Geometri Dasar

= 1 × × + 1 × ×

22

= 1 × × ( + )

2

= 1 × ×

2

= 1 × ×

2

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa luas laying-
layang adalah hasil kali diagonal satu dengan diagonal
lainnya dan dibagi dua atau dapat dirumuskan sebagai
= 1 × 1 × 2.

2

5. Jajargenjang
Jajargenjang adalah segiempat yang sisi-sisi

berhadapannya sama panjang dan sejajar serta sudutnya
tidak siku-siku.

Daerah jajargenjang dapat diperoleh antara lain jika
sebuah daerah segitiga diputar sejauh setengah putaran
mengelilingi titik tengah salah satu sisinya, gabungan
daerah segitiga itu dengan bayangannya berupa sebuah
daerah jajargenjang.

44

D C
T

AB

Dari cara memperoleh jajargenjang seperti di atas, dengan
mudah didapatkan sifat-sifat atau ciri-ciri penting dari
sebuah jajargenjang. (perhatikan gambar di atas), yaitu:
a. Kedua sisi yang berhadapan sama panjang

AB = CD dan AD = BC
b. Kedua sudut yang berhadapan sama besar

A = C dan B = D
c. Kedua sudut yang berdekatan saling berpelurus

A + B = 180 , A + D = 180
d. Jumlah besar semua sudutnya 360

A + B + C + D = 360
e. Setiap diagonal membagi jajargenjang menjadi dua

bagian yang kongruen
∆ABD ≅∆CBD dan ∆ABC ≅∆CDA
f. Kedua diagonalnya saling berpotongan di tengah-
tengah atau saling membagi dua sama panjang.
AT = TC dan BT = TD

45

Daerah Jajargenjang juga dapat diperoleh atau dapat
dibentuk dari sebuah daerah persegi panjang sebagai
berikut:

DE FC E F

lebar tinggi

A B AG B

panjang alas

Dari daerah persegi panjang ABCD dapat dibentuk
daerah jajargenjang ABFE. Karena luas jajargenjang
ABFE sama dengan luas persegi panjang ABCD, sedang
luas persegi panjang ABCD sama dengan panjang × lebar,
maka dengan mudah ditunjukkan bahwa:
Luas jajargenjang ABFE = Luas persegi panjang ABCD

= AB × BC
= AB × GE
= alas × tinggi

Jadi, Luas jajargenjang = alas × tinggi.

46

6. Trapesium
Trapesium adalah segiempat yang memiliki tepat

sepasang sisi berhadapan sejajar. Alas trapesium adalah
sisi-sisi sejajarnya, sedangkan kaki trapesium adalah sisi-
sisi yang tidak sejajar. Secara umum ada 3 (tiga) jenis
trapesium yaitu trapesium siku-siku, trapesium sama kaki,
dan trapesum sembarang. Pada trapesium sembarang,
tidak memiliki sepasang sisi yang sama panjang, tidak
mempunyai sepasang sudut yang sama besar, dan tidak
mempunyai baik simetri lipat maupun putar. Sedang pada
trapesium sama kaki dan siku-siku akan dijelaskan pada
sifat-sifat trapesium berikut ini.
a. Jumlah sudut antara sisi-sisi sejajar pada trapesium

adalah 180º
b. Pada trapesium sama kaki

• Memiliki 2 sisi sama panjang yaitu sisi-sisi yang
tidak sejajar.

• Memiliki 2 diagonal sama panjang
• Memiliki 2 pasang sudut sama besar
• Memiliki 1 simetri lipat
c. Pada trapesium siku-siku terdapat dua sudut siku-siku
dan tidak mempunyai baik simetri lipat maupun putar.

Gambar dibawah ini menunjukkan bahwa
trapesium ABCD dipotong menurut diagonal BD,

47

sehingga tampak bahwa trapezium ABCD dibentuk dari
ΔABD dan ΔBCD yang masing-masing alasnya AD dan
BC serta tinggi t (DE).

FA D

t

BE C
Luas trapesium ABCD = luas ΔABD + luas ΔBCD

= 1 × × + 1 × ×
2 2

= 1 × × + 1 × ×

22

= 1 × × ( + )
2

Berdasarkan uraian diatas maka dapat disimpulkan bahwa

luas trapezium adalah hasil kali jumlah sisi-sisi sejajar

dengan tingginya dibagi dua.

C. Segibanyak
Segi banyak atau polygon merupakan kurva

tertutup sederhana yang dibentuk dari beberapa segmen

garis. Segmen garis itu disebut sisi. Penamaanya pun

berdasarkan banyak sisinya, seperti segi banyak dengan

tiga buah sisi disebut segitiga, segi banyak dengan empat

48

buah sisi disebut segiempat, dan seterusnya. Jika sisi-sisi

dan sudut-sudut pada segi banyak itu mempunyai ukuran

sama maka segi banyak itu disebut segi banyak beraturan.

Nama lain dari segi banyak beraturan adalah polygon

beraturan.

Pada bagian ini hanya dijelaskan tentang segi

banyak beraturan. Untuk menentukan jumlah ukuran

sudut dalam dari suatu segi-n beraturan dapat kita peroleh

dengan cara menggambar diagonal-diagonal dari sebarang

titik sudut menuju ke setiap titik sudut yang lain, seperti

yang dirangkum dalam Tabel 1 dibawah ini. Polygon yang

bersisi 4 dapat dibagi menjadi 2 segitiga, polygon yang

bersisi 5 dapat dibagi menjadi 3 segitiga, dan seterusnya.

Tabel 1. Jumlah Ukuran Sudut pada Segi-n

Segi Jumlah Jumlah Jumlah ukuran

banyak sisi segitiga sudut
Segiempat 4 2 2(180) = 360

Segilima 5 3 3(180) = 540

Segienam 6 4 4(180) = 720

: -- -

: -- -

Segi n N n – 2 (n – 2)180

49

Berdasarkan Tabel 1 diatas maka dapat disimpulkan
bahwa:

jumlah ukuran sudut dalam (interior) dari sebuah
segi-n adalah (n – 2)180
jumlah ukuran sudut luar (exterior) dari sebuah segi-
n adalah 180n – I , dimana I adalah sudut dalam
(interior).
besar ukuran sudut dari segi-n beraturan dengan n sisi
adalah ( −2)180



Latihan 3.1

1. Sebutkan benda-benda nyata dalam kehidupan sehari-hari
yang berbentuk jajargenjang! Apakah persegipanjang
merupakan jajargenjang?

2. Sebutkan semua sifat simetri yang dimiliki oleh:
Jajargenjang dan belahketupat.

3. Dari sebuah jajargenjang PQRS diketahui bahwa QR = 10
cm, RS = 8 cm dan m PQR = 150 . Hitunglah luas
jajargenjang PQRS!

4. Jika luas sebuah jajargenjang ABCD 72 cm2, panjang AB
= 12 cm dan sudut DAB = 30 . Hitunglah keliling dari
jajargenjang itu!

50

5. Dari sebuah belahketupat diketahui bahwa kelilingnya 24
cm sedang salah satu sudutnya 120 . Hitung luas
belahketupat tersebut!

6. Diketahui panjang kedua diagonal sebuah belahketupat
masing-masing 20 cm dan 52 cm. Hitunglah keliling dan
luas belahketupat itu!

7. Sebuah jajargenjang dan sebuah belahketupat kedua
diagonalnya sepasang-sepasang sama. Jelaskan mana yang
lebih luas?

8. Berapa jumlah sudut exterior dari polygon yang sisinya 15?
9. Berapa ukuran tiap sudut exterior dari polygon

tersebut?Jika polygon tersebut beraturan, berapa ukuran
tiap sudut interiornya?
10. Diketahui ABCD adalah trapesium, AB sejajar CD, dan
AB + CD = BC. Jika panjang AD = 12, maka AB × CD
adalah …

DC

AB

51

BAB
IV

KEKONGRUENAN DAN KESEBANGUNAN

A. Kekongruenan
Bentuk-bentuk kongruen adalah bentuk-bentuk

yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama. Bentuk-
bentuk tersebut merupakan duplikat yang persis sama satu
sama lain. Bentuk-bentuk tersebut dapat dibuat
bertumpang tindih sehingga bagian-bagiannya yang
bersesuaian saling berhimpitan. Pada bagian ini akan
dijelaskan tentang segitiga kongruen.

Jadi, dari pernyataan diatas maka kita dapat
mendefinisikan suatu kongruen yaitu:
Dua bangun datar dikatakan kongruen (sama dan
sebangun) jika kedua bangun datar tersebut memiliki sisi
yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang
bersesuaian sama besar.
Misalnya ΔABC dan ΔA’B’C’ saling kongruen (ΔABC ≅
ΔA’B’C) apabila AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’,
∠ = ∠ ′ ′ , ∠ = ∠ ′ ′ ′, dan ∠ =
∠ ′ ′ ′

52

C A’ B’

A B C’ E
Contoh: 2 cm
Apakah ΔABC dan ΔDEF kongruen ? jelaskan.

C
D

A 3 cm B F

Penyelesaian:
Pasangan sisi yang sama panjang adalah:
AB = DE = 3 cm
AC = DF = 2 cm
BC = EF = 2 cm

53

Sesuai dengan sifat segitiga sama kaki maka besar
sudut-sudutnya sama besar yaitu:
∠ABC = ∠DEF = 60°
∠BCA =∠EFD = 60°
∠CAB = ∠FDE = 60°
Oleh karena itu, ΔABC ≅ ΔDEF

Aksioma 4.1
Jika pada ΔABC dan ΔA’B’C, AB = A’B’, AC = A’C’,
dan ∠A = ∠A’ maka ∠B = ∠B’.
Teorema 4.2
Jika pada ΔABC dan ΔA’B’C, AB = A’B’, AC = A’C’,
dan ∠A = ∠A’ maka ΔABC ≅ ΔA’B’C (s-sd-s)
Bukti:
Diketahui ΔABC dan ΔA’B’C, dengan AB = A’B’, AC
= A’C’, dan ∠A = ∠A’.
Akan dibuktikan bahwa ΔABC ≅ ΔA’B’C.
Menurut aksioma, jika AB = A’B’, AC = A’C’, dan ∠A
= ∠A’ maka ∠B = ∠B’, dan akibatnya maka ∠C = ∠C’.

54

Harus dibuktikan bahwa B’C’ = BC. C’
C C”

A A’ B’
B

Andaikan terdapat titik C’’ pada garis B’C’ sedemikian
sehingga B’C’’ = BC, maka harus ditunjukkan bahwa titik
C’ dan C’’ berimpit. Perhatikan ΔABC dan ΔA’B’C,
bahwa A’B’ = AB, B’C’ = BC, dan ΔABC = ΔA’B’C”,
sehingga menurut aksioma diperoleh bahwa :

∠BAC = ∠B’A’C”
Padahal ∠BAC = ∠B’A’C’. Berarti ̅ ̅′̅ ̅ ̅′ berimpit dengan
̅ ̅′̅ ̅ ̅′′, dan ini berarti bahwa C’ dan C” berimpit (C” = C’).
Jadi BC = B’C’. Sehingga dapat disimpulkan bahwa
ΔABC ≅ ΔA’B’C.

Teorema 4.3
Jika pada ΔABC dan ΔA’B’C, AB = A’B’, ∠ABC =
∠A’B’C’, dan ∠BAC = ∠B’A’C’ maka ΔABC ≅ ΔA’B’C’
(sd-s-sd)

Bukti:
Diketahui ΔABC dan ΔA’B’C, dengan AB = A’B’, ∠ABC
= ∠A’B’C’, dan ∠BAC = ∠B’A’C’.

55

Akan dibuktikan bahwa ΔABC ≅ ΔA’B’C’

C C’
C”

A A’
B B’

Andaikan AC ≠ A’C’, maka akan terdapat titik C” pada
̅ ̅′̅ ̅ ̅′ sedemikian sehingga A’C” = AC. Dengan demikian
∠BAC = ∠B’A’C”.
Menurut teorema 4.2, maka ΔABC ≅ ΔA’B’C” (s-sd-s)
Menurut definisi, ∠ABC = ∠A’B’C”.
Padahal ∠ABC = ∠A’B’C’. ini berarti bahwa haruslah
∠ABC = ∠A’B’C” (sifat transitif), sehingga ̅̅ ̅′̅ ̅ ̅′ sama
dengan ̅̅ ̅′̅ ̅ ̅", yang berarti C” terletak pada ̅ ̅ ̅′̅ ̅ ̅′, maka
̅̅ ̅′̅ ̅ ̅′ = ̅̅ ̅′̅ ̅ ̅". Padahal titik C’ juga terletak pada ̅̅ ̅′̅ ̅ ̅′.
Sedangkan menurut teorema ̅ ̅′̅ ̅ ̅′ dan ̅̅ ̅′̅ ̅ ̅′ akan
berpotongan paling banyak di satu titik saja, jadi C’ dan
C” adalah dua titik yang sama.
Sehingga menurut teorema 4.2, diperoleh ΔA’B’C” ≅
ΔA’B’C’.

56

Karena ΔABC ≅ ΔA’B’C” dan ΔA’B’C” ≅ ΔA’B’C’,
maka dapat disimpulkan bahwa ΔABC ≅ ΔA’B’C’ (sifat
transitif).

Berdasarkan uraian seperti diatas, maka untuk
menentukan apakah dua segitiga kongruen atau tidak,
dapat dilihat dari panjang sisi dan besar sudutnya.
Berikut ini dalil-dalil dua segitiga kongruen yaitu:
1. Dua sisi dan satu sudut (s-sd-s), (sd-ss-ss)

Jika dua sisi dan sudut yang dibentuknya pada suatu
segitiga kongruen dengan bagian-bagian yang
bersesuaian pada segitiga yang lain, maka kedua
segitiga tersebut kongruen.

C C’

A B A’ B’

2. Ketiga sisi yang bersesuaian sama panjang
(sisi-sisi-sisi)
Jika tiga sisi pada suatu segitiga kongruen dengan
tiga sisi pada segitiga yang lain, maka kedua
segitiga tersebut kongruen.

57

C C’

AB B’

3. Satu sisi dan dua sudut (sd-s-sd),(s-sd-sd)
Jika dua sudut dan satu sisi diantaranya pada suatu
segitiga kongruen dengan bagian-bagian yang
bersesuaian dengan segitiga yang lain, maka
kedua segitiga tersebut kongruen.

C C’

A B A’ B’
Contoh:

Perhatikan gambar berikut! Buktikan bahwa ΔAEC dan

ΔDEB saling kongruen.

CB

E

A 58 D

Penyelesaian:

Perhatikan ΔAEC dan ΔDEB

∠A = ∠B (diketahui)

AE = BE (diketahui)

∠AEC = ∠BED (sudut bertolak belakang)

Jadi, ΔAEC dan ΔDEB kongruen karena memenuhi

sifat sd-ss-sd.

B. Kesebangunan
Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang
bersesuaian saling kongruen (sama besar) dan sisi-sisi
yang bersesuaian sebanding.
Dari definisi diatas, ΔABC sebangun dengan ΔA’B’C’
(ΔABC ~ ΔA’B’C) jika dan hanya jika (∠A = ∠A’,
∠B = ∠B’, ∠C = ∠C’) dan = = = .

′ ′ ′ ′ ′ ′

Teorema 4.4
Jika dua segitiga kongruen maka kedua segitiga itu
sebangun.
(Bukti diberikan kepada pembaca)

Teorema 4.5
Jika sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga
sebanding, maka kedua segitiga itu sebangun (s-s-s).

59

Bukti:

Diketahui bahwa dua segitiga yaitu ΔABC dan ΔDEF

dengan = = =


Akan dibuktikan bahwa ΔABC ~ ΔDEF

C C’
F

A’
D
A B E B’

Andaikan ΔABC ~ ΔA’B’C dengan = = =

′ ′ ′ ′ ′ ′

maka A’B’ = DE, A’C’ = DF, dan B’C’ = EF.
Menurut definisi kekongruenan berarti diperoleh ΔABC ≅
ΔDEF (s-s-s).
Karena ΔABC ~ ΔA’B’C dan ΔABC ≅ ΔDEF, maka
dapat disimpulkan bahwa ΔABC ~ ΔDEF.

Dua segitiga akan sebangun jika memenuhi syarat
kesebangunan berikut ini:
1. Tiga sisi diketahui (s-s-s)

Dua segitiga sebangun jika tiga pasangan sisi (dari
masing-masing segitiga) sebanding (s-s-s).
2. Dua sisi dan sudut apit diketahui (s-sd-s)
Dua segitiga sebangun jika diketahui dua pasang sisi
(dari masing-masing sisi segitiga) sebanding dan

60

masing-masing satu sudut yang diapitnya sama besar
(s-sd-s).
3. Tiga sudut diketahui (sd-sd-sd)
Dua segitiga sebangun jika diketahui tiga pasang sudut
sama besar (sd-sd-sd). Dalam hal ini bila dua sudut
masing-masing sama besar, maka sudut yang ketiga
juga akan sama.
Contoh:
Pada ΔABC (siku-siku di C), titik Q pada AC, titik P pada
AB, dan PQ sejajar BC.
Panjang sisi AQ = 3 cm, AP = 5 cm, BC = 8 cm, maka
panjang AC sama dengan ….

B

8P
5

C Q3 A

Jawab:

ΔABC sebangun dengan ΔAPQ

Panjang PQ = 4 cm


=

61

8
3 =4

AC = 6 cm

Latihan 4.1

1. Buktikan bahwa jika sisi-sisi yang berhadapan pada suatu

segiempat adalah sama kemudian dibuat suatu

diagonalnya, akan terbentuk sudut-sudut yang sama

diantara diagonal dan sisi-sisi tersebut.

2. Buktikan teorema 4.4

3. Diketahui titik E, F, dan G pada trapesium ABCD. Sisi FE

sejajar dengan sisi AB. Jika AB = 7 cm, DC = 14 cm, DG

= 8 cm, FG = 4 cm, GB = x cm, dan GE = y cm, maka

tentukan nilai x + y. 1 C
D 4

8

F4 y E

G

x

A7 B

62

4. Buktikan bahwa jika dua pasang sisi yang bersesuaian
pada dua segitiga dan sudut-sudut apinya kongruen,
maka kedua segitiga itu sebangun (s-sd-s).

5. Buktikan bahwa jika dua sudut pada suatu segitiga
kongruen dengan dua sudut yang bersesuaian pada
segitiga lainnya, maka kedua segitiga tersebut sebangun
(sd-sd).

63

DALIL PROYEKSI PADA SEGITIGA BAB
V

Sebelum kita membahas tentang proyeksi pada segitiga.
Terlebih dahulu kita melihat kembali teorema Phytagoras yang
pernah dipelajari di sekolah. Berikut ini adalah teorema
Phytagoras yang akan membantu kita untuk menurunkan dalil
proyeksi pada segitiga:
Dalam sebuah segitiga siku-siku, jumlah luas daerah-daerah
persegi yang dibuat pada kedua sisi siku-sikunya sama dengan
luas daerah persegi yang dibuat pada sisi miringnya.

C

ba

Ac B

64

Jika panjang kedua sisi siku-siku pada ∆ABC masing-masing
b dan c, dan panjang sisi miringnya a, maka teorema di atas
dapat dirumuskan dengan:

b2 + c2 = a2

dengan kalimat:
Dalam sebuah segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring
sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lainnya.

A. Proyeksi
Dari teorema Pythagoras dapat diturunkan dalil

proyeksi pada segitiga miring, yaitu segitiga yang bukan
segitiga siku-siku.

Proyeksi dapat diartikan suatu pemetaan suatu
daerah secara tegak lurus terhadap daerah lainnya. Pada
bagian ini akan dijelaskan proyeksi titik pada garis dan
proyeksi garis terhadap garis.

Proyeksi suatu titik pada garis adalah titik alas garis
tegak lurus yang dapat diturunkan dari titik itu ke garis
tersebut. Perhatikan gambar berikut.

A

A’ g
65

Proyeksi segmen garis pada suatu garis adalah Q
sepotong garis yang terletak diantara proyeksi kedua
ujung-ujungnya.

B
A

A’ B’ Q’
S

R’
S’

R

Teorema 5.1

Pada sebuah ΔABC siku-siku, ∠C = 90°, AB = c, BC = a,

CA = b, jika CD ⊥ AB, BD = p, AD = q, dan CD = t, maka:

1. a2 = pc B

2. b2 = qc

3. a2 + b2 = c2 (dalil Pythagoras) p

4. t2 = pq, dan aD
5. ab = tc

66 t q

Cb A

Bukti:

Perhatikan ΔABC dan ΔBCD, ∠B = ∠B, ∠D1 = ∠C = 90°,

berarti ΔABC ~ ΔBCD (sd-sd) maka diperoleh:


=

2 = × ………………1)

Selanjutnya, perhatikan ΔABC dan ΔACD, ∠D = ∠C =

90°, ∠A= ∠A, berarti ΔABC ~ ΔACD (sd-sd) maka

diperoleh:

2 = ×
=

………………2)

Jumlahkan persamaan (1) dan (2) maka diperoleh:

2 = ×

2 = ×

2 + 2 = × + ×

2 + 2 = ( + )

2 + 2 = ×

2 + 2 = 2 (Terbukti)

Untuk nomor 4 dan nomor 5 diberikan kepada pembaca

sebagai latihan.

67

B. Dalil Proyeksi
1. Untuk segitiga lancip
Teorema 5.2
Jika pada ∆ABC diketahui ∠C lancip, dan p adalah
proyeksi b pada c, maka berlaku bahwa:

C a2 = b2 + c2 – 2cp

t

p c-p B
A Bukti: D

Diketahui bahwa ∆ABC, AB = c, BC = a, AC = b,

CD ⊥ AB, CD = t, AD = p, p adalah proyeksi b pada

c.

Akan dibuktikan bahwa a2 = b2 + c2 – 2cp

Karena ∠D = 90°, maka t2 = b2 – p2 dan

t2 = a2 – (c – p)2

Dari kedua persamaan tersebut diperoleh:

b2 – p2 = a2 – (c – p)2

b2 – p2 = a2 – (c2 – 2cp + p2)

b2 – p2 = a2 – c2 + 2cp – p2

b2 = a2 – c2 + 2cp

68

a2 = b2 + c2 – 2cp (Terbukti)
Contoh:
1) Pada suatu ∆ABC, panjang AB = 25 cm, dan

panjang AC = 17 cm. jika panjang proyeksi AC
pada sisi BC sama dengan 8 cm. hitunglah:
a. Panjang proyeksi AB pada BC
b. Panjang sisi BC
Jawab:

C 8 cm
D

17 cm

A 25 cm B

a. AD2 = AC2 – CD2

= 172 – 82

= 289 – 64

= 255

AD = 15 cm

Berdasarkan gambar diatas, proyeksi AB

pada sisi BC adalah BD.

Pada ∆ABD berlaku bahwa:
BD2 = AB2 – AD2

= 252 – 152

69

= 625 – 225
= 400
BD = 20 cm
b. Panjang sisi BC = BD + DC = 20 + 8 = 28
cm
2) Pada ∆ABC diketahui panjang AB = 14 cm, BC
= 13 cm, dan AC = 15 cm. jika BD adalah
proyeksi BC pada AB, hitunglah panjang BD.
Jawab:

C

15 cm 13 cm

A D B

14 cm
b2 = a2 + c2 – 2×DB×c
152 = 132 + 142 – 2×DB×14
28DB = 169 + 196 – 225

= 140
Jadi, panjang DB = 5 cm

70

2. Untuk segitiga tumpul
Teorema 5.3
Dalam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang
berhadapan dengan sudut tumpul sama dengan
jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain,
ditambah dengan dua kali hasilkali panjang salah satu
sisi dengan panjang proyeksi sisi lain ke sisi tersebut.

C

tb a

pc B
DA

Diketahui:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ , m A > 90 , p panjang proyeksi ̅̅ ̅ ̅ pada
perpanjangan ̅̅ ̅ ̅ (proyeksi ̅̅ ̅ ̅ pada ̅ ̅ ̅ ̅ )
Akan dibuktikan bahwa a2 = b2 + c2 + 2cp
Bukti:
Dalam ∆BCD berlaku:
a2 = (c + p)2 + t2 (Teo. Pythagoras)
Dalam ∆ACD berlaku:
t2 = b2 – p2 (Teo. Pythagoras)
Subtitusikan t2 = b2 – p2 ke a2 = (c + p)2 + t2
diperoleh:

71

a2 = (c + p)2 + b2 – p2
a2 = c2 + 2cp + p2 + b2 – p2
a2 = b2 + c2 + 2cp

Dari teorema 5.2, yakni: a2 = b2 + c2 – 2cp diperoleh
= + − .

Dari teorema 5.3 yakni: a2 = b2 + c2+ 2cp diperoleh
= − − .

Berarti jika dalam suatu segitiga panjang semua
sisinya diketahui, kita dapat menghitung panjang
proyeksi sebuah sisi pada sisi yang lain.
Contoh:
Pada ∆ABC diketahui bahwa AB = 7 cm, BC = 20
cm, dan AC = 15 cm. hitunglah:
a. panjang proyeksi AC pada sisi AB
b. panjang sisi CD
Jawab:

C
20 cm

15 cm

D A 7 cm B
a. AD adalah proyeksi AC pada sisi AB

a2 = b2 + c2 + 2cp

72

202 = 152 + 72 + 2×7×AD
400 = 225 + 49 + 14×AD
400 = 274 + 14×AD
400 – 274 = 14×AD
126 = 14×AD
AD = 9 cm
b. Pada ∆ABD, CD2 = AC2 – AD2
CD2 = 152 – 92
CD2 = 225 – 81
CD2 = 144
CD = 12 cm

3. Dalil Stewart
Jika dalam ∆ABC, l menyatakan panjang ruas garis
yang menghubungkan titik sudut C dengan titik P
yang terletak pada sisi AB, sehingga AP = c1 dan BP
= c2, maka berlaku:
l2c = a2c1 + b2c2 – c1 c2 c.

C

btl a

Perhatikan gambar di atas.

A p P73 B
D
c1 c2
c

Diketahui: P pada ̅ ̅ ̅ ̅ sehingga AP = c1 dan BP = c2,

̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ , dan CP = l.

Akan dibuktikan bahwa:

l2c = a2c1 + b2c2 – c1 c2 c.

Bukti:

Dalam ∆PBC berlaku:

a2 = c22 + l2 + 2c2p .......(1) (Dalil Proyeksi)
Dalam ∆APC berlaku :

b2 = c12 + l2 – 2c1p .......(2) (Dalil Proyeksi)
Jika kedua ruas persamaan (1) dikalikan dengan c1

dan kedua ruas persamaan (2) dikalikan dengan c2,
masing-masing akan didapatkan:

a2c1 = c22c1 + l2 c1 + 2 c1 c2 p ............... (3)

b2 c2 = c12 c2 + l2 c2 – 2c1 c2 p ............... (4)

Dengan menjumlah masing-masing ruas dari
persamaan (3) dan (4) diperoleh:

a2c1 + b2 c2 = c22c1 + l2 c1 + 2 c1 c2 p + c12 c2 + l2 c2 – 2c1 c2 p

a2c1 + b2 c2 = c1 c2 (c1 + c2 ) + l2 (c1 + c2 )

a2c1 + b2 c2 = c1 c2 c + l2 c

l2 c = a2c1 + b2 c2 – c1 c2 c (Terbukti)

74

Dengan dalil Stewart tersebut memungkinkan kita
untuk menentukan panjang ruas garis yang
menghubungkan salah satu titik sudut dari sebuah
segitiga dengan sembarang titik pada sisi di
depannya, jika letak titik tersebut dan panjang ketiga
sisi segitiga tersebut diketahui.
Contoh:
Pada ∆ABC diketahui panjang AB = 16 cm, BC = 12
cm, dan AC = 20 cm. jika titik D terletak pada AB
sedemikian sehingga AD = 7 cm. Hitunglah panjang
CD.
Jawab:

C

20 cm 12 cm

A 7 cm D 9 cm B

l2 c = a2c1 + b2 c2 – c1 c2 c

l2 × 16 = 122×7 + 202×9 – 7×9×16

16 l2 = 144×7 + 400×9 – 1008

75

16 l2 = 1008 + 3600 – 1008
16 l2 = 3600
l2 = 225
l = 15
Jadi, panjang CD adalah 15 cm.

4. Dalil Heron
Dalil heron biasanya digunakan untuk mencari

luas dari suatu segitiga sembarang. Misalkan sisi-sisi

∆ABC adalah a, b, dan c maka luas ∆ABC adalah:

L = √ ( − )( − )( − )

dengan = + +
2

(Pembuktian ini akan diberikan pada bab 6 Garis-

Garis Istimewa Segitiga)

Latihan 5.1
1. Pada ∆ABC, ∠C = 90°, CD ⊥ AB, jika BC = a, AC = b,

BD = p, AD = q, dan CD = t. hitunglah bahagian-
bahagian lainnya pada ∆ABC tersebut jika diketahui:
a. a = 8, b = 6
b. a = 5, c = 7
c. a = 7, p = 5
d. c = 15, p = 12
e. p = 20, q = 25

76

f. q = 13, t = 15
g. a = 25, t = 18
h. c = 19, t = 7
2. Pada ∆ABC, diketahui AB = 15 cm, AC = 10 cm, dan ∠A
= 60°. Hitunglah panjang sisi BC.
3. Pada ∆ABC, diketahui ∠C = 90°, CD ⊥ AB, CD = 15 cm
dan AB = 34 cm. hitunglah panjang sisi AC, BC, dan
luas ∆ABC.
4. Pada ∆ABC, diketahui AB = 26 cm, BC = 30 cm, dan AC
= 35 cm. Hitunglah panjang
a. proyeksi BC ke AB
b. proyeksi BC ke AC.
5. Dalam ∆PQR, diketahui PQ = 14 cm, QR = 13 cm, dan RP
= 15 cm. Hitunglah panjang dari proyeksi ̅ ̅ ̅ ̅ pada ̅̅ ̅ ̅ .

77

GARIS-GARIS ISTIMEWA PADA BAB
SEGITIGA VI

A. Garis Tinggi
Garis tinggi pada suatu segitig adalah ruas garis

yang ditarik dari titik sudut ke sisi dihadapannya atau pada
perpanjangan sisi dihadapannya dan tegak lurus padanya.
Garis tinggi dari titik A, titik B, dan titik C masing-masing
disimbolkan dengan ta, tb, dan tc. sedang perpotongan
garis-garis tinggi disebut titik tinggi, yang disimbolkan
dengan T.

Jika dalam ∆ABC yang panjang sisi-sisinya a, b,
dan c, panjang garis-tinggi ke sisi-sisi AB, AC, dan AB
berturut-turut ta , tb , tc , serta s menyatakan setengah
keliling segitiga tersebut, maka garis tinggi pada ∆ABC
adalah:


= √ ( − )( − )( − )


= √ ( − )( − )( − )


= √ ( − )( − )( − )

78

C a
b ta

A pD c c–p B
(dalil
Bukti: a2 = b2 + c2 – 2cp
Dalam ∆ABC:
proyeksi)

p = 2+ 2− 2 ...................... (1)
2

Menurut teorema Pythagoras, pada ∆ABD berlaku:

tc2 = b2 – p2 ……...............(2)

Subtitusikan p dari persamaan (1) ke persamaan (2)
diperoleh:

2 = 2 − 2 + 2 − 2 2
( 2 )

79

2 = ( + 2 + 2 − 2 ( − 2 + 2 − 2
( 2 )) ( 2 ))

2 = (2 + 2+ 2 − 2) (2 − 2− 2+ 2)
2 2

2 ( + )2 − 2 2 − ( − )2
= 2 × 2

2 = ( + + )( + − )( + − )( − + )
4 2

2 = ( + + )( + + −2 )( + + −2 )( + + −2 )
4 2

2 = 2 (2 −2 )(2 −2 )(2 −2 )
4 2

2 = 24 ( − )( − )( − )
4 2

2 = 22 ( − )( − )( − )
2

= √ ( − )( − )( − )


Dengan langkah serupa dapat dibuktikan bahwa:

= √ ( − )( − )( − ) dan



= √ ( − )( − )( − )

Selanjutnya, dengan menggunakan dalil garis tinggi akan
dibuktikan dalil Heron pada bab 5 sebelumnya yaitu:

L = √ ( − )( − )( − )

80

Bukti:

L ∆ABC = 1 × ×
2

L ∆ABC = 1 × × √ ( − )( − )( − )
2

L ∆ABC = √ ( − )( − )( − ) (Terbukti)

Contoh:
Diketahui ∆ABC dengan sisi-sisi a = 7 cm, b = 10 cm, dan
c = 12 cm. Tentukan :
a. Luas ∆ABC
b. Tinggi dari titik A
Jawab:
a. = + + = 7+10+12 = 14,5

22

L ∆ABC = √ ( − )( − )( − )

= √14,5(14,5 − 7)(14,5 − 10)(14,5 − 12)

= √14,5(7,5)(4,5)(2,5)

= √1223,4375
= 34,9

≈ 35

Jadi, Luas ∆ABC = 35 cm2

b. = 2 √ ( − )( − )( − )


81

2
= 7 √14,5(14,5 − 7)(14,5 − 10)(14,5 − 12)

2
= 7 × 35
= 10
Jadi, tinggi dari titik A = 10 cm

B. Garis Bagi
Garis bagi adalah ruas garis yang ditarik dari titik

sudut ke sisi dihadapannya dan membagi sudut yang
dilaluinya atas dua bagian yang sama besar.

Jika dalam ∆ABC yang panjang sisi-sisinya
masing-masing a, b, dan c, diketahui garis-bagi-dalam

ACB memotong sisi ̅ ̅ ̅ ̅ atas bagian-bagian yang

panjangnya c1 dan c2 serta panjang garis-bagi-dalam
tersebut dinyatakan dengan dc, maka berlaku:
dc2 = ab – c1c2.

C a Perhatikan gambar di samping.
Diketahui:
12
ACD ≅ BCD atau C1 ≅ C2
b dc AD = c1 dan DB = c2.
Akan dibuktikan:
A c1 D c2 B dc2 = ab – c1c2

82

Bukti: (Teorema)
Dalam ∆ABC berlaku:
AC : BC = AD : DB

b : a = c1 : c2

c1 : c2 = b : a

c1 : c2 = b : a

(c1 + c2) : (b + a) = c1 : b (sifat)

c : (a + b) = c1 : b

c1 = ............. (1)
+

c1 : c2 = b : a

(c1 + c2) : (b + a) = c2 : a (sifat)

c : (a + b) = c2 : a

c2 = ............. (2)
+

untuk menggunakan dc, selanjutnya digunakan Dalil

Stewart.

Menurut Dalil Stewart, dalam ∆ABC berlaku:

CD2.AB = BC2.AD + AC2.BD – AD.BD.AB

dc2.c = a2.c1 + b2.c2 – c1.c2 .c ....... (3)
Subtitusikan (1) dan (2) ke (3), diperoleh:

dc2.c = a2. + b2. – c1.c2 .c
+
+

dc2.c = 2 + 2 – c1.c2 .c

+

83

dc2.c = ( + ) – c1.c2 .c
dc2.c
+

= abc – c1.c2 .c

dc2 = ab – c1.c2 atau

dc2 = ab – 2

+

Contoh:

Pada ∆ABC diketahui bahwa AB = 28 cm, BC = 18 cm,

dan AC = 24 cm. Jika CD merupakan garis bagi sudut C,

maka hitunglah panjang AD, DB, dan CD.

Jawab:

C

24 cm 18 cm

AD B
28 cm

Perbandingan a : b = 18 : 24 = 3 : 4

Jumlah perbandingan = 7

Jadi, panjang AD = 4 × 28 = 16 cm dan panjang BD =

7

1 × 28 = 9 cm

7

AD2 = dc2 = ab – c1c2

= 18×24 – 16×9

84

= 432 – 144

= 288

Jadi, panjang AD = 12√2 cm

C. Garis Berat
Garis berat adalah ruas garis yang ditarik dari titik

sudut ke sisi dihadapannya dan membagi dua sisi tersebut

atas dua bagian sama panjang. Garis berat dari titik A, titik
B, dan titik C masing-masing disimbolkan dengan za, zb,
dan zc. Garis-garis berat suatu segitiga saling berpotongan
menjadi dua bagian dengan perbandingan 1 : 2. Adapun

rumus garis berat dinyatakan dalam sebuah dalil berikut:

Jika dalam ∆ABC yang panjang ketiga sisinya masing-

masing a, b, dan c, dan panjang garis-berat yang melalui

titik-titik sudut A, B, dan C berturut-turut za , zb , zc , maka:

= ( + ) −


= ( + ) −


= ( + ) −


85

A Perhatikan gambar di samping.

Diketahui: D titik tengah ̅̅ ̅ ̅ ,

Bukti: AD = za.
c za b Akan dibuktikan:

Dalam ∆ABC berlaku:

AD2.BC = AC2.BD + AB2.CD – D 2 B=.C21D.B( C 2(+Da l i2l) − 1 2
4
1a 1a
B StewaDrt) C
2 2

za2.a = b2. 21a + c2. 12a – 12a. 12a.a

za2.a = 12ab2 + 21ac2 – 41a3

za2 = 12b2 + 1 c2 – 14a2
2

za2 = (b2 + c2 ) – a2


Dengan langkah yang serupa dapat dibuktikan:

= ( + ) −


= ( + ) −


86

Contoh:
Pada ∆ABC diketahui bahwa panjang AB = 5 cm, BC = 3
cm, dan AC = 4 cm. hitunglah panjang garis berat CD.
Jawab:

C

4 cm 3 cm

AD B
5 cm

= = ( + ) −


= 1 (32 + 42) − 1 × 52
2 4

11
= 2 (9 + 16) − 4 × 25

= 1 (25) − 1
2 4 × 25

1
= = 2 √2 × 25 − 25

1
= 2 √50 − 25

87

1
= 2 √25

5
=2
Jadi, panjang garis berat CD adalah 5 cm.

2

Latihan 6.1

1. Gunakan dalil proyeksi untuk membuktikan

= 1 √2( + 2) − 2
2

2. Pada ∆ABC, AB = 17 cm, BC = 25 cm, dan AC = 28 cm.

Buatlah garis bagi BE dan hitunglah luas ∆AEB dan

∆EBC.

3. Pada ∆ABC, AB = 12 cm, BC = 6 cm, dan CA = 9 cm.

Hitunglah ta, za, dan da.

4. Pada ∆ABC diketahui a + b = 2c. Buktikan bahwa

2 = 3
4

5. Buktikan bahwa garis-garis berat suatu segitiga

berpotongan di satu titik.

6. Buktikan bahwa jumlah kuadrat ketiga garis berat sebuah

segitiga sama dengan 3 jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya.

4

7. Pada ∆ABC, ̅̅ ̅ ̅ dan ̅ ̅ ̅ ̅ masing-masing garis berat dari

titik A dan titik B. buktikan bahwa ̅ ̅ ̅ ̅ ∥ ̅ ̅ ̅ ̅ .

88

8. Pada ∆ABC, diketahui bahwa AD, BE, dan CF adalah
garis-garis tinggi pada ∆ABC. Buktikan bahwa garis-garis
tinggi tersebut melalui sebuah titik.

89

LINGKARAN BAB
VII

A. Definisi Lingkaran
Coba kalian perhatikan Gambar 1 dengan seksama.

Gambar 1. Bentuk-bentuk Lingkaran
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering
menjumpai ban mobil, uang logam, jam dinding yang
bentuknya seperti lingkaran. Secara geometris, benda-
benda tersebut dapat kita ilustrasikan seperti pada Gambar
2(a).

(a) Bentuk geometri benda-benda (b) Lingkaran
Perhatikan GambaGr a2mdbeanrg2an seksama. M
Misalkan A, B, C merupakan tiga titik sebarang

pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa

90

ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap
titik O. Dengan demikian, dapat kita definisikan bahwa
lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang datar
yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik
tertentu ini disebut pusat lingkaran dan jarak tertentu
disebut radius atau jari-jari lingkaran yang biasa
disimbolkan dengan r.
B. Unsur-unsur Lingkaran

Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk
dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik
pusat, jari-jari, diameter, tali busur, busur, tembereng,
juring, dan apotema. Untuk lebih jelasnya, perhatikan
uraian berikut.

AD

F

CO

E
Gambar 3. LingkaranByang berpusat di titik O
1. Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di
tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar 3, titik O

91

merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian,
lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.
2. Jari-jari lingkaran adalah garis yang
menghubungkan sebuah titik pada lingkaran dengan
titik pusat lingkaran. Pada Gambar 3, jari-jari
lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, dan OC.
3. Diameter atau garis tengah adalah garis yang melalui
titik pusat lingkaran. Garis AB pada lingkaran O
merupakan diameter lingkaran tersebut
4. Talibusur adalah garis yang menghubungkan dua
buah titik pada lingkaran. Berbeda dengan diameter,
talibusur tidak melalui titik pusat lingkaran O.
Talibusur ditunjukkan oleh garis DE.
5. Busur adalah bagian lingkaran yang terletak diantara
ujung talibusur. Busur ditunjukkan oleh garis
lengkung ̂ .
6. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh tali
busur dan busur. Pada Gambar 3, tembereng
ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi
oleh busur DE dan tali busur DE.
7. Juring atau sektor dari lingkaran adalah daerah
lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah
busur. Pada gambar 3, juring ditunjukkan oleh daerah
yang diarsir dan dibatasi oleh jari-jari OA dan OC.

92

8. Apotema adalah jarak antara titik pusat lingkaran
dengan tali busur. Garis yang dibentuk bersifat tegak
lurus dengan tali busur. Garis OF merupakan garis
apotema pada lingkaran O.

C. Perbandingan Garis-garis dalam Lingkaran
Teorema 7.1
Garis tegaklurus dari sebuah titik pada lingkaran ke garis
tengahnya merupakan pembanding tengah antara bagian-
bagian garis tengah tersebut.
Bukti:
Diketahui AB garis tengah dan CD ⊥ AB
Akan dibuktikan bahwa AD : CD = CD : BD atau CD2 =
AD × BD

C

A B
D

Perhatikan Gambar diatas, ΔABC siku-siku di C.
Berdasarkan teorema kesebangunan, diperoleh bahwa
ΔACD ~ ΔCBD (sd.sd), sehingga:

93