แผนการจัดการเรียนรู้ รายวิชา ค31201 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เรื่องเซต

47




2) ให้เรียนซ้ำหรือเปลี่ยนรายวิชาเรียนใหม่ ถ้าเป็นรายวิชาเพิ่มเติม โดยให้อยู่ใน
ดุลยพินิจของสถานศึกษา
ในกรณีที่เปลี่ยนรายวิชาเรียนใหม่ ให้หมายเหตุในระเบียนแสดงผลการเรียนว่า เรียนแทน

รายวิชาใด
ี
7. การเปลี่ยนผลการเรยน “มส”
การเปลี่ยนผลการเรียน “มส” มี 2 กรณี ดังนี้
1) กรณีผู้เรียนได้ผลการเรียน“มส” เพราะมีเวลาเรียนไม่ถึงร้อยละ 80 แต่มีเวลาเรียนไม่
น้อยกว่าร้อยละ 60 ของเวลาเรียนทั้งหมด ให้สถานศึกษาจัดให้เรียนเพิ่มเติมโดยใช้ชั่วโมงสอนซ่อมเสริม หรือ

เวลาว่าง หรือวันหยุด หรือมอบหมายงานให้ทำ จนมีเวลาเรียนครบตามที่กำหนดไว้สำหรับรายวิชานั้นแล้วจึงให้
้
สอบเป็นกรณีพิเศษ ผลการสอบแก้ “มส” ให้ไดระดับผลการเรียนไม่เกิน “1” การแก้ “มส” กรณีนี้ให้กระทำให้
เสร็จสิ้นในปีการศึกษานั้น ถ้าผเรียนไม่มาดำเนินการแก้ “มส” ตามระยะเวลาที่กำหนดไว้นี้ให้เรียนซ้ำ ยกเว้น
ู้
มีเหตุสุดวิสัย ให้อยู่ในดุลยพินิจของสถานศึกษาทจะขยายเวลาการแก้ “มส” ออกไปอีกไม่เกิน 1 ภาคเรียน แต ่
ี่
เมื่อพ้นกำหนดนี้แล้ว ให้ปฏิบัตดังนี้
ิ
 ให้เรียนซ้ำรายวิชา ถ้าเป็นรายวิชาพื้นฐาน
็
 ให้เรียนซ้ำหรือเปลี่ยนรายวิชาเรียนใหม่ ถ้าเปนรายวิชาเพิ่มเติมโดยให้อยู่ในดุลย
พินิจของสถานศึกษา
2) กรณีผู้เรียนได้ผลการเรียน “มส” และมีเวลาเรียนน้อยกว่าร้อยละ 60 ของเวลาเรียน
ทั้งหมด ให้สถานศึกษาจัดให้เรียนซ้ำในรายวิชาพื้นฐานและรายวิชาเพิ่มเติม หรือเปลี่ยนรายวิชาใหม่ได้ สำหรับ

รายวิชาเพิ่มเตมเท่านั้น
ิ
ในกรณีที่เปลี่ยนรายวิชาเรียนใหม่ ให้หมายเหตุในระเบียนแสดงผลการเรียนว่าเรียนแทน
รายวิชาใด
ี
8. การเปลี่ยนผลการเรยน “มผ”
ู้
หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กำหนดให้ผเรียนเข้าร่วม
กิจกรรมพัฒนาผู้เรียน 3 กิจกรรม คือ 1) กิจกรรมแนะแนว 2) กิจกรรมนักเรียน ซึ่งประกอบด้วย กิจกรรม
ู้
ลูกเสือ เนตรนารี ยุวกาชาด ผู้บำเพ็ญประโยชน์ หรือนักศึกษาวิชาทหาร โดยผเรียนเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง 1
กิจกรรมและเลือกเข้าร่วมกิจกรรมชุมนุม หรือชมรมอีก 1 กิจกรรม 3) กิจกรรมเพื่อสังคมและสาธารณประโยชน์

ู้
้
ในกรณีที่ผู้เรียนได้ผลการเรียน“มผ” สถานศึกษาตองจัดซ่อมเสริมให้ผเรียนทำกิจกรรมจน
ครบตามเวลาที่กำหนด หรือปฏิบัติกิจกรรมเพื่อพัฒนาคุณลักษณะที่ต้องปรับปรุง แก้ไข แล้วจึงเปลี่ยนผลการ
ุ
เรียนจาก “มผ” เป็น “ผ” ทั้งนี้ดำเนินการให้เสร็จสิ้นภายในปีการศึกษานั้น ยกเว้นมีเหตสุดวิสัยให้อยู่ในดุลย
พินิจของสถานศึกษา

9. การเลื่อนชั้น
ื่
ผู้เรียนจะได้รับการตัดสินผลการเรียนทุกภาคเรียนและได้รับการเลอนชั้นเมื่อสิ้นปีการศึกษาโดยมี
คุณสมบัติตามเกณฑ์ ดังนี้

1) รายวิชาพื้นฐาน ได้รับการตัดสินผลการเรียนผ่านทุกรายวิชา
2) รายวิชาเพิ่มเติม ได้รับการตัดสินผลการเรียนผ่านตามเกณฑ์ที่สถานศึกษากำหนด
3) ผู้เรียนต้องได้รับการประเมินและมีผลการประเมินผ่านตามเกณฑ์ทสถานศึกษากำหนด
ี่
ในการอ่าน คิดวิเคราะห์และเขียน คุณลักษณะอันพึงประสงค์และกิจกรรมพัฒนาผู้เรียน

48




4) ระดับผลการเรียนเฉลี่ยในปีการศึกษานั้นควรได้ไม่ต่ำกว่า 1.00
ู้
ทั้งนี้รายวิชาใดที่ไม่ผ่านเกณฑ์การประเมิน สถานศึกษาสามารถซ่อมเสริมผเรียนให้ได้รับการ
แก้ไขในภาคเรียนถัดไป

10. การเรียนซ้ำ
สถานศึกษาจะจัดให้ผู้เรียนเรียนซ้ำใน 2 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1 เรียนซ้ำรายวิชา หากผเรียนได้รับการสอนซ่อมเสริมและสอบแก้ตัว 2 ครั้งแล้วไม่
ู้
ผ่านเกณฑ์การประเมิน ให้เรียนซ้ำรายวิชานั้น ทั้งนี้ ให้อยู่ในดุลยพินิจของสถานศึกษาในการจัดให้เรียนซ้ำ
ในช่วงใดช่วงหนึ่งที่สถานศึกษาเห็นว่าเหมาะสม เช่น พักกลางวัน วันหยุด ชั่วโมงว่างหลังเลิกเรียน ภาคฤดูร้อน

เป็นต้น
กรณีที่ 2 เรียนซ้ำชั้น มี 2 ลักษณะ คือ
่
ู้
 ผเรียนมีระดบผลการเรียนเฉลยในปีการศึกษานั้นตำกว่า 1.00 และมีแนวโน้มว่าจะ
ี่
ั
ี่
เป็นปัญหาตอการเรียนในระดับชั้นทสูงขึ้น
่
 ผเรียนมีผลการเรียน 0, ร, มส เกินครึ่งหนึ่งของรายวิชาที่ลงทะเบียนเรียนใน ปีการศึกษานั้น
ู้
ทั้งนี้ หากเกิดลักษณะใดลักษณะหนึ่ง หรือทั้ง 2 ลกษณะ ให้สถานศึกษาแต่งตั้ง
ั
คณะกรรมการพิจารณา หากเห็นว่าไม่มีเหตุผลอันสมควรก็ให้ซ้ำชั้น โดยยกเลิกผลการเรียนเดิมแลให้ใช้ผลการ
เรียนใหม่แทน หากพิจารณาแล้วไม่ต้องเรียนซ้ำชั้น ให้อยู่ในดุลยพินิจของสถานศึกษาในการแก้ไขผลการเรียน
11. การสอนซ่อมเสริม
ู้
ั
การสอนซ่อมเสริม เป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการจดการเรียนรู้และเป็นการให้โอกาสแก่ผเรียน
ได้มีเวลาเรียนรู้สิ่งต่างๆ เพิ่มขึ้น จนสามารถบรรลตามมาตรฐานการเรียนรู้/ตัวชี้วัดที่กำหนดไว้ การสอนซ่อม
ุ
เสริมเป็นการสอนกรณีพิเศษนอกเหนือไปจากการสอนตามแผนจัดการเรียนรู้ปกติเพื่อแก้ไขข้อบกพร่องที่พบใน
ผู้เรียน โดยจัดกระบวนการเรียนรู้ที่หลากหลายและคำนึงถึงความแตกต่างระหว่างบุคคลของผู้เรียน
การสอนซ่อมเสริมสามารถดำเนินการได้ในกรณีดังต่อไปนี้

1) ผู้เรียนมีความรู้/ทักษะพื้นฐานไม่เพียงพอที่จะศึกษาในแตละรายวิชานั้น ควรจัดการ
่
สอนซ่อมเสริม ปรับความรู้/ทักษะพื้นฐาน
2) การประเมินระหว่างเรียน ผู้เรียนไม่สามารถแสดงความรู้ ทักษะกระบวนการ หรือ
เจตคติ / คณลักษณะที่กำหนดไว้ตามมาตรฐานการเรียนรู้/ตัวชี้วัด
ุ
3) ผลการเรียนไม่ถึงเกณฑ์ และ/หรือต่ำกว่าเกณฑ์การประเมิน โดยผู้เรียนได้ระดับผล
การเรียน “0” ต้องจัดการสอนซ่อมเสริมก่อนจะให้ผู้เรียนสอบแก้ตัว
4) ผู้เรียนมีผลการเรียนไม่ผ่าน สามารถจัดสอนซ่อมเสริมในภาคฤดูร้อน ทั้งนี้ให้อยู่ใน
ดุลยพินิจของสถานศึกษา


การเทียบโอนผลการเรียน

สถานศึกษาสามารถเทียบโอนผลการเรียนของนักเรียนที่เรียนรู้จากสถานศึกษาได้ในกรณีตางๆ ได้แก่
่
การย้ายสถานศึกษา การเปลี่ยนรูปแบบการศึกษา การย้ายหลักสูตร การละทิ้งการศึกษาและขอกลับเข้ารับ
่
ึ
การศึกษาต่อ การศึกษาจากตางประเทศและขอเข้าศกษาต่อในประเทศ นอกจากนี้ยังสามารถเทียบโอนความรู้
ทักษะ ประสบการณ์จากแหลงการเรียนรู้อื่นๆ เช่น สถานประกอบการ สถาบันทางศาสนา สถาบันการฝึกอบรม
่
อาชีพ การศึกษาโดยครอบครัว

49





การเทียบโอนผลการเรียนควรดำเนินการในช่วงก่อนเปิดภาคเรียนแรกหรือต้นภาคเรียนแรก

ที่สถานศึกษารับผู้ขอเทียบโอนเป็นนักเรียน ทั้งนี้นักเรียนที่ได้รับการเทียบโอนผลการเรียนต้องศึกษา
ต่อเนื่อง ในสถานศึกษาที่รับเทียบโอนอย่างน้อย 1 ภาคเรียน โดยสถานศึกษาที่รับการเทียบโอนควร
กำหนดรายวิชา จำนวนหน่วยกิต ที่จะรับเทียบโอนตามความเหมาะสม

การพิจารณาการเทียบโอน สามารถดำเนินการได้ดังนี้
1. พิจารณาจากหลักฐานการศึกษา ซึ่งจะให้ข้อมูลที่แสดงความรู้ ความสามารถของนักเรียนใน
ด้านต่างๆ
2. พิจารณาจากความรู้ ประสบการณ์ตรงจากการปฏิบัติจริง การทดสอบ การสัมภาษณ์ เป็นต้น
ิ
3. พิจารณาจากความสามารถและการปฏิบัตจริง
็
4. ในกรณีมีเหตผลจำเปนระหว่างเรียน นักเรียนสามารถแจ้งความจำนงขอไปศึกษาบางรายวิชาใน
ุ
สถานศึกษา/สถานประกอบการอื่น แล้วนำมาเทียบโอนได้ โดยความเห็นชอบของคณะกรรมการบริหาร
หลักสูตรและวิชาการของสถานศึกษา

5. การเทียบโอนผลการเรียนให้ดำเนินการในรูปของคณะกรรมการการเทียบโอนจำนวนไม่น้อย
กว่า 3 คน แต่ไม่ควรเกิน 5 คน
6. การเทียบโอนให้ดำเนินการดังนี้
6.1 กรณีผู้ขอเทียบโอนมีผลการเรียนมาจากหลักสูตรอื่น ให้นำรายวิชาหรือหน่วยกิตที่มี

ตัวชี้วัด/มาตรฐานการเรียนรู้/ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง/จุดประสงค์/เนื้อหาที่สอดคล้องกันไม่น้อยกว่าร้อยละ 60
ู
มาเทียบโอนผลการเรียนและพิจารณาให้ระดับผลการเรียนให้สอดคล้องกับหลักสตรที่รับเทียบโอน
6.2 กรณีการเทียบโอนความรู้ ทักษะและประสบการณ์ ให้พิจารณาจากเอกสารหลักฐาน (ถ้ามี)
โดยให้มีการประเมินด้วยเครื่องมือที่หลากหลายและให้ระดับผลให้สอดคล้องกับหลักสูตรที่รับเทียบโอน

6.3 กรณีการเทียบโอนที่นักเรียนเข้าโครงการแลกเปลี่ยนต่างประเทศ ให้ดำเนินการตาม
ประกาศกระทรวงศึกษาธิการเรื่องหลักการและแนวปฏิบัติการเทียบชั้นการศึกษาสำหรับนักเรียนทเข้าร่วม
ี่
โครงการแลกเปลี่ยน ทั้งนี้ วิธีการเทียบโอนผลการเรียนให้เป็นไปตามประกาศของกระทรวงศึกษาธิการและ
แนวปฏิบัติที่เกี่ยวข้อง

50





คำอธิบายรายวิชา

หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๔ เล่ม๑
์
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์


ภาคเรียนที่ ๑ เวลา ๑oo ชั่วโมง จำนวน ๒.๕ หน่วยกิต
ศึกษา พร้อมทั้งฝึกทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในเนื้อหาของสาระ ดังนี้


้
เซต เซต การดำเนินการระหว่างเซต การแก้ปัญหาโดยใชเซต
์
่
ตรรกศาสตร ประพจน์ การเชื่อมประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์ การสร้างตารางคา
ุ
ความจริง รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน สัจนิรันดร์ การอ้างเหตผล ประโยคเปิดตวบ่งปริมาณ ค่าความ
ั
จริงของประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณตัวเดยว สมมูลและนิเสธของประโยค ที่มีตัวบ่งปริมาณ
ี
ั
จำนวนจริง จำนวนจริง ระบบจำนวนจริง พหุนามตวแปรเดียว การแยกตัวประกอบของพหุนาม
สมการพหุนามตัวแปรเดยว เศษส่วนของพหุนาม สมการเศษส่วนของพหุนามการไม่เทากันของจำนวนจริง
ี
่
อสมการพหุนามตัวแปรเดียว ค่าสัมบูรณ์ สมการและอสมการค่าตัวสัมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว

ู้
โดยจัดประสบการณ์ให้ผเรียนได้พัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ อันได้แก่การ
ื่
แก้ปัญหา การสอสารและสอความหมายทางคณิตสาสตร์ การเชื่อมโยง การให้เหตุผลและการคิดสร้างสรรค ์
ื่
้
การใชสื่อ อุปกรณ์ เทคโนโลยี และแหล่งข้อมูล และนำประสบการณ์ ตลอดจนทักษะและ
็
่
กระบวนการที่ได้ ไปใช้ในการเรียนรู้สิ่งต่างๆ และใช้ในชีวิตประจำวันอย่างสร้างสรรค์รวมทั้งเหนคุณคาและ
่
็
มีเจตคติที่ดีตอคณิตศาสตร์ สามารถทำงานอย่างเปนระบบ มีความรอบคอบและมีวิจารณญาณ
้
การวัดผลประเมินผล ใช้วิธีการที่หลากหลายตามสภาพความเป็นจริงให้สอดคลองกับเนื้อหาและ
ทักษะที่ต้องการวัด

ผลการเรียนร ู้

้
๑. เข้าใจและใชความรู้เกี่ยวกับเซต ในการสื่อสารและสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์
ุ
้
๒. เข้าใจและใชความรู้เกี่ยวกับตรรกศาสตร์เบื้องต้น ในการสื่อสาร สื่อความหมาย และอ้างเหตผล
๓. เข้าใจจำนวนจริง และใช้สมบัติของจำนวนจริงในการแก้ปัญหา

๔. แก้สมการและอสมการพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสี่ และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา

๕. แก้สมการและอสมการเศษส่วนของพหุนามตัวแปรเดียว และนำไปใช้ในการแก้ปัญหา

้
่
๖. แก้สมการและอสมการคาสมบูรณ์ของพหุนามตัวแปรเดียว และนำไปใชในการแก้ปัญหา
รวมทั้งหมด ๖ ผลการเรียนร ู้

51





แผนการจัดการเรียนรู้


กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง เซต ภาคเรียนที่ 1

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง เซต เวลา 6 ชั่วโมง

ครูผู้สอน....................................................โรงเรียน..................................................

วันที่สอน.......................................เดือน..............................พ.ศ...............................

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรียนร ู้

มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ

จำนวนผลที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการ สมบัติของการดำเนินการ และการนำไปใช ้

2. ตัวชี้วัด

มฐ. ค 1.1 ม.4/1 เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับเซต ในการสื่อสารและสื่อความหมายทาง

คณิตศาสตร์

3. สาระสำคัญ

การเขียนเซตมีสองแบบ คือ เขียนแบบแจกแจงสมาชิก และเขียนแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก การ

ใช้สัญลักษณ์แทนเซตและสมาชิกของเซต ชนิดของเซตประกอบด้วย เซตว่าง เซตจำกัด และเซตอนันต์ การ

เท่ากันของเซต

เอกภพสัมพัทธ์ เป็นการกำหนดเซตขึ้นมาเซตหนึ่งโดยจะไม่กล่าวถึงสิ่งใดนอกเหนือจากสมาชกของ
ิ
เซตที่กำหนด เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ U

เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เขียน

แทนด้วย A  B และเพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตของสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)

การเขียนแผนภาพ จะนิยมแทนเอกภพสัมพัทธ์ (U) ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หรืออาจเป็นรูปปิดอื่น ๆ

ก็ได้ ส่วนเซตอื่น ๆ ที่เป็นสับเซตของเซต U นิยมแทนด้วยวงกลม วงรี รูปสี่เหลี่ยมเล็ก หรือรูปปิดอื่น ๆ ซึ่ง

เขียนไว้ภายในรูปปิดของเซต U

52





4. จุดประสงค์การเรียนร ู้

4.1 ด้านความรู้(K)

1) สามารถบอกได้ว่าเซตใดเป็นเซตว่าง เซตจำกัด เซตอนันต์ และเซตที่เท่ากันได ้


2) ระบุเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์เมื่อกำหนดเซตได ้
3) หาสับเซต เพาเวอร์เซต จำนวนสมาชิกของสับเซตและเพาเวอร์เซตได ้


4) หาความสัมพันธ์ระหว่างสับเซตและเพาเวอร์เซตของเซตจำกัดได ้
5) บอกสมาชิกของเซตและแปลความหมายจากแผนภาพเวนน์ที่กำหนดให้ได ้


4.2 ด้านทักษะ/กระบวนการ(P)
1) การคิดวิเคราะห์


2) การตีความหมาย
3) การแก้ปัญหา


4.3 ด้านคุณลักษณะ(A)

1) มีความรับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย

2) ความละเอียดรอบคอบ

3) ตระหนักในคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์

4) มีความเชื่อมั่นในตนเอง

5) ทำงานเป็นระเบียบเรียบร้อย

4.4 ค่านิยมหลัก 12 ประการ

่
1) ซื่อสัตย์ เสียสละ อดทน มีอุดมการณ์ในสิ่งที่ดีงามเพื่อสวนรวม
2) ใฝ่หาความรู้ หมั่นศึกษาเล่าเรียนทั้งทางตรง และทางอ้อม

5. สาระการเรียนร ู้

ความรู้เบื้องต้นและสัญลักษณ์พื้นฐานเกี่ยวกับเซต

6. กระบวนการจัดการเรียนร ู้

ชั่วโมงที่ 1

1. ครูแจ้งผลการเรียนรู้ให้นักเรียนทราบ

2. ครูให้นักเรียนช่วยกันยกตัวอย่างข้อความเกี่ยวกับสิ่งใดก็ได้ที่มีลักษณะนามเหมือนกับคำว่า

“กลุ่ม” ครูอาจยกตัวอย่างนำ 1-2 ตัวอย่าง เช่น “นักเรียนกลุ่มหนึ่ง” “นกฝูงหนึ่ง” แล้วให้นักเรียนช่วยกัน

53





ออกมาเขียนข้อความที่มีลักษณะนามเหมือนกับคำว่ากลุ่มบนกระดาน โดยแบ่งนักเรียนเป็น 2 กลุ่ม ให้ใช ้

เวลา 2 นาที ถ้ากลุ่มใดเขียนได้มากกว่าและถูกต้องจะเป็นฝ่ายชนะ และครูควรให้คำชมเชยพร้อมทั้งให้

นักเรียนทั้งชั้นปรบมือให้ฝ่ายชนะ


3. ครูอธิบายนักเรียนในเรื่องคำที่มีลักษณะนามเหมือนคำว่า “กลุ่ม” ที่นักเรียนช่วยกันออกมา
้
่
เขียนในขั้นนำนั้น ในทางคณิตศาสตร์จะใชคำว่า “เซต” เพียงคำเดียว แทนคำว่า “กลุ่ม” “ฝูง” “ชุด” เชน
นักเรียนกลุ่มหนึ่ง จะเรียก “นักเรียนเซตหนึ่ง” หรือ “เซตของนักเรียน” นกฝูงหนึ่ง จะเรียก “นกเซต
หนึ่ง” หรือ “เซตของนก” ถ้วยชุดหนึ่ง จะเรียก “ถ้วยเซตหนึ่ง” หรือ “เซตของถ้วย”


4. ครูบอกความหมายของเซต สัญลักษณ์การเขียนแทนเซต และวิธีการเขียนเซตแบบแจกแจง
สมาชิกและแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก


5. ครูยกตัวอย่างเซตบนกระดาน แล้วตั้งคำถามดังนี้
- เซตของชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์มีสมาชิกอะไรบ้าง (แนวตอบ อาทิตย์ จันทร์ อังคาร พุธ


พฤหัสบดี ศุกร์ เสาร์)

- เซตของชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์เขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้อย่างไร (แนวตอบ A = {

ี
อาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบด, ศุกร์, เสาร์ })
- เซตของชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้อย่างไร (แนวตอบ A = { x | x

เป็นชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์ })

6. ครูอธิบายเพิ่มเติมว่าเซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตจำกัด และเซตที่ไม่

สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตอนันต์ และเวตที่มีสมาชิก 0 ตัว หรือไม่มีสมาชิกอยู่เลย เรียกว่า

เซตว่าง

ิ
์
7. ครูเขียนบทนิยามเซตจำกัด เซตอนันต์ และเซตว่าง พร้อมทั้งบอกสัญลักษณจำนวนสมาชกของ
ิ
เซตจำกัดใด ๆ และสัญลักษณ์ของเซตว่าง และเน้นย้ำว่าเซตว่างเป็นเซตจำกัด เพราะเป็นเซตที่มีสมาชก 0
ตัว

ิ
8. ครูเขียนเซตของจำนวนต่าง ๆ และบอกสัญลักษณ์แทนการเขียนเซต จากนั้นอธิบายเพิ่มเตม
เกี่ยวกับการใช้สัญลักษณ์ของจำนวนเต็มเซตต่อไปนี้
A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 ≤ x < 6}

C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x ≤ 6}

54





- จำนวนสมาชิกของเซต A เซต B และเซต C มีจำนวนเท่ากันหรือไม่ (แนวตอบ เท่ากัน

นั่นคือ n(A) = n(B) = n(C))

- เซต A เซต B และเซต C มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัวหรือไม่


(แนวตอบ เซต A และเซต B มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
เซต B และเซต C มีสมาชิกไม่เหมือนกันทุกตัว

และ เซต A และเซต C มีสมาชิกไม่เหมือนกันทุกตัว)

จากคำถามข้างต้น ครูอธิบายเพิ่มเติมว่า เซต A และเซต B มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว และมี


จำนวนสมาชิกเท่ากัน จะถือว่าเป็นเซตเดียวกัน กล่าวได้ว่า เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B และ
เซต B และเซต C มีจำนวนสมาชิกเท่ากันแต่มีจำนวนสมาชิกไม่เหมือนกัน จะถือว่าไม่เป็นเซตเดียวกัน


กล่าวได้ว่า เซต B ไม่เท่ากับเซต C เขียนแทนด้วย B ≠ C
9. จากนั้นครูเขียนบทนิยามเซตที่เท่ากันบนกระดาน และขยายความของบทนิยามให้นักเรียน

เข้าใจมากยิ่งขึ้น




ชั่วโมงที่ 2

1. ครูและนักเรียนทบทวนจากที่เรียนมาเกี่ยวกับการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข

2. ครูให้นักเรียนจับคู่ทำใบงานที่ 1 แล้วแลกเปลี่ยนความรู้กับคู่ของตนเอง จากนั้นครูสุ่มนักเรียนท ี่

ละคู่ พร้อมทั้งช่วยเสริมให้นักเรียนได้เข้าใจมากยิ่งขึ้น

3. ครูให้นักเรียนช่วยกันสรุปใบงานที่ 1 เรื่องเซต



ชั่วโมงที่ 3

1. ครูและนักเรียนสนทนาทบทวนเกี่ยวกับการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข แล้วครูเขียนเซตแบบ

บอกเงื่อนไขบนกระดาน เช่น ให้เซต A เป็นเซตของนักเรียนทุกคนในชั้น ม.4 โรงเรียนรักสามัคคี หรือ

A = x { x  10 } แล้วให้นักเรียนช่วยกันตอบคนละหนึ่งคำตอบว่าสมาชิกของเซตนี้มีอะไรบ้าง

2. ครูอธิบายให้นักเรียนทราบว่าการกล่าวถึงสมาชิกของเซตแบบบอกเงื่อนไข จำเป็นต้องจำกัด

ขอบเขตของสมาชิก เพื่อให้ทราบว่าสมาชิกของเซตจะต้องอยู่ในขอบเขตที่กำหนดให้ โดยเรียกเซตท ี่

ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่เราสนใจศึกษาว่า “เอกภพสัมพัทธ์” และเขียนสัญลักษณ์แทนด้วย “U ”

55





3. ครูยกตัวอย่างการหาสมาชิกของเซตแบบบอกเงื่อนไข โดยกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ อีก 1-2

ตัวอย่าง แล้วให้นักเรียนช่วยกันตอบว่าสมาชิกของเซตคืออะไร เช่น


+
ตัวอย่างที่ 1 ให้ A = { x  x < 6 } เมื่อ U = I
เขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิกได้ A = {1, 2, 3, 4, 5}

ตัวอย่างที่ 2 ให้ B = { (xx − 1)(x + 2) = 0} เมื่อ U = I

เนื่องจาก U = I = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

นำสมาชิก ใน U ไปแทนค่า x ใน B


จะเห็นว่า −2  U และ 1  U

เขียนเซต B แบบแจกแจงสมาชิกได้ B = {–2, 1}

4.ครูนำบัตรกิจกรรมที่เขียนชื่อเซตประมาณ 10 บัตรกิจกรรมมาติดบนกระดาน ให้นักเรียน

ิ
แบ่งเป็น 2 กลุ่ม แล้วให้แข่งกันออกมาเขียนสมาชกของเซตแต่ละเซต โดยอาจเขียนแบบแจกแจงสมาชิก
หรือแบบบอกเงื่อนไข หลังจากนั้นครูและนักเรียนช่วยกันเฉลยคำตอบ ฝ่ายใดเขียนได้มากกว่าและถูกต้อง

จะเป็นฝ่ายชนะครูควรให้คำชมเชย

5.ครูและนักเรียนรวมกันสรุปเอกภพสัมพัทธ์



ชั่วโมงที่ 4

1. ครูทบทวนเอกภพสัมพัทธ์ ให้นักเรียนเข้าใจมากยิ่งขึ้น

2. ครูให้ความรู้เพิ่มเติมเรื่องต่อไปนี้ โดยอธิบายสั้นๆ อย่างชัดเจนและยกตัวอย่างให้เข้าใจง่าย

เช่น

1) เซตจำกัดและเซตอนันต ์

- เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เรียกว่า “เซตจำกัด” เช่น

A = {1, 5, 8, 10} เป็นเซตจำกัด เพราะมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 4

B = {2, 4, 6, 8, …, 30} เป็นเซตจำกัด เพราะมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 15

C = {เซตของเดือนในหนึ่งปี} เป็นเซตจำกัด เพราะมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 12

- เซตจำกัดที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับศูนย์ หรือไม่มีสมาชิกเลย จะเรียกว่า “เซต

์
ว่าง” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ { } หรือ  (อ่านว่า ฟี )

56





- เซตที่ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตได้ เรียกว่า “เซตอนันต” เชน
์
่
A = {–1, –2, –3, …} เป็นเซตอนันต์ เพราะไม่สามารถบอกจำนวนสมาชก
ิ
ของเซตได ้


B = { x x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2} เป็นเซตอนันต์ เพราะไม่

สามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตได ้

2) เซตที่เท่ากัน

่
- เซตสองเซตเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกันทุกสมาชิก เชน
( ครูยกตัวอย่าง 2–3 ตัวอย่าง)



ตัวอย่างที่ 1 A = {3, 4, 5, 6}

B = {5, 6, 3, 4}

จะได้ว่า เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B

หมายเหตุ : ถ้าเซต A ไม่เท่ากับเซต B จะเขียนแทนด้วย A  B




ตัวอย่างที่ 2 จงตรวจสอบว่าเซตใดเท่ากันเซตใดไม่เท่ากันบ้าง


A = { x x เป็นจำนวนนับที่หารด้วย 2 ลงตัว}

B = {2, 4, 6, 8, …}

C = {8, 6, 4, 2, …}

วิธีทำ เขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิกได้ A = {2, 4, 6, 8, …}

ุ
จะได้ว่า A = B เพราะทุกสมาชิกของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และทก
สมาชิกของเซต B ก็เป็นสมาชิกของเซต A

A  C เพราะมี 10 ที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต C


B  C เพราะมี 10 ที่เป็นสมาชิกของเซต B แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต C
3. ครูให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดในหนังสือ พร้อมทั้งนำเสนอหน้าชั้นเรียนและช่วยกันอธิปราย


4. ครูและนักเรียนร่วมกันสรุป

57





ชั่วโมงที่ 5

์
1. ครูทบทวนเรื่อง เซตจำกัดและเซตอนันตและเซตที่เท่ากัน
2. ครูต่อในเรื่องสับเซต


3. ครูยกตัวอย่างเซต 2 เซต เช่น ให้ A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3} แล้วใช้การถามตอบเพื่ออธิบาย
นักเรียนว่า สมาชิกทุกตัวในเซต A เป็นสมาชิกของเซต B แต่สมาชิกของเซต B บางตัวไม่เป็นสมาชิกในเซต A และ

สรุปบทนิยามให้นักเรียนทราบ ดังนี้

ี
บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เขยนแทน
ด้วย A  B

เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขียน

แทนด้วย A  B

4. นอกจากนี้ครูยกตัวอย่างเพิ่มเติมเรื่องสับเซต 2–3 ตัวอย่าง เช่น

ตัวอย่างที่ 1 ให้ A = {4, 5, 6} และ B = {4, 5, 7, 8, 9}

จะได้ว่า A  B เนื่องจากมี 6 เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B


บทนิยาม ถ้ากำหนด A และ B เป็นเซต จะได้ว่า A = B ก็ต่อเมื่อ A  B และ B  A


ตัวอย่างที่ 2 ให้ A = {8, 5 , 3} และ B = {3, 5, 8}

จะได้ว่า A  B เนื่องจากสมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B
็

และ B  A เนื่องจากสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A
ดังนั้น A = B


บทนิยาม กำหนด A และ B เป็นเซต จะได้ว่าเซต A เป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ

A  B แต่ B  A


ตัวอย่างที่ 3 กำหนดเซต B = {1, 2, 3} จงหาจำนวนสับเซตของเซต B ท ี่

1) มีสมาชิก 1 สมาชิก

2) มีสมาชิก 2 สมาชิก

3) มีสมาชิกอย่างน้อย 1 สมาชิก

วิธีทำ 1) สับเซตทั้งหมดของเซต B มีสมาชิก 1 สมาชิก คือ {1}, {2}, {3}
ดังนั้น จำนวนสับเซตของเซต B ที่มีสมาชิก 1 สมาชิก มี 3 เซต

58





2) สับเซตทั้งหมดของเซต B มีสมาชิก 2 สมาชิก คือ {1, 2}, {1, 3} และ{2, 3}

ดังนั้น จำนวนสับเซตของเซต B ที่มีสมาชิก 2 สมาชิก มี 3 เซต

3) สับเซตทั้งหมดของเซต B มีสมาชิกอย่างน้อย 1 สมาชิก คือ {1}, {2}, {3},

{1, 2}, {1, 3}, {2, 3} และ {1, 2, 3}

ดังนั้น จำนวนสับเซตของเซต B ที่มีสมาชิกอย่างน้อย 1 สมาชิก มี 7 เซต
ครูแจ้งข้อสรุปเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาสับเซต ดังนี้

4) มีข้อตกลงของสับเซตที่สำคัญ คือ เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต นั่นคือ ถ้าเซต A

เป็นเซตใดๆ แล้ว   A

5) ถ้าเซต A มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ n สมาชิก จำนวนสับเซตของเซต A จะเท่ากับ

n
2 เซต

5. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มช่วยกันทำแบบฝึกหัด จากนั้นครูเฉลยแบบฝึกหัด และเฉลยละเอียดสำหรับข้อท ี่
ยาก



ชั่วโมงที่ 6

1. ครูทบทวนจากการเรียนเซตมาทั้งหมด

2. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่มช่วยกันทำใบงานที่ 2 โดยให้เวลา 20 นาที จากนั้นครูเฉลยใบงานที่ 2 ว่ามีข้อ

ใดบ้างที่ตอบ “เป็นจริง” และข้อใดบ้างที่ตอบ “เป็นเท็จ” และเฉลยละเอียดสำหรับข้อที่ยาก
3. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุปความคิดรวบยอดเกี่ยวกับพื้นฐานเบื้องต้นของเซต โดยเขียนเป็น

แผนผังความคิด (Mind Mapping) พร้อมทั้งส่ง



7. สื่อและแหล่งเรียนร ู้

1. หนังสอเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ม.4
ื
2. ใบงาน

3. ห้องสมุด

4. อินเทอร์เน็ต

5. บัตรกิจกรรม

59





8. การวัดและประเมินผล



วิธีวัดผล เครื่องมือวัดผล เกณฑ์การประเมินผล


1. สังเกตพฤติกรรมทางการเรียน แบบสังเกตพฤติกรรมทางการ นักเรียนผ่านเกณฑ์การประเมิน


การสอน เรียนการสอน ในระดับดีขึ้นไป



2. ใบงาน ใบงาน นักเรียนทุกคนทำถูกต้องไม่ต่ำกว่า

ร้อยละ 70 ของคะแนนทั้งหมด




เกณฑ์การประเมินผลจากการทำใบกิจกรรม ใบงาน แบบฝึกปฏิบัติกิจกรรม ใช้เกณฑ์ดังนี้

80% ขึ้นไป หมายถึง ดีมาก

70 - 79% หมายถึง ดี

60 - 69% หมายถึง ปานกลาง

50 - 59% หมายถึง ผ่าน

ต่ำกว่า 50% หมายถึง ปรับปรุง

9. กิจกรรมเสนอแนะ

-

60





ใบงานที่ 1



1. ให้เขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1) เซตของจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 25


……………………………………………………………………………………………............................................................
2) เซตของจำนวนเต็มลบที่มากกว่า – 100


……………………………………………………………………………………………............................................................
3) { x | x เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 3 และน้อยกว่า 15 }


……………………………………………………………………………………………............................................................
4) { x | x เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 5 กับ 6 }

……………………………………………………………………………………………............................................................

5) { x | x = 2n + 5 โดยที่ n เป็นจำนวนนับ }

……………………………………………………………………………………………............................................................
2. ให้เขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

1) A = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, … }


……………………………………………………………………………………………............................................................
2) B = { … , −10, −5 , 0, 5, 10, … }


……………………………………………………………………………………………............................................................
3) C = { 3, 5, 7, 9, 11, … ,101}


……………………………………………………………………………………………............................................................
4) D = { 5, 10, 15, 20, … }


……………………………………………………………………………………………............................................................
1 2 3 100
5) E = { , , , … , }
2 3 4 101

……………………………………………………………………………………………............................................................
3. เซตต่อไปนี้ เซตใดเป็นเซตจำกัด เซตใดเป็นเซตอนันต เพราะเหตุใด
์
1) A = { 1, 8, 27, 64, … }


……………………………………………………………………………………………............................................................

2) B = { 1, 8, 27, 64, … ,1000

61





……………………………………………………………………………………………............................................................

3) C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 7x + 6 = 0 }
2

……………………………………………………………………………………………............................................................
4) D = { x | x เป็นจำนวนจริง และ x − 4 = (x − 2)(x + 2) }
2

……………………………………………………………………………………………............................................................
5) E = { x | x เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย 10 ลงตัว}

……………………………………………………………………………………………............................................................

่
4. เซตในแต่ละข้อต่อไปนี้มีเซตใดบ้างที่เทากัน
1) A = { 1, 2, 3 ,4 }

B = { 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1}


……………………………………………………………………………………………............................................................
2) C = { 1, 8, 27, 64 }
D = { 1 , 2 , 3 , 4 }
3
3
3
3

……………………………………………………………………………………………............................................................
3) E = { 1, 2, 3 }
F = { 1, 2, {3}}


……………………………………………………………………………………………............................................................
4) G = { x | x เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัว}

H = { 3, 6, 9, 12, … }

……………………………………………………………………………………………............................................................
5) J = { x | x เป็นจำนวนเต็มลบ และ x − x − 20 = 0 }
2
K = { −5 }


……………………………………………………………………………………………............................................................
6) M = { x | x เป็นจำนวนคี่ที่น้อยกว่า 9 }
N = { 1, 3 ,5, 7 }


……………………………………………………………………………………………............................................................
7) P = { x | x เป็นจำนวนตรรกยะ และ 3x − 5x − 2 = 0 }
2
Q = {− , 2 }
1
3

……………………………………………………………………………………………............................................................

62





8) S = { x | x เป็นจำนวนเต็ม และ x = −1 }
2
T = {∅}


……………………………………………………………………………………………............................................................

63






เฉลย
ใบงานที่ 1




1. ให้เขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1) เซตของจำนวนคู่บวกที่น้อยกว่า 25
{ 2, 4, 6, 8, … , 24 }
……………………………………………………………………………………………............................................................

2) เซตของจำนวนเต็มลบที่มากกว่า – 100
{ - 2, - 4, - 6, … , - 98 }
…………………………………………………………………………………………...............................................................
3) { x | x เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 3 และน้อยกว่า 15 }

{ 4, 5, 6, … , 14 }
……………………………………………………………………………………………............................................................
4) { x | x เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 5 กับ 6 }

∅
……………………………………………………………………………………………............................................................
5) { x | x = 2n + 5 เมื่อ n เป็นจำนวนนับ }

{ 7, 9, 11, 13, … }
……………………………………………………………………………………………............................................................
2. ให้เขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

1) A = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, … }
็
{ x | x = n เมื่อ n เปนจ ำนวนนับ }
2
……………………………………………………………………………………………............................................................
2) B = { … , −10, −5 , 0, 5, 10, … }
็
{ x | x = −5n เมื่อ n เปนจ ำนวนเต็ม }
……………………………………………………………………………………………............................................................
3) C = { 3, 5, 7, 9, 11, … ,101}
็
{ x | x = 2n + 1 เมื่อ n เปนจ ำนวนนับที่ไม่เกิน 50 }
……………………………………………………………………………………………............................................................
4) D = { 5, 10, 15, 20, … }

็
{ x | x = 5n เมื่อ n เปนจ ำนวนนับ }
……………………………………………………………………………………………............................................................
1 2 3 100
5) E = { , , , … , }
2 3 4 101
n
็
……………………………………………………………………………………………............................................................
เมื่อ n เปนจ ำนวนนับที่ไม่เกิน 100 }
{ x | x =
n+1
์
3. เซตต่อไปนี้ เซตใดเป็นเซตจำกัด เซตใดเป็นเซตอนันต เพราะเหตุใด
1) A = { 1, 8, 27, 64, … }
เซตอนันต์ เพรำะมีสมำชิกมำกมำยนับไม่ถ้วน
……………………………………………………………………………………………............................................................
2) B = { 1, 8, 27, 64, … ,1000 }
เซตจ ำกัด เพรำะมสมำชิก 10 ตัว
ี

64





……………………………………………………………………………………………............................................................

3) C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 7x + 6 = 0 }
2
เซตจ ำกัด เพรำะเปนเซตว่ำง มีสมำชิก 0 ตัว
็
……………………………..................................................................................................................................
4) D = { x | x เป็นจำนวนจริง และ x − 4 = (x − 2)(x + 2) }
2

……………………………………………………………………………………………............................................................
5) E = { x | x เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย 10 ลงตัว}

เซตอนันต์ เพรำะมีสมำชิกมำกมำยนับไม่ถ้วน
……………………………………………………………………………………………............................................................
4. เซตในแต่ละข้อต่อไปนี้มีเซตใดบ้างที่เทากัน
่
1) A = { 1, 2, 3 ,4 }

B = { 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1}

A = B
……………………………………………………………………………………………............................................................
2) C = { 1, 8, 27, 64 }
D = { 1 , 2 , 3 , 4 }
3
3
3
3

C = D
……………………………………………………………………………………………............................................................
3) E = { 1, 2, 3 }
F = { 1, 2, {3}}

E ≠ F
……………………………………………………………………………………………............................................................
4) G = { x | x เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัว}

H = { 3, 6, 9, 12, … }
G ≠ H
……………………………………………………………………………………………............................................................
5) J = { x | x เป็นจำนวนเต็มลบ และ x − x − 20 = 0 }
2
K = { −5 }


J ≠ K
……………………………………………………………………………………………............................................................
6) M = { x | x เป็นจำนวนคี่ที่น้อยกว่า 9 }
N = { 1, 3 ,5, 7 }


M ≠ N
……………………………………………………………………………………………............................................................
7) P = { x | x เป็นจำนวนตรรกยะ และ 3x − 5x − 2 = 0 }
2
1
Q = {− , 2 }
3
P = Q

65





……………………………………………………………………………………………............................................................

8) S = { x | x เป็นจำนวนเต็ม และ x = −1 }
2
T = {∅}

……………………………………………………………………………………………............................................................
S ≠ T

66




บัตรกิจกรรม





เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์





เซตของเดือนที่ลงท้ายด้วย “ยน”





เซตของสระในภาษาอังกฤษ





เซตของจำนวนเต็มลบ






เซตของจำนวนเต็มบวกหนึ่งหลัก




เซตของวันหยุดประจำสัปดาห์ตามราชการ





เซตของจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 10 แต่มากกว่า 5







เซตของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 15





เซตของสีธงชาติไทย




เซตของจำนวนคู่บวกที่มีหนึ่งหลัก

67





เฉลย
บัตรกิจกรรม


เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ = {จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบด, ศุกร์, เสาร์, อาทิตย์}
ี

เซตของเดือนที่ลงท้ายด้วย “ยน” = {เมษายน, มิถุนายน, กันยายน, พฤศจิกายน}


เซตของสระในภาษาอังกฤษ = {a, e, i, o, u}


เซตของจำนวนเต็มลบ = {–1, –2, –3, …, –}


เซตของจำนวนเต็มบวกหนึ่งหลัก = {1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}


เซตของวันหยุดประจำสัปดาห์ตามราชการ = {วันเสาร์, วันอาทิตย์}


เซตของจำนวนเต็มที่น้อยกว่า 10 แต่มากกว่า 5 = {6, 7, 8, 9}


เซตของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 15 = {2, 3 , 5, 7, 11, 13}


เซตของสีธงชาติไทย = {สีขาว, สีแดง, สีน้ำเงิน}


เซตของจำนวนคู่บวกที่มีหนึ่งหลัก = {2, 4, 6, 8}

68





ใบงานที่ 2




1. กำหนด A = { 1, 2, {3} } , B = { 1, 2, 3, 4 } ให้พิจารณาว่าข้อความตอไปนี้ถูกหรือผิด
่
1) { 1, 2 } ⊂ A


……………………………………………………………………………………………............................................................
2) { 1, 2, 3 } ⊂ A



……………………………………………………………………………………………............................................................
3) { 3, 4 } ⊂ B


……………………………………………………………………………………….....................................................................

4) { 3 } ⊂ B


……………………………………………………………………………………………............................................................

5) A ⊂ B


……………………………………………………………………………………………............................................................

2. ให้หาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้

1) A = ∅


……………………………………………………………………………………………............................................................
2) B = {∅, {∅}}



……………………………………………………………………………………………............................................................
3) C = { 1, 2, {2}}


……………………………………………………………………………………………............................................................

4) D = { m, {n}, {k}}


……………………………………………………………………………………………............................................................

69





5) E = { ∅, 1, {2}, {3}}



……………………………………………………………………………………………............................................................

70






เฉลย ใบงานที่ 2




1. กำหนด A = { 1, 2, {3} } , B = { 1, 2, 3, 4 } ให้พิจารณาว่าข้อความตอไปนี้ถูกหรือผิด
่
1) { 1, 2 } ⊂ A
ถูก
……………………………………………………………………………………………............................................................
2) { 1, 2, 3 } ⊂ A
ผิด
……………………………………………………………………………………………............................................................
3) { 3, 4 } ⊂ B
ถูก
…………………………………………………………………………………….................................................................
4) {{3}} ⊂ B

ผิด
……………………………………………………………………………………………............................................................
5) A ⊂ B

ผิด
……………………………………………………………………………………………............................................................
2. ให้หาเพาเวอร์เซตของเซตต่อไปนี้
1) A = ∅

P(A) = { ∅ }
………………………………………………………………………………………..................................................................
2) B = {∅, {∅}}
P(A) = { ∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}} }
……………………………………………………………………………………………............................................................
3) C = { 1, {2}}
P(A) = { ∅, {1}, {{2}}, {1, {2}} }
……………………………………………………………………………………………............................................................
4) D = { m, {n}, {k}}

P(A) = { ∅, {m}, {{n}}, {{k}}, {m, {n}}, {m, {k}}, {{n}, {k}}, {m, {n}, {k}} }
……………………………………………………………………………………………............................................................

71





แผนการจัดการเรียนรู้

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง เซต ภาคเรียนที่ 1

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 เรื่อง การดำเนินการระหว่างเซต เวลา 6 ชั่วโมง
ครูผู้สอน....................................................โรงเรียน...............................................

วันที่สอน...........................เดือน...............................พ.ศ......................

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. มาตรฐานการเรียนร ู้

มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ
จำนวนผลที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการ สมบัติของการดำเนินการ และการนำไปใช ้

2. ตัวชี้วัด

มฐ. ค 1.1 ม.4/1 เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับเซต ในการสื่อสารและสื่อความหมายทาง
คณิตศาสตร์

3. สาระสำคัญ
้
การดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่จากเซตสองเซตตามเงื่อนไขที่กำหนด ประกอบดวย
ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ และผลต่างระหว่างเซต ดังนี้

- ยูเนียนของเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ
เซต B หรือทั้งสองเซต เขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย A ∪ B

- อินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชกทงเซต
ั้
ิ
A และเซต B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ด้วย A ∩ B
- คอมพลีเมนต์ของเซต A ซึ่งเป็นสับเซตของเซต U คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น

ั
สมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนสญลักษณ์ด้วย A
′
- ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็น
สมาชิกของเซต B เขียนแทนสัญลักษณ์ด้วย A − B


4. จุดประสงค์การเรียนร ู้

4.1 ด้านความรู้(K)
1) หาเซตที่เกิดจากการยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์และผลต่างของเซตได ้

72





4.2 ด้านทักษะ/กระบวนการ(P)

1) การคิดวิเคราะห์

2) การตีความหมาย
3) การแก้ปัญหา



4.3 ด้านคุณลักษณะ(A)
1) มีความรับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย

2) ความละเอียดรอบคอบ
3) ตระหนักในคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์

4) มีความเชื่อมั่นในตนเอง

5) ทำงานเป็นระเบียบเรียบร้อย
4.4 ค่านิยมหลัก 12 ประการ

1) ซื่อสัตย์ เสียสละ อดทน มีอุดมการณ์ในสิ่งที่ดีงามเพื่อส่วนรวม
2) ใฝ่หาความรู้ หมั่นศึกษาเล่าเรียนทั้งทางตรง และทางอ้อม


5. สาระการเรียนร ู้

ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์ของเซต


6. กระบวนการจัดการเรียนร ู้
ชั่วโมงที่ 1

1. ทบทวนหัวข้อความหมายของเซต สมาชิกของเซต การเขียนเซต เซตจำกัดและเซตอนันต์และ

เซตที่เท่ากัน
2. นักเรียนและครูร่วมกันเขียนเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขที่พบในชีวิตประจำวันบนกระดาน 1–2

เซต เช่น ให้ ก เป็นเซตของนักเรียนทุกคนในห้องเรียนของเรา หรือ ก = {ข|ข < 10} และ A เป็นเซตของ
นักเรียนหญิงที่เรียน รด. ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5ของโรงเรียนเรานักเรียนช่วยกันตอบว่าสมาชิกของ 2 เซตนี้

มีอะไร

ุ
3. ครูให้นักเรียนสังเกตสมาชิกของเซตแบบบอกเงื่อนไข ว่ามีอะไรเหมือนกัน และพยายามให้
นักเรียนเห็นความจำเป็นต้องมีข้อกำหนด ข้อจำกัด หรือขอบเขตของสมาชิก เพื่อให้ทราบว่าสมาชิกของเซต

ที่อยู่ในความสนใจหรือที่กำหนดของเรา ดังนั้นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่เราสนใจหรือทกำหนดว่า
ี่
“เอกภพสัมพัทธ์” และเขียนสัญลักษณ์แทนด้วย “U”

73





4. ครูให้นักเรียนช่วยกันยกตัวอย่างและหาสมาชิกของเซตแบบบอกเงื่อนไข โดยกำหนดเอกภพ

สัมพัทธ์อีก 1–2 ตัวอย่าง แล้วนักเรียนร่วมกันอิปรายหาคำตอบว่าสมาชิกของเซตคืออะไร

5. ครูอธิบายความรู้เพิ่มเติม “เอกภพสัมพัทธ์” Leonhard Euler นักคณิตศาสตร์ชาวสวิตได ้
ื่
ั
แนะนำวิธีเขียนรูปภาพเพื่อแสดงความสมพันธ์ของเซต และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชอ John Venn ได ้
นำวิธีการดังกล่าวมาพัฒนาต่อไปอีก ซึ่งการเขียนแผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์จะเขียนเป็นรูปปิดทาง

เรขาคณิต โดยใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแทนเอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universal Set) ใช้สัญลักษณ์ “U” แทน
เอกภพสัมพัทธ์และนิยมใช้วงกลม หรือวงรี แทน เซตใด ๆ

6. ครูตั้งคำถามที่ยังไม่ต้องการคำตอบ (ในเวลานี้) “นักเรียนชั้น ม.4 ของโรงเรียนเรามี 500 คน
ในจำนวนนี้มี 300 คน เลือกเรียนวิชาคณิตศาสตร์ 250 คน เลือกเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 150 คน เลือก

เรียนทั้งวิชาคณิตศาสตร์และวิชาอังกฤษ”

จงหา 1) จำนวนนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาคณิตศาสตร์อย่างเดียว
2) จำนวนนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาภาษาอังกฤษอย่างเดียว

3) จำนวนนักเรียนที่ไม่เลือกเรียนทั้งสองวิชา
7. นักเรียนจากกลุ่มเดิมศึกษาเรื่อง เซต ที่สามารถตอบคำถามในหนังสือหรือหนังสือต่าง ๆ ท ี่

เกี่ยวข้อง พร้อมอภิปรายเนื้อหาและความรู้ที่สามารถตอบคำถามของครู นอกจากนั้นต้องบันทึกความรู้ลง

ในแบบบันทึกความรู้
8. ทุกกลุ่มส่งตัวแทนมาเสนอผลการอภิปรายเนื้อหาและความรู้ที่สามารถตอบคำถามของครูพร้อม

เสนอวิธีการหาคำตอบ

9. ให้นักเรียนกลุ่มทุกรวมกันสรุปผลการอภิปรายเนื้อหาและความรู้ที่สามารถตอบคำถามของครู
โดยมีครูให้คำแนะนำให้การอภิปรายให้มีความถูกต้องสมบูรณ์ ครูควรเพิ่มเติมความรู้ใน เรื่องการ

ดำเนินการของเซต ว่าเป็นการสร้างเซตใหม่จากเซตที่มีเอกภพสัมพัทธ์เดียวกันซึ่ง

สามารถทำได้ 4 วิธี คือ ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ และผลต่างของเซตโดยอธิบาย


ชั่วโมงที่ 2
1. ครูกล่าวถึง ยูเนียน ดังนี้

ยูเนียน เขียนแทนด้วย A  B หมายถึง เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของเซต A หรือ

เป็นสมาชิกของเซต B หรือเป็นสมาชิกของทั้งสองเซต นั่นคือ


็
A  B = {x  x  A หรือ x  B หรือ x เปนสมาชิกของทั้งสองเซต}

74





2. ครูยกตัวอย่าง การยูเนียน

ตัวอย่างที่ 1 กำหนด A = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3, 4, 5, 6}

จะได้ A  B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด A = {2, 4, 6, …} และ B = {1, 3, 5, …}

จะได้ A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
จากตัวอย่างจะได้ข้อสังเกตว่า A  (A  B) และ B  (A  B)

3. ครูอธิบายเพิ่มเติมยูเนียนของเซต A กับ เซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซต A

หรืออยู่ในเซต B หรือ อยู่ทั้งในเซต A และเซต B ยูเนียนของเซต A กับ เซต B เขียนแทนด้วย A U B นั่นคือ

A U B = {x|x  A หรือ x  B หรือ x เป็นสมาชิกของทั้งสองเซต}
เช่น A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}

A U B = {1, 2, 3, 4}
ซึ่งเขียนเป็นแผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์ได้ดังนี้









4. ให้นักเรียนช่วยกันทำแบบฝึกหัดในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม
5. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุปการยูเนียน และมีการอธิบายเพิ่มเติมกับนักเรียนที่ยังไม่เข้าใจ



ชั่วโมงที่ 3
1. ครูกล่าวถึง อินเตอร์เซกชัน ดังนี้


อินเตอร์เซกชัน เขียนแทนด้วย A  B หมายถึง เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ทั้งใน
เซต A และเซต B นั่นคือ




A  B = {x  x  A และ x  B}

75





ตัวอย่างที่ 1 กำหนด A = {–1, 0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3, 4, 5, 6}

จะได้ A  B = {3, 4}

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด A = {2, 4, 6, …} และ B = {1, 3, 5, …}

จะได้ A  B = 

ตัวอย่างที่ 3 กำหนด C = {x  x เป็นจำนวนเต็มที่มีค่าน้อยกว่า 3}

D = {x  x เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า –4}
เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้เป็น

C = {2, 1, 0, –1, –2, –3, …}

D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, …}

จะได้ C  D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2}
จากตัวอย่างจะได้ข้อสังเกตว่า (A  B)  A และ (A  B)  B

2. ครูอธิบายเรื่องอินเตอร์เซกชันของเซต A และเซต B เขียน แทน ด้วย A U B

นั้นคือ A U B = {x|x  A และ x  B}

เช่น A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}
A U B = {2, 3}

ซึ่งเขียนเป็นแผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์ได้ดังนี้







3. ครูกล่าวถึง คอมพลีเมนต์ (Complement) ดังต่อไปนี้

c
คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียนแทนด้วย A หรือ A หมายถึง เซตที่ประกอบด้วยสมาชก
ิ
ที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่อยู่ในเซต A นั่นคือ

A = {x  x  U และ x  A}



4. ครูยกตัวอย่างบนกระดาษต่อไปนี้

76





ตัวอย่างที่ 1 กำหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} และ A = { 3, 5, 7}

จะได้ A = {1, 2, 4, 6, 8, 9, 10}

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} และ B = { 1, 3, 5, …}

จะได้ B = {2, 4, 6, …}

์
้
ิ
5. ครูได้อธิบายในเรื่องคอมพลีเมนตดัวนี้ คอมพลีเมนต์ของ เซต A คือ เซตที่ประกอบดวยสมาชก
ของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A คอมพลีเมนต์ของเซต A เขียน แทนด้วย A′ (อ่านว่า เอไพร์ม) หรืออาจ
เขียนแทนด้วย A, Ac, A, C[A] นั่นคือ A = {x|x  X และ x  A} เช่น

X = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 2}

A = {3, 4, 5}






4. ให้นักเรียนช่วยกันทำแบบฝึกหัดในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม

5. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุป และมีการอธิบายเพิ่มเติมกับนักเรียนที่ยังไม่เข้าใจ


ชั่วโมงที่ 4

1. ครูทบทวนยูเนียนและคอมพลีเมนต์
2. ครูให้นักเรียนจับคทำ ใบงานที่ 1 แล้วแลกเปลี่ยนความรู้กับคของตนเอง จากนั้นครูสมนักเรียน
ู่
ุ่
ู่
ทีละคู่ให้เฉลยคำตอบ โดยครูตรวจสอบความถูกต้อง
3. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุป และมีการอธิบายเพิ่มเติมกับนักเรียนที่ยังไม่เข้าใจ


ชั่วโมงที่ 5

1. ครูกล่าวถึง ผลต่างของเซต ดังนี้
ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A – B หมายถึง เซตที่ประกอบด้วย

สมาชิกของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B นั่นคือ


A – B = {x  x  A และ x  B}

77







ผลต่างระหว่างเซต B และเซต A เขียนแทนด้วย B – A หมายถึง เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต B ท ี่

ไม่เป็นสมาชิกของเซต A นั่นคือ


B – A = {x  x  B และ x  A}


2. ครูยกตัวอย่างบนกระดาษต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 กำหนด A = {2, 3, 4, 5, 6} และ B = {3, 4, 5, 6}
จะได้ A – B = {2} และ B – A = 

ตัวอย่างที่ 2 กำหนด A = {2, 4, 6, …} และ B = {1, 3, 5, …}

จะได้ A – B = {2, 4, 6, …} และ B – A = {1, 3, 5, …}

่
ตัวอย่างที่ 3 กำหนด C = {x  x เป็นจำนวนเต็มที่มีคาน้อยกว่า 3}
D = {x  x เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า –4}

เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกได้เป็น

C = { 2, 1, 0, –1, –2, –3, …}
D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, …}

จะได้ C – D = {–4, –5, –6, …}

D – C = {3, 4, 5, …}
3. ครูอธิบายเรื่อง ผลต่างของเซต เพิ่มเติมสำหรับนักเรียนที่ยังไม่เข้าใจดังนี้ ผลต่างระหว่างเซต A

และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A แตไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต B ผลต่างของเซต A และ

เซต B เราเรียกว่า คอมพลีเมนต์ของเซต B เมื่อ
เทียบกับเซต A เขียนแทน ด้วย “ A – B”

นั่นคือ A – B = {x|x  A หรือ x  B} เช่น

กำหนดให้ X = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}
จะได้ A – B = {1} หรือ จะได้ B – A = {4}

เขียนแผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์ แสดงผลต่างของเซต ได้ดังนี้


ถ้า A U B = Ø แล้ว

A – B = A

78









ถ้า A U B  Ø แล้ว A – B

เป็นสับเแท้ของ A




ถ้า B V A แล้ว

B – A = Ø




ถ้า A V B แล้ว
A – B = Ø



4. ให้นักเรียนทำแบบฝึกหัด ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติมและให้นักเรียนช่วยกันเฉลย
แบบฝึกหัด และครูเสริมหรือแนะนำให้คำตอบถูกต้องและสมบูรณ ์

5. นักเรียนและครูร่วมกันสนทนาตามหัวข้อที่ร่วมกันกิจกรรมเพื่อนำเข้าสู่ เรื่องการแก้ปัญหาโดย

เซต
ี
์
6. นักเรียนช่วยกันอภิปรายและสรุปบทเรียนตามหัวข้อ การยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลเมนต
และผลต่างของเซตโดยมีครูเป็นผู้ให้คำแนะนำเพื่อความถูกต้องและสมบูรณ์ของเนื้อหา


ชั่วโมงที่ 6

1. ครูให้นักเรียนช่วยกันอภิปรายความรู้การดำเนินการระหว่างเซต
2. ครูให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม กลุ่มละ 3 – 4 คน แล้วแต่ละกลุ่มศึกษาแนวข้อสอบ PAT 1 โดยครู

ุ่
อธิบายวิธีทำอย่างละเอียด จากนั้นให้แต่ละกลุ่มสืบค้นหาข้อสอบ PAT1 เรื่องการดำเนินการของเซต กลม
ละ 1 ข้อ แล้วให้แต่ละกลุ่มออกมานำเสนอหน้าชั้นเรียน จากนั้นครูและนักเรียนแตละกลุ่มร่วมกันอภิปราย
่
ข้อสอบในแต่ละข้อโดยครูตรวจสอบความถูกต้อง

3. ครูให้นักเรียนทำใบงานที่ 2 พร้อมทั้งให้นักเรียนช่วยกันเฉลย
4. นักเรียนช่วยกันสรุปบทเรียนตามหัวข้อ การยูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ และผลตาง
่
ของเซตโดยมีครูเป็นผู้ให้คำแนะนำเพื่อความถูกต้องและสมบูรณ์ของเนื้อหา

79





7. สื่อและแหล่งเรียนร ู้

1. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ม.4

2. ใบงาน
3. ห้องสมุด

4. อินเทอร์เน็ต


8. การวัดและประเมินผล

วิธีวัดผล เครื่องมือวัดผล เกณฑ์การประเมินผล

1. สังเกตพฤติกรรมทางการเรียน แบบสังเกตพฤติกรรมทางการ นักเรียนผ่านเกณฑ์การประเมิน
การสอน เรียนการสอน ในระดับดีขึ้นไป

2. ใบงาน ใบงาน นักเรียนทุกคนทำถูกต้องไม่ต่ำกว่า
ร้อยละ 70 ของคะแนนทั้งหมด


เกณฑ์การประเมินผลจากการทำใบกิจกรรม ใบงาน แบบฝึกปฏิบัติกิจกรรม ใช้เกณฑ์ดังนี้
80% ขึ้นไป หมายถึง ดีมาก

70 - 79% หมายถึง ดี
60 - 69% หมายถึง ปานกลาง

50 - 59% หมายถึง ผ่าน

ต่ำกว่า 50% หมายถึง ปรับปรุง
9. กิจกรรมเสนอแนะ

-

80






ใบงานที่ 1



1. กำหนด U = { 1, 2, 3, … ,20 }
A = { 1, 5, 7, 12, 15, 20 }

B = { 2, 4, 5, 7, 15, 17, 18}
และ C = { 1, 3, 5, 7, 15, 19, 20 }

ให้เขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1) A ∪ B ∪ C



……………………………………………………………………………………………............................................................
2) A ∩ B ∩ C



……………………………………………………………………………………………............................................................
3) (A ∪ B) ∩ C



……………………………………………………………………………………………............................................................
4) (A ∩ B) ∪ C


……………………………………………………………………………………………............................................................

5) (A − B) − C


……………………………………………………………………………………………............................................................

6) A − (B − C)


……………………………………………………………………………………………............................................................

81







7) (A ∩ B) − C
′

……………………………………………………………………………………………............................................................

8) (A ∪ B ) ∩ C
′
′
′

……………………………………………………………………………………………............................................................

9) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
′

′

……………………………………………………………………………………………............................................................

10) (A − B) ∩ (A − C)
′
′

……………………………………………………………………………………………............................................................

82





เฉลย
ใบงานที่1



1. กำหนด U = { 1, 2, 3, … ,20 }

A = { 1, 5, 7, 12, 15, 20 }

B = { 2, 4, 5, 7, 15, 17, 18}
และ C = { 1, 3, 5, 7, 15, 19, 20 }

ให้เขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1) A ∪ B ∪ C

{ 1, 2, 3, 4, 5, 7, 12, 15, 17, 18, 19, 20 }

……………………………………………………………………………………………............................................................
2) A ∩ B ∩ C

{ 5, 7, 15 }
……………………………………………………………………………………………............................................................

3) (A ∪ B) ∩ C

{ 1, 5, 7, 15, 20 }
……………………………………………………………………………………………............................................................

4) (A ∩ B) ∪ C

{ 1, 3, 5, 7, 15, 19, 20 }
……………………………………………………………………………………………............................................................

5) (A − B) − C

{ 12 }
………………………………………………………………………………………..................................................................

6) A − (B − C)
{ 1, 5, 7, 12, 15, 20 }

……………………………………………………………………………………………............................................................
7) (A ∩ B) − C
′
{ 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18 }

…………………………………………………………………………………….....................................................................
8) (A ∪ B ) ∩ C
′
′
′
{ 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18 }
……………………………………………………………………………………………............................................................

83





9) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
′
′

{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 }
……………………………………………………………………………………………............................................................

10) (A − B) ∩ (A − C)
′
′
{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 }

……………………………………………………………………………………………............................................................

84







ใบงานที่ 2


ให้นักเรียนเติมคำตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ ์


1. กำหนดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และจำนวนสมาชิกในเซตให้ จงหา


U

A B 1.1 n(A) = ……………………………………..
21 5 31 1.2 n(B) = ……………………………………..

1.3 n(A  B) = ………………………………

1.4 n(A  B) = ………………………………




2. กำหนดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และจำนวนสมาชิกในเซตให้ จงหา


U
A B 2.1 n(A) = …………………………………………………………………

13 6 12 2.2 n(B) = …………………………………………………………………

5 2 3 2.3 n(C) = …………………………………………………………………
2.4 n(A  B) = …………………………………………………………

10 C 2.5 n(A  C) = …………………………………………………………

2.6 n(B  C) = …………………………………………………………



2.7 n(A  B  C) = ………………………………………………………………………………………………….……

2.8 n(A  B  C) = …………………………………………….……………………………………………………...…


3. นักเรียนชั้น ม. 4 โรงเรียนแห่งหนึ่งมี 300 คน ชอบเรียนฟิสิกส์ 150 คน ชอบเรียนเคมี
200 คน และชอบเรียนทั้งฟิสิกส์และเคมี 110 คน จงหา

3.1 นักเรียนที่เรียนฟิสิกส์วิชาเดียว มี …………………………………………………………… คน

3.2 นักเรียนที่เรียนเคมีวิชาเดียว มี ………………………………………………………………. คน
3.3 นักเรียนที่ไม่เลือกเรียนทั้งสองวิชา มี ………………………………………………………… คน

85






เฉลย ใบงานที่ 2



ให้นักเรียนเติมคำตอบลงในช่องว่างแต่ละข้อต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ ์

1. กำหนดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และจำนวนสมาชิกในเซตให้ จงหา



U
A B 1.1 n(A) = …………26…………………………..

21 5 31 1.2 n(B) = …………36…………………………..

1.3 n(A  B) = ……5…………………………

1.4 n(A  B) = ……57…………………………


2. กำหนดแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และจำนวนสมาชิกในเซตให้ จงหา


U

A B 2.1 n(A) = ……………26…………………………………………………

13 6 12 2.2 n(B) = ……………23..………………………………………………
5 2 3 2.3 n(C) = ……………20…………………………………………………

2.4 n(A  B) = …………8………………………………………………

10 C 2.5 n(A  C) = …………7……………………………………………

2.6 n(B  C) = …………5……………………………………………

2.7 n(A  B  C) = ……………2…………………………………………………………………………………….……

2.8 n(A  B  C) = ……………51…………………………….……………………………………………………...…

3. นักเรียนชั้น ม. 4 โรงเรียนแห่งหนึ่งมี 300 คน ชอบเรียนฟิสิกส์ 150 คน ชอบเรียนเคมี
200 คน และชอบเรียนทั้งฟิสิกส์และเคมี 110 คน จงหา

3.1 นักเรียนที่เรียนฟิสิกส์วิชาเดียว มี ……………40……………………………………………… คน
3.2 นักเรียนที่เรียนเคมีวิชาเดียว มี ………………90………………………………………………. คน

3.3 นักเรียนที่ไม่เลือกเรียนทั้งสองวิชา มี ………60………………………………………………… คน

86





แผนการจัดการเรียนรู้

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เรื่อง เซต ภาคเรียนที่ 1

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 เรื่อง การแก้ปัญหาโดยใช้เซต เวลา 5 ชั่วโมง
ครูผู้สอน....................................................โรงเรียน.............................................

วันที่สอน....................................................เดือน..................................พ.ศ............................

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. มาตรฐานการเรียนร ู้

มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจความหลากหลายของการแสดงจำนวน ระบบจำนวน การดำเนินการของ
จำนวนผลที่เกิดขึ้นจากการดำเนินการ สมบัติของการดำเนินการ และการนำไปใช ้

2. ตัวชี้วัด

มฐ. ค 1.1 ม.4/1 เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับเซต ในการสื่อสารและสื่อความหมายทาง
คณิตศาสตร์

3. สาระสำคัญ
จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด หาได้ 2 วิธี ดังนี้

1) การหาจำนวนสมาชิกของเซตโดยใช้แผนภาพ เขียนแผนภาพแทนเซตพร้อมทั้งแสดงจำนวน

สมาชิกของเซตลงในทุกส่วนของแผนภาพ กรณีที่มีส่วนที่ไม่ทราบค่าให้สมมติตัวแปร แล้วแก้สมการหา
คำตอบ

2) การหาจำนวนสมาชิกโดยใช้สูตร เมื่อ A, B และ C เป็นเซตจำกัดใด ๆ

- n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)

- n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+ n(A∩B∩C)


4. จุดประสงค์การเรียนร ู้
4.1 ด้านความรู้(K)

1) ใช้ความรู้เรื่องเซตแก้โจทย์ปัญหาของเซตจำกัดได ้

4.2 ด้านทักษะ/กระบวนการ(P)
1) การคิดวิเคราะห์

2) การตีความหมาย
3) การแก้ปัญหา


4) การสื่อสาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร์

87





4.3 ด้านคุณลักษณะ(A)

1) มีความรับผิดชอบต่อหน้าที่ที่ได้รับมอบหมาย

2) ความละเอียดรอบคอบ
3) ตระหนักในคุณค่าและมีเจตคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์

4) มีความเชื่อมั่นในตนเอง

5) ทำงานเป็นระเบียบเรียบร้อย
4.4 ค่านิยมหลัก 12 ประการ

1) ซื่อสัตย์ เสียสละ อดทน มีอุดมการณ์ในสิ่งที่ดีงามเพื่อส่วนรวม
2) ใฝ่หาความรู้ หมั่นศึกษาเล่าเรียนทั้งทางตรง และทางอ้อม


5. สาระการเรียนร ู้
ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์ของเซต



6. กระบวนการจัดการเรียนร ู้
ชั่วโมงที่ 1

1. ครูทบทวนความรู้เรื่อง การดำเนินการของเซต โดยเขียนแผนภาพบนกระดาน ดังนี้ ยูเนียน

อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ ผลต่างระหว่างเซต
2. ครูให้ความรู้เรื่อง “การเขียนแผนภาพแทนเซต” โดยอธิบายและยกตัวอย่างให้เข้าใจง่ายและ

ชัดเจน ในประเด็นต่อไปนี้
- ภาพที่ใช้แทนเอกภพสัมพัทธ์คือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

- เซตต่างๆ ซึ่งเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ เขียนภาพแทนด้วยรูปวงกลม วงรี หรือรูปปิด
- หลักเบื้องต้นในการเขียนแผนภาพแทนเซต คือ

1) เซตที่กล่าวถึงทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์เสมอ

2) ให้ A เป็นเซตๆ หนึ่ง และ x เป็นสมาชิกใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์
“ถ้าทราบว่า xA จะได้ว่า xA” และ

“ถ้าทราบว่า xA จะได้ว่า xA” (ให้เขียนภาพประกอบ)

88





U U
x
x

A A

A A




ู
ู
รปที่ 1 แสดง x  A ซึ่งจะได้ x  A รปที่ 2 แสดง x  A ซึ่งจะได้ x  A


3. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างแผนภาพแทนเซต ในหนังสือเรียนหน้า 38 จากนั้นครูอธิบาย

ตัวอย่างต่อไปนี้บนกระดาน


ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


B = {4, 5, 6, 7, 8}



จากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ จะเห็นได้ว่าเซต A และเซต B มีสมาชิกร่วมกันคือ 4, 5, 6 จง ึ
เขียนแผนภาพแทนเซต A และเซต B ได้ดังนี้




U
A B


1 2 3 4 5 6 7 8







ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ A  B   จงเขียนแผนภาพแทนเซต B – A



เนื่องจาก B – A = {x  x  B และ x  A}


จึงเขียนแผนภาพของ B – A ได้ดังนี้




B A

89





4. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุปเนื้อหา



ชั่วโมงที่ 2
1. ครูทบทวนจากชั่วโมงที่ผ่านมา

2. ครูยกตัวอย่างให้นักเรียนเพิ่มเติมเพื่อให้นักเรียนที่ยังไม่เข้าใจมากยิ่งขึ้น

3. ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม (โดยในแต่ละกลุ่มควรมีทั้งคนเก่ง ปานกลาง และอ่อนเพื่อให้คนเก่งสามารถ
อธิบายให้คนอื่นๆในกลุ่มเข้าใจได้) ช่วยกันทำแบบฝึกหัด 1.3 ในหนังสือเรียน โดยให้เวลา 30 นาที จากนั้น

ครูเฉลยแบบฝึกหัด 1.3 ว่ามีข้อใดบ้างที่ตอบ “เป็นจริง” และข้อใดบ้างที่ตอบ “เป็นเท็จ” และเฉลย
ละเอียดสำหรับข้อที่ยาก

4. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุปเนื้อหาเพื่อความเข้าใจ


ชั่วโมงที่ 3

1. ครูทบทวนเรื่องการเขียนแผนภาพแทนเซต โดยเขียนโจทย์ต่อไปนี้บนกระดาน
กำหนด A = {–2, 0, 2, 5}

B = {0, 2, 4, 7 ,8, 9}

C = {0, 1, 3, 6, 7, 8, 9}
จงเขียนแผนภาพแทนเซต U, A, B, C และเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกของ

1) A  B  C 2) A  B  C

เฉลย


A B U

–2 2
5 4
7
0 8 9


1 3 6
C

90






1) A  B  C = {–2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2) A  B  C = {0}
ขณะที่ครูเฉลยคำตอบ ครูควรถามนักเรียนว่าเซต A เซต B และเซต C มีจำนวนสมาชิกเท่าใด

และในเงื่อนไขเซตข้อที่ 1 และข้อที่ 2 มีจำนวนสมาชิกเท่าใด

2. ครูให้ความรู้เรื่อง “จำนวนสมาชิกของเซตจำกัด” โดยอธิบายว่าการเขียนจำนวนสมาชิกแทน
เซตต่างๆ เขียนอย่างไร และสรุปเป็นหลักการเขียนจำนวนสมาชิกของเซตจำกัดว่า

“ให้ A , B, C และ U แทนเซตจำกัดใดๆ จำนวนสมาชิกของ A , B, C , U, A  B, A  B, A

 B  C และ A  B  C จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n(A), n(B), n(C), n(U), n(A  B), n(A 

B), n(A  B  C) และ n(A  B  C)” ตามลำดับ

ดังนั้น จากตัวอย่างในขั้นนำจะได้ n(A) = 4, n(B) = 6, n(C) = 7, n(A  B  C) = 11 และ

n(A  B  C) = 1
3. ครูให้ความรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัดว่า นอกจากการได้จากการนับ

แล้ว ยังสามารถหาได้จากสูตรในกรณีต่างๆ ดังนี้

เมื่อกำหนดให้ A , B, C และ U แทนเซตจำกัดใดๆ

1) n((A  B)) = n(U) – n(A  B)

2) n(A  B) = n(A) + n(B) เมื่อ A  B = 

3) n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) หรือ
n(A  B) = n(U) – n((A  B)) เมื่อ A  B  

4) n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) เมื่อ A , B, C ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย

5) n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C)

+

n(A  B  C)

6) n((A  B  C)) = n(U) – n(A  B  C)
ุ
หมายเหต : ในการอธิบายแต่ละสตร ให้ยกตัวอย่างประกอบ ก่อนที่จะสรุปสูตรให้นักเรียน
ู
ทราบ

91





ชั่วโมงที่ 4


1. ครูทบทวนการหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัดว่า นอกจากการได้จากการนับแล้ว ยังสามารถหา

ได้จากสูตรในกรณีต่างๆ

2. ครูยกตัวอย่างการหาจำนวนสมาชิกจากโจทย์ปัญหา 2–3 ตัวอย่าง เช่น


ตัวอย่างที่ 1 ถ้า A และ B เป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน โดย n(A  B) = 2



ิ
และ n(A  B) = 10 แล้วจงหาจำนวนสมาชกของ B – A
วิธีทำ สมมติให้ B – A มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ x


จะได้ A – B มีจำนวนสมาชิกเทากับ x ด้วย
่
เขียนจำนวนสมาชิกของเซต A – B, A  B และ B – A ลงในแผนภาพ ดังนี้



A B U



x 2 x











จากแผนภาพ จะได้ x + 2 + x = 10

2x = 8
x = 4

ดังนั้น จำนวนสมาชิกของ B – A = 4

ตัวอย่างที่ 2 ผลการสำรวจความนิยมของนักเรียนในการเลือกชมรมจำนวน 150 คน
พบว่า ชอบชมรมภาษาอังกฤษจำนวน 80 คน และชมรมคอมพิวเตอร์จำนวน 90 คน ถ้ามีนักเรียน 10 คน

ไม่ชอบชมรมใดเลย จะมีนักเรียนที่ชอบทั้งสองชมรมกี่คน

วิธีทำ ให้ A แทนเซตของนักเรียนที่ชอบชมรมภาษาอังกฤษ
B แทนเซตของนักเรียนที่ชอบชมรมคอมพิวเตอร์

เพื่อความรวดเร็วควรเขียนข้อมูลลงในแผนภาพ โดย

92





ให้ x แทนจำนวนนักเรียนที่ชอบทั้งสองชมรม



A B U




80 – x x 90 – x


10


จาก n(A  B) = n(U) – n((A  B)) และ n((A  B)) = 10, n(U) = 150

หา n(A  B) = 150 – 10 = 140

และจาก n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

และ n(A) = 80, n(B) = 90, n(A  B) แทนนักเรียนที่ชอบทั้งสองชมรม

ดังนั้น 140 = 80 + 90 – x
x = 170 – 140 = 30

สรุป จำนวนนักเรียนที่ชอบทั้งสองชมรมเท่ากับ 30 คน

่
3. ให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม (โดยในแตละกลุ่มควรมีทั้งคนเก่ง ปานกลาง และอ่อนเพื่อให้คนเก่ง
สามารถอธิบายให้คนอื่นๆ ในกลุ่มเขาใจได้) ช่วยกันทำแบบฝึกหัด 1.3 ในหนังสือเรียน โดยให้เวลา 15 นาที
้
จากนั้นครูเฉลยว่ามีข้อใดบ้างที่ตอบ “เป็นจริง” และข้อใดบ้างทตอบ “เป็นเทจ” และเฉลยละเอียดสำหรับ
็
ี่
ข้อที่ยาก
4. นักเรียนและครูร่วมกันสนทนาและช่วยกันสรุปความคิดรวบยอดเกี่ยวกับการหาจำนวนสมาชิก

ของ
เซตจำกัด และวิธีการแก้ปัญหาโจทย์ที่กำหนด โดยให้นักเรียนเขียนเป็นแผนผังความคิด


ชั่วโมงที่ 5

1. ครูและนักเรียนร่วมกันทบทวนสรุปเรื่อง การแก้ปัญหาโดยใช้เซต ทั้งหมดที่เรียนมา โดยการถาม

ตอบ

2. ครูให้นักเรียนทุกคนทำแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ เรื่อง การแก้ปัญหาโดยใช้เซต เพื่อเป็นการ

ประเมินความก้าวหน้าของนักเรียน

93





7. สื่อและแหล่งเรียนร ู้

1. หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 1 ม.4

2. แบบทดสอบ
3. ห้องสมุด

4. อินเทอร์เน็ต


8. การวัดและประเมินผล


วิธีวัดผล เครื่องมือวัดผล เกณฑ์การประเมินผล

1. สังเกตพฤติกรรมทางการเรียน แบบสังเกตพฤติกรรมทางการ นักเรียนผ่านเกณฑ์การประเมิน
การสอน เรียนการสอน ในระดับดีขึ้นไป

2. แบบทดสอบ แบบทดสอบ นักเรียนทุกคนทำถูกต้องไม่ต่ำกว่า

ร้อยละ 70 ของคะแนนทั้งหมด


เกณฑ์การประเมินผลจากการทำใบกิจกรรม ใบงาน แบบฝึกปฏิบัติกิจกรรม ใช้เกณฑ์ดังนี้

80% ขึ้นไป หมายถึง ดีมาก

70 - 79% หมายถึง ดี
60 - 69% หมายถึง ปานกลาง

50 - 59% หมายถึง ผ่าน

ต่ำกว่า 50% หมายถึง ปรับปรุง


9. กิจกรรมเสนอแนะ
-

94





แบบทดสอบ



1. กำหนด A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {3, 4, 6, 7, 8} จงหา n(A  B)

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________


2. กำหนด A = {1, 2, 3, 4} และ B = {5, 6 ,7} จงหา n(A  B)
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________



3. กำหนด A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 6, 7} และ C = {3, 6, 4, 8} จงหา n(A  B  C)
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

95





______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

4. นักเรียนชั้น ม. 5 โรงเรียนแห่งหนึ่ง จำนวน 100 คน ได้รับรางวัลเรียนดี 20 คน ได้รับรางวัล
มารยาทดี 30 คน ในจำนวนนี้ได้รับรางวัลทั้งสองประเภท 10 คน

จงหา

1. จำนวนนักเรียนทั้งหมดที่ได้รับรางวัล
2. จำนวนนักเรียนที่ไม่ได้รับรางวัล

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

96





______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________