เล่มที่ 2

แบบฝกึ ทักษะ เรื่อง อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ

วชิ าคณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน รหัสวชิ า ค31102

ตรงตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2551

ระดบั ชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 4

2เลม่ ท่ี อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ
ของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

B
AC

นางภคั จิรา กติ ติสริ บิ ณั ฑิต

วิทยฐานะ ครูชานาญการ
โรงเรียนวัชรวิทยา จงั หวัดกาแพงเพชร
สานักงานเขตพ้ืนทก่ี ารศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 41
สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้นื ฐาน

กระทรวงศึกษาธกิ าร

แบบฝกึ ทักษะ เรือ่ ง อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ จานวน 8 เล่ม

นางภัคจริ า กติ ติสิรบิ ณั ฑิต
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรยี นวชั รวิทยา จังหวดั กาแพงเพชร
e-mail : [email protected]

เลม ที่ 2 อัตราสวนตรีโกณมติ ิของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก ก

คาํ นํา

แบบฝกทกั ษะ เร่ือง อตั ราสว นตรีโกณมิติ วิชาคณิตศาสตรพื้นฐาน รหสั วชิ า ค31102
ระดับชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 โรงเรียนวัชรวิทยา จังหวัดกาํ แพงเพชร สํานกั งานเขตพืน้ ทกี่ ารศึกษา
มัธยมศกึ ษา เขต 41 จัดทาํ ข้ึนเพอ่ื ใชในการเรยี นการสอนวิชาคณติ ศาสตรพืน้ ฐาน มงุ เนนใหผ ูเรียน
มคี วามรู มีทักษะกระบวนการทางคณติ ศาสตร สามารถแกโจทยปญหาไดอ ยางถูกตอ ง พัฒนา
ทกั ษะ กระบวนการคดิ คดิ อยา งมีเหตุผลเชื่อมโยงความรไู ดอยางสรางสรรค ซ่งึ เปนพ้ืนฐาน
การคาํ นวณ และมีทักษะกระบวนการคดิ ในระดับช้ันท่ีสงู ข้ึนไป แบบฝกทักษะ เร่ือง อตั ราสวน
ตรโี กณมิติ วชิ าคณิตศาสตรพ้ืนฐาน รหัสวชิ า ค 31102 ระดับชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 นี้มที ้งั หมด
8 เลม ไดแก

เลม ที่ 1 เรือ่ ง ความรูพื้นฐานเกย่ี วกับความคลายและทฤษฎบี ทปทาโกรสั
เลมที่ 2 เรอ่ื ง อัตราสวนตรีโกณมิติของรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก
เลมที่ 3 เร่ือง อตั ราสวนตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60
เลม ท่ี 4 เร่ือง อัตราสวนกลับของอตั ราสวนตรีโกณมิติ
เลม ที่ 5 เร่ือง การหาคาอัตราสว นตรโี กณมิตขิ องมมุ 0  90 จากตาราง
เลม ท่ี 6 เรื่อง ความสัมพนั ธระหวา งอัตราสว นตรีโกณมติ ิ
เลม ที่ 7 เรื่อง การประยุกตของอตั ราสวนตรโี กณมิติเพื่อแกปญหาสามเหลีย่ ม
เลมท่ี 8 เรอ่ื ง การนาํ อตั ราสวนตรีโกณมิตไิ ปประยกุ ตใช

สําหรบั แบบฝกทกั ษะ เลม ที่ 2 เร่อื ง อัตราสวนตรโี กณมิติของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก
ประกอบดวย คาํ แนะนาํ ในการใชแบบฝกทกั ษะ ใบความรู แบบฝกทกั ษะ แบบทดสอบกอนเรียน
และแบบทดสอบหลงั เรียน เฉลยแบบฝกทักษะ และเฉลยแบบทดสอบกอนเรียนและแบบทดสอบ
หลังเรียน ใชเวลาทง้ั หมด 2 ช่วั โมง

หวังวา แบบฝก ทกั ษะ เร่ือง อัตราสว นตรโี กณมติ ิ วชิ าคณติ ศาสตรพ น้ื ฐาน
รหสั วิชา ค31102 ระดบั ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 จะเปนประโยชนกบั ครูผสู อนวชิ าคณติ ศาสตร
ในการนําไปใชเ ปน แบบฝกทักษะในการเรยี นทงั้ ในหองเรียนและนอกหอ งเรียนใหก บั นักเรียนตอ ไป
และมสี วนชวยใหน ักเรยี นไดเกดิ การเรยี นรูอยางเปนระบบ เหมาะสมกบั ครูที่จะนาํ ไปจัดการเรียน
การสอนและสอนซอมเสรมิ ไดเ ปนอยางดี เพอื่ ยกระดับคณุ ภาพการศึกษาใหม ีประสิทธิภาพยง่ิ ขึ้น

ภัคจิรา กติ ตสิ ิรบิ ณั ฑติ

เลมท่ี 2 อัตราสว นตรโี กณมติ ขิ องรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ข

สารบัญ หนา

เรอ่ื ง ก
ข
คํานาํ ง
สารบัญ จ
คาํ ช้แี จงการใชแบบฝกทักษะสําหรบั ครู ฉ
คําช้ีแจงการใชแ บบฝกทักษะสําหรับนกั เรียน ช
เกณฑการใหคะแนนแบบฝก ทกั ษะ 1
มาตรฐานการเรยี นรู ตวั ชีว้ ดั และจุดประสงคก ารเรียนรู 5
แบบทดสอบกอนเรียน 7
ใบความรูที่ 2.1 8
แบบฝก ทักษะที่ 2.1.1 9
ใบความรทู ่ี 2.2 10
แบบฝก ทักษะที่ 2.2.1 11
ใบความรทู ่ี 2.3 12
แบบฝก ทักษะท่ี 2.3.1 13
ใบความรูท่ี 2.4 14
แบบฝก ทักษะท่ี 2.4.1 19
ใบความรทู ่ี 2.5 22
แบบฝกทักษะที่ 2.5.1 24
แบบฝก ทกั ษะที่ 2.5.2 27
แบบฝก ทกั ษะท่ี 2.5.3 28
แบบฝก ทกั ษะที่ 2.5.4 29
แบบฝกทกั ษะที่ 2.5.5 33
แบบทดสอบหลังเรยี น 34
แบบบันทึกคะแนน 35
บรรณานุกรม 36
ภาคผนวก 36
36
เฉลยแบบทดสอบกอนเรียน 37
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 2.1.1 37
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 2.2.1 38
เฉลยแบบฝกทักษะท่ี 2.3.1
เฉลยแบบฝกทักษะที่ 2.4.1
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 2.5.1

เลม ที่ 2 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ค

สารบัญ (ตอ ) หนา

เรอื่ ง 39
40
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 2.5.2 41
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 2.5.3 43
เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 2.5.4 44
เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 2.5.5
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี น

เลมท่ี 2 อตั ราสวนตรีโกณมติ ิของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ง

คาํ ช้ีแจงการใชแ บบฝก ทกั ษะสําหรับครู

1. ครเู ตรียมแบบฝก ทักษะ เรื่อง อตั ราสว นตรีโกณมิติ สําหรบั นกั เรียนช้ันมัธยมศกึ ษา
ปท่ี 4 ใหครบตามจาํ นวนนักเรียน

2. ศึกษาคมู อื ครูการใชแบบฝกทักษะคณิตศาสตรใ หเ ขา ใจ
3. ชีแ้ จงขัน้ ตอนการเรยี นโดยใชแบบฝกทกั ษะคณติ ศาสตรน้ีใหน กั เรยี นเขา ใจ
4. ใหนกั เรียนทาํ แบบทดสอบกอนเรียน กอนศึกษาเนื้อหาจากใบความรู ทาํ แบบฝกทักษะ

และตรวจคาํ ตอบตามเฉลยในภาคผนวกทลี ะแบบฝกทักษะ
5. ดแู ลนักเรียนใหป ฏิบัติตามข้ันตอนและใหคําแนะนาํ เม่ือนกั เรยี นพบปญหา
6. ประเมนิ ผลการเรยี นของนกั เรียนอยา งตอ เน่ืองและใหแ รงเสรมิ ในการปฏบิ ัติกจิ กรรม

ของนกั เรยี น
7. ใหน ักเรียนทําแบบทดสอบหลงั เรียน เมือ่ ศึกษาเนื้อหาจากใบความรูและ

ทําแบบฝกทกั ษะเสร็จสน้ิ
8. บนั ทกึ ผลการประเมนิ หลงั การจัดการเรยี นรโู ดยใชแบบฝกทักษะทุกครัง้
9. แบบฝกทกั ษะเลมนี้ สามารถใชก ิจกรรมการเรยี นรู หรอื ใชสอนซอมเสริมกับนักเรยี น

ทเ่ี รียนชา หรือเรียนไมท ันเพอื่ น
10. ครอู าจปรับเปล่ยี นกจิ กรรมการเรยี นรูไดตามเหมาะสมกับนักเรียนและสถานการณ

ทน่ี ําไปใช

เลมที่ 2 อัตราสวนตรีโกณมติ ขิ องรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก จ

คําชแ้ี จงการใชแบบฝก ทกั ษะสําหรบั นกั เรียน

แบบฝกทักษะ เร่ือง อตั ราสวนตรโี กณมิติ สําหรับนกั เรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 มที ้ังหมด
8 เลม และเลมน้ีเปน เลมที่ 2 เร่อื ง อัตราสวนตรีโกณมิติของรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ใชส ําหรับ
ประกอบการเรยี นรูในวชิ าคณติ ศาสตรพ ืน้ ฐาน รหสั วิชา ค31102 นกั เรียนควรศึกษาและ
อา นคําชแ้ี จงการใชแ บบฝกทักษะใหเ ขา ใจและปฏบิ ัตติ ามข้ันตอนดงั ตอไปน้ี

1. แบบฝกทักษะเลมนี้ทาํ ข้นึ เพื่อใหน ักเรยี นไดพ ฒั นาการเรียนรูของตนเองเพอ่ื แกป ญ หา
การเรยี นรู เรื่อง อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ

2. แบบฝกทกั ษะคณิตศาสตรแ ตละเลมใหนักเรียนปฏิบัตดิ งั น้ี
2.1 ศกึ ษาขนั้ ตอนการใชแบบฝก ทักษะใหเ ขาใจชดั เจน
2.2 นักเรียนศกึ ษาจุดประสงคการเรียนรใู หเ ขา ใจกอนลงมือปฏบิ ัติ
2.3 นกั เรียนทําแบบทดสอบกอนเรยี น จํานวน 10 ขอ ตามความเขาใจ
ของตนเองดวยความซอ่ื สัตย แลว ตรวจคําตอบจากเฉลยแบบทดสอบ
กอนเรียนในภาคผนวกแลวบนั ทกึ คะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน
2.4 นกั เรียนศึกษาและทาํ ความเขาใจใบความรแู ละทําแบบฝกทกั ษะดว ยตนเอง
และตรวจคําตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทลี ะแบบฝกทกั ษะตามลาํ ดับ
เม่ือพบปญ หาใหขอคาํ แนะนําจากครทู นั ที
2.5 เม่อื นกั เรียนศกึ ษาและฝก ทาํ กิจกรรมเสร็จแลว ใหทาํ แบบทดสอบหลงั เรยี น
แลวตรวจคําตอบจากเฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี นในภาคผนวกแลวบนั ทกึ
คะแนนลงในแบบบนั ทกึ คะแนน

3. การประเมนิ ผลการเรยี น นักเรยี นจะตองทาํ ถูกรอยละ 80 ขึ้นไป ของจาํ นวนขอ
ท้งั หมดในแตล ะแบบฝกทักษะ จึงผานเกณฑก ารประเมินของแตล ะแบบฝก ทักษะ
3.1 ผานเกณฑการประเมนิ ใหศกึ ษาแบบฝก ทักษะชดุ ตอไป
3.2 ไมผ า นเกณฑการประเมินใหย อนกลบั ไปศึกษาและทําความเขา ใจเนื้อหา
จากใบความรแู ละทําแบบฝก ทักษะดวยตนเองใหม

ศกึ ษาแบบฝก ทักษะดว ยความต้ังใจ
เพ่ือพฒั นาทักษะทางคณิตศาสตร

ใหดียิ่งข้ึนไป

เลมท่ี 2 อตั ราสว นตรโี กณมติ ิของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ฉ

เกณฑการใหค ะแนนแบบฝก ทักษะ

1. แบบทดสอบกอนเรียนและแบบทดสอบหลังเรียน

แบบทดสอบกอนเรยี นและหลังเรียน เปน แบบเลือกตอบ มี 4 ตวั เลอื ก โดยมเี กณฑ

การใหคะแนน ดังนี้

- เลือกคําตอบถูกได ขอละ 1 คะแนน

- เลือกคาํ ตอบไมถ ูกตอ งหรอื ไมต อบได ขอละ 0 คะแนน

2. แบบฝกทกั ษะ

แบบฝก ทกั ษะในแตล ะขอมกี ารใหคะแนนไมเ ทากนั ใหเ ลอื กใชใหถกู ตอ ง ดงั นี้

ระดับคะแนน เกณฑก ารใหค ะแนน
2 คําตอบถูกตอง มีการแสดงวธิ ีทําทม่ี ีประสทิ ธิภาพ
1 โดยแสดงวธิ คี ดิ เปนระบบและการคดิ วเิ คราะห
0 คําตอบถูกตอง มีการแสดงวิธที ําแตไ มสมบรู ณ
คําตอบไมถกู ตอง มีการแสดงวิธีทาํ แตไมสมบูรณ
ระดบั คะแนน หรือแสดงวิธีทําไมถ กู ตอ ง
3
2 เกณฑก ารใหค ะแนน
1 คาํ ตอบถกู ตอง มีการแสดงวธิ ีทาํ ท่ีมีประสิทธิภาพ
0 โดยแสดงวธิ ีคดิ เปนระบบและการคดิ วิเคราะห
คาํ ตอบถูกตอง มีการแสดงวิธีทําแตไ มส มบรู ณ
คําตอบถูกตอง ไมมกี ารแสดงวิธที าํ
คําตอบไมถกู ตอง มกี ารแสดงวิธีทําแตไ มสมบรู ณ
หรอื แสดงวธิ ีทาํ ไมถูกตอ ง

เลมท่ี 2 อัตราสว นตรโี กณมติ ขิ องรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ช

มาตรฐานการเรยี นรู ตวั ชวี้ ัด และจุดประสงคก ารเรยี นรู

มาตรฐานการเรียนรูและตวั ชี้วดั
สาระท่ี 2 การวดั
มาตรฐาน ค 2.1 เขา ใจพน้ื ฐานเกย่ี วกับการวัด วัดและคาดคะเนขนาดของ
ส่งิ ทตี่ อ งการวดั
ตัวชี้วดั ม.4-6/1 ใชค วามรูเร่ือง อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องมุมในการคาดคะเน
ระยะทางและความสูง
มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเกีย่ วกบั การวดั
ตัวช้ีวดั ม.4-6/1 แกโจทยป ญหาเกย่ี วกับระยะทางและความสูงโดยใช
อัตราสว นตรีโกณมติ ิ

จุดประสงคการเรยี นรู

ดา นความรู (Knowledge)
1. นักเรียนมีความรแู ละเขา ใจเกยี่ วกับอัตราสว นตรโี กณมิติของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก
2. เมอื่ กําหนดความยาวดา นของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉากใหส องดา นนักเรียน
สามารถหาอตั ราสว นตรีโกณมติ ิของมมุ แหลมในรูปสามเหลยี่ มมุมฉากน้นั ได

ดานทกั ษะกระบวนการ (Process)
1. มีความสามารถในการแกปญหา
2. มคี วามสามารถในการใหเหตุผล
3. มีความสามารถในการส่ือสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรแ ละการนําเสนอ

ดา นคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค (Attitude) พรอ มเรยี นแลวครับ
1. ซือ่ สตั ยส ุจรติ
2. มีวินัย
3. ใฝเรยี นรู
4. มงุ ม่ันในการทํางาน

เลมที่ 2 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก 1

แบบทดสอบกอนเรยี น

คาํ ชี้แจง (1.) ใหนกั เรียนเลือกขอที่ถูกท่สี ุดเพยี งคาํ ตอบเดียว แลว ทําเครอ่ื งหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบกอนเรยี น มจี าํ นวน 10 ขอ ขอ ละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมีเกณฑก ารใหค ะแนน ดังนี้

- เลอื กคําตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลือกคาํ ตอบไมถูกตอ งหรอื ไมต อบได ขอละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ใชข อ มลู ตอไปนตี้ อบคาํ ถามขอ 1 – 4 C

c
a

A bB

1. จากรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ท่ีกาํ หนดใหขอใดเปนคาอัตราสวนของความยาว sin A
AB BC
ก. AC ข. AC

ค. AB ง. AC
BC BC

2. จากรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC ทก่ี าํ หนดให ขอใดเปน คา อตั ราสวนของความยาวดา น cos A
AB BC
ก. AC ข. AC

ค. AB ง. AC
BC BC

3. จากรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ทีก่ ําหนดให ขอใดเปน คา อตั ราสว นของความยาวดาน tan A
AB BC
ก. AC ข. AC

ค. BC ง. AC
AB BC

เลมท่ี 2 อัตราสว นตรโี กณมติ ขิ องรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก 2

4. จากรปู สามเหล่ียมมุมฉาก ABC ทก่ี ําหนดให ขอใดกลาวถูกตอง
ความยาวของดา นตรงขามมมุ A
ก. sin A  ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก

ข. sin A  ความยาวของดานประชดิ มุม A
ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก

ค. cos A  ความยาวของดานตรงขามมมุ A
ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก

ง. cos A  ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก
ความยาวของดา นประชดิ มมุ A

5. กาํ หนดใหร ปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ABC มมี ุม C เปน มมุ ฉาก ถาใหด าน a เปนความยาวดานตรงขา ม

มมุ A ยาว 3 หนว ย และ ดาน b เปน ดานความยาวดา นตรงขามมมุ B ยาว 4 หนวย ขอ ใดคือ

คาของ cos A 4 3
5 5
ก. ข.

ค. 4 ง. 3
3 4

6. จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก MON ท่กี ําหนดให ขอใดไมถกู ตอง 12
15
N ก. sin M 

15 12 ข. cos M  9
M9 O 15
12
ค. tan N  9

ง. sin N  9
15

7. รปู สามเหลีย่ มมุมฉาก ABC มีมุม C เปนมมุ ฉาก กาํ หนดใหมมุ A = 30 องศา ดา น AC ยาว 3 หนวย

และดา น BC ยาว 1 ขอ ใดไมถูกตอ ง

ก. sin 30  1 ข. cos 30  3
2 2

ค. tan 30  3 ง. tan 30  3
3

เลม ท่ี 2 อัตราสวนตรโี กณมติ ิของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 3

8. จากรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก PQR ขอใดคือคาของ tan P

R ก. 8
8 15
15
17 Q ข. 17
15
ค. 15
P 8
17
ง. 15

9. จากรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก EFG ขอใดถูกตอ ง

G ก. sin G  5
5 13 13
F 12 5
ข. cos E  13

E ค. cos G  12
13
5
ง. sin E  13

10. กําหนดใหรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC มมี ุม C เปนมุมฉาก ถา sin A  1 แลว tan A
2
ตรงกับขอใด

ก. 3 ข. 2
2 3
1 1
ค. 3 ง. 2

******************************************

ความพยายามอยทู ไี่ หน
ความสําเร็จอยูที่นัน้

เลมท่ี 2 อตั ราสวนตรโี กณมติ ิของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 4

กระดาษคําตอบแบบทดสอบกอนเรยี น

เลมที่ 2 เรอื่ ง อตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก

คาํ ชแ้ี จง : (1.) ใหน ักเรยี นเลือกขอที่ถกู ท่ีสุดเพียงคาํ ตอบเดยี ว แลว ทาํ เครอื่ งหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบกอ นเรียน มีจาํ นวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ชอ่ื เลขท่ี ชั้น

ขอ ท่ี ก ข ค ง ผลการตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนทไ่ี ด 10 ลงชื่อ ผตู รวจ

เกณฑการประเมิน 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดับคะแนน ควรปรบั ปรุง พอใช ดี ดีมาก
ระดับคุณภาพ

เลม ที่ 2 อัตราสว นตรโี กณมติ ขิ องรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉาก 5

ใบความรูท ี่ 2.1

คาํ วา “ตรโี กณมติ ”ิ ตรงกับคําภาษาองั กฤษ “Trigonometry” และตรงกบั คาํ ในภาษากรีก 2 คาํ
คือ Trigonon (สามเหลีย่ ม) และ Metron (การวดั ) ดังน้ัน ตรีโกณมิติ จึงหมายถึง การวัดรูปสามเหลย่ี ม
ไดม กี ารนาํ ความรูวิชาตรีโกณมติ ไิ ปใชใ นการหาระยะทาง พ้ืนที่ มมุ และทศิ ทางที่ยากแกการวดั โดยตรง
เชน การหาความสงู ของภเู ขา การหาความกวา งของแมน้ํา เปน ตน

ตรโี กณมิติ กอกาํ เนิดข้นึ ในประมาณ ค.ศ. 146 – 126 กอนคริสตศักราช โดยนักดาราศาสตร
ชาวกรกี ชื่อ Hipparchus โดยนาํ ตรีโกณมติ ิไปใชใ นทางดาราศาสตร ตอมา Ptoleny (ค.ศ.200)
ไดพัฒนาวชิ าตรโี กณมติ ิใหกา วหนา ยงิ่ ขน้ึ และในศตวรรษท่ี 18 Leonhard Euler ไดแยกตรีโกณมิติ
ออกมาจากดาราศาสตร แลว ตั้งเปน แขนงหนึ่งในคณติ ศาสตร จากน้นั วชิ านี้ไดพัฒนาข้ึนโดยลําดับ
โดยศึกษาถึงตรีโกณมิตขิ องจาํ นวนจริงใด ๆ และนาํ ไปใชอ ยางกวางขวางในคณติ ศาสตรช้ันสูง
ในวิทยาศาสตรแขนงตา ง ๆ เชน ฟส ิกส วศิ วกรรมศาสตร และดานอื่น ๆ อีกมาก ดังน้ัน ตรีโกณมิติ
ท่เี ก่ียวกับรูปสามเหล่ียมจึงเปนเพยี งสวนหนง่ึ ของวิชาตรโี กณมิติในปจ จบุ ัน

อตั ราสว นตรโี กณมิติ หมายถงึ ผลหารของดานสองดา นของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก

พิจารณารปู สามเหลยี่ มมุมฉาก ABC ท่ีมมี มุ C เปน มมุ ฉาก ดังรปู ท่ี 2.1
B

ca

A bC
รปู ท่ี 2.1 รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC

เมอื่ พิจารณา มมุ A ยาว c หนว ย
ยาว a หนวย
AB เปนดา นทอ่ี ยตู รงขามมุมฉาก ยาว b หนว ย
BC เปน ดา นทีอ่ ยตู รงขา มมุม A
AC เปน ดานประชดิ มุม A

เม่ือพจิ ารณา มมุ B ยาว c หนวย
ยาว b หนวย
AB เปน ดา นท่ีอยตู รงขา มมมุ ฉาก ยาว a หนวย
AC เปน ดา นที่อยูตรงขา มมุม B
BC เปนดานประชิดมุม B

เลมที่ 2 อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก 6

รปู สามเหลี่ยม PQR เปน รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากท่ีมีมมุ R เปน มุมฉาก ดงั รปู ที่ 2.2

R4 P

35

Q
รปู ที่ 2.2 รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก PQR

เมอ่ื พจิ ารณา มมุ P ยาว 5 หนว ย
ยาว 3 หนว ย
PQ เปน ดา นที่อยตู รงขา มมมุ ฉาก ยาว 4 หนวย
QR เปนดานท่อี ยตู รงขา มมมุ P
PR เปนดานประชดิ มุม P

เมอ่ื พิจารณา มุม Q ยาว 5 หนวย
ยาว 4 หนวย
PQ เปน ดานท่อี ยูตรงขามมมุ ฉาก ยาว 3 หนวย
PR เปนดา นที่อยูตรงขามมมุ Q
QR เปน ดานประชดิ มุม Q

เลมท่ี 2 อตั ราสวนตรีโกณมติ ิของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก 7

แบบฝก ทักษะที่ จดุ ประสงคการเรียนรู : เพอ่ื ใหน ักเรียนมคี วามรูและเขาใจเก่ยี วกับอตั ราสว น
2.1.1 ตรโี กณมิติของรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก

จงตอบคาํ ถามตอไปนี้ (ขอละ 3 คะแนน) +1 คะแนน

ขอท่ี 1 จากรปู สามเหล่ียมมุมฉาก MON ทีม่ มี มุ O เปนมุมฉาก
N เมอื่ พิจารณามุม M
(1.) MN เรียกวา
O (2.) NO เรียกวา
(3.) MO เรียกวา
เมือ่ พิจารณามุม N
(4.) MN เรียกวา
(5.) NO เรยี กวา

M (6.) MO เรยี กวา

ขอท่ี 2 จากรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก XYZ ทม่ี มี มุ Y เปนมุมฉาก
X
Y เม่อื พจิ ารณามุม X
(1.) XY เรียกวา

(2.) YZ เรยี กวา

(3.) XZ เรยี กวา

เมื่อพิจารณามุม Z

(4.) XZ เรยี กวา

Z (5.) YZ เรยี กวา
(6.) XY เรียกวา

ขอ ที่ 3 จากรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก ABC ทีม่ ีมุม B เปน มมุ ฉาก

C เมอื่ พิจารณามุม A
(1.) AC เรยี กวา

ca (2.) BC เรยี กวา
(3.) AB เรียกวา

เมอื่ พิจารณามุม C

A bB (4.) AC เรยี กวา
(5.) AB เรียกวา

(6.) BC เรียกวา

เลม ท่ี 2 อัตราสวนตรีโกณมติ ิของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก 8

ใบความรทู ่ี 2.2

ไซน (Sine)
คําวา “ไซน (Sine)” เรานยิ มเขยี นสนั้ ๆ วา sin พจิ ารณาอตั ราสวนของความยาวของดาน

ของรปู สามเหลีย่ ม ABC ทม่ี มี มุ C เปน มมุ ฉาก ดงั รปู ที่ 2.3
B

ca

A bC
รปู ที่ 2.3 รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC

จากรปู เมอ่ื พจิ ารณา มมุ A

a อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดานตรงขามมุมฉาก
c
หรอื เรียกวา ไซน (sine) ของมมุ A

ไซนของมุม A คอื ความยาวของดานตรงขา มมมุ A
ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก

หรอื sin A = a
c

จากรปู เมอ่ื พิจารณา มุม B

b อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม B ตอ ความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก
c
หรือ เรียกวา ไซน (sine) ของมมุ B

ไซนของมุม B คอื ความยาวของดา นตรงขามมุม B
หรอื sin B = ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก

b
c

ขอ สังเกต อัตราสวนความยาวของไซน (sine) ดานแตละอัตราสวนข้ึนอยูกับการพิจารณามุมนน้ั

เลมท่ี 2 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก 9

แบบฝก ทกั ษะที่ จุดประสงคก ารเรยี นรู : เพอื่ ใหนกั เรยี นมคี วามรูและเขาใจเก่ียวกบั อัตราสว น
2.2.1 ตรโี กณมติ ขิ องรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก

จงเติมชองวางใหสมบูรณ (จาํ นวนที่เขยี นกํากับดานของรปู สามเหล่ยี มแสดง
ความยาวของดานมีหนวยเปน หนว ยวดั ความยาว) (ขอละ 2 คะแนน)

ขอที่ 1 C 4 A (1.) sin A =

3 5 (2.) sin B =

ขอ ที่ 2 B P =
13 (1.) sin P =

R 12 5 =
8 (2.) sin R =
ขอ ท่ี 3 O
Q =
6 10 N =

ขอท่ี 4 M 20 (1.) sin N =
S (2.) sin M =

15 (1.) sin R
R
T 25
12 (2.) sin T
ขอที่ 5 C
15 A (1.) sin A
9 (2.) sin B

B

เลม ที่ 2 อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ องรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก 10

ใบความรูที่ 2.3

โคไซต (Cosine)
คาํ วา “โคไซต (Cosine)” เรานิยมเขียนสน้ั ๆ วา cos พจิ ารณาอัตราสว นของความยาวของ

ดา นของรปู สามเหลี่ยม ABC ท่ีมีมมุ C เปน มมุ ฉาก ดงั รปู ที่ 2.4
B

ca

A bC
รูปท่ี 2.4 รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC

จากรปู เม่ือพิจารณา มุม A

b อตั ราสวนของความยาวของดานประชิดมมุ A ตอ ความยาวของดานตรงขา มมุมฉาก
c
หรือ เรยี กวา โคไซน (cosine) ของมุม A

โคไซนข องมุม A คือ ความยาวของดานประชิดมมุ A
ความยาวของดานตรงขา มมุมฉาก

หรือ cos A = b
c

จากรูป เมอ่ื พจิ ารณา มุม B

a อัตราสว นของความยาวของดานประชิดมุม B ตอความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก
c
หรอื เรยี กวา โคไซน (cosine) ของมมุ B

โคไซนข องมุม B คือ ความยาวของดา นประชิดมมุ B
ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก

หรือ cos B = a
c

ขอสังเกต อตั ราสว นความยาวของโคไซน (cosine) ดา นแตล ะอัตราสว นขึ้นอยูกับการพจิ ารณามุมนน้ั

เลมท่ี 2 อัตราสวนตรีโกณมติ ิของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก 11

แบบฝก ทกั ษะท่ี จดุ ประสงคก ารเรยี นรู : เพือ่ ใหน ักเรยี นมคี วามรูและเขาใจเกย่ี วกบั อตั ราสวน
2.3.1 ตรโี กณมติ ิของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จงเตมิ ชองวา งใหส มบรู ณ (จํานวนท่เี ขียนกํากบั ดานของรปู สามเหล่ยี มแสดง
ความยาวของดา นมีหนว ยเปนหนว ยวดั ความยาว) (ขอละ 2 คะแนน)

ขอที่ 1 C4 A (1.) cos A =
ขอ ท่ี 2 35 (2.) cos B =
B
P
13 (1.) cos P =

R 12 5
8 (2.) cos R =
ขอ ที่ 3 O
Q
6 10 N

ขอที่ 4 M 20 (1.) cos N =
S (2.) cos M =

15 (1.) cos R =
R
T 25
12 (2.) cos T =
ขอท่ี 5 C
15 A (1.) cos A =
9 (2.) cos B =

B

เลม ที่ 2 อัตราสว นตรีโกณมติ ิของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก 12

ใบความรูที่ 2.4

แทนเจนต (Tangent)
คําวา “แทนเจนต (Tangent)” เรานยิ มเขียนส้ัน ๆ วา tan พจิ ารณาอตั ราสวนของความยาว

ของดา นของรูปสามเหลี่ยม ABC ทม่ี มี ุม C เปน มมุ ฉาก ดงั รูปที่ 2.5
B

ca

A bC
รปู ที่ 2.5 รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC

จากรูป เม่อื พิจารณา มุม A

a อตั ราสว นของความยาวของดานตรงขา มมุม A ตอ ความยาวของ ดา นประชิดมุม A
b
หรอื เรยี กวา แทนเจนต (tangent) ของมมุ A

แทนเจนตของมุม A คือ ความยาวของดานตรงขามมุม A
ความยาวของดา นประชดิ มมุ A

หรือ tan A = a
b

จากรูป เมื่อพิจารณา มมุ B

b อัตราสวนของความยาวของดานตรงขา มมมุ B ตอ ความยาวของดานประชิดมุม B
a
หรอื เรยี กวา แทนเจนต (tangent) ของมมุ B

แทนเจนตของมุม B คอื ความยาวของดานตรงขา มมมุ B
หรอื tan B = ความยาวของดา นประชิดมมุ B
b
a

ขอ สังเกต อัตราสวนความยาวของแทนเจนต (tangent) ดานแตละอตั ราสวนขน้ึ อยูกบั การพจิ ารณามมุ น้นั

เลมที่ 2 อัตราสว นตรีโกณมติ ิของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก 13

แบบฝก ทกั ษะท่ี จดุ ประสงคการเรยี นรู : เพอ่ื ใหน กั เรียนมคี วามรูและเขาใจเกย่ี วกบั อตั ราสวน
2.4.1 ตรโี กณมติ ิของรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก

จงเตมิ ชองวางใหส มบูรณ (จํานวนที่เขยี นกํากับดา นของรปู สามเหล่ยี มแสดง
ความยาวของดานมีหนวยเปน หนวยวดั ความยาว) (ขอ ละ 2 คะแนน)

ขอที่ 1 C4 A (1.) tan A =
ขอ ท่ี 2 35 (2.) tan B =
B
P =
13 (1.) tan P =

R 12 5 =
8 (2.) tan R =
ขอ ที่ 3 O
Q =
6 10 N =

ขอที่ 4 M 20 (1.) tan N =
S (2.) tan M =

15 (1.) tan R
R
T 25
12 (2.) tan T
ขอท่ี 5 C
15 A (1.) tan A
9 (2.) tan B

B

เลมท่ี 2 อตั ราสวนตรีโกณมติ ขิ องรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก 14

ใบความรูท่ี 2.5

อตั ราสวนตรโี กณมติ ิ (Trigonometric ratio)

อัตราสวนตรโี กณมิติ (Trigonometric ratio) หมายถงึ อัตราสว นของความยาวของดานของ

รปู สามเหล่ียมมุมฉากพิจารณาอัตราสวนของความยาวของดานของรปู สามเหล่ยี ม ABC ทม่ี มี ุม C

เปน มมุ ฉาก ดงั รูปท่ี 2.6 B

ca

A bC
รูปที่ 2.6 รูปสามเหล่ยี มมุมฉาก ABC

จากรปู เม่อื พจิ ารณา มมุ A

a อัตราสว นของความยาวของดานตรงขา มมมุ A ตอ ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก
c
หรือ เรยี กวา ไซน (sine) ของมุม A

b อัตราสวนของความยาวของดานประชิดมุม A ตอความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก
c
หรอื เรียกวา โคไซน (cosine) ของมมุ A

a อัตราสว นของความยาวของดานตรงขามมมุ A ตอ ความยาวของดานประชิดมมุ A
b
หรอื เรียกวา แทนเจนต (tangent) ของมุม A

เรียกอตั ราสวนท้ังสามนีว้ า อตั ราสว นตรีโกณมติ ิ คาของอัตราสว นตรโี กณมติ ขิ อง A

เม่อื A เปนมุมแหลมในรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากจะข้ึนอยูกับขนาดของมุม A
พจิ ารณารูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC และ DEF ท่ี BAˆC และ EDˆF มขี นาดเทากนั

ดงั รปู ท่ี 2.7 และรปู ที่ 2.8 ตามลาํ ดบั E

B

AC DF
รปู ท่ี 2.7 รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC รปู ท่ี 2.8 รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก DEF

เลม ที่ 2 อตั ราสว นตรโี กณมติ ิของรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก 15

จะเหน็ วา เมือ่ BAˆC มขี นาดเทา กับ EDˆF และ ACˆB มีขนาดเทา กับ DFˆE เพราะตาง
ก็เปน มมุ ฉาก ทาํ ใหสรุปไดวา CBˆA มีขนาดเทา กับ FEˆD ดงั นนั้ รูปสามเหล่ียม ABC และ DEF

เปนรปู สามเหลยี่ มคลาย ทาํ ใหไ ดวา AB BC CA
DE EF FD
 

ดังนัน้ BC  EF หรอื ไซนของมมุ A เทากับไซนข องมุม D
AB DE
BC EF
AB  DE หรือ โคไซนข องมมุ A เทา กบั โคไซนของมมุ D

BC  EF หรอื แทนเจนตข องมมุ A เทากบั แทนเจนตข องมุม D
AC DF
จะเห็นวาคา ของไซน โคไซน และแทนเจนตของมมุ แหลมขึ้นอยูกับขนาดของมมุ ถา มมุ เทา กัน

แมจ ะเปน ของรูปสามเหล่ียมมุมฉากทต่ี างกนั คา ของอัตราสว นตรโี กณมิติทง้ั สามกเ็ ทา กัน

สรุปไดวา เมอ่ื ABC เปนรูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ีมีมมุ C เปน มุมฉาก ดังรูปที่ 2.9
B

ca

A bC
รปู ท่ี 2.9 รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ABC

ไซนข องมุม A คอื ความยาวของดานตรงขามมุม A
ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก

โคไซนของมุม A คอื ความยาวของดา นประชดิ มมุ A
ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก

แทนเจนตข องมุม A คอื ความยาวของดานตรงขา มมุม A
ความยาวของดา นประชดิ มุม A

โดยปกตนิ ิยมเขยี น sin แทน ไซน , cos แทน โคไซน และ tan แทน แทนเจนต
เชน ไซนข องมมุ 30 เขียนแทนดวย sin 30

โคไซนของมุม 45 เขียนแทนดวย cos 45 เปน ตน

เลม ที่ 2 อตั ราสว นตรีโกณมติ ิของรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก 16

จากรปู ท่ี 2.9 จะได sin A  a
c
b
cos A 
c
a
tan A  b

Note : sine ของมุม A เขียนแทนดวย sin A
cos A
cosine ของมมุ A เขียนแทนดวย tan A

tangent ของมมุ A เขยี นแทนดว ย

เทคนคิ ชว ยในการจาํ

sin A  ขาม
ฉาก

cos A  ชิด
ฉาก

tan A  ขาม
ชิด

ตัวอยา งท่ี 1 จงหาคาของไซน โคไซน และแทนเจนตของมุม A และมุม B
B

53

A 4C

วธิ ที ํา จากรปู sin A = ความยาวของดานตรงขา มมมุ A = 3
ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก 5
4
cos A = ความยาวของดานประชดิ มมุ A = 5
ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก 3
4
tan A = ความยาวของดานตรงขา มมุม A =
ความยาวของดา นประชดิ มุม A

เลมที่ 2 อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ องรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก 17

ในทาํ นองเดียวกัน จะไดว า sin B = 4
และ 5
3
cos B = 5

tan B = 4
3

ตัวอยางท่ี 2 รูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก ABC มมี มุ ACB เปน มมุ ฉาก ดาน AB , AC และ BC
ยาว 13 , 5 และ x หนว ย ตามลําดับ จงหาคา ของ sin A , cos A และ tan A

วธิ ที ํา จากโจทยเ ขยี นรปู ไดดังน้ี
B

13 x

A 5C

จากรปู ABC เปนรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก

หาคา x ซง่ึ เปน ความยาวของดานตรงขา มมุม A โดยใชท ฤษฎบี ทของพีทาโกรัส ดังนี้
AB2 = AC2  BC2
จะได 132 = 52  x2
x2 = 132  52
x2 = 169  25
x2 = 144

ดงั นน้ั x = 12
ความยาวของดา นตรงขา มมมุ A
จะไดว า sin A = ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก = 12
13

cos A = ความยาวของดา นประชดิ มุม A = 5
ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก 13

tan A = ความยาวของดา นตรงขา มมมุ A = 12
ความยาวของดานประชิดมมุ A 5

ในทํานองเดียวกนั จะไดว า sin B = 5
13
12
cos B = 13

และ tan B = 5
12

เลม ท่ี 2 อตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก 18

ตวั อยา งท่ี 3 กําหนดใหร ูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก PQR มีมมุ R เปน มมุ ฉาก และ 16sin Q = 8

จงหาคา ของ

(1) sin Q + cos Q

(2) sin P + tan Q

วธิ ีทาํ จากโจทย 16sin Q = 8
8
sin Q = 16

= 1
2
1
รูปสามเหลย่ี มมุมฉาก PQR มีมมุ R เปน มมุ ฉาก และ sin Q = 2 เขยี นรูปไดดังนี้
P

21

Q xR

หาคา x ซึง่ เปน ความยาวของดานตรงขา มมมุ A โดยใชท ฤษฎีบทของพที าโกรัส ดงั นี้
PQ2 = PR2  QR2

จะได 22 = 12  x2
x2 = 22  12
x2 = 4  1
x2 = 3

ดังนั้น x = 3

(1) sin Q + cos Q = 1  3
2 2

= 1 3 ตอบ
= 2 ตอบ
1
(2) sin P + tan Q 3  3
2

= 32
= 23

53
6

เลม ท่ี 2 อัตราสวนตรีโกณมติ ขิ องรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 19

แบบฝกทกั ษะท่ี จดุ ประสงคการเรยี นรู : เพ่ือใหน ักเรียนมคี วามรูและเขาใจเกี่ยวกับอัตราสวน
2.5.1 ตรโี กณมติ ขิ องรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก

จงเตมิ ชอ งวางใหสมบูรณ (จํานวนที่เขียนกํากบั ดา นของรูปสามเหลยี่ ม
แสดงความยาวของดานมีหนวยเปน หนวยวดั ความยาว) (ขอ ละ 2 คะแนน)

ขอ ท่ี 1 รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC ซง่ึ มี ACˆB เปนมมุ ฉาก จงหา
A

C B
sin B =
sin A = cos B =
cos A = tan B =
tan A =

ขอ ที่ 2 รูปสามเหล่ียมมุมฉาก xyz ซง่ึ มี xyˆz เปนมมุ ฉาก จงหา

xy

z

sin x = sin y =
cos x = cos y =
tan x = tan y =

เลมท่ี 2 อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ องรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก 20

ขอ ที่ 3 รูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก MON ซึ่งมี MNˆO เปน มมุ ฉาก จงหา
N

M O
sin O =
sin M = cos O =
cos M = tan O =
tan M =

ขอที่ 4 รูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก PQR ซึ่งมี PQˆR เปนมมุ ฉาก จงหา
PQ

sin P = R
cos P = sin R =
tan P = cos R =
tan R =

เลมท่ี 2 อัตราสวนตรโี กณมติ ิของรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก 21

ขอท่ี 5 รปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก EFG ซึ่งมี EFˆG เปนมุมฉาก จงหา
F

E G =
sin G =
sin E = cos G =
cos E = tan G
tan E =

เลม ที่ 2 อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ องรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก 22

แบบฝกทักษะท่ี จุดประสงคการเรยี นรู : เพอ่ื ใหนกั เรียนมคี วามรูและเขาใจเกีย่ วกับอัตราสวน
2.5.2 ตรีโกณมิตขิ องรปู สามเหลย่ี ม
มุมฉาก

จงเติมชอ งวางใหสมบรู ณ (จํานวนท่ีเขยี นกํากับดา นของรูปสามเหลี่ยมแสดง

ความยาวของดานมหี นว ยเปน หนวยวดั ความยาว) (ขอ ละ 2 คะแนน)

ขอท่ี 1 จงหาอตั ราสวนตรโี กณมิติ จากรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก ABC ซ่งึ มีมุม C เปนมมุ ฉาก
จงหา (1.) sin A =
C
8 15 (2.) cos A =
B A

(3.) tan A =

17 (4.) sin B =

(5.) cos B =

(6.) tan B =

ขอ ที่ 2 จงหาอัตราสวนตรีโกณมิติ จากรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก MNL ซ่ึงมีมุม L
เปนมมุ ฉาก

จงหา (1.) sin M =

L 12 (2.) cos M =
5 13
M (3.) tan M =
N

(4.) sin N =

(5.) cos N =

(6.) tan N =

เลมท่ี 2 อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ องรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก 23

ขอที่ 3 จงหาอตั ราสวนตรีโกณมติ ิ จากรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก QRP ซ่ึงมีมุม P เปนมุมฉาก
R จงหา (1.) sin R =

Q (2.) cos R =

15 (3.) tan R =
9 (4.) sin Q =

12 P (5.) cos Q =
(6.) tan Q =

ขอที่ 4 จงหาอตั ราสวนตรโี กณมิติ จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC ซ่ึงมีมมุ B เปน มมุ ฉาก
A จงหา (1.) sin A =

C (2.) cos A =

5 (3.) tan A =
3 (4.) sin C =

4 B (5.) cos C =
(6.) tan C =

ขอที่ 5 จงหาวาอัตราสวนตรโี กณมติ ิท่กี ําหนดใหตอ ไปนเ้ี ปนอัตราสวนตรีโกณมิติของ
A
มุม A หรือมุม B a
c
จงหา (1.) sin =

B (2.) sin = b
c
a
c a (3.) cos = c
b C (4.) cos
(5.) tan = b
c
a
= b

(6.) tan = b
a

เลม ที่ 2 อตั ราสวนตรโี กณมติ ิของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก 24

แบบฝกทกั ษะที่ จุดประสงคก ารเรียนรู : เมื่อกําหนดความยาวดานของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก
2.5.3 ใหส องดานนกั เรยี นสามารถหาอตั ราสวนตรโี กณมติ ิของมมุ แหลมในรปู
สามเหล่ยี มมุมฉากนัน้ ได
มมุ ฉาก
จงหาอตั ราสวนตรโี กณมิติ เม่ือกาํ หนดรูปสามเหลีย่ มมุมฉากและ

ความยาวของดา นตอไปนี้ (ขอละ 2 คะแนน)

ขอ ที่ 1 (1.) จงหาคา x
B
C 12
(5.) sin B =
x (6.) cos B =
(7.) tan B =
15
A

(2.) sin A =
(3.) cos A =
(4.) tan A =

ขอท่ี 2 40 (1.) จงหาคา x
L
N
9
(5.) sin N =
Mx (6.) cos N =
(2.) sin M = (7.) tan N =
(3.) cos M =
(4.) tan M =

เลม ท่ี 2 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก 25

ขอ ที่ 3 R

x (1.) จงหาคา x
17
(5.) sin R =
Q (6.) cos R =
(7.) tan R =
15
P (2.) sin P =

(3.) cos P =

(4.) tan P =

ขอ ที่ 4 F

12 (1.) จงหาคา x

x (5.) sin F =
D (6.) cos F =
(7.) tan F =
5

E
(2.) sin E =

(3.) cos E =

(4.) tan E =

เลมที่ 2 อตั ราสวนตรีโกณมติ ิของรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก 26

ขอที่ 5 P (1.) จงหาคา x
5
13 Q (5.) sin R =
Rx (6.) cos R =
(7.) tan R =
(2.) sin P =
(3.) cos P =
(4.) tan P =

เลมท่ี 2 อตั ราสวนตรโี กณมติ ขิ องรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก 27

แบบฝกทักษะที่ จุดประสงคการเรียนรู : เมอื่ กาํ หนดความยาวดา นของรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก
2.5.4 ใหส องดานนกั เรยี นสามารถหาอัตราสวนตรโี กณมติ ิของมมุ แหลมในรูป
สามเหลี่ยมมุมฉากนน้ั ได

จงหาคา ตอ ไปนีเ้ มื่อกําหนดรูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC มี Cˆ เปน มมุ ฉาก
และ 17sin B = 8 (ขอละ 2 คะแนน)

ขอ ท่ี 1 วาดรูปสามเหล่ยี มมุมฉากตามท่ีโจทยก าํ หนดพรอมบอกความยาวดา นแตละดาน

ขอที่ 2 cos A + sin A =
=

ขอ ที่ 3 tan A + cos B =
=

ขอ ที่ 4 sin B + tan B =
=

ขอ ท่ี 5 sin A + tan A =
=

เลมที่ 2 อตั ราสวนตรโี กณมติ ิของรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก 28

แบบฝก ทักษะท่ี จุดประสงคการเรียนรู : เมอื่ กาํ หนดความยาวดา นของรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก
2.5.5 ใหส องดา นนกั เรียนสามารถหาอตั ราสว นตรโี กณมิติของมมุ แหลมในรปู
สามเหลย่ี มมมุ ฉากนัน้ ได

จงหาตอ ไปน้ี จากรปู สามเหลี่ยม ABC ที่กําหนดให (ขอละ 2 คะแนน)

จากรปู สามเหลย่ี ม ABC ท่กี ําหนดให จงหา
A

20
12

B D C
21

ขอ ท่ี 1 sin ABˆD =

ขอท่ี 2 cos ABˆD =

cขoอsทA่ี Bˆ3D tan ABˆD =

cขoอsทA่ี Bˆ4D sin BAˆD =

cขoอsทAี่ Bˆ5D cos BAˆD =

เลมท่ี 2 อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก 29

แบบทดสอบหลงั เรียน

คําชีแ้ จง (1.) ใหน ักเรียนเลือกขอที่ถกู ท่ีสดุ เพยี งคําตอบเดยี ว แลวทาํ เครอ่ื งหมายกากบาท ( × )

ลงในกระดาษคาํ ตอบ

(2.) แบบทดสอบหลงั เรยี น มีจํานวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

โดยมเี กณฑการใหค ะแนน ดังนี้

- เลอื กคาํ ตอบถูกได ขอ ละ 1 คะแนน

- เลือกคาํ ตอบไมถูกตองหรือไมตอบได ขอละ 0 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ใชข อ มลู ตอไปนี้ตอบคาํ ถามขอ 1 – 4 C

c
a

A bB

1. จากรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ทีก่ ําหนดใหขอใดเปน คาอัตราสวนของความยาว sin A
AB BC
ก. AC ข. AC

ค. AB ง. AC
BC BC

2. จากรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ABC ท่กี ําหนดให ขอใดเปนคา อตั ราสว นของความยาวดาน cos A
AB BC
ก. AC ข. AC

ค. AB ง. AC
BC BC

3. จากรปู สามเหล่ียมมมุ ฉาก ABC ทกี่ ําหนดให ขอใดเปนคา อตั ราสวนของความยาวดาน tan A
AB BC
ก. AC ข. AC

ค. BC ง. AC
AB BC

เลม ท่ี 2 อตั ราสวนตรีโกณมติ ิของรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก 30

4. จากรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก ABC ทก่ี ําหนดให ขอใดกลา วถกู ตอง
ความยาวของดานตรงขามมุม A
ก. sin A  ความยาวของดา นตรงขามมมุ ฉาก

ข. sin A  ความยาวของดา นประชิดมุม A
ความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก

ค. cos A  ความยาวของดานตรงขา มมมุ A
ความยาวของดา นตรงขามมุมฉาก

ง. cos A  ความยาวของดานตรงขามมมุ ฉาก
ความยาวของดา นประชิดมมุ A

5. กําหนดใหร ปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ABC มมี ุม C เปน มมุ ฉาก ถา ใหดา น a เปนความยาวดานตรงขา ม

มมุ A ยาว 3 หนว ย และ ดา น b เปนดานความยาวดา นตรงขา มมุม B ยาว 4 หนว ย ขอใดคือ

คาของ cos A 4 3
5 5
ก. ข.

ค. 4 ง. 3
3 4

6. จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก MON ทกี่ ําหนดให ขอ ใดไมถกู ตอง 12
15
N ก. sin M 

15 12 ข. cos M  9
M9 O 15
12
ค. tan N  9

ง. sin N  9
15

7. รูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC มมี ุม C เปนมุมฉาก กําหนดใหมุม A = 30 องศา ดาน AC ยาว 3 หนวย

และดาน BC ยาว 1 ขอใดไมถูกตอ ง

ก. sin 30  1 ข. cos 30  3
2 2

ค. tan 30  3 ง. tan 30  3
3

เลม ที่ 2 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 31

8. จากรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก PQR ขอใดคือคาของ tan P

R ก. 8
8 15
15
17 Q ข. 17
15
ค. 15
P 8
17
ง. 15

9. จากรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก EFG ขอ ใดถูกตอง

G ก. sin G  5
5 13 13
F 12 5
ข. cos E  13

E ค. cos G  12
13
5
ง. sin E  13

10. กําหนดใหรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC มีมุม C เปน มุมฉาก ถา sin A  1 แลว tan A
2
ตรงกบั ขอใด

ก. 3 ข. 2
2 3
1 1
ค. 3 ง. 2

****************************************

เขา ใจแลวใชไ หม...ไปตอ กนั เลย
เลม ที่ 3 >>> Let’s go.

เลม ท่ี 2 อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก 32

กระดาษคาํ ตอบแบบทดสอบหลังเรยี น

เลมท่ี 2 เรื่อง อตั ราสว นตรีโกณมิตขิ องรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

คําชแี้ จง : (1.) ใหน ักเรียนเลอื กขอท่ีถูกท่ีสดุ เพียงคาํ ตอบเดียว แลวทําเครื่องหมายกากบาท ( × )
ลงในกระดาษคําตอบ

(2.) แบบทดสอบหลังเรยี น มีจาํ นวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ช่ือ เลขที่ ช้ัน

ขอ ที่ ก ข ค ง ผลการ
ตรวจ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

คะแนนท่ไี ด 10 ลงชอ่ื ผตู รวจ

เกณฑการประเมิน 0 – 4 คะแนน 5 – 6 คะแนน 7 – 8 คะแนน 9 – 10 คะแนน
ระดับคะแนน ควรปรับปรุง พอใช ดี ดมี าก
ระดับคณุ ภาพ

เลมท่ี 2 อตั ราสว นตรีโกณมติ ขิ องรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก 33

ชื่อ – นามสกุล แบบบันทึกคะแนน เลขที่

ชนั้

คาํ ช้แี จง 1. ใหน กั เรียนบนั ทึกผลการเรียนจากการทําแบบทดสอบกอนเรียน แบบฝกทกั ษะ
และแบบทดสอบหลังเรียน เพอื่ ดูพัฒนาการเรยี นรูจากการเรยี นดว ยแบบฝก ทกั ษะ

2. ใหท ําเครอ่ื งหมาย √ ที่ชองสรุปผล เม่ือนักเรยี นผานเกณฑก ารประเมนิ หรือ
ไมผ า นเกณฑการประเมินจากการทําแบบฝกทักษะ แบบทดสอบกอนเรยี นและ
หลงั เรียน

ที่ รายการ คะแนน คะแนน ระดับ สรปุ ผล
เต็ม ทไี่ ด คณุ ภาพ ผา น ไมผา น
1 แบบทดสอบกอ นเรียน 10
2 แบบฝก ทกั ษะที่ 2.1.1
3 แบบฝกทักษะที่ 2.2.1 10
4 แบบฝก ทักษะที่ 2.3.1 10
5 แบบฝกทักษะท่ี 2.4.1 10
6 แบบฝกทกั ษะที่ 2.5.1 10
7 แบบฝกทักษะที่ 2.5.2 10
8 แบบฝกทกั ษะที่ 2.5.3 10
9 แบบฝกทกั ษะที่ 2.5.4 10
10 แบบฝก ทกั ษะที่ 2.5.5 10
11 แบบทดสอบหลงั เรยี น 10
10
รวม
100

เกณฑการประเมนิ

9 – 10 คะแนน ระดบั คณุ ภาพ ดมี าก
7 – 8 คะแนน ระดบั คุณภาพ ดี
5 – 6 คะแนน ระดับคณุ ภาพ พอใช
0 – 4 คะแนน ระดบั คณุ ภาพ ควรปรับปรุง

นกั เรยี นจะผานเกณฑก ารประเมิน เมือ่ ไดค ะแนนตัง้ แต 7 คะแนนขน้ึ ไป

เลม ที่ 2 อตั ราสว นตรโี กณมติ ิของรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก 34

บรรณานุกรม

กวยิ า เนาวประทีป. (2548). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร : ตรโี กณมิติ. กรุงเทพฯ :
ฟสกิ สเ ซน็ เตอร.

กลมุ สาระการเรียนรคู ณิตศาสตร โรงเรียนเตรียมอุดมศกึ ษา. (2553). เอกสารประกอบการเรยี น
คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 5 เลขยกกําลังและอตั ราสว นตรโี กณมติ .ิ กรุงเทพฯ :
หจก. โรงพมิ พว ชั รินทร พี.พ.ี

เจริญ ภูภัทรพงศ และ ศรลี ัดดา ภูภทั รพงศ. (มปป.). คมู ือคณิตคิดลัดและเทคนคิ ทาํ โจทยเ ร็ว
คณติ ศาสตรพ ้ืนฐานเขม ม.4 เลม 2. กรงุ เทพฯ : SCIENCE CENTER.

จกั รนิ ทร วรรณโพธก์ิ ลาง. (มปป.). สดุ ยอดคาํ นวณและเทคนิคคิดลัด คมู อื สาระการเรยี นรู
พื้นฐานคณิตศาสตร ม.4 เลม 2. กรุงเทพ ฯ : บรษิ ัท สาํ นักพมิ พ พ.ศ. พัฒนา จํากัด.

นพเกา เฉยี วกุล. (มปป.). แบบฝกทักษะการเรียนรูวชิ าคณติ ศาสตร เร่ือง อตั ราสวนตรีโกณมติ ิ
สําหรบั นกั เรยี นช้นั มัธยมศึกษาปที่ 4 เลมท่ี 3 เรือ่ ง อตั ราสว นตรโี กณมติ .ิ ชลบุรี :
โรงเรยี นเทศบาลแหลมฉบงั 3 สังกดั เทศบาลนครแหลมฉบัง.

พรรณี ศิลปะวฒั นานนั ท. (2549). สาระการเรียนรูพ้ืนฐาน คณิตศาสตร 3 เลม 2. กรุงทพ ฯ :
ฟส ิกสเ ซ็นเตอร.

สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2554). หนังสือเรียนรายวชิ าพ้ืนฐาน
คณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูค ณติ ศาสตร
ตามหลักสตู รแกนกลางการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. พมิ พค รั้งที่ 3.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ สกสค.ลาดพรา ว.

สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลย,ี สถาบัน. (2556). คมู ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน
คณติ ศาสตร เลม 2 ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรคู ณติ ศาสตร
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551. พมิ พครัง้ ที่ 2.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ สกสค.ลาดพรา ว.

สเุ ทพ จันทรสมบูรณกุล. (2548). สอ่ื เสริมทักษะการเรยี นรูพ ้ืนฐาน คณิตศาสตร ม.3 เลม 2
(ชว งช้ันที่ 3). กรุงเทพฯ : เดอะบุคส.

เลมที่ 2 อัตราสว นตรีโกณมติ ขิ องรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก 35

ภาคผนวก

เลม ที่ 2 อตั ราสวนตรโี กณมติ ิของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก 36

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยี น (หนา 1) ขอ 6 ค
ขอ 1 ข ขอ 7 ง
ขอ 2 ก ขอ 8 ก
ขอ 3 ค ขอ 9 ง
ขอ 4 ก ขอ 10 ค
ขอ 5 ก

เฉลยแบบฝกทักษะที่ 2.1.1 (หนา 7) (4.) ดา นตรงขา มมุมฉาก
ขอ 1 (1.) ดา นตรงขามมุมฉาก (5.) ดานประชดิ มุม N
(2.) ดานตรงขา มมมุ M (6.) ดา นตรงขา มมมุ N
(3.) ดานประชิดมุม M

ขอ 2 (1.) ดา นประชิดมุม X (4.) ดา นตรงขามมมุ ฉาก

(2.) ดา นตรงขามมมุ X (5.) ดานประชิดมุม Z

(3.) ดานตรงขา มมุมฉาก (6.) ดา นตรงขา มมุม Z

ขอ 3 (1.) ดา นตรงขา มมมุ ฉาก (4.) ดานตรงขา มมุมฉาก

(2.) ดา นตรงขามมุม A (5.) ดา นตรงขา มมมุ C

(3.) ดานประชดิ มุม A (6.) ดา นประชิดมุม C

เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 2.2.1 (หนา 9)
3 4
ขอ 1 (1.) 5 (2.) 5

ขอ 2 (1.) 12 (2.) 5
13 13

ขอ 3 (1.) 3 (2.) 4
5 5

ขอ 4 (1.) 3 (2.) 4
5 5

ขอ 5 (1.) 3 (2.) 4
5 5

เลม ที่ 2 อัตราสวนตรโี กณมติ ขิ องรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 37

เฉลยแบบฝกทักษะที่ 2.3.1 (หนา 11)
4 3
ขอ 1 (1.) 5 (2.) 5

ขอ 2 (1.) 5 (2.) 12
13 13

ขอ 3 (1.) 4 (2.) 3
5 5

ขอ 4 (1.) 4 (2.) 3
5 5

ขอ 5 (1.) 4 (2.) 3
5 5

เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 2.4.1 (หนา 13)
3 4
ขอ 1 (1.) 4 (2.) 3

ขอ 2 (1.) 12 (2.) 5
5 12

ขอ 3 (1.) 3 (2.) 4
4 3

ขอ 4 (1.) 3 (2.) 4
4 3

ขอ 5 (1.) 3 (2.) 4
4 3

เลม ที่ 2 อตั ราสว นตรโี กณมติ ขิ องรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก 38

เฉลยแบบฝกทักษะที่ 2.5.1 (หนา 19) BC AC
AB AB
ขอ 1 sin A = sin B =
cos B = BC
cos A = AC tan B = AB
AB sin y =
AC
tan A = BC BC
AC
xz
ขอ 2 sin x = yz xy
xy

cos x = xz cos y = yz
xy xy

tan x = yz tan y = xz
xz sin O = yz
cos O =
ขอ 3 sin M = NO tan O = MN
MO sin R = MO
cos R = NO
cos M = MN tan R = MO
MO MN
NO
tan M = NO PQ
MN PR
QR
ขอ 4 sin P = QR PR
PR PQ
QR
cos P = PQ
PR

tan P = QR
PQ

เลม ท่ี 2 อตั ราสวนตรีโกณมติ ิของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉาก 39

ขอ 5 sin E = FG sin G = EF
EG cos G = EG
tan G = FG
cos E = EF EG
EG EF
FG
tan E = FG
EF

เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 2.5.2 (หนา 22) 15
8 17
ขอ 1 (1.) 17 (4.)

(2.) 15 (5.) 8
17 17
8 15
(3.) 15 (6.) 8

ขอ 2 (1.) 12 (4.) 5
13 13
5 12
(2.) 13 (5.) 13

(3.) 12 (6.) 5
5 12

ขอ 3 (1.) 3 (4.) 4
5 5
4 3
(2.) 5 (5.) 5

(3.) 3 (6.) 4
4 3

ขอ 4 (1.) 3 (4.) 4
5 5
4 3
(2.) 5 (5.) 5

(3.) 3 (6.) 4
4 3

ขอ 5 (1.) A (4.) A
(2.) B (5.) A
(3.) B (6.) B

เลม ที่ 2 อัตราสว นตรโี กณมติ ิของรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก 40

เฉลยแบบฝก ทักษะท่ี 2.5.3 (หนา 24) 152 = 122 + x 2
ขอ 1 (1.) จากรูป จะได x 2 = 152 – 122

x 2 = 225 – 144
x 2 = 81

4 ดังนนั้ x =9 3
5 5
(2.) (5.)

(3.) 3 (6.) 4
5 5
4 3
(4.) 3 (7.) 4

ขอ 2 (1.) จากรูป จะได x 2 = 402 + 92
x 2 = 1,600 + 81
x 2 = 1,681

ดังนน้ั x = 41
40 9
(2.) 41 (5.) 41

(3.) 9 (6.) 40
41 41
40 9
(4.) 9 (7.) 40

ขอ 3 (1.) จากรูป จะได 172 = 152 + x 2
x 2 = 172 – 152
x 2 = 289 – 225
x 2 = 64

8 ดงั น้นั x = 8 15
17 17
(2.) (5.)

(3.) 15 (6.) 8
17 17
8 15
(4.) 15 (7.) 8

เลม ที่ 2 อตั ราสว นตรโี กณมติ ขิ องรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก 41

ขอ 4 (1.) จากรปู จะได x 2 = 122 + 52
x 2 = 144 + 25
x 2 = 169

12ดงั น้ัน x = 13 5
13 13
(2.) (5.)

(3.) 5 (6.) 12
13 13
12 5
(4.) 5 (7.) 12

ขอ 5 (1.) จากรปู จะได 132 = x 2 + 52
x 2 = 169 – 25
x 2 = 144

12ดังนัน้ x = 12 5
13 13
(2.) (5.)

(3.) 5 (6.) 12
13 13
12 5
(4.) 5 (7.) 12

เฉลยแบบฝก ทักษะที่ 2.5.4 (หนา 27) จากรปู จะได 172 = 82 + x 2
ขอ 1 A x 2 = 289 – 64
x 2 = 225
17 8
ดังนั้น x = 15

Bx C
ขอ 2 cos A + sin A
= 8 + 15
17 17

= 23
17