เอกสารประกอบการสอนเรื่องเซต

เอกสารประกอบการเรียน
วชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 4

เรื่อง เซต

ชอื่ .................................... นามสกลุ .......…………………………
ชน้ั .................................... เลขท.่ี .........................................

จดั ทาโดย

นางสาวศศธิ ร สิงหธรรม นายเมธี ชราศรี

นายธานี เวยี งวรี ะเกยี รติ นางสาววัชรีภรณ์ เขตสกลุ

กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

โรงเรียนปากเกร็ด จงั หวดั นนทบรุ ี

สานักงานเขตพืน้ ท่ีการศกึ ษามัธยมศกึ ษานนทบุรี

เรื่อง เซต หนา้ 1

เซต (Set)
เซต เปน็ คาในทางคณติ ศาสตร์ที่ไมน่ ยิ ามความหมายแตใ่ ช้บ่งบอกถึงกลุ่มของส่ิงตา่ งๆ

ชอ่ื เซต เขียนแทนดว้ ยอกั ษรภาษาอังกฤษตัวพมิ พ์ใหญ่ เช่น A , B ,C เรียกสิ่งทีอ่ ยู่ในเซตว่าสมาชิก

สญั ลักษณแ์ ทนคาวา่ สมาชิก คอื

a เป็นสมาชกิ ของ A เขียนแทนด้วย a A

b ไมเ่ ปน็ สมาชิกของ A เขียนแทนดว้ ย b A

สัญลักษณแ์ ทนเซตท่ีควรทราบ
R แทนเซตของจานวนจรงิ
R+ แทนเซตของจานวนจรงิ บวก
R- แทนเซตของจานวนจริงลบ
Ι แทนเซตของจานวนเต็ม

แทนเซตของจานวนเต็มบวก

แทนเซตของจานวนเต็มลบ
Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ
Q+ แทนเซตของจานวนตรรกยะบวก
Q- แทนเซตของจานวนตรรกยะลบ

Q แทนเซตของจานวนอตรรกยะ
N แทนเซตของจานวนนบั

การเขียนสญั ลกั ษณ์เขยี นได้ 2 แบบ
1. แบบแจกแจงสมาชิก (Tubular form) เป็นการเขียนเซตโดยการเขียนสมาชกิ ทกุ ตวั ลงใน
เครื่องหมายวงเลบ็ ปีกกาและใช้เคร่อื งหมาย(,)คน่ั ระหว่างสมาชกิ แต่ละตวั
เช่น A = { 1 , 2 , 3 }
B={a,b,c}
C={ก,ข,ค}
โดยทัว่ ไปนยิ มเขยี นสมาชิกแต่ละตวั เพียงคร้ังเดียวเท่านน้ั
เชน่ A = {1 , 2 , 2 , 1 , 1 } คือ { 1 , 2 }

2. แบบบอกเงื่อนไข (Set builder form) เขียนตวั แปรแทนสมาชิกทกุ ตวั ของเซตและหลงั ตวั แปร
มเี ครือ่ งหมาย “ | ”

เชน่ A = { x | x เป็นจานวนเต็มบวกท่ีน้อยกว่า 5 }
อ่านว่า “ A คอื เซตของ x โดยท่ี x เป็นจานวนเต็มบวกท่นี ้อยกว่า 5 ”
เม่ือแจกแจงสมาชิกจะได้ว่า A = { 1 , 2 , 3 , 4 }

เช่น B = { x | x เปน็ ชือ่ วนั ในหนงึ่ สัปดาห์ }
อ่านว่า “ B คอื เซตของ x โดยที่ x เป็นช่อื วันในหนงึ่ สัปดาห์
เมอ่ื แจกแจงสมาชิกจะได้วา่ B = { จันทร์ , อังคาร , พธุ , พฤหสั บดี , ศกุ ร์ , เสาร์ , อาทติ ย์ }

เชน่ C = {y | y เปน็ ตวั อักษรในภาษาอังกฤษ}
อา่ นว่า “ C คือเซตของ y โดยท่ี y เป็นตวั อกั ษรในภาษาอังกฤษ
เมื่อแจกแจงสมาชิกจะได้ว่า C = { a , b , c , ... , z }

เร่อื ง เซต หนา้ 2

แบบฝกึ หัดเรือ่ ง เซต
1. จงเขียนเซตในแต่ละข้อแบบแจกแจงสมาชิก
1.1) เซตของเดือนทีล่ งท้ายด้วย “ยน”
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
1.2) เซตของสระในภาษาอังกฤษ
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
1.3) เซตของสีรุง้
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
1.4) เซตของจานวนเต็มบวก
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
1.5) เซตของจานวนเตม็
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
1.6) เซตของจานวนเต็มทยี่ กกาลังสองแล้วได้ 16
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
1.7) เซตของจานวนเต็มบวกสองหลกั ทีม่ ีหลักสบิ เป็น 6
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
1.8) เซตของวันท่ใี นเดือนมกราคมทเ่ี ป็นจานวนเฉพาะและมากกว่า 20
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
1.9) เซตของจานวนเตม็ บวกทห่ี ารดว้ ย 2 และ 5 ลงตัว
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
1.10) เซตของจานวนเตม็ คู่ระหวา่ ง –4 กบั 4
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

เรอื่ ง เซต หนา้ 3

2.) จงเขยี นเครอ่ื งหมาย หนา้ ข้อที่ถูกและเขียนเครื่องหมาย หนา้ ข้อทผ่ี ิด
................. 1.) เซตของตวั เลขโดดมีสมาชิก 10 ตวั
................. 2.) 0 เป็นสมาชกิ ของเซตของจานวนเต็มบวก
................. 3.) พัทลุงเป็นสมาชิกของเซตของจังหวดั ในภาคตะวันออกของประเทศไทย
................. 4.) เซตของวันในหนง่ึ สปั ดาห์มีสมาชิก 7 ตวั
................. 5.) มกราคมเป็นสมาชิกของเซตของเดือนที่มี 30 วัน
................. 6.) เซตของจานวนเต็มท่ีอยรู่ ะหว่าง 1 กบั 2 เป็นเซตทไ่ี ม่มีสมาชิก
................. 7.) เซตของจานวนเตม็ มสี มาชิก 10 ตวั
................. 8.) เซตของสขี องรุ้งกินน้ามีสมาชิก 5 ตวั
................. 9.) ประเทศไทยเปน็ สมาชกิ ของเซตของประเทศในทวีปยโุ รป
................. 10.) นายชวน หลีกภยั เปน็ สมาชกิ ของเซตของนายกรฐั มนตรีของประเทศไทย

3.) จงเขยี นเซตต่อไปนแี้ บบบอกเงื่อนไขของสมาชิก
1.) { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

2.) { 10 , 20 , 30 , … }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

3.) { มกราคม , กมุ ภาพันธ์ , มีนาคม , ... , ธนั วาคม }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

4.) { a , e , i , o , u }
………………………………………-……………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

5.) { 1 , 3 , 5 , 7 , … , 99 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

6.) { น้าเงิน , ขาว , แดง }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

7.) { 3 , 6 , 9 , … }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

เร่อื ง เซต หนา้ 4

8.) { ก , จ , ด , ต , ฎ , ฏ , บ , ป , อ }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

9.) { ก , ข , ฃ , ... , ฮ }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

10.) { กุมภาพนั ธ์ }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

11.) { 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , … }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

12.) { –7 , 7 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

13.) { –5 , –4 , –3 , ... , 18 , 19 , 20 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

14.) { –1 , –2 , –3 , ... , –20 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

15.) { … , –6 , –5 , –4 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

4.) จงเขียนเครื่องหมาย หน้าข้อท่ีถูกและเขยี นเครื่องหมาย หนา้ ขอ้ ที่ผดิ
........ 1. ถ้า A เปน็ เซตของตัวอักษร 3 ตวั แรกในภาษาอังกฤษ แลว้ ดงั นนั้ จะไดว้ ่า a A
........ 2. ถ้า B เปน็ เซตของตัวอักษร 3 ตวั สดุ ทา้ ยในภาษาองั กฤษ แล้ว ดังนั้นจะไดว้ ่า x B
........ 3. ถา้ C เป็นเซตของจานวนเต็ม แลว้ ดังน้ันจะไดว้ า่ 0 C
........ 4. ถ้า D เป็นเซตของจานวนคี่ แลว้ ดงั นัน้ จะไดว้ ่า 7 D
........ 5. ถ้า E เป็นเซตของจานวนคู่ แล้ว ดงั นน้ั จะไดว้ ่า –4 E
........ 6. ถา้ F เปน็ เซตของสระในภาษาอังกฤษ แลว้ ดงั นั้นจะได้ว่า a F
........ 7. ถ้า G เป็นเซตของจานวนค่ี แลว้ ดังนน้ั จะไดว้ า่ 5 G
........ 8. ถ้า H เป็นเซตของสีของธงชาติไทย แล้ว ดงั นัน้ จะไดว้ า่ สีแดง H

เรื่อง เซต หนา้ 5

........ 9. ถา้ Ι เปน็ เซตของจานวนตรรกยะแล้ว ดังนั้นจะไดว้ ่า √ Ι
........ 10. ถา้ J เปน็ เซตของประเทศในทวีปเอเซยี แล้ว ดังนนั้ จะได้วา่ ประเทศอังกฤษ J
........ 11. ถา้ K เปน็ เซตของผลไม้ไทย แลว้ ดงั นัน้ จะไดว้ ่า มะมว่ ง K
........ 12. ถา้ L เปน็ เซตของจังหวัดที่เคยเปน็ เมืองหลวงของประเทศไทย แล้ว ดงั นั้นจะไดว้ ่า
ฉะเชิงเทรา L
........ 13. ถา้ M เป็นเซตของสระในคาว่า “ BOY ” แลว้ ดังน้นั จะได้ว่า B M
........ 14. ถ้า N เปน็ เซตของสตั วป์ กี แล้ว ดงั นนั้ จะได้ว่า ปลา N
........ 15. ถา้ O เปน็ เซตของสัตว์ป่า แล้ว ดังนนั้ จะไดว้ ่า แมว O

5.) ให้นาตวั อักษรในตารางด้านขวามอื มาใสใ่ นช่องวา่ งหน้าข้อท่ีเป็นเซตเดยี วกันกบั ทางซา้ ยมอื

.......... 1. { x | x เป็นจานวนคบู่ วกสจี่ านวนแรก } A = { 0 , 1 , 2 , 3 }

.......... 2. { a , b , c , … , z } B = { x x เป็นจานวนคูบ่ วก }
.......... 3. { 1 , 3 , 5 , 7 }
C = { x x เป็นจานวนเฉพาะทนี่ ้อยกว่า 10 }
.......... 4. { x | x N และ x = x2 } D = { –2 , –3 }
.......... 5. { 5 , 6 , 7 , 8 } E = {2,3}

.......... 6. { x |x I และ 0 x 3 } F = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }

.......... 7. { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , … } G = { 3 , 6 , 9 , … , 15 }

.......... 8. { x |x N และ x เป็น H = { x x Ι และ 0 x 17 และ

จานวนคู่ทนี่ อ้ ยกวา่ 12 } หารดว้ ย 4 ลงตวั }

.......... 9. { 2 , 3 , 5 , 7 } และ x2 = 1} I = { x x เปน็ จานวนคบี่ วกทน่ี อ้ ยกว่า 9 }

.......... 10. { x | x J = { x x เป็นตัวอกั ษรในภาษาองั กฤษ }
K = {2,4,6,8}
.......... 11. { 6 , 7 , 8 , … 50 } M = {1}
.......... 12. { x Ι | x2– 5x + 6 = 0 }

.......... 13. { x |x Ι และ x = 3k N = { x x Ι และ 4 < x < 9 }

และ 1 k 5 } O = { x x Ι และ 6 x 50 }

.......... 14. { 4 , 8 , 12 , 16 } P = { –1 , 1 }

.......... 15. { x x และ –3 x –2 }

เร่อื ง เซต หนา้ 6

เซตจากดั (Finite Set) และ เซตอนันต์ (Infinite Set)

1. เซตจากัด (Finite Set) คอื เซตที่มจี านวนสมาชิกเท่ากับจานวนเต็มบวกหรือศนู ย์
เช่น A = {1,2,3}

2. เซตอนนั ต์ (Infinite Set) คอื เซตท่ีไม่สามารถนบั จานวนสมาชกิ ได้
เชน่ B = {1,2,3, …}

3. เซตว่าง (Empty Set) คอื เซตทีไ่ ม่มีสมาชิก หรอื เซตที่มีจานวนสมาชกิ เทา่ กับ 0
ใช้สัญลกั ษณ์ ∅ (phi) หรอื { }

ตวั อยา่ ง จงบอกจานวนสมาชกิ ของเซตต่อไปน้ี

1.) B = {9 , 10 , 356} ตอบ มี 3 จานวน

2.) B = { 1234 } ตอบ มี 1 จานวน

3.) C = {a , b , c , de , f , gh , ijk} ตอบ มี 7 จานวน

4.) D = { a , 1 , 23 , {4} , {5,6} } ตอบ มี 5 จานวน

ตวั อยา่ ง จงบอกวา่ เซตใดเปน็ เซตว่าง ตอบ เซตว่าง
1.) {x | x เปน็ จานวนเต็มบวกที่อยูร่ ะหว่าง 3 และ 4 } ตอบ เซตว่าง
2.) {x | x เปน็ จานวนเต็มทมี่ ากกวา่ 1 และนอ้ ยกวา่ 2 } ตอบ เซตจากดั
3.) {x | x เปน็ จานวนเฉพาะท่ีมากกว่า 3 และนอ้ ยกว่า 10 } ตอบ เซตจากัด
4.) { 0 }
5.) {∅} ตอบ เซตจากัด
6.) { } ตอบ เซตวาง
7.) {x | x เป็นจานวนนับ } ตอบ เซตอนันต์
8.) {x | x เป็นจานวนเตม็ คู่ } ตอบ เซตอนันต์

แบบฝึกหดั เร่อื ง เซตจากัด (Finite Set) , เซตอนันต์ (Infinite Set) และ เซตวา่ ง (Empty Set)
1.) พิจารณาว่าเซตในแตล่ ะข้อมีสมาชิกก่ีจานวน อะไรบ้าง
1.1) A = {1, 2, 1, 4, 1, 8}
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.2) B = {x | x = , n เปน็ จานวนนับหา้ จานวนแรก}
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.3) C = {x | x = 2n + 1, n เปน็ จานวนนับต้ังแต่ 5 ถงึ 9}
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

เรื่อง เซต หน้า 7

1.4) A = { 0,1,2,3,1,0 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.5) B = {12 , {3} , 4}
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.6) C = {1,{2,3,4}}
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.7) D = { { 1,2,3, …} }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.8) E = { x|x เปน็ จานวนเต็มบวกทน่ี อ้ ยกวา่ 10 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.9) F = { x|x และ 6x2+7x–3 = 0 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.10) G = { x|x และ x2–9x+14 = 0 }
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

2.) จงพิจารณาว่าเซตใดเปน็ เซตวา่ ง
2.1) A = { x | x เปน็ จานวนเต็มท่ี x2 < 1 }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

2.2) B = { x | + 2 = }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

2.3) C = { x | + 1 = }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

เรอื่ ง เซต หนา้ 8

2.4) D = { x | x เปน็ จานวนนบั ที่ x2 < 1}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

2.5) E = { x | x เป็นจานวนจรงิ ท่ี x2 < 1}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

2.6) F = { x | x2 = x}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

2.7) G = { x | (x – 1)2 + 2 = 0}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

3.) จงพิจารณาเซตในแตล่ ะข้อต่อไปน้วี า่ เป็นเซตอนนั ต์ หรือเซตจากดั

(1) { 1,2,3, … ,10} …………………………….

(2) { a, {a},{{a}} ,{{{a}}} , … } …………………………….

(3) { x | x เป็นจานวนเต็ม } …………………………….
.
…………………………….
(4) เซตของวงกลม- ที่มจี ดุ ศนู ย์กลางร่วมกัน

(5) เซตของจานวนเต็มทอ่ี ยรู่ ะหว่าง 1 กบั 2 …………………………….

(6) เซตของจานวนเตม็ ทห่ี ารดว้ ย 2 ลงตวั …………………………….

(7) { x | x Ι และ x < 5 } …………………………….

4.) จงพจิ ารณาแต่ละข้อต่อไปน้เี ป็นเซตว่างหรือไมเ่ ปน็ เซตว่าง …………………………….
(1) { }
(2) {∅} …………………………….
(3) เซตของชื่อเดอื นใน 1 ปี ทมี่ ี 31 วนั …………………………….
.……………………………
(4) { x | x ≠ x } …………………………….
(5) { x | x N และ 3 < x < 4 } …………………………….

(6) { x | 2 < x < 3 }

เรือ่ ง เซต หนา้ 9

เซตทเ่ี ท่ากัน (Equal Sets) คอื เซตต้ังแตส่ องเซตข้ึนไปทมี่ ีสมาชกิ เหมือนกันทุกตวั
เช่น A = {1,2,3,4} B = {4,2,1,3}
เขยี นแทนด้วย A = B

หมายเหตุ : ถา้ เซต A ไมเ่ ท่ากับเซต B เขียนแทนดว้ ย A ≠ B

เซตทเี่ ทียบเทา่ กัน (Equivalent Sets) คอื เซตท่ีมีจานวนสมาชกิ เท่ากนั
เชน่ A = {1,2,3} , B = {1,2,5}
เขียนแทนด้วย A ↔ B

แบบฝกึ หดั เรื่อง เซตที่เทา่ กัน (Equal Sets) และ เซตท่ีเทียบเท่ากนั (Equivalent Sets)

1.) จงพิจารณาเซตในแตล่ ะข้อต่อไปน้วี ่ามขี ้อใดบา้ งทเ่ี ปน็ เซตทเ่ี ทา่ กนั กรณเี ปน็ เซตที่ไมเ่ ทา่ กนั จงพจิ ารณาว่า

เป็นเซตเทียบเท่าหรอื ไม่

1.1) A = { 0 , 1 , 2 , 3 , … , 9 } B = { x Ι | x < 10}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.2) C = { 10 , 20 , 30 , 40 } D = { 30 , 40 , 10 , 20 , 30 }

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.3) E = { x | x2– x = 0 } F={x|x–1=0}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

r

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.4) G = {1} H = {{1}}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.5) I = { x | x Ι และ x2= 25 } J = {5}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

1.6) M = {x | x2 – 7x + 12 = 0} N = {3, 4}

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

เรอ่ื ง เซต หนา้ 10

2.) ให้ระบุวา่ เซต A , B ทีก่ าหนดให้ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ เป็นเซตท่เี ทา่ กนั เทยี บเท่ากัน หรือ ไมเ่ ท่ากัน

โดยทาเครื่องหมาย ลงในชอ่ งวา่ ง

ข้อ เซต A เซต B เทา่ กนั เทยี บเทา่ กนั ไมเ่ ทา่ กัน

1. { a , b , c } {c,b,a}

2. { a , a , b , c } { a , b , c , c }

3. { a , b , c } {1,2,3}

4. { 7 , 8 , 9 , 10 } { p , q , r , s }

5. { m , n , o } { mno }

6. { 0 , 1 , -1 } { -1 , 0 , 1 }

7. { 1 , 2 , 3 , … , 99 } { 111 , 112 , 113 , … , 999 }
{ x | x2 – x = 0 }
8. { 0 , 1 }

9. { 2 , 5 , 6 , 2 } { 2562 }
10. { x | x2 – 3x = –2} { 2 , 1 }

11. { 1 , 2 , 2 , 1} { 1 , 2 }
12. { x | x2 – 4 = 0} { 2 }

13. { a , b } { {a} , {b} }

14. { a , {b} } { {a} , b }

15. { ∅ } {0}

3.) จงพิจารณาว่าเซตสองเซตในแตล่ ะข้อเท่ากนั หรือไม่
3.1) A = {1, 2, 3} , B = {2, 3, 1}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

3.2) C = {x | (x – 2)(x + 3) = 0}, D = {–2, 3}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

3.3) E = {x | x2 – 6x + 8 = 0}, F = {–4, –2}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

3.4) G = {x | x2 – 4 = 0}, H = {2, –2}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

เรื่อง เซต หนา้ 11

สบั เซต (Subset)
บทนยิ าม เซต A เปน็ สับเซตของเซต B ก็ต่อเม่ือสมาชิกทุกตวั ของเซต A เป็นสมาชกิ ของเซต B
ใช้สญั ลักษณ์ แทนคาว่า “เป็นสบั เซต” และ
ใชส้ ัญลักษณ์ แทนคาวา่ “ไม่เปน็ สบั เซต”

สมบัตขิ องสบั เซต (Subset)

กาหนดให้ A , B และ C เป็นเซตใดๆ
1.) ∅ A
2.) A A
3.) ถ้า A B และ B C แล้ว A C

4.) A B และ B A ก็ต่อเมื่อ A = B
5.) ถา้ เซต A มสี มาชิก n จานวน จะมสี บั เซตทงั้ หมด 2n(A) สับเซต

ตัวอยา่ ง A = {1,2,3} B = {1,2,3,4}
ดงั นัน้ A B แต่ B A

ตวั อยา่ ง A = {6,8} และ B = {3,4,5,6}
จะเหน็ ว่า สมาชกิ ของ A บางตวั ไมเ่ ป็นสมาชิกของ B ดงั นัน้ A B
และ สมาชิกของ B บางตัวไม่เป็นสมาชิกของ A ดงั นั้น B A

ตัวอย่าง 1. ให้ A = {ก,ข} จงหาสบั เซตท้งั หมดของ A
ตอบ สับเซตทม่ี สี มาชกิ 0 จานวน ไดแ้ ก่ ∅

สับเซตที่มสี มาชิก 1 จานวน ไดแ้ ก่ {ก} , {ข}
สบั เซตทม่ี ีสมาชิก 2 จานวน ได้แก่ {ก,ข}
เซต A มสี ับเซตทั้งหมด 4 สบั เซต ไดแ้ ก่ ∅ , {ก} , {ข} , {ก,ข}

ตวั อย่าง 2. ให้ B = {1,2,3} จงหาสบั เซตทั้งหมดของ A
ตอบ สบั เซตที่มีสมาชิก 0 จานวน ไดแ้ ก่ ∅

สับเซตทม่ี สี มาชกิ 1 จานวน ได้แก่ {1} {2} {3}
สับเซตที่มสี มาชกิ 2 จานวน ไดแ้ ก่ {1,2} , {1,3} , {2,3}
สับเซตทีม่ ีสมาชกิ 3 จานวน ได้แก่ {1,2,3}
เซต B มสี ับเซตท้ังหมด 8 สบั เซต ได้แก่ ∅ , {1} , {2} , {3} , {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3}

ตวั อย่าง 3. ให้ C = {a,b,c,d} จงหาสับเซตทั้งหมดของ B
ตอบ สับเซตท่ีมสี มาชกิ 0 ตัว คอื ∅

สับเซตท่ีมสี มาชิก 1 จานวน ไดแ้ ก่ {a} , {b} , {c} , {d}
สับเซตทม่ี สี มาชกิ 2 จานวน ได้แก่ {a,b} , {a,c} , {a,d} , {b,c} , {b,d} , {c,d}
สับเซตท่ีมีสมาชกิ 3 จานวน ไดแ้ ก่ {a,b,c} , {a,b,d} ,{b,c,d} , {a,c,d}
สับเซตท่มี สี มาชิก 4 จานวน ไดแ้ ก่ {a,b,c,d}
เซต C มสี บั เซตทัง้ หมด 16 สับเซต ได้แก่ ∅ , {a} , {b} , {c} , {d} , {a,b} , {a,c} , {a,d} , {b,c} , {b,d} ,
{c,d} , {a,b,c} , {a,b,d} ,{b,c,d} , {a,c,d} , {a,b,c,d}

เรอ่ื ง เซต หนา้ 12

เพาเวอรเ์ ซต (Power set) A}
บทนิยาม เพาเวอรเ์ ซตของเซต A คือเซตของสับเซต A
ใช้สญั ลักษณ์ P(A) แทนเพาเวอรเ์ ซตของเซต A ดงั นนั้ P(A) = { x | x

สมบตั ิของเพาเวอรเ์ ซต (Power set)
กาหนดให้ A , B เปน็ เซตใดๆ

1.) ∅ P(A) เพราะ A
2.) A P(A) เพราะ A A
3.) ถ้า A B แลว้ P(A) P(B)
4.) ∅ P(A)
5.) P(A) P(B) P(A B)
6.) P(A) P(B) = P(A B)

7.) P(A) – P(B) ≠ P(A – B)

8.) ถ้าเซต A มจี านวนสมาชิก n จานวน แลว้ n(P(A)) = 2n(A)

~

ตัวอยา่ ง 1. กาหนดให้ A = {1} จงหา P(A)
ตอบ จานวนสบั เซต 21 = 2 สับเซต

สับเซต A ได้แก่ ∅ , {1}
P(A) = {∅ , {1}}

ตัวอย่าง 2. กาหนดให้ B = { ก , ข } จงหา P(B)
ตอบ จานวนสับเซต 22 = 4 สบั เซต

สบั เซต B ไดแ้ ก่ ∅ , {ก} , {ข} , {ก,ข}
P(B) = {∅, {ก} , {ข} , {ก,ข}}

ตัวอย่าง 3. กาหนดให้ C = { –1 , –2 , –3 } จงหา P(C)
ตอบ จานวนสบั เซต 23 = 8 สับเซต

สบั เซต ไดแ้ ก่ ∅ , {–1} , {–2} , {–3} , {–1, –2} , {–1, –3} , {–2, –3} , {–1, –2, –3}
P(C) = {∅ , {–1} , {–2} , {–3} , {–1, –2} , {–1, –3} , {–2, –3} , {–1, –2, –3}}

เร่อื ง เซต หนา้ 13

แบบฝกึ หดั เรือ่ ง สับเซต (Subset) และ เพาเวอรเ์ ซต (Power set)

1.) จงเขยี นเครื่องหมาย หน้าขอ้ ท่ีถูกและเขียนเคร่ืองหมาย หน้าข้อท่ีผดิ

กาหนดให้ A = { 0 ,∅ }

………. 1) 0 A ………. 2) 0 A

………. 3) ∅ A ………. 4) ∅ A

………. 5) {0} A ………. 6) {0} A

………. 7) {∅} A ………. 8) {∅ } A

………. 9) {0, ∅} A ………. 10) {0, ∅} A

กาหนดให้ B = { m , n , p} ………. 12) { m , n } B
………. 11) m B ………. 14) ∅ {m}

………. 13) { m , n , p} B ………. (16) {n} B
………. 15) {p} {B}
………. 17) m B ………. (18) { m , p } B
………. (20) ∅ B
………. 19) { { m , n , p} } B

2.) จงหาสบั เซตทัง้ หมดของเซตต่อไปนี้
2.1) A = { x | x เปน็ จานวนเฉพาะที่น้อยกวา่ 7 }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2) { 2 , 4 , 6 , 8 }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.3) { ∅ , 1 }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4) { ∅ , 1 , 6 }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.5) { ∅ , {3} }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรอ่ื ง เซต หนา้ 14

2.6) { 1 , 2 , {3} }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.7) { 1 , 2 , {3,4} }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.8) { ∅ , 1 , {3,5,7,9} }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.9) { ∅ , {∅} , {∅,1} }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

:…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.10) { 5 , {∅,2} , {7,8,9,10} }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.) จงหา P(A) เมื่อกาหนด
3.1) A = { }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.2) A = {1}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรื่อง เซต หน้า 15

3.3) A = {a , b}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.4) A = { ก , {ข} , ค }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.5) A = {1}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.6) A = { {a,b} , c }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.7) A = ∅
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.8) A = {∅}
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.9) A = { 1 , {∅} }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3.10) { 5 , { ∅ , 2 } , { 7 , 8 , 9 , 10 } }
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เร่อื ง เซต หนา้ 16

4.) จงบอกจานวนสมาชิกของเพาเวอรเ์ ซตของเซตต่อไปนี้

4.1) A = { } n(P(A)) = …………………………………………………

…………………………………………………

4.2) B = { 1 , 2 , 3 } n(P(B)) = …………………………………………………
…………………………………………………

4.3) C = { 5 } n(P(C)) = …………………………………………………
…………………………………………………

4.4) D = { 1 , 9 } n(P(D)) = …………………………………………………
…………………………………………………

4.5) E = { a , b , c , d } n(P(E)) = …………………………………………………
…………………………………………………

4.6) F = { ∅ , 0 } n(P(F)) = …………………………………………………
…………………………………………………

4.7) G = เปน็ เซตของสระในภาษาอังกฤษ n(P(G)) = …………………………………………………
…………………………………………………

4.8) H = เป็นเซตของวนั ใน 1 สปั ดาห์ n(P(H)) = …………………………………………………

…………………………………………………

5.) ถ้าเซต A มจี านวนสมาชิก 8 ตัว แล้ว P(A) มจี านวนสมาชกิ เท่าไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6.) ถา้ สับเซตของ P(A) = 64 สบั เซต แลว้ จงหาจานวนสมาชิกของ A
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7.) เติมคาตอบในช่องว่าง

จานวนสมาชกิ ของเซต A จานวนสมาชกิ ของ P(A)

1

2

3

4

5
6

n

เร่อื ง เซต หนา้ 17

เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)
เอกภพสัมพทั ธ์ คอื เซตทีก่ าหนดขึน้ โดยมขี ้อตกลงว่าจะไม่กล่าวถงึ ส่งิ ใดนอกเหนือไปจากสมาชิกของเซตท่ี

กาหนดขึน้ น้ี ใช้สัญลักษณ์ แทนเอกภพสัมพทั ธ์ หากไม่ได้กล่าวถงึ เอกภพสัมพัทธใ์ ห้ถือวา่ คือเซตของจานวนจริง(R)
แผนภาพเวนน-์ ออยเลอร์(Venn-Euler Diagram)

นิยมเขยี นรูปส่ีเหลย่ี มผืนผ้าแทนเอกภพสัมพัทธ์ และใช้วงกลมแทนเซตตา่ งๆ

B

เร่อื ง เซต หนา้ 18

การดาเนินการทางเซต (Operation on sets)

1. ยูเนียน (Union)
ยูเนยี นของเซต A และเซต B
เขียนแทนด้วย A B

A B = { x | x ∈ A หรอื x ∈ B หรือเปน็ สมาชิกท้งั สองเซต }
เช่น A = { 1 , 2 , 3 , 4 } B = { 2 ,4 } จงหา A B
ตอบ A B = { 1 , 2 , 3 , 4 }

บรเิ วณที่แรเงา ในแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ คอื A B

2. อินเตอร์เซกชนั (Intersection) B
อินเตอร์เซกชนั ของเซต A และเซต B

เขยี นแทนด้วย A B
A B = { x | x ∈ A และ x ∈ B }

เชน่ A = { 1 , 2 , 3 , 4 } B = { 2 , 4 } จงหา A

ตอบ A B = { 2 , 4 }

บรเิ วณทแ่ี รเงา ในแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ คอื A B

เรื่อง เซต หน้า 19

3. ผลตา่ งระหว่างเซต (Difference)
ผลตา่ งระหว่างเซต A และเซต Bคือเซตทปี่ ระกอบดว้ ย
สมาชกิ ของเซต A ทีไ่ ม่เปน็ สมาชกิ ของเซต B
A – B = { x | x ∈ A และ x ∉ B }
เชน่ A = { 1 , 2 , 3 , 4 } B = { 2 , 4 } จงหา A – B
ตอบ A – B = { 1 , 3 }

บริเวณที่แรเงา ในแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ คอื A – B

ผลต่างระหวา่ งเซต A และเซต B คือเซตท่ีประกอบด้วย
สมาชกิ ของเซต B ทีไ่ มเ่ ปน็ สมาชิกของเซต A

B – A = { x | x ∈ B และ x ∉ A }
เชน่ A = { 1 , 3 } B = { 1 , 2 , 3 , 4 } จงหา B – A
ตอบ B – A = { 2 , 4 }

บริเวณทแ่ี รเงา ในแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ คอื B – A

เร่อื ง เซต หนา้ 20

4. คอมพลเี มนตข์ องเซต A (Complement)
คอื เซตทป่ี ระกอบด้วยเอกภพสมั พัทธ์ แตไ่ มเ่ ปน็ สมาชิก
ของเซต A
A = { x | x ∈ และ x ∉ A }
เช่น กาหนดให้ = { 1 , 2 , 3 , … , 10 } และ A = { 1 , 2 , 3 , 4 }
จงหา A
ตอบ A = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }

บริเวณทแ่ี รเงา ในแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ คอื A

บริเวณท่แี รเงา ในแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์ คือ B

1

เรื่อง เซต หน้า 21

สมบัติของการดาเนนิ การของเซต
1. สมบัติสลับที่ (Commutative laws)
1.1 A B = B A
1.2 A B = B A

2. สมบัตเิ ปลี่ยนกลมุ่ (Associative laws)
2.1 (A B) C = A (B C)
2.2 (A B) C = A (B C)

3. สมบัตกิ ารมเี อกลักษณ์ (Identity laws)
3.1 A = A = A
3.2 A ∅ = ∅ A = A

4. สมบตั ิคอมพลีเมนต์ (Complement laws) 4.9 A (A B) B =
4.1 = ∅
4.2 ∅ = 4.10 (A – B) – C = A – (B C)
4.3 A A = 4.11 (A – B) B = ∅
4.4 A A = ∅
4.12 A – (A – A) = A
4.5 (A ) = A 4.13 (A – B) (B – A) = ∅
4.6 A – A = ∅
4.7 A – ∅ = A 4.14 A – (A – B) = A B

4.8 A – B = A B 4.15 (A B) – C = (A – C) (B – C)

5. สมบตั ิการแจกแจง (Distributive laws)
5.1 (A B) C = (A C) (B C)
5.2 (A B) C = (A C) (B C)

6. สมบตั ิของเดอมอร์กอง (De Morgan,s law)
6.1 (A B) = A B
6.2 (A B) = A B
6.3 A – (B C) = (A – B) (A – C)
6.4 A – (B C) = (A – B) (A – C)

เรื่อง เซต หน้า 22

แบบฝึกหดั เรื่อง เอกภพสมั พัทธ์ แผนภาพเวนน์- ออยเลอร์ และการดาเนนิ การของเซต
1. กาหนด = { 1 , 2 , 3 , … , 15 }

A = { 2 , 7 , 8 , 9 , 10 }

B = { 3 , 5 , 7 , 9 , 13 , 14 }
C = { 2 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 }

1.1) เติมสมาชกิ ในแผนภาพเวนน์–ออยเลอร์

1

1.2) A B =……………………………………………………………………..

(A B) C =……………………………………………………………………..

A C =……………………………………………………………………..

B C =……………………………………………………………………..

(A C) (B C) =……………………………………………………………………..

1.3) A – C =……………………………………………………………………...

C =……………………………………………………………………...

AC =……………………………………………………………………...

1.4) (B C) =……………………………………………………………………...

B =……………………………………………………………………...

C =……………………………………………………………………...

BC =……………………………………………………………………...

2.) กาหนดให้ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} เรื่อง เซต หน้า 23
A = {a, b, c, d}
B = {c, d, e}
C = {d, e, f, g}

จงเติมคาตอบในช่องว่าง

2.1) A B ……………………………………………………………………………………..

2.2) A B ……………………………………………………………………………………..

2.3) (A B) C ……………………………………………………………………………………..

2.4) A ……………………………………………………………………………………..

2.5) A ∅ ……………………………………………………………………………………..

2.6) A ……………………………………………………………………………………..

2.7) A – B …………………………………………………………………………………..…

2.8) B – C ………………………………………………………………………………….…

2.9) C – A …………………………………………………………………………………….

2.10) A C ……………………………………………………………………………………..

3.) จงหา A B และ A B เม่อื กาหนด เรื่อง เซต หนา้ 24
= { 1 , 2 , 3 , 4, ... , 50 }
A = { x | x หารด้วย 10 ลงตวั } ………………………………………………………………………..
B = { x | x หารดว้ ย 25 ลงตวั } ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
4.) จงหา A B และ A B เมือ่ กาหนด ………………………………………………………………………..
= { 1 , 2 , 3 , 4 , ... , 75 } ………………………………………………………………………..
A = { x | x หารดว้ ย 8 แลว้ เหลือเศษ 1 } ………………………………………………………………………..
B = { x | x หารดว้ ย 25 ลงตวั } ………………………………………………………………………..

5.) จงหา A B และ A B เมือ่ กาหนด ………………………………………………………………………..
= { 1 , 2 , 3 , 4 , ... , 30 } ………………………………………………………………………..
A = { x | x หารด้วย 3 แลว้ เหลือเศษ 2 } ………………………………………………………………………..
B = { x | x หารดว้ ย 5 ลงตวั } ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..

เร่ือง เซต หน้า 25

6.) จงแรเงาลงบนแผนภาพเพื่อแทนเซตทกี่ าหนดให้ในแต่ละข้อ 2.) A B
1.) A B
-

3

3.) A B 4.) A – B
6.) A B
I.

5.) A – B

7.) A B 8.) – B

เร่อื ง เซต หนา้ 26

7.) จงแรเงาลงบนแผนภาพเพ่ือแทนเซตที่กาหนดให้ในแต่ละข้อ

1.) ( A – B ) – C 2.) (A B) – C

1

3.) ( A – B ) C 4.) C – (A B)

5.) (A B) – C 6.) (B C ) A

7.) A B 8.) (B– C ) A

เรื่อง เซต หนา้ 27

9.) (A B C) 10.) (B C)
11.) A B C
13.) (B C) 12.) B C
15.) B C
14.) (A B) (A C)

16.) A B C

เรอ่ื ง เซต หนา้ 28

8.) จากแผนภาพต่อไปนีจ้ งเขียนส่วนทีแ่ รเงาดว้ ยเซต 2.)
1.)

\

…………………………………………………. ………………………………………………….
3.) 4.)

…………………………………………………. ………………………………………………….
5.) 6.)

…………………………………………………. ………………………………………………….

.

เร่อื ง เซต หนา้ 29

7.) 8.)

…………………………………………………. ………………………………………………….
9.)
10.)

1

…………………………………………………. ………………………………………………….
11.) 12.)

…………………………………………………. ………………………………………………….

เร่อื ง เซต หนา้ 30

13.) 14.)

…………………………………………………. ………………………………………………….
15.) 16.)

…………………………………………………. ………………………………………………….

เรือ่ ง เซต หนา้ 31

จานวนสมาชกิ ของเซตจากดั

ถ้า A และ B เปน็ เซตจากดั จานวนสมาชิกของเซต A B หรอื n(A B) หาได้จาก
n(A B ) = n(A) + n(B) – n(A B)

-

ถา้ A , B และ C เป็นเซตจากัด จานวนสมาชกิ ของเซต A B C หรอื n(A B C ) หาไดจ้ าก
n(A B C ) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C)

ตัวอย่าง 1. จากการสอบถามพอ่ บา้ นพบวา่ มผี ูท้ ดี่ ื่มชาหรอื กาแฟเปน็ ประจาจานวน 120 คน
ผทู้ ชี่ อบด่มื ชาจานวน 60 คน ผ้ทู ่ชี อบดม่ื กาแฟจานวน 70 คน จงหาจานวนพอ่ บ้านที่ชอบดมื่ ท้ังชาและกาแฟ
วธิ ที า ให้ A แทนเซตของผู้ที่ชอบด่มื ชา

ให้ B แทนเซตของผู้ทีช่ อบด่มื กาแฟ

จาก n(A B ) = n(A) + n(B) – n(A B)

120 = 60 +70 – n(A B)

n(A B) = 60 +70 – 120

n(A B) = 10
ดงั นน้ั พ่อบ้านทช่ี อบดื่มทงั้ ชาและกาแฟมีจานวน 10 คน

ดงั นั้น พอ่ บ้านทีช่ อบด่ืมทงั้ ชาและกาแฟมจี านวน 10 คน

เร่อื ง เซต หน้า 32

ตวั อย่าง 2. ร้านค้าแหง่ หนง่ึ ได้ทาการสารวจความนิยมของลกู ค้าเกย่ี วกับการใช้พัดลม พบว่า 60% ใช้พดั ลมชนิดตั้งโต๊ะ
45% ใช้ชนดิ แขวนเพดาน และ 15% ใชท้ ้ังสองชนิดอยากทราบว่า

1.) ลูกคา้ ทีไ่ มใ่ ช้พดั ลมทั้งสองชนิดมี
2.) ลกู คา้ ทใ่ี ช้พัดลมเพียงชนิดเดียวมี
วธิ ที า ให้ A แทนเซตของผูใ้ ช้พัดลมชนดิ ตั้งโต๊ะ

ให้ B แทนเซตของผู้ใช้พดั ลมชนิดแขวนเพดาน
จาก n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
n(A B) = 60 + 45 – 15
n(A B) = 90

ดงั นั้น 1.) ลูกคา้ ทไ่ี มใ่ ชพ้ ัดลมทงั้ สองชนิดมี 10%
2.) ลูกคา้ ท่ีใช้พดั ลมเพยี งชนิดเดยี วมี 15%

ตัวอย่าง 3. ในการสอบของนักเรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาตอนปลายหอ้ งหนึ่งพบว่า
มีผู้สอบผา่ นวิชาคณติ ศาสตร์ 37 คน วิชาสงั คมศึกษา 48 คน วชิ าภาษาไทย 45 คน
และมีผ้สู อบผา่ นวิชาคณติ ศาสตรแ์ ละสังคมศึกษา 15 คน
และมีผสู้ อบผ่านสังคมศึกษาและภาษาไทย 13 คน
และมีผู้สอบผ่านวชิ าคณติ ศาสตร์และภาษาไทย 7 คน
และมีผ้สู อบผา่ นท้ังสามวิชา 5 คน อยากทราบว่ามีผสู้ อบผ่านอยา่ งน้อยหน่ึงวชิ ากคี่ น

วธิ ที า ให้ A แทนเซตของผู้ทสี่ อบผ่านคณิตศาสตร์
ให้ B แทนเซตของผู้ท่สี อบผา่ นสังคม
ให้ C แทนเซตของผู้ท่สี อบผา่ นไทย

จาก n(A B C ) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C)
n(A B C ) = 37 + 48 + 45 –15 –7 –13 + 5
n(A B C ) = 100

มผี สู้ อบผ่านอยา่ งน้อย 1 วิชาจานวน 100 คน

เร่ือง เซต หน้า 33

ตัวอยา่ ง 4. จากการสารวจผู้ถอื หุน้ ในตลาดหลักทรัพย์ จานวน 3,000 คน พบวา่ มผี ถู้ ือหุน้ ของบริษทั ก ,ข และ ค ดังนี้
ผถู้ ือหุ้นของบรษิ ัท ก มจี านวน 200 คน
ผถู้ ือหุ้นของบรษิ ัท ข มีจานวน 250 คน
ผถู้ ือหุ้นของบริษัท ค มจี านวน 300 คน
ผ้ถู ือหนุ้ ของบรษิ ัท ก และ ข มีจานวน 50 คน
ผถู้ ือหนุ้ ของบรษิ ัท ข และ ค มจี านวน 40 คน
ผู้ถอื หนุ้ ของบริษัท ก และ ค มีจานวน 30 คน
และพบวา่ ไม่มผี ู้ถอื หนุ้ ท้ังสามบรษิ ทั จากจานวนผูถ้ ือห้นุ ที่สารวจ
จงหาว่ามผี ถู้ อื ห้นุ บริษัทอ่ืนๆทีไ่ มใ่ ชห่ ้นุ ของสามบรษิ ทั นี้มเี ท่าไร

วิธีทา ให้ A แทนเซตของผู้ถอื หุ้นบริษัท ก
ให้ B แทนเซตของผู้ถือหุ้นบริษัท ข
ให้ C แทนเซตของผ้ถู ือหุ้นบริษัท ค

จาก n(A B C ) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C)

n(A B C ) = 200 + 250 + 300 – 50 – 30 – 40 + 0

n(A B C ) = 630
จานวนผู้ไม่ถอื หุ้นบริษัทท้ัง 3 บริษัทคือ 3000 – 630 = 2,370 คน

เร่อื ง เซต หนา้ 34

แบบฝกึ หดั เร่ือง จานวนสมาชิกของเซตจากัด
1.) จากแผนภาพแสดงจานวนสมาชิกของเซต จงบอกจานวนสมาชกิ ในเซตต่อไปน้ี

1.) n(A)
………………………………………………………………………………………………………………

2.) n(B)
………………………………………………………………………………………………………………

3.) n(C)
………………………………………………………………………………………………………………

4.) n(A B)
………………………………………………………………………………………………………………

5.) n(B C)
………………………………………………………………………………………………………………

6.) n(A C)
………………………………………………………………………………………………………………

7.) n(A B C)
………………………………………………………………………………………………………………

8.) n(A B C)
………………………………………………………………………………………………………………

9.) n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B C)
………………………………………………………………………………………………………………

10.) n(A – B)
………………………………………………………………………………………………………………

เรื่อง เซต หน้า 35

2.) กาหนดแผนภาพแสดงจานวนสมาชกิ ของเซต และ n(A B C) = 127 จงตอบคาถามต่อไปน้ี
วิธีหาค่าของ X

AB

28+x 15-x 25+x

x

10-x 12-x

32+x

C

1.) จงหาค่าของ x
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
2.) n(A)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
3.) n(B)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
4.) n(C)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

5.) n(A B)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

6.) n(B C)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

7.) n(A C)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

8.) n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(B C) – n(A C) + n(A B C)
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

เรื่อง เซต หน้า 36

1.) ในการสอบถามความชอบเรอ่ื งสี ในกลุ่มเด็ก ม.4 จานวน 44 คน พบวา่ ชอบสชี มพู 12 คน
ชอบสฟี า้ 9 คน ชอบทั้งสองสี 4 คน อยากทราบวา่ มีเด็กกี่คนทีไ่ มช่ อบสีท้ังสองเลย

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.) ห้องเรียนชั้น ม.4 มีนักเรียน 45 คน จากการตรวจสุขภาพพบว่า มีนกั เรยี นทสี่ ายตาสั้น 20 คน มนี ักเรียนท่ีฟันผุ 17
คน สายตาสน้ั และฟันผุ 10 คน มนี ักเรียนทสี่ ายตาไม่สนั้ และฟันไมผ่ ุกี่คน

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.) นกั เรยี นชัน้ ม.4 ของโรงเรียนแหง่ หน่งึ จานวน 450 คน ในจานวนนช้ี อบฟตุ บอล 115 คน ชอบวอลเลย์บอล 143 คน
และไมช่ อบกีฬาทั้งสองประเภท 280 คน
1). จานวนนักเรียนทช่ี อบฟตุ บอลและวอลเลยบ์ อล
2). จานวนนักเรยี นทชี่ อบฟตุ บอลหรอื วอลเลยบ์ อล เพยี งประเภทเดยี ว

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เร่ือง เซต หน้า 37

4.) คนกลุ่มหนงึ่ เป็นโรคสองชนิดคอื โรคตากับโรคฟนั จากการสารวจพบว่าเปน็ โรคตา 40 %
เป็นโรคฟนั 20 % เป็นทั้งสองโรค 5 % อยากทราบวา่ มีคนไม่เป็นโรคกเี่ ปอรเ์ ซน็ ต์

-

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5.) ทางโรงเรียนมีหนังสอื พิมพ์ให้นกั เรยี นอา่ น 2 ฉบบั ดงั นี้ 16% อา่ นหนังสือพิมพ์ ก 30% อา่ นหนังสอื พมิ พ์ ข 60%
-

ไม่อ่านหนงั สือพิมพ์ทัง้ สองฉบับ จงหาวา่ นักเรียนอ่านหนังสือพิมพ์ 2 ฉบับมกี ีเ่ ปอรเ์ ซ็นต์

-

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6.) ห้องเรยี นหอ้ งหน่ึงมเี ด็กชาย 40 คน ปรากฏว่า 8 คนไม่เลน่ กฬี าชนิดใดเลย แต่มี 25 คน เลน่ บาส
และ 20 คนเล่นปิงปอง จงหาว่าเด็กทเี่ ล่นบาสอย่างเดียวมกี ี่คน

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เร่อื ง เซต หน้า 38

7.) นักเรยี นชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จานวน 100 คนลงทะเบยี นเรียนวชิ าภาษาจีน 43 คน
ลงทะเบยี นเรยี นวชิ าภาษาฝร่ังเศส 76 คน ไม่ได้ลงทะเบียนเรียนท้งั ภาษาจนี และภาษาฝรัง่ เศส 10 คน
มีนักเรยี นที่เรียนทัง้ ภาษาจีนและภาษาฝร่ังเศสก่ีคน

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8.) บริษทั แหง่ หนึ่งมพี นักงาน 80 คน พบวา่ พนักงาน 18 คนมีรถยนต์เป็นของตัวเอง
พนักงาน 23 คน มบี า้ นเป็นของตัวเอง และพนักงาน 9 คน มีทัง้ บ้านและรถยนต์เป็นของตัวเอง
จงหา 1.) จานวนพนกั งานทั้งหมดท่มี ีรถยนต์หรอื มีบ้านเป็นของตวั เอง

2.) จานวนพนกั งานท่ีไมม่ รี ถยนตห์ รือบา้ นของตวั เอง

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9.) ในการสารวจเกย่ี วกบั ความชอบของนกั ศกึ ษา 100 คน พบวา่ นกั ศกึ ษาท่ชี อบเรียนคณติ ศาสตร์ 52 คน
นักศกึ ษาท่ีชอบเรียนภาษาไทย 60 คน นักศึกษาที่ไมช่ อบเรียนคณติ ศาสตร์และไม่ชอบเรยี นภาษาไทยมี 14 คน
จงหานกั ศึกษาทช่ี อบเรียนคณิตศาสตร์และภาษาไทย

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรือ่ ง เซต หนา้ 39

10.) นกั ศึกษาสาขาหนึ่งมี 100 คน มนี กั ศึกษาเรยี นภาษาองั กฤษ 38 คน เรียนคอมพวิ เตอร์ 46 คน
และเลอื กเรียนทัง้ สองวขิ า 28 คน อยากทราบว่า
1.) มนี กั ศึกษากค่ี นท่ีเรียนภาษาอังกฤษเพยี งวชิ าเดียว
2.) มนี กั ศึกษากีค่ นท่ีเรยี นคอมพวิ เตอร์เพียงวิชาเดียว
3.) มนี กั ศึกษากค่ี นที่ไม่ไดเ้ รียนวชิ าใดวิชาหน่งึ เลย
4.) มีนกั ศึกษาก่ีคนที่ไม่ไดเ้ รยี นทง้ั สองวิชาพร้อมกัน

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11.) ในการสารวจการอ่านหนงั สอื พิมพป์ ระจาวันของนกั ศึกษาระดบั วทิ ยาลัยจานวน 850 คน
พบวา่ มนี ักศึกษาจานวน 211 คน ทช่ี อบอ่านหนังสือพิมพ์ไทยรัฐ

มีนกั ศึกษาจานวน 173 คน ท่ีชอบอ่านหนงั สือพิมพเ์ ดลนิ ิวส์
และมนี กั ศกึ ษาจานวน 570 คน ท่ีไม่ชอบอา่ นหนงั สอื พิมพ์
จงหาจานวนนกั ศกึ ษาท่ชี อบอ่านหนงั สอื พิมพ์ไทยรฐั และหนังสือพิมพเ์ ดลินิวส์

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เรื่อง เซต หน้า 40

12.) นกั เรียนกล่มุ หนึ่งมี 100 คน มนี ักเรยี น 75 คน ชอบว่ายน้า และ มนี ักเรยี น 35 คน ชอบร้องเพลง
จงหา 1.) จานวนนกั เรียนท่ไี ม่ชอบว่ายนา้

2.) จานวนนกั เรยี นที่ชอบรอ้ งเพลงอย่างเดียว

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13.) ชมรมแห่งหนง่ึ มสี มาชกิ ในชมรมจานวน 60 คน แต่ละคนมีความถนัดในการประกอบอาหาร หรือ
ทาดอกไม้ประดิษฐห์ รอื ถนัดทั้งสองอย่าง ถ้าร้อยละ 80 ของสมาชิกมคี วามถนัดในการประกอบอาหาร
และรอ้ ยละ 40 มคี วามถนดั ในการทาดอกไมป้ ระดิษฐ์
จงหา 1.) จานวนสมาชกิ องชมรมทมี่ ีความถนดั ทง้ั ประกอบอาหารและทาดอกไมป้ ระดษิ ฐ์

2.) จานวนสมาชกิ องชมรมท่ีมีความถนดั เพยี งอยา่ งเดยี ว

………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เร่อื ง เซต หนา้ 41

14.) ในการสารวจนกั เรียนกล่มุ หนึ่งจานวน 32 คน
พบว่า มีนักเรียน 14 คนเรียนคณติ ศาสตร์

มนี ักเรยี น 18 คนเรียนชวี วิทยา
มีนักเรยี น 14 คนเรยี นภาษาองั กฤษ
มีนกั เรยี น 4 คนเรียนคณิตศาสตร์และชีวทิ ยา
มนี ักเรยี น 5 คนเรยี นคณิตศาสตร์และอังกฤษ
มนี กั เรียน 8 คนเรยี นชวี วทิ ยาและองั กฤษ และนักเรียนทุกคนเรียนอย่างน้อย 1 วิชาในสามวิชาน้ี
จงหาจานวนนกั เรียนท่ีเรียนทั้งสามวิชา

…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

15.) จากการสัมภาษณ์นักเรียนชน้ั ม.6 จานวน 110 คน ของโรงเรยี นแห่งหนง่ึ เกย่ี วกับกีฬาทีน่ กั เรยี นชอบ
ปรากฏผลดงั น้ี ชอบฟตุ บอล 25 คน

ชอบวอลเลยบ์ อล 48 คน
ชอบบาสเก็ตบอล 45 คน
ชอบฟตุ บอลและบาสเก็ตบอล 6 คน
ชอบฟตุ บอลและวอลเลยบ์ อล 10 คน
ชอบบาสเกต็ บอลและวอลเลย์บอล 8 คน
ไม่ชอบกีฬาประเภทใดเลย 11 คน จงหาจานวนนักเรยี นทีช่ อบกีฬาทั้งสามประเภท

…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เรอื่ ง เซต หนา้ 42

16.) จากการสอบถามนักเรียนหญงิ ในชน้ั เรียนของโรงเรียนแห่งหนง่ึ หนงึ่ ซง่ึ มจี านวน 48 คน โดยนกั เรียนทกุ คนชื่นชอบ
ดาราอย่างน้อย 1 คน เกี่ยวกับความชื่นชอบดารายอดนยิ ม 3 คน ซ่งึ ได้แก่ ลีโอ กัปตันและเจสนั ปรากฏผลดังน้ี 29 คน
ชอบลโี อ 22 คนชอบกัปตนั 21 คนชอบเจสัน 7 คนชอบดาราทัง้ สามคน 10 คนชอบทงั้ ลีโอและเจสนั 12 คนชอบทงั้
กปั ตนั และเจสัน จานวนนักเรียนหญิง ทช่ี อบกปั ตนั และลโี อ มจี านวนก่คี น

…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

17.) ในการสารวจนกั เรียน 200 คน ทเ่ี ลอื กอนั ดับเขา้ มหาวทิ ยาลัยสามอนั ดบั แรก คือคณะเภสัชศาสตร์ ,
คณะทนั ตแพทยศาสตร์ และคณะแพทยศาสตร์ ปรากฏว่า

มีนักเรียน 97 คน เลือกคณะเภสัชศาสตร์
มนี กั เรยี น 95 คน เลือกคณะทนั ตแพทยศาสตร์
มีนักเรยี น 75 คน เลือกคณะแพทยศาสตร์
มนี กั เรียน 38 คน เลือกคณะเภสัชศาสตรแ์ ละคณะทันตแพทยศาสตร์
มนี ักเรียน 25 คน เลือกคณะทนั ตแพทยศาสตรและคณะแพทยศาสตร์
มีนกั เรียน 29 คน เลือกเรียนทงั้ คณะแพทยศาสตร์และคณะเภสชั ศาสตร์
มีนกั เรยี น 12 คน เลอื กเรียนทง้ั สามคณะ
จะมีนกั เรียนกค่ี นทไี่ ม่เลอื กคณะใดเลยในสามคณะน้ี

…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เรอื่ ง เซต หนา้ 43

18.) ในการสารวจผู้ใชส้ บู่ 3 ชนิด คอื A , B , C
พบวา่ มผี ้ใู ช้ ชนิด A 113 คน ชนิด B 180 คน ชนิด C 190 คน

ชนิด A และ B 45 คน
ชนดิ A และ C 25 คน
ชนิด B และ C 20 คน
ท้งั 3 ชนดิ 15 คน ไม่ใชท้ ้ัง 3 ชนดิ 72 คน
จงหาจานวนของผู้เข้ารบั การสารวจท้ังหมด

…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

19.) จากการสารวจเก่ียวกับการใชอ้ ปุ กรณ์ไฟฟ้าในครวั เรอื นของพนักงานบริษัทแหง่ หนง่ึ จานวน 75 คน

ปรากฏผลดงั นี้

ใชเ้ ตาไมโครเวฟ 42 คน

ใชก้ ะทะไฟฟ้า 34 คน

ใชเ้ คร่อื งปงิ้ ขนมปัง - 27 คน

ใช้เตาไมโครเวฟและกะทะไฟฟา้ 14 คน

ใช้เตาไมโครเวฟและเครอื่ งป้ิงขนมปัง 12 คน

ใชก้ ะทะไฟฟ้าและเครื่องปิ้งขนมปัง 10 คน

ใช้ทัง้ สามประเภท 7 คน

1.) จงหาจานวนพนักงานท่ีใช้อปุ กรณ์ไฟฟา้ เพยี งอย่างเดียว

2.) จานวนพนกั งานทไี่ ม่ใชเ้ ครื่องใชไ้ ฟฟ้าดงั กล่าวเลย

…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เร่ือง เซต หนา้ 44

แบบทดสอบ : เรื่องเซต (ชดุ ที่ 1)

1. สญั ลกั ษณใ์ นข้อใดใชเ้ ขียนแทนเซต

ก. ( ) ข. { }

ค. [ ] ง. ...

2. ในการเขียนสมาชกิ ของเซตแต่ละตวั จะคน่ั ด้วยเคร่ืองหมายในข้อใด

ก. , ข. ( )

ค. ; ง

3. “ ” เปน็ สัญลักษณ์แทนอะไรของเซต

ก. ชือ่ เซต ข. สมาชกิ ของเซต

ค. ประเภทของเซต ง. ลกั ษณะของเซต

4. เซตในขอ้ ใดมีสมาชิก 4 ตวั

ก. เซตของตวั อักษรในคาว่า “ น่ารัก ” ข. เซตของตัวอักษรในคาว่า “ พรรณ ”

ค. เซตของตัวอักษรในคาว่า “ บอบบาง ” ง. เซตของตัวอักษรในคาวา่ “ เทศกาล ”

5. สมาชิกของเซตในข้อใดเท่ากบั 2 , 3 , 5 , 7

ก. เซตของจานวนคี่บวก ข. เซตของจานวนนบั ตัง้ แต่ 2 ขึ้นไป

ค. เซตของจานวนเตม็ บวกท่ีมากกว่า 1 ง. เซตของจานวนเฉพาะระหว่าง 0 ถงึ 9

6. จานวนในข้อใดไม่เปน็ สมาชกิ ของเซตของตัวประกอบของ 20

ก. 2 ข. 4

ค. 5 ง. 12

7. 1 เป็นสมาชิกของเซตในข้อใด

ก. เซตของกาลงั สองของ 1 ข. เซตของจานวนนับที่ไม่เท่ากับ 0

ค. เซตของจานวนเตม็ ทย่ี กกาลังสองแล้วได้ 1 ง. เซตของจานวนเต็มท่ีไม่เทา่ กับ 1 หรอื – 1

8. ให้ A เป็นเซตของตวั อักษรในคาว่า “ SEVEN ” เขยี นเซต A แบบแจกแจงสมาชกิ ได้ดงั ข้อใด

ก. { SEVEN } ข. { S E V N }

ค. { S , E , V , N } ง. { S , E , V , E , N }

9. ข้อใดไมใ่ ช่การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก

ก. { 1 , 2 , 3 } ข. { 2 , 4 , 6 , ... }

ค. { a , b , c , … , z } ง. { x x เป็นจานวนเต็ม }

10. ให้ B = { x x เปน็ สระในภาษาองั กฤษ } เป็นการเขียนเซตแบบใด

ก. แบบแจกแจงสมาชกิ ข. แบบบรรยายลกั ษณะ

ค. แบบไม่แจกแจงสมาชิก ง. แบบบอกเง่อื นไขของสมาชกิ

11. ให้ A = { 1 , 3 , 5 , 7 } เซตในข้อใดหมายถึงเซต A

ก. A = { x x เปน็ จานวนเตม็ } ข. A = { x x เป็นจานวนเตม็ ค่ี }

ค. A = { x x เป็นจานวนคี่ต้งั แต่ 1 ถึง 7 } ง. A = { x x เปน็ จานวนเตม็ ทีน่ อ้ ยกวา่ 7 }

12. ให้ S = { x x เปน็ จานวนเตม็ และ – 3 < x 0 } เขียนเซต S แบบแจกแจงสมาชิกไดด้ ังขอ้ ใด

ก. S = { – 3 , 0 } ข. S = { – 2 , – 1 }

ค. S = { – 2 , – 1 , 0 } ง. S = { – 3 , – 2 , – 1 , 0 }

13. ให้ R = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … } เขียนเซต R แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกไดด้ ังขอ้ ใด
ข. R = { x x I + }
ก. R = { x x I }
ค. R = { x x I – }
ง. R = { x x = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

เรอ่ื ง เซต หนา้ 45

14. ให้ M = { x x เป็นจานวนครู่ ะหว่าง 1 ถึง 10 } เซตในข้อใดหมายถึงเซต M

ก. { 2 , 4 , 6 , 8 } ข. { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }

ค. { 2 , 4 , 6 , 8 , … } ง. { 1 , 2 , 3 , … , 10 }

15. กาหนดให้ D = { … , – 2 , 0 , 2 , … } เขียนเซต D แบบบอกเงื่อนไขของสมาชกิ ไดด้ งั ข้อใด

ก. { x x เป็นจานวนเต็ม } ข. { x x I และ – 2 < x < 2 }

ค. { x x = 2n และ n เป็นจานวนเตม็ } ง. { x x = 2n และ n เป็นจานวนจริง }

16. ถ้า A = { x x เป็นจานวนนบั ท่ี 3 หารไดล้ งตวั } เขยี นเซต A แบบแจกแจงสมาชกิ ไดด้ ังข้อใด

ก. { 3 , 6 , 9 } ข. { 6 , 9 , 12 }

ค. { 3 , 6 , 9 , … } ง. { 6 , 9 , 12 , … }

17. ให้ A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 12 , 34 } เซต A มีสมาชิกก่ตี ัว

ก. 8 ข. 6

ค. 4 ง. 2

18. ให้ P = { 2 , 4 , 6 , …, 16 } ขอ้ ใดเป็นสมาชกิ ทง้ั หมดของ P

ก. 2 , 4 , 6 , 16

ข. 8 , 10 , 12 , 14

ค. 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16

ง. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16

19. ถา้ ให้ Q = { a , b , c } ขอ้ ใดผดิ

ก. A a ข. b A

ค. d A ง. Q มสี มาชิก 3 ตวั

20. กาหนดให้ 8 B เซตในขอ้ ใดสอดคล้องกับทก่ี าหนดให้

ก. B = { 8 } ข. B = { 8 , 9 , 10 }

ค. B = { x x < 8 } ง. B = { x 6 < x < 10 }

เร่อื ง เซต หนา้ 46

แบบทดสอบ : เรื่องเซต (ชุดท่ี 1)

1.) กาหนดให้ A เปน็ เซตของจานวนเตม็ บวกทเ่ี ปน็ จานวนคแู่ ละเป็นจานวนเฉพาะ ตรงกับเซตในขอ้ ใด

1. A = ∅ 2. A = {2}

3. A = {2, 3, 5, 7, ...} 4. A = {2, 4, 6, 8, ...}

2.) กาหนดให้ A = {x | x เปน็ พยญั ชนะในคาว่า “คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน”} ตรงกบั เซตในข้อใด

1. A = {ค, ณ, ต, ส, ต, พ, น, ฐ} 2. A = {ค, ณ, ต, ส, ร, พ, น, ฐ}

3. A = {ค, ณ, ต, ส, ร, พ, น, ฐ, น} 4. A = {ค, ณ, ต, ศ, ส, ร, พ, น, ฐ}

3.) กาหนดให้ A = {1, 2, 3, …} ตรงกับเซตในข้อใด 2. {x | x เป็นจานวนคู่บวก}
1. {x | x เปน็ จานวนเต็ม} 4. {x | x เป็นจานวนนับสามตวั แรก}
3. {x | x เป็นจานวนนับ}

4.) กาหนดให้ A = {x | x เปน็ สระในภาษาอังกฤษ} ตรงกบั เซตในข้อใด

1. A = {a, e, i, o, u} 2. A = {a, e, i, o, w}

3. A = {a, p, i, o, u} 4. A = {a, b, c, d, e}

5.) กาหนดให้ A = {0, 6, 12, 18, …} ตรงกับเซตในขอ้ ใด
1. A = {x | x เป็นจานวนเต็มและหารด้วย 4 ลงตวั }
2. A = {x | x เปน็ จานวนเต็มและหารด้วย 5 ลงตวั }
3. A = {x | x เปน็ จานวนเต็มและหารด้วย 6 ลงตวั }
4. A = {x | x เป็นจานวนเตม็ และหารดว้ ย 7 ลงตวั }

6.) กาหนดให้ A = { x | x เปน็ จานวนนบั และ 4 < x < 10 } ขอ้ ใดเขียนเซต A โดยวธิ แี จกแจงสมาชกิ ไดถ้ ูกต้อง

1. A = { 5, 6, 7, 8, 9 } 2. A = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

3. A = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 } 4. A = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

7.) กาหนดให้ B = { 1, 2, 3, 4, 5 } ข้อใดเขยี นเซต B โดยวธิ ีบอกเง่ือนไขของสมาชกิ ได้ถูกต้อง
1. { x | x เปน็ จานวนเต็มบวก และ x ≤ 5 } 2. { x | x เปน็ จานวนเต็มบวก และ x ≤ 4 }
3. { x | x เป็นจานวนเตม็ บวก และ x > 2 } 4. { x | x เปน็ จานวนเต็มบวก และ x ≥ 1 }

8.) ขอ้ ใดเป็นเซตวา่ ง 2. { x | x เปน็ จานวนเตม็ และ x+5 = 5 }
1. { x | x เปน็ จานวนเต็มลบทม่ี ากกวา่ -1 } 4. { x | x เป็นจานวนเต็มบวก }
3. { x | x เปน็ จานวนเตม็ และ x < 1 }

9.) ข้อใดเป็นเซตจากัด 2. { x | x เปน็ จานวนเตม็ และ x+2 = 1 }
1. { x | x เป็นจานวนเตม็ ทน่ี ้อยกว่า 1 } 4. { x | x เป็นจานวนตรรกยะ }
3. { x | x เปน็ จานวนเตม็ และ x +1< 5 }

10.) ขอ้ ใดเปน็ เซตอนนั ต์ 2. { x | x เปน็ จานวนเตม็ และ x+5 = 5 }
1. { x | x เปน็ จานวนเต็มบวกทน่ี อ้ ยกว่า 3 } 4. { x | x เปน็ จานวนเตม็ ที่มากกว่าหรือเทา่ กบั 2 }
3. { x | x เป็นจานวนเตม็ และ x +1= 5 }

เรอื่ ง เซต หนา้ 47

11.) ถา้ A, B และ C เปน็ เซตซ่งึ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 6, 8,10, 12, 14} , C = {3, 6, 9, 12, 15}

สาหรบั เซตใดๆ ข้อใดต่อไปน้ีถกู

1. n[(A B) C] = 2 2. n[A (B C)] = 2

3. n[P(A – B)] = 16 4. n[P(B – C)] = 32

12.) กาหนด n( ) = 60 , n(A B) = 6 , n(A B) = 38 และ n(A) = n(B) จงหา n(A)
1. 16 2. 22
3. 38 4. 54

13.) จงหา n(A B ) เม่อื กาหนด n( ) = 52 , n(A) = 24 , n(B) = 33 และ n(A B) = 45
1. 7 2. 12
3. 21 4. 40

14.) จากการสมั ภาษณห์ ญิงท่ีแตง่ งานแล้ว 50 คน เก่ียวกับนิสยั ของสามีได้ข้อมลู ดังนี้ ชอบดม่ื เหล้า 25 คน

ชอบสูบบหุ รี่ 39 คน ชอบทงั้ ดื่มเหลา้ และสบู บุหรี่ 20 คน อยากทราบวา่ มีสามีของหญิงทีถ่ ูกสมั ภาษณก์ ี่คน

ทไ่ี มช่ อบดืม่ เหล้าและไม่ชอบสูบบหุ ร่ี

1. 5 คน 2. 6 คน

3. 24 คน 4. 44 คน

15.) คนกลมุ่ หนง่ึ เปน็ โรคสองชนดิ คือโรคตากับโรคฟัน จากการสารวจพบว่าเป็นโรคตา 40 % เปน็ โรคฟัน 20 %

เปน็ ทง้ั สองโรค 5 % อยากทราบวา่ มคี นไมเ่ ป็นโรคก่เี ปอร์เซ็นต์

1. 55 % 2. 45 %

3. 50 % 4. 15 %

16.) ทางโรงเรยี นมีหนังสือพิมพใ์ ห้นกั เรยี นอา่ น 2 ฉบับ ดงั นี้ 16% อ่านหนงั สอื พิมพ์ ก 30% อ่านหนงั สือพมิ พ์ ข 60%

ไม่อ่านหนังสอื พิมพท์ ั้งสองฉบับ จงหาว่านักเรยี นอ่านหนังสือพิมพ์ 2 ฉบับมกี เี่ ปอรเ์ ซ็นต์

1. 4% 2. 6%

3. 10% 4. 24%

17.) ห้องเรียนห้องหนึง่ มีเด็กชาย 40 คน ปรากฏว่า 8 คนไมเ่ ลน่ กฬี าชนดิ ใดเลย แต่มี 25 คน เลน่ ฟตุ บอล

และ 20 คนเล่นวอลเลยบ์ อล จงหาวา่ เดก็ ท่ีเล่นฟุตบอลอยา่ งเดียวมกี ีค่ น

1. 7 คน 2. 8 คน

3. 12 คน 4. 17 คน

เรื่อง เซต หนา้ 48

จงใชข้ อ้ มลู ต่อไปน้ีตอบคาถามขอ้ 18-19

ร้านขายกาแฟแห่งหน่งึ ได้รบั การสงั่ ซื้อกาแฟ 30 ถว้ ย โดยท่ี

มีกาแฟ 16 ถว้ ย ต้องการใหใ้ ส่น้าตาล

มกี าแฟ 14 ถ้วย ต้องการใหใ้ สค่ รีม

มีกาแฟ 12 ถ้วย ต้องการใหใ้ ส่นมข้น

มีกาแฟ 1 ถ้วย ตอ้ งการให้ใสน่ มข้นเพยี งอยา่ งเดียว

มกี าแฟ 4 ถว้ ย ต้องการให้ใสค่ รีมเพียงอย่างเดยี ว

มกี าแฟ 6 ถ้วย ต้องการให้ใส่นมขน้ และครมี

มีกาแฟ 5 ถ้วย ตอ้ งการให้ใสน่ า้ ตาลและครีม

18.) จานวนกาแฟที่ใสน่ ้าตาล ครีมและนมขน้ ท้ังสามอยา่ ง มีกีถ่ ว้ ย

1. 0 ถ้วย 2. 1 ถ้วย

3. 2 ถ้วย 4. 3 ถว้ ย

19.) จานวนกาแฟทใี่ ส่นา้ ตาล ครีมหรือนมขน้ เพียงสองอยา่ ง มีก่ถี ้วย

1. 12 ถว้ ย 2. 13 ถ้วย

3. 14 ถว้ ย 4. 15 ถว้ ย

20.) จากการสารวจผฟู้ ังเพลง 180 คน พบวา่ มผี ชู้ อบเพลงไทยสากล 95 คน

เพลงไทยเดิม 92 คนและเพลงลูกทุง่ 125 คน โดยแบ่งเป็นผู้ชอบเพลงไทยสากลและเพลงไทยเดิม 52 คน

เพลงไทยสากลและเพลงลกู ทุ่ง 43 คน เพลงไทยเดิมและเพลงลกู ทุง่ 57 คน และทุกคนจะชอบฟังเพลงอยา่ งน้อยหนงึ่ ใน

สามประเภท จงหาจานวนผ้ทู ี่ชอบเพลงไทยสากลเพียงอย่างเดียว

1. 95 คน 2. 32 คน

3. 23 คน 4. 20 คน

เร่อื ง เซต หนา้ 49

ขอ้ สอบ o-net
1.) จากการสอบถาม เรื่องความชอบไอศกรีมรสวนิลาและรสสม้ ของเด็กอนบุ าลจานวน 40 คน
พบว่า มี 25 คน ชอบรสวนลิ า

มี 10 คน ชอบรสสม้
มี 8 คน ไมช่ อบท้ังรสวนลิ าและรสสม้
มเี ด็กอนุบาลกีค่ นทช่ี อบทงั้ รสวนลิ าและรสส้ม (ข้อ 34 , o–net 2561 ตอบ 3 คน)

2.) หม่บู ้านแหง่ หน่ึงมี 60 ครอบครวั ที่มีอาชพี ทานา ทาสวน หรือ เล้ียงสัตว์
ถา้ ทานา 34 ครอบครวั , ทาสวน 30 ครอบครัว

ทานา และ ทาสวน 8 ครอบครวั
ทานา และ เลย้ี งสัตว์ 23 ครอบครวั
ทาสวน และ เลย้ี งสัตว์ 20 ครอบครวั
ทานาอย่างเดียว 6 ครอบครวั
แล้วมที ้งั หมดก่ีครอบครัวทม่ี ีอาชพี เพียงอาชีพเดียว (ขอ้ 36 , o–net 2560 ตอบ 15 ครอบครัว)