The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by Rattana Sasom, 2019-12-22 01:55:52

1ปก3-ผสาน

1ปก3-ผสาน

นางรตั นา สะสม
โรงเรยี นวัชรวทิ ยา
อาเภอเมอื ง จงั หวดั กาแพงเพชร
สานักงานเขตพื้นทก่ี ารศกึ ษามัธยมศึกษา เขต 41

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดบั อนนั ตแ์ ละอนุกรมอนนั ต์
ไดจ้ ดั ทาข้ึนเพ่อื ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ค33202
สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 6 มุง่ หวงั ใหน้ กั เรียนไดศ้ ึกษา ฝึกการเรียนรู้
พฒั นากระบวนการคิดแกป้ ัญหา โดยนาทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์มาช่วยในการ
ตดั สินใจแกป้ ัญหา ตลอดจนมีเจตคติที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ โดยแบ่งออกเป็น 5 ชุด
ดงั น้ี

1. ชุดที่ 1 เรื่องลาดบั และรูปแบบการกาหนดลาดบั
2. ชุดที่ 2 เร่ืองลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต
3. ชุดที่ 3 เรื่องลิมิตของลาดบั
4. ชุดที่ 4 เรื่องผลบวกของอนุกรมอนนั ต์
5. ชุดที่ 5 เร่ืองสญั ลกั ษณ์แทนการบวก

ชุดกิจกรรมน้ีเป็ นชุดที่ 3 เร่ืองลิมิตของลาดบั ประกอบดว้ ย คาช้ีแจง
สาระมาตรฐานการเรียนรู้และผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ สาระสาคญั ใบความรู้
ตวั อยา่ ง ใบกิจกรรม แบบทดสอบก่อนเรียนและแบบทดสอบหลงั เรียน กิจกรรม
ประลองปัญญา ทา้ ใหค้ ิด พชิ ิตปัญหา พร้อมเฉลย นกั เรียนสามารถทากิจกรรม
ประเมินความรู้และตรวจสอบเองได้

ผจู้ ดั ทาหวงั เป็นอยา่ งยง่ิ วา่ ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์น้ี จะเป็นประโยชน์
ต่อนกั เรียนในการศึกษาหาความรู้ใหก้ บั ตนเอง ท้งั น้ีตอ้ งขอขอบคุณผทู้ ี่มีส่วนเกี่ยวขอ้ ง
ทุกทา่ นที่ใหค้ าแนะนา สนบั สนุนในการจดั ทาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์
มา ณ โอกาสน้ี

รัตนา สะสม

สำรบญั

หนา้

คาช้ีแจงการใชช้ ุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์........................................... 1
สาระ และมาตรฐานการเรียนรู้…………………............................................. 2
ผลการเรียนรู้………………………………………………………………… 3
จุดประสงคก์ ารเรียนรู้...................................................................................... 3
แบบทดสอบก่อนเรียน ชุดท่ี 3 เรื่องลิมิตของลาดบั …………………………. 4
สาระสาคญั ...................................................................................................... 7
ประลองปัญญา………………….................................................................... 8
ใบความรู้ 3.1 เร่ือง การหาลิมิตของลาดบั โดยใชก้ ราฟ…….………………… 9
ใบกิจกรรม 3.1……………………………………………………………… 11
ใบความรู้ 3.2 เร่ือง การหาลิมิตของลาดบั โดยใชท้ ฤษฎีเกี่ยวกบั ลิมิต…….… 14
ใบกิจกรรม 3.2……………………………………………………………… 22
ทา้ ใหค้ ิด……………………………………………………………………. 25
ใบความรู้ 3.3 เร่ือง ทฤษฎีบทเพม่ิ เติมเก่ียวกบั ลิมิตของลาดบั ………............. 26
ใบความรู้ 3.4 เร่ือง ลิมิตของลาดบั อนนั ตท์ ี่เป็นลาดบั เลขคณิตและ

ลาดบั เรขาคณิต………........................................................................... 28
ใบกิจกรรม 3.3…………………..……………………………………………30
ใบกิจกรรม 3.4…………………..……………………………………………32
พชิ ิตปัญหา....................................................................................................... 33
แบบทดสอบหลงั เรียน ชุดที่ 3 เรื่องลิมิตของลาดบั ………………………….. 34
กระดาษคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน

ชุดท่ี 3 เรื่องลิมิตของลาดบั .................................................................... 37
แบบบนั ทึกคะแนน ชุดที่ 3 เรื่องลิมิตของลาดบั ……………………………. 38
บรรณานุกรม................................................................................................... 39

สำรบญั (ต่อ)

หนา้

ภาคผนวก
- เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน........................................................... 41
- เฉลยกิจกรรมประลองปัญญา........................................................ 42
- เฉลยกิจกรรม 3.1 …………………………………..…………… 43
- เฉลยกิจกรรม 3.2 …………………………………..…………… 46
- เฉลยกิจกรรมทา้ ใหค้ ิด…………………………………………… 53
- เฉลยกิจกรรม 3.3 …. …………………………………………… 54
- เฉลยกิจกรรม 3.4 …. …………………………………………… 59
- เฉลยกิจกรรมพิชิตปัญหา............................................................... 60
- เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน………………………………………61

1

คำชี้แจงกำรใช้ชุดกจิ กรรมกำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชุดท่ี 3 เร่ือง ลิมิตของลาดบั ใชป้ ระกอบ
การเรียนการสอนรายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ค33202 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 6
ใหน้ กั เรียนปฏิบตั ิตามข้นั ตอนต่อไปน้ี (ใชเ้ วลาเรียน 4 ชวั่ โมง)
1. ทาแบบทดสอบก่อนเรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบจากเฉลย

แบบทดสอบก่อนเรียน
2. ศึกษามาตรฐานการเรียนรู้ ผลการเรียนรู้ จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ เน้ือหาในใบความรู้

และตวั อยา่ งก่อนทาใบกิจกรรมแต่ละชุด
3. ทาใบกิจกรรมและตรวจสอบคาตอบจากเฉลย
4. ทาแบบทดสอบหลงั เรียนลงในกระดาษคาตอบ แลว้ ตรวจคาตอบจากเฉลย

แบบทดสอบหลงั เรียน
5. ใหน้ กั เรียนบนั ทึกผลคะแนนที่ไดจ้ ากการทาแบบทดสอบก่อนเรียน ใบกิจกรรม และ

แบบทดสอบหลงั เรียนไวใ้ นตารางบนั ทึกคะแนนทุกคร้ัง
6. นกั เรียนส่งกระดาษคาตอบ ใบกิจกรรม และตารางบนั ทึกคะแนน ใหค้ รูตรวจสอบ

ความถูกตอ้ งทุกคร้ัง

ใหน้ กั เรียนศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนรู้คณิตศาสตร์ดว้ ยความต้งั ใจ และซ่ือสัตย์
ตอ่ ตนเอง เพื่อพฒั นาและส่งเสริมทกั ษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ สามารถนาไปใช้
ในการศึกษาต่อในระดบั ท่ีสูงข้ึน และใชใ้ นชีวติ ประจาวนั

เรียนให้สนุกนะฮะ

2

สำระ และมำตรฐำนกำรเรียนรู้

สำระที่ 4 พชี คณติ
มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป (Pattern) ความสัมพนั ธ์ และฟังกช์ นั

สำระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนกำรทำงคณติ ศำสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การส่ือสาร
การส่ือความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ
การเช่ือมโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์
ม.4-6/1 ใชว้ ธิ ีการท่ีหลากหลายแกป้ ัญหา
ม.4-6/2 ใชค้ วามรู้ ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี
ในการแกป้ ัญหาในสถานการณ์ตา่ ง ๆ ไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/3 ใหเ้ หตุผลประกอบการตดั สินใจ และสรุปผลไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
ม.4-6/4 ใชภ้ าษาและสัญลกั ษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย
และการนาเสนอไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ งและชดั เจน
ม.4-6/5 เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลกั การ
กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกบั ศาสตร์อ่ืน ๆ
ม.4-6/6 มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

3

ผลกำรเรียนรู้
หาลิมิตของลาดบั อนนั ตโ์ ดยอาศยั ทฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลิมิตได้

จุดประสงค์กำรเรียนรู้
1. เขียนกราฟของลาดบั ที่กาหนดใหไ้ ด้
2. หาลิมิตของลาดบั โดยการพิจารณาจากกราฟได้
3. นาทฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลิมิตของลาดบั ไปใชห้ าลิมิตของลาดบั ได้
4. บอกไดว้ า่ ลาดบั ท่ีกาหนดใหเ้ ป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
หรือลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

บำงคนฝันทจ่ี ะประสบควำมสำเร็จอย่ำงสวยหรู
ในขณะทบ่ี ำงคนกำลงั ลงมือกระทำ

"Some dream of worthy accomplishments,
While others stay awake and do them."

- - Anonymous - -

อยากเปน็ หมอครบั

4

แบบทดสอบก่อนเรียน
ชุดที่ 3 เร่ืองลมิ ติ ของลำดับ

คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบที่ถูกที่สุดแลว้ ทาเครื่องหมาย  ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. ขอ้ ใดเป็ นกราฟของลาดบั an  2n

ก. ข.

ค. ง.
2. กาหนดกราฟของลาดบั ดงั รูป จงพจิ ารณาวา่ เป็นลาดบั ในขอ้ ใด

ก. ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 1
ข. ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 0
ค. ลาดบั แกวง่ กวดั (Oscillating sequence)
ง. ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

5

3. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ ูกตอ้ ง

ก. lim 1  0 เม่ือ r เป็ นจานวนจริงบวก

nn r

ข. lim nr  n เม่ือ r เป็ นจานวนจริงบวก
n

ค. lim ca n  cA เม่ือ c เป็นคา่ คงตวั และ lim a n  A

n n

ง.  liman  bn  lim a n  lim b n
n
n n

4. กาหนดกราฟของลาดบั ดงั รูป จงพจิ ารณาวา่ เป็นลาดบั ในขอ้ ใด

ก. ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 2
ข. ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 0
ค. ลาดบั แกวง่ กวดั (Oscillating sequence)
ง. ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

5. ลิมิตของลาดบั an  7 มีค่าตามขอ้ ใด
n

ก. 7 ข. 1

7

ค. 0 ง. หาค่าไมไ่ ด้

6. ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง ข. lim n  2  2
ก. lim 5  n n

n ง. lim 4n 1 หาคา่ ไม่ได้

ค. lim 4  2 n n 1
n

6

7. กาหนดลาดบั an  7  5n ขอ้ ใดถูกตอ้ ง
n

ก. a n เป็นลาดบั ลู่เขา้ และมีลิมิตเทา่ กบั 0

ข. a n เป็นลาดบั ลู่เขา้ และมีลิมิตเทา่ กบั 5

ค. a n เป็นลาดบั ลู่เขา้ และมีลิมิตเท่ากบั 7

ง. a n เป็ นลาดบั ลู่ออก

8. กาหนดลาดบั an  5  3n 3 มีลิมิตเทา่ กบั ขอ้ ใด
2n 3

ก.  3 ข. 0

2

ค. 3 ง. หาค่าไม่ได้

2

9. กาหนดลาดบั a n  n n 2  2 มีลิมิตเท่ากบั ขอ้ ใด

2n

ก.  1 ข. 0

2

ค. 1 ง. หาคา่ ไม่ได้

2

10. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไม่ถูกตอ้ ง

ก. an  1  2n 2 มีลิมิตเท่ากบั 2
n2

ข. an  n  5 เป็ นลาดบั ลู่เขา้

n

ค. an  7n 2  5n -1 เป็นลาดบั ลู่ออก
n

ง. an  7  5n เป็นลาดบั ลู่ออก
n -1

7

สำระสำคญั

ลิมิตของลาดบั คือการพจิ ารณาค่าของ a n ของลาดบั อนนั ต์

เมื่อ n มีค่ามากข้ึนเรื่อย ๆ โดยไม่มีที่สิ้นสุด (ใชส้ ญั ลกั ษณ์ lim a n )

n

วา่ มีลกั ษณะอยา่ งไร ลาดบั ที่มีลิมิตคือลาดบั ท่ีคา่ ของ a n เขา้ ใกล้

หรือเทา่ กบั คา่ ใดคา่ หน่ึงเพียงคา่ เดียว

เรียกลาดบั ที่มีลิมิตวา่ ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)

และเรียกลาดบั ท่ีไม่มีลิมิตวา่ ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

8

ประลองปัญญำ

ตัวเลขทอ่ี ย่ใู นวงกลมด้ำนบน เป็ นตัวเลขทม่ี ีควำมสัมพนั ธ์กนั

เอ... แล้วตวั เลขในวงกลมทหี่ ำยไป คือ
เลขอะไร...???

ช่วยหำหน่อยนะคะ

9

ใบควำมรู้ 3.1
เร่ือง กำรหำลมิ ติ ของลำดบั โดยใช้กรำฟ

(ใช้เวลำ 10 นำท)ี

เนื่องจากลาดบั คือ ฟังกช์ นั เราอาจเขียนกราฟของลาดบั ได้ ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตวั อย่ำงที่ 1 ลาดบั an  n -1 มีกราฟดงั น้ี
n

ลู่เข้า 1

ตัวอย่ำงท่ี 2 ลาดบั an  - 1 n1n -1 มีกราฟดงั น้ี

n

ลูอ่ อก

10

ตัวอย่ำงที่ 3 ลาดบั 3, 3, 3, 3, … มีกราฟดงั น้ี

ล่เู ขา้ 3

จากตวั อยา่ งท้งั สามจะเห็นไดว้ า่ กราฟของลาดบั เป็ นกราฟท่ีไมต่ ่อเนื่อง
เพราะลาดบั คือ ฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็ น {1, 2, 3, 4, 5, …}

กราฟในตวั อยา่ งท่ี 1 เมื่อ n มีคา่ มากข้ึน a n มีแนวโนม้ เขา้ หา 1 จึงเป็นลาดบั ลู่เขา้
(Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 1 และกราฟในตวั อยา่ งท่ี 3 ไม่วา่ n จะมีคา่ เท่าใด
a n มีค่าเท่ากบั 3 เสมอ จึงเป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 3
สาหรับกราฟในตวั อยา่ งท่ี 2 เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ ค่ี a n มีค่าเป็นบวก เม่ือ n เป็นจานวนเตม็ คู่
a n มีคา่ เป็นลบ สลบั กนั ไม่เขา้ หาคา่ ใดค่าหน่ึง เป็ นลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)
หาลิมิตไม่ได้

เรำไปลอง…ทำเองดูบ้ำงดกี ว่ำ
Let’s go!…

11

ใบกจิ กรรม 3.1

ชื่อ…...................................................................ช้ัน…………….เลขที่..........คะแนนที่ได.้ ..................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเขียนกราฟของลาดบั ท่ีกาหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ และพจิ ารณาวา่
เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) หรือลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)
พร้อมหาลิมิตของลาดบั ใชเ้ วลา 10 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. an   1 n
2

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั ...........
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

2. an  n 1
n

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั ...........
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

12

3. an  -1n

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเทา่ กบั ...........
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

4. a n  1

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั ...........
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

13

5. an  3n

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั ...........
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

ตรวจสอบใหด้ ีดี...
ก่อนส่งครูนะคะ

14

ใบควำมรู้ 3.2
เร่ือง กำรหำลมิ ติ ของลำดับโดยใช้ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั ลมิ ติ

(ใช้เวลำ 25 นำท)ี

ทฤษฎบี ท 1 ให้ r เป็นจานวนจริงบวกใด ๆ จะไดว้ า่

lim 1 0 และ lim nr หาค่าไมไ่ ด้
nr n
n

ตัวอย่ำงที่ 1 จงหาลิมิตของลาดบั an  1 และ an  n2
n3

จาก an  1 เขียนลาดบั ไดเ้ ป็น 11 1 1
n3 1, 8 , 27 , 64 ,..., n3 ,...

จะเห็นวา่ เม่ือ n มากข้ึนไม่มีท่ีสิ้นสุด

พจน์ที่ n ของลาดบั จะมีค่าลดลงและเขา้ ใกล้ 0 แตจ่ ะไมเ่ ป็ น 0

ดงั น้นั lim 1 0
n3
n

จาก an  n2 เขียนลาดบั ไดเ้ ป็ น 1, 4, 9, 16, …, n2 ,…
จะเห็นวา่ เม่ือ n มากข้ึนไม่มีท่ีสิ้นสุด
พจน์ท่ี n ของลาดบั จะมีค่ามากข้ึนและไมเ่ ขา้ ใกลจ้ านวนใด
ดงั น้นั lim n2 หาคา่ ไม่ได้

n

15

ทฤษฎบี ท 2 ให้ r เป็นจานวนจริง

ถา้ r  1 แลว้ lim rn  0
n

ถา้ r  1 แลว้ lim rn หาค่าไม่ได้
n

ตวั อย่ำงท่ี 2 จงหาลิมิตของลาดบั an    2 n , an   1 n และ an  10n
 3
2

จาก an    2 n เขียนลาดบั ไดเ้ ป็ น  2 , 4 , 8 ,16 ,...,  2 n ,...
 3 3 9 27 81  3 

จากกราฟจะเห็นวา่ เม่ือ n มากข้ึนไมม่ ีท่ีสิ้นสุด
พจน์ที่ n ของลาดบั จะมีคา่ ลดลงและเขา้ ใกล้ 0 แต่จะไมเ่ ป็ น 0

ดงั น้นั lim  2 n  0

n 3 

จาก an   1 n เขียนลาดบั ไดเ้ ป็ น 1 , 1 , 1 , 1 ,..., 1 n ,...
2 2 4 8 16  2 

จากจะเห็นวา่ เม่ือ n มากข้ึนไมม่ ีที่สิ้นสุด
พจนท์ ่ี n ของลาดบั จะมีคา่ ลดลงและเขา้ ใกล้ 0 แตจ่ ะไม่เป็ น 0

ดงั น้นั lim  1 n  0

n  2 

16

จาก an 10n เขียนลาดบั ไดเ้ ป็ น 10, 100, 1000, …, 10n ,…

จากจะเห็นวา่ เม่ือ n มากข้ึนไม่มีที่สิ้นสุด
พจน์ท่ี n ของลาดบั จะมีค่ามากข้ึนและไม่เขา้ ใกลจ้ านวนใด
ดงั น้นั lim 10n หาคา่ ไม่ได้

n

จากลาดบั an    2 n , an   1 n และ an  10n
 3
2

หำลมิ ิตโดยใช้ทฤษฎี จะไดว้ า่

 2 1 ดงั น้นั lim  2 n  0
3
n 3 
1 1
2 ดงั น้นั lim  1 n  0
10  1
n  2 

ดงั น้นั lim 10n หาคา่ ไม่ได้
n

วา้ ว… งา่ ยกวา่ กนั ต้งั เยอะ

17

ทฤษฎบี ท 3 ให้ an , bn , tn เป็ นลาดบั ของจานวนจริง
A, B เป็นจานวนจริง และ c เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ

โดยที่ lim a n  A และ lim bn  B

n n

จะไดว้ า่

1) ถา้ tn = c แลว้ lim t n  lim c  c

n n

2) lim ca n  c lim a n  cA
n
n

3)  lim an  bn  lim a n  lim bn  AB
n
n n

4)  lim an  bn  lim a n  lim b n  A B
n
n n

5)  lim an  bn  lim a n  lim b n  AB
n
n n

6) ถา้ bn  0 ทุกจานวนเตม็ บวก n และ B  0 แลว้

nlim an   lim a n  A
bn B
n

lim bn

n

ตัวอย่ำงที่ 3 จงหาลิมิตของลาดบั ตอ่ ไปน้ี

1) an  7

2) an 3
n

3) 1 - 2n 3
n3
an 

4) an  5 - 2n  3n 2
2n 2  3

5) an  n2  n2
n 1 n 1

18

วธิ ีทำ … ทฤษฎีบท 3(1)

1) an  7
เน่ืองจาก 7 เป็ นคา่ คงตวั ดงั น้นั lim 7  7

n

2) an 3
n

lim   3   3 lim 1  … ทฤษฎีบท 3(2)
n n   n n 

 30

0

ดงั น้นั lim  3   0

n n 

3) an  1 - 2n3
n3

nlim 1  2n 3  nlim 1 2n 3  … ทฤษฎีบท 3(4)
n3 n3 n3
  สนใจทสี่ ัมประสิทธ์ิของ n
ทม่ี เี ลขชีก้ ำลงั สูงสุด
 lim 1  lim 2

n n 3 n

0-2

 -2

ดงั น้นั nlim 1  2n 3 
n3
 2

19

4) an  5 - 2n  3n 2 จดั รูปโดยกำรนำ n2
2n 2  3
n2

คูณท้งั เศษและส่วน

n 2  5  2n  3n2 
n2 n2 n2
nlim 5  2n  3n 2   lim
2n 2  3
n n 2  2n 2  3 
n2 n2

 lim 5  2 3
n2 n

n 2  3
n2

lim 5  lim 2  lim 3 … ทฤษฎีบท 3(3,4,6)
n2 n n
 n n ใช้ทฤษฎบี ทได้
เม่ือทกุ พจน์หำลมิ ติ ได้
lim 2  lim 3
n2
n n

 003
20

3 สนใจทสี่ ัมประสิทธ์ิของ n
2
ทมี่ เี ลขชี้กำลงั สูงสุด

ดงั น้นั nlim 5  2n  3n 2   3
2n 2  3 2

จัดรูปก่อนใช้ทฤษฎหี ำลมิ ติ
โดยกำรนำ n ทม่ี ีเลขชี้กำลงั สูงสุด

มำหำรท้ังเศษและส่ วน

20

5) an  n2  n2
n 1 n 1

ใชท้ ฤษฎีบท 3(4) ไมไ่ ด้ เพราะ lim n2 และ lim n2 หาค่าไม่ได้
n n 1 n n 1

ตอ้ งจดั รูปก่อน

เน่ืองจาก n2  n2  n2 n 1  n2n  1
n 1 n 1 n  1n 1

 n3  n2  n3  n2 ทำส่วนให้เท่ำกนั
n2 1
สนใจทสี่ ัมประสิทธ์ิของ n
ทมี่ เี ลขชี้กำลงั สูงสุด   2n 2
n2 1

 n 2   2n 2 
n2

n 2  n2  1  จดั รูปโดยกำรนำ n2
n2 n2
n2
 2
1 คูณท้งั เศษและส่วน
1  n2

ฉะน้นั lim n2  n2  lim  2
n n 1 n 1  1
n 1 n2

lim  2
 n
1
lim 1  lim n2

n n

 2
1 0

 2

ดงั น้นั lim n2  n2 = -2
n n 1 n 1

21

ทฤษฎบี ท 4 ให้ an เป็นลาดบั ของจานวนจริงท่ีมากกวา่ หรือเทา่ กบั 0
และให้ m เป็นจานวนเตม็ ที่มากกวา่ หรือเทา่ กบั 2

ถา้ lim a n L แลว้ lim m a n  m lim a n mL

n n n

ตัวอย่ำงท่ี 4 จงหาลิมิตของลาดบั an  2n  1
3n

2n  1 n 2  1 
จาก lim  n
n 3n  lim
n n3

lim  2  1 
 n n 

lim 3

n

2
3

จะไดว้ า่ lim 2n  1  lim 2n  1  2
n 3n n 3n 3

ดงั น้นั lim 2n 1  2
n 3n 3

22

ใบกจิ กรรม 3.2

ชอื่ …...................................................................ช้นั …………….เลขท่ี..........คะแนนท่ไี ด้...................

คาช้ีแจง จงใชท้ ฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลิมิตตรวจสอบวา่ ลาดบั แตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี
เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) หรือลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

ใชเ้ วลา 20 นาที (14 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. an 5 2. an  4n
3n 3n

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

3. an 5  1 4. an  3n  1
n 2n - 3

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

23

5. an 1 6. an  5n3  3n  2
n-9 3n  2n3

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

7. an 1  2 8. a n  2 n-1  3n
n 2 3n2
n

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

9. an  4n 2  2 10. an 3 6n  5
4n 7n  8

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

…………………………………… ………………………………………

24

11. a n  n2  3n  n 12. a n   n 3
n 3
……………………………………
…………………………………… ………………………………………
……………………………………
…………………………………… ………………………………………
……………………………………
…………………………………… ………………………………………
……………………………………
………………………………………

………………………………………

………………………………………

………………………………………

13. an  n 1  n 14. an  4n 2

…………………………………… n  22
……………………………………
…………………………………… ………………………………………
……………………………………
…………………………………… ………………………………………
……………………………………
…………………………………… ………………………………………

………………………………………

………………………………………

………………………………………

………………………………………

ใชท้ ฤษฎีบทที่เรียนมา
ไดเ้ ลยนะคะ

25

ท้ำให้คดิ

จากรูปแบบที่กาหนด รูปท่ี 10 จะมีจุดก่ีจุด และสามารถหาจุดในรูปที่ n ไดห้ รือไม่

จุดในรูป เป็ นลำดบั ไหมนะ...?
ถ้ำเป็ น... เป็ นลำดบั อะไรล่ะ

26

ใบควำมรู้ 3.3
เร่ือง ทฤษฎบี ทเพมิ่ เติมเกี่ยวกบั ลมิ ติ ของลำดับ

(ใช้เวลำ 10 นำท)ี

ทฤษฎบี ท 5 ให้ an เป็ นลาดบั ของจานวนจริง

ถา้ lim a n L และ f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องท่ี L

n

แลว้ lim f a n   f L

n

ตวั อย่ำงที่ 5 จงหาลิมิตของลาดบั an  sin π  และ an 1
n
 e 2n

เน่ืองจาก lim sin π   sin lim π   sin0  0
n  n   n n 

ดงั น้นั lim sin π   0

n  n 

เน่ืองจาก 11
lim
lim e 2n  e0 1
n  en 2n

ดงั น้นั 1

lim e 2n  1
n

27

ทฤษฎบี ท 6 ให้ a1,a2 ,a3,...,an ,... เป็ นลาดบั อนนั ต์ ซ่ึงแตล่ ะพจน์
มีเคร่ืองหมายบวกและลบสลบั กนั แลว้

ถา้ lim a n 0 แลว้ ลาดบั อนนั ตด์ งั กล่าวจะเป็นลาดบั ลู่เขา้

n

(Convergent sequence) มีลิมติ เท่ากบั 0

ถา้ lim a n  L, L  0 แลว้ ลาดบั อนนั ตด์ งั กล่าว

n

จะเป็นลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

ตัวอย่ำงที่ 6 จงหาลิมิตของลาดบั an  -1n  1  และ an   1 n1 2n  1

n  3n 

เนื่องจาก an  1n  1   1

n n

ดงั น้นั lim a n  lim 1  0
n n
n

จากทฤษฎีบท 6 จะไดว้ า่ lim 1n 1   0

n  n 

เน่ืองจาก an  -1n1 2n  1  2n  1
 3n  3n

ดงั น้นั lim a n  lim 2n  1  2
n 3n 3
n

จากทฤษฎีบท 6 จะไดว้ า่ lim 1n1 2n 1 หาค่าไมไ่ ด้

n  3n 

28

ใบควำมรู้ 3.4
เรื่อง ลมิ ิตของลำดบั อนันต์ทเี่ ป็ นลำดับเลขคณติ และลำดับเรขำคณติ

(ใช้เวลำ 10 นำท)ี

ลำดบั อนันต์ทเ่ี ป็ นลำดับเลขคณติ
a1,a1  d, a1  2d,...

d0 d0

เป็นลาดบั ลู่เขา้ เป็นลาดบั ลู่ออก

(Convergent sequence) (Divergent sequence)

มีลิมิตเท่ากบั a1 หาลิมิตไม่ได้

ลำดับอนันต์ทเ่ี ป็ นลำดับเรขำคณติ

 a1,a1r,a1r2,a1r3,...

1 r 1 r 1 r  -1 หรือ r  1
เป็นลาดบั ลู่ออก
เป็นลาดบั ลู่เขา้ เป็นลาดบั ลู่เขา้
(Convergent sequence) (Convergent sequence) (Divergent sequence)
หาลิมิตไมไ่ ด้
มีลิมิตเทา่ กบั 0 มีลิมิตเท่ากบั a1

29

ตวั อย่ำงท่ี 7 จงหาลิมิตของลาดบั ต่อไปน้ี
วธิ ีทำ 1) 2, 2, 2, 2, …
2) 1, 2, 4, 8, 16, …
3) 5, 2, -1, -4, -7, …
4) 81, 27, 9, 3, 1, …

1) ลาดบั 2, 2, 2, 2, …
กรณีที่ 1 พบวา่ เป็ นลาดบั เลขคณิต a1  2 , d  0
ดงั น้นั เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเทา่ กบั 2
กรณีท่ี 2 พบวา่ เป็ นลาดบั เรขาคณิต a1  2 , r 1
ดงั น้นั เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 2

2) ลาดบั 1, 2, 4, 8, 16, …

พบวา่ เป็ นลาดบั เรขาคณิต a1  1 , r  2 ……. r  1

ดงั น้นั เป็ นลาดบั ลู่ออก(Divergent sequence) หาลิมิตไมไ่ ด้

3) ลาดบั 5, 2, -1, -4, -7, …

พบวา่ เป็ นลาดบั เลขคณิต a1  5 , d  -3 …….. d  0

ดงั น้นั เป็ นลาดบั ลู่ออก(Divergent sequence) หาลิมิตไมไ่ ด้

4) ลาดบั 81, 27, 9, 3, 1, …

พบวา่ เป็นลาดบั เรขาคณิต a1  81 , r1 …… 1  r  1
3

ดงั น้นั เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 0

30

ใบกจิ กรรม 3.3

ช่ือ…...................................................................ชัน้ …………….เลขท.่ี .........คะแนนท่ไี ด้...................

คาช้ีแจง จงหาลิมิตของลาดบั ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. an  sin 1  2. an  cos π  1 
n  n

…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………

3. a n  lnn  lnn  1 4. an  -1n

n

…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………

31

 5.
an  1n1 n2 1 6. an   1n  cos n π
 2n  
n2 1 1

…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………

7. 3, 10, 17, …, 7n-4, … 8. 2, 4 , 8 , 16 , ..., 2n ,...
3 9 27 3n -1

…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………

9. 5, 10, 15, 20, …, 5n,… 10. 2 , 3 , 4 , ..., n 1 ,...

3 4 5 n2

…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………
…………………………………… ………………………………………

32

ใบกจิ กรรม 3.4

ช่อื …...................................................................ช้นั …………….เลขท่.ี .........คะแนนที่ได.้ ..................

คาช้ีแจง จงเขียนเคร่ืองหมาย หนา้ ขอ้ ความท่ีถูก และเขียนเคร่ืองหมาย 
หนา้ ขอ้ ความท่ีผดิ ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 5 นาที (6 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

……… 1. ถา้ an และ bn เป็ นลาดบั ลู่ออก แลว้ an  bn เป็ นลาดบั ลู่ออก

……… 2. ถา้ an เป็ นลาดบั ลู่เขา้ และ bn เป็ นลาดบั ลู่ออก แลว้ an  bn เป็ นลาดบั ลู่ออก

……… 3. ถา้ a1,a2,a3,...,an,... เป็ นลาดบั ลู่เขา้ แลว้ a3,a4,a5,...,an,... เป็ นลาดบั ลู่เขา้

……… 4. ถา้ a1,a2,a3,...,an ,... เป็ นลาดบั ลู่ออก แลว้ a1 , a2 , a3 ,..., an ,...
เป็นลาดบั ลู่ออก

……… 5. ถา้ a1,a2,a3,...,an ,... เป็นลาดบั ลู่เขา้ แลว้ a12 , a 2 , a 2 ,...,a 2 ,...
3
2 n

เป็นลาดบั ลู่เขา้

……… 6. ถา้ a1,a2,a3,...,an,... เป็ นลาดบั ลู่เขา้ แลว้ ka1,ka2,ka3,...,kan,...
เป็ นลาดบั ลู่เขา้ เม่ือ k R

คิดให้ด.ี .. ก่อนตอบนะคะ

33

พชิ ิตปัญหำ

“โรงเรียนแห่งหน่ึงมีคา่ ใชจ้ ่ายพลงั งานไฟฟ้า 2.4 ลา้ นบาทตอ่ ปี ผบู้ ริหารโรงเรียน
จึงใหค้ รูและนกั เรียนคิดโครงการประหยดั พลงั งานไฟฟ้า เพ่อื ลดค่าใชจ้ ่ายลง 5%
ในแตล่ ะปี นกั เรียนคิดวา่ อีก 10 ปี ขา้ งหนา้ โรงเรียนแห่งน้ีจะตอ้ งจ่ายค่าไฟฟ้าลดลง
จากปี แรกเทา่ ไร (ถา้ ค่าหน่วยไฟฟ้าเท่าเดิม) และลาดบั ของค่าใชจ้ า่ ยพลงั งานไฟฟ้าน้ี
เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) หรือลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)”

ช่วยกนั ประหยดั ไฟนะครับ

34

แบบทดสอบหลงั เรียน
ชุดท่ี 3 เรื่องลมิ ิตของลำดบั

คาช้ีแจง จงเลือกคาตอบที่ถูกท่ีสุดแลว้ ทาเคร่ืองหมาย  ลงในกระดาษคาตอบ
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. ขอ้ ใดเป็นกราฟของลาดบั an   1 n
 2 

ก. ข.

ค. ง.
2. กาหนดกราฟของลาดบั ดงั รูป จงพจิ ารณาวา่ เป็นลาดบั ในขอ้ ใด

ก. ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเทา่ กบั -2
ข. ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั -1
ค. ลาดบั แกวง่ กวดั (Oscillating sequence)
ง. ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

35

3. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ ูกตอ้ ง

ก. lim ca n  c lim a n เมื่อ c เป็นคา่ คงตวั

n n

ข.  liman  bn  lim a n  lim b n
n
n n

ค. lim  1 r  0 เม่ือ r เป็ นจานวนจริงบวก

n n 

ง. lim mn  lim m  lim n เมื่อ r เป็ นจานวนจริงบวก
n n n

4. กาหนดกราฟของลาดบั ดงั รูป จงพิจารณาวา่ เป็นลาดบั ในขอ้ ใด

ก. ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 2
ข. ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเทา่ กบั 0
ค. ลาดบั แกวง่ กวดั (Oscillating sequence)
ง. ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

5. ขอ้ ใดต่อไปน้ีถูกตอ้ ง ข. lim n  5  -5
ก. lim 10  n n

n ง. lim 9n2 1 หาคา่ ไมไ่ ด้
n
ค. lim 16  4 n2 1
n

6. ลิมิตของลาดบั an  7n มีคา่ ตามขอ้ ใด
n

ก. 0 ข. 1

7

ค. 7 ง. หาคา่ ไมไ่ ด้

36

7. กาหนดลาดบั an  n n2  2 มีลิมิตเทา่ กบั ขอ้ ใด
2n 2

ก.  1 ข. 0

2

ค. 1 ง. หาค่าไม่ได้

2

8. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไม่ถูกตอ้ ง

ก. an  1 n2 มีลิมิตเท่ากบั 1
n2

ข. an  n3  5 เป็ นลาดบั ลู่เขา้

n3

ค. an  7n 3  5n -1 เป็นลาดบั ลู่ออก
n2

ง. an  7  13 n เป็นลาดบั ลู่ออก
n -1

9. กาหนดลาดบั an  5  3n5 มีลิมิตเท่ากบั ขอ้ ใด
2n5  1

ก.  3 ข. 0

2

ค. 3 ง. หาคา่ ไม่ได้

2

10. กาหนดลาดบั an  7  5n ขอ้ ใดถูกตอ้ ง
n

ก. a n เป็นลาดบั ลู่เขา้ และมีลิมิตเท่ากบั 5

ข. a n เป็นลาดบั ลู่เขา้ และมีลิมิตเทา่ กบั -5

ค. a n เป็นลาดบั ลู่เขา้ และมีลิมิตเท่ากบั 7

ง. a n เป็ นลาดบั ลู่ออก

37

กระดำษคำตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน
ชุดท่ี 3 เรื่องลมิ ิตของลำดบั

ชื่อ.......................................................................................ช้นั ...................เลขท่ี...................

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนทาเครื่องหมาย  ลงในช่องวา่ งท่ีตรงกบั คาตอบท่ีถูกท่ีสุด

ทดสอบก่อนเรียน ทดสอบหลงั เรียน

ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง

11

22

33

44

55

66

77

88

99

10 10

คะแนนทไ่ี ด้ คะแนนทไี่ ด้

ควำมเก่ง…
ฝึ กกนั ได้

38

แบบบันทกึ คะแนน
ชุดที่ 3 เร่ืองลมิ ิตของลำดบั

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนบนั ทึกคะแนนที่นกั เรียนทาไดต้ ามความเป็นจริง

กจิ กรรม คะแนนเตม็ คะแนนทไี่ ด้ ผ่ำน 70 % สรุปผล
(ผ/มผ.)
ทดสอบก่อนเรียน
ทดสอบหลงั เรียน 10 7
ความกา้ วหนา้ 10 7
กิจกรรม 3.1 หลงั -ก่อน
กิจกรรม 3.2 10 7
กิจกรรม 3.3 14 10
กิจกรรม 3.4 10 7
รวมกิจกรรม 3.1-3.4 6 4
40 28

ลงช่ือ...............................................นกั เรียน
เลขท่ี.................ช้นั .................

100% 90% อยำกเป็ นหนึ่ง
ต้องใจเกนิ ร้อย

39

บรรณำนุกรม

กนกวลี อุษณกรกลุ และรณชยั มาเจริญทรัพย.์ (2555). แบบฝึ กหดั และประเมนิ ผล
กำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์เพมิ่ เติม ม.4-6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ : สานกั พิมพเ์ ดอะบุคส์จากดั .

กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลกั สูตรแกนกลำงกำรศึกษำข้นั พืน้ ฐำน พทุ ธศักรำช 2551.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย จากดั .

ชนญั ชิดา. คณติ คิดสนุก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก : http://sinceremath.blogspot.com.
(วนั ที่คน้ ขอ้ มูล : 11 พฤศจิกายน 2556).

นงนุช สุขวารี และคณะ. (2554). คู่มืออบรมครูคณติ ศำสตร์. โครงการพฒั นาครู
วทิ ยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ คอมพวิ เตอร์ ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาตอนปลาย.

บล็อกเนยสีฟ้า. ภำพสัตว์ป่ ำน่ำรัก. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http://www.bloggang.com. (วนั ที่คน้ ขอ้ มูล : 18 พฤศจิกายน 2556).

เลิศ สิทธิโกศล. (2555). Math Review คณติ ศำสตร์ ม.4-6 เล่ม 6 (เพมิ่ เตมิ ).
กรุงเทพฯ : บริษทั ไฮเอ็ดพบั ลิชชิ่ง จากดั .

สานกั วชิ าการและมาตรฐานการศึกษา สานกั งานคณะกรรมการการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน,
กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). ตวั ชี้วดั และสำรแกนกลำงกลุ่มสำระกำรเรียนรู้
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พช์ ุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทยจากดั .

ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2554). คู่มือวดั ผลประเมนิ ผล
คณติ ศำสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.

_______. (2554). คู่มือครูรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพม่ิ เติม เล่ม 6 ช้ันมัธยมศึกษำปี ท่ี 4-6.
กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.

_______. (2554). หนังสือเรียนรำยวชิ ำคณติ ศำสตร์เพม่ิ เติม เล่ม 6
ช้ันมธั ยมศึกษำปี ท่ี 4-6. กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ สกสค.

เสวตร โคตรนารา. ลำดับและอนุกรม. [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http : www.krusawed.wordpress.com. (วนั ท่ีคน้ ขอ้ มูล : 15 พฤศจิกายน 2556).

40

41

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

ข้อ คำตอบ
1ก
2ข
3ข
4ก
5ค
6ค
7ข
8ก
9ง
10 ง

จะทำให้เตม็ ไม่ใช่เรื่องยำก

42

เฉลยกจิ กรรมประลองปัญญำ

42
48 35

ตวั เลขทอี่ ย่ใู นวงกลมด้ำนบน เป็ นตวั เลขทม่ี คี วำมสัมพนั ธ์กนั

ทแี่ ท้...ก้อเรียงกนั เป็ นลำดับเลขคณติ
ในแนวสลบั ฟันปลำ

43

เฉลยกจิ กรรม 3.1

คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนเขียนกราฟของลาดบั ท่ีกาหนดใหใ้ นแตล่ ะขอ้ และพจิ ารณาวา่
เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) หรือลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)
พร้อมหาลิมิตของลาดบั ใชเ้ วลา 10 นาที (5 ขอ้ ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. an   1 n
2

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเทา่ กบั ...0........
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

2. an  n 1
n

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเทา่ กบั ....1.......
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

44

3. an  -1n

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั ...........
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

4. a n  1

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเทา่ กบั ....1.......
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

45

5. an  3n

 ลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเทา่ กบั ...........
 ลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)

เกณฑ์กำรให้คะแนนกจิ กรรม 3.1

1. ไมม่ ีการเขียนกราฟ และตอบผดิ ได้ 0 คะแนน

2. เขียนกราฟถูกตอ้ ง หรือ ตอบถูกตอ้ ง อยา่ งใดอยา่ งหน่ึง ได้ 1 คะแนน

3. เขียนกราฟถูกตอ้ งและตอบถูกตอ้ ง ท้งั สองอยา่ ง ได้ 2 คะแนน

46

เฉลยกจิ กรรม 3.2

คาช้ีแจง จงใชท้ ฤษฎีบทเกี่ยวกบั ลิมิตตรวจสอบวา่ ลาดบั แตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี
เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) หรือลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)
ใชเ้ วลา 20 นาที (14 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. an 5
3n

lim 5  5 lim 1
n 3n 3 n n

 5 0

3

0

ดงั น้นั ลาดบั an 5 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเท่ากบั 0
3n

2. an  4n
3n

จาก 4n   4 n และ 4  1
3n 3
3

lim 4n หาคา่ ไมไ่ ด้

n 3n

ดงั น้นั ลาดบั an  4n เป็นลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)
3n

3. an 5  1
n

lim 5  1   lim 5  lim 1
n n  n n n

 5-0

5

ดงั น้นั ลาดบั an 5 1 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
n

มีลิมิตเท่ากบั 5


Click to View FlipBook Version
Previous Book
TAKWIM MINGGU BELAJAR 2020
Next Book
קטלוג חנוכה עידן 2000 אילת