Bhaskara I ( ค.ศ. 600 – 680 ) พระพรหมคุปต์เขาโด่งดังในเรื่องเรขาคณิตของพรหมคุปต์คือสูตร สำ หรับรูปสี่เหลี่ยม ด้านขนานที่ เป็นวงกลม เมื่อกำ หนดความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใด ๆ เขา ได้ให้สูตรโดยประมาณและสูตรที่แน่นอนสำ หรับการหาพื้นที่ โดยสูตรการประมาณคือ ผลคูณของครึ่งหนึ่งของผลบวกของด้านและด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยมและรูป สี่เหลี่ยม ที่ถูกต้องคือรากที่สองจากผลคูณของผลรวมของด้านที่ลดลงโดยด้านของรูป สี่เหลี่ยม ดังนั้น เมื่อกำ หนดความยาวp , q , r และ s ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลม พื้นที่โดยประมาณคือ ในขณะที่ให้ พื้นที่ที่แน่นอนคือ ภาสการะ 1 เป็นคนแรกที่เขียนตัวเลขในระบบทศนิยมฮินดู - อารบิกโดยมี วงกลมแทนศูนย์ และเป็นผู้ให้ ค่าประมาณฟังก์ชันไซน์ที่มีเหตุผล เขาให้สูตรการ ประมาณที่น่าทึ่งสำ หรับ นอกจากนี้ เขาให้ความสัมพันธ์ระหว่างไซน์และโคไซน์ เช่นเดียวกับความสัมพันธ์ ระหว่างไซน์ของมุมที่น้อยกว่า 90° และไซน์ของมุม 90°–180°, 180°–270° และ มากกว่า 270° Muhammad Al-Khwarizmi( มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลเคาะวาริซมี) ยังมีส่วนสำ คัญต่อวิชาตรีโกณมิติโดยสร้างตารางสำ หรับฟังก์ชัน ตรีโกณมิติของไซน์และโคไซน์ด้วย บทความที่เกี่ยวข้องกับตรีโกณมิติ ทรงกลมก็เป็นของเขาเช่นกัน อัล - ควาริซมีสร้างตารางไซน์และ โคไซน์ที่แม่นยำ และตารางแทนเจนต์เป็นชุดแรก Muhammad Al-Khwarizmi ( ค.ศ. 780-850 ) เขาจัดการกับคำ ยืนยันว่าถ้า P หน้า เป็นจำ นวนเฉพาะแล้ว ด้วยหน้า P ปัจจุบันรู้จัก กันในชื่อทฤษฎีบทของ Wilson (วิลสัน)ระบุว่าจำ นวนธรรมชาติ n > 1 เป็นจำ นวน เฉพาะก็ต่อเมื่อ ผลคูณของจำ นวนเต็มบวกทั้งหมด ที่ น้อยกว่าnมีค่าน้อยกว่าผลคูณของnหนึ่งเท่า นั่นคือ (โดยใช้ สัญลักษณ์ของเลขคณิตโมดูลาร์ ) แฟกทอเรียล (แผนภาพสำ หรับการอ้างอิง) Brahmagupta ( ค.ศ. 598 – 668 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 47
เจี่ยเซียน เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวจีนจากไคเฟิงแห่งราชวงศ์ซ่ง ได้ ศึกษาและอธิบายเกี่ยวกับสามเหลี่ยมของปาสคาล (Jia Xian Triangle) และเขาใช้สามเหลี่ยมปาสคาลเป็นเครื่องมือในการใช้เพื่อ คํานวณรากสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์ อัลฮาเซ็น หะซัน อิบนุ อัล - ฮัยทัมเป็นนักคณิตศาสตร์ ในยุคกลาง นักดาราศาสตร์ และนักฟิสิกส์ในยุคทองของอิสลามจากอิรักในปัจจุบัน เรียกว่า "บิดาแห่ง ทัศนศาสตร์สมัยใหม่ และเขาได้คิดค้นการแก้ปัญหางานของเขาโดยใช้ ภาคตัดกรวยและการพิสูจน์ทางเรขาคณิต จนเขาใช้ผลรวมของกำ ลังอินทิกรัลเพื่อ ทำ สิ่งที่เรียกว่าอินทิกรัล ซึ่งสูตรสำ หรับผลรวมของกำ ลังสองกำ ลังสองและอินทิ กรัลทำ ให้เขาสามารถคำ นวณปริมาตรของพาราโบลาลอยด์ได้ ไปสู่กระจกรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมมาตรแบบหมุนทั่วไป ซึ่งรวมถึงกระจกไฮเปอร์โบลิก พาราโบลา และกระจกทรงรี Hasan Ibn al-Haytham( ค.ศ. 965 – 1050 ) Jia Xian ( ค.ศ. 1010 – 1070 ) (ทฤษฎีบทของ Ibn Haytham) (สามเหลี่ยม Jia Xian (สามเหลี่ยมของ Pascal) โดยใช้เลขแท่งดังที่ปรากฎในสิ่ง พิมพ์ของZhu Shijieในปี ค.ศ. 1303) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 48
โอมาร์ คัยยาม เป็นพหูสูตซึ่งรู้จักกันในนามของเขา ผลงานคณิตศาสตร์ ดาราศาสตร์ปรัชญาและกวีภาษาเปอร์เซียเขาศึกษาเกี่ยวกับการจำ แนกประเภท และการแก้สมการลูกบาศก์ทั้งหมด ซึ่งเขาได้ให้คำ ตอบทางเรขาคณิตด้วยการ ตัดกันของรูปกรวย ทำ ให้เข้าใจสัจพจน์คู่ขนาน (คือส่วนของเส้นตรงตัดเส้นตรง สองเส้นทำ ให้เกิดมุมภายในสองมุมบนด้านเดียวกันที่น้อยกว่าสองมุมฉากถ้า ขยายไปเรื่อยๆ เส้นทั้งสองจะบรรจบกันบนด้านที่มุมรวมกันน้อยกว่าสอง มุมฉาก) เช่นถ้าผลรวมของมุมภายใน α และ β น้อยกว่า 180° เส้นตรงสอง เส้นที่สร้างไปเรื่อย ๆ จะบรรจบกันที่ด้านนั้น Omar Khayyam( ค.ศ. 1048 – 1131 ) Nasir al-Din Tusi ( ค.ศ. 1201 – 1274 ) นาซีร์ อัล - ดีน อัล - ทูซี เป็นพหูสูตชาวเปอร์เซีย สถาปนิกนักปรัชญาแพทย์ นักวิทยาศาสตร์และนักเทววิทยา เป็นนักเขียนที่ได้รับการตีพิมพ์อย่างดี โดย เขียนเกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์ เขาได้สร้างตารางการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ ที่แม่นยำ มากเป็นคนแรกที่เขียนงานเกี่ยวกับตรีโกณมิติโดยไม่ขึ้นกับ ดาราศาสตร์ และในบทความของเขาเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมได้ให้คำ อธิบายที่กว้าง ขวางเกี่ยวกับตรีโกณมิติทรงกลมซึ่งแตกต่างจากดาราศาสตร์อย่างสิ้นเชิง เขา เป็นคนแรกที่เขียนรายการ 6 กรณีที่แตกต่างกันของ สามเหลี่ยมมุมฉากใน ตรีโกณมิติทรงกลมในรูป On the Sector ของเขา ปรากฏ กฎไซน์ที่น์ ที่ มีชื่อเสียง สำ หรับสามเหลี่ยมระนาบ นอกจากนี้เขายังระบุกฎไซน์สำ หรับรูปสามเหลี่ยมทรงกลมแล้ว ยังได้ค้นพบกฎ ของเส้นสัมผัสสำ หรับรูปสามเหลี่ยมทรงกลม พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 49
Nicole Oresme ( ค.ศ. 1323-1382 ) มาธาวา เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์จากอินเดียตอนใต้ เขาค้นพบอนุกรมอนันต์ สำ หรับฟังก์ชันตรีโกณมิติของไซน์โคไซน์อาร์กแทนเจนต์และวิธีการคำ นวณเส้นรอบวงของ วงกลมมากมาย หนึ่งในซีรีส์ของ Madhava เป็นที่รู้จักจากข้อความ Yuktib ซึ่งมีรากเหง้าและ การพิสูจน์ของอนุกรมกำ ลังสำ หรับผกผันแทนเจนต์ซึ่งค้นพบโดย Madhava ในข้อความ Jyehadeva อธิบายซีรีส์ในลักษณะต่อไปนี้ เทอมแรกเป็นผลคูณของไซน์ที่กำ หนดและรัศมีของส่วนโค้งที่ต้องการหารด้วยโคไซน์ของส่วน โค้ง เทอมต่อไปจะได้มาโดยกระบวนการวนซ้ำ เมื่อเทอมแรกคูณซ้ำ ด้วยกำ ลังสองของไซน์และ หารด้วยกำ ลังสองของโคไซน์ จากนั้นเงื่อนไขทั้งหมดจะถูกหารด้วยเลขคี่ 1, 3, 5, .... ส่วนโค้ง ได้มาจากการบวกและลบตามลำ ดับของเงื่อนไขของอันดับคี่และอันดับคู่ มันถูกวางลงว่าไซน์ ของส่วนโค้งหรือส่วนเติมเต็มแล้วแต่จำ นวนใดที่เล็กกว่าควรนำ มาเป็นไซน์ที่กำ หนด มิฉะนั้น เงื่อนไขที่ได้รับจากการวนซ้ำ ข้างต้นนี้จะไม่มีแนวโน้มที่จะหายไป สิ่งนี้ให้ : นิโคล โอเรสเม่ เป็นนักคณิตศาสตร์ นักปรัชญา และบาทหลวงคนสำ คัญของฝรั่งเศส มีชีวิตอยู่ใน ช่วงปลายยุคกลาง เขาคิดค้นเรขาคณิตเชิงพิกัด นานก่อนเดส์การตส์ เขาเป็นคนแรกที่ใช้เลขยก กำ ลังเศษส่วน และทำ งานเกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ เขาเขียนเกี่ยวกับเศรษฐศาสตร์ ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และเทววิทยา และเป็นที่ปรึกษาของพระเจ้าชาลส์ที่ 5 แห่งฝรั่งเศส ผลงานที่ได้รับการคัดเลือก • Nicole Oresme และจุลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบวงกลม : Tractatus de commensurabilitate vel incommensurabilitate motuum celiแปลโดย Edward Grant (Madison: University of Wisconsin Press, 1971) • Nicole Oresme และเรขาคณิตยุคกลางของคุณสมบัติและการเคลื่อนที่: บทความเกี่ยวกับความ สม่ำ เสมอและความต่างของความเข้มที่รู้จักกันในชื่อ Tractatus de configurationibus qualitatum et motuumแปลโดย Marshall Clagett, (Madison: University of Wisconsin Press, 1971) Madhava of Sangamagramma ( ค.ศ. 1340 - 1425 ) หรือเทียบเท่า: พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 50
โยฮันน์ มุลเลอร์ เรจิโอมอนทานุส เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมัน เขามีความก้าวหน้าอย่างมากในทั้งสองสาขา รวมถึงการสร้างตารางทางดาราศาสตร์ที่มีราย ละเอียดและจัดพิมพ์ตำ ราเรียนหลายเล่ม จัดพิมพ์หนังสือเรียนดาราศาสตร์จัดพิมพ์ หนังสือเรียนดาราศาสตร์เล่มแรก (ค.ศ.1472) และตารางตรีโกณมิติชุดแรก ในช่วงเวลาที่เขาอยู่ในอิตาลี เขาเสร็จสิ้นการย่อส่วน Almagest ของ Peuerbach , Epytoma ใน almagesti Ptolemei ในปี ค.ศ. 1464 เขาทำ สำ เร็จ De triangulis omnimodis ("On Triangles of All Kinds") De triangulis omnimodis เป็นหนึ่งในตำ ราเล่มแรกที่นำ เสนอสถานะปัจจุบันของตรีโกณมิติและรวมรายการคำ ถาม สำ หรับทบทวนแต่ละบทในนั้นเขาเขียนว่า : ท่านที่ประสงค์จะศึกษาสิ่งที่ยิ่งใหญ่มหัศจรรย์ ผู้สงสัยเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของดวงดาว ต้องอ่านทฤษฎีบทเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเหล่านี้การรู้ แนวคิดเหล่านี้จะเปิดประตูสู่ดาราศาสตร์และปัญหาทางเรขาคณิตบางอย่าง Johann Müller Regiomontanus ( ค.ศ. 1436 - 1476 ) ลูก้า ปาซิโอลี่ เป็นบาทหลวงและนักคณิตศาสตร์ผู้มีอิทธิพลชาวอิตาลี ผู้คิดค้นสัญลักษณ์ มาตรฐานสำ หรับเครื่องหมายบวกและลบ (+ และ -) เขาเป็นหนึ่งในนักบัญชีกลุ่มแรก ๆ ในยุโรป ซึ่งเขาได้แนะนำ การทำ บัญชีแบบสองรายการ Pacioli ร่วมมือกับ Leonardo da Vinci และเขียนเกี่ยวกับเรขาคณิตด้วย Pacioli ตีพิมพ์ผลงานคณิตศาสตร์หลายชิ้นได้แก่ • เรขาคณิต (1509) ซึ่งเป็นภาษาละตินแปลEuclid 's องค์ประกอบ • Divina ratioe (เขียนในมิลานในปี 1496–98 ตีพิมพ์ในเวนิสในปี 1509) ต้นฉบับดั้งเดิม สองฉบับยังหลงเหลืออยู่ฉบับหนึ่งอยู่ใน Biblioteca Ambrosiana ในมิลานอีกฉบับหนึ่ง ในBibliothèque Publique et Universitaire ในเจนีวา เรื่องเป็นสัดส่วนทาง คณิตศาสตร์และศิลปะโดยเฉพาะวิชาคณิตศาสตร์ของอัตราส่วนทองคำ และการประยุกต์ใช้ ในงานสถาปัตยกรรม Luca Pacioli ( ค.ศ. 1447- 1517 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 51
นิโคโล ฟอนทานา ทาร์ตาเกลีย มีความเชี่ยวชาญในการขยายทวินามและรวมตัวอย่างการทำ งาน จำ นวนมากไว้ในส่วนที่ II ของ General Trattato ซึ่งเป็นคำ อธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีคำ นวณ ผลบวก (6+4)^7 ของรวมถึงค่าสัมประสิทธิ์ทวินามที่เหมาะสม Tartaglia รู้จักสามเหลี่ยมของปาส คาลเมื่อหนึ่งร้อยปีก่อนปาสคาล ดังที่แสดงในภาพนี้จากGeneral Trattato ตัวอย่างของเขาเป็น ตัวเลข แต่เขาคิดในเชิงเรขาคณิต นั่นคือเส้นแนวนอน ab ที่ด้านบนของสามเหลี่ยมถูกแบ่งออกเป็น สองส่วน ac และ cb จุดที่ c คือจุดยอดของสามเหลี่ยม การขยายทวินามเป็นจำ นวนที่ต้องทำ (ac + cub )^n สำ หรับเลขยกกำ ลัง n = 2,3,4,… เมื่อคุณลงไปที่สามเหลี่ยม สัญลักษณ์ที่อยู่ด้านนอก แสดงถึงพลังในช่วงแรกของสัญกรณ์พีชคณิต: ce = 2, cu = 3, ce.ce = 4 และอื่น ๆ เขาเขียน อย่างชัดเจนเกี่ยวกับกฎการสร้างสารเติมแต่งว่า (ตัวอย่าง) 15 และ 20 ที่อยู่ติดกันในแถวที่ห้ารวม กันได้ 35 ซึ่งปรากฏอยู่ข้างใต้ในแถวที่หก Tartaglia เป็นนักคำ นวณที่เก่งกาจและเป็นปรมาจารย์ด้านเรขาคณิตทึบ ในส่วนที่ 4 ของ General Trattato เขาแสดงตัวอย่างวิธีการคำ นวณความสูงของพีระมิดบนฐานสามเหลี่ยมนั่นคือ จัตุรมุขที่ไม่สม่ำ เสมอ Niccolò Fontana Tartaglia ( ค.ศ.1499-1557 ) Pedro Nunes ( ค.ศ.1502 - 1578 ) เปโดร นูเนส เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวโปรตุเกส ในฐานะ Royal Cosmographer แห่งโปรตุเกส เขาได้สอนทักษะการเดินเรือให้กับนักเดินเรือและนักสำ รวจ หลายคน นูเนสสังเกตเห็นครั้งแรกว่าถ้าเรือแล่นไปตามทิศทางของเข็มทิศเดิมเสมอ เรือจะ ไม่เดินทางเป็นเส้นตรงหรือเป็นวงกลมใหญ่ แต่จะเดินไปตามเส้นทางที่เรียกว่า rhumb line หรือ loxodrome ซึ่งหมุนวนไปทางขั้วโลกเหนือหรือใต้ นูเนสยังพยายามคำ นวณว่า วันใดในปีที่มีแสงแดดน้อยที่สุด เขาหักล้างความพยายามก่อนหน้านี้ในการแก้ปัญหาทาง เรขาคณิตแบบดั้งเดิม เช่น การตัดมุม 3 ส่วน และเขาได้คิดค้นระบบการวัดเศษส่วนของมุม พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 52
สตีวิน เป็นคนแรกที่แสดงวิธีการสร้างแบบจำ ลองรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติและกึ่งปกติ โดยวาดกรอบของพวกมันในระนาบ เขายังแยกแยะความเสถียรจากสมดุลที่ไม่เสถียร บทพิสูจน์ของสตีวินเกี่ยวกับ กฎสมดุลบนระนาบเอียงหรือที่รู้จักกันในชื่อ "คำ จารึกของสตีวินัส" สตีวินมีส่วนในวิชาตรีโกณมิติด้วยหนังสือ De Driehouckhandel ของเขาใน THE FIRST BOOK ขององค์ประกอบของศิลปะชั่งน้ำ หนัก, ส่วนที่สอง : ของข้อเสนอ [การคุณสมบัติของน้ำ หนักเฉียง], หน้า 41, ทฤษฎีบทจินโจทย์ XIX , เขามาอยู่ในสภาพที่สมดุลของกองกำ ลังบนระนาบเอียงโดยใช้แผนภาพที่มี "พวงหรีด" ที่มีมวลกลมที่เว้นระยะเท่ากันวางอยู่บนระนาบของปริซึมสามเหลี่ยม (ดูภาพประกอบด้านข้าง) เขาสรุปว่าน้ำ หนักที่ต้องการ นั้นเป็นสัดส่วนกับความยาวของด้านที่วางโดยสมมติว่าด้านที่สามอยู่ในแนวนอน และผลของน้ำ หนักก็ลดลงในลักษณะเดียวกัน เป็นนัยว่าตัวประกอบการรีดักชั่นคือความสูงของสามเหลี่ยมหารด้วยด้าน ( ไซน์ของมุมของด้านเทียบกับแนวนอน) แผนภาพ การพิสูจน์ของแนวคิดนี้เรียกว่า "คำ จารึกของ Stevinus" เท่าที่สังเกตจาก EJ Dijksterhuis หลักฐาน Stevin ของสมดุลบนระนาบ สามารถโทษฐานสำ หรับการใช้การเคลื่อนไหวตลอดที่จะบ่งบอกถึง reductio น่าหัวเราะ Dijksterhuis กล่าวว่า Stevin " ใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานโดยสัญชาตญาณนานก่อนที่จะมีการกำ หนดสูตรอย่างชัดเจน" Simon Stevin ( ค.ศ. 1548 - 1620 ) ฟรองซัวส์ วีเอเต้ เป็นนักคณิตศาสตร์ นักกฎหมาย และที่ปรึกษาของ Kings Henry III และ IV แห่งฝรั่งเศส เขายังเขียนหนังสือเกี่ยวกับเรขาคณิตและตรีโกณมิติ รวมถึงการคำ นวณทศนิยม 10 ตำ แหน่งโดยใช้รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านในปีเดียวกัน จากการพิจารณาทางเรขาคณิตและด้วยการคำ นวณตรีโกณมิติที่เชี่ยวชาญอย่าง สมบูรณ์เขาได้ค้นพบผลิตภัณฑ์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดชิ้นแรกในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์โดย ให้นิพจน์ของ π ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อสูตรของ Viète เขาให้ทศนิยม 10 ตำ แหน่ง ของ π โดยใช้วิธีอาร์คิมีดีสกับรูปหลายเหลี่ยมที่มี 6 × 2 16 = 393,216 ด้าน François Viète ( ค.ศ.1540 - 1603 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 53
โยฮันเนส เคปเลอร์ เป็นนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เขาเป็นนักคณิตศาสตร์ของจักรวรรดิในปราก และเขาเป็นที่รู้จักกันดีที่สุด จากกฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สามข้อของเขา เคปเลอร์ยังทำ งาน ด้านทัศนศาสตร์และประดิษฐ์กล้องโทรทรรศน์ที่ปรับปรุงใหม่สำ หรับการ สังเกตการณ์ของเขา เค็พเพลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วยและ ไอแซก นิวตัน สามารถสรุปกฎของเค็พเพลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้ม ถ่วงสากลของนิวตันเอง กฎของเคปเลอร์ 1. กฎแห่งวงรี : ดาวเคราะห์โคจรเป็นรูปวงรีรอบดวงอาทิตย์ โดยมีดวงอาทิตย์ อยู่ที่จุดโฟกัสจุดหนึ่ง 2. กฎแห่งการกวาดพื้นที่ : ในเวลาที่เท่ากันดาวเคราะห์จะมีพื้นที่ที่เส้นรัศมีจาก ดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์กวาดไปเท่ากัน หรือ dA/dt มีค่าคงที่ 3. กฎแห่งคาบ : คาบในการโคจรรอบดวงอาทิตย์กำ ลังสองแปรผันตรงกับระยะ ครึ่งแกนเอกของวงโคจรกำ ลังสาม Johannes Kepler ( ค.ศ. 1571 - 1630 ) กาลิเลโอ กาลิเลอี เป็นนักดาราศาสตร์ นักฟิสิกส์ และวิศวกรชาวอิตาลี เขาใช้กล้องโทรทรรศน์รุ่นแรก ๆ เพื่อสังเกตการณ์ท้องฟ้ายามค่ำ คืน ซึ่งเขาค้นพบดวง จันทร์ที่ใหญ่ที่สุดสี่ดวงของดาวพฤหัสบดี ข้างขึ้นข้างแรมของดาวศุกร์ จุดดับบน ดวงอาทิตย์ และอื่น ๆ อีกมากมาย o สอบเทียบของ Accor คุณสามารถอยู่ตามโค้ง ของเสื่อวันที่และค่าใช้จ่ายของภาพขนาดเล็กและ eng รวมกันได้ถึง 11aces นี่ทำ ให้เขา มีวันซึ่ง dabey Galileo ซึ่งบางครั้งเรียกว่า "บิดาแห่งวิทยาศาสตร์สมัยใหม่" ยังได้ ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในการตกอย่างอิสระ จลนศาสตร์ วัสดุศาสตร์ และประดิษฐ์เท อร์โมสโคป เขาเป็นแกนนำ ของ Heliocentrism ซึ่งเป็นแนวคิดที่ว่าดวงอาทิตย์เป็น ศูนย์กลางของระบบสุริยะของเรา ในที่สุดสิ่งนี้ทำ ให้เขาถูกไต่สวนโดยการสอบสวนของ คาทอลิก : กาลิเลโอถูกบังคับให้ปฏิเสธและใช้ชีวิตที่เหลืออยู่ภายใต้การกักบริเวณในบ้าน โดยสอนวิชาเรขาคณิต กลศาสตร์ และดาราศาสตร์ จนถึงปี ค.ศ. 1610 Galileo Galilei ( ค.ศ.1564-1642 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 54
กิราร์ด เดซาร์กส์ เป็นนักคณิตศาสตร์ วิศวกร และสถาปนิกช ทฤษฎีบทระบุว่าหาก สามเหลี่ยมสองรูป ABC และ A′B′C′ ซึ่งอยู่ในปริภูมิสามมิติมีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกันใน ลักษณะที่สามารถมองเห็นได้จากจุดหนึ่ง ( เช่นเส้น AA′, BB ′, และ CC′ ทั้งหมดตัดกันใน จุดเดียว) จากนั้นจุดตัดของด้านที่ตรงกันทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรง โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มี ด้านที่ตรงกันสองด้านขนานกัน หากกรณีสุดท้ายนี้เกิดขึ้น จะมีจุดตัดกันเพียงสองจุดแทนที่ จะเป็นสามจุด และต้องแก้ไขทฤษฎีบทเพื่อให้รวมผลที่จุดทั้งสองนี้จะอยู่บนเส้นที่ขนานกับ ด้านขนานทั้งสองของรูปสามเหลี่ยม แทนที่จะแก้ไขทฤษฎีบทให้ครอบคลุมกรณีพิเศษนี้ พอนเซเล็ตแก้ไขปริภูมิแบบยุคลิด แทน โดยการสมมุติจุติจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งเป็นกุญแจ สำ คัญสำ หรับการพัฒนาเรขาคณิตเชิงโครง ในพื้นที่ฉายภาพใหม่นี้ (พื้นที่แบบยุคลิดที่มีจุด เพิ่มที่ระยะอนันต์) เส้นตรงแต่ละเส้นจะได้รับจุดที่เพิ่มที่ระยะอนันต์ โดยเส้นขนานจะมีจุด ร่วมกัน หลังจาก Poncelet ค้นพบว่าทฤษฎีบทของ Desargues สามารถกำ หนดขึ้น อย่างง่ายในปริภูมิโปรเจ็กต์ ทฤษฎีบทอื่นๆ ตามมาในกรอบนี้ซึ่งสามารถระบุได้ง่ายกว่าใน แง่ของจุดตัดของเส้นและความใกล้เคียงกันของจุดเท่านั้น โดยไม่จำ เป็นต้องอ้างอิงการวัด ระยะทางมุมความสอดคล้องหรือความเหมือน Girard Desargues ( ค.ศ. 1591 - 1661 ) René Descartes ( ค.ศ. 1596 - 1650 ) เรอเน เดการ์ตส์ เป็นนักปรัชญา และนักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงในต้นยุคสมัยใหม่ ของอารยธรรมตะวันตก โดยนอกจากจะเป็นผู้ที่บุกเบิกปรัชญาสมัยใหม่แล้วเดการ์ต ยังเป็นผู้บุกเบิกวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยเป็นผู้คิดค้นระบบพิกัดแบบคาร์ทีเซียน ซึ่งเป็นรากฐานของการพัฒนาด้านแคลคูลัสต่อมา ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เป็นระบบที่ใช้กำ หนดตำ แหน่งของจุดแต่ละจุดบนระนาบโดยอ้างถึง ตัวเลข 2 จำ นวน ซึ่งแต่ละจำ นวนเรียกว่า พิกัดเอกซ์ และ พิกัดวาย ของจุดนั้น และเพื่อที่จะกำ หนดพิกัดของจุด จะต้องมีเส้นแกนสองเส้นตัดกันเป็นมุมฉากที่จุดกำ เนิด ได้แก่ แกนเอกซ์ และ แกนวาย ซึ่งเส้นแกนดังกล่าวจะมีหน่วยบ่งบอกความยาวเป็นระยะ ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนยังสามารถใช้ได้ในปริภูมิสามมิติ (ซึ่งจะมี แกนแซด และ พิกัดแซด เพิ่มเข้ามา) หรือในมิติที่สูงกว่าอีกด้วย ตัวอย่างระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่มีจุด (2,3) สีเขียว, จุด (-3,1) สีแดง, จุด (-1.5,-2.5) สีน้ำ เงิน, และจุด (0,0) สีม่วงซึ่งเป็นจุดกำ เนิด พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 55
Pierre de Fermat ( ค.ศ.1607-1665 ) ปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักกฎหมายชาวฝรั่งเศส เขาเป็นผู้บุกเบิกวิชาแคลคูลัสในยุคแรกๆ ตลอดจนทำ งานใน ทฤษฎีจำ นวน ความน่าจะเป็น เรขาคณิต และทัศนศาสตร์ นอกจากนี้ ในผลงานชิ้นที่สองที่เขาส่งไปให้ Mersenne นั่นคือ Introduction to Plane และ Solid Lociนั้น Fermat ได้คิดค้นสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ของเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยแสดงให้เห็นว่าสมการจากพีชคณิตสามารถอธิบายเป็นเส้นโค้ง เรขาคณิตได้อย่างเท่าเทียมกันได้อย่างไร René Descartes นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสอีกคนหนึ่งได้คิดค้นเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยอิสระในเวลาเดียวกันกับ Fermat โบนาเวนตูรา คาวาเลียรี เป็นนักคณิตศาสตร์ประเทศอิตาลีเขาได้รับชื่อเสียงอย่างมาก จากทฤษฎี "Indivisibles of the Continuouss, Advanced Geometry by a New Method" ทฤษฎีนี้สันนิษฐานว่าปริมาณทางเรขาคณิตประกอบด้วยองค์ประกอบจำ นวนไม่สิ้นสุดองค์ประกอบเหล่านี้ เป็นคำ สุดท้ายที่สามารถแยกขนาดทางเรขาคณิตได้ด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าแบ่งแยกไม่ได้ จากการศึกษาของเขา มาถึงกฎที่ใช้ชื่อของเขาซึ่งระบุว่า "ของแข็งสองชิ้นที่มีความสูงเท่ากัน ถ้าส่วนระนาบที่มีความสูงเท่ากันมีพื้นที่ เท่ากันจะมีปริมาตรเท่ากัน" สิ่งนี้ทำ ให้เขาสามารถเลียนแบบการทำ งานของการรวมพหุนามได้ Bonaventura Cavalieri ( ค.ศ. 1598 - 1647 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 56
Blaise Pascal ( ค.ศ. 1623 - 1662 ) แบลส ปาสคาล เป็นนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส มีชื่อเสียง มากที่สุด Pascal เป็นที่จดจำ จากการตั้งชื่อ Pascal's Triangle ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม ของจำ นวนนับไม่ถ้วนที่มีคุณสมบัติที่น่าทึ่ง ผลงานที่สำ คัญ : สามเหลี่ยมของปาสกาล จิโอวานนี่ เซวา เป็นนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ และวิศวกรไฮดรอลิกชาวอิตา ลี Ceva ศึกษาเรขาคณิตมาเกือบตลอดชีวิต ในปี ค.ศ. 1678 เขาได้ตีพิมพ์ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรขาคณิตสังเคราะห์ในรูปสามเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงในขณะนี้ ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทของเซวา ทฤษฎีบทซึ่งเป็นที่รู้จักโดย Yusuf Al - Mu'taman ibn Hűdในศตวรรษที่ 11 ระบุว่า ถ้าส่วนของเส้นตรงสามเส้น ถูกดึงจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังด้านตรงข้าม ส่วนของเส้นตรงทั้ง สามจะสอดคล้องกันถ้าหากว่า ผลคูณของอัตราส่วนของส่วนของเส้นตรงที่ สร้างขึ้นใหม่ในแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับหนึ่ง เขาตีพิมพ์ทฤษฎีบท นี้ใน De lineis rectis ชุดของจำ นวนทีในปัจจุบันเราเรียกว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” ได้รับการความสนใจในการศึกษาจากคณิตศาสตร์ ทั้งในอินเดีย กรีก จีน ก่อนหน้านั้นนานแล้วแต่ว่า แบลส ปาสกาล (ค.ศ. 1623 – 1662) เป็นบุคคลแรกที่ค้นพบ และแสดงให้เห็นความสำ คัญและแบบรูปทั้งหมดที่บรรจุอยู่ในสามเหลี่ยมปาสกาลนี่เองเป็นสาเหตุที่ทำ ให้เราเรียกมันว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” เพื่อให้เกียรติแก่ปาสกาลซึ่งเป็นค้นพบแบบรูปของมัน แต่เราก็ยังพบว่าในบางตำ รา เรียกมันว่า “สามเหลี่ยมของชาวจีน” (Chinese’s Triangle) ด้วยเพื่อให้เกียรติแก่ชาวจีนโบราณที่ได้ค้นพบและพัฒนาขึ้นใน ระยะแรก โรเบิร์ต ซิมสัน เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวสกอตแลนด์ที่ศึกษา geometers กรีกโบราณ เขาเรียนที่มหาวิทยาลัยกลาสโกว์ และกลับมาเป็นศาสตราจารย์ในภายหลัง เส้น Simson ในรูปสามเหลี่ยมตั้งชื่อตามเขาซึ่งสร้างได้โดยใช้วงกลมบทความ De Porismatibusของ Euclid ได้รับการตีพิมพ์เผยแพร่เป็นการส่วนตัวในปี 1776 โดยค่าใช้จ่ายของEarl Stanhopeในปริมาณที่มีชื่อ Roberti Simson opera quaedam reliqua หนังสือเล่มนี้ยังมีวิทยานิพนธ์เกี่ยวกับลอการิทึมและขีดจำ กัด ของปริมาณและอัตราส่วนและปัญหาเล็กน้อยที่แสดงการวิเคราะห์ทางเรขาคณิต แบบโบราณ Giovanni Ceva ( ค.ศ.1647-1734 ) Robert Simson ( ค.ศ.1687-1768 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 57
เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งในประวัติศาสตร์ เกิดในสวิตเซอร์ แลนด์และศึกษาในบาเซิล แต่ใช้ชีวิตส่วนใหญ่ในเบอร์ลิน ปรัสเซีย และเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ประเทศ รัสเซีย งานของเขาครอบคลุมทุกด้านของคณิตศาสตร์ และเขาเขียนงานวิจัย 80 เล่ม อ็อยเลอร์เป็นผู้คิดค้นคำ ศัพท์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่และสัญกรณ์ และได้ทำ การค้นพบที่สำ คัญใน แคลคูลัส การวิเคราะห์ ทฤษฎีกราฟ ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และหัวข้ออื่นๆ อีกมากมาย เขามีผลงาน ในแทบทุกสาขาของวิชาคณิตศาสตร์ เช่นเรขาคณิต แคลคูลัส ตรีโกณมิติ พีชคณิต ทฤษฎีจำ นวน เป็นต้น อ็อยเลอร์ถือว่าเป็นบุคคลสำ คัญคนหนึ่งในประวัติศาสตร์แห่งคณิตศาสตร์ อ็อยเลอร์ได้รับการตั้งเป็นชื่อของจำ นวน 2 จำ นวน อันได้แก่ จำ นวนของอ็อยเลอร์ (e) ซึ่งมีค่า ประมาณ 2.71828 และค่าคงตัวอ็อยเลอร์-มัสเกโรนี (γ) มีค่าประมาณ 0.57721 Leonhard Euler ( ค.ศ. 1707 - 1783 ) — สูตรของอ็อยเลอร์ : สมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติกับฟังก์ชันเลขชี้กำ ลังเชิงซ้อน — เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์ : เป็นกรณีหนึ่งของสูตรอ็อยเลอร์ โดยแสดงค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ถึง 5 อย่าง (ได้แก่ e, i, π, 1, 0) การตีความหมายเชิงเรขาคณิตของสูตรของอ็อยเลอร์ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 58
โยฮันน์ แลมเบิร์ต (ค.ศ.1728 – 1777) เป็นนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ นักดาราศาสตร์ และนักปรัชญาชาวสวิส เขาเป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า π เป็นจำ นวนอตรรกยะ และเขาแนะนำ ฟังก์ชันตรีโกณมิติไฮเพอร์โบลิก แลมเบิร์ตยังทำ งานเกี่ยวกับเรขาคณิตและการทำ แผนที่ สร้างเส้นโครงแผนที่ และคาดเดาการค้นพบช่องว่างที่ไม่ใช่แบบยุคลิด แลมเบิร์ตยังได้คิดค้นทฤษฎีบทเกี่ยวกับภาคตัดกรวยที่ทำ ให้การคำ นวณ วงโคจรของดาวหางง่ายขึ้น และคิดค้นสูตรสำ หรับความสัมพันธ์ระหว่างมุมและ พื้นที่ของสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิก เหล่านี้คือรูปสามเหลี่ยมที่วาดบนพื้นผิวเว้า เช่นเดียวกับบนอานม้าแทนที่จะเป็นพื้นผิวแบบยุคลิดแบนตามปกติ แลมเบิร์ตแสดง ให้เห็นว่ามุมรวมกันแล้วน้อยกว่าπ ( เรเดียน ) หรือ 180° ปริมาณการขาดแคลนที่ เรียกว่าข้อบกพร่องจะเพิ่มขึ้นตามพื้นที่ ยิ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมใหญ่ขึ้น ผลรวมของ มุมก็จะยิ่งน้อยลง และด้วยเหตุนี้ความบกพร่อง C△ = π — (α + β + γ) ก็จะยิ่งมากขึ้น นั่นคือ พื้นที่ของสามเหลี่ยมไฮเพอร์โบลิก (คูณด้วยค่าคงที่ C) เท่ากับ π (เป็นเรเดียน) หรือ 180° ลบด้วยผลรวมของมุม α, β และ γ ในที่นี้ C หมายถึง ค่าลบของความโค้งของพื้นผิว (การรับค่าลบเป็นสิ่งจำ เป็นเนื่องจาก ความโค้งของพื้นผิวอานถูกกำ หนดให้เป็นค่าลบตั้งแต่แรก) เมื่อรูปสามเหลี่ยมใหญ่ ขึ้นหรือเล็กลง มุมต่างๆ จะเปลี่ยนไปในทางที่ห้ามไม่ให้มี รูปสามเหลี่ยมไฮเพอร์โบลิก ที่คล้ายกันเนื่องจากรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันเท่านั้นที่จะมีพื้นที่เท่ากัน ดังนั้น แทนที่จะแสดงพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปของความยาวของด้านของมัน ดังเช่นใน เรขาคณิตแบบยุคลิด พื้นที่ของสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกของแลมเบิร์ตสามารถแสดง ในรูปของมุมของมันได้ Johann Lambert ( ค.ศ. 1728 – 1777 ) สามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกที่ฝังอยู่ในพื้นผิวรูปอานม้า พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 59
Gaspard Monge ( ค.ศ. 1746 – 1818 ) กาสปาร์ด มองด์ เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เขาได้รับการพิจารณาให้ เป็นบิดาของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ โดยนำ เสนอแนวคิดของเส้นความโค้งบนพื้นผิวใน ปริภูมิสามมิติ (เช่น บนทรงกลม) Monge ยังคิดค้นการฉายภาพแบบออโธกราฟิก และเรขาคณิตเชิงพรรณนา ซึ่งช่วยให้สามารถแสดงวัตถุสามมิติโดยใช้ภาพวาดสอง มิติได้ ในช่วงการปฏิวัติฝรั่งเศส Monge ดำ รงตำ แหน่งรัฐมนตรีกระทรวงนาวิก โยธิน เขาช่วยปฏิรูประบบการศึกษาของฝรั่งเศสและก่อตั้ง École Polytechnique ในเรขาคณิตทฤษฎีบทของ Monge ซึ่งตั้งชื่อตามGaspard Monge กล่าวว่าสำ หรับ วงกลมสามวงใดๆ ในระนาบ ซึ่งไม่มีวงใดวงหนึ่งอยู่ในวงใดวงหนึ่งเลย จุดตัดของ เส้นสัมผัสภายนอกทั้งสามคู่จะอยู่ในแนวเดียวกัน ทฤษฎีบทของ Monge จุดตัดของเส้นสีแดง เส้นสีน้ำ เงิน และเส้นสีเขียวเป็นเส้นตรง ทั้งหมดตกบนเส้นสีดำ Lorenzo Mascheroni ( ค.ศ. 1750 – 1800 ) ลอเรนโซ่ มาสเชโรนี เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีและเป็นบุตรชาย ของเจ้าของที่ดินผู้มั่งคั่ง เขาได้รับแต่งตั้งให้เป็นนักบวชเมื่ออายุ 17 ปี และสอนวาทศิลป์ ฟิสิกส์ และคณิตศาสตร์ Mascheroni เป็นที่รู้จักในฐานะกวี และเขาได้เขียนหนังสือ Geometria del compasso เล่มหนึ่งของเขา (ตีพิมพ์ใน Pavia ใน ปี ค.ศ.1797) ซึ่งหลังจากเขียนหนังสือเกี่ยวกับวิศวกรรมโครงสร้าง เขา ได้รับแต่งตั้งให้เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Pavia มาสเชโรนีพิสูจน์ว่าสิ่งก่อสร้างแบบยุคลิดทั้งหมดที่ทำ ได้ด้วยเข็มทิศและ เส้นตรงสามารถทำ ได้ด้วยเข็มทิศเพียงอย่างเดียว ปัจจุบันนี้เรียกว่า ทฤษฎีบทโมห์ร - มาสเชอโรนี Geometria del Compasso,1797 พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 60
Wang Zhenyi ( ค.ศ. 1768 – 1797 ) คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ เขาค้นพบสิ่งใหม่ๆ ของคณิตศาสตร์ ตั้งแต่พีชคณิต ทฤษฎีจำ นวน เรขาคณิต ไปจนถึงธรณีวิทยา และดาราศาสตร์ เกาส์ได้ค้นพบ วิธีการสร้างรูป n เหลี่ยมด้านเท่าด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน เพียงเท่านั้น รูปเหลี่ยมด้านเท่าจำ นวน n ด้าน (n-gon) ใด ๆ สามารถเขียนได้โดย ใช้เพียงไม้บรรทัดและวงเวียน ถ้าตัวประกอบที่เป็นจำ นวนเฉพาะของ n ที่เป็น จำ นวนคี่ล้วนเป็นจำ นวนเฉพาะแฟร์มาต์ ที่ไม่ซ้ำ กัน ซึ่งในประวัติของเกาส์ เขาได้ ค้นพบและพิสูจน์ว่า 17 เหลี่ยมด้านเท่าก้สามารถสร้างได้โดยใช้วงเวียนและ ไม้บรรทัดต่อยอดจากนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อน ที่ทราบเพียงว่ามีเพียงรูป 3, 4, 5 และ 15 เหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้น ที่สร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนได้ และอีกหนึ่งผล งานที่ไม่ได้รับการตีพิมพ์แต่ก็ยิ่งใหญ่ไม่น้อยคือ การค้นพบเรขาคณิตนอกแบบยุค ลิด(non-Euclidean geometries) ซึ่งส่งผลกระทบสำ คัญต่อจินตนาการของ มนุษย์ต่อธรรมชาติและโครงสร้างจักรวาลที่มีมาก่อนหน้านี้ หวัง เจิ้นยี่ เป็นนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวจีนที่มีชีวิตอยู่ในสมัยราชวงศ์ ชิง แม้ว่ากฎหมายและขนบธรรมเนียมจะห้ามไม่ให้ผู้หญิงได้รับการศึกษาระดับสูง แต่เธอก็เรียนวิชาต่างๆ เช่น ดาราศาสตร์ คณิตศาสตร์ ภูมิศาสตร์ และการแพทย์ เธอเป็นที่รู้จักดีจากผลงานด้านดาราศาสตร์ คณิตศาสตร์ และกวีนิพนธ์ เธอเป็น นักวิชาการที่ได้รับการยกย่องว่า "สตรีผู้ไม่ธรรมดาของจีนในศตวรรษที่ 18" ใน หนังสือและบทความของเธอเขียนเกี่ยวกับตรีโกณมิติและทฤษฎีบทของพีทาโกรัส ศึกษาสุริยุปราคาและจันทรุปราคา และอธิบายปรากฏการณ์ท้องฟ้าอื่นๆ อีกมากมาย เธอเชี่ยวชาญตรีโกณมิติและรู้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เธอเขียนบทความชื่อ "คำ อธิบายของทฤษฎีบทพีทาโกรัสและตรีโกณมิติ" ซึ่งเธอได้อธิบายรูปสามเหลี่ยม และความสัมพันธ์ระหว่างขาสั้นของสามเหลี่ยมมุมฉาก ขายาว และด้านตรงข้าม มุมฉากของสามเหลี่ยมอย่างถูกต้องทั้งหมด Carl Friedrich Gauss ( ค.ศ. 1777 – 1855 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 61
ออกัสต์ เฟอร์ดินานด์ โมบิอุส เป็นนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาว เยอรมัน เขาศึกษาภายใต้การดูแลของ Carl Friedrich Gauss ในเมือง Göttingen และเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดจากการค้นพบแถบ Möbius ซึ่งเป็นพื้นผิว สองมิติที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้และมีเพียงด้านเดียว (อย่างไรก็ตาม Johann Benedict Listing ค้นพบโดยอิสระเมื่อไม่กี่เดือนก่อนหน้านี้) เอกสารทางคณิตศาสตร์ของ Möbius ส่วนใหญ่เป็นรูปทรงเรขาคณิต และ แนวคิดอื่นๆ อีกมากมายในวิชาคณิตศาสตร์ได้รับการตั้งชื่อตามเขา เช่น ระนาบโมบิอุส การแปลงโมเบียส ฟังก์ชันโมเบียส μ (n) ในทฤษฎีจำ นวน และ การกำ หนดค่าโมเบียสของจัตุรมุขสองรูปที่จารึกไว้ร่วมกัน แถบ Möbius เป็นพื้นผิวที่ไม่สามารถปรับทิศทางได้ หมายความว่าภายใน แถบนั้นเราไม่สามารถแยกความแตกต่าง ของการ หมุนตามเข็มนาฬิกาออก จาก การหมุนทวนเข็มนาฬิกาได้อย่างสม่ำ เสมอ ทุกพื้นผิวที่ไม่สามารถปรับ ทิศทางได้จะมีแถบ Möbius August Ferdinand Möbius ( ค.ศ. 1790 – 1868 ) นิโคไล โลบาเชฟสกี เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย และเป็นหนึ่งในผู้ ก่อตั้งเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด เขาสามารถแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถ สร้างรูปทรงเรขาคณิตประเภทที่สอดคล้องกันซึ่งไม่มีสัจพจน์ที่ห้าของยุคลิด (เกี่ยวกับเส้นขนาน) เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดที่ Lobachevsky พัฒนา ขึ้นเรียกว่าเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก ในเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก ผลรวมของ มุมในสามเหลี่ยมไฮเปอร์โบลิกต้องน้อยกว่า 180 องศา เรขาคณิตไฮเพอร์ โบลิกมักถูกเรียกว่า "เรขาคณิตโลบาชอฟสกี" หรือ "เรขาคณิตโบไล-โลบา ชอฟสกีน" Nikolai Lobachevsky ( ค.ศ. 1792 – 1856 ) แถบ Möbius ทำ ด้วยกระดาษและเทปกาว พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 62
ยานอส โบลยาย เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี และเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งเรขาคณิต ที่ไม่ใช่แบบยุคลิด ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่แนวคิดที่ห้าของ Euclid เกี่ยวกับเส้น ขนานไม่มีอยู่จริง นี่เป็นความก้าวหน้าครั้งสำ คัญในวิชาคณิตศาสตร์ น่าเสียดายสำ หรับโบลยาย นักคณิตศาสตร์ Gauss และ Lobachevsky ค้นพบ ผลลัพธ์ที่คล้ายกันในเวลาเดียวกัน และได้รับเครดิตส่วนใหญ่ เขาเป็นผู้พัฒนา เรขาคณิตสัมบูรณ์ซึ่งเป็นเรขาคณิตที่มีทั้งเรขาคณิตแบบยุคลิดและ เรขาคณิต ไฮเพอร์โบลิก การค้นพบรูปทรงเรขาคณิตทางเลือกที่สอดคล้องกันซึ่งอาจสอดคล้อง กับโครงสร้างของเอกภพช่วยให้นักคณิตศาสตร์มีอิสระในการศึกษาแนวคิดเชิง นามธรรม โดยไม่คำ นึงถึงความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ใด ๆ กับโลกทางกายภาพ János Bolyai ( ค.ศ. 1802 – 1860 ) แบร์นฮาร์ท รีมัน เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันที่ทํางานด้านการวิเคราะห์ และทฤษฎีจํานวน เขาคิดคําจํากัดความที่เข้มงวดครั้งแรกของการบูรณาการศึกษา เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งวางรากฐานสําหรับสัมพัทธภาพทั่วไป และทําการค้นพบ ที่ก้าวล้ำ เกี่ยวกับการกระจายตัวของจํานวนเฉพาะและเขาเป็นผู้มีส่วนร่วมในการ วิเคราะห์เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ในด้านการวิเคราะห์เขาเป็นที่รู้จักจากการกำ หนด ปริพันธ์อย่างเข้มงวดเป็นครั้งแรก ปริพันธ์รีมันน์และผลงานของเขาเกี่ยวกับ อนุกรมฟูเรียร์ ผลงานที่ตีพิมพ์ของ Riemann ได้เปิดพื้นที่การวิจัยที่ผสมผสานการ วิเคราะห์เข้ากับรูปทรงเรขาคณิต สิ่งเหล่านี้จะกลายเป็นส่วนสำ คัญของทฤษฎี เรขาคณิตรีมานเนียน เรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีที่ฎีที่ หลากหลายเชิงซ้อน Bernhard Riemann ( ค.ศ. 1826 – 1866 ) โซพุส ลี นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์มีความก้าวหน้าอย่างมากในการศึกษากลุ่ม การเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง ซึ่งปัจจุบันเรียกว่ากลุ่ม Lie เขายังทํางานเกี่ยวกับสมการ เชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิดเขาสร้างทฤษฎีสมมาตรต่อเนื่องเป็นส่วนใหญ่ และนำ ไปใช้กับการศึกษาเรขาคณิตและสมการเชิงอนุพันธ์ใธ์นวิชาคณิตศาสตร์สมมาตร ต่อเนื่องเป็นแนวคิดที่เข้าใจได้ง่ายซึ่งสอดคล้องกับแนวคิดของการมองสมมาตรบางส่วน เป็นการเคลื่อนที่ตรงข้ามกับสมมาตรแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น สมมาตรแบบสะท้อน ซึ่งไม่แปรผันภายใต้การพลิกจากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งอย่างไรก็ตาม สมมาตรแบบไม่ต่อเนื่องสามารถตีความใหม่ได้เสมอว่าเป็นเซตย่อยของสมมาตรต่อเนื่อง ในมิติที่สูงขึ้น เช่น การสะท้อนของวัตถุ 2 มิติในปริภูมิ 3 มิติสามารถทำ ได้โดยการหมุน วัตถุนั้นอย่างต่อเนื่อง 180 องศาในระนาบที่ไม่ขนานกัน Marius Sophus Lie ( ค.ศ. 1842 – 1899 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 63
อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เป็นนักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน และเป็นหนึ่งในนัก วิทยาศาสตร์ที่ทรงอิทธิพลที่สุดในประวัติศาสตร์ เขาได้รับรางวัลโนเบล สาขาฟิสิกส์และนิตยสาร TIME เรียกเขาว่าบุคคลแห่งศตวรรษที่ 20 ไอน์สไตน์ทําให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่สําคัญที่สุดในมุมมองของเรา เกี่ยวกับจักรวาลตั้งแต่นิวตัน เขาตระหนักว่าฟิสิกส์คลาสสิกของนิวตัน ไม่เพียงพอที่จะอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพบางอย่างอีกต่อไป ตอนอายุ 26 ปี ในช่วง "ปีมหัศจรรย์" ของเขา Albert Einstein ( ค.ศ. 1879 – 1955 ) Maurits Cornelis Escher ( ค.ศ. 1898 – 1972 ) เมาริตส์ กอร์เนลิส แอ็ชเชอร์ เป็นศิลปินชาวดัตช์ที่สร้างภาพสเก็ตช์ ภาพตัด ไม้ และภาพพิมพ์หินของวัตถุและรูปร่างที่ได้รับแรงบันดาลใจทาง คณิตศาสตร์: รวมถึงรูปหลายเหลี่ยม เทสเซลเลชัน และรูปทรงที่เป็นไปไม่ได้ เขาสํารวจแนวคิดแบบกราฟิก เช่น สมมาตร อนันต์ มุมมอง และเรขาคณิตที่ ไม่ใช่ยุคลิด เป็นศิลปินสาขาเลขนศิลป์ ผู้มีผลงานที่ใช้หลักการทางเรขาคณิต ไม่ว่าจะเป็นรูปทรง มิติ ภาพลวงตา และเทสเซลเลชัน ถึงแม้ว่าเขาจะมีความรู้ ทางคณิตศาสตร์ไม่มากนักก็ตาม ผลงานเริ่มเด่นชัดเมื่อ เริ่มมีการทำ ภาพพิมพ์ ขึ้น หลังปี ค.ศ. 1937 และเริ่มเบี่ยงเบนความสนใจจากสถาปัตยกรรมมายัง ภาพพิมพ์นับแต่นั้นมา โดยมีการใช้หลักทางเรขาคณิตเป็นแนวคิด ทั้งเรื่องของรูปทรง มิติ และภาพลวงตา เขาได้ตีพิมพ์เอกสารทางวิทยาศาสตร์ที่ร์ ที่ ก้าวล้ําสี่ฉบับที่อธิบายเอฟเฟกต์โฟโตอิเล็กทริกและการเคลื่อนที่ของบราวเนียน แนะนําสัมพัทธภาพพิเศษ และได้รับสูตร E=mc2 ซึ่งระบุว่าพลังงาน (E) และมวล (m) เทียบเท่ากัน เขาได้พยายามคิดค้นทฤษฎีสนามรวม โดยสรุปทฤษฎีความโน้มถ่วงทางเรขาคณิตเพื่อรวมเข้ากับทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า เป็นผลทำ ให้เขาตีตัวออกห่างจากกระแสหลักของฟิสิกส์สมัยใหม่มากขึ้นเรื่อย ๆ หนังสือเรขาคณิตเป็นหนังสือที่เขา โปรดปรานมาก เขาศึกษาเรขาคณิตจากหนังสือของยูคลิด อายุเพียง 12 ปี เขาทำ ความเข้าใจในเรื่องเรขาคณิตของยู คลิดเป็นอย่างดี ครั้งเมื่อเติบโตขึ้นจนอายุเข้า 16 ปี เขาก็สามารถเรียนรู้หลักการทางคณิตศาสตร์ชั้นสูงหลายอย่าง เช่น วิชาการแคลคูลัส และดิฟเฟอเรนเชียน การอินทิกรัล และกฎของนิวตัน ตลอดจนหลักการทางฟิสิกส์อีกมากมาย พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 64
Shiing-Shen Chern ( ค.ศ. 1911 – 2004 ) เป็นนักคณิตศาสตร์และกวีชาวจีน-อเมริกัน เป็นนักคณิตศาสตร์แร์ละกวี ชาวอเมริกันเชื้อ สายจีน เขามีส่วนสนับสนุนพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แธ์ละ โทโพ โลยี เขาได้รับการ ขนานนามว่าเป็น "บิดาแห่งเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สมัยใหม่" และได้รับการยกย่องอย่าง กว้างขวางว่าเป็นผู้นำ ด้านเรขาคณิตและเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดแห่ง ศตวรรษที่ 20 โดยได้รับรางวัลและการยอมรับมากมายรวมถึงรางวัล Wolf Prizeและ รางวัลชอว์เว์ปิด ตัวในความทรงจำ ของ Shiing-Shen Chern สหภาพคณิตศาสตร์ระหว่าง ประเทศได้จัดตั้งChern Medalในปี 2010 เพื่อยกย่อง "บุคคลซึ่งรับประกันความสำ เร็จใน ระดับสูงสุด ของการยกย่องความสำ เร็จที่โดดเด่นในสาขาคณิตศาสตร์" เขาเป็นบิดาแห่ง เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สมัยใหม่ งานของเขาเกี่ยวกับเรขาคณิต โทโพโลยี และทฤษฎี ปมยังมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสตริงและกลศาสตร์ควอนตัม ในฐานะนักศึกษา เขาศึกษาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบฉายภาพภายใต้Sต้unGuangyuanซึ่งเป็นนักเรขาคณิต และนักตรรกวิทยา ที่ได้รับการฝึกฝน จากมหาวิทยาลัยชิคาโก Ernest Wilkins ( ค.ศ. 1923 – 2011 ) เออร์เนสต์ วิลกินส์เป็นวิศวกร นักวิทยาศาสตร์นิวเคลียร์ และนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เขาเข้าเรียนที่มหาวิทยาลัยชิคาโกเมื่ออายุ 13 ปี กลายเป็นนักศึกษาที่อายุน้อยที่สุดเท่าที่ เคยมีมา ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง เขามีส่วนร่วมในโครงการแมนฮัตตันเพื่อพัฒนา อาวุธนิวเคลียร์ชิ้นแรก ในฐานะนักวิทยาศาสตร์นิวเคลียร์ ต่อมาเขาได้ช่วยออกแบบ เครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์เพื่อผลิตพลังงาน วิลกินส์ตีพิมพ์เอกสารมากกว่า 100 ฉบับ ซึ่งครอบคลุมวิชาต่างๆ เช่น เรขาคณิตเชิง อนุพันธ์ แคลคูลัส วิศวกรรมนิวเคลียร์ และทัศนศาสตร์ แม้ว่าในฐานะ ชาวแอฟริกันอเมริกัน เขามักจะตกเป็นเป้าหมายของการเหยียดเชื้อชาติ Benoit Mandelbrot ( ค.ศ. 1924-2010 ) เบอนัวต์ แมนเดลบรอตเป็นนักคณิตศาสตร์เกิดที่โปแลนด์ เติบโตในฝรั่งเศสและในที่สุด ก็ย้ายไปสหรัฐอเมริกา เขาเป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกเรขาคณิตเศษส่วนและสนใจเป็นพิเศษว่า "ความหยาบ" และ "ความโกลาหล" ปรากฏในโลกแห่งความเป็นจริงอย่างไร (เช่น เมฆ หรือแนวชายฝั่ง)เขาเรียกตัวเองว่าเป็น "นักเศษส่วน" และได้รับการยอมรับจากผลงาน ของเขาในด้านเรขาคณิตเศษส่วนซึ่งรวมถึงการสร้างคำ ว่า "เศษส่วน" เช่นเดียวกับการ พัฒนาทฤษฎีของ “ความหยาบและความคล้ายตนเอง ” ในธรรมชาติขณะทํางานที่ IBM เขาใช้คอมพิวเตอร์ยุคแรกๆ เพื่อสร้างการแสดงเศษส่วนแบบกราฟิก และในปี 1980 เขาได้ค้นพบชุด Mandelbrot ที่มีชื่อเสียง พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 65
Alexander Grothendieck ( ค.ศ. 1928 – 2014 ) อเล็กซานเดอร์ โกรเธนดิเอคเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส (The French ทาง คณิตศาสตร์)เป็นหนึ่งในบุคคลสําคัญในการพัฒนาเรขาคณิตเชิงพีชคณิต (lgebraymetry) เขาขยายขอบเขตของสาขาเพื่อนําไปใช้กับปัญหาใหม่มากมายในวิชา คณิตศาสตร์ รวมถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในที่สุด ในปี พ.ศ. 2509 เขาได้รับ รางวัลเหรียญรางวัล Fields งานวิจัยของเขาขยายขอบเขตของสาขาวิชาและเพิ่มองค์ ประกอบของพีชคณิตสลับขั้ว พีชคณิตโฮ โม โลยี ทฤษฎีมัดและทฤษฎีหมวดหมู่จมู่ นถึง รากฐาน ในขณะที่มุมมองที่เรียกว่า"สัมพัทธ์" John Forbes Nash ( ค.ศ. 1928 – 2015 ) จอห์น ฟอร์บส์ แนชเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันที่ทํางานเกี่ยวกับทฤษฎีเกม เรขาคณิตเชิง อนุพันธ์ และสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน ในฐานะนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาในภาควิชา คณิตศาสตร์ที่ร์ม ที่ หาวิทยาลัยพรินซ์ตันเขาได้แนะนำ แนวคิดต่างๆมากมาย (รวมถึงความสมดุล ของเขาและวิธีแก้ปัญหาการต่อรองของเขา ) ซึ่งปัจจุบันถือเป็นหัวใจสำ คัญของทฤษฎีเกมและ การประยุกต์ใช้ในศาสตร์ต่างๆ ในปี 1950 เขาได้ค้นพบและพิสูจน์ทน์ฤษฎีบทฝังตัวของเขาโดย การแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไม่เชิงเส้นที่เกิดขึ้นในเรขาคณิตรีมรีานเนียน งานนี้ยัง แนะนำ รูปแบบเบื้องต้นของทฤษฎีบทแนช-โมเซอร์ซึ่ร์ ซึ่ งภายหลังได้รับการยอมรับจากสมาคม คณิตศาสตร์อเมริกันด้วยรางวัลลี Jean-Pierre Serre ( เกิดปี ค.ศ.1926 ) ฌอง-ปิแอร์ แซร์เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่ช่วยกําหนดสาขาโทโพโลยี ทฤษฎี จํานวน และเรขาคณิตเชิงพีชคณิต เขาเป็นคนแรกที่ได้รับเหรียญรางวัล Fields, Abel Prize และ Wolf Prize ซึ่งเป็นรางวัลสูงสุดสามรางวัลในวิชาคณิตศาสตร์ ตั้งแต่อายุยังน้อย เขาเป็นบุคคลที่โดดเด่นในโรงเรียนของอองรีกรีาร์ตัน ทำ งานเกี่ยว กับโทโพโลยีเชิงพีชคณิตตัวแปรที่ซับซ้อนหลายตัวแปรจากนั้นเป็นพีชคณิตสลับขั้ว และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งเขาได้แนะนำ ทฤษฎีมัฎีมัด และ เทคนิคพีชคณิตแบบ โฮโม โลยี วิทยานิพนธ์ของ Serre เกี่ยวข้องกับลำ ดับสเปกตรัม Leray–Serre ที่เกี่ยวข้อง กับการสั่น ร่วมกับ Cartan Serre ได้สร้างเทคนิคการใช้ช่ช้ ช่องว่าง EilenbergMacLane สำ หรับการคำ นวณกลุ่มโฮโมโทปีของทรงกลมซึ่งในขณะนั้นเป็นปัญหา สำ คัญอย่างหนึ่งในโทโพโลยี พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 66 รอย พี. สตีล สำ หรับการมีส่วนร่วมในงานวิจัย Ennio De Giorgiและเขาค้นพบเนื้อหาของผลลัพธ์ที่ปูทางสำ หรับความ เข้าใจอย่างเป็นระบบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยรูปวงรีแรีละพาราโบลาด้วยวิธีที่แยกจากกันทฤษฎีบท De Giorgi–Nash ของพวกเขาเกี่ยวกับความราบรื่นของคำ ตอบของสมการดังกล่าวช่วยแก้ปัก้ ปัญหาที่สิบเก้าของ Hilbert เกี่ยวกับความ สม่ำ เสมอในแคลคูลัสของการแปรผัน ซึ่งเป็น ปัญหาเปิดที่รู้จักกันดีมาเกือบหกสิบปีเขาแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์สามารถ อธิบายการตัดสินใจ -making ในระบบ real-life ที่ซับซ้อนได้อย่างไร รวมถึงเศรษฐศาสตร์และการทหาร ในวัย 30 ปี แนช ได้รับการวินิจฉัยว่าเป็นโรคจิตเภทหวาดระแวง แต่เขาสามารถฟื้นตัวและกลับไปทํางานวิชาการได้ เขาเป็นคนเดียวที่ได้รับ รางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์และรางวัลอาเบล ซึ่งเป็นหนึ่งในรางวัลสูงสุดในวิชาคณิตศาสตร์
Shing-Tung Yau ( เกิดปี ค.ศ.1949 ) ชิงตุงเหยาเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน มีพื้นเพมาจากซัวเถาในประเทศจีน เขา ศึกษาสมการอนุพันธ์บางส่วนและการวิเคราะห์ทางเรขาคณิต และงานของเขามีการ ใช้งานมากมาย รวมถึงทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและสตริง ผลลัพธ์ที่โด่งดังที่สุดของเขา ได้แก่ การแก้ปัญหา (ร่วมกับShiu-Yuen Cheng ) ของปัญหาค่าขอบเขตสำ หรับสมการMonge-Ampèreทฤษฎีบทมวลบวกในการ วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (บรรลุโดย Richard Schoen ) ความละเอียดของการคาดคะเนCalabiทฤษฎีโทโพโลยีของพื้นผิวขั้น ต่ำ (โดยWilliam Meeks ) ทฤษฎีบท Donaldson-Uhlenbeck-Yau (โดยKaren Uhlenbeck ) และการประมาณการไล่ระดับสี Cheng−Yau และ Li−Yau สำ หรับ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (พบกับ Shiu-Yuen Cheng และPeter Li ) ผลงานของ เหยาจำ นวนมาก Grigori Perelman ( เกิดปี ค.ศ. 1966 ) กริกอรี เปเรลมันเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียพิสูจน์ให้เห็นถึงการคาดเดาของ Poincaré ซึ่งจนถึงตอนนั้นเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่มีชื่อเสียงที่สุดใน วิชาคณิตศาสตร์ หลักฐานที่ซับซ้อนได้รับการยืนยันในปี 2549 แต่เขาปฏิเสธรางวัลใหญ่ สองรางวัลที่มาพร้อมกับรางวัล ได้แก่ Clay Millennium Prize มูลค่า 1 ล้านดอลลาร์ และ Fields Medal ซึ่งเป็นรางวัลสูงสุดในวิชาคณิตศาสตร์ อันที่จริง เขาพูดว่า : “ฉันไม่ สนใจเงินหรือชื่อเสียง ฉันไม่ต้องการที่จะจัดแสดงเหมือนสัตว์ในสวนสัตว์” เขายังมีส่วน ร่วมในเรขาคณิต Riemannian และโทโพโลยีทางเรขาคณิตและPoincaré Conjecture ยังคงเป็นปัญหาเดียวในเจ็ดปัญหารางวัลสหัสวรรษที่ได้รับการแก้ไข Karen Uhlenbeck ( เกิดปี ค.ศ. 1942 ) คาเรน อูเลนเบคเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ศาสตราจารย์กิตติคุณที่มหาวิทยาลัย เท็กซัส และศาสตราจารย์รับเชิญที่มีชื่อเสียงที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน เธอเป็นหนึ่งในผู้ก่อตั้งสาขาการวิเคราะห์ทางเรขาคณิตสมัยใหม่ และเป็นผู้หญิงคนเดียว ที่ได้รับรางวัล Abel Prize ซึ่งเป็นหนึ่งในรางวัลสูงสุดด้านคณิตศาสตร์ เป็นหนึ่งในผู้ก่อ ตั้งสาขาการวิเคราะห์ทางเรขาคณิตซึ่งเป็นสาขาวิชาที่ใช้เช้รขาคณิตเชิงอนุพันธ์เธ์พื่อศึกษา คำ ตอบของสมการเชิงอนุพันธ์แธ์ละในทางกลับกัน เธอยังมีส่วนร่วมในทฤษฎีสนามควอน ตัมเชิงทอพอโลยีแยีละระบบที่บูรณาการได้ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 67
Maryam Mirzakhani ( ค.ศ. 1977 – 2017 ) มาเรียม มีร์ซาคานีเป็นนักคณิตศาสตร์และศาสตราจารย์ชาวอิหร่านที่มหาวิทยาลัย สแตนฟอร์ด เธอเป็นผู้หญิงคนแรกที่ได้รับรางวัล Fields Medal ซึ่งเป็นรางวัล สูงสุดในวิชาคณิตศาสตร์ Mirzakhani ทํางานที่จุดตัดของระบบไดนามิกและ เรขาคณิต เธอศึกษาวัตถุต่างๆ เช่น พื้นผิวไฮเปอร์โบลิกและท่อร่วมที่ซับซ้อน แต่ยังมีส่วนสนับสนุนด้านคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกมากมาย เมื่อแก้ปัญหา Mirzakhani จะวาดเส้นขยุกขยิกและไดอะแกรมบนกระดาษแผ่น ใหญ่ เพื่อดูรูปแบบและความงามพื้นฐาน ลูกสาวของเธอยังอธิบายงานของ Maryam ว่าเป็น "ภาพวาด" เมื่ออายุ 40 ปี Mirzakhani เสียชีวิตด้วยโรคมะเร็ง เต้านม พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 68
สาระที่ 3 สถิติและความน่าจะเป็น เรียนรู้เกี่ยวกับ การตั้งคำ ถามทางสถิติ การเก็บรวบรวมข้อมูล การคำ นวณค่าสถิติ การนำ เสนอและแปล ผลสำ หรับข้อมูลเชิงคุณภาพและเชิงปริมาณ หลักการนับ เบื้องต้น ความน่าจะเป็น การใช้ความรู้เกี่ยวกับ สถิติและความน่าจะเป็นในการอธิบายเหตุการณ์ต่างๆ และช่วยในการตัดสินใจ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 69
Leonhard Euler ( ค.ศ. 1707 - 1783 ) มูฮัมหมัด อัล-คาราจี เขาได้กล่าวว่าโลกมีรูปร่างเป็นทรงกลม เขาศึกษาพีชคณิตของ เลขชี้กำ ลังอย่างเป็นระบบ และเป็นคนแรกที่นิยามกฎสำ หรับหน่วยเดียว และเขาได้ให้ สูตรแรกของค่าสัมประสิทธิ์ทวินามและคำ อธิบายแรกของรูปสามเหลี่ยมของปาสคาล จนได้รับเครดิตให้เป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบททวินาม (สัมประสิทธิ์ทวินามสามารถจัดเรียงเป็นสามเหลี่ยมของปาสคาล ซึ่งแต่ละรายการคือผลรวมของสองค่าด้านบนทันที) Leonhard Euler ( ค.ศ. 1707 - 1783 ) หยาง ฮุยเป็นนักคณิตศาสตร์และนักเขียนชาวจีนในช่วงราชวงศ์ซ่ง ทฤษฎีบททวินามและเป็นที่รู้จักกันดีที่สุดจากผลงานของเขาใน การนำ เสนอสามเหลี่ยมของหยางฮุ่ยและเขาได้เขียนหนังสือ Piling-up Powers and Unlocking Coefficients ซึ่งปรากฏอีก ครั้งในหนังสือJade Mirror of the Four Unknowns ของ Zhu Shijieในปี ค.ศ. 1303 เป็นการหารากที่สองและรากที่สามด้วยการ แก้สมการกำ ลังสองและกำ ลังสาม และเพิ่มความเข้าใจเกี่ยวกับ อนุกรมและความก้าวหน้า โดยจำ แนกตามค่าสัมประสิทธิ์ของ สามเหลี่ยมปาสคาล เขายังแสดงวิธีแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้น โดยลดเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ให้อยู่ในรูปทแยงมุม สามเหลี่ยมหยางฮุ่ย สามเหลี่ยมของปาสคาล โดยใช้เลขแท่งดังที่ปรากฎในสิ่งพิมพ์ของ Zhu Shijie ในปี ค.ศ. 1303 พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 70
ปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักกฎหมายชาวฝรั่งเศส แฟร์มาต์ ทำ งานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เพื่อความสุขอย่างแท้จริง เขามีชีวิตอยู่ในช่วงเวลาที่คน ส่วนใหญ่ไม่ได้ใช้คณิตศาสตร์ ข้อยกเว้นประการหนึ่งสำ หรับสิ่งนี้คือนักพนันมือ อาชีพซึ่งจำ เป็นต้องมีความคิดว่าเมื่อใดที่พวกเขาจะได้รับประโยชน์จากการเดิมพัน บางอย่างในปี ค.ศ. 1654 Blaise Pascal เขียนจดหมายถึง Fermat เพื่ออธิบาย ถึงปัญหาการพนัน เจโรลาโม คาร์ดาโน เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุด ในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ขาดแคลนเงินอย่างฉาวโฉ่และเก็บตัวทำ ละลายด้วยการเป็น นักพนันและผู้เล่นหมากรุกที่ประสบความสำ เร็จ หนังสือของเขาเกี่ยวกับเกมของโอกาส Liber เดอลูโด aleae "หนังสือเกี่ยวกับเกมของโอกาส" เขียนรอบ 1564 แต่ไม่ตีพิมพ์ จนกระทั่ง 1663 มีการรักษาระบบแรกของความน่าจะเป็น เช่นเดียวกับส่วนเกี่ยว กับวิธีการโกงที่มีประสิทธิภาพ เขาใช้เกมโยนลูกเต๋าเพื่อทำ ความเข้าใจแนวคิดพื้นฐาน ของความน่าจะเป็น เขาแสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพของการกำ หนดอัตราต่อรองเป็น อัตราส่วนของผลลัพธ์ที่ดีต่อผลลัพธ์ที่ไม่เอื้ออำ นวย (ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของ เหตุการณ์นั้นกำ หนดโดยอัตราส่วนของผลลัพธ์ที่ดีต่อจำ นวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด) เขายังตระหนักถึงกฎการคูณสำ หรับเหตุการณ์ที่เป็นอิสระแต่ไม่แน่ใจว่าควรคูณค่าใด Gerolamo Cardano ( ค.ศ. 1501-1576 ) Pierre de Fermat ( ค.ศ. 1607-1665 ) ในปี ค.ศ. 1654 Blaise Pascal ได้ขอความช่วยเหลือจาก Fermat ในการหาปัญหาการพนันจากเกมลูกเต๋า ตัวอย่างเช่น ปาสคาลถูกขอให้แก้ปัญหาจากเกมลูกเต๋า: หากผู้เล่นเดิมพัน เขาสามารถโยน 6 ได้ภายใน 8 ครั้ง ของการโยนลูกเต๋า 1 ครั้ง แต่เกมถูกขัดจังหวะหลังจากโยนไม่สำ เร็จ 3 ครั้ง วิธีใดที่ยุติธรรมที่สุดในการ แบ่งเงินเดิมพันออก Fermat แก้ปัญหาด้วยวิธีที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์โดยดูที่ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ปัจจุบัน Fermat และ Pascal ได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ร่วมก่อตั้งทฤษฎีความน่าจะเป็น พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 71
เจค็อบ แบร์นูลลี เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส และเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ ที่สำ คัญหลายคนในตระกูล Bernoulli ในความเป็นจริงเขามีการแข่งขัน ทางวิชาการอย่างลึกซึ้งกับพี่ชายและลูกชายของเขาหลายคน แบร์นูลลี สร้างความก้าวหน้าอย่างมากให้กับแคลคูลัสที่คิดค้นโดยนิวตันและไลบ์นิทซ์ สร้างสาขาแคลคูลัสของการแปรผัน ค้นพบค่าคงที่พื้นฐาน e พัฒนาเทคนิค สำ หรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และอื่นๆ อีกมากมาย เขาตีพิมพ์ผลงานชิ้น แรกเกี่ยวกับความน่าจะเป็น รวมทั้งการเรียงสับเปลี่ยน การรวมกัน และกฎของ จำ นวนมหาศาล เขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบททวินาม และได้มาซึ่งคุณสมบัติหลาย อย่างของเบอร์นูลลี Jacob Bernoulli ( ค.ศ. 1655 - 1705 ) อับราฮัม เดอ มัวร์ เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่ทำ งานเกี่ยวกับ ความน่าจะเป็น นิพจน์ทั่วไปที่พบในความน่าจะเป็นคือ n! แต่ก่อนวันที่ เครื่องคิดเลขคำ นวณ n! สำ หรับ n ขนาดใหญ่ใช้เวลานาน ในปี 1733 de Moivre ได้เสนอสูตรสำ หรับการประมาณค่าแฟกทอเรียลเป็น n ! = CN (n + 2/1) E - n เขาได้รับการแสดงออกโดยประมาณ สำ หรับคงคแต่มันก็เป็นเจมส์สเตอร์ลิงที่พบว่าเป็น √ 2 π De Moivre ยังตีพิมพ์บทความชื่อ "Annuities upon Lives" ซึ่งเขาได้เปิดเผยการแจกแจงตามปกติของอัตราการตายตามอายุของบุคคล จากนี้เขาได้สร้างสูตรง่าย ๆ ในการประมาณรายได้ที่เกิดจากการชำ ระเงินรายปี ตามอายุของบุคคล ซึ่งคล้ายกับประเภทของสูตรที่ บริษัท ประกันภัยใช้ในปัจจุบัน Abraham de Moivre ( ค.ศ. 1667 - 1754 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 72
Daniel Bernoulli ( ค.ศ. 1700 – 1782 ) แดเนียล แบร์นุลลี (ค.ศ.1700 – 1782) เป็นนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ ชาวสวิส เขาเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนจากตระกูลแบร์นูลลี รวมถึงโยฮันน์บิดาของเขา ยาโคบผู้เป็นอาของเขา และนิโคลัสน้องชายของเขา Daniel Bernoulli แสดงให้เห็นว่าเมื่อความเร็วของของเหลวเพิ่มขึ้น ความดัน ของของเหลวจะลดลง ปัจจุบันเรียกว่าหลักการของแบร์นูลลี นี่คือกลไกที่ใช้โดยปีก เครื่องบินและเครื่องยนต์สันดาป เขายังค้นพบสิ่งสำ คัญในด้านความน่าจะเป็นและ สถิติ และพบฟังก์ชันเบสเซลเป็นครั้งแรก เขาเขียน Exercitationes quaedam Mathematicae เกี่ยวกับสมการเชิง อนุพันธ์และฟิสิกส์ของน้ำ ไหล ซึ่งทำ ให้เขาได้รับตำ แหน่งที่ Academy of Sciences อันทรงอิทธิพลในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กประเทศรัสเซีย แบร์นูลลีบรรยายที่ นั่นจนถึงปี ค.ศ. 1732 ในวิชาแพทย์ กลศาสตร์ และฟิสิกส์ และเขาได้ค้นคว้าเกี่ยว กับคุณสมบัติของวัตถุที่สั่นและหมุนได้ และมีส่วนร่วมในทฤษฎีความน่าจะเป็น ปีแยร์-ซีมง ลาปลัส เป็นนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส บาง ครั้งเขาถูกเรียกว่า "นิวตันแห่งฝรั่งเศส" เนื่องจากความสนใจที่หลากหลายและผล งานของเขามีผลอย่างมาก Laplace เป็นผู้บุกเบิกด้านความน่าจะเป็น และแสดง ให้เห็นว่าความน่าจะเป็นสามารถช่วยให้เราเข้าใจข้อมูลจากโลกทางกายภาพได้ อย่างไร เขายังเป็นผู้พัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ซึ่งถูกนำ ไปใช้งานอย่าง กว้างขวาง เป็นผู้คิดค้นสมการลาปลัส (Laplace’s Equation) และการแปลงลาป ลัส (Laplace transform) ซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในวิชาแคลคูลัสและฟิสิกส์ นอกจากนี้เขายังมีผลงานอื่นๆทั้งด้านคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และดาราศาสตร์อีก มากมาย ผลงานของเขาในปี ค.ศ. 1812 เรื่อง "Théorie analytique des probabilités" (ทฤษฎีการวิเคราะห์ความน่าจะเป็น) ได้ส่งเสริมเรื่องของ ความน่าจะเป็นและสถิติอย่างมีนัยสำ คัญ Pierre-Simon Laplace ( ค.ศ. 1749 – 1827 ) หนังสือ "Théorie analytique des probabilités" (ทฤษฎีการวิเคราะห์ความน่าจะเป็น) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 73
Niels Henrik Abel ( ค.ศ. 1802 – 1829 ) ฟลอเรนซ์ ไนติงเกล เป็นพยาบาลและนักสถิติชาวอังกฤษ ในช่วงสงครามไครเมีย เธอดูแลทหารอังกฤษที่ได้รับบาดเจ็บ และต่อมาได้ก่อตั้งโรงเรียนฝึกอบรมพยาบาล แห่งแรก ในฐานะ "The Lady with the Lamp" เธอกลายเป็นไอคอนทาง วัฒนธรรม และพยาบาลคนใหม่ในสหรัฐอเมริกายังคงรับจํานําไนติงเกล ผลงานที่สําคัญที่สุดอย่างหนึ่งของเธอในด้านการแพทย์คือการใช้สถิติ เพื่อประเมินการรักษา เธอสร้างอินโฟกราฟิกมากมาย และเป็นหนึ่งในคนกลุ่ม แรกๆ ที่ใช้แผนภูมิวงกลม ไนติงเกลยังทํางานเพื่อปรับปรุงการสุขาภิบาลและความ หิวโหยในอินเดีย ช่วยยกเลิกกฎหมายการค้าประเวณี และส่งเสริมอาชีพใหม่ สําหรับผู้หญิง อันเดรย์ คอลโมโกรอฟเป็นนักคณิตศาสตร์โซเวียต. เขาได้รับการศึกษาในโรงเรียน ประจำ หมู่บ้านของป้า Vera และงานวรรณกรรมและเอกสารทางคณิตศาสตร์ใน ยุคแรกสุดของเขาได้รับการตีพิมพ์ในวารสารของโรงเรียน "The Swallow of Spring" อันเดรย์ (ตอนอายุห้าขวบ) เป็น "บรรณาธิการ" ของแผนกคณิตศาสตร์ ของวารสารนี้ การค้นพบทางคณิตศาสตร์ครั้งแรกของ Kolmogorov ได้รับการตี พิมพ์ในวารสารนี้ ตอนอายุห้าขวบเขาสังเกตเห็นความสม่ำ เสมอของผลรวมของ ชุดเลขคี่ เขามีส่วนสําคัญต่อทฤษฎีความน่าจะเป็น กระบวนการสุ่ม และโซ่มาร์ค อฟ เขายังศึกษาโทโพโลยี ตรรกะ กลศาสตร์ ทฤษฎีจํานวน ทฤษฎีสารสนเทศ และทฤษฎีความซับซ้อนในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง เขาใช้สถิติเพื่อทํานายการ กระจายการทิ้งระเบิดในมอสโก นอกจากนี้ เขายังมีบทบาทอย่างแข็งขันในการ ปฏิรูประบบการศึกษาในสหภาพโซเวียต และพัฒนาการเรียนการสอนสําหรับเด็ก ที่มีพรสวรรค์ Andrey Kolmogorov ( ค.ศ. 1903 – 1987 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 74
พอล แอร์ดอสเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่มีประสิทธิผลมากที่สุดในประวัติศาสตร์ เกิดในฮังการี เขาแก้ปัญหานับไม่ถ้วนในทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีจํานวน คอมบิเนเต อร์ิกส์ การวิเคราะห์ ความน่าจะเป็น และส่วนอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ แอร์ดิช ติดตามและเสนอปัญหาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์แยกส่วนทฤษฎีกฎีราฟ ทฤษฎีจำฎีจำนวน การทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎี การประมาณค่า ทฤษฎีเซตและทฤษฎีความน่าจะเป็น งานส่วนใหญ่ของเขามุ่งไปที่คณิตศาสตร์แยกส่วน แตกปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไขก่อน หน้านี้จำ นวนมากในสนาม เขาปกป้องและสนับสนุนทฤษฎีแรมซีย์ซึ่ย์ ซึ่ งศึกษาเงื่อนไข ที่ลำ ดับจำ เป็นต้องปรากฏในช่วงชีวิตของเขา Erdős ได้ตีพิมพ์เอกสารประมาณ 1,500 ฉบับและร่วมมือกับนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ มากกว่า 500 คน อันที่จริง เขาใช้เวลาส่วนใหญ่ในชีวิตไปกับกระเป๋าเดินทาง เดินทางไปสัมมนา และเยี่ยม เพื่อนร่วมงาน เดวิด แบล็คเวลล์เป็นนักสถิติและนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน เขาทํางานเกี่ยวกับ ทฤษฎีเกม ทฤษฎีความน่าจะเป็น ทฤษฎีข้อมูล และการเขียนโปรแกรมแบบ ไดนามิก และเขียนหนังสือเรียนเล่มแรกๆ เกี่ยวกับสถิติเบย์ ทฤษฎีบท Rao - Blackwell แสดงวิธีปรับปรุงตัวประมาณปริมาณที่แน่นอนในสถิติ เดวิด แบล็คเวลล์เป็นชาวแอฟริกัน คนแรกที่ได้รับเลือกให้เข้าร่วม American National Academy of Sciences และเขาเป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรก ๆ ที่ได้รับ ปริญญาเอกด้านคณิตศาสตร์ Paul Erdős ( ค.ศ. 1913 – 1996 ) David Blackwell ( ค.ศ. 1919 – 2010 ) สตานิสวาฟ อูลามเป็นนักคณิตศาสตร์ Polish-American เขามีบทบาทสําคัญใน โครงการแมนฮัตตันของอเมริกาที่พัฒนาอาวุธนิวเคลียร์ชิ้นแรก เขายังทํางานเกี่ยว กับการขับเคลื่อนจรวดโดยใช้พัลส์นิวเคลียร์ และพัฒนาวิธีมอนติคาร์โล ซึ่งเป็น แนวคิดที่สําคัญในสถิติ Stanisław Ulam ( ค.ศ. 1909 – 1984 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 75
มาริน่า เวียซอฟสก้าเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวยูเครนและเป็นผู้หญิงคนที่สองใน ประวัติศาสตร์ที่ได้รับรางวัล Fields Medal ซึ่งเป็นรางวัลสูงสุดด้านคณิตศาสตร์ Viazovska แก้ปัญหา sphere-packing ในขนาด 8 และ 24 ซึ่งถามเกี่ยวกับวิธีที่ มีประสิทธิภาพที่สุดในการจัดเรียงทรงกลมที่เป็นของแข็ง เธอเป็นศาสตราจารย์ที่ École Polytechnique Fédérale ในเมืองโลซาน ประเทศสวิตเซอร์แลนด์ ในปี 2559 เวียซอฟสกาแก้ปัญหาการบรรจุทรงกลมในมิติ ที่ 8 โซลูชันมิติที่ 8 ของเธอ นำ ไปสู่การทำ งานร่วมกันกับผู้อื่นอย่างรวดเร็ว และวิธีแก้ปัญหาในมิติที่ 24 ก่อน หน้านี้ ปัญหาได้รับการแก้ไขเฉพาะสามมิติหรือน้อยกว่าเท่านั้น และการพิสูจน์แบบ จำ ลองสามมิติ (การคาดคะเนของเคปเลอร์ ) เกี่ยวข้องกับการคำ นวณด้วย คอมพิวเตอร์ที่ใช้เวลานาน ในทางตรงกันข้าม การพิสูจน์ของ Viazovska สำ หรับ มิติที่ 8 และ 24 นั้น "เรียบง่ายอย่างน่าทึ่ง" วิลเลียม พอล เธอร์สตันเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันและเป็นผู้บุกเบิกด้าน โทโพโลยี ท่อร่วม และทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิต การคาดเดา Geometrization ของ Thurston เกี่ยวกับการอธิบายโครงสร้างและเรขาคณิตของพื้นที่สามมิติที่ แตกต่างกัน ในปี 1982 เขาได้รับรางวัล Fields Medal จากการศึกษาท่อร่วม 3 มิติ William Paul Thurston ( ค.ศ. 1946 – 2012 ) Maryna Viazovska ( เกิดปี ค.ศ. 1984 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 76
สาระที่ 4 แคลคูลัส เรียนรู้เกี่ยวกับ ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต ปริพันธ์ของฟังก์ชันพีชคณิต และนำ ความรู้เกี่ยวกับแคลคูลัสไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 77
ยูโดซัสแห่งไซดัสเป็นนักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ผลงานที่ยั่งยืนที่สุดของเขาในด้าน ดาราศาสตร์คือแบบจําลองดาวเคราะห์ของเขา เขาเป็นคนแรกที่เขียนคําอธิบายทางคณิตศาสตร์ของดาวเคราะห์ เขาพัฒนาวิธีการในรายวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งวางรากฐานสําหรับแคลคูลัสอินทิกรัล เขาเดินทางไปยังสถานที่ต่าง ๆ ทั่วทะเลเมดิเตอร์เรเนียนเพื่อศึกษา เขาศึกษาในกรุงเอเธนส์ ประเทศกรีซและนักบวชชาวอียิปต์ในเมืองเฮลิโอโปลิส ประเทศอียิปต์ ต่อมาเขากลับมาที่เอเธนส์เพื่อสอนใน Plato's Academy ในช่วงเวลาที่อริสโตเติลเป็นนักเรียน Eudoxus of Cnidus ( 390 – 337 ปีก่อนคริสต์ศักราช ) มาธาวา วางรากฐานสำ หรับการพัฒนาแคลคูลัสซึ่งได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยผู้สืบทอดตำ แหน่งของเขาที่ โรงเรียนดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ Kerala แนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับแคลคูลัสเป็นที่รู้จักของนัก คณิตศาสตร์รุ่นก่อน ) Madhava ยังขยายผลลัพธ์บางอย่างที่พบในงานก่อนหน้านี้อย่างไรก็ตาม พวกเขาไม่ ได้รวมแนวคิด ที่แตกต่างกันมากมายไว้ด้วยกันภายใต้แนวคิดสองประเด็นที่รวมเป็นหนึ่งเดียวของอนุพันธ์ และอินทิกรัลแสดงความเชื่อมโยงระหว่างทั้งสองและเปลี่ยนแคลคูลัสให้เป็นเครื่องมือแก้ปัญหาที่ทรงพลังที่ เรามีในปัจจุบัน Madhava of Sangamagramma ( ค.ศ. 1340 - 1425 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 78
เรอเน เดการ์ตส์ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส และเป็นหนึ่งในบุคคลสำ คัญในการ ปฏิวัติวิทยาศาสตร์ เขาปฏิเสธที่จะยอมรับอำ นาจของนักปรัชญารุ่นก่อนๆ และหนึ่งในคำ พูดที่เป็นที่รู้จัก กันดีของเขาคือ "ฉันคิดว่า ฉันจึงเป็น" เดส์การตส์เป็นบิดาแห่งเรขาคณิตวิเคราะห์ ซึ่งทำ ให้เราสามารถ อธิบายรูปทรงเรขาคณิตโดยใช้พีชคณิตนี่เป็นหนึ่งในข้อกำ หนดเบื้องต้น ซึ่งทำ ให้นิวตันและไลบ์นิทซ์ คิดค้นแคลคูลัสในอีกไม่กี่ทศวรรษต่อมาเขาได้รับเครดิตจากการใช้ตัวยกเป็นครั้งแรกสำ หรับกำ ลังหรือ เลขชี้กำ ลังและระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รับการตั้งชื่อตามเขา Bonaventura Cavalieri ( ค.ศ. 1598-1647 ) โบนาเวนตูรา คาวาเลียรี เป็นนักคณิตศาสตร์และนักบวชชาวอิตาลี เขาได้พัฒนาสารตั้งต้นของแคลคูลัส จำ นวนน้อย และเป็นที่จดจำ สำ หรับหลักการของ Cavalieri ในการหาปริมาตรของของแข็งในรูปทรง เรขาคณิต Cavalieri ยังทำ งานในทัศนศาสตร์และกลศาสตร์ แนะนำ ลอการิทึมในอิตาลี และแลกเปลี่ยน จดหมายหลายฉบับกับ Galileo Galileiเขาเป็นผู้บุกเบิกการประยุกต์ใช้ลอการิทึมและแคลคูลัสในอิตาลี René Descartes ( ค.ศ. 1596-1650 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 79
ปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักกฎหมายชาวฝรั่งเศส แฟร์มาต์ยังพบวิธีการหาพื้นที่ภายใต้ ฟังก์ชันยกกำ ลัง ซึ่งเทียบเท่ากับการใช้แคลคูลัสเชิงปริพันธ์กับฟังก์ชันเหล่านี้ แฟร์มาต์พบวิธีหาจุดสูงสุดและจุดต่ำ สุดของเส้นโค้ง นอกจากนี้ เขายังสามารถหาเส้นสัมผัสกับจุดที่เลือกบนเส้นโค้ง ซึ่งหมายความว่าเขาสามารถหาความชันหรือ การไล่ระดับสีที่จุดต่างๆ บนเส้นโค้งได้ แม้ว่าบางคนจะอ้างว่าแฟร์มาต์เป็นผู้คิดค้นแคลคูลัส แต่ก็ยุติธรรมกว่า หากจะบอกว่าวิธีแคลคูลัสของเขาใช้ได้ผลในกรณีพิเศษ เขาไม่ได้ให้แคลคูลัสทั่วไปสำ หรับเส้นโค้งทั้งหมด เหมือนที่ Isaac Newton และ Gottfried von Leibniz ทำ Isaac Newton เขียนว่าเมื่อเขาคิดค้นแคลคูลัส เขาได้รับคำ แนะนำ จาก "วิธีการวาดเส้นสัมผัสของ Monsieur Fermat" นิวตันคิดค้นแคลคูลัสในช่วงปี 1660 เขาพบงานของแฟร์มาต์ในหลักสูตรงานหกเล่มของปี 1642 ของปิแอร์ เอริโกเนในวิชาคณิตศาสตร์ซึ่ง รวมถึงวิธีการของแฟร์มาต์ในการกำ หนดจุดสูงสุดและจุดต่ำ สุดและเส้นสัมผัสสำ หรับเส้นโค้ง ดังนั้นจึง ปลอดภัยที่จะกล่าวว่าแฟร์มาต์เป็นหนึ่งในบุคคลที่สำ คัญที่สุดในการประดิษฐ์แคลคูลัส Pierre de Fermat ( ค.ศ. 1607-1665 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 80
จอห์น วอลลิสนัก เป็นคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ มีส่วนในการพัฒนาแคลคูลัส แคลคูลัสปริพันธ์ ซึ่งเป็นผลงานที่สำ คัญที่สุดของ Wallis ถูกตีพิมพ์ในปี 1656 ในบทความนี้ วิธีการวิเคราะห์ Descartes และ Cavalieri ได้รับการจัดระบบ และขยายออกไป แต่บางแนวคิดก็เปิดให้มีการวิพากษ์วิจารณ์ เขาเริ่มหลังจากช่วงสั้นๆในส่วนรูปกรวย โดยการพัฒนาสัญกรณ์มาตรฐาน สำ หรับกำ ลังขยายจากจำ นวนเต็มบวกเป็น จำ นวนตรรกยะ : John Wallis ( ค.ศ. 1616 - 1703 ) Seki Takakazu ( ค.ศ. 1642-1708 ) เซกิ ทาคาคาซึ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักเขียนชาวญี่ปุ่นคนสำ คัญ เขาสร้างระบบสัญลักษณ์พีชคณิตใหม่และศึกษาสมการไดโอแฟนไทน์ นอกจากนี้เขายังได้พัฒนาเกี่ยวกับแคลคูลัสจำ นวนน้อย - โดยไม่ขึ้นกับไลบ์ นิซและนิวตันในยุโรป B งานของเขาวางรากฐานสำ หรับคณิตศาสตร์ญี่ปุ่น ประเภทหนึ่งซึ่งเรียกว่า wasan ซึ่งสืบทอดต่อโดยผู้สืบทอดของเขา พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 81
Gottfried Wilhelm Leibniz ( ค.ศ. 1646-1716 ) กอตต์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ เป็นนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาชาวเยอรมัน ท่ามกลางความสำ เร็จอื่นๆ อีกมากมายเขาเป็นหนึ่งในผู้ประดิษฐ์แคลคูลัสและสร้าง เครื่องคิดเลขเชิงกลเครื่องแรก ๆ ไลบ์นิซเชื่อว่าจักรวาลของเราเป็น "จักรวาลที่ดีที่สุด เท่าที่จะเป็นไปได้" ที่พระเจ้าสามารถสร้างได้ ในขณะที่ปล่อยให้เรามีเจตจำ นงเสรีเขาเป็น ผู้สนับสนุนหลักของลัทธิเหตุผลนิยม และยังมีส่วนร่วมในวิชาฟิสิกส์ การแพทย์ ภาษาศาสตร์ กฎหมาย ประวัติศาสตร์ และวิชาอื่น ๆ อีกมากมาย เซอร์ไอแซก นิวตัน เป็นนักฟิสิกส์ นักคณิตศาสตร์ และนักดาราศาสตร์ชาวอังกฤษ และเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุดตลอดกาล เขาเป็นศาสตราจารย์ ที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ และเป็นประธานของ Royal Society ในลอนดอนในหนังสือ Principia Mathematica ของเขานิวตันได้กำ หนดกฎของการเคลื่อนที่และแรงโน้มถ่วง ซึ่งวางรากฐานสำ หรับฟิสิกส์คลาสสิกและครอบงำ มุมมองของเราเกี่ยวกับจักรวาลเป็นเวลา สามศตวรรษต่อมาเหนือสิ่งอื่นใด นิวตันเป็นหนึ่งในผู้ประดิษฐ์แคลคูลัสสร้างกล้องโทรทรรศน์ สะท้อนแสงเครื่องแรก คำ นวณความเร็วของเสียง ศึกษาการเคลื่อนที่ของของไหล และพัฒนาทฤษฎีสีโดยพิจารณาจากวิธีที่ปริซึมแบ่งแสงอาทิตย์ออกเป็นสเปกตรัมสีรุ้ง Sir Isaac Newton ( ค.ศ. 1642-1726 ) Jacob Bernoulli ( ค.ศ. 1655-1705 ) เจค็อบ แบร์นูลลี เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส และเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ ที่สำ คัญหลายคนในตระกูล Bernoulli ในความเป็นจริงเขามีการแข่งขันทาง วิชาการอย่างลึกซึ้งกับพี่ชายและลูกชายของเขาหลายคน แบร์นูลลี สร้างความก้าวหน้าอย่างมากให้กับแคลคูลัสที่คิดค้นโดยนิวตันและไลบ์นิทซ์ สร้างสาขาแคลคูลัสของการแปรผัน ค้นพบค่าคงที่พื้นฐาน e พัฒนาเทคนิคสำ หรับ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์และอื่น ๆ อีกมากมายเขาตีพิมพ์ผลงานชิ้นแรกเกี่ยวกับ ความน่าจะเป็นรวมทั้งการเรียงสับเปลี่ยนการรวมกัน และกฎของจำ นวนมหาศาล เขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบททวินาม และได้มาซึ่งคุณสมบัติหลายอย่างของเบอร์นูลลี พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 82
เลอ็อนฮาร์ท อ็อยเลอร์ เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งใน ประวัติศาสตร์ เกิดในสวิตเซอร์แลนด์และศึกษาในบาเซิล แต่ใช้ชีวิตส่วน ใหญ่ในเบอร์ลิน ปรัสเซีย และเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ประเทศรัสเซีย งานของ เขาครอบคลุมทุกด้านของคณิตศาสตร์ และเขาเขียนงานวิจัย 80 เล่ม อ็อยเลอร์เป็นผู้คิดค้นคำ ศัพท์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่และสัญกรณ์ และ ได้ทำ การค้นพบที่สำ คัญในแคลคูลัส การวิเคราะห์ ทฤษฎีกราฟ ฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และหัวข้ออื่นๆ อีกมากมาย เขามีผลงานในแทบทุกสาขาของ วิชาคณิตศาสตร์ เช่นเรขาคณิต แคลคูลัส ตรีโกณมิติ พีชคณิต ทฤษฎี จำ นวน เป็นต้น อ็อยเลอร์ถือว่าเป็นบุคคลสำ คัญคนหนึ่งในประวัติศาสตร์ แห่งคณิตศาสตร์ นอกจากนี้อ็อยเลอร์ยังศึกษาค่าคงตัวนี้และความเกี่ยวข้องกับอนุกรม ฮาร์มอนิก ฟังก์ชันแกมมา และค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันบางค่าอีกด้วย ปริพันธ์อ็อยเลอร์ ในทางคณิตศาสตร์ ปริพันธ์อ็อยเลอร์ (อังกฤษ: Euler integral) แบ่งได้เป็นสองประเภทได้แก่ 1. ปริพันธ์อ็ธ์ อ็ยเลอร์แบบที่ 1 คือ ฟังก์ชันบีตา (Beta function) Leonhard Euler ( ค.ศ. 1707 - 1783 ) 2. ปริพันธ์อ็อยเลอร์แบบที่ 2 คือ ฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) สำ หรับจำ นวนธรรมชาติ m และ n พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 83
โฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ (ค.ศ.1736 – 1813) หรือชื่อเดิมว่า จูเซปเป โลโดวีโก ลากรันจา (Giuseppe Lodovico Lagrangia) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีซึ่งรับตำ แหน่งต่อ จากLeonard Euler ในตำ แหน่งผู้อำ นวยการ Academy of Sciences ในกรุงเบอร์ลิน เขาทำ งานเกี่ยวกับการวิเคราะห์และแคลคูลัสของการแปรผัน คิดค้นวิธีการใหม่ๆ ในการแก้ สมการเชิงอนุพันธ์ พิสูจน์ทฤษฎีบทในทฤษฎีจำ นวน และวางรากฐานของทฤษฎีกลุ่มลากร องจ์ยังเขียนเกี่ยวกับกลศาสตร์คลาสสิกและท้องฟ้า และช่วยสร้างระบบเมตริกในยุโรป ลา กรองจ์หลงใหลในค่าสูงสุดและค่าต่ำ สุดของฟังก์ชัน และเป็นผู้ก่อตั้งหลักการของแคลคูลัส ของการแปรผัน ลากรองจ์ให้สัญกรณ์ที่เราคุ้นเคย f′(x)เพื่อแทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน, f′′ (x)อนุพันธ์อันดับสอง ฯลฯ และแท้จริงแล้วเขาเป็นผู้ให้คำ ว่าอนุพันธ์แก่เรา ผลงานที่มีค่าที่สุดจากการทำ งานของเธอคือ Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , (Analytical Institutions for the Use of Italian Youth) ซึ่งตีพิมพ์ในมิลานในปี ค.ศ. 1748 Joseph-Louis Lagrange ( ค.ศ. 1736 – 1813 ) มาเรีย เกตานา อักเนซี เป็นนักคณิตศาสตร์ นักปรัชญา นักเทววิทยา และนักมนุษยธรรมชาวอิตาลี อักเนซีเป็นผู้หญิงชาวตะวันตกคนแรกที่ เขียนตำ ราคณิตศาสตร์ เธอยังเป็นผู้หญิงคนแรกที่ได้รับการแต่งตั้งเป็น ศาสตราจารย์ในมหาวิทยาลัยอีกด้วย และชื่อของเธอปรากฎในเส้นกราฟ อันหนึ่งในแคลคูลัส นั่นคือ เส้นกราฟ แม่มดแห่งอักเนซี (The Witch of Agnesi) และเป็นผู้ที่มีส่วนสำ คัญในอธิบายความแตกต่างและเขียน หนังสือคณิตศาสตร์แคลคูลัส 1 ที่ได้รับการยอมรับไปทั่วโลก ตำ ราเรียนของเธอ Analytical Institutions สำ หรับการใช้ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลของเยาวชนอิตาลีและประสบความ สำ เร็จในระดับนานาชาติ หน้าแรกของ Instituzioni analitiche (1748) Maria Gaetana Agnesi ( ค.ศ. 1718 – 1799 ) เส้นกราฟแม่มดแห่งอักเนซี (The Witch of Agnesi พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 84
ปีแยร์-ซีมง ลาปลัส เป็นนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส บางครั้ง เขาถูกเรียกว่า "นิวตันแห่งฝรั่งเศส" เนื่องจากความสนใจที่หลากหลายและผล งานของเขามีผลอย่างมาก ในหนังสือห้าเล่ม Laplace ได้แปลปัญหาในกลศาสตร์ท้องฟ้าจากเรขาคณิต เป็นแคลคูลัส นี่เป็นการเปิดกลยุทธ์ใหม่ ๆ มากมายสำ หรับการทำ ความเข้าใจ จักรวาลของเรา เขาเสนอว่าระบบสุริยะพัฒนามาจากจานฝุ่นที่หมุนได้ เขาเป็นผู้คิดค้นสมการลาปลัส (Laplace’s Equation) และการแปลงลาป ลัส (Laplace transform) ซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในวิชาแคลคูลัสและฟิสิกส์ นอกจากนี้เขายังมีผลงานอื่นๆทั้งด้านคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และดาราศาสตร์อีก มากมาย และมีส่วนอย่างมากในการพัฒนาสมการเชิงอนุพันธ์ สมการผลต่าง ความน่าจะเป็น และสถิติ เขาใช้แคลคูลัสสร้างทฤษฎีของกลศาสตร์ และ กลศาสตร์ฟากฟ้าซึ่งเป็นพื้นฐานของวิศวกรรมศาสตร์ และ ดาราศาสตร์ Pierre-Simon Laplace ( ค.ศ. 1749 – 1827 ) ออกัสติน-หลุยส์ โคชี เป็นนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศส เขามีส่วนร่วมในสาขาคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย และมีการตั้งชื่อ ทฤษฎีบทมากมายตามชื่อของเขา เขาเป็นหนึ่งในคนกลุ่มแรกที่ระบุและพิสูจน์ทฤษฎีบทของแคลคูลัส อย่างจริงจัง Cauchy ทำ ให้แคลคูลัสและการวิเคราะห์เป็นแบบแผน โดย การจัดรูปแบบและพิสูจน์ผลลัพธ์ที่นักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนไม่แม่นยำ เขาก่อตั้งสาขาการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน ศึกษากลุ่มการเรียงสับเปลี่ยน และทำ งานเกี่ยวกับทัศนศาสตร์ พลศาสตร์ของไหล และทฤษฎีความ ยืดหยุ่น Augustin-Louis Cauchy ( ค.ศ. 1789 – 1857 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 85
เอดา เลิฟเลซ เป็นนักเขียนและนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ร่วมกับ Charles Babbage เธอทํางานกับ Analytical Engine ซึ่งเป็นคอมพิวเตอร์กลไกรุ่นแรก ๆ เธอยังเขียน อัลกอริธึมแรกที่ทํางานบนเครื่องดังกล่าว (เพื่อคํานวณตัวเลข Bernoulli) ทําให้เธอเป็นโปรแกรมเมอร์คอมพิวเตอร์คนแรกในประวัติศาสตร์ เลิฟเล ซอธิบายว่าแนวทางของเธอเป็น "วิทยาศาสตร์บทกวี" และใช้เวลามากในการคิดเกี่ยว กับผลกระทบของเทคโนโลยีที่มีต่อสังคม ตลอดชีวิตของเธอเลิฟเลซสนใจอย่างมากใน การพัฒนาทางวิทยาศาสตร์และกระแสนิยมในสมัยนั้น รวมทั้ง phrenology และการ สะกดจิตหลังจากทำ งานกับ Babbage แล้วเลิฟเลซก็ยังคงทำ งานในโครงการอื่นต่อไป ในปี ค.ศ. 1844 เธอให้ความเห็นกับเพื่อนชื่อ Woronzow Greig เกี่ยวกับความ ปรารถนาของเธอที่จะสร้างแบบจำ ลองทางคณิตศาสตร์สำ หรับวิธีที่สมองทำ ให้เกิด ความคิดและเส้นประสาทไปสู่ความรู้สึก ("แคลคูลัสของระบบประสาท") Ada Lovelace ( ค.ศ. 1815 – 1852 ) โซเฟีย โควาเลฟสกายา เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย และเป็นผู้หญิงคนแรก ที่ได้รับปริญญาเอกด้านคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เธอยังเป็นผู้หญิงคนแรกที่ได้รับ ตําแหน่งศาสตราจารย์เต็มรูปแบบในยุโรปเหนือ และเป็นหนึ่งในผู้หญิงกลุ่มแรก ๆ ที่เป็นบรรณาธิการวารสารวิทยาศาสตร์เธอมีส่วนสําคัญในการวิเคราะห์ สมการอนุพันธ์บางส่วน และกลศาสตร์ เธอยังเขียนผลงานหลายชิ้นเกี่ยวกับ ชีวิตของเธอ รวมถึงไดอารี่ บทละคร และนวนิยายอัตชีวประวัติ เธอเป็นผู้หญิง คนแรกในยุโรปยุคใหม่ที่ได้รับปริญญาเอกด้านคณิตศาสตร์เป็นคนแรกที่เข้าร่วม คณะบรรณาธิการของวารสารวิทยาศาสตร์ และเป็นคนแรกที่ได้รับการแต่งตั้ง เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในวิชาคณิตศาสตร์สมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวกับอนุพันธ์ย่อยของมัน อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวแสดงว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใดเมื่อตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเปลี่ยน ตัวแปรตัวอื่น ๆ คงที่ ( เปรียบเทียบสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดา ) อนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันอีกครั้ง และถ้า f ( x , y ) แสดงฟังก์ชันดั้งเดิมของตัวแปร x และ y อนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวกับ x กล่าวคือ เมื่ออนุญาตให้ x แปรผัน เท่านั้นโดยทั่วไปจะเขียนเป็น f x ( x , y ) หรือ ∂ f /∂ x การดำ เนินการหาอนุพันธ์ย่อยสามารถนำ ไปใช้กับ ฟังก์ชันที่ตัวเองเป็นอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันอื่นเพื่อให้ได้สิ่งที่เรียกว่าอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง ตัวอย่างเช่น หาอนุพันธ์ย่อยของ f x ( x , y ) เทียบกับyจะได้ฟังก์ชันใหม่ f x y ( x , y ) หรือ ∂ 2 f /∂ y∂ x . ลำ ดับและดีกรีของ สมการ เชิงอนุพันธ์ย่อยถูกกำ หนดเช่นเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ Sofia Kovalevskaya ( ค.ศ. 1850 – 1891 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 86
Infinity เป็นหนึ่งในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุดที่จะเข้าใจอย่างไม่ต้องสงสัย แนวคิดมากมายที่เราพบว่าใช้งาน ง่ายเมื่อทํางานกับตัวเลขปกติไม่ได้ผลอีกต่อไป แต่มีความขัดแย้งที่ชัดเจนนับไม่ถ้วนแทน มีจํานวนมากที่สุดหรือไม่ มีอะไรใหญ่กว่าอนันต์ไหม อินฟินิตี้บวกหนึ่งคืออะไร อินฟินิตี้บวกอินฟินิตี้คืออะไร สัญลักษณ์สําหรับอนันต์คือ ∞ แนวนอนของเลข 8 มันถูกคิดค้นโดย John Wallis (1616–1703) ซึ่งสามารถได้มาจากเลขโรมัน M สําหรับ 1000 แต่สิ่งหนึ่งที่เรารู้แน่ชัด : อินฟินิตี้ใหญ่กว่า 1000 มาก ฮิลเบิร์ทพยายามอธิบายคุณสมบัติบางอย่างของอินฟินิตี้ โดยใช้โรงแรมที่มีห้องพักมากมายนับไม่ถ้วน ฮิลเบิร์ตยังเป็นที่รู้จักกันดีในการนําเสนอรายการปัญหาทางคณิตศาสตร์ 23 ข้อ ซึ่งเขาถือว่าเป็นปัญหาที่สําคัญที่สุดเมื่อต้นศตวรรษที่ 20 ปัญหาเหล่านี้บางอย่าง เช่น สมมติฐาน Riemann ยัง ไม่ได้รับการแก้ไข ดาวิท ฮิลเบิร์ท เป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ทรงอิทธิพลที่สุดในศตวรรษ ที่ 20 เขาทํางานในเกือบทุกด้านของคณิตศาสตร์ และสนใจเป็นพิเศษ ในการสร้างรากฐานที่เป็นทางการและมีเหตุผลสําหรับคณิตศาสตร์ งานชิ้นแรกของฮิลแบร์ตเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่แปรผันทำ ให้เขาได้สาธิต ทฤษฎีบทความจำ กัดอันโด่งดังของเขาในปี พ.ศ. 2431 ฮิลเบิร์ตทํางาน ในเกิททิงเก้น (เยอรมนี) ซึ่งเขาสอนนักเรียนจํานวนมากซึ่งต่อมา ได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง ระหว่างการประชุมนัก คณิตศาสตร์นานาชาติในปี พ.ศ. 2443 David Hilbert ( ค.ศ. 1862 – 1943 ) เอลเบิร์ต แฟรงก์ ค็อกซ์ เป็นนักคณิตศาสตร์ African-American คนแรก ที่ได้รับปริญญาเอก มหาวิทยาลัยในอังกฤษและเยอรมนีปฏิเสธที่จะยอมรับ วิทยานิพนธ์ของเขาในขณะนั้น แต่มหาวิทยาลัย Tohoku Imperial ของญี่ปุ่นยอมรับ ค็อกซ์สซ์อนที่มหาวิทยาลัย Howard ในสหรัฐอเมริกา เขาศึกษาคําตอบพหุนามสําหรับสมการเชิงอนุพันธ์ สรุปสูตรการ Boole และเปรียบเทียบระบบการให้คะแนนต่าง ๆ ในช่วงชีวิตของเขาค็อกซ์ ได้ตีพิมพ์บทความสองเรื่อง เขาขยายขอบเขตของงานที่ Niels Nörlund ได้ทำ เกี่ยวกับพหุนามออยเลอร์เพื่อเป็นคำ ตอบของสมการความแตกต่างเฉพาะ ค็อกซ์ใช้พหุนามออยเลอร์ทั่วไปและสูตรผลรวมบูลีนทั่วไปเพื่อขยายสูตรผลรวม บูล นอกจากนี้เขายังศึกษาพหุนามพิเศษจำ นวนหนึ่งเพื่อเป็นคำ ตอบสำ หรับ สมการเชิงอนุพันธ์ ในบทความอื่น ๆ ของเขาที่ตีพิมพ์ในปี 1947 เขาได้เปรียบ เทียบระบบการให้คะแนนสามระบบทางคณิตศาสตร์ Elbert Cox ( ค.ศ. 1895 – 1969 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 87
เออร์เนสต์ วิลกินส์เป็นวิศวกร นักวิทยาศาสตร์นิวเคลียร์ และนักคณิตศาสตร์ชาว อเมริกัน เขาเข้าเรียนที่มหาวิทยาลัยชิคาโกเมื่ออายุ 13 ปี กลายเป็นนักศึกษาที่ อายุน้อยที่สุดเท่าที่เคยมีมา ในช่วงสงครามโลกครั้งที่สอง เขามีส่วนร่วมในโครง การแมนฮัตตันเพื่อพัฒนาอาวุธนิวเคลียร์ชิ้นแรก ในฐานะนักวิทยาศาสตร์ นิวเคลียร์ ต่อมาเขาได้ช่วยออกแบบเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์เพื่อผลิตพลังงาน วิลกินส์ตีพิมพ์เอกสารมากกว่า 100 ฉบับ ซึ่งครอบคลุมวิชาต่าง ๆ เช่น เรขาคณิต เชิงอนุพันธ์ แคลคูลัส วิศวกรรมนิวเคลียร์ และทัศนศาสตร์ แม้ว่าในฐานะชาว แอฟริกัน-อเมริกัน เขามักจะตกเป็นเป้าหมายของการเหยียดเชื้อชาติ Ernest Wilkins ( ค.ศ. 1923 – 2011 ) พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ | 88