ใบความรู้ที่ 1ถึง7(รวม)

1

ใบความร้ทู ี่ 1
หลกั การนับเบ้ืองตน้

ในการทางานอยา่ งหนึง่ ถ้าสามารถแบง่ วธิ กี ารทางานออกเปน็ 2 กรณี โดยท่ี
กรณีท่ี 1 สามารถทาได้ n1 วิธี
กรณีที่ 2 สามารถทาได้ n2 วิธี

ซึง่ การทางานทัง้ 2 วิธี ไม่ซ้าซ้อนกัน และการทางานในแตล่ ะกรณีทาให้งานเสร็จสมบูรณ์แล้วจะสามารถ
ทางานนไ้ี ด้ทงั้ หมด n1  n2 วธิ ี

เช่น
1. จงหาจานวนวิธเี ลือกแตง่ ตัวโดยใสเ่ สื้อ และกางเกงของนายสมคิดซึ่งมี เสอ้ื และกางเกงดงั นี้

เส้อื ยืดแขนสนั้ เสอ้ื ยดื แขนยาว เสอ้ื เชิต้ กางเกงผา้ ยดื กางเกงผ้ารม่ กางเกงยนี

2

ในการทางานอยา่ งหนง่ึ ถา้ สามารถแบ่งวิธีทางานออกเป็น k กรณี โดยที่
กรณีที่ 1 สามารถทาได้ n1 วธิ ี
กรณีที่ 2 สามารถทาได้ n2 วธิ ี
.
.
.
กรณที ่ี k สามารถทาได้ nk วธิ ี

ซงึ่ การทางานในท้ัง k กรณี ไมซ่ า้ ซอ้ นกนั และการทางานในแต่ละกรณีทาให้งานเสรจ็ สมบูรณแ์ ล้วจะ
สามารถทางานนไี้ ด้ทงั้ หมด n1  n2 ... nk วธิ ี

ตวั อย่างที่ 1 หนังสือกองหนงึ่ เปน็ หนังสอื คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน 4 เล่ม เล่มที่ 1 ถงึ เล่มที่ 4 หนงั สือคณิตศาสตร์
เพม่ิ เตมิ 6 เล่ม เล่มที่ 1 ถงึ เลม่ ที่ 6 จงหาจานวนวธิ ที ีจ่ ะหยิบหนงั สือ 1 เลม่ จากหนงั สอื กองน้ี

ตัวอย่างที่ 2 ถ้าต้องการเลือกเดินทางไปเที่ยวภาคเหนือ ภาคตะวันออก ภาคตะวันตก หรือภาคใต้ เพียง 1 ภาค
ในชว่ งวนั หยุดยาว ถา้ ในภาคเหนือมที ่พี กั ใหเ้ ลอื กได้ 2 แห่ง ภาคตะวันออกมีทพี่ ักให้เลือกได้ 4 แห่ง ภาคตะวันตกมีท่ี
พกั ใหเ้ ลือกได้ 3 แหง่ และภาคใตม้ ีท่ีพกั ให้เลอื กได้ 3 แหง่ จงหาจานวนวธิ เี ลือกท่ีพักในการไปเท่ยี วครงั้ น้ี

3
ตัวอย่างท่ี 3 ร้านคา้ แหง่ หน่ึงมีกระเป๋าเดินทาง 4 ขนาด คือ s,m,l และ xl แตล่ ะขนาดมี 2 สี คอื สีดากบั สีเทา จงหา
จานวนวธิ ีทัง้ หมดทร่ี า้ นคา้ แห่งน้ีจะจดั โชวก์ ระเปา๋ เดินทางทุกขนาดและทุกสี

ในการทางานอยา่ งหนึง่ ถ้าสามารถแบง่ ขัน้ ตอนการทางานออกเปน็ k ขน้ั ตอน ซง่ึ ต้องทาต่อเนื่องกนั โดยท่ี
ข้ันตอนท่ี 1 สามารถทาได้ n1 วิธี

ในแต่ละวิธขี องขน้ั ตอนท่ี 1 สามารถทาข้ันตอนท่ี 2 ต่อไปได้ n2 วิธี
ในแต่ละวธิ ีของขน้ั ตอนที่ 1 และขนั้ ตอนท่ี 2 สามารถทาขั้นตอนที่ 3 ต่อไปได้ n3 วธิ ี

...
...
...
ในแตล่ ะวธิ ีของข้ันตอนที่ 1 และข้นั ตอนท่ี k-1 สามารถทาขัน้ ตอนที่ k ต่อไปได้ nk วธิ ี
แล้วสามารถทางานนี้ได้ท้ังหมด n1  n2 ... nk วธิ ี

ตัวอย่างที่ 1 หนังสอื สองกอง กองทีห่ นง่ึ เป็นหนังสือคณิตศาสตร์พ้ืนฐานท่ีแตกต่างกัน 4 เล่ม กองท่ีสองเป็นหนังสือ
คณิตศาสตร์เพิ่มเติมท่ีแตกต่างกัน 6 เล่ม จงหาจานวนวิธีที่จะหยิบหนังสือคณิตศาสตร์พ้ืนฐานและคณิตศาสตร์
เพ่ิมเตมิ อย่างละ 1 เลม่

4
ใบงานท่ี 1
หลกั การนับเบ้อื งตน้
1. ถา้ การเดนิ ทางระหว่างเมือง A และเมือง B สามารถทาได้ 2 ทาง คือ ทางบก ซง่ึ มถี นนเช่อื มกนั 4 เสน้ และทาง
อากาศ ซง่ึ มสี ายการบินเชื่อมโยงทสี่ ามารถใช้บรกิ ารได้ 3 สายการบนิ อยากทราบวา่ จะมีวิธีเดนิ ทางจากเมือง A ไป
เมอื ง B ไดท้ ั้งหมดกวี่ ธิ ี

2. แกว้ เข้าไปรบั ประทานอาหารในศูนยอ์ าหารแหง่ หนงึ่ ซงึ่ มรี ้านอาหารไทย 5 รา้ น ร้านอาหารจนี 3 รา้ น และ
ร้านอาหารญี่ปุ่น 2 ร้าน แกว้ จะมิวิธีเลือกรบั ประทานอาหารไดท้ ้งั หมดกีว่ ธิ ี

3. ชายคนหนง่ึ มเี ส้อื และกางเกง สาหรบั สวมไปเท่ยี วอยู่ 4 ตัว และ 3 ตัว ตามลาดับ ทั้งหมดสีต่างกนั เขามีวธิ สี วม
เสอื้ และกางเกงไปเท่ียวต่าง ๆ กัน ได้ทั้งหมดกชี่ ดุ

5
4. ระหว่างท่าข้ามสองฝั่งแม่น้ามีเรือยนต์ข้ามฟากแล่นอยู่ 4 ลา จงหาจานวนวิธีทั้งหมดท่ีผู้โดยสารคนหนึ่งจะนั่งเรือ
ข้ามฟากโดยท่เี ที่ยวไปและเทยี่ วกลบั ลงเรือไม่ซ้ากัน

5. ตอ้ งการซื้อสินคา้ 1 ชนิ้ จากร้านคา้ ทขี่ ายเสอ้ื 9 ตัว กางเกง 8 ตัว และรองเท้า 3 คู่ จะสามารถซอื้ สนิ ค้าไดก้ วี่ ิธี

6. ในงานเล้ียงแห่งหนึ่ง มีอาหารคาว 4 ชนิด อาหารหวาน 3 ชนิด ผลไม้ 2 ชนิด ผู้ที่ไปงานคนๆหนึ่ง จะมีวิธีเลือก
รับประทานอาหารโดยเลือกอาหารคาว อาหารหวาน และผลไมอ้ ยา่ งละ 1 ชนิด ไดท้ ง้ั หมดก่วี ิธี

6
7. มีเส้ือ 5 ตัว สีต่างกัน กางเกง 4 ตัว สีต่างกัน และเนกไท 2 เส้น สีต่างกัน จะมีวิธีเลือกแต่งตัว ด้วยเสื้อ กางเกง
และเนกไทเปน็ ชดุ ตา่ ง ๆ กนั ก่วี ธิ ี

8. จานวนวิธีทนี่ ก 5 ตวั บินไปเกาะตน้ ไม้ 3 ต้น มีทง้ั หมดกีว่ ธิ ี

9. ร้านขายอาหารวา่ งแห่งหนึ่ง มีขนมปังอยู่ 5 ชนิดต่างกัน มีเคร่ืองด่ืม 2 ชนิด โดยที่แต่ละชนิดมี 3 ขนาด คือ ใหญ่
กลาง และเลก็ ถา้ ตอ้ งการเลอื กขนมปงั 1 ชนดิ และเครอื่ งด่มื 1 ชนิด จะเลือกได้กีว่ ิธี

10. มกี ล่องอยู่ 4 ใบ วางเรยี งเป็นแถว จะมกี ี่วธิ ีทจ่ี ะนาลูกบอล 3 ลูก ใส่ลงในกลอ่ ง ครง้ั ละ 1 ลกู จนครบ 3 ลกู

7
11. กระเป๋าเดินทางใช้กุญแจรหัสเป็นจานวนสี่หลัก แต่ละหลักหมุนได้ตั้งแต่ 0 ถึง 9 ถ้าตั้งรหัสให้กุญแจเปิดได้ มี
เพียง 1 วธิ ี จงหาจานวนวธิ ีทีก่ ญุ แจเปดิ ไมไ่ ด้

12. เมนูของร้านอาหารแห่งหนึ่ง มีอาหารไทย 12 อย่าง อาหารจีน 8 อย่าง และอาหารญี่ปุ่น 5 อย่าง ถ้าต้องการ
เลอื กส่งั อาหาร 1 อย่าง จะสามารถเลอื กส่ังอาหารได้ก่แี บบ

13. กมลนากระเบอ้ื งรูปสามเหล่ยี มด้านเท่าทแ่ี ต่ละดา้ นยาว 1 หน่วย จานวน 9 แผ่น มาจัดเรียงชิดกันดังรูปจากการ
จดั เรยี งกระเบ้ืองขา้ งตน้ มีรปู สามเหล่ยี มดา้ นเท่าท้งั หมดกี่รปู

8
14. ห้างสรรพสินค้าแห่งหน่ึงมีประตูซึ่งเข้าและออกได้ 10 ประตู ถ้าน้อยหน่าต้องการเข้าและออกห้างสรรพสินค้า
แหง่ น้โี ดยไมใ่ ช้ประตซู า้ กันแลว้ น้อยหนา่ จะสามารถเลอื กประตเู ขา้ ออกได้ก่วี ธิ ี

15. กาหนดจุด a1, a2,b1,b2, b3,c1,c2 และ c3 บนด้านของรูปสามเหล่ียม ABC ดังรูป จงหาว่าจะสร้างรูป
สามเหลย่ี มทมี่ ีจุดดงั กล่าวเป็นจุดยอดไดก้ ่ีรูป

9

16. ให้ AD และ FC เปน็ ส่วนของเส้นตรงซึง่ ตงั้ ฉากกนั ที่จดุ C และมีจดุ B และ E ดังรูป

จงหาว่า
1) จะสรา้ งรูปสามเหลย่ี มท่มี จี ุด A, B, C, D, E หรอื F เปน็ จุดยอดไดท้ ้ังหมดกร่ี ปู
2) จะสรา้ งรูปสามเหลย่ี มมุมฉากทีม่ ีจุด A, B, C, D, E หรอื F เปน็ จุดยอดไดท้ ้ังหมดกรี่ ปู
3) จะสร้างรูปสามเหลีย่ มทมี่ ีจุด A เป็นจุดยอด และมจี ดุ อกี สองจุดจากจดุ B,C,D, E หรอื F ไดท้ ั้งหมดกรี่ ปู

10
17. กาหนดกระดาษรูปสี่เหล่ียมมมุ ฉากขนาด 2X1 ตารางหน่วยจานวน 9 ช้ิน จงหาจานวนวิธีท่ีแตกต่างกันท้ังหมด
ในการวางกระดาษทง้ั เก้าชิน้ ลงบนตารางดังรูป

18. รหัสบัตรเอทีเอ็มประกอบด้วยเลขโดดจานวน 4 ตัว จงหาจานวนรหัสบัตรเอทีเอ็มที่เลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้า
กัน เลขโดดในหลักแรกไม่ใช่ 9 และเลขโดดในหลกั สดุ ท้ายเป็นจานวนคู่

11
19. จงหาจานวนวิธีสร้างคาที่ไม่คานึงถึงความหมาย ซึ่งประกอบด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษ 5 ตัว โดยที่ตัวอักษร 2
ตวั ท่ีตดิ กันต้องแตกต่างกนั

20. จงหาว่า
1) จานวนเตม็ บวกสามหลกั ทีม่ ากกวา่ 300 ทสี่ รา้ งจากเลขโดด 0 1 2 3 4 และ 5 มที งั้ หมดกจ่ี านวน
2) จานวนเต็มบวกสามหลักท่ีมากกว่า 300 ท่ีสร้างจากเลขโดด 0 1 2 3 4 และ 5 โดยเลขโดดในแต่ละหลักไม่ซ้ากัน
มีทั้งหมดกี่จานวน

21. เลขเรียกหนังสือของห้องสมุดแห่งหนึ่งประกอบด้วยตัวอักษรภาษาอังกฤษ 2 ตัว เลขโดด 3 ตัว ท่ีไม่เป็นศูนย์
พรอ้ มกนั ตัวอักษรภาษาอังกฤษ 1 ตวั และเลขโดด 2 ตัว ท่ีไม่เป็นศูนย์พร้อมกันเช่น QA 005 B01 จงหาจานวนเลข
เรยี กหนังสอื ทัง้ หมด

12
22. ลกู เตา๋ แต่ละลกู มี 6 หน้า โดยมแี ตม้ 1 2 3 4 5 และ 6 ปรากฏอยู่แต้มละหน่ึงหน้าถ้าทอดลูกเต๋าหน่ึงลูกสองคร้ัง
จงหา
1) จานวนวิธที แ่ี ต้มทีไ่ ด้จากการทอดลูกเต๋าทั้งสองคร้งั เทา่ กัน
2) จานวนวธิ ีทีแ่ ตม้ ที่ไดจ้ ากการทอดลูกเตา๋ ท้งั สองครงั้ ตา่ งกัน
3) จานวนวิธที ่ผี ลรวมของแต้มที่ได้จากการทอดลูกเต๋าท้งั สองคร้ังนอ้ ยกวา่ 10

23. จงหาวา่
1) จานวนเต็มบวกท่ีมีสามหลักมที ้ังหมดก่ีจานวน
2) จานวนเต็มบวกท่มี ีสามหลกั ทเ่ี ลขโดดในหลกั แรกและหลักสุดท้ายไม่ซ้ากันมที งั้ หมดกี่จานวน
3) จานวนเตม็ บวกทม่ี ีสามหลกั ที่เลขโดดในหลักแรกและหลักสดุ ทา้ ยรวมกันได้ 10 มีท้ังหมดก่จี านวน

13
24. พาลินโดรม (palindrome) หมายถึง คาท่ีสามารถเขียนตัวอักษรเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้า หรือจากขวาไป
ซ้าย แล้วยังคงอ่านออกเสียงได้เหมือนเดิม เช่น NOON,RADAR,REDDER จงหาว่าพาลินโดรมที่ประกอบด้วย
ตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ 4 ตัวโดยมีความหมายหรอื ไม่กไ็ ด้ มที ง้ั หมดกค่ี า

25. มีผลไม้อยู่ 4 ชนิด ได้แก่ มะละกอ ทุเรียน สับปะรด และส้มโอ ชนิดละ 1 ผล และมีตะกร้าอยู่แตกต่างกันอยู่ 6
ใบ ถา้ ต้องการนาผลไมท้ ้งั หมดใสต่ ะกร้าจงหา
1) จานวนวิธใี นการนาผลไมใ้ สต่ ะกร้าโดยไม่มีเงือ่ นไข
2) จานวนวิธใี นการนาผลไม้ใสต่ ะกรา้ โดยท่ตี ะกร้าแตล่ ะใบมผี ลไม้ไมเ่ กิน 1 ผล

14

ใบความรทู้ ่ี 2
การใชห้ ลกั เกณฑเ์ บื้องตน้ เกี่ยวกับการนับ ภายใต้เงอ่ื นไข

ตัวอย่างที่ 1 ในการทอดลกู เต๋า 2 ลูก 1 ครัง้ จงหา
1. จานวนวิธที เ่ี ป็นไปไดท้ ั้งหมด
2. จานวนวธิ ที ีล่ กู เต๋าลูกท่ี 1 ขึน้ แต้มคี่และลูกเตา๋ ลกู ที่ 2 ข้ึนแตม้ ไม่เกนิ 3

ตัวอย่างท่ี 2 โรงละครแห่งหนึง่ มปี ระตทู ้งั หมด 6 ประตู ชาย 2 คนต้องการเดินเข้าแถวและออกจากโรงละครแห่งน้ี
จงหาจานวนวธิ ีการเขา้ และออกของชายทั้งสองคน เมื่อ
1. แต่ละคนเขา้ ประตใู ดแลว้ ออกประตนู ้นั ไม่ได้
2. ชายทัง้ สองคนจะใช้วิธีเขา้ และออกเหมอื นกันไม่ได้

ตัวอยา่ งท่ี 3 ปา้ นอ้ ยมีดนิ สอทีต่ ่างกัน 3 แทง่ ต้องการแจกดินสอทงั้ หมดใหเ้ ด็กกลุ่มหนึ่งซึง่ มี 8 คน จงหาจานวนวิธี
แจกดินสอให้เด็กกลุ่มนี้ เม่ือ
1. ไมม่ ีเงื่อนไข
2. ไม่แจกดนิ สอซ้าคน
3. มีการแจกดินสอซา้ คน

15
ใบงานที่ 2
การใชห้ ลกั เกณฑเ์ บื้องต้นเกี่ยวกับการนับ ภายใต้เงอ่ื นไข
1. มีถงุ 2 ใบ ใบทห่ี นง่ึ มลี กู บอลสีขาว 4 ลูก สดี า 3 ลกู สนี า้ ตาล 1 ลูก ใบท่ีสอง มีลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีดา 3 ลูก สี
นา้ ตาล 2 ลูก ทีไ่ มเ่ หมือนกันหยิบลกู บอล 1 ลูกจากถุงใบท่ีหน่ึง แล้วใส่ลงใน ถงุ ใบทสี่ อง และหยิบลูกบอลจากถุงใบที่
สอง ออกมา 1 ลูก ถ้ากาหนดให้ลูกบอลท่ีหยิบจากถุงใบท่ีหน่ึง เป็นสีขาวและลูกบอลท่ีหยิบจากถุงใบที่สอง ไม่ใช่สี
น้าตาลจะมวี ธิ กี ารหยิบลกู บอลตามเงอ่ื นไขไดก้ ่ีวิธี

2. ตอ้ งการสรา้ งคาทีป่ ระกอบดว้ ยตัวอักษร 4 ตวั ซง่ึ ไม่ซ้ากันและเลือกตวั อักษรมาจากคาว่า EDUCATION จะสรา้ ง
ไดท้ ้งั หมดกวี่ ิธี เม่ือคาทสี่ ร้างไม่จาเป็นตอ้ งมคี วามหมายและ

2.1) คาทีส่ รา้ งมีพยัญชนะอย่างน้อย 1 ตวั
2.2) คาที่สร้างมีสระอยา่ งน้อย 1 ตวั
2.3) คาที่สรา้ งต้องขน้ึ ตน้ ดว้ ยพยัญชนะและลงท้ายด้วยสระอะ

16

3. ชาย 4 คนหญิง 4 คน ยืนสลบั กนั เปน็ แถวยาว จะยืนไดก้ ี่วิธีท่แี ตกตา่ งกนั

4 ในกล่องใบหนง่ึ มีบัตร 6 ใบแต่ละใบมหี มายเลข 1 ตวั คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5 ถา้ หยิบบัตรจากกลอ่ งมา 2 ใบ โดยหยิบ
ครงั้ ละ 1 ใบ แบบไม่ใสค่ ืน จงหาจานวนวธิ ที ผี่ ลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้ง 2 ใบ เป็นจานวนคู่

5 ตอ้ งการเลอื กประธาน,รองประธาน และเลขานุการ ตาแหน่งละ 1 คนโดยเลอื กจากชาย 6 คนและหญิง 3 คนจะมี
วธิ ีเลือกกรรมการได้ทัง้ หมดกี่วิธีโดยที่ประธานและรองประธานเปน็ เพศเดยี วกันแต่เปน็ คนละเพศกับเลขานุการ

17

ใบความร้ทู ี่ 3

การเรยี งสบั เปล่ียนเชิงเส้นของสิ่งของทแ่ี ตกต่างกันท้งั หมด (linear permutation)

บทนยิ าม
ให้ n เปน็ จานวนเตม็ บวก
แฟกทอเรียล (factorial) n คือ การคูณของจานวนเต็มบวกตง้ั แต่ 1 ถงึ n

เขยี นแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n! (อ่านวา่ เอ็นแฟกทอเรยี ล)
นัน่ คือ n!1 23...n 1 n
หรือ n! nn 1...3 21 และให้ 0!1

จานวนวธิ เี รยี งสับเปล่ียนของ n ส่ิง ซ่งแตกตา่ งกนั คราวละ n สงิ่ จะจดั ได้
nn 1n  2...3 21  n!

บทนิยาม
เมือ่ n=0 แฟกทอเรยี ล 0 เทา่ กบั 1 น้ันคือ 0!1

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาค่าของ ให้ n!  n n 1!
1) 0! 1! 111!
2) 1! 1!10! จากเอกลกั ษณก์ ารคณู และ 1!1
3) 3!
4) 4! ดงั นนั้ 0!1
5) 5!

6) 0.5!

7) 4!

3!

8) 12!

10!

9) 11!

12!

10) n!

n 1!

18

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ 52!

48!4!

ตวั อย่างที่ 3 จงหาคา่ ของ 12!

2!10!

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหา n จากสมการ n n!  10

1!

ตวั อย่างที่ 5 จงหา n จากสมการ  n n!  72

 2!

19

ตัวอยา่ งที่ 6 จงเขียน 210 ใหอ้ ยู่ในรปู แฟคทอเรียล
ตวั อย่างท่ี 7 จงเขียน 360 ให้อยู่ในรปู แฟคทอเรยี ล

20

วธิ ีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสง่ิ ของทแี่ ตกตา่ งกันทัง้ หมด

จานวนวธิ ีในการนาสงิ่ ของ r สงิ่ ชิ้น จากสิง่ ของท่ีแตกต่างกนั ทั้งหมด n ชิ้น โดยท่ี 0  r  n

มาเรียงสบั เปล่ียนเชงิ เสน้ คือ Pn,r  n n! วธิ ี

 r!

*** ถา้ มสี ่ิงของ n สิ่ง ที่แตกต่างกนั ท้ังหมด จานวนวิธเี รยี งสับเปลีย่ นเท่ากับ n!
*** จานวนวิธเี รยี งสับเปลยี่ น เท่ากบั m!n!m วธิ ี
*** วิธีเรียงสับเปลี่ยนส่งิ ของท่ีมีบางส่งิ ซ้ากันแบบเชิงเสน้

ถ้ามีส่งิ ของ n ช้ิน และแบ่งเป็น k กลุ่ม
กลุ่มที่ 1 มีของซา้ กนั n1 ชิ้น
กลมุ่ ท่ี 2 มีของซ้ากนั n2 ชิน้
กลุ่มที่ 3 มีของซ้ากัน n3 ชนิ้
..
..
..
กลุม่ ที่ k มีของซ้ากนั nk ชิ้น

จานวนวิธีเรยี งสับเปลย่ี นเท่ากับ n!

n1 !n2 !n3 !...nk !

ตัวอย่างที่ 1 นักเรียน 5 คน เขา้ คิวซื้อบัตรชมดนตรี จะมวี ิธีเข้าควิ ซอ้ื บัตรได้กวี่ ธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาจานวนวธิ ที ่ีแตกต่างกันท่ีจะจัดคน 6 คน เขา้ แถวตรงเรยี งหนึง่

21
ตวั อย่างที่ 3 ถา้ ต้องการสรา้ งคาโดยใช้ตัวอักษร 4 ตวั จากตวั อกั ษรในคาว่า FLOWER จะสรา้ งได้กี่คาโดยท่ีคา
ดังกล่าวตอ้ งข้ึนต้นและลงท้ายดว้ ยสระ แต่ไม่จาเป็นต้องมีความหมาย

ตวั อยา่ งท่ี 4 จัดคน 6 คน ยนื เรยี งแถวเพ่ือถ่ายรูปโดยจะถา่ ยคร้งั ละกี่คนก็ได้ จะมีวิธจี ดั ได้ทั้งหมดกีว่ ิธี

ตวั อย่างท่ี 5 มีชาย 4 คน และหญงิ 2 คน จะมกี ่วี ธิ ที ีจ่ ะให้คนท้ัง 6 คน มายืนเปน็ แถว โดยท่ชี ายทัง้ 4 คน ยนื ติดกัน
และหญิงท้ังสองคนยนื ตดิ กนั

22

ใบงานที่ 3
การเรยี งสบั เปล่ียนเชงิ เส้นของส่ิงของทแี่ ตกต่างกันทัง้ หมด (linear permutation)
1. จงหาค่าในแต่ละข้อโดยผลลัพธต์ ้องไมอ่ ยู่ในรปู แฟคทอเรียล
1.1) 7!

5!3!

1.2) 5!3!

4!

1.3) 3!2

1.4) n!

n  3!

1.5) n 1!n 1!n!
 n !3

1.6) n  k  2!
n  k!

2. จงเขยี นผลคณู ตอ่ ไปนใ้ี ห้อยู่ในรปู แฟกทอเรียล
2.1) 123...10

23

2.2) 121110...321

2.3) 201918
2.4) 5079521051853

2.5) n  3n  2n 1n

2.6) n2 16n2  9n2  4n2 1n

2.7) 2n2n 12n  22n 1
3. จงหาค่า n ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้

3.1) n!120

24

3.2)  n n!  132

 2!

3.3) n  4!
n  2!  720

3.4) n n!  720

 3!

3.5) n 1!
n  2!  1,320

3.6) n n!  n n!

 3!5!  2!4!

3.7) n  1!  63n!
n  2!
n 1!

3.8) 3n!  n 1!
n  6!
n  4!

25

3.9) 20  n!  20  n!
9!n  9! 7!n  7!

3.10) 10! n2 1!  120
9! n

4. มหี นงั สอื 7 เลม่ ทแ่ี ตกต่างกนั เปน็ หนงั สอื วชิ าภาษาไทย 3 เลม่ วิชาภาษาอังกฤษ 2 เลม่ วิชาภาษาฝร่งั เศส 2 เลม่
จะวางเรยี งหนังสอื บนชนั้ วางไดก้ ว่ี ธิ ี โดยใชห้ นงั สอื วชิ าภาษาไทยวางตดิ กนั หนงั สือภาษาอังกฤษวางตดิ กนั ส่วน
หนังสือวชิ าฝรัง่ เศส จะวางติดกนั หรือแยกกนั กไ็ ด้

5. ต้องการนาตวั อักษรจากคาว่า STRONG จะจดั เปน็ คาใหม่โดยทคี่ าดังกลา่ วไม่มคี วามหมายก็ไดจ้ ะจดั ได้กว่ี ธิ ี
ถา้ 5.1) S และ T ต้องอยู่ตดิ กนั
5.2) S และ T ตอ้ งไม่อยู่ติดกัน

26
6. มีจานวนทม่ี ี 5 หลัก กี่จานวนท่ีหารด้วย 5 ไม่ลงตัว ถ้าจานวนเหลา่ น้ันสรา้ งจากเลขโดด 3,5,6,7,9 โดยทีแ่ ตล่ ะ
หลกั ตอ้ งไม่ซา้ กัน

7. จัดคน 10 คน ยนื เปน็ แถวหนา้ กระดาน จงหาจานวนวธิ ีในการจัดเม่ือ
7.1) จดั ใหค้ นที่สงู ที่สดุ อยู่ทางด้านขวาสดุ
7.2) จดั ให้คนท่สี ูงท่ีสุดอยู่ทางดา้ นขวาสุดและคนท่ีเต้ยี ท่สี ดุ อยทู่ างดา้ นซา้ ยสุด
7.3) จดั ใหค้ นท่สี งู ทีส่ ดุ ละคนท่เี ตีย้ ทีส่ ุดยนื ติดกนั

8. จงหาจานวนวิธจี ดั ชาย 5 คน หญิง 3 คน ยนื เรียงเป็นแถว โดยไมม่ หี ญงิ สองคนยืนตดิ กนั

27

ใบความรู้ที่ 4
การเรียงสบั เปล่ียนเชงิ เสน้ ของสิ่งของท่ีไม่แตกต่างกันทง้ั หมด(มบี างสิง่ ซ้ากนั )

ถา้ มีสง่ิ ของ n ชิน้ ในจานวนนมี้ ี n1 ช้ินท่ีเหมือนกันเปน็ กลุม่ ท่หี นง่ึ มี n2 ช้ินที่เหมอื นกนั เปน็ กลุ่มที่สอง…. และมี nk

ชนิ้ ทเ่ี หมือนกนั เป็นกล่มุ ท่ี k โดยท่ี n1+n2+…+nk = n แล้ว จานวนวธิ ีเรยี งสบั เปล่ียนสิง่ ของ n ชน้ิ ดงั เงอื่ นไขข้างตน้
n!
เป็น n1 ! n2 ! ... nk ! วิธี

EX1. จงหาจานวนวิธใี นการนาตวั อักษรจากคาวา่ CARAVELLE มาสลับกนั ใหเ้ กดิ คาทีแ่ ตกตา่ งจากเดมิ โดยไมค่ านึง
ความหมาย

วิธีทา

EX2. ต้องการนาตวั อักษรทุกตวั จากคาวา่ STATISTICS มาเรยี งสับเปลย่ี นเปน็ คาต่าง ๆ โดยไมค่ านงึ ถงึ ความหมายซึ่ง
มีเงอ่ื นไขวา่ คานั้นข้นึ ตน้ ด้วยตัวอักษร T และลงท้ายดว้ ยตวั อักษร A จะเรยี งได้ท้ังหมดกว่ี ิธี

วธิ ีทา

28

EX3. ต้องการสรา้ งจานวนท่ีมีหกหลกั จากเลขโดด 6 ตวั คอื 0,6,6,6,8,8
1). จานวนทม่ี ีค่าอยู่ระหว่าง 600,000 และ 800,000 มที ้งั หมดก่ีจานวน
วิธที า

2). จานวนทมี่ ีค่ามากกว่า 800,000 มีท้ังหมดกีจ่ านวน
วิธีทา

EX4. จงหาจานวนวิธเี รยี งตวั อักษรในคาว่า ENTRANCE ซง่ึ E สองตัวไมอ่ ยู่ติดกนั
วิธีทา

29
ใบงานที่ 4
การเรยี งสบั เปล่ียนเชิงเสน้ ของสิ่งของทไ่ี มแ่ ตกตา่ งกนั ทั้งหมด(มีบางสิ่งซ้ากนั )
1. จดั หลอดไฟสตี ่าง ๆ เพ่ือประดับเปน็ แนวเสน้ ตรงจานวน 9 หลอด โดยใชห้ ลอดไฟสีแดง 3 หลอด และสี
เหลือง 3 หลอด สีเขียว 1 หลอด สนี า้ เงิน 1 หลอด สีขาว 1 หลอด ะมจี านวนวธิ จี ัดเรยี งหลอดไฟดงั กลา่ ว
โดยไม่ให้หลอดไฟสเี ขียวและสนี า้ เงนิ ตดิ กันไดท้ ง้ั หมดกว่ี ธิ ี

2. จงหาจานวนวิธเี รียงสับเปลย่ี นตัวอักษรในคาว่า ELEVEN ครงั้ ละ 4 ตวั

3. กาหนดแผนผังการเดินทาง ดังรูป
3B
2
1
A 12 34 5

รอยเส้นในแผนผังแทนถนนและการเดนิ ทางต้องเดนิ ทางไปทางทศิ เหนือหรอื ทิศตะวนั ออกเท่าน้นั
3.1) จานวนเสน้ ทางท้ังหมดจาก A ไป C

30

3.2) จานวนเสน้ ทางท้งั หมดจาก A ไป C โดยผา่ น B

4. ธง 7 ผนื ผนื ละ1 สี นาธง 5 ผนื มาผูกเป็นแถวยาว เพื่อทาเป็นสัญญาณธง จะสรา้ งสญั ญาณธงได้กว่ี ิธี

5. นาธงตวั อักษรจากคาวา่ tobacco มาจัดเรยี งได้กี่วิธี ถา้
5.1) ไม่มีเงอ่ื นไขเพมิ่ เตมิ

5.2) อักษร o อยูร่ ิมทง้ั สองขา้ ง

31

6. จากตวั เลข 1,2,3,4,3,2,1 จะนามาสรา้ งเลข 7 หลัก ได้กจี่ านวน ถา้ ให้เลขค่ีอยู่ในตาแหน่งคี่

7. มีหนงั สือคณิตศาสตร์ 5 เลม่ เหมือนกัน เคมี 4 เล่มเหมือนกันและฟิสิกส์ 3 เลม่ เหมอื นกัน ถา้ นามาจดั เรยี งบนช้นั
หนังสือโดยหนังสอื เคมอี ย่ตู ิดกัน และหนงั สอื ฟิสกิ ส์อยแู่ ยกกนั ทัง้ 3 เลม่ จะเรยี งได้ก่วี ิธี

32

ใบความรทู้ ่ี 5
การเรียงสบั เปล่ียนเชงิ วงกลมของสง่ิ ของที่แตกตา่ งกันท้ังหมด
การเรยี งสับเปลี่ยนเชิงวงกลม (Circular permutation)
จานวนวิธเี รยี งสับเปล่ียนเชงิ วงกลมของสง่ิ ของทแี่ ตกต่างกัน n ช้นิ เท่ากบั (n-1)! วิธี

EX1. จดั คน 5 คน นัง่ รอบโตะ๊ กลมไดก้ ี่วิธี
วิธที า

EX2. ในการประชุมคณะกรรมการนกั เรียนมสี มาชิกท้ังหมด 8 คน จงหาจานวนวธิ ที จี่ ะใหส้ มาชกิ เหลา่ น้ี ร่วมประชมุ
โดยน่งั รอบโต๊ะกลม

วิธที า

33

การเรียงเป็นวงกลมแบบพลิกได้ (แบบ 3 มติ ิ)

จานวนวิธี = (n 1) ! วธิ ี
2

EX3. นาดอกไม้ทแ่ี ตกต่างกัน 10 ดอก มารอ้ ยเป็นพวงมาลัยกลม จะไดพ้ วงมาลัยแบบตา่ งๆ กันก่แี บบ
วิธที า

EX4. ร้อยลกู ปัด 7 เมด็ สตี ่างกนั เป็นกาไลข้อมือ จะมีวธิ รี ้อยไดก้ ่ีวธิ ี
วธิ ีทา

34
ถ้ามีสงิ่ ของแตกตา่ งกนั 2 ประเภท ๆ ละ n ส่งิ นาสิ่งของท้ังหมดมาเรยี ง สลับกันเป็นวงกลมประเภทละ r สง่ิ (r หาร
n ลงตัว)

จานวนวิธี = r X (n-1)! X n! วธิ ี
EX5. ชาย 6 คน หญิง 6 คน นัง่ เป็นวงกลมได้กว่ี ิธถี า้

1) นัง่ สลับกนั ทลี ะ 1 คน ระหว่างชายกบั หญงิ

2) น่งั สลับกันทีละ 2 คน ระหวา่ งชายกับหญิง

3) น่ังสลับกนั ทีละ 3 คน ระหว่างชายกบั หญงิ

ถา้ นาสงิ่ ของแตกต่างกัน n สิง่ เลอื กมา r สงิ่ เรยี งเป็นวงกลม (แบบพลิกไมไ่ ด้) และ 0  r  n
จานวนวิธี = n! วิธี
(n r)!r

EX6. เด็กกั เรยี น 7 คน จดั นง่ั โต๊ะกลมท่ีสามารถนง่ั ได้ 5 คน ได้กวี่ ิธี

35

EX7. จดั คน 10 คน นั่งรอบโต๊ะกลมครัง้ ละ 6 คน จะมวี ธิ ีจัดได้ทง้ั หมดกีว่ ธิ ี
วธิ ที า

ถา้ มีส่งิ ของ n ชิ้น ในจานวนนมี้ ี n1 ชิน้ ที่เหมอื นกนั เปน็ กลมุ่ ทหี่ นึ่งมี n2 ชิ้นทีเ่ หมือนกันเป็นกลุ่มทีส่ อง...

และมี nk ชิ้นทเ่ี หมือนกันเปน็ กลุ่มท่ี k โดยท่ี n1+n2+…+nk = n แลว้ จานวนวธิ ีเรยี งสับเปลย่ี นส่ิงของ n ชน้ิ ดงั
(n 1)!
เงื่อนไขขา้ งตน้ เปน็ วธิ ี แตถ่ า้ จดั เรียงสับเปลีย่ นของ n สิ่ง ดังกลา่ วเป็นวงกลมใน 3 มิติ (แบบ
n1 ! n2 ! ... nk !

(n 1)!

พลิกได้) จะจัดได้ 2 วิธี
n1 ! n2 ! ... nk !

EX8. จัดคน 10 คน นัง่ รอบโต๊ะกลม โตะ๊ แรก 6 คน ทเี่ หลอื น่ังรอบโต๊ะกลมโต๊ะทส่ี อง จะมีวธิ ีจดั ได้ท้ังหมดก่วี ธิ ี
วธิ ที า

EX9. จงหาจานวนวธิ ีทจ่ี ะจัดชาย 6 คน และหญงิ 6 คน นง่ั ประชมุ โตะ๊ กลม โดยให้ชายและหญงิ น่งั สลับกัน

*** จานวนวิธีทจ่ี ะจัดชาย n คน และ หญงิ n คน นง่ั สลบั กันเปน็ วงกลมจะจัดได้ (n-1)!n! วิธ*ี **

36

ใบงานที่ 5

การเรยี งสบั เปล่ียนเชงิ วงกลมของส่งิ ของทแี่ ตกตา่ งกันท้ังหมด

1. จัดชาย 5 คน หญิง 5 คน น่งั รับประทานอาหารรอบโต๊ะกลมได้ทัง้ หมดก่วี ิธี เมื่อ
1.1 ไมม่ เี งื่อนไขใด ๆ

1.2 ชาย หญิง นง่ั สลบั กนั

1.3 สามี ภรรยา 5 คู่ แตล่ ะคนู่ ั่งติดกันเสมอ

2. มีลูกแกว้ 7 ลูก ซึ่งมสี ตี ่างกันทง้ั หมด โดยมีสีแดง สีขาว สนี ้าเงนิ และสอี ื่น ๆ จงหาจานวนวธิ ที ีจ่ ะเรยี ง
ลกู แก้วเปน็ วงกลม โดยใหล้ ูกแกว้ สนี ้าเงนิ อยรู่ ะหวา่ งสีขาวและสแี ดง

37
3. ครอบครัวหน่งึ มีพ่อ แม่ และลกู 4 คน น่ังรับประทานอาหารรอบโตะ๊ กลม 6 ทน่ี ่ัง จงหาวิธที ีพ่ ่อ แม่ และลูก

คนโตไม่นัง่ ตดิ กนั

4. ต้องการทาสีขาว แดง และสนี ้าเงินในช่องวงแหวนมี 6 ชอ่ ง โดยทาสขี าว 3 ช่อง สแี ดง 2 ชอ่ ง และสีน้าเงิน
1 ชอ่ ง จะทาสีไดก้ ี่วิธี

5. มยี างลบ 6 กอ้ น โดยมียางลบสนี า้ เงนิ เหมือนกนั 3 กอ้ น ทีเ่ หลอื เปน็ ยางลบสขี าว สดี า และสีเทาอย่างละ 1
ก้อน จงหาจานวนวิธใี นการเรียงยางลบเป็นวงกลม โดยไม่ใหย้ างลบสีดาและสเี ทาอยู่ตดิ กัน

38

6. จะจัดใหส้ ามี ภรรยา 3 คู่ น่งั รอบโต๊ะกลมได้กีว่ ธิ ี ถ้าให้สามี ภรรยา แตล่ ะคูน่ ั่งติดกันเสมอ

7. มีลูกปดั สีแตกตา่ งกนั 10 ลูก จะมีวธิ ีนามารอ้ ยพวงมาลยั กลมได้กว่ี ิธี

8. มดี อกไม้อยู่ 7 ดอก ๆ ละสี จะมีวธิ นี าดอกไม้ทัง้ 7 ดอกมาร้อยเป็นพวงมาลยั วงกลมไดท้ ้ังหมดกแ่ี บบ

39
9. มชี าย 4 คน หญิง 4 คน โดยมีนกและแพรรวมอยดู่ ้วยจะมีกีว่ ิธีท่จี ะนาคนทั้ง 8 คนนี้ มานัง่ เปน็ วงกลมโดยให้

นกและแพรนง่ั ตรงข้ามกนั

10. มหี ลอดไฟ 5 สี ๆ ละ 1 หลอด นาหลอดไฟท้ัง 5 หลอดมาตดิ รอบโครงไม้ท่ีทาเปน็ วงกลม เพอื่ ทาเป็นปา้ ย
โฆษณาท่ีดูได้ 2 หนา้ จะทาได้ทัง้ หมดก่ีแบบทีแ่ ตกตา่ งกนั

40

ใบความรทู้ ี่ 6

การจดั หมู่ของสิ่งของท่แี ตกตา่ งกนั ทั้งหมด

การจัดหมู่ (Combination)

จานวนวธิ จี ัดหม่ขู องสิง่ ของท่ีแตกตา่ งกนั n สงิ่ โดยเลอื กครง้ั ละ r สิ่ง เมอื่ 0r n เทา่ กับ Cn,r หรอื n โดย
 r 
n!
Cn,r  (n r)!r!

สมบัติเกี่ยวกบั Cn,r

1)  n    n n r  เชน่  10    10 
 r      3   7 

2)  n    n   1 เชน่  10    10   1
 n   0   10   0 

3)  n    n n r   n เช่น  10    10   10
 1      1   9 

4)  n    n    n  1 เช่น  10    10    11 
 r    1  r   3   2   3 
r

5) n  n   n แล้ว r1+r2=n
 r1   r2 

6)  n  Xr !  Pn,r
 r 

P มาจากคาว่า Permutation

Pn,r แทน จานวนวิธเี ลือกสิ่งของ r ชน้ิ จากส่งิ ของทแี่ ตกตา่ งกนั n ช้นิ มาเรยี งสับเปลยี่ นเชงิ เสน้

C มาจากคาวา่ การจัดหมู่ Combination

Cn,r แทน จานวนวิธีเลอื กสิง่ ของ r ชิ้น จากสงิ่ ของทีแ่ ตกตา่ งกัน n ชน้ิ

EX1. จงหาคา่ ของ

1.1) C7,3
วธิ ีทา

41

1.2) C7,3
วิธที า

EX2. ให้ Pn,r=1,680 และ Cn,r =70 จงหาค่า n และ r
วิธที า

EX3. กาหนดให้  17    16    16  จงหาคา่ ของ r
 r   5   r 

วธิ ีทา

EX4. ตอ้ งการจัดนักเรยี น 10 คนเป็นหมู่ หมู่ละ 4 คน จะมีวิธจี ัดได้ทงั้ หมดกี่วิธี
วธิ ีทา

42

EX5. มที มี ฟตุ บอล 5 ทมี ตอ้ งการจัดการแขง่ ขนั โดยให้ทุกทมี พบกนั จะมีการแขง่ ขนั ทัง้ หมดกีค่ รั้ง
วธิ ที า

EX6. ข้อสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ ฉบับหนงึ่ มี 9 ขอ้ กาหนดให้เลือกทา 7 ขอ้ และทุกคนต้องทา 4 ข้อแรก นักเรยี นแตต่
ละคนจะมีวิธีเลอื กทาขอ้ สอบไดก้ วี่ ิธี

วธิ ที า

43

ใบความร้ทู ี่ 6
การจัดหมู่ของสิ่งของทแ่ี ตกต่างกนั ท้งั หมด

1. จงหาคา่ ของ

1)  9 
 3 

2)  9 
 6 

3)  8 
 8 

4) C8,0

5) C7,1

6)  n 
 2 

44

7)  n  2 
 n 

8)  n  2 
 n  2 

9)  n  2 
 n  3 

10)  n  1 
 n  1 

2. จงหาค่า n จากสมการต่อไปนี้

2.1) n    n 
 14   10 

45

2.2)  n    11   11 
 7   6   7 

2.3)  n  2   6 n 
 4  2 

2. แมบ่ า้ นคนหนงึ่ ไปจา่ ยตลาดต้องการซื้อกับขา้ ว 4 อยา่ ง ผลไม้ 3 อย่างและขนมหวาน 2 อยา่ ง ถา้ ในตลาดมี
กับข้าว 6 อยา่ ง ผลไม้ 5 อยา่ ง และขนมหวาน 5 อย่าง จงหาจานวนวิธที ี่แม่บา้ นคนน้เี ลือกซ้ือของท่ีต้องการ

3. เส้นขนาน 3 เสน้ ตดั กับเสน้ ขนาน 4 เสน้ จะเกิดรปู ส่ีเหลย่ี มดา้ นขนานกร่ี ูป

46

4. รูปสิบเหล่ียมมเี สน้ ทแยงมุมก่ีเสน้

5. มีหนังสอื คณติ ศาสตรต์ ่างกนั 5 เล่ม นักเรยี นแตล่ ะคนจะเลือกยืมหหนังสือได้ไม่เกนิ 3 เล่ม จงหาว่านักเรยี น
คนหนึ่ง ๆ จะมีวิธีเลือกยืมหนังสอได้กว่ี ิธี

6. บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งมีจุด 6 จดุ จะสร้างรูปเหลี่ยมบรรจใุ นวงกลมโดยใชจ้ ดุ เหล่านีไ้ ดท้ ง้ั หมดกร่ี ูป

47
7. ในการประชุมครคู รั้งหนง่ึ มผี เู้ ข้าประชมุ เปน็ อาจารย์ 1 จานวน 7 คน อาจารย์ 2 จานวน 10 คน และ

อาจารย์ 3 จานวน 3 คน ถ้าต้องการเลือกผูแ้ ทนครู 4 คน โดยจะต้องมีอาจารย์ 3 อยา่ งน้อยครึ่งหน่ึงจะมีวธิ ี
เลือกไดก้ ่วี ธิ ี

9.สมุ่ หยิบไพ่ 3 ใบ ออกจากสารบั ซึ่งมี 52 ใบ แล้วนามาวางเรียงกนั จะมีวิธหี ยิบไพ่ไดท้ ั้งหมดก่วี ธิ ี

10. นักเรียนหอ้ งหนงึ่ เป็นชาย 8 คน หญิง 6 คน ถา้ จดั นักเรียนเข้าแถวเรยี งหนง่ึ คราวละ 7 คน ใหเ้ ป็นชาย 4 คน
หญิง 3 คน จะมวี ิธจี ดั ได้ทงั้ หมดกี่วธิ ี

48
11. มีเครอ่ื งดืม่ เปน็ นา้ อดั ลม 4 ชนดิ และนา้ ผลไมส้ ด 3 ชนดิ จงหาจานวนวิธีทัง้ หมดท่ีจะเลือกนา้ อัดลม 2 ชนดิ และ
นา้ ผลไม้สด 2 ชนิด แล้วนาไปเสิรฟ์ คนน่ังรอบโต๊ะกลม 4 คน ๆ ละ 1 แกว้ อยา่ งไมเ่ จาะจง

12. ในการเรยี งสับเปลย่ี นเลขโดดท้งั เจด็ ตัวในเซต {1,2,3,4,5,6,7} จงหาจานวนวธิ เี รียงสบั เปลย่ี นไดจ้ านวนที่มเี จ็ด
หลัก ซง่ึ ผลบวกของเลขโดดในหลกั หน่วยและหลักสบิ มีคา่ นอ้ ยกวา่ 7 (เลขโดดในแต่ละหลกั ไมซ่ ้ากัน)

49

ใบงานที่ 7
ทฤษฎบี ททวินาม

การกระจาย  x  yn เมือ่ x , y เป็นจานวนจรงิ ใดๆ และ n เป็นจานวนเต็มบวก พจิ ารณาการกระจายต่อไปน้ี
 x  y1 = x  y
x  y2 = x 2  2xy  y 2
 x  y3 = x3  3x 2 y  3xy 2  y3
x  y4 = x 4  4 x3 y  6x 2 y 2  4xy 3  y 4

x y0 สมั ประสิทธ์ิของแต่ละพจนท์ ี่ได้กระจาย
x  y1 1
x y2
x y3 11
x y4 121
1331
14641

50

การกระจาย สัมประสิทธิ์

x y0  0 
x  y1  0 
x y2
x y3  1   1 
x y4  0   0 

 2   2   2 
 0   1   2 

 3   13   3   3 
 0    2   3 

 4   4   4   4   4 
 0   1   2   3   4 

พิจารณา x  yn  x  yx  y...x  y

ดังนั้น แต่ละพจน์ของการกระจาย  x  yn จะอยู่ในรปู x nr y r เมอ่ื r0,1,2,3,...,n

เนอื่ งจาก x nr y r ประกอบดว้ ย x จานวน n  r ตวั และ y จานวน r ตวั

ดงั น้นั พจน์ xnr yr มที ้ังหมด  n n! ! r!   n  พจน์
r  r 

นั่นคือ สมั ประสิทธ์ขิ อง xnr yr เท่ากบั  n 
 r 

การกระจาย  x  y n สรปุ เป็นทฤษฎีบท ดังน้ี