Pendidikan Matematika Lingkungan

Kuadran II Kuadran I
Sin & Csc + Semua +

Kuadran III Kuadran IV
Tan & Cotg + Cos & Csc +

Contoh :

Diketahui Sin  = 3 ,  dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai Sec , Csc , Cotg
5

Jawab : Sin   3 , y = 3, r = 5, x = 52  32  25  9  16  4
5

Karena dikuadran II, nilai x = -4

Sehingga : Sec = 5, Csc   5 , Cotg   4
4 3 3

B. Persamaan Trigonometri

1. Sin x = Sin p atau x1 = p + k.2
X1 = p + k.360

X2 = (180 – p) + k.360 x2 = ( - p) + k.2

2. Cos x = Cos p atau x1 = p + k.2
X1 = p + k.360

X2 = -p + k.360 atau x2 = -p + k.2 

3. Tan x = Tan p atau x1 = p + k.
X1 = p + k.180

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 44

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian :

a. Sin x = Sin 200 ; 0  x  3600

x1 = 20 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 20

k=1 x2 = 20 + 360

= 380 (tidak memenuhi)

X2 = (180 – 20) + k.360, untuk k = 0 x2 = 160

Jadi HP = {20, 160}

b. 2 Cos x = 3 ; 0  x  3600

Cos x = 12 3

Cos x = Cos 30

X1 = 30 + k.360 , untuk k = 0 x1 = 30

X2 = -30 + k.360 , untuk k = 0 x2 = - 30 (tidak memenuhi)

K=1 x2 = 330

HP = {30, 330}

C. Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai
pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :

1. Sin2x + Cos2x = 1

Sin2x = 1 – Cos2x

Cos2x = 1 – Sin2x

2. 1 + tan2x = sec2x

1 = sec2x – tan2x

Tan2x = sec2x – 1

3. 1 + cotg2x = cosec2x

1 = cosec2x – cotg2x

Cotg2x = cosec2x – 1

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 45

Contoh :
1. Buktikan bahwa 5 tan2x + 4 = 5 sec2x – 1

Jawab :
5 tan2x + 4 = 5 (sec2x – 1) + 4

= 5 sec2x – 5 + 4
= 5 sec2x – 1 (terbukti)
2. Buktikan bahwa 3 cos2x + 3 sin2x = 3
Jawab :
3 cos2x + 3 sin2x = 3 (cos2x + sin2x)

=3.1
= 3 (terbukti)

D. Rumus Sinus dan Cosinus

4. Aturan Sinus
Perhatikan segitiga ABC berikut.

Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut:

a  b  c
SinA SinB SinC

Contoh :
1. Pada segitiga ABC, b = 1, B  300 , C  53,10 . Hitunglah c.

Jawab :

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 46

b  c  c  bSinC
SinB SinC SinB

= 12Sin53,1
Sin30

= 12.0,8
0,5

= 9,6
0,5

= 19,2

2. Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. B  68,2 . Hitunglah C

b  c  Sin C = cSinB  46Sin68,2
SinB SinC b 65

= 46x0,928
65

= 42,710
65

= 0,657

C = 41,1

2. Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga ABC berikut ini :

Berdasarkan segitiga tersebut berlaku :
PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 47

a2 = b2 + c2 – 2bc cos 
b2 = a2 + c2 – 2ac cos 
c2 = a2 + b2 – 2ab cos 

6.3 Latihan Soal

1. Buatlah 3 contoh soal penerapan materi trigonometri pada kehidupan sehari-hari?

2. Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak 10 m dari pohondengan sudut pandang 600,
seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 155 cm)

600 Tinggi pohon
10 m
Tinggi dani

6.4 Rujukan

1. Buku Siswa Matematika SMA/MA Kelas X Edisi Revisi 2018 Kementerian Pendidikan dan
Kebudayaan Republik Indonesia

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 48

BAB VII
PENERAPAN BARISAN dan DERET DALAM LINGKUNGAN

7.1 Pendahuluan

Secara umum, barisan itu artinya sebuah daftar bilangan yang mengurut dari kiri ke
kanan. Setiap urutan bilangan juga memiliki karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan yang
ada pada barisan, merupakan suku dalam barisan itu sendiri. Sementara itu, deret adalah
penjumlahan suku-suku dari suatu barisan. Misalnya terdapat barisan U1, U2, U3, U4, ..... Un,
maka deret itu adalah U1 + U2 + U3 + U4 +..... Un.

Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam
kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau
pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik
deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan
untuk menganalisisnya. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori Baris dan Deret.
Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan
dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung. Jika perkembangan variabel-variabel
tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja,
atau penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip deret hitung dapat
digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut. Berpola seperti deret hitung
maksudnya di sini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu
periode ke periode berikutnya.

Selain dalam bidang ekonomi, konsep barisan dan deret juga dapat diaplikasikan dalam
ilmu biologi. Misalnya saja dalam menghitung pertumbuhan bakteri setiap menit dan menghitung

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 49

perkembang biakan hewan serta masih banyak contoh lain penerapan konsep barisan dan deret
dalam ilmu lain di kehidupan sehari-hari.

Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat :
 Memahami barisan dan deret aritmatika
 Memahami barisan dan deret geometri

7.2 Uraian Materi

A. Barisan dan Deret Aritmatika

1. Barisan Aritmatika
Perhatikan barisan berikut.
1. 1,3,5,7,…
2. 2,6,10,40,30,…
3. 60,50,40,30,…

Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U 1 , U 2 , U 3 , …..U n ialah barisan
aritmatika,jika:

U 2 - U 1 = U 3 -U 2 =…….= U n - U n1 = konstan
Konstan ini disebut beda dan dinyatakan dengan b.

Untuk 1, 3, 5, 7 bedanya ialah 3 – 1 = 4 – 3 =7 – 5 =….=

Untuk 60, 50, 40, 20,….bedanya ialah 50 - 60 = 40 – 50 = 30 – 40 = -10

a. Rumus suku ke n.
Jika suku pertama n1  dinamakan a, kita mendapatkan:

U2 - U1 = b U2 = U1 - b = a + b

U2 - U3 = b U 3 = U 2 - b = (a + b) + b = a + 2b

U4 - U3 = b U 4 = U 3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

dan seterusnya.

Ini memberikan barisan Aritmatika baku.

A, a + b, a + 2b, a + 3b, … , a + (n – 1) b

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 50

Rumus suku ke n adalah un = a + (n – 1) b.

Contoh 1

Carilah suku ke 40 dari barisan aritmatika 1, 6, 11, 16, …

Penyelesaian:

A = 1, b = 6 – 1, n = 40

un = a + (n – 1) b

u40 = 1 (40 – 1) 5 = 196.

Contoh 2

Carilah suku pertama dan bedanya, jika diketahui suku kesepuluh 41 dan suku
ketiga ialah 20.

Penyelesaian:

u10 = a + ( 10 – 1) b u3 = a ( 3 – 1) b

= a + 9b = a + 2b

a = 9b = 41…….(1) a + 2b = 20 …….(2)

Sistem persamaannya:
a + 9b = 41
a + 2b = 20

7b = 21
b=3

b = 3 substitusi ke persamaan (1), didapat:
a + 9.(3) = 41

a = 14
adi suku pertama (a) = 14 dan beda (b) = 3.

Contoh 3
Carilah rumus suku ke n dari barisan:

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 51

2, 4, 6, 8, ………..
Penyelesaian:
Suku pertama (a) 2 dan beda (b) = 4 – 2 = 2
Suku ke n: U n = a + ( n – 1 ) b

Un =2+(n–1 )2
U n = 2 + 2n - 2
U n = 2n

b. Rata-rata dari suatu barisan Aritmatika ( Mean Aritmatika ).
Kadang-kadang kita harus mencari mean aritmatika dua buah bilangan, P dan Q.
Ini berarti kita harus menyisipkan sebuah bilangan A diantara P dan Q,
sedemikian rupa sehingga p + A + Q membentuk sebuah deret aritmetika A – P =
b dan Q – A = b.

Jadi A – P = Q - A

2A = P + Q

A =PQ
2

Ternyata mean aritmetik dua bilangan tidal lain dari pada nilai tengahnya.

Contoh 1

Hitunglah mean aritmetika dari 23 dan 58!

Jawab:

Mean aritmetika = 23  58 = 40,5
2

Jika kita diminta untuk menyisipkan 3 buah mean aritmetik diantara dua buah
bilangan yang diketahui, P dan Q berarti kita harus menyisipkan 3 buah bilangan
A, B, dan C diantara Pdan Q sedemikian hingga P + A + B + C + Q merupakan
deret aritmetik.

Contoh 2
Sisipkan tiga buah mean aritmetik diantara dua buah bilangan 8 dan 18.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 52

Jawab:
8 + A + B + C + 18

U1 = 8 dan U 5 = a + 4b = 18
a= 8

4b = 10
b = 2.5

a + 4b = 18
A = a + b =8 + 2.5 = 10.5
B = a + 2b = 8 + 2(,.5) = 13
C = a + 3b = 8 + 3(2,5) = 15,5

Jadi mean aritmetik yang dicari adalah 10,5 ; 13 dan 15,5.
2. DERET ARITMETIK

Deret aritmetik disebut juga deret hitung. Jumlah n suku pertama deret
aritmetik ditulis S n Jadi S5 artinya suku pertama dan seterusnya. Kita dapat
mencari rumus untuk jumlah dari deret aritmrtika baku:
A + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b]
Dengan cara:
Misalkan suku terakhir U n , maka suku sebelumnya ialah U n - b, sebelumnya
lagi U n - 2b dan seterusnya.

Jadi S n = a + (a + b) + (a + 2b) +…+ (U n + 2b) + (U n -b) + U n
S n = U n + (U n - b) +( U n + 2b) +…+ (a + 2b) + (a + b) + a

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 53

2 S n = (a + U n ) + (a + U n ) + (a + U n ) + … + (a + U n ) + (a +U n )
+ (a + U n )

2 S n = n (a + U n )

Sn = 1 a  U n , yaitu n x (rata-rata dari suku pertama dan terakhir)
2

Atau S n = 1 n{a + (a + (n – 1) b]},karena U n = a +(n + 1)b
2

= 1 n 2a  n 1b
2

Contoh 1

Carilah jumlah 50 suku yang pertama dari deret aritmetika

2+3+4+…

Jawab:

a = 2 , b = 3 – 2 = 1 dan n = 50

Sn = 1 .50 (2.2 + (50- 1). 1)
2

= 25(4 + 49)

= 25(53)

=1325

Contoh 2
Carilah jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 2.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 54

Jawab:

Penyelesaian: a = 2, b = 2 dan U n = 98

Kita harus mencari dulu n.

U n = a + (n – 1) b

98 = 2 + (n – 1) 2

98 = 2 + 2n – 2

2n = 98

n = 49

Sn = 1 a  U n 
2

= 1 .49 (2 + 98)
2

= 2450

B. Barisan dan Deret Geometri

1.Barisan Geometri
Perhatikan barisan: a. 1, 2, 4, 6, …….

b. 27, -9, 3, -1, …..

c. -1, 1, -1, 1, ……

adalah contoh-contoh barisan geometri.

U1 , U 2 , U 3 , …..U n ialah suatu barisan geometri, jika

U 2 = U 3 = …….. = U n
U1 U4 U n1

Konstanta ini dinamakan rasio, atau nisbah dan dinyatakan dengan r.

Untuk 1, 2, 4, 8, …….. , rasionya 2 = 4 = 8 ……… = 2
124

27, -9, 3, -1, … , rasionya 9 = 3 ………. =  1
27 9 3

a. Rumus suku ke n.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 55

Jika suku pertama U 1 dinyatakan dengan a, kita mendapatkan:

U2 = r U 2 = U 1 r = ar
U1

U3 = r U 3 = U 2 r = (ar)r = ar 2
U2

U4 = r U 4 = U 3 r = ( ar 2 )r = ar 3
U3

Ini memberi barisan geometri baku:

a, ar, ar 2 , ar 3 , …. ar n1

Perhatikan bahwa suku ke n adalah U n = ar n1

Contoh 1
Tentukan suku ke 5 dari barisan geometri: 1, 2, 4, ………
Penyelesaian:
a = 1, r = 2 = 2.

1
U n = ar n1
U5 = ar 4 = 1. 2 4 = 2 4 = 16

Contoh 2
Tentukan rumus suku ke n dari barisan geometri 2,6, 18, …….
Penyelesaian:
a = 2, r = 6 = 3

2

U n = ar n1 = 2. 3n1

Contoh 3

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 56

Tentukan rasio r, jika diketahui suku-suku barisan geometri:
U1 = 3 dan U 4 = 24.
Penyelesaian:
U1 a = 3
U 4 = ar 3 = 24
ar 3 = 24

r3 = 8

r=2

a. Rata-rata dari suatu deret geometri (mean geometri).
Mean geometric dari dua buah bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A

sedemikian hingga P + A + Q membentuk suatu deret geometri.

A = r dan Q =r A = Q A2 =PQ
P A P A

A= PQ

Adi mean geometri dua buah bilangan adalah akar dari hasil dari kalinya.

Contoh 1

Tentukan mean geometric dua bilangan 4 dan 25

Penyelesaian: A = 4.25 = 10.

Untuk menyisipkan tiga mean geometric diantara dua bilangan geometri P dan Q,
kita harus mencari tiga bilangan A, B, dan C sedemikian sehingga P + A + B + C
+ Q membentuk suatu deret geometri.

Contoh 2
Sisipkan 4 buah mean geometric diantara 5 dan 1215.
Tentukan keempat mean geometric tersebut.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 57

Penyelesaian:
Misalkan keempat mean tersebut masing-masing A, B, C, dan D. Maka 5, A, B, C,
D, 1215 membentuk suatu deret geometric, yaitu: a = 5 dan ar 5 = 1215
r 5 = 1215 = 243

5

r = 5 243 = 3

A = ar = 5.3 = 15
B = ar 2 = 5.32 = 45
C = ar 3 = 5.33 = 135
D = ar 4 = 5.34 = 405
Adi mean geometric yang dicari adalah 15, 45, 135, 405.

2. Deret Geometri
Kita dapat mencari rumus untuk jumlah deret geometri baku:

a + ar + ar 2 + … + ar n1 sebagai berikut:

Sn = a + ar + ar 2 + …. + ar n1

r Sn = ar + ar 2 + … + ar n1 + ar n

Sn - r Sn = a + 0 + 0 + …. + 0 - ar n

(1 – r) Sn = a - ar n = a(1 - r n )

Sn = a(1  ar n ) , r  1
1 r

atau Sn = a(r n 1) , berlaku jika n  1
r 1

Contoh 1
Carilah jumlah dari tujuh suku dari deret geometri 4 + 2 + 1 + 0,5 + …
Penyelesaian:

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 58

A = 4, r = 2 = 1 dan n = 7
4 2

Sn = a(1  ar n )
1 r

4(1  ( 1 ) 7
2
Sn = 1
2
1 

= 7,94, dua tempat decimal

Contoh 2

Carilah n jika 2 + 22 + 23 + … 2n = 510

Penyelesaian:

a = 2, r = 2 dan Sn = 510

Sn = a(r n 1)
r 1

510 = 2(2n 1)
2 1

2n 1 = 255

2n = 256

n=8

3. Deret Geometri Tak Terhingga
Deret geometri tak terhingga merupakan deret geometri yang banyak suku tak
terhingga (“~ “) atau n = ~

Macam deret tak terhingga.

a. Deret geometri tak terhingga yang konvergen.
Deret geometri tak terhingga yang konvergen adalah suatu deret dengan
r  1 atau -1 r1 .

Jumlah deret geometri tak terhingga yang konvergen dirumuskan dengan
pendekatan:

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 59

S = 1 a r


b. Deret geometri tak terhingga yang divergen (menyebar)
Deret geometri tak terhingga yang divergen adalah deret dengan r 1atau

r  1 atau r  – 1 .

Jumlah deret geometri tak terhingga yang divergen, tidak didefinisikan.

Contoh 1

Tentukan jumlah deret geometri tak terhingga: 2 + 1 + 1 + 1 +…
2 4

Penyelesaian:

a = 2 , r = 1 < 1 (konvergen)
2

S= a
1 r

= 2 = 2 =4
1
1 1
2 2

Contoh 2

Tentukan jumlah deret geometri tak terhingga: 1 - 1 + 1 - 1 + …..
3 9 27

Penyelesaian:

a = 1, r = - 1  1 (konvergen)
3

S = a
1 r

= 1 = 1 = 3
4 4
1  ( 1)
3 3

Contoh 3

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 60

Selidiki ada atau tidak jumlah deret tak terhingga yang dinyatakan dengan:
a.1 + 2 + 4 + 8 + …..
b. 2 – 6 + 8 – 54 + …..

Penyelesaian:
a. a = 1, r = 2 1
Karena r  1 maka ini adalah deret geometri tak terhingga yang
divergen.
Jadi S tidak didefinisikan.
b. a = 2, r = -3 1
Karena r 1, ini adalah deret geometri tak terhingga yang divergen.
Jadi S tidak didefinisikan.

7.3 Latihan Soal

1. Untuk membuat ulir disediakan roda gigi pengganti yang banyaknya gigi masing-masing
membentuk barisan aritmetika: 20, 25, 30, …, 120. Tentukan banyaknya roda gigi yang
disediakan.

2. Perencanaan mesin perkakas memerlukan empat buah roda gigi A, B, C dan D yang satu sama
lainnya merupakan penggerak dan yang digerakkan. Urutan diameternya merupakan barisan
geometri yaitu: 60, 30, 15, (7,5),… Tentukan berapa put/menit roda gigi D apabila diketahui
putaran roda gigi A = 30 put/menit, B = 60 put/menit.

3. Suatu tiang akan dipancangkan ke dalam tanah. Biaya pemancangan untuk kedalaman 1 meter
pertama Rp. 800.000,00, satu meter kedua Rp. 1.000.000,00 demikian seterusnya . Jika
pertambahannya tetap menurut barisan aritmatika, maka tentukan biaya yang harus
dikeluarkan untuk memancangkan tiang sedalam 7 meter.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 61

4. Suatu industri merencanakan membuat 9000 buah roda gigi dan harus selesai dalam waktu 1
tahun. Jika bulan meningkat secara deret aritmetika dan pada bulan pertama dapat
memproduksi 200 buah, maka berapa hasil produksi dalam bulan ke 3 dan ke 12.

7.4 RUJUKAN

Pada materi matematika integrasi lingkungan yang menjadi rujukan sumber bacaan bagi
pembaca antara lain :

1. Desi, Eka. 2018. Barisan dan Deret : Penerapan dalam Kehidupan Sehari-Hari.
https://ikadesi-b.com/barisan-dan-deret-penerapan-dalam-kehidupan-sehari-hari/

2. Buku Siswa Matematika SMP/MTs Kelas VIII Edisi Revisi 2018 Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia

BAB VIII
PENERAPAN ALJABAR DALAM LINGKUNGAN

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 62

8.1 Pendahuluan

Jika kita mendengar kata Aljabar pasti identik dengan Matematika. Berbicara tentang
Matematika tak akan pernah terlepas dari kehidupan. Karena hampir dalam setiap aktivitas sehari-
hari pasti menggunakan Matematika. Mulai dari bangun tidur hingga menjelang tidur lagi. Oleh
karena itu, Matematika menjadi salah satu pelajaran terpenting yang harus dikuasai oleh setiap
orang yang ingin meraih sukses dalam kehidupannya. Dalam keahlian bermatematika kita dituntut
untuk dapat menyelesaikan masalah dengan benar, sekaligus kita diberi kebebasan untuk
menjawab dengan berbagai cara asalkan jawabannya benar dan dengan cara yang benar. Disini
kita diminta untuk jujur dalam menyelesaikan masalah yang ada dengan cara yang benar dan teliti.
Karena jika kita menjawab soal matematika dengan tidak jujur, maka hasilnya? Dapat diprediksi
sendiri kan.. Nah, dalam belajar Matematika juga dapat belajar tentang nilai kejujura.

Dari penjelasan di atas diketahui bahwa materi matematika tidak hanya di butuhkan untuk
diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari tetapi juga dapat mengembangkan karakter peserta
didik menjadi pribadi yang bertindak atas dasar pemikiran secara logis, rasional, kritis, cermat,
jujur, efektif dan efisien.

Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat :
 Menjelaskan pengertian aljabar
 Memahami faktor perkalian, koefisien, konstanta, suku dan suku sejenis

8.2 Uraian Materi

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 63

A. Pengertian Aljabar

Variabel adalah suatu besaran matematika yang nilainya dapat berubah (tidak konstan).
Huruf- huruf dalam aljabar digunakan sebagai pengganti angka. Bentuk aljabar sering melibatkan
angka ( disebut konstanta ), huruf ( disebut variabel ), dan operasi hitung. Hal ini penting untuk
kita ketahui dan mengerti agar penulisan singkat dalam aljabar dapat kita gunakan untuk
menyelesaikan masalah sehingga lebih mudah dipahami. Sebagai contoh :

2 berarti 2 x atau ( + )
1
2 berarti ∶ 2 atau 2 dari
2 berarti 2 x x atau ( + )
(− ) berarti x (− ) atau −
(2 ) berarti 2 x 2 atau 2 x x 2 x atau 2 x
berarti √
− 1

2 berarti ( x − 1) ∶ 2

B. Faktor Perkalian, Koefisien, Konstanta, Suku Dan Suku Sejenis

1. Pengertian Faktor Perkalian
Bentuk aljabar 2 = 2 x , maka 3a memiliki faktor-faktor, yaitu 2 dan a. Faktor 2 disebut
faktor angka atau faktor numerik. Faktor ini sering disebut juga koefisein dari a. Faktor a
disebut faktor huruf atau faktor alfabetik. Agar lebih mengerti perhatikan contoh-contoh
berikut.

2 = 2 x x x 2 → faktor numerik

→ faktor huruf
PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 64

→ faktor huruf

Jadi, faktor dari 2 adalah 2, , dan b. Pada , bilangan 2 di sebut pangkat atau
eksponen.

2. Pengertian Suku dan Suku Sejenis

Perhatikan bentuk-bentuk aljabar 2a, 3a + 6b, dan 3q – 2r – s. Bentuk-bentuk tersebut

berturut-turut disebut suku tunggal, suku dua dan suku tiga. Pemberian nama ini

bersesuaian dengan banyak suku bentuk-bentuk aljabar tersebut. Bentuk aljabar 4x + 3a +

6x mempunyai suku-suku 4x, 3a, dan 6x. Suku-suku 4x dan 6x memuat variabel yang sama,

yaitu x. Suku-suku tersebut diberi nama suku-suku sejenis, sedangkan 4x dan 3a disebut

suku-suku tidak sejenis.

Perhatikan bentuk-bentuk aljabar berikut ini !

a. a dan 5b adalah suku-suku sejenis, karena:

a=1xa a merupakan faktor huruf

5b = 5 x b persekutuan dari b dan 5b

b. 4a + 7b + 7 + 2a + 6b + 2 + 12ab

Bentuk aljabar ini memiliki suku-suku sejenis :

4a dan 2a

7b dan 6b

7 dan 2

8.3 Latihan Soal

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 65

1. Buatlah 3 contoh soal penerapan materi aljabar pada kehidupan sehari-hari!

8.4 RUJUKAN

Pada materi matematika integrasi lingkungan yang menjadi rujukan sumber bacaan bagi
pembaca antara lain :

1. Fitriani, Nur Fidyah. 2018. Bahan Ajar Matematika Aljabar kelas VII.
https://www.academia.edu/36381751/Bahan_Ajar_Matematika_Aljabar_kelas_VII

2. Buku Siswa Matematika SMP/MTs Kelas VII Edisi Revisi 2018 Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia

BAB IX
PENERAPAN BANGUN RUANG DALAM LINGKUNGAN

9.1 Pendahuluan

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 66

Bangun ruang adalah sebuah penamaan atau sebutan untuk beberapa bangun-bangun
yang berbentuk tiga dimensi atau bangun yang mempunyai ruang yang dibatasi oleh sisi-sisinya.
Pengertian bangun ruang menurut para ahli, bangun dalam matematika yang memiliki volume, isi,
dan memiliki 3 komponen penyusun berupa sisi, rusuk, dan titik sudut. Bangun ruang juga disebut
sebagai bangun tiga dimensi. Ciri-ciri benda bangun ruang memiliki 3 komponen berupa sisi,
rusuk, dan titik sudut. Lebih jelasnya, komponen sisi pada bangun ruang adalah bidang pembatas
yang memisahkan bangun ruang dan ruang di luarnya. Sementara itu, rusuk bangun ruang adalah
pertemuan dua sisi yang membentuk ruas garis. Lalu, titik sudut bangun ruang adalah titik
pertemuan dari 3 rusuk atau lebih. Ada sekitar 7 macam jenis bangun ruang, yaitu: bangun ruang
yaitu: kubus, balok, prisma, tabung, kerucut, limas dan bola.

Bentuk-bentuk bangun ruang yang dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari
sehingga pengetahuan yang diperoleh dapat langsung diterapkan sebagai latihan agar lebih mantap
dalam memahami materi bangun ruang.

Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat :
 Memahami bangun ruang sisi datar
 Memahami bangun ruang sisi lengkung

9.2 Uraian Materi
A. Bangun Ruang Sisi Datar

1. BALOK

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 67

Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi
atau persegi panjang, dengan paling tidak satu pasang diantaranya berukuran berbeda.
Balok memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Balok yang dibentuk oleh enam
persegi sama dan sebangun disebut sebagai kubus.
Unsur-Unsur Balok:
- Sisi atau bidang

Sisi balok adalah bidang yang membatasi suatu balok. Balok memiliki 6 buah sisi
yang semuanya berbentuk persegi panjang.
- Rusuk
Rusuk balok adalah garis potong antara dua sisi bidang balok dan terlihat seperti
kerangka yang menyusun balok. balok memiliki 12 buah rusuk.
- Titik sudut
Titik sudut balok adalah titik potong antara dua rusuk. Balok memiliki 8 buah
titik sudut.
- Diagonal bidang
Balok memiliki 12 buah diagonal bidang.

- Diagonal ruang
Balok memiliki 4 buah diagonal ruang.

- Bidang diagonal
PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 68

Balok memiliki 6 buah bidang diagonal.
Sifat-Sifat Balok:
- Semua sisi balok bersifat persegi panjang.
- Rusuk-rusuk balok yang sejajar memilik ukuran sama panjang.
- Setiap diagonal bidang pada sisi yang berhadapan memiliki ukuran sama panjang.
- Setiap diagonal ruang pada balok memiliki ukuran sama panjang.
- Setiap bidang diagonal pada balok memiliki bentuk persegi panjang.
Jaring-Jaring Balok:

Sama halnya dengan kubus jaring-jaring balok diperoleh dengan cara membuka
balok tersebut sehingga terlihat seluruhpermukaan balok. Coba kamu perhatikan alur
pembuatan jaring-jaring balok yang digambarkan pada gambar gambar 8.16

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 69

Jaring-jaring balok yang diperoleh pada gambar 8.16 (c) tersusun atas rangkaian 6
buah persegi panjang. Rangkaian tersebut terdiri atas tiga pasang persegi panjang yang
setiap pasangannya memiiki bentuk dan ukuran yang sama. Terdapat berbagai macam
bentuk jaring-jaring balok. Diantaranya adalah sebagai berikut.

Luas Permukaan Balok dan Volume Balok:
- Luas permukaan balok

Luas permukaan balok diperoleh dengan menghitung semua luas jaring-
jaringnya. Sebuah balok memiliki tiga pasang sisi berupa persegi panjang.

Setiap sisi dan pasangannya saling berhadapan, sejajar, dan kongruen. Luas
permukaan balok dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

L = 2 (p.l + p.t + l.t)
Keterangan:
L = Luas permukaan balok (cm2)
p =panjang
l = lebar

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 70

t = tinggi
- Volume balok

Volume balok merupakan hasil kali antara luas alas dengan tinggi balok yang
dirumuskan sebagai berikut:

V=pxlxt
Keterangan:
V = Volume balok (cm3)
p =panjang
l = lebar
t = tinggi

2. KUBUS

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 71

Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang
berbentuk bujur sangkar. Kubus memiliki 6 sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Kubus juga
disebut bidang enam beraturan, selain itu juga merupakan bentuk khusus dalam prisma
segiempat.

Unsur-Unsur Kubus:
- Sisi atau bidang

Sisi kubus adalah bidang yang membatasi kubus. Kubus memiliki 6 buah sisi
yang semuanya berbentuk persegi.
- Rusuk

Rusuk kubus adalah garis potong antara dua sisi bidang kubus dan terlihat
seperti kerangka yang menyusun kubus. Kubus memiliki 12 buah rusuk.
- Titik sudut

Titik sudut kubus adalah titik potong antara dua rusuk. Kubus memiliki 8
buah titik sudut.
- Diagonal bidang

Kubus memiliki 12 buah diagonal bidang.
- Diagonal ruang

Kubus memiliki 4 buah diagonal ruang.
- Bidang diagonal

Kubus memiliki 6 buah bidang diagonal.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 72

Sifat-Sifat Kubus:
- Semua sisi kubus bersifat persegi.
- Semua rusuk kubus berukuran sama panjang.
- Setiap diagonal bidang pada kubus memiliki ukuran yang sama.
- Setiap diagonal ruang pada kubus memiliki ukuran sama panjang.
- Setiap bidang diagonal pada kubus memiliki bentuk persegi panjang.

Jaring-Jaring Kubus:

Luas Permukaan Kubus dan Volume Kubus
- Luas permukaan kubus

Luas permukaan kubus merupakan luas semua sisi kubus.

Rumus:
L=6xsxs
Keterangan:
L = Luas permukaan kubus (cm2)
s = sisi atau rusuk kubus (cm)

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 73

- Volume Kubus
Volume bangun ruang beraturan adalah hasil kali antara luas alas dan tinggi

bangun tersebut.
Karena kubus juga merupakan bangun ruang beraturan maka volumenya

dapat dirumuskan sebagai berikut.
V=sxsxs
Keterangan:
V = Volume kubus (cm3)
s = sisi atau rusuk kubus (cm)

PRISMA

Prisma adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik
berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Dengan kata lain prisma
adalah bangun ruang yang mempunyai penampang melintang yang selalu sama dalam
bentuk dan ukuran.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 74

Limas dengan alas dan tutup berbentuk persegi disebut balok sedangkan prisma
dengan alas dan tutup berbentuk lingkaran disebut tabung.

Unsur-Unsur Prisma:
- Sisi atau bidang

Balok memiliki 8 buah sisi atau bidang yang dimiliki oleh prisma segi enam.
- Rusuk

Prisma segi enam memiliki 18 buah rusuk, 6 diantaranya adalah rusuk tegak.
- Titik sudut

Prisma segi enam memiliki 12 buah titik sudut.
- Diagonal bidang

Prisma segi empat memiliki 12 buah diagonal bidang.
- Diagonal ruang

Prisma segi empat 4 buah diagonal ruang.
- Bidang diagonal

Prisma segi empat 6 buah bidang diagonal.

Sifat-Sifat Prisma:
- Prisma memiliki bentuk alas dan atap yang kongruen.
- Setiap sisi bagian samping prisma berbentuk persegi panjang.
- Prisma memiliki rusuk tegak.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 75

- Setiap diagonal bidang pada sisi yang sama memiliki ukuran yang sama.
Luas Permukaan Prisma Dan Volume Prisma
- Luas permukaan prisma

Luas permukaan prisma dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas sisi-sisi
tegak, luas alas dan luas bidang atas.

Misal : Prisma segitiga ABC.EFG

Jika diiris menurut rusuk-rusuk FC, DF, EF, AC dan BC maka didapat jaring-
jaring ;
Luas permukaan prisma

= ( luas EDF + luas ABC) + (luas ACFD + luas CBEF +
luas BADE)
= ( 2 x luas ABC ) + { ( AC x t ) + ( CB x t ) + ( BA x t ) }
= ( 2 x luas alas ) + { t ( AC + CB + BA )
= ( 2 x luas alas ) + ( t x keliling alas )

- Volume Prisma
Volume limas dapat ditentukan dengan membelah sebuah balok menjadi dua

bagian sama besar melalui salah satu diagonal bidang sehingga membentuk dua
prisma yang kongruen.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 76

2 Volume prisma = volume balok
= pxlxt
Volume prisma = x p x l x t
Volume prisma = ( x luas alas balok) x t
Volume prisma = luas alas prisma x t
Volume prisma = luas alas x tinggi
LIMAS

Limas adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segi-n
dan sisi-sisi tegak berbentuk segitiga. Kerucut dapat disebut sebagai limas dengan alas
berbentuk lingkaran. Limas dengan alas berupa persegi disebut juga piramida.

Macam-Macam Limas:

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 77

Unsur-Unsur Limas:
- Sisi atau bidang

Limas segi empat memiliki 5 buah sisi.
Limas segi tiga memiliki 6 buah sisi.
- Rusuk
Limas segi empat memiliki 8 buah rusuk.
Limas segi tiga memiliki 6 buah rusuk.
- Titik sudut
Limas segi empat memiliki 5 buah titik sudut.
Limas segi tiga memiliki 4 buah titik sudut.
- Diagonal bidang
Limas segi empat memiliki 2 buah diagonal bidang.
- Bidang diagonal
Limas segi empat memiliki 2 buah bidang diagonal.

Jaring-Jaring Limas
Limas segiempat

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 78

Limas segitiga

Limas segilima

Luas Permukaan Limas Dan Volume Limas:
- Luas permukaan limas

Luas permukaan limas dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:
PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 79

L = luas alas + jumlah luas sisi tegak
(Luas alas disesuaikan dengan bentuk alasnya)

- Volume limas
Volume limas dirumuskan sebagai berikut:
V = 1/3 luas alas x tinggi

B. Bangun Ruang Sisi Lengkung

1. TABUNG
Dalam mendefinisikan tabung, kita menggunakan pengertian bidang tabung. Ada

beberapa definisi untuk bidang tabung, yaitu:
Bidang tabung adalah himpunan semua garis p yang sejajar dengan sebuah garis s

dan mempunyai jarak yang tetap r terhadap p.

Dari definisi bidang tabung maka tabung dapat didefinisikan sebagai berikut:
“Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bidang tabung dan dua buah
datar yang masing-masing tegak lurus pada sumbu bidang tabung.”Tabung juga dapat

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 80

dipikirkan sebagai sebuah prisma beraturan yang banyaknya sisi digandakan terus
menerus sehingga menjadi tak terhingga banyaknya.
Unsur-Unsur Tabung:
- Tabung mempunyai 3 sisi yaitu sisi atas, sisi bawah dan sisi lengkung/sisi tegak

(yang selanjutnya disebut selimut tabung). Sisi alas dan sisi atas (tutup) berbentuk
lingkaran yang kongruen (sama bentuk dan ukurannya).
- Tabung mempunyai 2 rusuk yang masing-masing berbentuk lingkaran.
- Tabung tidak mempunyai titik sudut.
- Bidang alas dan bidang atas berupa lingkaran dengan jari – jari yang sama.
- Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran alas dan titik pusat lingkaran
atas.

Jarak antara bidang atas dan bidang bawah tabung disebut tinggi dari tabung itu.

Luas Permukaan Dan Volume Tabung
PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 81

Luas permukaan Tabung:
Luas permukaan tabung dapat kita lihat dari jaring-jaring tabung yang terdiri dari

sebuah daerah persegi panjang dan dua daerah lingkaran yang kongruen.
Daerah persegi panjang itu panjangnya sama dengan keliling lingkaran alas/atas

dari tabung, sedang lebarnya sama dengan tinggi tabung. Luas persegi panjang ini
disebut luas bidang lengkung tabung. Jika r jari-jari tabung dan t adalah tinggi tabung,
maka:

Luas Bidang Lengkung Tabung= Luas Persegi Panjang
= pxl
= Keliling lingkaran x tinggi tabung
= (2pr) x (t)
= 2prt

Luas Seluruh Permukaan Tabung = Luas Seluruh Bidang Sisi Tabung
= Luas Bidang Lengkung Tabung + 2 Luas Alas (Lingkaran)
= 2prt + 2 (pr2)
= 2 p r (r + t)

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 82

Volume Tabung:
Untuk menentukan volume tabung, maka tabung kita pandang sebagai bangun

yang terjadi dari sebuah prisma beraturan yang banyaknya sisi tak terhingga, sehingga
keliling dari luas bidang alasnya sangat mendekati keliling dan luas sebuah lingkaran,
sedangkan tinggi prisma itu menjadi tinggi dari tabung tersebut.

Dengan perkataan lain:
Volume sebuah silinder sama dengan limit volume prisma beraturan yang
banyaknya sisi bertambah menjadi tak berhingga. Jika r adalah jari-jari bidang alas
tabung (bidang alas berupa lingkaran) dan t adalah tinggi tabung, maka :

Volume Tabung = Volume Prisma
= Luas Alas x Tinggi
= (pr2) x (t)
= pr2t

2. KERUCUT

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 83

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah sisi lengkung dan sebuah
sisi alas berbentuk lingkaran. Definisi kerucut lainnya yaitu merupakan bangun ruang
sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk
lingkaran.

Sisi
(lSesisneilgiakmluaunstg)

Kerucut memiliki beberapa sifat, yaitu:
- Mempunyai 2 sisi, 1 sisi alas berbentuk lingkaran dan 1 sisi berbentuk bidang

lengkung yang disebut selimut kerucut.
- Mempunyai 1 rusuk lengkung.
- Mempunyai 1 titik puncak.
- Mempunyai garis pelukis yang menghubungkan titik puncak dengan rusuk alasnya.

Jaring-Jaring Kerucut O
Gambar samping menunjukkan sebuah kerucut
dengan puncak O, tingginya t, jari-jari lingkaran
alas r, dan garis pelukis kerucut s. Apabila kerucut

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 84

dipotong menurut garis lengkung dan garis pelukisnya
maka akan diperoleh jaring−jaring kerucut seperti
gambar di bawah ini.

Jaring−jaring kerucut terdiri dari sebuah lingkaran yang
merupakan alas kerucut dan sebuah juring lingkaran yang
merupakan selimut kerucut.

r

Luas Permukaan Dan Volume Kerucut
Luas Kerucut

Kerucut terdiri atas alas kerucut yang berbentuk lingkaran dan selimut kerucut
yang berbentuk juring lingkaran. Sehingga luas permukaan kerucut dapat ditentukan
dengan cara, mencari luas alas dan luas selimut terlebih dahulu.

Luas Alas Kerucut
Luas Alas = Luas Lingkaran

=
Luas Selimut Kerucut
Luas Selimut = Luas Juring lingkaran, dengan :
Panjang jari-jari = panjang pelukis = s
Panjang busur = keliling lingkaran alas = 2

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 85

Dari uraian diatas luas selimut kerucut dapat ditentukan dengan cara berikut:

Jadi luas permukaan kerucut, yaitu:
Luas Kerucut = Luas Alas + Luas Selimut
+

= ( + )
Volume Kerucut
Untuk menentukan rumus volume kerucut, lakukanlan kegiatan berikut.

Sediakanlah wadah berbentuk tabung dan kerucut dengan panjang jari-jari alas
kerucut dan tabung sama, yaitu r dan tinggi kerucut sama dengan tinggi tabung, yaitu
t seperti Gambar 1.1

Isilah kerucut dengan air sampai penuh, kemudian tuangkan pada tabung. Berapa
kali kalian harus menuang kerucut yang berisi air agar dapat mengisi tabung sampai
penuh?

Gambar 1.1

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 86

(a) tabung dengan jari-jari r dan tinggi t

(b) kerucut dengan jari-jari r dan tinggi t

Dari kegiatan di atas, diperoleh hubungan berikut.

3 × Volume kerucut = Volume tabung

Volume kerucu = × Volume tabung

= πr t

9.3 Latihan Soal

1. Buatlah 3 contoh soal penerapan materi bangun ruang pada kehidupan sehari-hari!

9.4 RUJUKAN

Pada materi matematika integrasi lingkungan yang menjadi rujukan sumber bacaan bagi
pembaca antara lain :

1. Buku Siswa Matematika SMP/MTs Kelas VIII Edisi Revisi 2018 Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia

2. Buku Siswa Matematika SMP/MTs Kelas IX Edisi Revisi 2018 Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia

BAB X

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 87

PENERAPAN KESEBANGUAN DALAM LINGKUNGAN

10.1 Pendahuluan

Membandingkan dua benda secara geometris dapat dilihat dari dua aspek, yaitu bentuk dan
ukurannya. Satu benda yang memiliki bentuk yang sama tapi dengan ukuran berbeda banyak
dijumpai atau digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, miniatur bangunan dan bangunan
itu sendiri, peta suatu daerah dengan daerah sesungguhnya dan lain-lain. Dua benda yang memiliki
bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda disebut sebangun. Adanya kesebangunan antara dua
benda akan berguna untuk mengungkapkan informasi berkaitan dengan benda kedua dengan
memanfaatkan informasi pada benda pertama atau sebaliknya.

Kesebangunan bangun datar merupakan bagian dari materi matematika yang dinilai relatif
sulit bagi siswa terutama pada sub pokok bahasan kesebangunan segitiga. Siswa masih kesulitan
untuk menentukan kesebangunan segitiga. Salah satu kompetensi dasar yang harus dimiliki siswa
adalah mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun.

Penerapan kesebangunan dalam kehidupan sehari-hari di antaranya adalah untuk
penentuan jarak atau tinggi secara tidak langsung. Benda dapat dikatakan sebangun jika sudut-
sudut yang bersesuaian besarnya sama dan sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang
sama. Konsep dan sifat-sifat kesebangunan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-
masalah atau soal cerita yang berkaitan dengan kesebangunan.

Setelah mempelajari materi ini diharapkan mahasiswa dapat :
 Memahami konsep kongruen
 Memahami konsep kesebangunan

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 88

10.2 Uraian Materi

A. Kekongruenan Bangun Datar

Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen.
Dua bangun segi banyak (poligon) dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:

(i) Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. K
(ii)Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

A BJ

DC MJ

Sudut-sudut yang bersesuain:

∠A dan ∠J → m∠A = m∠J
∠B dan ∠K → m∠B =m∠K
∠C dan ∠L → m∠C = m∠L
∠D dan ∠M → m∠D = m∠M
Sisi-sisi yang bersesuaian:
AB dan JK → AB = JK
BC dan KL → BC = KL
CD dan LM → CD = LM

DA dan MJ → DA dan MJ

Jika bangun ABCD dan JKLM memenuhi kedua syarat tersebut, maka bangun ABCD
dan JKLM kongruen, dinotasikan dengan ABCD JKLM.

Contoh 1: menentukan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian:

Segi empat ABCD dan WXYZ pada gambar di bawah kongruen. Sebutkan sisi-sisi dan sudut-
sudut yang bersesuaian.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 89

DC ZY

AB W X
Alternatif Penyelesaian:

Sisi-sisi yang bersesuaian:

AB dan WX BC dan XY CD dan YZ DA dan ZW

Sudut-sudut yang bersesuaian:

∠A dan∠W ∠B dan∠X ∠C dan∠Y ∠D dan∠Z

Contoh 2: Mengidentifikasi dua bangun kongruen

Manakah persegi di samping yang kongruen? Jelaskan.

89
88

8 89 9

88
89

Alternatif Penyelesaian:
Dua bangun dikatakan kongruen jika memenuhi dua syarat, yaitu:

(i) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar
Setiap persegi mempunyai empat sudut siku-siku, sehingga sudut-sudut yang
bersesuaian pada persegi (a), (b), dan (c) besarnya pasti sama.

(ii)Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
Persegi (a) dan pesrsegi (b)

Panjang setiap persegi (a) adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi (b) adalah 9
cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (a) dan (b) tidak sama panjang.

Persegi (b) dan persegi (c)

Panjang setiap sisi persegi (b) adalah 9 cm. Panjang setiap sisi persegi (c) adalah
8 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (b) dan (c) tidak sama panjang.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 90

Persegi (a) dan persegi (b)
Panjang setiap sisi persegi (a) adalah 8 cm. Panjang setiap sisi persegi (c) adalah
8 cm. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian persegi (a) dan (c) sama panjang.

Berdasarkan (i) dan (ii) di atas, maka persegi yang kongruen adalah persegi (a) dan
(c).
Kekongruenan Dua Segitiga
Dua bangun yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama dinamakan kongruen. Dua
segitiga dikatakan kongruen jika memnuhi syarat berikut ini:
(i) Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang
(ii) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

<B dan <E adalah sudut yang
bersesuaian

B
E

AC
DF

Sisi AC dan DF adalah sisi yang
bersesuaian

Sisi-sisi yang bersesuaian:
AB dan DE → AB = DE
BC dan EF → BC = EF

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 91

CA dan FD → CA = FD
Sudut-sudut yang bersesuaian:
∠A dan ∠D→ m∠A = m∠D
∠B dan ∠E→ m∠B =m∠E
∠C dan ∠F→ m∠C = m∠F
Atau dengan kata lain

= = =1
Untuk menguji apakah dua segitiga kongruen atau tidak, tidak perlu menguji semua
pasangan sisi dan sudut yang bersesuaian. Dua segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi
salah satu kondisi berikut ini:
1. Ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sisi-
sisi-sisi.

2. Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Biasa
disebut dengan kriteria sisi-sudut-sisi.

3. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua sudut
tersebut sama panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut-sisi-sudut.

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 92

4. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama
panjang. Biasa disebut dengan kriteria sudut-sudut-sisi.

5. Khusus untuk segitiga siku-siku, sisi miring dan satu sisi siku yang bersesuaian sama
panjang.

B. Kesebangunan Bangun Datar

Dua bangun datar yang mempunyai bentuk yang sama disebut sebangun. Tidak perlu
ukurannya sama, tetapi sisi-sisi yang bersesuaian sebanding (proportional) dan sudut-sudut
yang bersesuaian sama besar. Perubahan bangun satu menjadi bangun lain yang sebangun
melibatkan perbesaran atau pengecilan.

Dengan kata lain dua bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat:
(i) Perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai

== =
(ii) Sudut ang bersesuaian besarnya sama

m∠A =m∠E
m∠B =m∠F
m∠C =m∠G
m∠D =m∠H
Kesebangunan Dua Segitiga
Dua segitiga dikatakan sebangun jika hanya jika memenuhi syarat berikut ini:

PENDIDIKAN MATEMATIKA LINGKUNGAN 93