Geometri Dasar

AD : CD = CD : BD atau CD2 = AD × BD
Teorema 7.2
Jika dari sebuah titik pada lingkaran ditarik sebuah
talibusur dan sebuah garis tengah, maka talibusur
merupakan pembanding tengah antara garis tengah dan
proyeksinya.
Bukti:
Diketahui AB garis tengah dan CD ⊥ AB
Akan dibuktikan bahwa AB : AC = AC : AD atau AC2
= AD × AB

C

AB
D

Perhatikan Gambar diatas, ΔABC siku-siku di C.
Berdasarkan teorema kesebangunan, diperoleh bahwa
ΔABC ~ ΔACD (sd.sd), sehingga:
AB : AC = AC : AD atau AC2 = AD × AB
Teorema 7.3
Jika dua buah talibusur berpotongan di dalam lingkaran,
maka perkalian kedua bagian pada talibusur yang pertama

94

sama dengan perkalian bagian-bagian pada bagian
talibusur yang kedua.
Bukti:
Diketahui AB dan CD berpotongan di S
Akan dibuktikan bahwa AS × SB = CS × SD

B
C

SD

A

Perhatikan ΔASC dengan ΔDSB
∠S1 = ∠S2 (sudut bertolak belakang)
∠A = ∠D (sudut yang menghadap busur yang sama)
∠C = ∠B (sudut yang menghadap busur yang sama)
Berdasarkan teorema kesebangunan maka ΔASC ~ ΔDSB
(sd.sd.sd), sehingga AS × SB = CS × SD .

Teorema 7.4
Jika dari sebuah titik di luar lingkaran ditarik dua garis
potong terhadap lingkaran maka perkalian bagian-bagian

95

pada garis potong yang pertama sama dengan perkalian
bagian-bagian pada garis potong yang kedua.
Bukti:
Diketahui: tali busur AB dan CD
titik P diluar lingkaran
garis m memotong lingkaran di titik A dan B
garis n memotong lingkaran di titik C dan D
Akan dibuktikan bahwa PA × PB = PC × PD

B

mA

P
n
C

Perhatikan ΔPAD dan ΔPCB. BerdasaDrkan teorema

kesebangunan ΔPAD ~ ΔPCB (sd.sd), maka diperoleh:


=

atau PA × PB = PC × PD (Terbukti)

Teorema 7.5
Jika dari sebuah titik di luar sebuah lingkaran ditarik
sebuah garis singgung dan garis potong terhadap

96

lingkaran, maka garis singgung tersebut merupakan
pembanding tengah antara bagian-bagian garis potong.
Diketahui garis m memotong lingkaran di titik B dan C
garis n menyinggung lingkaran di titik A
Akan dibuktikan bahwa PA2 = PB × PC

C

Bm

P
n

A
Perhatikan ΔPAC dan ΔPBA. Berdasarkan teorema

kesebangunan ΔPAC ~ ΔPBA (sd.sd), maka diperoleh:


=

atau PA2 = PB × PC

Berikut ini akan dijelaskan tentang dalil segiempat

talibusur, dimana pada bab sebelumnya kita telah

mempelajari tentang segiempat. Segiempat talibusur yang

dimaksud dalam bagian ini adalah sebuah segiempat yang

keempat titik sudutnya terletak pada lingkaran. Selain itu,

perlu di informasikan bahwa jumlah dua buah sudut yang

saling berhadapan pada segiempat talibusur adalah 180°.

97

Dalil Ptolemeus
Pada segiempat talibusur perkalian diagonal-diagonalnya
sama dengan jumlah perkalian sisi-sisi yang berhadapan.
Bukti:
Perhatikan Gambar dibawah dengan seksama.

D

A

E
BC

Buatlah ∠CDE = ∠ADB.

Perhatikan ΔCDE dan ΔBDA berlaku bahwa

ΔCDE ~ ΔBDA (sd.sd) maka diperoleh:


=

atau EC × DB = AB × DC ….…. 1)

Selanjutnya, perhatikan ΔADE dan ΔBDC berlaku bahwa

ΔADE ~ ΔBDC (sd.sd) maka diperoleh:


=

Atau AE × DB = BC × AD ……..…. 2)

98

Jumlahkan persaman 1) dan persamaan 2), maka:
EC × DB = AB × DC
AE × DB = BC × AD
___________________+
EC × DB + AE × DB = AB × DC + BC × AD
(EC + AE) × DB = AB × DC + BC × AD
AC × DB = AB × DC + BC × AD (Terbukti)

Latihan 7.1
1. Gambar sebuah lingkaran dengan pusat M dan talibusur

AB. Dengan pusat M jangkakan pada garis AB dua potong
garis AC dan BD yang sama panjang. Buktikan bahwa MC
= MD.
2. Dua buah talibusur berpotongan dalam lingkaran
sedemikian sehingga bagian-bagian pada talibusur yang
pertama 20 cm dan 15 cm, sedangkan satu satu bagian
pada talibusur yang kedua 10 cm. hitung panjang bagian
talibusur yang lainnya.
3. Pada garis tengah AB sebuh lingkaran, dibuat garis tinggi
di titik C yang memotong lingkaran di titik D. Panjang CD
= 5 cm dan AC = 12 cm. hitunglah panjang garis tengah
AB.
4. Dari titik P diluar lingkaran O ditarik sebuah garis
singgung PA = 6 cm. Garis melalui P memotong lingkaran

99

tersebut di titik B dan C sedemikian sehingga talibusur BC
= 16 cm. Hitunglah panjang PB.
5. Dari titik P diluar lingkaran O ditarik dua buah garis
potong PAB dan PCD. Panjang PA = 3 cm, AB = 29 cm,
PC : CD = 1: 5. Hitunglah panjang PC dan PD
6. Perhatikan gambar berikut.

D

a d
Am

bn

Bc C

Buktikan bahwa:

2 = ( + )( + )
+

2 = ( + )( + )
+

(Petunjuk: Gunakan aturan cosinus)

7. Sisi-sisi sebuah segiempat talibusur adalah 52 cm, 25 cm,

39 cm, dan 60 cm. Hitunglah panjang diagonal-diagonal

segiempat talibusur tersebut.

8. Periksa apakah segiempat berikut merupakan segiempat

talibusur atau bukan.

100

a. Jajargenjang
b. Belah ketupat
c. Persegipanjang
d. Trapesium
e. Persegi

101

BANGUN RUANG BAB
VIII

Untuk memudahkan pembicaraan tentang bangun-
bangun geometri dalam pembelajaran matematika seringkali
digunakan gambar atau model dari bangun itu. Model-model
bangun geometri itu dapat kita gunakan sebagai alat peraga
dalam kegiatan belajar mengajar geometri.

Dalam pengajaran geometri secara tegas kita
membedakan antara pengertian gambar dan model dari suatu
bangun geometri. Dengan demikian secara tegas kita
membedakan antara kubus, gambar kubus dan model kubus.
Demikian pula kita membedakan antara balok, gambar balok,
dan model balok, dan seterusnya.

Dalam geometri, setiap bangun dipandang sebagai
himpunan titik-titik tertentu (special set of points). Misalnya
sebuah garis, sebuah lingkaran dan sebagainya. Ruang
diartikan sebagai himpunan semua titik. Dapatkan Anda
jelaskan perbedaan dan hubungan antara “ruang” dan
“ruangan”?

Dalam mendefinisikan bangun-bangun ruang dapat
dilakukan dengan cara menjelaskan batas-batas dari bangun
ruang tersebut. Misalnya sebuah kubus didefinisikan sebagai
bangun yang dibatasi oleh enam daerah persegi yang kongruen.
Cobalah Anda menyebutkan definisi bangun-bangun ruang

102

yang lain. Pernahkan Anda secara khusus memperhatikan
benda-benda atau bangun-bangun yang terdapat di sekitar
Anda, baik selama Anda berada di ruang kelas, di rumah atau
di alam terbuka? Cobalah Anda menyebutkan bentuk dari
setiap bangun yang Anda jumpai. Apakah Anda akan
menjumpai kesulitan dalam menyebutkan bentuk untuk setiap
bangun yang Anda jumpai itu?

Dalam geometri yang kita pelajari hanya bangun-bangun
baku saja, misalnya trapesium, balok, tabung, kerucut, bola dan
sebagainya. Dalam matematika bangun-bangun geometri
merupakan benda-benda pikiran yang memiliki bentuk dan
ukuran yang memang sempurna. Sebaliknya dalam kehidupan
sehari-hari yang kita jumpai adalah benda-benda nyata, yang
bentuknya tidak sempurna. Benda-benda atau bangun-bangun
yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari kebanyakan
hanya dapat dijelaskan atau ditunjukkan kemiripannya saja
terhadap bangun geometri tertentu.

Dengan demikian Anda tidak perlu dapat menyebutkan
bentuk dari setiap bangun yang Anda jumpai dan kenyataannya
memang benda-benda di sekitar Anda memiliki bentuk yang
sangat beraneka ragam, yang pada umumnya tidak memiliki
bentuk baku yang Anda kenal dalam geometri.

Analoginya dalam ruang, Anda dapat menyaksikan
penggunaan bentuk balok yang sangat mendominasi kehidupan

103

umat manusia, demikian juga Anda dapat membayangkan
akibatnya apabila manusia tidak menggunakan bangun-bangun
tabung, kerucut dan bola yang ternyata telah memiliki peranan
khusus dalam berbagai macam kepentingan manusia yang
makin maju, sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan
dan teknologi.

Di bidang kesenian, sejak dahulu kala manusia sudah
memanfaatkan berbagai macam bentuk yang disusun,
dirangkum dalam ragam tertentu sehingga dapat menciptakan
pandangan atau suasana yang anggun dan nyaman. Dewasa ini,
melalui kreatifitas para pengabdi seni yang jeli memanfaatkan
keindahan yang dapat muncul dari balik bangun-bangun
geometri tertentu, telah mendorong berkembangnya berbagai
macam industri, misalnya industri rancang bangun, industri
keramik, macam-macam industri kerajinan dan sebagainya.
Dalam hubungan ini pemanfaatan bangun-bangun ruang
tertentu semacam bidang banyak beraturan dapat dipelajari dan
dikembangkan.

Dengan demikian adalah menjadi salah satu kewajiban
dari para guru matematika di sekolah untuk membantu para
siswanya agar sejauh mungkin dapat memanfaatkan bangun-
bangun geometri sebagai salah satu sumber acuan dalam
mengembangkan teknologi pada bidangnya masing-masing.

104

Diskusikan!
1. Sebutkan sebanyak-banyaknya nama bangun ruang yang

Anda kenal atau ketahui.
2. Pernahkan Anda melihat titik, garis lurus, bidang datar,

kubus, tabung atau bola? Jelaskan jawaban Anda.
3. Ambillah sebuah botol sirup atau sebuah jambangan

bunga. Cobalah Anda menjelaskan bentuk yang dimiliki
benda-benda tersebut. Apakah yang dapat Anda katakan
tentang bentuk dari sebuah telur, sarang lebah madu dan
sepasang telinga kita?
4. Anda diharapkan pernah melihat atau mungkin juga
memiliki meja berkaki empat dan meja berkaki tiga.
Dapatkah Anda menjelaskan mana meja yang lebih stabil
(berdiri mantap tidak goyang); mengapa meja kebanyakan
dibuat berkaki empat?
5. Jelaskan perbedaan antara:
a. Kotak dan balok
b. Kaleng susu dan tabung
c. Bola dan bola volly
d. Bidang lengkung tabung atau bidang lengkung kerucut

dan bidang lengkung bola.

A. Gambar Bangun Ruang
Gambar dari sebuah benda dapat dipandang sebagai hasil

proyeksi atau bayangan dari model kerangka benda itu pada

105

sebuah layar yang pada umumnya layar itu dipikirkan sebagai T1
sebuah bidang datar. Dari berbagai macam cara, kita mengenal
paling tidak dua cara menggambar benda, antara lain:
1. Cara Perspektif

Pada penggambaran dengan cara ini digunakan sebagai
pedoman adalah garis horizon atau cakrawala atau titik
mata. Pada gambar perspektif garis-garis yang sebenarnya
sejajar (kecuali yang sejajar dengan garis horizon) tidak
sejajar lagi, tetapi arahnya ke suatu titik tertentu yang
terletak pada garis horizon. Dengan demikian ruas-ruas
garis yang sebenarnya sama panjang pada umumnya pada
gambar tidak sama panjang lagi.

T2

H
EG

D
F

AC

B
Gambar 1. Gambar per1sp0e6ktif sebuah balok ABCDEFGH

2. Cara Stereometris
Cara ini pada hakekatnya sama dengan cara perspektif,
hanya saja garis horizontal dianggap letaknya jauh tak
berhingga, dan selanjutnya cara ini disebut cara
Stereometris. Pada cara ini sinar-sinar yang mengenai
benda kita anggap sejajar dan arahnya miring terhadap
permukaan bidang layar atau bidang gambar, karena itu
cara ini kita sebut juga proyeksi (paralel) miring, dan
gambar yang diperoleh disebut gambar ruang dari benda
itu.
Dalam geometri, baik geometri bidang maupun geometri
ruang, cara stereometris inilah yang pada umumnya kita
pergunakan. Dalam memuat gambar stereometris, kita
mengenal beberapa istilah atau pengertian:
HG
EF

DC
AB
Gambar 2. Gambar stereometris kubus ABCDEFGH

107

a. Bidang gambar
Bidang gambar adalah bidang tempat gambar, yaitu
permukaan papan tulis atau permukaan kertas.

b. Bidang Frontal
Bidang frontal ialah bidang tempat gambar atau setiap
bidang yang sejajar dengan bidang gambar.
Keistimewaan dari bidang frontal ini yaitu bahwa
setiap bangun yang terletak pada bidang itu bentuk
dan ukurannya dalam gambar sama dengan bentuk
dan ukuran yang sebenarnya. Misalnya pada gambar
kubus ABCDEFGH dengan bidang ABFE frontal,
maka ABFE benar-benar berupa persegi, dan sudut
ABF misalnya, benar-benar siku-siku.

c. Garis frontal
Garis frontal yaitu garis atau ruas garis yang terletak
pada bidang frontal. Diantaranya garis-garis frontal
yang penting adalah garis vertikal. Setiap garis vertikal
tentu merupakan garis frontal. Tidak setiap garis
horizontal merupakan garis frontal (mengapa? Berilah
contoh)

d. Garis Ortogonal
Garis ortogonal yaitu setiap garis yang letaknya tegak
lurus pada bidang frontal. Pada Gambar 2 dapat

108

ditunjukkan pada garis AD, BC, dan FG sebagai garis
ortogonal.
e. Sudut Surut atau sudut simpang atau sudut menyisi
Sudut surut yaitu sudut dalam gambar antara sinar garis
frontal horizontal arah ke kanan dan sinar garis
ortogonal arah belakang. Misalnya pada gambar

BAD, FEH; sudut-sudut itu ukuran sebenarnya
90 .
f. Perbandingan proyeksi atau perbandingan
Ortogonal
Yaitu perbandingan antara panjang ruas garis
ortogonal dalam gambar dengan panjang sebenarnya
dari ruas garis itu.
Untuk lebih memahami dan terampil dalam membuat
gambar ruang, kita perlu memperoleh pengalaman
menggambar melalui beberapa latihan dengan berbagai
situasi letak dari bangun ruangnya.

Contoh:
Buatlah gambar proyeksi miring dari kubus ABCDEFGH
yang alasnya ABCD dan rusuk-rusuk tegaknya AE, BF,
CG dan DH. Panjang rusuknya 5 cm, bidang alasnya

109

horizontal, bidang sisi tegaknya ABFE frontal, sudut
simpang 30 , dan perbandingan proyeksi 2.

5

Langkah penyelesaian gambar:
1. Terlebih dahulu kita lukis
bidang alasnya, yang
berupa daerah persegi
ABCD. Karena bidang

A B ABCD horizontal dan
ABFE frontal, berarti rusuk
AB letaknya frontal
horizontal, sehingga dalam
gambar AB, panjangnya 5
cm.

110

30 2. Pada titik A lukislah
A sudut simpangnya 30

B

D 3. Karena AD merupakan
ruas garis orthogonal,
30 B sedang perbandingan
A proyeksinya 2 maka
D
C B 5
A
panjang AD pada
gambar 2 × 5 cm = 2

5

cm.
4. Karena proyeksi miring

persegi ABCD berupa
jajargenjang, maka
gambar bidang alas
ABCD dapat
diselesaikan.

5. l. Jadi letaknya frontal
sehingga titik-titik
sudut E, F, G, dan H

111 dapat digambar,
kemudian dihasilkan
gambar dari kubus
ABCDEFGH tersebut.

5. Rusuk-rusuk tengahnya
berupa ruas garis vertikal.
Jadi letaknya frontal
sehingga titik-titik sudut E,
F, G, dan H dapat digambar,
kemudian dihasilkan gambar
dari kubus ABCDEFGH
tersebut.

B. Macam-macam Bangun Ruang
1. Kubus

Kubus adalah bangun ruang yang dibatasi oleh enam
bidang datar (sisi) yang luas dengan dua belas rusuk yang sama
panjang dan semua sudutnya merupakan sudut siku-siku.

EH FG

DC

A B
G
Unsur-Unsur Kubus

Unsur-unsur kubus ABCD.EFGH pada gambar diatas antara

lain :

112

a. Memiliki 6 buah sisi berbentuk persegi yang kongruen,
yaitu ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE, dan DCGH.

b. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang yaitu AB, DC, EF,
HG, EA, HD, FB, GC, AD, BC, FG,dan EH

c. Memiliki 12 diagonal sisi yang sama panjang, yaitu AC,
BD, EG, FH, AD, DE, BG, CF, AF,BE,DG, dan CH

d. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang, yaitu
AG,BH,CE, dan DF.

e. Memiliki 6 bidang diagonal, yaitu ACGE, BDHF,
ADGF,ABGH, BCHE, dan CDEF.

f. Memiliki 8 titik sudut yaitu A,B,C,D,E,F,G,dan H
Jaring – Jaring Kubus

Gambar 3. Jaring-jaring dari kubus ABCD.EFGH
113

Volume Kubus
Jika sebuah kubus panjang rusuknya maka volume

kubus adalah
= = 3

Luas Permukaan Kubus

Jika sebuah kubus panjang rusuknya , luas permukaan

( ) kubus merupakan jumlah antara luas seluruh sisi tegak
dan dua kali luas permukaan alas kubus.

Luas permukaan kubus = 4 2 + 2 2

( ) = 6 2

Contoh 1

Perhatikan kubus PQRS.TUVW di bawah ini :

Tntukan : W
V

a. Panjang WU B U 10

b. Panjang TR B 0R1

10 0

Penyelesaian : 10 Q 01

a. WU merupakan diagonal 01 PQR0S.TUVW
bidang0kubus

WU = √2

= 10√2

Jadi, panjang WU = 10√2

b. TR merupakan diagonal ruang kubus PQRS.TUVW

114

TR = √3
= 10√3

Jadi, panjang TR = 10√3
Contoh 2 :
Panjang rusuk sebuah kardus berbentuk kubus = 50 .
Tentukan :
a. Luas permukaan kardus
b. Volume kardus
Penyelesaian :
a. = 6 2

= 6 502
= 6 2.500
= 15.000 2
b. =
= 50 50 50
= 125.000 3

2. Balok
Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk

oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang,

115

HG

E F
D C

AB
P
Unsur-unsur Balok
Unsur - unsur balok ABCD.EFGH antara lain :
a. Memiliki 6 buah sisi berbentuk persegipanjang yaitu
ABCD, EFGH, BCGF, ADHE, ABFE, dan DCGH
b. Memiliki 12 rusuk yaitu AB, BC, AD, CD, BF, CG, FG,
EF, DH, HE dan AE.
c. Memiliki 4 diagonal ruang yaitu AG, BH, CE, DF
d. Memiliki 12 diagonal sisi yaitu AF, BE, CF, CH, DG, DE,
AH, AC, BD, EG, dan HF
e. Memiliki 8 titik yaitu A, B, C, D, E, F, G, H dan E

Jaring-jaring Balok

116

Luas balok
Ukuran balok ditentukan oleh panjang ( ), lebar ( ), dan
tinggi ( )
Keliling balok adalah jumlah dari semua ukuran rusuk balok

K = 4 ( + + ),
Luas balok adalah jumlah dari semua permukaan balok.

L = 2 + 2 + 2
L = 2( . + . + . )
Volume balok adalah perkalian dari ketiga sisi balok
V = ( + + )
Diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan 2 buah
sudut dimana garis tersebut melewati ruang dalam balok

= √ 2 + 2 + 2
Diagonal sisi adalah garis yang menghubungkan 2 buah sudut
dari sisi balok, dimana garis tersebut melewati permukaan sisi
balok

= √ 2 + 2

117

= √ 2 + 2 G
= √ 2 + 2
Contoh 3 :
Perhatikan gambar dibawah ini :

H

E F
D C

A B
Hitunglah :

a. Panjang diagonal AC

b. Panjang diagonal AG

c. Luas daerah yang diarsir

Penyelesaian :

a. Perhatikan segitiga siku-siku ABC

= √ 2 + 2

= √482 + 202

= √2304 + 400
= √2704
= 52
Jadi panjang diagonal = 52

118

b. Perhatikan segitiga siku-siku ACG
= √ 2 + 2
= √522 + 392
= √2704 + 1521
= √4225
= 65

Jadi panjang diagonal = 65
c. Luas = 1

2

= 1 52 39

2

= 1014 2
Jadi luas daerah yang diarsir 1014 2

3. Prisma
Prisma adalah bangun ruang yang mempunyai sepasang

sisi sejajar dan sebangun , yang disebut alas, serta sisi-sisi yang
lain yang diproses dengan menghubungkan ujung-ujung titik
sudut dari kedua alasnya dan disebut sisi tegak.
Jenis-jenis prisma
Jenis prisma dikelompokkan berdasarkan bangun datar yang
menjadi alas prisma

119

ab c

Gambar beberapa jenis

(a) Prisma tegapkrsisemgiatiga (b) prisma tegak segi empat

(c) Prisma tegak segi enam

Unsur-unsur Prisma
Perhatikan gambar prisma tegak segitiga pada gambar di
bawah ini, unsur-unsurnya adalah :

F

DE
C

AB
a. Sisi alas dan sisi atasnya berbentuk segitiga, yaitu ABC

dan DEF.sisi tegaknya berbentuk segi empat yaitu
ABED,ACFD dan BCFE.
b. Rusuk alasnya yaitu AB,BC, dan CA.Rusuk atasnya
yaitu DE,EF, dan FD.Rusuk tegaknya yaitu AD,CF,
dan BE.

120

c. Titik-titik sudutnya yaitu A,B,C,D,E dan F
d. Diagonal sisinya yaitu BD,AE,CE,BF,CD, dan AF.

Jaring – jaring Prisma tegak

Volume dan Luas permukaan Prisma
Secara umum, volume ( ) dan ( ) sebuah prisma

adalah :
=

Dan
= 2 +
( )

Contoh 4 : F
Perhatikan gambar disamping
Tentukan : 10 cm
a. Luas permukaan prisma
b. Volume prisma D E
C 12 cm
121 16 cm

AB

Penyelesaian :
a. Segitiga ABC siku-siku sehingga

Berlaku teorema Pythagoras
2 = 2 + 2

= 162 + 122
= 256 + 144
= 400
= 20
= 2 +
= 2 (1 ) + ( + + )

2

= (16 12) + (20 + 12 + 16) 10
= 192 + 480
= 672 3
b. =
= ( 1 )

2

= ( 1 16 12) 10

2

= 960 3

4. Limas
Limas adalah suau bangun ruang yang mempunyai satu

sisi sebagai alas dan sisi-sisi lain berupa segitiga berpotongan

122

pada satu titik yang disebut puncak limas. Sedangkan jarak dari
puncak ke alas limas disebut dengan tinggi limas.
a. Limas segitiga

D

AE C

B

Gambar jaring-jaring limas segitiga

Unsur-unsur limas segitiga
a. Memiliki 4 sisi berbentuk segitiga yaitu ABC, BCD,

DAE, dan ACB

b. Memiliki 4 titik sudut yaitu titik A,B,C,D dan E

c. Memiliki 6 rusuk yaitu AB,BC,CD,DA,AE dan EC.

Contoh 5 : D
Perhatikan gambar disamping. Jika
C
Tinggi limas D.ABC = 10 cm 5 cm
A 12 cm
Tentukan volumenya

Penyelesaian : B

Volume = 1
3

11
= 3 2

123

1
= 6 5 10
= 10 3

b. Limas segiempat
T

D C
O

AC B
Jaring-jaring limas segi empat

Unsur-unsur limas segiempat
a. Memiliki 5 sisi yaitu ATB,BTC,ATD, TDC dan DTC
b. Mmiliki 8 rusuk, yaitu AT, BT, TC, AB, BC, CD, AD

dan DT
c. Memiliki 5 titik sudut yaitu A, B, C, D dan E

Volume dan Luas Permukaan Limas
= 1

3

Luas permukaan Limas
= + ℎ ℎ

124

Contoh 5

Sebuah limas T.ABCD dengan alas berbentuk persegi dan

panjang sisinya 11 cm. Jika tinggi pada sisi tegaknya 13 cm,
T
hitunglah :

a. Tinggi limas 13 cm
b. Volume limas
c. Luas permukaan limas D Ccm
C
penyelesaian :
a. Tinggi limas = TE EF
A 11 cm B

= √ 2 − 2

= √132 − 52

= √169 − 25

= √144

= 12

Jadi tinggi limas T.ABCD adalah 12 cm

b. = 1 て

3

= 1 11 11 12

3

= 484 3

Jadi, volume T.ABCD adalah 484 3

c. = + −

= 100 + 4 1 11 13
2

= 100 + 4 71,5

125

= 100 + 286
= 386
Jadi, luas permukaan limas T.ABCD adalah 386 2

5. Tabung
Tabung adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh

dua lingkaran yang sejajar dan kongruen dan dibatasi oleh
himpunan (tempat kedudukan) garis-garis sejajar tegak lurus
dan memotong dua lingkaran tersebut.

AB

CD Jaring-jaring tabung
Gambar tabung

Unsur-unsur tabung
a. Memiliki sisi alas dan sisi atas berbentuk lingkran yang

kongruen dan sejajar
b. Memiliki sisi lengkung yang disebut selimut tabung
c. Memiliki rusuk yang melengkung
d. Tidak memiliki sudut

126

Volume dan luas permukaan tabung
Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas (r) dan tinggi
tabung (t) memiliki volume adalah

= 2
Luas permukaan tabung adalah luas selimut tabung ditambah
dengan luas alas dan tutupnya, adalah

= 2 ( + )

Contoh 6 10 cm
Perhatikan gambar tabung di samping, 14 cm
Jari-jari 14 cm.Tentukan :
a. Luas permukaan tabung
b. Volume tabung
Penyelesaian :
a. = 2 ( + )

= 2 3,14 14 (14 + 10)
= 88 24
= 2.122
Jadi, luas permukaan tabung adalah 2.122 2
b. ⯼ = 2
= 3,14 14 14 10
= 6.160
Jadi volume tabung adalah 6.160 2

127

6. Kerucut
Kerucut adalah suatau bangun ruang yang dibatasi oleh

sebuah lingkaran (yang disebut bidang alas) dan dibatasi juga
oleh himpunan (atau tempat kedudukan ) garis-garis yang
melalui suatu titik (yang disebut puncak) dan melalui
lingkaran.

T Ta
a A

A DB B
Gambar kerucut Gambar jaring-jaring kerucut

Unsur-unsur kerucut
a. Memiliki alas berbentuk lingkaran
b. Mempunyai sisi lengkung yang disebut selimut

kerucut
c. Mempunyai satu titik yaitu titik puncak
d. Mempunyai satu rusuk yang melengkung

(melingkar)

Volume dan Luas Permukaan Kerucut
Kerucut dengan jari-jari lingkaran alas (r) dan tinggi (t)
memiliki volume (V) adalah

128

= 1 2

3

luas permukaan kerucut adalah luas selimut kerucut ditambah
dengan luas luas alas kerucut, dengan rumus

= ( + )
Luas permukaan kerucut tanpa alas atau luas selimut kerucut
adalah

=

Contoh 7
Sebuah kerucut mempunyai diameter 40 dan garis pelukis
25 .tentukan
a. Luas permukaan kerucut
b. Volume kerucut
Penyelesaian
a. 2 = 2 − 2

= 252 − 202
= 625 − 400
= 15

= ( + )
= 3,14 20 (20 + 25)
= 2826
Jadi, luas permukaan kerucut adalah 2826 2

129

b. = 1 2

3

= 1 3.14 202 15
3

= 6280

Jadi, volume kerucut adalah 6280 3

7. Bola
Bola adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk

oleh tak terhingga lingkaran berjari-jari sama panjang dan
berpusat pada satu titik yang sama.

Gambar Bola

Sebuah bola dapat dibentuk dari bangun setengah

lingkaran yang diputar 360 pada garis tengahnya. Volume

bola dengan jari-jari (r), dengan rumus

= 4 3 atau = 1 3

3 6

Luas selimut bola adalah

= 4 2 atau = 2
Luas permukaan setengah bola adalah

130

1 = 1 +
2 2

= 1 4 2 + 2

2

= 2 2 + 2

= 3 2

Contoh 8

Sebuah bola besi pejal berdiameter 14 . Jika bola tersebut

dibelah menjadi 2 sama Besar dan dicat, tentukan :

a. Luas permukaan yang dicat

b. Volume setengah besi tersebut

Penyelesaian :

a. Luas permukaan yang dicat

ℎ + = 1 2 + 1 2
2 4

= 3 2

4

= 3 3.14 142
4

= 461,58

Jadi, luas permukaan yang dicat adalah 61,58 2

b. ℎ = 1 1 3
2
6

= 1 3,14 143

12

= 718,02

Jadi, volume setengah besi adalah 718,02 3

131

Latihan 8.1
1. Sebuah balok dengan ukuran panjang 6 meter, lebar 6

centimeter dan tinggi 12 centimeter. Hitunglah :
a. Luas balok
b. Volume balok
c. Keliling balok
d. Diagonal balok
2. Sebuah kubus ABCD.EFGH volumenyanya adalah
343 3 .hitunglah
a. Panjang sisi Kubus
b. Luas permukaan kubus
3. Sebuah truk berisi pasir sebanyak 4,95 3. Selanjutnya
pasir tersebut diturunkan dari truk sehingga membentuk
kerucut setinggi 2,1 . hitunglah jari-jari kerucut pasir
tersebut.
4. Sebuah pedagang memiliki sebuah drum yang berisi penuh
minyak goreng. Diameter alas drum 50 dan tingginya
80 . minyak tersebut dipindahkan ke kantong-kantong
plastic untuk dijual eceran. Bila satu kantong plastic berisi
1 , tentukan banyak kantong plastic berisi yang harus

4

disediakan.
5. Keliling alas kerucut 44 . Jika panjang garis pelukis

25 , ℎ ℎ

132

a. Volume kerucut
b. luas kerucut
6. Sebuah prisma tegak alasnya berbentuk segitiga siku-siku
dengan panjang siku-sikunya 7 24 . bila tinggi
prisma 20 , hitunglah volume dan luas prisma
7. Luas sisi bola pejal adalah 2.464 . tentukan volume bola.
8. Sebuah tabung tanpa tutup memiliki jari-jari 7 dan
tinggi 15 . Hitunglah :
a. Luas permukaan tabung
b. Volume tabung.

133

DAFTAR PUSTAKA

De Baan, M.A. dan J.C. Boss, 1956. Ilmu Ukur. Jakarta: J.B.
Wolters.

Griel, Bernard. 2005. Schaum’s Geometri. Jakarta: Erlangga

Iswadji, Djoko. 1999. Geometri II. Yogyakarta: PPPG
Matematika.

Kasmina,dkk. 2011. Matematika. Jakarta : Erlangga

Marini, Arita. 2013. Geometri dan Pengukuran. Bandung:
Remaja Rosdakarya

Siagian, Roida Eva Flora dkk. 2014. Geometri Datar. Depok:
Pustaka Mandiri

Soekemi, dkk. 1966. Ilmu Ukur dengan Persiapan.
Yogyakarta: Penerbit Spring.

Suhito. 2011. Bahan Ajar Geometri Dasar. Universitas Negeri
Semarang: FMIPA UNNES

Upu, Hamzah. 2005. English for Teaching Mathematics
(Pegangan Untuk Dosen, Guru, dan Mahasiswa Jurusan
Matematika, Baik Program S1 maupun Program Pasca
Sarjana). Mathematics Department: Pustaka Ramadhan

Whitney, Earl L., FSA, MAAA. 2017. Math Handbook
of Formulas, Processes and Tricks: Geometry.
http://mathguy.us/Handbooks/GeometryHandbook.pdf,
diakses tanggal 10 Januari 2017.

134

GLOSARIUM

A
Apotema : jarak antara titik pusat lingkaran dengan tali busur

b
Berpotongan : Dua buah garis dikatakan berpotongan jika
kedua garis tersebut mempunyai tepat satu titik persekutuan.
Berimpit : Dua buah garis dikatakan berimpit jika garis
tersebut terletak pada satu garis lurus, sehingga hanya terlihat
sebagai satu garis lurus saja
Bersilangan : Kedua garis dikatakan bersilangan jika kedua
garis tersebut tidak sejajar dan tidak berpotongan
Busur : bagian lingkaran yang terletak diantara ujung talibusur

d
Daerah sudut : daerah yang dibatasi oleh kaki-kaki sudut
Diameter : garis yang melalui titik pusat lingkaran

g
Garis tinggi : ruas garis yang ditarik dari titik sudut ke sisi
dihadapannya atau pada perpanjangan sisi dihadapannya dan
tegak lurus padanya

135

Garis bagi : ruas garis yang ditarik dari titik sudut ke sisi
dihadapannya dan membagi sudut yang dilaluinya atas dua
bagian yang sama besar
Garis berat : ruas garis yang ditarik dari titik sudut ke sisi
dihadapannya dan membagi dua sisi tersebut atas dua bagian
sama panjang

j
Jari-jari : garis yang menghubungkan sebuah titik pada
lingkaran dengan titik pusat lingkaran
Juring : daerah lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan
sebuah busur

k
Kongruen : dua bangun datar dikatakan kongruen (sama dan
sebangun) jika kedua bangun datar tersebut memiliki sisi yang
bersesuaian sama panjang dan sudut yang bersesuaian sama
besar

p
Proyeksi : suatu pemetaan suatu daerah secara tegak lurus
terhadap daerah lainnya.

136

s
Sejajar : Dua buah garis dikatakan sejajar apabila kedua garis
tersebut terletak pada satu bidang datar yang tidak akan
berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas
Sudut : bangun yang terjadi dari gabungan dua sinar yang
berimpit pangkalnya
Sudut elevasi : sudut antara garis horisontal yang melalui titik
mata pengamat dengan arah penglihatan atau arah pandang
yang terletak di atas garis horizontal
Sudut depresi : sudut antara garis horisontal yang melalui
mata pengamat dengan arah pandang yang terletak di bawah
garis horizontal
Sebangun : dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut
yang bersesuaian saling kongruen (sama besar) dan sisi-sisi
yang bersesuaian sebanding

t
Titik pusat : titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran
Talibusur : garis yang menghubungkan dua buah titik pada
lingkaran
Tembereng : daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur

137

INDEKS

A

Apotema, 90, 92

B

Berpotongan, 3, 4, 5, 25, 38, 40, 41, 43, 45, 46, 47, 56, 85, 88,
93, 94, 98, 121
Berimpit, 2, 4, 5, 55
Bersilangan, 3, 4
Berpenyiku, 9
Bidang, 1, 3, 4, 5, 36, 90, 104, 105, 106, 107, 108, 111, 112,
119, 120, 121, 122, 123
Busur, 21, 22, 28, 31,101, 102, 103, 104, 105, 106, 108, 109,
110, 111, 112

D

Daerah sudut, 5, 6, 32

G

Garis, 1, 2, 3, 4, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 22, 28, 32, 33, 34, 37,
41, 55
Garis bagi, 34, 37, 91, 93, 98
Garis tinggi, 37, 43, 87, 90, 99
Garis berat, 32, 37, 94, 95, 96, 98

138

Garis horizontal, 16, 17
Grad, 7, 8
Gon, 7

J

Jari-jari, 22, 28, 31, 101, 102, 103

N

Neugrad, 7

P

Polygon, 54, 55, 57

R

Ruas garis, 2, 3, 6, 23, 27, 28, 34, 40, 82, 83, 87, 91, 94, 118,
121, 122, 123

S

Segitiga, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 38, 47,
49, 50
Sejajar, 3, 4, 11, 12, 13, 36, 42, 49, 52, 54, 57, 68, 69, 118,
199, 120
Sinar garis, 2, 121
Skala, 17, 18, 19
Sudut, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23,
24, 26, 27, 28, 32, 34, 35 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 47,
49, 50, 53, 54, 56, 57, 58, 60, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70,

139

79, 82, 84, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 108, 120, 121, 122, 123,
124
Sudut lurus, 9, 10, 18
Sudut lancip, 9, 25
Sudut tumpul, 9, 10, 25, 79
Sudut siku-siku, 9, 25, 42, 53
Sudut elevasi, 16, 17, 19
Sudut depresi, 17, 19
Sudut berseberangan, 12, 13
Sudut sepihak, 13

T

Titik, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 16, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 37,
40, 42, 44, 45, 46, 49, 54, 61, 62, 63, 68, 69, 72, 82, 84, 87,
90, 91, 94, 95, 98, 99, 101, 102, 103, 104, 106, 107, 108, 109,
111, 113, 116, 118, 123, 124

140

RIWAYAT HIDUP PENULIS

Nirfayanti lahir di Laccibunge yang
berada di bone, Makassar pada tanggal 30
November 1989 dari pasangan Hajar
Ponda dan Nickma. Pendidikan formal
dimulai dari SD Inpres 12/79 Ulubalang,
Kecamatan Salomekko lulus pada tahun
2002, kemudian SMP Negeri 5 Mataram lulus pada tahun
2005, dan SMA Negeri 2 Mataram lulus pada tahun 2008.
Penulis kemudian melanjutkan studi jenjang S1 pada Jurusan
Matematika Program Studi Matematika Universitas Negeri
Makassar melalui jalur SBMPTN dan lulus tahun 2011.
Selanjutnya penulis menamatkan S2 Pendidikan Matematika
Program Pascasarjana UNM yang lulus pada tahun 2014.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah mengajar tentor di
salah satu lembaga bimbingan belajar di Makassar, diantaranya
LBB Primagama dan Mandiri Privat Makassar. Setelah lulus
dari S2, penulis pernah menjadi guru matematika di SMP
Negeri 32 Makassar dan selanjutnya memulai karir menjadi
dosen tetap yayasan di Yayasan Perguruan Islam Maros mulai
tahun 2014 dan sekarang menjabat sebagai ketua Program
Studi Pendidikan FKIP Universitas Muslim Maros Periode

141

Tahun 2017 – 2021. Selain menjadi tenaga pengajar di kampus,
penulis aktif menulis, meneliti, dan melakukan pengabdian
kepada masyarakat.

142

RIWAYAT HIDUP PENULIS

Mulyati, lahir di barru, pada tanggal 02
maret 1986 dari pasangan H.Saleh Manne
dan H.Rosdiana Hasnah. Pendidikan
formal dimulai dari SD Inpres Kompleks
Ralla, Kecamatan Tanete Riaja lulus
pada tahun 1997, kemudian SMP Negeri
2 Barru lulus pada tahun 2003, dan SMA Negeri 1 Barru lulus
pada tahun 2005. Penulis kemudian melanjutkan studi jenjang
Diploma II PGSD di Universitas Muhammadiyah Makassar,
kemudian melanjutkan studi Starata S1 Jurusan Pendidikan
Matematika di Universitas Muhammadiyah Makassar lulus
tahun 2012. Selanjutnya penulis menamatkan S2 Pendidikan
Matematika Program Pascasarjana UNM yang lulus pada tahun
2014.
Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah mengajar di SMP
Negeri 40 Makassar dan SMK Penerbangan Techno Terapan
Makassar. Setelah lulus dari S2, penulis pernah menjadi dosen
LB STKIP Barru dan selanjutnya memulai karir menjadi dosen
tetap yayasan di Yayasan Pendidikan Ujung Pandang mulai
tahun 2015 sampai sekarang. Selain menjadi tenaga pengajar di

143