MÓDULO ACADÉMICO CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS.

La relación entre los parámetros de la variable y los límites de especificación. Incluyendo los valores de Cpk que
pueden asumir según su comportamiento frente a las especificaciones:

a. El proceso no está en capacidad de cumplir con las especificaciones.
b. Proceso cuyo centro esta desplazado y el proceso está en peligro de generar producto fuera de la

especificación, sin embargo, la amplitud del proceso indica que este puede cumplir la tolerancia
demarcada por las especificaciones.
c. En este caso ya se han presentado productos fuera de las especificaciones, generando no conformidades
del proceso.

Cuando el problema está en centrar correctamente el proceso con respecto a las especificaciones, la administración
debe investigar las causas de la mala dirección técnica del proceso.

Promedio Aceptable

Desviación estándar

Aceptable. Cpk=Cp > 1

Promedio aun aceptable
Desviación estándar
Aceptable. Cpk = 1

Promedio muy alto
Desviación estándar
Potencialmente aceptable

51

Cpk = Cpu < 1
Promedio aceptable
Desviación estándar muy grande
Cpu y Cpl < 1
Promedio muy alto
Desviación estándar muy grande
Cpk = Cpu < 1
En general:

1. Proceso Capaz y centrado ( > 1, = )
2. Proceso potencialmente capaz pero descentrado ( > 1, < 1)
3. Proceso Incapaz y centrado ( < 1, = )
4. Proceso Incapaz y descentrado ( < 1, < 1, > )
Cada una de estas situaciones en un proceso productivo es presentada a continuación:

52

EL Cp y el Cpk para dos limites de especificacion.

TIPO DE VALOR DEL VALOR DEL FIGURA DECISION

PROCESO Cp Cpk Mas que adecuado, es
un proceso capaz. La
1 Cp=1.33 Cpk=1.33 decision es mantenerlo
en esos niveles.

2 Cp=1.33 Cpk=0.66 Este tipo de proceso es
capaz pero descentrado,
probablmente valga la
pena modificar las
especificaciones o
incluso mejorar el
proceso.

3 Cp=0.66 Cpk=0.66 Este tipo de proceso es
incapaz, pero centrado
requiere modificaciones
en el proceso para
hacerlo mas cerrado

4 Cp=0.66 Cpk=0.33 Este tipo de proceso es
incapaz, y tambien
descentrado. Requiere
acciones inmediatas al
prceso

Esquema general para la implementación de un programa de control estadístico o para el mejoramiento
de los procesos con base en esta herramienta.

53

3.3.3 DETERMINACION DE LA PROPORCION DE PRODUCTOS NO CONFORMES
Dado que el proceso se ajusta a una distribución normal, la proporción de productos no conformes (%PNC), es el
porcentaje de productos por cada límite de la función de densidad de probabilidad Normal que rebasa los límites de
especificación.

54

Para el límite superior:

= − ̅


Luego.

% = ( > )
− ̅

% = ( > )

Para el límite inferior:

− ̅
=

Luego.

% = ( < )
− ̅

% = ( < )
De esta manera, la cantidad total de productos no conformes es la suma de la proporción por cada uno de los límites.

En el momento de hallar , se debe tener en cuenta que si el primer valor es mayor que 1, entonces la
proporción de productos no conformes por el límite superior es tan insignificante que no se tiene en cuenta, de igual
forma sucede con el segundo valor pero para el porcentaje de productos no conformes por el límite inferior.

Para un proceso que genera una proporción de productos no conformes como el siguiente, se pueden considerar las
siguientes alternativas para disminuir la fracción de productos no conformes:

55

✓ Reducir la desviación estándar

✓ Cambiar la media y centrar el proceso.

✓ Lo ideal sería cambiar ambas

¿Cómo hacer una recolección de datos para hacer un análisis de capacidad o cualquier estudio
estadístico?

Para la recolección de los datos se toman k muestras de tamaño n, en un tiempo determinado por días, horas o
minutos, según los requerimientos del proceso, la media, la desviación estándar y el recorrido de los datos se
obtienen de la siguiente manera:

56

Los valores utilizados para realizar el análisis de la capacidad del proceso son ̅′ y .̅

El valor de la desviación estándar ′se determina de la siguiente manera:

̅
= 2

Donde 2 es una constante (Tabla anexo “Factores para construir cartas de control para variables cuando no se da
una especificación”), su valor depende del tamaño de la muestra y puede tomarse de las tablas de constantes para
el manejo de la calidad de un proceso.

Es útil la construcción e interpretación de histogramas para el manejo de este tema, este procedimiento es explicado
en la sección 2 del módulo.

3.3.4 intervalos de confianza y pruebas para los índices de capacidad del proceso:

Gran parte de la aplicación industrial de los índices de capacidad del proceso se enfoca en calcular e interpretar la
estimación puntual de la cantidad deseada. Los usuarios en la práctica olvidan con frecuencia que cp o cpk son
simplemente estimaciones puntuales y, como tales, están sujetas a la fluctuación estadística. Una alternativa que
debería convertirse en práctica común es reportar los intervalos de confianza para los índices de capacidad del
proceso.

Cálculo:

̂ √ − ; − ̂ √ ; −
− −
≤ ≤

̂ − √ ( ̂ ) + − ; − ≤ ≤ ̂ + √ + − ; −
( − ) ( ̂ ) ( − )


[ ][ ]

EJEMPLOS:

1. En cierto proceso de maquinado se ha llevado una gráfica ̅ ̅ sobre el diámetro de cierta parte.
Después de verificar si el proceso está bajo control estadístico y que los datos se comportan como una
distribución normal, se tienen los siguientes datos.

̅ = 0.169
= 5

̅ = 0.738
= 0.5
= 0.9

57

a. Calcule los índices Cp y Cpk y haga un análisis completo de la capacidad del proceso.
b. Obtenga la proporción esperada fuera de especificación unilateral y de manera total.
c. Calcular el inciso a) y b) con el proceso centrado
d. Entre que valores debe oscilar ,̅ de tal manera que la fracción de no conformes sea a lo sumo

de 1% (Ventana de Operación).

a)

̅
= 2
0,169
= 2.326 = 0,0726
~ (0.738; 0.0726)

2 Se obtuvo de la tabla factores para construir cartas de control para variables
−

= 6
0,9 − 0,5

= 6(0,0726) = 0,9182

= ( ; )

− ̅
= 3
0,9 − 0,738
= 3(0,0726) = 0.7438

̅ −
= 3
0,738 − 0,5
= 3(0,0726) = 1,09

= 0,7438

Debido a que el Cp es menor a 1 Cpk es diferente al Cp se puede decir que es un proceso el cual esta descentrado y
es incapaz

b) Como se pudo observar el en inciso anterior el Cpl es mayor a 1 por el cual en esa cola no se producirán
productos no conformes, mientras que el Cpu es menor a 1

58

= − ̅



% = ( > )

− ̅
% = ( > )

0.9 − 0.738
% = ( > 0.0726 )

% = ( > 2.23)

% = 0.01287 ≈ 1.287%

El proceso arroja 1,25% de productos no conformes.

Entonces se dice que el proceso no es capaz, no está centrado y arroja 1,25% de productos no conformes. Para
reducir la cantidad de productos no conformes arrojados por el proceso, incurriendo en el menor costo, lo
recomendable es centrar el proceso, es decir, hacer que coincida la media del proceso con el valor nominal. Esta
técnica resulta más económica que la reducción de la variabilidad, que sería lo ideal, aunque muy costosa, pues
requiere un análisis riguroso de las 6M de producción (Maquinaria, Mano de Obra, Mediciones, Medio Ambiente,
Métodos y Materiales).

c) Centraremos el proceso llevando la media a su valor nominal

= +

2

0.9 + 0.5
= 2 = 0.7

Como es un proceso el cual está centrado entonces el = = =
~ (0.7; 0.0726)
−
= 6
0,9 − 0,5

= 6(0,0726) = 0,9182
= ( ; )

59

− ̅
= 3
0,9 − 0,7
= 3(0,0726) = 0.9182

̅ −
= 3
0,7 − 0,5
= 3(0,0726) = 0.9182

= = = = 0.9182
Debido a que el Cp es menor a 1, Cpk es igual al Cp, se puede decir que es un proceso incapaz y centrado

Como se pudo observar el en inciso anterior el Cpl y el Cpu son menores a 1, por lo que tenemos productos no
conformes por amas colas

Por el límite superior

= − ̅



% = ( > )

− ̅
% = ( > )

0.9 − 0.7
% = ( > 0.0726 )

% = ( > 2.7548)

% = 0.00294 ≈ 0.294%

El proceso arroja 0.294% de productos no conformes.

Como es un proceso el cual está centrado tendremos la misma cantidad de productos no conformes tanto por la
derecha como por la izquierda

0.294% ∗ 2 = 0.588%
% PNC total será 0.588%

d) procedemos hallar la ventana de operación con 1% de productos no conformes.

60

Por el límite superior

% = 1%
( > ) = 0,01
( > 2.3264) = 0,01

− ̅
2.3264 =

0.9 − ̅
2.3264 = 0.0726

̅ = 0.731

Por el límite inferior.

% = 1%
( < ) = 0,01
( < −2.3264) = 0,01

− ̅
−2.3264 =

0.5 − ̅
−2.3264 = 0.0726

̅ = 0.669
La ventana de operación será igual a:(0.731 ≥ ̅ ≥ 0.669)

2. Un proceso productivo tiene un = 0,95, y está centrado.
a) Estime la proporción de productos no conformes
b) Si el proceso esta descentrado a 0,15 , que valor toman los índices y k

Solución

a) Como el proceso está centrado = = =

3 =
− ̅ − ̅
3( 3 ) =

61

%PNC

− ̅
% = ( > )

% = ( > )

= 3 ∗ 0.95
= 2.85

% = ( > 2.85)

% = 0.0022 ≈ 0.22%

Como está centrado está arrojando la misma cantidad de productos no conformes por ambos lados tenemos
0,0022 ∗ 2 = 0,0044 = 0,04%

b) Si el proceso está descentrado a 0,15

̅ = + + 0,15
2
− ̅
= 3
⌈ +
= − 2 + 0.15 ⌉ ∗ 2
2
3

= 2 − ⌈ + + 0.3 ⌉

6

= − − 0.3

6

−
= 6 − 0.05

= − 0.05

= 0.95 − 0.05 = 0.90
̅ −

= 3

62

⌈ + + 0.15 ⌉ − 2
2 3 2
= ∗

= ⌈ + + 0.3 ⌉ − 2

6

= − + 0.3

6

−
= 6 + 0.05

= + 0.05

= 0.95 + 0.05 = 1

= = 0.90
3. Cierto proceso tiene unas especificaciones de 75 ± 15, se ajusta a una distribución normal y está bajo

control estadístico con parámetros ̅= 77 y = 4,5.

Entre que valores puede oscilar la media de tal manera que la fracción de productos no conformes sea a
lo sumo 4%. De los artículos no conformes que excedan el límite de especificación superior, el 70% se
pueden reprocesar a un costo unitario de 80 U.M y quedan aceptables. Los artículos no conformes por el
límite inferior no son reprocesables y ocasionan un costo unitario de 30 U.M. El costo de producción de
cada artículo es de 250 U.M. ¿Cuánto cuanta producir un artículo conforme?

Solución

X̅ = 77

σ = 4,5

LSE = 90

LIE = 60

Lo primero que se debe hacer es realizar el análisis de capacidad:

~ (77; 4,5)

−
= 6

63

90 − 60
= 6(4,5) = 1,11

= ( ; )
− ̅

= 3
90 − 77

= 3(4,5) = 0,9629
̅ −

= 3
77 − 60

= 3(4,5) = 1.2592

= = 0.9629
Calculamos el %PNC X el límite superior debido a que el Cpu es menor a 1

= − ̅



% = ( > )

− ̅
% = ( > )

90 − 77
% = ( > 4,5 )

% = ( > 2.888)

% = 0.2 ≈ 0.2%
Procedemos a calcular los valores en los que puedo oscilar la media para un total de 4% PNC

% = 4%

( > ) = 0,04
( > 1.75069) = 0,04

64

− ̅
1.75069 =

90 − ̅
1.75069 = 4.5

̅ = 82,125

Por el límite inferior.

% = 4%

( < ) = 0,04

( < −1.75069) = 0,04

− ̅
−1.75069 =

60 − ̅
−1.75069 = 4.5

̅ = 60,7875

La ventana de operación será igual a:(82,125 ≥ ̅ ≥ 60,7875)

Ahora para sacar el costo de fabricar un artículo conforme se sabe que por el límite superior hay un 0,2% de PNC y
que solo el 70% de ellos se reprocesa a un costo de 80 U.M, por el límite no tenemos productos o conformes

= 250 + 0,002 ∗ 0,70 ∗ 80

1 − 0,002

= 250.61

El costo de un artículo conforme es de 250,6357 U.M.

4. BELLAVEL es una empresa pionera en cosméticos, el labial es el producto más importante de la empresa.
El proceso de corte del labial se ajusta a una distribución normal y se conoce que el 20,22% de los labiales
tienen una longitud que excede los 105 mm, mientas que el 30,85% excede los 103 mm. Las especificaciones
para la longitud de los labiales son de 100.5 ± 10,5 mm. Durante la producción, una vez cortado el labial y
en caso de que su longitud exceda el límite superior, se podría reducir para que cumpla con las
especificaciones.

65

La producción de cada labial genera un costo de $ 2 dólares y cada unidad se vende en $ 20 dólares. Si es
necesario recortar el labial se incurre en un costo de $ 0,5 dólares en una operación que tiene una
efectividad de 80%, pero aplicable una vez en cada labial. Cada unidad no conforme pasa a ser parte de la
materia prima de otros productos, pero se incurre en un costo de $ 1.5 dólares.

Suponga que mensualmente los costos y gastos fijos son de $ 15000 dólares.

a) Realice un estudio detallado del proceso de corte para el labial donde se muestre: Capacidad del
proceso y capacidad real del proceso, además sus interpretaciones.

DATOS:

( > 105) = 20.22%
( > 103) = 30.85%
LSE = 111
LIE = 90

( < 1) = 0,2022 → = 0,8337
105 − ̅

0,8337 = → ó (1)
( < 2) = 0,3085 → = 0,5

103 − ̅
0,5 = → ó (2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que:

̅ =
=

−
= 6
111 − 90
= 6 ( 6) = 0,58

− ̅ 111 − 100
= 3 → = 3(6) = 0,611

̅ − 100 − 90
= 3 → = 3 (6) = 0,55

El porcentaje de productos no conformes.

~ (100,6)

66

( > 111) = 0,0333 ≈ 3,33%
( < 90 ) = 0,0477 ≈ 4,77%

%PNCtotal = 8,1%

b. Calcule el costo de producción de un labial conforme y el punto de equilibrio para el labial.

Costo = 2+0,333(0,5)+1.5 (0,333(0,2)+0,444 ) = $2,21
1−(0,333(0,2)+0,444 )

Punto de equilibrio =

−

15.000
= 20 − 2,21 = 844

c. Determine el mínimo Cp que permitirá que estando el proceso de corte centrado, el producto tenga un
punto de equilibrio por debajo de 900 unidades.

900 = 15000 )
20−2+% 1(−0,(5%)+ 1 . 5 ((%0, 2 ) + % ( 0 , 2 ) + )0%

Resolviendo y despejando el %PNC se puede obtener que:
%PNC = 0,212
Como este porcentaje es solo para uno de los limites se deberá multiplicar por 2 para saber el %PNCtotal
= 0,212 (2) = 0,42
Luego, 0,212 = ( < ) → = −0,7995 = 0,7995

= − ̅ → á = 100,5



67

111 − 100,5
0,7995 = → = 13,13

− 111 − 90
= 6 = 6 ( 13,13)
= 0,2965

d. Se sospecha que la media de la longitud de los labiales ha cambiado debido al desgaste de una pieza de la
herramienta de corte, por tal motivo se tomaron 30 labiales al azar y se encontró que la media de la
longitud fue de 98,528 mm. ¿se puede concluir que existe evidencia que indique que la media ha cambiado?

̅ = 98,528

= 30

: = 100

: ≠ 100
̅ −

=

√
98,528 − 100
= 6 = −1,34

√30

e. Se toman 4 muestras, cada una de 25 labiales escogidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que en al
menos dos muestras la media en la longitud de los labiales exceda los 102 mm?
k=4
n = 25
σ=6
̅ ~ ( 100; )
√
̅ ~ ( 100; 1,2)
( ̅ ≥ 102) = 0,04777

~ (4,4,77%)

( ≥ 2) = 0,0128

3.4 Ejercicios propuestos

1. Considerar los dos procesos que se presentan a continuación con n tamaño de muestra n:5:

Proceso 1:

̅ ̅ ̅ = 100

= 3

Proceso 2:

68

̅ ̅ ̅ ̅ = 105

= 1
Las especificaciones son 100 ± 10. Calcular Cp, Cpk y Cpu e interpretar estos índices ¿Qué proceso preferiría
usarse? ¿Por qué?

2. Un proceso con una distribución normal tiene las especificaciones LSE=75 y LIE=85 en la salida. Una
muestra

aleatoria de 25 partes indica que el proceso está centrado en la banda de las especificaciones y que la
desviación estándar es S=15.

a. Encontrar una estimación puntual de Cp.

b. Encontrar un intervalo de confianza de 95% para Cp comentar la anchura de este intervalo.

3. Un proceso de manufactura tiene una tolerancia de 60 y solo es consumido el 80% de esta. La media del
proceso es 214 y está a 1.75 desviaciones estándares por encima del valor nominal.

a. ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes?

b. ¿Qué Valor en la media del proceso permitirán que se produzcan al menos el 95% de productos
conformes?

4. ¿Cuál es el Cp de un proceso que tiene un %PNC=10%, si por fuera de uno de los límites de especificación
hay un 6% más de productos no conformes que por el otro?

5. Una fábrica de herbicidas tiene un reactor donde fabrica un producto activo el TX-100.

El TX-100 es un ingrediente selectivo que tiene un ingrediente activo el cual, al entrar en contacto con la
maleza, se libera y la ataca alterando el fenómeno de la fotosíntesis. Ello conduce a que la maleza muera y
que el cultivo quede libre.

Las especificaciones para el ingrediente activo liberable son: 36% ± 6%.

Se quiere conocer el patrón estadístico del proceso en el reactor y para tal efecto se han tomado datos de

los últimos 200 lotes de cada uno de ellos con relación al % del ingrediente activo liberable y se le han
construido los respectivos histogramas. Haga un análisis estadístico exhaustivo sobre la capacidad del
proceso, para cada uno de los reactores. Se anexa cuadro extraído del histograma.

INTERVALO Fi

[30,6433 – 31,0382] 1

[31,0382 – 31,4331] 0

[31,4331 – 31,8280] 4

[31,8280 – 32,2229] 14

69

[32,2229 – 32,6178] 43

[32,6178 – 33,0127] 51

[33,0127 – 33,4078] 44

[33,4078 – 33,8025] 25

[33,8025 – 34,1974] 14

[34,1974 – 34,5923] 4

[34,5923 – 34,9872] 0

Total 200

¿Entre que valores puede oscilar de tal manera que la fracción de no conformes sea a lo sumo 10%?

De los lotes no conformes que exceden el límite superior de especificación el 60% de ellos se pueden
reprocesar a un costo unitario de 80 u.m y quedan aceptables. Los lotes no conformes por el límite inferior
son reprocesables en un 90% y ocasionan un costo unitario adicional de 30 u.m el costo de producción de
cada lote es de 300 u.m ¿Cuánto cuesta producir un lote conforme?

6. Un proceso está bajo control con X=75 y σ=2. Las especificaciones del proceso son 80±8. El tamaño de la
muestra es n=5.

a. Estimar la capacidad potencial y real

b. ¿Cuánto podría reducirse la porción caída del proceso cambiando la media a la dimensión nominal?

Suponer que la característica de calidad tiene una distribución normal.

c. Para este proceso productivo, resulta muy costoso reprocesar aquellos productos que no cumplen las
especificaciones por el límite inferior. ¿cómo minimizaría los costos ocasionados por los productos no
conformes por este límite? Justifique.

7. Un proceso tiene un índice de capacidad Cp=2, pero la media está a dos desviaciones típicas por encima del
límite superior de especificaciones, ¿Cuál es la probabilidad de fabricar un producto dentro de los límites
de especificación?

8. Para cierta característica de calidad, la media del proceso es 37 y su desviación es 3,52. Los límites de
especificación son 40 ± 5. La velocidad de producción es de 10.000 artículos por hora. De los artículos no
conformes que excedan el límite superior de especificación, 80 % de ellos se puede reprocesar a un costo
unitario de $30 y quedan aceptables (dentro de especificaciones), los artículos no conformes por el límite
inferior de especificación no son reprocesables y son vendidos en $50 cada uno. El costo directo de
producción de cada artículo es de $200.

a. ¿Cuántos artículos conformes se producen mensualmente? (1 mes = 30 días; 1 día = 8 horas).

b. ¿Cuánto es el costo promedio de cada artículo conforme?

70

c. La empresa ha decidido que el costo promedio equivalente de cada artículo conforme tenga una
incidencia de 70 % en el precio de venta. Calcule el precio de venta.

d. ¿Cuántas unidades se deben programar para obtener 10.000 artículos conformes en 1 hora?

e. Calcule la ganancia unitaria

9. Un proceso de llenado de bolsas de harina está generando en total 15% de productos no conformes con
relación al peso mínimo y máximo de la bolsa llena. La cantidad de productos no conforme por uno de los
límites de especificación es el doble con relación a la cantidad de productos no conformes que se generan
por el otro límite de especificación

a. Calcule la capacidad general del proceso

b. Calcule la capacidad real del proceso.

c. Repetir a y b si el 15% total de no conformes se genera en igual proporción por cada uno de los límites
de especificación.

10. Aceros S.A produce láminas de acero de 3mm de espesor y 1200mm de ancho, característica que se
considera la más relevante por el cliente debido al uso que se puede dar. Por esto se implementa un
programa de control con esta característica de calidad con una muestra n=8, la carta y su media es X=1186
y el promedio de la carta Rango=150. Las especificaciones requeridas por la lámina son 1200 40mm para
el ancho de las láminas. El costo de producción de las láminas es 11000u.m por políticas de la empresa por
cada lámina que cumpla con las especificaciones, se obtiene una utilidad del 35% sobre costos de
producción. Las láminas que no cumplen con las especificaciones por el límite superior perdiendo el 10% del
precio de venta de la lámina. Por cada lámina que no cumple con el límite inferior se obtiene solo una utilidad
del 15%. La empresa recibió un pedido de 1000 láminas.

a. ¿Cuál es su opinión sobre la capacidad de proceso?

b. Calcular la fracción de productos no conformes del proceso

c. ¿Qué debo hacer para reducir la cantidad de productos no conforme?

d. De acuerdo con el inciso anterior calcule el precio de venta promedio de cada lámina.

e. ¿Cuál debe ser el corrimiento de la media para que se genere en total un 30% de productos no
conformes?

11. Un proceso productivo consume solo el 75% del ancho de banda de las especificaciones y cada hora se
producen 500 unidades.

a. ¿Cuántos productos no conformes por hora arroja el proceso cuando su media está a una desviación
estándar del valor nominal?

b. ¿Qué tan alejada puede estar la media del proceso respecto al valor nominal para que al cabo de una
hora se hayan producido 25 unidades defectuosas?

71

c. Si el Cp del proceso se redujeran en un 25%, ¿Cuál es la máxima probabilidad de encontrar a lo sumo
dos productos no conformes durante la producción de las próximas dos horas? Bajo el supuesto de que
los datos pertenecen a una distribución normal y está bajo control estadístico procedemos hacer el
análisis de capacidad a 3 sigma.

12. La empresa Metales del caribe S.A, es una reconocida compañía fabricante de tornillos de todo tipo. Unos de
sus productos líderes es el tornillo de rosca fina y cabeza hexagonal. Su proceso se encuentra bajo control
estadístico según el ingeniero de calidad, el cual realizo un monitoreo a este con 20 muestras de tamaño
cuatro cada una, Obteniéndose una ∑x =213,6 y una ∑R=7,79. El producto tiene unas especificaciones exigidas
por el cliente de 10,5 ± 0,3.

a. ¿Cuál es la capacidad potencial y la capacidad real del proceso?

b. ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes que arroja el proceso?

c. ¿Que se debería hacer si se desea reducir a un 0% la cantidad de productos no conformes?

d. Logrado el objetivo del inciso anterior, se le puede permitir al proceso que genere un máximo de 2% de
productos no conformes, pero solo por el límite superior debido a que estos se podrían reprocesar sin
ningún inconveniente

e. ¿calcule la ventana de operación del proceso que cumpla con esa condición?

f. ¿Qué se debe hacer para llevar una producción al 100%?

13. Festival S.A, es una empresa que fabrica globos para todo tipo de fiestas y algunos de sus clientes han
presentado quejas por fallas en los globos inflables, pues no soportan la presión del aire de llenado y estallan
antes de estar totalmente inflados.

El gerente llama a su jefe de producción el cual entrega la siguiente información relacionada con el proceso
de fabricación de los globos:

El proceso está bajo control estadístico, diseñado y monitoreado con tamaños de muestra de 6. Presenta
una media de 200 mm en el radio máximo que tomaron los globos una vez inflados y un rango promedio de
20,272 mm. Según el proveedor, las especificaciones de calidad con las que deben cumplir el radio máximo
de los globos son 180 mm y 210 mm a una presión de 100 Psi.

Con esta información responda:

a. ¿Cuál es el índice de capacidad del proceso? ¿puede cumplir con las especificaciones?

b. ¿Cuál es la capacidad real el proceso? ¿qué tipo de proceso es?

c. De no cumplir con las especificaciones, ¿Cuál es el porcentaje de globos no conformes? ¿se puede
reducir este valor? ¿cómo y cuál sería la mejoría?

d. ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes que se producen por encima del límite superior
cuando por debajo del límite inferior se está produciendo un 2%?

72

e. ¿Cuál es el rango de valores en los que puede moverse la media del proceso de fabricación de los
globos para que se produzcan al menos el 88% de globos conformes a las especificaciones?

f. ¿cuál es el mínimo Cp que permitirá que el proceso estando centrado, produzca a lo sumo un 2% de
globos no conformes?

g. Se toman 10 globos al azar ¿Cuál es la probabilidad de que no más de la mitad de ellos fallen por no
soportar la presión de 100 Psi?

14. CHOCOLATIN S.A opera en dos turnos diarios de 4 horas cada uno, 20 días al mes y su tasa de producción es
600 barras de chocolate por hora. La producción de cada unidad le cuesta $400 y toda la unidad no conforme
se devuelve a la cadena productiva, pero antes se penaliza con un costo igual al 40% del precio de venta de
cada barra de chocolate.

a. ¿Cuál es el precio de venta que permitirá que la nueva maquinaria se pague así misma en 5 años?

b. Determine el Cp que debería tener el proceso una vez centrado, para que el costo promedio de producir
una unidad conforme sea de $420 y a su vez los ingresos por venta sean maximizados. Tenga en cuenta
que CHOCOLATIN vende cada unidad en $500 y tiene actualmente una demanda de 700 mil barras de
chocolate, pero por cada peso que se disminuya en el precio de venta la demanda aumenta en 1000
unidades.

15. Una prestigiosa empresa de gaseosa presenta problemas con el llenado de las botellas de 750 ml. La
estimación de la variabilidad y la media del volumen de llenado se realiza mensualmente en base a la toma
de mil muestras, cada una de tamaño 4. Durante 10 días. Las especificaciones en el volumen de llenado de
estas botellas de gaseosa admiten un error máximo de 10 ml.

Durante los primeros 8 días se han tomado 750 muestras y los resultados fueron una media de 744 ml con
un rango promedio de 8,23 ml. El ingeniero de calidad decide dejar el muestreo hasta aquí, ahorrándose ese
dinero y en su reemplazo simulará la toma de muestras restantes; para luego presentar el informe donde
se mostrará que la media en el volumen de llenado cumple con el valor nominal y que la variabilidad del
proceso es de 3 ml Según un estudio de costos que se le hizo al proceso muestra que el llenado de cada
envase le cuesta a la empresa $1.000 y el reproceso de las botellas no conformes cuesta $200 por unidad.

Durante el muestreo se puede volver a calibrar la maquina si la media en el volumen de llenado no es igual
al valor nominal; pero dicho procedimiento necesita de una cantidad de tiempo significativo, durante el cual
se perdería mucho dinero al parar la cadena productiva, así de ser necesaria la calibración se haría única
vez y según el estudio de costos, esto cuesta $1.000.000.

Se produce mensualmente 2500 cajas de 12 botellas cada una y se desea saber si la manera de actuar fue
o no fue acertada, por lo que es necesario dar respuesta a los siguientes interrogantes.

a. ¿Cuál debe ser la media y el rango promedio de los datos simulados que permiten presentar los
resultados del informe?

b. ¿Qué se puede concluir y esperar del proceso de llenado a la luz de la información presentada?

c. ¿Cuál es la situación real del proceso?

73

d. A pesar de que se mintió en la presentación de los resultados ¿se hizo en busca de un beneficio
económico para le empresa?

16. ¿A qué valor se debe incrementar el Cp de un proceso para que su variabilidad se reduzca en un porcentaje
1 − ?

17.

a. Demuestre: = −
6

b. Demuestre: = +

2

c. Demuestre: = 3 = −3 Para todo proceso centrado

18. Una compañía de manufactura registra problemas en su proceso de producción debido a los costos
generados por unidades no conformes en tornillos, por esto realiza una licitación a dos agencias asesoras
para buscar un proyecto que disminuya los costos. Las especificaciones del cliente para las tornillos son de
28 mm ± 5 mm de diámetro, y actualmente el proceso posee índices de capacidad

Cpks = 0,8; y

Cpki = 0,93.

Los costos para el proceso de producción de arandelas son estos: Costos de producción = $30/unidad.
Costos de reproceso = $15/unidad. Las unidades no conformes por el límite inferior son irrecuperables y se
desechan, mientras que 30 % de las unidades no conformes por el límite superior pueden ser reprocesadas
y el porcentaje restante es vendido a $8/unidad. Las compañías licitantes proponen los siguientes proyectos
donde se consignan los valores de capacidad que tendrá el proceso luego de realizar los cambios propuestos,
junto con el costo de implementación del proyecto.

Ítem Compañía A Compañía B

Cpks 0,9 0,96

Cpki 1,2 0,97

Costo $10.000 $9.000

La empresa produce aproximadamente 500.000 unidades al mes y su precio de venta es de $35/unidad.*

a. a. Realice un análisis del estado actual del proceso (capacidad del proceso, utilidad).

b. De las dos alternativas propuestas, ¿cuál genera más beneficios a la empresa?

74

CAPÍTULO 4

CARTAS DE CONTROL

75

4.1 GENERALIDADES
El control estadístico de un proceso es un conjunto de 7 herramientas que puedan ser utilizadas para estabilizar y
mejorar la capacidad del proceso, mediante la reducción de la variabilidad. Su objetivo principal es hacer predecible
un proceso a través del tiempo.

Estas herramientas son:

1. Histograma
2. La hoja de verificación
3. La grafica de Pareto
4. El diagrama de causa y efecto
5. El diagrama de concentración de defectos
6. El diagrama de dispersión
7. La carta de control

Este capítulo se enfoca en las cartas de control de Shewhart, gráficas creadas para identificar las variaciones del
proceso debido a la entrada causas especiales, además sirven para determinar de manera sencilla si un proceso se
encuentra bajo Control Estadístico.

Un proceso está bajo Control Estadístico cuando es afectado únicamente causas comunes o fortuitas de variación,
este tipo de causas actúan constantemente, de una forma estable, provocando una variabilidad homogénea y sobre
todo previsible, estas causas aparecen y desaparecen de forma aleatoria, produciendo una variabilidad regular que
podemos disminuir, pero no eliminar. Si el proceso solo se ve afectado por este tipo de causas significa que tenemos
un proceso estable y predecible; sin embargo, cuando existen causas especiales como el desgaste en una herramienta
de corte utilizada en el proceso de ensamblado de alguna pieza, un error del operador o materia prima defectuosa, el
proceso está fuera de Control Estadístico. Las gráficas de control detectan la existencia de estas causas en el
momento en que se dan, lo cual permite que se puedan tomar acciones al momento, cuando existen puntos que se
encuentran fuera de los límites de control o los puntos muéstrales marcan tendencias, decimos que el proceso está
fuera de control.

4.2 ESTRUCTURA DE UNA CARTA DE CONTROL.
A continuación, se muestra una carta de control típica, que representa alguna característica de calidad de un
producto:

Línea Central (LC): Esta línea representa el valor promedio de la característica de calidad que corresponde al estado
bajo control.

Límite de Control Superior (LCS) y Límite de Control Inferior (LCI): Representan el valor máximo y mínimo que
debe tomar la característica de calidad que se esté analizando, para considerar que el proceso se encuentra bajo
control estadístico, siguiendo una distribución normal. Estos valores, son calculados matemáticamente y la forma de
calcularlos, así como los parámetros que se utilizan para ello, depende del tipo de carta que se deseé construir, por
tanto, estos límites no están relacionados de ninguna forma a los límites de especificación del proceso

En tanto los puntos graficados se localicen dentro de los límites de control, se supone que el proceso se encuentra
bajo control y no es necesaria ninguna acción; un punto que se localice fuera de los limites representa una advertencia

76

de que el proceso puede estar fuera de control, se requiere investigación y acción correctiva para encontrar y
eliminar la causa o causas asignables (en caso de que exista) responsables de este comportamiento.

4.3 OBJETIVOS DE LAS CARTAS DE CONTROL.
✓ Estandarizar los procesos.
✓ Verificar si el proceso está bajo control estadístico.
✓ Ayudar a reducir la variabilidad.
✓ Monitorear el proceso.
✓ Inferir sobre tendencias futuras.
✓ Proveer evidencias de problemas de calidad.
✓ Ofrecer información confiable para tomar acciones oportunas.

4.4 VENTAJAS DE UTILIZAR CARTAS DE CONTROL
✓ Son una técnica probada para mejorar la productividad del proceso.
✓ Es una herramienta simple y efectiva para lograr el control estadístico en un proceso
✓ Proporciona información del valor los parámetros del proceso y la estabilidad de estos durante el tiempo
✓ Se logran mejoras considerables en los costos
✓ Dan una indicación de cómo intervenir el proceso.

4.5 ANÁLISIS DE PATRONES DE COMPORTAMIENTO EN LAS CARTAS DE CONTROL
Una carta de control puede indicar una condición fuera de control aun cuando ningún punto particular se localice
fuera de los límites de control, esto se da cuando los datos graficados siguen un patrón no aleatorio. En esta sección,
analizaremos algunos de esos patrones que se pueden presentar y que indicarían que el proceso no se encuentra bajo
control.

Dependiendo del patrón que se presente, se pueden hacer inferencias y hacer que el analista centre la búsqueda de
las causas especiales sobre algún aspecto en particular del proceso, así mismo, la información obtenida puede
utilizarse para la toma de acciones de tipo correctivo y preventivo en el futuro. Es importante aclarar, que los patrones
de comportamiento deben ser eliminados para que se pueda considerar que el proceso se encuentra bajo control.

En general, los gráficos de control se limitan a registrar la variabilidad existente. Nuestra labor consistirá en
interpretar la información que nos proporcionan, identificando las posibles variaciones y anomalías que pueden
presentarse y aplicando las medidas convenientes en cada caso. A continuación, se muestran los patrones más
comunes en las cartas de control.

4.5.1 Punto fuera de control

Un punto único o varios por fuera de los límites indican que el proceso no se encuentra bajo control estadístico. Casi
siempre son originados por la intervención de una causa especial de variación. Cuando son muy pocos puntos los que
caen por fuera, se proceden a eliminarlos de la carta y volver a calcular los límites de control.

En la práctica si un punto está fuera de los límites de control, el ingeniero debe verificar si este es provocado por una
causa común o por una causa especial; de ser una falsa alarma el punto puede ser cepillado. Para cuestiones de
ejercicio pueden ser eliminados hasta 2 puntos. A este procedimiento se le conoce como “cepillado”.

77

4.5.2 Tendencias
Corresponde a una serie de puntos que se ubican en forma ascendente o descendente. Las tendencias suelen deberse
al desgaste o deterioro gradual de una herramienta o de algún otro componente crítico del proceso, también pueden
ser resultado de causas humanas, tales como fatiga del operador o la presencia del supervisor, así como resultar de
influencias estacionales, como la temperatura. Se puede considerar que el proceso está fuera de control estadístico
cuando se encuentran 7 o más puntos con este patrón.

4.5.3 Corrimiento en la media del proceso
Un número inusual de puntos consecutivos que caen a un lado de la línea central casi siempre es una indicación de
que el promedio del proceso se desplazó de forma repentina. Una regla sencilla para detectar el cambio es que, si 8
puntos consecutivos caen en un lado de la línea central, se podría llegar a la conclusión de que la media cambio.

78

4.5.4 Estratificación
Sucede cuando una sucesión de puntos tiende a ubicarse sobre la línea central. Puede ser ocasionado por unos límites
de control mal calculados.

4.5.5 Patrones cíclicos
Son patrones que se presentan en determinados espacios de tiempo. Son atribuibles a causas especiales que entran
y salen al proceso, generando picos o valles.

79

4.5.6 Mezclas de lotes
Se presenta cuando los puntos graficados se localizan cerca o fuera de los límites de control, con muy pocos puntos
cerca de la línea central, puede ser causada por un sobre control de los operadores sobre el proceso o cuando se
toman productos de varias fuentes con diferente media.

4.6 CARTAS DE CONTROL Y PRUEBA DE HIPÓTESIS.
Existe una relación entre las cartas de control y las pruebas de hipótesis, puesto que la carta es una prueba de
hipótesis de que el proceso está bajo control estadístico.
: í
1: í
Cuando un punto se localiza dentro de los límites de control es equivalente a no poder rechazar la hipótesis de control
estadístico, y cuando un punto se localiza fuera de los límites de control es equivalente a rechazar la hipótesis de
control estadístico.
Por otro lado, como en toda prueba de hipótesis, en las cartas de control pueden ocurrir dos tipos de riesgo o errores:

o : Decir que el proceso está
fuera de control, cuando en realidad no lo está

o : Decir que el proceso está
bajo control, cuando en realidad no lo está.

Así mismo el error tipo 1 representa el
complemento de la confiabilidad con la que se maneja la prueba de hipótesis y el error tipo 2 el complemento de la
potencia que tiene la carta para detectar puntos por fuera de los límites de especificación.
Entonces:
La potencia: 1 − ; es 1 − = { h 0| 0 }

80

La confiabilidad: 1 − ; es 1 − = { h 0 | 0 }
Estos riesgos son inversamente proporcionales, puesto que cuanto más confiable se es, la potencia disminuye, y
cuanto más potente se es, la confiabilidad es menor.
Abriendo los límites de control decrece riesgo de error tipo I (falsa alarma) sin embargo se incrementa el riego de
error tipo II y viceversa. Con límites de control de 3-sigma la probabilidad de error tipo I es de 0.0027.
Al diseñarse una carta de control, es necesario especificar tanto el tamaño de la muestra, como la frecuencia con la
que se toman estas muestras, muestras más grandes facilitan la detección de corrimientos (a) pequeños, si por el
contrario el cambio (d) es relativamente grande el tamaño de la muestra puede ser más pequeño.
En referencia a la frecuencia de muestreo, desde el punto de vista de la detección de corrimientos, lo óptimo sería
tomar muestra muestras grandes con mucha frecuencia, pero esto no es económicamente viable.

Una manera de evaluar las decisiones respecto a estos aspectos, es con la longitud promedio de la corrida (ARL), que
viene siendo el numero promedio de puntos que deben graficarse antes que un punto indique una condición fuera de
control, también conocido como tasa de falsas alarmas.

1
0 =
Donde es la probabilidad de que un punto exceda los límites de control.
Para un de 0,0027 la tasa de falsas alarmas es:

1
0 = 0,0027 = 370
Es decir, si el proceso se mantiene bajo control, se requieren en promedio 370 muestras para una señal de que el
proceso está fuera de control.
En ocasiones es conveniente expresar el desempeño de la carta de control en términos de tiempo promedio hasta la
señal (ATS), que indica el tiempo promedio hasta que ocurra una falsa alarma.

81

0 = 0 ∗
Donde t representa el tiempo o frecuencia de muestreo y puede estar dada en horas, minutos, segundos… etc.

Si consideramos ahora, el desempeño de la carta para detectar corrimientos en la media se utiliza el 1 y el
1
Donde;

1
1 = 1 −
Es el numero promedio de muestras requeridas para detectar un cambio y,

1 = 1 ∗
Es el tiempo promedio necesario para detectar el cambio o la condición fuera de control.

Cuando el tamaño de la muestra es más grande, el cambio se detecta con mayor rapidez, para la decisión de la
frecuencia de muestreo se deben tener en cuenta factores como el costo, la rapidez de producción y las
probabilidades de que ocurran varios tipos de corrimientos en el proceso.

4.7 CARTAS DE CONTROL PARA VARIABLES
Existen características de calidad que pueden ser físicamente medibles, por ejemplo, el peso, volumen, longitud,
tiempo. Estas características que pueden medirse con un instrumento de medición, se le conoce como variable.

Cuando se trata con una característica de la calidad que es una variable, por lo general es necesario monitorear tanto
el valor medio de la característica de calidad como su variabilidad.

El control del promedio del proceso, o nivel de calidad medio, suele hacerse con la carta de control para medias, o
carta . Por su parte la variabilidad del proceso puede monitorearse con una carta de control para la desviación
estándar, llamada carta S, o bien con una carta de control para el rango, llamada carta R.

Es importante tener un control sobre la media y la variabilidad al mismo tiempo, por tanto siempre se utilizan sea las
cartas X-R o las X-S, teniendo en cuenta que la R es más común utilizarla pero la S es mucho más sensible a las
variaciones.

4.7.1 Cartas De Medias - Rangos (X-R)

La carta monitorea la variabilidad entre las muestras y la carta R mide la variabilidad dentro de las muestras. Estas
cartas se grafican de forma separada, pero su análisis es en conjunto, solo el hecho de que una no cumpla los
requisitos o criterios establecidos, indica que el proceso no se encuentra bajo control estadístico.

Para la correcta realización de la cara se deben seguir los siguientes pasos:

4.7.1.1 PASOS

Paso 1: Recolectar los datos.

82

Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los cuales deben de ser registrados y
agrupados.

Paso 2: Calcule el rango promedio (R) y la media del proceso (X ).
Para el rango:

R = Xmayor − Xmenor

(de cada hilera)

̅ = R1 + R2 + … + R


Para la media:

̅ = X1 + X2+ … + X


(Para cada hilera)

̿̅ = ̅ 1 + ̅ 2 + … + ̅


Paso 3: Estime la desviación para -

̅
̀ = 2

Paso 4: Calcule los límites de control

Los límites de control son calculados para determinar la variación de cada subgrupo, están basados en el tamaño de
los subgrupos y se calculan de la siguiente forma:

Límites de control para la carta R:

= ̅ ∗ 4
= ̅

Límites de control para la carta : = ̅ ∗ 3

= ̿̅ + | | ∗
2 √

= ̿̅

83

= ̅̿ − | | ∗
2 √

Para , manejando una filosofía 3

= ̿̅ + 2 ̅
= ̿̅

= ̿̅ − 2 ̅

Donde;

3
2 = ( )
√ 2

Nota:

• 2, 2, 4 y 3 son valores constantes que depende del tamaño de la muestra(n) y pueden encontrarse
en la tabla de “Factores para construir cartas de control para variables”

•

•
• La n utilizada para la construcción de los limites depende de si estos son los límites con los que se estabiliza

el proceso o si son límites para el monitoreo.

Paso 5: Trace la gráfica de control y analícela.

Dibuje las líneas de promedios (LC) y límites de control en las gráficas (LCS y LCI).

Marque los puntos que representan cada muestra, en ambas gráficas y únalos para visualizar de mejor manera el
comportamiento del proceso.

4.7.1.2 ANÁLISIS DE LA CARTA -

Al determinar si un proceso está bajo control estadístico, siempre se analiza primero la gráfica R. Debido a que los
límites de control de la carta dependen del rango promedio. Sin embargo, es importante aclarar que el análisis de
estas cartas es conjunto.

Los límites de control representan el rango en que se espera se ubiquen todos los puntos; Si cualquiera de los puntos
cae fuera de los límites de control o si se observa algún patrón fuera de lo común, es posible que alguna causa especial
haya afectado el proceso y éste se deberá estudiar para determinar la causa.

Cuando existen puntos fuera de los límites de control, es necesario revisarlos examinando cada uno de los puntos por
fuera y buscando una causa asignable. Si no se encuentra una causa asignable, el punto se descarta y los límites de
control se calculan de nuevo utilizando únicamente los puntos restantes. Luego es necesario volver a examinar para
el control, porque con el cambio, los límites de control se tornan más estrechos y es posible que los puntos que
inicialmente estaban bajo control ahora no lo estén. Este proceso se realiza hasta que todos los puntos estén bajo
control y se hace tantas veces como sea necesario.

84

Por otro lado, cuando muchos puntos se localizan fuera de control, no es recomendable eliminarlos de manera
arbitraria porque se tendrá una situación insatisfactoria, ya que quedarían pocos datos con los cuales volver a
calcular límites de control confiables. Este enfoque ignoraría mucha información útil contenida en estos datos.
Además, es poco probable que la búsqueda de una causa asignable para cada punto fuera de control sea exitosa, para
estos casos lo mejor es concentrarse en el patrón que forman estos puntos. Generalmente, es sencillo identificar la
causa asignable asociada con el patrón de puntos fuera de control. Una vez que se establece un conjunto de límites
de control confiables, la carta de control se usa para monitorear la producción futura

4.7.1.3 MONITOREO DE UN PROCESO A TRAVÉS DE UNA CARTA

En el monitoreo de un proceso, una carta detecta un cambio en la media dependiendo del tamaño de este. Si es
considerablemente grande su detección será inmediata, de lo contrario la potencia de la carta para detectar este
cambio será menor.

El valor de cambio, es decir, el corrimiento se determina con la letra a y se puede obtener a través de la siguiente
formula:

a = ̅ ′ − ̅ ′′

Donde, ̅ ′′ es el nuevo valor de la media, después que el corrimiento tuvo lugar.

Es importante tener claro que dos procesos no se pueden evaluar si no se encuentran bajo las mismas circunstancias,
es decir, solo se pueden comparar cuando presentan un mismo corrimiento y una misma desviación.

Por otro lado, la habilidad que tienen las cartas X-R para detectar corrimientos en la media del proceso se puede
medir a través de la potencia, y dependiendo hacia qué dirección ocurre el cambio se puede obtener de las siguientes
maneras:

Si el corrimiento fue hacia el límite superior, se tiene:

1 − = ( 1− ≥ | | − ∗ √ )

2

Si, por el contrario, fuese hacia el límite inferior se tiene:

1 − = ( 1− ≤ ∗ √ − | |)

2

Donde d es el cambio, una relación entre el corrimiento y la desviación estándar del proceso.

|a|
=

Notas:

• El valor de n dado en esta ecuación, es distinto al tamaño de la muestra para la toma de datos y estabilización
del proceso, pues ahora indica el tamaño de la muestra utilizada en el monitoreo.

• La grafica para la potencia se construye a través de los parámetros de la muestra y no del proceso en

general, ̅ ~ ( , )

√

85

A partir de estas fórmulas también es posible obtener (en caso de no tenerlo) el tamaño de muestra para el
monitoreo:

2

| | + | 1− |
= [ 2
]

Nota:

• El valor absoluto de las Z solo funciona para hallar el valor de n, para el caso de necesitar alguna de las
probabilidades o el corrimiento se debe trabajar con los valores positivos o negativos dependiendo de
la dirección del corrimiento, se recomienda graficar.

4.7.1.4 VALOR ESPERADO DE PRODUCTOS NO CONFORMES:

El VEPNC es el valor de productos no conformes relacionado a la probabilidad de detección del cambio en una
muestra dada, y es diferente al valor promedio de productos no conformes pues esta es una cantidad
determinada de producción defectuosa hasta que se detecta el cambio y se relaciona con el ATS.

= ∗ % ∗ 1 − [ 1 + 2 ∗ + 3 ∗ 2 … + ∗ −1]
Donde:

1 − , es la potencia

−1, es la probabilidad de no detectar el cambio hasta la muestra k

, es el tiempo entre muestras, de manera que 1, es el tiempo hasta la muestra 1
, es la velocidad de producción.

Y para el valor promedio de productos no conformes:

= ∗ % ∗
4.7.2 CARTAS DE MEDIAS - DESVIACIONES (X- )

Cuando es muy común la utilización de las cartas , en ocasiones es deseable estimar la desviación estándar
del proceso directamente, en vez de indirectamente mediante el uso de rango R. Esto lleva a las cartas de control
para , donde S es la desviación estándar.

En general las cartas - son preferibles a sus contrapartes familiares, las cartas ; , cuando:

✓ El tamaño de la muestra n es moderadamente grande.
✓ Cuando el tamaño de la muestra n es variable.

El procedimiento para realizar las cartas de control - es similar al de las cartas X- la diferencia consiste
en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho más sensible para detectar cambios en la media o en la

86

variabilidad del proceso. Mientras la Carta X monitorea el promedio del proceso para vigilar tendencias, la Carta
S monitorea la variación en forma de desviación estándar.

Establecer y operar las cartas de control - requieren aproximadamente la misma secuencia de pasos que
para la carta X- . Las formulas a utilizar son:

= √∑ =1( − ̅)2
− 1

̅ = ( 1 + 2 + 3 … + )


̅
= 2

Límites de control para la carta S:

= ̅ ∗ 4
= ̅

= ̅ ∗ 3

Límites de control para la carta X a 3 :

= ̿̅ + 1 ̅
= ̿̅

= ̅̿ − 1 ̅

Donde;

1 3
= ( )
√ 2

Notas:

• Los valores de 2 , 3, 4 dependen de n y se encuentra tabulados
• Las gráficas para el análisis de capacidad siempre son dibujadas a 3 , para los limites 3 significa que el

α es de 0,0027.

87

EJEMPLO:

Ladrillos y CIA es una empresa fabricante de bloques, ladrillos, adoquines y demás productos afines a la construcción.
Todos los procesos de la fábrica marchan de manera excelente excepto por un pequeño problema, el cual radica en
que es bastante complicado mantener centrado el proceso de fabricación de los ladrillos, debido a que actualmente
estos se fabrican a partir de una nueva materia prima y aún se desconocen los porcentajes de contracción del
material.

Un estudio detallado de la capacidad del proceso mostró que la media en la longitud de los ladrillos es 100,25 mm y
que se encuentra corrida 1,58 desviaciones estándar hacia la izquierda del valor nominal. Por otro lado, la tolerancia
del proceso es 37,5 mm y solo es consumida en un 80%; además el rango de los límites de control de la carta ̅
construida en este estudio, es 5,45mm.

Tenga en cuenta que el análisis del proceso se realizó con tamaños de muestra n=9 y que para el monitoreo posterior
se implementaran tamaños de muestra n=5.

La empresa trabaja con un triple turno de 2 horas durante los 7 días a la semana, 4 semanas al mes y produce 1000
ladrillos en cada turno. Las muestras para el monitoreo se toman cada media hora.

El costo de producción de un ladrillo es 200 UM, no hay reprocesamientos, pero se carga un sobrecosto de 20 UM por
eliminar cada unidad que no cumpla con las especificaciones.

a) Analice el proceso y comente acerca de él, determine además que tan confiable es la carta de control
construida en el estudio.

b) Si la media del proceso cambia a 97mm, calcular la probabilidad de que el cambio se haya detectado entre
las primeras 3 muestras (a partir de que dicho cambio tuvo lugar) y calcular el valor esperado de ladrillos
no conformes fabricados hasta ese momento.

c) Hay una disminución en la media del proceso en 3,5mm. Diseñe una carta ̅ que detecte con probabilidad
del 90% el cambio en alguna de las dos primeras muestras consecutivas a partir del cual el cambio tuvo
lugar y con riesgo tipo I de 0,06.

d) Si la media del proceso cambiara a 99.5mm, ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar el Cp general del
proceso de manera que por lo menos el 95% de los ladrillos producidos sean conformes?

Solución:

Datos:

̅ = 100,25 mm

̅ = − 1,58

= 37,5 mm

% = 80%;

− = 5,45mm

= 9

88

= 5

a. Analice el proceso y comente acerca de él, determine además que tan confiable es la carta de control construida
en el estudio.

1
% = ∗ 100

1
= 0,8 = 1,25


= 6 ∗
37,5
= 6 ∗ 1,25 = 5
̅ = − 1,58

100,25 = − 1,58(5)

= 108,15

37,5
= 108,15 + 2 = 126,9

37,5
= 108,15 − 2 = 89,4

= í { ; }

− ̅ 126,9 − 100,25
= 3 ∗ = = 1,776
3∗5

̅ − 100,25 − 89,4
= 3 ∗ = = 0,723 =
3∗5

Con un Cp>1 podemos decir que el proceso es capaz, pero se encuentra descentrado, arrojando productos no
conformes por el límite inferior.

Para hallar el α tenemos:

− = 5,45mm

= ̅ + ∗
2 √

= ̅ − ∗
2 √

̅ + ∗ − ( ̅ − ∗
) = 5,45
2 √ 2 √


2 ∗ ∗ = 5,45

2 √

89

5
2 ∗ ∗ = 5,45

2 √9
= 1,635

2

= 2 ∗ 0,05102 = 0,102
b. Si la media del proceso cambia a 97mm, calcular la probabilidad de que el cambio se haya detectado entre las
primeras 3 muestras (a partir de que dicho cambio tuvo lugar) y calcular el valor esperado de ladrillos no conformes
fabricados hasta ese momento.

Primero debe calcular la potencia para detectar ese cambio, el valor de n es 5 porque este es un proceso de monitoreo
y Zα viene del inciso anterior.

2

̅ = 100,25
̅ " = 97

a = ̅ ′ − ̅ ′′
a = 100,25 – 97 = 3,25

|a| 3,25
= = 5 = 0,65
Como el corrimiento es hacia el límite inferior:

1 − = ( 1− ≤ ∗ √ − | |)

2

1 − = ( 1− ≤ 0,65 ∗ √5 − |1,635|)
1 − = ( 1− ≤ 1,615) = 0,94684
= 1 − 0,94684 = 0,05316

Se calcula la probabilidad de detectar el cambio entre las primeras 3 muestras:
1 − 3 = 1 − (0,05316)3 = 0,99984

Ahora se procede a calcular el calcular el valor esperado de productos no conformes fabricados hasta ese momento.

= ∗ % ∗ 1 − [ 1 + 2 ∗ + 3 ∗ 2 … + ∗ −1]

% = ( < ) + ( > )

90

~ (97 , 5)
% = ( < 89,4) + ( > 126,9)

% = 0,06426 + 0 = 0,06426

1
= 1000 ∗ 2 ℎ = 500 ℎ


= 500 ℎ ∗ 0,06426 ∗ (1 − 0,05316)

∗ [0,5 ℎ + 1 ℎ ∗ 0,05316 + 1,5 ℎ ∗ 0,053162]

= 16,95 = 17

c. Hay una disminución en la media del proceso en 3,5mm. Diseñe una carta ̅ que detecte con probabilidad del 90%
el cambio en alguna de las dos primeras muestras consecutivas a partir del cual el cambio tuvo lugar y con riesgo
tipo I de 0,06.

̅ = 100,25
a = 3,5

|a| 3,5
= = 5 = 0,65

1 − 2 = 0,9

= 0,31623

1 − = 0,68377

1 − = ( 1− ≤ ∗ √ − | |)

2

De esta ecuación y suponiendo un corrimiento hacia el límite inferior, en términos generales obtenemos:

1− = ∗ √ +

2

1− = −0,47827
= 1,635

2

|a| 3,5
= = 5 = 0,7
−0,47827 = 0,7 ∗ √ + 1,635

= 9,11 = 10

91

5
= 100,25 + 1,635 ∗ = 102,835

√10

= 100,25

5
= 100,25 − 1,635 ∗ = 97,665

√10

d. Si la media del proceso cambiara a 99.5mm, ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar el Cp general del proceso
de manera que por lo menos el 95% de los ladrillos producidos sean conformes?

̅ " = 99,5

0,05 = ( ≤ )

í ~ (0,1)

0,05 = ( ≤ )

− x̂
0,05 = ( ≤ )

− x̂
= −1,645 =

−1,645 = 89,4 − 99,5



= 6,1398

37,5
= 6 ∗ = 6 ∗ 6,1398 = 1,017

EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. Tubos de Colombia S.A. es una empresa dedicada a la fabricación de tubos de aluminio. Las especificaciones en

la longitud de los tubos es 32±2 mm. Tomando tamaños de muestras de 4, las cartas X-bar y R manejan los
siguientes límites de control: Para la carta X-bar los límites son 33±1 mm y para la carta rango 0 y 3,6mm.

De acuerdo con la información anterior, determine:

a) ¿Cuál es la capacidad del proceso?
b) ¿Cuál es el porcentaje de productos no conformes que genera el proceso?
c) ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo I?
d) Después de haber examinado 40.000 muestras, ¿cuántos puntos pueden estar por fuera de los límites de

control?
e) ¿Cuál debe ser el corrimiento en la media para que el proceso produzca a lo sumo el 12% de productos no

conformes a las especificaciones del fabricante?

92

f) ¿Cuál es la probabilidad que con una carta cuya confiabilidad sea del 99% con n=8 se detecte el corrimiento
en la media del proceso del inciso e) dado que este ha ocurrido y no fue detectado en las tres primeras
muestras consecutivas después que el cambio ocurrió?

g) Se desea que la carta del inciso anterior tenga una probabilidad de 0,12 de cometer el error tipo II, entonces
¿A qué nivel máximo de productos no conformes ocurre esto?

h) ¿Con que tamaño de muestras se debe trabajar para que la carta del inciso f) detecte el cambio en la media
del proceso en al menos una de las primeras cinco muestras consecutivas después que este ha ocurrido
con una probabilidad de 0,8, cuando se está produciendo el porcentaje de productos no conformes dado en
el inciso e)?

i) Debido a que la carta del inciso f) no detecto el cambio en la media del inciso e) sino después de la segunda
muestra consecutiva después que este ocurrió, se produjeron 2 tubos no conformes con las
especificaciones. Si la tasa de producción es de 1.000 tubos cada 12 minutos, ¿a qué velocidad se toman las
muestras aproximadamente?

j) ¿Que se debería mejorar en el proceso actual y en cuanto para que los tubos se produzcan con un 1% de
productos no conformes?

2. Un proceso de fabricación de determinado artículo tiene, en estado estable, una media de 100 in y un rango
promedio de 5,69 in. El estudio y la estabilización del proceso se ha hecho con muestras de tamaño n = 8 artículos
y ahora se continuará monitoreando con muestras de tamaño n = 9.

Las especificaciones son 100 ± 9 in. La velocidad de producción es de 1.800 artículos cada tres horas. Las muestras
para el monitoreo se toman una cada 20 min. La carta tiene un α= 0,06.

Si la media del proceso cambiase a 93 in:

a) Si el cambio no se ha detectado antes de la 18 muestra consecutiva (a partir del momento en el cual dicho
cambio tuviese lugar), ¿cuántos artículos no conformes habrán sido fabricados hasta ese momento?

b) Diseñe una carta X con un riesgo tipo 1 de 0,08 y un riesgo tipo 2 de 0,1 para el caso en que la media del
proceso disminuyese en 8 in (con relación al valor original de la media del proceso).

c) Después del cambio de la media del proceso ocurrido en el inciso b se conformó al azar un lote de 100
artículos y este se revisó (inspeccionó) a 100 % (es decir, todos fueron revisados). ¿Cuánta es la
probabilidad de encontrar 12 unidades no conformes al cabo de dicha revisión?

d) Si la media del proceso cambiara a 103 in, ¿cuánto es el mínimo valor que puede tomar el Cp general del
proceso de tal manera que por lo menos 95 % de los artículos producidos sean conformes?

e) Para el caso en el que el proceso tuviese una media de 93 in y un rango promedio de 5,69 in, suponga que
70 % de las unidades no conformes se puede recuperar por reproceso. Los costos unitarios de producción
y reproceso son respectivamente $30 y $18. Un determinado controlador automático permitiría reducir el
porcentaje de no conformes en 60 % de su valor actual, y el resto también se reprocesa. Calcule el ahorro
debido al controlador por cada artículo conforme. El controlador tiene una vida útil de 10.000 unidades y
cuesta $20.000.

3. La empresa Atlántico S. en C. fabrica repuestos para una ensambladora automotriz. Las especificaciones de la
ensambladora son 12,7 ± 3 mm. El Departamento de Calidad de Atlántico S. en C. utiliza una X para monitorear el
proceso con muestras de tamaño 5.

93

El riesgo total que esta carta indique que la media del proceso ha cambiado (y no ha cambiado) es 0,024. Los límites
de control de la carta son 12,5 mm y 14,5 mm.

a) Calcule el porcentaje de producto no conforme que entrega Atlántico S. en C.
b) Si se acepta 12 % de producto no conforme, ¿cuánto es la probabilidad de que una carta con α=0,10 y n =

9 detecte el cambio en la media del proceso cuando se está produciendo el porcentaje de no conformes
fijado?
c) ¿Qué ocurre con el α de la carta del inciso b si se trabaja con n = 16 en lugar de n = 9? Justifique su
respuesta.
d) Para = 3,00 y el cambio hallado en la pregunta b, ¿con qué tamaño de muestra se debe trabajar si se

2

desea que la probabilidad de que por lo menos una de las cuatro primeras muestras consecutivas detecte
el cambio (dado que este ha ocurrido) sea de 0,63 aproximadamente?
4. La empresa AutoMag fabrica repuestos para una ensambladora automotora. Las especificaciones de la
ensambladora son 12,7 ± 3 mm. El Departamento de Calidad de AutoMag utiliza una X para monitorear el proceso
con muestras de tamaño 5. El riesgo total que esta carta indique que la media del proceso ha cambiado (y no ha
cambiado) es 0,024. Los límites de control de la carta son 12,5 mm y 14,5 mm.
a) Calcule el porcentaje de producto no conforme que entrega AutoMag
b) Si se acepta 12 % de producto no conforme, ¿cuánto es la probabilidad de que una carta con = 0,10 y
n = 9 detecte el cambio en la media del proceso cuando se está produciendo el porcentaje de no conformes
fijado?
c) ¿Qué ocurre con el de la carta del inciso b si se trabaja con n = 16 en lugar de n = 9? Justifique su
respuesta.
d) Para /2 = 3,00 y el valor de hallado en la pregunta b, ¿con qué tamaño de muestra se debe trabajar
si se desea que la probabilidad de que por lo menos una de las cuatro primeras muestras consecutivas
detecte el cambio (dado que este ha ocurrido) sea de 0,63 aproximadamente?
e) ¿Puede usted aumentar la potencia de una carta sin afectarle ? Justifique su respuesta.
5. Una metalúrgica quiere lograr que su proceso de varillado se encuentre entre 50 mm y 54 mm. Para asegurar
que el proceso esté bajo control, se implementa una carta ̅ , la cual tiene una sensibilidad de 95 % (potencia)
cuando los tamaños de las muestras son de 5 unidades y el corrimiento en la media es de 2 desviaciones
estándar.
a) ¿Cuál es riesgo tipo 1 de la carta?
b) ¿Cuál es la potencia para detectar un corrimiento de 1
c) Si se logra mejorar el proceso, con un Cp igual a 1 y la media del proceso está corrida un respecto del
valor nominal, ¿cuál es el porcentaje de producto no conforme que se genera cuando la media se corre 1
respecto de la media del proceso?

4.8 CARTAS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

Son usadas cuando no se desea controlar el valor de una magnitud medible sino simplemente si el producto es
adecuado o no lo es; o, en general, si se posee o no cierto atributo.

La monitorización de un proceso a través de este tipo de mediciones de denomina control por atributos. Existen varios
gráficos que permiten monitorizar la evolución de este tipo de información. En unos se observa la evolución de la

94

proporción de artículos defectuosos en sucesivas muestras de tamaño n (cada elemento observado es/no es
defectuoso, o tiene/no tiene cierto atributo; por ejemplo, una llamada es o no es fallida), mientras que en otros se
observa la evolución del número de defectos que aparecen en cada unidad de medida (cada unidad de medida puede
tener más de un defecto o más de un atributo.

Por lo general, los gráficos por atributos no ofrecen tanta información como los gráficos por variables, ya que una
medición numérica es más informativa que la sola clasificación de una unidad como conforme o disconforme.

Aun así, los gráficos por atributos son muy útiles en el sector servicios y en los esfuerzos de mejora de la calidad
fuera de la manufactura, ya que no es fácil medir en una escala numérica un gran número de las características de
calidad que se encuentran en estos escenarios.

Al igual que en los gráficos de control por variables, el gráfico de atributos representa un estadístico T del proceso
(como puede ser el número de defectos) frente al número de la muestra o al tiempo. Una línea central representa el
valor medio o esperado del estadístico, mientras que la especificación de los límites de control es una de las decisiones
críticas que deben tomarse al diseñar un gráfico de control.

Un punto que se encuentra fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el proceso está
fuera de control.

Además, incluso si todos los puntos se hallan comprendidos entre los límites de control, pero se comportan de manera
sistemática o no aleatoria, también se tendría un proceso fuera de control.

En el uso de este tipo de gráficos han de considerarse las siguientes limitaciones:

➢ Es necesario tomar muestras de tamaño grande para obtener información significativa.
➢ Son aplicables a procesos que presentan cantidades considerables de disconformidades (defectos), o unidades

no conformes (defectuosas).
➢ No avisan de cambios adversos en el parámetro que queremos controlar en el proceso hasta que se han

registrado un mayor número de defectos o unidades no conformes.
➢ Las verificaciones pueden estar influidas por subjetividades de las personas que evalúan la muestra, por lo que

se hace necesario el establecimiento de unos criterios de conformidad escritos y con apoyo de medios visuales
que minimicen estas diferencias.

4.8.1 CARTA DE CONTROL P:

El gráfico p mide la proporción de unidades defectuosas en relación al tamaño de la muestra, se utiliza cuando los
individuos de un proceso se clasifican en defectuosos-no defectuosos, enfermo-sano, conforme-no conforme, etc., y
se desea controlar la proporción p de individuos en uno de estos grupos.

El control del proceso se realiza anotando la proporción de individuos defectuosos en el gráfico. Los principios
estadísticos que sirven de base a la carta de control p se basan en la distribución Binomial.

Una proporción P que se estima por medio de la proporción muestral ̂, obtenida con una muestra de tamaño n. Tiene

un valor esperado o medio que es precisamente P y una varianza 2 = ∗(1− )


Pasos a seguir en la implementación del gráfico p con n constante:

1. Frecuencia y tamaño de la muestra.

95

Se establece la frecuencia con la cual los datos serán tomados (horarios, diarios, semanales). Los intervalos
cortos entre tomas de muestras permitirán una rápida retroalimentación al proceso ante la presencia de
problemas. Los tamaños de muestra grandes permiten evaluaciones más estables del desarrollo del proceso y
son más sensibles a pequeños cambios en el promedio del mismo.

Se aconseja tomar tamaños de muestra iguales, aunque no necesariamente se tiene que dar esta situación, el
tamaño de muestra debería de ser mayor a 30. El tamaño de los subgrupos será de 25 o más.

2. Cálculo del porcentaje defectuoso (p) del subgrupo.

Se registra la siguiente información para cada subgrupo:

➢ El número de partes inspeccionadas n

➢ El número de partes defectuosas np

➢ Calcule la fracción defectuosa (p) para cada muestra mediante: = con i= 1, 2, 3, … n


3. Cálculo de porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos se calcula con la siguiente fórmula:

̅ = ∑ =1



̅ = ∑ =1
∗

4. Calcular los límites de control del gráfico mediante las formulas:
Para esta carta los límites de control hallarán de la siguiente manera:

= ̅ + 3√ ̅ (1 − ̅)


= ̅ − 3√ ̅ (1 − ̅)


= ̅

Se puede observar que dichos límites dependen del tamaño de la muestra utilizada. Así pues, si todas las muestras

son del mismo tamaño entonces los límites de control serán fijos, pero si los tamaños muestrales varían, resulta
que dichos límites son variables. Para paliar esta situación se suele tomar una de estas cuatro soluciones:

➢ Poner un valor de n igual a un promedio de los tamaños de muestra utilizados.
➢ Utilizar una gráfica estandarizada
➢ Usar el gráfico con límites individualizados
➢ Regla del 40%

96

Ejemplo con n constante

Un fabricante de latas de aluminio registra el número de partes defectuosas, tomando muestras cada hora de 40
latas, con 25 subgrupos. Construir la carta de control p (proporción de defectuosos) para la siguiente serie de datos

obtenidos durante el muestreo además dar un informe de la interpretación de carta obtenida.

muestra o subgrupo latas defectuosas
np
1
2 9
3 20
4 8
5 7
6 14
7 6
8 11
9 11
10 4
11 8
12 10
13 6
14 8
15 13
16 2
17 7
18 5
19 10
20 4
21 3
22 13
23 12
24 15
25 18
total 3
227

= 40 = 25

Primero se halla la proporción por muestra; : =


muestra o subgrupo latas defectuosas Pi
np
0,225
19 0,5
2 20 0,2
38

97

47 0,175
5 14 0,35
66 0,15
7 11 0,275
8 11 0,275
94 0,1
10 8 0,2
11 10 0,25
12 6 0,15
13 8 0,2
14 13 0,325
15 2 0,05
16 7 0,175
17 5 0,125
18 10 0,25
19 4 0,1
20 3 0,075
21 13 0,325
22 12 0,3
23 15 0,375
24 18 0,45
25 3 0,075
total 227
Luego se calcula de porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos:

̅ = ∑ =1
∗

227
̅ = 25 ∗ 40

̅ = 0,0027

Posteriormente se calculan los límites de control de la carta:

= ̅ + 3√ ̅ (1 − ̅)


= 0,0027 + 3√0,0027 (1 − 0,0027)
25

= 0,4256982

98

= ̅ − 3√ ̅ (1 − ̅)


= 0,0027 − 3√0,0027 (1 − 0,0027)
25

= 0,0283018

= ̅

= 0,0027

LC: p DESV LIC LSC

0,227 0,06623273 0,0283018 0,4256982

Después se construye la carta y se analizan los resultados

gráfico P (n cte)

0,6

0,4

0,2

0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425

LC: p Pi LIC LSC

Como hay 2 puntos por fue de los límites de control se hace un cepillado eliminado los datos atípicos y se realiza el
análisis nuevamente.

muestra o subgrupo latas defectuosas np Pi

1 9 0,225
3 8 0,2
4 7 0,175
5 14 0,35
6 6 0,15
7 11 0,275
8 11 0,275
9 4 0,1
10 8 0,2
11 10 0,25
12 6 0,15

99

13 8 0,2
14 13 0,325
15 2 0,05
16 7 0,175
17 5 0,125
18 10 0,25
19 4 0,1
20 3 0,075
21 13 0,325
22 12 0,3
23 15 0,375
25 3 0,075
total 189

LC: p DESV LIC LSC

0,20543478 0,06388101 0,01379176 0,39707781

gráfico P ( n cte)

0,5

0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

LC: p Pi LIC LSC

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los
límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos, entonces se concluye que no se tienen presentes

problemas controlables por el operador, por tanto, las causas de variabilidad son comunes y su reducción depende
sólo del control de la administración, una vez que interviene e Ingeniería realiza una serie de ajustes a la máquina, se

monitorea la mejora.

Continuando con el ejemplo, se toman a continuación 12 muestras adicionales durante los siguientes 2 turnos (a partir
del cepillado);

Subgrupo Latas P
defectuosas

24 9 0,225
25 3 0,075
26 4 0,1

100