ความเท่ากันทุกประการ

เอกสารประกอบการสอน
รายวชิ าคณิตศาสตร์
ระดับชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 2

ความเทา่ กนั ทุกประการ

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย

ตาแหน่ง ครู กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์
สงั กดั โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารงุ

สานักงานเขตพนื้ ท่กี ารศึกษามัธยมศกึ ษาราชบรุ ี

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

แบบฝกึ หดั ที่ 1

1 ใช้กระดาษลอกลายรูป แล้วนาไปซอ้ นกัน แลว้ บอกว่ารปู คใู่ ดเทา่ กนั ทกุ ประการ

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

2 ใช้กระดาษลอกลายเขยี นรูปใหเ้ ทา่ กนั ทุกประการกบั รปู ทกี่ าหนด

1) 2) 3)

รูปท่ีลอกลาย

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารงุ จังหวัดราชบรุ ี

4) 5) 6)

รปู ทีล่ อกลาย

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารุง จังหวดั ราชบรุ ี

3 จากรูปทก่ี าหนด ตอบคาถามตอ่ ไปนี้

1) 1 มีจดุ ยอดมมุ อยทู่ ่ใี ด 2) แขนของ 1 ประกอบดว้ ยรงั สใี ดบ้าง
3) 1 เรยี กเปน็ ตวั อกั ษรว่ามุมใด 4) 2 เรียกเปน็ ตัวอกั ษรว่ามมุ ใด
5) 3 เรียกเปน็ ตวั อกั ษรว่ามมุ ใด

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารงุ จังหวัดราชบุรี

3 จากรูปทีก่ าหนด ตอบคาถามตอ่ ไปน้ี

6) 2 มขี นาดเล็กกว่า 3 หรือไม่ 7) 3 มขี นาดใหญก่ วา่ 2 หรอื ไม่

8) 2 และ 3 มจี ุดยอดมมุ รว่ มกันคือจดุ ใด 9) แขนรว่ มของ 2 และ 3 คอื รังสีใด

10) ผลต่างของ 2 และ 3 คอื มุมใด

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารงุ จงั หวัดราชบรุ ี

4 ถา้ ตดั กับ ที่จุด O ดังรูป จงตอบคาถามตอ่ ไปน้ี

1) + เท่ากับกอี่ งศา

2) B + เท่ากับก่อี งศา

3) มุมใดบา้ งทมี่ ีขนาดเทา่ กนั

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารงุ จงั หวดั ราชบุรี

แบบฝกึ หดั ที่ 2

1 กาหนด AB , CD และ EF ตดั กันท่จี ุด O ดงั รปู เขียนมมุ ทีม่ ีขนาดเท่ากบั มมุ ท่กี าหนด

1) AOE
2) EOD
3) AOC
4) AOF
5) FOD

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารุง จังหวดั ราชบุรี

2 กาหนด ∆ RPO ≅ ∆ UST เขยี นดา้ นคูท่ ่ีสมนยั กันและมมุ คู่ท่สี มนัยกนั

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารงุ จงั หวดั ราชบุรี

3 กาหนดรูปสามเหล่ียมสองรูปเท่ากันทุกประการ เขียนชื่อรูปสามเหล่ียมที่เท่ากัน

ทุกประการโดยใช้สัญลักษณ์ พร้อมเขียนแสดงมุมคู่ท่ีสมนัยและด้านคู่ท่ีสมนัยกัน
มขี นาดเทา่ กัน
1)

2)

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารุง จังหวดั ราชบุรี

3)

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบุรี

4)
5)

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารงุ จงั หวัดราชบรุ ี

แบบฝกึ หดั ท่ี 3

1 จากรูปสามเหล่ียมสองรูปท่ีกาหนดในแต่ละข้อต่อไปน้ี มีข้อใดท่ีรูปสามเหล่ียมสองรูป

เท่ากันทุกประการแบบ ด้าน-มุม-ด้าน พร้อมเขียนสัญลักษณ์แสดงด้านคู่ที่สมนัยกัน
ยาวเทา่ กนั 2 คู่ และมมุ คู่ทส่ี มนยั กันมีขนาดเทา่ กัน 1 คู่
1)

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

2)

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบุรี

3)

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบุรี

4)

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบุรี

5)

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบุรี

2 จากรูปทกี่ าหนด พิสจู น์ว่า

∆ ABC ≅ ∆ DEF

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

3 กาหนด DO = BO และ CO = AO

พสิ ูจน์ ∆ DOC ≅ ∆ BOA

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารุง จังหวดั ราชบรุ ี

4 กาหนด CB = DB , CBA = DBA

พสิ จู น์ ∆ CBA ≅ ∆ DBA

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารงุ จงั หวดั ราชบรุ ี

5 กาหนด ABCD เป็นรปู สีเ่ หล่ียมผืนผ้า AC เป็นเส้นทแยงมมุ

พิสจู นว์ ่า ∆ ADC ≅ ∆ CBA

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารงุ จังหวัดราชบุรี

6 กาหนด ABCD เป็นรปู สี่เหลยี่ มด้านขนาน มี AD = BC และ CAD = BCA

พสิ จู น์ว่า ∆ CAD ≅ ∆ BCA

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบรุ ี

7 กาหนด BD = BE และ AB = CB

พสิ จู น์ว่า AD = CE

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวดั ราชบรุ ี

8 กาหนด MNPR เปน็ รปู สีเ่ หลี่ยมผืนผ้า

และ O เปน็ จดุ กงึ่ กลางของ PR
พสิ จู น์วา่ ∆ MRO ≅ ∆ NPO

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

9 กาหนด WXYZ เปน็ รูปสี่เหล่ียมท่มี ี XW = ZY และ XWY = ZYW

พสิ ูจนว์ า่ ∆ WXY ≅ ∆ YZW

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารงุ จังหวดั ราชบุรี

10 กาหนด NO = WP , MO = MP และ MOP = MPO

พิสูจน์วา่ MN = MW

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวัดราชบรุ ี

แบบฝึกหดั ที่ 4

1 จากรปู ที่กาหนด พสิ ูจน์วา่ ∆ BDA ≅ ∆ BDC

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรัตนราษฎร์บารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

2 กาหนดรูปสามเหล่ียม OMN และรูปสามเหลี่ยม ORW

มี NMO = WRO , MO = RO และ ON = OW
พิสจู น์ ∆ MON ≅ ∆ RON

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรัตนราษฎร์บารงุ จังหวัดราชบรุ ี

3 กาหนด BAD = ABC และ ABD = BAC

พสิ ูจน์ ∆ ABD ≅ ∆ BAC

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารุง จังหวดั ราชบุรี

4 จากรูปทกี่ าหนด พิสจู นว์ ่า ∆ ABC ≅ ∆ BAD

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารุง จังหวดั ราชบรุ ี

5 กาหนด AD = BC , ADB = BCA และ BAD = ABC

พสิ จู น์ว่า ∆ BAD ≅ ∆ ABC

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

6 กาหนด KLMN เปน็ รปู ส่เี หลี่ยมดา้ นขนาน จุด P และจุด W เปน็ จดุ กง่ึ กลางดา้ น ML

และด้าน NK ตามลาดบั NL และ WP ตัดกันท่จี ุด O พสิ ูจนว์ า่ WO = PO

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎร์บารุง จังหวดั ราชบุรี

7 กาหนด ∆ WTX เปน็ รูปสามเหล่ยี มหน้าจวั่ และ XWZ = WXY พิสูจนว์ า่

1) ∆ WTZ ≅ ∆ XTY
2) WZ = XY

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารุง จงั หวดั ราชบุรี

8 กาหนด ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตรุ ัส มี ABX = CBY พสิ จู น์วา่ BX = BY

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารงุ จังหวัดราชบุรี

9 กาหนด NMP = LMP , NKP = LKP พิสูจน์วา่  KLMN เปน็ รูปส่เี หล่ยี มรูปวา่ ว

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

แบบฝึกหดั ท่ี 5

1 จากรูปสามเหล่ยี มท่กี าหนด

พสิ ูจนว์ ่า
1) ∆ ABC ≅ ∆ FED
2) ∆ POX ≅ ∆ PRX

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จงั หวัดราชบรุ ี

2 จากรูปทีก่ าหนด พสิ ูจน์ว่า CAD = CBD

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารุง จังหวดั ราชบรุ ี

3 กาหนด C และ D เป็นจุดบน AB โดยที่ AC = BD

ถ้า BE = AF และ EC = FD
พสิ จู นว์ ่า ∆ BCE ≅ ∆ ADF

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรตั นราษฎรบ์ ารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

4 กาหนด MNOP เป็นรปู สีเ่ หลย่ี มรปู วา่ ว พิสจู นว์ ่า ∆ NMP ≅ ∆ NOP

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบุรี

5 กาหนด ∆ ABC และ ∆ ABD เปน็ รูปสามเหล่ียมหน้าจ่วั โดยมี ACB และ ADB

เป็นมุมยอด ตามลาดบั พสิ จู น์ว่า ∆ ACD ≅ ∆ BCD และ CAD = CBD

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

6 กาหนด  NOWR เปน็ รูปสี่เหล่ยี มผืนผา้ ต่อ ON ออกไปทงั้ ขา้ งถงึ จดุ M และ P

ทาให้ NM = OP พสิ ูจนว์ ่า ∆ MRO ≅ ∆ PWN

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารุง จังหวัดราชบรุ ี

7 กาหนด ∆ KLN , ∆ LKM และ ∆ KOL เปน็ รปู สามเหลยี่ มหน้าจ่วั โดยมี KLN , LKM

และ KOL เป็นมมุ ยอด ตามลาดบั ถา้ NO = MO พิสจู น์วา่ ∆ KON ≅ ∆ LOM

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารุง จงั หวัดราชบรุ ี

8 กาหนด ∆ XYZ เปน็ รปู สามเหลยี่ มหนา้ จ่ัว มี XZY เปน็ มมุ ยอด ลาก ZP แบง่ ครงึ่ มุม XYZ

พบ XY ทจ่ี ดุ P ถา้ จดุ R และจุด W เปน็ จุดก่งึ กลางดา้ น XZ และดา้ น YZตามลาดบั
พิสูจน์ว่า ∆ XPR ≅ ∆ YPW

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎร์บารุง จงั หวดั ราชบรุ ี

9 จากรูปที่กาหนด ตรวจสอบว่ารปู สามเหลย่ี มสองรูปเทา่ กนั ทกุ ประการหรือไม่

ถา้ เทา่ กันทกุ ประการ ให้บอกว่าเป็นความสัมพันธ์แบบใด
1) 2)

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

9 จากรปู ท่ีกาหนด ตรวจสอบวา่ รปู สามเหลย่ี มสองรูปเทา่ กนั ทกุ ประการหรือไม่

ถา้ เทา่ กนั ทกุ ประการ ใหบ้ อกว่าเปน็ ความสัมพันธ์แบบใด
3) 4)

นายชาญณรงค์ เพช็ รไทย โรงเรยี นรัตนราษฎรบ์ ารงุ จังหวดั ราชบรุ ี

10 จากรปู มีรูปสามเหล่ียมเทา่ กันทุกประการอยู่สามคู่ หาวา่ เปน็ รปู สามเหลี่ยมค่ใู ดบา้ ง

พรอ้ มทง้ั บอกความสมั พันธ์ของความเท่ากนั ทกุ ประการแตล่ ะคู่

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรัตนราษฎรบ์ ารุง จงั หวัดราชบรุ ี

แบบฝกึ หดั ทา้ ยหนว่ ย เรื่อง “ความเท่ากนั ทกุ ประการ”

1 กาหนดให้รปู สามเหลย่ี มสองรูปเท่ากนั ทกุ ประการ เขียนดา้ นคทู่ ี่สมนยั และมุมคทู่ ส่ี มนยั กนั

1)

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎรบ์ ารุง จังหวดั ราชบรุ ี

1 กาหนดให้รปู สามเหลย่ี มสองรูปเท่ากันทกุ ประการ เขียนด้านคทู่ ่ีสมนัยและมุมคู่ทส่ี มนัยกนั

2) 3)

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารุง จงั หวัดราชบรุ ี

1 กาหนดให้รปู สามเหลย่ี มสองรูปเท่ากันทกุ ประการ เขียนด้านคทู่ ่ีสมนัยและมุมคู่ทส่ี มนัยกนั

4) 5)

นายชาญณรงค์ เพ็ชรไทย โรงเรียนรตั นราษฎร์บารุง จงั หวัดราชบรุ ี