หน่วยที่ 3 พาราโบลา

0

เอกสารประกอบการสอนหน่วยท่ี 3 : เร่ืองพาราโบลา

1

หน่วยท่ี 3
พาราโบลา

พาราโบลาเป็นกราฟท่ีเขียนสมการในรูปทว่ั ไปไดด้ งั น้ี
1. y = ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c เป็นค่าคงตวั และ a  0
2. y = a(x − h)2 + k เม่ือ a, h, k เป็นค่าคงตวั และ a  0

จาก 1. y = ax2 + bx + c เม่ือ a  0 แยกเป็น เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
y = ax2 เม่ือ a  0 , b = 0 , c = 0
y = ax2 + k เม่ือ a  0 , b = 0 , c  0 และ c = k

จาก 2. y =a(x − h)2 + k เม่ือ a  0 แยกเป็น
y =a(x −h)2 เมื่อ a  0 , h  0 , k = 0
y =a(x −h)2 +k เมื่อ a  0 , h  0 , k  0

การเขยี นกราฟ : เมื่อโจทยก์ าหนดสมการที่จะใหเ้ ขียนกราฟตอ้ งกาหนดค่า x และ y
ข้ึนมาใส่ไวใ้ นตารางโดยกาหนดค่า x และ y ใหเ้ หมาะสมกบั สมการท่ีกาหนดให้ และ
scale หรือขนาดของ แกน x และแกน y ท่ีใชเ้ ป็นแกนอา้ งอิงในการเขยี นกราฟ

ข้อสังเกต : จากสมการ y = ax2 + bx + c และ y = a(x − h)2 + k ค่าของ a บอก
ลกั ษณะกราฟวา่ เป็นกราฟคว่าหรือกราฟหงาย นอกจากน้นั ถา้ คา่ ของ a ยง่ิ มาก
กราฟจะยง่ิ แคบลง หรือถา้ คา่ ของ a ยง่ิ นอ้ ย กราฟจะยง่ิ กวา้ งข้นึ

2

3.1 การเขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y = ax2 + k เมื่อ a  0, k = 0

3.1.1 ให้เขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ y = ax2 + k เม่ือ a  0 , k = 0

ตวั อย่าง 3.1.1 ใหเ้ ขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y = 1 x2 , y = x2 , y = 2x 2
2
บนแกนค่เู ดียวกนั

1 วธิ ีหาค่า y เราจะกาหนดคา่ x เป็น –4, -2, 0, 2, 4 เพื่อความเหมาะสมท้งั น้ีเพราะในโจทยม์ ี
2
y = x2 ดงั น้นั จึงใชจ้ านวนคู่ เม่ือแทนคา่ x จะไดค้ ่า y ออกมาเป็นจานวนเตม็ ไม่เป็นเศษส่วน

เพราะถา้ เป็นเศษส่วนจะยากในการเขยี นกราฟ

1. y = 1 x2 2. y = x2 3. y = 2x2 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
2 ถา้ x = 0 จะได้ y = 02 ถา้ x = 0 จะได้ y = .........
1 (0)2
ถา้ x = 0 จะได้ y = 2 = .......... = .........
= ........
= 1 0
2

=0

1. y = 1 x 2 y = 1 x2
2 2
1 (−4)2
ถา้ x = −4จะได้ y = 2 ถา้ x = −2 จะได้ y = ....................

= 1 16 = .......... ..........
2

=8 = .......... ..........

y = 1 x2 y = 1 x2
2 2
ถา้ x = 4 จะได้ y = .................... ถา้ x = 2 จะได้ y = .......... ..........

= .......... .......... =.......... ..........

= .......... .......... = .......... ..........

3

2. y = x2 y =x2
ถา้ x = −4 จะได้ y = .................... ถา้ x = −2 จะได้ y = ....................

= .......... .......... = .......... ..........
= .......... .......... = .......... ..........

ถา้ x = 4 จะได้ y =x2 ถา้ x = 2 จะได้ y =x2
y = .................... y = ....................

= .......... .......... = .......... ..........
= .......... .......... = .......... ..........

3. y = 2x2 y =2x2 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
ถา้ x = −4 จะได้ y = .................... ถา้ x = −2 จะได้ y = ....................

= .......... .......... = .......... ..........
= .......... .......... = .......... ..........

y =2x2 y =2x2
ถา้ x = 4 จะได้ y = .................... ถา้ x = 2 จะได้ y = ....................

= .......... .......... = .......... ..........
= .......... .......... = .......... ..........

นาค่าที่หาไดข้ า้ งบนมาเขยี นในตารางไดด้ งั น้ี

x -4 -2 0 2 4

1. y = 1 x2
2

2. y = x2

3. y = 2x2

4

กราฟท่ีได้

สรุป จากสมการ 1. y = 1 x2 ค่า a =……………. เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
2
2. y = x2 ค่า a =…………….
3. y = 2x2 ค่า a =…………….

1. แสดงวา่ ค่า a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟท้งั สามหรือจุด...........ของกราฟท้งั สาม คอื ...................

3. คา่ .................ของกราฟท้งั สาม คอื ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟท้งั สาม คอื ..................

5

3.1.2 ให้เขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ y = ax 2 + k เม่ือ a  0, k = 0

ตวั อย่าง 3.1.2 ใหเ้ ขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y = − 1 x2 , y = -x 2 , y = -2x2
2
บนแกนคู่เดียวกนั

วิธีหาคา่ y เราจะกาหนดค่า x เป็น –4, -2, 0, 2, 4 เพอ่ื ความเหมาะสมท้งั น้ีเพราะในโจทยม์ ี
1
y = − 2 x2 ดงั น้นั จึงใชจ้ านวนคู่ เม่ือแทนค่า x จะไดค้ ่า y ออกมาเป็นจานวนเตม็ ไมเ่ ป็นเศษส่วน

เพราะถา้ เป็นเศษส่วนจะยากในการเขยี นกราฟ

1. y = − 1 x2 2. y = −x2 3. y = −2x2 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
2 ถา้ x = 0 จะได้ y = −(0)2 ถา้ x = 0 จะได้ y = .........
1 (0)2
ถา้ x = 0 จะได้ y = − 2 = .......... = .........
= ........
= − 1 0
2

=0

1. y = − 1 x2 y = − 1 x 2
2 2
1 (−4)2
ถา้ x = −4จะได้ y = − 2 ถา้ x = −2 จะได้ y = ....................

= − 1 16 = .......... ..........
2
=-8 = .......... ..........

y = − 1 x 2 y = − 1 x 2
2 2
ถา้ x = 4 จะได้ y = .................... ถา้ x = 2 จะได้ y = .......... ..........

= .......... .......... =.......... ..........
= .......... .......... = .......... ..........

6

2. y = −x2 y = −x2
ถา้ x = −4 จะได้ y = .................... ถา้ x = −2 จะได้ y = ....................

= .......... .......... = .......... ..........
= .......... .......... = .......... ..........

ถา้ x = 4 จะได้ y = −x2 ถา้ x = 2 จะได้ y = −x2
y = .................... y = ....................

= .......... .......... = .......... ..........
= .......... .......... = .......... ..........

3. y = −2x2 y = −2x2 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
ถา้ x = −4 จะได้ y = .................... ถา้ x = −2 จะได้ y = ....................

= .......... .......... = .......... ..........
= .......... .......... = .......... ..........

ถา้ x = 4 จะได้ y = −2x2 ถา้ x = 2 จะได้ y = −2x2
y = .................... y = ....................

= .......... .......... = .......... ..........
= .......... .......... = .......... ..........

นาค่าท่ีหาไดข้ า้ งบนมาเขยี นในตารางไดด้ งั น้ี

x -4 -2 0 2 4

1. y = − 1 x 2
2

2. y = −x2

3. y = −2x2

7

กราฟท่ีได้

สรุป จากสมการ 1. y = − 1 x2 ค่า a =……….. เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
2
2. y = −x2 ค่า a =………..
3. y = −2x2 ค่า a =………..

1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟท้งั สามหรือจุด...........ของกราฟท้งั สาม คือ...................

3. ค่า.................ของกราฟท้งั สาม คอื ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟท้งั สาม คอื ..................

8

แบบฝึ ก 3.1

ใหเ้ ขียนกราฟพาราโบลาของสมการ 1. y = 1 x 2 , 2. y = 3 x2 , 3. y = −1 x2 , 4. y = −3 x 2
4 4 4 4
บนแกนค่เู ดียวกนั

x

1. y = 1 x2
4
3 x2
2. y = 4 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

3. y = −1 x 2
4
−3 2
4. y = 4 x

กราฟที่ได้

9

สรุป จากสมการ 1.y = 1 x2 ค่า a =……………
4
3 x2
2.y = 4 ค่า a =……………

1. แสดงวา่ คา่ a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟท้งั สองหรือจุด...........ของกราฟท้งั สอง คอื ...................

3. คา่ .................ของกราฟท้งั สอง คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟท้งั สอง คือ..................

**********************************************************
−1
จากสมการ 3.y = 4 x2 ค่า a =…………… เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

4.y = −3 x 2 ค่า a =……………
4
1. แสดงวา่ ค่า a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟท้งั สองหรือจุด...........ของกราฟท้งั สอง คอื ...................

3. คา่ .................ของกราฟท้งั สอง คอื ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟท้งั สอง คือ..................

10

3.2 การเขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ y = ax2 + k เมื่อ a  0, k  0
3.2.1 ให้เขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ y = ax2 + k เม่ือ a  0, k  0
1
ตัวอย่าง 3.2.1 ใหเ้ ขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ y = 2 x 2 +3, y =x2 + 3,

y = 2x2 + 3, y= 1 x2 −3, y = x2 −3, y = 2x2 −3 บนแกนคู่เดียวกนั
2

x -4 -2 0 2 4

1. y = 1 x2 + 3
2
2. y = x2 +3

3. y = 2x2 +3 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
1
4. y = 2 x2 −3

5. y = x2 −3

6. y = 2x2 −3

กราฟที่ได้

11

สรุป จากสมการ 1. y = 1 x 2 + 3 ค่า a =………..
2
2. y = x2 +3 ค่า a =………..
3. y = 2x2 +3 ค่า a =……….

1.แสดงวา่ ค่า a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟท้งั สามหรือจุด...........ของกราฟท้งั สาม คอื ...................

3. ค่า.................ของกราฟท้งั สาม คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟท้งั สาม คอื ..................

**************************************************************
1
จากสมการ 4. y = 2 x 2 − 3 ค่า a =………… เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

5. y = x2 −3 ค่า a =…………
6. y = 2x2 −3 ค่า a =…………

1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟท้งั สามหรือจุด...........ของกราฟท้งั สาม คอื ...................

3. คา่ .................ของกราฟท้งั สาม คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟท้งั สาม คอื ..................

12

3.2.2 ให้เขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y = ax2 + k เม่ือ a  0, k  0
1
ตวั อย่าง 3.2.2 ใหเ้ ขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ y = − 2 x 2 + 3 , y = −x2 +3,

y = −2x2 + 3, y = − 1 x2 −3, y = −x2 −3, y = −2x2 −3 บนแกนค่เู ดียวกนั
2

x -4 -2 0 2 4

1. y = − 1 x2 +3
2

2. y = −x2 +3

3. y = −2x2 +3 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
1
4. y = − 2 x 2 −3

5. y = −x2 −3
6. y = −2x2 −3

กราฟที่ได้

13

สรุป จากสมการ 1. y = − 1 x 2 + 3 ค่า a =…………….
2
2. y = −x2 +3 ค่า a =…………….
3. y = −2x2 +3 ค่า a =…………….

1. แสดงวา่ ค่า a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟท้งั สามหรือจุด...........ของกราฟท้งั สาม คอื ...................

3. ค่า.................ของกราฟท้งั สาม คอื ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟท้งั สาม คอื ..................

**************************************************************
1
จากสมการ 4. y = − 2 x 2 − 3 ค่า a =……………. เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

5. y = −x2 −3 ค่า a =…………….
6. y = −2x2 −3 ค่า a =…………….

1. แสดงวา่ คา่ a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟท้งั สามหรือจุด...........ของกราฟท้งั สาม คือ...................

3. คา่ .................ของกราฟท้งั สาม คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟท้งั สาม คอื ..................

14

แบบฝึ ก 3.2

ใหเ้ ขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ 1. y = 1 x2 + 1, 2. y = 1 x2 −1, 3. y = −1 x2 +1,
2 2 2
−1 x2
4. y = 2 −1 บนแกนค่เู ดียวกนั

x

1. y = 1 x2 +1
2
1 x2
2. y = 2 −1 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

3. y = −1 x2 +1
2
−1 x2
4. y = 2 −1

กราฟท่ีได้

15

สรุป จากสมการ 1. y = 1 x2 +1 ค่า a =…………….
2
1. แสดงวา่ ค่า a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................

3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

**************************************************************
1
จากสมการ 2. y = 2 x2 −1 ค่า a =…………….

1. แสดงวา่ คา่ a.................................................................. เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................

3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

**************************************************************
−1
จากสมการ 3. y = 2 x2 +1 ค่า a =…………….

1. แสดงวา่ คา่ a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................

3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

**************************************************************
−1
จากสมการ 4. y = 2 x2 −1 ค่า a =…………….

1. แสดงวา่ ค่า a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................

3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

16 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

3.3 การเขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ y = a(x − h)2 + k เม่ือ a  0, h  0, k = 0
3.3.1 ให้เขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y =a(x − h)2+ k เม่ือ a  0, h  0, k = 0
ตวั อย่าง 3.3.1 ใหเ้ ขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y =(x −1)2 , y =(x +1)2,
y =(x-2)2 , y =(x +2)2 บนแกนค่เู ดียวกนั

x
1.y =(x −1)2

x

2.y =(x +1)2
x

3. y =(x −2)2
x

4. y =(x +2)2

กราฟที่ได้

17

สรุป จากสมการ 1. y =(x −1)2 ค่า a =………………..

1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................

4. ค่า.................ของกราฟ คือ..................

5. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

*************************************************************
จากสมการ 3. y = (x −2)2
ค่า a =………………..

1. แสดงวา่ คา่ a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................ เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................

3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

***********************************************************
จากสมการ 2. y =(x +1)2
ค่า a =……………….

1. แสดงวา่ คา่ a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟท้งั สามหรือจุด...........ของกราฟท้งั สาม คอื ...................

3. คา่ .................ของกราฟท้งั สาม คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟท้งั สาม คอื ..................

************************************************************
จากสมการ 4. y =(x +2)2
ค่า a =…………………

1. แสดงวา่ ค่า a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................

3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

18 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

3.3.2 ให้เขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ y = a(x − h)2 + k เม่ือ a  0, h  0, k = 0
ตัวอย่าง 3.3.2 ใหเ้ ขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y = −(x −1)2 , y = −(x +1)2,
y = −(x −2)2 , y = −(x +2)2 บนแกนคู่เดียวกนั

x
1. y = −(x −1)2

x
2. y = −(x +1)2

x
3. y = −(x −2)2

x
4. y = −(x + 2)2

กราฟที่ได้

19

สรุป จากสมการ 1. y = −(x −1)2 ค่า a =………….. เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 2. y = −(x +1)2 ค่า a =…………...
1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 3. y = −(x −2)2 ค่า a =……………
1.แสดงวา่ ค่า a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 4. y = −(x + 2)2 ค่า a =……………
1. แสดงวา่ ค่า a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

20 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

แบบฝึ ก 3.3

ใหเ้ ขียนกราฟพาราโบลาของสมการ 1. y = (x +1)2 , 2. y = −(x +1)2 บนแกนคู่เดียวกนั

x
1. y = (x +1)2
2. y = −(x +1)2

กราฟที่ได้

21

สรุป จากสมการ 1. y = (x +1)2 ค่า a =…………..

1.แสดงวา่ ค่า a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................

2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................

3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

*************************************************************
จากสมการ 2. y = −(x +1)2 ค่า a =…………...

1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................

ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................ เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................

3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................

4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

22 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

3.4 การเขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ y = a(x − h)2 + k เมื่อ a  0, h  0, k  0
3.4.1 ให้เขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y = a(x − h)2 + k เม่ือ a  0, h  0, k  0
ตวั อย่าง 3.4.1 ใหเ้ ขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ 1. y =(x −1)2 +3 , 2. y =(x +1)2 +3 ,
3. y =(x −1)2 −3 , 4. y =(x +1)2 −3 บนแกนคู่เดียวกนั

x
1. y =(x −1)2 +3

x
2. y =(x +1)2 +3

x
3. y =(x −1)2 −3

x
4. y =(x +1)2 −3

กราฟที่ได้

23

สรุป จากสมการ 1. y =(x −1)2 +3 ค่า a =…………… เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
1.แสดงวา่ ค่า a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 2. y =(x +1)2 +3 ค่า a =………………
1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 3. y =(x −1)2 −3 ค่า a =………………...
1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 4. y =(x +1)2 −3 ค่า a =………………….
1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

24 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

3.4.2 ให้เขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y = a(x − h)2 + k เม่ือ a  0, h  0, k  0
ตวั อย่าง 3.4.2 ใหเ้ ขยี นกราฟพาราโบลาของสมการ 1. y = −(x −1)2 +3,
2. y = −(x +1)2 +3 , 3. y = −(x −1)2 −3 , 4. y = −(x +1)2 −3 บนแกนค่เู ดียวกนั

x
1. y = −(x −1)2 +3

x
2. y = −(x +1)2 +3

x
3. y = −(x −1)2 −3

x
4. y = −(x +1)2 −3

กราฟท่ีได้

25

สรุป จากสมการ 1. y = −(x −1)2 +3 ค่า a =………….. เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
1.แสดงวา่ ค่า a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 2. y = −(x +1)2 +3 ค่า a =……………
1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 3. y = −(x −1)2 −3 ค่า a =……………..
1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 4. y = −(x +1)2 −3 ค่า a =……………..
1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

26

แบบฝึ ก 3.4 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

ใหเ้ ขียนกราฟพาราโบลาของสมการ 1. y = (x −1)2 + 2, 2. y = (x −1)2 −2
3. y = −(x −1)2 + 2, 4. y = −(x −1)2 −2 บนแกนค่เู ดียวกนั

x
1. y = (x −1)2 + 2
2. y = (x −1)2 −2
3. y = −(x −1)2 + 2
4. y = −(x −1)2 −2

กราฟท่ีได้

27

สรุป จากสมการ 1. y = (x −1)2 + 2 ค่า a =…………… เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

1.แสดงวา่ ค่า a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 2. y = (x −1)2 −2 ค่า a =………………

1.แสดงวา่ คา่ a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 3. y = −(x −1)2 + 2 ค่า a =………………...

1.แสดงวา่ ค่า a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................
*************************************************************

จากสมการ 4. y = −(x −1)2 − 2 ค่า a =………………….

1.แสดงวา่ ค่า a..................................................................
ดงั น้นั ลกั ษณะกราฟเป็นกราฟ........................................
2. จุดยอดของกราฟหรือจุด...........ของกราฟ คือ...................
3. ค่า.................ของกราฟ คือ..................
4. แกนสมมาตรของกราฟ คือ..................

28 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
3.5 การเขียนกราฟพาราโบลาของสมการ y =ax2 + bx + c เมื่อ a,b,c เป็ นจานวนจริงใดๆ และ
a  0,b  0,c  0

ตวั อย่าง 3.5 ใหเ้ ขียนกราฟของสมการ y = x2 −4x +1
จาก y = x2 − 4x +1

= x2 −2(x)(2) + 22 −22 +1
=(x −2)2 −4 +1
=(x −2)2 −3

จากสมการ จะได้ กราฟหงาย จุดต่าสุดคือ (2,-3) คา่ ต่าสุดคือ y = -3 แกนสมมาตร คือ x = 2

x
y =(x −2)2 −3

กราฟที่ได้

29

แบบฝึ ก 3.5 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

ใหเ้ ขียนกราฟของสมการ 2y = x2 + 2x −2
จาก 2y = x2 + 2x −2

……………………………………………..
………………………………………………
……………………………………………..
……………………………………………..
……………………………………………..
จากสมการ จะได้ กราฟ…………… จุด…………คือ ( , )
ค่า………คือ……… แกนสมมาตรคือ…………..

x

กราฟที่ได้

30

3.6 ตารางแสดงการสรุปลกั ษณะของกราฟพาราโบลา

กราฟ จดุ ค่า สมการแกน

สมการ หงาย คว่า สูงสุด ตา่ สุด สูงสุด ตา่ สุด สมมาตร

y = ax2 ✓ (0, 0) 0 x = 0
;a>0

y = ax2 (0 , 0) 0 x=0
;a<0 ✓

y =ax2 + k ✓ (0 , k) k x = 0
;a>0

y =ax2 + k (0 , k) k x=0 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
;a<0 ✓

y =a(x −h)2 ✓ (h , 0) 0 x = h
;a>0

y =a(x −h)2 (h , 0) 0 x=h
;a<0 ✓

y =a(x −h)2 +k (h , k) k x = 0
;a>0 ✓
y =a(x −h)2 +k
;a<0 (h , k) k x=0
✓
b2 4ac − b2
y =ax2 + bx + c (− b , 4ac − ) 4a x b
;a>0 2a 4a = − 2a

✓ b2 4ac − b2
4a
y =ax2 + bx + c (− b , 4ac − ) x = − b
;a<0 2a 4a 2a

✓

31

เอกสารฝึ กหัด 3

1. ใหเ้ ขียนกราฟของสมการต่อไปน้ี บนแกนคเู่ ดียวกนั พร้อมท้งั บอกลกั ษณะของกราฟ จุด

ต่าสุดหรือจุดสูงสุด ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด และสมการแกนสมมาตร

1. y = 3 x2 , 2. y = 3 x2 + 4, 3. y = 3 x2 − 4
2 2 2

4. y = −3 x2 , 5. y = −3 x2 + 4, 6. y = −3 x2 − 4
2 2 2

x

1. y = 3 x2 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
2
3 x2
2. y = 2 + 4

3. y = 3 x2 − 4
2
−3 x2
4. y = 2

5. y = −3 x2 + 4
2
−3 x2
6. y = 2 − 4

32

กราฟที่ได้ และสรุปกราฟที่ไดใ้ นตารางขา้ งล่าง

1. y = 3 x2 2. y = 3 x2 + 4 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
2 2
1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………

2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………

3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ……………….

3. y = 3 x 2 − 4 4. y = −3 x2
2 2
1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………

2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………

3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ………………

33

5. y = −3 x 2 + 4 6. y = −3 x2 − 4
2 2
1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………

2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………

3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ……………….

2. ใหเ้ ขยี นกราฟของสมการต่อไปน้ี บนแกนคเู่ ดียวกนั พร้อมท้งั บอกลกั ษณะของกราฟ จุด เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

ต่าสุดหรือจุดสูงสุด คา่ ต่าสุดหรือคา่ สูงสุด และสมการแกนสมมาตร
1. y = 2x2 , 2. y = 2(x −3)2 , 3. y = 2(x +2)2
4. y = −2x2 , 5. y = −2(x −3)2 , 6. y = −2(x +2)2

x
1. y = 2x2
4. y = −2x2

x

2. y = 2(x −3)2
5. y = −2(x −3)2

x
3. y = 2(x + 2)2
6. y = −2(x + 2)2

34

กราฟท่ีได้ และสรุปกราฟท่ีไดใ้ นตารางขา้ งลา่ ง

1. y = 2x2 2. y = 2(x −3)2 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………
2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………
3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ……………….

3. y = 2(x + 2)2 4. y = −2x2
1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………
2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………
3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ………………

5. y = −2(x −3)2 6. y = −2(x + 2)2

1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 35
2. จุด…………………คือ…….......................
1. ลกั ษณะกราฟ………………………………
ค่า…………………คือ…………………… 2. จุด…………………คือ…….......................
3. สมการแกนสมมาตรคือ……………….
ค่า…………………คือ……………………
3. สมการแกนสมมาตรคือ……………….

3. ใหเ้ ขียนกราฟของสมการต่อไปน้ี บนแกนคู่เดียวกนั พร้อมท้งั บอกลกั ษณะของกราฟ จุด

ต่าสุดหรือจุดสูงสุด ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด และสมการแกน

สมมาตร

1. y = 1 (x − 3)2 + 2, 2. y = 1 (x − 3)2 − 2, 3. y = 1 (x + 3)2 + 2, 4. y = 1 (x + 3)2 − 2, เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
2 2 2 2
1 − 3)2 1 − 3)2 1 3)2 1 2
5. y = − 2 (x + 2, 6. y = − 2 (x − 2, 7. y = − 2 (x + + 2, 8. y = − 2 (x + 3) − 2

x

1. y = 1 (x − 3)2 + 2
2
1 − 3)2
2. y = 2 (x − 2

5. y = − 1 (x − 3)2 + 2
2
1 3)2
6. y = − 2 (x − − 2

x

3. y = 1 (x + 3)2 + 2
2
1 3)2
4. y = 2 (x + − 2

7. y = − 1 (x + 3)2 + 2
2
1 3)2
8. y = − 2 (x + − 2

36

กราฟท่ีได้ และสรุปกราฟที่ไดใ้ นตารางขา้ งลา่ ง

เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

37

1. y = 1 (x − 3)2 + 2 2. y = 1 (x − 3)2 − 2
2 2
1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………

2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………

3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ……………….

3. y = 1 (x + 3)2 + 2 4. y = 1 (x + 3)2 − 2
2 2
1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………

2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………

3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ……………… เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

5. y = − 1 (x − 3)2 + 2 6. y = − 1 (x − 3)2 − 2
2 2
1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………

2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………

3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ……………….

7. y = − 1 (x + 3)2 + 2 8. y = − 1 (x + 3)2 − 2
2 2
1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………

2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………

3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ……………….

38
4. ใหเ้ ขยี นกราฟของสมการต่อไปน้ี บนแกนคู่เดียวกนั พร้อมท้งั บอกลกั ษณะของกราฟ จุด

ต่าสุดหรือจุดสูงสุด ค่าต่าสุดหรือคา่ สูงสุด และสมการแกนสมมาตร

1. y = x2 − 2x + 5 2. y = −2x2 −4x −1

= ........................................... = ...........................................
= ........................................... = ...........................................
= ........................................... = ...........................................
= ........................................... = ...........................................

3. y = 2x2 +8x −3 4. y = 3x2 −12x + 2 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

= ........................................... = ...........................................
= ........................................... = ...........................................
= ........................................... = ...........................................
= ........................................... = ...........................................

x
x
x

x

39

กราฟท่ีได้ และสรุปกราฟในตารางขา้ งลา่ ง

1. y = x2 − 2x + 5 2. y = −2x2 − 4x −1 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
= ..................... = ..........................

1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………
2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คือ…….......................

ค่า…………………คือ…………………… ค่า…………………คือ……………………
3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ……………….

40

3. y = 2x2 +8x −3 4. y = 3x2 −12x + 2
= ...................... = ........................

1. ลกั ษณะกราฟ……………………………… 1. ลกั ษณะกราฟ………………………………
2. จุด…………………คือ……....................... 2. จุด…………………คอื …….......................

ค่า…………………คือ…………………… คา่ …………………คือ……………………
3. สมการแกนสมมาตรคือ………………. 3. สมการแกนสมมาตรคือ………………

5. กาหนดกราฟพาราโบลาให้ แลว้ ตอบคาถาม

5.1) 5.2) เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
5.3) 5.4 )

5.5) 5.6)

41

5.7) 5.8)

5.9) 5.10) เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

ตอบคาถามกราฟท่ีกาหนดไวก้ ่อนหนา้ น้ีไวแ้ ลว้ ดงั น้ี

5.1 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คือ…………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………

สมการของกราฟคือ……………………………….

วธิ ีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนคา่ y = .......................................

= .......................................

= .......................................

= .......................................

42

5.2 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คือ…………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………
สมการของกราฟคือ……………………………….

วิธีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนคา่ y = .......................................

= ....................................... เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
= .......................................
= .......................................

5.3 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คือ…………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………

สมการของกราฟคือ……………………………….

วธิ ีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนค่า y = .......................................

= .......................................
= .......................................

= .......................................

43

5.4 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คือ…………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………
สมการของกราฟคือ……………………………….

วธิ ีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนคา่ y = .......................................

= ....................................... เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
= .......................................
= .......................................

5.5 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คือ…………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………

สมการของกราฟคือ……………………………….

วิธีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนคา่ y = .......................................

= .......................................
= .......................................

= .......................................

44

5.6 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คอื …………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………

สมการของกราฟคือ……………………………….

วิธีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนคา่ y = .......................................

= ....................................... เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

= .......................................

= .......................................

5.7 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คือ…………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………

สมการของกราฟคือ……………………………….

วธิ ีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนคา่ y = .......................................

= .......................................

= .......................................

= .......................................

45

5.8 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คือ…………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………

สมการของกราฟคือ……………………………….

วธิ ีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนคา่ y = .......................................

= .......................................

= ....................................... เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
= .......................................

5.9 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คือ…………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………

สมการของกราฟคือ……………………………….

วิธีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนคา่ y = .......................................

= .......................................
= .......................................
= .......................................

46

5.10 ลกั ษณะกราฟ…………………..จุด………………คือ…………ค่า…………คือ…………..

แกนสมมาตรมีสมการเป็ น…………………………

สมการของกราฟคือ……………………………….

วธิ ีหาสมการของกราฟ

จาก y =a(x −h)2 + k

แทนคา่ y = .......................................

= .......................................

= ....................................... เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
= .......................................

47

6. สาหรับสมการของกราฟพาราโบลาในแตล่ ะขอ้ จงบอกลกั ษณะของกราฟ จุดต่าสุดหรือจุดสูงสุด

คา่ ต่าสุดหรือค่าสูงสุดของ y และสมการของแกนสมมาตร

สมการ กราฟ กราฟ จุดต่าสุด จุดสูงสุด ค่าตา่ สุด ค่าสูงสุด สมการของแกน

หงาย ควา่ สมมาตร

1. y = − 2 x2
5

2. y = x2 −5

3. y =3x2 −1 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

4. y = −(x −1)2 +3

5. y = −(x + 4)2

6. y + x2 =5

7. y =(x −3)2

8. y −2 =(x +5)2

9. y = −x2 +16

10. y = 1 x2 + 7
4

11. y = 2x2 +8x +3

12. y +1= x2 −2x

13. y = −x2 +7x

48 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

7. กราฟของสมการ y = x2 −2x + c ผา่ นจุด (-3 , 0) จงหาค่า c

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………….
8. กราฟของสมการ y = x2 + bx +6 ผา่ นจุด (-2 , 4) จงหาคา่ b

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………
9. กราฟของสมการ y =ax2 +4x −3 ผา่ นจุด (-1 , -8) จงหาคา่ a

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………
10. ถา้ กราฟของสมการ y =ax2 −18x +120 มีจุดยอดอยทู่ ี่ (-3 , 147) จงหาค่า a

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

49

11. ถา้ กราฟของสมการ y = 4x2 −12x + c มีจุดยอดอยทู่ ่ี ( 3 ,0) จงหาค่า c
2

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….

12. ถา้ กราฟของสมการ y = x2 + bx +70 มีจุดยอดอยทู่ ี่ (8,6) จงหาคา่ b

……………………………………………………………………………………………………………… เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

13. ถา้ กราฟของสมการ y =ax2 −24x + 21 มีคา่ ต่าสุดเท่ากบั –3 จงหาคา่ a

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………