MATEMATICAS_FINANCIERAS_DIAZ MATTA 5TA ED

2.2 Monto     37

Combinando las dos expresiones anteriores: (2.3)
M = C + Cit
M = 20 000 + 20 000 (0.12)(1/6) = 20 000 + 400  = 20 400
Factorizando la expresión (2.3) se obtiene:

M = C (1 + it) (2.4)
Al factor (1 + it) se le conoce como factor de acumulación con interés simple.
Otra relación que se puede observar se obtiene despejando C en (2.4):

C = M = M(1 + it)−1
(1 + it)

C = M ) = M (1 + it )−1 = 20 400(1.02)−1 = 20 400(0.980392)
(1+ it

C  = 20 000

Este caso podría pensarse, con las mismas cantidades, en los siguientes términos: el señor Chávez
tiene una deuda de $20 400 que debe pagar dentro de dos meses. Si la operación está pactada a 12%
anual de interés simple, ¿cuánto debería pagar para saldar su deuda el día de hoy?

La respuesta es, desde luego, $20 000. En este caso se comprenderá por qué se acostumbra lla-
mar a esta cantidad valor actual de la deuda o, lo que es lo mismo, valor actual de la operación.
Es necesario observar que el capital y el valor actual representan lo mismo, sólo que en contextos
diferentes: el capital es una cantidad que se invierte ahora para obtener después un monto superior,
y el valor actual es, precisamente, el valor que tiene en este momento una cantidad cuyo valor se ha
planteado en una fecha futura. En última instancia, ambos conceptos se pueden pensar y plantear
uno en función del otro.

Más adelante se presentan otros ejemplos, para ilustrar de manera más clara los diversos con-
ceptos que se han explicado hasta aquí.

2.2  Monto

Ejemplo 2.2.1

Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $3 500 que acuerda liquidar mediante un
pago de inmediato de $1500 y un pago final 4 meses después. Acepta pagar 10% de interés anual sim-
ple sobre el saldo. ¿Cuánto deberá pagar dentro de 4 meses?

Solución: C = 3 500 - 1500 = 2 000
i = 0.10
t = 4/12 = 1/3
M = 2 000[1 + (0.10)(1/3)] = 2 000(1.033333)
= $2 066.67

Deberá pagar $2 066.67, de los cuales $2 000 son el capital que adeuda y $66.67 los intereses
de 4 meses.

Ejemplo 2.2.2
Una persona deposita $150 000 en un fondo de inversiones bursátiles que garantiza un rendi-
miento de 0.8% mensual. Si retira su depósito 24 días después, ¿cuánto recibe?

38     Capítulo 2  Interés simple

Solución: C = 150 000
i = 0.8% mensual
t = 24/30
M = 150 000[1 + (0.008)(4/5)]
= 150 000(1 + 0.0064)
= 150 960

Observe que en este caso se plantea tanto el tiempo como la tasa en meses.

2.3  Valor actual o presente

Repasando, el valor actual, que equivale al capital, se puede encontrar despejando C en la fórmula
del monto (2.4), como sigue:

C = M = M(1 + it)−1
(1 + it)

Ejemplo 2.3.1

Una persona participa en una “tanda” y le toca cobrar en el decimoctavo mes. Si dentro de 18 me-
ses recibirá $30 000, ¿cuál es el valor actual de su tanda, con un interés simple de 20% anual?

Solución:
M = $30 000 es un monto, pues se trata de una cantidad de la que se dispondrá en una

fecha futura.
t = 18/12 = 1.5
i = 20% anual

C = M ) = 30 000
(1+ it 1+ (0.2(1.5))

C = 30 000/1.30 = $23 076.92

En este caso, $23 076.92 es el valor actual de $30 000, realizables dentro de 18 meses con 20%
anual de interés simple.

Ejemplo 2.3.2

Un individuo compró un terreno por el cual pagó $195 000 el primero de enero, y lo vende el pri-
mero de junio del año siguiente en $256 000. Considerando sólo los valores de compra y venta,
¿fue una inversión conveniente la operación que realizó si la tasa de interés de mercado era de
11%?

Solución:
En este caso, para evaluar la conveniencia se calcula el valor actual de $256 000, 17 meses atrás, a
una tasa similar a las vigentes en ese lapso, para comparar esa cantidad con lo que pagó.

Pagado el primero
de enero
Valor actual de $256 000, 17 meses antes, a 11% anual simple

195 000 C = 1 + 256 000 = 256 000
(17/12)(0.11) 1.155833

C  = $221485.28

Ganó $26 485.28, resultado de restar a $221485.28 (precio de venta), los $195 000 del precio de
compra, al haber invertido en el terreno en vez de haberlo hecho en una inversión bancaria o bur-
sátil que habría tenido el mismo rendimiento de mercado.

2.4 Interés     39

2.4  Interés

Ejemplo 2.4.1

Una persona obtiene un préstamo de $50 000 y acepta liquidarlo año y medio después. Acuerda
que, mientras exista el adeudo, pagará un interés simple mensual de 1.5%. ¿Cuánto deberá pagar
de interés cada mes?

Solución: C = 50 000
a) t = 1 mes
i = 1.5% = 0.015
I = 50 000(0.015)(1) = $750


Tendrá que pagar $750 mensuales.
Puesto que la tasa de interés y el plazo están expresados en meses (la misma unidad para am-

bos conceptos), el cálculo del interés es directo.

b) Para resolver este mismo ejemplo, pero expresando las cantidades en periodos anuales (ya no
mensuales), se debe proceder de la siguiente manera.

Solución: C = 50 000
t = 1/12
i = (0.015)(12) = 0.18 anual
I = 50 000/1/12)(0.18) = $750

Ejemplo 2.4.2

Si alguien deposita $75 000 en una cuenta bancaria que ofrece pagar 0.35% mensual simple,
¿cuánto recibirá mensualmente de intereses?

Solución: C = $75 000
i = 0.0035 mensual
I = $75 000(0.0035)(1)
I = $262.50 mensuales

Ejercicios de las secciones 2.1 a 2.4
1. Se obtiene un crédito por $180 000 a 160 días con 15% de interés anual simple. ¿Qué can-

tidad debe pagar al vencerse su deuda?
2. ¿Qué cantidad por concepto de interés simple mensual produce un capital de $40 000 a un

interés de 13% anual simple?
3. Si una persona deposita hoy $50 000 a plazo fijo con 2.20% de interés mensual, y no retira

su depósito y reinvierte sus intereses, ¿cuánto tendrá en su cuenta 3 meses después si la
tasa de interés no varía?
4. Una persona adquiere hoy un terreno que cuesta $220 000. Si suponemos que el terreno
aumenta su valor en forma constante y a razón de 0.2% mensual, ¿cuál será su valor des-
pués de 2 meses?
5. María Eugenia desea adquirir un inmueble dentro de 2 años. Supone que el enganche que
tendrá que pagar en esas fechas será de $60 000. Si desea tener esa cantidad dentro de 2
años, ¿qué suma debe invertir en su depósito de renta fija que rinde 0.8% de interés men-
sual simple?

40     Capítulo 2  Interés simple

6. ¿Qué cantidad se debe invertir hoy a 1.8% de interés simple mensual para tener $20 000
dentro de dos meses?

7. ¿Cuál es el valor de un pagaré por $5 000 que vence el 15 de septiembre si se considera un
interés de 5% anual simple y hoy es 11 de julio?

8. Para terminar de saldar una deuda, una persona debe pagar $3 500 el 15 de julio. ¿Con
qué cantidad pagada hoy, 13 de marzo, liquidaría su deuda si se considera un interés de
6% anual?

9. Un mes después de haber obtenido un préstamo, José Luis debe pagar exactamente $850.
¿Cuánto obtuvo en préstamo, si el pago que debe hacer incluye intereses de 18% anual?

10. ¿Cuál es el valor actual de una letra de cambio de $ 9 000 que vence dentro de 60 días, si la
tasa de interés es de 17% anual?

11. Una persona que cobra $5 000 mensuales de sueldo es despedida por problemas finan-
cieros de la empresa. En consecuencia, se le paga su correspondiente indemnización, que
incluye 3 meses de sueldo, días por antigüedad y descuentos por impuestos, lo que arroja
un saldo neto de $45 000. ¿Qué ingreso fijo mensual le representaría al ahora desempleado
depositar el monto de su liquidación en una inversión que paga 18% de interés simple
anual?

12. ¿Qué cantidad de dinero colocada en una inversión de renta fija que paga 10% de interés
simple anual produce intereses mensuales de $450?

13. ¿Cuánto debe pagar por concepto de intereses una persona que tiene una deuda por $22 000 si
la liquida 6 meses después y le cobran intereses a razón de 16% anual simple?

14. ¿Cuánto tendría que pagar mensualmente por concepto de intereses una persona que
adeuda $7 500 si le cobran 8% simple semestral?

15. Salomé tiene 2 deudas:
a) Le debe $80 000 a un banco que cobra 1.5% mensual.
b) Compró a crédito un automóvil; pagó determinado enganche y le quedó un saldo de
$125 000 que comenzará a pagar dentro de 8 meses; mientras tanto, debe pagar 12%
de interés simple anual durante ese lapso.
¿Cuánto pagará en los próximos seis meses por concepto de intereses?

16. Los movimientos de la cuenta de crédito de un cliente fueron:

Saldo registrado el 14 de febrero $450 Cargo el 15 de abril $1 000
Cargo el 27 de febrero $150 Cargo el 30 de abril $100
Abono el 31 de marzo $400

Si el almacén cobra 14% anual de interés, ¿qué cantidad deberá pagar el cliente el 15 de
mayo para saldar la cuenta?

17. ¿Cuál es el saldo al 1 de junio de una cuenta de crédito a la que se le carga mensualmente
18% de interés simple anual y que ha tenido los siguientes movimientos?

1 de marzo Saldo $850
15 de marzo Abono $150
31 de marzo Cargo $450
15 de mayo Abono $200
31 de mayo Abono $250

18. Diez por ciento anual es un tipo razonable de interés de rendimiento del dinero. Por ello,
¿cuál de las tres ofertas de venta siguientes es más conveniente para la compra de un terreno?
a) $90 000 al contado.
b) $45 000 al contado y el saldo en dos pagarés: uno por $25 000 a 30 días, y otro por la
misma cantidad a 60 días.
c) $30 000 al contado y un pagaré de $64 000 a 30 días.

2.5  Tasa de interés     41

19. A las tasas vigentes, ¿cuánto rinde de intereses mensuales un millón de pesos en un depó-
sito a plazo fijo de:

a) 28 días? b) 91 días? c) 180 días?

20. A las tasas vigentes, ¿qué cantidad se recibiría al final de la transacción por un pagaré con
rendimiento liquidable al vencimiento por $50 000 a un plazo de 3 meses?

2.5  Tasa de interés

Se revisan aquí algunos ejemplos en los que se debe determinar la tasa de interés de operaciones con
interés simple.

Ejemplo 2.5.1

Una persona compra un reproductor de discos compactos que cuesta $1500. Paga un enganche de
$800 y acuerda pagar otros $750 tres meses después. ¿Qué tasa de interés simple pagó?

Solución: C  = 1500 - 800  =  700, la cantidad que queda debiendo
t = 3/12  =  0.25
I = $750  -  $700  =  $50

y, con I = Cit $50  =  $700 i(0.25)
$50  =  i(700)(0.25) = 175i

i  =  (50/175)
i  =  0.285714

Pagó un interés de 28.57% anual.

Ejemplo 2.5.2

Una persona compró un terreno el 1 de enero en $195 000 y lo vendió 17 meses después en
$256 000. ¿Qué tasa de interés simple anual le rindió su inversión?

Solución: C = 195  000
M = 256  000

t = 17/12 años
i = ?

de M = C(1 + it) 256 000 = 195 000[1 + i(17/12)]

256 000 = 1 + 17/12 i = 1.312821
195 000

17i = 1.312821−1 = 0.312821
12
12(0.312821)
i = 17 = 0.220814

La tasa es de 0.2208 anual simple o 22.08% anual simple.

42     Capítulo 2  Interés simple

Ejemplo 2.5.3

¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa de 54% anual?

i = 0.54 = 0.045 o 4.5% mensual
12

Ejemplo 2.5.4

¿Cuál es la tasa de interés mensual simple equivalente a una tasa de 0.165 semestral?

i = 0.165 = 0.0275 = 2.75% mensual
6

2.6  Plazo o tiempo

Ejemplo 2.6.1
¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido a una tasa de 19% de interés anual simple?

De M = C(1 + it) suponiendo M = 2 y C = 1
2 = 1[1 + (0.19)t]
1 + 0.19 t = 2
0.19 t = 2 - 1 = 1
t = 1/0.19
t = 5.26 años

0.26 años = 365 (0.26) días = 94.9 días
t = 5 años y 95 días, aproximadamente
Observe que para resolver este problema sólo se necesitó suponer un monto igual al doble de cual-
quier capital. Si se utiliza M = 30 C = 15
30  = 15(1 + 0.19 t)
30/15  = 1 + 0.19 t
2  = 1 + 0.19 t
t  = 1/0.19 que es la misma expresión que se obtuvo antes

Ejemplo 2.6.2

¿En cuánto tiempo se acumularían $5 000 si se depositan hoy $3 000 en un fondo que paga 1.2%
simple mensual?

M  = 5 000
C  = 3 000
i  = 0.012 mensual

5 000  = 3 000(1 + 0.012t)
5 000
3 000 = 1+ 0.012 t

1.666667  = 1 + 0.012 t
0.012 t  = 0.666667
t  = 0.666667/0.012
t  = 55.56 meses

2.7  Tiempo real y tiempo aproximado     43

Como la tasa i estaba dada en meses, el resultado que se obtiene en t también está en meses, y 0.56
meses = 0.56 (30) días = 16.8 días; entonces, se deben depositar hoy $3 000 a 1.2% mensual simple
durante 55 meses y 17 días, aproximadamente, para acumular la cantidad solicitada.

2.7  Tiempo real y tiempo aproximado

Existen situaciones en las que el plazo de una operación se especifica mediante fechas, en lugar de
mencionar un número de meses o años.

Ejemplo 2.7.1

¿Cuál será el monto el 24 de diciembre de un capital de $10 000 depositado el 15 de mayo del mis-
mo año en una cuenta de ahorros que paga 19% anual simple?

C  = 10 000
i  = 0.19
t  = ?

a) Para calcular el tiempo real es necesario determinar el número de días que transcurren entre
las dos fechas (observe que el 15 de mayo no se incluye, ya que si se deposita y retira una can-
tidad el mismo día, no se ganan intereses).

16 días de mayo
30 días de junio
31 días de julio
31 días de agosto
30 días de septiembre
31 días de octubre
30 días de noviembre
24 días de diciembre
223

y, t = 223/365
M = 10 000[1 + (0.19)(223/365)]
M = 10 000(1.116082)
M = 11 160.82

b) En muchos casos se calcula el tiempo en forma aproximada, contando meses enteros de 30
días y años de 360 días.

Por lo tanto, del 16 de mayo al 15 de diciembre hay 7 meses, más 9 días del 15 de diciembre
al 24 de diciembre:
7(30) + 9 = 219 días

t  = 219/360
M  = 10 000 [1 + 0.19(219/360)]
= 10 000(1.115583)
= 11 155.83
Aunque ocasiona diferencias en los valores que se obtienen, se utiliza el cálculo aproximado del
tiempo debido a que es más sencillo y es común su uso en transacciones comerciales.

Ejemplo 2.7.2
El 11 de julio se firmó un pagaré por $1 700 con 18% de interés. ¿En qué fecha los intereses llega-
rán a $150?

44     Capítulo 2  Interés simple

a) Con tiempo exacto:
I = 150
C  = 1 700
i  = 0.18
I  = Cit
150  = $1 700(0.18) t
150  = $306 t
150
t = 306 = 0.490196 años, pues la tasa está en años

0.490196(365) = 178.92 o, aproximando, 179 días

Al 31 de julio 20
Al 31 de agosto 20 + 31 = 51
Al 30 de septiembre 51 + 30 = 81
Al 31 de octubre 81 + 31 = 112
Al 30 de noviembre 112 + 30 = 142
Al 31 de diciembre 142 + 31 = 173
Al 6 de enero 173 +   6 = 179

El 6 de enero del año siguiente se acumulan $150 de intereses.

b) Con tiempo aproximado.
t = 0.490196 [igual que en a)]

0.490196(360) = 176.47 o, aproximando, 177 días
Como sabemos, 177 días son 5 meses y 27 días, por lo que del 11 de julio más 5 meses = 11 de di-
ciembre. A partir de esta fecha más 27 días = 7 de enero.

Ejercicios de las secciones 2.5 a 2.7

21. Encuentre el interés simple:
a) real y
b) aproximado u ordinario de un préstamo de $1500 a 60 días, con 15% de interés sim-
ple.

22. ¿Qué forma de calcular el tiempo, real u ordinario, produce una mayor cantidad de intereses?
23. De acuerdo con el tiempo ordinario, ¿cuántos días transcurren desde el 15 de marzo hasta

el 18 de diciembre?
24. De acuerdo con el criterio real, ¿cuánto tiempo transcurre desde el 14 de mayo hasta el 15

de noviembre?
25. ¿A qué tasa de interés simple anual $2 500 acumulan intereses por $250 en 6 meses?
26. ¿A qué tasa de interés simple se duplica un capital en 20 meses?
27. ¿En qué tiempo $2 000 se convierten en $2 500 a 14% de interés simple anual?
28. Una persona le prestó $400 a un amigo, y 4 meses después le cobró $410. ¿Qué tasa anual

de interés pagó el amigo?
29. El señor Martínez obtiene un préstamo por $2 000 y paga después de 8 meses $2 200. ¿Qué

tasa de interés mensual simple le cobraron?
30. Una bicicleta cuesta $800. Un comprador paga $500 al contado y el resto a 60 días, con un

recargo de 5% sobre el precio al contado. ¿Qué tasa de interés anual simple le aplicaron?
31. ¿Cuál es la tasa de interés simple proporcional bimestral equivalente a una tasa de 16%

anual?
32. ¿Cuál es la tasa simple anual equivalente a una tasa trimestral simple de 5%?
33. ¿Cuál es la fecha de vencimiento de un pagaré firmado el 15 de junio a un plazo de 180 días?
34. Una señora reembolsa $205.08 por un pagaré de $185 firmado el 10 de mayo con 38% de

interés simple anual. ¿Cuándo lo pagó?

2.8 Descuento     45

35. Una persona adquiere una licuadora que cuesta $320 el 14 de agosto y la paga el 26 de
noviembre con un abono de $350. ¿Qué tasa de interés simple anual exacto pagó?

36. El 15 de febrero se firmó un pagaré de $1500 con 22% de interés simple anual. ¿En qué
fecha los intereses sumarán $400?

37. Investigue qué tasa de interés simple mensual carga alguna tienda de departamentos sobre
cuentas de crédito corriente.

38. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual que pagan los Bonos del Ahorro Nacional si dupli-
can la inversión en cinco años?

2.8  Descuento

El descuento es una operación de crédito que se lleva a cabo principalmente en instituciones banca-
rias y que consiste en que éstas adquieren letras de cambio o pagarés, de cuyo valor nominal descuen-
tan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe
y la fecha del vencimiento. Con esta operación se anticipa el valor actual del documento.

Existen básicamente dos formas de calcular el descuento:
• El descuento comercial.
• El descuento real o justo.

2.8.1  Descuento comercial

En este caso la cantidad que se descuenta se calcula sobre el valor nominal del documento, como se
ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.8.1

Observe el pagaré que aparece abajo.
Si el banco realiza operaciones de descuento a 20% anual, y si el señor Díaz desea descontar

el documento el 15 de junio, los $185 000 (el valor nominal del pagaré) devengarán los siguien-
tes intereses (descuento) durante los 2 meses en que se adelanta el valor actual del documento:

descuento = D (2.5)
D = Mit = Mdt

en donde d representa la tasa de descuento
185 000(2/12)(0.20) = 185 000(0.033333) = 6 166.67

Núm. 0000     México, D.F. a 10 de mayo de 20 XX $ 185 000

Por este PAGARÉ prometo(emos) pagar incondicionalmente a la orden

de Alfredo Díaz Villanueva el día 15 de agosto de 20XX

la cantidad de ciento ochenta y cinco mil pesos 00/100 valor recibido en

mercancía a mi (nuestra) entera satisfacción.

En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(nos) obligo(amos) a cubrir    % mensual por con-
cepto de intereses moratorios, sin que por eso se entienda prorrogado el plazo. Este documento for-
ma parte de una serie de    documentos, por lo que la falta de pago de uno de ellos faculta aplicar
el artículo 79 en relación con el No. 174 de la Ley General de Títulos y Operaciones de Crédito.

Alma González Nava

46     Capítulo 2  Interés simple

En consecuencia, $6 166.67 es el descuento que se aplica:

valor nominal 185 000.00
menos descuento 6 166.67
valor anticipado
178 833.33

Por lo tanto, el señor Díaz recibe $178 833.33, que es el valor comercial del documento el 15 de ju-
nio, ya que se aplicó el descuento comercial. Tal como se había señalado al principio, el descuento se
calculó con base en el valor nominal del pagaré.

Ejemplo 2.8.2

Una empresa descontó en un banco un pagaré. Recibió $166 666.67. Si la tasa de descuento es de
30% y el pagaré vencía 4 meses después de su descuento, ¿cuál era el valor nominal del documen-
to en la fecha de su vencimiento?

Solución:
Aquí C  = 166 666.67
d  = 0.30
t  = 4/12 de año = 1/3 de año

Se sabe que el descuento (D) = Mdt y M = C + D

D = (C + D) dt = Cdt + Ddt
D - Ddt  = Cdt
D(1 - dt) = Cdt

D = Cdt
1− dt

D = 166 666.67(0.30)(1/3) = 166 666.67(0.10) = 16 666.67 =
1− (0.30)(1/3) 1− 0.10 0.90

D = $18 518.52

Por lo tanto, el valor del pagaré en su fecha de vencimiento es:

166 666.67 + 18 518.52 = $185 185.19

Ejemplo 2.8.3

Una empresa descuenta un documento por el cual recibe $945.05. Si la tasa de descuento es de
25% y el valor nominal del documento era de $1 000, ¿cuánto tiempo faltaba para el vencimiento?

Solución: M  = 1 000
C  = 945.05
d  = 0.25
D  = 1 000 - 945.05
D  = 54.95
D  = Mdt
54.95  = 1 000(0.25)t

t = 54.95 = 0.21980 de año = 0.21980(12)meses ≈ 2.64 meses
250

0.64 meses (30) = 19.20 o, aproximando, 19 días.

El plazo es de 2 meses y 19 días.

2.8 Descuento     47

2.8.2  Descuento real o justo

A diferencia del descuento comercial, el descuento justo se calcula sobre el valor real que se anticipa,
y no sobre el valor nominal.

Ejemplo 2.8.4

Con los datos del ejemplo 2.8.1: M  = $185 000
t  = 2/12
d  = 0.20

Solución:
De acuerdo con el descuento real, sustituyendo en la fórmula del monto a interés simple (el inte-
rés real):

M  = C(1 + it)
185 000  = C[1 + 0.20(2/12)]
185 000  = C(1 + 0.033333)
185 000
C = 1.033333 = 179 032.26

Por lo que el descuento asciende a
185 000 - 179 032.26 = $5 967.74

que es un tanto inferior al descuento comercial.

Ejemplo 2.8.5

Datos del ejemplo 2.8.2: C  = 166 666.67
d  = 0.30
t  = 1/3

Solución: M = 166 666 .67[1 + 0.3(1/3)]
M = 166 666.67(1.10)
M = $183 333.34

Si la operación se hubiera llevado a cabo bajo descuento real, el valor nominal del pagaré habría
sido de $183 333.34.

Observe la diferencia con los resultados obtenidos en el ejemplo 2.8.2, bajo descuento co-
mercial.

Descuento justo = $183 333.34 - 166 666.67 = 16 666.67
Descuento comercial = 185 185.19 - 166 666.67 = 18 518.52

El descuento justo equivale a 10% del capital, en tanto que el descuento comercial equivale a 10%
del monto.

Ejemplo 2.8.6

Datos del ejemplo 2.8.3: M  = 1 000
C  = 945.05
d  = 0.25

Solución: M = C(1 + dt)
1 000 = 945.05(1 + 0.25t)

48     Capítulo 2  Interés simple

1 000 = (1 + 0.25t )
945.05
1.058145 = 1 + 0.25t

1.058145 - 1 = 0.25t

0.058145 = t
0.25

t = 0.232580

0.232580 años = 2.79096 meses = 2 meses 23.72 días

Plazo con descuento comercial: 2 meses y 19 días
Plazo con descuento real: ≈ 2 meses y 24 días

2.9  Gráficas de interés simple

Graficar I y M en un sistema de coordenadas rectangulares ayuda a observar lo que le ocurre al di-
nero con el tiempo.

2.9.1  Gráfica de I

Ya se vio que I  = Cit
Si se supone que C  = 1
Entonces I  = it

De esta forma, la gráfica de los valores de I en función del tiempo son líneas rectas que pasan por
el origen y que tienen como pendiente i, como puede apreciarse en la gráfica A.

I 60%

1 40%

30%
0.5

1 2 3 t (años)
Gráfica A

M 60%

2 40%
1.5 30%

$1

0.50

123 t (años)

Gráfica B

Observe que, como era de esperarse, la recta sube más rápidamente (el interés es mayor) cuando
la pendiente (la tasa de interés) es mayor.

2.9  Gráficas de interés simple     49

2.9.2  Gráfica de M

De       M  = C(1 + it)
Si C  = 1  M  = 1 + it
y (1 + it) representa el monto de $1 para diferentes valores de i de t (gráfica B).

Al igual que en la gráfica del interés, la recta sube con mayor rapidez (el monto es mayor) cuan-
do la pendiente (la tasa de interés) es mayor.

Ejercicios de las secciones 2.8 y 2.9

39. Elabore una gráfica del interés que se produce en un mes con un capital de $1 000 inverti-
dos en depósitos a plazo fijo de:
a) 60 días b)  90 días c)  180 días d)  360 días

40. Confeccione otras gráficas con las mismas alternativas, pero considerando el monto.

41. ¿Cuál es el descuento comercial de un documento que vence dentro de 5 meses, y que tiene
un valor nominal de $3 850, si se le descuenta a una tasa de 18% tres meses antes de su
vencimiento?

42. ¿Cuál es el descuento real del documento del ejercicio 41?
43. Si se descuenta el documento de la página siguiente a una tasa de 23% el 29 de agosto.

a) ¿Cuál sería el descuento comercial? b) ¿Cuál sería el descuento justo?

Núm. 0000      Zihuatanejo, Gro,. a 10 de marzo de 20 XX    $ 580 000

Por este PAGARÉ prometo(emos) pagar incondicionalmente a la orden

de Alfonso Martínez Sánchez el día 18 de octubre de 20XX

la cantidad de quinientos ochenta mil pesos 00/100 valor recibido en efec-

tivo a mi (nuestra) entera satisfacción.

En caso de que no pague(mos) puntualmente, me(nos) obligo(amos) a cubrir    % mensual por con-
cepto de intereses moratorios, sin que por eso se entienda prorrogado el plazo. Este documento forma
parte de una serie de    documentos, por lo que la falta de pago de uno de ellos faculta a aplicar el
artículo 79 en relación con el No. 174 de la Ley General de Títulos y Operaciones de Crédito.

44. ¿En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $3 000, si su fecha de ven-
cimiento era el 29 de diciembre, el tipo de descuento 15% y el descuento comercial fue de
$112.50?

45. ¿En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $5 750, si su fecha de venci-
miento era el 15 de octubre, el tipo de descuento comercial 32% y el descuento de $531.56?

46. ¿En qué fecha se descontó un documento con valor nominal de $1250, si su fecha de venci-
miento era el 27 de junio, el tipo de descuento 42% y se recibieron $1217.92 netos?

47. ¿Qué tasa de descuento real se aplicó a un documento con valor nominal de $700, si se des-
contó 60 días antes de su vencimiento y se recibieron $666.67 netos? Considere a) tiempo
aproximado y b) tiempo real.

48. ¿Qué tasa de descuento real se aplicó a un documento con valor nominal de $1000, si se
descontó 45 días antes de su vencimiento y el descuento fue de $30.48?

49. ¿Qué tasa de descuento comercial se aplicó a un documento con valor nominal de $1 750, si
se descontó 90 días antes de su vencimiento y se recibieron $1 592.50 netos?

50. ¿Qué tasa de descuento comercial se aplicó a un documento con valor nominal de $38 500,
si se descontó 15 días antes de su vencimiento y el descuento fue de $315?

50     Capítulo 2  Interés simple

51. ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron $1439.79, si se descontó
comercialmente a una tasa de 17%, 85 días antes de su vencimiento?

52. ¿Cuál era el valor nominal de un documento que se descontó comercialmente 2 meses antes
de su vencimiento, si la tasa de descuento fue de 18% y el descuento importó $150?

53. ¿Con cuántos días de anticipación se descontó un documento cuyo valor era de $4 270 si el
tipo de descuento comercial fue de 27% y el descuento aplicado fue de $288.22?

54. ¿Con qué anticipación se descontó un documento cuyo valor nominal era de $1300, con tasa
de descuento comercial de 35%, si la cantidad neta recibida fue de $1 154.04?

55. ¿Cuál era la fecha de vencimiento de un pagaré con valor nominal de $3 500, por el cual
se recibieron $3 420.86 netos el 14 de julio, si el tipo comercial de descuento aplicado fue
de 22%?

56. ¿Cuál era la fecha de vencimiento de un pagaré con valor nominal de $240 000, por el que se
recibieron $227 680.00 el 14 de diciembre, si la tasa de descuento aplicada fue de 22%?

57. ¿Cuál era la fecha de vencimiento de un pagaré nominal de $17 000 que se descontó comer-
cialmente a una tasa de 27% el 12 de enero, cuyo descuento ascendió a $420.75?

58. ¿Cuál era la fecha de vencimiento de un pagaré con valor nominal de $748, que fue descon-
tado a tasa real, el 17 de octubre, a 11.5% y cuyo descuento ascendió a $15.69?

59. El señor López le debe al señor Montiel $5 000. Éste acepta como pago un documento a 90
días; si el señor Montiel puede descontarlo de inmediato en un banco que aplica una tasa
de descuento de 30% anual simple, ¿cuál debe ser el valor nominal del documento para
que el señor Montiel reciba del banco los $5 000 adeudados?

60. Si un banco desea ganar 15% de interés simple en el descuento de documentos, ¿qué tasa
de descuento debe utilizar si el plazo es de a) 3 meses y b) 9 meses?

61. El Banco del Norte descuenta a un cliente a una tasa de 20% un pagaré con valor nominal
de $2 500 000 que vence en 60 días. Ese día dicho banco descuenta en el Banco Agrícola ese
mismo documento a una tasa de 18%. ¿Cuál fue la utilidad que obtuvo?

62. ¿Cuál es el precio de colocación de un certificado de tesorería (CETE), con valor nominal
de $10, que se coloca a una tasa de descuento de 9%, y que tiene un vencimiento a 28 días?

2.10  Ecuaciones de valores equivalentes

Es un caso muy frecuente, y por eso importante, que en las operaciones financieras haya dos o más
transacciones diferentes que deben replantearse para transformarlas en una operación única.

Este planteamiento de ecuaciones de valores equivalentes es uno de los más importantes en ma-
temáticas financieras, por lo que es necesario asegurarse de que se comprenda cabalmente. En todos
los demás temas se encontrarán abundantes ejemplos de este concepto.

En su forma más simple podría considerarse, por ejemplo, que la fórmula del monto a interés
simple es una ecuación de valores equivalentes, ya que

M = C(1 + it)
El monto M es equivalente a un capital C, colocado a un tiempo t y a una tasa i.

En seguida se presentan otros ejemplos:

Ejemplo 2.10.1
Una empresa firma un pagaré por $120 000 a 90 días, a 25%. Treinta días después, contrae una
deuda por $100 000 para pagarla 2 meses después, sin intereses. Dos meses después de la prime-
ra fecha, acuerda con un acreedor pagar $150 000 en ese momento y, para saldar el resto de su
deuda, hacer un pago final 3 meses después de la última fecha, con interés de 30%. Determine el
pago final convenido.

2.10  Ecuaciones de valores equivalentes     51

Solución:
En primer lugar, conviene identificar que las operaciones implicadas son cuatro, dos de contrata-
ción de deuda y dos de pago. Por otro lado, observe que el valor total de las operaciones de adeu-
do debe ser igual al valor total de las operaciones de pago:

Operaciones de contratación de deuda Operaciones de pago

I. $120 000 a 90 días a 25% A.  $150 000 dos meses después
II.   30 días después $100 000 a dos meses, sin B.  Pago final (desconocido), cinco meses des-

interés pués de la primera fecha

Con base en el cuadro anterior se puede plantear la equivalencia en este simple ejemplo, como:

I + II = A + B

De esta idea proviene el nombre de ecuaciones equivalentes.
Se acostumbra utilizar lo que se conoce como diagramas de tiempo y valor para representar la

situación gráficamente:

0 1 2 3 4 5

120 000 100 000 150 000 X
I II A B

Sobre la recta se representa el tiempo; en este caso, en meses.
• Sobre el tiempo 0 está marcada la operación I.
• Sobre el tiempo 1 está marcada la operación II.
• Sobre el tiempo 2 está marcada la operación A.
• Sobre el tiempo 5 está marcada la operación B.

En esta última operación, la X representa la cantidad que se trata de calcular.
Ahora bien, para determinar la equivalencia es necesario encontrar el valor de las dife-
rentes operaciones en una sola fecha para que sea posible compararlas. Esto es así porque, como
se sabe, el valor del dinero es diferente en tiempos diferentes, y las operaciones están planteadas
en tiempos distintos.
La fecha que se elige para hacer coincidir el valor de las diferentes operaciones se conoce
como fecha focal, y en el ejemplo es fácil ver que resulta conveniente escoger como fecha focal
el momento en que se debe realizar el pago final para saldar todas las operaciones (cinco meses
después de la primera fecha). Así,
I. El valor de la operación I dentro de 3 meses es:
120 000[1 + (0.25)(3/12)] = 120 000(1.0625) = 127 500, que es su valor a los 90 días (3 meses)
y luego de su valor a 60 días hasta el quinto mes (2 meses más), a 30% que fue lo convenido para
saldar la operación.

127 500[1 + (0.30)(2/12)] = 127 500(1.0500) = 133 875
La operación I (120 000 en el tiempo 0) equivale a $133 875 en 5 meses.

II. Para la operación II:
Esta operación se contrató sin intereses, por lo cual vale 100 000 dos meses antes de la fecha fo-
cal, en la cual su valor será:

100 000[1 + (0.30)(2/12)] = 100 000(1.0500) = 105 000

52     Capítulo 2  Interés simple

A.  Para ésta, los $150 000 que pagó a los 2 meses, valen al quinto mes:
150 000[1 + (0.30)(3/12)] = 150 000(1.075) = $161250

B.  Finalmente, X se realizará en la fecha focal, por lo que estará dado a su valor en ese momento.
De regreso al planteamiento de la ecuación de valores equivalentes.
Valor total de las deudas = valor total de los pagos

I + II  = A + B
133 875 + 105 000  = 161250 + X
X  = 133 875 + 105 000 - 161 250
X  = 77 625
que es la cantidad que habrá de pagar esa persona en el quinto mes para saldar todas las opera-
ciones.

Ahora conviene observar en forma resumida todo lo que se hizo para llegar a la solución.
Valor total de las deudas = valor total de los pagos

I + II = A + B
133 875 + 105 000 = 161250 + X
27 500(1.0500) + 100 000(1.0500) = 150 000(1.0750) + X
120 000(1.0625)(1.0500) + 100 000(1.0500) = 150 000(1.0750) + X
120 000[1 + (0.25)(3/12)][1 + (0.30(2/12)] + 100 000[1 + (0.30)(2/12)] =
150 000[1 + (0.30)(3/12)] + X
Esta expresión representa el planteamiento completo, donde a cada cantidad se le aplicarán
los valores correspondientes de tiempos y tasas de interés para encontrar su valor en la fecha focal.
En los casos de interés simple es muy importante identificar la fecha focal de acuerdo con lo
pactado en las operaciones, pues el cambio de fecha focal produce variaciones en las cantidades.
Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.10.2

Resuelva el ejemplo 2.10.1 utilizando como fecha focal el cuarto mes, en vez del quinto.

Solución:
Deudas = Pagos

120 000[1 + (0.25)(3/12)][1 + (0.3)(1/12)] + 100 000[1 + (0.3)(1/12)] =

150 000[1 + (0.3)(2/12)] + X
1+ (0.3)(1/12)
X
120 000(1.0625)(1.0250) + 100 000(1.0250)  = 150 000(1.0500) + 1.0250

130 687.50 + 102 500  = 157 500 + X
1.0250
233187.50 157 500  = X
- 1.0250

X  = 75 687.50(1.0250)

X  = 77 579.69

Esta cantidad es diferente a la que se encontró utilizando el quinto mes como fecha focal. Este
ejemplo indica que en el caso de las ecuaciones de valores equivalentes a interés simple, las fechas
focales diferentes producen resultados diferentes.

2.11  Aplicaciones, ventas a plazo, tarjetas de crédito, préstamos prendarios (empeño), pagos anticipados de facturas     53

Ejemplo 2.10.3
Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $200 000 con 40% de interés simple, que ven-
ce dentro de 4 meses. Además debe pagar otra deuda de $150 000 contraída hace 2 meses, con
35% de interés simple y que vence dentro de dos meses. Considerando un interés de 42%, ¿qué
pago deberá hacer hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar $100 000 dentro de 6
meses?
Solución:
Las deudas son $200 000 de 8 meses antes, que vence dentro de 4 meses, a 40% y de $150 000 de
2 meses antes, que vence dentro de 2 meses, a 35%; los pagos son: X hoy, $100 000 dentro de 6
meses.
La fecha focal es el día de hoy.
El diagrama de tiempo y valor es:

200 000 150 000

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
X 1 00 000
A su vencimiento, el valor de la primera deuda es:

200 000[1 + 0.40(12/12)]
200 000 (1.4) = 280 000

mientras que su valor en la fecha focal asciende a
280 000 280 000
1+ (0.42)(4/12) = 1.14 = 245 614.04

A su vencimiento, el valor de la segunda deuda es:

150 000[1 + 0.35(4/12)] = 167 500

y su valor en la fecha focal 167 500 167 500
(0.42)(2/12) 1.07
1+ = = 156 542.06

El valor de $100 000 en la fecha focal es

1+ 100 000 = 100 000 = 82 644.63
(0.42)(6/12) 1.21

en donde X = 245 614.04 + 156 542.06 - 82 644.63
X = 319 511.47

2.11 A plicaciones, ventas a plazo, tarjetas de crédito,
préstamos prendarios (empeño), pagos anticipados
de facturas

Ejemplo 2.11.1
Suponga que una persona tiene una cuenta de crédito en un almacén, sobre la que paga 18% de
interés y que muestra los siguientes movimientos en los últimos meses:

54     Capítulo 2  Interés simple

Saldo al 1 de junio $4 000
Abono el 16 de junio $2 000
Cargo el 11 de julio $2 500
Cargo el 31 de julio $  150
Abono el 15 de agosto $2 000

Calcule el saldo al 15 de septiembre.

Solución:
Del 1 al 16 de junio, el saldo de $4 000 causa interés y llega a un monto de:

4 000[1 + 0.18(15/360)] = 4 000(1.0075) = 4 030
4 030    Monto al 16 de junio
(2 000) menos lo abonado el 16 de junio.

2 030    Este saldo causa interés durante 25 días, por lo que se convierte en un monto de
2 030    [1 + 0.18(25/360)] = 2 030(1.0125) = 2 055.38
2 055.38 Saldo al 11 de julio, antes del cargo, más
2 500    el cargo causado el 11 de julio.

4 555.38 Saldo al 11 de julio. Este saldo, que incluye el cargo del 11 de julio, causa interés
durante 20 días, y llega el 31 de julio a un monto de:

4 555.38 [1 + 0.18(20/360)] = 4 600.93
4 600.93 Saldo al 31 de julio, antes del cargo, más
  150    el cargo causado el 31 de julio.

4 750.93 Saldo al 31 de julio, que el 15 de agosto se convierte en un monto de:

4 750.93 [1 + 0.18(15/360)] = 4 750.93(1.0075) = 4 786.56

4 786.56 Saldo al 15 de agosto
2 000    menos el abono del 15 de agosto.

2 786.56 Saldo que crece al 15 de septiembre a un monto de:
2 786.56 [1 + 0.18(1/12)] = 2 786.56(1.0150)
2 828.35 que es el saldo al 15 de septiembre.

Ejemplo 2.11.2
A continuación se analiza la forma en que se calculan los intereses que se cargan a los cuentaha-
bientes de tarjetas de crédito. En este caso particular, observe los estados de cuenta de un tarjeta-
habiente bancario que se muestran a continuación.

Se puede observar que el cuerpo de ese estado de cuenta está dividido en tres secciones: dos
yuxtapuestas en la parte superior y una tercera sección en la parte inferior que tiene como encabe-
zado “Detalle de operaciones”.

La sección de la parte superior izquierda señala en su parte superior que la “tasa personal anua-
lizada” es de 33.68%, en tanto que en la parte inferior de la sección derecha se anota que la “tasa
mensual de int. por crédito” es de 2.90%.

Lo primero que es necesario observar es la incongruencia entre estas dos tasas, ya que la “tasa
anualizada” correspondiente a 2.90% mensual es de 2.90 × 12 = 34.80%, que no corresponde con
33.68% que se anota en la otra sección. Esta tasa, la de 33.68% correspondería a una tasa mensual
de 33.68/12 = 2.806667, que se redondearía a 2.81%. Además, como se ilustra más adelante, nin-
guna de estas dos tasas es la que se utilizó para calcular los intereses.

En la sección izquierda se puede ver que el saldo anterior de la cuenta fue de $9 435.18 y que
sólo se hicieron pagos y depósitos por $1 000.00 por lo que correspondía cobrar intereses en este

2.11  Aplicaciones, ventas a plazo, tarjetas de crédito, préstamos prendarios (empeño), pagos anticipados de facturas     55

estado de cuenta, lo cual se hizo por un total de $340.87, más $45.23 de “IVA por intereses y co-
misiones”, como se puede apreciar en la sección izquierda.

CONTADOR PERSONAL

Tasa personal Pago Puntual Consecutivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
anualizada 33.68% Tasa de Interés
NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2 N 3

NIVEL CUMPLIDO

SALDO ANTERIOR 9 435.18 PERIODO DEL 17-AGO-2007 AL 16-SEP-2007
FECHA DE CORTE 16-SEP-2007

SUS PAGOS Y DEPÓSITOS 1 000.00- LÍMITE DE CRÉDITO 81 500.00
CRÉDITO DISPONIBLE 61 894.00
SUS COMPRAS Y DISPOSICIONES 3 346.02 TASA MENSUAL DE INT. POR CRÉDITO
2.90%
COMISIONES 0.00

INTERESES POR CRÉDITO 340.87

IVA POR INT. Y COMIS. 45.23

SALDO ACTUAL 12 167.30

DETALLE DE OPERACIONES

FECHA CONCEPTO POBLACION/ MONEDA PESOS
RFC EXTRANJERA

AGO25  LIVERPOOL PERISU 11 13 MEXICO DF 222.30

AGO25  LIVERPOOL PERISU 11 13 MEXICO DF 421.15

AGO25  SEARS PERISUR 11 12 CIUDAD DE ME 144.13

AGO25  LOS CAMPOS D LA BELLEZ CBE 021011IM7 1 180.00

SEP05  SU ABONO . . . GRACIAS 1 000.00–

SEP16  PALACIO HIERRO 02 12 117.53

SEP16  PALACIO HIERRO 02 12 149.91

SEP16  MARTI 06 09 1 111.00

SEP16  INTERES GRAVABLE 301.53

SEP16  INTERES EXENTO 39.34

SEP16  IVA POR INTERESES Y COMISIONES 45.23

Se ilustra en seguida la forma en la que se calculan estos intereses, con interés simple. Se re-
sumen las operaciones en el cuadro siguiente:

Fecha Pesos Días Intereses Saldo Tasa
transcurridos 88.2057237 0.031162
16 de agosto 9 435.18
25 de agosto 222.30 9
25 de agosto 421.15
25 de agosto 144.13 11 490.9657
25 de agosto
05 de septiembre 1 180.00 11 131.30 10 622.26
16 de septiembre −1 000.00
16 de septiembre 11 121.370677
16 de septiembre 117.53
16 de septiembre 149.91 340.872941 12 167.30
16 de septiembre 1 111.00
16 de septiembre 301.53
39.34
45.23

El cuadro reproduce básicamente la parte inferior del estado de cuenta, sin incluir los con-
ceptos. En la columna de días transcurridos se muestran los días que pasaron entre el 16 de agosto
y las fechas de las operaciones correspondientes (16 de agosto es la fecha de corte según se pue-
de apreciar en la fecha del saldo anterior en la sección izquierda y también en la sección derecha
donde se marca que el periodo es del 17 de agosto al 16 de septiembre).

Como los intereses se van calculando de manera acumulada hasta la siguiente operación,
los $88.2057237 que aparecen en la cuarta columna se calcularon con la tasa del 0.031162, que es
la que hace que se obtengan los intereses cargados en este estado de cuenta y que se anota en el
primer renglón de la última columna y durante los 9 días que transcurrieron hasta el 25 de agos-
to, la siguiente fecha en la que hubo movimientos. Esos $88.2057237 son, entonces, los intereses

56     Capítulo 2  Interés simple

simples de $9 435.18, durante nueve días a esa tasa de 0.031162, o 9 435.18 × 0.031162 × 9/30 =
$88.2057237.

Por su parte, los $11 490.9657 que aparecen como primer saldo en el sexto renglón son la
suma del saldo anterior (9 435.18) más los intereses generados por esta cantidad entre el 16 y el
25 de agosto ($88.2057237), más los cuatro cargos del 25 de agosto:

9 435.18 + 88.2057237 + 222.30 + 421.15 + 144.13 + 1 180 = $11 490.97
Y este saldo generó intereses del 25 de agosto hasta el 5 de septiembre (11 días) por:
11 490.9657 * 0.031162 * 11/30 = 131.30, que es la cantidad que aparece en el cuarto renglón y sép-
tima columna. Como en esta fecha del 5 de septiembre se abonaron $1 000 a la cuenta, el nuevo sal-
do es el saldo anterior, más los intereses generados menos este pago, que arroja los $10 622.26 que
aparecen como saldo abajo del anterior: 11 490.9657 + 131.30  − 1 000  = 10 622.26.
Finalmente, este último saldo generó otros 11 días de intereses, del 5 al 16 de septiembre, la fe-
cha de corte: 10 622.26 × 0.031162 × 11/30 = 121.370716, que es la cantidad que aparece como in-
tereses el 16 de septiembre. La cantidad que aparece en el último renglón de la columna de intereses
es de $340.87 que aparecen como intereses en la sección izquierda del estado de cuenta que se está
analizando.
Como puede verse de lo anterior, y como ya se había apuntado antes, los intereses que cobra
este banco (Banamex) no sólo no corresponden con los anunciados (que no son congruentes entre
sí) sino que además son superiores a cualquiera de los dos anunciados: 3.12% mensual contra 2.81%
y 2.90% que se anuncian. Si se realizan estas mismas operaciones con las tasas anunciadas se obtie-
nen $307.07 y $316.00 de intereses, respectivamente. (Véase figura de la página anterior).

Ejemplo 2.11.3

Una persona acude al Nacional Monte de Piedad a empeñar un televisor, para lo cual presenta el
aparato y la correspondiente factura. El valuador que examina la prenda le ofrece un préstamo de
$1500, que es aceptado por el solicitante. Si esta institución carga 2.5% mensual sobre el présta-
mo, ¿cuánto deberá pagar el dueño del televisor para recuperar el aparato después de 50 días de
otorgado el préstamo?
Solución:
Éste es un caso de monto, en donde

C   = 1500
i  = 0.025 mensual
t  = 50/30 meses
M  = 1500[1 + 0.025(50/30)] = 1500(1.0417)
M  = $1562.50

Ejemplo 2.11.4

Para tratar de lograr el pronto pago de sus facturas, los proveedores ofrecen descuento por el pago
anticipado. Así, 5/10, n/30 podrían ser los términos impresos en una factura, los cuales indican
que se otorga un descuento de 5% si se paga a más tardar en 10 días, y n/30 señala que si se paga
en un plazo de 10 a 30 días se debe cubrir el importe neto.

Si un comerciante recibe una factura por $12 000 en esos términos:
a) ¿Le conviene obtener un préstamo con intereses a 30% para pagar la factura al décimo día?
b) ¿Cuál es la mayor tasa de interés simple según la que le convendría obtener crédito para apro-

vechar el descuento?

Solución:
a) Si paga en 10 días obtiene un descuento de

12 000(0.05) = $600

y pagaría 12 000 - 600 = $11400

2.11  Aplicaciones, ventas a plazo, tarjetas de crédito, préstamos prendarios (empeño), pagos anticipados de facturas     57

Si utiliza el dinero prestado, tendría que utilizarlo 20 días: de cuando paga a cuando vence el im-
porte neto de la factura. Hacer esto le costaría:

I = 11400(0.30)(20/360) = $190
y como lo que le cuesta el préstamo es inferior a lo que se ahorra, sí le convendría pagar con el
préstamo a los 10 días, ya que ahorraría:

600 - 190 = $410
b) Si lo que ahorra por el pronto pago son $600, la mayor tasa que podría aceptar sería la que

produjera intereses por esa cantidad de un capital de $11 400 en 20 días:
600 = 11400(i)20/360
600 = 11400(0.05555556)i
600 = 6.3333i
i = 0.9474 anual simple.

Ejercicios de las secciones 2.10 y 2.11

63. Una persona debe pagar $2 500 en 3 meses, y $8 500 en 6 meses. ¿Qué cantidad deberá
pagar hoy para saldar sus deudas si se considera una tasa de 12% simple?

64. La señora Moreno adeuda $5 000 que ya incluyen intereses, y debe pagarlos dentro de 8
meses. Si hace un pago de $3 000 dentro de 2 meses, ¿cuánto deberá pagar al cabo de los
8 meses si se considera la operación a una tasa de 30% anual, y se usa como fecha focal
dentro de 8 meses?

65. El señor Gómez presta el 14 de julio $3 500 a 5 meses y medio a 10% de interés simple.
También presta, 4 meses después, otros $2 000 con 14% de interés y vencimiento a 3 meses.
Si considerara para la equivalencia una tasa de 15%, ¿qué cantidad recibida por el señor
Gómez el 14 de diciembre liquidaría esos préstamos?

66. Bajo el supuesto de que el Nacional Monte de Piedad cobra 5.5% mensual por los présta-
mos que hace sobre prendas pignoradas, ¿cuánto tendría que pagar dentro de 3 meses una
persona que empeñó hace un mes un televisor por el que le prestaron $800, y que el día de
hoy empeña un reloj por el que le prestan $750?

67. El señor García firma tres pagarés:
• Uno por $400, para pagarlo en 4 meses, con 25% de interés anual.
• Otro por $195, para pagarlo en 9 meses con una tasa de 20% anual.
• Un tercero por $350, para pagarlo en 5 meses sin intereses.

Si al cabo de 3 meses decide liquidar los 3 documentos mediante la entrega de $450 en ese
momento y un pago final 6 meses después, ¿cuál será el importe de este pago si la opera-
ción de equivalencia se calcula con intereses de 21% anual?

68. Una persona debe liquidar dentro de 8 meses una deuda de $500 que ya incluye los intere-
ses, $450 contratados hoy a una tasa de 24% para pagar dentro de 6 meses. Si decide saldar
sus deudas con 2 pagos iguales, uno dentro de 10 meses y el otro dentro de un año, y la
operación se calcula con una tasa de 25%, ¿cuál será el importe de esos 2 pagos iguales si se
usa como fecha focal:
a) dentro de 10 meses? b) dentro de un año?

Comente la diferencia entre los resultados de a) y b).
69. Si una persona invierte hoy cierta cantidad en un proyecto que le reditúa $50 000 al cabo

de 4 meses, y $30 000 después de 6 meses, ¿qué cantidad tendría que haber invertido para
lograr un rendimiento de 16% sobre su inversión?

58     Capítulo 2  Interés simple

70. Una pareja de recién casados adquiere un horno eléctrico que cuesta $2 200, y paga $800
al contado. El saldo debe ser cubierto mediante 3 pagos iguales a los 30, 60 y 90 días. Si el
interés que se le cobra es de 30% anual simple, ¿a cuánto asciende cada uno de esos pagos?

71. Una persona tiene dos opciones para pagar un préstamo:
• pagar $2 000 a los 5 meses y $3 000 a los 10 meses, o
• pagar $X a los 3 meses y $3X a los 8.

S i las operaciones son equivalentes y el dinero vale 18% anual simple, encuentre X usando
como fecha focal dentro de 8 meses.

72. Un usuario del Nacional Monte de Piedad empeñó una alhaja el 15 de diciembre y la res-
cató el 15 de febrero del año siguiente con un pago de $207. Si esa institución cobra 4.5%
mensual, ¿cuánto le prestaron al cliente por su alhaja?

73. ¿Cuál sería el precio al contado de un automóvil que se pagó con un
• enganche de $48 500
• abono de $38 500 realizado 6 meses después de la compra
• pago final de $35 500 ocho meses después de la compra

si el costo del préstamo fue de 2% mensual simple?

74. El 16 de junio una persona contrajo una deuda por $3 000 para pagarla el 16 de octubre
con intereses de 29% simple anual. La deuda se documenta mediante un pagaré en el que
se especifica, además de las condiciones de la operación, una cláusula que señala que en
caso de mora el deudor deberá pagar 5% de interés mensual. ¿Cuánto deberá cobrar el
acreedor si el deudor le paga el 5 de noviembre?

75. El señor Rodríguez firma un pagaré por $675 a 8 meses de plazo e interés de 10%. Si efec-
túa dos pagos antes del vencimiento, uno por $150 a los 2 meses, y otro por $200 a los 4
meses, ¿cuál es el saldo que debe pagar al vencerse el pagaré?

76. En un almacén se vende un comedor en $4 850 al contado. A un plazo de 3 meses se vende
mediante 3 pagos mensuales de $1744.40. ¿Qué tasa de interés simple mensual se cobra en
el plan a crédito? Utilice como fecha focal el día de la compra.

77. Observe el siguiente estado de cuenta de un usuario de tarjetas de crédito. ¿Cuál fue la tasa
de interés que se cobró?

CONTADOR PERSONAL

Tasa Personal Pago Puntual Consecutivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Anualizada 39.80% Tasa de Interés
NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2 N 3

NIVEL CUMPLIDO

SALDO ANTERIOR 15 657.31 PERIODO DEL 17-NOV-2007 AL 16-DIC-2007
FECHA DE CORTE 16-DIC-2007

SUS PAGOS Y DEPÓSITOS 4 700.00- LÍMITE DE CRÉDITO 81 500.00

SUS COMPRAS Y DISPOSICIONES 1 513.05 CRÉDITO DISPONIBLE 65 172.96
TASA MENSUAL DE INT. POR CRÉDITO 3.31%
COMISIONES 0.00

INTERESES POR CRÉDITO 450.26

IVA POR INT. Y COMIS. 53.48

SALDO ACTUAL 12 974.10

DETALLE DE OPERACIONES

FECHA CONCEPTO POBLACIÓN/ MONEDA PESOS
RFC EXTRANJERA
4 700.00–
DIC03  SU ABONO . . . GRACIAS 356.51
93.75
DIC16  INTERES GRAVABLE 53.48
117.53
DIC16  INTERES EXENTO 149.91
134.61
DIC16  IVA POR INTERESES Y COMISIONES
1 111.00
DIC16  PALACIO HIERRO 05 12

DIC16  PALACIO HIERRO 05 12

DIC16  LIVERPOOL 02 13

DIC16  MARTI 09 09

2.12  Uso de Excel     59

2.12  Uso de Excel

Aunque el paquete Excel no tiene funciones específicas para interés simple (la mayoría de ellas son
para anualidades y depreciación, como se ve en los capítulos correspondientes a estos temas), dada
la sencillez del tema, también es fácil elaborar mecanismos para resolver este tipo de situaciones.

2.12.1  Cálculo de M, C, i o t, a partir de la fórmula
del monto a interés simple M = C(1 + it)

Para resolver problemas que impliquen a cualquiera de las variables que intervienen en el interés
simple, monto, capital, interés, tasa de interés o tiempo, se pueden usar cuatro columnas y tres ren-
glones de Excel de la siguiente manera:

A B C D

1M C i t
2
3 =B2*(1+C2*D2) =A2/(1+C2*D2) =(A2/B2-1)/D2 =(A2/B2-1)/C2

El primer renglón contiene la identificación de los posibles valores que se buscan, en el segundo se
deben introducir los valores conocidos y sólo debe quedar vacía la celda del valor que se busca (lo
cual se ilustra en seguida con ejemplos), mientras que en las cuatro celdas del tercer renglón se in-
troducen las fórmulas del cálculo de cada incógnita:

En la celda A3 aparece la fórmula del monto, M = C(1+ it) en términos de los valores de las cel-
das del renglón 2, mientras que en las celdas B3, C3 y D3 están las fórmulas para calcular el capital o
valor presente, la tasa de interés y el tiempo, según su procedimiento de cálculo, el cual se determina
despejando en la fórmula del monto.

Para el capital: C = M
1+ it

Para la tasa de interés y el tiempo: 1+ it = M
C

it = M −1
C
M −1

i= C
t

M −1
t= C

i

La fórmula del monto de la celda A3 indica que se multiplica el valor que se introduzca en B2 (el
capital) por la suma de 1 más el producto del valor de la celda C2 (la tasa de interés) por el valor de
la celda D2 (el tiempo o plazo de la operación).

Para ilustrar lo anterior, si se construye un cuadro en Excel como el que se muestra y se intro-
ducen en las celdas B2, C2 y D2 los valores del ejemplo 2.2.1, que habla de un comerciante que debe
$2 000 que tiene que pagar cuatro meses después con intereses a una tasa de 10% anual simple, es
necesario introducir estos datos en el cuadro, como sigue:

A B C D

1M C i t
2 2 000 0.1 4/12
3 2 066.67 -3.00 -10.00
0.00

60     Capítulo 2  Interés simple

Esta operación da un resultado de $2 066.67 en la celda A3, que es, precisamente, el monto que el
comerciante debe pagar. Los valores de -3 y de -10 que aparecen en las celdas no son de tomar en
cuenta y se producen simplemente como resultado de los cálculos de las fórmulas correspondientes.
Por ejemplo, en la fórmula de la tasa de interés, primero se calcula M/C, que arroja un resultado
de cero. Después se le resta el uno a este cero y se produce -1 para, finalmente, dividir este valor
entre 0.33 (con más decimales en la hoja de Excel), operación que es igual a -3, valor que no tiene
sentido en el ejemplo ya que, como se acaba de ilustrar, se calcula para un monto de cero. Algo simi-
lar ocurre con el -10 de la celda D3.

Hay dos detalles que es importante tener presente. En primer lugar, cuando se introduce “4/12”
en la celda D2, Excel automáticamente hace la operación y muestra “0.33333” en la celda. En segundo
término, cuando el cuadro de solución sólo tiene las fórmulas y el renglón 2 está completamente va-
cío, Excel lee sólo ceros en el renglón y pone el aviso de “#¡DIV/0!” en las celdas C3 y D3 porque se
produce la operación inválida de división entre cero, pero, por supuesto, no es importante, porque el
hecho es que no hay valores reales en las celdas de ese renglón 2.

Sin embargo, por otra parte, se puede ver que el valor que se busca es fácilmente identificable
por su valor mismo y porque está en la celda de la columna que tiene el renglón 2 en blanco (con lo
que Excel lee “cero”).

En el ejemplo 2.2.2, los datos eran C = 150 000, i = 0.8% mensual y t = 24 días. Sustituyendo estos
valores en el cuadro de Excel se obtiene el resultado del monto que se buscaba y que era de $150 960
en la celda A3:

A B C D

1M C i t
2 150 000 0.008 24/30
3 150 960 -1.25 -125
0.00

El ejemplo 2.3.1, de valor presente, con M = $30 000, t = 18/12 e i = 20% anual, se resuelve de la
siguiente manera:

A B C D
C
1M i t
2 30 000 23 076.92 0.2 1.50
3 0.00 #¡DIV/0! #¡DIV/0!

El valor presente de $23 076.92 aparece ahora en la correspondiente celda B3, de valor presente.

Ejercicio propuesto

Complementar el cuadro de Excel que se sugiere con dos columnas que permitan encontrar el interés
ganado en dinero, I, con las dos posibles formas de calcularlo:
I = Cit, e
I = M - C

2.12.2  Determinación del tiempo exacto entre dos fechas

Excel es muy útil cuando se desea saber el número exacto de días que transcurren entre dos fechas
ya que basta con plantear su simple diferencia (resta). En el ejemplo 2.7.1 se determinó el número
de días transcurridos entre el 15 de mayo y el 24 de diciembre de cierto año (observe que puede ser
cualquier año, sin que importe si es bisiesto o no, ya que no entra el mes de febrero en los cálculos).
Si se anotan estas dos fechas en dos celdas contiguas y en la tercera se anota la diferencia, se obtiene
el valor de 223 días que transcurren y que en el ejemplo se calculó en forma un tanto laboriosa ma-
nualmente. Las celdas podrían tener la siguiente apariencia:

AB C
1 24 de diciembre de 2005 15 de mayo de 2005 223

2.12  Uso de Excel     61

En la celda C1 se anota la fórmula “=A1-B1”. Ahora, es importante tener presente que, para que esta
operación funcione adecuadamente, las celdas A1 y B1 deben tener formato de fecha y la celda C1
debe tener formato de número.

Para ensayar el mecanismo, calcule el número de días que usted ha vivido hasta ahora.

2.12.3  Descuento comercial

Ya se explicó que la fórmula para calcular el descuento comercial es

D = Cdt
1− dt

y, al igual que se hizo con las variables del interés simple, se pueden insertar en celdas de un li-
bro de Excel las fórmulas para calcular cualquiera de las variables de este tipo de descuento. En el
ejemplo 2.8.2 se buscaba determinar el descuento comercial de un pagaré por el cual se recibieron
$166 666.67, con tasa de descuento de 30% anual y vencimiento a cuatro meses. Si se insertan estos
valores en las celdas B2, C2 y D2 y se inserta la fórmula del descuento en la celda A3, se obtiene el
resultado de $18 518.52 que ya se calculó en el texto. En el cuadro siguiente se anotan estos datos y
las fórmulas correspondientes para calcular cada uno de los valores del descuento comercial:

A B C D

1D C d t
166 666.67 0.30 4/12
2 =(A2*(1-C2* =A2/(B2*D2 =A2/
D2))/(C2*D2) A3*C2) (B2*C2+A2*C2)
3 =(B2*C2*D2)/
(1-C2*D2)

Los despejes correspondientes son:

Para C = 166 666.67 en la celda B3: D = Cdt
1− dt
Cdt = D(1− dt)

C = D(1− dt)
dt

La fórmula = (A3*(1-C2*D2))/(C2*D2) = 166 666.67

Para d: D = Cdt
1− dt
D(1− dt) = Cdt

D − Ddt = Cdt

Cdt + Ddt = D
d(Ct + Dt) = D

d= D
Ct + Dt

En la celda C3, la fórmula = A3/(C2*D2*A3*D2) = 0.3

Finalmente, para t: D = Cdt
1− dt
D(1− dt) = Cdt

D − Ddt = Cdt

Cdt + Ddt = D
t(Cd + Dd) = D

t= D
Cd + Dd

62     Capítulo 2  Interés simple

En la celda D3, la fórmula = A3/(B2*C2+A3*C2) = 0.33.
Éstas son las fórmulas en formato de Excel que están en las celdas B3, C3 y D3 del cuadro an-
terior. Con ellas se puede encontrar el valor del tiempo que faltaba para el vencimiento del do-
cumento que se analiza en el ejemplo 2.8.3, con D = 54.95, d = 0.25 y C = 945.05 y que es
el 0.2198 de la celda D3, como se muestra en seguida:

A B C D
1D
2 54.95 C d t
3 0.00 945.05 0.25 4/12
#¡DIV/0! #¡DIV/0! 0.2198

No se ilustra adicionalmente el descuento justo porque se resuelve como se anota en el texto, con la
fórmula del interés simple que se analizó al principio de la sección.

2.13 Resumen

En este capítulo se revisó el importante concepto de interés Se habló del descuento, que es una operación que consiste
simple que se refiere, básicamente, al aumento del valor del en anticipar el cobro de un documento.
dinero con el transcurso del tiempo.
Por su enorme importancia en las matemáticas financie-
Se revisaron e ilustraron los conceptos de capital o valor ras, se ilustró cuidadosamente el concepto de las ecuacio-
actual, monto, tasa y tipo de interés y tiempo o plazo, y se ex- nes de valores equivalentes, a través de las cuales se plantea,
presó su interrelación en lo que podríamos llamar la fórmula con base en una fecha focal determinada, la equivalencia de
elemental del interés simple un conjunto de operaciones de contratación de deudas por un
lado y, por el otro, un conjunto de operaciones de pago.
M = C (1 + it)
que, como también se vio, si se conocen tres de sus incógnitas Finalmente, se vieron algunas aplicaciones del interés
y se despeja la restante, se puede determinar su valor. simple a operaciones como compras a crédito, manejo de tar-
jetas de crédito, empeño de artículos varios, etcétera.
Se mencionó, por otro lado, la diferencia que se presenta
entre los resultados cuando se hacen los cálculos con tiempo
real y con tiempo aproximado o comercial.

Comprobación del capítulo

Si ha leído el capítulo completo, el lector debe: • Comprender el concepto de descuento.
• Comprender el concepto de interés simple. • Plantear y resolver ejemplos en los que se aplique la ope-
• Identificar situaciones en las que se trate de encontrar el
ración de descuento.
valor de • Explicar la diferencia entre descuento real o justo y des-
• monto
• valor actual cuento comercial.
• tasa de interés • Plantear y resolver ecuaciones de valores equivalentes.
• tiempo o plazo. • Explicar qué es una fecha focal.
• Explicar la diferencia entre tiempo real y tiempo aproxi- • Resolver ejercicios y aplicaciones de interés simple utili-
mado.
zando la hoja de cálculo de Microsoft Excel.

Ejercicios complementarios     63

Términos y conceptos importantes

• Capital • Ecuaciones de valores • Tasa de interés • Tipo de interés
• Descuento equivalentes • Tiempo o plazo • Valor actual
• Descuento real o justo y • Tiempo real y tiempo
• Fecha focal
descuento comercial • Monto aproximado

Fórmulas importantes (2.1) M  =  C(1 + it) (2.4)
(2.2) D   =  Mdt (2.5)
M  =  C + I (2.3)
I  =  Cit

M  =  C + Cit

Ejercicios complementarios

1. ¿Qué es el interés simple? a su vencimiento y produce un descuento comercial de
2. Explique los siguientes conceptos: monto, capital, inte- $1 888.10?
13. Una persona compra en un almacén:
rés, valor actual, tasa de interés, tipo de interés, ecuacio- • una lavadora de $4 750, paga un enganche de $800 y
nes de valores equivalentes.
3. ¿Cuál es el monto a los 10 meses de un capital de $185 000 conviene en pagar el saldo 2 meses después;
colocado a 18% simple anual? • una estufa de $1 920, sin enganche, para pagarla con
4. ¿A qué tasa de interés se invirtió un capital de $475 000
que se convirtió en un monto de $700 625 al cabo de 9 un solo abono a los 3 meses, y
meses y medio? • una licuadora de $363, sin enganche, para pagarla en
5. ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de
$850 que se convirtió en un monto de $983 a 27% anual dos abonos iguales a los 4 y 5 meses.
simple? Si el almacén cobra 27% simple anual sobre esta clase de
6. ¿Cuál es el valor actual de $1350 cobrables dentro de 4 me-
ses con 35% anual simple de interés? operaciones, ¿cuál sería el pago único, realizado un mes
7. ¿Cuál es el monto real de $1 000 invertidos a una tasa de después, que saldaría todas las deudas?
0.25 simple anual del 14 de agosto al 29 de noviembre? 14. Cuando una prenda que ha sido pignorada no se des-
8. ¿Cuál es el valor actual aproximado o comercial de empeña antes de 5 meses, la institución la saca a remate
$1 800 cobrables el 29 de agosto, si la tasa es de 0.38 público para su venta, con el fin de recuperar el présta-
anual simple y hoy es 2 de febrero? mo otorgado y los intereses. Del dinero que obtiene con
9. ¿Cuánto produce de interés simple al mes un capital de la venta descuenta estos dos conceptos y el resto se lo
$2 500 invertido en valores de renta fija que rinden 5.8% entrega al cliente que empeñó la prenda. Si una persona
anual? empeña un anillo de brillantes y recibe $1 950 por con-
10. ¿Qué tasa de descuento real se aplicó a un pagaré que ven- cepto de préstamo y no desempeña su joya, y si la ins-
cía el 7 de junio con valor nominal de $175 000 y que al titución la vende en remate 5 meses después en $3 000,
descontarlo el 7 de marzo produjo un valor neto de ¿cuánto le devuelve al cliente si el interés que cobra es
$149 572.65? de 4% mensual?
11. ¿Cuánto recibiría una persona si descuenta comercial- 15. En la página siguiente aparece el estado de cuenta co-
mente un pagaré que vence dentro de 4 meses, que fue rrespondiente a un ejercicio mensual de un usuario
contratado hace 2 meses en $1 500 con interés a 31.5% de tarjeta de crédito. Si el cliente no ha realizado otras
anual, si la tasa de descuento que se aplica es de 30% anual? compras aparte de las que aparecen en dicho estado, y
12. ¿Cuándo vence un pagaré que se descuenta hoy a una no realiza ningún pago, ¿cuánto le cobrará el banco de
tasa de 16.5% anual simple, que tiene valor de $74 900 intereses en el próximo ejercicio si carga 2.5% sobre el
saldo promedio?

64     Capítulo 2  Interés simple

CONTADOR PERSONAL

Tasa personal Pago Puntual Consecutivo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
anualizada 24.99% Tasa de Interés
NIVEL 0 NIVEL 1 NIVEL 2 N 3

NIVEL CUMPLIDO

SALDO ANTERIOR 2 693.49 PERIODO DEL 17-JUL-2007 AL 16-AGO-2007
FECHA DE CORTE 16-AGO-2007

SUS PAGOS Y DEPÓSITOS 5 909.36- LÍMITE DE CRÉDITO 81 500.00
CRÉDITO DISPONIBLE 62 460.10
SUS COMPRAS Y DISPOSICIONES 12 651.05 TASA MENSUAL DE INT. POR CRÉDITO
2.15%
COMISIONES 0.00

INTERESES POR CRÉDITO 0.00

IVA POR INT. Y COMIS. 0.00

SALDO ACTUAL 9 435.18

DETALLE DE OPERACIONES

FECHA CONCEPTO POBLACIÓN/ MONEDA PESOS
RFC EXTRANJERA
222.30
JUL25  LIVERPOOL PERISU 10 13 MEXICO DF 421.15
144.13
JUL25  LIVERPOOL PERISU 10 13 MEXICO DF 159.20
675.00
JUL25  SEARS PERISUR 10 12 CIUDAD DE ME 4 131.36
1 326.60
JUL26  SEARS PERISUR SRM 4711069N3 623.52
1 410.36
JUL27  REST LA MANSION ORD 900905T42 1 799.00
1 700.00–
JUL29  FIESTA INN ACAPULCO PPO 9412076U4 1 000.00–
1 410.36–
AGO04  CAMPANITA PERISUR 1 ACA 800211FU1 1 799.00–
117.53
AGO04  EL PALACIO HIERRO PERI PHI 830429MG6 149.91
359.99
AGO04  EL PALACIO HIERRO PERI PHI 830429MG6 1 111.00

AGO04  EL PALACIO HIERRO PERI PHI 830429MG6

AGO05  SU ABONO . . . GRACIAS

AGO05  SU ABONO . . . GRACIAS

AGO06  ABONO POR CARGOS PARCI

AGO06  ABONO POR CARGOS PARCI

AGO16  PALACIO HIERRO 01 12

AGO16  PALACIO HIERRO 01 12

AGO16  SUPERCENTER 12 12

AGO16  MARTI 05 09

Matemáticas en internet. Interés simple

2.1  Introducción y conceptos básicos le será posible plantear problemas con las tasas actualiza-
das día con día.
• Valor del dinero en el tiempo. http://www.banamex.com/
http://www.enplenitud.com/nota.asp?articuloid=562
2.2  Monto
• Ejemplo del cálculo del interés simple, como aplicación de
una regla de tres simple. • Interés simple, casos y problemas 1, 2, 4, 9, 12, 16, 22, 23
www.escolar.com/matem/18interes.htm y 24.
http://agora.pucp.edu.pe/eco3450821/
• Conceptos básicos y ejercicio ilustrativo de interés simple.
http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/ 2.3  Valor actual o presente
no%205/interesalinteres.htm
• Interés simple, casos y problemas 3, 5 y 7.
• En la sección “Contenido” encontrará ligas que tratan http://agora.pucp.edu.pe/eco3450821/
sobre los tipos de interés (simple y compuesto) y algunos
ejemplos. 2.4  Interés
http://www.sectormatematica.cl/contenidos.htm
• Interés simple, casos y problemas 11, 13 y 15.
• Últimas subastas de Cetes, las tasas de interés mexicanas y http://agora.pucp.edu.pe/eco3450821/
las tasas de interés internacionales. Con esta información

2.5  Tasas de interés Matemáticas en internet. Interés simple     65

• Interés simple, casos y problemas 8, 10 y 16. 2.8  Descuento
http://agora.pucp.edu.pe/eco3450821/
• Interés simple, casos y problemas 14, 17, 18, 19, 20, 21
2.6  Plazo o tiempo y 25.
http://agora.pucp.edu.pe/eco3450821/
• Interés simple, casos y problema 6.
http://agora.pucp.edu.pe/eco3450821/ 2.10  Ecuaciones de valores
equivalentes

• Interés simple, casos y problemas 9 y 14.
http://agora.pucp.edu.pe/eco3450821/



3Capítulo Interés
compuesto

■■ Temario ■■ Objetivos

3.1 Introducción Al finalizar el estudio del presente capítulo, el lector será
3.2 Conceptos básicos capaz de:
3.3 Monto compuesto
3.4 Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes • Explicar los conceptos del valor del dinero en el tiempo
3.5 Valor actual o presente • Distinguir y explicar la diferencia entre monto simple y monto
3.6 Tiempo
3.7 Tasa de interés compuesto, entre tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva
3.8 Ecuaciones de valores equivalentes • Comprender y explicar los conceptos de periodo de capitalización,
3.9 Tiempo equivalente
3.10 Aplicaciones frecuencia de conversión y tiempo equivalente
3.11 Uso de Excel • Plantear y resolver ejemplos de cálculos de monto compuesto,
3.12 Resumen
valor actual, tasas de interés nominal, efectiva y equivalentes, y
plazo
• Plantear y resolver ejemplos de cálculo de monto compuesto, valor
actual, tasa de interés nominal, efectiva y equivalentes
• Plantear y resolver ejemplos de ecuaciones de valores equivalentes
a interés compuesto
• Resolver ejercicios y aplicaciones de interés compuesto utilizando
la hoja de cálculo de Microsoft® Excel®

68     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

3.1  Introducción

El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vida de las
personas y de los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorran durante un pe-
riodo determinado a fin de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en otras
ocasiones, en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un
interés por su uso.

En periodos cortos por lo general se utiliza, como ya se vio, el interés simple. En periodos largos,
sin embargo, se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto.

3.2  Conceptos básicos

En el interés simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin variación
alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, en cambio, los intere-
ses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y, a su vez, van a generar un
nuevo interés adicional en el siguiente lapso.

En este caso se dice que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una operación de
interés compuesto.

En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al final de cada
periodo por la adición de los intereses ganados de acuerdo con la tasa convenida.

Esta diferencia puede captarse con claridad por medio del ejemplo siguiente:

Ejemplo 3.2.1

Suponga que se depositan $100 000 en una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral
(20% de interés anual). ¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses?

I  = Cit
I  = 100 000(0.10)(1)
I  = 10 000

Suponga que se depositan otros $100 000 en una cuenta de valores que paga 20% de interés
convertible trimestralmente. ¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses? (Nota: La tasa de in-
terés nominal es la misma en ambos casos: 5% trimestral = 20% anual).

i trimestral = 20% anual = 5%
4 trimestres

1er. trimestre I = Cit
I = 100 000(0.05)(1)
I = 5 000
2o. trimestre I = (C + I)it
I = (100 000 + 5 000)(0.05)(1)
I = 105 000 (0.05)(1)
I = 5 250
I total = I 1er. trimestre + I 2o. trimestre
I total = 5 000 + 5 250
I = 10 250

En este caso, el interés es superior al que se ganó en el anterior, pues al final del 1er. trimes-
tre al capital original se le suma el interés ganado, con lo cual el total del segundo trimestre será
superior al del primero.

Por lo tanto, el capital se incrementa por la adición de los intereses al final de cada periodo
y éstos, a su vez, se incrementan pues son calculados sobre una base cada vez mayor. La cantidad
acumulada al final de la operación se conoce como monto compuesto. La diferencia entre el mon-
to compuesto y el capital original es el interés compuesto.

3.2  Conceptos básicos     69

3.2.1  Periodo de capitalización

El interés puede ser convertido en capital en forma anual, semestral, trimestral, mensual, etc. A dicho
periodo se le da el nombre de periodo de capitalización. Al número de veces que el interés se capita-
liza durante un año se le denomina frecuencia de conversión.

Ejemplo 3.2.2

¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que paga 5% de interés capitaliza-
ble trimestralmente?

Un año = 12 meses = 4
Un trimestre 3 meses

La frecuencia de conversión es igual a 4. El periodo de capitalización es trimestral.

3.2.2  Tasa de interés compuesto

Por lo general, la tasa de interés se expresa en forma anual. Además, junto con ella se indica, si es
necesario, su periodo de capitalización.
• 28% anual capitalizable mensualmente
• 10% anual capitalizable semestralmente
• 6% anual capitalizable trimestralmente

Si el interés se expresa sin mención alguna respecto de su capitalización, se entiende que ésta es
anual.

Es muy importante que, para la solución de cualquier problema de interés compuesto, el interés
anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalización que se
establezca; si el interés se capitaliza mensualmente, el interés anual debe transformarse en interés
mensual; si es trimestralmente, a interés trimestral, etcétera.

El periodo de capitalización y la tasa de interés compuesto siempre deben ser equivalentes. Así,
en el ejemplo inicial, el interés de 20% anual fue transformado en interés trimestral de 5% para ha-
cerlo equivalente al periodo de capitalización que allí se mencionaba.

En este momento pueden establecerse dos conclusiones:
a) El interés compuesto es mayor que el interés simple. Esto se debe a que el primero gana intereses

por sí mismo, en tanto que el segundo no.
b) A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga si la tasa anual nominal

es igual; así, un depósito bancario que obtenga intereses en forma mensual tendrá mayor ren-
dimiento que uno que los capitalice trimestralmente y éste, a su vez, será mayor que otro que lo
haga cada semestre.
En forma más clara se observa el comportamiento del interés simple y el interés compuesto en
una gráfica. Considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3.2.3

Un depósito de $100 000 a 5 años. La tasa de interés es la misma en ambos casos: 20% anual. En
el interés simple éste no se capitaliza, en tanto que el interés compuesto lo hace cada año. (Vea la
gráfica 3.1).

70     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

Monto
250 000

IC

200 000 IC IS5

IS4

IC IS3

IC IS2

100 000 IC IS1

0 1 2 3 4 5 Tiempo

IC = Interés compuesto
  IS = Interés simple

Gráfica 3.1

Monto a Monto a

interés simple interés compuesto

Año M = C(1 + it) M = C(1 + i)n

0 100 000 100 000

1 120 000 120 000

2 140 000 144 000

3 160 000 172 800

4 180 000 207 360

5 200 000 248 832

El monto a interés simple crece en forma aritmética y su gráfica es una línea recta. Sus incre-
mentos son constantes y el interés del quinto año es igual al del primero. Su ecuación es la de una
línea recta cuya pendiente o razón de incremento está dada por la tasa de interés.
y  = b + mx
M  = C + It; It = (Ci)t
M  = 100 000 + 20 000(t)

En cambio, una cantidad que se coloca a interés compuesto crece en forma geométrica y su
gráfica corresponde a la de una función exponencial:
M  = C(1 + i)n
M  = 100 000(1 + 0.20)n

Sus incrementos son variables. Como se puede apreciar en la gráfica, cada periodo presenta
un incremento mayor al del periodo anterior. Su ecuación es la de una línea curva que asciende a
velocidad cada vez mayor.

Ejercicios de las secciones 3.1 y 3.2

1. Cuál es la tasa de interés por periodo de:
a) 30% anual capitalizable mensualmente?
b) 16% anual capitalizable trimestralmente?

3.3  Monto compuesto     71

 c) 2% trimestral?
d) 15% anual?
 e) 18% anual capitalizable semestralmente?
f ) 18% anual capitalizable mensualmente?
g) 0.5% mensual?
2. ¿ Cuál es la frecuencia de conversión de los ejemplos del problema anterior?
3. Elabore la gráfica que muestre el crecimiento de una inversión de $ 1000 en un año si se
deposita en una cuenta de valores que paga:
a) 10% anual convertible semestralmente.
b) 20% anual convertible semestralmente.
c) 30% anual convertible trimestralmente.
d) 40% anual convertible trimestralmente.
e) 50% anual convertible trimestralmente.
f ) 50% anual convertible mensualmente.
g ) 60% anual convertible mensualmente.
h) 70% anual convertible mensualmente.
i ) 80% anual convertible mensualmente.

3.3  Monto compuesto

El monto compuesto, como ya se ha explicado, es el resultado que se obtiene al sumar al capital ori-
ginal el interés compuesto. Si se dispone de un capital C y se invierte en un banco y se desea conocer
el monto M del cual se dispondrá al final del periodo, sólo debe agregársele el interés I ganado.

M = C + I (3.1)
pero I = Cit
cuando t = 1, I = Ci
por lo que M = C + Ci que factorizando da

M = C(1 + i) (3.2)

Como puede verse, el monto de un capital al final de un periodo se obtiene multiplicándolo por
el factor (1 + i). De esta manera, al final del segundo periodo se tiene que:

M = C(1 + i)(1 + i)

Capital al iniciar el 2o. periodo

M = C(1 + i)2

Al final del tercer periodo se tiene que

M = C(1 + i)2(1 + i)
y así sucesivamente. Esta sucesión de montos forma una progresión geométrica cuyo n-ésimo tér-
mino es igual a:

M = C(1 + i)n (3.3)

Esta ecuación se conoce como fórmula del monto a interés compuesto.

Ejemplo 3.3.1
Se depositan $50 000 en un banco a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente.
¿Cuál será el monto acumulado en 2 años?

72     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

Solución:
Como se estableció previamente con la fórmula (3.3), el monto a interés compuesto se calcula
mediante la ecuación

M = C(1 + i)n

Se destaca nuevamente que la definición de periodo debe ser la misma para i y para n.
Así, para calcular la tasa de interés mensual, se divide la tasa anual entre la frecuencia de
conversión:
Tasa de interés anual
i = Frecuencia de conversión (3.4)

i = 0.18 = 0.015 = 1.5%
12

Para determinar n, se multiplica el lapso en años por la frecuencia de conversión:

n = 2(12)
n = 24

así, M = 50 000 (1 + 0.015)24
En este momento surge una interesante pregunta: ¿cómo evaluar (1 + 0.015)24?
Existen cuatro alternativas:

a) Utilizar papel y lápiz y realizar la operación 24 veces. Resulta lenta y poco práctica.
b) Resolver la ecuación utilizando logaritmos.
c) Utilizar las tablas que se encuentran al final del libro; en ellas se encuentra el factor del monto

a interés compuesto (1 + i)n, para una i y una n determinadas. Esta opción es sencilla, pero en
una época de tasas variables como la que se vive, puede darse el caso de que dichas tablas no
incluyan la que interesa.
d) Emplear una calculadora electrónica. Éste es el medio más práctico y preciso y, como se men-
cionó anteriormente, será el que se utilice en los cálculos de este libro.

Factor de monto a interés compuesto = (1 + 0.015)24 = 1.429503

M = 50 000 (1.429503)
M = 71 475.14

En dos años, la inversión de $50 000 se transformará en un monto de $71475.14 por la gene-
ración de un interés compuesto de $21475.14.

Ejemplo 3.3.2

Se depositan en una caja de ahorros $100 000 a una tasa de interés de 4.8% capitalizable men-
sualmente.
a) ¿Cuál será el monto acumulado a interés compuesto en un periodo de 9 meses?
b) Suponiendo que la caja de ahorros preste ese mismo dinero con una tasa de interés de 30%

anual capitalizable mensualmente, ¿cuál sería el pago que se debe efectuar al cabo de los mis-
mos 9 meses?

Solución:
a) Depósito
Se aplica la fórmula del monto a interés compuesto (3.3)

M = C(1 + i)n
Como se vio en el ejemplo 3.3.1, debe determinarse la tasa de interés mensual dividiendo la tasa
anual entre la frecuencia de conversión:

3.3  Monto compuesto     73

i = Tasa de interés anual
Frecuencia de conversión

i = 0.048 = 0.004
12

Puesto que el tiempo de inversión está ya expresado en meses, se tienen todos los elementos ne-
cesarios para plantear y resolver el ejemplo:

C = 100 000
i = 0.004
t = 9
Así, se sustituyen los valores en la fórmula (3.3) y se tiene:

M = C(1 + i)n
M = 100 000(1 + 0.004)9
M = 100 000 (1.036581)
M = 103 658.10

Por lo tanto, un depósito de $100 000 rendirá $3 658.10 de interés y acumulará un monto de
$103 658.10 al cabo de 9 meses.

b) Préstamo

Para aplicar la fórmula

M = C(1 + i)n

es necesario determinar la tasa de interés, para lo cual se divide la tasa anual entre la frecuencia
de conversión:

i = Tasa de interés anual
Frecuencia de conversión

i = 0.30 = 0.025
12

Con ello se tienen ya todos los datos necesarios para aplicar dicha fórmula:

C = 100 000
i = 0.025
t = 9

Se sustituyen los valores en la fórmula (3.3) y se tiene:

M = C(1 + i)n
M = 100 000(1 + 0.025)9
M = 100 000 (1.248863)
M = 124 886.30

La diferencia que existe entre el monto derivado del préstamo ($124 886.30) y el monto
que debe pagar al ahorrador ($103 658.10), esto es, la cantidad de $21228.20, constituye la utilidad
del intermediario financiero, en este caso, de la caja de ahorros.

Ejemplo 3.3.3
Se obtiene un préstamo bancario de $1500 000 a un plazo de un año y con interés de 12% conver-
tible trimestralmente. ¿Cuál es el monto que deberá liquidarse?
Solución:
Se determina primero la tasa de interés por periodo de conversión:

74     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

i = 0.12 = 0.03
4

El número de periodos de capitalización n es igual a: 1 año × 4 = 4

M = C(1 + i)n
M = 1500 000 (1 + 0.03)4
M = 1500 000 (1.125509)
M = 1688 263.22

Deberá liquidarse al banco la cantidad de $1688 263.22.

3.3.1  Monto compuesto con periodo de interés fraccionario

La fórmula (3.3) se deriva del supuesto de que n es entero. En teoría puede aplicarse también en el
caso de que n sea fraccionario, pero para resolverlo sólo puede recurrirse al uso de logaritmos o de
la calculadora.

Ejemplo 3.3.4

Se decide liquidar el préstamo del ejemplo anterior en forma anticipada luego del transcurso de 7
meses y medio. ¿Cuál es la cantidad que debe pagarse?

Solución: 7.5/3 meses = 2.5 trimestres
M = 1 500 000 (1 + 0.03)2.5
M = 1 500 000 (1.076696)
M = 1 615 043.86

Una forma práctica de resolverlo es determinar el monto compuesto correspondiente a los pe-
riodos completos de conversión y aumentar el interés simple por el periodo fraccionario de con-
versión a la tasa estipulada.

I compuesto   I simple

M = C(1 + i)n (1 + it)
M = 1 500 000 (1 + 0.03)2[1 + (0.03)(0.5)]
M = 1 500 000 (1.060900)(1.015)
M = 1 615 220.25

La diferencia resultante, según la tasa de interés y del tiempo, puede llegar a ser significativa, por
lo que siempre que sea posible se recomienda el empleo de la fórmula (3.3).

Ejemplo 3.3.5

Se contrata un préstamo bancario de habilitación y avío por 150 000 pesos. El plazo de pago es de
3 años. La tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente.

¿Cuál es la cantidad que deberá liquidarse si se decide cancelarlo en forma anticipada a los
15 meses?

Solución:
Por el método exacto:

Periodo de pago = 15 meses = 2.5 semestres
Periodo de capitalización 6 meses

M = C(1 + i)n
M = 150(1 + 0.10)2.5

3.3  Monto compuesto     75

M = 150(1.269059)
M = 190.358810
Deben liquidarse $190 358.81
Nota: La magnitud de las cifras a veces provoca confusiones y errores por el manejo de los ceros.
Por esta razón se recomienda, siempre que sea posible, eliminar ceros y manejar cifras en miles o
millones de pesos en los procesos de solución de los problemas. Esta práctica se ha adoptado en la
redacción del presente texto y se encontrará a lo largo del mismo en varios ejemplos.

Cabe señalar que si bien se utilizan cifras simplificadas en los procesos de solución, el resul-
tado final se expresa en su magnitud original.

Por el método aproximado:
M = C(1 + i)n(1 + it)
M = 150 000(1 + 0.10)2[1 + 0.10(3/6)]
M = 150 000(1.10)2[1 + 0.10(0.50)]
M = 150 000(1.10)2(1.05)
M = 190 575.00
En este caso la diferencia entre un método y otro importa $216.19.

Ejercicios de la sección 3.3

4. Determine el interés que gana en un año un depósito de $1000 en:
a) Una cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual simple.
b) Una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral simple.
c) U na cuenta de ahorros que paga 20% de interés anual compuesto se­mestralmente.
d) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible trimestralmente.
e) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual pagadero mensualmente.
f ) Una cuenta de valores que paga 20% de interés anual convertible diariamente.

5. D etermine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta de valores
que paga 15% anual convertible mensualmente:
a) Al cabo de un año.
b) Al cabo de dos años.
c) Al cabo de tres años.
d) Al cabo de cinco años.

6. Determine el interés simple y el interés compuesto que ganaría un depósito de $100 000
si la tasa de interés fuese de 5% y el plazo del depósito 5 años. ¿Qué conclusiones puede
presentar?

7. T abule el crecimiento de $1 a 1, 5, 10, 15 y 20 años si los tipos de interés compuesto
anual son: 10%, 20%, 30%, 40%, 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 100%.

8. Considere que las tasas de interés del ejemplo anterior son tasas anuales de inflación.
¿Qué sucedería con los precios? ¿Qué conclusiones puede emitir?

9. ¿ Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000 si se reem-
bolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 24% anual convertible trimestral-
mente?

10. ¿ Qué cantidad debería liquidarse en caso de que el préstamo del ejemplo anterior se
pagara al cabo de 10 meses?

11. U na persona deposita su dinero en el banco a plazo de 2 años y a una tasa de 15% con-
vertible semestralmente. Debido a una emergencia, debe retirar su dinero al cabo de 15
meses. ¿Cuál será el monto acumulado que se le entregue si depositó $12 000? Utilice
el método exacto y el método aproximado.

76     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

12. ¿Cuál será el monto acumulado en una cuenta de valores que paga 1.2% de interés
mensual si se hicieran los siguientes movimientos durante el año y se desea conocer su
saldo al 31 de diciembre?

Fecha Importe Tipo de movimiento

15 de febrero 15 000 Apertura
15 de mayo 3 000 Depósito
15 de julio 1 500 Retiro
15 de septiembre 2 000 Retiro
15 de diciembre 2 500 Depósito

13. L a población de un estado ha crecido a una tasa anual de 2.8% durante los últimos 5
años. Si el número actual de habitantes es de 3 825 000, ¿cuál será su población en 5, 10
y 20 años considerando:
a ) que la tasa de crecimiento poblacional no cambia?
b) q ue la población crece a 2.8% los primeros 5 años, 2.5% los siguientes 5 años y 2.0%
los últimos años?

14. E l ingreso anual por habitante en el estado anterior es de 5 000 dólares. ¿Cuál será su
ingreso anual en 5, 10, 15 y 20 años si se considera que el PIB crece a un ritmo de 3.5%
anual promedio, y la población crece a 2.8%?

3.4  Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes

Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el
lapso que dure la operación, que se denomina tasa nominal de interés.

Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad
efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se
puede determinar una tasa efectiva anual.

Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al
cabo de un año producen el mismo interés compuesto.

Ejemplo 3.4.1

¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1000 pactado a 4.8%
de interés anual convertible mensualmente?

S o l u c i ó n : M = 1000 1 0.048 12
12
+

M = 1000(1 + 0.004)12
M = 1000(1.049070)
M = 1 049.07

I = M−C
I = 1 049.07 −1000
I = 49.07

i = I
C

i = 49.07 = 0.049070
1000

3.4  Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes     77

La tasa efectiva de interés es de 4.91%.
La tasa equivalente a una tasa anual de 4.8% convertible mensualmente es de 4.91% conver-
tible anualmente.
La relación entre ambas tasas puede verse como sigue: sea i la tasa anual efectiva de interés, j la
tasa de interés anual nominal y m el número de periodos de capitalización al año.
Se ha establecido que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo interés al cabo de
un año.
Por lo tanto, C(1 + i) = C(1 + j/m)m
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre C, tenemos:

(1 + i) = (1 + j/m)m (3.5)
i = (1 + j/m)m - 1

Retomando el ejemplo anterior:

i = (1 + 0.048/12)12 - 1
i = (1 + 0.004)12 - 1

i = (1.049070) - 1
i = 0.049070
i = 4.91%

Ejemplo 3.4.2

¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250 000 que se pactó a 16% de
interés anual convertible trimestralmente?

Solución:
Aplicando directamente la fórmula (3.5) se tiene:

i = (1 + j/m)m - 1
i = (1 + 0.16/4)4 - 1
i = (1 + 0.04)4 - 1
i = (1.169859) - 1
i = 0.169859
i = 16.98%

Ejemplo 3.4.3

Determinar la tasa nominal j convertible trimestralmente, que produce un rendimiento de 40%
anual.

Solución:
En este caso la tasa de interés efectiva es ya conocida (puede ser la tasa de inflación esperada en
el año), y se desea conocer la tasa nominal j convertible trimestralmente que producirá dicho
rendimiento. Aplicando nuevamente la ecuación (3.5) se despeja en ella j:

i = (1 + j/m)m - 1
(1 + i) = (1 + j/m)m
m (1+ i) = (1 + j/m)
(1 + i)1/m = (1 + j/m)
(1 + i)1/m - 1 = j/m
m[(1 + i)1/m - 1] = j

78     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

j = 4[(1 + 0.40)1/4 - 1]
j = 4[(1.087757) - 1]
j = 4(0.087757)
j = 0.3510
j = 35.10%

La tasa nominal j convertible trimestralmente que produce 40% efectivo es 35.10%.

Ejemplo 3.4.4

¿Cuál es la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a una tasa de 14% convertible
trimestralmente?

Solución:
Puesto que ambas tasas son convertibles en periodos distintos deben igualarse a su plazo anual.
a) Una tasa nominal j convertible mensualmente es igual a una tasa efectiva:

i = (1 + j/12)12
b) Una tasa nominal de 14% convertible trimestralmente es igual a una tasa anual efectiva:

i = (1 + 0.14/4)4
Igualando ambas tasas efectivas se tiene:

(1 + j/12)12 = (1 + 0.14/4)4
(1 + j/12)12/12 = (1 + 0.14/4)4/12
(1 + j/12) = (1 + 0.035)1/3
j/12 = [(1 + 0.035)1/3 -1]
j = 12 [(1 +  0.035)1/3 - 1]
j = 12 (1.011533 - 1)
j = 12 (0.011533)
j = 0.138398

Por lo tanto, una tasa nominal de 13.84% convertible mensualmente es equivalente a una
tasa nominal de 14% convertible trimestralmente.

Otra vez puede verse que a mayor frecuencia de conversión se obtiene un rendimiento mayor.

Ejemplo 3.4.5

¿A qué tasa nominal convertible trimestralmente un capital de $30 000 crecerá hasta $100 000 en
5 años?

Solución:
Se aplica la fórmula (3.3) y se tiene:

M = C(1 + i)n
100 000 = 30 000 (1 + i)n
100 000
30 000 = (1 + i)n

Pero (1 + i)n = (1 + j/m)mn

donde n = 5 años y m = 4
Así,
(1 + j/4)20 = 100 000
30 000

3.5  Valor actual o presente     79

(1 + j/4) = (3.333333)1/20
j = 4[(3.333333)1/20 - 1]
j = 4(1.062048 - 1)
j = 0.24819

Se requiere una tasa nominal de 24.82% convertible trimestralmente para que un capital de
$30 000 se convierta en un monto de $100 000 en un plazo de 5 años.

Ejercicios de la sección 3.4

15. Determine la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si la tasa
nominal es de 6% y se convierte:

a) Anualmente d) Mensualmente
b) Semestralmente e) Diariamente
c) Trimestralmente

16. Determine la tasa nominal que produce un rendimiento de 10% anual efectivo si el
interés se convierte:

a) Anualmente d) Mensualmente
b) Semestralmente e) Diariamente
c) Trimestralmente

17. Determine la tasa nominal j convertible trimestralmente que resulte equivalente a una
tasa de 15% convertible semestralmente.

18. ¿ Qué tasa nominal j convertible mensualmente resulta equivalente a una tasa de 4%
convertible trimestralmente?

19. ¿Qué tasa de interés mensual resulta equivalente a una tasa de 12% semestral?
20. ¿Qué tasa de interés trimestral resulta equivalente a una tasa mensual de 2%?
21. ¿Qué tasa de interés anual resulta equivalente a una tasa de 4% trimestral?
22. ¿Qué tasa de interés simple mensual es equivalente a una tasa de interés nominal j = 18%

convertible anualmente si se invierte el dinero durante:

a) un año? b) dos años? c) tres años?

23. ¿ Qué tasa de interés simple anual correspondería a los incisos del problema anterior?

24. Un banco ofrece los siguientes depósitos y tasas de interés:

a ) j12 = 9.30 b) j4 = 9.50 c) j2 = 9.80

¿Cuál es la mejor alternativa?

25. ¿ A qué tasa de inflación anual compuesta mensualmente se triplicarían los precios en:

a) 3 años? b) 5 años? c) 10 años?

3.5  Valor actual o presente

En ocasiones se conoce cuál es el monto que debe pagarse o que se desea reunir, y se quiere deter-
minar el capital que es necesario invertir en el momento presente a una tasa de interés determinada,
para llegar a tener dicho monto; se está entonces en presencia de un problema denominado de valor
actual o valor presente.

El valor actual muestra, como su nombre lo indica, cuál es el valor en un momento determinado
de una cantidad que se recibirá o pagará en un tiempo posterior.

80     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

Para calcularlo se retorna a la fórmula (3.3):

M = C(1 + i)n

en la cual se despeja el capital C,

C = M = M(1 + i)−n (3.6)
(1+ i)n

Generalizando, puede decirse que si se conocen tres de las cuatro variables involucradas: monto
(M), capital (C), tiempo (n) y tasa de interés (i), puede calcularse la cuarta.

Ejemplo 3.5.1

¿Cuánto debe depositarse en el banco si se desea tener un monto de $50 000 dentro de 3 años y la
tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente?

Solución:
Aplicando la fórmula (3.6):

C = M
(1+ i)n

M = 50 000
i = 10% semestral (20% anual entre 2)
n = 6 semestres (3 años × 2)
50 000
C = (1+ 0.10)6

C = 50 000
1.771561
C = 28 223.70

Deben depositarse $28 223.70 a fin de contar con $50 000 en un plazo de 3 años, si la tasa de
interés es de 20% anual convertible semestralmente.

Ejemplo 3.5.2
Juan Pérez desea adquirir una casa con valor de $850 000. Le pidieron que entregue 50% de anticipo
y 50% en un plazo de un año y medio, al término de la construcción y entrega del inmueble. ¿Cuánto
dinero debe depositar en el banco en este momento para poder garantizar la liquidación de su adeu-
do, si la tasa de interés vigente es de 6% anual capitalizable mensualmente?
Solución:
Juan Pérez paga en este momento $425 000 (50% de la operación), y debe pagar otro tanto en un
plazo de año y medio, como se aprecia en la gráfica 3.2.

425 000 425 000
0 1 1½

Gráfica 3.2

Para calcular la cantidad que debe depositar se utiliza la fórmula (3.6) considerando que:

3.5  Valor actual o presente     81

i = 0.06 = 0.005 = 0.5%
12
n = 12 ×1.5 años = 18 meses

C= M = M(1 + i)−n
(1 + i)n

C = 425 000(1.005)−18

C = 425 000(0.914136)

C = 388507.87

Para garantizar el pago de su adeudo, Juan debe depositar $388 507.87, los cuales, con la reinver-
sión de los intereses se incrementarán hasta formar el monto de $425 000 en un plazo de año y medio.

Como se ve en estos ejemplos, C es el valor presente o valor actual de M. Esto es, puede con-
siderarse que el capital C y el monto M son dos valores equivalentes dada una determinada tasa de
interés y un periodo también determinado. En el ejemplo anterior para Juan Pérez resultaría equi-
valente pagar $388 507.87 en este momento o $425 000 dentro de un año y medio, dada una tasa
de interés de 6% anual capitalizable mensualmente. Es decir, cualquiera de las dos operaciones de
pago le resultaría igual.

Este hecho nos remite el valor del dinero en el tiempo: no es lo mismo tener $100 hoy que
tener $100 dentro de un año, pues su valor adquisitivo no es equivalente. Este fenómeno es par-
ticularmente claro en países en los que la inflación se ha acelerado de manera sustancial, y en los
cuales la desvalorización del dinero ocurre casi día a día.

Como consumidor prefiero tener mi dinero hoy y no mañana, mucho menos dentro de
un año.

En el campo de los negocios es indispensable considerar esos efectos, pues muchas ve-
ces se realizan inversiones en el momento presente que generan flujos de efectivo que se
recibirán dentro de uno o más años. El valor presente de dichos flujos deberá compararse con la in-
versión que se está realizando (también a valor presente) y, para lograrlo, se deben descontar am-
bos, inversión e ingresos, a fin de poderlos comparar en forma equivalente en el momento presente.

Ejemplo 3.5.3

La Compañía de Novedades Actuales planea realizar una inversión de $50 000 para producir un
artículo de moda que espera le genere ingresos de $80 000 dentro de 2 años. Si se considera una
inflación promedio de 25% anual, ¿conviene la inversión?

Solución:
Se comparan los $50 000 que se deben invertir en el momento presente con los $80 000 que se es-
pera recibir en 2 años. Para hacerlo es necesario que ambas cantidades sean equivalentes. Se traen
a valor presente los $80 000 y así se tiene una misma base de comparación. La tasa de inflación se
acumula de la misma forma que el int3rés. Aplicando la fórmula (3.6):

C = M(1 + i)-n
C = 80 000(1 + 0.25)-2
C = 80 000(0.64)
C = 51200

Los $80 000 que la empresa recibirá en dos años equivalen a $51200 descontados de la in-
flación. Este valor presente de los ingresos se compara con el valor presente de la inversión que
es de $50 000 y muestra que efectivamente se logrará una utilidad de $1200 y que, por lo tanto,
conviene invertir.

Ejemplo 3.5.4
Una compañía minera ha descubierto una veta de manganeso en un país latinoamericano y debe
decidir la conveniencia o inconveniencia de su explotación. Con el fin de poder beneficiar el mi-

82     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

neral es necesario realizar una inversión de $350 000. Sus analistas financieros estiman que la veta
producirá sólo durante 3 años y, de acuerdo con el precio vigente del metal, los ingresos serían
los siguientes:

ler. año 100 000

2o. año 200 000

3er. año 300 000

Si la tasa de inflación promedio de los próximos tres años es de 40%, ¿resulta rentable la
inversión?

Solución:
Para tener una idea más clara de la operación se puede elaborar una gráfica de tiempo y valor
(gráfica 3.3).

Inversión
350 000

0 Ingresos 1 2 3 años
100 000 200 000 300 000

Gráfica 3.3
Se traen a valor presente los ingresos que se espera recibir en el futuro, utilizando la tasa de
inflación, y se comparan con la inversión inicial.
1er. año = $100 000
C = M(1 + i)-1
C = 100 000(1 + 0.40)-1
C = 100 000(0.71428571)
C = 71 428.57
2o. año = $200 000
C = M(1 + i)-2
C = 200 000(1 + 0.40)-2
C = 200 000(0.51020408)
C = 102 040.82
3er. año = $300 000
C = M(1 + i)-3
C = 300 000(1 + 0.40)-3
C = 300 000(0.36443149)
C = 109 329.45
La suma del valor presente de los ingresos esperados en los próximos años es:

71 428.57 + 102 040.82 + 109 329.45 = $282 798.84
El valor presente de los ingresos ($282 798.84) es menor al de la inversión necesaria para su
explotación ($350 000). Por lo tanto, a la compañía no le conviene explotar la veta a menos que el
precio del metal se incremente y con él sus ingresos esperados.

3.5.1  Valor actual de deudas que devengan interés

En determinadas ocasiones se pueden encontrar deudas que devengan interés y de las cuales se quie-
re conocer su valor en un momento anterior a su liquidación.

Para solucionar estos problemas, en primer lugar se debe determinar el monto original de la
deuda y, a partir de él, calcular el valor actual.

3.5  Valor actual o presente     83

Ejemplo 3.5.5

Se otorga un préstamo de $2 000 000 para liquidar una maquinaria y se firma un documento a
plazo de un año con interés de 15%. A fin de recuperar el efectivo en forma inmediata, la empresa
vendedora descuenta dicho documento en un banco a una tasa de 2% mensual.
a) ¿Qué cantidad es la que se recibe?
b) ¿Qué tasa de interés efectiva debe pagar la compañía para financiarse?

S o l u c i ó n : M  = C(1 + i)n
M  = 2 000 000(1 + 0.15)1
M  = 2 000 000(1.15)
M  = 2 300 000

El monto nominal de la deuda es de $2 300 000.

a) Se calcula el valor actual:

C = M(1 + i)-n
C = 2 300 000(1.02)-12
C = 2 300 000(0.788493)
C = $1813 534.30

b) Tasa de interés efectiva:

Valor de la maquinaria = $2 000 000.00
Préstamo otorgado por el banco = 1813 534.30
Interés pagado por la empresa que vendió la maquinaria = 186 465.70

Costo para la empresa que vendió la maquinaria:

i = I = 186 465.70
C 2 000 000

i = 0.093233 = 9.32%

La tasa de interés efectiva que debe pagar la compañía para financiarse a través de los docu-
mentos es de 9.32% anual.

Ejemplo 3.5.6

Se descuenta en un banco un documento de $500 000 con vencimiento a 3 meses que devenga
2% de interés mensual. El banco lo descuenta a una tasa de 22% anual. ¿Cuál es la cantidad que
se recibe?

Solución:
a) Se calcula el monto original:

M  = C(1 + i)n
M  = 500(1 + 0.02)3
M  = 500(1.061208)
M  = 530 604
b) Se calcula el valor actual:
C  = M(1 + i)-n
C  = 530 604(1 + 0.22)-3/12
C  = 530 604(1.22)-0.25
C  = 530 604(0.951503)
C  = 504 871.16

84     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

En este caso, a diferencia del anterior, la tasa de interés cobrada por el banco es menor que la
que se cargó en el valor del documento. El acreedor tuvo un beneficio adicional.

Ejemplo 3.5.7
Un documento por $1000 000 debe pagarse en 36 meses, lapso durante el cual generará intereses a
12% convertible mensualmente. Se descuenta en el banco y éste carga un interés de 16% converti-
ble trimestralmente. ¿Cuál es la cantidad que se recibe? ¿Cuál fue la utilidad o pérdida que generó
la operación?
Solución:
Esta situación involucra dos problemas que deben resolverse en forma separada; para visualizarlo
más claramente se recurre a una gráfica de tiempo y valor (vea la gráfica 3.4).

( )1 000 000 M =. C  1 .+ 0 1.12.2 –36 Meses

0 1 2 34 35 36
( )C = M 0.16
1 + 4 –12

Gráfica 3.4

En primer lugar debe calcularse el monto total de la deuda, dados:

C  = $1 000 000; J12 = 12%; i = 1% mensual; n = 36
M  = (1 + i)n
M  = 1 000 000 (1 + 0.01)36
M  = 1 000 000 (1.430769)
M  = 1 430 769

Acto seguido se procede a calcular el valor actual del monto obtenido en función de la tasa de
descuento, dados:

M  = 1 430 769; J4 = 16%; i = 4%; n = 12
C  = M(1 + i)-n
C  = 1 430 769(1 + 0.04)-12
C  = 1 430 769(0.624597)
C  = 893 654.10

La cantidad neta que se recibe del banco asciende a $893 654.10. Hay una pérdida de
$106 345.90 en la operación (1 000 000 - 893 654.10).

Ejemplo 3.5.8

En la compra de una maquinaria se firma un documento por $75 000 a pagar en 3 años con una
tasa de interés de 12.5% semestral. Luego del transcurso de 10 meses de la firma, se decide des-
contarlo en el banco y éste carga un interés de 28% convertible trimestralmente. ¿Cuál es la can-
tidad neta que se recibe?

Solución:
En este caso, al igual que en el anterior, se involucran dos problemas:
a) uno de monto y
b) uno de descuento.
Utilizando una gráfica de tiempo y valor se tiene (vea la gráfica 3.5).

3.5  Valor actual o presente     85

75 000 C(1 + 0.125)6 Meses
.  .  . 34 35 36
0 2 4 6 8 10

( )C = M 0.28 –26/3
4
1 +

Gráfica 3.5

a) Se determina en primer lugar el monto a pagar:

C = 75 000; i = 12.5%; n = 6 (36 meses entre 6)
M = C(1 + i)n
M = 75 000(1 + 0.125)6
M = 75 000(2.027286)
M = 152 046.49

b) A partir del monto obtenido se procede a descontar de acuerdo con la tasa fijada por el
banco:

M  = 152 046.49; 8J4.6=662686%6;6i7=tr7i%mestres (26/3)
n  = 26 meses =

En este caso se presenta, además, el problema de periodos de interés fraccionario y puede resol-
verse en forma exacta o en forma aproximada.

b1) Exacta:
C  = M(1 + i)-n
C  = 152 046.49(1 + 0.07)-8.666667
C  = 152 046.49(0.556340)
C  = 84 589.61

b2) Aproximada:

Cuando se tienen periodos de interés fraccionario en problemas de interés compuesto se des-
cuenta hasta el periodo completo que incluya aquel que se está buscando y, posteriormente, se
adiciona el tiempo faltante utilizando el interés simple. Con base en una gráfica de tiempo y va-
lor (vea la gráfica siguiente).

M = C [1 + (0.07)(1/3)]

▼

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Trimestres

C = M(1 + 0.07)–9 Gráfica 3.6
C = M(1 + i)-n
C = 152 046.49(1 + 0.07)-9
C = 152 046.49(0.543934)
C = 82 703.22

El valor actual a 9 meses será de $82 703.22.
A dicho valor se le acumula el interés simple por un mes para ubicarlo en el tiempo fijado:

M = C(1 + it)
M = 82 703.22[1 + (0.07)(1/3)]
M = 82 703.22(1.023333)
M = 84 632.93

86     CAPÍTULO 3 Interés compuesto

que es la cantidad que se obtiene con descuento aproximado y la cual, como puede verse, arroja
una diferencia de:

84 632.93 - 84 589.61 = 43.32
respecto a la que se obtiene mediante el método exacto.

Ejercicios de la sección 3.5

26. ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un monto de
$250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de interés es de 9% convertible mensual-
mente?

27. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un
documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18% convertible trimestral-
mente, y tiene vencimiento en 18 meses?

28. ¿Cuál es el valor presente de $1000 que se cobrarán al cabo de un año si la tasa de interés
compuesto trimestralmente es:

a) 10%? d) 50%?
b) 20%? e) 100%?
c) 30%?

29. ¿Cuál es el valor presente de $1000 que se cobrarán en un año si la tasa de interés es de
15% convertible:

a) mensualmente? c) semestralmente?
b) trimestralmente? d) anualmente?

30. Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que incluye intereses a razón
de 3% trimestral, y que será pagadero al cabo de un año. ¿Qué cantidad puede obte-
nerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a una tasa de interés de 12% convertible
mensualmente?

31. Una distribuidora de automóviles ofrece a sus clientes 10% de descuento en la compra
al contado de un automóvil nuevo, o bien, 50% del precio al contado y 50% a 6 meses
sin descuento y sin intereses. ¿Qué alternativa debe escogerse si el dinero puede ser
invertido a una tasa de interés mensual de:

a) 2%? b) 3%? c) 4%?

32. U na empresa dedicada al comercio internacional desea incrementar sus operaciones,
para lo cual estudia dos proyectos alternativos. Los flujos netos de efectivo presupues-
tados son:

Inversión Flujo neto de efectivo al fin de
requerida
Proyecto Año 1 Año 2 Año 3
A 80 000 20 000 35 000 60 000
B 45 000 30 000 25 000
75 000

¿ Qué alternativa se debe escoger si la compañía puede obtener en otro tipo de inversión
rendimientos de:
a) 15%? b) 20%?

33. En una operación de exportación una empresa recibe un pagaré por 285 000 dólares
a 180 días de plazo que devenga un interés mensual de 1%. A fin de contar con recur-
sos líquidos, la empresa descuenta el documento en su banco y éste lo acepta cargando