บทที่ 1 เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 1

ปรมิ าณเวกเตอร์

เนือ่ งจากปรมิ าณบนโลกมมี ากมายหลายปริมาณ เชน่ อณุ หภมู ิ ระยะทาง ความสงู นา้ หนกั ความเร็ว
อตั ราเรว็ ความเรง่ อัตราเรง่ พืนที่ ปรมิ าตร มวล แรง ความดนั ความหนา่ แน่น การกระจดั ทอร์ก เปน็ ต้น
บางปริมาณเพยี งบอกแค่ปริมาณก็เข้าใจแลว้ เช่น ความสูง น้าหนกั ระยะทาง พืนท่ี จ้านวนเงนิ อายุ ปรมิ าตร
ปรมิ าณเช่นนี เรียกวา่ ปริมาณสเกลาร์

แตป่ ริมาณบางปรมิ าณ เชน่ บ้านมรี ะยะหา่ งจากโรงเรียน 5 กโิ ลเมตร แตก่ ไ็ ม่ทราบวา่ ระยะหา่ งนนั
ห่างในทิศทางใด จงึ ต้องมที ศิ ทางก้ากับไวด้ ว้ ยถึงจะเพยี งพอต่อความเขา้ ใจ ปรมิ าณเช่นนี เรยี กวา่ ปรมิ าณเวกเตอร์

ปริมาณเวกเตอร์ คือ ปรมิ าณท่ีมีทงั “ขนาด” และ “ทศิ ทาง” ถึงจะเพียงพอ ต่อความเขา้ ใจ
ปริมาณสเกลาร์ คอื ปริมาณทีม่ ีแค่ “ขนาด” ก็เพียงพอแลว้

ตัวอย่างปริมาณเวกเตอร์ เช่น ความเร็ว ความเรง่ การกระจัด แรง ทอร์ก
- ความเรว็ ลม 37 กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง ไปทางทศิ เหนอื
- ความเรง่ 9.8 เมตรต่อวนิ าที2 ในแนวดิ่ง
- การกระจัด 5 กโิ ลเมตร ไปทางทิศตะวันออก

สัญลกั ษณ์ของเวกเตอร์ เราสามารถแทนปริมาณเวกเตอรด์ ้วย “ลกู ศร”
โดยท่ี สว่ นของเส้นตรง แทน ขนาดของเวกเตอร์ และหัวลูกศร แทน ทิศทางของเวกเตอร์

เชน่ 3 หนว่ ยในทิศเหนือ 40 นวิ ตันไปทางทศิ ใต้ 40 N

การเรียกชื่อเวกเตอร์นัน เรานยิ มใชต้ ัวแปร u ,v , w ในการเรียกชื่อเวกเตอร์
หรอื อาจจะเรยี กดว้ ยจุดเริ่มต้นกับจดุ สนิ สุดของเวกเตอร์กไ็ ด้

เช่น u B เรียก เวกเตอร์นวี ่า u อา่ นวา่ เวกเตอร์ ยู
หรอื AB อา่ นว่า เวกเตอร์ เอบี

A ซึ่งหมายถงึ เวกเตอร์ท่ีเรมิ่ ตน้ ท่ี A และจบที่ B

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 2

อย่างท่เี รารู้กนั ว่าเวกเตอร์หน่ึง ๆ จะประกอบดว้ ย “ขนาด” และ “ทิศทาง”
ดงั นนั “ตาแหน่ง” ของเวกเตอร์ จงึ ไมม่ คี วามสา้ คัญ กล่าวคอื เราสามารถเล่อื นเวกเตอร์ไปไหนก็ไดต้ ราบใดท่ี
“ขนาด” และ “ทิศทาง” ยงั เหมือนเดิม เรยี กการเล่อื นทังขนาด และทศิ ทาง แบบนวี า่ “การเลอ่ื นขนาน”

DC
เชน่ AB = DC

AD = BC

AB

ขนาดของเวกเตอร์ จะแทนด้วยสญั ลักษณ์

เชน่ ขนาดของ u จะเขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ u หมายถงึ ขนาดของ u
DC

AB = 4 ; BA = 4

3 BC = 3 ; CB = 3

AC = 5 ; CA = 5

A 4B

การเท่ากนั ของเวกเตอร์
เวกเตอรส์ องเวกเตอรจ์ ะเท่ากนั กต็ อ่ เมอ่ื “ขนาด” และ “ทิศทาง” เหมือนกนั

เช่น

uv ab u =v
a =b

การขนานกันของเวกเตอร์

เวกเตอร์สองเวกเตอร์จะขนานกนั ก็ตอ่ เมอ่ื “ทศิ ทางเดียวกัน” หรือ “ทิศทางตรงกันขา้ ม”

เช่น

uv w ทกุ เวกเตอร์ ขนานกนั เพราะมีทิศทางเดียวกัน หรอื ตรงข้าม

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 3

การคณู เวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ −2u − 1 u −u
4
u 3u
1
2u

เวกเตอร์ 3u หมายถงึ เวกเตอร์ในทิศเดยี วกับ u และมขี นาดเปน็ 3 เทา่ ของ u

เวกเตอร์ 1 u หมายถึง เวกเตอร์ในทิศเดียวกบั u และมขี นาดเป็นครง่ึ หนงึ่ ของ u
2

เวกเตอร์ −2u หมายถงึ เวกเตอรใ์ นทศิ ตรงข้ามกับ u และมีขนาดเป็น 2 เท่าของ u

เวกเตอร์ − 1 u หมายถงึ เวกเตอรใ์ นทิศตรงขา้ มกับ u และมีขนาดเป็น 1 ใน 4 ของ u
4

เวกเตอร์ −u หมายถงึ เวกเตอรใ์ นทิศตรงข้ามกับ u และมขี นาดเท่ากบั u (นิเสธของเวกเตอร์)

ดังนัน u กับ au จะขนานกนั เสมอ เม่อื a คือจา้ นวนจรงิ (ตัวเลขอะไรกไ็ ด้)
ถา้ u ขนานกับ v เราสามารถเขยี นสมการความสัมพนั ธ์ได้วา่ u = av

เช่น ถ้ากา้ หนดให้เวกเตอรต์ อ่ ไปนีขนานกนั

u2 v4 w6 a1

จะไดว้ า่ u = − 2a หรอื −u = 2a หรือ 1 u = −a หรือ − 1 u =a
2 2

2u = v หรือ u = 1 หรอื −u = − 1 v หรอื −2u = − v
2v 2

ความสัมพนั ธข์ อง u กบั w ความสมั พนั ธข์ อง v กบั w

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 4

ตวั อยา่ งที่ 1 จากรูปจงหาเวกเตอรท์ งั หมดทีข่ นานกบั AB

แบบฝึกหดั ท่ี 1
1. จากรปู ABCD เป็นรปู สีเหลีย่ มด้านขนาน จงเขียนเวกเตอร์ทเ่ี ทา่ กับเวกเตอร์ต่อไปนี
DC
O

AB

1.1 AB = 1.2 AD =
1.3 AO = 1.4 BO =
1.5 BA = 1.6 CB =
1.7 OA = 1.8 OB =

2. จากรปู ในข้อ 1 จงเขียนเวกเตอรท์ ่ีขนานกับเวกเตอรต์ ่อไปนี

2.1 AB = 2.2 AD =
2.3 AO = 2.4 BO =

3. จากรูปในขอ้ 1 จงเขียนเวกเตอรท์ ี่เปน็ นิเสธกบั เวกเตอร์ตอ่ ไปนี

3.1 AB = 3.2 BC =
3.3 AO = 3.4 BO =
3.5 BA = 3.6 DA =
3.7 OA = 3.8 OB =

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 5

การบวกลบเวกเตอร์

การบวกเวกเตอร์ สามารถทา้ ได้โดยน้าเวกเตอร์มาต่อกัน แบบหางต่อหวั หรือหวั ต่อหาง

เวกเตอรผ์ ลลัพธ์คือเวกเตอร์ที่ลากจากจดุ เร่ิมตน้ ไปยังจดุ สดุ ท้าย

u +v

เชน่ u+v = =
vu v
u
u +v

การลบเวกเตอร์ สามารถท้าไดเ้ ช่นเดียวกับการบวก แต่ตอ้ งบวกดว้ ยเวกเตอรต์ วั ลบทก่ี ลบั ทศิ

เช่น u − v = u + (− v) = u

uv u −v −v

การลบเวกเตอรอ์ กี วิธี คือ น้าหางมาต่อกนั ผลลพั ธค์ อื เวกเตอร์ทลี่ ากจากเวกเตอร์ตัวลบไปยงั ตัวบวก

เชน่ v

u v u−v = u −v

u

เวกเตอร์ทขี่ นานกัน เม่อื บวกลบกนั สามารถน้าตวั เลขมากระท้ากนั ไดเ้ ลย

เชน่ u + 2u = 3u

u 2u

เชน่ 5u − 1 u = 9 u
2 2

เช่น 2v − 4v = − 2v

เวกเตอร์ศูนย์ คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นศูนย์

เช่น u +v +w = w =0
u v
uv w

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 6

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาผลบวกของเวกเตอร์ต่อไปนี

C

AB + BC =

A B AB + BC + CD + DE =
E D

A C

B
ตัวอย่างท่ี 3 สามเหลีย่ ม ABC มี AB = u และมี AC = v ให้ CD เป็นเส้นมัธยฐานของสามเหลยี่ ม ABC

จงหาCD ในรปู ของ u และ v

ตัวอยา่ งที่ 4 จากรปู จงพิสูจน์ว่าสว่ นของเส้นตรง DE ขนาน และยาวเป็นครงึ่ หนึ่งของส่วนของเส้นตรง AB

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 7
ตัวอยา่ งท่ี 5 กา้ หนดให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ทีไ่ ม่ขนานกนั ถ้า a(u + v) − u = b(u − v) แล้ว

จงหา a − b

ตัวอย่างท่ี 6 กา้ หนดให้ u และ v เวกเตอรท์ ไ่ี มข่ นานกนั w = (a + b + 1)u + (1 − b)v
และ s = u + (a + b)v ถ้า w = 2s แล้ว a + b มคี า่ เท่าใด

ตวั อยา่ งที่ 7 ให้ u  0 และ v  0 และ u ไมข่ นานกับ v จงหาจ้านวนจรงิ x และ y
ทท่ี า้ ให้ (x − 1)u + (3 − y)v = 0

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 8

แบบฝึกหัดที่ 2

1. จากรปู กา้ หนดให้ AB = u และ AC = v
จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนใี นรปู ของ u และ v

1.1 AF 1.2 AD

1.3 DC 1.4 CA

1.5 BF 1.6 BC

1.7 BE 1.8 CE

1.9 CF เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 9
1.10 FD

1.11 AE 1.12 DE

2. จากรปู กา้ หนดให้ AB = u และ AD = v
จงเขยี นเวกเตอรต์ ่อไปนใี นรูปของ u และ v

2.1 BC 2.2 AC

2.3 DB 2.4 AF

2.5 GF เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 10
2.7 AH 2.6 HG

2.8 HE

3. ก้าหนด u  0 , v  0 และ u ไมข่ นานกบั v ถา้ xu + (3x − 1)v = (2 y + 1)u − 6 yv

แล้ว y + 1 x เทา่ กับเท่าใด
4

4. ก้าหนดให้ u  0 , v  0 และ x เปน็ จา้ นวนจรงิ ซงึ่ ท้าให้ 8u − 3xv = 10u + (2x2 − 9)v
เป็นจริง จงหาเซตของจา้ นวนจรงิ x ซึ่งท้าให้ u และ v ขนานกนั และทศิ ทางตรงกนั ขา้ ม

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 11

5. ก้าหนดให้ ABC เป็นรปู สามเหลี่ยมใด ๆ และ E เปน็ จุดทท่ี ้าให้ CE = 2BA ให้ BC = u และ AC = v
จงหาเวกเตอร์ BE ในรูปของ u และ v

6. ก้าหนดให้ ABC เป็นรปู สามเหลีย่ มที่มี D เป็นจดุ บนด้าน AC และ F เปน็ จุดบนดา้ น BC

ถ้า AD = 1 AC , BF = 1 BC และ DF = aAB + bBC แลว้ a มคี า่ เท่ากับเท่าใด
4 3 b

[PAT1 (ต.ค.52)/2-12]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 12

7. กา้ หนดให้ ABCD เป็นรูปสีเ่ หลี่ยมด้านขนาน M เป็นจุดบนดา้ น AD ซงึ่ AM = 1 AD และ N
5

เป็นจดุ บนเส้นทแยงมมุ AC ซึ่ง AN = 1 AC ถ้า MN = aAB + bAD แลว้ a + b เท่ากบั เทา่ ใด
6

[PAT1 (ม.ี ค52)/24]

8. ก้าหนด จุด A(3,0) , B( 3 + 3 ,1 ) และ C(a,b) โดยท่ี C อย่ใู นจตุภาคท่ี 4
ABกับ AC ท้ามมุ กัน 60 และ AC = 2 3 AB จงหาค่าของ a2 + b2 [PAT1 (ธ.ค54)/33]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 13

9. จากรปู a + b + c = 0

ข้อใดตอ่ ไปนี ถกู ต้อง [PAT1 (ธ.ค.54)/12]

1. a cosec35 = c  1 + cot 20 
 cot 35 

2. a cosec20 = c  1 + cot 35 
 cot 20 

3. a cosec35 = c  1 + tan20 
 tan35 

4. a cosec20 = c  1 + tan35 
 tan20 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 14

เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก

ในเนอื หาทีผ่ ่านมา เราจะแทนเวกเตอร์ดว้ ย “ลูกศร” ซึง่ ไม่สะดวกในการคา้ นวน เราจะน้าเวกเตอรท์ ีแ่ ทน
ดว้ ยลูกศร ไปวาดลงในระบบพิกัดฉาก

เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉาก 2 มติ ิ จะมี 2 แกนคอื แกน X และ แกน Y โดยเราจะใช้ “เมทริกซ์”
แทนเวกเตอร์ ซง่ึ สมาชิกในหลักที่หน่ึงของเมทริกซ์คือ “ระยะทางแกน X” และ “ระยะทางแกน Y” ตามลา้ ดับ

เช่น เวกเตอรท์ ่ีชีจากจุด A(0,0) ไปยงั จดุ B(3,4)

Y เวกเตอรนี ชื่อว่า u หรอื AB หรือ 3
B (3,4)
4 
4 

A (0,0) 3 X ขนาดของเวกเตอร์จะสามารถใหไ้ ดจ้ าก “ทฤษฎีบทพที าโกรสั ”

ดงั นัน ขนาดของ u หรือ AB หรือ 3 = ความชนั ของเวกเตอร์

4  32 + 42 = 5 และ mu = y2 − y1 = 4 − 0 = 4
 x2 − x1 3 −0 3

ขนาดของเวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉาก 2 มติ ิ

กา้ หนดให้ u = a ขนาดของ u คอื u = a2 + b2
b

ความชนั ของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มิติ

ความชนั ของเวกเตอรท์ ่เี รมิ่ ตน้ จาก จดุ ( x1, y1 ) ไปยัง จดุ ( x2 , y2 ) คอื y2 − y1
x2 − x1

หรือถา้ u = a ความชันของ u คอื b ความชนั ของเวกเตอร์ u เขยี นแทนด้วย mu
b a

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 15

ตัวอย่างที่ 8 จงเขยี นเวกเตอรต์ อ่ ไปนใี ห้อยู่ในรปู เมทริกซ์ พร้อมทังหาขนาด

Y

(0,0) 2X u =   u= mu =
-2 (2,-2)  


Y

(-2,1) v =   v = mv =
  w = mw =
(0,0) X 
Y
w =  
-1 (0,0) X  
-3 

หากเวกเตอร์ไมไ่ ด้เรม่ิ ที่จดุ กาเนิด (0,0) เราจะมวี ธิ หี าระยะทางแกน X และระยะทางแกน Y ดังนี

เวกเตอร์ทีเ่ รม่ิ ตน้ จาก จุด( x1, y1 ) ไปยงั จดุ ( x2 , y2 ) คอื  x2 − x1 
 − 
 y2 y1 

Y    
   
เชน่

9 (4,9)

u = =

  

u=

3 mu =
(1,3)

14 X

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 16

ตวั อยา่ งท่ี 9 จงเขียนเวกเตอรต์ ่อไปนใี หอ้ ยู่ในรูปเมทริกซ์ พรอ้ มทังหาขนาด

เวกเตอรจ์ าก A(1,-2) ไปยัง B(-1,0) AB =   =   AB = mAB =
    CD = mCD =
   EF = mEF =

เวกเตอร์จาก C(8,8) ไปยัง D(10,18) CD =   
 = 
  

เวกเตอรจ์ าก E(-2,3) ไปยงั F(1,-4) EF =   
 = 
  

เวกเตอร์จาก G(-4,3) ไปยงั H(-5,-2) GH =   =   GH = mGH =
   
  

ถา้ ความชันเทา่ กัน แสดงว่า เวกเตอร์นนั้ ขนานกัน

การบวกลบเวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉาก 2 มิติ

กา้ หนดให้ u = a , v = c uv = a  c = ac
b d b d b  b

นเิ สธของเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ดั ฉาก 2 มิติ

กา้ หนดให้ u = a นเิ สธของ u คือ −u = a −a
b − b = −b

เวกเตอร์ศนู ยใ์ นระบบพิกัดฉาก 2 มิติ คือ 0 = 0 (เวกเตอรศ์ ูนย์ คือ เวกเตอรท์ ม่ี ีขนาดเป็นศนู ย์)
0

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 17

การคณู เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉาก 2 มิติ ด้วยสเกลาร์

การคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์ เม่อื  เปน็ จ้านวนจรงิ ใดๆ

ก้าหนดให้ u = a  u =  a =  a
b b  b

การเท่ากนั ของเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉาก 2 มิติ

เวกเตอร์สองเวกเตอรจ์ ะเท่ากัน กต็ อ่ เมือ่ “ขนาด” และ “ทิศทาง” เหมอื นกัน

ก้าหนดให้ u = a , v = c ถ้า u=v ก็ตอ่ เมือ่ a = c นนั คอื a = c , b = d
b d b d

ตวั อยา่ งท่ี 10 จงหาคา่ x และ y ท่ีท้าให้ 2 y +1
=
 x   3 
  

การขนานกนั ของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 2 มติ ิ
นอกจากเราจะใชค้ วามชนั ของเวกเตอร์มาตรวจสอบว่าเวกเตอรน์ ันขนานกันหรือไม่

เรายงั สามารถใช้อีกวิธี นันคือ การใช้สมการความสัมพันธ์ของเวกเตอรท่ีขนานกนั

ถา้ u ขนานกบั v เราสามารถเขยี นสมการความสมั พันธ์ไดว้ า่ u = av
หาก a  0 ขนานกันแบบ “ทิศเดียวกนั ”
หาก a  0 ขนานกนั แบบ “ทศิ ตรงขา้ ม”

ตวั อย่างท่ี 11 จงตรวจสอบวา่ เวกเตอร์ตอ่ ไปนขี นานกันหรือไม่

2 กบั 4
3
6 


เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 18

−2  กับ 1
−4  2

0 กับ 0
3 5

0 กบั 1
3 6

เวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยตามแกน X และแกน Y

เวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยคือเวกเตอร์ที่มีขนาดหนง่ึ หนว่ ย ไมว่ ่าเวกเตอร์นันจะมีทิศทางใดก็ตาม

กา้ หนดให้ i = 1 คือ เวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยตามแกน X
0

ก้าหนดให้ j = 0 คอื เวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยตามแกน Y
1

เราสามารถเขียนเวกเตอร์ a ในรปู ของ i, j ไดด้ งั นี a = ai + b j
 b  b

เชน่ Y 3 ดังนัน u = AB = 3 = 3i + 4 j
4 B(3,4) 4
4
0
A(0,0) 4

X

3 3
0

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 19

เวกเตอร์หน่ึงหนว่ ยในระบบพิกดั ฉาก 2 มิติ

ก้าหนดให้ u = a และ u  0 แลว้
b

เวกเตอร์ หนง่ึ หนว่ ย ทม่ี ีทศิ เดยี วกับ u คอื 1 u = 1 a
u a2 + b2 b

เวกเตอร์ k หนว่ ย ท่มี ีทิศเดยี วกับ u คือ k u = k a
u a2 + b2 b

*** ถ้าอยากได้ทิศตรงขา้ ม ให้คูณดว้ ย -1 เข้าไป

ตัวอยา่ งที่ 12 จงหาเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยในทิศเดียวกับ 3

4 


ตัวอย่างท่ี 13 จงหาเวกเตอรส์ ามหนว่ ยในทิศเดียวกบั 1
−1

ตวั อย่างท่ี 14 จงหาเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยในทศิ ตรงขา้ มกบั −1

 2 
 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 20
ตวั อย่างท่ี 15 จงหาเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยในทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ทชี่ จี าก จุด(-4,3) ไปยัง จุด(1,2)

แบบฝึกหดั ที่ 3 1.2 จาก C(1,-1) ไปยัง D(-1,1)
1. จงหาเวกเตอรท์ ่ลี ากระหว่างจุดตอ่ ไปนี 1.4 จาก O(2,3) ไปยัง M(1,2)
1.1 จาก A(1,3) ไปยัง B(3,9) 1.6 จาก P(-2,-3) ไปยงั L(5,6)
1.8 จาก U(-1,-3) ไปยัง K(-3,-9)
1.3 จาก F(1,2) ไปยงั E(3,4)

1.5 จาก W(-5,1) ไปยัง Y(3,-2)

1.7 จาก H(-5,2) ไปยงั G(-3,-2)

2. จงหาจดุ ต่อไปนี

2.1 ก้าหนด AB = 3 และ A(3,4) จงหา B
2

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 21

2.2 กา้ หนด CD = −3 และ C(2,3) จงหา D

 1 
 

2.3 ก้าหนด EF = −2 และF(3, −4) จงหา E
−5

2.4 กา้ หนด GH = 2 และ H(−5, 6) จงหา P
−3

3. จงหา a , b ท่ีท้าให้ a + 3 = 2b
 a  −1
 

4. จงหา a , c ที่ท้าให้ c2 −c− 72 = 0
 2a  c
 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 22

5. จงหาเวกเตอร์ต่อไปนี

5.1 2 + 4 =
3 5

5.2 −3 + 4 =
−4 5

5.3 5 + −5 =
6 −6

5.4 9 − 7 =
8 8

5.5 4 − −6 =
−5  7 

5.6 −3 + 3 =
−4 4

6. กา้ หนด A(1,2) , B(2,3) , C(5,6) จงหา AB + BC

7. ก้าหนด A(1,2) , B(3,5) , C(-2,4) , D(3,-5) จงหา AB + CD

8. กา้ หนด u = 2  , v = −3 , w = −4 จงหา
−4  −8
  6 
 

8.1 2u + 3v

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 23

8.2 3u + 4w

8.3 2v + 5w

8.4 2u + 3v − 5w

8.5 1 + 1 v − 1 w
2u 3 4

9. เวกเตอร์ต่อไปนเี วกเตอร์ใดบา้ งทขี่ นานกนั

1 2 −3 2 6  −1  8 −4 1
4 −6 3 9 4 −2
2  , , , , ,  3  , , ,  1 
 − 2   
  2

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 24

10. จงหาขนาดของเวกเตอรต์ อ่ ไปนี

10.1 −3
 4 

10.2 −4

 3 
 

10.3 −6
−8

10.4 1
2

10.5 −2
 3 

1

10.6  2 
 
1

 2 

3

10.7  5 
4
 
 

 5 

10.8 2 3 − 1
−4 4

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 25

11. จงเขยี นเวกเตอรต์ อ่ ไปนีใหอ้ ย่ใู นรูปของ i , j

11.1 −3
 4 

11.2 −4
 3 

11.3 −6
−8

11.4 1
2

11.5 −2
 3 

1

11.6  2 
 
1

 2 

12. กา้ หนด A(1,2) , B(3,4) , C(6,7) จงหา AB , BC , AC

13. ก้าหนด AB = 3  , BC = 2 จงหา AC
4  3


เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 26

14. ก้าหนด AB = 2 , AC = 2 จงหา BC
3 3

15. ก้าหนด u = 2 , v = −3 , w = 0 จงหาเวกเตอรต์ ่อไปนีในรูปของ i, j
−5  1  −8

15.1 u + v + w

15.2 u − v − w

15.3 2u + 3v − 5w

15.4 1 u + 1 v − 1 w
2 3 4

16. ถ้า u = ai + 12 j และ u = 13 จงหา a

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 27

17. ถ้า v = 15i + m j และ v = 25 จงหา m

18. จงหาเวกเตอรห์ น่ึงหน่วยทมี่ ที ศิ ทางเดยี วกันกับเวกเตอร์ 3i + 4 j

19. จงหาเวกเตอรห์ น่ึงหน่วยที่มีทิศทางตรงขา้ มกบั เวกเตอร์ 6i + 8 j

20. จงหาเวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยทข่ี นานกบั เวกเตอร์ 2i + j

21. จงหาเวกเตอร์ 5 หนว่ ยที่ขนานกับเวกเตอร์ 1
2

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 28

22. ก้าหนด P(2,-1) , Q(-2,1) จงหาเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยทม่ี ีทศิ ทางตรงขา้ มกบั เวกเตอร์ PQ
23. จงหา a,b เมื่อกา้ หนดให้ ai + 3 j = 5i + b j
24. จงหา a,b เมื่อกา้ หนดให้ 4ai − 3 j = 2(3i − 4b j)

25. จงหา a,b เมอื่ ก้าหนดให้ 5i − 8 j = a(3i − 2 j) − b(2i + j)

26. ถา้ ai + 4 j ขนานกับ 9i + 6 j จงหา a

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 29

27. ก้าหนด u = i − 2 j และ v = 2i + j ถา้ AB = 3u − 2v และพกิ ดั ของจดุ A คอื (-1,0)

จงหาพิกัดของ B

ในเนือหาที่ผ่านมา นักเรียนได้เรียนเกี่ยวกับเวกเตอร์ 2 มิติ ไปแล้ว นันคือเวกเตอร์ที่สามารถบอกได้ด้วย
ระยะทางแกน X และ ระยะทางแกน Y ซ่ึงเวกเตอร์แบบ 2 มิตินี จะบอกเราได้แค่ความกว้าง และความยาว
แต่ในกรณีท่ีมี ความลึก หรือ ความสูง เข้ามาเก่ียวข้อง จะจัดเป็นเวกเตอร์แบบสามมิติ หรือเรียกเต็ม ๆ ว่า
เวกเตอร์ในปรภิ มู ิสามมิติ

เวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉาก 3 มิติ จะมี 3 แกนคือ แกน X แกน Y และ แกน Z
โดยเราจะใช้ “เมทรกิ ซ์” แทนเวกเตอร์ ซึ่งสมาชกิ ในหลกั ที่หนง่ึ ของเมทริกซ์ คอื “ระยะทางแกน X”
“ระยะทางแกน Y” และ “ระยะทางแกน Y” ตามล้าดับ

เช่น

1 u =
u = 4

3

ขนาดของเวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

a
b 
กา้ หนดให้ u =  ขนาดของ u คอื u = a2 + b2 + C2

c 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 30

ความชนั ของเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉาก 3 มิติ

ความชันของเวกเตอร์ทเี่ รมิ่ ตน้ จาก จดุ ( x1, y1, z1 ) ไปยัง จุด( x2 , y2 , z2 ) หาไดจ้ ากการเทยี บแกน
โดยจะเทียบแกนเป็นคู่ ๆ 3 คู่ โดยแตล่ ะคกู่ จ็ ะคิดความชนั เช่นเดยี วกับเวกเตอร์ 2 มติ ิ

เชน่

1
u = 4

3

ความชันเทยี บแกน X และ Y คือ 4 = 4
1

ความชนั เทยี บแกน Y และ Z คอื 3 เวกเตอรส์ องเวกเตอร์จะขนานกนั
4 เมอื่ ความชนั ทเี่ ทยี บแกนเหมือนกัน ความชนั เท่ากัน

ความชันเทยี บแกน X และ Z คอื 3 = 3
1

เวกเตอรท์ ขี่ นานกนั ในระบบพิกดั ฉาก 3 มิติ

สามารถหาได้ ถา้ u ขนานกบั v เราสามารถเขียนสมการความสัมพันธ์ได้ว่า u = av
หาก a  0 ขนานกนั แบบ “ทศิ เดียวกนั ”
หาก a  0 ขนานกนั แบบ “ทศิ ตรงขา้ ม”

−1  2 

ตัวอย่างที่ 16  2  กบั −6  ขนานกันหรือไม่
  
−3  9 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 31

−1  2 

ตวั อย่างที่ 17  1  กบั −2  ขนานกนั หรือไม่
  
−2 −4

−1  2 

ตัวอย่างท่ี 18  1  กบั  −2  ขนานกนั หรอื ไม่
 
 0   0 

หากเวกเตอร์ไมไ่ ดเ้ ร่ิมที่จุดกาเนิด เราจะมวี ิธีหาระยะทางแกน X ระยะทางแกน Y และระยะทางแกน Z ดงั นี

 x2 − x1 
 
เวกเตอร์ท่เี ร่มิ ต้นจาก จุด( x1, y1, z1 ) ไปยัง จุด( x2 , y2 , z2 ) คือ  y2 − y1 

 z2 − z1 

ตัวอย่างที่ 19 จงหาเวกเตอรท์ ช่ี ีจากจุดA(2,-1,0) ไปยงั จดุ B(0,-2,3)

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 32

การบวกลบเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉาก 3 มิติ

a d a d a  d
b e  = b  e  b 
ก้าหนดให้ u = , v =  u v  =  e 

c f  c f   c  f 

นเิ สธของเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉาก 3 มิติ

a a −a
b  − b − 
ก้าหนดให้ u =  นเิ สธของ u คือ −u = = b 

 c  c −c

0 (เวกเตอร์ศนู ย์ คือ เวกเตอรท์ ม่ี ีขนาดเป็นศูนย์)
เวกเตอร์ศูนยใ์ นระบบพกิ ัดฉาก 2 มิติ คอื 0 = 0

0

การคูณเวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉาก 3 มิติ ด้วยสเกลาร์

การคูณเวกเตอรด์ ว้ ยสเกลาร์ เมือ่  เป็นจ้านวนจริงใดๆ

a a a
กา้ หนดให้ u = b  u =  b = b

 c  c c

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 33

การเท่ากันของเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก 3 มติ ิ
เวกเตอร์สองเวกเตอรจ์ ะเท่ากนั กต็ อ่ เม่อื “ขนาด” และ “ทิศทาง” เหมอื นกัน กา้ หนดให้

a d a d
u = b , v = e b e 
ถ้า u = v กต็ อ่ เมือ่ =  นนั คือ a = d ,b = e , c = f

c f  c f 

x 2
   
ตัวอยา่ งที่ 20 จงหาค่า x , y และ z ท่ีทา้ ให้  x + y  =  z 

 −3  x + z

เวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยตามแกน X แกน Y และแกน Z

เวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยคอื เวกเตอรท์ ี่มีขนาดหนง่ึ หน่วย ไม่ว่าเวกเตอรน์ นั จะมีทิศทางใดก็ตาม

1
กา้ หนดให้ i = 0 คือ เวกเตอรห์ นงึ่ หน่วยตามแกน X

0

0
ก้าหนดให้ j = 1 คือ เวกเตอรห์ น่งึ หน่วยตามแกน Y

0

0
ก้าหนดให้ k = 0 คือ เวกเตอรห์ นึง่ หน่วยตามแกน Z

1

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 34

a a

เราสามารถเขยี นเวกเตอร์ b ในรูปของ i, j,k ได้ดงั นี b  = ai + b j + ck


c  c 

ตัวอย่างที่ 21 จงเขยี นเวกเตอรต์ อ่ ไปนีในรูปของ i , j, k

−1 −1

 1  =  0  =
   
 −2   9 

1 0
−2 =
 0   1  =
 
เวกเตอรห์ นึง่ หน่วยในระบบพกิ ัดฉาก 3 มติ ิ  −2 

a
b 
กา้ หนดให้ u =  และ u  0 แล้ว

 c 

คอื 1 u = 1 a
u + b2 b 
เวกเตอร์ หน่งึ หน่วย ท่ีมีทศิ เดียวกับ u a2 + c2 

 c 

k k a
u + b2 b 
เวกเตอร์ k หน่วย ท่ีมีทิศเดียวกบั u คือ u = a2 + c2 

 c 

*** ถ้าอยากไดท้ ิศตรงขา้ ม ใหค้ ูณด้วย -1 เขา้ ไป

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 35

1
ตัวอย่างท่ี 22 จงหาเวกเตอรห์ น่งึ หน่วยในทิศเดียวกับ −1

 2 

ตัวอย่างท่ี 23 จงหาเวกเตอร์ 5หน่วย ในทิศเดียวกับเวกเตอร์ทีช่ ีจากจดุ A(2,-1,0) ไปยงั จดุ B(0,-2,3)

ตัวอย่างท่ี 24 จงหาเวกเตอร์หนงึ่ หน่วย ท่ขี นานกบั กับเวกเตอร์ที่ชีจากจดุ A(0,1,-1) ไปยังจดุ B(-2,1,1)

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 36

ตวั อยา่ งที่ 25 ใหจ้ ุด A(0,-1,1) , B(1,1,1) และ C(3,5,-1) เป็นจุดในปริภูมสิ ามมติ ิ จงหา 3AB − 2AC

ตวั อย่างท่ี 26 จงหา a , b ทท่ี า้ ให้สมการต่อไปนเี ป็นจริง

a ขนานกบั 6
 3  −9

 a  −4

−1 มที ศิ ทางตรงกันข้าม  4 a 

 2  ab

1
ตัวอยา่ งท่ี 27 ให้ u = −1 , v = 2 j − k จงหาเวกเตอรท์ ยี่ าวเท่ากบั v และมีทิศทางตรงข้าม

 0 

กับ u − v

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 37

แบบฝกึ หัดท่ี 4

1. จงเขียนเวกเตอรใ์ นรูปของ i , j, k ที่สอดคลอ้ งกับเง่อื นไขตอ่ ไปนี

1.1 จาก (0,-1) ไปยัง (5,0) 1.2 จาก (-1,3,1) ไปยัง (0,0,0)

1.3 จาก (0,1,-1) ไปยัง (-2,1,1) 1.4 จาก ( 2 , − 1 ) ไปยัง (0 , 3 )
1.6 จาก (10,2,-3) ไปยงั (4,3,7) 2 2

1.7 จาก (3,5,7) ไปยงั (-1,-2,3)

1.8 จาก (-1,2,-6) ไปยงั (2,-6,8) 1.9 จาก ( −1, 3 , 3 ) ไปยัง (2 , − 1 , 3 )
2 4 2 8

1.10 จาก ( 3 , 2, −3 ) ไปยัง ( −1, 1 , 3 )
4 2 2

2. จงหาพกิ ดั ของจุดต่อไปนี จากเงื่อนไขที่กา้ หนดให้

1
2.1 กา้ หนด AB = −1 และ A(2, − 2 ,4) จงหา B

 1 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 38

0
 
2.2 กา้ หนด CD =  6  และC(1, − 2 ,2) จงหา D

−5 


−3
 
2.3 ก้าหนด EF =  3  และF(4, − 5, − 3) จงหา E

 6 
 

0
2.4 กา้ หนด PQ = −1 และQ(5,6, −7) จงหา P

 0 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 39

3. จงหาเวกเตอรต์ ่อไปนี

2 8
−3  
3.1 +  6  =

 4  −7

 11  3
−4  7
3.2  + =

−3 9

 16  −8
  −6
3.3  9  − =

−7   3 
  

 13   19 
−2  −6
3.4  − =

 9   11 

3.5 ก้าหนด A(7,3, −1) , B(3, −3,4) , C(2,2, −2) จงหา AB + BC และ AC

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 40

 3  −1 2
−4    
4. กา้ หนด u = , v =  1  , w =  0  จงหา

 5   2  −2

4.1 2u + 3v

4.2 3v − 2w

4.3 u − 4v + 1 w
2

4.4 3u − v − 2w

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 41

5. เวกเตอรต์ ่อไปนเี วกเตอรใ์ ดบ้างท่ขี นานกัน

9 −123 
−223  
−6 6  −3 9  9
 −3  −6
 4  , −2  ,  ,  2  ,  6  , ,  3 
    
−2  4  −1  1 
 3  − 2 
 
 

6. จงหาขนาดของเวกเตอรต์ ่อไปนี

− 2 


6.1  2 

 5 
 

1
 
6.2  −1 

 2 

4

6.3 −4

−2

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 42

−6
 
6.4  3 

−2

−3
 
6.5  6 

−6

2
 
6.6  − 5 

 4 
 

7. ก้าหนด AB = −5i + 4 j − 2k , AC = −i + j − 3k จงหา BC

8. u = −3i + a j + 2k และ u = 7 จงหา a

1

9. จงหาเวกเตอรท์ ี่ยาว 2 หน่วย ในทิศเดยี วกับ −1

 2 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 43
10. จงหาเวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยท่มี ีทิศเดียวกับเวกเตอร์ −8i + 6 j + 2k

11. จงหาเวกเตอร์หนง่ึ หนว่ ยทม่ี ีทศิ ทางตรงขา้ มกบั เวกเตอร์ 7i − 4 j + 3k

12. จงหาค่า a เม่ือก้าหนดให้ 2i + a j + 5 k ขนานกบั −5i + 5 j − 25
2 2 4k

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 44

13. กา้ หนด A , B , C เป็นจดุ ยอดของสามเหล่ียม P เป็นจุดกึง่ กลางของ AC Q อยู่บน AB

ทา้ ให้ AQ : QB = 1 : 2 ถ้า AB = 6i − 3 j และ BC = 2i + 3 j จงหา PQ [PAT1 (ธ.ค.54)/13]

14. กา้ หนดu = 3i + 4 j ถ้า w = ai + b j โดยท่ี w มิทิศเดียวกับ u และ w = 10 แลว้ a + b

เทา่ กับเท่าใด [A-NET 49/2-4]

15. ก้าหนดให้ A( a,b ) , B(4,-6) และ C(1,-4) เป็นจุดยอดของรูปสามเหลีย่ ม ABC ถ้า P เปน็ จุด

บนดา้ น AB ซงึ่ อยูห่ ่างจากจุด A เท่ากับ 3 ของระยะระหวา่ ง A และ B และเวกเตอร์ CP = i + 2 j
5

แล้ว a + b เท่ากับเท่าใด

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 45

การคูณระหว่างเวกเตอร์กบั เวกเตอร์

การคูณเวกเตอรก์ บั เวกเตอร์สามารถทา้ ได้ 2 แบบ
แบบแรก เรยี กว่า “ผลคณู เชิงสเกลาร”์ Dot Product
แบบที่สอง เรียกวา่ “ผลคูณเชิงเวกเตอร์” Cross Product

ผลคูณเชงิ สเกลาร์ (Dot Product)
การดอท คือ การคูณระหว่างเวกเตอร์กับเวกเตอร์ ผลลัพธ์ที่ได้จะเปน็ “จานวนจริง” (ตัวเลข)

ผลคูณเชงิ สเกลาร์ของ u และ v เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ u v อ่านวา่ ยดู อทวี ซ่งึ จะหาได้จาก

ในระบบพกิ ดั ฉาก 2 มติ ิ  x1    x2  = x1 x2 + y1 y2
   y2 
 y1   

 x1   x2 
   
ในระบบพกิ ดั ฉาก 3 มิติ  y1    y2  = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

 z1   z2 

ตวั อย่างที่ 28 จงหาผลลพั ธต์ อ่ ไปนี

1. 2   4 =
3  5

2. −1  3 =
 0  −2

 1  3

3. −2  1 =

−1 2

 −2  0
−12  0
4.   =

 41  0

5. (i + 2 j)  (−i − j) =

6. (2i − j − k)  (i + j + k) =

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 46

สมบัตขิ องผลคูณเชงิ สเกลาร์ (Dot Product)
ก้าหนดu ,v และ w เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ และ a เป็นจ้านวนจริง
1. u  v = v u สมบัตสิ ลับที่
2. สา้ หรับ u ใดๆ u  u  0
3. u  u = 0  u = 0
4. u u = u 2
5. (au )  v = u  (av) = a(u  v) สมบัติการเปลย่ี นกลุม่
6. u  (v  w) = (u  v)  (u  w) สมบตั ิการแจกแจง

7. ถ้า  เปน็ มุมระหวา่ ง u และ v แลว้ u v = u v cos

8. ถา้ u v = 0 แสดงวา่ u ตังฉากกับ v
ส่ิงทตี่ ้องระวงั คือ การดอทนันเป็นการคณู ระหวา่ งเวกเตอร์สองเวกเตอร์ และผลลพั ธท์ ี่ได้เปน็ จ้านวนจรงิ
(ตัวเลข) ดังนนั เราไม่สามารถน้าเวกเตอรส์ ามเวกเตอร์มาดอทกันได้ เพราะว่าการดอทเวกเตอร์สองตวั แรก
ผลลัพธค์ ือจา้ นวนจริง และเราไมส่ ามารถนา้ จ้านวนจรงิ มาดอทกบั เวกเตอรอ์ ีกตัวได้ เนื่องจากการดอทคอื การ
กระทา้ ระหวา่ งเวกเตอรก์ บั เวกเตอร์ นันคือไมส่ ามารถท้าเชน่ นไี ด้ u  v  w
แตเ่ ราสามารถท้าแบบนไี ด้ (u  v)w นันคือการคณู เวกเตอร์ด้วยตวั เลขตามปกติที่เคยเรยี นมา

ในกรณีที่โจทย์ให้มุมระหว่าง u และ v มา เราสามารถหาu  v ได้จาก u v = u v cos

เมอ่ื  เป็นมุมระหวา่ ง u กับ v เม่อื เอาจดุ ต้ังต้นของมาตอ่ กนั
จะเห็นว่า จะไม่มีทางเกิน180 (เพราะถ้าเกนิ ก็ให้วัดจากอกี ฝงั่ ท่ีมุมเล็กกวา่ )

จากสมบัตทิ วี่ ่า u v = u v cos หากเราพจิ ารณาจะพบว่า

ในกรณีที่ u ตังฉากกับ v นนั คอื  = 90 ดงั นนั้ uv = u v cos 90 = u v 0 = 0
ในกรณที ี่ u มีทศิ ทางเดยี วกันกบั v นันคอื  = 0 ดงั นัน้ u v = u v cos 0 = u v 1 = u v
ในกรณี u มที ิศตรงขา้ มกับ v จะได้  = 180 ดังนั้น u v = u v cos180 = u v (−1) = − u v

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 47
จากเร่ืองตรีโกณมิติ เราสามารถหา “ระยะเงา” ของ v บน u ไดจ้ าก v cos
และจาก u v = u v cos ดงั นัน ระยะเงา = u v

u

ตัวอยา่ งท่ี 29 สเ่ี หลี่ยมดา้ นขนาน ABCD มี AB = 5 , BC = 2 และมมุ A =60 จงหา DC  CB

1 2

ตัวอย่างที่ 30  −2  กับ  2  ตังฉากกนั หรอื ไม่
   
−1 −2

ตัวอยา่ งท่ี 31 จงหาขนาดของมมุ ท่ี − 3i + 3 j กระทา้ กับ i + 3 j

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 48
ตวั อยา่ งท่ี 32 จงหาขนาดของมุมท่ี − 3i + 3 j กระท้ากับแกน Y

จาก“กฎของโคไซน์” เราสามารถน้ามาประยกุ ต์ใช้กับเวกเตอรไ์ ด้ เน่ืองจาก u  v สามารถประกอบกับ
u และ v เป็นรูปสามเหลีย่ มได้

ถ้าเราใชก้ ฎของโคไซน์ กับสามเหลีย่ มเหล่านี รว่ มกบั สตู ร u v = u v cos เราจะได้สูตรออกมาดงั นี
u + v 2 = u 2 + v 2 + 2u  v
u − v 2 = u 2 + v 2 − 2u  v

และถา้ เรานา้ สูตรทังสองมาบวกลบกนั ก็จะไดส้ ตู รมาอีกสองสตู ร ดงั นี
u+v2 + u−v2 =2 u2 +2 v2
u + v 2 − u − v 2 = 4u  v

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 49
ตวั อยา่ งที่ 33 ก้าหนด u = 3 , v = 5 , u − v = 4 จงหา u v

ตัวอยา่ งที่ 34 ก้าหนด u = 2 , v = 5 , u + v = 4 จงหา u − v

ตัวอยา่ งท่ี 35 ก้าหนด u = 3 , v = 1 และu ท้ามุม 60 กบั v จงหา 2u − v

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 50

แบบฝกึ หดั ท่ี 5

1. จงหา u v เม่อื ก้าหนด u และ v ดงั ต่อไปนี
1.1 u = 3i + 4 j และ v = 2i + 5 j

1.2 u = 4i − 3 j และ v = 2i + 4 j

1.3 u = 6i − 4 j และ v = 2i + 3 j

1.4 u = 5i + 3 j และ v = 3i − 5 j

1.5 u = i − j + 2k และ v = 2i + 2 j − k

1.6 u = 3i − 2 j + k และ v = −2i + j − 3k

1.7 u = −6i + 4 j + 5k และ v = i − 2 j + 2k

1.8 u = −2i − j − 2k และ v = −3i − 2 j + 4k