ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

51

จากกราฟ จะไดว้ า่ [-1,1]
1) โดเมนของฟังกช์ นั arccos คือ
2) เรนจข์ องฟังกช์ นั arccos คือ [0, ]

การหาค่าของฟังกช์ นั arccosine ทาไดด้ งั น้ี

ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ arccos 0 0 y

วธิ ีทา y  arccos 0  cos y  0 เมื่อ ตอบ

 y

2

 arccos 0  

2

ตัวอย่างท่ี 5 จงหาคา่ ของ arccos   1 
 2 

วธิ ีทา y  arccos   1   cos y   1 เม่ือ 0 y
 2 
2 ตอบ

 y  2

3

 arccos   1   2
 2  3

 ตัวผกผนั ของฟังก์ชันแทนเจนต์
ตวั ผกผนั ของฟังกช์ นั แทนเจนต์ คือ ฟังกช์ นั arctangent นิยามดงั น้ี

บทนิยาม ฟังกช์ นั arctangent คือ เซตของคู่อนั ดบั โดยที่ และ

(x, y) arctan  y  arctan x

 tan y  x

 x  tan y เมื่อ    y  

22

52

พิจารณา กราฟของฟังกช์ นั

 y) y  tan x,    x   และ (x, y) y  arctan x
(x, 2 
 2 

จากกราฟ จะไดว้ า่ คือ    ,  
1) โดเมนของฟังกช์ นั arctan คือ  2 2 

2) เรนจข์ องฟังกช์ นั arctan

การหาค่าของฟังกช์ นั arctan ทาไดด้ งั น้ี

ตวั อย่างที่ 6 จงหาค่าของ arctan 1

วธิ ีทา y  arctan 1  tan y 1 เมื่อ   y 
22
 y
ตอบ
4

 arctan 1  

4

ตัวอย่างที่ 7 จงหาคา่ ของ arctan ( 3)

วธิ ีทา y  arctan ( 3)  tan y   3 เมื่อ   y 
22
 y 
ตอบ
3

 arctan ( 3)   

3

53

ตวั อย่างที่ 8 จงหาคา่ ของ sin(arccos 3)

2

ตวั อย่างท่ี 9 จงหาค่าของ cos(2arccos 1)

3

ตวั อย่างที่ 10 จงหาคา่ ของ cos(arcsin( 1))

3

แบบฝึ กหดั

1. จงหาค่าต่อไปน้ี

1) arcsin 0 2) arccos 1 3) arcsin (1)
4) arccos (1) 5) arctan 0 6) arctan (1)

7) arcsin 2 8) arctan 3 9) arctan 3

2 3

10) arcsin  3 11)  3 12)  2
  2  arccos   2  arcsin   2 

2. จงหาคา่ ต่อไปน้ี

1) cos   3  2)    1 
arcsin  2  sin arcsin  2 


3) cos   3  4) tan  arcsin 1 
arccos  2   3 


5) tan  arccos 1  6) tan  arctan 1 
 3   2 

54

7)  2 8) cot   2 
cos arcsin 3  arcsin  3 


9) csc  arctan 1  10) sin arctan 3
 2 

11) cot   3  12)  2 5
arccos  3  sec arcsin 
 5 


2.9 เอกลกั ษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ

 เอกลกั ษณ์

ถา้ กาหนดให้ f เป็นฟังกช์ นั ตรีโกณมิติใด ๆ เอกลกั ษณ์ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ คือ สมการ
ตรีโกณมิติที่เป็ นจริงสาหรับทุก x Dom( f ) เช่น

1) sin2   cos2   1
2) 1  tan2   sec2 

จากตวั อยา่ งขา้ งตน้ เราจะพบวา่ สมการตรีโกณมิติเป็นจริงสาหรับทุก  ท่ีเป็นสมาชิกในโดเมน
ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติท่ีเก่ียวขอ้ ง ดงั น้นั เราจึงเรียกสมการตรีโกณมิติที่มีสมบตั ิเช่นน้ีวา่ เอกลกั ษณ์

 สมการตรีโกณมิติ
การแกส้ มการตรีโกณมิติ ทาไดด้ งั ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี

ตวั อย่างท่ี 1 จงแกส้ มการ cos x  1 เมื่อ 0  x  

22

วธิ ีทา เพราะวา่ x   0,   ท่ีทาให้ cos x  1 คือ x
 2  2 3

เพราะฉะน้นั เซตคาตอบ คือ   ตอบ
 
 3 

ตวั อย่างที่ 2 จงแกส้ มการ sin  1 sin  1     , 5

2 2 66

วธิ ีทา Y รูปทว่ั ไป คือ   2n   , 2n  5

P2 P1 66
X
เม่ือ n ตอบ

55

ตัวอย่างท่ี 3 จงแกส้ มการ 2sin2   3cos 3  0 เม่ือ 0   360

วธิ ีทา 2sin2   3cos  3  0  2[1 cos2 ] 3cos 3  0
2[1 x2] 3x  3  0 ให้ x  cos


 2x2  3x 1  0 ตอบ

 (2x 1)(x 1)  0
 x  1, 1

2

 cos  1, 1

2

   0 , 60 , 300 , 360

ตวั อย่างท่ี 4 จงแกส้ มการ tan x 1
วธิ ีทา tan x 1  sin x  1

cos x

 sin x  cos x ตอบ
ตอบ
 x   , 5

44

 x  2n   , 2n  5 เม่ือ n 

44

ตวั อย่างที่ 5 จงแกส้ มการ sin  cos 1

วธิ ีทา sin  cos 1  sin  cos 2 12

 sin2   2sin cos  cos2   1
 2sin cos  0
 sin cos  0

 sin  0 หรือ cos  0
   0,  หรือ    , 3

22

   0,  [ตรวจคาตอบ]

2

   2n , 2n   เมื่อ n 

2

56

แบบฝึ กหดั

1. ถา้ 0   2 จงแกส้ มการต่อไปน้ี
1) 2cos2   cos  0

2) 2sin2   sin 1  0

3) tan  2sin

2. ถา้ 0  x  2 จงแกส้ มการตอ่ ไปน้ี 2) tan xsin x  tan x  0
1) 4sin2 x  3  0 4) 4sin3 x  sin x  0
3) 2cos2 x  3 cos x  0 6) 3sec x  cos x  2  0
5) sin2 x  cos x  5  0
7) 3 csc2 x  2csc x  0 8) cos 2x  2 cos2 x  1

9) 2sin2 x  3cos x  3  0 2

10) cot x  2sin x  csc x

3. จงแกส้ มการต่อไปน้ี 2) tan2   3  0
1) 4sin2   1 4) sec2   2 tan  0

3) tan sin  tan  0

57

2.10 กฎของโคไซน์และไซน์

กฎของโคไซน์ : ในรูปสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ ถา้ a, b, c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A, B

และ C ตามลาดบั จะได้ B a
1) a2 = b2  c2  2bc cos A c
2) b2 = a2  c2  2ac cos B C
3) c2 = a2  b2  2ab cosC

Ab

ตวั อย่างท่ี 1 ในรูปสามเหล่ียม ABC ถา้ a = 12, b = 7 และ มุม C มีขนาด 40 องศา จงหา c

กฎของไซน์ : ในรูปสามเหล่ียม ABC ใด ๆ ถา้ a, b, c เป็นความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A, B และ
C ตามลาดบั จะได้

sin A  sin B  sin C
abc

ตัวอย่างที่ 2 ถา้ รูปสามเหลี่ยม ABC ถา้ a = 10, Bˆ  42 และ Cˆ  51 จงหา b

ตวั อย่างท่ี 3 ในรูปสามเหล่ียม ABC ถา้ Aˆ  30 , a = 16 และ b = 24 จงหาขนาดของมุม B

ตัวอย่างที่ 4 ABC เป็ นรูปสามเหล่ียมรูปหน่ึง ถา้ Aˆ  30 , a = 32 และ b = 24 จงหาขนาดของ Bˆ

58

แบบฝึ กหัด

กาหนดใหร้ ูปสามเหลี่ยม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมุม A มุม B และ มุม C ยาวa ,b และ c หน่วย ตามลาดบั
1. จงใชก้ ฎของโคไซน์ เพอื่ หาค่าตอ่ ไปน้ี

1) จงหา a เมื่อกาหนดให้ A  60 , b  40 และ c  60

2) จงหา b เมื่อกาหนดให้ B 120 , a  4 และ c  6

3) จงหา c เม่ือกาหนดให้ C 133 , a 193 และ b  80

4) จงหา B เมื่อกาหนดให้ a 12 , b  7 และ c  8

5) จงหา A เมื่อกาหนดให้ a  8.4 , b  3.7 และ c  5.2

2. จงใชก้ ฎของไซน์เพ่ือหาค่าต่อไปน้ี
1) จงหา c เม่ือกาหนดให้ A  45 , C  60 , b  20

2) จงหา a เม่ือกาหนดให้ B  65 , A  30 , c  32

3) จงหา a และ c เม่ือกาหนดให้ A 105 , C  60 , b  4

59

3. จงหาพ้ืนที่ของรูปสามเหล่ียม ABC จากส่ิงท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1) a 15 , b  20 และ C  65

2) c  5.5 , b  80 และ A 103.5

3) a 14.1 , c  27.4 และ B 112

4. จงหาส่วนต่าง ๆ ท่ีเหลือของรูปสามเหลี่ยม ABC จากสิ่งท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี
1) B 120 , C  35 และ a  15

2) A 102 , B  41 และ c  52.8

3) a  1 , b  3 และ A  30

4) B  60 , b  3 2 และ c  3 3

5) B  45 , c  12 และ b  8

60
5. รูปส่ีเหล่ียมดา้ นขนานรูปหน่ึงมีขนาดของมุมมุมหน่ึงเท่ากบั 135 องศา ดา้ นประกอบมุมน้ียาว 5 และ

10 เซนติเมตร เส้นทแยงมุมเส้นส้นั ของรูปส่ีเหล่ียมน้ียาวก่ีหน่วย

6. จงหาความยาวของเส้นรอบรูปของรูปสามเหล่ียมหนา้ จว่ั ซ่ึงมีฐานยาว 60 หน่วย และขนาดของมุมยอด
เป็น 30 องศา

7. รูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ รูปหน่ึงมีดา้ นประกอบมุมฉากยาว 24 และ 32 เซนติเมตร จงหาขนาดของมุมแหลมท่ีเกิด
จากเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมรูปน้ีตดั กนั

8. กลา้ มีท่ีดินอยแู่ ปลงหน่ึงเป็ นรูปสี่เหล่ียมซ่ึงมีมุมมุมหน่ึงเป็นมุมฉาก และดา้ นท่ีประกอบมุมน้ียาวเท่ากนั
มุมท่ีอยตู่ รงขา้ มกบั มุมฉากมีขนาด 30 องศา และดา้ นท่ีประกอบมุมน้ียาว 20 และ 40 เมตร จงหาวา่ ท่ีดิน
แปลงน้ีมีพ้นื ที่กี่ตารางเมตร

61

2.11 การหาระยะทางและความสูง

ตวั อย่างท่ี 1 เนตรยนื อยบู่ นสนามแห่งหน่ึงมองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 15 องศา แต่เมื่อเดินตรง
เขา้ ไปหาเสาธงอีก 60 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเป็นมุมเงย 75 องศา ถา้ เนตรสูง 150 เซนติเมตร จงหา
ความสูงของเสาธง

ตัวอย่างที่ 2 จากหนา้ ผาซ่ึงสูง 200 เมตรเหนือระดบั น้าทะเล ผสู้ ังเกตการณ์คนหน่ึงมองเห็นเรือ
สองลาทอดสมออยใู่ นทะเลเป็นมุมกม้ 40 องศา และ 60 องศา ตามลาดบั จากเส้นระดบั สายตาเดียวกนั จงหา
วา่ เรือท้งั สองลาอยหู่ ่างกนั กี่เมตร

62

แบบฝึ กหัด

1. พิเชษฐย์ นื อยหู่ ่างจากตึกหลงั หน่ึง 18 เมตร มองเห็นยอดตึกและเสาอากาศซ่ึงอยบู่ นยอดตึกเป็ นมุมเงย 30
องศา และ 60 องศา ตามลาดบั จงหาความสูงของเสาอากาศ

2. เรือสองลาทอดสมออยหู่ ่างกนั 60 เมตร และอยใู่ นแนวเส้นตรงเดียวกบั ประภาคาร ทหารในเรือแตล่ ะลา
มองเห็นยอดประภาคารเป็ นมุมเงย 45 องศา และ 30 องศา จงหาวา่ เรือลาท่ีอยใู่ กลป้ ระภาคารอยหู่ ่างจาก
ประภาคารกี่เมตร

3. ถา้ A และ B เป็นจุดสองจุดที่อยตู่ รงขา้ มกนั ของบึงแห่งหน่ึง และ C เป็นจุดจุดหน่ึงท่ีอยบู่ นพ้ืนราบ
เดียวกนั โดยที่ CA และ CB เทา่ กบั 3.2 และ 2.4 กิโลเมตร ตามลาดบั และมุม ACB มีขนาด 75 องศา
จงหาความยาวของ AB