creemos que la propuesta de ingeniería didáctica13 que hacemos es una apor- CAPÍTULO
tación a la construcción de un proceso que coordine los dos modelos, y que pue-
de dar lugar a una concepción de la medida de longitudes más equilibrada. La 8
enseñanza habitual trabaja en general el primer modelo, y da por evidente el se-
gundo, limitándose a usar instrumentos graduados, fundamentalmente la regla,
sin que haya ningún trabajo expreso sobre el significado y la graduación de los
instrumentos, por lo que no se establece relación alguna entre los dos modelos.

La ingeniería sobre la longitud tiene cinco partes, que buscan una transposi-
ción didáctica equilibrada que trabaje diferentes entornos. Todas las situaciones
han sido construidas buscando que el alumno se implique y descubra los con-
ceptos subyacentes de manera a-didáctica:

Primera parte: el entorno de la aplicación medida.

– Descubrimiento y utilización de un patrón14 (1 sesión).

– Uso de un sistema de medidas (1 sesión).

Descubierta en la situación anterior la necesidad de usar un patrón para co-
municar la longitud de una banda, se proporciona a los alumnos un sistema de
patrones (tres bandas de longitudes diferentes) para expresar con su ayuda la
longitud de una banda. Esta situación, que funciona en la primera parte como
situación de acción, y después de formulación, permite introducir la noción de
escritura equivalente, pues la longitud de una banda va a poder ser expresada de
diferentes formas. La noción de equivalencia va a ser fundamental para dar sen-
tido al problema de las conversiones, que van a aparecer en la situación siguien-
te como el paso de una escritura a otra equivalente. Dos expresiones son
equivalentes si permiten construir una banda de la misma longitud.

Segunda parte: las unidades y la medida imagen.

– Conversión de unidades. Expresión canónica de la medida (1 sesión).

Los alumnos van a determinar si varias escrituras son o no equivalentes y van
a buscar escrituras equivalentes a una dada. Esta actividad se produce en dos
tiempos; primero ayudándose de los patrones, para posteriormente circunscri-
birse al razonamiento numérico a través de las equivalencias encontradas entre
los patrones. La situación está construida como situación de validación.

13 Esta ingeniería ha sido llevada a la práctica en 3º de Primaria, durante los cursos 2000-2001
y 2001-2002 en el C.P. Pablo Picasso de Fuenlabrada con excelentes resultados los dos años. La
falta de espacio nos impide reproducir aquí todas las situaciones en detalle, la descripción comple-
ta puede encontrarse en CHAMORRO, M.C. et al.: «La observación de ingenierías didácticas como
método de mejora en la enseñanza de la didáctica de las matemáticas», Proyecto de Innovación
Educativa, Vicerrectorado de Estudios de la UCM, 2001.

14 Esta situación ha sido descrita en el Capítulo 3.

Tipo de útil u manipulable Escala regular Escala irregular Escala regular Escala regular graduada 240 Didáctica de las Matemáticas para Primaria
Elección origen disponible. no codificada codificada codificada no
Sin escala 5
Modelo 2 (numérica o no) numérica Origen fijo
1
Medida 3 4

Sin origen Codificado k 0 Codificado 0
5a 5b 5c

mu(a) = número mu(a) = número mu(a) = número mu(a) = número mu(a) = número mu(a) = número
obtenido por obtenido por obtenido por obtenido por obtenido por obtenido por
conteo de los conteo de los conteo de los conteo de los conteo de los
conteo de los objetos marcados objetos marcados objetos marcados objetos marcados objetos marcados
yuxtapuestos de yuxtapuestos de yuxtapuestos de yuxtapuestos de yuxtapuestos de
transportes de u longitud u longitud n longitud n longitud n longitud n

Coordinación mu(a) = ͦ i- j ͦ mu(a) = r(a) - k mu(a) = r(a)
medida /
localización designación de A designación de A designación de A designación de A designación de A
por un par por un par por un par de por el número por el número
Localización de puntos de puntos números (i, j) r(A) > k r(A)
codificados, codificados,
no hay unicidad no hay unicidad no hay unicidad unicidad unicidad


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