MÓDULO ACADÉMICO CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS.

27 5 0,125
28 2 0,05
29 6 0,15
30 9 0,225
31 7 0,175
32 3 0,075
33 2 0,05
34 3 0,075

35 7 0,175

Se puede probar la hipótesis que la fracción no conforme en los últimos 3 turnos, difiere de la fracción no conforme
preliminar, con el procedimiento de prueba de hipótesis:

H0: p1 = p2

H1: p1 > p2

Donde p1 es la fracción no conforme de los datos preliminares (p1 =0.2182) y p2 es la fracción no conforme del periodo
actual. Para estimar p2 se toman las últimas 12 muestras, o sea:

̅ = ∑ =1
∗

60
̅ = 12 ∗ 40

̅ = 0,125

101

El estadístico de prueba aproximado para probar la hipótesis anterior es:

0 = ̅ 1 − ̅ ̅ 2̅ + 22)
− ̅ ) ( 11 ∗
√ ̅ (1

̅ = 1 ∗ ̅ 1 + 2 ∗ ̅̅ 2̅
1 + 2

̅ = 920 ∗ 0,227 + 480 ∗ 0,125
920 + 840

̅ = 0,1920

0 = 0,227 − 0,125

√0,192 ∗ (1 − 0,192) (992200 + 448800)
∗

0 = 4,599328098
Para un nivel de significancia del 0.05 en la distribución normal, se encuentra que:

0,05 = 1,64
Como

= 4,5993 > 0,05 = 1,64

Entonces se rechaza la hipótesis Ho, concluyendo que hubo una reducción en la fracción defectiva promedio del
proceso. Usando sólo los últimos 24 puntos para calcular nuevos límites se tiene:

LC: p DESV LIC LSC

0,125 0,05229125 -0,03187375 0,28187375
Nota: el límite inferior se aproxima a 0

gráfico P (n constante)

0,5

0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

LC: p LIC LSC Pi

102

Es muy importante que, para identificar fácilmente las causas asignables, se lleve una bitácora de cambios, donde se
anote cada cambio que ocurra, independientemente que afecte o no al proceso.

4.8.1.1. DISEÑO DE LA CARTA DE CONTROL (Determinación del tamaño de muestra)

Método 1.

El tamaño de muestra n se escoge de tal forma que la probabilidad de encontrar al menos una unidad no conforme
por muestra sea al menos .

Ejemplo, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de hallar al menos una unidad no conforme sea al menos 0.95, si D
es el número de artículos no conformes, entonces:

( ≥ 1) ≥ 0,95

Con la distribución de Poisson se encuentra que  = np debe ser mayor a 3.00 (tabla); por tanto si p = 0.01, implica
que el tamaño de muestra debe ser al menos de 300.

Método 2.

Duncan sugiere que el tamaño de muestra debe ser tal que se tenga aproximadamente un 50% de probabilidad de
detectar el corrimiento de la media de un proceso en una cierta cantidad. Asumiendo que la distribución normal es
una buena aproximación a la binomial, se selecciona n de tal forma que el límite superior de control coincida con la
fracción defectiva en el estado fuera de control. Entonces n debe satisfacer:

= ∗ √ (1 − )


Donde L es la distancia de la línea central a los límites de control en desviaciones estándar y es la magnitud del
corrimiento del proceso, por tanto,

2
= ( ) (1 − )
Ejemplo, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de detectar un corrimiento a p = 0.05 sea de 0.50, entonces:

 = 0.05 – 0.01 = 0.04

y si L = 3-sigma, se tiene:

32
= (0,04) (0,01)(0,99) = 56

Método 3.

Otro método a usar si la fracción p en control es pequeña, consiste en seleccionar n tan grande de tal forma que el
límite inferior tenga un valor positivo, para poder investigar la causa de generación de muy bajas cantidades de
artículos defectuosos con objeto de identificar errores de inspección o de los equipos de medición. Se tiene:

103

= − ∗ √ (1 − ) 0
>

Implica que,

> (1 − ) 2


Ejemplo, si p = 0.05 y se tienen límites de control a 3-sigma, el tamaño de muestra será:

> (0,95) 32 = 171
0,05

Si n>171 unidades, la carta de control tendrá un límite inferior de control positivo.

Es importante notar que la carta de control p se basa en la distribución normal, es decir que la probabilidad de

ocurrencia de artículos defectivos es constante y que las unidades producidas son independientes. Si no es el caso,
se debe desarrollar una carta de control basada en el modelo de probabilidad adecuado.

Método 4:

∗ √ ̅ (1 − ̅) + 1− ∗ √ ̅ ´ (1 − ̅ ´)
= 2
̅ ´ − ̅

[]

Determinación de la potencia de la carta p:

̅ + 3√ ̅ (1 − ̅) − ̅ ´

1 − = >
√ ̅ ´ (1 − ̅ ´)
[ ]

4.8.1.2. Tamaño de muestra variable

En algunas aplicaciones para la fracción defectiva, la muestra es la inspección 100% de los lotes producidos en un
periodo de tiempo, por tanto, la muestra será variable. Se tiene varios métodos para llevar una carta de control:

Método 1. Límites variables

Se calculan límites de control para cada muestra en base en la fracción defectiva promedio p y su tamaño de muestra

con ̅ ± 3√ ̅ (1− ̅). La amplitud de los límites es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de



muestra.

104

Ejemplo; Un fabricante de módems para computadora hace una recopila de los datos tomados en una prueba final a

la que se somete el producto los resultados obtenidos se presenta en la siguiente tabla. Construir una carta de control
p (variable)

Subgrupo Tamaño de la muestra Latas defectuosas

1 2000 53
2 1500 18
3 1900 50
4 2400 43
5 2000 65
6 2100 52
7 1900 47
8 1900 34
9 2000 27
10 1500 53
11 2000 48
12 1400 25
13 2000 48
14 1600 36
15 2300 32
16 2300 37
17 1500 29
18 2100 32
19 2200 70
20 2200 57

Subgrupo Tamaño Latas Pi LCSi LCIi Desviación
de la defectuosas
1 muestra 0,0265 0,0372745 0,0157255 0,0035915
2 53 0,012 0,02043422 0,00356578 0,00281141
3 2000 18 0,02631579 0,03733275 0,01529883 0,00367232
4 1500 50 0,01791667 0,0260397 0,00979363 0,00270768
5 1900 43 0,0325 0,04439525 0,02060475 0,00396508
6 2400 65 0,0247619 0,03493514 0,01458867 0,00339108
2000 52
2100

105

7 1900 47 0,02473684 0,03542684 0,01404685 0,00356333
8 1900
9 2000 34 0,01789474 0,02701875 0,00877072 0,00304134
10 1500
11 2000 27 0,0135 0,02124144 0,00575856 0,00258048
12 1400
13 2000 53 0,03533333 0,04963401 0,02103266 0,00476689
14 1600
15 2300 48 0,024 0,03426684 0,01373316 0,00342228
16 2300
17 1500 25 0,01785714 0,02847533 0,00723895 0,0035394
18 2100
19 2200 48 0,024 0,03426684 0,01373316 0,00342228
20 2200
36 0,0225 0,03362272 0,01137728 0,00370757
total 38800
32 0,01391304 0,02124004 0,00658605 0,00244233

37 0,01608696 0,02395692 0,00821699 0,00262332

29 0,01933333 0,02999904 0,00866763 0,00355524

32 0,0152381 0,02325751 0,00721868 0,00267314

70 0,03181818 0,04304421 0,02059216 0,00374201

57 0,02590909 0,03607007 0,01574811 0,00338699

856

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los
límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos.

Método 2. Tamaño de muestra promedio

En este caso, se toma el promedio de los tamaños de muestra para calcular los límites de control aproximados, se

asume que los tamaños de muestra no diferirán en forma apreciable de los observados, aquí los límites de control
son constantes. Si existen grandes diferencias mayores al promedio más o menos 25%, este método no es adecuado.

̅ = ∑ =1


38800
̅ = 20

̅ = 1940

106

Con límites de control basados en n̅ = 1940

̅ = ∑ =1
∑ =1

̅ = ∑ =1
∗

856
̅ = 38800

̅ = 0,02206

= 0,02206 + 3√0,02206(119−880,02206)
= 0,03194488

= 0,02206 − 3√0,02206(119−880,02206)

= 0,01217883

n Latas defectuosas Pi

1940 53 0,02731959
1940 18 0,00927835
1940 50 0,0257732
1940 43 0,02216495
1940 65 0,03350515
1940 52 0,02680412
1940 47 0,0242268
1940 34 0,01752577
1940 27 0,01391753
1940 53 0,02731959
1940 48 0,02474227
1940 25 0,0128866
1940 48 0,02474227
1940 36 0,0185567
1940 32 0,01649485
1940 37 0,01907216
1940 29 0,01494845
1940 32 0,01649485
1940 70 0,03608247
1940 57 0,02938144

856

107

Como hay 3 puntos por fuera de los límites de control (2, 5 y 19) se hace un cepillado eliminado los datos atípicos. Sin
los puntos por fuera los nuevos límites ahora son:

Subgrupo Tamaño nuevo n Latas Pi
de la promedio defectuosas
1 muestra 0,02720739
3 2000 1948 53 0,02566735
4 1900 1948 50 0,02207392
6 2400 1948 43 0,02669405
7 2100 1948 52 0,02412731
8 1900 1948 47 0,0174538
9 1900 1948 34 0,01386037
10 2000 1948 27 0,02720739
11 1500 1948 53 0,02464066
12 2000 1948 48 0,01283368
13 1400 1948 25 0,02464066
14 2000 1948 48 0,01848049
15 1600 1948 36 0,0164271
16 2300 1948 32 0,01899384
17 2300 1948 37 0,01488706
18 1500 1948 29 0,0164271
20 2100 1948 32 0,02926078
2200 1948 57
33100 703

p LCS LCI
0,02123867 0,03103873 0,01143861

108

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los
límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos.

Método 3. Carta de control estandarizada.

En este método, los puntos se grafican en unidades de desviación estándar. En la carta de control estandarizada,
la línea central es cero y los límites de control están a +3 y –3 respectivamente, la variable a graficar en la carta
es:

= −

√ (1 − )


Donde p (o p si no hay estándar) es la fracción defectiva media del proceso en su condición de control estadístico; pi,
ni, son datos de la muestra.

La carta de control estandarizada se recomienda cuando la longitud de la corrida de producción es corta, en muchos
talleres industriales especializados.

4.8.2 CARTA DE CONTROL NP:
En ocasiones resulta más cómodo representar directamente la cantidad de unidades defectuosas en la muestra en
vez de su proporción, en este caso el gráfico de control correspondiente se denomina np puesto que en ordenadas se
representa esa magnitud. Este tipo de gráfico resulta cómodo cuando el tamaño de muestra es constante. El número
de unidades defectuosas en la muestra sigue una distribución teórica binomial de parámetros n y p, cuya media es np
y su varianza es npq.

Por lo tanto, lo límites de control serán:

= ̅ + 3√ ̅ (1 − ̅)

= ̅ − 3√ ̅ (1 − ̅)

109

= ̅

Con:

̅ = ∑ =1
∗

Gráfica. Carta de control NP

EJEMPLO

En la siguiente tabla se encuentran consignados los datos obtenidos en una inspección mediante la apertura al azar
de una caja seleccionada de cada envío y contando el número de duraznos golpeados que tenía cada caja. Había 300
melocotones por caja. Construir una carta de control np (número de defectuosos) y hacer la interpretación de la
misma:

No de envió Duraznos
1 golpeados
2
3 20
4 28
5 24
6 21
7 32
8 33
9 31
10 29
11 30
12 34
13 32
14 24
15 29
16 27
37
23

110

17 27
18 28
19 31
20 27
21 30

= 300 = 25

Primero, se calcula de porcentaje defectuoso promedio para los k subgrupos:

̅ = ∑ =1
∗

̅ = 0,094

Luego vienen los límites de control de la carta:

= ̅ + 3√ ̅ (1 − ̅)

= (300 ∗ 0,094) + 3√(300 ∗ 0,094) (1 − 0,094)
= 43,36386494

= ̅ − 3√ ̅ (1 − ̅)

= (300 ∗ 0,094) − 3√(300 ∗ 0,094) (1 − 0,094)
= 13,03613506
= ̅
= 0,094 ∗ 300
= 28,2

111

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los
límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos, ni corrimiento de medias.

Curva característica de operación y ARL

La curva OC muestra en forma gráfica la probabilidad de aceptar incorrectamente la hipótesis de control estadístico
(i.e. cometer un error tipo II o ). Esta curva proporciona una evaluación de la sensibilidad de la carta de control, o
sea la habilidad de detectar un corrimiento en la fracción no conforme del proceso, desde su valor nominal p a algún
otro valor p.

La probabilidad de error tipo II para la carta de control de fracción defectiva o no conforme es:

= { ̂ ̂ < | } − { ̂ ̂ ≤ | }

= { < ∗ | } − { ≤ ∗ | }

Como D es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, el error  puede ser obtenido de la función de
distribución acumulativa (la distribución de Poisson se puede utilizar como una aproximación).

Ejemplo, Si n = 50, LIC = 0.0303 y LSC = 0.3697, el error tipo II se calcula como sigue:

= { < (50)(0,3697)| } − { ≤ (50)(0,0303)| }

= { < 18,485| } − { ≤ 1,515| }
Sin embargo, como D debe ser un entero, se toma,

= { < 18| } − { ≤ 1| }
Nota: Se debe usar la distribución de Poisson para np <=5 A continuación se muestran curvas OC con 2 distribuciones:

CURVA OC POR BINOMIAL

LCS=18;LCI=1;n=50

P P(D<18|p) P(D≤1|p) β

0,01 1 0,91056469 0,08943531

0,03 1 0,55527987 0,44472013

0,05 1 0,27943175 0,72056825

0,1 0,99999986 0,03378586 0,966214

0,15 0,999940418 0,00290545 0,99703497

0,2 0,997488797 0,00019268 0,99729612

0,25 0,97126684 1,00E-05 0,97125684

0,3 0,859440124 4,03E-07 0,85943972

0,35 0,621587051 1,23E-08 0,62158704

0,4 0,335613264 2,78E-10 0,33561326

0,45 0,127345115 4,37E-12 0,12734511

0,5 0,032454324 4,53E-14 0,03245432

0,55 0,005296752 2,84E-16 0,00529675

112

CURVA OC POR POISSON

LCS=18;LCI=1;n=50

P P(D<18|p) P(D≤1|p) β

0,5 1 0,90979599 0,09020401

1,5 1 0,5578254 0,4421746

2,5 1 0,2872975 0,7127025

5 0,999998598 0,04042768 0,95957092

7,5 0,999697003 0,00470122 0,99499579

10 0,992813495 0,0004994 0,9923141

12,5 0,948148253 5,03E-05 0,94809794

15 0,819471712 4,89E-06 0,81946682

17,5 0,608934016 4,65E-07 0,60893355

20 0,381421949 4,33E-08 0,38142191

22,5 0,202192955 3,98E-09 0,20219295

25 0,092040859 3,61E-10 0,09204086

27,5 0,036606283 3,25E-11 0,03660628

La curva OC calculada con las diferentes distribuciones de probabilidad se muestra a continuación:

Para esta carta de control, también se puede calcular la longitud de corrida media ARL. Cuando es proceso está en
control:

1
0 =

Cuando el proceso está fuera de control:

113

1
1 = (1 − )
Estas probabilidades de errores tipo I y II se pueden obtener o por cálculo de probabilidades o usando las curvas OC.
Ejemplo, suponiendo que el proceso se corre a p1 = 0.3, siendo su valor nominal p0 = 0.2.
De la curva OC se observa que  en este caso es 0.9973 estando en control, en este caso  = 1 −  =
0.0027 y el valor de ARL0 es:

1
0 = 0,0027 = 370
Indicando que cada 370 puntos se puede tener una falsa alarma.

4.8.3 CARTA DE CONTROL C:
En el control por número de defectos, utilizando un gráfico c, lo que se contabiliza es el total de defectos en la muestra.
Se supone para los mismos una distribución de Poisson. Tiene una media y varianza iguales.
Este tipo de control puede ser más completo que los presentados anteriormente, puesto que:

➢ El individuo puede no ser defectuoso y presentar defectos
➢ El carácter defectuoso puede ser de distinta magnitud dependiendo de la cantidad de defectos que presenta.
En la gráfica C es completamente necesario que todas las muestras tengan un tamaño fijo, es decir, el tamaño de los
subgrupos sea constante.
Para hallar sus límites se usará:

= ̅ + 3 √ ̅
= ̅

= ̅ − 3 √ ̅
(En el caso que sea negativo toma el valor cero)

114

El promedio de defectos por subgrupo se calcula de la siguiente forma:

= ∑ =1
= = #

Cuando el valor de no es muy grande, la convergencia a la normal no es muy buena. En tales casos el límite inferior
suele ser negativo, lo cual no tiene ningún sentido, y se sustituye por 0.

Ejemplo, Para el número de no conformidades observadas en 26 unidades de inspección sucesivas de 100 muestras
de circuitos impresos, se obtuvieron los datos siguientes:

# de muestra # de disconformidades (Ci)

1 21
2 24
3 16
4 12
5 15
65
7 28
8 20
9 31
10 25
11 20
12 24
13 16
14 19
15 10
16 17
17 13
18 22
19 18
20 39
21 30
22 24
23 16
24 19
25 17
26 15

516

516
̅ = 26 = 18,95
= ̅ + 3 √ ̅

= ̅

115

= ̅ − 3 √ ̅

C LCS LCI
19,85 33,2108605 6,48144717

De la carta de control preliminar, se observa que hay 2 puntos fuera de control, el 6 y el 20. Los nuevos limistes son
ahora:

# de # de
muestra disconformidades

1 (Ci)
2
3 21
4 24
5 16
7 12
8 15
9 28
10 20
11 31
12 25
13 20
14 24
15 16
16 19
17 10
18 17
19 13
22
18

116

21 30
22 24
23 16
24 19
25 17
26 15

472
472
̅ = 24 = 19,67
= ̅ + 3 √ ̅
= ̅
= ̅ − 3 √ ̅
C LCS LCI
19,67 32,9708014 6,36253197

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los
límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos.

4.8.4 CARTA DE CONTROL U:
En este tipo de gráficos se representa la cantidad de defectos por unidad de medida. La hipótesis de trabajo es que el
número de defectos tiene una distribución de Poisson.
El gráfico U se utiliza para el mismo tipo de problemas que el gráfico C, pero cuando el tamaño de las muestras es
variable. Aquí las muestras están formadas por más de un elemento y cada elemento puede tener más de un defecto.
A continuación, se presentan algunos ejemplos donde esto ocurre y que pueden ser representativos de las situaciones
generales:

117

➢ Puede resultar difícil tomar exactamente un metro cuadrado de tela, por lo que se toman piezas similares
de aproximadamente un metro cuadrado.

➢ En el control del número de personas que acuden a una máquina registradora en una tienda, en lugar de
tomar las mediciones en intervalos de tiempo iguales, se toman las mediciones en intervalos más flexibles.

➢ Cuando se mide el número de defectos por lote, éste puede no contener un número fijo de individuos

La línea central y los límites de control vienen dados por:

= ̅ + 3 √ ̅


= ̅ − 3 √ ̅


= ̅

̅ = ∑ =1 Con i= 1, 2, 3...k

∑ =1

si = ° e
=
= / á u

Gráfico. Carta de control

Ejemplo, Para un fabricante de computadoras registrando los defectos en su línea de ensamble final. La unidad de
inspección es una computadora y se toman 5 unidades de inspección a un tiempo.

Con n=5

# de muestra Ci Ui
1 10 2
2 12 2,4
3 8 1,6

118

4 14 2,8
5 10 2
6 16 3,2
7 11 2,2
8 7 1,4
9 10 2
10 15 3
11 9 1,8
12 51
13 7 1,4
14 11 2,2
15 12 2,4
16 6 1,2
17 8 1,6
18 10 2
19 7 1,4
20 51
193
U
1,93 = ̅ + 3 √ ̅


= ̅ − 3 √ ̅


= ̅

LCS LCI
3,79386695 0,06613305

La carta de control queda como sigue:

119

En la carta de control no se observa falta de control estadístico, por tanto, los límites preliminares se pueden utilizar
en corridas futuras.

4.8.4.1 Carta U (Muestra variable)

En algunos casos las cartas de control para no conformidades se utilizan en la inspección 100% de la producción o
lotes de producto, por tanto, las unidades de inspección no son constantes. En esta carta se tiene una línea central
constante y los límites de control varían inversamente con la raíz cuadrada del tamaño de muestra n.

La línea central y los límites individuales de control se calculan como sigue:

= ̅ + 3 √ ̅


= ̅ − 3 √ ̅


= ̅

Ejemplo, En una planta textil, se inspeccionan defectos por cada 50m2 los datos se muestran a continuación.

Subgrupo Tamaño de la No. De

1 muestra Defectos
2
3 10 14
4
5 8 12
6
7 13 20
8
9 10 11
10
9,5 7

10 10

12 21

10,5 16

12 19

12,5 23

107,5

Se calculan los límites de control con:

= ̅ + 3 √ ̅


= ̅ − 3 √ ̅


120

= ̅

̅ =


Subgrupo Tamaño de la No. De U LCS LCI
muestra Defectos
1 1,4 2,5225 0,2775
2 10 14 1,5 2,799 0,201
3 8 12 1,5385 2,5705 0,5064
4 13 20 1,1 2,095 0,105
5 10 11 0,7368 1,5723 0
6 9,5 7 1 1,9487 0,0513
7 10 10 1,75 2,8956 0,6044
8 12 21 1,5238 2,6667 0,381
9 10,5 16 1,5833 2,6731 0,4936
10 12 19 1,84 2,991 0,689
12,5 23
107,5

Este proceso está bajo control estadístico debido a que en la carta de control no se encontró puntos por fuera de los
límites de control, ni tampoco secuencias, ni patrones cíclicos

Existen otras dos alternativas para el manejo de la carta u con n variable:

1. Usando un promedio de tamaños de muestra:

n̅ = ∑ik=1 ni
k

107,5
n̅ = 10 = 10,75

121

Y aplicando las ecuaciones:

= ̅ + 3 √ ̅
n̅

= ̅ − 3 √ ̅
n̅

= ̅

̅ = ∑ =0
∑ =0

Subgrupo Tamaño de la muestra No. De Defectos Tamaño de la muestra prom Ui
1 10 1,30232558
2 8 14 10,75
3 13 1,11627907
4 10 12 10,75 1,86046512
5 9,5 1,02325581
6 10 20 10,75 0,65116279
7 12 0,93023256
8 11 10,75 1,95348837
9 10,5 1,48837209
10 12 7 10,75 1,76744186
2,13953488
12,5 10 10,75
107,5
21 10,75

16 10,75

19 10,75

23 10,75

153 107,5

U:LC LCS LCI

1,42325581 2,51484319 0,33166843

122

2. Usando una de control estandarizada (opción preferida).
Se grafica Zi con límites de control en +3 y –3, línea central cero.

= − ̅
√ ̅

LA CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN

La curva característica de operación (OC) puede ser obtenida tanto para la carta c como para la carta u a partir de
la distribución de Poisson.

Para la carta c, la curva OC muestra la probabilidad del error tipo II  contra la media real del número de defectos c,
se expresa como sigue:

= { < | } − { < | }

Donde x es una variable aleatoria de Poisson con parámetro C =λ.

Para el caso de la carta u, la curva OC puede generarse con:
= { < | } − { ≤ | }

= { < | } − { ≤ | }
= ⟨ | < ≤ | ⟩

Ejemplo, para el caso de una carta c con LSC = 33.22, LIC = 6.58, se tiene:

= { < 33,22| } − { < 6,58| }
Cómo las cantidades deben ser enteras, esto es equivalente a:

= { < 33| } − { < 7| }

La curva OC se obtiene con la distribución de Poisson como sigue:

c P(x<=33|c) P(x<=6|c) β

11 0,999 0,001

31 0,966 0,034
51 0,762 0,238
71 0,449 0,55
10 0,999 0,13 0,869
15 0,999 0,007 0,992

123

20 0,997 0 0,997
30 0,744 0 0,744
33 0,546 0 0,546
35 0,41 0 0,41
40 0,151 0 0,151
45 0,038 0 0,038

Los valores se obtienen de la siguiente manera:
~ ( )
( ≤ ) =?

124

CAPÍTULO 5

MUESTREO PARA ACEPTACIÓN

En este capítulo se presenta el estudio de los planes de muestreo utilizados en la aceptación, o revisión final de los
lotes, es decir, fundamentos para el diseño de planes de muestreo con los debidos criterios de aceptación y rechazo,
como también los distintos tipos de muestreo por aceptación, para variables y atributos...

125

5 MUESTREO POR ACEPTACIÓN

El muestreo de aceptación se ocupa de la inspección y la toma de decisiones respecto de los productos, uno de los
aspectos más antiguos de aseguramiento de calidad. En los años de 1930 y 1940 el muestreo de aceptación era uno
de los componentes principales de campo del control estadístico de calidad, y se utilizaba principalmente en la
inspección de entrada o recepción. En años más recientes ha llegado a ser común el trabajo con los proveedores para
mejorar el desempeño de sus procesos mediante el uso de SPC y de experimentos diseñados en vez de confiar tanto
en el muestreo de aceptación como la herramienta principal del aseguramiento de la calidad.

Aún en muchas ocasiones cuando se acostumbra a considerar el muestreo de aceptación como una actividad de
inspección de recepción, existen otros usos de los métodos de muestreo. Por ejemplo, es común que un fabricante
haga muestreos e inspecciones de su propio producto en varias etapas de la producción. Los lotes que son aceptados
se remiten al procesamiento subsecuente y los lotes rechazados pueden reprocesarse o desecharse.

5.1 ASPECTOS IMPORTANTES
1. El propósito del muestreo de aceptación es dictaminar los lotes no estimar su calidad. La mayoría de

los planes de muestreo de aceptación no se diseñan para fines de estimación.

2. Los planes de muestreo de aceptación no proporcionan ninguna forma directa de control de calidad.
El muestreo de aceptación se limita a aceptar algunos lotes y a rechazar otros. Incluso si todos los lotes
son de la misma calidad el muestreo aceptara algunos y rechazara otros, sin que los lotes aceptados
sean mejores que los rechazados. Los controles del proceso se usan para controlar y mejorar
sistemáticamente la calidad, pero no así el muestreo de aceptación.

3. El uso más efectivo del muestreo de aceptación no es para “inspeccionar la calidad de un producto” sino
más bien como una herramienta de auditoría a fin de asegurarse de que la salida de un proceso cumple
con los requerimientos.

5.2 ENFOQUES PARA LA DICTAMINACIÓN DE LOTES
1. La aceptación sin inspección.

2. La inspección 100% es decir la inspección de cada artículo del lote para sacar las unidades
defectuosas encontradas (las unidades defectuosas pueden devolverse al proveedor, reprocesarse,
reemplazarse con

artículos satisfactorios comprobados o descartarse.

3. El muestreo de aceptación.

La alternativa sin inspección es útil en situaciones en que el proceso del proveedor es tan bueno que casi nunca se
encuentran unidades defectuosas o cuando no existe justificación económica para buscar unidades defectuosas. Por
ejemplo, si el Cp del proceso es 3 o 4 es poco probable que en un muestreo de aceptación se descubra alguna unidad
defectuosa. La inspección del 100% se emplea generalmente cuando el componente es en extremo crítico y deja pasar
unidades defectuosas daría como resultado un costo por fallas inaceptablemente elevado en las etapas subsecuentes,
o cuando la capacidad del proceso del proveedor es inadecuada para cumplir las especificaciones. El muestreo de
aceptación probablemente será de mayor utilidad en las siguientes situaciones:

1. Cuando las pruebas son destructivas.

126

2. Cuando el costo de la inspección 100% es muy alto.
3. Cuando la inspección del 100% no es tecnológicamente factible y requeriría tanto tiempo de calendario

que se impactaría seriamente la programación de la producción.
4. Cuando son muchos los artículos por inspeccionar y la tasa de errores de inspección es tan elevada que

la inspección 100% podría hacer que se aprobara un porcentaje más alto de unidades defectuosas que
con la aplicación de un plan de muestreo.
5. Cuando el proveedor tiene un historial de calidad excelente, y se desea cierta reducción en la inspección
del 100% pero la capacidad del proceso del proveedor es lo suficientemente baja para hacer que la cancelación
de la inspección no sea una alternativa satisfactoria.
6. Cuando existen riesgos de responsabilidad legal del producto potencialmente serios y aun cuando el proceso
del proveedor sea satisfactorio, se necesita un programa de monitoreo continuo del producto.
5.3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO
Cuando el muestreo de aceptación se compara con la inspección 100%, presenta las siguientes ventajas:
1. Suele tener costos más bajos, debido a que hay menos inspección.
2. Hay menos manejo del producto, y, en consecuencia, se reducen daños.
3. Puede aplicarse en pruebas destructivas.
4. Menos personal participa en las actividades de inspección.
5. Con frecuencia reduce en gran medida la cantidad de errores de inspección.
6. El rechazo de lotes completos, por oposición a la simple devolución de las unidades defectuosas,
con frecuencia proporciona una motivación mayor para que el proveedor atienda el mejoramiento de
calidad.
Sin embargo, el muestreo de aceptación también presenta varias desventajas. Entre ellas se
encuentran:
1. Existe el riesgo de aceptar lotes “malos” y de rechazar lotes “buenos”.
2. Por lo general se genera menos información acerca del producto o acerca del proceso con que se
fabricó el producto.
3. El muestreo de aceptación requiere planeación y documentación del procedimiento de muestreo
de aceptación, mientras que la inspección del 100% no.
5.4 TIPOS DE PLANES DE MUESTREO DE ACEPTACIÓN
Existen varias maneras diferentes de clasificar los planes de muestreo de aceptación. Una clasificación principal
es por atributos y variables. Las variables son desde luego características de calidad que se miden en una escala
numérica. Los atributos son características de la calidad que se expresan en una base “pasa, no pasa”.

127

5.4.1 Plan de muestreo único

Un plan de muestreo único es un procedimiento para dictaminar lotes en el que se selecciona al azar una muestra
de n unidades del lote, y el destino del lote se determina con base en la información contenida en esa muestra.
Por ejemplo, un plan de muestreo único para atributos constaría de un tamaño de muestra n y criterio de
aceptación c. El procedimiento operaria de la siguiente manera: se seleccionan n artículos al azar del lote. Si hay
c o menos unidades defectuosas en la muestra, se acepta el lote, y si hay más de c artículos defectuosos en el
lote, este se rechaza.

Supongamos que se ha sometido a inspección un lote de tamaño N. Un plan de muestreo simple está definido
por el tamaño de la muestra n y el número de aceptación c.

El lote será aceptado solamente si el número de productos defectuosos en n es menor o igual a c.

A partir de esto datos, se puede definir la probabilidad de aceptación del lote o Pa, la cual está dada por:

( )( −− )
( )
= ( ≤ ) = ∑

=0

Como se puede apreciar, esta probabilidad es determinada haciendo uso de una distribución hipergeométrica con
parámetros (N,n,k), donde k es la proporción de productos no conformes dentro del lote, y su valor se estima del
producto entre p’ y N. Luego, el valor de p’, que es la probabilidad de hallar un producto no conforme dentro del lote,
puede ser determinado por medio de un análisis de capacidad del proceso de fabricación.

Para disminuir la complejidad de los ejercicios y teniendo en cuenta la relación existente entre las distribuciones
Hipergeométrica y Binomial, la probabilidad de aceptación puede ser determinada, también, a partir de una
aproximación a Binomial con probabilidad de éxito p’.

De esta manera, el valor de la probabilidad de aceptación podría determinarse así:

= ( ≤ ) = ( ′) (1 − ′) −
( )
∑

=0

Ejemplo

Un fabricante de cierto producto, a partir de un análisis de capacidad de su proceso productivo, pudo determinar
que el porcentaje de productos no conformes arrojado era de 10%. Antes del despacho de los artículos al cliente,
forma lotes de 500 productos, cada uno. Su cliente principal maneja un plan de muestreo, donde n=50 y c=3.
Determinar la probabilidad de aceptación de estos lotes por parte del cliente.

Si se intenta determinar esta probabilidad a partir de una distribución hipergeométrica, su valor será imposible
determinarlo, haciendo uso de una calculadora, por esta razón, se recomienda el uso de una distribución binomial.
En este sentido se tiene:

128

3

= ( ≤ 3) = ∑ 50 (0,1) (1 − 0,1)50− = 0,25029
( )

0

Haciendo uso de Microsoft Excel, es posible determinar el valor de esta probabilidad, utilizando una distribución
hipergeométrica, es decir, de la manera correcta. Así, se tiene:

3(5 0 )(5405−0 )
(55000)
= ( ≤ 3) = ∑ = 0,235858

0

Como se puede apreciar ambas probabilidades se asemejan, lo que indica que la distribución binomial es una
buena alternativa de encontrar la probabilidad de aceptación cuando no se cuenta con programas avanzados para
su cálculo.

5.4.2 Plan de muestreo Doble

Los planes de muestreo doble son un tanto más complicados. Después de una muestra inicial se toma una decisión
con base a la información de esa muestra para 1) aceptar el lote, 2) rechazar el lote o 3) tomar una segunda
muestra. Si se toma la segunda muestra, la información de la primera y la segunda muestra se combinan para
llegar a la decisión de aceptar o rechazar el lote.

Los planes de muestreo único y doble pueden diseñarse de tal modo que produzcan resultados equivalentes. Es
decir, estos procedimientos pueden diseñarse para un lote con una calidad especificada, tengan exactamente la
misma probabilidad de aceptación bajo los cuatro tipos de planes de muestreo. Por consiguiente, se selecciona el
tipo de procedimiento de muestre, deben considerarse factores tales como la eficiencia administrativa, el tipo de
información producida por el plan, la cantidad de inspección promedio requerida por el procedimiento y el impacto
que puede tener dado sobre el flujo de material en la organización manufacturera.

5.4.3 Plan de muestreo Múltiple

Un plan de muestreo múltiple es una extensión del concepto del muestreo doble, por cuanto pueden necesitarse
más de dos muestras para llegar a una decisión respecto del destino del lote. Los tamaños de la muestra en el
muestreo múltiple suelen ser más pequeños que en el muestreo único o en el doble. La extensión última del
muestreo múltiple es el muestreo secuencial, en el que las unidades del lote se seleccionan una vez, y después de
inspeccionar cada unidad se toma la decisión de aceptar, rechazar el lote o seleccionar otra unidad.

5.4.4 Formación y características de lotes

La manera en que se forme el lote puede influir en la efectividad del plan de muestreo de aceptación, hay varias
consideraciones importantes cuando se forman los lotes para inspección. Algunas de ellas son las siguientes.

➢ Los lotes deben ser homogéneos, es decir las unidades deberán producirse por las mimas maquinas, los
mismos operadores y con materias primas comunes, aproximadamente en el mismo tiempo. Cuando los

129

lotes no son homogéneos, como cuando se mezcla la salida de dos líneas de producción diferentes, el
esquema de muestreo de aceptación quizá no funcione con tanta efectividad como podría hacerlo.
➢ Son preferibles los lotes grandes a pequeños, suele haber más eficiencia económica al inspeccionar
lotes grandes que pequeños.
➢ Los lotes deberán ajustarse a los sistemas de manejar de materiales usados en las instalaciones del
proveedor y del consumidor, además, de los artículos de los lotes deberán ser empacados de tal modo
que se minimicen los riesgos en el embarque y manejo y que sea relativamente sencillo de seleccionar
de las unidades de la muestra.

5.4.5 Lineamientos para usar el muestreo por aceptación

Un plan de muestreo por aceptación es un enunciado del tamaño de la muestra que debe usarse y los criterios
de aceptación o rechazo asociados para dictaminar lotes individuales.

OBJETIVO PROCEDIMIENTO POR ATRIBUTOS PROCEDIMIENTO PARA VARIABLES
Asegurar niveles de calidad para el Seleccionar un plan para una curva Seleccionar un plan para una curva
consumidor/productor OSiCsteesmpaecifiAcaQL; MIL STD 105E
Mantener la calidad en un objetivo SOiCsteesmpaecifiAcaQL; MIL STD 105E ANSI/ASQC Z1.4
ANSI/ASQC Z1.4
Asegurar u n n i v e l d e c a l i d a d Sistema A O Q L ; Planes Dodge SMiesdteicmióanAcOoQnLlímites estrictos
d e salida promedio Roming
Reducir la inspección con tamaños MRoumesintrgeo en cadena
de muestra pequeños, buen historial

de calidad Muestreo por salto de lote; Muestreo por salto de lote;
Reducir la inspección después de un mPluaensLtTrPeDo;dPolbalnees Dodge Roming PmluaensetsrLeToPdDo;bPleruebas de hipótesis
buen historial de calidad

Asegurar una calidad no menor al
objetivo

En esta tabla se muestran los procedimientos del muestreo por aceptación y sus aplicaciones. En general la

selección de un procedimiento de muestreo de aceptación depende tanto del objetivo de la organización de

muestreo como del historial de la organización cuyo producto es muestreado. Esta aplicación no es estática;

es decir existe una evolución natural de un nivel de esfuerzo de muestreo por otro.

5.5 PLANES CON UNA SOLA MUESTRA POR ATRIBUTOS
5.5.1 Definición de un plan con una sola muestra.

Suponer que se ha sometido a inspección un lote de tamaño N, un plan de muestreo único está definido por el tamaño
de la muestra n y el número de aceptación c. Por tanto, si el tamaño del lote es N=10.000 entonces el plan de muestreo
será de este tipo:

n=82 c=2

Significa que se inspecciona una muestra aleatoria de n=82 unidades del lote de tamaño 10.000 y que si el número
de artículos defectuosos observados es menor o igual que c=2, el lote será aceptado, si el número de artículos
defectuosos es mayor que 3 el lote será rechazado. Puesto que la característica de calidad inspeccionada es un

130

atributo, cada unidad de muestra se dictamina como conforme o disconforme, puede inspeccionarse uno o varios
atributos en la misma muestra: en general, se dice que una unidad disconforme respecto a las especificaciones;
en uno o más atributos, es una unidad defectuosa. A este procedimiento se le llama un plan de muestreo único
porque el lote se dictamina con base en la información contenida en una sola muestra de tamaño n.

5.5.2 La curva OC

Una medida importante del desempeño de un plan de muestreo único es la curva de operación característica (OC).
En esta curva grafica la probabilidad de aceptar el lote contra la fracción defectuosa del lote. Por tanto, la curva
OC indica la potencia discriminatoria del plan de muestreo. Es decir, indica la probabilidad de que un lote con cierta
fracción defectuosa propuesto sea aceptado o rechazado.

Grafica1. Representación curva característic
Ejemplo

Trace la curva de operación característica para el siguiente plan de muestreo:
· n=80 c=5

Utilizando la distribución de probabilidad Binomial para determinar Pa se tiene:

p Pa
0,02 ’
0,04 0,9945
0,06 0,8988
0,08 0,6521
0,1 0,3750
0,12 0,1769
0,14 0,0709
0,16 0,0248
0,18 0,0077
0,2 0,0021
0,0005

De esta manera la gráfica resulta de la siguiente forma:

131

5.5.3 Curva de Operación perfecta
Un plan de muestreo que hiciera la discriminación perfecta entre los lotes buenos y los malos tendría una curva
OC como la que se muestra en la figura 14 La curva OC corre horizontalmente en una probabilidad de aceptación
igual a 1, hasta que se alcance un nivel de calidad considerado malo para el lote, punto en el cual la curva cae
verticalmente a una probabilidad de aceptación igual a cero

Figura 20. Curva de Operación perfecta
Para graficar una curva de operación, basta solo con darle valores a p’, y teniendo en cuenta el tamaño de la muestra
y número de aceptación dado para el plan, se hallan diferentes valores para Pa.

132

5.5.4 Puntos específicos en la Curva OC

Frecuentemente, el interés del ingeniero de calidad se centra en determinados puntos de la curva OC. El proveedor
suele estar interesado en saber cuál es el nivel de calidad del lote o proceso que produce una alta probabilidad
de aceptación.

En este orden de ideas, es común que el consumidor establezca un plan de muestreo para un abastecimiento
continuo de componentes o materia prima con referencia a un nivel aceptable de calidad (NAC) o AQL (por sus siglas
en inglés). El NAC representa el nivel de calidad más pobre del proceso del proveedor que el consumidor
consideraría aceptable como promedio del proceso. Este parámetro es una propiedad del proceso de manufactura
del proveedor; no es una propiedad del plan de muestreo. Muchas veces el consumidor diseñará el procedimiento
de muestreo de tal modo que la curva OC dé una alta probabilidad de aceptación en el NAC. Se espera que el
proceso del proveedor opere con un nivel de porción caída que sea considerablemente mejor que el AQL.

El consumidor también estará interesado en el otro extremo de la curva OC, es decir, en la protección que se obtiene
para los lotes individuales de calidad pobre. En una situación así, el consumidor puede establecer una tolerancia
del porcentaje defectuoso de un lote (LTPD, por sus siglas en inglés). El LTPD es el nivel de calidad más pobre que
el consumidor está dispuesto a aceptar en un lote individual.

Aun cuando podrían utilizarse dos puntos cualesquiera en la curva OC para definir el plan de muestreo, en muchas
industrias se acostumbra a usar los puntos NAC y LTPD para este fin. Cuando los niveles de calidad del lote
especificados son p_1=AQLyp_2=LTPD, suele hacerse referencia a los puntos correspondientes en la curva OC
como el riesgo del producto y el punto del riesgo del consumidor. Por tanto, se llamaría el riesgo del productor
y se llamaría el riesgo del consumidor. Gráficamente, se puede apreciar esta relación en la figura 21, donde para
el ejemplo se trabaja con un NAC de 2% y un LTPD de 7%. En este sentido, teniendo en cuenta la curva de operación
anterior, es posible determinar el valor de ambos riesgos de la siguiente manera:

=

=

ℎ
= = ℎ

ℎ
= = ℎ



1 − = ∑ =0( )(P1) (1 − 1) − donde P1 = AQL



= ∑ =0( )(P2) (1 − 2) − donde P2 = LTPD

133

Figura 21. Representación gráfica de los parámetros NAC, LTPD, y

5.5.5 Curvas de operación tipo A y tipo b

En la construcción de la curva OC se supuso que las muestras provenían de un lote grande o que el muestreo se
estaba haciendo de un flujo de lotes de un proceso seleccionados al azar. En esta situación, la distribución binomial
es la distribución exacta para calcular la probabilidad de aceptación del lote. Esta curva se conoce como curva
tipo B.

La curva OC tipo A se usa para calcular probabilidades de aceptación de un lote aislado de tamaño infinito. Suponer
que el lote de tamaño N, con tamaño de muestra n y que el número de aceptación c. la distribución de muestreo
exacta del número de artículos defectuosos en la muestra es la distribución hipergeométrica.

5.5.6 Inspección con rectificación

Los programas de muestreo de aceptación suelen requerir una acción correctiva cuando los lotes son rechazados.
Esto generalmente adopta la forma de una inspección del 100% exhaustiva de los lotes rechazados, dondetodos
los artículos defectuosos descubiertos se sacan para reprocesamiento posterior, se devuelven al proveedor o se
reemplazan de un inventario de artículos satisfactorios comprobados. A estos programas de muestreo se les
llama programas de inspección con rectificación, debido a que la actividad de inspección afecta la calidad final del
producto de salida.

Los programas de inspección con rectificación se usan en situaciones en las que el fabricante desea conocer el
nivel promedio de calidad que es posible resulte en una etapa dada de las operaciones de manufactura. Por tanto,
estos programas se usan en la inspección de recepción, en la inspección dentro del proceso de productos
semiterminados o en la inspección final de bienes terminados.

La calidad de salida promedio (AOQ, por sus siglas en inglés) se usa ampliamente para la evaluación de un programa
de muestreo con rectificación. Este factor es la calidad en el lote que resulta de la aplicación de la inspección con
rectificación.

134

Es el valor promedio de la calidad del lote que se obtendría en una secuencia larga de lotes de un proceso con fracción
defectuosa p’. Es sencillo desarrollar una fórmula para el AOQ. Suponer que el tamaño del lote es N y que todas
las unidades defectuosas se reemplazan con unidades satisfactorias. Entonces en lotes de tamaño N, se tiene:

1. n artículos en la muestra que, después de la inspección, no contienen unidades defectuosas,
debido a que todas las unidades defectuosas descubiertas se reemplazan.

2. N-n artículos que, si el lote es rechazado, tampoco contienen unidades defectuosas.

3. N-n artículos que, si el lote es aceptado, contiene p'(N-n) unidades defectuosas.

Por tanto, los lotes en la etapa de salida de la inspección tienen un número esperado de unidades defectuosas igual
a ′( − ), que puede expresarse como una fracción defectuosa promedio, llamada la calidad de salida
promedio:

= ´ ( − )



Cuando el tamaño del lote se hace grande en comparación al tamaño de la muestra, esta ecuación puede
escribirse cómo:

≈ ´

La calidad promedio de salida variará cuando la fracción defectuosa de los lotes de entrada varíe. A la curva que
grafica la cantidad de salida promedio contra la calidad del lote de entrada se le llama curva AOQ. A continuación, la
figura 22 hace una presentación de esta gráfica.

Figura. Representación gráfica del AOQ y localización del AOQL.
Por el examen de esta curva se observa que cuando la calidad de entrada es muy buena, la calidad de salida promedio
también es muy buena. En contraste, cuando la calidad del lote de entrada es muy mala, la mayoría de los lotes son

135

rechazados y se examinan, lo que lleva a un nivel de calidad muy bueno en los lotes de salida. En medio de los extremos,
la curva AOQ sube, pasa por un máximo y desciende. La ordenada máxima en la curva AOQ representa la peor calidad
promedio posible que resultase del programa de inspección con rectificación, y a este punto se le llama el límite
de la calidad de salida promedio (AOQL, por sus siglas en inglés). Es decir, sin importar lo mala que sea la fracción
defectuosa en los lotes de entrada, los lotes de salida nunca tendrán un nivel de calidad peor que el AOQL.

5.6 DISEÑO DE PLANES DE MUESTREO
5.6.1 Método matemático

Esta herramienta para el diseño de planes de muestreo no tiene en cuenta únicamente el NAC como parámetro de
decisión en el diseño del plan de muestreo, sino cada uno de los parámetros dados para su diseño, NAC, LTPD, el
riesgo del productor y el del consumidor. El valor de n y c se determina utilizando cada una de las siguientes
ecuaciones:

]√ 21 2

1 = | /2|+ = 1+ 2

[ 21−1 2

= ∗ / = /

= + √λ1 = /

= − √λ2 = 1+ 2

2

5.7 MUESTREO DOBLE MULTIPLE Y SECUENCIAL
5.7.1 Muestreo Doble.

El plan de muestreo doble es un procedimiento en el bajo, determinadas condiciones, se necesita una segunda
muestra antes de poder dictaminar el lote. Un plan de muestreo doble se define:

136

Por cuatro parámetros:

n1= tamaño de muestra en la primera muestra.

c1= número de aceptación de la primera muestra.

n2= tamaño de muestra en la segunda muestra.

c2= número de aceptación de la segunda muestra.

La ventaja principal del plan de muestreo doble con respecto al plan de muestreo único es que puede reducir la
cantidad total de inspección requerida. Suponer la primera muestra tomada en un plan de muestreo doble es menor
que la muestra que se habría requerido al usar un plan de muestreo único que ofrece la misma protección al
consumidor. En todos los casos, entonces, en que un lote sea aceptado o rechazado en la primera muestra, el costo
de inspección será más bajo para el muestreo doble del que sería para un muestreo único. También es posible
rechazar un lote sin hacer la inspección completa a la segunda muestra. Por consiguiente, el uso del muestreo doble
con frecuencia puede llevar a costos totales de inspección más bajo.

El muestreo doble tiene dos ventajas potenciales. Primera, a menos que se use el cercenado en la segunda muestra,
bajo determinadas circunstancias de muestreo doble puede requerir más inspección total de la que se necesitaría en
un plan de muestreo único que ofrezca la misma protección.

137

La segunda desventaja del muestreo doble es que presenta mayor complejidad administrativa, lo cual puede aumentar
la oportunidad para la ocurrencia de errores de inspección.

Ejemplo

Dado un lote de 80 artículos, con un porcentaje de productos no conformes de 5%, determine la probabilidad de
aceptación de los lotes para el siguiente plan de muestreo doble.

• 1 = 20 1 = 1
• 2 = 10 1 = 3

Este ejercicio puede resolverse utilizando un árbol de decisión. Inicialmente, se analizan los valores que pueden tomar
1 2, teniendo en cuenta las restricciones dadas para este tipo de plan:

La probabilidad para cada uno de los casos encontrados son las siguientes:

Para la primera muestra.

( 1 = 0) = (04)(2706) = 0,3083
(2800)

( 1 = 1) = (41)(7169) = 0,4327
(2800)

( 1 = 2) = (42)(7186) = 0,2126
(8200)

138

( 1 = 3) = (34)(1767) = 0,0432
(2800)

Para la segunda muestra.

( 2 = 0) = (04)(7160) = 0,5797
(8100)

( 2 = 1) = (41)(796) = 0,3461
(1800)

( 2 = 2) = (24)(786) = 0,0687
(1800)

La probabilidad de aceptación se determina de la siguiente manera:

= ( 1 = 0) + [ ( 1 = 1) ∗ ( 2 = 0)] + [ ( 1 = 1) ∗ ( 2 = 1)]
+ [ ( 1 = 1) ∗ ( 2 = 2)] + [ ( 1 = 2) ∗ ( 2 = 0)]
+ [ ( 1 = 2) ∗ ( 2 = 1)] + [ ( 1 = 3) ∗ ( 2 = 0)]

= 0,3083 + 0,4327 ∗ (0,9945) + 0,2126 ∗ (0,9258 ) + 0,0432 ∗ 0,5797

= 0,9604

5.7.2 La curva OC

El desempeño de un plan de muestreo doble puede resumirse de manera conveniente por medio de su curva de
operación característica (OC). La curva OC para un plan de muestreo doble es poco más complicada que la curva OC
para un muestreo único. Un plan de muestreo doble tiene una curva OC primaria que da la probabilidad de aceptación
como una función de la calidad del lote o proceso. Tiene también curvas OC complementarias que muestran la
probabilidad de aceptación o de rechazo en la primera muestra. La curva OC para la probabilidad de rechazo en la
primera muestra es simplemente la curva OC para el plan de muestreo único.

139

5.7.3 LA CURVA PROMEDIO DE LAS MUESTRAS

La curva promedio de las muestras (ASN) de un plan de muestreo doble también suele ser de interés del ingeniero
de calidad. En un muestreo único, el tamaño de la muestra inspeccionada del lote siempre es constante, mientras que
en muestreo doble el tamaño de la muestra si depende de si la segunda es necesaria o no. La probabilidad de la
muestra seleccionada depende de si la segunda varia con la fracción defectuosa del lote de entrada. Con la inspección
completa de la segunda muestra, el tamaño promedio de la muestra en el muestreo doble es igual al tamaño de la
primera muestra multiplicando por la probabilidad de que solo habrá una muestra, más el tamaño de las muestras
combinadas multiplicando por la probabilidad de que necesitará una segunda muestra. Por lo tanto, la formula general
será:

= 1 ∗ 1 + ( 1 + 2)(1 − 1)

Donde P1 es probabilidad que el lote se acepte en la primera muestra + probabilidad que el lote se rechace en la
primera muestra.

5.8 PLAN DE MUESTREO MULTIPLE
Un plan de muestreo múltiple es una extensión del muestreo doble por cuanto pueden requerirse más de dos muestras
para dictaminar un lote.

La ventaja de estos planes de muestreo es que las muestras requeridas en cada etapa por lo general son menores que
las de un muestreo único o doble; por tanto, se relaciona cierta eficiencia económica con el uso del procedimiento. Sin
embargo, la administración del muestreo múltiple es mucho más compleja.

5.9 PLAN DE MUESTREO SCUENCIAL

El muestreo secuencial es una extensión del concepto del muestreo doble y del muestreo múltiple. En el muestreo
secuencial se toma una secuencia de muestras del lote y se deja que el número de muestras lo determinen por
completo los resultados del proceso de muestreo. En teoría, el muestreo secuencial puede continuar de manera
indefinida, hasta que se hace la inspección del 100% del lote. En la práctica, los planes de muestreo secuencial suelen
truncarse después de que el número inspeccionado es igual a tres veces el número que se habría inspeccionado
utilizando el plan de muestreo simple correspondiente. Si el tamaño de la muestra seleccionado en cada etapa es
mayor que 1, al proceso suele llamársele muestreo secuencial grupal. Si el tamaño de la muestra inspeccionado en
cada etapa es 1, al procedimiento suele llamársele muestreo secuencial artículo por artículo.

5.10 MILITARY ESTÁNDAR 105E (ANSI/ASQCZ1.4; ISO 2859)
5.10.1 Descripción

Este procedimiento de muestreo fue desarrollado durante la segunda guerra mundial. Actualmente, el estándar MIL
STD 105E es el sistema de muestreo de aceptación para atributos de mayor uso en el mundo.

El estándar contempla tres tipos de muestreo: el muestreo único, el muestreo doble, y el muestreo múltiple. Para cada
tipo de muestreo, se estipula la inspección normal, la inspección rigurosa, o la inspección reducida. La inspección
normal se usa al principio de la actividad de inspección. La inspección rigurosa se establece cuando el historial
reciente del proveedor se ha deteriorado. Los requerimientos de aceptación para los lotes sujetos a inspección
rigurosa son más estrictos que bajo la inspección normal. La inspección reducida se establece cuando el historial

140

reciente del proveedor ha sido excepcionalmente bueno. El tamaño de la muestra que se usa generalmente en la
inspección reducida es menor que en la inspección normal

El tamaño de la muestra usado en el MIL STD 105E está determinado por el tamaño del lote y por la elección del nivel
de inspección. Se estipulan tres niveles generales de inspección. El nivel II se designa como normal. El nivel I requiere
aproximadamente la mitad de la cantidad de inspección que el nivel II y puede usarse cuando se necesita menos
discriminación. El nivel III requiere aproximadamente el doble de inspección que el nivel II y deberá usarse cuando se
necesite más discriminación. Hay también cuatro niveles de inspección especiales, S-1, S-2, S-3 y S-4. Los niveles
de inspección especiales utilizan muestras muy pequeñas y son útiles cuando las pruebas de aceptación son de tipo
destructivo.

Para un AQL, un nivel de inspección especificados y un tamaño de lote dado, el MIL STD 105E proporciona un plan de
muestreo normal que debe usarse mientras el proveedor esté produciendo el producto con calidad AQL o mejor.
También proporciona un procedimiento para hacer el cambio de inspección rigurosa, o reducida siempre que haya
una indicación de que la calidad del proveedor ha cambiado. Los procedimientos para cambiar entre la inspección
normal, la rigurosa y la reducida se describen a continuación:

❖ Normal a rigurosa: cuando se esté aplicando la inspección normal, la inspección rigurosa se establece
cuando dos de los cinco lotes consecutivos han sido rechazados en la inspección original.

❖ Rigurosa a normal: cuando se está aplicando la inspección rigurosa, la inspección normal se establece
cuando cinco lotes consecutivos o cargas son aceptados en la inspección original.

❖ Norma a reducida: Cuando se está aplicando la inspección normal, la inspección reducida se establece
siempre que se satisfagan 4 condiciones:
✓ Los 10 lotes precedentes han estado bajo inspección normal y ninguno de ellos ha sido rechazado en la
inspección original.
✓ El número total de artículos defectuosos en las muestras de los 10 lotes precedentes es menor o igual al
número limite aplicable que se ha especificado en el estándar.
✓ La producción se hace a una velocidad estable; es decir no ha ocurrido recientemente ninguna dificultad
como descomposturas de máquinas, déficit de materiales disponibles u otros problemas.
✓ La autoridad responsable del muestreo considera deseable la inspección reducida.

❖ Reducida a la normal: cuando se está aplicando la inspección reducida, la inspección normal se establece
siempre que se fatiga cualquiera de las cuatro condiciones siguientes:
✓ Un lote es rechazado.
✓ Cuando el procedimiento de muestreo termina sin que se hayan satisfecho los criterios de aceptación
ni de rechazo, el lote o carga se acepta, pero se estable de nuevo la inspección normal a partir del
siguiente lote.
✓ La producción es irregular o sufre retrasos.
✓ Otras condiciones que garantían el establecimiento de la inspección normal.

5.10.2 Procedimiento

Un procedimiento paso a paso para usar el estándar MIL STD 105E es el siguiente:

1. Elegir el AQL (NAC).
2. Elegir el nivel de inspección.
3. Determinar el tamaño del lote.

141

4. Encontrar la letra código apropiada para el tamaño de la muestra en la tabla 5 (Sección 7).
5. Determinar el tipo apropiado de muestreo que debe usarse (único, doble, múltiple).
6. Consultar la tabla apropiada (Tablas 6-8, sección 7) para encontrar el tipo de plan que debe usarse.
7. Determinar los planes de inspección normal y reducida correspondientes que deben usarse cuando sea

necesario.

5.10.3 Curva de operación característica

El Estándar MIL STD 105E presenta la curva OC para los planes de muestreo único. Todas son curvas tipo B. las curvas
OC para los planes de muestreo doble y múltiple asociados son comparables en términos generales con la de los
planes de muestreo único correspondientes.

Hay varios puntos del MIL STAD 105E que es necesario enfatizar:

1. El MIL STD 105E está orientado al AQL.
2. Los tamaños de muestra seleccionados para usarse en la MIL STD 105E son

2,3,5,8,13,20,32,50,80,125,200,315,500,800,1250,2000. Por tanto, no todos los tamaños de muestra son
posibles.
3. En el MIL STD 105E los tamaños de muestra están relacionados con los tamaños de los lotes.

EJEMPLOS

1. La empresa Condecal Ltda., obtiene un contrato para suministrar 20 lotes de 60.000 piezas cada uno. En
el contrato se establece que el cliente realiza una inspección según MIL STD, Nivel general II con un NAC
= 2,5. Determine el tamaño de la muestra y el criterio de aceptación.

Solución.

Haciendo uso del tamaño del lote, se determina la letra código, para este caso es N.

Luego, utilizando la tabla MIL STD para nivel general II, y un NAC de 2,5%, se puede apreciar que el tamaño
de la muestra es de 500 y el número de aceptación de 21.

2. Su empresa obtiene un contrato para suministrar 5 lotes de 1.000 piezas. La fabricación de estas piezas
es relativamente sencilla, pero presenta la dificultad de tener una tolerancia bilateral muy estrecha en una de
las dimensiones. El contrato establece que el cliente realizará una inspección según MIL-S TD-105E, AQL=0.10,
simple, nivel II.

a. Hallar el tamaño de la muestra necesario para cada lote y el criterio de aceptación y rechazo.

b. Dado que su empresa no tiene experiencia en la fabricación de la pieza, su jefe le pide que calcule
la probabilidad de que su cliente acepte los 5 lotes en función de la fracción defectuosa de la fabricada,
si su empresa sirve ese pedido sin realizar una inspección 100% final.

c. Para poder cumplimentar el pedido, su empresa piensa adquirir una nueva máquina para realizar
la operación de fabricación mencionada anteriormente. Si se supone que el proceso permanece centrado
¿Cuál es el índice de capacidad de proceso Cp que debe tener la máquina a adquirir si se pretende
tener una

`probabilidad del 90% de que el cliente no rechace ningún lote?

142

d. Debido al alto precio de la máquina anterior, su empresa decide hacer un lanzamiento piloto con la
máquina antigua. Fabrica 50 unidades que se verifican todas y 2 de ellas resultan defectuosas. Se
pide estimar la
fracción defectuosa existente mediante un intervalo de confianza del 95%.

e. Para cumplimentar el contrato con la maquinaria antigua, se planifica realizar una inspección final
100% para segregar las unidades defectuosas. Alguien propone reemplazarla por un muestreo. ¿Qué opina
usted?

Solución:

Se tienen los siguientes datos:

5

= 1000

2

= 0,1

a. Por tabla se tiene:
Código “J”

= 80

= 0

NOTA: COMO EL VALOR DEL NAC Y EL NUMERO DEL TAMAÑO SE ENCUENTRAN EN UNA FLECHA, AL SEGUIR EL
VALOR DE LA FLECHA, CAMBIA TMABIÉN EL TAMAÑO DE LA MUESTRA. Para este caso N = 200 y c = 0

b. Para calcular la probabilidad de que el cliente acepte los 5 lotes se utiliza la fórmula de la distribución
Binomial:

( = 5) = 5 (Pa)5(1 − )5−5
(5)

Como no se conoce Pa, pero se cabe que la combinatoria de (5C5)=1, y además todo número elevado a la cero es
igual a 1, entonces:

( = 5) = (Pa)5

143

Como se necesita que esta probabilidad quede en función de la fracción defectuosa, entonces en necesario
aplicar la siguiente fórmula:

= 200 (P)0(1 − )200−0
(0)

Así como con lo mencionado anteriormente, la combinatoria de 5 0 = 1 y 0 = 1: entonces:

= (1 − )200 ( = 5) = ⌈(1 − )200⌉5 = (1 − )1000

c. Si se quiere tener una probabilidad de aceptación igual al 90%, entonces para obtener el porcentaje de PNC,

se reemplaza en la fórmula anterior teniendo

= 0,9 ( = 5) = 5 0,9 = (1 − )1000 = 1 − 1000√0,9

= 1,05355 10−4

Como el proceso está centrado, entonces se tiene el mismo porcentaje de PNC por cada uno de los límites, por
tanto:

= 0,000132

Entonces:

( ≤ ) → − ̅
≤

− ̅
0,000132 =

− ̅
−3,65 =

−3,65 + =

Ahora, reemplazando lo anterior en la fórmula de Cpl:

̅ − ̅ − (−3,65 + ) ̅ + 3,65 − ) 3,65
= 3 = 3 = 3 = 3 = 1,2166

d. Para calcular el intervalo de confianza, es necesario aplicar la siguiente fórmula:

= ̂ ± ∝/2√ ̂ (1 − ̂ )


En donde

2
̂ = 50 = 0,04

144

1 − ̂ = 0,96

1−∝= 0,95
∝= 0,05

∝/2 = 0,025

= 50
Reemplazando los datos en la fórmula tenemos:

= 0,04 ± 1,95√ 0,04(0,96 )
50

= 0,04 ± 1,95

−0,01 ≤ ≤ 0,094

Como una proporción no puede tomar valores negativos, entonces:

0 ≤ ≤ 0,094

5.11 MUESTREO CONTINUO
Con estos planes, existe el supuesto explícito de que el producto se forma en lotes, y la finalidad del plan de muestreo
es dictaminar los lotes individuales.

CSP-1

Este modelo de inspección se constituye dentro de los planes de muestreo por variables como un plan de muestreo
continuo. Fue desarrollado por Harold F. Dodge. Al principio del plan, todas las unidades se inspeccionan al 100%. Tan
pronto como se llega al número de liberación, es decir, tan pronto como se encuentra que i unidades consecutivas del
producto no presentan defectos, se discontinúa la inspección 100%, y sólo se inspecciona una fracción f de las
unidades. Estas unidades muestrales se seleccionan al azar, una a la vez, del flujo de la producción. Si se encuentra
que una de las unidades muestrales es defectuosa, se reanuda la inspección del 100%. Todas las unidades defectuosas
encontradas se someten a reprocesamiento o se reemplazan con unidades satisfactorias.

Un plan CSP-1 tiene un AOQL global. El valor de este parámetro depende de los valores del número de liberación i y
de la fracción muestral f. Estos valores están dados en la tabla 9 de la sección 7.

CSP-2

En el desarrollo de este plan, la inspección 100% no se restablecerá cuando la producción este bajo inspección
muestral hasta que hayan encontrado dos unidades defectuosas dentro de un espacio de K unidades muestrales entre
sí. Es una práctica común elegir K igual al número de liberación i. Estos planes están registrados por AOQL específicos
que pueden obtenerse con diferentes combinaciones de i y f.

145

CSP-3

Este plan es muy similar al CSP-2 pero está diseñado para brindar protección adicional contra la producción irregular.
Requiere que después de que se ha encontrado una unidad defectuosa, se restablece de inmediato la inspección
al 100%. Si no se encuentran unidades defectuosas, el plan continúa bajo el CSP-2.

Ejemplo

Para lotes de 90.000 unidades un comprador y su vendedor acuerdan un plan de muestreo MIL STD por atributos,
inspección normal, muestreo sencillo simple. NAC = 2,5%, LTPD = 5,3%.
La línea del fabricante es un proceso en serie y tiene una fracción no conforme igual a 9%. Para conformar sus
despachos de los lotes, el fabricante aplica un CSP al final de la línea de producción que le deja un AOQL igual a 2%.

a. Calcule la probabilidad que el plan de muestreo acepte el lote.

b. Calcule el riesgo tipo II.

Solución

Teniendo como parámetros de decisión el NAC y el tamaño del lote, se determina el tamaño de la muestra y
número de aceptación, haciendo uso de la tabla MIL STD para inspección normal. De esta manera se obtiene:

= 500 = 21

a. Probabilidad de aceptación

Como p’ se utiliza el valor del AOQL, puesto que es la proporción real de productos no conformes después de

rectificación.

21

= ( ≤ 21) = ∑ 500 (0,02) (1 − 0,02)500− = 0,99939
( )

=0

b. Riesgo Tipo II

Puesto que El riesgo tipo II se calcula a partir del LTPD, el cual debería ser el mayor porcentaje de productos no
conformes aceptados, pero se realizó una rectificación, esta proporción nunca será mayor al AOQL, por lo tanto, el
riesgo tipo II es cero (0).

5.12 NIVEL DE CALIDAD INDIFERENTE

Abreviadamente IQL (indifference quality level), es el porcentaje no conforme al que corresponde una probabilidad de
aceptación del 50%. Se usa a veces en las tablas de muestreo. El nivel de calidad indiferente es aquel que tiene una
probabilidad asociada del 0.5.

146

El nivel de calidad indiferente puede identificarse de la siguiente manera:

Para ubicar el límite de calidad indiferente, es necesario proyectar hacia la curva, con una probabilidad de aceptación
de 0.5 para conocer la fracción de disconformes lo que será el IQL Como se observa en la línea punteada el IQL
corresponde aproximadamente a un 0.16 de proporción de productos no conformes.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Un proceso de llenad para recipiente de aceite en condiciones de estado estable, tiene una media de 100 lb
y una desviación estándar de 3 libras en dicha etapa, la cual suministra los recipientes llenos a la etapa de
despacho.
La situación actual de la etapa de llenado es satisfactoria para las exigencias del despacho (100±5,8799)
libras, pero consideraría de pésima calidad si los recipientes llenos vinieses con una variación en la media
de ±3,5 libras, conservados su variabilidad. En el despacho aceptan un 5% de rechazar los lotes de buena
calidad, caso dado, que reciben de la etapa de llenado y el doble del riesgo anterior para lotes de aceptar
lotes de mala calidad y por lo tanto van a poner en aplicación un plan de muestreo por atributos con un
lector que clasifica los recipientes como conformes o no conformes.
Cada lote que se procesa de llenado en serie en la etapa de llenado consta de 100000 recipientes.
a) Diseñé el plan de muestreo correspondiente
b) Suponga que el proceso de llenado está generando en total un 15% de producto no conforme, la cantidad
de productos no conformes por uno de los límites de especificación es el doble con relación a la cantidad
de no conformes que se generan por el otro límite de especificación. ¿Cuál es la capacidad general del
proceso? ¿Cuál es la capacidad real del proceso?

2. Un fabricante de productos en serie le despacha a su cliente en lotes de 100000 unidades cada uno, quien
le ha fijado un NAC=4% y un LTPD=6%
La línea de producción tiene una fracción de no conforme igual al 7%. El cliente utiliza para la recepción Nivel
general de Inspección, Normal MIL STD 105E para su plan de muestreo. El fabricante utiliza un plan de
muestreo CSP1 con f=4% y un valor i=86 para el despacho de los lotes.
a) Calcular la probabilidad de aceptación de los lotes por parte del cliente
b) Calcular el riesgo tipo II
c) Calcular la mínima probabilidad de aceptación de lotes por parte del cliente.
d) ¿Para qué valor del LTPD, el riesgo tipo II del plan del cliente es de 0,1?

147

3. Su empresa obtiene un contrato para suministrar 10 lotes de 50.000 piezas cada uno.
La fabricación de estas piezas es relativamente sencilla, pero representar la dificultad de tener una
tolerancia bilateral muy estrecha en una de sus dimensiones. El contrato establece que el cliente recibirá
una inspección según MIL STD 105E Nivel General de Inspección, AQL 2,5 simple, nivel II.

a) Para poder cumplir con el pedido, su empresa piensa adquirir una nueva máquina para realizar la
operación de fabricación mencionada anteriormente. Si se supone que el proceso se mantiene
centrado, ¿Cuál es el índice de capacidad del proceso Cp que debe tener la maquina a adquirir si se
pretende tener una probabilidad conjunta total de 0,85 para la aceptación de 10 lotes?

b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar al menos el 50% de los lotes?

4. Su empresa obtiene un contrato para suministrar 5 lotes de 1000 pieza. La fabricación de estas piezas es
relativamente sencilla peros presenta dificultad de tener una tolerancia bilateral muy estrecha en una de
las dimensiones. El contrato establece que el cliente realizara una inspección según MIL STD 105E, AQL=0,10,
simple, nivel II.

a) Hallar el tamaño de la muestra necesario para cada lote y el criterio de aceptación.
b) Dado que su empresa no tiene experiencia en la fabricación de la pieza, su jefe le pide que calcule la

probabilidad de que su cliente acepte los 5 lotes en función de la fracción defectuosa de la fabricada,
si su empresa sirve ese pedido sin realizar una inspección 100% final.
c) Para poder cumplir con el pedido, su empresa piensa adquirir una nueva máquina para realizar la
operación de fabricación mencionada anteriormente. Si se supone que el proceso permanece centrado,
¿Cuál es el índice de capacidad del proceso Cp que debe tener la maquina a adquirir si se pretende
tener una probabilidad del 90% de que el cliente no rechace ningún lote?
d) Debido al alto precio de .la maquina anterior, su empresa decide hacer lanzamiento piloto con la
maquina antigua. Fabrica 50 unidades que se verifican todas y 2 de ella resultan defectuosas. Se pide
estimar la fracción defectos existente en un intervalo de confianza del 95%
e) Para cumplir con el contrato con la maquinaria antigua, se planifica realizar una inspección final 100%
para segregar las unidades defectuosas. Alguien propone reemplazarla por un muestreo, ¿Qué propone
Ud.?
5. Su empresa ha acordado con un cliente las condiciones de recepción de sus los envíos de lotes de 5000
piezas. El plan de muestreo por atributos acordado es el siguiente:
n=50

Ac=0

Por datos históricos Ud. sabe que la fabricación de su empresa es muy estable y tiene un 0,35% de unidades
defectuosas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se acepte un lote? b.
b) Si está prevista la entrega de 400 lotes ¿qué cantidad R de lotes espera que se rechacen? Se suponen

que no se toma ninguna acción correctora sobre el proceso después de cada retraso,
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le rechacen exactamente “R” lotes, ni uno más, ¿ni uno menos?
d) Si los lotes rechazados se re inspeccionan al 100% y se reponen las unidades defectuosas, ¿Cuál es la

calidad de salida media?

148

Tabla 1. Factores para construir cartas de control papa variables (Constantes)
149

Tabla 2. Tabla de Distribución Normal
150