การแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง

เอกสารประกอบการสอน
รายวิชาคณิตศาสตร์
ระดับชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 2

การแยกตวั ประกอบ

ของพหุนามดีกรสี อง

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย

ตาแหน่ง ครู กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
สังกัด โรงเรียนรัตนราษฎร์บารุง

สานักงานเขตพนื้ ทกี่ ารศึกษามธั ยมศกึ ษาราชบุรี

2
นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

3

1

การแยกตวั ประกอบโดยใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง

สมบตั กิ ารแจกแจง

a(b+c) = ab + ac (b+c)a = ba + ca

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวัดราชบุรี

4

ทบทวนความร้เู ดิม

1. ตวั ประกอบของจำนวนนับ (ป.6)

2. สมบตั ิกำรแจกแจง (ม.1)

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารงุ จงั หวัดราชบรุ ี

5

ตัวประกอบของจานวนนบั

ตัวประกอบ

จำนวนนับทีห่ ำรจำนวนนับทีเ่ รำกำหนดให้ได้ลงตัว เช่น a จะเป็ นตัวประกอบ
ของ b ก็ต่อเมื่อ b หำรด้วย a ลงตัว หรือกล่ำวอีกนัยหนึ่งก็คือ a หำร b
ลงตัว

ตัวอยา่ ง

30 หำรด้วย 6 ลงตัว แสดงว่ำ 6 เป็ นตัวประกอบของ 30 ในขณะที่ 30
หำรด้วย 4 ไม่ลงตวั แสดงวำ่ 4 ไม่เป็ นตวั ประกอบของ 30 เป็ นตน้

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎร์บารุง จงั หวัดราชบุรี

6

ตัวประกอบของ 18

123 45

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารงุ จงั หวดั ราชบรุ ี

7

ตัวประกอบของ 20

123 45

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารงุ จงั หวัดราชบุรี

8

ตัวประกอบร่วมของ 18 และ 20

ตัวประกอบของ 18 ไดแ้ ก่

1 2 3 6 9 18

ตวั ประกอบของ 20 ไดแ้ ก่ 5 10 20

124

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

9

สมบตั ิการแจกแจง
a(b+c) = ab + ac

ถำ้ เขยี นใหม่ จะได้

ab + ac = a(b+c)

เรียกว่ำ กำรแยกตวั ประกอบโดยวธิ ดี ึงตวั รว่ ม

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารุง จงั หวดั ราชบุรี

10

ขน้ั ตอนการแยกตัวประกอบ

โดยใชส้ มบตั ิการแจกแจง (ดึงตัวร่วม)

1 หำตวั ร่วมของเอกนำมแตล่ ะตวั ใหไ้ ด้ 2 2 + 6x

2 เมอื่ หำไดแ้ ล้ว ดงึ ตัวร่วมออกมำ (2x)

3 ตัวทดี่ ึงออกมำไม่ได้ ใหน้ ำไปรวมกนั (2x) (x + 3)
แลว้ ใส่ วงเล็บไว้

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารงุ จังหวดั ราชบุรี

11

อยา่ ลืม !!

ตรวจสอบคาตอบ

จงแยกตัวประกอบของ 2 2 + 6x

(2x)(x + 3) = 2 2 + 6x

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารงุ จงั หวัดราชบุรี

12

BADABOOM GAME

แจกแจง ดึงตัวร่วม

a(b+c) = ab + ac ba + ca = (b+c)a

2(4x+3) = (8x + 12 ) 8x + 6 = (2) (4x + 3 )
(2)(4)(x) (2)(3)

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารงุ จังหวัดราชบรุ ี

13

แบบฝึกหดั ที่ 1

1 แยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 2) 2 +

1) 5 2 − 10

3) 4 2 − 8 4) 8 + 72

5) 6 − 15 2 6) 44 2 + 11

7) 3 + 3 8) 3 2 − 9

9) 3 4 3 − 5 2 5 10) 15 3 + 18 2

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวัดราชบุรี

14

11) 49 2 − 7 2 + 35 12) 2 + 3 3 − 6 4

13) -4 2 + 12xy 2 − 20 2 3 14) 4 3 2 − 2 2 3 + 2 3

15) 25 + 15 2 − 75 3 16) 15 3 + 25 2 − 10

17) 2 − 2 3 + 2 4 18) - 2 2 − 4 3 3 − 5 4 4

19) 3 4 − 6 3 2 − 9 2 3 20) 13 2 + 26 + 39

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารุง จงั หวัดราชบรุ ี

15

2 แยกตัวประกอบของพหุนามตอ่ ไปน้ี 2) 4 − + 4 − 2

1) 2 2 − 3 + 4 2 2 − 3

3) + 4 + + 4 4) 7 − 1 − 4 − 1

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

16

5) − 1 + 2 − 1 6) 6 2 + 2 − 12 3 + 2

7) 2 + 4 − 7 + 4 8) 2 2 2 + 2 − 4 2 + 2

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎร์บารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

17

9) 5 − 10 + − 2 10) + + +

11) 3 2 − 2 − 3 + 2 2 12) 5 + 5 + +

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารุง จังหวัดราชบุรี

18

13) 2 − 2 − 6 + 6 14) 2 − 3 + 3 −

15) 3 − 3 + 2 − 2 16) 2 + 2 + 6 + 6

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวัดราชบรุ ี

19

17) − + 2 − 18) 2 2 + 3 − 2 − 3 2

19) + − − 20) 2 2 + + +

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎร์บารงุ จงั หวัดราชบุรี

20

2

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องตัวแปรเดียว

2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีอยู่ในรูป 2 + + เมอ่ื ,
เป็นจานวนเตม็ และ = 0

2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีอยู่ในรูป 2 + + เม่ือ = 1 ,
และ เป็นจานวนเตม็ และ ≠ 0

2.3 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รีสองทอี่ ยูใ่ นรปู 2 + + เมอ่ื , และ
เป็นจานวนเตม็ โดยที่ ≠ 0 , ≠ 1 และ ≠ 0

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

21

ยกตวั อยา่ ง

2.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่อยู่ในรูป 2 + + เมือ่ ,
เปน็ จานวนเตม็ และ = 0

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารุง จังหวดั ราชบรุ ี

22

ยกตัวอยา่ ง

2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีอยู่ในรูป 2 + + เม่อื = 1 ,
และ เปน็ จานวนเตม็ และ ≠ 0

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวดั ราชบุรี

23

ยกตัวอยา่ ง

2.3 การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทีอ่ ยใู่ นรปู 2 + + เม่อื , และ
เปน็ จานวนเต็ม โดยที่ ≠ 0 , ≠ 1 และ ≠ 0

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จงั หวัดราชบุรี

24

แบบฝกึ หดั ที่ 2

1 หาจานวนเต็มสองจานวนท่มี ีผลบวกและผลคณู เท่ากบั จานวนท่กี าหนดใหต้ ามลาดบั

ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี

ผลบวก ผลคูณ

1) 19 84

2) -10 -24

3) -5 -104

4) 4 -32

5) 2 -143

6) 7 12

7) 12 11

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบุรี

25

ผลบวก ผลคณู

8) -5 -24

9) -23 126

10) -1 -12

11) -6 8

12) 3 -10

13) 21 90

14) 1 -12

15) -7 10

16) -11 -60

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จงั หวัดราชบุรี

26

ผลบวก ผลคณู
17) -7 -120

18) 9 20

19) -10 24

20) -16 63

21) -8 -128

22) -9 20

23) -15 44

24) 5 -14

25) -24 108

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

27

ผลบวก ผลคูณ
26) -5 -24

27) -2 -24

28) -3 -28

29) -2 -399

30) 5 -24

31) 10 9

32) 12 35

33) -11 -312

34) -1 -6

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารงุ จงั หวัดราชบรุ ี

28

ผลบวก ผลคณู
35) -12 20

36) -2 -35

37) -7 12

38) 2 -80

39) -13 40

40) -2 -120

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวัดราชบุรี

29

2 แยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี 2) 2 2 − 8

1) 2 + 4

3) 2 − 6 4) 4 2 − 20

5) 15 2 + 20 6) 27 2 − 18

7) 2 + 15 + 56 8) 2 − 11 + 30

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารงุ จงั หวัดราชบุรี

30

9) 2 + 7 − 18 10) 2 − 18 + 81
12) 2 − − 72
11) 2 − 10 + 24 14) 2 + 13 + 12
13) 2 + 11 + 18 16) 2 − 20 − 21
15) 2 − 14 + 24

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารงุ จงั หวดั ราชบุรี

31

17) 2 + 12 + 11 18) 2 + − 6
19) 2 − 8 − 20 20) 2 + 9 + 18
21) 2 − 5 − 24 22) 2 + − 90
23) 2 − 23 + 132 24) 2 + 7 − 330

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารงุ จงั หวดั ราชบุรี

32

25) 2 − 24 + 143 26) 2 + 4 − 221

27) 81 + 18x + 2 28) 2 + 10 + 25
29) 2 − 9 + 20 30) 2 − 2 + 1
31) 6 − 5 − 2 32) − 2 + 4 + 5

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวดั ราชบุรี

33

33) 2 + 32 + 207 34) 2 + 38 + 336
35) 2 − 13 − 48 36) 2 − 7 − 120
37) 2 + 16 + 55 38) 2 − 19 + 84
39) 2 + 11 + 24 40) 2 − 10 + 16

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบรุ ี

34

แยกตวั ประกอบพหนุ ามต่อไปนี้ แบบฝึกหดั ท่ี 3

1) 2 2 + 5 + 2 2) 2 2 + − 6

3) 3 2 − 13 + 12 4) 6 2 + 5 − 25

5) 3 2 − − 10 6) 8 2 + 2 − 15

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรัตนราษฎร์บารุง จงั หวัดราชบุรี

35

7) 4 2 + 19 − 30 8) 7 2 + 39 − 18
9) 5 2 + 23 + 12 10) 9 2 + 9 − 40
12) 10 2 + 29 − 21
11) 6 2 + 19 + 15

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารงุ จังหวัดราชบุรี

36

13) 2 2 − 5 − 3 14) -5 2 + 7 + 6
15) 2 2 − 7 − 15 16) -6 2 + 13 + 8
17) 3 2 − 17 − 6 18) -18 2 − 9 + 2

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบรุ ี

37

19) 6 2 − − 40 20) 16 2 + 66 − 27
21) 7 2 − 5 − 2 22) 28 2 + 31 − 5
23) 8 2 − 6 − 9 24) 12 2 − 29 + 14

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารงุ จงั หวดั ราชบุรี

38

25) 18 2 − 9 − 20 26) 15 2 + 13 + 2
27) 14 2 − 31 + 15 28) 12 2 + 11 − 15
29) 28 2 − 31 − 5 30) 10 2 − 33 + 9

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารงุ จงั หวัดราชบุรี

39

31) 7 2 − 78 + 11 32) 6 2 − − 40
33) -12 2 − 5 + 3 34) 8 2 + 30 + 25
35) 24 2 − 43 + 18 36) 9 2 + 18 + 8

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

40

37) 15 2 − 11 + 2 38) 10 2 + 29 + 10

39) 6 2 + 17 + 12 40) 7 2 − 37 + 10

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

41

3

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องท่อี ยู่ในรูป

กาลังสองสมบรู ณ์

น + ล 2 = น2 + 2นล + ล2
น − ล 2 = น2 − 2นล + ล2

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารุง จงั หวัดราชบรุ ี

42

แบบฝึกหดั ท่ี 4

1 แยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปนี้ 2) 2 + 12 + 36

1) 2 − 12 + 36

3) 2 − 16 + 64 4) 2 + 36 + 324

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารุง จังหวัดราชบรุ ี

43

5) 2 − 34 + 289 6) 2 + 52 + 676

7) 2 − 46 + 529 8) 2 + 30 + 225

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารงุ จงั หวดั ราชบรุ ี

44

9) 2 − 14 + 49 10) 2 + 18 + 81

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารุง จังหวดั ราชบุรี

45

2 แยกตวั ประกอบของพหุนามต่อไปน้ี 2) 4 2 + 20 + 25

1) 16 2 − 56 + 49

3) 49 2 − 42 + 9 4) 9 2 + 12 + 4

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารงุ จงั หวัดราชบุรี

46

5) 4 2 − 36 + 81 6) 9 2 + 30 + 25

7) 25 2 − 80 + 64 8) 9 2 + 24 + 16

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จงั หวัดราชบุรี

47

9) 81 2 − 180 + 100 10) 36 2 + 60 + 25

11) 64 2 − 48 + 9 12) 25 2 + 30 + 9

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบรุ ี

48

13) 9 2 − 12 + 4 14) 49 2 + 154 + 121

15) 81 2 − 90 + 25 16) 121 2 + 220 + 100

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรัตนราษฎร์บารุง จงั หวดั ราชบุรี

49

17) 49 2 − 70 + 25 18) 225 2 + 360 + 144

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบรุ ี

50

3 แยกตัวประกอบของพหนุ ามต่อไปน้ี

1) 2 − 1 2 − 20 2 − 1 + 100

2) + 5 2 + 16 + 5 + 64

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารงุ จงั หวัดราชบรุ ี