ECU. DIFERENCIALES TOMO II

SOLUCIONARIO DE EXÁMENES
PASADOS PARCIAL

SOLUCIONARIO DE EXÁMENES

PROLOGO

DEDICATORIA

ÍNDICE

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES
Universidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería

Segundo Parcial 6 de mayo de 2016

1.- (10 puntos) Demostrar que: L f t     d f s
ds

 2.- (10 puntos) Hallar el operador anular de: f  x  xex  cos2 x 2

   3.- (20 puntos) Resolver la ecuación diferencial: x2 y  x 2x  3 y  x2  3x  3 y  6  x2 ex

4.- (20 puntos) Resolver la ecuación diferencial: 3  x2 yIV  3  x yIII  y  3  x3  4

5.- (20 puntos) Utilizando la transformada de Laplace, resolver:

ty  2 y  ty  sent   ; y 0  0

6.- (20 puntos) Resolver la ecuación: y  4y  4y  f t  : y 0  0 , y    1

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

II/2015

1.- a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f  x  3xe4xsen2 2x

b) Anote las hipótesis y tesis del primer teorema de traslación en términos del operador
inverso L1

2.- Resolver la ecuación diferencial: y  4 y  4y  e2x ln x

  3.- Resolver la ecuación diferencial: x2 y  2xy  2y  x 3  2cos ln x2

4.- Resolver la ecuación diferencial:

y  2 y 10 y  2t  3 t  3  4t t  4 ; y 0  1 , y0  3

5.- Resolver la ecuación integro diferencial:

f t   f t  0t   f d  t f d  t ; f 0  1
t
0

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f  x  3xe4xsen2 2x

f x  3xe4x sen2 2x  3 xe 4 x  1 cos 4x 
 2 

f x  3  xe4x  xe 4 x cos 4x
2

El operador que anula a xe4x   D  42 , y el operador que anula

xe4 x cos 4 x   D  42  42 2


Por lo tanto el operador que anula a la función f  x es:

 D  42  D  42  42 2


b) Anote las hipótesis y tesis del primer teorema de traslación en términos del operador
inverso L1

2.- Resolver la ecuación diferencial: y  4y  4 y  e2x ln x
Resolución.

 y  4 y  4y  e2x ln x  D2  4D  4  y  e2x ln x

Para la solución homogénea: r2  4r  4  0  r  22  0  r  2 (dos veces)

yh  C1e2x  C2 xe2x
Para la solución particular apliquemos variación de parámetros:

y1 z y2 z  e2z ze2z

x y1 x   y2xf z x e2 x xe2 x   e2z ln zdz  x e2x  e2z x  z e2z ln zdz
y1 z  e2 z ze2 z
yp  y2 z  dz   x0 e4z 1 z  z

x0 x0

y1 z   y2z e2z e2z 1  z

x
 
e2 x x z ln e 2 x  x ln zdz z ln zdz 
 
  yp x0  zdz  

 I1 I2 

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

I1   ln zdz Por partes u  ln z du  dz z
dv  
  dz  v  z

I1  uv   vdu  z ln z   z  dz  z ln z  z  I1  z ln z 1
z

I2   z ln zdz Por partes u  ln z  du  dz z
dv   z
  zdz v  2

2

vdu z2 ln z z2 dz z2 ln z 1 z2  1 
  I2  uv   2  2  z  2  2 zdz  I1  2  ln z  2 

Reemplazando los valores de las integrales

yp  e2 x x  z ln z 1  z2  ln z  1  zx
2  2 


yp  e2 x  x 2 ln x 1  x2  ln x  1   e 2 x  x 2 ln x x2  x2 ln x  x2 
 2  2   2 4 
  

yp  e2 x  x2 ln x 3x2   yp  x 2 e 2 x  ln x 3
 4  2  4 
 2 

yG  C1e2x  C2 xe2x  x 2e 2 x  ln x 3
2  4 

  3.- Resolver la ecuación diferencial: x2 y  2xy  2y  x 3  2cos ln x2

Resolución
Se trata de la ecuación diferencial de Euler, se hace el siguiente cambio de variable:

x  et , y  et dy , y  e2t  d2y  dy 
dt  dt 2 dt 
 

x2 y  2xy  2 y  x 3  2 cos 2 ln x 

 e2t  d2 y dy  et dy
 e2t  dt  dt   2  et dt  2y  et 3  2 cos 2 ln et 
 2 

d2y  dy  2 dy  2y  et 3  2 cos 2t   d2y  3 dy  2y  et 3  2cos 2t 
dt 2 dt dt dt 2 dt

Ecuación diferencial de coeficientes constantes

 Ecuación característica: D2  3D  2 y  3et  2et cos 2t

La para solución homogénea: r2  3r  2  0  r 1 r  2  0  r1  1  r2  2

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

yh  C1et  C2e2t
Para hallar la solución particular, apliquemos operador anulador
El operador que anula et  D 1

El operador que anula et cos 2t   D 12  22

 D2  3D  2  y  3et  2et cos 2t  D  1  D  12  22 


 D 1  D 12  22   D2  3D  2 y  0


 D 1D 1 2i D 1 2i D2  3D  2y  0

r 1r 1 2ir 1 2ir 1r  2  0
Ecuación característica: r 12 r  2 r 1 2ir 1 2i  0

r 1  r  2  r  1 2i

dos veces

yG  C1et  C2e2t  C3tet  C4et cos 2t C5etsen2t
yh yp

 yp  et C3t  C4 cos 2t  C5sen2t   C5  2C4 sen2t  2
 yp  et C3  C3t  2C5  C4  cos 2t
   3

 yp  et 2C3  C3t   4C5  3C4  cos 2t   3C5  4C4  sen2t 


 2 y p  et  2C3t  2C4 cos 2t  2C5sen2t  2t   3C5  6C4  sen2t 
3 3C3  3C3t  6C5  3C4  cos
 yp  et

yp  et 2C3  C3t   4C5  3C4  cos 2t   3C5  4C4  sen 2t 

d2y  3 dy  2 y  et C3   2C5  4C4  cos 2t   4C5  2C4  sen 2t   et 3  2 cos  2t 
dt 2 dt

Por comparación se tiene: C23 C534C4  2 ; resolviendo el sistema, los valores de las
4C5  2C4  0

constantes son: C3  3 , C5   1 , C4   2
5 5

La solución general será:

yG  C1et  C2e2t  3tet  2 et cos 2t  1 etsen2t , pero x  et  t  ln x
5 5

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

yG  C1x  C2 x2  3x ln x  2 x cos 2ln x  1 xsen 2  ln x
5 5

4.- Resolver la ecuación diferencial:

y  2 y 10 y  2t  3 t  3  4t t  4 ; y 0  1 , y0  3

Resolución

Previamente agrupamos y ordenamos, para luego aplicar L 

y  2 y 10 y  2t  3 t  3  4t  4  4  t  4

y  2 y 10 y  2t  3 t  3  4t  4  t  4 16 t  4 L1 

s 2Y s  s y0 1 y0 3  2sYs 2 y0 1 10Ys  2  e3s  4 e4s  16 e 4 s
s2 s2 s

 s2  2s 10 Y s   s  5  2  e3s  4 e 4 s  16 e 4 s
s2 s2 s

 s  12  9 Ys  s3  5s  2  e3s  4 e4s  16 e4s
s2 s2 s

s3  5s  2 1 e3s  4 1 e4s 16 1 e4s
s2 s
s 12  9  s 12  9  s 12  9 s 12  9
       Yss2 

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

5.- Resolver la ecuación integro diferencial:

f t   f t  0t   f d  t f d  t ; f 0  1
t
0

Resolución

f t  f t   t t   f d  t f d  t L 

0 0

    sFs  f0 1  Fs  L t L 1
ft   L1 L ft  s2

 s 1 F s  1 f0 1 1 1
1 s2 sFs   s F s   s2

s  1 F s   F s   1  F s   1 1   s 1 2  F s   1
s s2 s s2  s 

s s  s  1  1 
s 1 2  2 2 
F s    s2   2     2 
2 7  2 7  
 s   4   s 1   2  
    2   
  


 1 7 
 s  2
 1 1 2  L1 
F s     7 2  2  
  2 7 2 2 
s  1    2  2  s  1    7  
2    2  2 
 

ft   e  1 t cos  7 t   1 e 1 s sen  7 t   ft  1 e 1 s sen  7 t   e 1 t cos  7 t 
2  2  7 2  2  7 2  2  2  2 



adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

I/2015

1) a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula:

 f  x  1 e2x 2 cos 3x

b) Anote las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación en términos del operador
inverso: L1

2.- Resolver la ecuación diferencial: y  3 y  2 y  e2x
1 ex

 3.- Resolver la ecuación diferencial: x2 y  5xy  5y  3ln x  2 cos ln x2  4

4.- Resolver la ecuación diferencial: y  9 y  f t 

y0  2 , y0  0 2  t , 1 t  2

f t   1 , 0  t  1

0 , t  0 ; t  2

5.- Resolver la ecuación integra-diferencial:

  yt  4 yt t t y   d  ; y0  1
0 t y d  0  t


adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

PROBLEMAS RESUELTOS

1) a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula:

 f  x  1 e2x 2 cos 3x

Resolución

   f  x  1 e2x 2 cos 3x  1 2e2x  e4x cos 3x

f  x  cos 3x  2e2x cos 3x  e4x cos 3x

Recordar que el operador que anula a cos bx  D2  b2 , y el operador que anula a
eax  D  a
Como las dos funciones están siendo multiplicados, el operador que los anulan será:
cos3x  D2  32

e2x cos 3x   D  22  32

e4x cos 3x   D  42  32

Por lo tanto el operador que anula a la función f  x será:

 D2  32  D  22  32   D  42  32 
 

b) Anote las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación en términos del
operador inverso: L1

Resolución

2.- Resolver la ecuación diferencial: y  3 y  2 y  e2x
1 ex

Resolución:

 Ecuación característica: e2x
D2  3D  2  y  1 ex

Rx

Hallando la solución homogénea: r2  3r  2  0  r  2r 1  0  r1  2  r2  1

La solución homogénea será: yh  C1 e2x  C2 ex
y1 y2

Teniendo la solución homogénea, podemos hallar la solución particular por variación de
parámetros

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

y1 z y2 z  e2z ez

y1 x   y2x    ex
y1 z 
y2 z  ez
x R z x e2x e2z x ex  ez ez  ex e2z dz
e2z 1 ez dz  1 2 1 ez
yp  dz 
e3z
x0 x0
x0

y1 z  y2z 2e2z ez

x ez  ex dz ex  x ez dz x ex  ex  x ez x ez 
1 ez 1 ez dz  1 ez dz 
ex  dz  ex
 
x0 x0 x0
        yp   1  e z   1  e z ez
 
x0 x0

 x ez x e z 
ez 1 
dz  ex 

x0
     yp
 ex  1  e z dz  ex ln 1 ez  ex ln ez 1 

x0

     yp  ex ln 1 ex  e x 1   ex
  ex 
 e x ln   ln 1 ex  ex ln ex 1  ex x

   yp  ex ex 1 ln ex 1  e2x x

La solución general será: yG  yh  yp

   yG  C1e2x  C2ex  ex ex 1 ln ex 1  e2x x

 3.- Resolver la ecuación diferencial: x2 y  5xy  5y  3ln x  2 cos ln x2  4

Resolución.

Se trata de la ecuación de Euler, para lo cual hacemos el siguiente cambio de variable: x  et

y  et dy ; y  e2t  d2y  dy 
dt  dt 2 dt 
 

x2 y  5xy  5y  3ln x  2 cos 2 ln x  4 

 e2t  e2t  d2y dy  et et dy
 dt 2  dt   5  dt  5y  3 ln et  2 cos 2 ln et 4
 

d2y  dy  5 dy  5y  3t  2 cos 2t  4  d2y  4 dy  5y  3t  2 cos 2t  4
dt 2 dt dt dt 2 dt

Ahora es una ecuación de coeficientes constantes

 Hallando la solución homogénea: D2  4D  5 y  0  r2  4r  5  0  r1,2  2  i

yh  C1e2t cos t  C2e2t sent
Para hallar la solución particular apliquemos el método operador anular

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

t  D2
cos 2t  D2  22
4D

 D2  4D  5y  3t  2 cos 2t  4  D2 D2  4

D2  D2  4 D2  4D  5y  0

r2 r2  4r2  4r  5  0

r1,2  2  i  r3,40  r5,6  2i
2veces

La solución particular será: yp  C3  C4t  C5 cos 2t  C6sen2t

La solución general tendrá la forma de yG  yh  yp

yG  C1e2t cos t C2e2t sent  C3 C4tC5 cos2tC6sen2t
yh yp

Pero la solución particular no tiene que tener constantes,

 yp  C3  C4t  C5 cos 2t  C6sen2t 5
 yp  C4  2C5sen2t  2C6 cos 2t 4


 y  4C5 cos 2t  4C6 sen2t

5 yp  5C3  5C4t  5C5 cos 2t  5C6sen2t
 4 yp  4C4  8C5sen2t  8C6 cos 2t

 y  4C5 cos 2t  4C6 sen2t

d2y  4 dy  5y  5C3  4C4  5C4t  C5  8C6  cos 2t  C6  8C5  sen2t
dt 2 dt

5C3  4C4  5C4t  C5  8C6  cos 2t  C6  8C5  sen2t  3t  2 cos 2t  4

5C3  4C4  4 C3  8 25
C5C5 48C36  2 C4  35
C6  8C5  0    2 65
C5  16 65

C6

yG  C1e2t cos t  C2e2t sent  8 25  35 t  2 65 cos 2t 16 65 sen2t

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

4.- Resolver la ecuación diferencial: y  9 y  f t 

y0  2 , y0  0 2  t , 1 t  2

f t   1 , 0  t  1

0 , t  0 ; t  2

Resolución

■ Previamente hallemos f t  , que es una función seccional:

f t   2  t   t 1  t 2    1  t 0  t 1    0   t 1  t 2 
     

f t   t  2 t2  t 1 t1  t

Reemplazando f t  en la ecuación diferencial: y  9 y  f t 

y  9 y  t  2 t2  t 1 t1  t L 

   Recordemos que: L fta  ta  Fseas ; L ta  eat

s2Ys s y0 2  y0 0  9Ys  1 e 2 s  1 es  1
s2 s2 s

 s2 9 Ys  2s  1 e2 s  1 es  1
s2 s2 s

Ys  s 2s  3  s2 s 1  3 e2 s  s2 s 1  3 es  ss 1  3

 3s  3s  3s  3s

2s 1 1

 3s  3s 3  s
 Ys
 s  3  s2 s  3 e2s  es  ss   3

 A1 B1   C0 D  19 E 154 F  154   G 19 H 118 J 118 
 Ys  s3  s s2 s3   s s3 
   s  3       s  3  e2s  es     s  3 


 Ys  1 1   19 154  154  e 2 s   19 118 118  L1 
     3    s2  s3  s 3   es   s  s3  
s 3 s    s  3

Ys  e3t  e3t   t  e3t  e3t  t  t t 2   t  e3t  e3t  t  t t1   1  e3t  e3t  t
 9 54 54   9 54 54   9 18 18 
  

Y s   e3t  e3t   t 2  e3t 2  e 3 t  2    t  1  e3t 1  e3t 1  t 1   1  e3t  e3t  t
 9 54 54  t2  9 54 54   9 18 18 
    

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

5.- Resolver la ecuación integra-diferencial:

  yt  4 yt t t ; y0  1
0 t y d  0 y   d   t


Resolución

  yt  4 yt  t t yd  t L 
0 t  y d  0 


   sYs  y0 1  4Fs  Lt L 1
yt   L1 L y t   s2

s  4 F s  1 f0 1 1 F s  1
  1  s2 sFs   s  s2

s  4 F s   F s   1  F s   1 1   s  4  2  F s   1
s s2 s s2  s 

s s  s2 2 
  s2  4s  2  
  s  22  2  22  2
 Fs    

 s  2

 s2 22 
 
 22  2 s  22  L1 
   Fs 2 2

 s  2 2

 2 e2t senh 
 2 
       ft
  e2t cosh 2t  2t  ft  2e2t senh 2t  e2t cosh 2t

 

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

II-2014
ECUACIONES DIFERENCIALES – MAT207
Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniera
Segundo Examen parcial – sábado 01 de noviembre de 2014

Cada Pregunta 20 puntos
1.- Resolver la ecuación diferencial

 1 2x  x2 y  21 x y  2 y  2

Con y0  3; y0  2 Si se conoce: y1  1  x
2.- Resolver la ecuación diferencial:

x2 y  3xy  5y  5ln2 x  6sen ln x  2 ln x

3.- Resolver la ecuación diferencial:
yV   5 y  4 y  6     ;     y0  y0  y0  y0  0   ;   y0IV   1

4.- Resolver la ecuación diferencial:

y  5y  6 y  f t    ;   y0  2   ;   y0  3 ;  2     ;     t  1

f t   3  t     ;    1   t  5

 2     ;     t  5   

5.- Resolver la ecuación diferencial:

ty  2 y  2 y  2t3      ;     y0  y0  0

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

PROBLEMA RESUELTOS
1.- Resolver la ecuación diferencial

 1 2x  x2 y  21 x y  2 y  2

Con y0  3; y0  2 Si se conoce: y1  1  x

Resolución.

■ Previamente realizaremos operaciones en la ecuación diferencial

y  21 x y  2 y  2
12x x2 12x x2
12x x2
P x Q x Rx

■ Usemos la fórmula de Abel, para calcular y2 :

e  Pxdx 2 1 x
y1 2
1 2x  x2
  y2  y1 dx ;     Pxdx 
dx   ln 1 2x  x2

e  ln
12 xx2  2  1 x2
 1 x2
   1 x 2 x2
 y2  1 x dx
dx  1 x   x  2

■ Por lo tanto la solución homogénea será:

 yh  C1y1  C2 y2  yh  C1 1 x  C2 x2  x  2

- Ahora hallemos la solución particular, por variación de parámetros

y1 z  y2z 1 z z2  z  2

 
 
y1 x  y2 x  x2  x  2
y1 z  z2  z  2
y2 z 
x x 1 x 1 2 z2 dz
Rzdz  x0 1 z 2z 
yp 

x0

y '1z y '2z 1  2z 1

   x 

yp 

x0
x2  x  2 1 z  1 x z2  z  2 1 2 z2 dz
2z 
2z 1 2z2  z  z2  z  2

   x 2 x2  x  2 1 z  21 x z2  z  2
yp   dz

 x0
1 2z  z2 2

La variable a integral es “ z ” lo demás son cttes

21 z z2  z  2
1 2z  z2
1 2z  z2
      yp   x2  x  2  
2 dz  21 x 2 dz    

 
I1 I2

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

u 1 2z  z2
(  ) Calculamos I1 : Para ello hagamos el siguiente cambio de variable: du  2(1 z)dz

21 z du 1 1      
u2 u 2z 
1 2z  z2
 I1 2 dz     1 z2

(  ) Calculamos I2 : Para esta integral usemos el método de Ostrogradski

z2  z  2 dz z2  z  2 dz Az  B Cz  D dz
1 2z  z2 1 2z  z2 1 2z  z2 1 2z  z2
     I2  2  2  

     
  
 
 

Ahora debemos derivar: z2  z  2 2 dz   Az  B   Cz  D dz
1 2z  z2  1 2z  z2  1 2z  z2

De donde:

 z2  z  2
   1 2z  z2
 A 1 2z  z2   Az  B2  2z  Cz D
2 zz
2 1 2z  z2 2 1 2

       z2  z  2
   1 2z  z2
 A 1 2z  z2 A 2z  2z2  B 2  2z  Cz 1 2z  z2  D 1 2z  z2

2 1 2z  z2 2

z2  z  2  C  z3  A 2A2CD z2  2A2A2BC2D z  A2B D
0 1 1 2

 C  0                       1  A  1    
 B  1/ 2
Se obtiene que:  A  2C  D  1     2 ; Resolviendo: C  0    
 2B  C  2D  1    3  D  0   

 A  2B  D  2       4

Reemplazando los valores de A, B, C y D en la integral “ I2 ”

z2  z  2 A 1z  B 12 C 0z  D 0 2z 1     
1 2z  z2 1 2z  z2 1 2z z2 1 2z 
     I2  2 dz    2 z2

0

■ Reemplazando   y   en   :

   yp     I 
x2  x  2 I1  z x 2 1 x 2  z x

1 2z 1
1 2z  z2 1 2z  z2
   yp      
x2  x  2  z  x  2 1  x   2  z x

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

    x2  x  2
 yp  1 2x  x2
1 x2x 1 1 2x  x2  1  yp  1
1 2x  x2
 1 2x  x2  

■ La solución general de la ecuación diferencial será:

 yG  yh  yp  yG  C1 1 x  C2 x2  x  2 1

■ Ya que el problema nos da las condiciones iniciales, calculemos y :

  yx  C1 1 x  C2 x2  x  2 1   y0  3  23CC11C22C  2     1    CC12  0
 y '0  2  2
 y 'x  C1  C2 2x  1 


■ Finalmente la solución de la ecuación diferencial planteado será:

      y  2x2  2x  3 ¡Parábola! Con vértice   1 , 5 
2.- Resolver la ecuación diferencial:  2 2 

x2 y  3xy  5y  5ln2 x  6sen ln x  2 ln x

Resolución

■ Se trata de una ecuación diferencial de Euler; C.V. x  et  ln x  t

y  yx C.V. y  yt  y  et y  y  e2t  y  y

■ Sustituyendo el cambio de variable en la ecuación diferencial:

x2 y  3xy  5 y  5 ln2 x  6sen ln x  2 ln x

e2t  e2t  y  y  3 et  et y  5y  5t2  6sent  2t

y  2 y  5y  5t2  6sent  2t  E.D. coef. Constantes

■ Hallemos la solución homogénea “ yh ”, para ello igualamos a cero la E.D.

 y  2 y  5y  0  D2  2D  5 y  0  r2  2r  5  0  r 12  4

De donde: r1,2  1 2i  yh  C1et cos 2t  C2etsen2t

■ Hallemos la solución particular “ yP ”, usemos el M. Operador Anulador

y  2 y  5 y  5t22t  6sent Atn  Btn1   z  Dn1
D 21 D2 12 AsenBt  D2  B2

     D2  2D  5 y  5t2  2t  6sent       LD  D3 D2 1
 D2  2D  5 D3  D2 1y  0  r2  2r  5 r3 r2 1  0

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

r 2  2r  5  0  r1,2  1 2i
  0                  r3,4,5  0          
De donde:  r 3   la solución será

 r 2 1  0          r6,7   i          


y  C1et cos2t C2etsen2t  C3 C4tC5t2 C6 cost C7sent     
yh y p

► La solución particular “ yp ” debe satisfacer a la ecuación diferencial.

 yp  C3  C4t  C5t 2  C6 cos t  C7sent 5
 yp  C4  2C5t  C6sent  C7 cos t 2


 yp  2C5  C6 cos t  C7sent

“ yp ” ¡No debe tener constantes, es por ello que se lo reemplaza n la E.D.!

Las constantes: C3 , C4 , C5 , C6 y C7 se encuentra por comparación

5 yp  5C3  5C4t  5C5t 2  5C6 cos t  5C7sent
2 yp  2C4  4C5t  2C6sent  2C7 cos t


 yp  2C5  C6 cos t  C7sent


yp  2 yp  5yp  5C5t2  5C4  4C5 t  5C3  2C4  2C5   4C6  2C7  cos t  4C7  2C6 sent

y  2 y  5 y  5t2  2t  0  0  cos t  6 sin t ; ¡Comparando!

5C5  5 C3   6 25
CC54 2
55CC34  4C5  2   5
 2C4  2C5  1
0  Resolviendo: ; reemplazando en  

4C6  2C7  0 C6   35
4C7  2C6  6
  65
C7

y  C1et cos 2t  C2etsen 2t  6  2 t  t 2  3 cos t  6 sent
25 5 5 5

■ Pero según el cambio x  et  t  ln x , sustituyendo en la solución

 y  C1x1 cos 2  ln x  C2 x1sen2 ln x  6  2 ln x  ln 2 x  3 cos ln x  6 sen ln x
25 5 5 5

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

3.- Resolver la ecuación diferencial:
yV   5 y  4 y  6     ;     y0  y0  y0  y0  0   ;   y0IV   1

Resolución.
■ Ya que nos da como dato las condiciones iniciales aplicamos T. Laplace.

yV   5 y  4 y  6  L  

s5Y  s4 y0 0  s3 y0 0  s2 y0 0 s y0 0 y0IV  1  5 s 3Y s   s2 y0 0 s y0 0 y0 0

  s      

   4 sYs  y0 0  6 Lk  k ; k  ctte
s s

■ Simplificando y factorizando

   s5  5s3  4s 6 6  s
Ys  s 1 s s4  5s2  4 Y s   s

s6  6  1  si w  s2
s2  4 s2 1 s2  4  ;
      Ys  s2  s   s 2 s2 1 


 1   A 14 B 112 C  13 
  w w4  
Y s    s  6  w w  4  w 1   s  6  w 1 



Y s   s  6  14  112   13   1  s6  1  s6  1  s6
 w w4  4 s2 12 s2  4 3 s2 1
 w 1

Y s   1  1   3  1   1  s2 s 22   1  22   1  s2 s   2  s2 1     L1 
4  s  2  s2  12    4  s2  22  3   12    12
 

 y t   1  3 t  1 cos 2t  1 sen2t  1 cos t  2sen t
4 2 12 4 3

4.- Resolver la ecuación diferencial:

y  5y  6 y  f t    ;   y0  2   ;   y0  3 ;  2     ;     t  1

f t   3  t     ;    1   t  5

 2     ;     t  5   

Resolución.

■ Previamente hallemos ( ), que es una función seccional:

ft  2  t1   3  t  t1  t5   2 t5 
   ft  4t1  t 1 t1  t  5 t5

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

■ Reemplazando ft en la ecuación diferencial: y  5 y  6 y  ft

y  5 y  6 y  4t1  t 1 t1  t  5 t5 L 

   ■ Recordemos que: L fta  ta  Fseas    ;   L ta  eat

■ Aplicando las propiedades mencionadas anteriormente.

 s 2Y  s y0 2 y0 3   5  sY  y0 2   6Y  4 es 1 es 1 e5s
    s  s2  s2
s   s  s

 s2 2 3 10  4s  1  s 1 e5s
 5s  6 Y s   s     s  e  s2
2

s  3s  2  Y s   2s  7   4s 1 es  1 e5s
 s2  s2

Ys  s 2s  7 2  s2 s 4s 1  2 es  s2 s 1  2 e5s

 3s   3s  3s

■ Descomponiendo en fracciones parciales, cada cociente de la igualdad.

 A 1 B3   C 1936 D 16 F 119 G 7 4  H 536 I 16 J 19 K 14 
 s3 s2   s s2 s3 s2  es   s s2 s 3   e5s
Ys            s  2 

Observación: Las constantes C  19 y H  5 se calculan comparando
36 36

Y s   1  3   19 36   16  119  74   536  16  19   14  e5s L1 
s3 s2  s s2 s3 s2  es  s s2 s3 
  s  2 


 ■ Aplicando la transformada inversa, recuerde: L Fseas  ftata

yt   e3t  3e2t   19  1 t  11 e3t  7 e2t  t  t t 1   5  1 t  1 e3t  1 e2t  t t t 5
 36 6 9 4   36 6 9 4 

3e2t  e3t 19 1 11 e3t1 7 e2t 1  5 1 1 e3t 5 1 e2t 5 
 36 6 9 4   36 6 9 4 
   yt
   t 1    t 1   t 5   t5

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

5.- Resolver la ecuación diferencial:
ty  2 y  2 y  2t3      ;     y0  y0  0

Resolución.

   ■ Aplicando transformada D’ Laplace, usemos: dn
L t n ft   1n dsn F s 

t1y  2y  2y  2t3       L 

■ Luego:

 t1 y  2 y  2 y  2t3       n!
L                     L tn  sn1

 11 d1  s 2Y s   sy0  y0   2 sYs  y0   2Ys  2 3!
ds1 s4

 d   s 2Y s    2sYs  2Ys  12   2sYs  s2Ys   2  2sYs  12
ds s4 s4

■ Ordenando:

Ys  4s  s22 Ys  12 ; Se obtiene una E.D. Lineal
 s6
Ps Qs

e Ps ds  1 ePsds 
 
 Ys C
   Qsds       1

■Previamente calculemos ePsds

ePsds  e 4  2 ds  e4ln s 2 2
 s s2 s
 s4es

■ Reemplazando en (1) tendremos:

2

Y s   s 4 e 2  1  s 4e 2 12 ds C       ;     si u  es
 s   s s6 
    2 2
s2
  du   e s ds

   Ys  1 e 2   6 2 2   1 e 2  6
  s4 s    s2 e s ds  C    s4 s  du  C
  
 

Y s    1 e 2   6e 2  C   6  C e 2      ;     C  0
 s4 s   s  s4 s4 s
 


■ Como ya usamos las condiciones y0  y '0  0 , no existe ninguna cte.

6 3! L1     yt  t3
 Ys s4 s 31     
  Ys 

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

1.- Resolver: I-2014
2.- Resolver: Examen De Ecuaciones Diferenciales
MAT-207 SEMESTRE 1/2014 – SEGUNDO PARCIAL

SABADO 10 DE MAYO DE 2014

2y  3y  y  2sen 2x 1  4 cos 2x  3  e2x

    2 5 5 2 2 
 2   2 4 4 
y  3y  2 y  sen2 t    t  t        ;     y0  y0 0



3.- Si dos soluciones de la ecuación diferencial de coeficientes variables

Px y  Qx y  Rx y  Hx y  0

Son: y1  x  x2    ;   y2  x  x5 . Determine la tercera solución si se conoce que:

 w x2, y, x5  64x3

4.- Resolver la ecuación diferencial: Resolver la ecuación diferencial: y  6y  f t , con las

condiciones y0  1,  y0  0

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Resolver:

2y  3y  y  2sen 2x 1  4cos2x  3  e2x

Resolución.

■ Hallemos la solución homogénea: “ ” para ellos igualamos a cero la E. Dif.

 2 y  3y  y  0  2D2  3D 1 y  0  2r2  3r 1  0

 2r  1  r  1  0  r1  1    r2   1
2

yh  C1ex  C2e 12 x

■ Hallemos la solución particular “ yp ”, usando el Método Operador Anulador

2 y  3y  y  2sen 2x 1  4 cos 2x  3  e2x ¡Desarrollando!

2 y  3y  y  2sen2x cos1 sen1cos 2x  4cos 2x cos 3  sen2xsen3  e2x
2 y  3y  y  4 cos 3  2sen1 cos 2x  2 cos1 4sen3sen2x  e2x

■ Reduciendo las constantes numéricas: A  4 cos 3  2sen1   ;   B  2 cos1 4sen3

   2D2  3D 1 y  Acos 2x  Bsen2x  e2x       D2  22 D  2
2D 1 D 1 D2  4 D  2y  0  2r 1r 1r  2r2  4  0

De aquí tenemos:

 r1  1    ;   rr43,522  i 
r2 
 1
2

y  C1ex C2e 12x  C3e2x C4cos 2x C5sen2x    
yh yp

■ “ ” debe satisface a la ecuación: 2 + 3 + = cos 2 + sen 2 +

■ Calculando sus derivadas de

 yp  C3e2x  C4 cos 2x  C5sen2x 3
 yp  2C3e2x  2C4sen2x  2C5 cos 2x     


 yp  4C3e 2 x  4C4 cos 2x  4C5sen2x      2

3yyp pC3e6C2x3e2Cx 4c6oCs 24sxen2Cx5se6nC25xc  os 2x
2 yp  8C3e2x  8C4 cos 2x  8C5sen2x

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

2 y  3y  y  3C3 e2x  6C5 7C4  cos 2x  6C47C5 sen2x  e2x  A cos 2x  Bsen2x
1  A B

36CC35  1                C3  13
 7C4  A   C4   7 A  6B85
Comparando:  Resolviendo:  en  
C5
 6C4  7C5  B  6 A  7B 

85

■ Finalmente reemplacemos los valores obtenidos en   :

y  C1e x  C2e 12 x  1 e 2 x  7 A  6B cos 2x  6 A  7B sen2x
3 85 85

Dónde: A  4 cos 3  2sen1 y B  2 cos1 4sen3

2.- Resolver:

5 5 ; ( ) = ( ) = 0
− 3 + 2 = sen 2 − 2 − 2 + 4 − 4

Resolución.
■ Previamente llamemos:

5 5
( ) = − 2 + 4 − 4

( ) = 1 ; ≥ 0 → ( ) = ⎧⎪1 ; 5 5
0 ; < 0 = − 2 + 4 − 4 ≥ 0 …❶

⎪⎨0 ; 5 5
⎩ − 2 + 4 − 4 < 0 …❷

■ Resolviendo la inecuación ❶

5 5 5 5 ⫽( ) ; || =
− 2 + 4 − 4 ≥ 0 ⟹ − 2 + 4 ≥4

5 5 5 5 5 5
− 2 + 4 − 4 ≥ 0 ⟹ − 2 + 4 − 4 − 2 + 4 + 4 ≥ 0

5 5 3 ≥0 ⫽∙ 4 ⟹ (2 − 5 + 2 )(2 − 5 + 3 ) ≥ 0
− 2 + − 2 + 2

Factorizando al máximo: (2 − )( − 2) (2 − 5 + 3 ) ≥ 0 ⟹ (2 − )( − 2) ≥ 0

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

■ De donde: Para ❶ se extrae los intervalos de grafico

( ) = = 1 ; 0 < ≤ ⁄2 ∨ ≥ 2 … ❶
0 ; ⁄2 < < 2 … ❷

( ) = 1 ∙ ( ) − + (0) − ( ) + 1 ∙ ( )

( ) = ( ) − + ( ) … ()

■ Reemplazando () en la ecuación diferencial: − 3 + 2 = sen 2 − ( )

+ ( ) )
− 3 + 2 = sen 2 − 2 ( ) − + sen 2( − 2) (


− 3 + 2 = sen 2 − 2 ( ) − sen 2 − 2

Tomar en cuenta: sen 2 − = − sen 2 = − sen 2( − 2) reemplazando

+ sen 2( − 2) ( ) ⫽ { }
− 3 + 2 = − sen 2 ( ) − sen 2 − 2

22 2
( ) − ( ) − ( ) − 3 ( ) − ( ) + 2( ) = − + 2 − + 2 − + 2

[ − 3 + 2]( ) = ( − 2)( − 1)( ) = − 2 2 2
+ 4 − + 4 − + 4

■ Despejando ( ):

−2 −2 −2
( ) = ( − 2)( − 1)( + 4) + ( − 2)( − 1)( + 4) + ( − 2)( − 1)( + 4)

() () ()

■ Descomponiendo Ps :

 Ps  2  A 14  B 25  Cs  D
 s  2 s s2  4 s2 s 1 s2  4
1

 1 s 1  s2  4  2 s  2s2  4  Cs  D s2  3s  2
4 5  2s 1s2  4
P s  
s

2  1452C s3  14 54 3C  D s2  1852C 3D s  11562D
0 0 0 2

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

De aquí hallamos los valores de C y D: C   3 20   ,   D  110

■ Reemplazando en Ps :

 1 2  3 s  1
4 20 10
P s    5  s2  4   1 1  2 1  3  s 22   1  2 
s2 s 1 4  s  2  5  s 1 20  s2   20  s2  22 

■ Reemplazando ( ) en ( ):

Ys   1  s 1   2  s 1  3  s 22   1  s2 2 22   ....
4   2  5   1 20  s2   20   

...   1  1   2  1  3  s   1  2   e  2 s  ....
 4    5  1 20    20    
s 2 s s2 22 s2 22 

...   1  1   2  1  3  s   1  2   e  2 s     L1 
 4    5  1 20    20    
s 2 s s2 22 s2 22 

y t     1 e2t  2 et  3 cos 2t  1 sen 2t  t   .....
 4 5 20 20 

 1 e2 t     2 et    3 cos 2  t     1 sen2  t       ....
....    4 2  5 2 20  2  20  2   

t  2 


....    1 e2t2   2 et 2  3 cos 2 t  2  1 sen 2 t  2  t 2 
 4 5 20 20


3.- Si dos soluciones de la ecuación diferencial de coeficientes variables

( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0
Son: () = ; () = . Determine la tercera solución si se conoce que:

( , , ) = 64

Resolución.

■ Realizando operaciones en la condición dada:

( , , ) = 64 ⟹ [( , , )] = 64


( , , ) = 16 ⟹ 2 ′ 5 = 16

2 ′′ 20

■ Calculando la determinante, para ello tomamos la segunda columna.

− + 2 5 = 16
2 5 2 20 2 20

3 − 18 + 30 = 16 ⟹ 3 − 18 + 30 = 16 … ()

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

= ; ( ) = ( )

■ Se trata de una ecuación diferencial de Euler: =

= ( − ′)

3 ∙ ( − ) − 18 ∙ + 30 = 16
3 − 21 + 30 = 16 … ()

(3 − 21 + 30){} = 16 ⫽ ⟹ 3( − 7 + 10){} = 0
■ La solución estará dada por: 3( − 2)( − 5) = 0 ; = 2 , = 5 , = 0

= + + ⏟ … ()

=
■ “ ” Debe satisfacer a la ecuación diferencial () = 0 en ()

= 0

16
3 − 21 + 30 = 16 ⟹ 30 = 16 ⟹ = 30
■ Reemplazando = en (), análogamente =

= ( ) + ( ) 8 + 8
+ 15 = + 15

8
= 15

4.- Resolver la ecuación diferencial: − 6 = (), con las condiciones ( ) = 1, ( ) = 0

Resolución. .....ADELIUS.....
■ La función seccional ft; extraída del grafico será igual a:

adelio ariel chavez

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

 2sen  t     1     ;     0  t 
  3 6   2
ft  
 1
 t  2            ;        t

■ Calculemos ft; con los intervalos dados:

ft  2sen  t     1  t 0  t     1 t  2  t   t2  
 3 6  

ft  2sen  t     1 t  2sen  t     1 t   t   1 t  2  t2 
 3 6   3 6   

■ Por identidades: 2sen  t     3sen t  cos t  3sen 1  t     cos 1 t   
 3 6  3 3 3 3

ft   3sen t  cos t  1 t    3sen 1 t     cos 1 t     1 t    t    1 t  2   t  2 
 3 3  3 3  

■ Apliquemos Transformada D’ Laplace a la función ft

 13   13 1  1
 s 1   s   
Fs   3     s    3    s2  e s  s2 e2 s     
 
 s2  1 s2 1   s2  1 s2 1 
 9 9 9 9 

■ Ahora apliquemos transformadas D’ Laplace a la ecuación diferencial

y  6y  ft      L   sYs  y0 1  6Ys  F s   Ys  1  1 Fs     
 s6
s 6

■ Reemplazando   en   :

 3  s  3  s 1  1 
 3   3    
Ys  1  1  1  1    1  s2  es  s2 e2 s 
s 6 s 6  9 s   9  
 s 2    s 2   


 
3  s  3  s 1   1 
3  3  
1 1      
Ys  6       e s    e2 s     
s s6  s2s 6   s2s 6 
s  s  6 s2 91 R s   s 6 s2 19

Qs   Qs 

P s  Ps

■ Descomponiendo en fracciones parciales Ps , P 's , Qs y Rs

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

* Rs  s  1 6  A 16  B 16   1  1   1  s 1 6    1
s S S 6 6  s  6  

1 1 s  1  1 s  A 136 B 136 
  s2  62   s2 s2  62 
   *Qs s2 6   6 s2    6  
s 
 

Qs  1 s  6  1  1  1  1  6  1     2
36  s2  36 s s2  
 s  6  s  6  s 6

3 s    A 9325 9 323 
s2     s2  36 
 *P s   3   3  s   s  6  1    3  s   s  6   B 1 
 3      3   s2 9 
s  6  1  s2  62  s2  1     
 9   9 

 Ps 1 
3078 3 3 18 1 54 3 15   33  s 
  5525  325     323  3   323   
 S 6    1   1 
 s2 9   s2 9 

 * 3  13   
Ps  3078  3 18  1   15  54 3    33  s 
5525 325    323   323   
S 6  s2  1   s2 1 
 9   9 

■ Reemplazando las equivalencias obtenidas en   :

 1 1 3 3  54  1 
 6  325 36 
1 3078 18 3 1 1    36    3078
 5525 1950    s 5525
Ys  s 6   s 6    s2 s6   ....




1     1  1 1
15  54 3   33  s   6 
...  323  3   323    e s   36    36  e2 s     L1 
      s s6 
 s2 1   s2 1  s2
9 9
 

■ Aplicando la transformada inversa D’ Laplace; antes recordar:

L1 k  k t     ;   L1  s 1 a   eat    ;   L1  s2 s a2   cos at    ;   L1  s2 a a2   senat
        
     

 ■ Aplicando las propiedades mencionadas anteriormente; L1 Fseat  ftata

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

yt   e6t  3078   18 3  1 e6t t  1 t   54 3 15 sen t t  33  ..
5525 1950 6 323 3 323
 t  

...   1  1 t    3 3  54  1  e6t    3078   15  54 3 sen 1 t   
 36 6  325 36  5525 323 3
t  

....  33 cos 1  t    t   1  1 t  2  1 e6t  2   t
323 3  36 6 36 
    2 

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

II-2013
EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAT-207
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES - FACULTAD DE INGENIERIA
SEGUNDO PARCIAL - VIERNES 01 DE NOVIEMBRE DE 2013

1.- a) Si existe, identifique el operador de coeficientes constantes que anula a:
( ) = ( + 3 )

b) Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución:
= + − 4 ln

2.- Resolver la ecuación diferencial:
+ 3 − − 3 = 4 − 1

3.- Resolver la ecuación diferencial:
+ 2 = sec(ln )

4.- Resolver la ecuación diferencial:
+ 2 + 5 = 6( ) + 3( ) ; ( ) = 2 ; ( ) = 1

5.- Resolver la ecuación integro – diferencial:

− 6 ( ) = 4 + ; ( ) = 0

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

PROBLEMAS RESUELTOS
1.- a) Si existe, identifique el operador de coeficientes constantes que anula a:

 f  x  e3x  3x3 2

b) Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución:
y  Ax2  Bx2  4 ln x

Resolución.

■ a) Desarrollamos f  x : f  x  e6x  6x3e3x  9x6

- Recuerda: - Para ( ):

eat  D  a e6x  D  6

   xn  xn1  ... eat  D  a n1 6x3e3x   D  34
 xn  xn1  ...  Dn1
9x6  D7

* El operador anulador que anula a ( ) será el producto de los mismos

f  x  e6x  6x3e3x  9x6        LD   D  6 D  3 D7

 D  6 D  3 D7  f  x  0       LD   D  6 D  3 D7

■ b) Hallemos la ecuación diferencial “Multiplicando y derivando”. A, B cte.

y  Ax2  Bx2  4 ln x      x2          x2 y  Ax4  4x2 ln x  B       

2xy  x2 y  4Ax3  8x ln x  4x     x3     2x2 y  x1 y  4A  8x2 ln x  4x2      
4x3 y  2x2 y  x2 y  x1 y  16x3 ln x  8x3  8x3       x3

Simplificando y ordenando:

4 y  2xy  xy  x2 y  16 ln x  x2 y  xy  4 y  16 ln x

2.- Resolver la ecuación diferencial:

+ 3 − − 3 = 4 − 1 … ()

Resolución.

Se trata de una ecuación diferencial lineal de coeficientes ctte.

■ Hallemos la solución homogénea, igualamos el lado izquierdo a cero.

: + 3 − − 3 = 0 ⟹ ( + 3 − − 3){} = 0

= −3
Ecuación característica: + 3 − − 3 = 0 ⟹ ( + 1)( − 1)( + 3) = 0 ⟹ = −1

= 1

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

= + + … ❶ ⫽
■ Hallemos la solución particular, usemos el operador anulador.

: + 3 − − 3 = 4 − 1 ⟹ ( + 3 − − 3){} = 4 − 1

Ecuación característica: ( + 3 − − 3) = 0 ⟹ ( + 1)( − 1)( + 3) = 0
= −3 ; = −1 ; = 1 ; , , = 0

= + + + + + … ❷

■ Hallemos los valores de A, B y c ya que “ ”, no incluye constantes.

= + + ⟹ = + 2 ⟹ = 2 ⟹ = 0

■ Si es una solución de la ecuación diferencial, debe satisfacer a la misma.

■ Reemplazando y sus derivadas en la ecuación diferencial ()

+ 3 − − 3 = 4 − 1 ⟹ 0 + 3(2) − ( + 2) − 3( + + ) = 4 − 1
−3 = 4

−3 + (−3 − 2) + 6 − 3 − = 4 − 1 ⟹ −3 − 2 = 0
6 − 3 − = −1

Resolviendo el sistema: = − ; = ; = − reemplazando “ ”

71 8 4
= + + ⟹ = − 27 + 9 − 3 … ❸
■ Finalmente reemplacemos ❸ en ❷, así obtendremos la solución general

71 8 4
∴ = + + − 27 + 9 − 3
Nota.- La ecuación + 3 − − 3 = 4 − 1; se la puede reducir de orden haciendo:
( + 3) − ( + 3) = 4 − 1 el siguiente cambio de variable = + 3, entonces:
− = 4 − 1. El método para resolver esta ecuación puede ser la misma o por variación
de parámetros.

3.- Resolver la ecuación diferencial:

x2 y  xy  2 y  x secln x

Resolución.

 y  dy  et dy
:   dx dt
Se trata de una ecuación diferencial de Euler, C.V. x  et
 d2y  d2y dy 
 y  dx2  e2t  dt 2  dt 



Reemplazando en: x2 y  xy  2 y  x secln x   ;   x  et  t  ln x

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

e2t  e2t  d 2 y dy  et et dy 2 y et sec t    ;    y  d2y     y  dy
    dt   dt 2 dt
 dt 2 dt 

■ Simplificando y ordenando: y  2 y  2 y  et sec t     ;    y  f t  ; Ec. Dif. Coef. C.

Rt

■ Hallemos la solución homogénea:

 yh :   y  2 y  2 y  0  D2  2D  2 y  0  r2  2r  2  0

Resolviendo: r1  1 t      r2  1 i , entonces: yh  a1 et cos t  a2 etsent      1
y1 y2

■ Hallemos la solución particular, usando el método de variación de parámetros.

y1 z y2z ez cos z ezsenz

y1t  y2t
y1 z
y2 z
t t et cos t etsent ez sec zdz
ez cos z ezsenz
yp  Rzdz 

t0 t0

y1 z  y2z cos z  senz  ez senz  cos z ez

t ezet sent cos z  cos tsenz   ez sec z et t sent cos z  cos tsenz
t0 t0 cos z
cos zsenz  cos2 z  senz cos z  sen2z
   yp e2z dz  dz

t  et t senz dz etsent  z zt  et cos t ln cos z 
cos z
etsent dz cos t

t0 t0
 yp  z t

yp  tetsent  et cos t ln cos t    2

■ Reemplazando (1) y (2) en yG  yh  yp

yG  a1et cos t  a2etsent  tetsent  et cos t ln cos t 

■ Sustituyendo el C.V. x  et  t  lnx :

  yG  a1x cos ln x  a2xsen ln x  x ln xsen ln x  x cos ln x ln cos ln x

4.- Resolver la ecuación diferencial:
y  2 y  5 y  6t2  3tut3          ;         y0  2  ;  y0  1^

Resolución.

■ Previamente agrupamos y ordenamos, para luego aplicar L :

y  2 y  5 y  6t2  3t  3  3 ut3  6t2  3t  3 ut3  9ut3

■ Apliquemos transformadas de Laplace; si y0  2  ;  y0  1

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

y  2 y  5y  6t2  9ut3  3t  3 ut3      L 

s2Ys  s y0 2 y0 1  2sYs  2 y0 2  5Ys  6e2s  9 e3s  3 e3s
s s2

s 2Y s   2s 1 2sYs  4  5Ys  6e2s  3 3s 1 e3s
s2

   s2 3
 2s  5 Y s   5  2s  6e2s  s2 3s 1 e3s        s2  2s  5

3  2s 1 6 e 2 s  3s 1    1
 s 12  22 3  e3s
 Ys   12     
s  22  s2s2  2s 5

P s 

■ Descomponiendo en fracciones parciales Ps

       Ps  s2 1  Cs3  Ds2
3s 1 A B 15 Cs  D As s2  2s  5  5 s2  2s  5
s2  2s  5 s s2 s2  2s  5
    s2 s2  2s  5

 3s  1  AC s3  2A15 D s2  5A52 s  1 ; por comparación
0
1

0 3

Resolviendo: A  13   ;  C   13   ;  D   31 ; P s   13  1  1  1  1  13s  31     2 
25 25 25 25 s 5 s2 25 s2  2s  5

■ Reemplazando (2) y (1); además ordenando de forma adecuada para L1 

Ys  3  2  22   2  s 1 22    2  22   .....
2     3  e2s
12  12    12 
  s   s   s

.....  3 1s3  5 9 s 2  22 13 s 1 22 
25 s2  e3s
 12 s 12  

■ Aplicando la anti transformada:

yt   3 e t sen 2t  2et cos 2t  3e  t sen 2t t  t t 2  3 13  5t  9etsen2t 13et cos 2t  t t t 3
2 25

y t    3 sen 2t  2 cos 2t  e t   3et2sen2 t  2 t2  ....
 2 
t 

....  3 13  5t  3  9et3sen2 t  3  13et 3 cos 2t  3 t3
25

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

5.- Resolver la ecuación integro – diferencial:

t

y  6 et yd  4  e3t      ;     y0  0
0

Resolución.

■ Previamente agrupamos de forma correcta para luego aplicar L1 :

t

y  6 et yd  4  e3t      L 
0

   sYs  y0 0  6 L et L yt   4  s 1 3
s 

sYs  6 1Y  5s 12  s  3s  2 Ys  5s 12

s s  ss 3 s 1 ss  3

 Ys  s 15s 12 A 23  B 23 C 35 D 35    L1  
ss  3s  2s  3  s s3  s2  s3

■ Apliquemos L1  :

y t    2  2 e3t  3 e2t  3 e3t
3 3 5 5

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

I-2013
EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAT-207

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES - FACULTAD DE INGENIERIA

SEGUNDO PARCIAL SABADO 11 DE MAYO DE 2013

PRIMERA PARTE – CADA PREGUNTA 10 PUNTOS

1.- Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula:

( ) = ( − cos 3)
2.- Calcule la transformada inversa de Laplace para:

3 + + 1
( ) = ( − 4 + 4)
SEGUNDA PARTE – CADA PROBLEMA 20 PUNTOS

3.- Resolver la ecuación diferencial:

tan(ln )
+ 5 + 8 =
4.- Resolver la ecuación diferencial:

− 5 + 4 = 4 ( ) = ( ) = 2
5.- Resolver la ecuación integro- diferencial: ( ) = ( ) = 0

= 2 − sen − ( ) ; ( ) = 1

6.- Resolver la ecuación diferencial:

− 4 + 5 = 8( ) + 4( ) ; ( ) = 2
( ) = 0

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

PROBLEMA RESUELTOS
1.- Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula:

( ) = ( − cos 3)

Resolución.

■ Desarrollemos ( ): ( ) = − 2 cos 3 + cos 6 +

- Recuerda: - Para ( ):
→
1
⟶ − 2 →
cos ⟶ +
cos ⟶ ( − ) + ⟶ − 4

−2 cos 3 ⟶ ( − 2) + 3

1
2 cos 6 ⟶ + 6

■ El operador que anula a ( ) será el producto de cada operador, que anula a los mismos
11

( ) = − 2 cos 3 + 2 cos 6 + 2 ⫽ ( − 4)( + 6 )[( − 2) + 3 ]
( − 4)( + 36)( − 4 + 13) ( ) = 0 ⟹ ( ) = ( − 4)( + 36)( − 4 + 13)

2.- Calcule la transformada inversa de Laplace para:

3 + + 1
( ) = ( − 4 + 4)
Resolución.

■ Previamente efectuamos operaciones en la función:
3 + + 1

( ) = ( − 2)
■ Remplacemos el C.V. = − 2 ⟶ = + 2

3( + 2) + + 2 + 1 3 + 13 + 15 3 13 15 3 13 15
= = = + + = ( − 2) + ( − 2) + ( − 2)

■ Apliquemos la transformada inversa, además ( ) = ( )!

3 13 15 3 13 15
( ) = ( − 2) + ( − 2) + ( − 2) ⫽ { } ⟹ ( ) = 3! + 4! + 5!

1 13 1
∴ ( ) = 2 + 24 + 8

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

3.- Resolver la ecuación diferencial:

 tan ln x2

x2 y  5xy  8y  x2
Resolución.

 y  d2y  e2t  d2y  dy 
 :   dx2  dt 2 dt 
■ Se trata de una ecuación diferencial de Euler, x  et  

 y  dy  et dy
 dx dt

x  et  t  ln x   y  d2y     y '  dy
dt 2 dt

 tan ln x2

■ Reemplazando en: x2 y  5xy  8y  x2

e2t  e2t  d2y  dy   5 et  et dy  8 y  e2t tan 2t
 dt 2 dt  dt
 

■ Simplificando y ordenando: y  4 y  8y  e2t tan2t    ,   y  f t   E.D.C.C.
R t 

 ■ Hallando la solución homogénea “ ”: y  4 y  8y  0  D2  4D  8 y  0

Ecuación característica: r2  4r  8  0  r  22  4  r1,2  2  2i
yh  a1e2t cos 2t  a2e2tsen2t   1

■ Hallando la solución particular “ ” por variación de parámetros.

y1 z  y2 z 

t y1t  y2t  R z  dz ; donde:  y1  e2t cos 2t
y1 z  y2 z   y2  e2t sen 2t
yp  

t0

y1 z  y2 z 

■ Sustituyendo:

e2z cos 2z e2 z sen 2 z

t e2t cos 2t e2tsen2t e2z tan 2zdz
e2z cos 2z e2 z sen 2 z
yp  
t0

2cos 2z  sen2z  e2z 2sen2z  cos 2z  e2z

e2ze2t sen2t cos 2z  cos 2tsen2z 

sen2z cos 2z  cos2 2z  sen2z cos 2z  sen2 2z
  t e2z tan 2zdz

y p  t0 2e4z

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

y p  e2t t  sen 2tsen 2z  cos 2t  sen2 2z  dz
2 t0  cos 2z 
 

e2t t t 1  cos2 2 z 
2 sen2t sen2zdz t0 cos 2z dz 
 t0
 yp  cos 2t 

yp  e2t   1 sen 2t cos 2t  1 cos 2t ln sec 2t  tan 2t tan t    1 sen 2t cos 2t 
2  2 2  4  2 
 

yp   1 e 2t cos 2t ln  tan  t       2
4   4 

■ La solución de la ecuación diferencial será: = + ; reemplazando (1) y (2)

yG  a1e2t cos 2t  a2e 2t sen 2t  1 e2t cos 2t ln  tan  t   
4   4 

■ Reemplazando la variable original x  et  t  ln x  entonces.

yG  x 2 a1 cos 2ln x a2sen 2  ln x  1 cos 2 ln x  ln tan  ln x  
 4  4  


4.- Resolver la ecuación diferencial:

yIV  5 y  4 y  4        ;       y2  y2  2  ,   y2  y2  0

Resolución.

■ Llevemos al origen las condiciones iniciales C.V. = − 2 y2 y0

x2t 0

■ Ahora las nuevas condiciones iniciales serán: y0  y0  2  ;  y0  y0  0

yIV  5y  4 y  4    L 

s4Ys  s3 y0 2  s2 y0 2 s y0 0 y0 0  5 s2Ys  sy0  y0   4Ys  4
s


    s4  5s2  4 Ys  s2  4 s2 1 Ys  4 10 10s  2s2  2s3
s

Ys  s 4 10s 10s2  2s3  2s4  A1  B0  C 23  D2  E  13
s s2 s 1 s 1 s2
s  2s 2 s 1s 1

Ys  1  2 1  2  s 1  1  1 2     L1 
s 3  s 1  1 3  s 

yt  1 2 et  2et  1 e2t
3 3

■ Sustituyendo la variable original = − 2, tendremos la solución.

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

    y  1 2 ex2  2e x  2  1 e2 x  2
3 3

5.- Resolver la ecuación integro- diferencial:

t

y  2t 2  sent  yd          ;        y0  1
0

Resolución.

■ Apliquemos la transformada de Laplace a la ecuación:

t  sYs  y0 1  4  1 1  1 Ys
s3 s2  s
y  2t2  sent  yd     L 

0

s   1  Y s  4  1  Y s   s2 4  s
s  s3 s2 1 s2 1 s2 1 2


A 4 B 4 1 s L1 
s2  s2 1  s2 1 s2 1
   Ys  

yt  4t  4sent  sent  cos t     

t

■ En () hallemos la convolución: gt  ft  g ftd
0

sent  cos t  t cos t    d   1 t sen    t     sen    t    d 
2
sent 

0 0

sent  cos t  1 t sent  sen  2  t  d  1 tsent     
2 2


0

■ Reemplazando () en ()

yt  4t  4sent  sent  cos t       yt   4t  4sent  1 tsent
2

6.- Resolver la ecuación diferencial:

y  4 y  5y  8t4  4tut2         ;    y0  2 ,  y0  0 

Resolución.

■ Apliquemos transformada de Laplace en la ecuación, previamente agrupemos.

y  4 y  5 y  8t4  4t  2 ut2  8ut2     L 

s 2Y s   sy0  y0  4 sYs  y0   5Ys  8e4s  4 e 2 s  8 e2s
s2 s

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

s 2Y s   2s  4 sYs  2  5Ys  8e4s  4 e2s  8 e 2 s
s2 s

 s2  2s  8  8e4s 1  2 s e2 s
 4s  5 Ys  4  s
2

2s  2 4 8 1 e 4 s 4  s2 s12 24ss 5 e 2 s     
s  22 1 1
 Ys   s  22 1  s  22 

P s 

■ Descompongamos ( ) en fracciones parciales.

       Ps  s2 1  Cs3  Ds2
1 2s A B 15 Cs  D As s2  4s  5  5 s2  4s  5
s2  4s  5 s s2 s2  4s  5
    s2 s2  4s  5

Igualando: AC s3  4 A15D s2  5A54 s 1  2s 1
0
0 2

 “Resolviendo el sistema” BA242545 ; en ( ):
 A  C
D
■ Por comparación:   4 A  1
5

 A  4  C  11
 25  25

4 25 15  4 s  11 4  1  1 1  3 1  4  s 2 
s s2 25 25 25  s  5  s2   25   
P s     s2  4s  5     2 1  22       
25   s  2  s  1

■ Reemplazando () en ()

Ys  2  s2     1     1  e 4 s  ......
  4  8 
 22  1 22  1 22  1
  s   s   s

....  4  4  1   1  1   3   1   4  s s2  e 2 s
 25  s  5  s2  25   25  
 22  1  22  1 
  s  

■ Apliquemos la transformada inversa de Laplace:

yt  2e2t cos t  4e2tsent  8e2tsentut t t 4  4  4  1 t   3 sent  4 cos t  e2t  ut  t t 2
 25 5  25 25  

yt  2 cos t  4sent  e2tut  8e2t4sen t  4 ut4  .....

....  4  4  1 t  2   3 sen t  2  4 cos t  2 e2t 2  ut 2
 25 5  25 25 
 

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

II-2012

EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAT-207

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES - FACULTAD DE INGENIERIA

SEGUNDO PARCIAL – 04 DE NOVIEMBRE DE 2012

CADA PREGUNTA 25 PUNTOS

1.- Resolver la ecuación diferencial de orden superior:

( + ) + (2 − ) − (2 + ) = ( + 1)

2.- Resolver la ecuación diferencial, discutir la existencia de la solución en el punto ( ) = :

( − 2) + 5( − 2) + 8( − 2) = tan[ln( − 2)]
− 2

3.- En la ecuación integro diferencial siguiente:

+ 2 + ( ) = ( ) ; ( ) = 1

; 0 ≤ ≤ 1
Donde ( ) esta dada por: ( ) = − + 2 ; 1 ≤ ≤ 2

0 ; > 2

Hallar la transformada de Laplace de:

()

− ()


4.- Resolver la ecuación diferencial siguiente:
+ 4 = ( − 1) − ⟦ − 1⟧

Con ( ) = 0 ; ( ) = 1

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Resolver la ecuación diferencial de orden superior:

( + ) + (2 − ) − (2 + ) = ( + 1)

Resolución.

■ Se trata de una ecuación diferencial de coeficientes variables, debemos encontrar la
solución homogénea por tanteo, la suma de los coef. es cero.

( + ) + (2 − ) − (2 + ) = 0 ⟹ = … ()

■ Hallando “ ” usando la formula de Abel, previamente ordenemos la E.D.

2 − 2 + ∫ ( )
+ + − + = + 1 ⟹ = ( ) … ()
()

() ()

■ Calculemos por separado la integral ∫ ( ); esto para simplificar el trabajo

2 − 2 + − ( + ) + 2
( ) = + = = ( + 1) − 1
+

2 −1
( ) = + + 1 − 1 = + + 1 − 1 = ln − ln( + 1) −


( ) = ln + 1 − … ()

■ Reemplazando () y () en ():

= = ( + 1) =
−


1 … ()
= −

■ La solución homogénea será:

= + ⟹ = − … ()

■ Ahora calculemos la solución particular “ ”, por variación de parámetros.

( ) ( ) −
( )
= ( ) ( ) ( ) = − ( + 1)
( ) −
( )
( )

= − + ( + 1) = 1
( + ) −

= [− ( + 1)] − 1 = [− ( + 1)] − 1
3 3

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....