Dinamica+de+Estructuras+4Ed+-+Anil+K.+Chopra

Sección A.4 Relación entre la respuesta compleja en la frecuencia 891

donde

∞ p(t )e−iωt dt

P(ω) = (A.3.2)

−∞

La ecuación (A.3.2) representa la transformada de Fourier (también conocida como la
transformada directa de Fourier) de la función de tiempo p(t), y la ecuación (A.3.1) es
la transformada inversa de Fourier de la función de frecuencia P(ω). Las dos ecuaciones
en conjunto se denominan un par de transformadas de Fourier. Observe que la función de
tiempo se indica con una letra minúscula, y la transformada de Fourier de la función con la
misma letra en mayúsculas.

En la ecuación (A.3.1), p(t) se ha expresado como la superposición de funciones ar-
mónicas [P(ω)/2π]eiωt, donde el coeficiente de valor complejo P(ω) para una p(t) dada
se determina a partir de la ecuación (A.3.2). En la superposición se incluye un número infinito
de funciones armónicas con frecuencias variables continuas. En contraste, una función pe-
riódica se representa como la superposición de un número infinito de funciones armónicas
con frecuencias discretas jω0, j = 0, ±1, ±2, … . Las ecuaciones (A.3.1) y (A.3.2) pueden
deducirse iniciando desde las ecuaciones de la serie de Fourier (A.2.1) y (A.2.3), y dejando
que el periodo T0 tienda al infinito.

A.3.2 Respuesta a una excitación arbitraria

La respuesta de un sistema lineal a la excitación p(t) puede determinarse mediante la com-

binación de las respuestas a los términos de excitación armónica individuales en la integral
de Fourier de la ecuación (A.3.1). La respuesta del sistema a la excitación P(ω)eiωt está dada
por H(ω)P(ω)eiωt. La superposición de las respuestas a todos los términos armónicos de la

ecuación (A.3.1) proporciona la respuesta total:

u(t) = 1 ∞ (A.3.3)

U (ω)eiωt dω
2π −∞

donde

U (ω) = H (ω)P(ω) (A.3.4)

Esto se conoce como el método en el dominio de la frecuencia para el análisis de la res-
puesta estructural a una excitación arbitraria. La ecuación (A.3.3) es la transformada inversa
de Fourier de U(ω), el producto de la función compleja de la respuesta en frecuencia y la
transformada de Fourier de la excitación.

De acuerdo con la ecuación (A.3.2), resulta claro que la integración directa es ade-
cuada para determinar la transformada directa de Fourier. Por el contrario, para evaluar
la transformada inversa de Fourier de la ecuación (A.3.3) es necesario una integración de
contorno en el plano complejo. Este proceso de integración no se describe aquí porque no
suele ser analíticamente factible para los problemas de dinámica estructural que se plantean
en la práctica de la ingeniería.

A.4 RELACIÓN ENTRE LA RESPUESTA COMPLEJA EN LA FRECUENCIA
Y LA RESPUESTA AL IMPULSO UNITARIO

En este punto se presenta una breve explicación para desarrollar la relación entre la función
compleja de la respuesta en frecuencia H(ω), que se presentó en las secciones anteriores,

892 Método en el dominio de la frecuencia para el análisis de respuesta Apéndice A

y la función de respuesta al impulso unitario h(t), que se definió en el capítulo 4. H(ω)
describe la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia a una excitación armónica

unitaria. h(t) describe la respuesta del sistema en el dominio del tiempo a una excitación
impulsiva unitaria, p(t) = δ(t). Por ejemplo, para un sistema de 1GDL con amortiguamiento
viscoso, H(ω) está dada por la ecuación (A.1.7) y h(t) por la ecuación (4.1.7), la cual se
especifica para τ = 0 y se repite aquí por conveniencia:

h (t ) = 1 e−ζ ωn t sen ωDt (A.4.1)
mωD

Se demostrará que H(ω) y h(t) forman un par de transformadas de Fourier. Para ello
se utilizará el procedimiento del análisis en el dominio de la frecuencia (sección A.3) con
el fin de determinar la respuesta a una excitación impulsiva unitaria p(t) = δ(t). Al sustituir
esta p(t) en la ecuación (A.3.2) se obtiene la transformada de Fourier del impulso unitario:

∞ (A.4.2)

P(ω) = δ(t)e−iωt dt = 1

−∞

Si se sustituye P(ω) = 1 en las ecuaciones (A.3.4) y (A.3.3), resulta

h(t) = 1 ∞ (A.4.3)

H (ω)eiωt dω
2π −∞

Al comparar este resultado con las definiciones de la transformada de Fourier, ecuación
(A.3.2), y la transformada inversa de Fourier, ecuación (A.3.1), resulta claro que h(t) es la
transformada inversa de Fourier de H(ω) y que H(ω) es la transformada de Fourier de h(t):

∞ h(t )e−iωt dt

H (ω) = (A.4.4)

−∞

Observe que la elección del símbolo h para representar la respuesta al impulso unitario y H
para indicar la respuesta en frecuencia compleja se ajusta a las notaciones seleccionadas con
anterioridad para un par de transformadas de Fourier.

A.5 MÉTODOS DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

El análisis en el dominio de la frecuencia para la respuesta dinámica de las estructuras,
desarrollado en el punto A.3, requiere la determinación tanto de la transformada de Fourier
de p(t), ecuación (A.3.2), como de la transformada inversa de Fourier de U(ω), ecuación
(A.3.3). La evaluación analítica de estas transformadas directa e inversa de Fourier sólo
es posible para las excitaciones descritas mediante funciones simples aplicadas a sistemas
estructurales sencillos. Estas integrales deben evaluarse de manera numérica para las exci-
taciones que varían con el tiempo de manera arbitraria, para los sistemas de vibración com-
plejos o para las situaciones donde la respuesta compleja en la frecuencia (o la respuesta al
impulso unitario) se describe en forma numérica. La evaluación numérica requiere truncar
estas integrales de intervalo infinito en un intervalo finito, por lo que dicha evaluación es
equivalente a aproximar la excitación que varía con el tiempo de manera arbitraria, p(t),
mediante una función periódica. Estas ideas se desarrollan a continuación.

Sección A.5 Métodos de la transformada discreta de Fourier 893

A.5.1 Discretización de la excitación

El sistema se excita mediante una fuerza p(t) de duración td, como se muestra en la figura
A.5.1. El objetivo aquí es determinar el desplazamiento resultante u(t) del sistema, que se
supone en estado inicial de reposo. Como la respuesta máxima del sistema (o el máximo
absoluto) puede alcanzarse después de terminada la excitación, el análisis debe llevarse a
cabo sobre una duración de tiempo T0 que es más largo que td. Si el pico se produce después
de que la excitación ha terminado, éste se alcanzará en el primer medio ciclo de la vibración
libre, porque el movimiento se reducirá en los ciclos subsecuentes, debido al amortigua-
miento. Por lo tanto, se debe elegir

T0 ≥ td + Tn (A.5.1)
2

p

012 n N–1 t

tn = n ∆t Figura A.5.1 Excitación p(t) y su versión
td discretizada.

T = N ∆t

0

La función de excitación p(t) a lo largo del tiempo de duración T0 se muestrea en N
instantes de tiempo con deltas iguales, numerados desde 0 hasta N – 1 (figura A.5.1). El

intervalo de muestreo se indica mediante t; por lo tanto,

T0 = N t (A.5.2)

Entonces, la función de excitación p(t) está definida por un conjunto de valores discretos pn
≡ p(tn) ≡ p(n t), que se muestran como la serie de puntos de la figura A.5.1.

El delta de muestreo t debe ser suficientemente corto en comparación con los perio-
dos de los armónicos significativos en la excitación y con el periodo natural Tn del sistema.
El primer requisito asegura una representación exacta de la excitación y del componente de

vibración forzada de la respuesta, y el segundo requisito asegura una representación precisa

del componente de vibración libre de la respuesta. El segundo requisito también asegura la

representación exacta de la respuesta de los sistemas de 1GDL ligeramente amortiguados

a excitaciones con una frecuencia de banda amplia, como la mayoría de los movimientos

del terreno registrados durante los sismos; recuerde que el periodo dominante de dicha res-
puesta es Tn (figura 6.4.1).

894 Método en el dominio de la frecuencia para el análisis de respuesta Apéndice A

A.5.2 Representación de excitaciones con series de Fourier

Considere una extensión periódica de la excitación p(t), con su periodo definido como T0
(ecuación A.5.1), la cual se muestra de manera esquemática en la figura A.5.2, y sustituya

p(t) por un vector pn que describe la función de fuerza discretizada. A partir de la serie com-
pleja de Fourier para la función p(t) (ecuación A.2.1), el vector pn puede expresarse (vea la
deducción A.3) como una superposición de N funciones armónicas:

N −1 N −1

pn = Pj ei( jω0tn) = Pj ei(2πn j/N ) (A.5.3)

j=0 j=0

en el que ω0 = 2π/T0, la frecuencia del primer armónico o armónico fundamental en la
extensión periódica de p(t); ωj = jω0 es la frecuencia circular del j-ésimo armónico; y Pj es
un coeficiente de valor complejo que define la amplitud y la fase del j-ésimo armónico. A

partir de la ecuación (A.2.3), que define Pj para la función p(t), el Pj asociado con el vector
pn puede expresarse como (vea la deducción A.3)

Pj = 1 N −1 pn e−i( jω0tn ) t = 1 N −1 (A.5.4)
T0 n=0 N
pn e−i(2πn j/N )

n=0

Las ecuaciones (A.5.3) y (A.5.4) definen un par de transformadas discretas de Fourier; el

arreglo Pj es la transformada discreta de Fourier de la secuencia de excitación pn, y el vector
pn es la transformada discreta inversa de la secuencia Pj. Estas ecuaciones pueden interpre-
tarse como aproximaciones numéricas de las ecuaciones (A.2.1) y (A.2.3).

p

td tf t
T
T
0
0

Figura A.5.2 Extensión periódica de p(t).

Las transformadas continua y discreta de Fourier difieren de manera importante.
Mientras que la transformada continua (ecuación A.3.1) es una representación verdadera
de la función de excitación, la transformada discreta (ecuación A.5.3) representa sólo una
versión periódica de la función. La implicación de esta distinción se discutirá más adelante.

Observe que en las ecuaciones (A.5.3) sólo se consideran las frecuencias positivas;
por lo tanto, ésta se denomina una expansión de Fourier de un solo lado. En contraste, la
ecuación (A.2.1) original es una expansión de Fourier de dos lados que contiene frecuencias
positivas y negativas. Así como las frecuencias negativas no tienen ninguna significancia
física en la expansión de dos lados, las frecuencias correspondientes a N/2 < j ≤ N – 1 no
tienen ninguna significancia física; son las contrapartes de las frecuencias negativas. Si la

Sección A.5 Métodos de la transformada discreta de Fourier 895

sumatoria en la ecuación (A.2.1) se truncara para ir desde j =–N/2 hasta N/2, ω se extende-
ría desde –ωN/2 hasta ωN/2. Por lo tanto, ωN/2 también define la frecuencia del armónico con
frecuencia mayor incluido en la ecuación (A.5.3). Esta frecuencia, que también se indica

mediante ωmáx, se conoce como la frecuencia de Nyquist y está dada por

ωmáx = N ω0 = π (A.5.5)
2 t

donde la frecuencia ω0 del armónico fundamental o primer armónico se define en la ecua-
ción (A.2.2) que, junto con la ecuación (A.5.2), proporciona la segunda mitad de la ecuación

(A.5.5). Los periodos más corto y más largo de los armónicos incluidos en la expansión de

Fourier se determinan a partir de las ecuaciones (A.5.5) y (A.2.2) como 2 t y T0, respec-
tivamente. Recuerde que en la expansión de Fourier de dos lados Pj y P–j eran complejos
conjugados entre sí (ecuación A.2.4). Por consiguiente, en la expansión de un solo lado,
los valores de Pj a ambos lados de ωN/2 son complejos conjugados entre sí:

Pj = P N−j N < j ≤N −1 (A.5.6)
2

A.5.3 Función compleja de la respuesta en frecuencia

Esta función H(ω) se calcula a partir de las ecuaciones (A.1.7) o (A.1.15) para cada ω = ωj,
y este valor se indica mediante Hj. Una expansión de Fourier de dos lados incluye tanto las
frecuencias positivas como las negativas ωj y –ωj (ecuación A.2.1) y H–j es el complejo con-
jugado de Hj; esta afirmación puede probarse con facilidad a partir de la ecuación (A.1.7).

En una expansión de Fourier de un solo lado se incluyen sólo las frecuencias positivas
(ecuación A.5.3); las frecuencias correspondientes a N/2 < j ≤ N –1 son las contrapartes de

las frecuencias negativas. Por lo tanto, los valores de Hj a cada lado de j = N/2 deben ser
complejos conjugados entre sí. Los valores Hj pueden determinarse a partir de la ecuación
(A.1.7) con la siguiente interpretación de ωj:

ωj = j ω0 0 ≤ j ≤ N /2 (A.5.7)
−(N − j )ω0 N /2 < j ≤ N − 1

A.5.4 Cálculo de la respuesta

En el método transformada discreta de Fourier primero se calcula la respuesta a cada com-
ponente armónico de la excitación en el dominio de la frecuencia. Como se ve en la ecua-
ción (A.2.8), esto requiere el cálculo de los productos

Uj = Hj Pj 0 ≤ j ≤ N − 1 (A.5.8)

Entonces, la respuesta un ≡ u(tn) en los instantes de tiempo discretos tn ≡ n t se calcula a
partir de una versión truncada de la ecuación (A.2.9):

N −1 N −1

un = Uj ei( jω0tn) = Uj ei(2πn j/N ) (A.5.9)

j=0 j=0

896 Método en el dominio de la frecuencia para el análisis de respuesta Apéndice A

La ecuación (A.5.9) corresponde a la ecuación (A.5.3), lo que indica que la secuencia un
representa la transformada discreta inversa de la secuencia Uj. Esto se llama la solución
clásica de la transformada discreta de Fourier.

A.5.5 Transformada rápida de Fourier

El método de la transformada discreta de Fourier para determinar la respuesta dinámica
de un sistema requiere el cálculo de la transformada discreta de la secuencia pn (ecuación
A.5.4) y de la transformada discreta inversa de la secuencia Uj (ecuación A.5.9). Estos
cálculos se convirtieron en una realidad práctica con la publicación del algoritmo de Coo-
ley-Tukey para la transformada rápida de Fourier (FFT, por sus siglas en inglés) en 1965.
Ésta no representa un nuevo tipo de transformada, sino que es un algoritmo bastante eficien-
te y preciso para calcular las transformadas discretas dicecta e inversa. El algoritmo original
requería que el número de puntos, N, fuera una potencia entera de 2, pero se ha generalizado
para permitir la consideración de un valor arbitrario de N.

Es importante reconocer que el esfuerzo de cálculo requerido se reduce mucho me-
diante el uso del algoritmo de la transformada rápida de Fourier. Una medida de la cantidad
de cálculos involucrados en la ecuación (A.5.4) o (A.5.9) es el número de productos de
cantidades con valor complejo. Resulta claro que hay N sumas, cada una de las cuales re-
quiere N productos complejos, o que se necesitan N 2 productos para calcular todos los Pj o
un. El número de productos complejos para el algoritmo original de la transformada rápida
de Fourier está dado por (N/2)log2 N. Por ejemplo, si N = 210 = 1024, el algoritmo de la
transformada rápida requiere 0.5% del esfuerzo necesario para el cálculo estándar.

A.5.6 Resumen

El procedimiento de la transformada discreta de Fourier clásico para el análisis de la res-
puesta de un sistema de 1GDL (controlado por la ecuación A.1.1) puede resumirse como
una secuencia de pasos:

1. Defina una extensión periódica de la excitación p(t) con su periodo definido como
T0 (ecuación (A.5.1) y discretice p(t) por medio de un arreglo pn ≡ p(tn) ≡ p(n t),
donde n = 0, 1, 2, …, N – 1.

2. Calcule Pj, la transformada discreta de Fourier de pn, de acuerdo con la ecuación
(A.5.4); j = 0, 1, 2, …, N – 1.

3. Determine la función de la respuesta en frecuencia Hj ≡ H(ωj), donde H(ω) está
definida por la ecuación (A.1.7), y ωj por la ecuación (A.5.7).

4. Calcule Uj que está definida por la ecuación (A.5.8).

5. Calcule la transformada discreta inversa del vector Uj a partir de la ecuación (A.5.9)
para obtener la respuesta un ≡ u(tn) en los instantes de tiempo discretos tn ≡ n t.

Deducción A.3

La extensión periódica de p(t) con el periodo T0 está representada por la serie de Fourier de la
ecuación (A.2.1), con los coeficientes de Fourier definidos por la ecuación (A.2.3). Al truncar

la serie para incluir sólo un número finito de funciones armónicas, se obtiene

M

p(t) = Pj ei( jω0t) (a)

j =−M

Sección A.6 Errores posibles en la solución con la transformada discreta de Fourier clásica 897

La frecuencia del armónico mayor incluido en la ecuación (a) es Mω0.
La integral de la ecuación (A.2.3) se evalúa en forma numérica mediante la regla tra-

pezoidal aplicada a los valores del integrando en los instantes de tiempo discretos tn = n t,
donde n = 0, 1, 2, …, N:

t 1 N −1 1
Pj = T0 2 2
p0e−i( jω0t0) + pn e−i( jω0tn ) + pN e−i( jω0tN ) (b)

n=1

donde t0 = 0 t = 0, tn = n t, y tN = N t. El primer término se reduce a p0/2 y el último
término a pN/2 porque ambos exponenciales pueden establecerse iguales en la unidad. Como la
secuencia pn es periódica con periodo N, p0 = pN, y si se reconoce que T0 = N t, la ecuación

(b) puede reescribirse como

1 N −1
Pj = N
pn e−i( jω0tn ) (c)

n=0

Ahora los términos exponenciales en las ecuaciones (a) y (c) se reescriben reconociendo que
ω0 = 2π/T0, T0 = N t y tn = n t; así

j ω0tn = j 2π t n t = 2π n j (d)
N N

Recuerde que j es el número de frecuencia del armónico y n es el número del paso de tiempo.
Al sustituir la ecuación (d) en las ecuaciones (a) y (c), se obtiene

M

pn = Pj ei(2πn j/N ) (e)

j =−M

Pj = 1 N −1 (f)
N
pn e−i(2πn j/N )

n=0

Suponga que se seleccionan los enteros positivos grandes M y N de manera que 2M +
1 = N (es decir, el número de frecuencias es igual al número de pasos de tiempo). Entonces, la

secuencia Pj también es periódica con periodo N y la sumatoria de la ecuación (e) en el inter-
valo desde j = –M hasta j = M puede reescribirse como una sumatoria en el intervalo de j = 0

a N – 1, la cual se presenta sin la demostración correspondiente:

N −1

pn = Pj ei(2πn j/N ) (g)

j =0

Lo anterior completa la deducción de las ecuaciones (A.5.3) y (A.5.4).

A.6 ERRORES POSIBLES EN LA SOLUCIÓN CON LA TRANSFORMADA
DISCRETA DE FOURIER CLÁSICA

Debe quedar claro que, por lo general, la solución de la transformada discreta de Fourier
clásica dada por la ecuación (A.5.9) no representa la respuesta deseada del sistema a la
excitación que se muestra en la figura A.5.1. En cambio, representa la respuesta de esta-
do estacionario del sistema a una extensión periódica de la excitación (figura A.5.2). En
esta sección se examinan los errores en la solución de la transformada discreta de Fourier

898 Método en el dominio de la frecuencia para el análisis de respuesta Apéndice A

clásica, con el objetivo de comprender los requisitos para que la solución sea precisa. La
solución de la transformada de Fourier clásica será cada vez más precisa a medida que
la duración tf de la vibración libre, que se muestra en la figura A.5.2, se vuelva más larga.
Esta afirmación debería ser obvia porque una tf más larga implica un periodo T0 más largo
de la extensión periódica de la excitación, lo que es mejor porque una excitación arbitraria
(no periódica) puede interpretarse como una excitación periódica con un periodo infinita-
mente largo. Sin embargo, con el fin de identificar los factores que influyen en la tf necesaria
para obtener una solución precisa, se presentan resultados numéricos.

Se desea determinar la respuesta dinámica de un sistema de 1GDL con amortigua-
miento viscoso, que inicia desde las condiciones de reposo hasta un ciclo completo de una
fuerza sinusoidal, p(t) = po sen ωt, y se muestra en la figura A.6.1. Como se mencionó
en la sección A.5.1, la respuesta dinámica del sistema debe determinarse en el tiempo de
duración T0 = td + Tn/2 o en un tiempo más largo (por lo tanto, el menor tf = Tn/2). Sin
embargo, también se presentarán las soluciones de la transformada discreta de Fourier con
tf más largos a fin de demostrar la sensibilidad de estas soluciones a la elección de tf. Con
un tf seleccionado, la extensión periódica de la excitación se muestra a lo largo de un perio-
do en los intervalos t = td/40, y la respuesta se evalúa en los mismos intervalos. Por lo
tanto, la frecuencia circular del armónico con frecuencia mayor en la representación de la
serie de Fourier de la función de excitación (ecuación A.5.3) será ωmáx = 40π/td (a partir
de la ecuación A.5.5) y el periodo asociado es td/20. Todas las transformadas discretas de
Fourier en estas soluciones que se presentarán se calcularon mediante las rutinas de la trans-
formada rápida de Fourier en MATLAB.

p

po

tt

d

−p o

Figura A.6.1

En las figuras A.6.2 y A.6.3 se muestra la extensión periódica de la excitación y la
respuesta de desplazamiento del sistema, calculadas mediante el método de la transformada
discreta de Fourier clásico utilizando dos valores diferentes de tf. La duración td de la fuerza
y el periodo de vibración natural Tn del sistema se eligen de manera que td/Tn = 0.5; la frac-
ción de amortiguamiento ζ del sistema es del 5%. La escala de tiempo en las gráficas de la
historia de la respuesta se normaliza con respecto a td, y el desplazamiento u(t) se normaliza
con respecto a (ust)o ≡ po/k, el desplazamiento estático debido al valor máximo de la fuerza
aplicada. Los resultados demuestran que la solución de la transformada discreta de Fourier
depende de la duración tf de la vibración libre. A partir de la figura A.6.2, resulta claro que
tf = 4.75Tn, que implica que T0 = 10.5td, no proporciona un número suficientemente grande
de ciclos de vibración libre (durante t > td) para que el sistema se detenga, dejando un des-
plazamiento y una velocidad significativos al final del periodo T0, lo cual viola las condicio-
nes iniciales de reposo. Por lo tanto, no puede esperarse que la solución con la transformada
discreta de Fourier sea precisa. En la figura A.6.3 se demuestra que tf = 9.75Tn, que implica

Sección A.6 Errores posibles en la solución con la transformada discreta de fourier clásica 899
1

p(t)/po(a) 0

−1 t T
t
f 0
d
T

0

1.5

1

u(t)/(ust)o 0.5

(b) 0

−0.5

−1

−1.5 0 5 10
0 t/t
5 10 0
d

Figura A.6.2 (a) Extensión periódica de p(t) con tf = 4.75Tn (es decir, T0 = 10.5td);
(b) respuesta determinada por el método de la transformada discreta de Fourier clá-
sico; td/Tn = 0.5; ζ = 5%.

1

(a) 0p(t)/po

−1 t T
t
f 0
d
T

0

1.5u(t)/(u )
1
st o
0.5
(b) 0 0 10 20
10 20 t/td
−0.5 0
−1

−1.5
0

Figura A.6.3 (a) Extensión periódica de p(t) con tf = 9.75Tn (es decir, T0 = 20.5td);
(b) respuesta determinada por el método de la transformada discreta de Fourier clá-
sico; td/Tn = 0.5; ζ = 5%.

900 Método en el dominio de la frecuencia para el análisis de respuesta Apéndice A

5 tf = 0.5Tn DFT 1.5 tf = 1.75Tn

u(t)/(u ) Exacta

st o 00

−5 −1.5
1.5 tf = 0.75Tn 1.5 tf = 5Tn

u(t)/(u ) 00

st o

−1.5 −1.5

1.5 t =T 1.5 t = 10T

fn fn

u(t)/(u ) 00

st o

−1.5 −1.5

2.5 t = 1.5T 1.5 t = 20T

fn fn

u(t)/(u ) 00

st o

−2.5 −1.5
0 1 20 1 2
t/t t/t

dd

Figura A.6.4 Comparación de las soluciones con la transformada discreta de Fourier
(DFT) utilizando diferentes valores de tf con la respuesta exacta; td/Tn = 0.5; ζ = 5%.

T0 = 20.5td, proporciona un número adecuado de ciclos de vibración libre del sistema para
que su movimiento se reduzca hasta un valor pequeño al final del periodo T0, satisfaciendo
así las condiciones iniciales de reposo. Por lo tanto, se espera que la solución con la trans-
formada discreta de Fourier sea exacta.

Estas suposiciones se confirman con los resultados presentados en la figura A.6.4,
donde la solución exacta se compara con las soluciones de la transformada discreta de Fou-
rier usando diferentes valores de tf. La solución exacta se obtiene resolviendo la ecuación de
movimiento mediante los métodos desarrollados en la sección 4.8. Aunque la respuesta se
determinó por el método de la transformada discreta de Fourier para el periodo de la función
de excitación extendida T0 = td + tf, sólo se grafica su parte inicial en la duración deseada
td + Tn/2. Los resultados muestran con claridad que a menos que la tf sea bastante larga, la
solución de la transformada discreta de Fourier puede diferir bastante de la solución exacta.
Para el ejemplo considerado con td/Tn = 0.5 y ζ = 5%, los errores en la figura A.6.4 son
notables incluso para tf = 10Tn, pero se vuelven insignificantes para tf = 20Tn.

La duración tf de la vibración libre necesaria para obtener una solución con la transfor-
mada discreta de Fourier exacta está controlada por el número de ciclos requeridos para que
la vibración libre decaiga hasta tener valores de la velocidad y el desplazamiento cercanos
a cero. Para que el movimiento de los sistemas ligeramente amortiguados decaiga lo sufi-

Sección A.7 Solución con la transformada discreta de Fourier mejorada 901

25 tf = 0.5Tn DFT 1.5 tf = 1.75Tn

u(t)/(u ) Exacta

st o 00

−25 −1.5
1.5 tf = 0.75Tn 1.5 tf = 5Tn

u(t)/(u ) 00

st o

−1.5 −1.5

1.5 t =T 1.5 t = 10T

fn fn

u(t)/(u ) 00

st o

−1.5 −1.5

15 t = 1.5T 1.5 t = 20T

fn fn

u(t)/(u ) 00

st o

−15 −1.5
0 1 20 1 2
t/t t/t

dd

Figura A.6.5 Comparación de las soluciones con la transformada discreta de Fourier
(DFT) utilizando diferentes valores de tf con la respuesta exacta; td/Tn = 0.5; ζ = 1%.

ciente, se requieren más ciclos (vea la figura 2.2.4). Esto implica que si se elige tf como un
múltiplo fijo de Tn, se espera que el error en la solución con la transformada discreta de Fou-
rier sea más grande para los sistemas ligeramente amortiguados. En la figura A.6.5 se repre-
sentan las soluciones con la transformada discreta de Fourier y exacta para los sistemas con
ζ = 1% con varias opciones diferentes de tf. Al comparar la figura A.6.5 con la figura A.6.4,
se demuestra que para cada valor de tf/Tn, la solución con la transformada discreta de Fou-
rier es menos precisa para los sistemas con 1% de amortiguamiento en comparación con los
sistemas que tienen 5% de amortiguamiento. Por lo tanto, para evitar errores en la solución
con la transformada discreta de Fourier por debajo de un límite de tolerancia seleccionado,
se requerirían tf más largas para los sistemas con menos amortiguamiento.

A.7 SOLUCIÓN CON LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
MEJORADA

En la sección A.6 se demostró que la solución con la transformada discreta de Fourier
puede errar mucho, a menos que la duración tf de la vibración libre incluida en la exten-
sión periódica de la excitación sea bastante larga. tf debe seleccionarse como un múltiplo
del periodo de vibración natural Tn del sistema. Este múltiplo depende de la fracción de

902 Método en el dominio de la frecuencia para el análisis de respuesta Apéndice A

amortiguamiento del sistema y de la precisión deseada en la solución con la transformada

discrtea de Fourier. Por lo tanto, los cálculos en la transformada discreta de Fourier deben

aplicarse para una extensión periódica de la excitación con un periodo T0 más largo que la
duración td + Tn/2 sobre la que se desea obtener la respuesta; T0 debe ser mucho más largo
que td + Tn/2 para los sistemas ligeramente amortiguados, en especial para los sistemas
con periodo de vibración largo. Por ejemplo, considere un sistema con Tn = 10 s y ζ = 5%,
para el que se requiere tf = 20Tn a fin de alcanzar una precisión suficiente en la solución
de la transformada discrtea de Fourier clásica. Si la duración de la excitación, td, es 30 s, la
respuesta debe calcularse para T0 = td + 20Tn = 30 + 20(10) = 230 s, aunque en realidad
se necesite la respuesta sólo para td + Tn/2 = 35 s. Se han desarrollado procedimientos me-
jorados para evitar el esfuerzo de cálculo adicional, y en apariencia innecesario, requerido

en la solución con la transformada discrteta de Fourier clásica.

En el método mejorado el periodo de la extensión periódica de la excitación es igual a

la duración en la que realmente se desea conocer la respuesta del sistema (es decir, T0 = td
+ Tn/2); la respuesta de estado estacionario u˜(t) durante este periodo se calcula mediante el
método con la transformada discreta de Fourier clásico;† y la respuesta “exacta” u(t) se obtie-

ne a partir de la respuesta de estado estacionario al superponer una solución correctiva υ(t):

u(t) = u˜(t) + υ(t) (A.7.1)

Suponga que se determina la respuesta u(t) de un sistema a una determinada función de

excitación p(t), iniciando con u(0) = 0 y u˙(0) = 0. Sin embargo, como se muestra en la

figura A.6.2, la solución con la transformada de Fourier clásica no satisface esas condicio-

nes iniciales. Dado que la excitación durante el periodo T0 tanto para la solución con la
transformada discreta de Fourier como para la respuesta exacta es la misma, la diferencia

en las dos soluciones que se muestran en la figura A.6.4 debe surgir de las diferencias en los

estados iniciales de los dos movimientos. Por lo tanto, la solución correctiva es tan sólo la

solución de vibración libre, lo que garantiza que el desplazamiento inicial y la velocidad del

movimiento deseados se ajusten a las condiciones iniciales prescritas. Si el desplazamiento

y la velocidad iniciales asociados con la solución con la transformada discreta de Fourier
son u˜(0) y u˙˜(0), que suelen ser distintos de cero, la solución correctiva es la respuesta de
vibración libre debida al desplazamiento inicial u˜(0) y a la velocidad inicial u˜˙(0). Esta so-

lución correctiva para los sistemas con amortiguamiento viscoso está dada por la ecuación.

(2.2.4) con los cambios apropiados en la notación:

υ(t ) = e−ζ ωnt −u˜(0) cos ωDt + −u˜˙(0) − ζ ωnu˜(0) sen ωDt (A.7.2)
ωD

donde

ωD = ωn 1 − ζ 2 (A.7.3)

Este procedimiento mejorado se ilustra mediante su aplicación para determinar la

respuesta de un sistema de 1GDL con ζ = 5% sometido al ciclo de fuerza sinusoidal con

duración td considerado anteriormente (figura A.6.1). Se supone que el sistema está en un
principio en reposo y su periodo natural Tn = td/1.4. La respuesta se evalúa para una du-
ración T0 = td + Tn/2 = 1.4Tn + 0.5Tn = 1.9Tn. El delta de muestreo se elige como antes,

t = td/40. En la figura A.7.1 se muestra el desplazamiento de estado estacionario u˜(t),
obtenido mediante el procedimiento con la transformada discreta de Fourier clásico.

†A partir de este punto, la solución de la transformada discreta de Fourier clásica se indica mediante u˜(t) para
distinguirla de la solución “exacta” u(t).

Sección A.8 Sistemas de varios grados de libertad 903

4 u˜(t)/(u ) υ(t)/(ust)o

Desplazamiento normalizado 3 st o

u(t)/(ust)o

2

1

0

−1

−2

−3

−4

0 0.5 1 1.5
t/td

Figura A.7.1 Respuesta de estado estacionario u˜(t), solución correctiva υ(t), y res-
puesta “exacta” u(t); td/Tn = 1.4 (es decir, T0 = 1.9 Tn); y ζ = 5%. (Adaptada de
Veletsos y Ventura, 1985).

El valor inicial de este desplazamiento es u˜(0) = 2.486(ust)o y la velocidad inicial†
es u˙˜(0) = −1.761ωn(ust)o. Si se sustituyen estos valores de u˜(0) y u˙˜(0) en la ecuación
(A.7.2), resulta la solución correctiva υ(t) mostrada en la figura A.7.1. La respuesta “exac-
ta” deseada, que se determina mediante la combinación de u˜(t) y υ(t) de acuerdo con la
ecuación (A.7.1), también se muestra en la figura A.7.1. Es en esencia idéntica a la solución
analítica obtenida mediante la resolución de la ecuación diferencial del movimiento por los
métodos de la sección 4.8.

A.8 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

El procedimiento con la transfromada discreta de Fourier mejorado puede extenderse con
facilidad para determinar la respuesta de los sistemas de varios grados de libertad para los que
es aplicable el método de superposición modal clásico. Como se muestra en los capítulos 12
y 13, las ecuaciones de movimiento para los sistemas con amortiguamiento clásico pueden
transformarse en un conjunto de ecuaciones no acopladas en coordenadas modales, tantas
ecuaciones como el número de grados de libertad en el sistema. Cada ecuación modal tiene
la misma forma que la ecuación que controla el movimiento de un sistema de 1GDL. Por lo
tanto, cada ecuación modal puede resolverse mediante el método con la transformada discreta
de Fourier clásico y combinarse con la solución correctiva descrita en la sección A.7 para
determinar las respuestas modales en forma precisa. Por lo tanto, el método en el dominio de

†La velocidad inicial está dada por

u˙˜ = −4π N /2
T0
j Im(Uj ) (A.7.4)

j =0

en la que Im(Uj) indica la parte imaginaria de Uj. La ecuación (A.7.4) se obtiene al diferenciar la ecuación (A.5.9),
haciendo uso de los siguientes hechos: jω0 = 2πj/T0 y los valores de Uj para j = N/2 + 1, N/2 + 2, ..., N – 1 son los
conjugados complejos de aquellos para j = N/2 – 1, N/2 – 2, ..., 1, respectivamente.

904 Método en el dominio de la frecuencia para el análisis de respuesta Apéndice A

la frecuencia puede utilizarse para determinar las respuestas modales (paso 3a de la sección
12.5), pero los pasos restantes del procedimiento del análisis modal permanecen sin cambio.

Los investigadores también han desarrollado procedimientos con la transformada dis-
creta de Fourier para el análisis de sistemas con amortiguamiento no clásico, ya sean con
parámetros constantes o dependientes de la frecuencia. La última situación se plantea en el
análisis dinámico de estructuras, incluyendo los efectos de la interacción suelo-estructura o
de la interacción fluido-estructura.

LECTURAS ADICIONALES

Bergland, G. D., “A Guided Tour of the Fast Fourier Transform”, IEEE Spectrum, 6, 1969, pp. 41-52.
Blackwell, R., The Fourier Transform and Its Applications, McGraw-Hill, Nueva York, 1978,
pp. 232-236.
Brigham, E. O., The Fast Fourier Transform, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1974.
Clough, R. W. y Penzien, J., Dynamics of Structures, McGraw-Hill, Nueva York, 1993, capítulos 4,
6 y 12.
Cooley, J. W. y Tukey, J. W., “An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series”,
Mathematics of Computation, 19, 1965, pp. 297-301.
Humar, J. L., Dynamics of Structures, CRC Press/Balkema, Leiden, Países Bajos, 2012, capítulo 9.
Veletsos, A. S. y Ventura, C. E., “Dynamic Analysis of Structures by the DFT Method”, Journal of
Structural Engineering, ASCE, 111, 1985, pp. 2625-2642.

B

Notación

Todos los símbolos utilizados en este libro se definen la primera vez que aparecen. Para la
conveniencia del lector, este apéndice (dividido en cuatro partes para seguir la organización
del texto) contiene los significados principales de las notaciones utilizadas comúnmente. Se
advierte que algunos símbolos indican más de una cantidad, pero el significado resultará
claro cuando se lea en su contexto.

Abreviaturas IBC Código Internacional de
Construcción
1GDL un solo grado de libertad NBCC Código Nacional de Construc-
AER análisis del espectro de respuesta ción de Canadá
AHR análisis de la historia de la res- PDN procedimiento dinámico no lineal
PEN procedimiento estático no lineal
puesta RCDF Código de Construcciones del
AHRMD análisis de la historia de la Distrito Federal
SRSS raíz cuadrada de la suma de los
respuesta modal desacoplada cuadrados
APM análisis pushover modal UBC Código Uniforme de Construc-
CM centro de la masa ción
CQC combinación cuadrática completa VGDL varios grados de libertad
EC Eurocódigo 8
FDT transformada discreta de Fourier
FFT transformada rápida de Fourier
GDL grado de libertad

Acentos kˆ condensada k
( ˜ ) aproximación a ( )
( ¯ ) factor de contribución modal para ( ) ( ˜ ) generalizada ( )
( ˇ ) valor desplazado de ( )
(˙) d ( )

dt

905

906 Notación Apéndice B

Prefijos δ(⋅) (⋅)virtual
, incremento en un paso de tiempo
δ, δ incremento en un paso de tiempo
extendido I inercia; entrada
K cinética
Subíndices m valor máximo para los sistemas
inelásticos; máximo
A aceleración n natural, número de modo
b base; viga; sistema de aislamiento o valor máximo
p solución particular
de la base sec secante
c columna; solución complementaria st estático
cr crítico S resorte (elástico o inelástico);
d duración deformación
D amortiguamiento; amortiguado; T tangente; transmitido
V velocidad
desplazamiento x, y, θ direcciones o componentes
e excéntrico; elemento y ceder
ef efectivo Y cedencia
eq equivalente
f sistema de base fija t total
F fricción
g terreno A′ coeficiente en la ecuación (5.2.5)
i número de pasos de tiempo; número A(t) pseudo-aceleración
Ay ωn2u y
máximo b vea la tabla 5.3.1; constante
i, j número de entrepiso; número de de valor complejo
bj coeficientes de los senos de Fourier
nivel; GDL; número de marco B constante de integración; constante
arbitraria; coeficiente en la ecua-
Superíndices B′ ción (5.2.5)
B1, B2 coeficiente en la ecuación (5.2.5)
s cuasi-estático constantes arbitrarias
st estático

PARTE I: CAPÍTULOS 1-8

Símbolos romanos

a vea la tabla 5.3.1
a1, a2 constantes arbitrarias
a1, a2, a3 vea la tabla 5.4.2 o 5.7.1
aj coeficientes de los cosenos

de Fourier
ay fy/m
a0 coeficiente de Fourier
A constante de integración; cons-

tante arbitraria; coeficiente en la
ecuación (5.2.5); ordenada del
espectro de pseudo-aceleración

Parte I: Capítulos 1-8 907

c coeficiente de amortiguamiento f¯y resistencia a la cedencia
c˜ amortiguamiento generalizado normalizada
ccr coeficiente de amortiguamiento
crítico F fuerza de fricción
C constante arbitraria; coeficiente en g aceleración debida a la gravedad
la ecuación (5.2.5) h altura de un marco de un nivel;
C′ coeficiente en la ecuación (5.2.5)
D constante arbitraria; coeficiente en altura del nivel
la ecuación (5.2.5); ordenada del h(t) respuesta al impulso unitario
D′ espectro de deformación H(ω) respuesta compleja en la
Dy coeficiente en la ecuación (5.2.5)
ordenada del espectro de frecuencia
e deformación de cedencia i número de pasos de tiempo
E excentricidad de masa en rotación I segundo momento de área
ED módulo de elasticidad I magnitud del impulso
energía disipada por Ib I para una viga
EF amortiguamiento Ic I para una columna
EI energía disipada por fricción IO momento de inercia alrededor
EK energía de entrada
EKo energía cinética de O
ES energía cinética máxima k rigidez o constante del resorte
ESo energía de deformación k matriz de rigidez
EY energía de deformación máxima kˆ vea la ecuación (5.3.5) o (5.4.11)
EI(x) energía disipada por cedencia k˜ rigidez generalizada
f rigidez a la flexión ki (ki)T
fD frecuencia de excitación (Hz) kˆi definida en la ecuación (5.7.6)
fI fuerza de amortiguamiento kj rigidez del j-ésimo entrepiso
fI(x, t) fuerza de inercia kT rigidez tangente
fIj fuerzas de inercia distribuidas kˆT definida en la ecuación (5.7.8)
fuerza de inercia en el grado de kT( j) rigidez tangente en u(j)
fjo libertad j L ancho del marco, longitud
valor máximo de la fuerza en el
fn j-ésimo nivel de viga o torre
frecuencia natural (no L˜ vea las ecuaciones (8.3.12) y
fo(x) amortiguada)(Hz)
fS valor máximo de fS(x, t) (8.4.12)
fuerza restauradora elástica o L˜ θ definida en la ecuación (8.4.18)
( fs)j inelástica; fuerza estática m(x) masa por unidad de longitud
( fˆs )i equivalente m masa
( fS)i fs después de j ciclos de iteración m matriz de masa
f˜S (u ) m˜ masa generalizada
fSo, fo vea la ecuación (5.7.10) me masa giratoria excéntrica
fT valor de fs en el tiempo i mj masa en el j-ésimo grado
fy definida por la ecuación (7.3.3)
valor máximo de fS(t) de libertad o en el j-ésimo nivel
fuerza transmitida M(x, t) momentos flexionantes en un
resistencia a la cedencia
sistema de masa distribuida
Ma, Mb momentos flexionantes en los

nodos a y b
Mb momento de volteo en la base
Mbo valor máximo de Mb(t)
Mio valor máximo del momento de

volteo en el i-ésimo nivel

908 Notación Apéndice B

Mo(x) valor máximo de M(x, t) u(0) desplazamiento inicial
u˙ (0) velocidad inicial
N fuerza normal entre superficies desplazamientos de los nodos a y b
ua, ub solución complementaria
deslizantes; número de grados uc F/k
uF desplazamiento del terreno
de libertad ug (o de un apoyo)
aceleración del terreno (o de un
p fuerza externa apoyo)
desplazamiento máximo del terreno
P(ω) transformada de Fourier de p(t) velocidad máxima del terreno
aceleración máxima del terreno
p˜(t) fuerza externa generalizada rotación del terreno respecto a un
eje vertical
pef fuerza sísmica efectiva üg desplazamiento en el i-ésimo pico;
valor máximo de pef(t) desplazamiento en el tiempo i
(pef)o valor de p(t) en el tiempo i ugo u después de j iteraciones
vea la ecuación (5.3.6), (5.4.12) u˙ go ui después de j iteraciones
pi velocidad en el instante i
pˆi ügo aceleración en el i-ésimo pico; ace-
leración en el instante i
o (5.6.3) ugθ desplazamiento relativo del
j-ésimo nivel
po amplitud de p(t) respuesta a p(t) = p0 cos jω0t

r(t) cualquier cantidad de respuesta respuesta a p(t) = p0 sen jω0t

ro máx ͉r (t)͉, la respuesta máxima ui desplazamiento total del j-ésimo nivel
valor pico o máximo de uj(t)
t valor máximo de u˙ j (t)
máx ͉u(t)͉ para un sistema inelástico
Ra factor de amplificación dinámica u( j)
de aceleración t
u( j)
Rd factor de amplificación dinámica i ͉ mín[u(t)]͉
de deformación (o desplaza-
u˙ i t

miento) üi máx[u (t )]

R(j) fuerza residual al final del uj t

j-ésimo ciclo de iteración ucj (t) valor pico o máximo de u(t)
Rˆ( j) vea la ecuación (5.7.15) usj (t) valor máximo de u˙(t)
utj valor pico o máximo de u(x, t)
Rv factor de amplificación dinámica ujo valor máximo de u˙o(x, t)
de velocidad u˙ jo valor máximo de ut(t)
um valor máximo de üt(t)
Ry factor de reducción de la cedencia solución particular; deformación
t tiempo um− permanente
deformación estática debida a p(t)
t′ tiempo variable um+ deformación estática debida a po
desplazamientos en x y y
td duración de una fuerza de uo deformación de cedencia
impulso u˙ o respuesta a p(t) = a0
uo(x) rotación alrededor de un eje vertical
ti tiempo en el i-ésimo pico en u˙ o (x )
vibración libre; tiempo al final uot
u¨ ot
del i-ésimo paso de tiempo up

to tiempo cuando u(t) es máximo

tr tiempo de elevación

Ta, Tb, Tc, periodos que definen las
Td, Te, Tf regiones espectrales

TD periodo natural (amortiguado) ust(t)
Tn periodo natural (no amortiguado) (ust)o
T0 periodo de excitación periódica ux, uy
TR transmisibilidad uy
u0(t)
u desplazamiento; deformación; uθ

desplazamiento relativo al terreno

ut desplazamiento total

u vector de desplazamientos uj
uˆ (i ω) transformada de Fourier de u(t)

Parte II: Capítulos 9-18 909

v velocidad Vj cortante en el j-ésimo entrepiso
Vjo valor máximo de Vj(t)
V ordenada del espectro Vo (x ) valor máximo de V(x, t)
Vy ωnuy
de pseudo-velocidad w peso
V(x, t) fuerzas cortantes en un sistema x, y
z coordenadas cartesianas
de masa distribuida zo
1 desplazamiento generalizado
Va, Vb fuerzas cortantes en los nodos a y b valor máximo de z(t)

Vb cortante basal vector de unos

Vbo valor máximo de Vb(t)
Vbo valor máximo de Vb(t)

Símbolos griegos

αA, αD, αV factores de amplificación ζ¯ fracción de amortiguamiento
espectral numérica
β parámetro en el método ζeq fracción de amortiguamiento
de Newmark viscoso equivalente
βj jω0/ωn η coeficiente de amortiguamiento
γ parámetro en el método independiente de la frecuencia
de Newmark θ¨ aceleración rotacional
λ constante en eλt θa, θb rotaciones en los nodos a y b
˜ L˜ /m˜ θg rotación del terreno alrededor
δ decremento logarítmico de un eje horizontal
δ (⋅) función delta de Dirac κ(x) curvatura
δ st mg/k μ coeficiente de fricción; factor
δ u(x) desplazamientos virtuales de ductilidad
δu vector de desplazamiento virtual ρ relación de rigidez entre la viga y la
δ uj desplazamiento virtual uj columna; coeficiente en ±ρe−ζ ωnt
δ WE trabajo virtual externo σ desviación estándar
δ WI trabajo virtual interno τ variable de tiempo ficticia
δz desplazamiento virtual φ ángulo de fase
δ κ(x) curvatura virtual ψ(x) función de forma
distorsión en el j-ésimo entrepiso ψ vector de forma
j paso de tiempo ψj j-ésimo elemento de ψ
paso de tiempo i ω frecuencia de excitación (rad/s)
t cambio en u en el ciclo ωD frecuencia natural (amortiguada)
ti de iteración (rad/s)
u( j) duración de una fuerza impulsiva ωn frecuencia natural (no amortiguada)
valores de tolerancia en la (rad/s)
ε ecuación (5.7.8) ω0 2π/T0
εR, εu, εw fracción de amortiguamiento

ζ

PARTE II: CAPÍTULOS 9-18 ax, ay, az componentes x, y y z de la
aceleración del terreno
Símbolos romanos

ae matriz de transformación de elementos
ain definida por la ecuación (14.4.11)
al coeficientes en la serie de Caughey

910 Notación Apéndice B

a1, a2, a3 componentes principales de la fin valor máximo de fin(t)
aceleración del terreno fin(t) fuerzas estáticas equivalentes:

a1, a2, a3 vea la tabla 16.2.2 o 16.3.3 marco i, modo n
axi, ayi matrices de transformación
a0, a1 coeficientes de amortiguamiento fjn j-ésimo elemento de fn; valor
máximo de fjn(t)
de Rayleigh
A operador de ensamble directo fjn(t) fuerza estática equivalente: grado
de libertad j, modo n

An ordenada del espectro de pseudo- fjyn j-ésimo elemento de fyn
aceleración A(Tn, ζn) fjθn j-ésimo elemento de fθn
fn n-ésima frecuencia natural, Hz
An(t) pseudo-aceleración del n-ésimo fn(x, t)
modo de un sistema de 1GDL fuerzas estáticas equivalentes,

Anl(t) An(t) debida a ügl(t) modo n
Bn, B¯n par de constantes conjugadas
fn valor máximo de fn(t)
complejas fn(t) fuerzas estáticas equivalentes,
Bng vea la ecuación (14.3.2)
c matriz de amortiguamiento modo n
c˜ definida por la ecuación (15.3.4)
fno(x) valor máximo de fn(x, t)
cij coeficiente de influencia del fS fuerzas restauradoras elásticas
amortiguamiento fS(u) fuerzas restauradoras inelásticas
fSA fuerza lateral sobre el marco A
cj coeficiente de amortiguamiento fSg, fSg(t) fuerzas estáticas equivalentes en
del j-ésimo nivel
los grados de libertad del apoyo

cn matriz de amortiguamiento del fSj fuerza restauradora elástica o
n-ésimo modo inelástica en el grado de libertad j

C ⌽Tc⌽, matriz diagonal de Cn fyn valor máximo de fyn(t)
Cn amortiguamiento generalizado fyn(t) fuerzas laterales estáticas equiva-
lentes, modo n
para el n-ésimo modo

Cnr elemento de C fθn valor máximo de fθn(t)
Dn(t) deformación del n-ésimo modo fθn(t) pares de torsión estáticos equiva-
de un sistema de 1GDL
lentes, modo n

D˙ n(t) respuesta de velocidad relativa, h altura de un marco de un nivel;
n-ésimo modo de un sistema
altura de entrepiso

de 1GDL hj altura del j-ésimo nivel
*
Dnl(t) Dn(t) debida a ügl(t) h n altura modal efectiva, modo n
Dno valor máximo de Dn(t)
eJ error en la respuesta estática; norma h(t) función de respuesta al impulso

de error de la ecuación (15.5.3) unitario

h(t) vector de funciones de respuesta

E módulo de elasticidad al impulso unitario

EI rigidez a la flexión hn(t) h(t) para la deformación del
fˆ matriz de flexibilidad n-ésimo modo de un sistema

fD, fD(t) fuerzas de amortiguamiento de 1GDL
fDj fuerza de amortiguamiento en el
grado de libertad j I segundo momento de área
fˆi j coeficiente de influencia de la
I matriz identidad

flexibilidad Ib I para una viga
Ic I para una columna
fI fuerzas de inercia IO matriz diagonal: Ijj = IOj
fIj fuerza de inercia en el grado IOj momento de inercia del j-ésimo

de libertad j nivel alrededor de O

Parte II: Capítulos 9-18 911

IO* n definido por la ecuación m masa de un sistema de 1GDL
(13.3.10) m matriz de masa
m˜ definida por la ecuación
J número de vectores de Ritz (15.3.4); matriz de m˜ i j en la
m(x) ecuación (18.1.4)
k matriz de rigidez me masa por unidad de longitud
kˇ k – μm matriz de masa elemental en
k˜ definida por la ecuación m¯ e los grados de libertad globales
del elemento
(15.3.4); matriz de k˜i j en la mij matriz de masa elemental en
las coordenadas locales del
ecuación (18.1.4) mj elemento
coeficiente de influencia de la
kA matriz de rigidez del marco A mtt masa
en el grado de libertad global masa en el j-ésimo grado de
M libertad o j-ésimo nivel
ke matriz de rigidez elemental en M(x, t) matriz de masa para el grado
los grados de libertad globales de libertad ut
Mb matriz diagonal de Mj
del elemento momento flexionante en un
kˆ vea la tabla 16.3.1, ecuación Mbn (t ) sistema de masa distribuida
Mbn(t) momento flexionante en la
(16.3.5) Msbtn base
k¯ e matriz de rigidez elemental Msbtn Mb(t) debido al modo n
Mb(t) debido al modo n
en las coordenadas locales Mi n-ésima respuesta estática
modal Mb
del elemento Misnt n-ésima respuesta estática
klgg l-ésima columna de kgg modal Mb
ki matriz de rigidez del marco i Mn momento de volteo del i-ésimo
Mn* nivel
en el grado de libertad global N n-ésima respuesta estática
kˆ i vea las tablas 16.3.1 y 16.3.3 Nd modal Mi
masa generalizada, modo n
kij coeficiente de influencia de la Ne masa modal efectiva, modo n
rigidez Ng número de grado de libertad
número de modos que respon-
kj rigidez del j-ésimo entrepiso O den dinámicamente
kˆ tt matriz de rigidez condensada p número de elementos finitos
kˆ T matriz de rigidez tangente; vea p Número de desplazamientos
p˜ del terreno (o del apoyo)
la tabla 16.3.3 matriz nula
fuerza externa
kxi, kyi rigidez lateral del marco i en fuerzas externas
las direcciones x y y vector de p˜i en la ecuación
(18.2.6)
kxi, kyi matriz de rigidez lateral del
marco i en las direcciones x y y

ky rigidez lateral del marco A
kxy, kxθ, kθy, submatrices de k

kyθ, kθθ
K matriz diagonal de Kn
Kˆ vea las tablas 16.2.1 y 16.2.2

Kn rigidez generalizada, modo n
L longitud de la viga; longitud

del elemento finito

Lhn vea la ecuación (13.2.3) o
(17.6.2)

Lθn vea la ecuación (13.2.9b) o
(17.6.17)

Lnl definida por la ecuación
(13.5.3)

912 Notación Apéndice B

p(λ) polinomio en λ rnst n-ésima respuesta estática modal
rx, ry, rz respuesta máxima r debida a
pe vector de fuerza elemental en los
grados de libertad globales del los componentes x, y y z del

elemento movimiento del terreno
p¯ e vector de fuerza elemental en las
rxy término cruzado entre las
coordenadas locales del elemento contribuciones de la respuesta

pef fuerza sísmica efectiva modal a rx y ry
pef vector de fuerza sísmica efectiva Rdn factor de amplificación dinámica
pg fuerzas en los apoyos
psg(t) fuerzas cuasi-estáticas en los del n-ésimo modo de un sistema

apoyos R(j) vector de fuerza residual después

del j-ésimo ciclo de iteración

pj fuerza externa en el j-ésimo gra- s, sa, sb distribuciones espaciales de p(t)
do de libertad o el j-ésimo nivel sjn
sjyn j-ésimo elemento de sn
po valor máximo de p(t) sjθn j-ésimo elemento de syn
sn j-ésimo elemento de sθn
pt fuerzas externas en el grado definido por la ecuación (12.8.4)

de libertad ut o (13.1.6)
P(t) Tp(t)

P(t) vector de Pn(t) sn(x) definido por la ecuación (17.6.4)
Pˆi definida en la tabla 16.2.1 syn, sθn subvectores de sn
t variable de tiempo
Pn(t) fuerza generalizada, modo n
td duración de una fuerza de pulso
q vector de coordenadas modales Tb
Tbn par de torsión en la base
qi coordenadas modales en el Tbsnt valor máximo de Tbn(t)
instante i n-ésima respuesta estática modal
Tbn(t) Tb
qn(t) n-ésima coordenada modal Ti Tb(t) debido al modo n
r radio de giro Tin(t) par de torsión del i-ésimo nivel
Tbsnt Ti(t) debido al modo n
r(t) cualquier cantidad de respuesta n-ésima respuesta estática modal
Tn Ti
ra(t), rb(t) cantidades de respuesta n-ésimo periodo natural (no

rao, rbo valores máximos de ra(t), rb(t) amortiguado)
rastn, rbstn n-ésimas respuestas modales

estáticas ra y rb

rα proyección de la trayectoria de la
respuesta en la dirección α

rano, rbno valores máximos de ran(t), rbn(t) u desplazamiento o deformación
rabo término cruzado entre las res-
u vector de desplazamiento
puestas ra y rb en la ecuación
(13.10.4) u(j) u después de j ciclos de iteración
u˙ i velocidades en el tiempo i
ras, rbs respuestas ra, rb debidas a las
cargas estáticas iniciales üi aceleraciones en el tiempo i

rcr respuesta crítica; mayor valor un(t) u(t) debido al par de modos de
de r(θ) ψ n, ψ¯ n; u(t) debido al modo φn

us desplazamientos cuasi-estáticos

rn valor máximo de rn(t) ut desplazamientos totales
r¯n n-ésimo factor de contribución
uA desplazamiento en el marco A
modal ux desplazamientos laterales en x
uxn(t) ux(t) debido al modo n
rn(t) r(t) debido al modo n ue desplazamientos elementales en
los grados de libertad globales del
rno valor máximo de rn(t)
elemento
ro valor máximo de r(t)
rst respuesta estática a las fuerzas s

Parte II: Capítulos 9-18 913

ug desplazamiento del terreno u¨tx , u¨ty , u¨θt componentes en x, y y θ de la
(o del apoyo) aceleración total
uy desplazamientos laterales en y
ug vector de desplazamiento del uyn(t) uy(t) debido al modo n
terreno (o del apoyo) u0 grado de libertad con masa cero
u¯ 5n n-ésimo factor de contribución
üg aceleración del terreno (o del modal para u5
apoyo) uθ rotación alrededor del CM
uθ rotaciones de nivel
ugl l-ésimo desplazamiento del uθn(t) uθ(t) debido al modo n
apoyo V(x, t) fuerza cortante transversal en
un sistema de masa distribuida
ügx, ügy, ügθ componentes en x, y y θ de la Vb valor máximo de Vb(t)
aceleración del terreno Vb cortante basal
Vb(t) cortante basal
ui desplazamiento en el grado de Vbst Vb debida a las fuerzas s
libertad i Vbn valor máximo de Vbn(t)
V¯bn n-ésimo factor de contribución
ui desplazamientos laterales del modal para Vb
marco i; desplazamientos en el Vbn(t) Vb(t) debida al modo n
Vbn (t ) Vb(t) debida al modo n
tiempo i Vbsnt n-ésima respuesta estática
modal Vb
uin ui debido al modo n Vbstn n-ésima respuesta estática
modal Vb
uj valor máximo de uj(t) Vbo valor máximo de Vb(t)
Vi valor máximo de Vi(t)
uj(t) desplazamiento relativo en el Vi(t) cortante en el i-ésimo entrepiso
Visnt n-ésima respuesta estática
grado de libertad j o el nivel j modal Vi
usj desplazamiento cuasi-estático x, y coordenadas cartesianas
xi, yi definen la ubicación del marco i
en el grado de libertad j xi vector de iteración
yn vector característico de A; defi-
utj desplazamiento total en el nido por la ecuación (14.4.10)
grado de libertad j o el nivel j z vector coordenadas
generalizadas
ujn valor máximo de ujn(t) zj coordenadas generalizadas
usjtn n-ésima respuesta estática zn vector característico
0 vector de ceros
ujn(t) modal uj 1 vector de unos
ujx, ujy uj(t) debido al modo n
desplazamientos del CM del

nivel j a lo largo de los ejes x y y

ujyn valor máximo de ujyn(t)
ujθ rotación del nivel j alrededor

del CM

ujθn valor máximo de ujθn(t)
un valor máximo de un(t)
unst n-ésima respuesta estática

modal u

un(x, t) u(x, t) debido al modo n
u snt (x ) n-ésima respuesta estática
modal u(x)

ut grado de libertad dinámico
ux, uy desplazamientos del CM en x y y

Símbolos griegos αgn definida en las ecuaciones (14.8.8) y
(14.10.17)
α dirección arbitraria en el espacio de
respuesta; fracción utilizada en la β parámetro en el método de Newmark
ecuación (13.11.13)

914 Notación Apéndice B

βin ωi/ωn ιl vector de influencia para ugl
βn vea las ecuaciones (14.2.7), κ constante de esfuerzo cortante
(14.7.5) y (14.10.8)
βgn vea las ecuaciones (14.3.4), λ(χ) cociente de Rayleigh
(14.8.2) y (14.10.10)
γ parámetro en el método de λ(j) estimación del valor característico
Newmark; factor de intensidad
del movimiento del terreno λ valor característico
vea las ecuaciones (14.2.7), λn, λ¯ n par complejo conjugado de valores
(14.7.5) y (14.10.9)
vea las ecuaciones (14.3.4), característicos
(14.8.2) y (14.10.12)
γn vea la ecuación (12.8.3) o λˇ λ – μ
(13.2.3) λn n-ésimo valor característico
definido por la ecuación
(13.5.3) μ relación de masa del amortiguador
desplazamiento virtual u(x)
γ g desplazamiento virtual uj de masa resonante; cambio del
n trabajo virtual externo
trabajo virtual interno
función delta de Dirac espectro de valor característico
valor máximo de j(t)
Γn deformación o distorsión del μij elemento de μ definido en la ecua-
j-ésimo entrepiso ción (13.11.1)
vector de coordenadas genera-
Γnl lizadas en la ecuación (15.3.5) μ matriz de covarianza
parte con valor imaginario de ψn
δu(x) paso de tiempo ρin coeficiente de correlación cruzada
δuj cambio en u, j-ésimo ciclo para los modos i y n
δWE de iteración
δWI φjn j-ésimo elemento de φn
δ(⋅) j(t) debido al modo n
valor máximo de jn(t) φjyn, φjθn j-ésimos elementos de φyn y φθn
j tolerancias en la ecuación φn(x) n-ésimo modo natural de vibración
(16.3.8) φ˜n(x) aproximación a φn(x)
j(t) tolerancias en la ecuación φ˜n aproximación a φn
(16.3.9)
χ definido por la ecuación φn n-ésimo modo natural de vibra-
(13.7.7a)
fracción de amortiguamiento ción; parte de ψn con valor real
para el n-ésimo modo
definida por la ecuación φyn, φθn subvectores de φn
(13.7.7b) matriz modal
ángulo de incidencia
χn ángulo crítico de incidencia ψ vector característico con valo-
t rotación del terreno alrededor
u( j) de un eje horizontal res complejos, vea la ecuación
vector de influencia, matriz de
influencia (14.5.3)

ψn n-ésimo vector característico

jn(t) (valores complejos) ψN (x)
(x) ψ1 ψ2 … ψJ
jn ψi(x)
ψ1(x) ψ2(x) …
εR, εu, εw
función de prueba, de Ritz o de
εR′, εu′, εw′
forma; función de interpolación
εin
del elemento finito
ζn ψˆi (x) función de interpolación de una

ζn′ viga

θ ψj vector de forma o vector de Ritz
θcr ψˆ n definido por la ecuación (14.4.12)
θg
ω frecuencia de excitación
ι
ωn n-ésima frecuencia natural (no
amortiguada) (rad/s)

ωn ωn de una viga considerando los
efectos de la inercia rotacional y la

fuerza cortante

ω˜ n aproximación a ωn
2 matriz espectral

Parte III: Capítulos 19-23 915

PARTE III: CAPÍTULOS 19-23 q factor de comportamiento sísmico, EC

Símbolos romanos q′ factor de reducción sísmica, EC

A ordenada del espectro de pseudo- Q factor de comportamiento sísmico,
aceleración
RCDF
Am A/g máxima, RCDF
Ay A para un sistema en cedencia Q′ factor de reducción sísmica, RCDF
c coeficiente de amortiguamiento del
R factor de modificación de la
sistema de base fija
cb coeficiente de amortiguamiento del respuesta, IBC

sistema de aislamiento r coeficiente en Ce, RCDF
cf matriz de amortiguamiento del Rd factor de modificación de la fuerza,

sistema de base fija NBCC
C coeficiente dependiente del periodo,
RO factor de modificación de la fuerza
IBC relacionado con la sobrerresistencia,
Ce coeficiente sísmico elástico
Cs coeficiente sísmico NBCC
eJ error en la respuesta estática s*n definida por la ecuación (20.7.2)
Tb periodo de aislamiento
(ecuación 19.7.1)
EIb rigidez a la flexión en vigas Tb, Tc periodos que definen la región espec-
EIc rigidez a la flexión en columnas
fjn fuerza lateral: nivel j, modo n tral de A constante
fy resistencia a la cedencia de diseño
Fj fuerza lateral de código en el nivel j Tf periodo natural del sistema de base fija
FSn definida por la ecuación (20.6.12) Tn periodo natural del sistema de 1GDL;
Ft fuerza lateral adicional en el nivel
n-ésimo periodo natural del sistema
superior, NBCC
h altura de entrepiso de VGDL
hj altura del j-ésimo nivel
I factor de importancia, IBC y NBCC Tnf n-ésimo periodo natural del sistema
J, Ji factores de reducción para los de base fija

momentos de volteo ub deformación del aislador
k rigidez lateral del sistema de base fija
kb rigidez lateral del sistema de ubn ub debido al modo n

aislamiento u st n-ésima respuesta estática modal ub
kf matriz de rigidez del sistema de base bn

fija ui desplazamiento del i-ésimo nivel
kj rigidez del j-ésimo entrepiso
Lb longitud de vigas debido a las fuerzas Fj ( j = 1, 2, ..., N)
Lc longitud de columnas
m masa concentrada del sistema de base ujm máx ͉uj (t)͉ para un sistema inelástico
urn detsplazamiento del techo, n-ésimo
fija
mb masa de una losa en la base modo
mf matriz de masa del sistema de base fija
Mv factor de los modos superiores, uy desplazamiento de cedencia
Vb cortante basal
NBCC
OS factor de sobrerresistencia, EC Vb(1), Vb(2) dos partes de Vb, RCDF

Vby valor de resistencia a la cedencia de Vb
V¯by valor normalizado de Vby

Vj cortante en el j-ésimo entrepiso

Vjy resistencia a la cedencia del j-ésimo

entrepiso

w peso de un sistema de 1GDL

wi peso en el i-ésimo nivel
W peso total del edificio; carga muerta to-

tal y porción aplicable de otras cargas

916 Notación Apéndice B

Símbolos griegos μ factor de ductilidad
φn n-ésimo modo natural de vibración
α, β coeficientes en el ajuste del error por
mínimos cuadrados de la curva Vb-T1 del sistema lineal correspondiente
φnf n-ésimo modo del sistema de base
j deformación o distorsión del j-ésimo
entrepiso fija
φrn elemento de techo de φn
jm valor máximo de j(t) para un siste- ωf frecuencia natural del sistema de base
ma inelástico
fija
ζ fracción de amortiguamiento ωn n-ésima frecuencia natural de vibra-
ζb ζ del sistema de aislamiento con
ción del sistema lineal correspondiente
construcción rígida
ζf ζ para el sistema de base fija P(ω) transformada de Fourier de p(t)
ζnf ζ para el n-ésimo modo del sistema Pj coeficiente de Fourier (con valor
complejo) para p(t)
de base fija P¯j complejo conjugado de Pj
td duración de la excitación
APÉNDICE A tf duración de la vibración libre
Tn periodo natural (no amortiguado)
Símbolos romanos T0 periodo de extensión periódica de p(t)
u desplazamiento; deformación
c coeficiente de amortiguamiento u(t) respuesta “exacta”
h(t) respuesta al impulso unitario u˜ (t ) respuesta de estado estacionario me-
Hj H(ωj); vea la ecuación (A.5.7) diante el método de la transformada
H(ω) respuesta compleja en la frecuencia (ust)o discreta de Fourier
Hu(ω) respuesta compleja en la frecuencia Uj deformación estática debida a po
vea la ecuación (A.2.8) o (A.5.8)
para u(t)
k rigidez ωD frecuencia natural (amortiguada)
m masa (rad/s)
M número de armónicos en una serie
ωj jω0
truncada ωmáx frecuencia de Nyquist; vea la
N número de instantes de tiempo con
ecuación (A.5.5)
espacios iguales ωn frecuencia natural (no amortiguada)
p fuerza externa
pn p(tn) ≡ p(n t) (rad/s)
po amplitud de p(t) ω0 2π/T0

Símbolos griegos

βj jω0/ωn
δ(⋅) función delta de Dirac
δ t intervalo de muestreo
ζ fracción de amortiguamiento
η coeficiente de amortiguamiento inde-

pendiente de la frecuencia
υ(t) solución correctiva
ω frecuencia de la excitación (rad/s)

C

Respuestas a problemas
seleccionados

Capítulo 1

1.1 ke = k1 + k2; mu¨ + keu = p(t)

1.3 ke = (k1 + k2)k3 ; mu¨ + keu = p(t )
k1 + k2 + k3

1.5 θ¨ + 3 g θ = 0; ωn = 3g
2 L 2L

1.8 m R2 θ¨ + πd4G θ = 0
2 32L

1.10 w u¨ + 3E I u = 0
g L3

1.12 ωn = ke ; ke = k(48E I /L3)
m k + 48E I /L3

1.15 mu¨ + 120 E Ic u = p(t)
11 h3

1.16 mu¨ + 2 E Ic u = p(t)
h3

1.17 mu¨ x + √ AE ux = 0; mu¨ y + √ AE uy = 0
2h 2h

917

918 Respuestas a problemas seleccionados Apéndice C

1.18 mh2 u¨ θ + AE h uθ = 0
6 √
2

Capítulo 2

2.1 w = 40 lb; k = 16.4 lb/pulg

2.2 u(t) = 2 cos(9.82t)

2.4 u(t) = 0.565 sen(60.63t) pulg

2.5 u (t ) = m2g (1 − cos ωn t ) + 2gh m2 senωn t
k ωn m1 + m2

2.7 E I = 8827 lb-ft2

2.11 j10% = 0.366/ζ
2.13 (a) Tn = 0.353 s; (b) ζ = 1.94%
2.14 (a) c = 215.9 lb-s/pulg, k = 1500 lb/pulg

(b) ζ = 0.908

(c) ωD = 5.28 rad/s

2.15 k = 175.5 lb/pulg; c = 0.107 lb-s/pulg
2.16 ωn = 21.98 rad/s; ζ = 0.163; ωD = 21.69 rad/s
2.17 TD = 0.235 s, ζ = 0.236%
2.19 1.449 pulg, 1.149 pulg
2.20 0.536 pulg; 8 ciclos

Capítulo 3

3.1 m = 6.43/g lb/g; k = 10.52 lb/pulg
3.2 ζ = 0.05
3.3 ζ = 0.0576
3.5 uo = 2.035 × 10−3 pulg; u¨o = 0.0052g
3.10 ζ = 9.82%
3.11 ζ = 1.14%
3.12 (b) δst = 0.269 pulg
3.13 474.8 lb
3.15 11.6 kips/pulg
3.17 Error = 0, 0.9, y 15% en f = 10, 20, y 30 Hz, respectivamente
3.19 f ≤ 20.25 Hz
3.21 f ≥ 2.575 Hz
3.25 0.308 pulg

Apéndice C Respuestas a problemas seleccionados 919

3.26 (a) p(t) = po + 4 po ∞ 1 cos j ω0t
2 π2 j=1, 3, 5, ... j2

(b) u (t ) 14 ∞ 1 βj2) cos j ω0t, donde (ust)o = po/k,
(ust)o = 2 + π 2 j=1, 3, 5, ... j 2(1 −

βj = j ω0/ωn, y βj = 1
(c) Dos términos son adecuados.

Capítulo 4

4.9 (a) u (t ) = 1 − e−ζ ωnt cos ωDt + ζ sen ωDt
(ust)o 1− ζ2
uo
(b) (ust)o = 1 + exp(−nζ / 1 − ζ2)

4.12 uo 12.2 pulg; u0 6.1 pulg

4.17 uo = 0.536 pulg; σ = 18.9 ksi

4.18 uo = 2.105 pulg; σ = 37.2 ksi

4.23 uo = po 4 sen ωnt1 sen ωn t1
k ωnt1 2

4.24 uo = 4π td ; error = 5.9%
(ust)o 3 Tn

4.26 (a) Vb = 15.08 kips, Mb = 1206 kip-pie; (b) el incremento de la masa tiene el efecto
de reducir la respuesta dinámica.

Capítulo 5

5.2 Compare los resultados numéricos contra la solución teórica de las tablas E5.1a, b.
5.4 Compare los resultados numéricos contra la solución teórica de la tabla E5.2.
5.8 Compare los resultados numéricos contra la solución teórica de la tabla E5.3.
5.9 Compare los resultados numéricos contra la solución teórica de las tablas E5.1a, b;

los resultados numéricos tienen un error grande, pero la solución es estable.
5.11 Compare los resultados numéricos contra la solución teórica de la tabla E5.4.

Capítulo 6

6.4 D = u˙ go Tn exp − ζ tan−1 1− ζ2
2π 1− ζ2 ζ

V = 2π D; A = 2π 2
Tn Tn
D

6.10 uo = 1.91 pulg; σ = 38.2 ksi

920 Respuestas a problemas seleccionados Apéndice C

6.11 (a) uo = 14.1 pulg, Vbo = 56.2 kips

(b) uo = 9.93 pulg, Vbo = 79.5 kips

(c) uo = 14.1 pulg, Vbo = 112.4 kips

6.14 (a) uo = 0.674 pulg, M = 40.65 kip-pie; (b) uo = 2.7 pulg, M = 81.30 kip-pie

6.16 (a) uo = 0.316 pulg, M = 18.3 kip-pie
(b) uo = 0.101 pulg, prefuerzo = 3.53 kips

6.17 uo = 1.3 pulg, Mcorto = 60.39 kip-pie, Mlargo = 15.1 kip-pie
6.18 uo = 3.86 pulg; momentos flexionantes (kip-pie) en las columnas: 569 en la base y

244 en la parte superior; momentos flexionantes (kip-pie) en la viga: 244 en am-

bos extremos.

6.19 uo = 11.1 pulg; momentos flexionantes (kip-pie) en las columnas: 0 en la base y 428

en la parte superior; momentos flexionantes (kip-pie) en la viga: 428 en ambos extre-

mos.

6.20 uo = 0.76 pulg; esfuerzos en la base de la columna: esfuerzo flexionante debido al
sismo = 19.06 ksi; esfuerzo axial debido a las fuerzas del sismo y la gravedad = 3.28

ksi; esfuerzo total = 22.34 ksi.

6.22 Desplazamientos en esquinas = 0.582 pulg, 0.388 pulg; par de torsión en la base =

58.2 kip-pie; momentos flexionantes en la parte superior y la base de cada columna:

My = 5.24 kip-pie, Mx = 2.33 kip-pie.

6.23 (b) A(Tn)/ g = 0.5 para Tn ≤ 1 s; 12 .28Tn0.916 para 1 < Tn ≤ 1 s;1.83 para 1 < Tn ≤
33 33 8 8
0.623 s; 1. 14 Tn−1 para 0.623 < Tn ≤ 3.91 s; 4.46Tn−2 para 3.91 < Tn ≤ 10 s;
24.49Tn−2.74 para 10 < Tn ≤ 33 s; y 1.84Tn−2 para Tn > 33 s

Capítulo 7

7.1 (a) Tn = 0.502 s, ζ = 2%
(b) no
(c) Tn = 0.502 s, ζ = 2%
(d) f–y = 0.323, Ry = 3.09

7.5 μ = 1.44, 3.11, y7.36

7.6 A y ( Tn )/ g = 0.5 para Tn ≤ 1 s; 1 .68Tn0.348 para 1 < Tn ≤ 1 s; 0.818 para 1 < Tn ≤
33 33 8 8
0.465 s; 0 .380Tn−1 para 0.465 < Tn ≤ 3.91 s; 1.487Tn−2 para 3.91 < Tn ≤ 10 s;
8.16Tn−2.74 para 10 −2
< Tn ≤ 33 s; y 0.614 T n para Tn > 33 s

7.7 Tn = 0.02 s Tn = 0.2 s Tn = 2 s

μ fy/w um (pulg) fy/w um (pulg) fy/w um (pulg)

1 0.50 1.955 × 10−3 1.355 0.530 0.448 17.57
2 0.50 3.910 × 10−3 0.782 0.612 0.224 17.57
4 0.50 7.820 × 10−3 0.512 0.801 0.112 17.57
8 0.50 15.640 × 10−3 0.350 1.095 0.056 17.57

Apéndice C Respuestas a problemas seleccionados 921

Capítulo 8

8.2 (a) m˜ θ¨ + c˜θ˙ + k˜θ = p˜(t), m˜ = 103m L2 , c˜ = c, k˜ = kL2 p˜(t) = 9L p(t )
,
64 4 8
√ 72x
(b) ωn√16k/103m, ζ = 8c/ 103km L4; (c) u(x, t) = 103m LωD e−ζ ωn t sen ωDt

8.4 (a) m˜ θ¨ + c˜θ˙ + k˜θ = p˜(t); m˜ = m L3 ; c˜ = cL3 k˜ = kL3 p˜(t) = L2 p(t)
;
12 12 12 6
8.5 z = deflexión vertical del extremo inferior del resorte; m˜ z¨ + c˜z˙ + k˜z = p˜ (t ); m˜ = m
;
3

c˜ = c k˜ = k p˜ (t ) = −2 p(t )
; ; 5
45

8.7 (a) Vo(L/2) = 1426 kips, Mo(L/2) = 0.2399 × 106 kip-pie, Vbo = 1739 kips,
Mbo = 0.7368 × 106 kip-pie; (b) uo(L) = 25.1 pulg

8.9 (a) Vo(L/2) = 216 kips, Mo(L/2) = 3.629 × 104 kip-pie, Vbo = 263 kips,
Mbo = 11.15 × 104 kip-pie

(b) uo(L) = 3.79 pulg

8.10 u1o = 0.519, u2o = 0.830, u3o = 0.934 pulg; V3o = 41.2, V2o = 114.4, Vbo = 160.2
kips; M2o = 494, M1o = 1867, Mbo = 3789 kip-pie

8.12 u1o = 0.312, u2o = 0.624, u3o = 0.935 pulg; V3o = 48.2, V2o = 112.4, V1o = 144.5
kips; M2o 578, M1o = 1927, Mbo 3661 kip-pie

8.15 Desplazamientos de piso (pulg) = 1.34, 2.39, 3.39, 3.98, 4.28

Cortantes por nivel (kips): 38.5, 110, 171, 214, 238

Momentos de volteo en los pisos (kip-pie): 462, 1782, 3833, 6399, 9255.
8.17 ωn = 0.726 E I /m L3

8.18 (b) ω1 = 2.536k/m, ψ1 = 1 0.366 T ; ω2 = 9.464k/m, ψ2 = 1 −1.366 T

8.19 ωn2 = m π 4 E I /32L3 si ψ (x ) = 1 − cos πx
1 + (π 2/16)(R/L)2 2L

8.20 ωn = 1.657 EI
L2 m
8.21 ωn = 20.612 rad/s

8.24 ωn = 20.628 rad/s

8.25 u ( L /2, t) = 2 po 1 1 − ωn2 − ωn2 cos πv t + (π v/L)2 cos ωn t
πm ωn2 (π v/L)2 L ωn2 − (π v/L)2

t ≤ L/v

u ( L /2, t) = 2 po 1 2− 1 − ωn2 − ωn2 cos ωn(t − td )
πm ωn2 (π v/L)2 t ≥ L/v

+ (π v/L)2 cos ωnt
ωn2 − (π v/L)2

922 Respuestas a problemas seleccionados Apéndice C

Capítulo 9

9.2 m L 1 0 u¨ 1 + 162E I 8 −7 u1 = p1 (t )
3 01 u¨ 2 5L3 −7 8 u2 p2 (t )

9.4 m= m 2 1 ,k = EI 28 −10
6 1 2 L3 −10 4

9.6 m 1 0.5 u¨ 1 EI 37.15 −15.12 u1 = p1 (t )
u¨ 2 + h3 −15.12 10.19 u2 p2 (t )

1 u¨ 1 EI 40.85 −23.26 5.11 u1 p1(t)
u¨ 2 + h3 −23.26 31.09 −14.25 u2 = p2(t)
9.9 m 1 u¨ 3 u3 p3(t)
5.11 −14.25 10.06
0.5

1 u¨ 1 EI 33.36 −14.91 1.94 u1 p1(t)
u¨ 2 + h3 (sim) 15.96 −5.49 u2 = p2(t)
9.11 m 1 u¨ 3 3.92 u3 p3(t)

0.5

9.13 u = 〈u1 u2 u3〉, donde u1 es el desplazamiento horizontal de las masas y u2 y u3 son
los desplazamientos verticales de las masas derecha e izquierda, respectivamente.

mu¨ + ku = pef (t)

5 3E I 28 6 −6
m=m 1 , k = 10L3 6 7 3 , pef (t) = −mι u¨ g(t)
−6 3 7
1

ιT = 100 para u¨ g(t) = u¨ gx (t)
011 para u¨ g(t) = u¨ gy(t)
para u¨ g(t) = u¨ gbd (t)
111
√2 √2 √2 para u¨ g(t) = u¨ gbc(t)
para u¨ g(t) = u¨ gθ (t)
−1 1 1

√2 √2 √2

−L L − L

9.15 mu¨ + ku = pef (t)

2/ 3 −1/ 6 1/ 2 5 −2 2

m = m −1/ 6 2/ 3 −1/ 2 , k = k −2 5 −2 , pef (t) = −mι u¨ g(t)

1/ 2 −1/ 2 1 2 −2 6

m 1/ 2 1/ 2 0 para el movimiento del terreno en la dirección x

[mι ]T = m 1/ 2 − 1/ 2 1 para el movimiento del terreno en la dirección x

m 1/√2 0 1/ √2 para el movimiento del terreno en la dirección d-b

9.16 mu¨ + ku = pef (t) 0 60 0
10

m = m 0 1 b/ 2 , k = k 0 6 2b , pef (t) = −mι u¨ g(t)
0 b/ 2 5b2/ 12 0 2b 7b2/ 2

¨« m 10 0 para el movimiento del terreno en la dirección x
[mι ]T © m 01 b/ 2 para el movimiento del terreno en la dirección x
= «ª m 1/√2 1/ √2 b/ 2√2 para el movimiento del terreno

en la dirección d-b

Apéndice C Respuestas a problemas seleccionados 923

9.18 mu¨ + ku = −mιu¨g(t)

1 EI 0.9283 0.9088 0.2345
L3
m=m 1 ,k= 1.4294 0.2985

⎧ 1 symm 0.3234
⎪⎨ 0
ιT = ⎪⎩ 10 para el movimiento del terreno en la dirección x
01 0
0 √0 para el movimiento del terreno en la dirección y
1
para el movimiento del terreno en la dirección z

(1/ 3) 1 1 1 para el movimiento del terreno en la dirección a–d

9.20 mu¨ + 6E I = −m 1/2 1/2 u¨ g1(t)
L3 u u¨ g2(t)

9.21 mu¨ + ku = −mιu¨ g(t)

u= u1 , ug = ug1
u2 ug2

m=m 1 1 , k = 6E I 176 −48 ,ι= 1 266 182
7L3 −48 176 448 42 −42

9.22 mu¨ + ku = −mιu¨ g(t)

u= u1 , ug = ug1
u2 ug2

m=m 1 , k = 6E I 128 0 ,ι= 0, 5 0.5
7L3 0 140 0.3 −0.3
1/2

9.23 mu¨ + ku = −mιu¨ g(t)

uT = ux uy uθ ugT = uga ugb ugc ugd T
40 0
1
k=k 0 4 0
m=m 1 2b2
00
b2/6 1

ι= 1 1 11 0
0 00
4 −1/b −1/b 1/b 1/b

9.25 mu¨ + ku = −mιu¨ g(t)

u= u1 , ug = ug1
u2 ug2

m= 3.624 , k = 104 0.9359 0.7701 ,ι = 0.6035 0.3965
0.7701 1.5088 −0.2143 1.2143
1.812

Capítulo 10

10.3 (a) u1(t) = 0.5 cos ω1t + 0.5 cos ω2t; u2(t) = 0.5 cos ω1t − 0.5 cos ω2t

10.6 (a) ω1 = 3.750 E√I2/mTh, 3φ, 2ω=2 = 9.052√ E I /m h 3,
φ1 = 1 1 −2
T

924 Respuestas a problemas seleccionados Apéndice C

10.7 ω1 = 1.971 E I / mh3, ω2 = 8.609 E I / mh3, φ 1 = 0.919 1 T ,
φ 2 = −0.544 1 T

10.8 (a) u1(t) = 1.207 cos ω1t − 0.207 cos ω2t, u2(t) = 1.707 cos ω1t + 0.293 cos ω2t

10.10 ω1 = 2.407 E I / mh3, ω2 = 7.193 E I / mh3
φ 1 = 0.482 1 −0.490/ h − 0.490/ h − 0.304/ h − 0.304/ h T
φ 2 = −1.037 1 − 0.241/ h − 0.241/ h − 1.677/ h − 1.677/ h T

10.12 ωn = αn E I / mh3, α1 = 2.241, α2 = 4.899, α3 =7.14; φ 1 = 0.314 0 .686 1 T,
φ 2 = −0.5 −0.5 1 T , φ 3 = 3.186 −2.186 1 T

10.14 ωn = αn E I / mh3, α1 = 1.423, α2 = 4.257, α3 = 6.469; φ 1 = 0.7 0 .873 1 T,
φ 2 = −0.549 −0.133 1 T , φ 3 = 1.301 −1.614 1 T

u1(t) 1.2440 −0.3333 0.0893

10.15 (a) u2(t) = 2.1547 cos ω1t + 0 cos ω2t + −0.1547 cos ω3t

u3(t) 2.4880 0.3333 0.1786

u1(t) 0.935 0.065
u2(t)
10.16 (a) u3(t) = 2.04 cos ω1t + −0.0448 cos ω3t
2.98 0.0205

10.23 (a) ωn = αn E I / m L3; αn = 0.5259, 1.6135, 1.7321,

1 10

φ 1 = −1.9492 , φ 2 = 1.2826 , φ 3 = 1

1.9492 −1.2826 1

u1(t) 0.3969 0.6031

(b) u2(t) = −0.7736 cos ω1t + 0.7736 cos ω2t
u3(t) 0.7736 −0.7736

10.24 ωn = 5.96, 6.21, 10.90 rad/s
φ 1 = 0 2.0322 0.0033 T , φ 2 = 2.071 0 0 T,
φ 3 = 0 − 0.3988 0.0166 T

10.28 (a) ωn = αn E I / m L3, α1 = 0.4834, α2 = 0.4990, α3 = 1.4827

10.29–10.32 Compare contra los resultados exactos.

Capítulo 11

0.824 −0.257 0
11.1 c = (sym) 0.604 −0.110 , ζ2 = 0.0430

0.229

0.848 −0.234 −0.023
11.2, 11.4 c = (sym) 0.628 −0.133

0.252

Apéndice C Respuestas a problemas seleccionados 925

Capítulo 12

12.1 u1(t) = ( po/k)(1.207C1 − 0.207C2) sen ωt,
u2(t) = ( po/k)(1.707C1 + 0.293C2) sen ωt, donde Cn = 1 − (ω/ωn)2 −1

12.4 u 1 (t ) = po senω1t + senω2t , u 2 (t ) = 0.707 po senω1t − senω2t
2m ω1 ω2 m ω1 ω2

12.5 (a) u1(t) = po (1 − 0.853 cos ω1t − 0.147 cos ω2t ), u 2 (t ) =
po k
k
(1 − 1.207 cos ω1t + 0.207 cos ω2t)

12.9 u3o = ω2 po C1 + C2 + C3 2 D1 + D2 + D3 2
K1 K2 K3 K1 K2 K3
+ , u¨3o = ω2u3o,

donde po = 1.242 lb; K1 = 131.16, K2 = 978.97, y

K3 = 1826.80 kips/pulg; y Cn y Dn son tal como se definieron en el ejemplo 12.5.

12.16 u1(t) 1 1.736(1 −cos 10t) + 1 (−0.116)(1 −cos 38.73t); t ≤0.3 s
u2(t) 1 −1
=

u1(t) = 1 [3.455 cos 10(t − 0.3) + 0.245 sen 10 (t − 0.3)]
u2(t) 1

+ 1 [−0.0483 cos 38.73(t − 0.3) + 0.09419 sen 38.73(t − 0.3)] ; t ≥ 0.3 s
−1

12.18 Valores combinados de las fuerzas cortantes (en kips) y los momentos flexionantes
(en kip-pulg):

Va = Vb = 52.08; Vc = Vd = −58.16; Ve = Vf = 6.12
Ma = 0; Mb = Mc = −2604; Md = Me = 306; Mf = 0

12.19 uo = 0.133 pulg, uo = 83.125 pulg/s2
0.529 330.63

12.20 Mbo = 948.8 kip-pulg, Mdo = −1902 kip-pulg

12.24 (a) M(t) = MstM¯ n ωn2 Dn(t) , donde

Dn (t ) = po 1 − 1 sen t − Tn sen t ; t ≤ td
ωn2 (Tn/2td )2 π td 2td 2π Tn

Dn (t ) = Dn(td ) cos ωn(t − td ) + D˙ n(td ) sen ωn(t − td ); t ≥ td
ωn

Mst = −0.3125L; M¯ 1 = 0.3414, M¯ 2 = 0.6000, M¯ 3 = 0.0586

(b) M(t) = Mst p(t) + M¯ 1 ω12 D1(t) − p(t)

926 Respuestas a problemas seleccionados Apéndice C

Capítulo 13

13.1 (a) s1 = m 0.854 0.604 T , s2 = m 0.146 −0.104 T
(b) u1(t) = 0.854D1(t) + 0.146D2(t), u2(t) = 1.207D1(t) − 0.207D2(t)
(c) V1(t) = 1.458m A1(t) + 0.042m A2(t), V2(t) = 0.604m A1(t) − 0.104m A2(t)
(d) Mb(t) = 2.062mh A1(t) − 0.062mh A2(t), M1(t) = 0.604mh A1(t) −
0.104mh A2(t)

13.2 (c) Valores máximos de las respuestas totales: u1 = 0.679 pulg, u2 = 0.964 pulg,
Vb = 115.11 kips,V2 = 49.56 kips, Mb = 1959.25 kip-pie,M2 =594.65 kip-pie

13.4 (a) Desplazamientos totales: u1(t) = 0.647D1(t) + 0.353D2(t),
u2 = 1.341D1(t) − 0.341D2(t)
Rotaciones de los nudos en el primer y segundo pisos: u3(t) =(1/h)[−0.657D1
(t)+ 0.082D2(t)], u5(t) = (1/h) [−0.407D1(t) + 0.572D2(t)]

(b) Momentos flexionantes en la columna del primer piso:
Parte superior: Ma = mh [0.216 A1(t) + 0.0473A2(t)]
Parte inferior: Mb = mh [0.443A1(t) + 0.0441A2(t)]
Momento flexionante en los extremos de la viga del segundo piso:
Ma = Mb = mh[−0.211 A1(t) + 0.0332 A2(t)]

13.5 (a) s1 = m 0.622 1.077 0.622 T , s2 = m 0.333 0 − 0.167 T ,
s3 = m 0.045 − 0.077 0.045 T

(b) u1(t) = 0.622D1(t) + 0.333D2(t) + 0.045D3(t),
u2(t) = 1.077D1(t) − 0.077D3(t),
u3(t) = 1.244D1(t) − 0.333D2(t) + 0.089D3(t)

(c) V1(t) = 2.321m A1(t) + 0.167m A2(t) + 0.012m A3(t),
V2(t) = 1.699m A1(t) − 0.167m A2(t) − 0.0326m A3(t),
V3(t) = 0.622m A1(t) − 0.167m A2(t) + 0.045m A3(t)

(d) Mb(t) = mh [4.642 A1(t) − 0.167 A2(t) + 0.024 A3(t)]

13.7 Valores máximos de las respuestas totales:u1 = 0.580 pulg, u2 = 0.957 pulg, u3 =
1.103 pulg, Vb = 189.3 kips, V2 = 138.1 kips, V3 = 52.2 kips, Mb = 4321 kip-pie,
M2 = 2268 kip-pie, M1 = 627 kip-pie

13.9 M1∗ = 2.3213m, M2∗ = 0.1667m, M3∗ = 0.0121m
h ∗ 2h, h2∗ −h, h3∗ 2h
1 = = =

13.11 (a) Desplazamientos de piso: u1(t) = 0.427D1(t) + 0.377D2(t) + 0.197D3(t),
u2(t) = 1.007D1(t) + 0.182D2(t) − 0.189D3(t),
u3(t) = 1.352D1(t) − 0.508D2(t) + 0.157D3(t)

(b) Momentos flexionantes en la columna del primer piso:
Msuperior = mh [0.301 A1(t) + 0.068 A2(t) + 0.023 A3(t)] ,
Mbase = mh [0.753 A1(t) + 0.084 A2(t) + 0.020 A3(t)]
Momentos flexionantes en los extremos de las vigas del segundo piso:
Ma = Mb = mh [−0.541 A1(t) + 0.057 A2(t) + 0.003 A3(t)]

13.15 (a) s1 = m 0.849 0.594 T , s2 = m −0.849 0.406 T

Apéndice C Respuestas a problemas seleccionados 927

(b) u1(t) = 0.283D1(t) − 0.283D2(t), u2(t) = 0.594D1(t) + 0.406D2(t)
(c) Mb(t) = 1.443m L A1(t) − 0.443m L A2(t)

13.17 (a) s1 = m 1.985 −0.774 0.774 T , s2 = m 3.015 0.774 −0.774 T ,
s3 = 0 0 0 T

(b) u1(t) = 0.397D1(t) + 0.603D2(t), u2(t) = −0.774D1(t) + 0.774D2(t),
u3(t) = 0.774D1(t) − 0.774D2(t)

(c) Mb(t) = 3.533m L A1(t) + 1.467m L A2(t), Ma(t) = −0.774m L A1(t) +
0.774m L A2(t)

13.23 (c) Respuestas máximas: u3o = 44.58 pulg, Vao = 0.879 kip, Vbo = 159.83 kips
(d) Coeficientes sísmicos: 4.69 y 0.426 para el apéndice y la torre, respectivamente.

13.25 (a) s1 = 0 0.1588 3.816 T , s2 = 0.1649 0 0 T ,
s3 = 0 0.0061 − 3.816 T

(c) ux (t) = 0.7071D2(t), u y(t) = 0.6809D1(t) + 0.0262D3(t), uθ (t) =
0.0011D1(t) − 0.0011D3(t)

(d) Vbx (t) = 0.1649 A2(t), Vby(t) = 0.1588 A1(t) + 0.0061 A3(t), Tb(t) =
3.816 A1(t) − 3.816A3(t)

13.26 (c) Respuestas pico: u yo = 4.182 pulg, (b/2)uθo = 1.22 pulg,Vbo = 35.6 kips,
Tbo = 1899 kip-pulg

13.27 (a) s1 = m 0.603 −0.382 −0.305 T ,
s2 = m 0.043 −0.081 0.187 T ,
s3 = m 0.353 0.463 0.118 T

(b) ux (t) = 0.603D1(t) + 0.043D2(t) + 0.353D3(t),
u y(t) = −0.382D1(t) − 0.081D2(t) + 0.463D3(t),
uz(t) = −0.305D1(t) + 0.187D2(t) + 0.118D3(t)

(c) Mx (t) = m L [−0.077A1(t) − 0.268 A2(t) + 0.345 A3(t)] ,
My(t) = m L [−0.908A1(t) + 0.144 A2(t) − 0.235 A3(t)] ,
T (t) = m L [0.986A1(t) + 0.124 A2(t) − 0.110 A3(t)]

13.32 (i) u(t) = 0.8889ugo sen 6.667t, ut (t) = 1.3889ugo sen 6.667t,
M = −(3E I /L2)u(t); (ii) u(t) = 1.7778ugo sen 6.667t,
ut (t) = 2.7778ugo sen 6.667t, M = −(3E I /L2)u(t)

13.34 (a) ut1(t) = 0.5ug(t) + 0.5ug(t − t ) + 0.5D1(t)
+ 0.5D1(t − t ) + 0D2(t) + 0D2(t − t )

u2t (t) = 0.3ug(t) − 0.3ug(t − t ) + 0D1(t)
+ 0D1(t − t ) + 0.30D2(t) − 0.30D2(t − t )

Ma(t) = (E I /L2) −7.2ug(t) + 7.2ug(t − t )

+ m L 0.0781A1(t) + 0.0781A1(t − t )

+ 0.0075A2(t) − 0.0075A2(t − t ) ; etc.

928 Respuestas a problemas seleccionados Apéndice C

13.36 (a) u t (t ) = −0.088u g (t ) + 0.088u g ( t − t ) − 0.126 D1 (t )
y

+ 0.126D1(t − t ) + 0D2(t) + 0D2(t − t )
+ 0.038D3(t) − 0.038D3(t − t ); etc.
Vax = −0.69ug(t) + 0.69ug(t − t ) + 0.0025 A1(t)
+ 0.0389 A2(t) + 0.0057 A3(t) − 0.0025 A1(t − t )
+ 0.0389 A2(t − t ) − 0.0057 A3(t − t );
Vay = 0.5454ug(t) − 0.5454ug(t − t ) − 0.0081 A1(t)
+ 0.0066 A3(t) + 0.0081 A1(t − t ) − 0.0066 A3(t − t ); etc.

13.38 (a) ut2(t) = −0.2143ug(t) + 1.2143ug(t − t ) − 0.3416D1(t)
−0.0150D1(t − t ) + 0.1273D2(t) + 1.2294D2(t − t )

(b) u2t (t) = ug(t) − 0.3567D1(t) + 1.3566D2(t)

13.39 (a) u1 = 1.43 pulg, u2 = 2.96 pulg
(b) Columna del primer piso: Msuperior = 240, Mbase = 483 kip-pie
Viga del segundo piso: Mizquierda = Mderecha = 232 kip-pie

13.40 u1 = 0.680 pulg, u2 = 0.962 pulg
Vb = 115.22 kips, V2 = 48.24 kips,
Mb = 1955.43 kip-pie, M1 = 578.87 kip-pie

13.41 (a) u1 = 1.340 pulg, u2 = 3.152 pulg, u3 = 4.233 pulg
(b) Columna del primer piso: Msuperior = 336, Mbase = 821 kip-pie
Viga del segundo piso: Mizquierda = Mderecha = 590 kip-pie

13.47 u1 = 1.207 pulg, u2 = 2.484 pulg, Mb = 188.2 kip-pulg
13.50 (a) u1 = 1.57 pulg, u2 = 3.01 pulg, u3 = 3.01 pulg

(b) Mb = 21.25 kip-pie, Ma = 7.38 kip-pie

13.54 u3 (pulg) Va (kips) Vb (kips)

RCSC 165.0 3.158 144.3
CCC 77.27 1.465 182.3

13.58 ux (pulg) u y (pulg) (b/ 2)uθ (pulg) Vx (kips) Vy (kips) T (kip-pulg)
2331.4
CCC 6.286 6.309 1.662 56.6 52.4 2357.8
RCSC 6.286 6.306 1.678 56.6 52.3

Momentos flexionantes (kip-pulg):

May Max Mby Mbx Mcy Mcx Mdy Mdx

CCC 1108 1055 554.0 845.5 824.2 845.5 1648 1055
RCSC 1405 1050 702.7 847.1 702.7 847.1 1405 1050

Apéndice C Respuestas a problemas seleccionados 929

13.59
Desplazamiento Regla RCSC (pulg) Regla CCC (pulg)

ux 0.724 0.767

uy 0.470 0.544

uz 0.421 0.195

Respuesta Regla RCSC (kip-pulg) Regla CCC (kip-pulg)

Mx 8.66 9.42

My 18.52 15.92

T 19.50 21.55

13.63 Mα = 11.21 kip-pulg (regla RCSC) y 13.52 kip-pulg (regla CCC).
13.67 (a) Mα = ( A sen2 α + B sen α cos α + C cos2 α)1/ 2

donde A = 343.1, B = −37.70, C = 75.00, todo en kip-pulg (regla RCSC);
A = 253.6, B = 122.3, C = 88.75 (regla CCC )
(b) Valor máximo de Mα = 18.56 kip-pulg para llegar a α = 86.0o (regla RCSC);
Mα = 16.55 kip-pulg en α = 71.7o (regla CCC).

Capítulo 14

14.2 ω1 = 0.7709 k ω2 = 1.8346 k
m m

ψ1 = 0.7132 − 0.0775 i ψ2 = −0.6732 − 0.1806 i
1.0000 1.0000

ζ1 = 0.1316 ζ2 = 0.0537
14.4 u(t ) = e−0.1316 ω1t
−0.1324 cos ω1Dt − 0.3046 sen ω1Dt
−0.2294 0.4022

+ e−0.0537 ω2t −0.8676 cos ω2Dt + 0.0731 sen ω2Dt
1.2294 0.2212

14.6 u(t) = 0.8681 h1(t) + −0.0714 m h1 (t) + 0.1315 h2 (t)
1.2287 0.0736 k −0.2283

+ 0.0714 m h2 (t)
−0.0736 k

Donde hn (t) y hn (t) están dadas por las ecuaciones (14.8.4) y (14.8.5).

14.8 u(t) = 0.8681 D1(t) + −0.0714 m D1 (t) + 0.1315 D2 (t)
1.2287 0.0736 k −0.2283

+ 0.0714 m D2 (t)
−0.0736 k

930 Respuestas a problemas seleccionados Apéndice C

14.9 ω1 = 0.7743 k ω2 = 1.8265 k
m m

ζ1 = 0.2553 ζ2 = 1.0415

ψ1 = 0.7611 + 0.0873 i ψ2 = −0.4568 ψ3 = −0.5421
1.0000 1.0000 1.0000

14.10 u(t) = u1(t) + u2(t)

u1(t ) = e−0.2553 ω1t 1.1901 cos ω1Dt + 0.3454 sen ω1 D t
1.4919 0.6250

u2(t ) = e−1.0415 ω2t −0.1901 cosh ω2Dt − 0.7240 senh ω2Dt
0.5081 −1.4928

14.12 u(t) = 0.9178 D1(t) + 0.0544 m D1 (t ) + −0.1034 D2 (t )
1.1607 −0.1097 k 0.2133

+ −0.0544 m D2 (t)
0.1097 k

Donde Dn(t) y Dn(t) se definen en las ecuaciones (14.9.3) y (14.9.4).

Capítulo 15

15.3 ω∼ 1 = 8.389, ω∼ 2 = 23.59 rad/sec
φ∼ 1 = 0.2319 0.4639 0.6311 0.7983 0.9332 T
φ∼ 2 = −0.4366 − 0.8732 − 0.3396 0.1940 1.2126 T

15.4 ω∼ 1 = 8.263, ω∼ 2 = 23.428 rad/sec
φ∼ 1 = 0.2319 0.4449 0.6753 0.8249 0.9038 T
φ∼ 2 = −0.4366 − 0.4200 − 0.1042 0.2095 0.4108 T

15.9 Valores máximos de los desplazamientos usando:
Dos vectores Ritz: 0.0548, 0.213, 0.460, 0.648, 0.757 pulg.
Dos modos: 0.0823, 0.205, 0.430, 0.646, 0.799 pulg.
Cinco modos: 0.0599, 0.202, 0.447, 0.6513, 0.778 pulg.

Capítulo 16

16.1–16.4 Compare los resultados numéricos contra la solución teórica.
16.5 Compare los resultados numéricos contra la tabla E16.1.
16.6 Compare los resultados numéricos contra la tabla E16.1 y la solución teórica.
16.7 Compare los resultados numéricos contra la tabla E16.2.

Apéndice C Respuestas a problemas seleccionados 931

16.8 Compare los resultados numéricos contra la tabla E16.2.
16.10 Compare los resultados numéricos contra la tabla E16.3.
16.11 Compare los resultados numéricos contra la tabla E16.4.

Capítulo 17

17.2 ωn = αn E I / m L4; α1 = 15.42, α2 = 49.97 y α3 = 104.2

17.4 u L = −2πW4 ELI3 cos ω1t + cos ω3t + cos ω5t + cos ω7t
,t 81 625 2401

2

17.6 u L 8pL4 1 − cos ω2t − 1 − cos ω6t + 1 − cos ω10t
,t = π5EI 32 7776 100,000

4

17.7 u(L/ 2, t) = q1(t) − q3(t) + q5(t) − q7(t) − q9(t)

donde qn(t) está dada por (válido si ωn = nπv/ L)

qn (t ) = 2 po 1 1 − ωn2 ωn2 L)2 cos nπv t + (nπv/ L)2 cos ωn t
nπm ωn2 − (nπv/ L ωn2 − (nπv/ L)2

t ≤ L/v

qn (t ) = 2 po 1 2− 1 + ωn2 ωn2 L)2 (−1)n cos ωn(t − td )
nπm ωn2 − (nπv/

+ (nπv/ L)2 cos ωn t t ≥ L/v
ωn2 − (nπv/ L)2

17.11 uo(L) = 7.410 pulg, 0bo = 1365 kips, 'bo = 186,503 kip-pie

Capítulo 18

18.2 ω∼ 1 = 11.765 EI , ω∼ 2 = 130.467 EI
L2 mo L2 mo

φ∼ 1(x) = 1.0 sen (πx/L) − 0.0036 sen(3πx/L)
φ∼ 2(x) = 0.2790 sen(πx/L) + 0.9603 sen(3πx/L)

18.3 (a) ωn = αn EI/ mL4; α1 = 9.9086, α2 = 43.818, α3 = 110.14, α4 = 200.80
(b) ω1 = 9.798 EI/ mL4

18.5 (a) ωn = αn EI/ mL4; α1 = 15.56, α2 = 58.41, α3 = 155.64
(b) ω1 = 14.81 EI/ mL4

932 Respuestas a problemas seleccionados Apéndice C

18.6 (a) ωn = αn EI/mh4; α1 = 1.5354, α2 = 4.0365, α3 = 10.7471
φ 1 = 0.5440 − 0.5933/h − 0.5933/h T
φ 2 = 0 − 1/ 2h 1/ 2h T
φ 3 = − 0.0001 1/ 2h 1/ 2h T

18.7 ω1 = 1.477 EI/mh4
φ = 0.544 − 0.594/h − 0.594/h T

Índice

Absorbedor de vibración, 470 Amortiguamiento, 7, 355
Acelerógrafo de movimiento fuerte, 198 clásico, 424
Aeropuerto de San Francisco, 820 crítico, 48
Aislamiento de la base de Caughey, 459
de Coulomb, 57
aplicaciones, 828 de histéresis (vea Amortiguamiento
efectividad de independiente de la tasa)
de Rayleigh, 455, 464
la dependencia del espectro de diseño estructural (vea Amortiguamiento independiente
sísmico, 819 de la tasa)
fricción de Coulomb, 57
la dependencia del periodo natural de una independiente de la tasa, 105
estructura con base fija, 819 no clásico, 424
numérico, 182, 683
efectos de sólido (vea Amortiguamiento independiente de
edificios de un solo nivel, 814 la tasa)
edificios de varios niveles, 823 viscoso, 13, 355
viscoso equivalente, 13, 103
Aislamiento de la vibración sistemas con amortiguamiento independiente
excitación de la fuerza aplicada, 90 de la tasa, 107
excitación del movimiento del terreno, 91 sistemas con fricción de Coulomb, 112

Altura modal efectiva Amplitud de movimiento
edificios con planta vibración
asimétrica, 543 armónica forzada, 76
simétrica, 530 libre, 40
sistemas de masa distribuida, 720
Análisis
Amortiguador de masa sintonizada (vea Absorbedor estático (o paso a paso) no lineal
de vibración) análisis paso a paso modal, 877
directrices de evaluación de los edificios, 798
Amortiguadores métodos numéricos, 684
de cedencia metálicos, 287 modal, 472-478
de fricción, 287 expansión modal de los desplazamientos, 472
suplementarios, 284
de fricción, 287 933
metálico de cedencia, 287
refuerzo de pandeo restringido, 287
viscoelástico, 284
viscoso de fluido, 284

934 Índice

respuesta total, 476 fuerzas estáticas equivalentes, 718
respuestas modales, 476 respuesta estática modal, 719
resumen, 477 sistema de 1GDL, n-ésimo modo, 718
sísmico de los sistemas con masa distribuida Análisis modal para p(t) = sp(t), 486-487
análisis de la historia de la respuesta (AHR), contribuciones a la respuesta modal, 489
factor de contribución modal, 487, 489
716-720 factor de participación modal, 486
análisis del espectro de respuesta (AER), número de modos requeridos, 489
dependencia de la cantidad de respuesta, 490-
721-724
sísmico de los sistemas lineales, métodos para el 492
dependencia de la distribución de la fuerza, 491
análisis de la historia de la respuesta (AHR), dependencia de los factores de contribución
514-562
modal, 491
análisis del espectro de respuesta (AER), dependencia de los factores de respuesta
562-587
dinámica, 492
Análisis del espectro de respuesta de las estructuras, respuesta estática modal, 487
562-587, 761, 813, 823 sistema de 1GDL, n-ésimo modo, 486
Análisis modal paso a paso, 797
comparación con el análisis de la historia de la análisis estático (o paso a paso) no lineal, 798
respuesta, 575, 579 análisis modal paso a paso simplificado para su

envolvente de la respuesta (vea Respuestas aplicación práctica, 807
simultáneas a la excitación sísmica) evaluación (de precisión), 802-807

evasión de obstáculos, 576 contribuciones del modo más alto, 804
interpretación del, 566 resumen, 799
reglas de combinación con varios componentes sistema inelástico de 1GDL, n-ésimo modo, 794
sistemas elástico lineales, 797-798
regla CCC3, 596
regla porcentual, 599 equivalencia con el análisis del espectro de
regla RCSC, 599 respuesta, 798
reglas de combinación modal, 563-564
errores en, 566 sistemas inelásticos, 798-801
regla de la combinación cuadrática completa Ancho de banda de media potencia, 83
Ángulo de fase, 69, 76
(CCC), 563
regla de la raíz cuadrada de la suma de los Biblioteca Millikan
Pasadena, California, 447, 561
cuadrados (RCSC), 563 Sismo de Lytle Creek, 452
regla de la suma absoluta (ABSSUM), 563 Sismo de San Fernando, 450
respuesta total máxima, 563 propiedades de vibración de la dependencia a la
respuestas modales máximas, 562 amplitud, 450
sistemas con amortiguamiento no clásico, 646 fracciones de amortiguamiento, 449
Análisis modal de la respuesta sísmica de sistemas periodos de vibración natural, 449
propiedades de vibración de los movimientos
con masa concentrada registrados durante pruebas de vibración
ecuaciones modales, 515 armónica forzada, 449
expansión modal de los desplazamientos y las sismo de Lytle Creek, 449
sismo de San Fernando, 449
fuerzas, 514
respuesta total, 516 Cantidad de movimiento, 127
respuestas modales Cantidades de energía para los sistemas de

fuerzas estáticas equivalentes, 516 elastoplásticos
respuestas estáticas modales, 516 energía cinética, 282
sistema de 1GDL, n-ésimo modo, 515
Análisis modal de los sistemas de masa distribuida de deformación, 282
ecuaciones modales, 709, 717
expansión modal de las fuerzas sísmicas

efectivas, 717
respuesta forzada, 709
respuestas modales, 710, 718-719

Índice 935

disipada por amortiguamiento viscoso, 282 851
disipada por cedencia, 282 momentos de volteo, 851
sísmica de entrada, 282 periodo de vibración fundamental, 846
Capacidad de amortiguamiento específico, 102 reducción de la fuerza de diseño, 848
Ciclo de histéresis, 14, 101 Eurocódigo 8, 843-845
Citicorp Center, Nueva York, 472 Coeficiente
Cociente de Rayleigh de cortante basal, 210
en el método de Rayleigh-Ritz, 730 de fuerza lateral, 210
límites, 430 de influencia
para sistemas de masa de la masa, 357
concentrada, 332, 661 influencia de la rigidez, 354
distribuida, 331 de rigidez
propiedades, 332 elemento de flexión uniforme, 11, 33
Código de México del Distrito Federal, 841-843 Cojinetes
coeficiente sísmico, 830 amortiguamiento adicional en
cortante basal, 841 amortiguadores hidráulicos, 810
espectro de diseño, 842 bobinas de acero, 810
factor de tapones de plomo, 810
comportamiento sísmico, 830 de caucho, 92
reducción del momento de volteo, 831 laminados, 810
reducción sísmica, 830 Componente
fuerzas laterales, 843 de amortiguamiento de un sistema, 7, 15, 352
Código Internacional de Construcción, 836-838 de masa del sistema, 7, 15, 352
clase de sitio, 836 de rigidez de un sistema, 7, 15, 352
coeficiente Condiciones de estacionalidad de Rayleigh, 430,
sísmico, 836
sísmico elástico, 836 661, 730
cortante basal, 836 Conservación de la energía, 56-57
espectro de diseño, 837
factor de importancia, 836 principio de, 329
fuerzas Convolución integral, 129
laterales, 838 Coordenada generalizada (vea Desplazamiento
por nivel, 838
Código Nacional de Construcción de Canadá, 839- generalizado)
Coordenadas
841
coeficiente sísmico, 839 modales, 420
cortante basal, 839 Cuerpos rígidos, fuerzas de inercia para, 337
espectro de diseño, 839 Curva de frecuencia-respuesta
factor
evaluación experimental, 88
de importancia sísmica, 839 solución analítica, 76
de modificación de la fuerza, 840
de reducción del momento de volteo, 841 Decremento logarítmico, 52
del modo más alto, 839 Deformación del aislador, 816
fuerzas Desplazamiento generalizado, 306
laterales, 840 Desplazamientos virtuales, principio de los, 311,
por nivel, 841
Códigos de construcción 324, 733
dinámica estructural en, 846-852 Diafragmas
coeficiente sísmico, 846
distribución de la fuerza lateral, 850 de cuerpo libre, 14, 20-21, 350
factor de reducción del momento de volteo, de piso

flexibles, 358
rígidos, 358, 375
Directrices y normas de evaluación de las

construcciones
ASCE 41-06, 874

936 Índice

ATC-40, 868 coordenadas modal, 473, 475, 739
FEMA 356, 874 fracciones de amortiguamiento modal, 476
Discretización generalizadas
elementos, 353
grados de libertad, 353 amortiguamiento, 476
nodos, 353 fuerza, 473, 710
puntos nodales, 353 masa, 473, 710
Dispositivos para la disipación de energía, 284 rigidez, 473, 710
amortiguadores sistemas
amortiguados, 475
de cedencia metálicos, 287 no amortiguados, 473, 709
de fricción, 287 Edificio
viscoelásticos, 284 cortante, 322, 347
viscosos de fluido, 284 ecuaciones de movimiento para, 348
refuerzos con pandeo restringido, 287 idealización, 347
del reactor nuclear de una central eléctrica, 749
Ecuación Edificios
de frecuencia, 407, 429 con base aislada
aproximación de una estructura rígida para
Ecuación de movimiento
edificios con planta asimétrica, 377-386 el análisis de edificios con varios niveles,
sistema asimétrico con un nivel de dos 828
sentidos, 377 de un solo nivel, 822
sistema asimétrico con un nivel de un solo de varios niveles, 822
sentido, 381 sistemas de un solo nivel, 818
sistema asimétrico con varios niveles de un con primer piso débil, 782
solo sentido, 386 con primer piso suave, 781
edificios con planta simétrica concentración de la cedencia en el primer
excitación torsional, 384 piso, 782
movimiento traslacional del terreno, 375 existentes
excitación en varios soportes, 387 con valor histórico o arquitectónico, 829
métodos de solución, descripción concentración de la cedencia en el primer
análisis modal, 393 piso, 783
solución directa, 393 fortalecimiento sísmico, 829
sistema simétrico de un nivel, 382 modernización de, 829
sistemas respuesta sísmica
de 1GDL sometidos a fuerzas externas, 14 influencia de la relación de rigidez viga-
de 1GDL sometidos a una excitación sísmica, columna, 762
23 influencia del periodo fundamental, 762
de masa distribuida, 698-700 Edificios con planta asimétrica
de VGL sometidos a fuerzas externas, 359- altura modal efectiva, 544
369 análisis
planos: movimiento rotacional del terreno, de la historia de la respuesta, 540
376 del espectro de respuesta, 579-587
planos: movimiento traslacional del terreno, ecuaciones de movimiento, 375-386
372-375 edificios con planta arbitraria, 546
términos de acoplamiento, 359 expansión modal de las fuerzas sísmicas, 540
fuerzas laterales estáticas equivalentes, 580
Ecuaciones de vibración libre para sistemas de masa modal efectiva, 544
VGL, solución de sistemas movimiento acoplado lateral-torsional, 377, 381,
384, 419
con amortiguamiento clásico, 425 pares de torsión estáticos equivalentes, 580
con amortiguamiento no clásico, 623, 639 respuestas estáticas modales, 580
no amortiguados, 421
Ecuaciones modales

Índice 937

respuestas modales desacoplada, 790
fuerzas laterales estáticas equivalentes, 543 análisis paso a paso modal, 797
pares de torsión estáticos equivalentes, 543 sistema de 1GDL correspondiente, 787
Efectos del amortiguamiento viscoso
Edificios con planta simétrica en la respuesta sísmica, 226, 280
altura modal efectiva, 530 en la vibración libre, 50-51
análisis respuesta
de la historia de la respuesta, 520-524 a la excitación armónica, 76-79
del espectro de respuesta, 567-579 a la fuerza de pulso, 154
ecuaciones de movimiento Elementos no estructurales, 561
sistemas inelásticos, 392 Energía
sistemas lineales, 375, 385 cinética, 56, 100, 329-331
expansión modal de fuerzas sísmicas, 521 valor máximo de, 330-331
marco cortante de cinco niveles, 531, 571 de deformación, 56, 100, 329-331
marco de cuatro niveles con un apéndice, 536, de entrada, 56, 99
577 disipada
masa modal efectiva, 528 en el amortiguamiento independiente de la
respuestas modales, 522
fuerzas estáticas equivalentes, 522 tasa, 106
respuestas estáticas modales, 522-523 en el amortiguamiento viscoso, 57, 99
respuestas modales máximas, 567 en la fricción de Coulomb, 110
fuerzas estáticas equivalentes, 567 potencial, 56, 100, 329-331
respuestas estáticas modales, 567 valor máximo de la, 330-331
torsión Equilibrio dinámico, 15, 350, 357
accidental, 551, 555 Espectro
registrada, 555 de diseño sísmico
como envolvente de dos espectros de diseño,
Edificios inelásticos de varios niveles, 776
análisis de la historia de la respuesta modal 240
desacoplada, 790 distinción con respecto al espectro de
aproximación del desacoplamiento modal,
793 respuesta, 240
sistemas elástico lineales, 790 de diseño sísmico: elástico, 228, 761, 810
sistemas inelásticos, 792
análisis de la historia de la respuesta no lineal, comparación con el espectro de respuesta, 236
776 comparación con los espectros del código de
factores a considerar, 777-781
efectos P-Δ, 777 construcción, 848
supuestos del modelo, 779 construcción del, 232
variación estadística, 780 del percentil 50, 231
demanda de ductilidad del percentil 84.1, 231
variación con el periodo fundamental, 787 factores de amplificación, 231
variación con la altura de, 783 mediano, 230
demandas de flujo por nivel, 781 medio más una desviación estándar, 230
influencia del comportamiento inelástico, de diseño sísmico: inelástico, 289
784 comparación con el espectro de respuesta,
influencia del mecanismo de articulación
plástica, 781 302
edificios SAC, 777 construcción del, 289
factor de modificación de la resistencia a la diseño estructural basado en el
cedencia cortante, 788
procedimientos de análisis aproximado, 788 desplazamiento, 299
análisis de la historia de la respuesta modal diseño estructural para la ductilidad

permisible, 296
evaluación de una estructura existente, 298
factor de reducción de la resistencia a la

cedencia, 290
relaciones entre las deformaciones máximas

938 Índice

de los sistemas elastoplásticos y lineales, del código de construcción, 852-860
295 base cortante, 852
relaciones entre las resistencias a la cedencia cortantes por nivel, 852
de los sistemas elásticos y elastoplásticos, factor de reducción del momento de volteo,
295 859
resistencia normalizada, 289 fuerzas estáticas equivalentes, 856
de impacto momentos de volteo, 858
pulso rectangular, 141 respuesta del modo más alto, 852, 858-859
pulso sinusoidal de medio ciclo, 148
pulso triangular simétrico, 150 numérica de la respuesta
de respuesta sísmica para los sistemas sistemas lineales, 167-183
elastoplásticos sistemas lineales con amortiguamiento no
construcción del, 276 clásico, 675
deformación de cedencia, 274 sistemas no lineales, 184-194, 677-691
efectos relativos de la cedencia y el
amortiguamiento, 280 Excitación
pseudo-aceleración, 274 de soporte (vea Excitación sísmica)
pseudo-velocidad, 274 periódica, 113, 887-880
resistencia a la cedencia y deformación a respuesta de estado estacionario, 114, 756
partir del, 278 sísmica, 197
de respuesta para una fuerza por pasos con matriz de influencia, 388
tiempo de elevación finito, 134 vector de influencia, 374, 388
Espectro de respuesta sísmica para sistemas lineales
aceleración, 208 Excitación de varios soportes
comparación con la pseudo-aceleración, 243 análisis de la respuesta, 555-557
cálculo de la respuesta estructural máxima, 217 desplazamientos cuasi-estáticos, 556
características, 222 desplazamientos dinámicos, 556
en periodos cortos, 222 ecuaciones modales, 556
en periodos largos, 223 fuerzas cuasi-estáticas en los soportes, 557
construcción del, 215 fuerzas estáticas equivalentes, 556
deformación, 208, 215 sistema de 1GDL, n-ésimo modo, 556
deformación de pseudo-velocidad y de pseudo- ecuaciones de movimiento, 386
aceleración combinadas, 212
distribución de probabilidad, 230 Expansión modal
efecto del amortiguamiento, 227 de los desplazamientos, 418, 472, 514, 709
media, 230 del vector de excitación, 482, 514
más una desviación estándar, 230
pseudo-aceleración, 210 Factor
pseudo-velocidad, 209 de amortiguamiento específico, 102
velocidad relativa, 208 de pérdida, 102
comparación con pseudo-velocidad, 242 de respuesta de la aceleración, 80
Eurocódigo 8, 844-846 de respuesta de la deformación
coeficiente sísmico, 844 fuerza armónica, 69, 80
cortante basal, 844 pulso rectangular, 141
espectro de diseño, 845 pulso sinusoidal de medio ciclo, 147
factor respuesta de la velocidad, 76, 80
de reducción del momento de volteo, 846
de reducción sísmica, 844 Factores de contribución modal, 487, 763, 771
de sobrerresistencia, 844 cortante
fuerzas laterales, 845 basal, 764
Evaluación en el piso superior, 764
dependencia
de la cantidad de respuesta, 492
de la distribución de la fuerza, 491
desplazamiento en el piso superior, 765
influencia de la relación de rigidez viga-

Índice 939

columna, 764 391, 477
momento de volteo en la base, 765 Fuerzas sísmicas efectivas
Falla de San Andrés, 830
First Federal Savings, Pomona, California, 552 edificios con planta asimétrica, 385
Fracción(es) de amortiguamiento, 48 excitación en varios soportes, 387
modal, 423, 476 sistemas de 1GDL, 24
sistemas de VGL planos o de planta simétrica
estimación de, 452
recomendadas, 454 movimiento rotacional del terreno, 376
Frecuencia movimiento traslacional del terreno, 372, 375
natural de un sistema de 1GDL sistemas de masa distribuida, 700
Función
vibración amortiguada, 50 de forma, 307, 311
vibración no amortiguada, 41 de respuesta al impulso unitario, 127
natural de un sistema de VGL de respuesta-frecuencia compleja, 30, 884-886,
vibración amortiguada, 427
vibración no amortiguada, 405-420 895
resonante delta de Dirac, 126
de la aceleración, 82 Generador de vibraciones, 85
de la velocidad, 82
del desplazamiento, 82 Histéresis
Frecuencia de vibración natural dinámica, 102
a partir del análisis del sistema generalizado de estática, 102, 105

1GDL, 313, 325 Hospital Olive View, Sylmar, California, 783
por el método de Rayleigh
Idealización de masa concentrada, 357
sistemas de masa concentrada, 331 para edificios de varios niveles
sistemas de masa distribuida, 330 diafragma de piso, flexible, 358
Frecuencias y modos de vibración natural, cálculo diafragma de piso, rígido, 358

de (vea Problema de valor propio, Idealización estructural, calidad de la, 561
métodos de solución) Identificación del sistema, 452
Fuerza Impulso unitario, 126
armónica, 66 Instrumentos para medir las vibraciones, 95
ascendente, 131 Integral de Duhamel, 29, 129-132, 136
de pulso Interacción terreno-estructura, 463
análisis aproximado para pulsos cortos, 151 Interpretación del análisis modal, 487, 517
efectos de la forma del pulso, 151 Iteración de Newton-Raphson, 184, 684
efectos del amortiguamiento viscoso, 154
rectangular, 137 criterio de convergencia, 185, 685
sinusoidal de medio ciclo, 143
triangular simétrico, 148 Lista de resonancia, 87
estática equivalente Longitud tributaria, 3
sistemas de 1GDL, 27, 153, 206
sistemas de VGL, 392, 477, 522, 542, 567, Máquina agitadora (vea Generador de vibraciones)
580 Marcos reforzados, 16
sistemas generalizados de 1GDL, 314, 326 Masa modal efectiva
impulsiva, 126
que varía arbitrariamente con el tiempo, 127 edificios con planta
por pasos, 129 asimétrica, 543
con tiempo de elevación finito, 132 simétrica, 528
Fuerzas en los elementos
calculadas a partir de las fuerzas estáticas sistemas de masa distribuida, 720
equivalentes, 27, 391, 477 Matriz de amortiguamiento
calculadas a partir de los desplazamientos, 27,
a partir de las fracciones de amortiguamiento
modal

amortiguamiento clásico, 455
amortiguamiento no clásico, 463

940 Índice

amortiguamiento 30, 892-903
de Caughey, 459 cálculo de la respuesta, 895
de Rayleigh, 455 errores posibles, 897
frecuencia de Nyquist, 895
cálculo de estructuras con dispositivos para la frecuencia de plegado, 895
disipación de energía, 464 función compleja de frecuencia-respuesta,

cuando es necesaria, 454 895
definición, 356 representación de las series de Fourier, 894
proporcional sistemas de varios grados de libertad, 903
solución TDF mejorada, 901
a la masa, 455 transformada rápida de Fourier, 896
a la rigidez, 455 respuesta a la excitación arbitraria, 890-891
Matriz de masa integral de Fourier, 890
diagonal, 358 transformada de Fourier, 891
general, 357 transformada directa de Fourier, 891
Matriz de rigidez transformada inversa de Fourier, 891
cálculo de la respuesta a la excitación periódica, 887-890
método directo de la rigidez, 355, 379 respuesta de estado estacionario, 888
método directo del equilibrio, 355, 378 serie compleja de Fourier, 887
condensada, 370 Método de Rayleigh-Ritz para los sistemas
edificio cortante de dos niveles, 349
lateral, 376 discretizados, 659-662, 678
Mecanismos para la disipación de energía, 12, 455 coordenadas generalizadas, 660
Método ortogonalidad de los modos aproximados, 662
de la aceleración transformación de Ritz, 660
lineal, 174, 677 vectores de Ritz, 660
media, 174, 677, 690
de la condensación estática, 11, 369, 659 dependientes de la fuerza, 665
de la corrección estática, 496, 511, 669 masa ortonormal, 666
de la diferencia central, 171, 183, 612 Método del elemento finito, 359, 735-752
de la transformada discreta de Fourier, 30, 892- comparación con la solución exacta, 747
elementos finitos, 745
903 bidimensionales, 748
de Newmark, 174, 183, 676 tridimensionales, 748
de Rayleigh, 329, 661, 846 funciones
de interpolación, 737, 740
para sistemas de masa concentrada, 331 de prueba, 735
para sistemas de masa distribuida, 330 grados de libertad del elemento, 737
de Rayleigh-Ritz para los sistemas de masa matriz de masa del elemento, 738
masa concentrada, 742
distribuida, 729-735 masa consistente, 742
desventajas, 735 matriz de rigidez del elemento, 738, 740
formulación utilizando el trabajo virtual, 733 nodos, 737
formulación utilizando la conservación de la procedimiento de ensamble directo, 738
puntos nodales, 737
energía, 729 vector de fuerza (aplicada) en los elementos, 738
funciones de forma, 730 formulación consistente, 743
funciones de Ritz, 730 formulación más simple, 743
de superposición Métodos
de la aceleración modal, 499 explícitos, 172, 674
del desplazamiento modal (vea Análisis modal) implícitos, 176, 674
Método de frecuencia-dominio, 30 numéricos de tiempo por pasos
función compleja de frecuencia-respuesta, 884- basados en la interpolación de la excitación,

886, 895
relación con la respuesta al impulso unitario,

891
métodos de la transformada discreta de Fourier,