แบบฝึกทักษะ (ค่าวัดทางสถิติ)

นายธีรเทพ ชูศรีโสม แบบฝึ กท ั กษะคณ ิ ตศาสตร ์ ช ั ้ นม ั ธยมศ ึ กษาปี ท ี ่ 6 ช่ื อ-สกุล ........................................................ ชั้น ม.6/.......... เลขท ี่ ........ ส าน ั กงานเขตพ ้ ื นท ี่การศ ึ กษาม ั ธยมศ ึ กษาอ ุ ดรธาน ี โรงเรียนอุดรพัฒนาการ เร ่ ื อง ค่าวัดทางสถิติ น ั กศ ึ กษาฝึ กประสบการณว ์ ิ ชาช ี พคร ู

ค าน า การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ครูผู้สอนต้องพัฒนาให้นักเรียนเกิดการเรียนรู้ทั้งด้านความรู้ ความสามารถมีทักษะในการคิดค านวณด้านทักษะกระบวนการเรียนรู้ และด้านเจตคติที่ดี แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์นี้ จัดท าขึ้นเพื่อให้ครูผู้สอนคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ใช้เป็นแนวทางในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คณิตศาสตร์ให้บรรลุผลตามจุดมุ่งหมายของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ รายวิชาเสริมทักษะคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ นอกจากจะ พัฒนาทักษะคณิตศาสตร์แล้วยังสอดแทรกเทคนิคทักษะ กลวิธีต่าง ๆ ที่ช่วยส่งเสริมความสามารถในการคิดค านวณ มีรูปแบบของการฝึกที่หลากหลาย ท้าทายความสามารถของผู้เรียน ท าให้ผู้เรียนสนุกสนานกับการเรียนรู้ อันก่อให้เกิด เจตคติที่ดีต่อการเรียนรู้และเกิดความรักในวิชาคณิตศาสตร์ ผู้จัดท าหวังเป็นอย่างยิ่งว่าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะเอื้อประโยชน์ต่อการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ใน ห้องเรียนได้เป็นอย่างดี ช่วยพัฒนาให้นักเรียนมีความรู้ความเข้าใจในการเรียนรู้ เรื่อง ตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็น ได้ มากยิ่งขึ้น สามารถพัฒนาทักษะคณิตศาสตร์ให้สูงขึ้นในที่สุด มีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนสูงขึ้น และมีเจตคติที่ดีต่อวิชา คณิตศาสตร์ ผู้จัดท าขอขอบพระคุณนายสันทัศน์ หอมสมบัติ ผู้อ านวยการโรงเรียนอุดรพัฒนาการ คณะผู้เชี่ยวชาญ คณะครู นักเรียนโรงเรียนอุดรพัฒนาการ ที่ให้การสนับสนุนชี้แนะและช่วยเหลือจนกระทั่งส าเร็จลุล่วงไปได้ด้วยดี ธีรเทพ ชูศรีโสม

จ ุ ดประสงค ์ในการสร ้ างแบบฝึ กท ั กษะคณ ิ ตศาสตร ์ เร่ื อง ว ั ดทางสถ ิ ต ิ 1. เพื่อให้นักเรียนใช้ประกอบการเรียน และทบทวนเนื้อหาเพื่อทบทวนบทเรียน 2. เพื่อให้นักเรียนมีทักษะในการคิด วิเคราะห์แก้ปัญหา ความรู้ความเข้าใจจากชุดแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ รายวิชาเสริมทักษะคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ มาสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง 3. เพื่อให้นักเรียนที่เรียนต่ ากว่าเกณฑ์ได้ทบทวนบทเรียนโดยใช้ชุดแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ รายวิชาเสริม ทักษะคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ มาสร้างองค์ความรู้ใหม่ที่คงทน 4. เพื่อให้นักเรียนที่เรียนสูงกว่าเกณฑ์ได้พัฒนาทักษะในการคิดสังเคราะห์ วิเคราะห์ความรู้ความเข้าใจจากชุด แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ รายวิชาเสริมทักษะคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ เพื่อให้เกิด ความคิดรวบยอด และสร้างองค์ความรู้ที่ซับซ้อนได้ด้วยตนเอง มีทักษะในการคิดค านวณ และทักษะการแก้โจทย์ ปัญหาด้วยวิธีการที่หลากหลาย 5. เพื่อให้นักเรียนเรียนรู้ด้วยความสุข ด้วยรูปแบบที่แปลกใหม่ของชุดแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ รายวิชาเสริม ทักษะคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 ค่าวัดทางสถิตถิ

ค าช ี ้ แจงเก ี่ยวก ั บแบบฝึ กท ั กษะคณ ิ ตศาสตร ์ 1. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ค่าวัดทางสถิติส าหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 มีจ านวน 1 เล่ม ดังนี้ 1.1 เล่มที่ 1 ค่าวัดทางสถิติ 2. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ จัดท าขึ้นเพื่อเป็นสื่อการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนให้ผู้เรียนได้ ศึกษาท าความเข้าใจ ส าหรับนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 3. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้มีประกอบดังนี้ 3.1 ค าชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 3.2 ค าแนะนะในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ส าหรับนักเรียน 3.3 ขั้นตอนการเรียนโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 3.4 ผลการเรียนรู้ สาระการเรียนรู้ และจุดประสงค์การเรียนรู้ 3.5 แบบทดสอบย่อยก่อนเรียน 3.6 เนื้อหาความรู้ 3.7 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 3.8 แบบทดสอบย่อยหลังเรียน 3.9 เฉลยแบบทดสอบย่อยก่อนเรียน 3.10 เฉลยแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 3.11 เฉลยแบบทดสอบย่อยหลังเรียน 4. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มที่ ค่าวัดทางสถิติ ใช้เวลาเรียน 8 ชั่วโมง

ค าแนะน าการใช ้ แบบฝึ กท ั กษะคณ ิ ตศาสตร ์ ส าหรับครู เมื่อครูผู้สอนได้น าแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ไปใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนควรปฏิบัติ ดังนี้ 1. จัดกิจกรรมการเรียนการสอนโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ รายวิชาเสริมทักษะคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษา ปีที่ 6 เล่มนี้ควบคู่กับแผนการจัดการเรียนรู้ 2. ทดสอบความรู้ก่อนเรียนของนักเรียน เพื่อวัดความรู้พื้นฐานของนักเรียนแต่ละคน 3. ชี้แจงให้นักเรียนอ่านค าแนะน าในการใช้แบบฝึกทักษะและควรปฏิบัติตามทุกขั้นตอนในการจัดกิจกรรมการเรียน การสอน 4. ขณะปฏิบัติกิจกรรมควรแนะน านักเรียนอย่างใกล้ชิด 5. เมื่อนักเรียนท าแบบฝึกทักษะเสร็จแล้วให้นักเรียนตรวจค าตอบจากเฉลยแบบฝึกทักษะ (ในบางครั้งครูร่วมเฉลยกับ นักเรียน) 6. ให้นักเรียนซักถามเนื้อหาที่ไม่เข้าใจ แล้วครูอธิบายเพิ่มเติม 7. ทดสอบความรู้ของนักเรียนโดยใช้แบบทดสอบหลังเรียน 8. ตรวจค าตอบแบบทดสอบหลังเรียนจากเฉลยแบบทดสอบหลังเรียน (บางครั้งร่วมกับนักเรียนเฉลยค าตอบของ แบบทดสอบหลังเรียน)

ค าแนะน าการใช ้ แบบฝึ กท ั กษะคณ ิ ตศาสตร ์ ส าหรับนักเรียน ในการศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ รายวิชาเสริมทักษะคณิตศาสตร์ ค33202 เรื่อง ค่าวัดทางสถิติ ส าหรับ นักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 นักเรียนควรปฏิบัติตามค าแนะน า ดังนี้ 1. อ่านค าชี้แจงเกี่ยวกับแบบฝึกทักษะ และค าแนะน าในการใช้แบบฝึกทักษะส าหรับนักเรียนให้เข้าใจก่อนลง มือท างานหรือท าการศึกษาทุกครั้ง 2. ท าแบบทดสอบก่อนเรียน เพื่อทราบความรู้พื้นฐานความรู้เดิมของตนเอง 3. ตรวจค าตอบแบบทดสอบก่อนเรียนจากเฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน พร้อมบันทึกผลการสอบในตาราง บันทึกคะแนน 4. ศึกษาสาระส าคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้พร้อมเนื้อหาและตัวอย่างประกอบให้เข้าใจ หากนักเรียน ไม่เข้าใจควรไปขอค าแนะน าจากคุณครูก่อนลงมือท าแบบฝึกทักษะ 5. ท าแบบฝึกทักษะทีละแบบฝึกด้วยตนเอง โดยเขียนค าตอบลงในแบบฝึกทักษะ ห้ามเปิดดูเฉลยแบบฝึก ทักษะก่อนท าแบบฝึกทักษะ 6. ตรวจค าตอบแบบฝึกทักษะ โดยเปิดดูเฉลยแบบฝึกทักษะ (บางกิจกรรมร่วมกันเฉลยพร้อมกับครู) และบันทึกผลคะแนนการท าแบบฝึกทักษะลงในตารางบันทึกคะแนน 7. ท าแบบทดสอบหลังเรียน 8. ตรวจค าตอบแบบทดสอบหลังเรียนจากเฉลยแบบทดสอบหลังเรียนพร้อมบันทึกผลการสอบลงในตาราง บันทึกคะแนน 9. สังเกตคะแนนที่ได้จากการท าแบบทดสอบก่อน – หลังเรียน เพื่อทราบความก้าวหน้าของตนเอง

ข ั ้ นตอนการเร ี ยนโดยใช ้ แบบฝึ กท ั กษะคณ ิ ตศาสตร ์ 1. อ่านค าแนะน าส าหรับนักเรียน 2. ท าแบบทดสอบย่อยก่อนเรียน 3. ศึกษาเอกสารความรู้และตัวอย่าง - ศึกษาเน้ือหา - ท าแบบฝึกทักษะ - ตรวจแบบฝึกทักษะ 4. ท าแบบทดสอบย่อยหลังเรียน 5. ศึกษาแบบฝึกทักษะเล่มต่อไป ไม่ผ่านเกณฑ์ ประเมิน ผ่านเกณฑ์

ผลการเรียนรู้ เข้าใจและใช้ความรู้ทางสถิติในการน าเสนอข้อมูล และแปลความหมายของค่าสถิติเพื่อประกอบการตัดสินใจ

จุดประสงค์การเรียนรู้ เมื่อเรียนจบบทนี้นักเรียนสามารถ 1. หาค่ากลางของข้อมูลได้ 2. หาค่าวัดการกระจายของข้อมูลได้ 3. หาค่าวัดต าแหน่งที่ของข้อมูลได้ เมื่อเรียนจบบทนี้นักเรียนสามารถ 1. เขียนแสดงวิธีการหาค่ากลางของข้อมูลได้ 2. เขียนแสดงวิธีการหาค่าวัดการกระจายได้ 3. เขียนแสดงวิธีการหาค่าวัดต าแหน่งที่ของข้อมูลได้ เมื่อเรียนจบบทนี้แล้วนักเรียนมองเห็นว่าสามารถใช้คณิตศาสตร์แก้ปัญหาในชีวิตจริงได้ ด้านความรู้ (K) ด้านทักษะ/กระบวนการ (P) ด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ (A)

แบบทดสอบก่อนเรียน ค ำชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้ มีจ านวน 10 ข้อ (10 คะแนน) 2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย x เพื่อเลือกค าตอบที่ถูกต้องที่สุด 1. คะแนนของการสอบ 6 ครั้งเป็น 84 91 72 69 86 78 ตามล าดับ ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบนี้เป็นเท่าใด ก. 78 คะแนน ข. 79 คะแนน ค. 80 คะแนน ง. 82 คะแนน 2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 9 คน ได้คะแนนเฉลี่ย 12 คะแนน และคะแนนสอบครั้งเดียวกันของนักเรียน 10 คน ได้คะแนนเฉลี่ย 12 คะแนน อยากทราบว่าในการสอบครั้งนี้นักเรียนคนที่ 10 สอบได้กี่คะแนน ก. 25 คะแนน ข. 28 คะแนน ค. 24 คะแนน ง. 22 คะแนน 3. เจษฎามีผลการเรียน 5 วิชา ดังนี้ จงหาเกรดเฉลี่ยของเจษฎา ก. 3.33 ข. 3.45 ค. 3.50 ง. 3.67 10 คะแนน รายวิชา จ านวนหน่วยกิต (W) ผลการเรียน (X) ภาษาไทย 1 4 สังคมศึกษา 1 4 คณิตศาสตร์ 1.5 3.5 วิทยาศาสตร์ 2 3.5 ภาษาอังกฤษ 1 3.5 4. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 6 คน เป็นดังนี้ 1, 2, 5, 7, 5, 10 จงหามัธยฐานของคะแนนสอบ ก. 2 คะแนน ข. 3 คะแนน ค. 4 คะแนน ง. 5 คะแนน 5. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8 จ านวน เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากพบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสามตัวแรกคือ 16 ค่าเฉลี่ยของ ข้อมูลสามตัวหลัง คือ 32 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมดเท่ากับ 25 แล้วค่ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ เท่าใด ก. 27 ข. 28 ค. 29 ง. 30 6. ถ้าส่วนลดการค้าของ 6 บริษัทที่ขายเครื่องใช้ไฟฟ้าชนิดหนึ่งเป็นดังนี้ พิสัยของส่วนลดการค้าของ 6 บริษัทนี้เป็นเท่าใด ก. 15% ข. 13.5% ค. 10% ง. 7% บริษัทที่ 1 2 3 4 5 6 ส่วนลด (%) 15 12 17 20 27 16

7. พิสัยระหว่างควอไทล์ของข้อมูล 60, 64, 56, 70, 52, 58 และ 63 ตรงกับข้อใด ก. 12 ข. 8 ค. 10 ง. 14 8. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จ านวน มีฐานนิยม มัธยฐานและค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 18, 20 และ 20 ตามล าดับ และพิสัยของข้อมูล ชุดนี้เท่ากับ 5 ความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด ก. 18 5 ข. 23 5 ค. 38 5 ง. 58 5 9. จากข้อมูลที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ 10, 12, 15, 20, 25, 26, 28 ,29, 33 ,34, 36, 38, 40, 42, 42 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 15 ก. 13 ข. 13.1 ค. 13.2 ง. 13.3 10. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 19 จ านวนต่อไปนี้ 6, 8 ,9, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 30 ควอไทล์ที่ 3 มีค่าต่างจากเปอร์เซ็นไทล์ที่ 45 เท่ากับเท่าใด ก. 5 ข. 4 ค. 3 ง. 2 ทีนี้ก ็ไปเร่ิมเรียนกันเลย ดีกว่าครับ

ใบความร ู ้ ที่ 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (arithmetic mean) เป็นค่าที่หาได้จากการหารผลรวมของข้อมูลทั้งหมดด้วยจ านวนข้อมูลที่มี ให้ 1, 2, 3, … , แทนข้อมูล เมื่อ แทนขนาดประชากร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร (population mean) เขียนแทนด้วย (อ่านว่า มิว) หาได้จาก ให้ 1, 2, 3, … , แทนข้อมูล เมื่อ แทนขนาดประชากร ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร (population mean) เขียนแทนด้วย ҧ(อ่านว่า มิว) หาได้จาก เพื่อความสะดวกจะใช้ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่ Σ (อ่านว่า ซิกมา) เป็นสัญลักษณ์แสดงการบวก กล่าวคือ จะเขียนแทน 1, 2, 3, … , ด้วยสัญลักษณ์ σ=1 (อ่านว่า ซัมเมชัน เมื่อ เท่ากับ 1 ถึง ) ดังนั้น สามารถเขียนสูตรของค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ดังนี้ = σ=1 และ = σ=1 หมำยเหตุ การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะใช้ได้กับข้อมูลเชิงปริมาณเท่านั้น เช่น สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุ รายได้ ความสูง แต่จะไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลเชิงคุณภาพ เช่น ยี่ห้อรถยนต์ เชื้อชาติ เบอร์โทรศัพท์ N x x x x + + + + N = ... 1 2 3 n x x x x x + + + + n = ... 1 2 3

ตัวอย่ำงที่ 1 ทีมฟุตบอลของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีสมาชิกทั้งหมด 24 คน โดยความสูง (เซนติเมตร) ของสมาชิกแต่ละคน แสดงได้ดังนี้ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ วิธีท า ให้ แทนความสูงของนักฟุตบอลคนที่ เมื่อ ∈ 1, 2, 3, . . . , 24 เนื่องจากข้อมูลชุดนี้เป็น ข้อมูลของประชากร จึงให้ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ จะได้ = σ=1 24 24 = 4,175 24 ≈ 173.96 ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้มีค่าประมาณ 173.96 เซนติเมตร ตัวอย่ำงที่ 2 คะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็น 19 คะแนน ถ้ามีนักเรียนเพิ่มอีก 2 คน ซึ่งท า คะแนนสอบได้ 25 และ 39 คะแนน ท าให้คะแนนสอบเฉลี่ยเป็น 21 คะแนน ให้หาจ านวนนักเรียนเดิมที่ท าคะแนนสอบ เฉลี่ยเป็น 19 คะแนน วิธีท า ให้ แทนจ านวนนักเรียนเดิม จาก เดิม = σ=1 จะได้ 19 = σ=1 σ=1 = 19 เนื่องจากคะแนนสอบของนักเรียนเพิ่มมาอีก 2 คน คือ 25 และ 39 คะแนน จะได้ว่า ผลบวกของคะแนนสอบทั้งหมดเท่ากับ 19 + 25 + 39 คะแนน และจ านวนนักเรียนใหม่เท่ากับ + 2 คน จาก ใหม่ = σ=1 +2 +2 จะได้ 21 = 19+25+39 +2 21 + 42 = 19 + 64 2 = 22 = 11 ดังนั้น จ านวนนักเรียนเดิมที่ท าคะแนนสอบเฉลี่ยเป็น 19 คะแนน มี 11 คน 165 178 170 168 167 167 180 175 181 164 179 158 177 163 165 172 180 191 185 176 175 183 177 179

ตัวอย่ำงที่ 3 โรงเรียนแห่งหนึ่งก าหนดว่านักเรียนจะได้เกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ ก็ต่อเมื่อนักเรียนได้คะแนนเฉลี่ยจาก การสอบย่อย 6 ครั้ง ไม่ต่ ากว่า 80 คะแนน ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตจากการสอบย่อย 5 ครั้ง ของนักเรียนคนหนึ่งเท่ากับ 77 คะแนน จงหาว่าในการสอบย่อยครั้งที่ 6 นักเรียนคนนี้จะต้องได้คะแนนอย่างน้อยเท่าใด จึงจะได้เกรด 4 วิธีท า ให้ แทนคะแนนสอบย่อยครั้งที่ ของนักเรียนคนนี้ เมื่อ ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6 จากโจทย์ จะได้ 1+2+3+4+5 5 = 77 ดังนั้น 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 385 ถ้าต้องการได้เกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ จะต้องได้คะแนนเฉลี่ยจากการสอบย่อย 6 ครั้ง ไม่ต่ ากว่า 80 คะแนน นั่นคือ 1+2+3+4+5+6 6 ≥ 80 385+6 6 ≥ 80 6 ≥ 95 ดังนั้น ในการสอบย่อยครั้งที่ 6 นักเรียนคนนี้จะต้องได้คะแนนอย่างน้อย 95 คะแนน จึงจะได้เกรด 4 วิชาคณิตศาสตร์ ตัวอย่ำงที่ 4 ครูตรวจกระดาษค าตอบของนักเรียนจ านวน 47 คน คิดเป็นคะแนนเฉลี่ยที่ได้ 5.2 คะแนน เมื่อน ามา ตรวจทานพบว่ากรอกคะแนนผิดพลาดสองคน คือ อ่านข้อมูลผิดจาก 5 คะแนน อ่านเป็น 6 คะแนน และอ่านข้อมูลผิด จาก 10 คะแนน อ่านเป็น 1 คะแนน คะแนนเฉลี่ยที่ถูกต้องเป็นเท่าใด วิธีท า จาก ใหม่ = Σผิด N จะได้ Σผิด = = 5.2(47) = 244.4 จะได้ Σถูก = 244.4 − 6 − 1 + 5 + 10 = 252.4 จาก ถูก = Σถูก N = 252.4 47 = 5.37 ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยที่ถูกต้องเป็น 5.37 คะแนน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่หาได้ อาจไม่ใช่ค่าใดค่าหน่ึงของ ข้อมูลชุดนั้น

แบบฝึกทักษะที่ 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 1. นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 10 คน มีคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์คิดเป็น 45 คะแนน ต่อมาทราบว่าคิดคะแนนผิดไป 2 คน คือ จาก 48 คะแนน และ 50 คะแนน คิดเป็น 43 และ 60 คะแนนตามล าดับคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง เป็นเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 6 จ านวน แต่หายไป 1 จ านวน คงเหลือเพียง 28, 29, 28, 32, 28 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล ชุดนี้เท่ากับ 30 แล้วข้อมูลที่หายไปคือจ านวนใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. เดิมชมพู่สอบ 5 ครั้งแรกได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 12 คะแนน ถ้าครั้งที่ 6 ชมพู่ท าคะแนนได้ 18 คะแนน ชมพู่ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนการสอบทั้ง 6 ครั้งเป็นเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของพนักงานกลุ่มหนึ่งเป็น 30 ปี พนักงานคู่หนึ่งเป็นพี่น้องกัน ซึ่งมีอายุห่างกัน 3 ปี ส่วนพนักงานที่เหลืออายุ 28, 30, 33, 27 และ 29 ปี อายุของพี่น้องคู่นั้นเท่ากับเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบความร ู ้ ที่ 2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถว่งน้ าหนัก การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ าหนักใช้ในกรณีที่ข้อมูลแต่ละค่ามีความส าคัญไม่เท่ากันซึ่งมีวิธีการหาดังนี้ ก าหนดให้ 1, 2, 3, . . . , แทนข้อมูล เมื่อ แทนขนาดของประชากร และให้ 1, 2, 3, . . . , แทนน ้ำหนักของข้อมูล 1, 2, 3, . . . , ตามล าดับ จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ าหนัก = 11+22+33+...+ 1+2+3+...+ = σ=1 σ=1 หมายเหตุในกรณีที่เป็นข้อมูลของตัวอย่ำง สำมำรถหำค่ำเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน ้ำหนักได้ในท ำนองเดียวกันกับ สูตรข้ำงต้น โดยเปลี่ยน เป็น เมื่อ แทนขนาดประชากร และ แทนขนาดตัวอย่าง ไปดูตัวอย่างของค่าเฉลี่ย เลขคณิตถ่วงน ้าหนักกัน ดีกว่าครับนักเรียน

ตัวอย่ำงที่ 1 ในการค านวณเกรดเฉลี่ยของนักเรียนคนหนึ่ง สมมติว่านักเรียนคนนี้ลงทะเบียนเรียน5 วิชา ซึ่งแต่ละวิชา มีหน่วยกิตไม่เท่ากัน และได้เกรดแต่ละวิชาดังนี้ จงหาเกรดเฉลี่ยของนักเรียนคนนี้ วิธีท า ในที่นี้ข้อมูลคือเกรดแต่ละวิชาของนักเรียนคนนี้ ซึ่งได้แก่ 4, 4, 3, 3, 2 และหน่วยกิต 2.0, 3.0, 3.0, 3.0, 1.0 คือน้ าหนักของข้อมูล 4, 4, 3, 3, 2 ตามล าดับ จะได้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ าหนัก = 2.0(4)+3.0(4)+3.0(3)+3.0(3)+1.0(2) 2.0+3.0+3.0+3.0+1.0 = 40 12 ≈ 3.33 ดังนั้น เกรดเฉลี่ยของนักเรียนคนนี้ประมาณ 3.33 ตัวอย่างที่ 2 ในการประเมินคะแนนรายงานวิชาคณิตศาสตร์ครูและนักเรียนร่วมกันก าหนดน้ าหนักค่าคะแนนแต่ละส่วน ได้แก่ ด้านความถูกต้องของเนื้อหา ด้านความครบถ้วนขององค์ประกอบรายงานด้านความสวยงาม เป็นระเบียบ สร้างสรรค์ และด้านความตรงต่อเวลา เป็น 50, 30, 10 และ 10 ตามล าดับ ถ้าดอกไม้ได้คะแนนประเมินแต่ละด้าน 65, 70, 80 และ 85 คะแนนตามล าดับ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนรายงานวิชาคณิตศาสตร์ของดอกไม้ วิธีท า จาก = 11+22+33+...+ 1+2+3+...+ = 65(50)+70(30)+80(10)+85(10) 50+30+10+10 = 70 ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนรายงานวิชาคณิตศาสตร์ของดอกไม้ คือ 70 คะแนน วิชา คณิตศาสตร์ ภาษาอังกฤษ ภาษาไทย สังคมศึกษา สุขศึกษา หน่วยกิต 2.0 3.0 3.0 3.0 1.0 เกรด 4 4 3 3 2 ผมอยากลองท าแบบฝึกหัด ลองดูแล้วครับคุณครู

แบบฝึกทักษะที่ 2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถว่งน้ าหนัก 1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ 3 ครั้ง ก าหนดค่าน้ าหนักในการสอบเป็น 20% 30% และ 50% ตามล าดับ คะแนนสอบ ของใบตองแต่ละครั้งเป็น 54, 70 และ 82 คะแนนตามล าดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของ ใบตองเป็นเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ในการสอบวิชาภาษาไทย คณิตศาสตร์ ศิลปศึกษาและคอมพิวเตอร์ครูได้ก าหนดน้ าหนักของแต่ละวิชาเป็น 4, 3, 1 และ 5 ตามล าดับ ปรากฏว่าแตงโมสอบได้คะแนนแต่ละวิชาเป็น 90, 80, 70 และ 60 ตามล าดับ คะแนนสอบเฉลี่ยของ แตงโมเป็นเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ชมพู่มีผลการเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภาคเรียนที่ 2 ดังตาราง ผลการเรียนเฉลี่ยทุกวิชาของชมพู่เป็นเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของสุวิมลจ านวน 5 ภาคเรียน เป็นดังตาราง ผลการเรียนคณิตศาสตร์โดยเฉลี่ย 5 ภาคเรียนของสุวิมลเป็นเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… รายวิชา จ านวนหน่วยกิต (W) ผลการเรียน (X) ภาษาไทย 1.5 3 สังคมศึกษา 1.0 4 คณิตศาสตร์พื้นฐาน 1.0 3.5 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1.5 4 ภาษาอังกฤษ 1.5 2.5 เคมี 1.5 4 ชีววิทยา 1.5 3 ฟิสิกส์ 2.0 3.5 รหัสวิชา ค31101 ค31102 ค32101 ค32102 ค33101 จ านวนหน่วยกิต 2 1.5 1.5 1 1 ผลการเรียน 4 3 2 2.5 3.5

ใบความร ู ้ ที่ 3 มัธยฐานและฐานนิยม มัธยฐำน (median) คือ การน าข้อมูลทั้งหมดมาเรียงล าดับจากน้อยไปหามากหรือจากมากไปหาน้อย โดยมัธยฐานจะอยู่ต าแหน่งกึ่งกลางของข้อมูล ขั้นตอนกำรหำมัธยฐำน 1. เรียงข้อมูลจากค่ามากที่สุดไปหาค่าน้อยที่สุด หรือจะเรียงข้อมูลจากค่าน้อยที่สุดไปหาค่ามากที่สุด 2. หาต าแหน่งของมัธยฐานจาก ต าแหน่งมัธยฐาน = +1 2 - ถ้า เป็นจ านวนคี่ มัธยฐานคือจ านวนที่อยู่กึ่งกลาง - ถ้า เป็นจ านวนคู่ มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสองตัวที่อยู่กึ่งกลาง ตัวอย่ำงที่ 1 ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรียนหญิงจ านวน 11 คน แสดงได้ดังนี้ 164 158 167 160 163 159 162 161 155 170 168 จงหามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ วิธีท า เรียงความสูงของนักเรียนหญิง 11 คน จากน้อยไปมาก ได้ดังนี้ 155 158 159 160 161 162 163 164 167 168 170 เนื่องจากมัธยฐานอยู่ในต าแหน่งที่ 11+1 2 = 6 ดังนั้น มัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ คือ 162 เซนติเมตร

ฐำนนิยม (mode) คือ ข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดของชุดข้อมูลนั้น ๆ ซึ่งเป็นค่ากลางของข้อมูลอีกชนิดหนึ่ง นอกเหนือจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐาน โดยฐานนิยมเป็นค่ากลางชนิดเดียวที่สามารถใช้ได้กับข้อมูลเชิงคุณภาพ ตัวอย่ำงที่ 2 พิจำรณำคะแนนสอบวิชำภำษำไทยของนักเรียน 3 กลุ่ม ซึ่งมีคะแนนเต็ม 20 คะแนน เป็นดังนี้ จากคะแนนสอบของนักเรียนทั้ง 3 กลุ่ม แต่ละกลุ่มมีจ านวนนักเรียน 15 คน จะเห็นว่า กลุ่มที่ 1 มีนักเรียนที่สอบได้ 15 คะแนน 4 คน สอบได้ 13 และ 18 คะแนน คะแนนละ 3 คน สอบได้ 17 คะแนน 2 คน และสอบได้ 11, 14, และ 16 คะแนน คะแนนละ 1 คน จะเห็นว่า คะแนนสอบที่มีความถี่สูงสุด คือ 15 คะแนน ดังนั้น ฐานนิยม เท่ากับ 15 คะแนน กลุ่มที่ 2 มีนักเรียนที่สอบได้ 12 และ 13 คะแนน คะแนนละ 4 คน สอบได้ 11 และ 14 คะแนน คะแนนละ 2 คน สอบได้ 15, 17 และ 18 คะแนน คะแนนละ 1 คน จะเห็นว่า คะแนนสอบที่มีความถี่สูงสุด คือ 12 และ 13 คะแนน ดังนั้น ฐานนิยม เท่ากับ 12 และ 13 คะแนน กลุ่มที่ 3 มีนักเรียนที่สอบได้ 11, 12 และ 14 คะแนน คะแนนละ 4 คน สอบได้ 13 คะแนน 3 คน จะเห็นว่า คะแนนสอบที่มีความถี่สูงสุด คือ 11, 12 และ 14 คะแนน ในกรณีที่มีข้อมูลที่มีความถี่สูงสุดมากกว่า 2 ค่า ดังนั้น ข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม กลุ่มที่ 1 : 15 11 13 18 15 13 15 17 16 18 14 17 18 15 13 กลุ่มที่ 2 : 12 11 13 14 13 13 14 13 12 12 15 12 11 18 17 กลุ่มที่ 3 : 12 11 14 13 12 11 14 14 12 11 12 14 13 11 13

แบบฝึกทักษะที่3 มัธยฐานและฐานนิยม 1. จากการสุ่มเก็บข้อมูลค่าจ้างรายวัน (บาท) ของพนักงานชั่วคราวของร้านสะดวกซื้อ 2 แห่งเป็นเวลา 10 วัน ในเดือน มกราคม พ.ศ. 2562 แสดงได้ดังนี้ จงหามัธยฐานและฐานนิยมของค่าจ้างรายวันของพนักงานแต่ละร้าน ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. พนักงานกลุ่มหนึ่งมี 5 คน เมื่อ 3 ปีที่แล้ว คลื่นมีอายุ 20 ปี ไนท์มีอายุ 26 ปี เดย์มีอายุ 22 ปี ส่วนพีและมินทร์มีอายุ 18 และ 30 ปี ตามล าดับ จงหาว่าปัจจุบันค่ามัธยฐานของพนักงานกลุ่มนี้เป็นเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ร้านที่ 1 248 225 280 324 346 320 284 275 325 375 ร้านที่ 2 260 232 245 220 256 248 276 235 244 280

3.ค่าเฉลี่ยของคะแนนการแข่งขันทักษะทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน คือ 72 คะแนน ถ้าคะแนนของนักเรียน 8 คน เป็นดังนี้ 39, 46, 54, 70, 83, 86, 93 และ 99 โดยครูยังไม่แจ้งคะแนนของนักเรียนอีก 2 คน คือ ธารและไทธ์ โดยไทธ์ได้คะแนนน้อยกว่าธารอยู่ 4 คะแนน มัธยฐานของคะแนนการแข่งขันทักษะทางคณิตศาสตร์ของนักเรียน 10 คน เป็นเท่าใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4. ก าหนดข้อมูลของประชากรในแต่ละชุดดังต่อไปนี้ ชุด ก. : 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10 ชุด ข. : 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 30 จงหามัธยฐานและฐานนิยมของข้อมูลแต่ละชุด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบความร ู ้ ที่4 ค่าวัดการกระจายสัมบ ู รณ ์ พิสัย (range) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลชุดหนึ่ง โดยค านวณจากผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ าสุด ของข้อมูลชุดนั้น ก าหนดให้ข้อมูลชุดหนึ่งมี และ เป็นค่าสูงสุดและค่าต่ าสุด ตามล าดับ พิสัย = − พิสัยระหว่ำงควอไทล์ (IQR) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยค านวณจากผลต่างระหว่างควอไทล์ที่สาม และควอไทล์ที่หนึ่ง พิสัยระหว่างควอไทล์ (IQR) = 3 − 1 ส่วนเบี่ยงเบนมำตรฐำน (standard deviation) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยเป็นค่าที่บอกให้ทราบ ว่าข้อมูลแต่ละตัวอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยเฉลี่ยประมาณเท่าใด ให้ 1, 2, 3, … , แทนข้อมูล เมื่อ แทนขนาดประชากร และให้ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร เขียนแทนด้วย (อ่านว่า ซิกมา) หาได้จาก = σ=1 − 2 ให้ 1, 2, 3, … , แทนข้อมูล เมื่อ แทนขนาดของตัวอย่าง และให้ ҧแทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง หาได้จาก = σ=1 − 2 −1

ควำมแปรปรวน (variance) คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยค านวณจากก าลังสองของส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน ให้ 1, 2, 3, … , แทนข้อมูล เมื่อ แทนขนาดประชากร และให้ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร ความแปรปรวนของประชากร หาได้จาก 2 = σ=1 − 2 ให้ 1, 2, 3, … , แทนข้อมูล เมื่อ แทนขนาดของตัวอย่าง และให้ ҧแทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง ความแปรปรวนของตัวอย่าง หาได้จาก 2 = σ=1 − 2 − 1 ขอดูตัวอย่างหน่อยครับ คุณครู

ตัวอย่ำง ความสูง (เซนติเมตร) ของนักวอลเลย์บอลหญิงของโรงเรียนแห่งหนึ่งจ านวนทั้งหมด 9 คน แสดงได้ดังนี้ 174 171 170 184 180 179 169 178 160 จงหาพิสัย พิสัยระหว่างควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้ วิธีท า เรียงล าดับข้อมูลจากน้อยไปมากได้ ดังนี้ 160 169 170 171 174 178 179 180 184 พิสัย = − = 184 – 160 = 24 พิสัยระหว่างควอไทล์ = 3 − 1 ต าแหน่ง 1 = 9+1 4 = 2.5 ดังนั้น 1 = 170+169 2 = 169.5 ต าแหน่ง 3 = 3(9+1) 4 = 7.5 ดังนั้น 3 = 180+184 2 = 182 จะได้ว่า 3 − 1 = 182 − 169.5 = 12.5 ให้ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ และ แทนความสูงของนักวอลเลย์บอลหญิงคนที่ เมื่อ {1, 2, 3, … , 9} จะได้ = σ=1 9 9 = 1,565 9 = 173.9 ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ คือ 173.9 เซนติเมตร

จากข้อมูลข้างต้น จะได้ ดังนั้น = 422.89 9 ≈ 6.85 นั่นคือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้มีค่าประมาณ 6.85 เซนติเมตร และ 2 = 422.89 9 2 = 46.99 ดังนั้น ความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้มีค่าประมาณ 46.99 เซนติเมตร − − 2 160 160 – 173.9 = - 13.9 193.21 169 169 – 173.9 = - 4.9 24.01 170 170 – 173.9 = - 3.9 15.21 171 171 – 173.9 = - 2.9 8.41 174 174 – 173.9 = 0.1 0.01 178 178 – 173.9 = 4.1 16.81 179 179 – 173.9 = 5.1 26.01 180 180 – 173.9 = 6.1 37.21 184 184 – 173.9 = 10.1 102.01 ෍ =1 9 − 2 = 422.89 ดูตัวอย่างไปแล้ว ไปท าแบบฝึกลองดูกันครับ

แบบฝึกทักษะที่4 ค่าวัดการกระจายสัมบ ู รณ ์ 1. ร้านค้าร้านหนึ่งจ าหน่ายและรับติดตั้งประตูอัตโนมัติแห่งหนึ่งเก็บข้อมูลตัวอย่างเกี่ยวกับเวลา (นาที) ที่ใช้ในการติดตั้งประตูแต่ละบาน ได้ข้อมูลดังนี้ 28 32 24 46 44 40 54 38 32 42 36 จงหาพิสัย พิสัยระหว่างควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของเวลาที่ใช้ในการติดตั้ง ประตู …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….……………………………………………………………………………………

2. จากรายงานของศูนย์ข้อมูลอุบัติเหตุ เพื่อเสริมสร้างวัฒนธรรมความปลอดภัยทางถนน พบว่าข านวนผู้บาดเจ็บรวม (ราย) ตั้งแต่ พ.ศ. 2556 – 2558 ในแต่ละวันของช่วง 7 วันอันตรายของเทศกาลปีใหม่ แสดงได้ดังนี้ จงหาพิสัย พิสัยระหว่างควอไทล์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของข้อมูลชุดนี้ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………… วันที่ 1 วันที่ 2 วันที่ 3 วันที่ 4 วันที่ 5 วันที่ 6 วันที่ 7 1,236 1,633 1,664 1,458 1,506 1,423 870

ใบความร ู ้ ที่ 5 ค่าวัดการกระจายสัมพัทธ์ กำรวัดกำรกระจำยสัมพัทธ์ (relative variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูลด้วยค่าวัดทางสถิติที่ไม่มี หน่วย ซึ่งเป็นค่าที่ใช้ในการเปรียบเทียบการกระจายระหว่างข้อมูลมากกว่า 1 ชุด ในการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไป เพื่อพิจารณาว่าข้อมูลชุดใดมีการกระจายมาก ข้อมูลชุดใดมีการ กระจายน้อย ถ้าน าค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์ของข้อมูลแต่ละชุดมาเปรียบเทียบกันโดยตรง อาจท าให้ ข้อสรุปคลาดเคลื่อนไปจากความเป็นจริง เช่น ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 10 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2.2 และ ข้อมูลอีกชุดหนึ่งมีค่าตั้งแต่ 200 ถึง 800 มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 60.5 ถ้าพิจารณาเฉพาะส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของ ข้อมูลทั้งสองชุด อาจท าให้เข้าใจว่าข้อมูลชุดที่หนึ่งมีการกระจายน้อยกว่าข้อมูลชุดที่สองซึ่งอาจไม่ถูกต้องนัก เพราะค่า ของข้อมูลสองชุดนี้ต่างกันมาก ค่ากลางและค่าวัดการกระจายของข้อมูลทั้งสองย่อมต่างกันมากเช่นกัน เพื่อให้การ เปรียบเทียบมีความหมาย จึงนิยมหาอัตราส่วนของค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์กับค่ากลางของข้อมูลชุดนั้น ๆ แล้วจึงน าอัตราส่วนที่หาได้มาเปรียบเทียบกัน ในที่นี้จะพิจารณาสัมประสิทธิ์กำรแปรผัน (coefficient of variation) โดยมีสูตรดังนี้ สัมประสิทธิ์การแปรผันของประชากร = เมื่อ ≠ 0 สัมประสิทธิ์การแปรผันของตัวอย่าง = ҧ เมื่อ ҧ≠ 0 สัมประสิทธิ์ของการแปรผันอาจเขียนในรูปเปอร์เซ็นต์ ได้ดังนี้ สัมประสิทธิ์การแปรผันของประชากร = × 100 เมื่อ ≠ 0 สัมประสิทธิ์การแปรผันของตัวอย่าง = ҧ × 100 เมื่อ ҧ≠ 0 เช่น ข้อมูลตัวอย่างชุดหนึ่งมี = 10 และ ҧ= 30 จะได้สัมประสิทธิ์การแปรผันของข้อมูลชุดนี้ คือ 0.33 หรือ 33%

ตัวอย่ำง ในการเปรียบเทียบคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องหนึ่ง ซึ่งมีคะแนนเต็ม วิชาละ 100 คะแนน ครูประจ าชั้นได้สุ่มตัวอย่างนักเรียนห้องนี้มา 10 คน พบว่าคะแนนสอบแต่ละวิชาของนักเรียนแต่ ละคนเป็นดังนี้ จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนที่สุ่มตัวอย่างมา 10 คนนี้ พร้อมทั้งเปรียบเทียบการกระจายของคะแนนสอบทั้งสองวิชาของนักเรียนที่สุ่มตัวอย่างมา 10 คนนี้ วิธีท า ให้ และ แทนคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียน คนที่ เมื่อ {1, 2, , 3, … , 10}ตามล าดับ ҧและ ത แทนค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คนนี้ ตามล าดับ และ แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษของ นักเรียนที่สุ่มตัวอย่างมา 10 คนนี้ ตามล าดับ จะได้ ҧ= σ=1 10 10 = 76.7 และ ത = σ=1 10 10 = 77.7 นักเรียนคนที่ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนนสอบ วิชาคณิตศาสตร์ 58 62 76 90 78 81 88 79 80 75 คะแนนสอบ วิชาภาษาอังกฤษ 78 74 63 89 76 75 85 90 73 74

จากข้อมูลข้างต้น จะได้ และ − ҧ − ҧ 2 58 58 – 76.7 = - 18.7 349.69 62 62 – 76.7 = - 14.7 216.09 76 76 – 76.7 = - 0.7 0.49 90 90 – 76.7 = 13.3 176.89 78 78 – 76.7 = 1.3 1.69 81 81 – 76.7 = 4.3 18.49 88 88 – 76.7 = 11.3 127.69 79 79 – 76.7 = 2.3 5.29 80 80 – 76.7 = 3.3 10.89 75 75 – 76.7 = - 1.7 2.89 ෍ =1 10 − ത 2 = 910.1 − ത − ത 2 78 78 – 77.7 = 0.3 0.09 74 74 – 77.7 = - 3.7 13.69 63 63 – 77.7 = - 14.7 216.09 89 89 – 77.7 = 11.3 237.69 76 76 – 77.7 = - 1.7 2.89 75 75 – 77.7 = - 2.7 7.29 85 85 – 77.7 = 7.3 53.29 90 90 – 77.7 = 12.3 151.29 73 73 – 77.7 = - 4.7 22.09 74 74 – 77.7 = - 3.7 13.69 ෍ =1 10 − ത 2 = 608.1

ดังนั้น = 910.1 10−1 ≈ 10.06 และ = 608.1 10−1 ≈ 8.22 นั่นคือ สัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คนนี้ คือ 10.06 76.7 ≈ 0.1312 และสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษของนักเรียนที่สุ่มมา 10 คนนี้ คือ 8.22 77.7 ≈ 0.1058 เมื่อพิจารณาจากนักเรียนที่สุ่มตัวอย่างมา 10 คนนี้ จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบ วิชาคณิตศาสตร์มากกว่าสัมประสิทธิ์การแปรผันของคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ สรุปได้ว่าคะแนนสอบวิชา คณิตศาสตร์มีการกระจายมากกว่าคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษ หรือกล่าวได้ว่าคะแนนสอบวิชาภาษาอังกฤษเกาะกลุ่ม กันมากกว่าคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ แบบฝึกกันเถอะครับ เพ่ือน ๆ

แบบฝึกทักษะที่ 5 ค่าวัดการกระจายสัมพัทธ์ 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จ านวน 2 ห้องเรียน ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน เป็นดังนี้ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ห้อง 1 73.2 4.8 ห้อง 2 52.4 3.6

2. อุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิต่ าสุด (องศาเซลเซียส) ของจังหวัดขอนแก่น ตั้งแต่ พ.ศ. 2549 – 2558 แสดงได้ดังนี้ จงหาสัมประสิทธิ์การแปรผันของอุณหภูมิสูงสุดและอุณหภูมิต่ าสุดของจังหวัดขอนแก่น ตั้งแต่ พ.ศ. 2549 – 2558 พร้อมทั้งเขียนเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลชุดนี้ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………… พ.ศ. 2549 2550 2551 2552 2553 2554 2555 2556 2557 2558 อุณหภูมิ สูงสุด 39.3 41.1 38.5 39.6 41.2 39.3 39.0 41.8 40.5 41.0 อุณหภูมิ ต่ าสุด 12.0 12.6 11.9 10.2 13.5 11.6 15.0 11.6 10.2 11.6

ใบความร ู ้ ที่ 6 ค่าวัดต าแหน่งที่ของขอ ้ ม ู ล การวัดต าแหน่งที่ของข้อมูลเป็นการพิจารณาต าแหน่งที่ของข้อมูลตัวหนึ่งเพื่อเปรียบเทียบกับข้อมูลอื่น ๆ ที่อยู่ ในชุดข้อมูลเดียวกัน เช่น จากผลการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิกระหว่างประเทศ (International Mathematical Olympipiad: IMO) ครั้งที่ 55 พ.ศ. 2557 พบว่า ประเทศไทยอยู่ในอันดับที่ 21 ถ้าไม่ได้เปรียบเทียบอันดับที่ของ ประเทศไทยกับประเทศที่เข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด จะไม่สามารถเปรียบเทียบอันดับที่ของประเทศไทยกับประเทศที่ เข้าร่วมการแข่งขันทั้งหมด จะไม่สามารถทราบได้ว่าศักยภาพด้านคณิตศาสตร์ของผู้แทนประเทศไทยเป็นอย่างไร เมื่อ เปรียบเทียบกับประเทศอื่น ๆ ที่เข้าร่วมการแข่งขัน แต่ถ้ามีการเปรียบเทียบอันดับที่ของประเทศไทยกับประเทศที่เข้า ร่วมการแข่งขันทั้งหมด 101 ประเทศ จะเห็นว่าผู้แทนประเทศไทยท าผลงานได้ดีมากจนติดอันดับต้น ๆ ของโลก ค่าวัดต าแหน่งที่ของข้อมูลที่นิยมใช้กันมาก คือ ควอไทล์และเปอร์เซ็นต์ไทล์ ควอไทล์ (Quartile) เป็นการวัดต าแหน่งของข้อมูล โดยเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้วแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วน ซึ่งแต่ละส่วนมีจ านวนข้อมูลเท่า ๆ กัน ให้ แทนจ านวนข้อมูลทั้งหมด และ {1, 2, 3} การหาควอไทล์ที่ () ท าได้โดยเรียงล าดับข้อมูล ตัว เรียงล าดับข้อมูล ตัว จากน้อยไปมาก จากนั้นจะได้ว่า อยู่ในต าแหน่งที่ (+1) 4 เปอร์เซ็นต์ไทล์ (Percentile) เป็นการวัดต าแหน่งของข้อมูล โดยเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก แล้วแบ่งข้อมูล ออกเป็น 100 ส่วน ซึ่งแต่ละส่วนมีจ านวนข้อมูลเท่า ๆ กัน ให้ แทนจ านวนข้อมูลทั้งหมด และ {1, 2, 3, … , 100} การหาควอไทล์ที่ () ท าได้โดยเรียงล าดับข้อมูล ตัว เรียงล าดับข้อมูล ตัว จากน้อยไปมาก จากนั้นจะได้ว่า อยู่ในต าแหน่งที่ (+1) 100 หมายเหตุ พิจารณาต าแหน่งที่ของ 1,2 และ 3 กับต าแหน่งที่ของ 25, 50 และ 75 ตามล าดับ จะได้ว่า ต าแหน่งที่ของ 1 คือ 1(+1) 4 ซึ่งเท่ากับ 25(+1) 100 จึงเป็นต าแหน่งที่เดียวกันกับ 25 ต าแหน่งที่ของ 2 คือ 2(+1) 4 ซึ่งเท่ากับ 50(+1) 100 จึงเป็นต าแหน่งที่เดียวกันกับ 50 ต าแหน่งที่ของ 3 คือ −(+1) 4 ซึ่งเท่ากับ 75(+1) 100 จึงเป็นต าแหน่งที่เดียวกันกับ 75

ตัวอย่ำงที่ 1 ข้อมูลปริมาณการส่งออกข้าวไทยโดยประมาณ (พันตันข้าวสาร) ใน พ.ศ. 2560 จ าแนกตามชนิดของข้าว จากศูนย์เทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร ส านักงานปลัดกระทรวงพานิชย์ โดยความร่วมมือจากกรมศุลกากร แสดงได้ดังตาราง จงหาควอไทล์ที่ 1 ควอไทล์ที่ 2 และควอไทล์ที่ 3 ของปริมาณการส่งออกข้าวโดยประมาณของข้าว 8 ชนิด ใน พ.ศ. 2560 วิธีท า เรียงปริมาณการส่งออกโดยประมาณของข้าว 8 ชนิด จากน้อยไปมาก ได้ดังนี้ 213 214 303 408 669 1,630 3,370 4,662 เนื่องจาก 1 อยู่ในต าแหน่งที่ 1(8+1) 4 = 2.25 ดังนั้น 1 อยู่ระหว่างข้อมูลในต าแหน่งที่ 2 และ 3 ซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง 214 และ 303 ในการหา 1 จะใช้การเทียบบัญญัติไตรยางศ์ ดังนี้ เนื่องจากข้อมูลในต าแหน่งที่ 2 และ 3 มีต าแหน่งต่างกัน 3 − 2 = 1 มีค่าต่างกัน 303 − 214 = 89 จะได้ว่าต าแหน่งต่างกัน 2.25 − 2 = 0.25 มีค่าต่างกัน 0.25×89 1 = 22.25 ดังนั้น 1 = 214 + 22.25 = 236.25 เนื่องจาก 2 อยู่ในต าแหน่งที่ 2(8+1) 4 = 4.5 ดังนั้น 2 คือค่าเฉลี่ยของข้อมูลในต าแหน่งที่ 4 และ 5 ซึ่งคือ 408+669 2 = 538.5 ชนิดของข้าว ปริมาณการส่งออกโดยประมาณ (พันตันข้าวสาร) ต้นข้าวขาว 4,662 ปลายข้าวขาว 408 ต้นข้าวหอมมะลิ 1,630 ปลายข้าวหอมมะลิ 669 ข้าวนึ่ง 3,370 ข้าวเหนียว 214 ปลายข้าวเหนียว 303 ข้าวหอมไทย 213

เนื่องจาก 3 อยู่ในต าแหน่งที่ 3(8+1) 4 = 6.75 ดังนั้น 3 อยู่ระหว่างข้อมูลในต าแหน่งที่ 6 และ 7 ซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง 1,630 และ 3,370 ในการหา 3 จะใช้การเทียบบัญญัติไตรยางศ์ ดังนี้ เนื่องจากข้อมูลในต าแหน่งที่ 2 และ 3 มีต าแหน่งต่างกัน 7 − 6 = 1 มีค่าต่างกัน 3,370 − 1,630 = 1,740 จะได้ว่าต าแหน่งต่างกัน 6.75 − 6 = 0.75 มีค่าต่างกัน 0.75×1,740 1 = 1,305 ดังนั้น 3 = 1,630 + 1,305 = 2,935 จะได้ว่าควอไทล์ที่ 1 ควอไทล์ที่ 2 และควอไทล์ที่ 3 ของปริมาณการส่งออกโดยประมาณของข้าว 8 ชนิด ใน พ.ศ. 2560 คือ 236.25, 538.5 และ 2,935 พันตันข้าวสาร ตามล าดับ ตัวอย่ำงที่ 2 คะแนนสอบวิชาสังคมศึกษาของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/1 ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง จ านวนทั้งหมด 40 คน ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน แสดงได้ดังนี้ จงหาเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 25 เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 50 เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 75 และเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 80 ของคะแนนสอบวิชา ภาษาอังกฤษของนักเรียนห้องนี้ วิธีท า เรียงคะแนนสอบวิชาสังคมศึกษาของนักเรียน 40 คน จากน้อยไปมาก เนื่องจาก 25 อยู่ในต าแหน่งที่ 25(40+1) 100 = 10.25 ดังนั้น 25 อยู่ระหว่างข้อมูลในต าแหน่งที่ 10 และ 11 ซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง 54 และ 55 ในการหา 25 จะใช้การเทียบบัญญัติไตรยางศ์ ดังนี้ เนื่องจากข้อมูลในต าแหน่งที่ 10 และ 11 มีต าแหน่งต่างกัน 11 − 10 = 1 มีค่าต่างกัน 55 − 54 = 1 จะได้ว่าต าแหน่งต่างกัน 10.25 − 10 = 0.25 มีค่าต่างกัน 0.25×1 1 = 0.25 ดังนั้น 25 = 54 + 0.25 = 54.25 96 78 80 76 84 77 74 85 65 69 82 53 45 67 58 54 56 62 56 54 43 48 49 50 60 65 54 51 55 60 65 66 75 98 97 63 92 94 76 78 43 45 48 49 50 51 53 54 54 54 55 56 56 58 60 60 62 63 65 65 65 66 67 69 74 75 76 76 77 78 78 80 82 84 85 92 94 96 97 98

เนื่องจาก 50 อยู่ในต าแหน่งที่ 50(40+1) 100 = 20.5 ดังนั้น 50 คือค่าเฉลี่ยของข้อมูลในต าแหน่งที่ 20 และ 21 ซึ่งคือ 65+65 2 = 65 เนื่องจาก 75 อยู่ในต าแหน่งที่ 75(40+1) 100 = 30.75 ดังนั้น 75 อยู่ระหว่างข้อมูลในต าแหน่งที่ 30 และ 31 ซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง 78 และ 78 ดังนั้น 25 = 78 เนื่องจาก 80 อยู่ในต าแหน่งที่ 80(40+1) 100 = 32.8 ดังนั้น 80 อยู่ระหว่างข้อมูลในต าแหน่งที่ 32 และ 33 ซึ่งมีค่าอยู่ระหว่าง 80 และ 82 ในการหา 80 จะใช้การเทียบบัญญัติไตรยางศ์ ดังนี้ เนื่องจากข้อมูลในต าแหน่งที่ 32 และ 33 มีต าแหน่งต่างกัน 33 − 32 = 1 มีค่าต่างกัน 82 − 80 = 2 จะได้ว่าต าแหน่งต่างกัน 32.8 − 32 = 0.8 มีค่าต่างกัน 0.8×2 1 = 1.6 ดังนั้น 80 = 80 + 1.6 = 81.6 จะได้ว่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 25 เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 50 เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 75 และเปอร์เซ็นต์ไทลที่ 80 ของคะแนนสอบ วิชาสังคมศึกษาของนักเรียนห้องนี้ คือ 54.25, 65, 78 และ 81.6 คะแนน ตามล าดับ ไปท าแบบฝึกหัดกันครับ

แบบฝึกทักษะที่ 6 ค่าวัดต าแหน่งที่ของขอ ้ ม ู ล 1. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 จ านวน 2 ห้องเรียน ซึ่งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน เป็นดังนี้ จงหาควอไทล์ที่ 1 ควอไทล์ที่ 2 และควอไทล์ที่ 3 ของข้อมูลชุดนี้ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………….……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………… เขื่อน ก าลังผลิต (เมกะวัตต์) ภูมิพล 779.20 สิริกิติ์ 500.00 อุบลรัตน์ 25.20 สิรินธร 36.00 จุฬาภรณ์ 40.00 ศรีนครินทร์ 720.00 วชิราลงกรณ 300.00 ท่าทุ่งนา 39.00 แก่งกระจาน 19.00 บางลาง 84.00 รัชชประภา 240.00 ปากมูล 136.00 เจ้าพระยา 12.00 แควน้อยบ ารุงแดน 30.00 แม่กลอง 12.00

2. ข้อมูลระยะเวลาตั้งท้องเฉลี่ย (วัน) และอายุขัยเฉลี่ย (ปี) ของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ านม 10 ชนิด แสดงได้ดังนี้ 1) จงหาเปอร์เซ็นต์ไทลที่ 20 และเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 80 ของระยะเวลาตั้งท้องเฉลี่ยของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ านม 10 ชนิดนี้ 2) จงหาเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 20 และเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 80 ของอายุขัยเฉลี่ยของสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ านม 10 ชนิดนี้ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………… สัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ านม ระยะเวลาตั้งท้องเฉลี่ย (วัน) อายุขัยเฉลี่ย (ปี) สิงโต 100 15 ลิง 166 15 ม้าลาย 365 15 เสือ 105 16 กวาง 201 8 ฮิปโปโปเตมัส 238 41 ช้าง 660 35 ยีราฟ 425 10 อูฐ 406 10 ม้า 330 20

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………… …….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………… …………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………

แบบทดสอบหลังเรียน ค ำชี้แจง 1. แบบทดสอบฉบับนี้ มีจ านวน 10 ข้อ (10 คะแนน) 2. ให้นักเรียนท าเครื่องหมาย x เพื่อเลือกค าตอบที่ถูกต้องที่สุด 1. คะแนนของการสอบ 6 ครั้งเป็น 84 91 72 69 86 78 ตามล าดับ ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบนี้เป็นเท่าใด ก. 78 คะแนน ข. 79 คะแนน ค. 80 คะแนน ง. 82 คะแนน 2. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 9 คน ได้คะแนนเฉลี่ย 12 คะแนน และคะแนนสอบครั้งเดียวกันของนักเรียน 10 คน ได้คะแนนเฉลี่ย 12 คะแนน อยากทราบว่าในการสอบครั้งนี้นักเรียนคนที่ 10 สอบได้กี่คะแนน ก. 25 คะแนน ข. 28 คะแนน ค. 24 คะแนน ง. 22 คะแนน 3. เจษฎามีผลการเรียน 5 วิชา ดังนี้ จงหาเกรดเฉลี่ยของเจษฎา ก. 3.33 ข. 3.45 ค. 3.50 ง. 3.67 10 คะแนน รายวิชา จ านวนหน่วยกิต (W) ผลการเรียน (X) ภาษาไทย 1 4 สังคมศึกษา 1 4 คณิตศาสตร์ 1.5 3.5 วิทยาศาสตร์ 2 3.5 ภาษาอังกฤษ 1 3.5 4. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 6 คน เป็นดังนี้ 1, 2, 5, 7, 5, 10 จงหามัธยฐานของคะแนนสอบ ก. 2 คะแนน ข. 3 คะแนน ค. 4 คะแนน ง. 5 คะแนน 5. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 8 จ านวน เมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากพบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลสามตัวแรกคือ 16 ค่าเฉลี่ยของ ข้อมูลสามตัวหลัง คือ 32 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนี้ทั้งหมดเท่ากับ 25 แล้วค่ามัธยฐานของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับ เท่าใด ก. 27 ข. 28 ค. 29 ง. 30 6. ถ้าส่วนลดการค้าของ 6 บริษัทที่ขายเครื่องใช้ไฟฟ้าชนิดหนึ่งเป็นดังนี้ พิสัยของส่วนลดการค้าของ 6 บริษัทนี้เป็นเท่าใด ก. 15% ข. 13.5% ค. 10% ง. 7% บริษัทที่ 1 2 3 4 5 6 ส่วนลด (%) 15 12 17 20 27 16

7. พิสัยระหว่างควอไทล์ของข้อมูล 60, 64, 56, 70, 52, 58 และ 63 ตรงกับข้อใด ก. 12 ข. 8 ค. 10 ง. 14 8. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 5 จ านวน มีฐานนิยม มัธยฐานและค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็น 18, 20 และ 20 ตามล าดับ และพิสัยของข้อมูล ชุดนี้เท่ากับ 5 ความแปรปรวนของข้อมูลชุดนี้มีค่าเท่ากับเท่าใด ก. 18 5 ข. 23 5 ค. 38 5 ง. 58 5 9. จากข้อมูลที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ 10, 12, 15, 20, 25, 26, 28 ,29, 33 ,34, 36, 38, 40, 42, 42 จงหาเปอร์เซ็นไทล์ที่ 15 ก. 13 ข. 13.1 ค. 13.2 ง. 13.3 10. ข้อมูลชุดหนึ่งประกอบด้วย 19 จ านวนต่อไปนี้ 6, 8 ,9, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, 30 ควอไทล์ที่ 3 มีค่าต่างจากเปอร์เซ็นไทล์ที่ 45 เท่ากับเท่าใด ก. 5 ข. 4 ค. 3 ง. 2

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ข้อ ก ข ค ง 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X

เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต 1. นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 10 คน มีคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์คิดเป็น 45 คะแนน ต่อมาทราบว่าคิดคะแนนผิดไป 2 คน คือ จาก 48 คะแนน และ 50 คะแนน คิดเป็น 43 และ 60 คะแนนตามล าดับคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง เป็นเท่าใด วิธีท ำ จาก ผิด = Σผิด จะได้ Σผิด = = 45 10 = 450 จะได้ Σถูก = 450 − 98 + 103 = 455 ดังนั้น ถูก = 455 10 = 45.5 คะแนน 2. ข้อมูลชุดหนึ่งมี 6 จ านวน แต่หายไป 1 จ านวน คงเหลือเพียง 28, 29, 28, 32, 28 ถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล ชุดนี้เท่ากับ 30 แล้วข้อมูลที่หายไปคือจ านวนใด วิธีท ำ จาก = σ จะได้ 30 = 28+29+28+32+28+ 6 180 = 145 + = 180 − 145 = 35 ดังนั้น ข้อมูลที่หายไป คือ 35

3. เดิมชมพู่สอบ 5 ครั้งแรกได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 12 คะแนน ถ้าครั้งที่ 6 ชมพู่ท าคะแนนได้ 18 คะแนน ชมพู่ได้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนการสอบทั้ง 6 ครั้งเป็นเท่าใด วิธีท ำ จาก 5ครั้ง = σ=1 5 5 σ=1 5 = 12 5 = 60 จะได้ 6ครั้ง = 60+18 6 = 13 ดังนั้น คะแนนสอบเฉลี่ยของการสอบทั้ง 6 ครั้ง เท่ากับ 13 คะแนน 4. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุของพนักงานกลุ่มหนึ่งเป็น 30 ปี พนักงานคู่หนึ่งเป็นพี่น้องกัน ซึ่งมีอายุห่างกัน 3 ปี ส่วนพนักงานที่เหลืออายุ 28, 30, 33, 27 และ 29 ปี อายุของพี่น้องคู่นั้นเท่ากับเท่าใด วิธีท ำ จากพนักงานคู่หนึ่งเป็นพี่น้องกัน ซึ่งมีอายุห่างกัน 3 ปี ให้น้องมีอายุ ปี จะได้ว่าพี่มีอายุ + 3 ปี จาก = σ จะได้ 30 = 28+30+33+27+29+++3 7 210 = 150 + 2 = 210−150 2 = 30 ดังนั้น น้องมีอายุ 30 ปี และพี่มีอายุ 30 + 3 = 33 ปี

เฉลยแบบฝึกทักษะที่2 ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถว่งน้ าหนัก 1. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ 3 ครั้ง ก าหนดค่าน้ าหนักในการสอบเป็น 20% 30% และ 50% ตามล าดับ คะแนนสอบ ของใบตองแต่ละครั้งเป็น 54, 70 และ 82 คะแนนตามล าดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของ ใบตองเป็นเท่าใด วิธีท ำ จาก = 11+22+33 1+2+3 จะได้ = 20 54 + 30 70 +(50)(82) 20+30+50 = 1,080+2,100+4,100 100 = 7280 100 = 72.8 ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของใบตอง คือ 72.8 คะแนน 2. ในการสอบวิชาภาษาไทย คณิตศาสตร์ ศิลปศึกษาและคอมพิวเตอร์ครูได้ก าหนดน้ าหนักของแต่ละวิชาเป็น 4, 3, 1 และ 5 ตามล าดับ ปรากฏว่าแตงโมสอบได้คะแนนแต่ละวิชาเป็น 90, 80, 70 และ 60 ตามล าดับ คะแนนสอบเฉลี่ยของ แตงโมเป็นเท่าใด วิธีท ำ จาก = 11+22+33+44 1+2+3+4 จะได้ = 4 90 + 3 80 + 1 70 +(5)(60) 4+3+1+5 = 360+240+70+300 13 = 970 13 ≈ 74.62 ดังนั้น คะแนนเฉลี่ยของแตงโม คือ 74.62 คะแนน

3. ชมพู่มีผลการเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ภาคเรียนที่ 2 ดังตาราง ผลการเรียนเฉลี่ยทุกวิชาของชมพู่เป็นเท่าใด วิธีท ำ = 11+22+33+44+55+66+77+88 1+2+3+4+5+6+7+8 = 1.5 3 + 1.0 4 + 1.0 3.5 + 1.5 4 + 1.5 2.5 + 1.5 4 + 1.5 3 +(2.0)(3.5) 1.5+1.0+1.0+1.5+1.5+1.5+1.5+2.0 = 4.5+4+3.5+6+3.75+6+4.5+7 11.5 = 39.25 11.5 ≈ 3.41 ดังนั้น ชมพู่จะมีผลการเรียนเฉลี่ยเท่ากับ 3.41 4. ผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ของสุวิมลจ านวน 5 ภาคเรียน เป็นดังตาราง ผลการเรียนคณิตศาสตร์โดยเฉลี่ย 5 ภาคเรียนของสุวิมลเป็นเท่าใด วิธีท ำ = 11+22+33+44+55 1+2+3+4+5 = 2 4 + 1.5 3 + 1.5 2 + 1 2.5 + 1 3.5 2+1.5+1.5+1+1 = 8+4.5+3+2.5+3.5 7 = 21.5 7 ≈ 3.07 ดังนั้น สุวิมลมีผลการเรียนเฉลี่ยเท่ากับ 3.0 รายวิชา จ านวนหน่วยกิต (W) ผลการเรียน (X) ภาษาไทย 1.5 3 สังคมศึกษา 1.0 4 คณิตศาสตร์พื้นฐาน 1.0 3.5 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 1.5 4 ภาษาอังกฤษ 1.5 2.5 เคมี 1.5 4 ชีววิทยา 1.5 3 ฟิสิกส์ 2.0 3.5 รหัสวิชา ค31101 ค31102 ค32101 ค32102 ค33101 จ านวนหน่วยกิต 2 1.5 1.5 1 1 ผลการเรียน 4 3 2 2.5 3.5