พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ รวบรวมโดย นักศึกษาชั้นปีที่ 1 คณะครุศาสตร์ สาขาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี
รายงาน พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ โดย นางสาวกมลลักษณ์ รามฤทธิ์ รหัสนักศึกษา 65040140101 นางสาวจันจิรา ศรีจันทร์ รหัสนักศึกษา 65040140106 นางสาววิชุดา แข็งแรง รหัสนักศึกษา 65040140114 นางสาวมนต์นภา อินทแสง รหัสนักศึกษา 65040140116 นางสาวณรินทร์ธร ศรีบุรินทร์ รหัสนักศึกษา 65040140120 นางสาวฤทัยชนก วงศ์จอม รหัสนักศึกษา 65040140128 เสนอ ดร. ฐิติกาญจน์ มูลสาร รายงานเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาประวัติและ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ (EM21305) หมู่ 01 คณะครุศาสตร์ สาขาวิชาคณิตศาสตร์ ภาคเรียนที่ 2 ปีการศึกษา 2565 มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี
คำ นำ รายงานพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ฉบับนี้ เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชาประวัติและพัฒนาการทางคณิตศาสตร์ (EM21305) คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี เป็นการศึกษาและนำ เอาประวัติ ความเป็นมา เนื้อหาสาระตามที่ได้ค้นพบและจดบันทึก ลักษณะเด่นของนักคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยก่อนคริสต์ศักราช มาถึงสมัยปัจจุบันโดยนำ เหตุการณ์มาการเรียบเรียงตามหัวข้อและเส้นเวลา ซึ่งแบ่งออกเป็น 4 สาระการเรียนรู้ อันได้แก่ สาระที่ 1 จำ นวนและพีชคณิต สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณิต สาระที่ 3 สถิติและความน่าจะเป็น สาระที่ 4 แคลคูลัส ผู้จัดทำ เอกสารฉบับนี้ หวังเป็นอย่างยิ่งว่ารายงานพัฒนาการทางคณิตศาสตร์จะให้คุณค่าและเป็น ประโยชน์แก่ผู้ที่ทำ การศึกษาไม่มากก็น้อยเพื่อที่จะให้ผู้ที่ทำ การศึกษานำ ความรู้ไปต่อยอดและพัฒนาตนเอง ต่อไป คณะผู้จัดทำ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | ก
สารบัญ 0 1 หน้า สาระที่ 1 จำ นวนและพีชคณิต คำ นำ สารบัญ 1 2 เนื้อหา สาระที่ 2 การวัดและเราขาคณิต สาระที่ หน้า เนื้อหา สาระที่ สาระที่ 3 สถิติและความน่าจะเป็น เนื้อหา 2 หน้า สาระที่ 3 เนื้อหา 4 สาระที่ 4 แคลคูลัส สาระที่ เนื้อหา หน้า หน้า เนื้อหา หน้า บรรณานุกรม พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | ข เรียนรู้เรื่องอะไรในคณิตศาสตร์ ทำ ไมต้องเรียนคณิตศาสตร์ ก ข 3 38 69 77 89
ทำ ไมต้องเรียนคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์มีบทบาทสำ คัญยิ่งต่อความสำ เร็จในการเรียนรู้ในศตวรรษที่ ๒๑ เนื่องจากคณิตศาสตร์ช่วยให้ มนุษย์มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบมีแบบแผนสามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ ได้อย่างรอบคอบและถี่ถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำ ไปใช้ในชีวิตจริงได้อย่างมีประสิทธิภาพ นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาด้าน วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์อื่น ๆ อันเป็นรากฐานในการพัฒนาทรัพยากรบุคคลของชาติให้มีคุณภาพ และพัฒนาเศรษฐกิจของประเทศให้ทัดเทียมกับนานาชาติ การศึกษาคณิตศาสตร์จึงจำ เป็นต้องมีการพัฒนาอย่าง ต่อเนื่องเพื่อให้ทันสมัย และสอดคล้องกับสภาพเศรษฐกิจสังคม และความรู้ทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ที่เจริญก้าวหน้าอย่างรวดเร็วในยุคโลกาภิวัตน์ ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาชั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ ฉบับนี้ จัดทำ ขึ้น โดยคำ นึงถึงการส่งเสริมให้ผู้ เรียนมีทักษะที่จำ เป็นสำ หรับการเรียนรู้ในศตวรรษที่ ๒๑ เป็นสำ คัญ นั่นคือ การเตรียมผู้เรียนให้มีทักษะด้านการคิด วิเคราะห์ การคิดอย่างมีวิจารณญาณ การแก้ปัญหา การคิดสร้างสรรค์ การใช้เทคโนโลยี การสื่อสารและการร่วม มือ ซึ่งจะส่งผลให้ผู้เรียนรู้เท่าทัน การเปลี่ยนแปลงของระบบเศรษฐกิจ สังคม วัฒนธรรม และสภาพแวดล้อม สามารถแข่งขันและ อยู่ร่วมกับประชาคมโลกได้ ทั้งนี้การจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่ประสบความสำ เร็จนั้นจะต้อง เตรียมผู้เรียนให้มีความพร้อมที่จะเรียนรู้สิ่งต่าง ๆ พร้อมที่จะประกอบอาชีพเมื่อจบการศึกษา หรือ สามารถศึกษา ต่อในระดับที่สูงขึ้น ดังนั้นสถานศึกษาควรจัดการเรียนรู้ให้เหมาะสมตามศักยภาพของผู้เรียน พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 1
เรียนรู้เรื่องอะไรในคณิตศาสตร์ ในการเรียนรู้พัฒนาการทางคณิตศาสตร์เล่มนี้มีการจัดเป็น 4 สาระ ได้แก่ จำ นวนและพีชคณิต การวัดและ เรขาคณิต สถิติและความน่าจะเป็น และแคลคูลัส จำ นวนและพีชคณิต เรียนรู้เกี่ยวกับ ระบบจำ นวนจริง สมบัติเกี่ยวกับจำ นวนจริง อัตราส่วนร้อยละ การประมาณค่าการแก้ปัญหา เกี่ยวกับจำ นวนการใช้จำ นวนในชีวิตจริง แบบรูปความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน เชต ตรรกศาสตร์ นิพจน์ เอกนาม พหุนาม สมการ ระบบสมการ อสมการ กราฟ ดอกเบี้ยและมูลค่า ของเงิน ลำ ดับและอนุกรมและการนำ ความรู้ เกี่ยวกับจำ นวนและพืชคณิตไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ การวัดและเรขาคณิต เรียนรู้เกี่ยวกับ ความยาว ระยะทาง น้ำ หนัก พื้นที่ ปริมาตรและความจุ เงินและเวลา หน่วยวัดระบบต่าง ๆ การคาดคะเนเกี่ยวกับการวัด อัตราส่วนตรีโกณมิติ รูปเรขาคณิต และสมบัติของรูปเรขาคณิต การนึกภาพ แบบจำ ลองทางเรขาคณิต ทฤษฎีบททางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการเลื่อนขนาน การสะท้อน การหมุน และการนำ ความรู้เกี่ยวกับการวัด และเรขาคณิตไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ สถิติและความน่าจะเป็น เรียนรู้เกี่ยวกับ การตั้งคำ ถามทางสถิติ การเก็บรวบรวมข้อมูล การคำ นวณค่าสถิติ การนำ เสนอและแปลผล สำ หรับข้อมูลเชิงคุณภาพและเชิงปริมาณ หลักการนับ เบื้องต้น ความน่าจะเป็น การใช้ความรู้เกี่ยวกับสถิติ และความน่าจะเป็นในการอธิบายเหตุการณ์ต่างๆ และช่วยในการตัดสินใจ แคลคูลัส เรียนรู้เกี่ยวกับ ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต ปริพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต และนำ ความรู้เกี่ยวกับแคลคูลัสไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 2
สาระที่ 1 จำ นวนและพีชคณิต เรียนรู้เกี่ยวกับระบบจำ นวนจริง สมบัติเกี่ยวกับจำ นวนจริง อัตราส่วน ร้อยละ การประมาณค่า การแก้ปัญหาเกี่ยวกับจำ นวน การใช้จำ นวนในชีวิตจริง แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน เชต ตรรกศาสตร์ นิพจน์ เอกนาม พหุนาม สมการ ระบบสมการ อสมการ กราฟ ดอกเบี้ยและมูลค่า ของเงิน ลำ ดับและอนุกรม และการนำ ความรู้เกี่ยวกับจำ นวนและพืชคณิตไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 3
ซีโนแห่งเอเลอาเป็นนักปรัชญาชาวกรีก เป็นสมาชิกคนหนึ่งของโรงเรียน Eleatic ก่อตั้งโดย Parmenides อริสโตเติลเรียกเขาว่านักประดิษฐ์ของตรรกวิทยา เขาเป็นที่รู้จักกันดีในเรื่อง ความขัดแย้งซึ่งเบอร์ทรานด์รัสเซล อธิบายว่า "บอบบางและลึกซึ้งล้นพ้น" ตัวอย่างหนึ่งคือ ความขัดแย้งของการเคลื่อนไหวลองนึกภาพว่าคุณต้องการวิ่งแข่ง 100 เมตร ก่อนอื่นคุณต้อง วิ่งครึ่งระยะทาง (50 เมตร) แต่ก่อนที่จะทําเช่นนั้น คุณต้องวิ่งหนึ่งในสี่ของระยะทาง (25 เมตร) ก่อนวิ่งหนึ่งในสี่ คุณต้องวิ่ง 1/8 th และ 1/16 th เป็นต้น อริสโตเติล เป็นนักปรัชญาในสมัยกรีกโบราณ ร่วมกับครูเพลโตของเขา เขาถือเป็น "บิดาแห่งปรัชญาตะวันตก" เขายังเป็นติวเตอร์ส่วนตัวของอเล็กซานเดอร์มหาราช อีกด้วย อริสโตเติลเขียนเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ ปรัชญา กวีนิพนธ์ ดนตรี การเมือง วาทศิลป์ ภาษาศาสตร์ และวิชาอื่นๆ อีกมากมาย งานของเขามีอิทธิพล อย่างมากในช่วงยุคกลางและในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา และมุมมองของเขาเกี่ยวกับ จริยธรรมและคําถามเชิงปรัชญาอื่น ๆ ยังคงถูกกล่าวถึงในปัจจุบันอริสโตเติล ยังเป็นบุคคลแรกที่รู้จักในการศึกษาตรรกะอย่างเป็นทางการ รวมถึงการใช้และให้ เหตุผลทางคณิตศาสตร์ รวมถึงการประยุกต์ใช้ในด้านวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ Zeno of Elea ( 495 – 430 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) Aristotle ( 384 – 322 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 4 Euclid of Alexandria ( 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ยูคลิดแห่งอเล็กซานเดรีย เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เขากําหนดสัจพจน์ ทั้งห้า และมีข้อพิสูจน์ที่สําคัญมากมายในทฤษฎีจำ นวน หัวข้อสำ คัญใน ทฤษฎีบทเบื้องต้น เช่น ทฤษฎีบทที่ว่าจำ นวนเฉพาะมีมากมายนับไม่ถ้วน ความสัมพัทธ์ระหว่างจำ นวนสมบูรณ์กับจำ นวนเฉพาะแมร์แซนน์ บทตั้ง ของยุคลิดเกี่ยวกับการหาตัวประกอบ และขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดที่ใช้หาตัว หารร่วมมากของจำ นวนเต็มสองจำ นวน โดย The elements เป็นหนึ่ง ในหนังสือที่ทรงอิทธิพลที่สุดเท่าที่เคยตีพิมพ์มา และถูกใช้เป็นหนังสือ เรียนในวิชาคณิตศาสตร์จนถึงศตวรรษที่ 19 ยูคลิดสอนคณิตศาสตร์ใน อเล็กซานเดรีย แต่ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับชีวิตของเขามากนัก
Pingala ( 300 – 200 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ปิงกาลา เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณ แต่ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับ ประวัติชีวิตของเขา ซึ่งเขาวิเคราะห์บทกวีภาษาสันสกฤตทางคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ยังมีคําอธิบายแรกที่รู้จักของเลขฐานสอง ตัวเลขฟีโบนักชี ลำ ดับฟีโบนักชี (Fibonacci sequence) คือ ลำ ดับ Fn ซึ่ง F1 = 1, F2 = 1 และ Fn = Fn−1 + Fn− 2 เมื่อ n ≥ 3 โดยเรียกแต่ละพจน์ของลำ ดับฟีโบนักชีว่า จำ นวนฟี โบนักชี (Fibonacci number) ซึ่งได้แก่ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … จะเห็นว่าแต่ละพจน์ ของลำ ดับฟีโบนักชี ได้จากผลบวกของสองพจน์ก่อนหน้า Eratosthenes of Cyrene ( 276 – 195 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) เอราทอสเทนีส เป็นนักคณิตศาสตร์ นักภูมิศาสตร์ นักดาราศาสตร์ นักประวัติศาสตร์ และกวีชาวกรีก เขาใช้ชีวิตส่วนใหญ่ในอียิปต์ในฐานะ หัวหน้าห้องสมุดของอเล็กซานเดรีย ท่ามกลางความสําเร็จอื่น ๆ อีกมากมาย เขายังคิดค้น "ตะแกรงของ Eratosthenes" เป็นขั้นตอนวิธีที่ง่ายและเก่าแก่ สำ หรับการค้นหาจำ นวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าขีดจำ กัดที่กำ หนดใด ๆ กระบวนการของขั้นตอนวิธี เป็นการค่อย ๆ ตัดจำ นวนที่เป็นจำ นวนประกอบ (นั่นคือไม่ใช่จำ นวนเฉพาะ) ออก โดยการไล่ตัดพหุคูณของจำ นวนเฉพาะแต่ละ ตัวตั้งแต่ 2 ขึ้นไป ซึ่งชุดพหุคูณของจำ นวนเฉพาะใด ๆ สร้างได้จากลำ ดับของ ตัวเลขที่เริ่มจากจำ นวนเฉพาะนั้นและมีผลต่างคงที่เท่ากับจำ นวนเฉพาะนั้น กระบวนการไล่แบบนี้ เป็นความแตกต่างระหว่างวิธีตะแกรงกับวิธีการหารเชิง ทดลองหลักฐานเก่าแก่ที่สุดของวิธีตะแกรงของเอราทอสเทนีสอยู่ในหนังสือ เลขคณิตเบื้องต้นของนิโคมาคัส ซึ่งอธิบายและระบุที่มาจากเอราทอสเทนีสนัก คณิตศาสตร์ชาวกรีก พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 5
นิโคมาคัส เป็นโบราณสำ คัญนักคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดีสำ หรับผลงานของเขารู้เบื้องต้น เกี่ยวกับเลขคณิตเขาแยกความแตกต่างระหว่างจำ นวนที่ไม่มีสาระสำ คัญตามแนวคิด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเกี่ยวกับความสำ คัญของจำ นวนเฉพาะและจำ นวนสมบูรณ์และเขาจัดทำ ตารางสูตรคูณแบบกรีก-โรมันที่เก่าแก่ที่สุดอันหนึ่ง เป็นตารางที่ใช้สำ หรับระบบพีชคณิต ตารางการคูณทศนิยมได้รับการสอนตามธรรมเนียมว่าเป็นส่วนสำ คัญของเลขคณิตเบื้องต้น ทั่วโลกเนื่องจากเป็นการวางรากฐานสำ หรับการดำ เนินการเลขฐานสิบ Nicomachus of Gerasa ( ค.ศ. 60 – 120 ) ไดโอแฟนทัส เขาได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับการแก้สมการเกี่ยวกับพีชคณิต สมการไดโอแฟนไทน์ เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์และการประมาณไดโอแฟน ไทน์เป็นพื้นที่ย่อยของทฤษฎีจำ นวนและเขา เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก คนแรกที่รู้จัก จำ นวนตรรกยะที่เป็นบวกเป็นตัวเลข โดยยอมให้เศษส่วน เป็นค่าสัมประสิทธิ์และผลเฉลย ในการใช้งานสมัยใหม่ สมการไดโอแฟน ไทน์เป็นสมการพีชคณิตที่มีค่าสัมประสิทธิ์ จำ นวนเต็มซึ่งหาผลเฉลยของ จำ นวนเต็มคณิตศาสตร์ชาวกรีก Diophantus ( ค.ศ. 200-284 ) เช่นทฤษฎีบทของ Nicomachus ระบุว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มี ความยาวด้านเป็นตัวเลขสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็น สี่เหลี่ยมจัตุรัสและครึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่รวมกันเป็น ลูกบาศก์ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 6
ไฮพาเทีย เธอเป็นผู้หญิงคนแรกที่ได้รับการบันทึกไว้ในหน้าประวัติศาสตร์ว่า มีความสำ คัญอย่างมากในการพัฒนาวงการคณิตศาสตร์ ดาราศาสตร์และปรัชญา เธอได้ศึกษาเกี่ยวกับ Arithmetica เล่มที่สิบสามของ Diophantus ซึ่งเป็นเรื่อง เกี่ยวกับปัญหาพีชคณิตที่ให้คำ ตอบที่เป็นตัวเลขของสมการที่กำ หนดและสมการ ที่ไม่แน่นอนอาจอยู่รอดได้ในบางส่วน โดยถูกสอดแทรกลงในข้อความต้นฉบับของ Diophantus hypatia of alexandria ( ค.ศ. 360 – 415 ) นุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลเคาะวาริซมี หรือ al-Khwarizmi เป็นพหูสูตชาวเปอร์เซีย เขาเป็นผู้สร้างผลงานที่มีอิทธิพลอย่างมากในด้านคณิตศาสตร์ ดาราศาสตร์ และภูมิศาสตร์ เขาเป็นบิดาแห่งพีชคณิต และได้เขียนหนังสือ Al- Jabr เป็น บทความทางคณิตศาสตร์ภาษาอาหรับ เกี่ยวกับพีชคณิต โดยกำ หนดให้ พีชคณิตเป็นวินัยอิสระ และคำ ว่า "พีชคณิต" เองก็มาจากอัล-จาบร์ เขาได้นำ เสนอวิธีแก้ปัญหาอย่างเป็นระบบของสมการเชิงเส้นและสมการกำ ลังสองเป็น ครั้งแรกและคําว่า "อัลกอริทึม" ได้รับการตั้งตามชื่อของเขา Muhammad Al-Khwarizmi ( ค.ศ. 780-850 ) และปัจจุบันสมการในหนังสือเล่มนี้เรียกว่าสมการไดโอแฟนไทน์ วิธีการแก้สมการเหล่านี้เรียกว่าการวิเคราะห์ไดโอแฟนไทน์ โจทย์เลขคณิตส่วนใหญ่ นำ ไปสู่สมการกำ ลังสอง ในเล่มที่ 3 ไดโอแฟนทัสแก้ปัญหาการหาค่าที่ทำ ให้นิพจน์เชิงเส้นสองรายการ พร้อมกันกลายเป็นสี่เหลี่ยมหรือลูกบาศก์ ในเล่ม 4 พบพลัง ตรรกยะระหว่างตัวเลขที่กำ หนด เขายังสังเกตเห็นว่าตัวเลขของ แบบฟอร์ม 4n+3 ไม่สามารถเป็นผลรวมของกำ ลังสอง (หน้าหนึ่งจาก พีชคณิตของอัล-ควาริซมี) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 7
อิบน์ อัลฮัยษัม สนใจเลนส์และการรับรู้ภาพเป็นพิเศษ เขาได้ประยุกต์ใช้หลักในด้าน ทัศนศาสตร์คือการแก้ปัญหา "ให้กำ เนิดแสงและกระจกทรงกลม ให้หาจุดบนกระจก ที่แสงจะสะท้อนไปยังตาของผู้สังเกต" สิ่งนี้นำ ไปสู่สมการกำ ลังสี่หรือสมการควอร์ติก คือสมการที่สามารถแสดงเป็นฟังก์ชันควอร์ติก ที่มีค่าเท่ากับศูนย์ รูปแบบทั่วไปของ สมการควอร์ติกคือ โดยที่ ≠ 0 และเป็นสมการพหุนามอันดับสูงสุดที่สามารถแก้ได้ด้วยอนุมูลในกรณีทั่วไป Hasan Ibn al-Haytham ( ค.ศ. 965 – 1050 ) ภาสการาที่ 2 เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวอินเดีย เขาได้รับการขนานนามว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ อินเดียยุคกลาง ซึ่งกล่าวถึง ศูนย์ ค่าอนันต์ จำ นวนบวกและจำ นวน ลบ และสมการที่ไม่แน่นอน ปัจจุบันเรียกว่า สมการของเพล ซึ่งแก้ สมการโดยใช้วิธีการคุตฏกะ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขายังแก้ไข กรณีที่ต้องหลบเลี่ยงแฟร์มาต์แต์ละเพื่อนร่วมรุ่นชาวยุโรปของเขาในอีก หลายศตวรรษต่อมาและเขายังได้เขียนหนังสือเล่มแรก คือ Siddhanta Śiromani หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยสิบสามบท 278 ข้อ ส่วนใหญ่เป็นเลขคณิตและการวัด Bhaskara II ( ค.ศ. 1114 – 1185 ) ( เช่นกราฟของฟังก์ชันพหุนามดีกรี 4 ซึ่งมี 4 รากและ 3 จุด วิกฤต ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 8
เลโอนาร์โด เรียกกันทั่วไปว่าฟีโบนัชชี เป็นชาวอิตาลี นักคณิตศาสตร์จร์าก สาธารณรัฐปิซาซึ่งถือว่าเป็น "นักคณิตศาสตร์ตะวันตกที่มีพรสวรรค์ที่สุดใน ยุคกลาง” รู้จักกันดีในเรื่องลําดับตัวเลขที่ตั้งชื่อตามเขา: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... เขาศึกษาเกี่ยวกับระบบตัวเลขฮินดู-อารบิก ซึ่งเป็นระบบเลขฐานสิบตำ แหน่ง และ เป็นระบบที่พบมากที่สุดสำ หรับสัญลักษณ์การแสดงตัวเลขในโลก เขาได้เขียนหนังสือ Liber Abaci ( เกี่ยวกับเลขคณิต ) แสดงการใช้งานจริง และมูลค่าของสิ่งนี้โดยการใช้ตัวเลขกับการทำ บัญชี เชิงพาณิชย์การแปลงน้ำ หนัก และการวัด การคำ นวณดอกเบี้ย การแลกเปลี่ยนเงิน และการใช้งานอื่น ๆ หนังสือเล่มนี้ได้รับการตอบรับเป็นอย่างดีทั่วยุโรปที่มีการศึกษาและมีผลกระทบ อย่างลึกซึ้งต่อความคิดของชาวยุโรปแทนที่เลขโรมัน Leonardo Pisano ( ค.ศ. 1175 – 1250 ) หลี่เย่ เป็นนักวิทยาศาสตร์ชาวจีนและนักเขียนผู้ตีพิมพ์และปรับปรุง วิธี tian yuan shu ในการแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว ซึ่ง tian yuan shu เป็นระบบพีชคณิตของจีน สำ หรับสมการพหุนาม งานเขียนที่เก่าแก่ที่สุดคือ ตัวแปร ที่ไม่รู้จัก มักจะเขียน x ในรูปแบบ สมัยใหม่เป็นระบบตำ แหน่งของตัวเลขแท่งเพื่อแสดงสมการพหุนาม ตัวอย่างเช่น จะแสดงเป็น Li Ye ( ค.ศ. 1192 – 1279 ) (เช่น หน้า Liber AbaciจากBiblioteca Nazionale di Firenz รายการทางด้านขวาแสดงหมายเลข 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377) ซึ่งเลขอารบิคคือ บรรทัดด้านบนคือค่าสัมประสิทธิ์ข ธิ์ องเทอมกำ ลังสอง ( x กำ ลัง 2 ) ระบบรองรับเลขชี้กำ ลังสูง โดยพลการของค่าคงที่ ที่ไม่รู้จักโดยการเพิ่มบรรทัดที่ด้านบนและเลขชี้กำ ลังที่เป็นลบโดยการเพิ่มบรรทัดด้านล่างค่าคงที่ สามารถแสดงทศนิยม ได้ด้วยในงานเขียนต่อมาของ Li Zhi และ Zhu Shijie ลำ ดับบรรทัดถูกกลับรายการเพื่อให้บรรทัดแรกเป็นเลขชี้กำ ลังที่ต่ำ ที่สุด พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 9
ฉิน จิ่วเชา เป็นนักคณิตศาสตร์ นักอุตุนิยมวิทยา นักประดิษฐ์ นักการเมือง และนักเขียนเขาได้รับเครดิตจากการค้นพบวิธีการของ Horner เป็นอัลกอริทึม สำ หรับการประเมินพหุนามอัลกอริทึมนี้กลายเป็นพื้นฐานสำ หรับการคำ นวณ อย่างมีประสิทธิภาพด้วยพหุนามอัลกอริทึมเป็นไปตามกฎของ Horner ซึ่งเขียนพหุนามในรูปแบบที่ซ้อนกัน หยาง ฮุย เป็นนักคณิตศาสตร์และนักเขียนชาวจีนในช่วงราชวงศ์ซ่ง ทำ งานเกี่ยวกับ สี่เหลี่ยมวิเศษวงกลมวิเศษ และเขาได้เขียน หนังสือคณิตศาสตร์สองเล่มที่ตีพิมพ์ ซึ่งรู้จักกันในชื่อ Xugu Zhaiqi Suanfa เป็นการจัดเรียงตัวเลขธรรมชาติบนวงกลม โดยที่ผลรวมของตัวเลขในแต่ละวงกลมและผลรวมของตัวเลขบนเส้นผ่านศูนย์กลาง จะเท่ากัน วงกลมเวทมนตร์วงหนึ่งของเขาสร้างขึ้นจากตัวเลขธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 33 ซึ่งจัดอยู่ใน วงกลมที่มีศูนย์กลาง สี่ วง โดยมี 9 อยู่ตรงกลาง Qin Jiushao ( ค.ศ. 1202 – 1261 ) Yang Hui ( ค.ศ. 1238 – 1298 ) สิ่งนี้ทำ ให้สามารถประเมินพหุนามของดีกรี n ได้เท่านั้น n การคูณและการเพิ่มนี่เป็นวิธีที่ดีที่สุด เนื่องจากมีพหุนาม ของดีกรี n ที่ไม่สามารถประเมินได้ด้วยการดำ เนินการเลขคณิตที่น้อยลงอีกวิธีหนึ่ง วิธีของ Horner ยังหมายถึงวิธีการ ประมาณค่ารากของพหุนามที่ Horner อธิบายไว้ในปี 1819 เป็นวิธีที่แตกต่างไปจากวิธีของ Newton-Raphson ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นสำ หรับการคำ นวณด้วยมือโดยใช้กฎของ Horner วงกลมศูนย์กลางเวทมนตร์ของ Yang Hui มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ 1) ผลรวมของตัวเลขบนสี่เส้นผ่านศูนย์กลาง = 147 ; 28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147 2) ผลบวกของเลข 8 บวกด้วย 9 ตรงกลาง = 147; 28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147 3) ผลรวมของ รัศมีแปดที่ไม่มี 9 = เลขวิเศษ 69: เช่น 27 + 15 + 3 + 24 = 69 4) ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดในแต่ละวงกลม (ไม่รวม 9) = 2 × 69 5) มีอยู่ 8 ครึ่งวงกลมโดยที่ผลรวมของตัวเลข = หมายเลขวิเศษ 69; มีส่วนของเส้นตรง 16 เส้น (ครึ่งวงกลมและรัศมี) พร้อม เลขวิเศษ 69 มากกว่าตารางเวทย์มนตร์ 6 คำ สั่งที่มีเลขวิเศษเพียง 12 ตัว (วงกลมศูนย์กลางเวทมนตร์ของ Yang Hui – ตัวเลขในแต่ละวงกลม และเส้นผ่านศูนย์กลาง (ไม่รวม 9 ตรงกลาง) รวมเป็น 138) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 10
จู ซื่อเจี๋ย เป็นชาวจีน นักคณิตศาสตร์และนักเขียนเขาเป็นนัก คณิตศาสตร์ชาวจีนในสมัยวราชวงศ์หยวน เขาได้เขียนหนังสือJade Mirror of the Four Unknown เขาได้พัฒนาพีชคณิตภาษาจีนขั้นสูง สี่ปัญหาแรกจาก 288 ปัญหาสำ หรับการแก้ปัญหาแสดงให้เห็นวิธีการ ของเขาเกี่ยวกับสิ่งแปลกปลอมทั้งสี่ เขาแสดงวิธีแปลงปัญหาที่ระบุด้วย วาจาให้เป็นระบบสมการพหุนาม โดยใช้วิธีการลดระบบเป็น สมการ พหุนามเดียวในสมการที่ไม่รู้จักโดยการกำ จัดสิ่งที่ไม่รู้อย่างต่อเนื่อง จากนั้นเขาก็แก้สมการลำ ดับสูงโดยวิธี "หลิงหลงไคฟาง" เขาใช้ประโยชน์จากสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าสามเหลี่ยมปาสคาล ซึ่งเขาระบุ ว่าเป็นแผนภาพของวิธีการโบราณที่ค้นพบครั้งแรกโดย Jia Xian ก่อนปี 1050 สมการสุดท้ายและหนึ่งในคำ ตอบของสมการแต่ละอันมีให้สำ หรับ แต่ละ 288 ปัญหาโดยใช้ระบบสมการพหุนามและตัวแปรสี่ตัว Zhu Shijie ( ค.ศ. 1249 – 1314 ) ภาพประกอบ : Jade Mirror of the Four Unknowns) Madhava of Sangamagramma ( ค.ศ. 1340 - 1425 ) มาธาวา เป็นนักคณิตศาสตร์แร์ละนักดาราศาสตร์ชร์าวอินเดียเป็นผู้บุกเบิกการศึกษาพีชคณิต คณิตศาสตร์เป็นความก้าวหน้าจากกระบวนการที่มีขอบเขตจำ กัดของพีชคณิตไปจนถึง การพิจารณาถึงอนันต์ ขั้นตอนแรกสู่การเปลี่ยนแปลงนี้มักจะมาพร้อมกับการขยายอนุกรม ที่ไม่สิ้นสุด มันคือการเปลี่ยนไปสู่ซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดซึ่งเกิดจาก Madhava ในยุโรป ซีรีส์ดังกล่าวชุดแรกได้รับการพัฒนาโดยJames Gregoryในปี 1667 งานของ Madhava มีความโดดเด่นสำ หรับซีรีส์นี้ หมายความว่าเขาเข้าใจดีถึงธรรมชาติขีดจำ กัดของอนุกรม อนันต์ ดังนั้น Madhava อาจคิดค้นแนวคิดที่อยู่ภายใต้การขยายฟังก์ชันของอนุกรมไม่ สิ้นสุด อนุกรมกำ ลังอนุกรมตรีโกณมิติและการประมาณเชิงตรรกยะของอนุกรมอนันต์ อย่างไรก็ตาม ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ผลลัพธ์ใดเป็นของ Madhava อย่างแม่นยำ และผลลัพธ์ใดเป็นของผู้สืบทอดของเขานั้นยากที่จะระบุได้ ต่อไปนี้เป็นการสรุปผล ที่ได้รับจาก Madhava โดยนักวิชาการหลายคน พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 11
Gerolamo Cardano ( ค.ศ.1501 - 1576 ) เจโรลาโม คาร์ดาโน เป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกที่ใช้จำ นวนลบอย่างเป็นระบบเขาตีพิมพ์กับ ระบุแหล่งที่มาแก้ปัญหาของ Scipione ของ Ferro กับสมลูกบาศก์และการแก้ปัญหาของ นักเรียน Cardano ของ Lodovico เฟอร์รารีไปสม quartic ใน 1545 หนังสือของเขาที่อาร์ส ใหญ่ คำ ตอบสำ หรับกรณีเฉพาะของสมการกำ ลังสอง ax^3 + bx + c = 0 ( ตามสัญกรณ์สมัย ใหม่ ) ได้รับการสื่อสารกับเขาในปี 1539 โดย Niccolò Fontana Tartaglia ในรูปแบบของ บทกวีแต่วิธีการแก้ปัญหาของ Ferro เกิดขึ้นก่อน Tartaglia's ในการแสดงออกของเขาเขา ยอมรับ การดำ รงอยู่ของสิ่งที่เรียกว่าตอนนี้ตัวเลขจินตนาการถึงแม้เขาจะไม่เข้าใจคุณสมบัติ ของพวกเขาอธิบายเป็นครั้งแรกโดยเขาอิตาเลียนร่วมสมัยราฟาเอล ในบทประพันธ์เขาแนะนำ สัมประสิทธิ์ทวินามและทฤษฎีบททวินาม Luca Pacioli ( ค.ศ.1447 - 1517 ) ลูก้า ปาซิโอลี่ เป็นบาทหลวงและนักคณิตศาสตร์ผู้มีอิทธิพลชาวอิตาลี ผู้คิดค้นสัญลักษณ์มาตรฐานสำ หรับเครื่องหมายบวกและลบ ( + และ - ) เขาเป็นหนึ่งในนักบัญชีกลุ่มแรก ๆ ในยุโรป ซึ่งเขาได้แนะนำ การทำ บัญชีแบบ สองรายการ Pacioli ร่วมมือกับ Leonardo da Vinci และเขียนเกี่ยวกับเลขคณิต Pacioli ตีพิมพ์ผลงานคณิตศาสตร์หลายชิ้นได้แก่ • โฆษณา Tractatus mathematicus discipulos perusinos เกี่ยวกับเลขคณิต ของพ่อค้าเช่นการแลกเปลี่ยนการแลกเปลี่ยนผลกำ ไรการผสมโลหะและพีชคณิต • หนังสือเรียนสำ หรับใช้ในโรงเรียนทางตอนเหนือของอิตาลี มันเป็นการสังเคราะห์ ความรู้ทางคณิตศาสตร์ในสมัยของเขาและมีงานพิมพ์ชิ้นแรกเกี่ยวกับพีชคณิตที่เขียน ด้วยภาษาพื้นถิ่น ( เช่น ภาษาพูดประจำ วัน ) นิโคโล ฟอนทานา ทาร์ตาเกลีย ผลงานชิ้นเอกของ Tartaglia คือบทความทั่วไปเกี่ยวกับ จำ นวนและการวัด สารานุกรม 1,500 หน้าในหกส่วนที่เขียนด้วยภาษาถิ่นของชาวเมือง เวนิส สามเล่มแรกออกในปี 1556 เกี่ยวกับเวลาการตายของ Tartaglia และ สามคน สุดท้ายตีพิมพ์โดยผู้ดำ เนินการวรรณกรรมและผู้จัดพิมพ์ Curtio Troiano ในปี 1560 David Eugene Smith เขียนถึง General Trattato ว่า : ตำ ราที่ดีที่สุดเกี่ยวกับเลขคณิต ที่ปรากฏในอิตาลีในศตวรรษของเขา ซึ่งมีการอภิปรายอย่างครบถ้วนเกี่ยวกับการดำ เนิน การเชิงตัวเลขและกฎการค้าของนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ชีวิตของผู้คน ขนบธรรมเนียม ของพ่อค้า และความพยายามในการปรับปรุงเลขคณิตในศตวรรษที่ 16 ล้วนถูกกำ หนดไว้ ในผลงานอันน่าทึ่งนี้ส่วนที่ 1 มีความยาว 554 หน้าและประกอบขึ้นเป็นเลขคณิตทางการ ค้าโดยพื้นฐาน Niccolò Fontana Tartaglia ( ค.ศ.1499 - 1557 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 12
Simon Stevin ( ค.ศ.1548 - 1620 ) ไซมอน สตีวิน เป็นนักคณิตศาสตร์และวิศวกรชาวเฟลมิช สตีวินเขียนเลขคณิต ของเขาในปี ค.ศ. 1594 งานนี้ได้นำ ไปสู่โลกตะวันตกเป็นครั้งแรกที่การแก้ ปัญหาทั่วไปของสมการกำ ลังสองซึ่งเดิมบันทึกไว้เกือบหนึ่งสหัสวรรษโดย Brahmagupta ในอินเดีย ตามคำ กล่าวของ Van der Waerden สตีเวนได้ ขจัด "ข้อจำ กัดแบบคลาสสิกของ 'ตัวเลข' ให้เป็นจำ นวนเต็มหรือเศษส่วน ตรรกยะ จำ นวนจริงก่อตัวเป็นคอนตินิวอัม แนวคิดทั่วไปของเขาเกี่ยวกับ จำ นวนจริงเป็นที่ยอมรับโดยปริยายหรืออย่างชัดเจนโดยนักวิทยาศาสตร์ในภาย หลังทั้งหมด" การศึกษาเมื่อเร็ว ๆ นี้ระบุว่า Stevin มีบทบาทในการพัฒนา จำ นวนจริงมากกว่าที่ผู้ติดตามของWeierstrassยอมรับสตีวินพิสูจน์ทฤษฎีบท ค่ากลางสำ หรับพหุนาม คาดการพิสูจน์ของคอชี สตีวินใช้ขั้นตอนการแบ่งและ พิชิตโดยแบ่งช่วงเวลาออกเป็นสิบส่วนเท่า ๆ กันทศนิยมของ Stevin เป็นแรง บันดาลใจสำ หรับไอแซกนิวตันงานบนแบบไม่มีที่สิ้นสุด ผลงานอีกชิ้นของเขา Recensio canonica effectionum geometricarum มีตราประทับที่ทันสมัยซึ่งต่อมา เรียกว่าเรขาคณิตเชิงพีชคณิต - ชุดของศีลว่าจะสร้างนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตได้อย่างไรโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ เท่านั้น ในขณะที่งานเขียนเหล่านี้โดยทั่วไปเข้าใจได้ง่ายและด้วยเหตุนี้จึงมีความสำ คัญในการสอนมากที่สุดหลักการ ของความเป็นเนื้อเดียวกันซึ่งได้รับการตีพิมพ์โดย Vieta เป็นครั้งแรกในช่วงเวลาของเขาที่ผู้อ่านส่วนใหญ่ดูเหมือน จะผ่านมันไปแล้ว หลักการดังกล่าวถูกใช้โดยนักเขียนชาวกรีกในยุคคลาสสิก แต่สำ หรับนักคณิตศาสตร์รุ่นหลังมี เพียง Hero , Diophantus และอื่น ๆ เท่านั้นที่คิดว่าเส้นและพื้นผิวเป็นเพียงตัวเลขที่สามารถนำ มารวมกันเพื่อให้ จำ นวนใหม่ซึ่งเป็นผลรวมของพวกมัน François Viète ( ค.ศ.1540 - 1603 ) ฟรองซัวส์ วีเอเต้ นักคณิตศาสตร์ที่ร์ ที่ มีผลงานในพีชคณิตใหม่เม่ ป็นขั้นตอนสำ คัญต่อ พีชคณิตสมัยใหม่เนื่องจากการใช้นวัตกรรมของตัวอักษรเป็นพารามิเตอร์ในสมการ เขาเป็นทนายความโดยการค้าและดำ รงตำ แหน่งองคมนตรีของแห่งฝรั่งเศส Vieta มีความเชี่ยวชาญในงานประดิษฐ์สมัยใหม่ส่วนใหญ่โดยมุ่งเป้าไปที่การทำ ให้สมการ ง่ายขึ้นโดยการแทนที่ปริมาณใหม่ที่มีความเชื่อมโยงบางอย่างกับปริมาณที่ไม่รู้จัก ดั้งเดิม พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 13
สรุปผลงานสำ คัญ 1. สร้างตารางการคูณบนชุดของแท่งต่างๆ แต่ละด้านบรรจุตัวเลขที่สัมพันธ์กันในลักษณะความก้าวหน้าเชิง คณิตศาสตร์ 2. สามารถหาค่ารากที่สอง รากที่สาม และสามารถคูณหรือหารเลขจำ นวนมาก ๆ และการยกกำ ลังจำ นวนมาก ๆ ให้ได้ผลลัพธ์ถูกต้องและรวดเร็วได้ 3. ได้แปลงปัญหาของการคูณที่ซับซ้อนไปเป็นปัญหาการบวกที่ง่ายขึ้น เครื่องมือที่เรียกว่า สไลด์รูล (slide rule) เพื่อใช้ในการคูณ และเครื่องมือนี้เป็นต้นกำ เนิดของ แอนาล็อกคอมพิวเตอร์(analog computer) 4. เป็นคนค้นพบลอการิทึม เขาได้สร้างตารางลอการิทึม (logarithms) ฐาน e ขึ้น ในปีพ.ศ. 2160 5. ท่านได้มีการดัดแปลงเครื่องมือเพื่อประโยชน์ในการคูณ หารและการถอดกรณฑ์ (root) เรียกว่า Napier’s bone ซึ่งมีลักษณะเป็นแท่งไม้สี่เหลี่ยม John Napier ( ค.ศ.1550 - 1617 ) จอห์น เนเปียร์ นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตแลนด์ เกิดในปี พ.ศ. 2093 (ค.ศ. 1550) ที่ Merchiston Castle, Edinburgh, Scotland เนเปียร์ ได้สร้างตารางการคูณบน ชุดของแท่งต่างๆ แต่ละด้านบรรจุตัวเลขที่สัมพันธ์กันในลักษณะความก้าวหน้าเชิง คณิตศาสตร์ สามารถหาค่ารากที่สอง รากที่สาม และสามารถคูณหรือหารเลขจำ นวน มาก ๆ และการยกกำ ลังจำ นวนมาก ๆ ให้ได้ผลลัพธ์ถูกต้องและรวดเร็วได้ และได้ แปลงปัญหาของการคูณที่ซับซ้อนไปเป็นปัญหาการบวกที่ง่ายขึ้น เครื่องมือที่เรียกว่า สไลด์รูล (slide rule) เพื่อใช้ในการคูณ และเครื่องมือนี้เป็นต้นกำ เนิดของ แอนาล็อกคอมพิวเตอร์ (analog computer) Marin Mersenne ( ค.ศ.1588 - 1648 ) มาริน เมอร์เซน เป็นนักคณิตศาสตร์และนักบวชชาวฝรั่งเศสที่มีผลงานหลากหลายด้าน เขาอาจเป็นที่รู้จักดีที่สุดในปัจจุบันในหมู่นักคณิตศาสตร์สำ หรับตัวเลขเฉพาะ ของ Mersenne ซึ่งเขียนได้ในรูปแบบ Mn = 2n - 1สำ หรับจำ นวนเต็ม n บางตัว นอกจากนี้เขายังได้พัฒนากฎของ Mersenne ซึ่งอธิบายถึงฮาร์โมนิกของสายสั่น (เช่น อาจพบได้ในกีตาร์แร์ละเปียโน) และการทำ งานของเขาน้ำ เชื้อในทฤษฎีดนตรี ซึ่งเขาจะเรียกว่าเป็น "บิดาแห่งอะคูสติก " Mersenne นักบวชคาทอลิกที่ได้รัด้รับแต่งตั้ง มีการติดต่อมากมายในโลกวิทยาศาสตร์และถูกเรียกว่า "ศูนย์กลางของโลกแห่ง วิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ในช่วงครึ่งแรกของปี 1600" และเนื่องจากเขาความ สามารถในการเชื่อมโยงระหว่างผู้คนกับความคิด " กล่องไปรษณีย์ของยุโรป " นอกจากนี้เขายังเป็นสมาชิกของ Minim ศาสนาและเขียนและสอนธรรมและปรัชญา พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 14
จอห์น วอลลิสนัก เป็นคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ในปี ค.ศ. 1685 วาลลิสตีพิมพ์พีชคณิต นำ หน้าด้วยเรื่องราวทางประวัติศาสตร์ของการพัฒนาเรื่องซึ่งมีข้อมูลที่มีค่ามากมาย ฉบับที่สองซึ่งออกในปี ค.ศ. 1693 และสร้างฉบับที่สองของโอเปร่าของเขาได้รับการ ขยายอย่างมาก พีชคณิตนี้เป็นที่น่าสังเกตว่ามีการใช้สูตรอย่างเป็นระบบเป็นครั้งแรก ขนาดที่กำ หนดจะแสดงด้วยอัตราส่วนตัวเลขที่แสดงถึงหน่วยที่มีขนาดเท่ากัน ดังนั้น เมื่อวาลลิสต้องการเปรียบเทียบความยาวสองส่วน เขาถือว่าแต่ละความยาวประกอบ ด้วยหน่วยความยาวจำ นวนมาก สิ่งนี้อาจจะทำ ให้ชัดเจนขึ้นโดยสังเกตว่าความสัมพันธ์ ระหว่างช่องว่างที่อธิบายในเวลาใด ๆ โดยอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่ำ เสมอจะ แสดงโดยวาลลิสโดยสูตร s = vt , โดยที่ s คือตัวเลขที่แสดงอัตราส่วนของช่องว่างที่ อธิบายต่อหน่วยความยาว ในขณะที่คนเขียนคนก่อน ๆ ได้แสดงความสัมพันธ์แบบ เดียวกันโดยระบุสิ่งที่เทียบเท่ากับโจทย์ s 1 : s 2 = v 1 t 1 : v 2 t 2 ปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์ ทฤษฎีจำ นวนคือรักแท้ของแฟร์มาต์ เขามีสำ เนาของ Arithmetica ซึ่งเป็นหนังสือของ Diophantus นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกผู้ยิ่งใหญ่ Arithmetica เผยแพร่เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 250 (โดยประมาณ) หนังสือเล่มนี้ได้สร้าง แรงบันดาลใจให้กับแนวคิดใหม่ ๆ มากมายจากแฟร์มาต์ เขาจะใช้เลขคณิตมากพอ ๆ กับที่คนสมัยใหม่อาจใช้ปริศนาอักษรไขว้หรือเกมซูโดกุ และเขาจะขีดเขียนความคิดที่ ขอบหนังสือ แนวคิดเหล่านี้เปลี่ยนทฤษฎีจำ นวน แฟร์มาต์ได้แกล้งนักคณิตศาสตร์ในฝรั่งเศสและที่อื่นด้วยทฤษฎีบทที่หลากหลายอย่างมี ความสุขมานานหลายทศวรรษ เขารู้เพียงเล็กน้อยว่าบางสิ่งที่เขาขีดเขียนไว้ตรงขอบ ของสำ เนา Arithmetica ของเขา จะล้อเลียนพวกเขามาหลายศตวรรษการหยอกล้อนี้ กลายเป็นที่รู้จักในฐานะทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ Pierre de Fermat ( ค.ศ.1607 - 1665 ) John Wallis ( ค.ศ. 1616 - 1703 ) Seki Takakazu ( ค.ศ.1642 - 1708 ) เซกิ ทาคาคาซึ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักเขียนชาวญี่ปุ่นคนสำ คัญคณิตศาสตร์ของเขา (และวาซานโดยรวม) มีพื้นฐานมาจากความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่สะสมตั้งแต่ศตวรรษที่ 13 ถึง 15 เนื้อหาในงานเหล่านี้ประกอบด้วยพีชคณิตกับวิธีตัวเลข การประมาณค่าพหุนามและการประยุกต์ และสมการจำ นวนเต็มที่ไม่แน่นอนงานของ Seki นั้นขึ้นอยู่กับและเกี่ยวข้องกับวิธีการที่รู้จักเหล่านี้ ไม่มากก็น้อย นักพีชคณิตชาวจีนค้นพบการประเมินเชิงตัวเลข (วิธีของฮอร์เนอร์ก่ร์ ก่อตั้งใหม่โดยวิล เลียม จอร์จ ฮอร์เนอร์ใร์นศตวรรษที่ 19) ของสมการพีชคณิตองศาโดยพลการพร้อมสัมประสิทธิ์จริง โดยใช้ทช้ฤษฎีบทพีทาโกรัสพวกเขาลดปัญหาทางเรขาคณิตเป็นพีชคณิตอย่างเป็นระบบอย่างไรก็ตาม จำ นวนนิรนามในสมการนั้นค่อนข้างจำ กัด พวกเขาใช้สัญกรณ์ของอาร์เรย์ของตัวเลขเพื่อแสดงสูตร ตัวอย่างเช่น (a b c) สำ หรับ ax^2 + bx + c พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 15
เธอยังทำ งานเกี่ยวกับการแปลหนังสือ Principia ของนิวตันเป็นภาษาฝรั่งเศสซึ่งมีกฎพื้นฐานของฟิสิกส์ Du Châtelet ตั้งใจแน่วแน่ที่จะแปลให้เสร็จ รวมถึงคำ บรรยายโดยละเอียดพร้อมการเพิ่มเติมและการชี้แจง และมักจะทำ งาน 18 ชั่วโมงต่อวัน เธอเสียชีวิตเพียงไม่กี่วันหลังจากให้กำ เนิดลูกสาว แต่ผลงานที่เสร็จสมบูรณ์ ของเธอได้รับการตีพิมพ์หลังเสียชีวิต และยังคงใช้มาจนถึงปัจจุบัน เธอคิดแผนการทางการเงินที่แยบยลคล้ายกับตราสารอนุพันธ์สมัยใหม่ โดยเธอจ่ายเงินให้กับคนเก็บภาษีเป็น จำ นวนเงินที่ค่อนข้างต่ำ สำ หรับสิทธิที่จะได้รับรายได้ในอนาคต (พวกเขาได้รับอนุญาตให้เก็บส่วนหนึ่งไว้ของภาษี ที่พวกเขาเก็บสำ หรับกษัตริย์) และสัญญาว่าจะจ่ายเงินให้นักพนันในศาลส่วนหนึ่งของรายได้ในอนาคตเหล่านี้ Émilie du Châtelet ( ค.ศ.1706 – 1749 ) เอมิลี ดู ชาเตอเลต์ เป็นนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ในฐานะ ผู้หญิง เธอมักถูกกีดกันจากชุมชนวิทยาศาสตร์ แต่เธอสร้างมิตรภาพกับนักวิชาการ ที่มีชื่อเสียง และมีความสัมพันธ์อันยาวนานกับนักปรัชญาวอลแตร์ เธอใช้ความสามารถทางคณิตศาสตร์ของเธอในขณะที่เล่นการพนัน และใช้ชัยชนะ ของเธอเพื่อซื้อหนังสือและอุปกรณ์ในห้องปฏิบัติการ และสร้างความก้าวหน้าที่ สำ คัญเกี่ยวกับแนวคิดต่าง ๆ เช่น พลังงานและการอนุรักษ์พลังงาน Leonhard Euler ( ค.ศ.1707 - 1783 ) อ็อยเลอร์เป็นผู้คิดค้นคำ ศัพท์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่และสัญกรณ์ และได้ทำ การค้นพบที่สำ คัญในแคลคูลัส การวิเคราะห์ ทฤษฎีกราฟ ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และหัวข้ออื่นๆ อีกมากมาย เขามีผลงานในแทบทุกสาขาของวิชา คณิตศาสตร์ เช่น เรขาคณิต แคลคูลัส ตรีโกณมิติ พีชคณิต ทฤษฎีจำ นวน เป็นต้น เช่นเดียวกับแวดวงฟิสิกส์ เช่น ผลงานเรื่องกลศาสตร์ความต่อเนื่อง ทฤษฎีการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์ เป็นต้น อ็อยเลอร์ถือว่าเป็นบุคคล สำ คัญคนหนึ่งในประวัติศาสตร์แห่งคณิตศาสตร์ นอกจากนี้หลายคนอาจจะคุ้นชื่อกันดีกับ แผนภาพออยเลอร์ (Euler diagram) แผนภาพที่ใช้ในการอธิบาย ความสัมพันธ์ของเซตต่าง ๆ แผนภาพอ็อยเลอร์นั้นมียังลักษณะคล้ายคลึงกันกับแผนภาพเวนน์มาก ในทฤษฎีเซต ซึ่งเป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์จึงนิยมใช้แผนภาพประยุกต์จากแผนภาพทั้งสองในการอธิบายเซตต่าง ๆ ให้ เข้าใจได้ง่ายยิ่งขึ้น เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งในประวัติศาสตร์ เกิดในสวิตเซอร์แลนด์และศึกษาในบาเซิล แต่ใช้ชีวิตส่วนใหญ่ในเบอร์ลิน ปรัสเซีย และ เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ประเทศรัสเซีย เขาเป็นบุคคลแรกที่เริ่มใช้คำ ว่า "ฟังก์ชัน" ในแวดวง คณิตศาสตร์ (ตามคำ นิยามของไลบ์นิทซ์ใน ค.ศ. 1694) ในการบรรยายถึงความสัมพันธ์ที่ เกี่ยวข้องกับตัวแปร เช่น y = f(x) นอกจากนี้ เขายังเป็นคนแรกที่นำ แคลคูลัสเข้าไป ประยุกต์ในศาสตร์ฟิสิกส์ งานของเขาครอบคลุมทุกด้านของคณิตศาสตร์ และเขาเขียน งานวิจัย 80 เล่ม พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 16
โยฮันน์ แลมเบิร์ต เป็นนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ นักดาราศาสตร์ และนักปรัชญาชาวสวิส เขาเป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า π เป็นจำ นวนอตรรกยะ โดยใช้เศษส่วนต่อเนื่องทั่วไปสำ หรับฟังก์ชัน tan x และเขาแนะนำ ฟังก์ชันตรีโกณมิติไฮเพอร์โบลิก แลมเบิร์ตยังทำ งานเกี่ยวกับเรขาคณิตและการทำ แผนที่ สร้างเส้นโครงแผนที่ และคาดเดาการค้นพบช่องว่างที่ไม่ใช่แบบยุคลิด แลมเบิร์ตยังได้คิดค้นทฤษฎีบทเกี่ยวกับภาคตัดกรวยที่ทำ ให้การคำ นวณวงโคจรของดาวหางง่ายขึ้น บทพิสูจน์ของแลมบิร์ต ในปี ค.ศ. 1761 แลมเบิร์ตได้พิสูจน์ว่า π เป็นจำ นวนอตรรกยะโดยแสดงให้เห็นว่าการ ขยายตัวของ เศษส่วนอย่างต่อเนื่อง นี้ ถือได้ว่า : จากนั้นแลมเบิร์ตพิสูจน์ว่า ถ้า x ไม่เป็นศูนย์และเป็นจำ นวนตรรกยะ นิพจน์นี้ต้องเป็นจำ นวนอตรรกยะ เนื่องจาก tan( π /4) = 1 ดังนั้น π /4 จึงเป็นจำ นวนอตรรกยะ ดังนั้น π จึงเป็นจำ นวนอตรรกยะด้วย ภาพแสดงลักษณะของแผนภาพอ็อยเลอร์ วงกลมสีแดงแทนเซตของสัตว์ทั้งหมด วงกลมสีเหลือง แทนเซตของสัตว์สี่เท้า และวงกลมสีฟ้าแทนเซตของแร่ธาตุ ซึ่งเซตของสัตว์สี่เท้าเป็นสับเซตของเซต ของสัตว์ทั้งหมด และเซตของแร่ธาตุไม่มีความสัมพันธ์กับเซตของสัตว์และเซตของสัตว์สี่เท้า Johann Lambert ( ค.ศ.1728 – 1777 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 17
ลอเรนโซ่ มาสเชโรนี เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีและเป็นบุตรชายของเจ้าของที่ดิน ผู้มั่งคั่ง เขาได้รับแต่งตั้งให้เป็นนักบวชเมื่ออายุ 17 ปี และสอนวาทศิลป์ ฟิสิกส์และ คณิตศาสตร์ ในตอนแรกเขาสนใจด้านมนุษยศาสตร์เป็นหลัก ( กวีนิพนธ์และภาษากรีก ) ในที่สุดเขาก็กลายเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่ Pavia ในปี ค.ศ. 1790 เขาได้เขียน Adnotationes ad calculum integrale Euleri และได้เผยแพร่การคำ นวณของสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชอโรนีซึ่งมัก จะเขียนแทนด้วย γ (แกมมา) ค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนี γ = 0 . 57721 … ซึ่ง ปรากฏในการวิเคราะห์และทฤษฎีจำ นวน ได้รับการตั้งชื่อตามเขา ซึ่งเขาคำ นวณได้ 32 หลัก (แม้ว่าจะมีข้อผิดพลาดเล็กน้อย) โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ หรือชื่อเดิมว่า จูเซปเปโลโดวีโก ลากรันจา (Giuseppe Lodovico Lagrangia) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีซึ่งรับตำ แหน่งต่อจาก Leonard Euler ในตำ แหน่งผู้อำ นวยการ Academy of Sciences ในกรุงเบอร์ลิน เขาทำ งานเกี่ยวกับการวิเคราะห์และแคลคูลัสของการแปรผัน คิดค้นวิธีการใหม่ ๆ ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ พิสูจน์ทฤษฎีบทในทฤษฎีจำ นวน และวางรากฐานของทฤษฎีกลุ่ม ลากรองจ์ยังเขียนเกี่ยวกับกลศาสตร์คลาสสิกและท้องฟ้า และช่วยสร้างระบบเมตริกในยุโรป สิ่งพิมพ์ที่แหวกแนวของเขาในปี ค.ศ. 1770 "ภาพสะท้อนเกี่ยวกับสมการเชิงพีชคณิต" เปิดตัว สาขาใหม่ของพีชคณิต เอเดรียน-มารี เลเจนเดร เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสคนสำ คัญผู้มี ผลงานมากมายต่อคณิตศาสตร์ แนวคิดที่รู้จักกันดีและสำ คัญ เช่น พหุนาม เลเจนเดร และการแปลงเลเจนเดร ได้รับการตั้งชื่อตามเขา เขาศึกษาปริ พันธ์วงรีและการใช้งานในวิชาฟิสิกส์ นอกจากนี้เขายังพบข้อพิสูจน์ง่ายๆ ว่า π เป็นอตรรกยะ และข้อพิสูจน์แรกที่ว่า π^2 ไม่มีอตรรกยะ และเขา คาดเดาว่า π ไม่ใช่รากของสมการพีชคณิตของดีกรีจำ กัดที่มีค่า สัมประสิทธิ์เป็นจำ นวนตรรกยะ (กล่าวคือ π เป็นจำ นวนเหนือธรรมชาติ) Joseph-Louis Lagrange ( ค.ศ.1736 – 1813 ) Lorenzo Mascheroni ( ค.ศ.1750 – 1800 ) Adrien-Marie Legendre ( ค.ศ.1752 – 1833 ) พหุนาม Legendre หกตัวแรก พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 18
Joseph Fourier ( ค.ศ.1768 – 1830 ) โฌแซ็ฟ ฟูเรียร์ เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เป็นเพื่อนและที่ปรึกษา ของนโปเลียน นอกเหนือจากการค้นคว้าทางคณิตศาสตร์แล้ว เขายังได้รับ เครดิตจากการค้นพบปรากฏการณ์เรือน.กระจกอีกด้วย ขณะที่เดินทางไปอียิปต์ ฟูเรียร์รู้สึกทึ่งกับความร้อนเป็นพิเศษ เขาศึกษา การถ่ายเทความร้อนและการสั่นสะเทือน และค้นพบว่าฟังก์ชันคาบใดๆ สามารถเขียนเป็นผลรวมอนันต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ เรียกว่า อนุกรมฟูเรียร์ ฟูเรียร์ได้หันมาสนใจคณิตศาสตร์ประยุกต์เป็นครั้งแรก ในขณะที่กำ ลัง ทดลองเกี่ยวกับการไหลของความร้อน เขาก็ได้ค้นพบสมการการไหลนี้ ซึ่งต่อมา ได้ตั้งชื่อเป็น "สมการฟูเรียร์" เพื่อแก้ปัญหาและพิสูจน์สมการนี้ ฟูเรียร์ได้แสดง ให้เห็นว่าฟังก์ชันหลายฟังก์ชันของตัวแปรเดี่ยวสามารถขยายออกเป็นอนุกรม ของไซน์ (sines) เชิงซ้อนของตัวแปร ที่เรียกในภายหลังว่า "อนุกรมฟูเรียร์" โดยทั่วไปเขาได้รับการกล่าวถึงจากการค้นพบปรากฏการณ์เรือนกระจก Marie-Sophie Germain ( ค.ศ.1776 – 1831 ) มารี-โซฟี เจอร์เมน เป็นนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักปรัชญาชาว ฝรั่งเศส เธอตัดสินใจว่าต้องการเป็นนักคณิตศาสตร์เมื่ออายุ 13 ปี หลังจากอ่าน เกี่ยวกับอาร์คิมิดีส น่าเสียดายที่ในฐานะผู้หญิง เธอต้องเผชิญกับการต่อต้าน อย่างมาก พ่อแม่ของเธอพยายามกีดกันไม่ให้เธอเรียนตั้งแต่ยังเด็กและเธอไม่ เคยได้รับตำ แหน่งในมหาวิทยาลัยเลย เจอร์เมน เป็นผู้บุกเบิกในการทำ ความเข้าใจคณิตศาสตร์ของพื้นผิวยืดหยุ่น ซึ่งทำ ให้เธอได้รับรางวัลใหญ่จาก Paris Academy of Sciences นอกจากนี้ เธอยังมีความก้าวหน้าอย่างมากในการแก้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และ ติดต่อกับคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เป็นประจำ เจอร์เมนรู้สึกสนใจทฤษฎีจำ นวน หลังจากที่ได้อ่านตำ รา Disquisitiones Arithmeticae ของ Carl Friedric Gauss แห่งมหาวิทยาลัย Brunswick จนเข้าใจ เธอตื่นเต้นกับความรู้ใหม่มาก จึงเขียนจดหมายถึง Gauss โดยใช้ นามแฝงว่า Le Blanc พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 19
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ เขาค้น พบสิ่งใหม่ๆ ของคณิตศาสตร์ ตั้งแต่พีชคณิต ทฤษฎีจำ นวน เรขาคณิต ไปจนถึง ธรณีวิทยา และดาราศาสตร์ ตามตำ นาน เขาแก้ไขข้อผิดพลาดในบัญชีของพ่อตอน อายุ 3 ขวบ และพบวิธีบวกจำ นวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง100 อย่างรวดเร็วเมื่ออายุ 8 ขวบ เขาค้นพบสิ่งสำ คัญครั้งแรกในขณะที่ยังเป็นวัยรุ่น และต่อมาได้สอนนักคณิตศาสตร์ที่ มีชื่อเสียงอีกหลายคนในฐานะศาสตราจารย์ ผลงานสำ คัญของเกาส์ในด้านทฤษฎีจำ นวน คือหนังสือที่ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1801 ชื่ว่า Disquisitiones Arithmeticae เนื้อหาในหนังสือเล่มนี้ เกี่ยวกับการนำ เสนอ เลขคณิตมอดุลาร์ ที่เป็นระบบจำ นวนภายใต้การหารแบบเหลือเศษ และบท พิสูจน์แรกของทฤษฎี ส่วนกลับกำ ลังสอง ซึ่งในปัจจุบันมีบทพิสูจน์ที่แตกต่างกันหลาย แบบ แต่เกาส์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้ ในปี ค.ศ. 1796 Carl Friedrich Gauss ( ค.ศ.1777 – 1855 ) Mary Somerville ( ค.ศ.1780 – 1872 ) สูตรใช้คำ นวณผลบวกจํานวนนับ n จำ นวน ซึ่งมาจากเทคนิคที่เขาใช้ตอบโจทย์ในห้องเรียนตอนยังเด็กจนทําให้คุณครูทึ่งอย่างมาก แมรี ซอเมอร์วิลล์ (ค.ศ.1780 – 1872) เป็นนักวิทยาศาสตร์และนักเขียนชาว สก็อต เธอถูกเรียกว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" Somerville เป็นคนแรกที่แนะนำ การมีอยู่ของดาวเนปจูนและยังเป็นนักเขียนและนักสื่อสารวิทยาศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม อีกด้วย เมื่ออายุ 15 ปี แมรี่สังเกตเห็นสูตรเกี่ยวกับพีชคณิตบางสูตรที่ใช้ตกแต่งใน นิตยสารแฟชั่น และเธอก็เริ่มศึกษาพีชคณิตเพื่อทำ ความเข้าใจกับสูตรเหล่านี้ด้วยตัว เธอเอง Somerville เริ่มแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในวารสารทางคณิตศาสตร์ของ วิทยาลัยการทหารที่ Marlow และในที่สุดก็สร้างชื่อให้ตัวเองหลังจากแก้ปัญหา ไดโอแฟนไทน์ซึ่งเธอได้รับรางวัลเหรียญเงินในปี ค.ศ. 1811 พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 20
นีลส์ เฮนริก อาเบล เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์คนสําคัญ แม้ว่าเขาจะ เสียชีวิตเมื่ออายุ 26 ปี เขาก็มีส่วนสนับสนุนที่ก้าวล้ําในหัวข้อต่างๆมากมาย ตอนอายุ 16 ปี อาเบลได้พิสูจน์ทฤษฎีบททวินาม สามปีต่อมาเขาพิสูจน์ให้ เห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้สมการควินติก โดยการประดิษฐ์ทฤษฎีกลุ่มอย่าง อิสระ นี่เป็นปัญหาที่เปิดกว้างมากว่า 350 ปี เขายังทํางานเกี่ยวกับฟังก์ชัน วงรีและค้นพบฟังก์ชัน Abelian อาเบลใช้ชีวิตอย่างยากจน เขามีพี่น้อง 6 คน พ่อของเขาเสียชีวิตเมื่ออายุ 18 ปี เขาไม่สามารถหางานทําที่ มหาวิทยาลัยได้ และนักคณิตศาสตร์หลายคนก็เลิกจ้างงานเขา Niels Henrik Abel ( ค.ศ. 1802 – 1829 ) สำ หรับหนึ่งในผลงานที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของอาเบลเกิดในปีคปี.ศ. 1824 เมื่อเขาสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีคำ ตอบ ในรูปแบบราก (radical forms) ของสมการกำ ลัง 5 หรือสมการพหุนามอันดับ 5 (ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0) เหมือนกับอันดับที่ต่ำ กว่าคืออันดับ 2 (พบคำ ตอบในสมัยกรีก) อันดับ3 และอันดับ4 (พบคำ ตอบโดยจิโลราโม คาร์ดาโนและลูกศิษย์หลังจากสมัยกรีกประมาณ 2000 ปี) ซึ่งถือได้ว่าอาเบลสามารถแก้ปัญหาทางพีชคณิตที่นักคณิตศาสตร์ชื่อดังอย่างนิวตัน ออยเลอร์ ลากรองช์ และเกาส์ รวมถึงท่านอื่น ๆ ต่างถกเถียงและพยายามหาคำ ตอบมา 300 ปีตั้งแต่สมัยของคาร์ดาโนได้สำ เร็จ กราฟของพหุนามดีกรี 5 ที่มีศูนย์จริง 3 ตัว (ราก) และจุดวิกฤต 4 จุด พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 21
วิลเลียม โรวัน แฮมิลตันเป็นนักคณิตศาสตร์และเด็กอัจฉริยะชาวไอริช เขาคิดค้นควอเทอร์เนียน ซึ่งเป็นตัวอย่างแรกของ "พีชคณิตแบบไม่สลับขั้ว" ซึ่งมีการนำ ไปใช้ที่สำ คัญในวิชาคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ เขาได้แนวคิดนี้ขึ้นเป็นครั้งแรกขณะเดินไปตามคลองรอยัล ในดับลิน และสลักสูตรพื้นฐานลงในสะพานหินที่เขาเดินผ่าน : i2=j2=k2=ijk=−1 แฮมิลตันยังได้มีส่วนร่วมที่สำ คัญในวิชาฟิสิกส์ รวมทั้งทัศนศาสตร์และกลศาสตร์นิวตัน และเขายังเป็นนักฟิสิกส์ นักดาราศาสตร์ และนักคณิตศาสตร์ชาวไอร์แลนด์ที่มีความสำ คัญ ต่องานเขียนด้าน กลศาสตร์ดั้งเดิม ทัศนศาสตร์ และพีชคณิต เขาได้เข้าศึกษาในระดับมหาวิทยาลัย ทางด้านกลศาสตร์และระบบทัศนศาสตร์จึงทำ ให้เขาได้ค้นพบแนวคิดและเทคนิควิธีการใหม่ ๆ ทาง คณิตศาสตร์ การคิดค้นที่เป็นที่รู้จักกันอย่าแพร่หลายของเขาคือการปรับเปลี่ยนรูปแบบทางคณิตศาสตร์ ของฟิสิกส์สำ หรับหัวข้อ กลศาสตร์แบบนิวตันที่เป็นที่รู้จักในชื่อ กลศาสตร์ฮามิลโทเนียน ชิ้นงานนี้ได้รับ การพิสูจน์แล้วว่าเป็นศูนย์กลางของการเรียนรู้ยุคใหม่ของทฤษฎีแบบดั้งเดิมเช่น แม่เหล็กไฟฟ้า และนำ ไปใช้พัฒนาความรู้ทางด้านกลศาสตร์ควอนตัมได้อีกด้วย คาร์ล กุสทัฟ ยาค็อพ ยาโคบีเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เขาทํางานเกี่ยวกับการ วิเคราะห์ สมการเชิงอนุพันธ์ และทฤษฎีจํานวน และเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกการศึกษาฟังก์ชัน วงรี สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential equation) หมายถึง สมการที่มีอนุพันธ์ต่าง ๆ ของ ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า (unknown function) หนึ่งฟังก์ชันหรือมากกว่าหนึ่งฟังก์ชันปรากฏ อยู่ คำ ว่า Differential equation เริ่มใช้โดย ไลน์นิตซ์ ในปี ค.ศ. 1676 เป็นรูปแบบ สมการหนึ่งในคณิตศาสตร์ เป็นพื้นฐานที่สำ คัญในสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในทาง วิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ เพราะว่ากฎเกณฑ์และปัญหาต่าง ๆ ในสาขาวิขาเหล่านี้ ล้วนพิจารณาเป็นสมการคณิตศาสตร์ที่อยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์แทบทั้งสิ้น เช่น กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ปัญหาของการนำ ความร้อนในแท่งโลหะ การหาปะจุหรือกระแส ในวงจรไฟฟ้า เหล่านี้เป็นต้น Carl Jacobi ( ค.ศ. 1804 – 1851 ) William Rowan Hamilton ( ค.ศ. 1805 – 1865 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 22
ออกุสตุส เดอ มอร์แกน เป็นนักคณิตศาสตร์และนักตรรกวิทยาชาวอังกฤษ เขาศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตของจำ นวนเชิงซ้อน การเหนี่ยวนำ ทาง คณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการ และคิดค้นสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์แบบใหม่ กฎของเดอมอร์แกนอธิบายวิธีเปลี่ยนความสัมพันธ์เชิงตรรกะในทฤษฎีเซต เช่น A∩B‾=A‾∪B‾และ A∪B‾=A‾∩B‾ งานของเดอ มอร์แกนชื่อตรีโกณมิติและพีชคณิตคู่ประกอบด้วยสองส่วน เล่มแรกเป็นตำ ราเกี่ยวกับตรีโกณมิติและเล่มหลังเป็นบทความเกี่ยวกับพีชคณิตทั่วไป ซึ่งเขาเรียกว่า "พีชคณิตคู่" ขั้นตอนแรกในการพัฒนาพีชคณิตคือเลขคณิต ซึ่งใช้เฉพาะตัวเลขธรรมชาติและสัญลักษณ์ของการดำ เนินการ เช่น + , × ฯลฯ ขั้นตอนต่อไปคือเลขคณิตสากลโดยที่ตัวอักษรปรากฏขึ้นแทนตัวเลข เพื่อแสดงถึงตัวเลขในระดับสากล และกระบวนการต่าง ๆ จะดำ เนินการโดยไม่ทราบค่าของสัญลักษณ์ ให้ a และ b แสดงจำ นวนธรรมชาติใด ๆ การแสดงออกเช่น a - b อาจยังคงเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นในเลขคณิตสากลจึงมีเงื่อนไข เสมอ หากการดำ เนินการเป็นไปได้ ขั้นตอนที่สามคือพีชคณิตเดี่ยวโดยที่สัญลักษณ์อาจแสดงถึงปริมาณไปข้างหน้าหรือย้อนกลับ และแสดงปริมาณอย่างเพียงพอด้วยส่วนต่าง ๆ บนเส้นตรงที่ผ่านจุดกำ เนิด ปริมาณติดลบจะเป็นไปไม่ได้อีกต่อไป พวกเขาแสดง โดยส่วนหลัง แต่ความเป็นไปไม่ได้ยังคงอยู่ในส่วนหลังของนิพจน์เช่น a + b √ −1 ซึ่งเกิดขึ้นในการแก้สมการกำ ลังสอง ขั้นตอน ที่สี่ คือพีชคณิตคู่. สัญลักษณ์พีชคณิตโดยทั่วไปหมายถึงส่วนของเส้นในระนาบที่กำ หนด เป็นสัญลักษณ์คู่เนื่องจากเกี่ยวข้องกับ ข้อกำ หนดสองประการ ได้แก่ ความยาวและทิศทาง และ √ −1 ถูกตีความว่าแสดงถึงจตุภาค นิพจน์ a + b √ −1 แทนเส้นตรง ในระนาบที่มีอักษรย่อ a และเลขลำ ดับ b Argand และ Warren ใช้พีชคณิตคู่จนถึงตอนนี้ แต่พวกเขาไม่สามารถตีความตาม ทฤษฎีนี้ ได้เช่น นิพจน์ e a √ −1 เดอ มอร์แกนพยายามลดการแสดงออกดังกล่าวให้อยู่ในรูป b + q √ −1 และเขาถือว่าเขา แสดงแล้วว่าสามารถลดลงได้เสมอ ความจริงที่น่าทึ่งก็คือพีชคณิตคู่นี้เป็นไปตามกฎพื้นฐานทั้งหมดข้างต้นที่แจกแจงไว้ และ เนื่องจากสัญลักษณ์ที่ดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ทุกชุดได้รับการตีความ จึงดูเหมือนรูปแบบที่สมบูรณ์ของพีชคณิต ในบทที่ 6 เขาได้ แนะนำ ฟังก์ชันไฮเพ อร์โบลิก และกล่าวถึงความเชื่อมโยงของตรีโกณมิติสามัญและไฮเพอร์โบลิก Augustus De Morgan ( ค.ศ. 1806 – 1871 ) เอวาริสต์ กาลัว นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส มีชีวิตที่สั้นและน่าเศร้าแต่เขาได้คิดค้นสาขา คณิตศาสตร์ใหม่สองสาขา : ทฤษฎีกลุ่มและทฤษฎี Galois ทฤษฎีกาลัว (Galois theory) จัดว่าเป็นผลงานที่สำ คัญที่สุดของกาลัว และเป็นรากฐานของพีชคณิตนามธรรม ทฤษฎีนี้กล่าวว่ารากคำ ตอบของพหุนามมีความสัมพันธ์กับโครงสร้างของกลุ่มในการเรียง สับเปลี่ยน (group of permutation) หรือที่เรียกว่า กลุ่มกาลัว (Galois group) ในขณะที่ยังอยู่ในวัยรุ่น Galois ได้พิสูจน์ว่าไม่มีคำ ตอบทั่วไปสำ หรับสมการ พหุนามระดับ 5 หรือสูงกว่า พร้อมกันกับ Niels Abel ในวิชาคณิตศาสตร์ทฤษฎี Galois ซึ่งริเริ่มโดยกาลัวได้ให้ความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีสนามและทฤษฎีกลุ่ม การเชื่อมต่อนี้ เป็นทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎี Galoisช่วยลดปัญหาบางอย่างในทฤษฎีสนามไปสู่ ทฤษฎีกลุ่ม ซึ่งทำ ให้ง่ายขึ้นและเข้าใจได้ง่ายขึ้น Évariste Galois ( ค.ศ. 1811 – 1832 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 23
กาลัวส์แนะนำ เรื่องการศึกษารากของพหุนาม สิ่งนี้ทำ ให้เขาสามารถอธิบายลักษณะเฉพาะของสมการพหุนามที่แก้ได้โดยอนุมูล ในแง่ของคุณสมบัติของกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนของราก สมการสามารถแก้ได้ด้วยรากหากรากของมันอาจแสดงด้วยสูตร ที่เกี่ยวข้องกับจำ นวนเต็ม เท่านั้น รากที่ n และการดำ เนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐานสี่รายการ สิ่งนี้ทำ ให้ทฤษฎีบทอาเบล - รัฟฟินี เป็นภาพรวมโดยทั่วไป ซึ่งยืนยันว่าพหุนามทั่วไปที่มีดีกรีอย่างน้อย 5 ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยอนุมูล ทฤษฎี Galois ถูกนำ มาใช้ในการแก้ปัญหาคลาสสิก รวมถึงการแสดงให้เห็นว่าปัญหาสองประการของสมัยโบราณ ไม่สามารถแก้ไขได้ตามที่ระบุไว้ ( การเพิ่มลูกบาศก์เป็นสองเท่าและการตัดมุมสามส่วน ) และการระบุลักษณะของรูปหลายเหลี่ยม ปกติที่สามารถสร้างได้ (ลักษณะนี้เคยได้รับจากGaussแต่การพิสูจน์ที่ทราบทั้งหมดว่าการระบุลักษณะนี้สมบูรณ์ต้องใช้ ทฤษฎีกาลัวส์) ตารางของกลุ่มย่อยและฟิลด์ย่อยแสดงกลุ่ม Galois ที่สอดคล้องกัน เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเตอร์ เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เขามีส่วนร่วมในทฤษฎีเมทริกซ์ ทฤษฎีจํานวน ทฤษฎีการแบ่งพาร์ติชัน และคอมบิเนเตอร์ ร่วมกับ Arthur Cayley เขาได้ร่วมก่อตั้งทฤษฎีที่ไม่เปลี่ยนแปลง ซิลเวสเตอร์ประกาศเกียรติคุณคําศัพท์มากมาย ที่เราคุ้นเคยในปัจจุบัน รวมถึง "กราฟ" "การเลือกปฏิบัติ" และ "เมทริกซ์" ตลอดอาชีพการงานของเขา ซิลเวสเตอร์ต้องเผชิญกับลัทธิต่อต้านยิว เขาถูกปฏิเสธปริญญา จากเคมบริดจ์ และต่อมาเขาประสบกับความรุนแรงจากนักศึกษาที่มหาวิทยาลัยเวอร์จิเนีย ระหว่างที่เขาดํารงตําแหน่งศาสตราจารย์ในระยะสั้น เมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ (Sylvester matrix) คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมสัมประสิทธิ์ของ พหุนามสองพหุนามเข้าด้วยกัน เพื่อคำ นวณหาคุณสมบัติบางประการของพหุนามเหล่านั้น James Joseph Sylvester ( ค.ศ. 1814 – 1897 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 24
จอร์จ บูล เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ตอนเป็นเด็ก เขาสอนตัวเองเป็นภาษาละติน กรีก และคณิตศาสตร์ โดยหวัง ว่าจะหนีจากชีวิตชนชั้นต่ําของเขา เขาสร้างพีชคณิตบูลีนซึ่งใช้ตัวดําเนินการเช่น AND, OR และ NOT (แทนที่จะ เป็นการบวกหรือการคูณ) และสามารถใช้เมื่อทํางานกับเซต นี่เป็นรากฐานสําหรับตรรกะทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการ และมีการใช้งานมากมายในวิทยาการคอมพิวเตอร์ พีชคณิตแบบบูลีน เป็นเทคนิคแบบหนึ่งที่ใช้ในการลดรูป Switching Function ในพีชคณิตบูลีนเราใช้ ตัวอักษร A,B,C,… แทนตัวแปรค่า 2 สภาวะ คือ 0 หรือ 1 ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรแต่ละตัวเราใช้ เครื่องหมายทางเลขคณิต แทนความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรค่านั้น เครื่องหมายทางเลขคณิตดังกล่าวได้แก่ - เครื่องหมาย . (จุด) แทนความหมาย AND - เครื่องหมาย + (บวก) แทนความหมาย OR - เครื่องหมาย - (Bar) แทนความหมาย NOT พีชคณิตแบบบูลีน ใช้แสดงค่าของเลขฐานสองและการคำ นวณทางตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ตัวแปรที่ใช้ จะแทนด้วยตัว อักษรเช่น A, B, x และ y เป็นต้น ค่าทางตรรกศาสตร์ที่ใช้ในการคำ นวณได้แก่ AND, OR และ Complement จุดประสงค์ของพีชคณิตแบบบูลีน คือ ช่วยในเรื่องของการวิเคราะห์และออกแบบวงจรดิจิตอล โดยวิธีดังต่อไปนี้ 1) แสดงในรูปแบบของตัวแปรเชิงพีชคณิตและตารางค่าความจริง (Truth Table) ระหว่างตัวแปรแต่ละตัว 2) แสดงในรูปแบบของตัวแปรเชิงพีชคณิต บ่งบอกความสัมพันธ์ระหว่างอินพุต-เอาต์พุต ของวงจรดิจิตอล (Digital Logic Circuit) 3) แสดงในรูปแบบของวงจรลดรูป (Simpler Circuit) สำ หรับฟังก์ชั่นนั้น George Boole ( ค.ศ. 1815 – 1864 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 25
อาเทอร์ เคย์ลีย์ เป็นนักคณิตศาสตร์และทนายความชาวอังกฤษ เขาเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกทฤษฎีกลุ่ม เป็นคนแรกที่เสนอคำ นิยามสมัยใหม่ของ "กลุ่ม" และสรุปให้ครอบคลุมการประยุกต์ใช้อื่น ๆ อีกมากมายในวิชาคณิตศาสตร์ เคย์ลีย์ยังได้พัฒนาพีชคณิตเมทริกซ์และทำ งานเกี่ยวกับเรขาคณิต ที่มีมิติสูงขึ้น เขาตั้งสมมุติฐานทฤษฎีบทเคย์ลีย์ - แฮมิลตันว่า เมทริกซ์กำ ลังสองทุกตัวมีราก ของพหุนามลักษณะเฉพาะของมันเองและตรวจสอบเมทริกซ์ลำ ดับที่ 2 และ 3 ได้เขาเป็นคนแรก ที่กำ หนดแนวคิดของกลุ่มด้วยวิธีสมัยใหม่ ริชาร์ด เดเดอกินท์ เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันและเป็นหนึ่งในลูกศิษย์ของ Gauss เขาพัฒนา แนวคิดมากมายในทฤษฎีเซต และคิดค้นการตัด Dedekind เป็นคำ จำ กัดความที่เป็นทางการของ จำ นวนจริง นอกจากนี้เขายังให้คำ จำ กัดความแรกของฟิลด์ตัวเลขและวงแหวน ซึ่งเป็นโครงสร้างที่ สำ คัญสองอย่างในพีชคณิตนามธรรม Dedekind มีส่วนร่วมอื่น ๆ ในพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ประมาณปี 1900 เขาเขียนเอกสารชิ้นแรก เกี่ยวกับโครงตาข่ายแบบโมดูลาร์ ในปี พ.ศ. 2415 ระหว่างพักผ่อนในอินเตอร์ลาเคนเดเดคินด์ได้ พบกับจอร์จ คันทอร์ ดังนั้นความสัมพันธ์ที่ยั่งยืนของการเคารพซึ่งกันและกันจึงเริ่มต้นขึ้น และ เดเดคินด์กลายเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์กลุ่มแรกๆ ที่ชื่นชมงานของคันทอร์เกี่ยวกับเซตที่ไม่มีที่สิ้น สุด โดยพิสูจน์ให้เห็นถึงพันธมิตรที่ทรงคุณค่าในข้อพิพาทระหว่างคันทอร์กับลีโอโปลด์โครเนกเกอร์ ซึ่งต่อต้านในทางปรัชญากับจำ นวน ไม่จำ กัดของคันทอร์ ตัวอย่าง Richard Dedekind ( ค.ศ. 1831 – 1916 ) Arthur Cayley ( ค.ศ. 1821 – 1895 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 26
Georg Cantor ( ค.ศ. 1845 – 1918 ) Charles Lutwidge Dodgson ( ค.ศ. 1832 – 1898 ) ลูอิส แคร์รอล เป็นที่รู้จักกันดีในนามปากกาของเขา Lewis Carroll ในฐานะผู้แต่ง Alice’s Adventures in Wonderland และภาคต่อเรื่อง Through the Look-Glass อย่างไรก็ตาม แครอลยังเป็นนักคณิตศาสตร์ที่เก่งกาจอีกด้วย เขาพยายามรวมปริศนา และตรรกะเข้ากับเรื่องราวของลูก ๆ เสมอ ทำ ให้พวกเขาสนุกและน่าจดจำ มากขึ้นภายในสาขา วิชาคณิตศาสตร์ Dodgson ทำ งานเป็นหลักในสาขาเรขาคณิต พีชคณิต เชิงเส้นและเมทริกซ์ ตรรกศาสตร์แร์ละคณิตศาสตร์นันทนาการผลิตหนังสือเกือบโหลภายใต้ชื่อจริงของเขา ดอดจ์สัน ยังได้พัฒนาแนวคิดใหม่ในพีชคณิตเชิงเส้น (เช่น หลักฐานการพิมพ์ครั้งแรกของทฤษฎีบท โครเนกเกอร์-คาเปล ลี) ความน่าจะเป็นและการศึกษาการเลือกตั้ง (เช่นวิธีการของดอดจ์สัน ) และคณะกรรมการ ; งานนี้บางส่วนไม่ได้รับการเผยแพร่จนกระทั่งหลังจากที่เขาเสียชีวิต อาชีพของเขาในฐานะอาจารย์สอนคณิตศาสตร์ที่ไครสต์เชิร์ชทำ ให้เขามีความมั่นคงทางการเงิน เกออร์ค คันทอร์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเป็นผู้ประดิษฐ์ทฤษฎีเซตและเป็นผู้ บุกเบิกความเข้าใจของเราเกี่ยวกับอนันต์ ตลอดชีวิตของเขา การค้นพบของ คันทอร์ถูกเพื่อนร่วมงานต่อต้านอย่างรุนแรง สิ่งนี้อาจส่งผลต่อภาวะซึมเศร้า และอาการทางประสาทของเขา และเขาใช้เวลาหลายสิบปีในสถาบันจิตเวช เขาพิสูจน์แล้วว่ามีอนันต์หลายขนาด ตัวอย่างเช่น เซตของจํานวนจริงนั้นนับไม่ ได้ ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถจับคู่กับเซตของจํานวนธรรมชาติได้ ในบั้นปลายชีวิตของเขาเท่านั้น แผนภาพเวนน์แสดงอินเตอร์เซกชันระหว่างเซตสองเซต ทฤษฎีเซตอาจถือได้ว่ามีจุดเริ่มต้นจากเกออร์ค คันทอร์ ในขณะที่บุคคลที่มีอิทธิพลต่อคันทอร์คือ ริชาร์ด เดเดคินด์ บทความ แรกของคันทอร์ที่เกี่ยวข้องกับเซตชื่อว่า สมบัติข้อหนึ่งของกลุ่มรวมจำ นวนพีชคณิตทั้งหมด ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1874 ในบทความ นี้คันทอร์พิสูจน์ว่า เซตของจำ นวนพีชคณิตสามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งได้กับเซตของจำ นวนเต็มบวก คันทอร์เริ่มได้รับการยอมรับที่เขาสมควรได้รับ David Hilbert ประกาศอย่างมีชื่อเสียงว่า “จะไม่มีใครขับไล่เราออกจาก สวรรค์ที่เขาสร้างขึ้น” ทฤษฎีเซต เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรื่องเซต แนวคิดพื้นฐานของเซตคือการ รวบรวมวัตถุไว้ด้วยกัน ซึ่งได้พัฒนาเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แทบทุกอย่างในคณิตศาสตร์สามารถนิยามได้ โดยใช้เซต พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 27
จูเซปเป เปอาโน นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีได้ตีพิมพ์หนังสือและเอกสาร เกี่ยวกับตรรกศาสตร์และคณิตศาสตร์กว่า 200 เล่ม เขากำ หนดสัจพจน์ พีอาโนซึ่งกลายเป็นพื้นฐานสำ หรับพีชคณิตและการวิเคราะห์ที่เข้มงวด พัฒนาสัญกรณ์สำ หรับลอจิกและทฤษฎีเซต สร้างเส้นโค้งต่อเนื่อง เติมช่องว่าง (เส้นโค้งพีอาโน) และทำ งานเกี่ยวกับวิธีการพิสูจน์โดยการ อุปนัย Peano ยังได้พัฒนาภาษาสากลใหม่คือ Latino sine flexione ซึ่งเป็นภาษาละตินแบบง่าย เมื่อ Peano กำ หนดสัจพจน์ของเขา ภาษาของตรรกะทางคณิตศาสตร์ยังอยู่ในช่วงเริ่มต้น ระบบของสัญกรณ์เชิงตรรกะ ที่เขาสร้างขึ้นเพื่อนำ เสนอสัจพจน์ไม่ได้พิสูจน์ว่าเป็นที่นิยม แม้ว่าจะเป็นการกำ เนิดของสัญกรณ์สมัยใหม่สำ หรับสมาชิก ชุด (∈ ซึ่งมาจาก ε ของ Peano) และความหมาย (⊃ ซึ่งมาจากการกลับกันของ Peano ' C'.) Peano รักษาความ แตกต่างที่ชัดเจนระหว่างสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และตรรกะ ซึ่งยังไม่พบเห็นได้ทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์ แยกดังกล่าว ได้รับการเปิดตัวครั้งแรกใน Begriffsschrift โดย Gottlob Frege ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1879 อาโน่ไม่รู้ของการทำ งานของ Frege และสร้างอิสระอุปกรณ์ตรรกะของเขาขึ้นอยู่กับการทำ งานของ Boole และ Schröder สัจพจน์ Peano กำ หนดคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของจำ นวนธรรมชาติมักจะแสดงเป็นเซต N หรือ \mathbb {N} สัญลักษณ์ที่ไม่ใช่ตรรกะสำ หรับหลักการประกอบด้วยสัญลักษณ์คงที่ 0 และฟังก์ชั่นเอกสัญลักษณ์S สัจพจน์แรกระบุว่าค่าคงที่ 0 เป็นจำ นวนธรรมชาติ : 0 เป็นจำ นวนธรรมชาติ สี่หลักการต่อไปอธิบายความเท่าเทียมกันของ ความสัมพันธ์ เนื่องจากมีความสมเหตุสมผลในตรรกะอันดับหนึ่ง ด้วยความเท่าเทียมกัน 1 สำ หรับทุกจำ นวนธรรมชาติ x , x = x . นั่นคือความเท่าเทียมกันคือสะท้อน 2 สำ หรับตัวเลขจากธรรมชาติทั้งหมด x และ y ที่ถ้า x = y แล้ว Y = x นั่นคือ ความเท่าเทียมกันสมมาตร . 3 สำ หรับตัวเลขจากธรรมชาติทั้งหมด x , Y และ Z ถ้า x = Y และ Y = Z แล้ว x = Z นั่นคือความเท่าเทียมกัน เป็นสกรรมกริยา 4 สำ หรับ a และ b ทั้งหมด ถ้า b เป็นจำ นวนธรรมชาติและ a = b แล้ว a ก็เป็นจำ นวนธรรมชาติเช่นกัน นั่นคือจำ นวนธรรมชาติถูกปิดภายใต้ความเท่าเทียมกัน สัจพจน์ที่เหลือกำ หนดคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของจำ นวนธรรมชาติ ที่ดูจะถือว่าถูกปิดภายใต้ valued เดียว " ทายาท " ฟังก์ชั่น S 1 สำ หรับทุกจำ นวนธรรมชาติn , S ( n ) เป็นจำ นวนธรรมชาติ นั่นคือหมายเลขธรรมชาติจะปิดภายใต้S 2 สำ หรับจำ นวนธรรมชาติmและn , M = nถ้าหากว่าS ( เมตร ) = S ( n ) นั่นคือSเป็นฉีด 3 สำ หรับทุกจำ นวนธรรมชาติn , S ( n ) = 0เป็นเท็จ นั่นคือไม่มีจำ นวนธรรมชาติที่มีผู้สืบทอดเป็น 0 สูตรดั้งเดิมของ Peano เกี่ยวกับสัจพจน์ใช้ 1 แทนที่จะเป็น 0 เป็นจำ นวนธรรมชาติ "แรก" ตัวเลือกนี้เป็นสิ่งที่ไม่แน่นอน เนื่องจากสัจพจน์เหล่านี้ไม่ได้ทำ ให้ค่าคงที่ 0 มีคุณสมบัติเพิ่มเติมใดๆ อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก 0 เป็นอัตลักษณ์การบวก ในเลขคณิต สูตรที่ทันสมัยที่สุดของสัจพจน์ Peano จึงเริ่มจาก 0 Giuseppe Peano ( ค.ศ. 1858 – 1932 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 28
G.H. Hardy ( ค.ศ. 1877 – 1947 ) จี. เอช. ฮาร์ดี้ เป็นนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ชาวอังกฤษชั้นนําร่วมกับจอห์น ลิตเติ้ลวูด เขาได้ ค้นพบครั้งสําคัญในการวิเคราะห์และทฤษฎีจํานวน รวมถึงการกระจายตัวของจํานวนเฉพาะ ในปี 1913 ฮาร์ดี้ ได้รับจดหมายจาก Srinivasa Ramanujan เสมียนที่เรียนรู้ด้วยตนเองจาก อินเดียด้วยความอัจฉริยะของเขาฮาร์ดี้จำ เขาได้ทันที และจัดให้ Ramanujan เดินทางไป Cambridge ที่เขาทํางานอยู่ พวกเขาร่วมกันค้นพบสิ่งที่สําคัญและเขียนบทความมากมาย ฮาร์ดี้ไม่ชอบคณิตศาสตร์ประยุกต์เสมอมาและแสดงสิ่งนี้ในบัญชีส่วนตัวของเขาเกี่ยวกับการคิด ทางคณิตศาสตร์ หนังสือ A Mathematician's Apology ในปี 1940 ซึ่งได้รับยกย่องเป็นหนึ่ง ในงานเขียนที่แสดงถึงความนึกคิดของนักคณิตศาสตร์ได้ดีที่สุดสำ หรับผู้อ่านที่อยู่นอกวงการ หนังสือ A Mathematician's Apology ประเด็นหลักของหนังสือเล่มนี้คือความงามของคณิตศาสตร์ ซึ่งฮาร์ดี้เปรียบได้กับภาพวาดและบทกวีช สำ หรับฮาร์ดีคณิตศาสตร์ ที่สวยงามที่สุดคือคณิตศาสตร์ที่ไม่มีการใช้งานจริงในโลกภายนอก ( คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ) และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีจำ นวน สาขาพิเศษของเขาเอง ฮาร์ดีเชื่อว่าหากความรู้ที่เป็นประโยชน์ถูกกำ หนดให้เป็นความรู้ที่น่าจะนำ ไปสู่ความสะดวกสบายทางวัตถุของ มนุษยชาติในอนาคตอันใกล้ (หากไม่ใช่ตอนนี้) ดังนั้นความพึงพอใจทางปัญญาเพียงอย่างเดียวจึงไม่เกี่ยวข้อง ดังนั้นคณิตศาสตร์ ระดับสูงจำ นวนมากจึงไม่มีประโยชน์ เขาให้เหตุผลในการแสวงหาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ด้วยการโต้แย้งว่า "ไร้ประโยชน์" ในภาพรวม หมายความว่าไม่สามารถใช้ในทางที่ผิดเพื่อก่อให้เกิดอันตรายได้ ในทางกลับกัน ฮาร์ดี้ดูถูกคณิตศาสตร์ประยุกต์ส่วนใหญ่ว่า "ไม่ สำ คัญ" "น่าเกลียด" หรือ "น่าเบื่อ" และเปรียบเทียบมันกับ "คณิตศาสตร์จริง" ซึ่งเป็นวิธีที่เขาจัดอันดับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่สูงกว่า เบอร์ทรานด์ รัสเซลล์ เป็นนักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ และนักเขียนชาวอังกฤษ เขาได้รับการ พิจารณาอย่างกว้างขวางว่าเป็นหนึ่งในนักตรรกวิทยาที่สําคัญที่สุดของศตวรรษที่ 20 รัสเซลร่วมเขียน "Principia Mathematica" ซึ่งเขาพยายามสร้างรากฐานอย่างเป็นทางการสําหรับ คณิตศาสตร์โดยใช้ตรรกะ งานของเขามีผลกระทบอย่างมีนัยสําคัญไม่เพียงแต่ต่อคณิตศาสตร์ และปรัชญาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงภาษาศาสตร์ ปัญญาประดิษฐ์ และอภิปรัชญาด้วยรัสเซลเป็นผู้รัก ความสงบและนักเคลื่อนไหวต่อต้านสงครามที่กระตือรือร้น ในปี 1950 เขาได้รับรางวัลโนเบล สาขาวรรณกรรมจากผลงานของเขา "ซึ่งเขาสนับสนุนอุดมคติด้านมนุษยธรรมและเสรีภาพในการคิด" รัสเซลมีความคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นวิชาสืบเนื่องจากตรรกวิทยา เพราะฉะนั้น ต้องอาศัยความรู้เบื้อง ต้นของตรรกวิทยาเอาไปคิดต่อเป็นจำ นวนเลข Bertrand Russell ( ค.ศ. 1872 – 1970 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 29
เอ็มมี เนอเทอร์ เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้ค้นพบสิ่งสำ คัญ ในพีชคณิตนามธรรมและฟิสิกส์เชิงทฤษฎี รวมถึงความเชื่อมโยง ระหว่างกฎสมมาตรและกฎการอนุรักษ์ เธอมักถูกอธิบายว่าเป็นนัก คณิตศาสตร์หญิงที่มีอิทธิพลมากที่สุด ทฤษฎีบทของเนอเทอร์จะมี ผลกระทบอย่างมีนัยสำ คัญต่อกลศาสตร์คลาสสิกและกลศาสตร์ควอนตัม แต่ในหมู่นักคณิตศาสตร์ เธอจำ ได้ดีที่สุดจากการมีส่วนร่วมของเธอใน พีชคณิตนามธรรมงานคณิตศาสตร์ของเนอเทอร์สามารถ แบ่งออกเป็นสามช่วง Amalie Emmy Noether ( ค.ศ. 1882 – 1935 ) Axiom of infinity เปอาโน ถือว่าถ้าในจักรวาลมีวัตถุอยู่ n หน่วย จำ นวนเลขที่มากกว่า n ย่อมเป็นไปไม่ได้นั่นคือ จำ นวนเลขไม่รู้จบป็นไปไม่ได้ เพราะอาจจะมีเลขจำ นวนสูงสุดซึ่งไม่มี successor ต่อไป รัสเซลล์แก้ว่า axiom of infinity อาจจะชี้แจงได้ดังนี้ เนื่องจากเราถือว่าคุณลักษณะหนึ่งก็จัดเป็นชั้นหนึ่งเพราะฉะนั้นจำ เป็นจะต้องมีชั้นหนึ่ง ซึ่งไม่มีคุณลักษณะใดเลย เพราะฉะนั้น ไม่มีสมาชิกเลย เลขศูนย์จึงนับเป็นชั้นที่ไม่มีสมาชิก (class with on members) เพราะฉะนั้นแม้ทั้งจักรวาลจะไม่มีอะไรเลย ก็จะต้องมีเลขอย่างน้อยหนึ่งเลข คือ เลขศูนย์ เป็นอันว่าเราได้เลขศูนย์ไม่มีอะไรเลย และได้ชั้นของความว่างเปล่า (empty class) ทั้งสองรวมกันเป็นสมาชิกของชั้นรวมซึ่งนับได้เป็นอีกชั้นหนึ่ง ทำ ให้มีสมาชิกเป็น 3 สมมติเป็น A (เลขศูนย์) B (ชั้นของเลขศูนย์) และ C (ชั้นของ A และ B รวมกัน) ต่อไปก็จะมีชั้น D ซึ่งเป็นชั้นรวมของ A + B + C เข้าด้วยกัน และ E ซึ่งเป็นชั้นรวมของ A + B + C + D เข้าด้วยกัน และเป็นเช่นนี้ไปอย่างไม่รู้จบ ในช่วงแรก ( ค.ศ. 1908–1919 ) เธอได้มีส่วนร่วมในทฤษฎีของตัวยืนยงเชิงพีชคณิตและฟีลด์จำ นวนนอกจากนี้แล้ว งานของเธอเกี่ยวกับตัวยืนยงเชิงอนุพันธ์ในสาขาแคลคูลัสของการแปรผันหรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของเนอเทอร์ ได้รับการขนานนามว่าเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่สำ คัญที่สุดที่นำ ไปสู่การพัฒนาฟิสิกส์สมัยใหม่ ในช่วงที่สอง ( ค.ศ. 1920-1926 ) เธอเริ่มทำ งานที่ "เปลี่ยนโฉมหน้าพีชคณิต [นามธรรม]" ในบทความวิจัยชิ้นสำ คัญ ปี 1921 ชื่อ Idealtheorie in Ringbereichen ("ทฤษฎีของไอดีลในโดเมนริง") เนอเทอร์ได้พัฒนาทฤษฎีของไอดีลในริง สลับที่จนกลายเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่มีบทประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวาง เธอใช้สมบัติของริงที่สอดคล้องเงื่อนไข ascending chain condition ในงานดังกล่าว จนสมบัติของริงดังกล่าวได้รับการตั้งชื่อว่า Noetherian เพื่อเป็นเกียรติแก่ เธอ ในช่วงที่สาม ( ค.ศ. 1927–1935 ) เธอได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับพีชคณิตแบบไม่สลับที่และจำ นวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ ตลอดจนรวมสาขาทฤษฎีตัวแทนของกรุปเข้ากับทฤษฎีของโมดูลและไอดีล นอกจากนี้แล้วเนอเทอร์ยังมีผลงานในสาขาอื่น ๆ ที่ไม่ใช้ด้านพีชคณิตนามธรรมโดยตรง เช่น ในด้านทอพอโลยีเชิงพีชคณิต พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 30
งานของเขาสร้างสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมด และสมุดบันทึกของเขาได้รับการศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ คนอื่นๆ เป็นเวลาหลายทศวรรษหลังจากที่เขาเสียชีวิต ตลอดช่วงชีวิตอันแสนสั้น รามานุจันสร้างผลงาน ของตนเองทั้งสิ้นเกือบ 4,000 รายการ (ส่วนมากเป็นเอกลักษณ์หรือสมการ) บางส่วนในจำ นวนนี้ซึ่งเป็น จำ นวนน้อยมาก มีบางส่วนที่ผิด และบางส่วนก็มีผู้ค้นพบไปแล้ว แต่งานส่วนใหญ่ได้รับการพิสูจน์ว่าถูก ต้อง ผลงานเหล่านั้นเป็นงานที่สร้างขึ้นใหม่ มีความแปลกประหลาดอย่างยิ่ง เช่น จำ นวนเฉพาะ รามานุจันและฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน งานเหล่านี้สร้างแรงบันดาลใจให้เกิดการวิจัยต่อยอดขึ้นไปอีก เป็นจำ นวนมหาศาลอย่างไรก็ดี การค้นพบชิ้นสำ คัญของเขาบางส่วนก็เข้าสู่คณิตศาสตร์กระแสหลักค่อน ข้างช้า เช่นเมื่อไม่นานมานี้ เพิ่งมีการค้นพบว่าสามารถนำ สมการของรามานุจันไปประยุกต์ใช้กับ crystallography และ ทฤษฎีสตริงได้ Srinivasa Ramanujan ( ค.ศ. 1887 – 1920 ) ศรีนิวาสะ รามานุชัน เติบโตขึ้นมาในอินเดีย ซึ่งเขาได้รับการ ศึกษาอย่างเป็นทางการในวิชาคณิตศาสตร์น้อยมาก กระนั้นเขาก็ได้พัฒนาแนวคิดใหม่ ๆ อย่างโดดเดี่ยวในขณะที่ ทํางานเป็นเสมียนในร้านเล็กๆ หลังจากพยายามติดต่อ นักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ล้มเหลวไปสองสามครั้ง เขาก็เขียน จดหมายถึง G.H. ฮาร์ด่ี้ที่มีชื่อเสียง ฮาร์ดี้จําอัจฉริยะอย่าง รามานุชันได้ทันที และจัดให้เขาเดินทางไปเคมบริดจ์ ในอังกฤษ พวกเขาร่วมกันค้นพบมากมายในทฤษฎีจํานวน การวิเคราะห์ และอนุกรมอนันต์น่าเสียดายที่ในไม่ช้า Ramanujan ก็ล้มป่วยและถูกบังคับให้กลับไปอินเดีย ซึ่งเขาเสียชีวิตเมื่ออายุ 32 ปี ตัวอย่างสูตรคณิตศาสตร์ของ รามานุชัน พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 31
André Weil ( ค.ศ.1906 – 1998 ) อังเดร ไวล์เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่ทรงอิทธิพลที่สุดในศตวรรษที่ 20 เขาเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งกลุ่ม Bourbaki ซึ่งเป็นกลุ่มนักคณิตศาสตร์ที่ทํางานภาย ใต้นามแฝงกลุ่มNicolas Bourbaki เป้าหมายของกลุ่ม Bourbaki คือการรวม คณิตศาสตร์ทั้งหมดเข้าด้วยกันด้วยรากฐานที่เป็นทางการและเป็นสัจพจน์ เขาเชื่อว่าปัญหามากมายในทฤษฎีพีชคณิตและตัวเลขมีเวอร์ชันที่คล้ายคลึงกันใน เรขาคณิตพีชคณิตและโทโพโลยี สิ่งเหล่านี้เรียกว่าการคาดเดาของ Weil และกลาย เป็นพื้นฐานสําหรับทั้งสองสาขาวิชา พวกเขายังมีแอปพลิเคชันในสาขาต่างๆ เช่น การเข้ารหัสและวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง เขาหนีไปสหรัฐอเมริกาและต่อมาได้เข้าร่วม Institute for Advanced Study ที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน Elbert Cox ( ค.ศ.1895 – 1969 ) เอลเบิร์ต ค็อกซ์เป็นนักคณิตศาสตร์แอฟริกัน-อเมริกันคนแรกที่ได้รับปริญญาเอก มหาวิทยาลัยในอังกฤษและเยอรมนีปฏิเสธที่จะยอมรับวิทยานิพนธ์ของเขาใน ขณะนั้น แต่มหาวิทยาลัย Tohoku Imperial ของญี่ปุ่นยอมรับ เขาสอนที่มหาวิทยาลัย Howard ในสหรัฐอเมริกา เขาศึกษาคําตอบพหุนามสําหรับ สมการเชิงอนุพันธ์ สรุปสูตรการสรุป Boole และเปรียบเทียบระบบการให้คะแนน ต่างๆ เขาย้ายกลับไปที่คอร์เนลในภาคการศึกษาฤดูใบไม้ผลิในปี ค.ศ.1925 และทำ วิทยานิพนธ์ของเขาเสร็จ คำ ตอบพหุนามของสมการผลต่างของ (x+1) + bf(x) = φ(x) ในฤดูร้อนในปีเดียวกัน เมื่อวันที่ 26 กันยายน ค.ศ. 1925 ได้รับปริญญาดุษฎีบัณฑิต เขาเป็นคนอเมริกันเชื้อสายแอฟริกันคนแรกที่ได้รับปริญญา เอกอย่างแน่นอน ในวิชาคณิตศาสตร์และน่าจะเป็นชายผิวสีคนแรกของโลกที่ทำ ได้ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 32
Jean-Pierre Serre ( เกิดปี ค.ศ. 1926 ) ฌอง-ปิแอร์ แซร์เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่ช่วยกําหนดสาขาโทโพโลยี ทฤษฎีจํานวน และเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เขาเป็นคนแรกที่ได้รับเหรียญรางวัล Fields, Abel Prize และ Wolf Prize ซึ่งเป็นรางวัลสูงสุดสามรางวัล ในวิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่อายุยังน้อย เขาเป็นบุคคลที่โดดเด่นในโรงเรียน ของอองรีกรีาร์ตันทำ งานเกี่ยวกับโทโพโลยีเชิงพีชคณิตตัวแปรที่ซับซ้อน หลายตัวแปรจากนั้นเป็นพีชคณิตสลับขั้วและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ซึ่งเขาได้แนะนำ ทฤษฎีมัฎีมัด และเทคนิคพีชคณิตแบบโฮโมโลยี วิทยานิพนธ์ ของ Serre เกี่ยวข้องกับลำ ดับสเปกตรัม Leray–Serre ที่เกี่ยวข้องกับการสั่น ร่วมกับ Cartan Serre ได้สร้างเทคนิคการใช้ช่ช้ ช่องว่าง Eilenberg-MacLane สำ หรับการคำ นวณกลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลมซึ่งในขณะนั้นเป็นปัญหาสำ คัญ อย่างหนึ่งในโทโพโลยี Paul Erdős ( ค.ศ.1913 – 1996 ) เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มี ประสิทธิผลมากที่สุดในประวัติศาสตร์ เกิดในฮังการีเขาแก้ปัญหานับไม่ ถ้วนในทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจำ นวน คอมบิเนเตอร์ก การวิเคราะห์ ความน่าจะเป็น และส่วนอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 33
Alexander Grothendieck ( ค.ศ. 1928 – 2014 ) นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเป็นหนึ่งในบุคคลส้าคัญในการพัฒนาเรขาคณิตเชิง พีชคณิต เขาขยายขอบเขตของสาขาเพื่อน้าไปใช้กับปัญหาใหม่มากมายใน วิชาคณิตศาสตร์ รวมถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในที่สุด ในปี พ.ศ. 2509 เขาได้รับรางวัลเหรียญรางวัล Fields Paul Joseph Cohen ( ค.ศ.1934 – 2007 ) พอล โจเซฟ โคเฮนเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันที่พิสูจน์สมมติฐานต่อเนื่อง และสัจพจน์ที่เลือกนั้นเป็นอิสระจากสัจพจน์ Zermelo–Fraenkel อื่น ๆ ของทฤษฎีเซตเขาได้รับเหรียญ Fieldsสําหรับผลงานของเขาโคเฮนมีชื่อเสียง ในด้านการพัฒนาเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า การบังคับซึ่งเขาใช้เพื่อพิสูจน์ ว่าทั้งสมมติฐานต่อเนื่อง (CH) และสัจพจน์ของทางเลือกไม่สามารถพิสูจน์ ได้จากสัจพจน์ Zermelo–Fraenkel มาตรฐาน (ZF) ของทฤษฎีเฎีซต เมื่อรวมกับผลงานก่อนหน้านี้ของ Gödel สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าข้อความทั้งสองนี้ ไม่ขึ้ม่ ขึ้ นกับสัจพจน์ของ ZF ทางตรรกะ : ข้อความเหล่านี้ไม่สามารถพิสูจน์ หรือหักล้างจากสัจพจน์เหล่านี้ได้ ในแง่นี้ สมมติฐานความต่อเนื่องเป็นสิ่งที่ ไม่สามารถตัดสินใจได้ และเป็นตัวอย่างที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางที่สุดของ ข้อความธรรมชาติที่เป็นอิสระจากสัจพจน์ ZF มาตรฐานของทฤษฎีเซต พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 34
Robert Langlands ( เกิดปี ค.ศ. 1936 ) โรเบิร์ต แลงแลนด์สเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน-แคนาดา เขาเรียนที่มหาวิทยาลัย เยลและต่อมากลับมาที่นั่นในฐานะศาสตราจารย์ ตอนนี้เขาดํารงตําแหน่งเก่าของ Albert Einstein ในฐานะศาสตราจารย์กิตติคุณที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ในปีค.ศ.2018 เขาได้รับรางวัล Abel Prize ซึ่งเป็นหนึ่งในรางวัลสูงสุดในวิชา คณิตศาสตร์ ได้รับรางวัล Wolf Prize ในปี 1996 (ซึ่งเขาได้ร่วมกับAndrew Wiles), รางวัล AMS Steele Prize ประจำ ปี 2005 , รางวัล Jeffery–Williams Prize ปี 1980 , รางวัล NAS ปี 1988 ในสาขาคณิตศาสตร์จร์ากNational Academy of Sciences , ปี 2006 Nemmers Prize in Mathematics , 2007 Shaw Prize in Mathematical Sciences (ร่วมกับRichard Taylor ) สำ หรับผลงานของเขาในรูป แบบออโตมอร์ฟิค ในปี 2018 Langlands ได้รับรางวัลAbel Prizeสำ หรับ "โครงการ ที่มีวิสัยทัศน์ของเขาที่เชื่อมโยงทฤษฎีการเป็นตัวแทนกับทฤษฎีจำ นวน" สําหรับ "โปรแกรมที่มีวิสัยทัศน์ของเขาที่เชื่อมโยงทฤษฎีการเป็นตัวแทนกับทฤษฎีจํานวน" ซึ่งเขาเสนอครั้งแรกในปีค.ศ.1967 ประกอบด้วยเว็บการคาดเดาและทฤษฎีบท มากมายที่เชื่อมโยงสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ John Horton Conway ( ค.ศ. 1937 – 2020 ) จอห์น ฮอร์ตัน คอนเวย์เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษที่ทํางานที่มหาวิทยาลัย เคมบริดจ์และพรินซ์ตัน เขาเป็นเพื่อนของ Royal Society และเป็นผู้รับรางวัล Pólya Prize คนแรก เขาเริ่มสนใจคณิตศาสตร์ตั้งแต่อายุยังน้อย ตอนที่เขาอายุ 11 ขวบ ความใฝ่ฝันของเขาคือการเป็นนักคณิตศาสตร์ หลังจากออกจาก เกรดหกเขาเรียนคณิตศาสตร์ที่Gที่ onville and Caius College, Cambridge "เขาเป็นวัยรุ่นที่ชอบเก็บตัวอย่างมาก" ในโรงเรียนเขาเข้าเรียนที่เคมบริดจ์เพื่อเป็นโอกาส ในการเปลี่ยนตัวเองให้เป็นคนเปิดเผย การเปลี่ยนแปลงซึ่งต่อมาทำ ให้เขาได้รับฉายาว่า "นักคณิตศาสตร์ที่มีเสน่ห์ที่สุดในโลก" Conway ได้รับปริญญาตรี พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 35 ในปี 1959 และดูแลโดยHarold Davenportเริ่มดำ เนินการวิจัยเกี่ยวกับทฤษฎีจำ นวน หลังจากแก้ปัญหาแบบเปิดที่ดา เวนพอร์ตวางในการเขียนตัวเลขเป็นผลรวมของยกกำ ลังที่ 5 แล้ว คอนเวย์เริ่มสนใจในเลขลำ ดับไม่สิ้นสุด ดูเหมือนว่า ความสนใจในเกมของเขาเริ่มขึ้นในช่วงที่เขาเรียนCambridge Mathematical Tripos ซึ่งเขากลายเป็นนักเล่น แบ็คแกมมอนตัวยง ใช้เวลาหลายชั่วโมงเล่นเกมในห้องนั่งเล่น เขาสํารวจคณิตศาสตร์พื้นฐานของ วัตถุในชีวิตประจําวัน เช่น นอตและเกมและเขามีส่วนร่วมในทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีจํานวน และคณิตศาสตร์ด้านอื่นๆ อีก มากมาย Conway ขึ้นชื่อเรื่องการประดิษฐ์ "Conway's Game of Life" ซึ่งเป็นหุ่นยนต์เซลลูลาร์ที่มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ
Sir Andrew Wiles ( เกิดปี ค.ศ.1953 ) เซอร์แอนดรูว์ วิลส์เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เป็นที่รู้จักกันดีในการพิสูจน์ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งจนถึงตอนนั้นเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังไม่ได้รับการ แก้ไขที่มีชื่อเสียงที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ในปี ค.ศ. 1637 ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ เขียนไว้ในระยะขอบของหนังสือเรียนว่าเขามีข้อพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมว่าสมการ an+bn=cn ไม่มีคําตอบจํานวนเต็มสําหรับ n>2 น่าเสียดายที่ไม่มีใครสามารถ หาหลักฐานได้ จนกระทั่งประมาณ 400 ปีต่อมา Yuri Matiyasevich ( เกิดปี ค.ศ. 1947 ) ยูริ มาติยาเสวิชเป็นนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ชาวรัสเซีย ในปี 1970 เขาพิสูจน์ให้เห็นว่าปัญหาที่สิบของฮิลเบิร์ต ซึ่งเป็นหนึ่งในความท้าทายที่เกิดจากเดวิด ฮิลเบิร์ตในปี 1900 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ต่อยอดจากผลงานของมาร์ติน เดวิส ฮิลารี พัทนัม และจูเลีย โรบินสัน) ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของ Matiyasevich หรือทฤษฎีบท MRDP ปัญหาขอให้อัลกอริธึมตัดสินใจว่าสมการไดโอแฟนไทน์ที่กําหนด (สมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จํานวนเต็ม) มีคําตอบที่มีค่าเป็นจํานวนเต็มหรือไม่ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 36 เซอร์ แอนดรูว์ วิลส์พบทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ระหว่างทางกลับบ้านจากโรงเรียนเมื่อเขาอายุ 10 ขวบ เขาหยุดที่ห้องสมุดท้องถิ่นซึ่งเขาพบหนังสือThe Last Problemโดย Eric Temple Bell เกี่ยวกับทฤษฎีบท ทึ่งกับการมี อยู่ของทฤษฎีบทที่พูดง่ายจนเขาอายุ 10 ขวบสามารถเข้าใจได้ แต่ไม่มีใครพิสูจน์ได้ เขาตัดสินใจเป็นคนแรกที่พิสูจน์ เขาใช้เวลาเจ็ดปีในการทํางานอย่างสันโดษ เขาประกาศวิธีแก้ปัญหาของเขาในปี 1993 แม้ว่าช่องว่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ในการโต้แย้งของเขาจะใช้เวลาอีกสองปีอย่างไรก็ตาม ในไม่ช้าเขาก็ตระหนักว่าความรู้ของเขามีจำ กัดเกินไป ดังนั้นเขาจึง ละทิ้งความฝันในวัยเด็กของเขาในการแก้ไข เขาแก่เกินไปที่จะได้รับเหรียญ Fields ซึ่งเป็นรางวัลสูงสุดในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งจํากัดอายุไว้ที่ 40 ปี แต่เขาได้รับรางวัลโล่เงินพิเศษสําหรับผลงานของเขา
Yitang Zhang ( เกิดปี ค.ศ. 1955 ) อี้ถังจาง เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันเชื้อสายจีนที่ทำ งานเกี่ยวกับทฤษฎีจำ นวน เป็นหลักและเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่ม ที่ หาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ซานตาบาร์บาราตั้งแต่ปี 2015 ก่อนหน้านี้เคยทำ งานเป็นวิทยากรที่ม ที่ หาวิทยาลัย นิวแฮมป์เชียร์ เขาได้ส่งบทความไปยัง Annals of Mathematics ในปี 2013 ซึ่งสร้างขอบเขตจำ กัดแรกบนช่องว่างน้อยที่สุดระหว่างช่วงเวลาที่ต่อเนื่องกัน ซึ่งเกิดขึ้นบ่อยครั้งอย่างไม่รู้จบ งานนี้นำ ไปสู่การได้รัด้รับรางวัล Ostrowski Prize ประจำ ปี 2013 , Cole Prize ประจำ ปี 2014, รางวัล Rolf Schock Prize ประจำ ปี 2014 และรางวัล MacArthur Fellowship ประจำ ปี 2014 Zhang กลายเป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนียซานตาบาร์บา ราในฤดูใบไม้ร่วงปี 2015 เขาค้นพบว่ามีจํานวน k น้อยกว่า 70 ล้าน เพื่อให้มีจํานวนเฉพาะหลายคู่ที่ห่างกันเป็น k พอดี นี่เป็นการค้นพบที่ก้าวล้ำ ในทฤษฎีจํานวน ซึ่งเขาได้รับรางวัล MacArthur ในปี 2014 สิ่งนี้คล้ายกับการคาดเดาของ Twin Prime ซึ่งระบุว่ามีหลายคู่ที่ห่างกัน 2 คู่ (เช่น 11 และ 13) แต่ไม่มีใครรู้ว่านี่เป็นเรื่องจริงหรือไม่ Terence Tao ( เกิดเมื่อ 17 กรกฎาคม ) เทอเรนซ์ เต๋าเกิดที่แอดิเลด ประเทศออสเตรเลียบางครั้งเรียกว่า "โมสาร์ทแห่ง คณิตศาสตร์" เมื่อเขาอายุ 13 ปี เขากลายเป็นผู้ชนะการแข่งขันคณิตศาสตร์ โอลิมปิกระหว่างประเทศที่อายุน้อยที่สุด และเมื่ออายุ 24 ปี เขาก็กลายเป็น ศาสตราจารย์ที่อายุน้อยที่สุดที่มหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย ลอสแองเจลิส เต๋าได้ รับรางวัล MacArthur Fellowship ซึ่งเป็นรางวัล Breakthrough Prize in mathematics และ Fields Medal ซึ่งเป็นรางวัลสูงสุดด้านคณิตศาสตร์ สําหรับ "การมีส่วนร่วมของเขาในสมการอนุพันธ์บางส่วน combinatorics การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก และทฤษฎีจํานวนสารเติมแต่ง" ร่วมกับ Ben Green เต๋าได้พิสูจน์ทฤษฎีบท Green-Tao ซึ่งระบุว่ามีลําดับเลขคณิตยาวตาม อําเภอใจของจํานวนเฉพาะ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 37
สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณิต เรียนรู้เกี่ยวกับ ความยาว ระยะทาง น้ำ หนัก พื้นที่ ปริมาตรและความจุ เงินและเวลา หน่วยวัดระบบต่าง ๆ การคาดคะเนเกี่ยวกับการวัด อัตราส่วนตรีโกณมิติ รูปเรขาคณิต และสมบัติของรูปเรขาคณิต การนึกภาพ แบบจำ ลองทางเรขาคณิต ทฤษฎีบททางเรขาคณิต การแปลงทางเรขาคณิตในเรื่องการเลื่อนขนาน การสะท้อน การหมุน และการนำ ความรู้เกี่ยวกับการวัด และเรขาคณิตไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 38
เธลีสเป็นนักปรัชญาชาวกรีก เป็นนักวิทยาศาสตร์ และคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง เธลีสเป็นชาวเมืองมิเลทัส (Miletus) ซึ่งอยู่ทางตะวันตกเฉียงใต้ของตุรกีในปัจจุบัน เธลีสเป็นคนแรกที่คำ นวณหาความสูงของพีระมิดในอียิปต์โดยใช้เงา เขารู้จักพิสูจน์ ทฤษฎีบททางเรขาคณิต เช่น เส้นผ่านศูนย์กลางจะแบ่งครึ่งวงกลม มุมที่ฐานของรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน และมุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก เป็นต้น Thales of Miletus ( 624 – 546 ก่อนคริสต์ศักราช ) พีทาโกรัสเป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เขาเป็นที่รู้จักกันดีในฐานะของ นักคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นสูตรคูณหรือตารางปีทาโกเรียน (Pythagorean Table) และ ทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่ว่า "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำ ลังสองของความยาว ของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำ ลังสองของความยาวของด้านประกอบ มุมฉาก" ซึ่งทฤษฎีทั้งสองนี้เป็นที่ยอมรับ และใช้กันมาจนปัจจุบันนี้ ปีทาโกรัสเสียชีวิต เมื่อประมาณ 507 ก่อนคริสต์ศักราช ที่เมืองเมตาปอนตัม (Metapontum) Pythagoras of Samos ( 570 – 495 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ปริมาตรของกรวย (Volume of a cone) ก่อนหน้านี้เขาพบปริมาตรของกระบอกสูบโดยประมาณ โดยใช้ปริซึมในทํา นองเดียวกัน เราสามารถค้นหาปริมาตรของกรวยได้โดยประมาณโดยใช้พีระมิด และสามารถเห็นพีระมิดเมื่อจํานวนด้าน เพิ่มขึ้น พีระมิดก็เริ่มดูเหมือนกรวยมากขึ้นเรื่อย ๆ อันที่จริงสามารถคิดว่ากรวยเป็นพีระมิดที่มีหลายด้านไม่รู้จบ หมายความว่าสามารถใช้สมการสําหรับหาปริมาตร V = (1/3)(ฐาน)(ความสูง) Democritus ( 460 – 370 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) เดโมคริตัสเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เขาอาจเป็นคนแรกที่คาดเดาว่าสสาร ทั้งหมดประกอบด้วยอะตอมเล็กๆ และถือเป็น “บิดาแห่งวิทยาศาสตร์สมัยใหม่” เขายังค้นพบในเรื่องเรขาคณิตอีกมากมาย รวมถึงสูตรสําหรับปริมาตรของปริซึม และกรวย พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 39
เขานิยามรูปหลายเหลี่ยมปกติว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยม "สมมาตร" โดยที่ ทุกด้านและมุมเหมือนกัน สําหรับทรงหลายหน้า (polyhedral) ใบหน้า ทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติชนิดเดียวกัน และจํานวนใบหน้าเท่ากัน มาบรรจบกันในทุกจุดยอด Polyhedra ที่มีคุณสมบัติทั้งสองนี้เรียกว่า Platonic solids ซึ่งตั้งชื่อตามเพลโต เพลโตเป็นนักปรัชญาในสมัยกรีก เขาได้วางรากฐานของปรัชญาและ วิทยาศาสตร์ตะวันตก เพลโตก่อตั้ง Academy of Athens ซึ่งเป็นสถาบัน อุดมศึกษาแห่งแรกในโลกตะวันตก งานเขียนมากมายของเขาเกี่ยวกับปรัชญา และเทววิทยา วิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ การเมืองและความยุติธรรมทําให้ เขาเป็นหนึ่งในนักคิดที่ทรงอิทธิพลที่สุดตลอดกาลในตอนต้นของหลักสูตรนี้ Plato ( 425 – 347 ปีก่อนคริสต์กาล ) ปิงกาลา เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียโบราณ แต่ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับ ประวัติชีวิตของเขา ซึ่งเขาวิเคราะห์บทกวีภาษาสันสกฤตทางคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ยังศึกษาทฤษฎีสามเหลี่ยมปาสกาลที่เป็นที่นิยมและรู้จักกันอย่าง ทั่วหลายในปัจจุบัน Pingala ( 300 – 200 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ทฤษฎีสามเหลี่ยมปาสกาล พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 40
ยูคลิดแห่งอเล็กซานเดรียเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกและมักถูกเรียก ว่าบิดาแห่งเรขาคณิต หนังสือของเขา The Elements เปิดตัว เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นครั้งแรก โดยมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม คอร์ด เส้นสัมผัสวงกลมและการวัดมุมต่าง ๆ เป็นหนึ่งในหนังสือที่ ทรงอิทธิพลที่สุดเท่าที่เคยตีพิมพ์มา และถูกใช้เป็นหนังสือเรียนใน วิชาคณิตศาสตร์จนถึงศตวรรษที่ 19 ยูคลิดสอนคณิตศาสตร์ใน อเล็กซานเดรีย แต่ไม่ค่อยมีใครรู้เกี่ยวกับชีวิตของเขามากนัก Euclid of Alexandria ( 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) อาร์คิมิดีสเป็นนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรชาวกรีกโบราณ เขาเป็น หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล เขาค้นพบแนวคิด มากมายเกี่ยวการทํางานในเรขาคณิต ขณะอาบน้ำ อาร์คิมิดีสได้ค้น พบวิธีกําหนดปริมาตรของวัตถุ ว่าด้วยทรงกลมและทรงกระบอก (On the Sphere and the Cylinder) อาร์คิมิดีสเขียนถึงผลงาน ซึ่งเขาภาคภูมิใจมากที่สุด นั่นคือความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมกับ ทรงกระบอกที่มีความสูงและเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน ปริมาตรของทรงกลมคือ (4/3)(πr^3) ส่วนปริมาตรของทรง กระบอกเท่ากับ (2)(πr^3) พื้นที่ผิวของทรงกลมคือ (4)(πr^2) ส่วนพื้นที่ผิวของทรงกระบอกเท่ากับ (6)(πr^2) (รวมพื้นที่ฐานทั้ง สองด้าน) โดยที่ r คือรัศมีของทรงกลมและทรงกระบอกนั้น ทรงกลม จะมีปริมาณเป็น 2/3 เท่าของปริมาตรทรงกระบอก ในขณะเดียวกันก็ มีพื้นที่ผิวเป็น 2/3 เท่าของพื้นที่ผิวทรงกระบอกด้วย มีรูปปั้นทรงกลม และทรงกระบอกติดตั้งอยู่ในหลุมศพของอาร์คิมิดีสตามคำ ขอของเขา ก่อนที่จะเสียชีวิต Archimedes ( 287 – 212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 41
เอราทอสเทนีสเป็นนักคณิตศาสตร์ นักภูมิศาสตร์ นักดาราศาสตร์ นักประวัติศาสตร์ และกวีชาวกรีก เขาใช้ชีวิตส่วนใหญ่ในอียิปต์ในฐานะ หัวหน้าห้องสมุดของอเล็กซานเดรีย ท่ามกลางความสําเร็จอื่น ๆ อีก มากมายชื่อเสียงของเอราทอสเทนีสกระจายอย่างกว้างขวาง เนื่องจากการ ยอมรับว่าโลกกลม และเขาพยายามคำ นวณเส้นรอบโลก หรือ วงกลมใหญ่ และผลการคำ นวณใกล้เคียงความเป็นจริงมากที่สุด กล่าวคือ Eratosthenes of Cyrene ( 276 – 195 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) เขาคำ นวณได้ 25,000 ไมล์ คาดเคลื่อนไปเพียง 140 ไมล์เท่านั้น วิธีการคำ นวณนั้นเขาได้สังเกตตำ แหน่งของพระอาทิตย์ ณ บริเวณ 2 จุด คือ เมืองไซอีนี (อัสวานในปัจจุบัน) และอะเล็กซานเดรีย ในช่วงครีษมายัน ด้วยข้อมูลเหล่านี้ เอราทอส เทนีสใช้หลักการเรขาคณิตของเธลีสข้อที่สามเกี่ยวกับเส้นคู่ขนานและมุมตรงข้าม ด้วยการสร้างเส้นคู่ขนานสมมุติขึ้นจาก ทิศทางของแสงอาทิตย์ที่ตกกระทบพื้นโลกในวันนั้น ลำ แสงอาทิตย์ ณ เมืองไซอีนีจะตั้งตรง ซึ่งเขาโยงไปยังแกนกลางโลก (SC) ส่วนที่เมืองอะเล็กซานเดรีย ฐานของอนุสาวรีย์จะชี้ไปยัง (BOC) จะต้องมีค่าเท่ากับมุมตรงข้าม ณ ศูนย์กลางโลก (OCS) คำ ถามต่อไปคือมุม OCS มีค่าเป็นเท่าไรของวงกลม เอราทอสเทนีสวัดระยะทางนี้ได้ 1/50 ของวงกลม โดยระยะ ทางระหว่างไซอีนี และอะเล็กซานเดรีย ชาวอียิปต์วัดได้ 5,000 stades ดังนั้น เขาจึงวัดเส้นรอบโลกได้เท่ากับ 50×5,000 หรือ 250,000 stades โดย 10 stades เท่ากับ 1 ไมล์ ดังนั้นความยาวของเส้นรอบโลกของเขา จึงเท่ากับ 25,000 ไมล์ ซึ่งถือกันว่าใกล้กับความจริงมากที่สุดเท่าที่มีการวัดมาของปราชญ์กรีกโบราณ ทั้งนี้เพราะเส้นรอบโลกวัดจากขั้นโลก เท่ากับ 24,860 ไมล์ อย่างไรก็ดีระยะทางระหว่างเมืองไซอีนี กับอะเล็กซานเดรียที่แท้จริงเท่ากับ 453 ไมล์ อพอลโลเนียสแห่งเปอร์กาเป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวกรีกที่รู้จัก กันเป็นอย่างดีจากผลงานของเขาในเรื่องภาคตัดกรวย มีการประดิษฐ์ Apollonius of Perga ( 200 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) ของเรขาคณิตวิเคราะห์ คำ จำ กัดความของคำ ว่าวงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา ภาคตัดกรวยหรือตัวเลขสองมิติที่เกิดขึ้นจาก จุดตัดของเครื่องบินที่มีกรวยในมุมที่แตกต่าง กัน ทฤษฎีของตัวเลขเหล่านี้ได้รับการพัฒนาอย่างกว้างขวางโดยนักคณิตศาสตร์ชาว กรีกโบราณ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในผลงานเช่น Apollonius of Perga ส่วนรูปกรวย แผ่ซ่านไปทั่วคณิตศาสตร์สมัยใหม่ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 42
อเล็กซานเดรีย เขาเป็นนักคณิตศาสตร์และวิศวกร เขาได้ค้นพบสูตรเฮร่อน ใน เรขาคณิต ซึ่งเป็นวิธีคำ นวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ความยาวของด้านเท่านั้น ในเรขาคณิต สูตรของเฮรอน ( หรือสูตรของฮีโร่ ) ให้พื้ห้ พื้ นที่ Aของสามเหลี่ยมในแง่ ของความยาวด้านทั้งสามa , b , c ถ้า คือครึ่งปริมณฑลของ สามเหลี่ยม พื้นที่คือ ฮิปปาร์คอส เป็นนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก และเป็นหนึ่งในนักดาราศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสมัย โบราณ เขาได้สังเกตรายละเอียดของท้องฟ้ายามค่ำ คืนและสร้างแคตตาล็อกดาวที่ครอบคลุมฉบับแรกในโลกตะวันตก เขาถือเป็น "บิดาแห่งตรีโกณมิติ" เขาสร้างตารางตรีโกณมิติและใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อทํานายสุริยุปราคาได้อย่างน่าเชื่อถือ เขายังคิดค้น Astrolabe และแก้ไขปัญหาต่าง ๆ ในตรีโกณมิติทรงกลม จนถึงตอนนี้ เราได้เห็นความสัมพันธ์ระหว่าง มุมของสามเหลี่ยม (เช่น พวกมันรวมกันได้ 180° เสมอ) และความสัมพันธ์ระหว่างด้านของสามเหลี่ยม ( เช่น พีทาโกรัส ) แต่ไม่มีสิ่งใดที่เชื่อมโยงขนาดของมุมและด้าน ตัวอย่างเช่น ถ้าฉันรู้ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม ฉันจะหา ขนาดของมุมได้อย่างไร โดยไม่ต้องวาดสามเหลี่ยมแล้ววัดมุมโดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ นี่คือที่มาของตรีโกณมิติ Hipparchus of Nicaea ( 190 – 120 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) Heron of Alexandria ( ค.ศ. 10 – 70 ) จากสามเหลี่ยมที่มีด้าน a,b, c พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 43
ไดโอแฟนทัส เขาได้พัฒนาจาก Pierre de Fermat เพื่อค้นหาค่าสูงสุดสำ หรับ ฟังก์ชันและเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งนำ มาใช้ในสมการเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ เป็นการประยุกต์เทคนิคคร่าว ๆ จากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตไปจนถึงปัญหาใน ทฤษฎีจำ นวน เรขาคณิตเลขคณิตมีศูนย์กลางอยู่ที่เรขาคณิตไดโอแฟนไทน์ซึ่ง เป็นการศึกษาจุดตรรกยะของพีชคณิตแบบต่างๆในแง่ที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เรขาคณิตเลขคณิตสามารถกำ หนดได้ว่าเป็นการศึกษาโครงร่างประเภทจำ กัดเหนือ สเปกตรัมของวงแหวนของจำ นวนเต็ม คลอดิอุส ปโตเลมี นักคณิตศาสตร์ชาวโรมันนักดาราศาสตร์ นักโหราศาสตร์นัก ภูมิศาสตร์และนักทฤษฎีดนตรี เขาได้สร้างผลงานทางด้านคณิตศาสตร์คือทฤษฎี บทปโตเลมี (Ptolemy’s Theorem) ซึ่งอธิบายรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่าที่บรรจุอยู่ ในวงกลมนอกจากนี้ปโตเลมียังได้พิสูจน์ค่า Sin (A+B) Cos (A+B) ซึ่งถือได้ว่า เป็นจุดเริ่มต้นของตรีโกณมิติ (Trigonometry) เขาพัฒนาตารางตรีโกณมิติพร้อม การใช้งานจริงมากมาย ซึ่งยังคงแม่นยําที่สุดมานานหลายศตวรรษ เขายังสร้าง แผนที่โดยละเอียดของโลก และเขียนเกี่ยวกับทฤษฎีดนตรีและทัศนศาสตร์ Claudius Ptolemy ( ค.ศ. 100 – 170 ) Diophantus( ค.ศ. 200-284 ) เช่นเส้นโค้งไฮเปอร์ รีลิปติก ที่กำ หนดโดยมี จุดมีเหตุผล จำ นวนจำ กัดเท่านั้น(เช่น จุด (-2,0) และ (-1,0) โดยทฤษฎี บทของฟอลติงส์ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 44
หลิว ฮุย เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวจีนผลงานที่สำ คัญของเขาตามที่บันทึกไว้ในคำ อธิบายของเขาเกี่ยวกับJiu Zhang Suan Shut เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ของจีน หนังสือเล่มนี้เป็นหนึ่งในตำ ราทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดที่ยังหลงเหลืออยู่และ เขาพบความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ เพื่อแสดงความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ด้วย ด้านในแง่ของความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ด้วย ด้าน สิ่งนี้สำ เร็จได้ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสซึ่ง Liu Hui รู้จักในชื่อทฤษฎีบท Gougu และเขายังคำ นวณปริมาตรของของแข็งต่าง ๆ เช่น ปริซึม พีระมิด จัตุรมุข ลิ่ม ทรงกระบอก กรวย และฟรัสตัมของกรวย และ คำ นวณความสูงของวัตถุและระยะห่างจากวัตถุที่ไม่สามารถวัดได้โดยตรง ปัญหา แรกซึ่งแสดงให้เห็นรูปแบบนั้นเกี่ยวข้องกับความสูงและระยะทางของเกาะในทะเล ดังรูป และเขายังได้ประมาณค่า π ประมาณ 3.14ซึ่งเขาได้มาจาก การนับ n=5หรืออีกนัยหนึ่งคือการใช้รูปหลายเหลี่ยม ปกติ96ด้าน Liu Hui ( ค.ศ. 225 – 295 ) ไฮพาเทียได้ศึกษาเกี่ยวกับภาคตัดกรวยของ Apollonius of Perga ซึ่งเริ่ม ต้นจากการมีส่วนร่วมของ Euclid และ Archimedes เข้าสู่การประดิษฐ์ เรขาคณิตวิเคราะห์ คำ จำ กัดความเกี่ยวกับคำ ว่าวงรี พาราโบลาและ ไฮเพอร์โบลา ทำ งานในหัวข้ออื่น ๆ อีกมากมาย รวมทั้งดาราศาสตร์ งานนี้ส่วนใหญ่ไม่รอด ข้อยกเว้นมักเป็น ชิ้นส่วนที่อ้างอิงโดยผู้เขียนคนอื่น ๆ เช่น Pappus of Alexandria สมมติฐานของเขาเกี่ยวกับวงโคจรนอกรีต เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ที่ผิดปกติของดาวเคราะห์ hypatia of alexandria ( ค.ศ. 360 – 415 ) วงโคจรเคปเลอร์แบบวงรีที่มีความเยื้องศูนย์ 0.7 วงโคจรเคปเลอร์แบบ พาราโบลาและวงโคจรเคปเลอร์แบบไฮเปอร์โบลิกที่มีความเยื้องศูนย์ 1.3 ระยะทางไปยังจุดโฟกัสเป็นฟังก์ชันของมุมโพลาร์ที่สัมพันธ์กับเส้นแนวนอน ที่กำ หนดโดยสมการ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 45
เขายังค้นพบสูตร สําหรับปริมาตรของทรงกลม การสังเกตทาง ดาราศาสตร์ที่แม่นยำ ทําให้เขาสามารถสร้างปฏิทินใหม่ที่แม่นยํายิ่งขึ้น และทํานายสุริยุปราคาได้ เขายังคํานวณด้วยว่าดาวพฤหัสบดีใช้เวลาเกือบ 12 ปีในการโคจรรอบดวงอาทิตย์ อารยภัฏ เขาเป็นผู้เขียนบทความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์และเรื่องที่ สำ คัญคือ Aryabhatiya ซึ่งเนื้อหาสำ คัญก็จะเป็นส่วนของตารางตรีโกณมิติ ซึ่งจะ ครอบคลุมถึงการคำ นวณ เลขคณิต พีชคณิต ตรีโกณมิติระนาบ ตรีโกณมิติทรง กลม นอกจากนี้ยังมีเศษส่วนอย่างต่อเนื่อง สมการกำ ลังสอง ผลรวมของชุกกำ ลัง เช่นฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถประมาณค่าได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - เรขาคณิต ซึ่งจะประมาณค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วย อินทิกรัล วงรี ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุม ที่เป็นจำ นวนตรรกยะของ 2π คือ จำ นวน เชิงพีชคณิต Aryabhata ( ค.ศ. 476 – 550 ) (หน้าจากหนังสือตารางคณิตศาสตร์ปี 1619) ซูจงจื่อ เขาเป็นนักดาราศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ นักการเมือง นักประดิษฐ์ และ นักเขียนชาวจีนในช่วง ราชวงศ์ หลิวซ่งและราชวงศ์ฉีใต้ และ Zu Chongzhi ได้ คิดค้นวิธีการที่แม่นยำ ยิ่งขึ้น เมื่อพิจารณาวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 , 000 , 000 ฉาง เขาพบว่าเส้นรอบวงของวงกลมนี้น้อยกว่า 31 , 415 , 927 ฉาง และมากกว่า 31 , 415 , 926 ฉาง เขาอนุมานจากผลลัพธ์ เหล่านี้ว่าค่าที่ถูกต้องของเส้นรอบวงต้องอยู่ระหว่างค่าทั้งสองนี้ ดังนั้นค่าที่แม่นยำ ของอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางจึงเท่ากับ 355 ถึง 113 และค่าโดยประมาณเท่ากับ 22 ถึง 7 จนเขาสามารถคำ นวณค่า π ระหว่าง 3.1415926 ถึง 3.1415927 ซึ่งเป็นสถิติที่แม่นยำ ซึ่งไม่มีใครเทียบได้นานกว่า 800 ปี Zu Chongzhi ( ค.ศ. 429 – 500 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 46