ECU. DIFERENCIALES TOMO II

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

… ()
= −( + 1) − 3 ⟹ = −1 − − 3
Finalmente sustituyamos () y () en: = +


∴ = − − 1 + + 3

2.- Resolver la ecuación diferencial, discutir la existencia de la solución en el punto ( ) = :

( − 2) + 5( − 2) + 8( − 2) = tan[ln( − 2)]
− 2

Resolución.

■ Previamente ordenemos al ecuación, dividiendo entre: ( − 2)

( − 2) + 5( − 2) tan[ln( − 2)] … ()
+ 8 = ( − 2)

■ Se trata de una ecuación diferencial de Legendre.

= en ()
■ Hagamos el siguiente cambio: − 2 = ⟹ −

=

( − 2) + 5( − 2) + 8 = ( − 2) tan[ln( − 2)]

∙ ( − ) + 5 + 8 = tan ⟹ − 4 + 8 = tan … ()

■ La ecuación () es una ecuación diferencial de coeficientes constantes, entonces:

a) Hallemos la solución homogénea “ ”: + 4 + 8 = 0

( + 4 + 8){} = 0 ⟹ + 4 + 8 = 0 ⟹ , = −2 ± 2

= cos 2 + sen 2 … ()

b) Hallemos la solución “ ”; usemos variación de parámetros.

( ) ( ) cos 2 sen 2 ∙ tan
( ) sen 2
= ( ) ( ) ( ) = cos 2
( ) cos 2 sen 2
( ) −2(cos 2 + sen 2)
( ) −2(− cos 2 + sen 2)

(sen 2 cos 2 − cos 2 sen 2) ∙ tan
= −2 (− cos 2 + sen 2 cos 2 − sen 2 cos 2 − sen 2)

(sen 2 cos 2 − cos 2 sen 2) sen
= 2 cos

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⎡ ⎤

= ⎢ (2 cos − 1) 2 sen ⎥ … ()
⎢sen 2 cos sen − cos 2 ⎥
2 ⎢
⎥

⎣ ⎦

* Calculemos por separado: “ ” C.V. = cos → = − sen

1
= (sen 2 − tan ) = ln(cos ) − 2 cos 2 … ( )

● Para : usemos la siguiente identidad 2 sen = 1 − cos 2

= 2 sen = (1 − cos 2) = − 1 sen 2 … ( )
2

● Sustituyendo ( ) y ( ) en ()

1 1
= 2 sen 2 ln(cos ) − 2 cos 2 ⧸ − cos 2 − 2 sen 2 ⧸

sen 2 ln(cos ) − 1 sen 2 cos 2 − cos 2 + 1 sen 2 cos 2
= 2 2 2

1 [sen 2 ln(cos ) − cos 2] … ()
= 2

■ Reemplacemos () y () en: = +

1
= cos 2 + sen 2 + 2 [sen 2 ln(cos ) − cos 2]
■ Volviendo a la variable original − 2 = → = ln( − 2)

= cos 2 1 + sen 2 + 1 ln(cos )
− 2 2

1
∴ = ( − 2) − 2 ln( − 2) cos 2[ln( − 2)]
1
+ + 2 ln{cos ln( − 2)} sen 2[ln( − 2)]

■ Finalmente realizamos el análisis para: ( ) = ⟹ = 0 ⟶ =

► Reemplazamos en “ ” obtenemos una restricción ln( − 2) = ln(0 − 2) =?

► De la solución “ ” ln( − 2) → ∀/ > 2; entonces:

∴ La solución ∄ para () = , ya que “” debe ser mayor q 2 > 2

3.- En la ecuación integro diferencial siguiente:

+ 2 + ( ) = ( ) ; ( ) = 1

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; 0 ≤ ≤ 1
Donde ( ) esta dada por: ( ) = − + 2 ; 1 ≤ ≤ 2

0 ; > 2

Hallar la transformada de Laplace de:

()

− ()


Resolución.
■ Previamente hallemos la función “( )” en función del paso unitario

( ) = ∙ ( ) − ( ) + (2 − ) ( ) − ( ) + 0 ∙ ( )
( ) = ( ) − ( ) + (2 − ) ( ) − ( ) ( ) + ( − 2)( )

( ) = ( ) − 2( − 1)( ) + ( − 2)( ) … (1)
■ Reemplazando (1) en la ecuación diferencial, luego apliquemos { }

+ 2 + ( ) = ( ) − 2( − 1)( ) + ( − 2)( ) ⫽ { }

1 12 1 ; 1
( ) − ( ) + 2( ) + ( ) = − + ( ) = ( )

( + 2 + 1) 12 1
( ) = 1 + − + ⫽ ( + 1)

1 1 1
( ) = ( + 1) + ( + 1) − 2 ( + 1) + ( + 1)

1 1
( ) = + 1 − ( + 1) + + + 1 + ( + 1) − 2 + + 1 + ( + 1)


+ + + 1 + ( + 1)

1 1 1 −1 −1 1 −1 −1
( ) = + 1 − ( + 1) + + + 1 + ( + 1) − 2 + + 1 + ( + 1)
1 −1 −1
+ + + 1 + ( + 1) ⫽ { }

( ) = − + 1 − − − 2(1 − − )( )⧸ + (1 − − )( )⧸

■ Reduciendo y evaluando la traslación.

∴ ( ) = 1 − 2 − 2 1 − ( ) − ( − 1) ( ) ( ) + 1 − ( ) − ( − 2) ( ) ( )
■ Calculemos la equivalencia de ( ) =? ⟹ ( = 1 ⟶ =? )

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( ) = 1 − 2(1) − 2 1 − ( ) − (1 − 1) ( ) ( )
+ 1 − ( ) − (1 − 2) ( ) ( )

( ) = 1 − 2 − 2[1 − 1 − 0] ( ) + [1 − + ]( ); ( ) 1 ≥ 0
0 < 0

( ) = 1 − 2 ⟹ ( ) = 1 − 2 = = ⟹ ( ) =

■ Ahora hallemos la transformación de Laplace de:

ℎ( ) = () = −
( )
− ()


ℎ( ) = ( ) − ( ) ) ; ( )( ) = ( )
( − ) + (
á

■ Apliquemos en la subintegral

⎪⎧ ⎫
− ( ) ⎪
ℎ( ) = ⟹ ( = ( ) … ()
⎨ + ⎬ )
⎪
⎩ ⎪
() ⎭

■ Hallemos ( )

( ) = − ( ) ; . . = + ⟹ = 0 ⟶ =
+ = = − ⟶ =


− − −
( ) = ⟹ ( ) = −

■ Nota.- La integral “A” tiene límites definidos = 1 − 2 entonces:
■ Ya de la integral A es una constante numérica entonces {} =

− ( ) 1
( ) = − ⫽ { } ; = ( )

( ) = − 1 { − }
− = −

1 11 − = 1 [ln( − 1) − ln( + 1)] ∞
( ) = − 1 − + 1 −

1 − 1 ∞ 1 1 − 1 ⧸ − 1
( ) = ln + 1 − = ln − ln + 1 ⧸ −

1 + 1


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1 − 1 1 − 1
( ) = ln + 1 − ⟹ ( ) = ln + 1 − … ()

■ Finalmente reemplacemos () en ():

− 1 ; = 1 − 2
( ) = ( ) → ( ) = ln + 1 − = ""

■ También “( )” se puede hallar mediante series de potencias.

4.- Resolver la ecuación diferencial siguiente:

+ 4 = ( − 1) − ⟦ − 1⟧

Con ( ) = 0 ; ( ) = 1
Solución.

■ Primeramente llevemos al origen las condiciones iniciales:

( ) ( )

↪ = 1 ⟶ − 1 = 0 ⟶ = 0 ↗ ; Con el C.V. = − 1

■ Nuestras condiciones iniciales ahora serán: ( ) = 0 ∧ ( ) = 1
■ Reemplazamos el cambio = − 1 en la ecuación diferencial.

+ 4 = ( − 1) − ⟦ − 1⟧ ; ( ) = 0 , ( ) = 1

■ Apliquemos transformada de Laplace:

( ) − ( ) − ( ) + 4( ) 1 − {⟦⟧}
=

1
( + 4)( ) = 1 + − {⟦⟧} … ()

■ Ahora calculemos {⟦⟧}; previamente recordemos

⎪⎧01 ; 0 ≤ < 1
; 1 ≤ < 2
2 ≤ < 3
⟦⟧ = 2 ; 3 ≤ < 4
⎨⎪3 ;
⎩⋮ ⋮

* En función del paso unitario

⟦⟧ = 0 ∙ ( ) − ( ) + 1 ∙ ( ) − ( ) + 2 ∙ ( ) − ( ) +3
∙ ( ) − ( ) +. … ..

⟦⟧ = ( ) + ( ) + ( ) + ( )+. … … ⫽ { }

{⟦⟧} = + + + +. … …

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{⟦⟧} = [1 + + + +. … … ] = = ( ) … ()

■ Reemplazando () en ():

+ 1 1 ( ) 1 ( )
( ) = ( + 4) − + 4 = + +4− + 4


13 1
+ 4
( ) = 4 + 4 − ( )
+
4

11 3 2 1 2 ( ) ⫽ { }
( ) = 4 + 8 + 2 − 2 + 4


3 1 ; sen 2 sen 2( − − 1) , ∈ ℤ
( ) = 4 + 8 sen 2 ( ) − 2 sen 2 ( ) ⧸

■ Finalmente

13 1
= − 1 ∴ ( ) = 4 ( − 1) + 8 sen 2( − 1) ( ) − 2 sen 2( − − 2) (
)

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I-2012
EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAT-207
UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES - FACULTAD DE INGENIERIA

Segundo Parcial – sábado 19 De mayo De 2012

1.- En la ecuación diferencial: + (tan − 2 cot ) + ( ) = 0, Si se conoce que:
= se pide hallar: a) La solución de la ecuación diferencial:

b) La función ( ). ) ∙ sen ln(2 + 3)
2.- Resolver la ecuación diferencial de orden superior: 2

(2 + 3) + 2(2 + 3) + = (

3.- En la ecuación integro diferencial siguiente:

( ) = 2 + ( ) + 2 ( ) sen 2( − )

Hallar la función ( ), sabiendo que ( ) vienen dada por la expresión:

45 10 + 2
( ) = 9 + 9 cos 3 +
5

4.- Dada la ecuación diferencial, resolver aplicando transformadas de Laplace:

+ 4 = senh + ( ) ; ( ) = 0

sen 2 ; ≤ ≤
( ) = 0 < ∩ ≥
;

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PROBLEMAS RESUELTOS:
1.- En la ecuación diferencial: + (tan − 2 cot ) + ( ) = 0, Si se conoce que:

= se pide hallar: a) La solución de la ecuación diferencial:

b) La función ( ).
Solución.
■ Ya que nos dieron como dato una relación, la otra será la fórmula de Abel.

= ∫ ( )
( ) … () ; + (tan − 2 cot ) + ( ) = 0

()

■ Calculando por separado la integra:

( ) = (tan − 2 cot ) = − ln(cos ) − 2 ln(sen ) = − ln(cos sen )

■ Reemplazando en (), además =

( ) ⟹ sen = cos sen ⫽ ( )′
= ( )

cos sen ⟹ ( ) = sen ⟹ = ± sen
⟹ cos = ( )

■ La otra solución está dado por: = sen ⟹ = sen ⟹ = ± sen

► a) = + ⟹ = sen + sen

► b) Las soluciones “ ”, “ ” deben satisfacer a la ecuación diferencial usemos la solución
más sencilla, esto para calcular ( )
■ Reemplacemos = sen ⟶ = cos ⟶ = − sen en la ecuación dada.

+ (tan − 2 cot ) + ( ) = 0 ⟹ − sen + (tan − 2 cot ) cos + ( ) sen = 0

− sen + sen − 2 cot cos + ( ) sen = 0 ⟹ ( ) = 2 cot

2.- Resolver la ecuación diferencial de orden superior:

(2 + 3) + 2(2 + 3) + = ( ) ∙ sen ln(2 + 3)
2

Solución.

■ Hagamos un cambio de variable = ⟶ = , reemplazando.
=

(2 + 3) + 2(2 + 3) + = (2 + 3) ∙ sen (2 + 3) … ()
2

■ Se trata de una ecuación diferencial de Legendre el cambio será:

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2 + 3 = ⟹ = 2 ⟹ = 2 −

■ Reemplazando en () ; donde también = ln(2 + 3)

∙ 4 ( − ) + 2 ∙ 2
+ = sen 2

1
4 − 4 + 4 + = sen 2 ⟹ + 4 = 4 sen 2 , = ( )

()

■ Se trata de una ecuación diferencial de coeficientes constantes.

► Hallemos la solución homogénea “ ”: + = 0

1 {} = 0 ⟹ 1 1
+4 + 4 = 0 ⟹ , = ± 2

■ La solución homogénea será: = cos + sen … (1)

■ Ahora calculemos la solución particular; por variación de parámetros.

cos sen
2 2
( ) ( )
( ) cos 2 sen 2
( ) ( )
= ( ) ( ) ⟹ = cos sen 4 sen 2
′ ( ) 2 2
′ ( ) 1 1
2 2 2 2
− sen − cos


= 2 sen 2 cos 2 − cos 2 sen 2 4 sen 2

1 1
= 4 sen 2 2 sen 2 cos 2 − 2 cos 2 sen 2

1 1 (1 − cos )
= 4 sen 2 sen − 4 cos 2

⎧ ⎫
1 ⎪ ⎪
= sen
4 ⎨ 2 sen + cos 2 cos − cos 2 ⎬
⎪ ⎪
⎩ ⎭

1 sen ∙ (sen − cos ) + cos ∙ (sen + cos )
=4 2 2 2 2

1
= 4 ∙ 2 sen sen 2 − cos sen 2 + sen cos 2 + cos cos 2

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1 1 … (2)
= 8 cos − 2 + sen − 2 = 8 cos 2 + sen 2
■ Reemplacemos (1) y (2) en = + , también =

1
= cos 2 + sen 2 + 8 cos 2 + sen 2

1 … ()
∴ = cos 2 + sen 2 + 8 cos 2 + sen 2

Finalmente para calcular “” debemos integral (4 veces), luego volver a la variable original.

2 + 3 = ⟶ = ln(2 + 3).
OBERSERVACION

La integral se lo deja como practica al lector, ya que el procedimiento es repetitivo además
en () se acaba el procedimiento para la E.D., lo que sigue es calculo integral.

3.- En la ecuación integro diferencial siguiente:

( ) = 2 + ( ) + 2 ( ) sen 2( − )

Hallar la función ( ), sabiendo que ( ) vienen dada por la expresión:

45 10 + 2
( ) = 9 + 9 cos 3 +
5

Solución.

■ En la ecuación diferencial apliquemos la transformada de Laplace.

( ) = 2 + ( ) + 2 ( ) sen 2( − ) ⫽ { }

3! 12 2
( ) = 2 ∙ + ( ) + 2{sen 2} ∙ ( ) = + ( ) + 2 ∙ + 2 ( )

12 4 12
( ) = − + 1 − + 4 ( ) ⟹ ( ) = + 4 ( ) − … (1)

■ Ahora apliquemos la transformada de Laplace, en la función “( )”

45 10 + 2 4 5 2
( ) = 9 + 9 cos 3 + 5 = 9 + 9 cos 3 + 2 + 5 ⫽ { }

41 5 + 2 ∙ 3! + 2 ∙ 5! = 4 + 12 + 48 + 5 … (2)
( ) = 9 ∙ + 9 ∙ +3 5 9 9

+ 9

■ Reemplacemos (2) en (1)

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4 + 12 + 48 + 5 12 … ()
( ) = + 4 9 9 −

+ 9

Agrupemos de forma conveniente, para simplificar lo máximo.

1 4 5 12 4 12 1 9( + 4) 12 12
( ) = + 4 9 + + 9 + 1 + − = + 4 9 ∙ ( + 9) + ( + 4) −

1 12 12 12 12 ⫽ { }
( ) = ( + 9) + − = + 9 + − = + 3

■ Finalmente aplicando la transformada inversa de Laplace, tendremos:

∴ ( ) = cos 3

4.- Dada la ecuación diferencial, resolver aplicando transformadas de Laplace:

+ 4 = senh + ( ) ; ( ) = 0

sen 2 ; ≤ ≤
( ) = 0 < ∩ ≥
;

Solución.

■ Previamente hallemos ( ) en función del paso unitario.

( ) = sen 2 − + 0 ∙ −

( ) = sen 2 − sen 2 ; sen( + ) = − sen "n impar"

5 5
( ) = sen 2 − 2 + 2 − sen 2 − 2 + 2

5 … (1)
( ) = − sen 2 − 2 + sen 2 − 2

■ Reemplazando la ecuación (1) en la ecuación diferencial.

5 ⫽ { }
+ 4 = senh + sen 2 − 2 − sen 2 − 2

12 2
( ) − ( ) + 4( ) = − 1 + + 2 − + 2

Despejando ( ):

12 2 … ()
( ) = ( + 4)( − 1) − ( + 2)( + 4) + ( + 2)( + 4)

() () ()

■ Descomponiendo por separado en fracciones parciales “( )y( )”.

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1 = + + = 1 + − 1 + 1 … ()
( ) = ( + 4)( + + − 15 6 10
+ 4 − 1
− 1) 4 1 1 + 1

2 + 4) ∙ − 2 = 2( − 2) ( 1 + 4) = 2( − 2)
( ) = ( + 2)( − 2 − 4)( − 4 + +4
1 1
= 2( − 2) 8 + − 8
−
4 +4

1 − 2 − 2 1 1 2
( ) = 4 − 4 − + 4 = 4 + 2 + + 2 − + 2 … ()

■ Reemplazando () y () en ()

( = 1 + − 1 + 1 − 1 1 2 −
15 6 10 4 + 2 + +2 +2
) + 4 − 1
+ 1
11 2
+ 4 + 2 + + 2 − + 2 ⫽ { }

1 1 11
( ) = 15 − 6 + 10 − 4 [ + sen 2 − cos 2]( )⧸
1
+ 4 [ + sen 2 − cos 2]( )⧸

1 1 11
( ) = 15 − 6 + 10 − 4 + sen 2 − 2 − cos 2 − 2
5 5
1 + sen 2 − 2 − cos 2 − 2
+ 4

1 11 1 1 − sen 2 + cos 2
( ) = 15 − 6 + 10 ( ) − 4 − sen 2 + cos 2 + 4

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II-2011
ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207
Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería

Segundo Parcial – 29 de abril de 2011

CADA PROBLEMA 25 PUNTOS

1.- Si ( ), ( ). Son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
(1 − ln ) + (1 + ln ) − ( + 1) = 0

Determinar: ( ), ( )
2.- Resolver:

3′ 18 ( ) ∙ tan [ln(3 + 1)]
− (3 + 1) + (3 + 1) =

3.- Si ’’ + 4 = (| − 9| − 7) + 3( − 6), con las condiciones ( ) = 0 ; ′( ) = −2
Determinar ( ).
4.- Resolver la ecuación diferencial:

− 3 + 3 − = 3( − 3)

Si ( ) = 1 ; ′( ) = 0 ; ′′( ) = −2

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PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Si ( ), ( ). Son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea

(1 − ln ) + (1 + ln ) − ( + 1) = 0

Determinar: ( ), ( )

Solución.

■ La suma de los coeficientes de la ecuación es igual a cero por tanto, una solución de la
ecuación será:

(1 − ln ) + (1 + ln ) − ( + 1) = 0 ⟹ ( ) =

■ Hallemos , ( ), usemos la fórmula de Abel. Previamente ordenemos.
(1 − ln ) + (1 + ln ) − ( + 1) = 0 ⫽÷ (1 − ln )

1 + ln + 1
+ (1 − ln ) − (1 − ln ) = 0

() ()

► Por Abel:

= ∫ ( ) ∫ ( )
( ) =
… ()

■ Calculemos por separado la expresión: “ ∫ ( ) ”

∫ ( ) = ∫ ( )

Cambio de variable:

= ln ⟶ =
1

= =

∫ ( ) = ∫
■ En la integral sumemos y restemos “Agrupando”.

∫ ( ) = ∫ ( ) = ∫

∫ ( ) = [ ( ) ] =

∫ ( ) 1 − ln = ( − ln ) … ()
■ Reemplacemos () en (): =

= 1 − ln =
− ln



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= … ()
− ln = −

■ Integrando , por partes:

= ln ⟶ = ln ⟹ =
= ⟹ = −

= − ln − − ln + − … ()
= −

■ Reemplazando () en ()

= −
− − ln + = ∙ ln

( ) = ln

■ El Wronskiano estará dado por:


= ′ ′ = ′ − ′

■ Para nuestro caso = ; = ln . Reemplazando.

= ln ln ∴ = ( − ln )
= −

OBSERVACION

El Wronskiano de una ecuación homogénea también está dado por = ∫ ( ) , una
forma de verificar seria reemplazar () en ; = .

2.- Resolver:

′ ( ) ∙ [( + )]
− ( + ) + ( + ) =

Solución.

■ Efectuando operaciones en la ecuación diferencial.

(3 + 1) − 3(3 + 1) + 18 = (3 + 1) tan [(3 + 1)] … ()
■ Se trata de una ecuación Lineal de Legendre, a continuación un ejemplo

Sea ( + ) ( ) + ( + ) ( )+. … … . + = ( ) , E. D. L. L.
∧ …….

. . : + = ⟹ = ∧ = −

■ Usemos la propiedad mencionada, para nuestro caso tendremos.

C.V. 3 + 1 = → = ln(3 + 1)

Reemplazar = 3

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= 3 −

La ecuación debe reducirse a una E.D.C.C.

■ Reemplazando los cambios en ()

(3 + 1) − 3(3 + 1) + 18 = (3 + 1) tan [(3 + 1)]

9 ( − ′) − 9 + 18 = tan

1 E. D. C. C.
9 − 18 + 18 = tan ⟹ − 2 + 2 = 9 tan
■ Hallando la solución homogénea “ ”:

− 2 + 2 = 0 ⟹ ( − 2 + 2){} = 0 ⟹ − 2 + 2 = 0 ⟹ , = 1 ±

= cos + sen … (1)

■ Hallando la solución particular “ ”, por variación de parámetros.

( ) ( ) cos sen
( )
= ( ) ( ) ( ) = cos sen 1
( ) cos sen 9 tan
′ ( ) (cos − sen )
′ ( ) (sen + cos )
1
= 9 (sen cos − cos sen ) tan ; tan = sec − 1

cos (sec − 1) − cos sen (sec − 1)
= 9 sen

sen
= 9 sen (sec − cos ) − cos cos − sen

sen [ln(sec + tan ) − sen ] − cos [sec + cos ]
=9

sen [ln(sec + tan ) − sen − cos − 1]
=9 ; sec + tan = tan 2 + 4

■ Sustituyendo la identidad

−2 … (2)
= 9 sen ln tan 2 + 4

■ Reemplazando (1) y (2) en = + ; ademas 3 + 1 =
= ln(3 + 1)


= cos + sen + 9 sen ln tan 2 + 4 − 2

= (3 + 1) cos[ln(3 + 1)] + sen[ln(3 + 1)] + 1 sen[ln(3 + 1)] ln tan 1 [ln(3 + 1)] + 2
9 2 4 −9

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3.- Si ’’ + 4 = (| − 9| − 7) + 3( − 6), con las condiciones ( ) = 0 ; ′( ) = −2
Determinar ( ).
Solución.

■ Previamente recordemos la definición de Función Escalón Unitario.

( ) = 1; ≥ 0 ⟹ = 1; | − 9| − 7 ≥ 0 ()
0; < 0 0; | − 9| − 7 < 0 ()

■ Hallemos el intervalo para “”, para ello desarrollemos ()

− 9 ≥ 7 ∨ − 9 ≤ −7

| − 9| − 7 ≥ 0 ⟹ | − 9| ≥ 7 ⟹ ≥ 16 ∨ ≤ 2

( ≥ 4 ∨ ≤ −4) ∨ −√2 ≤ ≤ √2

Grafiquemos:

■ De la figura I obtenemos: 0 ≤ ≤ √2 ∨ ≥ 4; entonces:

= 1; | − 9| − 7 ≥ 0 ⟹ 1 ; 0 ≤ ≤ √2
■ Hallemos 0; | − 9| − 7 < 0 = 1 ; ≥ 4

0 ; | − 9| − 7 < 0

: “Método de Ing. Cruz”

= (1) ∙ ( ) − √ + (1) ∙ ( )

= ( ) − √ + ( ) … ()
■ Reemplacemos () en la ecuación diferencial, luego apliquemos { }

’’ + 4 = ( ) − √ + ( ) + 3( ) { }

( ) − ( ) − ′( 11 √ 1 + 3
) + 4( ) = − +

( 11 √ 1 + 3
+ 4)( ) = 2 + − +

21 1 √ 1 3 … ()
( ) = + 4 + ( + 4) − ( + 4) + ( + 4) + + 4

() () ()

■ Descomponiendo en fracciones parciales ( ):

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1 1 11 1 1
( ) = ( + 4) = ( + 4) = + + 4 = = 4 + + 4
4 + 4 … (ℇ)
+4

■ Reemplazando (ℇ) en ()

2 1 1 1 1 √ 1 1
( ) = + 4 + 4 + + 2 − 4 + + 2 + 4 + + 2
3
+ + 2 { }

11 13
( ) = sen 2 + 4 (1 − cos 2) − 4 (1 − cos 2) ( ) + 4 (1 − cos 2)( ) + 2 sen 2 ( )

1 )
( ) = 4 4 sen 2 − cos 2 − 1 − 1 − cos 2 − √2 √ + [1 − cos 2( − 4)]( ) + 6 sen 2( − 6) (

4.- Resolver la ecuación diferencial:

− 3 + 3 − = 3( − 3)
Si ( ) = 1 ; ′( ) = 0 ; ′′( ) = −2
Solución.

■ Llevemos al origen las condiciones iníciales C.V. = − 3

■ Reemplazamos el cambio en la ecuación, además: ( ) = 1 ; ′( ) = 0 ; ′′( ) = −2

′′′ − 3 + 3 − = 3( − 3) ⟹ ′′′ − 3 + 3 − = 3 { }

2!
( ) + ( ) + ′( ) + ′′( ) − 3 ( ) + ( ) + ′( ) + 3 ( ) + ( ) − ( ) = 3 ( − 1)

( − 3 + 3 − 1)( ) = ( 6 + 6 + ( − 1) −
− 1) − 3 + 1 = ( − 1)

( − 1) ( ) = 6 + ( − 1) − ( − 1) − 1 ⟹ ( )
( − 1)
611 1
= ( − 1) + ( − 1) − ( − 1) − ( − 1) { }

■ Aplicando la transformada inversa; además ( ) = ( )!

6 1 11 ; 0! = 1
( ) = 5! + 0! − 1! − 2!

11
( ) = 20 + − − 2

11 11
( ) = 20 − 2 − + 1 = 1 − − 2 + 20

■ Volviendo a la variable original = − 3

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∴ 11 ( )
( ) = 4 − − 2 ( − 3) + 20 ( − 3)

Nota.- Analizar otra forma de solución.

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I-2011
ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207
Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería

Segundo Parcial – 01 de mayo de 2011

CADA PROBLEMA 25 PUNTOS

1.- Resolver la ecuación diferencial:

2x  12 y  42x 1 y  16x2 16x  4
4x2  4x  2

2.- Si:

x

yx  x    x y d
0

Es una solución particular de la E.D. senx  cos x y  2senx y  senx  cos x y  0.

Determinar la solución completa.

3.- Resolver:

y  ty  y  1     ;     y0  1  ;  y2  2

4.- Resolver la E.D.: y  4y  ft con la condición y0  0 si se verifica que ft3  ft (La
curva es la unión de dos parábolas de segundo orden)

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PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Resolver la ecuación diferencial:

(2 + 1) − 4(2 + 1) 16 + 16 + 4
= 4 + 4 + 2

Solución.

⎧ . . 2 + 1 =
■ Se trata de una ecuación de Legendre: = 2
⎩⎨ = 2
−

■ Reemplazando en la ecuación:

16 + 16 + 4 4
(2 + 1) − 4(2 + 1) = 4 + 4 + 2 ⟹ 4 ( − ′) − 4 ∙ 2 = + 1

4 − 12 4 ; = ( ) … () E. D. C. C.
= + 1 ⟹ − 3 = + 1

()

■ Hallando la solución homogénea “ ”:

− 3 = 0 ⟹ ( − 3){} = 0 ⟹ − 3 = 0 ⟹ = 0
= 3

= + … (1)

■ Hallando la solución particular “ ”; = 1 , =

( ) ( ) 1
( )
= ( ) ( ) ( ) = 1
( ) 1 ∙ + 1
′ ( )
′ ( ) 0 3

⎡ ⎤

− 1 ⎢ 1 ⎥
= 3 ∙ = ⎢ ( + 1) − ⎥
+ 1 3 ⎢ + 1 ⎥

⎣ ⎦

■ Calculemos por separado y

= 1 + 1) ; Hagamos C. V. =
( + 1) = ( =

1 −1 = − 1 − arctg()
= ( + 1) = + + 1 = + + 1

= − − arctg( )

= = 1 ln|1 + | = ln 1 + ; . . . = 1 +
2
+ 1

■ Reemplazando en “ ”:

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= 1 [ − ] = 1 [− − arctg( )] − ln 1 +
3 3

1 [− − arctg( )] − ln 1 +
= 3

1 + arctg( ) + ln 1 + … (2)
= − 3

■ Reemplazando (1) y (2) en = +

= + 1 + arctg( ) + ln 1 +
− 3

■ Volviendo a la variable original: = 2 + 1

= + (2 + 1) 1 (2 + 1) + (2 + 1) arctg(2 + 1) + ln 1 + (2 + 1)
−3

OBSERVACION:

Analizar la resolución de la ecuación () con el cambio = ⟶ = entonces():


− 3 = + 1 ; E. D. Lineal

2.- Si:

( ) = + ( − )( )

Es una solución particular de la E.D. (sen − cos ) − (2 sen ) + (sen − cos ) = 0.
Determinar la solución completa.

Solución.

■ Hallemos la solución particular, usando la función dada:

1
( ) = − ( − )( ) ⫽ { } ⟹ ( ) = + {} ( )

11 1
( ) = − ( ) ⟹ ( ) = + 1 ⫽ { } ⟹ ( ) = sen … (1)

■ Hallemos “ ” usando la fórmula de Abel, previamente ordenemos la ecuación.

(sen − cos ) − 2 sen + (sen + cos ) = 0 ⫽÷ (sen − cos )

−2 sen sen + cos
+ sen − cos + sen − cos = 0

() ( )

►Por Abel:

= ∫ ( ) Calculemos = ( )
( ) … (2) ;

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−2 sen 2 sen sen − cos + sen + cos
= sen − cos = − sen − cos = −
sen − cos

cos + sen − (sen − cos ) = − − ln(sen − cos ) … (3)
= − − sen − cos = − sen − cos
■ Reemplacemos (1) y (3) en (2)

= [ ( )] [ ( )]
= sen
( ) sen

= sen (sen − cos )
= sen sen = sen ∙ sen =
(sen )

( ) = … (4)

■ Sustituyendo (1) y (4) en: = + ⟹ = sen +

OBSERVACIÓN.- De la condición del problema se calculo = sen , otra forma de hallar
“ ” es tanteando, la suma de los coeficientes de la ecuación es igual a cero:

(sen − cos ) − 2 sen + sen + cos = 0 ⟹ = .

3.- Resolver:

− + = 1 ; ( ) = 1 ; ′( ) = 2

Solución.

■ Para aplicar transformada de Laplace, consideremos ( ) = 1 ∧ ( ) =

1
− + = 1 ⫽ { } ⟹ ( ) − ( ) − ( ) − (−1) ( ) − ( ) + ( ) =

1 2 1
( ) − − + ( ) + ( ) + ( ) = ⟹ ( ) + + ( ) = + + 1 … ()
■ La ecuación () es una del tipo Lineal, calculemos el factor integrante.

∫ ( ) = ∫ =

■ Reemplazando en:

( ) = ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) +

( ) = 1 ; = 0
+ + 1 +

( ) = + +

+ + … ()
( ) =

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■ Calculemos “ ”: = ⟶ = ⟹ = − … ()
= ; = ⟶ =

■ Sustituyendo () en ():

+
( ) = + + − =

1 1
( ) = ( + ) = + ⫽ { } ⟹ ( ) = + 1
■ Evaluando, recordemos que aún no usamos la siguiente condición ′( ) = 2

= + 1 ⟹ = ⟹ = 2 ⟹ ( ) = 2 + 1

4.- Resolver la E.D.: − 4 = ( ), con la condición ( ) = 0 si se verifica que ( ) = ( ) (La
curva es la unión de dos parábolas de segundo orden)

Solución.

■ De la figura –, obtenemos ( ):

( ) = ; 0 ≤ < 1
2 − ( − 2) ; 1 ≤ < 3

■ En la ecuación diferencial apliquemos { }

− 3 = ( ) ⫽ { }

( ) − ( ) − 3( ) = ( ) ⟹ ( ) = ( ) … (1)
− 3

■ Ya que la función ( ) = ( ) es periódica con periodo = 3, usemos:

1 1 ( )
( ) = 1 − ( ) ⟹ ( ) = 1 −

1 + (− + 4 − 2)
( ) = 1 −

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■ Integrando y evaluando

1 12 2 24 4 1
( ) = 1 − − + + − + + ; 1 − =

12 2 24 4
( ) = − + + − + +

( ) = 12 2 ( )− 24 4 ( ) … (2)
− + + + +

■ Reemplacemos (2) en (1)

1 − + 2 + 2 ( ) −2 + 2 + 2 ( )
( ) = − 3 ( ) = ( − 3) ( − 3)

( ) = ( ) −2 ( ) ⫽ { }
+ + + − 3 + + + − 3

∴ ( ) =
+ + 2! + ( )⧸

− 2 ( + + + ) ( ) ( )⧸

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II - 2010
ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207
Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería
Segundo Parcial – 31 de octubre de 2010

PRIMERA PARTE - CADA PROBLEMA 10 PUNTOS
1.- Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula a:

f  x  3x  cos2 x 2

2.- Calcule la transformada inversa de Laplace para:

s2 9s  9
s2  6s  9 2
 Fs 

SEGUNDA PARTE - CADA PROBLEMA 20 PUNTOS
3.- Resolver la ecuación diferencial:

2 y  4 y  4 y  ex sec x
4.- Resolver la ecuación diferencial:

4 y  4 y  y  3  2te t 2

5.- Deducir la expresión completa de ( ) en la ecuación integral:

t

ft  t  32  sen2t  3 sen 3  3t  fd
0

6.- Resolver la ecuación diferencial:
y  y  senht  ft                                   y0  2   ;   y '0  1

ft  cos 2t ; 0t 2
 ; t0  t 2
 0

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PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula a:

f  x  3x  cos2 x 2

Solución.

■ Previamente desarrollemos ( ), de tal manera que se pueda identificar los operadores.

 f  x  9x2  6x cos2 x  2 1 cos 2x
cos2 x     ;    cos2 x  2

f x  9x2  3x 1 cos 2x  1 1  cos 2x2    ;   1  cos 2x2  3  2 cos 2x  1 cos 4x
4 2 2

fx  9x2 3x83  3x 12cos 2x  1 cos 4x
8 D2 42

 D3 D2 22 2

■ Los operadores que anulan a cada término se multiplican respectivamente.

3  1  1 LD  D3 D2 16 D2  4 2
  fx 9x2 3x 8  2  8 cos
    3x  cos 2x  4x      

      D3 D2 16 D2  4 2 f  x  0  LD  D3 D2 16 D2  4 2

2.- Calcule la transformada inversa de Laplace para:

s2  9s  9
s2  6s  9 2
 Fs 

Solución.

■ Realicemos operaciones en la función:

s2  9s  9 s2  9s  9
s2  6s  9 2
 Fs   s  34

■ Hagamos un C.V. u  s  3  s  u  3

F s   u  32  9u  3  9  1 15  45
u2  u3 u4
u4

■ Volviendo a la variable original:

Fs  s 1  15  s 45       L1    ft  te3t  15 t e2 3t  45 t e3 3t
2! 3!
 32  s  33  34

ft  1  15 t  15 t2  te3t
2 2 

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3.- Resolver la ecuación diferencial:

2 y  4 y  4 y  ex sec x

Solución.

■ Se trata de una ecuación diferencial de coeficientes constantes, ordenemos.

2 y  4 y  4y  ex sec x  y  2 y  2y  1 ex sec x
2
R x 

■ Hallando la solución homogénea “ yh ”:

 y  2 y  2 y  0  D2  2D  2 y  0  r2  2r  2  0  r1,2  1 i

yh  a1 ex cosx  a2 exsenx ....1
y1 y2

■ Ahora hallemos la solución particular “ yp ”; por variación de parámetros.

y1 z y2z ez cos z e z senz

x y1 x y2 x  x ex cos x e x senx 1 ez sec zdz
x0 y1 z  x0 ez cos z ez senz 2
y2 z 
yp  Rzdz 

y1 z  y2z ez cos z  senz  ez  senz  cos z

1 x ezex senx cos z  cos xsenz  ez sec z 1 ex senx x dz  x 
2 2 x0 
x0 ezez cos zsenz  cos2 z  cos zsenz  sen2z x0
    yp dz  tgzdz

yp  1 ex senx z zx  cos x ln cos z zx   1 ex  xsenx  cos x ln cos x  ... 2
2 2

■ Reemplazando (1) y (2) en yG  yh  yp :

yG  a1ex cos x  a2e x senx  1 ex  xsenx  cos x ln cos x
2

4.- Resolver la ecuación diferencial:

4 y  4 y  y  3  2te t 2

Solución.

■ Al igual que el anterior ejercicio se trata de una E.D.C.C., ordenando

y  y  1 y  3  1 te t2 ; y  f t
4 4 2

■ Hallando la solución homogénea “ yh ”

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y  y  1 y  0   D 2  D  1   y  0  r2  r  1  0  r1,2  1
4  4 4 2

yh  a1e t 2  a2te t 2 ....1

■ Ahora hallemos la solución particular, usando el método operador anulador

y  y  1 y  3  1 te t 2   D2  D  1   y  3  1 te t ⧸⧸ D  D  1 2
4 4 2  4  4 2 2  2 

D  D 1 2
 2 


 D  D  1 2  D  1 2  y  0  r  r  1 4  0  r1,2,3,4  1  r5  0
 2   2   2  2

yG  a1et2  a2tet 2  At2e t 2Bt3et 2 C ....2
yh y p

Nota.- La solución “ yp ” no debe incluir constantes:
■ Si “ yp ” es una solución de la ecuación debe cumplirse satisfacer a la misma.

 * yp  At 2e t 2  Bt3e t 2  C  At 2  Bt3 e t 2  C

   * yp  t 1 et2 2 At  A  B  t
2At  3Bt2 e 2  2 At 2  Bt3    3B  2  t 2  2 t 3  e 2

yp  2A  2  3B  A  t  3B t2  At  1  38  A  t 2  B t 3  e t 2
 2  2 2  2  4 

* yp  2A  6B  At  1  6B  A  t 2  B t 3  e t 2
2  2  4 


■ Reemplazando en la ecuación diferencial: y  y  1 y  3  1 t
4 4 2
te 2

2A   A 6Bt  1  A  6B  t 2  B t3  2 At   A  3B  t 2  B t3  At2  B t 3  e t  C  1 te t  3
2  2  4  2  2 4 4  2 4 2 4

2


 
3A  A 6Bt  1 At 2  t  C  1 t  3
 0 2  2 4
 e2 4 te2

 1 0   3
2 4

■ De aquí: A0 ; B  1 ; C 3 Reemplacemos en (2)
12

 yG  t t  1 t 3e t 3
12 2
a1e 2  a2te2

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OBSERVACIÓN 1.- La ecuación se la debe ordenar de la forma general
y  ^ Px y  Qx y  Rx

si no se lo hace el resultado no será el correcto.
OBSERVACIÓN 2.- En la ecuación “ yp ” también puede obtenerse mediante variación de

parámetros, “más corto”
OBSERBACIÓN 3.- La ecuación puede ser resuelta de forma completa usando como

concepto a la transformada de Laplace, suponiendo y0  a1  y0  a2

5.- Deducir la expresión completa de ft en la ecuación integral:

t

ft  t  32  sen2t  3 sen 3  3t  fd
0

Solución.

■ Llevemos a su forma general, para ello efectuaremos operaciones

t2  6t 9 1 1 cos 2t t sen 3  3t  fd
ft   2  2
3

0

■ Ahora apliquemos la transformada de Laplace.

ft  t2  6t  19  1 cos 2t  t sen 3  3t  fd ⧸⧸ L 
2 2
3

0

 Fs 2! 1 19 1 s
 s3 6 s2  2  2  s2  22  3Lsen3t L ft
s

F s   2  6  19 2  1  s2 s 22 3 s2 3 32 F s 
s3 s2 s 2  

1  9  F  2  6  19 2  1  s   s2  F s   2  6  19 2  1  s
s2  9  s3 s2 s 2    s3 s2 s 2 
s  s2 4  s2  9  s2 4

 19 2 9 5
       2s2  9 6 s2  9 s2 9 1 s s2  9  s2  9 B  4
 Fs  s5  s4 s3 2 s2 s2  4 A4
  ; s2 s2  4  s2  s2  4

67 8 6 175 54 171 1  9 5 
s s2 2 s4 2 2 s 4 4  ⧸⧸ L1  
F s     s3   s3  s2  
 s2  4

■ Aplicando la transformada inversa de la Laplace.

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ft  67  6t  175  1 t2  54 t3  18 t 4  5 cos 2t
8 2 2! 3! 4! 8

 ft  67  6t  175 t2  9t 3  3 t4  5 cos 2t
8 4 4 8

6.- Resolver la ecuación diferencial:
y  y  senht  ft                                   y0  2   ;   y '0  1

ft cos 2t ; 0t  2
 ; t0  t 2
  0

Solución.

■ Previamente hallemos ft en función al paso unitario.

ft  cos 2t  t     cos 2tt  cos 2  t      
    2 2  
 0 t     t   
2  2 

ft  cos 2tt  cos 2  t     t  
 2   2 


■ Reemplazando en la ecuación diferencial, luego aplicamos L 

y  y  senht  cos 2t t   cos 2  t     t  2  ⧸⧸ L 
 2   

s2Ys  s y0 2 y0 1  Ys  1 s s e2 s
s2 1  s2  22  s2  22

 s2 1 Y s  1 2s  1 s  s e  s
s2 1    2
s2 s2
4 4

1 s  s2 11 s2 1 ss211s2 4 ss211s2 4 e  s ... 
s2 1  s2 1 2
        Ys2   

Ps Qs Q s 

■ Descompongamos en fracciones parciales Ps y Qs respectivamente:

1 A  12 B 12 Ps 1 1 1 ... 
s2 1 s2 1 s2 s2 2  2 s2 1
  Ps   1  1   s 1 

     C 13  13 
Q s   s  1   s  s2 1  D   1  s  s2 s  ... 
 s2 1 s2  4   s2 4  3  s2 1  4 

■ Reemplazando   y   en  

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Y s   1 2 s 1  1 1   1  s  s   1  s  s  e2 s
s2 1 s2 1  2  s2 1 2  3    4  3   s2  
s 1 s 2 1 s2 s 2 1 4

■ Aplicando la transformada inversa de Laplace:

yt   sent  2 cos t  1 senht  1 sent  1 cos t  1 cos 2t  1 cos t  cos 2t  t tt 2
2 2 3 3 3

yt   1 sent  7 cos t  1 cos 2t  1 senht  1 cos  t     cos 2  t     t  
2 3 3 2 3  2   2   2 


 yt   1  sent  senht   1 7 cos t  cos 2t  t   1  sent  cos 2t   t  
 2 3 3 2 


OBSERVACIÓN.- Al descomponer en fracciones parciales Ps y Qs hagamos una
observación en Qs para su descomposición:

s As  B Cs  D
s2 1 s2  4 s2 1 s2  4
  a)
Qs   

  b) Qs  s  s2 11 s2 4 ; para Rs cambio de variable w  s2 :
R s 

Q s   1 4  A 13  B  13  1 s 1 1  1 4 
w1 w4 3  2 s2  
w 1w 

Reemplazando Rs en Qs :

Q s   s 1 1 4   1 s  s2 s 4 
3  s2 1  s2   3  s2 1  

NOTA 1.- La forma general para la descomposición de “ Qs ” se encuentra descrita por el
inciso a), ya que su desarrollo es larga se recurre al procedimiento del inciso b).

NOTA 2.- El procedimiento b) solo es un artificio como cualquier otro, no es una regla pero
simplifica el trabajo.

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I - 2010
ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207
Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería

Segundo Parcial – 09 de mayo de 2010
CADA PREGUNTA 25 PUNTOS

1. Resolver la ecuación diferencial:

y  4 y  2  2x 12x2
y0  y0  y0  0

2. Resolver la ecuación diferencial:

x2 y  xy  2 y  2x cot ln x

3. Resolver la ecuación integro – diferencial:

t ; y0  1

y  6 et yd  1 e3t
0

4. Resolver la ecuación diferencial:

y  4 y  fx y0  2 ; y0  1

sen2t ;   t  5
 2 2
ft 
 5
0 ; t  2  t  2


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PROBLEMAS RESUELTOS
1. Resolver la ecuación diferencial:

y  4 y  2  2x 12x2
y0  y0  y0  0

Solución:

■ La forma más inmediata de resolver, es aplicando transformada de Laplace “ L ”

y  4 y  2  2x 12x2  L  22 24
 s3  4s Y s   s  s2  s3

2s2  2s  24 2s  4s  3 A B C D6 E 516 F 316
s4 s2  4 s4 s  2s  2 s s2  s3 s4 s2 s2
  Ys      

■ Hallemos los valores de A,B y C, por comparación:

       2s2 s2  4  Bs2 5 3 4
   s4 16 16
 2s  24 As3 s2  4  Cs s2  4  6 s2  4  s 4  s  2   s  s  2 
s2  4 s4 s2  4


 A156  136 s5  B1106  166 s4  4A C s3  4B 6 s2  4C s  24  2s2  2s  24
0 2 2
24

0 0

■ De aquí: A  1 ; B 1 ; C  1 entonces obtendremos:
8 2

y s   18  1  12  6   516  316 L1 
s s2 s3 s4 s 2 s2

 yt   1  x  1 x2  x3  5 e2x  3 e2 x
8 4 16 16

2. Resolver la ecuación diferencial:

x2 y  xy  2 y  2x cot ln x

Solución

 y  d2y  e2t  d2 y  dy 
 dx2  dt dt 
■ Se trata de una ecuación diferencial de Euler: x  et :  2 

 dy dy
 dx dt
 y   et

■ Reemplazando en: x2 y  xy  2 y  2x cot ln x ; x  et  t  ln x

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e2t  e2t  d2y  dy   et et dy  2 y  2et cot t  ; y  ft
 dt 2 dt  dt
 

■ Simplificar y ordenando: y  2y  2y  2et cott   E.D.C.C.
Rt 

■ Hallando la solución homogénea “ yh ”:

 y  2 y  2 y  0  D2  2D  2  y  0  r2  2r  2  0  r1,2  1 i

yh  a1 et cos t  a2 et sent ....1
y1 y2

■ Ahora calculemos la solución particular “ yp ”, por variación de parámetros.

y1 z  y2z ez cos z e z senz

y1t  y2t  et cos t
y1 z  ez cos z
y2 z 
t t et sent 2ez cot  z  dz
ez senz
yp  Rzdz 

t0 t0

y1 z  y2z ez cos z  senz  ez  senz  cos z 

ez et sent cos z  cos tsenz   2 ez cot z

ez senz cos z  cos2 z  senz cos z  sen2 z
t ez dz

yp 

 t0

 2et sent t csc z  senz dz  cos t t zdz 
t0 
t0
 yp cos

 yp  2et sent ln csc z  cot z  cos t  cos tsenz zt 

zt

yp  2et sent ln csct  cot t ....2

■ Reemplazando (1) y (2) en: yG  yh  yp ; además et  x  t  ln x

yG  a1et cos t  a2etsent  2et sent ln csc t  cot t

 yG  x a1 cos ln x  a2sen ln x  2sen ln x ln csc ln x  cot ln x 

3. Resolver la ecuación integro – diferencial:

t ; y0  1

y  6 et yd  1 e3t
0

Solución

■ Efectuando operaciones en la ecuación integro - diferencial.

t L 

y  6 et yd  1 e3t
0

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   sYs  y0  6L et L y    1  s 1 3
s 

 sYs
 s 6 1 Y s 1 1  s 1 3  Y s   s 1 s2  5s  3 .... 
 s  ss 
2s  32

■ Descomponiendo a   en fracciones parciales.

 Ys A  16 B 5150 D 25
 s 1 s2  5s  3  s C .... 
ss  s  2  s  3  s  32
2s  32

s 1s2  5s  3  1 s  2s2  6s  9  51 s s2  6s  9  Cs s  2s  3  2 ss  2
6 50 5
Ys  ss  2s  32  s s  2s  32

■ Por comparación:   1  51  C  s3    2  6  51  C  2  s 2  s3  6s2  8s  3
 6 50   3 50 5 

■ En ambas ecuaciones se verifica que C  1175 reemplazando en  

Ys   16  5150  1175  25 L1 
s s2 s3
s  32

 yt    1  51 e2t  11 e3t  2 te3t
6 50 75 5

4. Resolver la ecuación diferencial: y0  2 ; y0  1
y  4 y  fx

sen2t ;   t  5
 2 2
ft 
 5
0 ; t  2  t  2


Solución

■ Previamente hallemos ft . “Método Ing. cruz”

  
ft  sen2t       0      
  t  2   t 5     t  2   t 5  
    2      2 

ft  sen2t  t    sen2t  t 5 
 2   2 
   

ft  sen2  t       t  sen2  t  5  5 
 2 2     2 2  t 5 
 2     2 

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ft  sen2  t     t    sen2  t  5   t 5 
 2   2   2   2 
 

■ Reemplacemos ft en la ecuación diferencial, para luego aplicar L :

y  4 y  sen2  t  5   t 5   sen2  t     t  2  L 
 2   2   2   


s 2Y s   sy0  y0  4Ys  2 e 5 s  2 e  s
 2  22 2
s2 22 s2

 s2 4 Y s  1 2s  2 e 5 s  2 e  s
 2  2

s 2 4 s2 4

1  2  2  s  2  1  e 5 s 2  1  e  s L1 
2        s2  4  2  s2  4  2
   Ys    2    2 
s2 22 s2 22 
 

■ Aplicando la transformada inversa:

yt   1 sen2t  2 cos 2t  t   2  sen2t  2t cos 2t  t  2  sen2t  2t cos 2t  t  ... 
 2   2  23   2  23 
tt 5 2 t t 2

yt   1 sen2t  2 cos 2t  t  1 sen2  t  5   2  t  5  cos 2  t  5   t 5   ...
 2  8  2   2   2   2 


....  1 sen2  t     2  t    cos 2  t     t  
8  2   2   2   2 


■ Desarrollando los ángulos suplementarios tendremos:

yt   1 sen2t  2 cos 2t  t  1 2  t  5  cos 2t  sen2t   t 5   1 2  t    cos 2t  sen2t   t  2 
 2  8  2   2  8  2    


L1  1 
 s2  4 2
 OBSERVACION.- Para encontrar la transformada inversa: se recurrió al



método de CONVOLUCIÓN, a continuación realizaremos dicha resolución.

L1  1  1   L1 1  2  2   1 sent  sent
        4
 s 2 22 s2 22   4 s2 22 s2 22 

 1 sen2t  sen2t  1  sen2sen2 t    d  ; 2sen sen  cos      cos    
4 4

 1 sen2t  sen2t  1  1 t cos 2  2  t  cos 2td 
4 4 2


0

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 1 sen2t  sen2t  1 1 sen2  2 t cos 2t t  1 1  sen2t  sen2t   t cos 2t 
4 8  4 0 8  4 

 1 sen2t  sen2t  1 sen2t  2t cos 2t   sen2t  2t cos 2t
4 24 24

■ Se demuestra la resolución que se izó en la ecuación   .

L1  1   sen2t  2t cos 2t
 s2  22  24
   2 

■ En forma general podemos escribir de la siguiente forma:

 1  senat  at cos at
 s2  a2  2a3
 L1 2  ; Para recordar

 

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II - 2008
ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207
Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería
Segundo Examen Parcial – 02 de noviembre de 2008

CADA PREGUNTA 20 PUNTOS

1. Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: y A  Bx  Cx2  x3 ; A, B, C  
x

2. Si y1  cos ln x forma parte de la solución homogénea de la ecuación diferencial:
x2 y  xy  y  secln x , resolver completamente la ecuación planteada.

3. Resolver la ecuación diferencial:

y  9 y  18t  9 y0  0 ; y    0
4. Resolver la ecuación integro – diferencial: 
 2 

yt cos   t  y  d   t3 1 ; y0  1
0 3

5. Resolver la ecuación diferencial:

y  2 y  ft ; y0  2

 1 ; t  2

ft  cos t ; 0  t   2

 0 ; t0

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PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: y A  Bx  Cx2  x3 ; A, B, C  
x

Solución

■ Para encontrar la ecuación diferencial debemos eliminar las constantes A, B, C.
“Derivando”

❶ y  Ax1  Bx  Cx2  x3  x  xy  A  Bx2  Cx3  x4  

❷ y  xy  2Bx  3Cx2  4x3 x1  x1 y  y  2B  3Cx  4x2  

❸ x2 y  x1 y  y  3C  8x    2x3 y  x2 y  x2 y  x1 y  y  8 x3

■  x3 y  x2 y  xy  xy  2y  8x3  x3 y  x2 y  2xy  2y  8x3

2. Si y1  cosln x forma parte de la solución homogénea de la ecuación diferencial:
x2 y  xy  y  secln x , resolver completamente la ecuación planteada.

Solución

■ Previamente escribamos y ordenemos la ecuación diferencial.

y  1 y  1 y  x12sec lnx  Ecu. Homogénea y  1 y  1 y  0
x x2 x x2

Px Qx R x

■ Hallemos la solución “ y2 ” de la ecuación homogénea, para ello usemos la fórmula de Abel.

e  Pxdx e 1 dx dx
cos2 x x
 y1 2 dx cos  ln x   sec2  x 
  y2  y1   dx  cos ln x ln
ln x

■ y2  cosln x tg ln x  sen ln x ; la solución homogénea será:

yh  a1y1  a2 y2  yh  a1 cos ln x  a2sen ln x ...1

■ Ahora hallemos la solución particular “ yp ”, por variación de parámetros.

y1 z y2z cos ln z  sen ln z

y1 x y2 x  cos ln x senln x
y1 z cosln z sen ln z
y2 z 
x x 1 sec  ln z  dz
z2
yp  Rzdz 

x0 x0

y1 z  y2 z   1 sen ln z  1 cos ln z 
z z

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yp  x senln z cos ln z  cosln z sen ln z  1  1 sec  ln z dz
z z
 1 cos2 ln z   sen2 ln z 1
z
x0

x 1 x dz u  ln z
x0 z x0 z
sen ln x dz cos  ln x ln z ; C.V.
 yp   tg du  dz
z

yp  sen ln x 1 zx  cos ln x  ln cos ln z  zx
z

yp  1 sen ln x  cos ln x ln cos ln x  ....  2 
x

■ Finalmente reemplacemos (1) y (2) en: yG  yh  yp

 yG  a1 cos ln x  a2senln x  x1sen ln x  cos ln x ln cos ln x

3. Resolver la ecuación diferencial:

y  9 y  18t  9 y0  0 ; y    0

 2 

Solución

■ Para la solución de esta ecuación emplearemos la transformada de Laplace.

■ Como se trata de una ecuación de segundo orden: y0  0 , asumimos y0  cte  C

y  9 y  18t  9  L  s 2Y s  s y0 0 y0 C  9Ys 18 9
 s2  s

18  9s  1  C
s2 s2  9  s2 
   s29 Y s    C  Y s   18  9s  s2   9


Ys  A 19  B  19   C   2  s   1  s 2 1 9   C
s2 s2  s2 9  s2   s2 9
 18  9s  9 



Ys  2  s2 2  1  s2 s  s2 C L1 
s2  32 s  32  32 ..... 

yt   2t  2 sen3t 1 cos 3t  C sen3t
3 3

■ Para encontrar el valor de la constante “C” usemos la segunda condición y    0 en   :

 2 

t    y  0 : 0  2   2 sen  3  1 cos  3   C sen  3 
2 2 3  2   2  3  2 

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■ De donde C  5  3 , reemplacemos en   :
 yt  1 2t  cos 3t   1 sen3t

4. Resolver la ecuación integro – diferencial:

y  t cos   t  y  d   t3 1 ; y0  1
0 3

Solución

 ■ Apliquemos transformada de Laplace; recordemos: t
L 0 ftGd   fs  Gs

 t3  L  1 3! 1
y  cos t  y   d   3 1  sYs  y0  Lcos t L y t   3  s4  s

sYs  s 2 s 1 Ys   2  1 1  s s3 1 Y s  2  1 1 s2 1
 s4 s 2 s4 s s3

 ■
2 s2 1  s 2 1  s2 1  2  2  1  1  1  1 L1 
Ys  s7 s4 s3 s7 s5 s4 s3 s2 s

■ yt   2 t6  2 t4  1 t3  1 t2  11!t 1  yt   1 t  1 t2  1 t3  1 t4  2 t6
6! 4! 3! 2! 2 6 12 6!

5. Resolver la ecuación diferencial:

y  2 y  ft ; y0  2

 1 ; t  2

ft  cos t 0t  2
 ; t0
 0 ;

Solución

■ Previamente hallemos “ ft ” usando el paso unitario

 ft  1  cos t  0
   t     t 0
t    0  t   
 2   2 

ft   t    cos tt  cos t  t   ; cos t  cos  t        sen  t   
 2   2   2 2   2 


ft   t    cos tt  sen  t     t  2  .... 
 2   2   

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

UMSA Facultad de Ingeniería UMSA

■ Reemplacemos   en la ecuación diferencial y  2 y  ft

y  2 y  cos tt  sen  t     t     t   L 
 2   2   2 
 

sYs  y0  2Ys  s 1 e2 s  1 e  s
s2 1  2 2

s 1 s

s  1 1  e  s s  s  s2 1  e  s
 s   2 s  2    2
 2Ys  2 2    2 2  
s 1 s 1 s 1 s s2 1 

2 s s2 s 1 e2 s .... 
 s s2 
2 s2 2
   Yss 2  s  1  s  1

 
Ps Qs

■ Descompongamos por separado Ps y Qs en fracciones parciales

22
     ►
P s   s  A5  Bs  C  5 s2 1  Bs2  Cs  2Bs  2C
s2 s2 1
s  2 s2 1 s  2 s2 1

s  B  2  s2  C  2B s  2  2C
 5  s  2 5
2 s2 1
   Ps s  s2 1 

Por comparación: B 25 s2  C 2B s  52 2C  s
0 1 0

 1
5
B  2 C 
5

2 B 25 s  C 15 21 2 1 1 1 .....1 
s2 1 5  s  2  5  s2 1  s  s2 1
P s   A5 
s2

         ► 1 s s2 1 3 s2 1 s2  22
s2 s 1 A B Cs  D  2  2  10 s  Cs  D
s2 1 s s2 s2 1
Q s   ss  2     ss  2 s2 1

Por comparación: 12130C s3  12C  D s2  12  130 2D s 1  s2  s  1
1
0 1



C  1 D 2
5 5

1 1 3 1 1 s  2 1 1 3 1 1 s 2 1
2 s 10 s2 5 5 2 s 10 2 5 s2 1  5 s2 1
Q s        s2         ...2 
1 s

adelio ariel chavez .....ADELIUS.....

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■ Reemplazando  1  y 2  en   , luego apliquemos la transformada inversa

Ys  2  2  1   2  s  1  1   1  1  3  1   1  s  2  1  e2 s L1  
 5    5  s2 1 2  s2 1  2 s 10    5  s2 1 5  2 
s 2 s 2 s 2 s 1

yt   2e2t  2 e2t  2 cos t  1 sent    1  3 e2t  1 cos t  2 sent  t  t t 2
5 5 5  2 10 5 5 

yt   12 e2t  1 sent  2 cos t   1  3 e2 t 2   1 cos  t     2 sen  t    
5 5 5  2 10  5  2  5  2 

t 2 


y t   12 e2t  1 sent  2 cos t  t   1  3 e 2t   1 sent  2 cos t   t  
 5 5 5   2 10 5 5   2 
 

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