เอกสารประกอบการสอนวิชาเสริมทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง แคลคูลัสเบื้องต้น ชุดที่ 2 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

50

สรุป
วธิ ีการหาคา่ สงู สดุ สมั พัทธ์และค่าตำ่ สุดสมั พัทธ์ มขี ัน้ ตอนดังนี้
จากฟงั กช์ ัน y = f(x) ที่โจทยก์ ำหนดให้
1. หา f/(x)
2. ให้ f/(x) = 0
หาค่า x ท่ที ำให้สมการนั้นเป็นจรงิ
ซงึ่ ค่า x ทีไ่ ดเ้ รยี กวา่ คา่ วิกฤต
3. นำคา่ วกิ ฤตไปตรวจสอบ ซ่งึ มวี ิธีตรวจสอบ 2 วิธี คอื
3.1 ตรวจสอบโดยพิจารณาจากความชนั ของเส้นสัมผัส
- ถ้าความชนั เปลีย่ นจากบวกไปเปน็ ลบ จะให้ค่าสูงสดุ สมั พทั ธ์
- ถ้าความชนั เปลี่ยนจากลบไปเป็นบวก จะให้คา่ ต่ำสุดสมั พทั ธ์
3.2 ตรวจสอบโดยใชอ้ นุพันธอ์ นั ดับที่ 2 ดังนี้
- ถา้ f//(x) > 0 จะให้คา่ ตำ่ สดุ สมั พัทธ์
- ถ้า f//(x) < 0 จะใหค้ า่ สูงสุดสมั พัทธ์
- ถ้า f//(x) = 0 แสดงว่าตรวจสอบวธิ นี ไ้ี ม่ได้ ต้องตรวจสอบ
โดยวธิ ตี รวจสอบจากความชันของเส้นสัมผัส

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 13 51
คำตอบ
คำชี้แจง ใหน้ กั เรียนเติมคำตอบลงแตล่ ะข้อต่อไปนีล้ งในตารางใหส้ มบูรณ์

ขอ้ ท่ี คำถาม
1 จงหาค่าสงู สุดสัมพัทธ์หรือคา่ ตำ่ สุดสัมพัทธ์ของฟังกช์ ันท่ีกำหนดให้

จากข้อ 1 – 6
f(x) = x2 + 3
2 f(x) = x3 + 2x2 - 5x - 3

3

3 f(x) = -3x2 – 2
4 f(x) = 3x4 – 4x3 + 2
5 f(x) = x4 – 2x3 + 2
6 f(x) = x4 – 2x2 + 3

52

ใบความรทู้ ี่ 13

คา่ สูงสุดสัมบูรณ์และคา่ ต่ำสุดสัมบูรณ์

ค่าสูงสดุ สัมบรู ณ์และคา่ ต่ำสดุ สมั บูรณ์ของฟังก์ชนั นยิ ามได้ดังน้ี

บทนยิ าม ฟงั กช์ นั f มคี า่ สูงสดุ สัมบูรณ์ท่ี x = c ถา้ f(c) > f(x)
สำหรบั ทุก x ในโดเมนของ f ที่ x  c
ฟงั กช์ ัน f มคี า่ ตำ่ สดุ สัมบูรณ์ที่ x = c ถ้า f(c) < f(x)
สำหรับทกุ x ในโดเมนของ f ที่ x  c

ตวั อยา่ งที่ 35 ให้ f(x) = x3 + x2 - 8x - 1 เปน็ ฟงั ก์ชนั บนชว่ งปิด [-4, 2]
จงหาคา่ สูงสดุ สัมบรู ณ์ และค่าต่ำสดุ สัมบูรณข์ องฟงั ก์ชนั

วธิ ีทำ ขัน้ ท่ี 1 หาคา่ วิกฤตของฟังก์ชัน
จาก f(x) = x3 + x2 - 8x - 1
จะได้ f/(x) = 3x2 + 2x - 8
ให้ f./(x) = 0

 3x2 + 2x - 8 = 0

(3x - 4)(x + 2) = 0

x = 4 , -2
3

ค่าวิกฤต คือ x = 4 และ x = -2
3

 =f  4   4  4 +  4 2 - 8  4  - 1
3 3 3 3

= − 203
27

f(-2) = (-2)4 + (-2)2 - 8(-2) - 1

= 11

ขั้นท่ี 2 เนือ่ งจากจุดปลายของช่วงเปิด [-4, 2] คือ x = -4 และ x = 2

 f(-4) = (-4)3 + (-4)2 - 8(-4) - 1
= -17

53

f(2) = 23 + 22 - 8(2) - 1
= -5

ขัน้ ที่ 3 นำคา่ ของ f  4  , f(-2), f(-4) และ f(2) มาเปรียบเทียบกนั
3

จะได้ f(-2) = 11 มีคา่ มากทีส่ ดุ

และ f(-4) = -17 มคี ่าน้อยทสี่ ดุ

 ค่าสงู สุดสมั บูรณ์ จะมีค่าเท่ากบั 11 ตอบ
ค่าต่ำสุดสมั บูรณ์ จะมีค่าเทา่ กับ -17

ตัวอย่างท่ี 36 ให้ f(x) = -x2 + 4x + 5 เป็นฟังก์ชนั บนช่วง [0, 5] จงหาค่าสงู สดุ
สมั บูรณ์หรอื ค่าตำ่ สุดสัมบูรณ์

วิธที ำ จาก f(x) = -x2 + 4x + 5

จะพบวา่ ฟังก์ชัน f ตอ่ เน่ืองบนชว่ งปิด [0, 5]

จะได้ f/(x) = -2x + 4

 - 2x + 4 = 0

x= 2

จะพบว่า x = 2 เปน็ คา่ วิกฤตเพยี งคา่ เดยี วบนช่วง [0, 5]

จงึ สามารถตรวจสอบคา่ วกิ ฤตว่า จะทำให้เกดิ ค่าสูงสดุ สัมบูรณห์ รอื ค่าต่ำสดุ สมั บูรณ์หรอื ไม่

โดยใช้อนพุ ันธ์อันดับสอง

f//(x) = -2

เอา x = 2 ไปแทน จะได้
f//(2) = -2 < 0

แสดงวา่ x = 2 เป็นค่าวกิ ฤตที่ทำใหเ้ กิดค่าสูงสดุ สัมบรู ณ์

 f(2) = -(2)2 + 4(2) + 5 = 9

 ค่าสงู สุดสัมบรู ณ์ เท่ากับ 9 ตอบ

ข้อสงั เกต  คา่ สูงสุดสัมบูรณ์ไม่จำเปน็ ต้องเปน็ ค่าสงู สุดสัมพัทธ์ อาจจะเปน็

ค่าของฟังกช์ นั ท่จี ุดปลายของโดเมนของฟังก์ชนั ก็ได้
 ค่าตำ่ สุดสมั บรู ณไ์ ม่จำเป็นตอ้ งเป็นค่าต่ำสุดสัมพทั ธ์ อาจจะเป็น

ค่าของฟังกช์ ันที่จุดปลายโดเมนของฟงั ก์ชนั กไ็ ด้

54

สรุป

วิธกี ารหาค่าสูงสุดสมั บูรณ์และค่าต่ำสดุ สมั บูรณ์
กำหนดให้ y = f(x) เปน็ ฟังก์ชนั ต่อเน่ืองบนช่วง [a, b]
1) หาคา่ สูงสุดสมั พัทธ์ ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
2) หาค่า f(a) และ f(b)
3) นำค่าท่ีได้จากขอ้ 1 และ 2 มาเปรยี บเทียบกนั ค่ามากทีส่ ดุ คือ

ค่าสงู สดุ สมั บูรณ์ คา่ ทนี่ ้อยที่สดุ คือ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

55

แบบฝึกทักษะที่ 14

คำชแ้ี จง ให้นกั เรียนหาคา่ สูงสุดสัมบูรณ์และคา่ ต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟงั กช์ นั บนชว่ งปิดทกี่ ำหนดให้
ในแต่ละขอ้ แลว้ เติมคำตอบลงในตารางใหถ้ ูกต้องสมบรู ณ์

ข้อที่ ฟงั ก์ชันและช่วงปดิ ทกี่ ำหนดให้ คำตอบ
1 f(x) = x2 + 4 ; [1, 5]

x

2 f(x) = x2 - 9x 2 + 24x ; [0, 10]
3 f(x) = x3 - 2x 2 + x - 1 ; [-3, 3]
4 f(x) = x2 + 2x - 4 ; [-4, 3]
5 f(x) = 2x 3 - x 2 + 2 ; [-2, 1]
6 f(x) = x3 + 3x 2 - 9x + 4 ; [-5, 6]

56

ใบความรทู้ ่ี 14

โจทย์ปญั หาเกย่ี วกบั การหาค่าสูงสุดหรอื ค่าต่ำสดุ

ตัวอยา่ งที่ 37 ถ้าผลบวกของจำนวนหนึง่ กับ 3 เท่าของจำนวนอีกจำนวนหนง่ึ เทา่ กับ 60
แล้ว ผลคูณของจำนวนทัง้ สองนี้จะมคี ่ามากท่สี ุด เมื่อจำนวนทัง้ สองมีคา่ เทา่ ใด

วิธที ำ ใหจ้ ำนวนสองจำนวน คอื x และ y
จากโจทยจ์ ะได้ x + 3y = 60

y = 60 - x = 20 - x
33

ผลคณู ของจำนวนสองจำนวน = xy

= x 20 - x 
 3

ให้ P = 20x - 1 x 2
3

จะได้ P/ = 20 - 2 x
3

 20 - 2 x = 0
3

x= 3
y = 10

 จำนวนท้ังสองจำนวน คือ 30 และ 10 ตอบ

57

ขน้ั ตอนการแกโ้ จทย์ปญั หาเกีย่ วกับการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสดุ

1. อา่ นโจทยอ์ ยา่ งละเอียดจนทราบวา่ โจทย์ตอ้ งการให้หาค่าสูงสดุ หรือคา่ ตำ่ สดุ
2. ให้ f(x) เป็นสงิ่ ท่ีโจทย์ตอ้ งการหาค่าสงู สุดหรือคา่ ตำ่ สุด
3. f(x) ท่ีสรา้ งข้นึ ต้องประกอบด้วยตัวแปรตวั เดยี ว
4. หาค่า f/(x)
5. ให้ f/(x) = 0 แล้ว แก้สมการหาค่า x
6. นำคา่ วิกฤตในข้อ 5 มาทำการตรวจสอบว่าทำให้ y มีคา่ สงู สุดหรอื ต่ำสดุ หรอื ไม่
7. นำคา่ x ทไ่ี ด้จากข้อ 6 ไปแทนคา่ เพื่อหาคา่ y ซ่ึงเปน็ ค่าสงู สุดหรอื

ต่ำสดุ ตามต้องการ

58

แบบฝึกทกั ษะที่ 15

คำช้แี จง ใหน้ กั เรยี นเติมคำตอบลงแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ีลงในตารางใหถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์ คาตอบ

ข้อท่ี โจทย์ปัญหาเกยี่ วกบั การหาค่าสูงสุดหรือต่าสุด
1 รูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากรูปหนึ่งมคี วามยาวด้านท้ังสามเปน็ 60, 80 และ

100 หนว่ ย จงหาความกว้างและความยาวของรปู สีเ่ หลี่ยมผืนผา้ ท่ีมี
พ้ืนทมี่ ากทส่ี ุดท่ีบรรจอุ ยใู่ นรปู สามเหลี่ยมมุมฉากนี้

2 ชายคนหนงึ่ มไี มร้ ะแนงสำหรับทำรว้ั ไดย้ าว 80 เมตร เขาต้องการลอ้ ม
รั้วบรเิ วณรปู สี่เหล่ียมผืนผ้า พร้อมทง้ั กั้นเป็น 4 ชว่ งเท่า ๆ กนั ดังรปู
จงหาว่าพืน้ ท่มี ากท่ีสุดทีเ่ ขาจะล้อมรั้วไดเ้ ทา่ กับเทา่ ใด

59

แบบสรปุ เน้อื หา 7

คำช้แี จง ใหน้ กั เรยี นสรุปเน้อื หาตามใบความรู้ ตามหัวข้อต่อไปน้ี

1. ค่าสงู สุดสมั พัทธแ์ ละคา่ ตำ่ สุดสัมพทั ธ์ของฟังกช์ ัน คือ ……….……….………………………………………….…..….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. ขั้นตอนในการหาค่าสูงสดุ สัมพทั ธแ์ ละคา่ ต่ำสุดสมั พทั ธ์ มีดงั นี้……………………..………….……………….……
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

3. ค่าสงู สุดสมั บรู ณ์และค่าต่ำสุดสัมบรู ณข์ องฟังกช์ นั บนช่วง [a, b] คอื …………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

4. ข้ันตอนในการหาค่าสงู สดุ สัมบูรณ์และค่าตำ่ สุดสัมบรู ณ์ มีดงั น้ี ……………..……………………………………..
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

5. หลักในการแกป้ ัญหาโจทยเ์ กี่ยวกับการหาคา่ สงู สุดและค่าต่ำสดุ มดี ังน้ี …………..……………………………..
…………………………………………………………………………………………………….……………..………………………….
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์

แคลคลู ัสเบ้อื งต้น
ชดุ ท่ี 2 อนพุ นั ธ์ของฟั งก์ชัน

วิชา ค33201 เสรมิ ทักษะคณิตศาสตร์ 5
ช้ันมธั ยมศึกษาปี ท่ี 6