1ปก3-ผสาน

47

4. an  3n  1
2n - 3

lim 3n  1  n3  1 
lim  n 
n 2n - 3 n n 2 - 3 

 n

 30
2-0

3
2

ดงั น้นั ลาดบั an  3n  1 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
2n - 3

มีลิมิตเท่ากบั 3

2

5. an 1
n-9

1 n 1 
lim  lim  n 
n n  9
n n1  9 
 n

0
1- 0

0

ดงั น้นั ลาดบั an 1 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
n-9

มีลิมิตเทา่ กบั 0

48

6. an  5n3  3n  2
3n  2n3

5n3  3n  2 n35  3  2 
3n  2n3  n2 n3 
lim  lim
n n 3  3 2 
n  n2  

 5-00
02

5
2

ดงั น้นั ลาดบั an  5n3  3n  2 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
3n  2n3

มีลิมิตเท่ากบั 5

2

7. an 1  n 2
n 2

1 2  1n  2  2n
n n2 nn  2

 2-n
n2  2n

2  n n 2  2  1 
n2  2n  n2 n 
lim  lim
n n2 1  2 
n

 n

 0-0
1 0

0

ดงั น้นั ลาดบั an 1  n 2 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
n 2

มีลิมิตเทา่ กบั 0

49

8. a n  2n-1  3n
3n2

2n-1  3n  2n21  3n
3n 2 3n32

 1  2 n  1
18  3  9

lim  1  2 n  1  01
 
n18  3  9  9

1
9

ดงั น้นั ลาดบั an  2 n-1  3n เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
3n2

มีลิมิตเท่ากบั 1

9

9. an  4n 2  2
4n

lim 4n 2  2 lim n 4  2 
n 4n n2

n 4n

 40
4

1
2

ดงั น้นั ลาดบั a n  4n 2  2 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
4n

มีลิมิตเท่ากบั 1

2

50

10. an 3 6n  5
7n  8

lim 3 6n - 5  3 lim 6n  5
n 7n  8 n 7n  8

n6  5 
 n
 3 lim n7  8 

n

 n

 6

3

7

ดงั น้นั ลาดบั an  3 6n  5 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
7n  8

มีลิมิตเทา่ กบั 3 6

7

11. a n  n2  3n  n

 n2  3n  n  n2  3n  n  n2  3n  n 
 n2  3n  n 

 3n
n2  3n  n

lim 3n  lim 3n

n n2  3n  n n n 1 3  1
n

3
10 1

3
2

ดงั น้นั ลาดบั an  n2  3n  n เป็ นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
มีลิมิตเทา่ กบั 3

2

51

12. a n   n 3
n 3

lim  n  3  lim  n 1  3 
n 3 n  n
n
n 1  3 
 n

 - 1-0
1 0

 -1

ดงั น้นั ลาดบั an   n 3 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
n 3

มีลิมิตเท่ากบั -1

13. an  n 1  n

 n 1  n  n  n 1 n 
n 1 n 1 n

1
n 1 n

lim 1 n  1 
 n
 lim
n n 1  n n n   1
1
1 n

0
10 1

0

ดงั น้นั ลาดบั an  n 1  n เป็ นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)
มีลิมิตเทา่ กบั 0

52

14. an  4n 2

n  22

lim 4n 2  lim n2 4n 2
 4n  4
n n  22 n

 lim n 2 4

n n 2 1  4  4 
 n n2 

4
1 0  0

4

ดงั น้นั ลาดบั an  4n 2 เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence)

n  22

มีลิมิตเทา่ กบั 4

เกณฑ์กำรให้คะแนนกจิ กรรม 3.2

1. ไม่ตอบหรือตอบผิด ได้ 0 คะแนน
2. ตอบถูกตอ้ งวา่ เป็นลาดบั ลู่เขา้ หรือลู่ออก ได้ 1 คะแนน

53

เฉลยกจิ กรรมท้ำให้คดิ

จากรูปแบบท่ีกาหนด รูปที่ 10 จะมีจุดก่ีจุด และสามารถหาจุดในรูปท่ี n ไดห้ รือไม่

จากรูป พบวา่
รูปที่ 1 มี 3 จุด
รูปท่ี 2 มี 8 จุด หรือ 3+5
รูปที่ 3 มี 13 จุด หรือ 3+5+5 หรือ 3+2(5)
รูปท่ี 4 มี 3+3(5) = 18 จุด



รูปท่ี 10 มี 3+9(5) = 48 จุด



รูปท่ี n มี 3+(n-1)(5) = 5n-2 จุด

เป็ นลำดบั เลขคณติ มผี ลต่ำงเท่ำกบั 5
เอ...แล้วหำลมิ ติ ได้ไหมเนี่ย

54

เฉลยกจิ กรรม 3.3

คาช้ีแจง จงหาลิมิตของลาดบั ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 10 นาที (10 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

1. an  sin 1 
n

lim sin 1   sin lim 1 
n n   n n 

 sin0

0

ดงั น้นั lim sin 1   0

n n 

2. an  cos π  1 
 n

lim cos π  1   cosnlim π  1 
n  n  n

 cosπ  0

 cosπ

 -1

ดงั น้นั lim cos π  1   -1

n  n 

55

3. a n  lnn  lnn  1

จาก lnn  lnn 1  ln n

n 1

lim ln n   ln lim n 
n n  1  n n  1


 
 ln lim n 

n n1  1  
  n  

 ln 1 
1 0

 ln 1

0

ดงั น้นั lim lnn  lnn 1  0
n

4. an  -1n

n

จาก lim 1n  lim 1
n n n n

0

ดงั น้นั lim 1n  0

n n

56

 5.
an  1n1 n2 1

n2 1

 จาก
lim  1n1 n2  1  lim n2 1

n n2 1 n n2 1

 lim n2 1 1 
 n2 

n n2 1 1 
 n2 

 10
1- 0

1

 ดงั น้นั
lim 1n1 n2  1 หาค่าไม่ได้

n n2 1

6. an   1n  cos n 1 π
 2n  

จาก lim  1n  cos n π  lim cos n 1 π
 2n  1  2n  
n n

 cos lim nπ 
 n 2n  1 


 
 coslim nπ 

n n 2  1  
  n  

 cos π
20

 π
cos
2

0

ดงั น้นั lim  1n  cos n 1 π  0
 2n 
n

57

7. 3, 10, 17, …, 7n-4, …
จากลาดบั ท่ีกาหนด เป็ นลาดบั เลขคณิต a1  3 , d  7
ดงั น้นั ลาดบั 3, 10, 17, …, 7n-4, … ไมม่ ีลิมิต

8. 2, 4 , 8 , 16 , ..., 2n ,...
3 9 27 3n -1

จากลาดบั ท่ีกาหนด เป็ นลาดบั เรขาคณิต a1  2 , r 2
3

นนั่ คือ r  1

ดงั น้นั ลาดบั 2, 4 , 8 , 16 , ..., 2n ,... มีลิมิตเทา่ กบั 0
3 9 27 3n -1

9. 5, 10, 15, 20, …, 5n,…
จากลาดบั ที่กาหนด เป็ นลาดบั เลขคณิต a1  5 , d  5
ดงั น้นั ลาดบั 5, 10, 15, 20, …, 5n,… ไม่มีลิมิต

10. 2 , 3 , 4 , ..., n  1 ,...

3 4 5 n2

จากลาดบั ที่กาหนด an  n 1
n2

lim n  1  n1  1 
lim  n 
n n  2 n n1  2 

 n

 10
1 0

1

ดงั น้นั ลาดบั 2 , 3 , 4 , ..., n 1 ,... มีลิมิตเท่ากบั 1

3 4 5 n2

58

เกณฑ์กำรให้คะแนนกจิ กรรม 3.3

1. ไม่ตอบหรือตอบผดิ ได้ 0 คะแนน
2. หาลิมิตของลาดบั ไดถ้ ูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

59

เฉลยกจิ กรรม 3.4

คาช้ีแจง จงเขียนเคร่ืองหมาย หนา้ ขอ้ ความท่ีถูก และเขียนเครื่องหมาย 
หนา้ ขอ้ ความท่ีผดิ ในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี
ใชเ้ วลา 5 นาที (6 ขอ้ ขอ้ ละ 1 คะแนน)

 1. ถา้ an และ bn เป็ นลาดบั ลู่ออก แลว้ an  bn เป็ นลาดบั ลู่ออก

 2. ถา้ an เป็ นลาดบั ลู่เขา้ และ bn เป็ นลาดบั ลู่ออก แลว้ an  bn เป็ นลาดบั ลู่ออก

 3. ถา้ a1,a2,a3,...,an,... เป็ นลาดบั ลู่เขา้ แลว้ a3,a4,a5,...,an,... เป็ นลาดบั ลู่เขา้

 4. ถา้ a1,a2,a3,...,an ,... เป็ นลาดบั ลู่ออก แลว้ a1 , a2 , a3 ,..., an ,...
เป็นลาดบั ลู่ออก

 5. ถา้ a1,a2,a3,...,an ,... เป็นลาดบั ลู่เขา้ แลว้ a12 , a 2 , a 2 ,...,a 2 ,...
2 3
n

เป็นลาดบั ลู่เขา้

 6. ถา้ a1,a2,a3,...,an,... เป็ นลาดบั ลู่เขา้ แลว้ ka1,ka2,ka3,...,kan,...
เป็ นลาดบั ลู่เขา้ เมื่อ k R

เกง่ มาก มาก...

60

เฉลยกจิ กรรมพชิ ิตปัญหำ

“โรงเรียนแห่งหน่ึงมีคา่ ใชจ้ า่ ยพลงั งานไฟฟ้า 2.4 ลา้ นบาทตอ่ ปี ผบู้ ริหารโรงเรียน
จึงใหค้ รูและนกั เรียนคิดโครงการประหยดั พลงั งานไฟฟ้า เพอื่ ลดค่าใชจ้ ่ายลง 5%
ในแต่ละปี นกั เรียนคิดวา่ อีก 10 ปี ขา้ งหนา้ โรงเรียนแห่งน้ีจะตอ้ งจ่ายค่าไฟฟ้าลดลง
จากปี แรกเท่าไร (ถา้ คา่ หน่วยไฟฟ้าเท่าเดิม) และลาดบั ของคา่ ใชจ้ ่ายพลงั งานไฟฟ้าน้ี
เป็นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) หรือลาดบั ลู่ออก (Divergent sequence)”

วธิ ีคิด
จากปัญหาที่กาหนดให้ a1  2.4

r  95  0.95
100

จากลาดบั เรขาคณิต an  a1rn1

จะไดว้ า่ an  2.4 95 n 1

 100

อีก 10 ปี ขา้ งหนา้ แทน n = 10

จะไดว้ า่ a10  2.4 95 101

 100

 1.513

นนั่ คือ เมื่อเวลาผา่ นไป 10 ปี โรงเรียนจ่ายคา่ ไฟฟ้าลดลง 2.4 – 1.513 = 0.887 ลา้ นบาท

จากลาดบั ของคา่ ใชจ้ า่ ยไฟฟ้า an  2.4 95 n 1 เป็นลาดบั เรขาคณิต

 100

r  95 ซ่ึง r < 1

100

ดงั น้นั เป็ นลาดบั ลู่เขา้ (Convergent sequence) มีลิมิตเทา่ กบั 0

61

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

ข้อ คำตอบ
1ข
2ก
3ง
4ข
5ค
6ค
7ค
8ง
9ก
10 ข

เยย่ี มไปเลย