บทที่ 1 เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 51

1.9 u = −3 และ v = 2
 5  3

2 1
−1 −2 
1.10 u = และ v = 

 1  −3

1.11 u = 2i − 3 j และ v = 2 j − i

1

1.12 u = −2 และ v = i − k

 2 

2. เวกเตอรใ์ นขอ้ ใด ตงั ฉากกนั

−1  1 
  −2
2.1  1  กบั

 2   1 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 52

2.2 i − j กับ i + j

2.3  3 กบั 3i − 2j
 
 2 

2.4 2i − j + k กบั i − 2k

2.5 3 กับ 8
 4  −6

2.6 5i − 4 j กับ 4i + 5 j

2.7 3 i + 2 j กับ 4 i − 3 j
4 3 3 2

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 53

3. จงหา x ทีท่ ้าให้เวกเตอร์ต่อไปนี ตังฉากกนั

3.1 x กบั −2
 6   3 

3.2 x กบั 10
   
 5   6 

 6   10 
 x   −12 
3.3  กบั

 3   −4 

 x  x − 3
   1
3.4  −2  กับ  x +

 x + 5  1 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 54
4. ก้าหนด u กับ v เปน็ เวกเตอรใ์ นระบบสองมติ ิ โดย u = 3i + 4 j และ v = i + 2 j จงหาเวกเตอร์

ท่ีมีขนาดเท่ากบั u และตังฉากกับ v

5. กา้ หนด u กับ v เป็นเวกเตอรใ์ นระบบสองมติ ิ โดย u = 4i − 3 j และ v = 2i − 5 j จงหาเวกเตอร์
ทม่ี ีขนาดเท่ากบั u และตงั ฉากกับ u + v

6. จงหาสมการเสน้ ตรงทลี่ ากผา่ นจุด (1,2) และขนานกบั เวกเตอร์ 3i − 4 j ในระบบสองมติ ิ

7. จงหาสมการเสน้ ตรงท่ลี ากผา่ นจุด (2,-3) และตงั ฉากกบั เวกเตอร์ 3i + 4 j ในระบบสองมิติ

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 55
8. ก้าหนด u = 4 , v = 3 และ u ตงั ฉากกับ v จงหา u − v

9. ก้าหนด u = 15 , v = 8 และ u ตงั ฉากกบั v จงหา u + v

10. กา้ หนด u = 4i − 3 j , v = 8i + 6 j จงหา u − v

11. กา้ หนด u = 2 , v = 3 และ u ทา้ มุม 60 กับ v จงหา
11.1 u + v
11.2 u − v

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 56

11.3 u + 2v
11.4 2u − 3v

12. ก้าหนด u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ โดยที่ u = 1 , v = 3 และ u ท้ามุม60 กับ v
u+v

ค่าของ 2u − v เทา่ กบั เท่าใด [PAT1 (ม.ี ค 54)]/15]

13. ก้าหนด u และ v เป็นเวกเตอร์ใดๆ โดยที่ u = i + 3 j , v = 3 และ u − v = 4
คา่ ของ u + v เท่ากับเทา่ ใด [PAT1 (ก.ค 53)]/16]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 57

14. กา้ หนด u และ v เป็นเวกเตอร์ท่ีมขี นาดหนึ่งหนว่ ย ถ้าเวกเตอร์ u + 2v ตังฉากกับเวกเตอร์ 2u + v
แลว้ u v เท่ากบั เทา่ ใด [PAT1 (ม.ี ค 52)]/25]

15. ก้าหนด u และ v เป็นเวกเตอร์ทีม่ ีขนาดหนง่ึ หนว่ ย ถ้าเวกเตอร์ 3u + v ตังฉากกบั เวกเตอร์ u + 3v
แล้วเวกเตอร์ 5u − v มขี นาดเท่ากับเทา่ ใด [PAT1 (ก.ค 52)]/24]

16. ก้าหนด u ,v และ w เปน็ เวกเตอร์ในระนาบ ขอ้ ใดต่อไปนีถกู ตอ้ ง [PAT1 (ต.ค 53)]/15]

1. (u  v)2  (u u)(v  v)

( )2. 2
ถ้า (u  v)2 = uv
แลว้ u ตังฉากกับ v

3. ถ้า u + v + w=0 , u = 3 , v = 4 และ w = 7 แลว้ u  v = 12

2 22

4. u − v = u − v

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 58
17. กา้ หนดให้ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ ดๆ ซง่ึ ไมใ่ ช่เวกเตอร์ศูนย์ ขอ้ ใดต่อไปนถี ูกตอ้ ง [PAT1 (มี.ค 55)]/14]

2 22

1. u − v  u − v

2 22

2. ถา้ u ตังฉากกบั v แลว้ u − v = u + v

18. ก้าหนดให้ a และb เป็นเวกเตอร์ใดๆ ท่ไี มเ่ ป็นเวกเตอร์ศูนย์ ข้อใดต่อไปนถี กู ต้อง [PAT1 (ต.ค 58)]/27]
1. ถ้า a ขนานกบั b แล้ว a − b = a − b

222

2. ถา้ a + b = a + b แล้ว a ตงั ฉากกบั b
3. ถา้ เวกเตอร์ a + b ตังฉากกบั เวกเตอร์ a − b แลว้ a = b

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 59

19. ก้าหนดให้ u และ v เปน็ เวกเตอรท์ ี่ไมใ่ ช่เวกเตอร์ศูนย์ ซ่งึ u ตงั ฉากกับ v และ u + v
ตงั ฉากกับ u − v ขอ้ ใดต่อไปนีเปน็ จริง [PAT1 (ต.ค 52)]/1-13]
1. u = v
2. u + 2v ตังฉากกับ 2u − v

20. ก้าหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ซึ่ง u  v  u v ถ้า a(v − 2u) + 3u = b(2u + v)

แล้วคา่ ของ a อยู่ในช่วงใดต่อไปนี [PAT1 (ก.ค 52)]/25]

1. 0, 1  2. 1 , 1  3. 1, 3  4. 3 ,2 
2   2 2   2 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 60

21. ก้าหนด u ,v และ w เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ และ x, y เปน็ จา้ นวนจรงิ โดยท่ี u = xi + y j

v = 4i − 3 j และ w = 2i + j ถ้า 2 = 2 + 2 และ 5x +5y = 21

u−v u v

แล้วคา่ ของ u w เท่ากับเท่าใด [PAT1 (ต.ค 53)]/14]

22. ให้ a และ b เป็นเวกเตอร์ ก้าหนดโดย a = i + 1 j − 3pk และ b = −2 pi + 2 j + pk
2

เมอื่ p เปน็ จ้านวนจริง ถ้า a ตังฉากกบั b และขนาดของ b เท่ากบั 3 แลว้ ค่าของ p อยูใ่ นช่วงใด
ต่อไปนี [PAT1 (มี.ค 53)]/14]

1.  −3, − 3  2.  − 3 , 0  3.  0, 3  4.  3 , 3 
 2   2   2   2 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 61

23. กา้ หนดให้ a , b และ c เปน็ เวกเตอร์บนระนาบซง่ึ กา้ หนดโดย a = xi + 12 j , b = 6i + y j
5

และ c = 2i + j เม่อื x และ y เป็นจ้านวนจรงิ ถ้า b − c = 5 เวกเตอร์ a ตงั ฉากกบั เวกเตอร์ b

และ a  c  0 แล้วค่าของ 5a + b 2 เท่ากับเทา่ ใด [PAT1 (ม.ี ค 56)]/45]

24. พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี ข้อใดต่อไปนถี ูกตอ้ งบา้ ง [PAT1 (ม.ี ค 56)]/15]

1. ใหเ้ วกเตอร์ w = ai + b j + ck เมอ่ื a, b และ c เป็นจ้านวนจริง และให้เวกเตอร์

u = i + 2 j + k และ v = i − j + k ถา้ เวกเตอร์ w ตงั ฉากกบั เวกเตอร์ u และเวกเตอร์ v

แลว้ a + b + c = 1

2. ให้เวกเตอร์ u = 2i + j และ v = ai + b j เป็นเวกเตอรใ์ นระนาบ ถ้า v = 3
5

และ u  v = 3 แล้วเวกเตอร์ u ท้ามุม 60 กับเวกเตอร์ v

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 62

25. ก้าหนด ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม โดยทด่ี ้าน AB ยาว 5 หนว่ ย ด้าน BC ยาว 12 หน่วย และมมุ
ABˆC เทา่ กับ 60 ถ้าเวกเตอร์ u = AB เวกเตอร์ v = BC และเวกเตอร์ w = CA
แล้ว (2u − v)  w เท่ากับเทา่ ใด [PAT1 (พ.ย 57)]/12]

26. ก้าหนดให้ จุด A(−1,1) , B(2,5) และC(2,−3) เป็นจดุ ยอดของรปู สามเหล่ยี ม ABC ให้ L

เป็นเสน้ ตรงที่ผ่านจดุ A และจดุ B ลากสว่ นของเส้นตรงCD ตงั ฉากกับเส้นตรง L ทจี่ ุด D

แลว้ เวกเตอร์ AD เท่ากบั เท่าใด [PAT1 (ม.ี ค 55)]/12]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 63
27. ก้าหนด u = 2i − 5 j และ v = i + 2 j ให้ w เป็นเวกเตอร์ โดยที่ u  w = −11

และ v  w = 8 ถา้  เปน็ มมุ แหลมท่เี วกเตอร์ w ทา้ มุมกบั เวกเตอร์ 5i + j แล้ว
tan + sin 2 เท่ากับเทา่ ใด [PAT1 (ก.ค 53)]/32]

28. กา้ หนดให้ a , b และ c เปน็ เวกเตอร์ซึ่ง a + b + c = 0 , a + b = 5 , b + c = 3
และ b = 10 ข้อใดตอ่ ไปนถี กู ตอ้ งบ้าง [PAT1 (เม.ย 57)]/14]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 64

29. ก้าหนดให้ u ,v และ w เปน็ เวกเตอรบ์ นระนาบซง่ึ u + v − w = 0 , u  w = 8 และ

v  w = −2 ถ้าเวกเตอร์ w ท้ามมุ arcsin 1 กับเวกเตอร์ u แล้วคา่ ของ u 2 + v 2
3

เท่ากับเท่าใด [PAT1 (ต.ค 55)]/15*]

30. กา้ หนดให้ A และ B เป็นเวกเตอรบ์ นระนาบ โดยท่ี A = 16i + a j และ B = 8i + b j
เม่ือ a และ b เป็นจา้ นวนจริง ถา้ A = B และเวกเตอร์ B ท้ามุม 60 กบั เวกเตอร์ A
แลว้ คา่ ของ (a + b)2 เทา่ กับเทา่ ใด [PAT1 (ต.ค 58)]/16]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 65

ผลคณู เชงิ เวกเตอร์ (Cross Product)
การครอส คอื การคูณระหวา่ งเวกเตอรก์ บั เวกเตอร์ ผลลพั ธ์ที่ได้จะเปน็ “เวกเตอร์” โดยการครอส

สามารถท้าไดก้ บั เวกเตอร์ในระบบสามมติ เิ ท่านน้ั

ผลคูณเชงิ เวกเตอร์ของ u และ v เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ u  v อา่ นว่า ยูครอสวี ซึง่ จะหาได้จาก

 x1   x2   y1 z2 − z1 y2 
     
 y1    y2  =  z1 x2 − x1 z2 

 z1   z2   x1 y2 − y1 x2 

2 3
−1  
ตัวอย่างที่ 36   2  =

 1  −1

ตัวอยา่ งท่ี 37 (−i + 2 j − 3k)  (2i − j + k) =

จะสังเกตว่าการครอสเวกเตอรจ์ ะคล้ายๆ กับการหาdet ในเรื่องเมทริกซ์ เราสามารถครอสเวกเตอร์อกี วิธี

ได้จาก  x1    x2  = det  i j k
 y1   y2   x1 y1 
    
z1 
 x2 y2 z2 
 z1   z2 

2 3
−1  
ตัวอย่างท่ี 38   2  =

 1  −1

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 66
สมบัติของผลคณู เชิงเวกเตอร์ (Cross Product)

ก้าหนดu ,v และ w เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ และ a เปน็ จา้ นวนจรงิ
1. u v = −(v  u )
2. u  u = 0
3. ถ้า u ขนานกับ v แล้ว u v = 0 ; u  0,v  0
4. (au )  v = u (av) = a(u  v) สมบตั ิการเปลย่ี นกล่มุ
5. u (v  w) = (u v)  (u w) สมบัตกิ ารแจกแจง

6. ถ้า  เป็นมมุ ระหว่าง u และ v แล้ว uv = u v sin

อยา่ งที่เรารวู้ ่าการครอส ผลลัพธ์ที่ไดจ้ ะเปน็ “เวกเตอร์” ดังนนั ก็ตอ้ งมีทศิ ทาง โดยเราจะหาทิศทางของ
uv ไดจ้ ากการใชม้ ือขวา (ชีตามตัวตัง กา้ ตามตวั ครอส ทศิ คอื นว้ิ โป้ง) ตามภาพ

ตัวอย่างที่ 39 ให้ u = 2i + j + k และ v = −i + 2 j + k ถา้ ให้  เป็นมุมระหวา่ ง u และ v
จงหา sin

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 67
ตวั อย่างท่ี 40 u และ v เป็นเวกเตอรอ์ ยู่บนระนาบ XY และทา้ มมุ กัน 30 โดยที่ u ชีไปตามแกน X

ทางบวก และชีไปทาง X ,Y มคี ่าเป็นบวกทังคู่ ถา้ u = 2 และ v = 1
จงหาขนาดและทิศทางของ u  v

ตวั อย่างท่ี 41 s และ t เปน็ เวกเตอร์อยบู่ นระนาบ XY และท้ามมุ กัน 90 โดยท่ี s ชไี ปตามแกน Y
ทางลบ และ t ชีไปตามแกน Z ทางบวก ถา้ s = t = 3 จงหาขนาดและทิศทาง
ของ s  t

แบบฝกึ หดั ท่ี 6
1. จงหา u  v เมื่อกา้ หนด u และ v ดังตอ่ ไปนี
1.1 u = 2i + 4 j − 2k และ v = i + 4 j − k

1.2 u = 3i + j − 2k และ v = i + 2 j + k

1.3 u = 7i − j + 3k และ v = −2i + j − 3k

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 68

1.4 u = 3i + 5 j − k และ v = 3i + 2 j − k

1.5 u = 8i − 2k และ v = 2 j − k

2. จงหาผลครอสต่อไปนี

 2  1
  3
2.1  1   =

−1 0

 1  −2
   
2.2  2    1  =

−1 −2

2.3 (i − j + 3k)  (i + 2 j − k)

2.4 (2i + j − k)  (4i + j − 5k)

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 69

3. เวกเตอรท์ ี่ก้าหนดให้ตอ่ ไปนี เวกเตอร์คใู่ ดที่ขนานกัน (กา้ หนดให้ใช้ความรู้เร่อื งผลคณู เชงิ เวกเตอร์)
3.1 3i + j − 2k กบั 9i + 3 j − 6k

3.2 6i + 2 j − k กบั 6i + 2 j + k

3.3 6i − 2 j + 2k กับ −3i + j − k

3.4 3i + 5 j − k กับ −3i − 4 j + k

3.5 −8i +2j +k กบั 3i − 3 j − 3 k
4 8

4. ถ้า 3 + x j −k ขนานกบั −4i −9 j + 8 k จงหา x
2i 3

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 70

5. ถา้ 20 xi + j − 3k ขนานกบั −5i − x j + 3 k จงหา x
2

6. กา้ หนด A(1,2,3), B(2,3,1) และ C(2,4,2) ถา้  เป็นมุมระหว่าง AB กบั AC แลว้
จงหาคา่ sin

7. กา้ หนด u = 2i − 3 j + 5k และ v = −2i + j − 3k จงหาเวกเตอรท์ ่มี ีขนาดเท่ากับ u
และตังฉากกบั v

8. ก้าหนด u = 5i − 3 j + 4k และ v = −2i − 3 j + 5k จงหามุมระหว่าง u กับ v

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 71
9. u และ v เป็นเวกเตอรห์ น่งึ หน่วย และมุมระหวา่ ง u และ v เท่ากบั 135 จงหา u  v

10. ก้าหนด u = 3 , v = 5 และ u  v = 12 จงหามมุ ระหว่าง u กบั v

11. กา้ หนดเวกเตอร์ u = ai + 2 j + bk เม่อื a และ b เปน็ จา้ นวนจรงิ ถ้า u  j = 2
แลว้ u 2 เท่ากับเท่าใด [PAT1 (เม.ย 57)26]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 72

12. ให้ u = ai + b j + 2k และ v = 2ai − 3b j โดยที่ a,b เปน็ จา้ นวนเตม็ บวก และ  เป็นมมุ

ระหว่าง u และ v ถ้า u =3 และ cos = 1 แล้ว uv มคี ่าเท่ากับเท่าใด [A-NET 50/1-10]
3

13. ใหเ้ วกเตอร์ v = ai + b j + ck เมอ่ื a,b และ c เป็นจา้ นวนจริง และใหเ้ วกเตอร์u = i − k
และ w = 2i + j + 2k ถ้าเวกเตอร์ v มที ศิ เดียวกับเวกเตอร์ u  w และขนาดของเวกเตอร์ v
เท่ากับ 6 2 หนว่ ย แลว้ ค่าของ a − b + c เท่ากับเท่าใด [PAT1(ต.ค 59)/32]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 73

14. ก้าหนดให้ a และ b เปน็ เวกเตอร์โดยท่ี a b = 15 , a = 6 และ (2a + b)  (a − b) = 32

คา่ ของ a − 2b เทา่ กับเทา่ ใด [PAT1(ต.ค 59)/24]

15. ให้ u ,v และ w เป็นเวกเตอร์ท่ีไมเ่ ทา่ กับเวกเตอร์ศนู ย์อยูบ่ นระนาบเดยี วกัน

โดยที่ u −v − w = 0 , u = 2 w และ v = 3 w ถา้  เป็นมุมระหว่าง u และ v
แลว้ sin เทา่ กับเท่าใด [PAT1(ม.ี ค 60)/6]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 74
16. ก้าหนดใหเ้ วกเตอร์ a = i + j − 2k ถา้ b เป็นเวกเตอร์ในสามมิติ โดยท่ี (b + a)  (b − a) = 10

และเวกเตอร์ a ทา้ มมุ 60 กบั เวกเตอร์b แล้วจงหาขนาดของเวกเตอร์ ab [PAT1(ก.พ 61)/11]

17. ให้ a ,b และ c เปน็ เวกเตอรใ์ นสามมิติ โดยที่ a = i + j , b = 3i − 2 j + 3 2 k เวกเตอร์ c
ท้ามุม 45 และ 60 กับเวกเตอร์ a และเวกเตอร์ j ตามล้าดับ และ c  k  0 ถ้า u เป็นเวกเตอร์
หนง่ึ หนว่ ย ทมี่ ที ิศทางเดียวกับเวกเตอร์ c แลว้ u b เท่ากบั เท่าใด [PAT1(ก.พ 61)/44]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 75

18. กา้ หนดให้ a ,b และ c เปน็ เวกเตอรใ์ นสามมิติ โดยท่ี a + b = tc โดยที่ t เป็นจา้ นวนจรงิ บวก

ถ้า a = i + j + k , 2 , c= 2 และ a b + bc + c  a = 9 แล้วค่าของ t

b=a

เทา่ กับเทา่ ใด [PAT1(ม.ี ค 59)/44]

19. ให้ a และ b เปน็ เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ย ถ้า a + b เป็นเวกเตอรห์ น่งึ หน่วย แล้วขนาดของเวกเตอร์
a b เท่ากับเท่าใด [PAT1(ก.พ 62)/23]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 76

เวกเตอร์กบั พน้ื ทีแ่ ละปริมาตร

สี่เหลยี่ มด้านขนานทเี่ กิดจาก เวกเตอร์ u และ v ดังรปู
จะมพี น้ื ที่ = u  v = v  u ตารางหนว่ ย

จะเห็นเราจะตอ้ งใชก้ ารครอสเวกเตอร์ และการครอวเวกเตอร์
นันสามารถคอรสไดเ้ ฉพาะเวกเตอรใ์ นสามมิติเท่านนั หากวา่ u และ v
เป็นเวกเตอร์ในสองมิติ เราสามารถท้าให้เปน็ สามมิตไิ ดโ้ ดย เติม 0 ลงไปเปน็ คา่ ทางแกน Z

ทรงสีเ่ หลี่ยมด้านขนานทเ่ี กิดจากเวกเตอร์ u ,v และ w ดังรูป

( )จะมปี ริมาตร = u  v  w ลูกบาศก์หน่วย

เทคนคิ การจา!!! เอาพนื ที่ไปดอทกับความสูง
โดยเราจะใชพ้ นื ท่ีจากเวกเตอรส์ องตวั ไหนก็ได้ และเวกเตอร์ทเ่ี หลือก็คือความสูง ค่าท่ไี ดจ้ ะเท่ากันเสมอ
ตวั อย่างท่ี 42 จงหาพืนท่ีสเ่ี หลี่ยมดา้ นขนาน ABCD ซ่งึ มีพกิ ดั A(3,4) B(-1,2) C(1,-1)

ตวั อย่างที่ 43 จงหาปรมิ าตรของรปู ทรงสเ่ี หล่ยี มด้านขนานที่เกดิ จาก u = i − j − k , v = i + 2k
และ w = j − k

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 77

นอกจากนเี รายงั สามารถตรวจสอบ “ระนาบ” ของเวกเตอรไ์ ด้ จะเห็นว่า ถ้า u ,v และ w
อยบู่ นระนาบเดียวกัน แล้วจะทา้ ให้รปู ทรงของสี่เหลย่ี มดา้ นขนานทีเ่ กิดจากเวกเตอร์ u ,v และ w จะกลายเปน็
แผน่ แบบราบ ซึ่งทา้ ใหป้ รมิ าตร = 0

( )u ,v และ w อย่บู นระนาบเดยี วกนั กต็ ่อเมอ่ื u  v  w = 0

ตวั อย่างที่ 44 จงตรวจสอบว่า i − j − k , 2i + j + 2k และ 3i + 4 j + 3k
อยูบ่ นระนาบเดียวกนั หรอื ไม่

แบบฝึกหัดท่ี 7

1. จงหาพืนที่ของส่เี หล่ยี มด้านขนานทีเ่ กิดจากเวกเตอร์ต่อไปนี

2 1

1.1  1  และ −1 1.2 i + j และ i − j
 
−1  2 

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 78

2. จงหาปริมาตรของรปู ทรงส่เี หลย่ี มด้านขนานทีเ่ กิดจากเวกเตอรต์ อ่ ไปนี

0 1 2

2.1  1  , −1 และ  0  2.2 i + j , j + k และ i + k
   
−2  1  −1

3. เวกเตอรใ์ นขอ้ ใดต่อไปนี อยบู่ นระนาบเดียวกนั

2 −3 0

3.1 0 ,  1  และ 1 3.2 i − j + k , i + j − k และ −i + j + k
 
6 −1 8

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 79

4. ก้าหนดให้ A(1,0, −2) , B(0, −1,0) , C(2,1, −1) จงหาพืนที่สี่เหลี่ยมดา้ นขนาน
ท่เี กิดจาก AB และ AC

5. กา้ หนดให้ A(−2,1,1) , B(2,2, −1) , C(1,1,0) จงหาพนื ทส่ี ามเหล่ยี ม ABC

1 2 3

6. ถา้ รูปทรงส่เี หล่ียมด้านขนานทเี่ กดิ จาก −1 ,  x  และ  2  มีปริมาตรเท่ากับ 3 แลว้ จงหา x
   
 2  −1 −1

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 80
7. กา้ หนด u ,v และ w เปน็ เวกเตอรใ์ ดๆ ในสามมติ ิ ขอ้ ใดต่อไปนถี กู ต้องบา้ ง [PAT1(ม.ี ค 57)/13]

1. u (v w) = w(u v)

2. ถ้า u = w , u − v = v + w และเวกเตอร์ u ตังฉากกบั เวกเตอร์ v แลว้ เวกเตอร์ v
ตงั ฉากกบั เวกเตอร์ w

8. กา้ หนดให้ u = i + 3k
v = 2 j + xk เม่อื x เปน็ จา้ นวนจริง

และ w = −3i + j − k
ถา้ u ,v และ w อย่บู นระนาบเดียวกันแลว้ x มคี ่าเท่ากับเทา่ ใด [A-NET 49/1-13]

เ ว ก เ ต อ ร์ ใ น ป ริ ภู มิ ส า ม มิ ติ | 81

9. กา้ หนดให้ ABC เปน็ รูปสามเหล่ยี ม โดยมี A,B และ C เปน็ จดุ ยอดของรูปสามเหล่ียม
ให้ a = AB , b = BC และ c = CA ถา้ a b = −15 , b  c = −21 และ c  a = −10
แล้วพืนที่ของรูปสามเหล่ียม ABC เทา่ กับเท่าใด [PAT1(ม.ี ค 60)/13]