หน่วยที่ 3 พาราโบลา

50

3.7 โจทย์ปัญหาเร่ืองพาราโบลา
(สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี)
ตวั อย่าง 3.7.1 จงหาวธิ ีกาหนดขนาดของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากที่มีความยาวรอบรูปเป็น 80 เมตร
เพ่อื ใหไ้ ดพ้ ้นื ที่มากท่ีสุด

D x
C
80 − 2x
2 80 − 2x
2

A xB เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

ถา้ กาหนดใหร้ ูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ABCD ที่มีความยาวรอบรูป 80 เมตร

และใหด้ า้ น AB ยาว x เมตร

จะไดด้ า้ น BC ยาว 80 − 2x เมตร หรือ 40 – x เมตร
2

ถา้ ใหพ้ ้ืนที่ของรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉาก ABCD เป็น y ตารางเมตร

จะไดส้ มการเป็น y = x(40 −x)

y = − x2 + 40x

กราฟของสมการ y = − x2 + 40x เป็นพาราโบลาควา่ ซ่ึงมีจุดสูงสุด

นกั เรียนสามารถหาจุดสูงสุดของพาราโบลาน้ีไดจ้ ากการเขียนสมการ y = − x2 + 40x ใหอ้ ยู่

ในรูป y = a(x − h)2 + k จะไดจ้ ุด (h,k) เป็นจุดสูงสุด

51

จาก y = − x2 + 40x

x2 − 2(20)x + 202 202
 =− − 
 

= −(x −20)2 + 400

จะไดจ้ ุดสูงสุดของพาราโบลาเป็น (20 , 400) กราฟแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง x และ y ที่

กาหนด เป็นดงั น้ี

จากกราฟขา้ งตน้ ทาให้เราทราบวา่ ควรกาหนดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากใหม้ ี AB ยาว 20 เมตร จะ เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
ไดC้ D ยาว 40 – 20 = 20 เมตร ทาใหไ้ ดร้ ูปส่ีเหล่ียมจตั ุรัสท่ีมีพ้ืนท่ีเท่ากบั 20  20 = 400 ตาราง
เมตร และมีพ้ืนที่มากที่สุดตามตอ้ งการ

52 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

แบบฝึ ก 3. 7

1.ในปี พ.ศ. 2600 มนุษยเ์ ร่ิมไปต้งั นิคมท่ีดวงจนั ทร์ ทกุ ครอบครัวใหมท่ ่ีไปถึงจะไดร้ ับจดั สรรที่อยมู่ ี
ลกั ษณะเป็นรูปส่ีเหลี่ยมมุมฉากท่ีกาหนดขอบเขตไดเ้ อง แตใ่ หม้ ีความยาวรอบรูปเป็น 100 เมตร ถา้
นกั เรียนเป็นสมาชิกคนหน่ึงของครอบครัวใหม่ นกั เรียนจะกาหนดขอบเขตท่ีดินเป็นอยา่ งไรจึงจะได้
พ้นื ที่มากท่ีสุด
………………………………………………………………………………………………………..…
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………….

53 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
2.จงหาวิธีกาหนดขนาดของรูปสี่เหล่ียมมุมฉากที่มีความยาวรอบรูปเป็น 62 เมตร เพ่ือใหไ้ ดพ้ ้นื ท่ีมาก
ที่สุด
………………………………………………………………………………………………………..………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

54 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
3.ถา้ ตอ้ งการหารูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวรอบรูปเป็น p หน่วย และมีพ้ืนท่ีมากท่ีสุด นกั เรียนคิด
วา่ รูปส่ีเหล่ียมมุมฉากท่ีไดจ้ ะเป็นรูปสี่เหล่ียมชนิดใดและมีขนาดเทา่ ใด
………………………………………………………………………………………………………..………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

55 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
4.ไพฑรู ยต์ อ้ งการลอ้ มร้ัวท่ีดินท่ีอยตู่ ิดคลองโดยลอ้ มเพยี งสามดา้ น ดา้ นที่อยตู่ ิดคลองจะไม่มีร้ัวก้นั และให้
ร้ัวท้งั สามดา้ นเป็นส่วนหน่ึงของรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ถา้ ไพฑรู ยม์ ีวสั ดุสาหรับทาร้ัวไดย้ าว 200 เมตร และ
อยากใหไ้ ดพ้ ้นื ที่ภายในร้ัวมากที่สุด ไพฑรู ยจ์ ะตอ้ งกาหนดขนาดของร้ัวเป็นอยา่ งไร และไดพ้ ้ืนท่ีเท่าไร
………………………………………………………………………………………………………..………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

56

3.8 การหาจุดท่กี ราฟพาราโบลาตัดแกน X และ แกน Y
3.8.1 กราฟของสมการ y =ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c แทนจานวนจริง และ a  0 กราฟน้ีตดั แกน

X ท่ีจุด (x , 0) หรือเม่ือคา่ y = 0 ซ่ึงมีวิธีการ ดงั น้ี

1. แทนคา่ y = 0 ลงในสมการท่ีกาหนดใหจ้ ะไดค้ ่า x ออกมา แลว้ เขยี นเป็นคู่อนั ดบั เช่น

สมการ y = x2 −2x

จาก y = x2 −2x แทนคา่ y = 0

จะได้ 0 = x2 −2x

0 = x(x −2) เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

ดงั น้นั x = 0 หรือ x −2 = 0

แสดงวา่ กราฟของสมการ x=2
y = x2 −2x ตดั แกน X ท่ีจุด (0 , 0) และ (2 , 0)

2. แทนค่าในสูตรการแกส้ มการกาลงั สอง

x = −b  b2 − 4ac
2a

โดยที่ b2 − 4ac  0 กราฟตดั แกน X 2 จุด แสดงวา่ มีคาตอบของสมการ 2 คาตอบ

ในรูป x = − b2  b2 − 4ac

2a

57

b2 −4ac = 0 กราฟตดั แกน X 1 จุด

แสดงวา่ มีคาตอบของสมการ 1 คาตอบ ในรูป x = −b
2a

b2 − 4ac  0 กราฟไมต่ ดั แกน X แสดงวา่ ไม่มีคาตอบของสมการท่ีเป็นจานวนจริง เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

ตวั อย่าง 3.8.1 ใหห้ าจุดท่ีกราฟ y = x2 −7x +10 ตดั แกน X

จาก y = x2 −7x +10 แทนคา่ y = 0

จะได้ 0 = x2 −7x +10

0 = (x −2)(x −5)

x = 2,5

ดงั น้นั กราฟตดั แกน X 2 จุด คอื (2, 0) และ (5, 0)

58

3.8.2 กราฟของสมการ y =ax2 + bx + c เม่ือ a, b, c แทนจานวนจริง และ a  0 กราฟน้ีตดั แกน
Y ท่ีจุด (0 , y) หรือเม่ือค่า x = 0 ซ่ึงจากสมการ y =ax2 + bx + c จะเห็นไดว้ า่ เม่ือ x = 0 จะได้

y = a(0)2 + b(0)+c

y=c

ดงั น้นั สรุปไดว้ า่ กราฟของสมการ y =ax2 + bx + c มีจุดตดั แกน Y หน่ึงจุดที่ (0 , c) เสมอ
ตัวอย่าง 3.8.2 ใหห้ าจุดท่ีกราฟ y = 5x2 −2x +3

จาก y = 5x2 −2x +3 แทนคา่ x = 0 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

จะได้ y = 3

ดงั น้นั กราฟตดั แกน Y ท่ี (0, 3)

8
6
4
2

0

59

แบบฝึ ก 3.8

ใหห้ าจุดตดั แกน X ของกราฟของสมการพาราโบลาในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี 4y = −5(x −7)2
1. y = −2(x +4)2 −2 2.

……………………………………………............. …………………………………………….............

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. ……………………………………………………. เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

3. y =6x2 −7x −3 4. y =x2 +4x+4

……………………………………………............. …………………………………………….............

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

60 เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา
5. −3y =(x −2)2 +3 6. y = x2 +3x −5
……………………………………………............. …………………………………………….............
……………………………………………………. …………………………………………………….
……………………………………………………. …………………………………………………….
……………………………………………………. …………………………………………………….
……………………………………………………. …………………………………………………….
……………………………………………………. …………………………………………………….
……………………………………………………. …………………………………………………….
……………………………………………………. …………………………………………………….
……………………………………………………. …………………………………………………….

61

ใหห้ าจุดตดั แกน Y ของกราฟของสมการพาราโบลาในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี
1. y = −2(x +2)2 +3 2. y = −12x2 −7x −6
……………………………………………............. …………………………………………….............

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. ……………………………………………………. เอกสารประกอบการสอนห ่นวย ่ที 3 : เ ่ืรองพาราโบลา

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

3. y = 3 (x − 2)2 − 2 4. 7y = 4(x −1)2 +3
4
……………………………………………............. …………………………………………….............

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………. …………………………………………………….

……………………………………………………

62

เอกสารประกอบการสอนหน่วยท่ี 3 : เร่ืองพาราโบลา