ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เอกสารประกอบการสอน

ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ

จัดทาโดย
นางสาวทบั ทิม ประมลู จะนงั

ตาแหน่ง ครู
กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนผดงุ นารี

จงั หวัดมหาสารคาม

2

บทที่ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

2.1 ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

เราจะศึกษาฟังกช์ นั ตรีโกณมิติโดยใช้ วงกลมหน่ึงหน่วย (The unit circle) ซ่ึงวงกลมน้ีเป็นกราฟ

ของความสมั พนั ธ์ (x, y)  x2  y2 1 และมีลกั ษณะดงั น้ี

Y

(0,1)

(-1,0) (1,0) X
 (0,0) 

(0,-1)

กาหนดให้  แทนระยะทางท่ีเริ่มตน้ วดั จากจุด (1,0) ไปตามส่วนโคง้ ของวงกลมหน่ึงหน่วย ถึงยงั
จุด (x, y) ใด ๆ ท่ีอยบู่ นส่วนโคง้ ของวงกลมหน่ึงหน่วยน้นั โดยท่ีมีขอ้ ตกลงวา่

 ถา้   0 จะวดั ในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา
 ถา้   0 จะวดั ในทิศทางตามเขม็ นาฬิกา
 ถา้   0 จุดปลายส่วนโคง้ คือ (1,0)

เราจะพบวา่ มี f :  และ g :  ซ่ึงสาหรับจานวนจริง  ใด ๆ จะได้

f ( )  x และ g( )  y ………… (1)

ข้อตกลง
1) เรียก ฟังกช์ นั f วา่ ฟังกช์ นั โคไซน์ (Cosine)
2) เรียก ฟังกช์ นั g วา่ ฟังกช์ นั ไซน์ (Sine)

3

ดงั น้นั จาก (1) ทาใหเ้ ราไดว้ า่
และ

เนื่องจาก x2  y2 1 ดงั น้นั เราจึงไดว้ า่

หมายเหตุ cos2  = (cos )2 = (cos )(cos )

2.2 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

2.2.1 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงบางจานวน
เนื่องจากความยาวเส้นรอบวงของวงกลม 1 หน่วย มีคา่ 2 ดงั น้นั เราได้
Y
(0,1)


(-1,0) (1,0) X
 (0,0) 

(0,-1)

1) ถา้    หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

2

2) ถา้    หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

3) ถา้   3 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

2

4) ถา้   2 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

5) ถา้   3 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

6) ถา้   41 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

4

7) ถา้     หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………
……………………
2 ……………………
……………………
8) ถา้    หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ

9) ถา้    3 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ

2

10) ถา้   51 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ

เน่ืองจาก cos  x และ sin  y ดงั น้นั จึงไดว้ า่

1)  = ……………. 2)  = …………….
cos = ……………. sin = …………….
2 2

3) cos 4) sin

5) cos 3 = ……………. 6) sin 3 = …………….
= ……………. = …………….
2 2

7) cos 2 8) sin 2

9) cos 41 = ……………. 10) sin 41 = …………….

11) cos     = ……………. 12) sin     = …………….
 2   2 

13) cos   3  = ……………. 14) sin   3  = …………….
 2   2 

15) cos(51 ) = ……………. 16) sin(51 ) = …………….

ในลาดบั ต่อไปเราจะหาจุดปลายของส่วนโคง้ (x, y) เมื่อกาหนด  เป็ น  ,  และ  รวมท้งั
46 3

 อื่น ๆ ท่ีสมั พนั ธ์กนั แต่อยตู่ ่างจตุภาคกนั ดงั น้ี

1. จุดปลายของส่วนโคง้ (x, y) เม่ือ    และ  ท่ีสมั พนั ธ์กบั 

44

1) กาหนดให้

A (x, y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว  หน่วย

4

B (x, y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว 3 หน่วย

4

C (x,y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว 5 หน่วย

4

D (x,y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว 7 หน่วย

4

ดงั รูป 5
B Y

A
C 
 X
D

วงกลม 1 หน่วย

2) จากรูปจะไดว้ า่ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรัส และ ABD เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จวั่
มุมฉาก ดงั น้นั โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราไดว้ า่

AB2 + AD2 = BD2  x  2 และ y  2

22

3) ผลจากขอ้ 2) ทาใหเ้ ราสามารถสรุปไดว้ า่

(1) ถา้    หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

4

(2) ถา้   3 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

4

(3) ถา้   5 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

4

(4) ถา้   7 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

4

6

4) ผลจากขอ้ 3) ทาใหเ้ ราสามารถสรุปไดว้ า่

(1)  = ………………….. (2)  = …………………..
cos sin
44

(3) cos 3 = ………………….. (4) sin 3 = …………………..

44

(5) cos 5 = ………………….. (6) sin 5 = …………………..

44

(7) cos 7 = ………………….. (8) sin 7 = …………………..

44

(9) cos     = ……………… (10) sin     = ………………
 4   4 

(11) cos   3  = ……………… (12) sin   3  = ………………
 4   4 

(13) cos   5  = ……………… (14) sin   5  = ………………
 4   4 

(15) cos   7  = ……………… (16) sin   7  = ………………
 4   4 

2. จุดปลายของส่วนโคง้ (x, y) เม่ือ    และ  ที่สมั พนั ธ์กบั 

66

1) กาหนดให้

A (x, y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว  หน่วย

6

B (x, y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว 5 หน่วย

6

C (x,y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว 7 หน่วย

6

D (x,y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว 11 หน่วย

6

B Y A 7
C P (0,1)  X

 D

วงกลม 1 หน่วย

2) เห็นชดั วา่ AP = AD ดงั น้นั เราจะไดว้ า่

(x  0)2  ( y 1)2  (x  x)2  ( y  ( y))2

 x2  ( y 1)2  ( y  y)2

 x2 [ y2  2y 1]  4y2

 (x2  y2)  2y 1 4y2

 1 2y 1 4y2

 2y2  y 1 0

 (2y 1)( y 1)  0 [ y อยใู่ นจตุภาคท่ี 1]
 y  1, 1

2

 y  1 และ x  3

22

8

3) ผลจากขอ้ 2) ทาใหเ้ ราสามารถสรุปไดว้ า่

(1) ถา้    หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

6

(2) ถา้   5 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

6

(3) ถา้   7 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

6

(4) ถา้   11 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

6

4) ผลจากขอ้ 3) ทาใหเ้ ราสามารถสรุปไดว้ า่

(1)  = (2)  =
cos = sin =
6 = 6 =
= =
(3) cos 5 = (4) sin 5 =
= =
6 = 6 =
= =
(5) cos 7 (6) sin 7

6 6

(7) cos11 (8) sin 11

6 6

(9) cos     (10) sin    
 6   6 

(11) cos   5  (12) sin   5 
 6   6 

(13) cos   7  (14) sin   7 
 6   6 

(15) cos   11  (16) sin   11 
 6   6 

3. จุดปลายของส่วนโคง้ (x, y) เม่ือ    และ  ที่สมั พนั ธ์กบั 

33

1) กาหนดให้

A (x, y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว  หน่วย

3

B (x, y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว 2 หน่วย

3

C (x,y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว 4 หน่วย

3

D (x,y) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ซ่ึงยาว 5 หน่วย

3

9

Y

B A

 P (1,0) X

C D

วงกลม 1 หน่วย

2) เห็นชดั วา่ AB = AP ดงั น้นั เราจะไดว้ า่

(x  (x))2  ( y  y)2  (x 1)2  ( y  0)2

 4x2  [x2  2x 1]  y2

 4x2  (x2  y2)  2x 1

 2x2  x 1 0 [ x อยใู่ นจตุภาคท่ี 1]

 (2x 1)(x 1)  0
 x  1, 1

2

 x  1 และ y  3

22

10

3) ผลจากขอ้ 2) ทาใหเ้ ราสามารถสรุปไดว้ า่

(1) ถา้    หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

3

(2) ถา้   2 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

3

(3) ถา้   4 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

3

(4) ถา้   5 หน่วย แลว้ จุดปลายของส่วนโคง้ คือ ……………………

3

4) ผลจากขอ้ 3) ทาใหเ้ ราสามารถสรุปไดว้ า่

(1)  = (2)  =
cos = sin =
3 = 3 =
= =
(3) cos 2 = (4) sin 2 =
= =
3 = 3 =
= =
(5) cos 4 (6) sin 4

3 3

(7) cos 5 (8) sin 5

3 3

(9) cos     (10) sin    
 3   3 

(11) cos   2  (12) sin   2 
 3   3 

(13) cos   4  (14) sin   4 
 3   3 

(15) cos   5  (16) sin   5 
 3   3 

11

แบบฝึ กหัด

1. จงหาคา่ ของ sin และ cos เมื่อ  เป็ นจานวนจริงต่อไปน้ี

ขอ้ กาหนดคา่  sin cos

1 3
2 8
3 5
4 2

5 

2

6  3

2

7 7

2

8  7

2

9 9

2

10  9

2

11 57
12 57
13 53
14 53

15 27

2

16  27

2

2. จงเขียนรูปวงกลมหน่ึงหน่วยและเขียนจุดปลายส่วนโคง้ ท่ียาว  หน่วย โดย  เป็น  ,  และ 

43 6

ไวใ้ นรูปเดียวกนั พร้อมท้งั แสดงคา่ ของฟังกช์ นั ไซนแ์ ละโคไซนข์ องจานวนเหล่าน้นั ไวบ้ นแกน Y และ

แกน X จากรูปที่ได้ จงหาค่าของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงต่อไปน้ี

12

Y
(0,1)

(-1,0) (0,0) (1,0) X

(0,-1)

ขอ้ กาหนดคา่  sin cos

1 2

3

2 3

4

3 5

6

4 7

6

5 5

4

6 4

3

7 5

3

8 7

4

13

3. จงบอกจานวนจริงมา  มา 5 จานวนที่ทาให้ 2) sin 1

1) sin  0 …………………………………………………...
…………………………………………………...
……………………………………………………..
…………………………………………………….. 4) cos 1

3) cos  0 …………………………………………………...
…………………………………………………...
……………………………………………………..
…………………………………………………….. 6) cos  1

5) sin  1 …………………………………………………...
…………………………………………………...
……………………………………………………..
……………………………………………………..

7) sin  1 8) cos   2

2 2

…………………………………………………….. …………………………………………………...
…………………………………………………….. …………………………………………………...
4. จงหาค่าของ sin และ cos เมื่อ  เป็ นจานวนจริงตอ่ ไปน้ี

ขอ้ กาหนดคา่  sin cos

1  5

4

2  7

4

3 2  

4

4 2  3

4

5 

3

6  7

6

7  7

3

14

8 13

3

9 37

6

10   

3

5. มีจานวนจริง  ใดหรือไม่ท่ีทาให้ sin  2 จงใหเ้ หตุผล

………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

2.2.2 ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงใด ๆ

กาหนดใหจ้ ุด P(x, y) เป็ นจุดปลายของส่วนโคง้ ที่ยาว  หน่วย ดงั น้นั จุด P(x,y) เป็ น
จุดปลายของส่วนโคง้ ท่ียาว  หน่วย ดงั รูป

(-1,0) Y X จากรูป จะไดว้ า่
 1) sin  y
(0,1)  2) cos  x
(1,0) 3) sin( )  y
4) cos( )  x
(0,0) 

(0,-1)

ดงั น้นั เราสามารถสรุปเป็นกฎเกณฑไ์ ดด้ งั น้ี
และ

15

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคา่ ของ sin     และ cos    
 6   6 

วธิ ีทา 1) sin     = sin 
 6 
6

= 1

2

2) cos     = cos 
 6 
6
ตอบ
=3

2

ในกรณีที่   2 เราสามารถเขียน   2n  เมื่อ 0    2 และ n เราได้
กฎเกณฑ์ ดงั น้ี

1)
2)

ตวั อย่างที่ 2 จงหาคา่ ของ sin 25 และ cos   11 
4  3 

วธิ ีทา 1) sin 25 = sin  6   
 4 
4

= sin 

4

=2

2

2) cos   11  = cos 11
 3  3

= cos  4   
 3 

= cos 4     
 3 

= cos     = cos  = 1 ตอบ
 3 
32

16

ในกรณีที่จุดปลายของส่วนโคง้ ท่ียาว  หน่วย ไม่ไดอ้ ยใู่ นจตุภาคท่ี 1 และ ถา้ เรากาหนดให้
ส่วนโคง้ PA มีความยาว  หน่วย โดยท่ี 0     ดงั น้นั เราจะไดต้ ่อไปวา่

2

 ส่วนโคง้ PB มีความยาว   หน่วย
 ส่วนโคง้ PC มีความยาว   หน่วย
 ส่วนโคง้ PD มีความยาว 2  หน่วย

และเราจะไดก้ ฎเกณฑ์ ดงั น้ี

Y

1)

B(-x,y) A(x,y) 2)
3)
 P(1,0) X
4)

C(-x,-y) D(x,-y) 5)
6)

ตัวอย่างที่ 3 ถา้ sin   0.26 และ cos   0.96 จงหาค่าของ sin 11 และ cos11
12 12 12 12

วธิ ีทา 1) sin 11 = sin     
12 
12

= sin 

12

= 0.26

2) cos 11 = cos     
 12 
12

=  cos 

12

= 0.96 ตอบ

17

ตัวอย่างท่ี 4 ถา้ sin   0.26 และ cos   0.96 จงหาคา่ ของ sin 13 และ cos13
12 12 12 12

วธิ ีทา 1) sin 13 = sin     
12 
12

= sin 

12

= 0.26

2) cos 13 = cos     
 12 
12

=  cos 

12

= 0.96 ตอบ

ตวั อย่างที่ 5 จงหาค่าของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ของ 11

6

วธิ ีทา 1) sin 11 = sin  2    = sin  = 1
 6 
6 6 2

2) cos 11 = cos  2    =  =3 ตอบ
 6  cos
6 6 2

แบบฝึ กหดั

1. ถา้ sin  0.56 จงหาวา่ จุดปลายส่วนโคง้ ท่ียาว  หน่วย จะอยใู่ นควอดรันตใ์ ดไดบ้ า้ ง
ตอบ ……………………………………………………………………………………………

2. ถา้ cos  0.56 จงหาวา่ จุดปลายส่วนโคง้ ที่ยาว  หน่วย จะอยใู่ นควอดรันตใ์ ดไดบ้ า้ ง
ตอบ ……………………………………………………………………………………………

3. ถา้ cos2 x  sin2 x  1 จงหาคา่ cos x เม่ือ   x  

22

ตอบ ……………………………………………………………………………………………

18

4. จงเขียนคา่ ของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปค่าของฟังกช์ นั ไซน์และ
โคไซนข์ องจานวนจริงที่มีค่าต้งั แต่ 0 ถึง 

2

1) sin  13  = sin      cos  13  = cos    
 12  12   12  12 

= sin  =  cos 

12 12

2) sin  5  = cos  5  =
 3  =  3  =

3) sin  7  = cos  7  =
 6  =  6  =

4) sin  7  = cos  7  =
 10  =  10  =

5) sin  9  = cos  9  =
 5  =  5  =
= =
6) sin   16  = cos   16  =
 7   7 

5. กาหนดให้ 0     และ sin  0.4848 จงหาคา่ ของ 2) sin(  ) = sin
= 0.4848
2

1) cos  cos2   sin2  1

 cos2   (0.4848)2 1
 cos2   1 (0.4848)2
 cos2   1 (0.4848)2
 cos  0.8746

3) cos(  ) = 4) sin( ) =

19

5) cos(  2 ) = 6) sin(3  ) =

6. กาหนดให้ sin  3 จงหาคา่ ของ sin(  )

5

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

7. จงพิจารณาแต่ละขอ้ ต่อไปน้ีวา่ เป็นจริงหรือเทจ็

1) sin  cos เมื่อ 3    2

2

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

2) 2  sin  cos  2 เม่ือ  
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

3) sin  cos เมื่อ    หรือ   5

44

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

2.3 ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิอน่ื ๆ

นอกจากฟังกช์ นั ไซนแ์ ละฟังกช์ นั โคไซนด์ งั กล่าวแลว้ ยงั มีฟังกช์ นั ตรีโกณมิติอื่น ๆ อีก ดงั น้ี

 ฟังกช์ นั แทนเจนต์ (Tangent) เขียนแทนดว้ ย tan

 ฟังกช์ นั ซีแคนต์ (Secant) เขียนแทนดว้ ย sec

 ฟังกช์ นั โคซีแคนต์ (Cosecant) เขียนแทนดว้ ย cosec หรือ csc

 ฟังกช์ นั โคแทนเจนต์ (Cotangent) เขียนแทนดว้ ย cot

20

เรานิยามค่าของฟังกช์ นั ขา้ งตน้ น้ี โดยอาศยั คา่ ของฟังกช์ นั ไซน์และฟังกช์ นั โคไซน์ ดงั น้ี

บทนิยาม สาหรับจานวนจริง ใด ๆ เม่ือ
1) = เม่ือ
2) = เมื่อ
3) = เม่ือ
4) =

จากค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติขา้ งตน้ อาจหาความสมั พนั ธ์ระหวา่ งฟังกช์ นั ตรีโกณมิติตา่ ง ๆ ดงั น้ี

1) = เม่ือ

2) = เมื่อ
3) = เม่ือ

ความสัมพนั ธ์ขา้ งตน้ แสดงการพิสูจนไ์ ดด้ งั น้ี

1) cot = cos [บทนิยาม]

sin 

=1

 sin 
 cos 

=1 เมื่อ tan  0

tan 

2) cos2   sin2  1  cos2   sin2   1
cos2  cos2 

1 sin2   1
cos2  cos2 

21

 1 tan2   sec2  เมื่อ cos  0

3) cos2   sin2  1  cos2   sin2   1
sin2  sin2 

 cos2  1  1
sin2  sin2 

cot2  1  cos ec2 เม่ือ sin  0

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติทุกฟังกช์ นั ของ 

3

วธิ ีทา เพราะวา่ sin  = 3 และ  = 1 ดงั น้นั เราจึงไดว้ า่
cos
32 32

1)  = 
tan sin
3
3
cos 

3

=3

2) sec  = 1
= cos 
3
3
3) cos ec  =
2
3
1
= sin 

4) cot  = 3
= 23
3
3
ตอบ
cos 
3

sin 
3

3
3

22

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคา่ ของ tan และ sec

วธิ ีทา 1) tan = sin

cos 

=0

1

=0
2) sec = 1

cos 

=1

1

= 1

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาค่าของ tan   3  และ sec   3 
 2   2 

วธิ ีทา เน่ืองจาก cos   3   0 ดงั น้นั จึงไม่นิยาม tan   3  และ sec   3 
 2   2   2 

ตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ cosec 5 และ cot 5

22

วธิ ีทา 1) cos ec 5 = 1
sin 5
2

2

=1 
 2 
sin  2  

=1


sin

2

=1

1

=1

2) cot 5 = cos 5
2
2
sin 5
2

23

= cos  2   
 2 

sin  2   
 2 

= cos 
2

sin
2

=0

1

=0 ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ cosec3 และ cot 3
วธิ ีทา เน่ืองจาก sin3  0 ดงั น้นั จึงไม่นิยาม cosec3 และ cot 3

ตอบ

ตวั อย่างที่ 6 จงหาค่าของ  cos 5  sin 4 
sin cos
36 36

วธิ ีทา sin  cos 5  sin 4 cos  = sin  cos      sin      cos 
36 36 3 6   3  6

= sin    cos      sin   cos 
3  6   3  6

=   sin  cos     sin  cos  
 3 6   3 6 

= 2sin  cos 

36

= 2 3  3 ตอบ

22

= 3

2

24

แบบฝึ กหัด

1. จงหาวา่ จุดปลายส่วนโคง้ ท่ียาว  หน่วย จะอยใู่ นควอดรันตใ์ ด เม่ือกาหนดให้

1) sin และ cos เป็ นจานวนบวกท้งั คู่ ตอบ

2) tan เป็ นจานวนบวก และ cos เป็ นจานวนลบ ตอบ

3) sin เป็ นจานวนบวก และ tan เป็ นจานวนลบ ตอบ

4) cos และ tan เป็ นจานวนลบท้งั คู่ ตอบ

2. จงหาค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติทุกฟังกช์ นั ของจานวนต่อไปน้ี

 sin cos tan sec cos ec cot

0



2


4
3

4
2

3


7

4
4

3
7

2
5

2

2


 5

2
 7

2

2

25

3. กาหนดให้ sin  0.48 และ 0     จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติอื่น ๆ ของ 

2

1) sin  0.48 2) cos = …………………………………
………………………………………………
………………………………………………

3) tan = ………………………… 4) sec = …………………………………
……………………………………… ………………………………………………
……………………………………… ………………………………………………

5) cosec = ………………………... 6) cot = …………………………………
……………………………………… ………………………………………………
……………………………………… ………………………………………………

4. กาหนดให้ 0     และ sin  4 จงหาค่าของ sec  cosec

25

……………………………………………………………………………………………………………......

……………………………………………………………………………………………………………......

5. กาหนดให้ 0     และ tan  1 จงหาคา่ ของ 2cos  cot

23

……………………………………………………………………………………………………………......

……………………………………………………………………………………………………………......

……………………………………………………………………………………………………………......

6. จงหาค่าของ

1) cos   sin 5  tan 9  cos 5  tan 7

23 4 6 6

………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..

26

2) sin 5  tan 7  cos 3 sin 4

6 6 43

………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..

3) sin 3  tan cos   cot 5  sin 7
2 26 6

………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..

4)    cos  sin   sin 5  tan 5
sin cos
36 36 3 3

………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..

5) cos2   sin2   sin2   cos2 11
446 6

………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..
………………………………………………… ………………………………………………………..

27

2.4 ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิของมุม

2.4.1 มุมและการวดั มุม

บทนิยาม มุมที่จุดศนู ยก์ ลางของวงกลมซ่ึงรองรับดว้ ยส่วนโคง้ ของวงกลมท่ียาวเทา่ กบั รัศมี
ของวงกลมน้นั ถือวา่ เป็นมุมท่ีมีขนาด 1 เรเดียน

1) เน่ืองจาก วงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย จะมีเส้นรอบวงยาว

O 2r หน่วย ดงั น้นั มุมที่จุดศูนยก์ ลางของวงกลมซ่ึงรองรับดว้ ย
ส่วนโคง้ ของวงกลมท่ียาว 2r หน่วย จึงมีขนาด 2 เรเดียน

2) สาหรับมุมที่จุดศูนยก์ ลางของวงกลมท่ีมีรัศมียาว r หน่วย

ซ่ึงรองรับดว้ ยส่วนโคง้ ของวงกลมท่ียาว a หน่วย จะมีขนาด

a เรเดียน และถา้ ใหข้ นาดของมุมดงั กล่าวเป็น  เรเดียน เรากจ็ ะไดว้ า่

r

หมายเหตุ โดยทวั่ ไปการเขียนขนาดของมุมท่ีมีหน่วยเป็นเรเดียนมกั จะไม่เขียนหน่วยกากบั ไว้

ตวั อย่างท่ี 1 จงเปล่ียน 1 เรเดียน ใหเ้ ป็นองศา = 360 องศา

2 2 องศา
องศา
วธิ ีทา 2 เรเดียน = 360 องศา  1 เรเดียน = 1  360 องศา

 1 เรเดียน 2 2

2 = 90

 1 เรเดียน 

2  28.65

 1 เรเดียน  28 39

2

 1 เรเดียน

2

หมายเหตุ 1 = 60 และ 1 = 60

28

ตวั อย่างที่ 2 จงเปลี่ยน 75 ใหเ้ ป็นเรเดียน

วธิ ีทา 360 องศา = 2 เรเดียน  1 องศา = 2 เรเดียน

360

 75 องศา = 75 2 เรเดียน

360

 75 องศา = 5 เรเดียน
12

2.4.2 ฟังก์ชันตรีโกณมิตขิ องมุม

ตวั อย่างที่ 3 จงหาค่าของ sin 60

วธิ ีทา sin 60 = sin  ( 60 =  เรเดียน)

3 3

=3 ตอบ

2

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาค่าของ sec(405 )

วธิ ีทา sec(405 ) = 1

cos(405 )

=1

cos 405

=1

cos(360  45 )

=1

cos 45

= 1

cos
4

=1
 2
 
 2 

=2 ตอบ

29

2.4.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ตอ่ ไปน้ีจะพจิ ารณาฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุมของรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

Y
B

D

(-1,0) A EF C X

1) กาหนดให้  ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก โดยมีมุม C เป็นมุมฉาก ดงั รูป
BC ยาว a หน่วย
AC ยาว b หน่วย
AB ยาว c หน่วย

2) จากรูปจะไดว้ า่
sin A = DE และ cos A = AE

3) เน่ืองจาก  ADE  ABC AE  b ………….. (i)
ดงั น้นั AE  AC  1c
AE  b
AD AB
 c
cos A  b

c

30

และ ED  BC  ED  a ………….. (ii)
1c
AD AB ED  b

 c
sin A  a
จาก (i) และ (ii) ทาใหเ้ ราไดว้ า่
c

a
tan A  sin A  tan A   c 
cos A b
 c 

a ………….. (iii)
b

ตัวอย่างท่ี 5 รูปสามเหล่ียมมุมฉาก ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก ดา้ น AC ยาว 4 หน่วย และมุม A
มีขนาด 30 องศา จงหาความยาวของดา้ น AB และ BC

วธิ ีทา B 1) cos30  AC  3 4
2 AB
AB

 AB  8 3
3

A 2) sin 30  BC  1  BC
4 C AB 2  8 3 
 
 3 

 BC  4 3
3

ตัวอย่างท่ี 6 ถา้ มุม A เป็นมุมแหลม และ sin A  3 จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุม A

7

วธิ ีทา โดย ทบ. พที าโกรัส จะได้ AC = 2 10

B ดงั น้นั จะไดว้ า่

1) cos A  …………………………
7 3 2) tan A  …………………………

3) sec A  …………………………

A C 4) csc A  …………………………
5) cot A  …………………………

31

ตวั อย่างที่ 7 ถา้ มุม A เป็นมุมแหลม และ tan A  x จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุม A

วธิ ีทา โดย ทบ. พีทาโกรัส จะได้ AB = 1 x2

B ดงั น้นั จะไดว้ า่

1) cos A  …………………………

2) tan A  …………………………

3) sec A  …………………………

A 1 C 4) csc A  …………………………
5) cot A  …………………………

แบบฝึ กหัด

1. จงหาวา่ มุมท่ีวดั เป็นเรเดียนต่อไปน้ีแต่ละมุมมีขนาดกี่องศา

1) 2 เรเดียน เท่ากบั …………… องศา

3 องศา

2)  5 เรเดียน เท่ากบั …………… องศา
องศา
6 องศา

3) 11 เรเดียน เทา่ กบั ……………

5

4) 4 เรเดียน เทา่ กบั ……………

5) 3 เรเดียน เทา่ กบั ……………

2. จงหาขนาดของมุมต่อไปน้ีในหน่วยเรเดียน

1) 300 เทา่ กบั …………… องศา
2) 112 40 เทา่ กบั …………… องศา
3) 315 เท่ากบั …………… องศา
4) 880 เทา่ กบั …………… องศา
5) 500 เทา่ กบั …………… องศา

3. รูปสามเหลี่ยมรูปหน่ึงมีมุมสองมุมมีขนาด 36 และ 2 เรเดียน จงหาขนาดของมุมที่เหลือ

3

ในหน่วยเรเดียน

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

32

4. จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติทุกฟังกช์ นั ของมุมตอ่ ไปน้ี

 sin cos tan sec cos ec cot

150
120
315
315
930

5. จงหาค่าของ

1) 3tan2 135  sec2 300 2) tan(480 )  sin(840 )

2sin 330 cos(390 )

………………………………………………………. …………………………………………………...
………………………………………………………. …………………………………………………...
………………………………………………………. …………………………………………………...
………………………………………………………. …………………………………………………...
………………………………………………………. …………………………………………………...

6. รูปสามเหล่ียม ABC มีมุม C เป็นมุมฉาก ลากส่วนของเส้นตรงจาก C มาต้งั ฉากกบั ดา้ น AB ที่จุด D
ดา้ น AC และ BC ยาว 10 และ 12 หน่วย ตามลาดบั จงหาค่าของ

1) sin A = ……………………… 2) cos A = ………………………
3) tan A = ……………………… 4) sin B = ………………………
5) cos B = ……………………… 6) tan B = ………………………
7) CD = ……………………… 8) DB = ………………………

7. ถา้ มุม A เป็นมุมแหลม และ cos A  4 จงหาคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติอ่ืน ๆ ของมุม A

7

1) sin A  ………………………… 2) tan A  …………………………
3) sec A  ………………………… 4) csc A  …………………………
5) cot A  …………………………

33

8. มีจานวนจริง  ใดหรือไมท่ ี่ทาให้ sec 1
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

9. มีจานวนจริง  ใดหรือไม่ซ่ึง 0     และ tan  5

2

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

10. กาหนดให้ sec2 x  tan2 x  7 และ   x   จงหาคา่ ของ cos x

22

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

11. กาหนดให้ sin  1 และ sec  0 จงหาคา่ ของ tan

3

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

12. กาหนดให้ cot  5 และ sin  0 แลว้ cos เทา่ กบั เทา่ ไร
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

2.5 การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ตัวอย่างท่ี 1 ถา้ 0    จงหาค่า  ท่ีทาให้ sin  0.4500
วธิ ีทา จากตารางแสดงคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ

คา่ ของ เพิม่ ข้ึน 0.0029 sin 0.4654 = 0.4488 ค่าของฟังกช์ นั ไซนเ์ พิม่ ข้ึน 0.0026
sin  = 0.4500
sin 0.4683 = 0.4514

  0.4654  0.4500  0.4488    0.4667
0.0029 0.0026

เนื่องจาก 0    ดงั น้นั   0.4667 และ   0.4667 ตอบ

34

แบบฝึ กหดั

1. ถา้  เป็นมุมที่อยใู่ นตาแหน่งมาตรฐาน จงบอกวา่ ดา้ นสิ้นสุดของมุมขนาด  ในแตล่ ะขอ้ อยใู่ น
ควอดรันตใ์ ด

1) sin  5   อยใู่ นควอดรันต์ …………
  อยใู่ นควอดรันต์ …………
13   อยใู่ นควอดรันต์ …………
  อยใู่ นควอดรันต์ …………
2) cos   4
  อยใู่ นควอดรันต์ …………
5

3) tan  2

4) tan  7

24

5) sin  5

3

2. ABC เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉาก มีมุม C เป็นมุมฉาก มุม A มีขนาด 20 และมีดา้ นตรงขา้ มมุมฉากยาว
10 เซนติเมตร จงหาความยาวของดา้ น AC และดา้ น BC

………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

3. ABC เป็นรูปสามเหล่ียมท่ีมุม A มีขนาด 70 มุม C มีขนาด 50 ดา้ น AB ยาว 5 เซนติเมตร จาก B ลาก
ส่วนของเส้นตรงลงมาต้งั ฉากกบั ดา้ น AC ท่ีจุด P จงหาความยาวของดา้ น

B 1) BP = ……………………………….
2) BC = ……………………………….

5 3) AP = ……………………………….
4) PC = ……………………………….

C P A 5) AC = ……………………………….

4. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มุม A และ C มีขนาด 110 และ 30 ตามลาดบั ดา้ น AB ยาว 6 เซนติเมตร
จงหาความยาวของดา้ น
C 1) BC = ……………………………….
2) CA = ……………………………….

B 6 ซ.ม. A P

35

5. จงหาความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมหนา้ จว่ั ซ่ึงมีฐานยาว 40 นิ้ว และมุมที่ฐานมีขนาด 70

C ……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

A 40 นิ้ว B ……………………………………………………………

6. ตึกสองหลงั ที่มีหลงั คาเรียบต้งั อยหู่ ่างกนั 60 ฟุต จากหลงั คาของตึกที่เต้ียกวา่ ซ่ึงสูง 40 ฟุต มุมท่ีวดั จาก
หลงั คาของตึกที่เต้ียกวา่ ไปยงั หลงั คาของตึกที่สูงกวา่ มีขนาด 40 ดงั รูป จงหาความสูงของตึกท่ีสูงกวา่

40 ฟุต …………………………………………………...
60 ฟุต …………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...
…………………………………………………...

7. แมน่ ้าแห่งหน่ึงกวา้ ง 50 เมตร นกั วา่ ยน้าวา่ ยจากจุด A ของฝั่งหน่ึงไปยงั จุด B ของอีกฝั่งหน่ึงตามเส้นทาง

ดงั รูป จงหาระยะทางที่นกั วา่ ยน้าวา่ ยขา้ มฝ่ัง

…………………………………………………...
B …………………………………………………...

50 เมตร …………………………………………………...
…………………………………………………...

A …………………………………………………...
…………………………………………………...

36

2.6 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของ y1  sin x และ y2  cos x เม่ือ 2  x  2 ลงบนแกน
เดียวกนั

วธิ ีทา

x 2  3   0  3
2 2 2 2
2

y1

y2

Y

1

0X

-1

บทนิยาม ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (Periodic function) หมายถึง ฟังกช์ นั ท่ีสามารถแบ่งแกน X ออกเป็ น
ช่วงยอ่ ย (Subinterval) โดยที่ความยาวของแต่ละช่วงยอ่ ยเทา่ กนั และกราฟในแต่ละช่วงยอ่ ยมีลกั ษณะ
เหมือนกนั ความยาวของช่วงยอ่ ยที่ส้ันที่สุดท่ีมีสมบตั ิดงั กล่าวเรียกวา่ คาบ (Period) ของฟังกช์ นั

37

บทนิยาม ถา้ เป็นค่าสูงสุดของฟังกช์ นั ที่เป็นคาบ และ เป็นค่าต่าสุดของฟังกช์ นั ที่เป็นคาบ
แลว้ แอมพลิจูด (Amplitude) ของฟังกช์ นั น้ี เทา่ กบั

จากกราฟ จะพบวา่
1) โดเมนของฟังกช์ นั ไซน์ คือ …………………………………
2) เรนจข์ องฟังกช์ นั ไซน์ คือ …………………………………
3) โดเมนของฟังกช์ นั โคไซน์ คือ …………………………………
4) เรนจข์ องฟังกช์ นั โคไซน์ คือ …………………………………
5) คาบของฟังกช์ นั ไซน์ เท่ากบั …………………………………
6) คาบของฟังกช์ นั โคไซน์ เทา่ กบั …………………………………
7) ฟังกช์ นั y  sin x มีแอมพลิจดู เท่ากบั ………………………..
8) ฟังกช์ นั y  cos x มีแอมพลิจูด เทา่ กบั ………………………..

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปน้ีลงบนแกนเดียวกนั [GSP]

(1) y1  1 sin x (2) y2  sin x
2 (4) y4  3sin x

(3) y3  2sin x

ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปน้ีลงบนแกนเดียวกนั [GSP]

(1) y1  sin x (2) y2  sin x
2 (4) y4  sin 3x

(3) y3  sin 2x

38

ตวั อย่างที่ 4 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปน้ีลงบนแกนเดียวกนั [GSP]

(1) y1  1 cos x (2) y2  cos x
2 (4) y4  3cos x

(3) y3  2cos x

ตัวอย่างท่ี 5 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั ต่อไปน้ีลงบนแกนเดียวกนั [GSP]

(1) y1  cos x (2) y2  cos x
2 (4) y4  cos3x

(3) y3  cos 2x

ตวั อย่างท่ี 6 จงเขียนกราฟของ y  tan x เมื่อ    x   [GSP]

22

แบบฝึ กหัด 39
Period
1. จงหาแอมพลิจูดและคาบของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติต่อไปน้ี

ฟังกช์ นั ตรีโกณ Plot Graph Amplitude

1) y  1 sin

2

2) y  3sin

3) y  3sin 

2

4) y  4cos3

ฟังกช์ นั ตรีโกณ Plot Graph Amplitude 40
5) y   1 sin 4 Period

2

6) y  2cos 

2

7) y  sin( ) 1

8) y  3cos 1

41

2. จงร่างกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติต่อไปน้ี 2) y  1 cos
1) y  1 sin 2
2
2

3) y  1 sin(2 ) 4) y   1 sin(2 )

2 2

5) y  2sin 1  1 6) y  2cos 1  1

2 2

7) y  2sin 2 1 8) y  2cos 2 1

42

2.7 ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรือมมุ

ในหวั ขอ้ น้ีเราจะเริ่มจากการพิจารณาค่าของฟังกช์ นั โคไซนข์ องผลตา่ งของจานวนจริงสองจานวน
หรือมุมสองมุม นน่ั คือพิจารณาค่าของ cos(  ) เม่ือ ,  เป็ นจานวนจริงหรือมุมใด ๆ

Y

X

รูปวงกลม 1 หน่วย

จากรูป กาหนดให้

1) ส่วนโคง้ PP1 มีความยาว  หน่วย ส่วนโคง้ มีความยาว หน่วย
2) ส่วนโคง้ PP2 มีความยาว  หน่วย

3) ให้ P3(x3, y3) เป็ นจุดบนวงกลมหน่ึงหน่วยที่ทาใหค้ วามยาวของส่วนโคง้ PP3 เท่ากบั P1P2
ดงั น้นั P3(x3, y3) คือ จุดปลายของส่วนโคง้ ที่มีความยาว    หน่วย

4) PP3  P1P2  (x3 1)2  ( y3  0)2  (x2  x1)2  ( y2  y1)2

 x3  x2x1  y2 y1

ดงั น้นั เราได้

………… (i)

43

ตอ่ ไปพจิ ารณา

1) cos(   ) = cos[  ( )]
= cos cos( )  sin sin( )
= cos cos   sin sin 

………… (ii)

2)  ) =   cos   sin   sin 
cos( cos
2 22

= sin

………… (iii)

3) cos  = cos[  (   )]

22

=     )  sin     )
cos cos( sin(
22 22

= sin(   )

2

………… (iii)

4) sin(   ) = cos[  (   )] (จาก (ii))

2

= cos[(  )   ]

2

= sin cos   cos sin 

………… (iv)

44

5) sin(   ) = sin[  ( )]
= sin cos( )  cos sin( )
= sin cos   cos sin 

………… (v)

6)

Note: การพิสูจนล์ ะไวเ้ ป็นแบบฝึกหดั สาหรับนกั เรียน

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคา่ ของ cos  3   
 4 3 

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาคา่ ของ sin  cos   cos  sin 
9 18 9 18

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ 2) cos 75
1) sin15

45

ตวั อย่างที่ 4 จงหาค่าของ tan 7

12

ตวั อย่างที่ 5 จงแสดงวา่ tan       cot
2 

ตวั อย่างที่ 6 กาหนด sin  4 เม่ือ      และ sin    2 เมื่อ     3
52 52

จงหาคา่ ของ

(1) cos (2) cos 

(3) cos(   ) (4) sin(   )

46

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาค่าของ sin 75  sin15
ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ sin 17  sin 11

12 12

ตอ่ ไปพจิ ารณาคา่ ของ

7) sin 2 = sin( )
= sin cos  cos sin
= 2sin cos

ดงั น้นั

8) cos 2 = cos( )
= cos cos  sin sin
= cos2   sin2 

เนื่องจาก cos2   sin2   1 ดงั น้นั เราจึงไดต้ ่อไปวา่

และ


47

9) tan 2 = tan( )
= tan  tan

1  tan tan

= 2 tan

1  tan2 



ตัวอย่างที่ 9 กาหนดให้ cos  3 และ sin  0 จงหาคา่ ของ

5

1) sin 2 2) cos 2 3) tan 2

ตัวอย่างท่ี 10 จงแสดงวา่ cot sin 2x  1  cos 2x

ตวั อย่างท่ี 11 จงเขียน sin3 ในรูปของ sin

48

แบบฝึ กหัด

1. จงใชฟ้ ังกช์ นั ตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจานวนจริงหรือมุมหาค่าต่อไปน้ี

1) cos(60  45 ) 2) cos  3   
 2 3 

3) cos165 4) cos 225

5) sin105 6) sin135

7) tan 75 8) tan105

9) sin 17 10) cos 7

12 12

11) tan 19 12) tan 7

12 12

13) sin     14) sec    
 12   12 

2. จงหาคา่ ของ sin   5   sin     cos   5 
 2  2 cos  2 

2

3. จงหาค่าของ sin   sin      cos      cos 
3  4   4  3

4. จงหาคา่ ต่อไปน้ี 2) cos 70 cos 20  sin 70 sin 20
1) sin 20 cos10  cos 20 sin10

3) tan 20  tan 25 4) sin  cos 7  cos  sin 7
12 12 12 12
1  tan 20 tan 25

5) sin  cos 5  sin 5 cos 
12 12 12 12

2.8 ตัวผกผนั ของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

เน่ืองจากฟังกช์ นั ตรีโกณมิติไมเ่ ป็นฟังกช์ นั 1-1 ดงั น้นั ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติจึงไมเ่ ป็น
ฟังกช์ นั แต่ถา้ กาหนดโดเมนของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติใหเ้ หมาะสมจะพบวา่ ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
จะเป็นฟังกช์ นั

49

 ตวั ผกผนั ของฟังก์ชันไซน์
ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั ไซน์ คือ ฟังกช์ นั arcsine นิยามดงั น้ี

บทนิยาม ฟังกช์ นั arcsine คือ เซตของคูอ่ นั ดบั โดยที่ และ

(x, y) arcsin e  y  arcsin e x

 sin y  x

x  sin y เม่ือ    y  
พจิ ารณา กราฟของฟังกช์ นั
22

(x, y) y  sin x,    x   และ (x, y) y  arcsin e x
 2 
2 

จากกราฟ จะไดว้ า่ [-1,1]
1) โดเมนของฟังกช์ นั arcsine คือ
[  ,  ]
2) เรนจข์ องฟังกช์ นั arcsine คือ 22

การหาคา่ ของฟังกช์ นั ผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ทาไดด้ งั น้ี

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคา่ ของ arcsin e 1

วธิ ีทา y  arcsin e 1  sin y  1 เมื่อ    y  

22

 y

2

 arcsin e 1   ตอบ

2

50

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคา่ ของ arcsin e 3

2

วธิ ีทา y  arcsin e 3  sin y  3 เม่ือ   y 
22
22
ตอบ
 y

3

 arcsin e 3  

23

ตวั อย่างที่ 3 จงหาคา่ ของ arcsin e   1
 2 

วธิ ีทา y  arcsin e   1   sin y   1 เมื่อ   y 
 2  22
2
ตอบ
 y 

6

 arcsin e   1    
 2  6

 ตวั ผกผนั ของฟังก์ชันโคไซน์
ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั โคไซน์ คือ ฟังกช์ นั arccosine นิยามดงั น้ี

บทนิยาม ฟังกช์ นั arccosine คือ เซตของคู่อนั ดบั โดยที่ และ

(x, y) arccos  y  arccos x

 cos y  x

x  cos y เม่ือ 0  y  
พจิ ารณา กราฟของฟังกช์ นั

(x, y) y  cos x, 0  x   และ (x, y) y  arccos x