เอกสารประกอบการสอนวิชาเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 2 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เอกสารประกอบการสอนคณติ ศาสตร์

แคลคลู ัสเบ้ืองต้น

วิชา ค33201 เสริมทักษะคณิตศาสตร์ 5
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6

ชดุ ท่ี 2 อนพุ นั ธ์ของฟั งก์ชัน

ชื่อ........................................................................................................................................
ช้ัน..............................................................เลขท่ี...............................................................

สอนโดย
นายจาเนยี ร หงษ์คามี
ตาแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครชู านาญการพเิ ศษ
โรงเรียนบางบวั ทอง อาเภอบางบัวทอง จังหวัดนนทบรุ ี
สานกั งานเขตพ้นื ท่ีการศึกษามัธยมศึกษานนทบรุ ี

ใบความรทู้ ี่ 1

อตั ราการเปล่ียนแปลง

โดยท่ัวไปอัตราการเปล่ียนแปลงเฉลย่ี และอัตราการเปลีย่ นแปลงขณะใดๆ ของฟังก์ชนั นิยามได้ดงั นี้

บทนยิ าม ถา้ y = f(x) เปน็ ฟงั ก์ชนั ใดๆ เมื่อคา่ ของ x เปล่ียนเป็น x + h โดยท่ี h  0
คา่ ของ y เปลยี่ นจาก f(x) เปน็ f(x + h) แล้วอัตราการเปลย่ี นแปลงของ y

เทยี บกบั x ในช่วง x ถึง x + h คอื f(x + h) - f(x)

h

อตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x มีคา่ ใดๆ คือ lim f(x + h) - f(x)
h→0 h

ตัวอย่างที่ 1 ให้ y = x2 + 1 จงหา

1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉล่ยี ของ y เมอื่ เทียบกบั x ในช่วง x = 3 ถงึ x = 5
2. จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะที่ x = 3

วธิ ีทำ 1) จาก y = f(x) = x2 + 1
และอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของ y เทยี บกับ x ในชว่ ง x ถงึ x + h
คอื f(x + h) - f(x)

h

 อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในชว่ ง x = 3 ถึง x = 5

คือ f(5) - f(3) = (52 + 1) - (32 + 1)

h 5-3

= 26 -10

2

=8 ตอบ

2) อัตราการเปล่ยี นแปลงของ y เทยี บกบั x ขณะ x มคี า่ ใดๆ

คอื lim f(x + h) - f(x)
h→0 h

จาก f(x) = x2 + 1

2

lim f(x + h) - f(x) = lim (x + h)2 + 1- (x 2 + 1)
h→0 h h→0 h

= (x2 + 2hx + h2 + 1- x2 -1)
lim
h→0 h

= lim (2x + h)
h→0

= 2x

 อตั ราการเปลีย่ นแปลงขณะที่ x = 3 คือ 2  3 = 6 ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 2 กำหนดสมการการเคลื่อนที่ S = 49t2 เม่ือ S เปน็ ระยะทางของการเคล่ือนท่ี
มีหนว่ ยเป็นเมตร และเวลา t วินาที จงหาอัตราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของ S
เทยี บกับ t เมอื่ t เปล่ียนจาก 4 เป็น 4.5

วิธีทำ อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉล่ียของ S เทียบกบั t

= 4.9(t + h)2 - 4.9t 2

h

= 4.9(t 2 + 2th + h2 ) - 4.9t 2

h

= 4.9t 2 + 9.8th + 4.9h 2 - 4.9t 2

h

= 9.8th + 4.9h 2

h

= 9.8t + 4.9h

เม่อื t = 4 , h = 4.5 – 4 = 0.5 ตอบ

 อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ = 9.8(4) + 4.9(0.5)
= 39.2 + 24.5
= 41.65 เมตรต่อวนิ าที

สรปุ

การหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของ y เทยี บกับ x ขณะ x มคี า่ ใดๆ

มีข้นั ตอนดังน้ี

ขั้นที่ 1 หา f(x)

ขั้นที่ 2 หา f(x + h)

ขน้ั ท่ี 3 หา f(x + h) – f(x)

ขั้นที่ 4 หา f(x + h) - f(x)
h

ขัน้ ที่ 5 หา lim f(x + h) - f(x)
h→0 h

3

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1

คำชแี้ จง ให้นักเรยี นเตมิ คำตอบแตล่ ะข้อลงในตารางตอ่ ไปนใี้ ห้ถูกต้องสมบรู ณ์

ข้อท่ี คำถาม คำตอบ

1 ให้ f(x) = 2x2 – 2x + 7 1.1…………………………….
จงหาอัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลี่ยของ y เทียบกบั x 1.2…………………………….
1.3…………………………….
1.1 เมื่อ x เปลี่ยนจาก 3 ไปเปน็ 6

1.2 เม่อื x เปลี่ยนจาก 4 ไปเปน็ 8

1.3 เมือ่ x เปลยี่ นจาก 5 ไปเปน็ 10

2 ให้ f(x) = x3 – x2 + 1
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะ x = 5

3 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลีย่ ของปรมิ าตรของทรงกลม
เมื่อเทยี บกบั รัศมตี ั้งแต่รัศมีเท่ากับ 2 นวิ้ ถงึ รศั มเี ท่ากับ 7 นว้ิ

4 ให้ f(x) = 3x2 – 4x
จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะ x = 4

4

เอกสารฝกึ หดั เพิ่มเติมท่ี 1

คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรยี นแสดงวิธีทำทกุ ข้อ

1. ให้ y = x จงหาอัตราการเปลีย่ นแปลงเฉล่ยี ของ y เทียบกับ x
เม่อื x เปลีย่ นจาก 4 ไปเป็น 9 และอัตราการเปลีย่ นแปลงขณะ x = 4

2. ถ้าความยาวของดา้ นของรปู สามเหล่ียมด้านเท่ารปู หนึ่งเปลี่ยนจาก 4.0 เซนตเิ มตร
เป็น 4.4 เซนตเิ มตร จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ียของพืน้ ทร่ี ปู สามเหลี่ยมน้ี
เทียบกบั ความยาวของด้าน

3. ความยาวดา้ นของรูปสเี่ หลย่ี มจัตุรัสรปู หนงึ่ เปล่ียนจาก 10 เซนติเมตร เป็น 12 เซนตเิ มตร
จงหา
3.1 อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลีย่ ของพืน้ ทรี่ ูปสีเ่ หล่ียมจัตรุ สั เทียบกบั ความยาวของดา้ น
3.2 อตั ราการเปล่ยี นแปลงของพื้นท่รี ูปส่เี หลยี่ มจตั รุ สั เทยี บกับความยาวของด้านขณะที่
ดา้ นยาว 10 เซนตเิ มตร

4. ให้ y = 2x2 – 3 จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกบั x
4.1 เมอ่ื x เปลีย่ นจาก 3 ไปเป็น 5
4.2 เมอ่ื x เปลย่ี นจาก 3 ไปเป็น 8
4.3 อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะ x = 3

5

แบบสรปุ เนอ้ื หา 1

คำชี้แจง ให้นกั เรยี นสรปุ เนื้อหาตามใบความรู้ ตามหวั ข้อต่อไปนี้

1. อตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลีย่ ของ y เทยี บกบั x ในชว่ ง x ถงึ x + h คือ …………………….………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. อตั ราการเปล่ยี นแปลงของ y เทยี บกับ x ขณะ x มีคา่ ใด ๆ คือ …………………………….………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

3. กำหนดให้ y = x3 – 3x แลว้ อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของ y เทียบกับ x ในชว่ ง
x = 3 ถึง x = 6 คือ …………………………………………………………………………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

4. จากโจทย์ข้อ 3 อัตราการเปลย่ี นแปลงของ y เทยี บกับ x ขณะ x = 7 มคี ่าเท่ากบั …………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

6

ใบความรทู้ ี่ 2

อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั

อนุพันธข์ องฟังกช์ ัน y = f(x) ใด ๆ นิยามไดด้ ังน้ี

บทนยิ าม ถ้า y = f(x) เปน็ ฟงั ก์ชันทม่ี โี ดเมนและเรนจเ์ ปน็ สบั เซตของเซตของ

จำนวนจรงิ และ lim f(x + h) - f(x) หาค่าได้ เรียกค่าลมิ ติ ท่ไี ด้นี้ว่า
h→0 h

“อนุพนั ธ์ของฟงั กช์ นั f ที่ x ” เขยี นแทนด้วย f/(x)

จากบทนิยาม จะได้ f/(x) = lim f(x + h) - f(x) การหา f/ เรียกว่า การหาอนพุ นั ธ์ของ
h→0 h

ฟงั กช์ ัน f ถา้ lim f(x + h) - f(x) หาค่าไม่ได้ เราจะกล่าววา่ ฟังกช์ ัน f ไมม่ ีอนพุ ันธท์ ่ี x
h→0 h

สัญลกั ษณ์ที่ใช้แทนอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชัน f ที่ x เช่น dy (อ่านว่า ดวี ายบายดเี อกซ์) ,
dx

y/ และ d f(x) เป็นตน้
dx

หมายเหตุ 1. dy  x เพราะ dy คอื อนุพันธข์ องฟงั กช์ นั f ที่ x ไม่ได้
dx y dx

หมายถงึ d คณู y หารด้วย d คูณ x

2. dy คือ อัตราการเปลีย่ นแปลงของ y เทียบกบั x ขณะ x มคี ่าใด ๆ
dx

3. เมือ่ S แทนระยะทางทีว่ ตั ถเุ คลอ่ื นที่ไดใ้ นเวลา t หรือ S = f(t)
ถ้า v คอื ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ

จะได้ v = lim f(t + h) - f(t)
h→0 h

 S/ = f/(t) = ds = v
dt

7

ตัวอย่างท่ี 3 กำหนด f(x) = 5 – 3x + x2 จงหา f/(x)

วธิ ที ำ จาก f(x) = 5 – 3x + x2

f(x + h) = 5 – 3(x + h) + (x – h)2
= 5 – 3x + 3h + x2 – 2hx + h2

f(x + h) – f(x) = -3h + 2hx + h2

= h(h + 2x – 3)

=f(x + h) - f(x) h + 2x – 3
h

=lim f(x + h) - f(x) lim (h - + 2x - 3)
h→0 h h →0

 f/(x) = 2x – 3 ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 4 กำหนด f(x) = 2x2 จงหา f/(x)
วิธีทำ
f/(x) = lim f(x + h) - f(x)
h→0 h

= 2(x + h) 2 - 2x 2
lim
h →0 h

= lim 2x 2 + 4xh + h 2 - 2x 2
h →0 h

= lim (4x + 2h)
h →0

= 4x ตอบ

ตัวอย่างที่ 5 จงหาอนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน f(x) = x3 + 2x2 ณ จุดท่ี x = -2
วิธที ำ จาก f(x) = x3 + 2x2

f/(x) = f(x + h) - f(x)
lim
h→0 h

= lim (x + h) 3 + 2(x + h) 2 - (x 3 + 2x 2 )
h →0 h

= lim 3x 2h + 3xh 2 + h 3 + 4hx + 2h 2

= h →0 h

= lim (3x 2 + 3xh + h 2 + 4x + 2h)
f/(-2) =
h→0

3x2 + 4x

3(-2)2 + 4(-2)

= 12 – 8

 f/(-2) = 4 ตอบ

8

สรุป

การหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชัน มขี น้ั ตอนดังน้ี

ข้ันท่ี 1 แทนค่า x ด้วย x + h ใน f(x)

ขน้ั ที่ 2 หา f(x + h) – f(x)

ข้นั ที่ 3 หาร f(x + h) – f(x) ด้วย h

ขั้นท่ี 4 หา lim f(x + h) - f(x)
h→0 h

9

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 2

คำชีแ้ จง ใหน้ กั เรียนเติมคำตอบลงแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ลี งในตารางใหส้ มบูรณ์

ข้อท่ี คำถาม คำตอบ

1 จงหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชันตอ่ ไปนี้ 1.1 …………………………..
1.1 f(x) = 2x2 – x 1.2 ………………………….
1.2 f(x) = 3x2 – 6x + 7 1.3 ………………………….
1.3 f(x) = 5x3 – 6x 1.4 ………………………….
1.4 f(x) = x2 + 2x – 3 1.5 ………………………….
1.5 f(x) = x4

2 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี้ ณ จดุ ทีก่ ำหนดให้ 2.1 ………………………….
2.1 f(x) = x3 + x + 1 ที่ x = 1 2.2 ………………………….
2.2 f(x) = x2(x + 2) ท่ี x = -2 2.3 ………………………….
2.3 f(x) = 2x2 – 3x + 2 ท่ี x = 2

10

แบบสรุปเนื้อหา 2

คำชี้แจง ให้นกั เรยี นสรุปเน้ือหาตามใบความรู้ ตามหวั ข้อตอ่ ไปนี้

1. สญั ลกั ษณ์ท่ีใชแ้ ทนอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ัน f ท่ี x ได้แก่ …………………….……………………………………..….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. lim f(x + h) - f(x) เรยี กวา่ ………………………………………………………….…………………….………………
h→0 h

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

3. การหาอนุพันธข์ องฟังก์ชนั มีขั้นตอน ดงั น้ี
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

11

ใบความรทู้ ี่ 3

ความชันของเสน้ โคง้ และความชนั ของเสน้ สัมผสั เสน้ โคง้

การหาความชนั ของเสน้ โคง้ และความชันของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง สามารถหาได้จากนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม ถ้า y = f(x) เป็นสมการของเสน้ โค้งแลว้ เสน้ สัมผสั เส้นโค้งที่จดุ P(x, y) ใด ๆ

จะเปน็ เส้นตรงท่ผี ่านจดุ P และมคี ่าความชนั เท่ากบั

lim f(x + h) - f(x)

h→0 h

บทนิยาม ความชนั ของเสน้ โค้ง ณ จดุ P(x, y) ใดๆ บนเสน้ โค้ง หมายถึง
ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ณ จดุ P

ตัวอยา่ งท่ี 6 ถ้า f(x) = 5x2 – 6 เป็นสมการเสน้ โคง้ จงหาความชันของเส้นโคง้
ทจ่ี ุด (3, 12)

วิธที ำ จาก f(x) = 5x2 – 6

 =dy lim f(x + h) - f(x)
dx h→0 h

= lim [5(x + h) 2 - 6] - (5x 2 - 6)
h →0 h

= lim 5x 2 + 10hx + 5h 2 - 6 - 5x 2 + 6
h →0 h

= lim (10x + 5h)
h →0

= 10x

ความชนั ของเสน้ โค้ง ณ จดุ (x, y) ใด ๆ = 10x

 ความชันของเส้นโค้ง ณ จดุ (3, 12) = 10(3) = 30 ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 7 ให้ f(x) = 3x – x2 จงหาความชนั ของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ทจี่ ดุ (4, 6)
วธิ ีทำ จาก f(x) = 3x – x2

 dy = lim f(x + h) - f(x)
h→0 h
dx

= lim [3(x + h) - (x + h) 2 ] - (3x - x 2 )
h →0 h

12

= lim 3x + 3h - x 2 - 2hx - h 2 - 3x + x 2
h →0 h

= lim (3 - 2x - h)
h →0

= 3 – 2x

ความชนั ของเสน้ สัมผสั เสน้ โค้ง ณ จุด (x, y) ใด ๆ = 3 – 2x

 ความชันของเส้นสมั ผัสเส้นโคง้ ณ จดุ (4, 6) = 3 – 2(4) = 5 ตอบ

ตัวอย่างท่ี 8 ให้ y = x3 เป็นสมการเส้นโค้ง จงหาความชนั ของเส้นโค้งทจ่ี ดุ (10, 20)
วธิ ที ำ จาก y = x3

 f(x) = x3

dy = lim f(x + h) - f(x)
h→0 h
dx

= lim (x + h) 3 - x 3
h→0 h

= (x 3 + 3x 2h + 3xh 2 + h 3 - x 3 )
lim
h →0 h

= lim (3x 2 + 3xh + h 2 )
h →0

= 3x2

ความชันของเส้นโค้งที่จดุ (x, y) ใด ๆ = 3x2

ความชนั ของเส้นโค้งทีจ่ ุด (10, 20) = 3(10)2

= 300 ตอบ

สรปุ
การหาความชนั ของเส้นโค้งและความชนั ของเสน้ สัมผสั เส้นโคง้ หาได้จาก

lim f(x + h) - f(x)
h→0 h

แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 13
คำตอบ
คำชีแ้ จง ใหน้ กั เรียนเตมิ คำตอบลงแต่ละข้อตอ่ ไปน้ีลงในตารางให้สมบูรณ์

ข้อที่ คำถาม
1 ให้ f(x) = x2 – 4x เปน็ สมการของเส้นโคง้

จงหาความชนั ของเส้นโคง้ ทจ่ี ุด (6, 3)
2 ให้ f(x) = 3x – 2x2 เปน็ สมการของเส้นโค้ง

จงหาความชันของเส้นโค้งทจี่ ุด (1, 3)
3 ถา้ f(x) = 2x2 – 10 เปน็ สมการของเสน้ โคง้

จงหาความชันของเสน้ โคง้ ท่ีจุด (2, 4)
4 ถา้ f(x) = 6x2 – 1 เป็นสมการของเสน้ โคง้

จงหาความชันของเส้นสัมผัสเสน้ โค้งทจี่ ุด (2, 5)
5 ให้ f(x) = 4x3 เป็นสมการของเส้นโคง้

จงหาความชันของเสน้ สมั ผสั เส้นโค้งทจี่ ดุ (7, 3)
6 ให้ y = x2 – x + 5 เปน็ สมการของเส้นโคง้

จงหาความชนั ของเสน้ โค้งท่จี ุด (5, 4)
7 ให้ f(x) = x3 + 2x เป็นสมการของเส้นโคง้

จงหาความชันของเสน้ สมั ผสั เส้นโคง้ ทจ่ี ุด (6, -8)
8 ให้ f(x) = x3 – x2 เป็นสมการของเส้นโคง้

จงหาความชนั ของเส้นโคง้ ทจ่ี ุด (12, 8)

14

ใบความรทู้ ี่ 4

สมการของเสน้ สัมผสั เส้นโค้ง

สมการของเสน้ สมั ผัสเสน้ โค้งท่ีจดุ (x, y) ใด คือ y – y1 = m(x – x1) เม่อื m คือ
ความชันของเสน้ ตรง ซง่ึ สามารถหาสมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ได้ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 9 ถ้า y = x2 – x เป็นสมการของเส้นโค้ง จงหาสมการของเส้นสมั ผัส
เสน้ โคง้ ท่จี ดุ (2, 2)

วิธที ำ จาก y = x2 – x

 f(x) = x2 – x

dy = lim f(x + h) - f(x)
dx h→0 h

= lim [(x + h) 2 - (x + h)] - (x 2 - x)
h →0 h

= lim x 2 + 2xh + h 2 - x - h - x 2 + x
h →0 h

= lim (2x + h - 1)
h →0

= 2x – 1

ความชนั ของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้งทจ่ี ุด (2, 2) = (2  2) – 1

=3

สมการของเส้นตรงทีผ่ า่ นจุด (x1, y1) และมคี วามชนั เท่ากับ m คอื y – y1 = m(x – x1)
เนอ่ื งจากเสน้ สัมผสั เส้นโคง้ ที่จุด (2, 2) เป็นเส้นตรงทีผ่ ่านจุด (2, 2) และมคี วามชนั เท่ากับ 3

 สมการของเสน้ สมั ผสั เสน้ โค้ง คือ y – 2 = 3(x – 2)

y – 2 = 3x – 6

3x – y – 4 = 0 ตอบ

15

ตวั อย่างท่ี 10 ถา้ y = x – 3x2 เปน็ สมการของเสน้ โค้ง จงหาสมการของเสน้ สมั ผสั

เส้นโคง้ ท่จี ดุ (3, -3)

วิธที ำ จาก y = x – 3x2
หรือ f(x) = x – 3x2

dy = lim f(x + h) - f(x)
dx h→0 h

= [(x + h) - 3(x + h) 2 ] - (x - 3x 2 )
lim
h →0 h

= (x + h - 3x 2 - 6xh - 3 h 2 - x + 3x 2 )
lim
h →0 h

= lim (1 - 6x - 3h)
h →0

= 1 – 6x

ความชันของเส้นสมั ผัสเสน้ โค้งที่จดุ (3, -3) = 1 – 6(3)

= -17

สมการของเสน้ ตรงท่ีผา่ นจดุ (x1, y1) และมคี วามชนั เท่ากับ m คือ y – y1 = m(x – x1)
เนอ่ื งจากเสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ ท่จี ุด (3, -3) เปน็ เส้นตรงทผ่ี า่ นจดุ (3, -3) และมคี วามชนั เท่ากับ -17

 สมการของเส้นสัมผสั เสน้ โคง้ คือ y – (-3) = -17(x – 3)

y + 3 = -17x + 51

17x + y – 48 = 0 ตอบ

ตวั อย่างที่ 11 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ y = x3 – 2x2 + 4 ทจี่ ุด ซึ่ง x = 2
วธิ ที ำ จาก y = x3 – 2x2 + 4

 dy = lim f(x + h) - f(x)
dx
h→0 h

= lim [(x + h) 3 - 2(x + h) 2 + 4] - [x 3 - 2x 2 + 4]
h →0 h

= (x 3 + 3x 2h + 3xh 2 + h 3 - 2x 2 - 2xh - h 2 + 4 - x 3 + 2x 2 - 4)
lim
h →0 h

= lim (3x 2 + 3xh + h 2 - 4x - 2h)
h →0

= 3x2 – 4x

 ความชนั ของเส้นโคง้ ณ จุด (x, y) ใด ๆ = 3x2 – 4x
ความชนั ของเสน้ สัมผสั เส้นโค้งทจี่ ุด ที่ x = 2 , เท่ากบั 3(22) – 4(2)

=4

เมอื่ x = 2 จะได้ y = 23 – 2(22) + 4 = 4

 จดุ สัมผสั เส้นโคง้ คือ จุด (2, 4)

สมการเส้นสัมผสั เสน้ โค้ง คือ y – 4 = 4(x – 2)

y – 4 = 4x – 8

4x – y – 4 = 0 ตอบ

16

สรุป
การหาสมการเส้นสมั ผสั เสน้ โค้ง มีขน้ั ตอนดังน้ี

1) หา dy ซงึ่ เท่ากบั ความชนั ของเส้นโค้ง
dx

2) หาจดุ สัมผัสเสน้ โค้ง คือจุด (x, y)
3) หาสมการของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ จากสูตร

y – y1 = m(x – x1)

17

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 4

คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนเติมคำตอบลงแต่ละข้อต่อไปน้ีลงในตารางให้ถูกตอ้ งสมบรู ณ์

ขอ้ ท่ี คำถาม คำตอบ

1 จงหาสมการของเส้นสัมผสั เส้นโค้ง y = x2 – 2x
ทจ่ี ดุ (-1, 3)

2 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ y = 4x2 + 2x - 6
ท่ีจุด (6, 4)

3 จงหาสมการของเส้นสัมผสั เส้นโคง้ y = x3 – 2x2 + 4
ที่จดุ (2, 4)

4 จงหาสมการของเสน้ สัมผัสเส้นโค้ง y = x2 – 2x + 1
ทจ่ี ุด (2, 1)

5 จงหาสมการของเสน้ ตรงที่ต้งั ฉากกบั เส้นสัมผสั เสน้ โค้ง
y = 2x + 3 x ทจ่ี ุด x = 4

6 ถ้า A เปน็ จุดอยู่บนเสน้ โค้ง y = 2x2 + 1 และเส้นสมั ผัส
ทจ่ี ดุ A ขนานกบั เสน้ ตรง y + 4x = 0 จงหาสมการของ
เส้นตรงซ่งึ ผ่านจุด A และตัง้ ฉากกบั เสน้ สมั ผสั

18

แบบสรุปเนอ้ื หา 3

คำชี้แจง ใหน้ กั เรยี นสรปุ เนอ้ื หาตามใบความรู้ ตามหวั ข้อตอ่ ไปน้ี

1. ถา้ y = f(x) เปน็ สมการของเส้นโคง้ แลว้ เสน้ โค้งสัมผัสเส้นโค้งท่ีจุด P(x, y) ใด ๆ จะเป็น
เส้นตรงท่ีผา่ นจดุ P จะมคี วามชนั เทา่ กบั …………………….………………………………………………….…..….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. ความชนั ของเสน้ โค้ง ณ จุด P(x, y) ใด ๆ คอื ……………………..………….…………………….………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

3. การหาสมการของเสน้ สัมผสั เสน้ โคง้ มขี น้ั ตอนดังนี้
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

19

ใบความรทู้ ี่ 5

การหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ันโดยใช้สตู ร
การหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ันโดยใช้สตู ร ในเอกสารชดุ นี้มีสตู ร ดังนี้

สูตรที่ 1 ถ้า y = c เมื่อ c เปน็ ค่าคงตวั แล้ว dy = 0
dx
นน่ั คือ d (c) = 0
dx

พิสูจน์ จาก f(x) = 0
จะได้
=dy lim f(x + h) - f(x)
dx h→0 h

= lim c - c 0
h→0 h

= lim 0 =
h→0

ตวั อย่างที่ 12 กำหนดให้ y = -8 จงหา dy
วธิ ที ำ dx
dy = d (-8)
dx
dx
0
=

ตวั อย่างที่ 13 กำหนดให้ y = 81 จงหา dy
วธิ ที ำ dx
dy = d (81)
dx
dx
0
=

20

สตู รท่ี 2 ถา้ y = x แลว้ dy = 1
dx
นัน่ คือ dx = 1
dx

พสิ จู น์ ให้ f(x) = x
จะได้
=dy lim f(x + h) - f(x)

dx h → 0 h

= lim x + h - x
h→0 h

= lim 1
h →0

=1

ข้อสังเกต dx = 1 หมายถึง อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน y เทยี บกบั x ที่ x ใด ๆ

dx

เทา่ กับ 1

สตู รที่ 3 ถา้ y = xn เม่อื n เป็นจำนวนจริงแล้ว dy = nxn -1

dx

นั่นคือ d (x n ) = nxn -1
dx

ตวั อยา่ งที่ 14 กำหนดให้ f(x) = x6 จงหาค่าของ f/(x)

วิธีทำ f/(x) = d (x 6 ) ตอบ
dx
= 6x6 - 1
= 6x5

ตัวอยา่ งท่ี 15 กำหนดให้ y = 1 จงหา dy 21
x4 dx ตอบ
ตอบ
วิธที ำ จาก y = 1
x4
= x −4

 =dy d (x −4 )
dx dx

= -4x-4 - 1
= -4x-5

= −4
x5

ตัวอยา่ งที่ 16 กำหนดให้ y = 4 x จงหา dy
dx

วิธที ำ  4 x 1
 dy
= x4
dx
1

= d (x 4 )

dx

=1 1 −1
4
x4

=1 − 3
4
x
4

=1

4 4 x3

22

แบบฝึกทักษะที่ 5

คำช้ีแจง ให้นกั เรียนเติมคำตอบลงแต่ละข้อต่อไปน้ลี งในตารางใหถ้ ูกต้อง

ขอ้ ที่ คำถาม คำตอบ
1 ถา้ y = -10 แลว้ จงหา dy

dx

2 ถา้ f(x) = 20 แลว้ จงหา f/(x)

3 ถา้ f(x) = 43 แล้ว จงหา f/(x)

4 ถ้า y = 25 แล้ว dy มีคา่ เท่าใด
dx

5 ถา้ y = x4 แลว้ จงหา dy
dx

6 ถ้า y = 3 x แล้ว จงหา dy
dx

7 ถา้ f(x) = 2 แล้ว จงหา f/(x)

x3

8 ถ้า f(x) = 4 แลว้ จงหา f/(x)

x3

5

9 ถ้า y = x 4 แล้ว จงหา dy
dx

10 ถา้ f(x) = x8 แล้ว จงหา f/(x)

23

ใบความรทู้ ี่ 6

การหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั โดยใช้สตู ร(ต่อ)
การหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั โดยใช้สูตร ในเอกสารชดุ น้ีมสี ตู ร ดงั น้ี

สตู รท่ี 4 ถา้ y = f(x) + g(x) แล้ว

dy = d f(x) + d g(x)
dx dx dx

จากสูตรที่ 4 จะได้ว่า อนุพนั ธ์ของผลบวกของฟงั กช์ นั เทา่ กับผลบวกของอนุพันธ์

ตวั อยา่ งท่ี 17 กำหนดให้ y = x6 + 7 จงหา dy
dx
วิธที ำ จาก y
จะได้ = x6 + 7
dy
dx = d (x 6 ) + d (7)
dx dx
ตอบ
= 6x6 - 1 + 0
= 6x5

ตวั อย่างท่ี 18 กำหนดให้ y = x4 + x2 จงหา dy
dx
วธิ ที ำ จาก y
จะได้ = x4 + x2
dy
dx = d (x 4 ) + d (x 2 )
dx dx
ตอบ
= 4x4 - 1 + 2x2 - 1
= 4x3 + 2x

สูตรที่ 5 ถา้ y = f(x) - g(x) แล้ว

dy = d f(x) − d g(x)
dx dx dx

จากสูตรที่ 5 จะได้วา่ อนุพันธข์ องผลต่างของฟังกช์ ันเทา่ กับผลต่างของอนุพนั ธ์

24

ตวั อยา่ งท่ี 19 กำหนดให้ f(x) = x3 - x2 จงหา f/(x)
วธิ ที ำ จาก f(x) = x3 - x2

f/(x) = d (x 3 ) − d (x 2 )
dx dx
=
= 3x3 - 1 - 2x2 - 1
3x2 - 2x

ตวั อยา่ งที่ 20 กำหนดให้ y = x5 - x3 - x2 จงหา dy
dx
วธิ ีทำ จาก y
= x5 - x3 - x2
จะได้ dy
dx = d (x 5 ) − d (x 3 ) − d (x 2 )
dx dx dx
ตอบ
= 5x5 - 1 - 3x3 - 1 - 2x2 - 1
= 5x4 - 3x2 - 2x

สตู รที่ 6 ถ้า y = cf(x) เมื่อ c เปน็ คา่ คงตัว แลว้

dy = c d f(x)
dx dx

ตัวอย่างท่ี 21 กำหนดให้ y = 5x2 - 3x จงหา dy และ f/(2)
dx

วิธที ำ จาก y = 5x2 - 3x

จะได้ dy = d (5x 2 - 3x)

dx dx

= 5 d (x 2 ) - 3 dx ตอบ
dx dx ตอบ

= 5(2x) - 3(1)

จาก dy = 10x - 3
dx

 f/(x) = 10x - 3
f/(2) = 10(2) - 3
= 17

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 6 25
คำตอบ
คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนเตมิ คำตอบลงแต่ละข้อตอ่ ไปนลี้ งในตารางใหถ้ ูกต้อง

ข้อที่ คำถาม
1 ถา้ y = x3 + 25 จงหา dy

dx

2 ถา้ y = x5 + x4 + x + 2 แล้ว จงหา dy
dx

3 ถา้ f(x) = x6 - x3 - 10 แลว้ จงหา f/(x)
4 ถา้ f(x) = x5 + x4 - x3 + 5 แลว้ จงหา f/(x)
5 ถา้ y = 3x4 แลว้ จงหา dy

dx

6 ถ้า y = 6x5 + 2x + 12 แล้ว จงหา dy
dx

7 ถา้ f(x) = 7x4 - 8x3 + 5x2 - 10x + 2 แลว้ จงหา f/(x)
8 ถา้ f(x) = 2x6 - 3x5 + 4x - 3 แลว้ จงหา f/(x)

26

ใบความรทู้ ี่ 7

การหาอนุพันธ์ของฟงั กช์ ันโดยใชส้ ตู ร(ต่อ)
การหาอนุพันธ์ของฟังกช์ นั โดยใช้สูตร ในเอกสารชุดนม้ี ีสตู รดงั น้ี

สูตรที่ 7 ถ้า y = f(x)  g(x) แล้ว

dy = f(x) d g(x) + g(x) d f(x)
dx dx
dx

จากสูตรที่ 7 อาจเขียนไดว้ ่า dy = f(x) g/(x) + g(x) f/(x)
dx

ตวั อย่างที่ 22 กำหนดให้ y = (x2 - 2x + 3)(2x + 5) จงหา dy
dx

วิธที ำ จาก y = (x2 - 2x + 3)(2x + 5)

จะได้ dy = d [(x2 - 2x + 3)(2x + 5)]

dx dx

= (x2 - 2x + 3) d (2x + 5) + (2x + 5) d (x2 - 2x + 3)

dx dx

= (x2 - 2x + 3)(2 + 0) + (2x + 5)(2x - 2)

= (2x2 - 4x + 6) + (4x2 + 6x - 10)

= 2x2 - 4x + 6 + 4x2 + 6x - 10

= 6x2 + 2x - 4 ตอบ

27

สตู รท่ี 8 ถา้ y = f(x) โดยท่ี g(x)  0 แล้ว
g(x)

dy = g(x) d f(x) - f(x) d g(x)
dx dx

dx [g(x)]2

จากสตู รที่ 8 คงเขยี นได้วา่ dy = g(x) f / (x) - f(x) g / (x)
dx [g(x)] 2

ตัวอยา่ งท่ี 23 กำหนดให้ y = 3x - 1 จงหา dy
3x + 1 dx

วิธที ำ จาก y = 3x - 1
3x + 1

จะได้ dy = d  3x - 1 
dx 3x + 1 
dx

= (3x + 1) d (3x - 1) - (3x - 1) d (3x + 1)
dx dx
(3x + 1) 2

= (3x + 1)(3 - 0) - (3x - 1)(3 + 0)
(3x + 1) 2

= 9x + 3 - 9x + 3
(3x + 1) 2

=6 ตอบ
(3x + 1) 2

ตวั อย่างที่ 24 ให้ f(x) = 4x2 - 7x + 2 จงหา f/(x)
3x 2 + 4

วธิ ที ำ จาก f(x) = 4x 2 - 7x + 2
3x 2 + 4

f/(x) = d  4x 2 - 7x + 2 
 
dx  3x 2 + 4 

= (3x 2 + 4) d (4x 2 - 7x + 2) - (4x 2 - 7x + 2) d (3x 2 + 4)
dx dx
(3x 2 + 4) 2

= (3x 2 + 4)(8x - 7 + 0) - (4x 2 - 7x + 2)(6x)
(3x 2 + 4) 2

= (24x 3 - 21x 2 + 32x - 28) - (24x 3 - 42x 2 + 12x)
(3x 2 + 4) 2

= 24x 3 - 21x 2 + 32x - 28 - 24x 3 + 42x 2 - 12x)
(3x 2 + 4) 2

= 21x 2 + 20x - 28 ตอบ
(3x 2 + 4) 2

แบบฝกึ ทักษะท่ี 7 28
คำตอบ
คำชี้แจง ให้นักเรียนเติมคำตอบลงแต่ละข้อตอ่ ไปนลี้ งในตารางให้ถูกตอ้ ง

ขอ้ ท่ี คำถาม

1 กำหนดให้ y = (2x + 1)(x + 3) จงหา dy
dx

2 กำหนดให้ y = (x2 + 2x + 3)(3x + 2) จงหา dy
dx

3 กำหนดให้ f(x) = (x + 2)(x + 4) จงหา f/(x)

4 กำหนดให้ f(x) = (3x2 + 1)(x + 2) จงหา f/(x)

5 กำหนดให้ y = x + 1 จงหา dy
x - 2 dx

6 กำหนดให้ y = 1 + 4x จงหา dy
1 - 4x dx

7 กำหนดให้ y = 2x2 + 3x - 1 จงหา dy
x - 2 dx

8 กำหนดให้ f(x) = 2x2 + 4x + 1 จงหา f/(x)
x+3

29

ใบความรทู้ ี่ 8

โจทยป์ ญั หาเก่ียวกับการใชส้ ูตรการหาอนุพนั ธ์

ตวั อยา่ งท่ี 25 จงหาจุดบนเสน้ โคง้ y = x3 – 12x เม่ือเสน้ สมั ผสั ที่จุดเหล่าน้นั ขนานกบั แกน X
วธิ ที ำ จาก y = x3 – 12x

จะได้ dy = d (x3 - 12x)
dx dx
= 3x2 – 12

นั่นคอื เสน้ สัมผสั เสน้ โค้ง ณ จุด (x, y) ใด ๆ จะมีความชันเทา่ กับ 3x2 – 12
แตเ่ ส้นสัมผสั เสน้ โค้งที่ขนานกับแกน X ก็คอื เสน้ ตรงที่มีความชนั เป็นศนู ย์

 3x2 – 12 = 0
x2 – 4 = 0
(x - )(x + 2) = 0

 จะได้ x = 2 หรือ x = -2
เม่ือ x = 2 จะได้ y = (2)3 – 12(2) = -16

x = -2 จะได้ y = (-2)3 – 12(-2) = 16

 จดุ บนเส้นโคง้ ที่เส้นสัมผัสท่ีจุดน้นั ขนานกบั แกน X คอื จดุ (-2, 16) และ (2, -16) ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 26 จงหาจดุ บนเสน้ โค้ง y = 3 x 2 + 4x + 1 ที่ทำให้เนสัมผัสทจี่ ุดดงั กลา่ ว
2
ต้งั ฉากกบั เสน้ ตรง x – 2y + 4 = 0

วิธีทำ ให้ P(m, n) เป็นทต่ี อ้ งการหา

เนอ่ื งจากจุด P อยูบ่ นเสน้ โค้ง y = 3 x 2 + 4x + 1 จะไดว้ ่า
2
n = 3 m2 + 4m + 1 ………………………… 
2

จาก y = 3 x 2 + 4x + 1
2

จะได้ dy = 3x + 2 ซง่ึ คอื ความชนั ของเสน้ สมั ผสั ท่จี ุด (x, y) ใด ๆ
dx

แตเ่ ส้นสัมผสั ซ่ึงตั้งฉากกบั เส้นตรง x – 2y + 4 = 0 ซง่ึ มีความชนั เทา่ กับ 1
2
 เสน้ สัมผัสจะมคี วามชันเท่ากบั -2

 3x + 4 = -2

3x = -6

x = -2

นั่นคือ จะได้ m = -2 นำไปแทนค่าใน  จะได้

n = 3 (-2)2 + 4(-2) + 1 = -1 30
2 ตอบ

 จุด P ที่ต้องการ คือ (-2, -1)

31

แบบฝกึ ทักษะท่ี 8

คำชี้แจง ให้นักเรียนเตมิ คำตอบลงแต่ละข้อต่อไปนี้ลงในตารางใหถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์

ขอ้ ท่ี คำถาม คำตอบ

1 จงหาสมการของเส้นสัมผัสและเสน้ ตรงทตี่ ้งั ฉากกบั เสน้ สัมผัส
เสน้ โค้ง y = x2 + x – 1 ทจี่ ุด x = 1

2 จงหาสมการของเสน้ สัมผัสและเสน้ ตรงทีต่ ้งั ฉากกับเส้นสมั ผัส
เสน้ โค้ง y = x3 – 2x2 + 3 ท่ีจุด x = 2

3 จงหาสมการของเส้นสมั ผัสเส้นโค้ง y = x ทจ่ี ุด x = 4

4 จงหาจดุ บนเสน้ โค้ง y = x3 – 3x ที่เสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ ที่จดุ นน้ั
ขนานกบั แกน X

5 วตั ถุชนดิ หน่ึงเคลือ่ นท่ีตามสมการ S = t3 – 2t + 5
เมอื่ S เปน็ ระยะทางมหี นว่ ยเป็นเมตร t เปน็ เวลามหี นว่ ยเป็น
วินาที จงหาความเรว็ ของวัตถุนใ้ี นขณะ t = 10 วินาที

32

แบบสรปุ เนอื้ หา 4

คำชี้แจง ใหน้ ักเรียนสรปุ เน้ือหาตามใบความรู้ ตามหวั ข้อต่อไปนี้

สตู รทีใ่ ชใ้ นการหาอนพุ นั ธ์ของฟังก์ชัน มีดังน้ี
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

33

ใบกจิ กรรมท่ี 1

คำชี้แจง ใหน้ ักเรยี นเตมิ คำตอบลงในช่องว่างแตล่ ะข้อต่อไปนใ้ี หถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์

1. กำหนด f(x) = x2 + 2x – 1 และ g(x) = x3 + 3 จงหา
1.1 (g o f)(2) = ……………………………………………………………………..
1.2 (f o g)(3) = ……………………………………………………………………..
1.3 (f o g)(-2) = ……………………………………………………………………..

2. กำหนดให้ f(x) = 2x + 5 และ g(x) = 2x – 3 จงหา
2.1 (g o f)(1) = ……………………………………………………………………..
2.2 (f og)(5) = ……………………………………………………………………..

3. กำหนดให้ f(x) = 2x และ g(x) = 3-x จงหา
3.1 (g o f)(2) = ……………………………………………………………………..
3.2 (f o g)(-3) = ……………………………………………………………………..

34

ใบกจิ กรรมที่ 2

คำชแ้ี จง ให้นกั เรยี นหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั ท่ีกำหนดให้ตามตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อยา่ ง ให้ y = (x2 + 1)5 จงหา dy
วธิ ีทำ dx

ให้ u = x2 + 1 u5
y = (x2 + 1)5 =

ใชก้ ฎลกู โซ่ จะได้ = dy  du
du dx
dy
= du 5  d (x 2 + 1)
dx du dx

= 5u4 (2x)
= 5(x2 + 1)4(2x)
= 10x(x2 + 1)4

35

สรุป จากการหาอนุพันธ์ของฟงั กช์ ันในข้อ 1 - ข้อ 4 สามารถหาอนุพันธ์
โดยใช้สูตรดังน้ี
ให้ y = un จะไดว้ า่
dy = nun -1 du

dx dx

36

แบบฝึกทักษะที่ 9

คำชแี้ จง ให้นักเรียนเตมิ คำตอบลงแตล่ ะข้อต่อไปน้ลี งในตารางใหถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์

ขอ้ ที่ คำถาม คำตอบ

1 ให้ y = (2x + 3)5 จงหา dy
dx

2 ให้ y = (1 – 3x)3 จงหา dy
dx

3 ให้ y = (3 – 4x2)4 จงหา dy
dx

4 ให้ y = (2 – 3x + 4x2)3 จงหา dy
dx

5 ให้ y = (x3 – 2x)4 จงหา dy
dx

6 ให้ y = 1 - 2x จงหา dy
dx

7 ให้ y = (1 – 5x)6 จงหา dy
dx

8 ให้ y =  x 6 จงหา dy
 x +1  dx

37

แบบสรุปเนอื้ หา 5

คำชี้แจง ให้นกั เรียนสรปุ เนื้อหาตามใบกิจกรรม ตามหัวขอ้ ต่อไปนี้

1. ฟังก์ชนั คอมโพสิท คือ ………………………………………………….………………………………………………….…..….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. กฎลูกโซ่ มีสตู รดงั น้ี ……………………..………….…………………………………………………………….………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

3. ถา้ ให้ u = f(x) จะได้ y = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(u)
น่นั คือ ถา้ u = f(x) และ y = g(u) แลว้

dy =

dx

38

ใบความรู้ท่ี 9

อนุพนั ธ์อันดับสงู

ถา้ ให้ f(x) = x5 + 2x4 + 3x3 – 2x + 3
จะได้ f/(x) = 5x4 + 8x3 + 9x2 – 2
เราเรยี ก f/(x) วา่ อนพุ ันธ์อันดับหน่ึงของ f(x)

ถ้าเรานำ f/(x) มาหาอนุพันธอ์ ันดับหนึง่ ของ f(x) ใหมว่ า่ เป็นอนุพันธ์อนั ดบั สองของ f(x)
นน่ั คอื f//(x) = 20x3 + 24x2 + 18x

ในทำนองเดยี วกัน ถ้านำ f//(x) มาหาอนุพนั ธต์ ่อไปเรือ่ ยๆ เราก็จะได้อนุพันธ์อันดับสาม อนั ดบั ส่ี
ต่อไปเรื่อยๆ และเพื่อสรุปเป็นหมวดหมู่ เรานยิ มใชส้ ัญลกั ษณต์ ่อไปนี้แทนอนุพันธ์อันดับต่างๆ ดงั น้ี

f/(x) = y/ = dy แทน อนุพันธ์อันดบั หนงึ่
y// =
f//(x) = y/// = dx

f///(x) = y(n) = d2y แทน อนุพันธ์อันดับสอง
...
f(n)(x) = dx 2

d3y แทน อนพุ นั ธ์อนั ดบั สาม

dx 3

dn y แทน อนุพนั ธ์อันดับ n

dx n

ตวั อยา่ งท่ี 27 ให้ f(x) = 3x3 + 6x2 + 2x – 10 จงหา f///(x)
วธิ ีทำ จาก f(x) = 3x3 + 6x2 + 2x – 10
ตอบ
 f/(x) = 9x2 + 12x + 2
f//(x) = 18x + 12
f///(4) = 18

39

ตวั อยา่ งที่ 28 ให้ y = 3x5 + 4x2 + 8x + 2 จงหา d4 y
3x5 + 4x2 + 8x + 2 dx 4
วธิ ที ำ จาก y = 15x4 + 8x + 8
dy = 60x3 + 8 ตอบ

dx 180x2

d2y = 360x

dx 2

d3y =

dx 3

d4y =

dx 4

40

แบบฝึกทกั ษะที่ 10

คำชีแ้ จง ใหน้ ักเรยี นเติมคำตอบลงแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ลี งในตารางใหถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์

ขอ้ ที่ คำถาม คำตอบ

1 5 จงหา d3 y
dx 3
ให้ y = x 2 + 4x 3 - 5x + 7

2 ให้ y = 3 x - 5x 6 + 8 จงหา d3 y
dx 3

3 ให้ f(x) = 5x4 + 2x3 – x + 2 จงหา f////(x)

4 ให้ f(x) = 2x5 – 3x4 + x – 2 จงหา f5(x)

5 ให้ f(x) = 6 + 3x + 8x3 – 2x5 จงหา f///(x)

6 ให้ f(x) = 4x3 – 3x2 + 7 จงหา f//(1)

7 ให้ f(x) = 5x5 – 6x3 + 13 จงหา f///(2)

8 ให้ f(x) = 4x4 + 3x3 – 6x2 – 10 จงหา f///(3)

41

ใบความรทู้ ี่ 10

โจทยป์ ัญหาเกี่ยวกับการนำอนุพันธอ์ ันดับสงู

ตวั อยา่ งท่ี 29 เม่ือเวลา t วนิ าที วัตถุเคลื่อนที่ไดร้ ะยะทาง S = 4t3 + 2t – 3 เมตร
จงหา 1) ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ
2) ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ
3) ความเร่งขณะเวลา t = 2 วนิ าที

วธิ ที ำ (1) จาก S = 4t3 + 2t – 3
จะได้ v = dS = 12t2 + 2 เมตร/วนิ าที

dt

 ความเรว็ ขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากับ 12t2 + 2 เมตร/วินาที
(2) จาก v = 12t2 + 2

จะได้ a = dv = 24t เมตร/วนิ าท2ี
dt

 ความเรง่ ขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากับ 24t เมตร/วินาที2

(3) จาก (2) จะไดค้ วามเร่งขณะเวลา t = 2 วินาที เทา่ กับ 24(2)

= 48 เมตร/วินาที2 ตอบ

ตัวอยา่ งท่ี 30 กำหนดให้ f(x) = x3 – 2x2 + x – 5 จงหาอตั ราการเปล่ยี นแปลงของ

ความชันขณะท่ี x = 2
วิธีทำ จาก f(x) = x3 – 2x2 + x – 5

f/(x) = 3x2 – 4x + 1
f//(x) = 6x – 4

ให้ x = 2 จะได้
f//(2) = 6(2) – 4

=8

นัน่ คอื อัตราการเปลีย่ นแปลงของความชันของเส้นสัมผสั ของกราฟที่ x = 2 เทา่ กบั 8 ตอบ

42

สรุป
ความเรง่ (a) ของวตั ถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คอื อัตราการเปลี่ยนแปลงของ

ความเร็ว (v) เทยี บกบั เวลา t ใด ๆ ถา้ วตั ถุเคลอื่ นท่ีตามสมการเคล่ือนท่ี

คอื S = f(t) เม่อื S คอื ระยะทางทวี่ ัตถเุ คลอ่ื นท่ีไดใ้ นเวลา t จะได้

a = dv และ v = dS
dt dt

 a = d  dS  = d2S
dt  dt  dt 2

นั่นคอื ความเร่งขณะเวลา t ใดๆ ก็คือ อนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี 2 ของ S = f(t)

43

แบบฝึกทักษะท่ี 11

คำช้แี จง ให้นกั เรียนเติมคำตอบลงแตล่ ะข้อตอ่ ไปนีล้ งในตารางให้ถูกต้องสมบูรณ์ คำตอบ

ข้อที่ คำถาม
1 วตั ถุชน้ิ หน่ึงเคลื่อนท่ีได้ทาง S = 2t2 – 5t – 3 ในเวลา t วนิ าที

จงหาความเร็วและความเร่งขณะ t = 4
2 โยนลกู บอลลูกหนง่ึ ข้ึนไปในอากาศ มสี มการของการเคลือ่ นทค่ี ือ

S(t) = 88t – 2t2 จงหาความเรว็ ในขณะท่ลี ูกบอลถูกโยนไป
ได้ 10 วนิ าที
3 ปลอ่ ยวตั ถจุ ากทสี่ ูงลงสูพ่ ืน้ ดนิ วัตถุเคลอ่ื นที่ได้ระยะทาง S = 16t2
เมตร ในเวลา t วินาที จงหาความเรว็ ขณะเวลา t = 2 วินาที
และความเรง่ ขณะเวลา t = 5 วินาที
4 โยนวัตถขุ ้ึนไปในอากาศ วตั ถุเคลอ่ื นที่ไดร้ ะยะทาง
S = 128t – 16t2 เมตร ในเวลา t วนิ าที
จงหาความเร่งของวตั ถุขณะเวลา t = 2 วินาที
5 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นสัมผัสกราฟ
ท่ี x = 2 เมอื่ f(x) = 4x4 – x3 – 5x + 1

44

แบบสรปุ เนอ้ื หา 6

คำชี้แจง ใหน้ กั เรียนสรปุ เน้ือหาตามใบความรู้ ตามหวั ข้อตอ่ ไปน้ี

1. อนพุ นั ธ์อนั ดับท่ี n ของฟงั ก์ชนั หมายถึง …………………….….……………………………………………….…..….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. สญั ลกั ษณ์ของอนุพันธ์อันดับท่ี 2 คอื ……………………..………….………………………………….….……………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

3. สัญลกั ษณ์ของอนุพนั ธอ์ ันดับท่ี 3 คอื ……………………..………….………………………………….…….…………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

4. สัญลกั ษณ์ของอนุพนั ธอ์ ันดบั ที่ 5 คอื ……………………..………….………………………………….……….………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

5. ความเรว็ ขณะเวลา t ใด ๆ คอื
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

6. ความเร่งขณะเวลา t ใด ๆ คอื
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

45

ใบความรทู้ ่ี 11

ฟงั ก์ชนั เพมิ่ และฟังก์ชนั ลด

โดยทวั่ ไปฟงั กช์ ันใด ๆ จะเป็นฟงั ก์ชันเพม่ิ หรือฟงั ก์ชันลด จะตอ้ งมลี กั ษณะดังทฤษฎบี ทต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท ให้ฟังก์ชัน f เป็นฟังก์ชนั ต่อเนื่องบนชว่ งปดิ [a, b] และสามารถ

หาอนุพันธ์ของ f ได้ทุก ๆ จุด ในช่วงเปิด (a, b)
1) ถา้ f/(x) > 0 สำหรบั ทุก ๆ x บนชว่ ง (a, b) แล้ว

f จะเป็นฟังกช์ ันเพิ่มบนชว่ ง [a, b]
2) ถา้ f/(x) < 0 สำหรับทุก ๆ x บนชว่ ง (a, b) แล้ว

f จะเป็นฟังก์ชันลดบนชว่ ง [a, b]

ตัวอย่างที่ 31 ให้ f/(x) = 1 x 3 - 1 x 2 - 2x จงหา
32
1. ช่วงท่ที ำให้ f เปน็ ฟังก์ชันลด

2. ชว่ งท่ที ำให้ f เป็นฟงั ก์ชันเพิ่ม

วิธที ำ จาก f(x) = 1 x 3 - 1 x 2 - 2x
32
เนือ่ งจาก f เป็นฟังกช์ ันพหุนาม

ดังน้ัน f มคี วามต่อเนื่องทุกคา่ ของ x ทีเ่ ปน็ จำนวนจริง

จาก f(x) ที่โจทย์กำหนด จะได้
f/(x) = x2 – x – 2

1) เนอ่ื งจากค่า x ท่ีจะทำให้ f เปน็ ฟังกช์ นั ลดคือคา่ x ท่ที ำให้ f/(x) เปน็ จำนวนลบ
นัน่ คอื f/(x) < 0
x2 – x – 2 < 0

(x – 2)(x + 1) < 0

+– +

-1 2

จากกราฟช่วงทีท่ ำให้ f/(x) < 0 คือ (-1, 2) ตอบ
 ชว่ งท่ที ำให้ f เปน็ ฟังก์ชันลด คือ [-1, 2]

46

2) เนอื่ งจากค่า x ท่จี ะทำให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันเพ่ิมคือ ค่า x ท่ที ำให้ f/(x) เปน็ จำนวนบวก

นน่ั คือ f/(x) > 0

x2 – x – 2 >0

(x – 2)(x + 1) > 0

+– +

-1 2

จากกราฟช่วงทีท่ ำให้ f/(x) > 0 คอื (-, 1)  (2, ) ตอบ
 ชว่ งทที่ ำให้ f เป็นฟงั ก์ชนั เพ่มิ คือ (-, 1]  [2, )

ตัวอย่างที่ 32 จงหาช่วงท่ที ำให้ฟังก์ชัน f(x) = x3 – 3x + 2 เปน็ ฟงั กช์ นั ลด
วธิ ที ำ จาก f(x) = x3 – 3x + 2

 f/(x) = 3x2 – 3
พจิ ารณาค่า x ที่ทำให้ f/(x) < 0

3x2 – 3 < 0
3(x2 – 1) < 0
x2 – 1 < 0
(x + 1)(x – 1) < 0

+ – +
-1 1

จากกราฟ จะพบวา่ ช่วงท่ีทำให้ 3x2 – 3 < 0 คอื (-1, 1) ตอบ
 ชว่ งทที่ ำให้ f เปน็ ฟังก์ชันลด คอื [-1, 1]

47

แบบฝึกทกั ษะท่ี 12

คำช้ีแจง ให้นักเรยี นเติมคำตอบแต่ละข้อลงในตารางตอ่ ไปนี้ใหถ้ ูกต้องสมบรู ณ์ คำตอบ

ข้อท่ี คำถาม
1 จงหาช่วงที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชันเพม่ิ และช่วงที่ทำให้ f เป็นฟังก์ชันลด

จากฟงั กช์ ันทกี่ ำหนดให้ จากขอ้ 1 – 5
f(x) = x2 – 4x + 8

2 f(x) = 1 x3 – x2 + 3x + 3
3

3 f(x) = 2 + 2x – x2

4 f(x) = 3x4 – 8x3 – 6x2 + 24x + 6

5 f(x) = x3 + 3x – 4

48

ใบความรทู้ ่ี 12

ค่าสูงสุดสมั พทั ธ์ และค่าตำ่ สดุ สมั พัทธ์
คา่ สงู สดุ สัมพัทธ์และคา่ ตำ่ สุดสมั พทั ธ์ของฟงั ก์ชัน นยิ ามได้ดังนี้

บทนิยาม ฟงั ก์ชนั f มีคา่ สูงสดุ สัมพัทธท์ ่ี x = c ถา้ มีช่วง (a, b)  Df และ
c  (a, b) โดยที่ f(c) > f(x) สำหรบั ทกุ x ในช่วง (a, b) ที่ x  c
ฟังก์ชัน f มีค่าตำ่ สดุ สมั พัทธ์ที่ x = c ถ้ามีชว่ ง (a, b)  Df และ
c  (a, b) โดยที่ f(c) < f(x) สำหรบั ทุก x ในช่วง (a, b) ที่ x  c

ตัวอย่างท่ี 33 จงหาคา่ สูงสุดสมั พัทธ์และคา่ ต่ำสดุ สัมพทั ธข์ องฟังก์ชนั f เมอ่ื กำหนดให้

f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7

วธิ ที ำ จาก f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7
จะได้ f/(x) = 6x2 + 6x – 12

ให้ 6x2 + 6x + 2 = 0

6(x2 + x – 2) = 0

6(x + 2)(x – 1) = 0

 x = -2, 1

ถ้า x < -2 จะได้ f/(x) > 0
ถา้ x > -2 จะได้ f/(x) < 0

 f มคี า่ สงู สดุ สัมพทั ธ์ท่ี x = -2 และมคี ่าเท่ากบั 13
ถา้ x < 1 จะได้ f/(x) < 0

ถ้า x > 1 จะได้ f/(x) > 0

 f มคี า่ ต่ำสุดสมั พัทธ์ที่ x = 1 และมคี า่ เทา่ กับ -14 ตอบ

49

นอกจากนเ้ี ราสามารถใชอ้ นุพันธอ์ นั ดับท่ี 2 ช่วยในการหาคา่ สูงสุดสัมพัทธแ์ ละคา่ ตำ่ สดุ สัมพทั ธ์
ดงั ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎบี ท กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง S ใด ๆ และ c เป็น
ค่าวิกฤตของ f ซ่ึง f/(c) = 0
1. ถ้า f//(c) > 0 แล้ว f(c) เปน็ คา่ ต่ำสุดสัมพัทธ์
2. ถา้ f//(c) < 0 แล้ว f(c) เป็นคา่ สงู สดุ สมั พัทธ์

ตัวอยา่ งที่ 34 จงหาคา่ สูงสดุ สัมพัทธ์หรอื ค่าต่ำสุดสัมพัทธข์ อง f(x) = x3 – 3x

วธิ ที ำ จาก f(x) = x3 – 3x

จะได้ f/(x) = 3x2 – 3
ให้ f/(x)
=0

 3x2 – 3 = 0

3(x2 – 1) = 0

3(x + 1)(x – 1) = 0

 x = 1, -1
จาก f/(x) = 3x2 – 3

f//(x) = 6x

f//(1) = 6
f//(-1) = -6

 f มคี ่าสูงสุดสมั พทั ธ์ท่ี x = -1 และมีคา่ เท่ากับ 2

และ f มคี ่าตำ่ สดุ สัมพัทธท์ ี่ x = 1 และมคี ่าเทา่ กบั -2 ตอบ