ชุดที่ 3 เรื่อง ฟังก์ชันและการหาค่าของฟังก์ชัน

+ –  ชดุ ที่ 3 ฟังกช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  0


f(x) อา่ นว่า เอฟของเอกซ์

f = {(x, y) | y = x +1}

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั กช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  1

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน สำหรับการเรียนรู้
แบบแบ่งกลุ่มผลสัมฤทธ์ิ (STAD) โดยเน้นเทคนิค KWDL เพื่อส่งเสริมความสามารถในการสื่อสาร
ทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 จัดทำขึ้นเพื่อส่งเสรมิ และสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน
เกิดความคิดรวบยอดในเร่ืองความสัมพันธ์และฟังก์ชัน อีกท้ังยังส่งเสริมและพัฒนาความสามารถใน
การสื่อสารทางคณิตศาสตร์ มีการประเมินตนเองตามผลสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตร
กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ (ฉบบั ปรบั ปรุง พ.ศ.2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาข้นั พ้ืนฐาน
พุทธศักราช 2551 และ ซ่งึ มที ้ังหมด 9 ชดุ เวลา 24 ชวั่ โมง ดังนี้

ชดุ ท่ี 1 เรอ่ื ง การเขียนค่อู ันดับและผลคณู คาร์ทีเซยี น (3 ชั่วโมง)
ชุดท่ี 2 เรื่อง ความสมั พนั ธ์และอินเวอร์สของความสัมพันธ์ (4 ชว่ั โมง)
ชดุ ที่ 3 เร่อื ง ฟังก์ชนั และการหาคา่ ของฟังก์ชนั (3 ชั่วโมง)
ชดุ ที่ 4 เรื่อง ฟังก์ชนั เชิงเส้นและการแก้ปญั หา (2 ชั่วโมง)
ชดุ ที่ 5 เรือ่ ง ฟังกช์ นั กำลังสองและการวาดกราฟ (3 ชั่วโมง)
ชดุ ท่ี 6 เรอื่ ง การแก้ปญั หาโดยใชฟ้ งั กช์ นั กำลงั สอง (2 ชว่ั โมง)
ชุดท่ี 7 เรื่อง ฟงั กช์ ันคา่ สมั บูรณ์และฟังก์ชันข้นั บันได (2 ชว่ั โมง)
ชดุ ท่ี 8 เร่อื ง ชนดิ และการดำเนนิ การของฟงั กช์ นั (3 ชว่ั โมง)
ชดุ ท่ี 9 เร่ือง อนิ เวอรส์ ของฟงั กช์ ันและฟังก์ชันประกอบ (2 ชั่วโมง)

โดยในชุดท่ี 3 เร่ือง ฟังก์ชันและการหาค่าของฟังก์ชัน ประกอบด้วย คำชี้แจงสำหรับครู
คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ สาระ
การเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมและแบบทดสอบ
หลังเรียน โดยเน้ือหาแต่ละเร่ืองมีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาชุดกิจกรรม
การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ตามลำดับขั้นตอน พร้อมท้ังตรวจคำตอบท่ีถูกต้องของชุดกิจกรรม
การเรียนรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ไดด้ ้วยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 3 เร่ือง ฟังก์ชันและการหา
ค่าของฟังก์ชัน จะช่วยพัฒนาความคิดรวบยอด และส่งเสริมความสามารถในการส่ือสารทางคณิตศาสตร์
และเหมาะสมกับผเู้ รยี นทกุ คน เหมาะสมสำหรบั ครทู ่จี ะนำไปจัดการเรยี นการสอน

นายสุรชยั สุขรี
ตำแหน่ง ครู วิทยฐานะ ครูชำนาญการพิเศษ

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรอื่ ง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 3 ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  2

สารบัญ

เรื่อง หนา้

คำนำ 1
สารบญั 2
คำชีแ้ จงสำหรับครู 3
คำแนะนำสำหรบั นกั เรียน 4
แผนผงั การใช้ชดุ กิจกรรมการเรียนรชู้ ดุ ท่ี 3 5
การจดั การเรยี นรแู้ บบแบ่งกล่มุ ผลสัมฤทธิ์ (STAD) โดยเนน้ เทคนิค KWDL 6
ผลการเรียนรู้ 7
สาระการเรยี นรเู้ พมิ่ เติม 7
จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ 7
แบบทดสอบกอ่ นเรยี นชุดท่ี 3 เรือ่ ง ฟังกช์ ันและการหาคา่ ของฟังก์ชนั 8
3.1 ฟงั ก์ชันและการตรวจสอบฟงั กช์ นั 12
12
ใบความรู้ท่ี 3.1 ฟงั กช์ ันและการตรวจสอบฟังก์ชัน 19
ใบกิจกรรมที่ 3.1 ฟงั ก์ชนั และการตรวจสอบฟังกช์ ัน 24
3.2 การหาคา่ ของฟังกช์ นั 24
ใบความรู้ที่ 3.2 การหาคา่ ของฟงั กช์ ัน 30
ใบกจิ กรรมท่ี 3.2 การหาคา่ ของฟังกช์ นั 32
3.3 โดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชัน 32
ใบความรู้ท่ี 3.3 โดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ นั 37
ใบกจิ กรรมที่ 3.3 โดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชัน 39
แบบทดสอบหลังเรียนชุดท่ี 3 เรือ่ ง ฟงั กช์ นั และการหาคา่ ของฟังก์ชัน 45
เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นชดุ ท่ี 3 เรอ่ื ง ฟังกช์ นั และการหาค่าของฟงั กช์ นั 46
51
เฉลยใบกิจกรรมท่ี 3.1 ฟังก์ชันและการตรวจสอบฟงั กช์ นั 53
เฉลยใบกจิ กรรมท่ี 3.2 การหาคา่ ของฟงั ก์ชนั 55
เฉลยใบกจิ กรรมท่ี 3.3 โดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ นั 56
เฉลยแบบทดสอบหลงั เรยี นชุดท่ี 3 เรอื่ ง ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั กช์ นั

บรรณานกุ รม

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 3 ฟังก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  3

คำช้แี จงสำหรบั ครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดที่ 3 เร่ือง ฟังก์ชันและการหาค่าของฟังก์ชัน
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 รหัสวิชา ค31202 ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
ชุดที่ 3 เร่ือง ฟังก์ชันและการหาค่าของฟังก์ชัน ใช้เวลาจัดการเรียนรู้ 3 ชั่วโมง ประกอบด้วยเน้ือหา
ดงั นี้

3.1) ฟังก์ชนั และการตรวจสอบฟงั กช์ นั (1 ชัว่ โมง)
3.2) การหาคา่ ของฟงั กช์ นั (1 ชั่วโมง)
3.3) โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนั (1 ชวั่ โมง)
ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 3 เรื่อง ฟังก์ชันและการหาค่าของฟังก์ชัน
ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครูคำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรม ผลการเรียนรู้
สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมที่มีแนวทางการหา
คำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวกซ่ึงประกอบด้วยเฉลยแบบทดสอบ
ก่อนเรียน เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนนและเกณฑ์การประเมิน
ในการใช้ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้ชุดนี้ ครผู ูส้ อนควรปฏบิ ัตติ ามข้ันตอนต่อไปนี้

ขขน้ั ้นั ทท่ี ี่11 ช้ีแจงขั้นตอนการเรยี นโดยใช้ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้นใี้ หน้ กั เรยี นเข้าใจ

ขข้นั ้นั ทท่ี ่ี22 ให้นกั เรยี นทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี นกอ่ นศึกษาเน้ือหาจากใบความรู้
ทำใบกจิ กรรมและตรวจคำตอบตามเฉลยในภาคผนวกทลี ะใบกิจกรรม

ขข้ัน้นั ทที่ ี่33 ดแู ลให้นกั เรียนปฏิบัติตามข้นั ตอนและให้คำแนะนำเมือ่ นักเรยี นพบปัญหา

ขขั้น้นั ทที่ ี่44 ประเมนิ ผลการเรยี นของนกั เรยี นอยา่ งตอ่ เนือ่ งและใหแ้ รงเสริม
ในการปฏิบัติกิจกรรมของนักเรียน

ขข้ัน้นั ทที่ 5ี่ 5 ใหน้ กั เรียนทำแบบทดสอบหลงั เรียน เม่ือศึกษาเนือ้ หาจากใบความรู้
และทำใบกจิ กรรมเสร็จสนิ้

ขขนั้ ้นั ทที่ 6ี่ 6 บันทกึ ผลการประเมินหลงั การจดั การเรยี นรู้โดยใช้ชุดกจิ กรรมทกุ คร้ัง

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 3 ฟังก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  4

คำแนะนำสำหรับนกั เรียน

นักเรียนควรปฏิบัติในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดท่ี 3 เรอ่ื ง ฟงั กช์ นั และการหาคา่ ของ
ฟังก์ชนั ดังน้ี

ข้นั ที่ 1 ศกึ ษาข้นั ตอนการใช้ชดุ กจิ กรรมมการเรียนรู้ให้เข้าใจชดั เจน

ขนั้ ท่ี 2 ศกึ ษาผลการเรยี นรู้ สาระการเรยี นรู้ จุดประสงค์การเรยี นรู้
เวลาท่ใี ชใ้ นการจดั การเรียนรู้

ขั้นท่ี 3 ทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แล้วบนั ทึกคะแนนลงในแบบบนั ทึกคะแนน

ขนั้ ที่ 4 ศึกษาและทำความเข้าใจเน้อื หาจากใบความรแู้ ละทำใบกิจกรรม
ด้วยตนเองและตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทลี ะใบกจิ กรรม

ตามลำดับเมือ่ พบปัญหาใหข้ อคำแนะนำจากครทู นั ที

ข้ันท่ี 5 ทำแบบทดสอบหลังเรียน ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แล้วบนั ทกึ คะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ประเมินผลวา่ นกั เรยี นผ่านเกณฑห์ รือไม่
ขั้นท่ี 6  “ผ่านเกณฑก์ ารประเมนิ ” ให้นักเรยี นศึกษาชดุ กิจกรรมชดุ ตอ่ ไป

 “ไม่ผา่ นเกณฑ์การประเมนิ ” ใหน้ กั เรยี นย้อนกลับไปศกึ ษาและ
ทำความเข้าใจเนอ้ื หาจากใบความร้แู ละทำใบกจิ กรรมด้วยตนเองใหม่

อ่านคำแนะนำให้เขา้ ใจและปฏบิ ตั ิตามให้ถกู ตอ้ ง
กอ่ นที่จะลงมือทำกิจกรรมในชุดกิจกรรม
และที่สำคญั ตอ้ งมีความซอ่ื สตั ย์นะครับ

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 3 ฟงั กช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  5

แผนผงั การใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรชู้ ุดท่ี 3

ศกึ ษาขนั้ ตอนการใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้
ศึกษาผลการเรียนรู้ และจดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี น

ศึกษาเนอ้ื หา ศกึ ษาใบความรู้ที่ 3.1-3.3
และทำใบกจิ กรรม
คณิตศาสตร์

ศกึ ษาเนอ้ื หาสาระใบความรู้
ตัวอยา่ งการหาคำตอบตามเทคนคิ KWDL

ในชุดที่ 3 ใหค้ รบตามกำหนดไว้

ทำใบกิจกรรม 3.1-3.3

ตรวจให้คะแนนด้วยตนเอง

ไมผ่ ่านเกณฑ์ร้อยละ 80

ผ่านเกณฑ์รอ้ ยละ 80

เก็บสถิติคะแนน
ทดสอบหลังเรยี น

ไม่ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 80 ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 80

จบชดุ ท่ี 3

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 3 ฟงั ก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  6

การจดั การเรียนรแู้ บบแบง่ กลุ่มผลสัมฤทธ์ิ (STAD) โดยเนน้ เทคนิค KWDL

ข้นั ที่ 1 ข้ันนำเขา้ สู่บทเรียน
กระตนุ้ ความสนใจ เตรยี มความพรอ้ มของนกั เรียน หรอื ทบทวนความรูท้ จี่ ำเปน็

ขนั้ ท่ี 2 ขัน้ เสนอบทเรยี นต่อทง้ั ชั้น
ครูนำเสนอตวั อยา่ งการแกป้ ัญหาตามแผนผงั เทคนิค KWDL ต่อนกั เรียนทัง้ หอ้ ง
โดยใช้เทคนิควิธีการสอน ใช้สอื่ การเรยี นการสอน ใช้คำถามกระตุ้นความคดิ

ขัน้ ท่ี 3 ข้ันกจิ กรรมกลุ่มยอ่ ยเทคนคิ KWDL
นกั เรยี นที่มคี วามสามารถต่างกันทำงานร่วมกนั เปน็ กลุ่มเลก็ ๆ กลุ่มละ 4 คน
(อตั ราส่วน เก่ง : ปานกลาง : ออ่ น = 1 : 2 : 1) นักเรยี นศกึ ษาใบความรู้

ทมี่ ตี ัวอย่างการแกป้ ญั หาตามแผนผงั เทคนิค KWDL
1. (K) นกั เรียนร้อู ะไรจากท่โี จทย์ 2. (W) นักเรยี นหาส่ิงที่โจทยต์ ้องการทราบ
3. (D) นกั เรียนตอ้ งทำอะไรเพื่อหาคำตอบ 4. (L) นักเรียนสรปุ ส่ิงทไ่ี ด้เรียนรู้

ครูเดนิ สำรวจการศกึ ษาใบความรู้พร้อมทงั้ ใหข้ อ้ เสนอแนะ และตอบข้อซักถาม

ข้ันท่ี 4 ข้ันวัดและประเมินผล ทำใบกิจกรรม คดิ คะแนนพัฒนาการ
เมื่อนักเรยี นศึกษาใบความรู้เรียบร้อยแล้ว ใหน้ ักเรยี นทำใบกจิ กรรมเป็นรายบุคคล

เพื่อพัฒนาความสามารถในการสื่อสารทางคณติ ศาสตรต์ ามแผนผงั KWDL
เมือ่ ทำใบกจิ กรรมเสรจ็ แล้วครเู ฉลยใบกจิ กรรม พร้อมทงั้ คิดคะแนนพัฒนาการ

ข้นั ที่ 5 ขัน้ สรุปบทเรียนและยกยอ่ งกลุ่มท่ีประสบผลสำเร็จ
นกั เรียนและครูร่วมกนั อภปิ รายสรุปสง่ิ ทีไ่ ดจ้ ากการปฏิบตั ิกจิ กรรมการเรียนรรู้ ว่ มกัน

ครูยกยอ่ งกลมุ่ ทีป่ ระสบความสำเรจ็ และนำคะแนนพัฒนาของสมาชกิ ทุกคน
มาเฉลยี่ เพ่ือนำไปเทยี บกับเกณฑ์การกำหนดกลุม่ ที่ได้รบั รางวัล

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 3 ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  7

ผลการเรยี นรู้/สาระการเรยี นรู้เพม่ิ เตมิ
/จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

ผลการเรียนรู้

สาระจำนวนและพีชคณิต
เขา้ ใจและวิเคราะหแ์ บบรปู ความสัมพนั ธ์ ฟงั กช์ นั ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้
ผลการเรยี นรู้
1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคณู การหารฟงั กช์ นั หาฟังกช์ นั ประกอบ

และฟังก์ชนั ผกผนั
2. ใช้สมบัตขิ องฟังกช์ ันในการแก้ปญั หา

สาระการเรียนรู้เพมิ่ เติม

ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ฟงั ก์ชนั ในชีวิตจริง กราฟของฟงั ก์ชัน การดาํ เนินการของฟังก์ชัน

จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ดา้ นความรู้ นักเรยี นสามารถ
1. อธิบายเกี่ยวกบั ฟังกช์ นั และการตรวจสอบฟังกช์ ันได้
2. อธิบายเก่ียวกับการหาคา่ ของฟังก์ชันได้
3. อธบิ ายเกย่ี วกบั โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันได้
ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ นักเรียนสามารถ
1. แก้ปญั หาเก่ียวกบั ฟังกช์ นั และการหาคา่ ของฟงั ก์ชนั ได้
2. ให้เหตผุ ลเกยี่ วกับฟงั ก์ชันและการหาคา่ ของฟงั กช์ นั อย่างสมเหตสุ มผล
3. ใชภ้ าษา หรอื สญั ลกั ษณ์ หรือแผนภาพทางคณิตศาสตร์ เพ่ือเขียนอธิบายหรือ
นำเสนอขนั้ ตอนการเขยี นฟังก์ชัน การตรวจสอบฟงั กช์ นั และการหาคา่ ของฟงั ก์ชันได้
ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ นกั เรียนมี
1. ความใฝ่รู้ไฝ่เรียน
2. ความม่งุ มนั่ ในการทำงาน
3. ความรบั ผดิ ชอบ
4. ความรอบคอบ

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดที่ 3 ฟงั กช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชัน หน้า  8

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม2 (ค31202) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4
คำชี้แจง ให้เลือกข้อท่ีถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

ใชข้ อ้ มูลตอ่ ไปน้ตี อบคำถามขอ้ 1 f2
f1

f3 f4

1. จากทกี่ ำหนดให้ ข้อใดตอ่ ไปนี้ ถูกต้อง ข. f3 เท่านนั้ เป็นฟังก์ชนั
ง. f1 เท่านน้ั เปน็ ฟังก์ชนั
ก. f1 และ f3 เป็นฟงั ก์ชัน
ค. f1 และ f4 เป็นฟงั กช์ ัน ข. {(2,a),(3,b),(2,a),(3,c)}
ง. {(2,3),(3,3),(3,7), (7,9)}
2. ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เปน็ ฟงั ก์ชัน
ข. {(x , y) | y < x }
ก. {(1,9),(1,8),(3,7)} ง. {( x, y ) | y2 = x + 4 , y0}
ค. {(1,a),(2,a),(3,a),(4,a)}

3. ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ เปน็ ฟงั ก์ชนั

ก. { (x , y) | x = –2 }
ค. {(x , y) |  y  = x }

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 3 ฟงั กช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชัน หน้า  9

4. กำหนดให้ f = {(1 ,2) , (2 ,4), (3 ,6) , (4 ,8) แลว้ f (1) + f(3) มคี า่ ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. f (1) + f(3) = 6 ข. f (1) + f(3) = 8
ค. f (1) + f(3) = 10 ง. f (1) + f(3) = 12

5. กำหนดให้ A = {1 ,3 , 4}, B = {2 ,4 ,5 ,7 ,8 , 9 , 11} และ
f = {(x , y)AB y = 3x - 1} เปน็ ฟงั กช์ ันจาก A ไป B แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ผิด

ก. f (1) + f(3) = f(4) ข. f (4) - f(3) > f(1)
ค. f (1) + f(4) > f(3) ง. f(4) – 1 = f(3) + f(1)

6.
กำหนดให้ f(3x - 1) = 16 − x2 แลว้ f(-1) มคี า่ เทา่ ใด

ก. 16 ข. -16
ค. 4 ง. -4

7.  − 3 − 2x, x  −2
กำหนด f(x) = x,
− 2x2 ข้อใดไม่ถกู ต้อง

− 3 + 2x, x  2

ก. f(- 3 ) = 3 ข. f(- 1 ) = - 1
2 2 2 2
3 3 1 1
ค. f( 2 ) = 2 ง. f( 2 ) = 2

8. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = { 3, 4 ,6 ,8 ,9 ,10 } โดเมนของ f ={ (x, y)ABy= 2x–1}
คือข้อใด

ก. { 1 , 2 , 3, 4 , 5 } ข. { 1 , 2 , 3 , 4 }
ค. { 2 ,5 } ง. { 1 , 2 , 4 }

ใช้ข้อมลู ต่อไปน้ตี อบคำถามขอ้ 9 f2 = (x,y) y = x2 − 25 

ให้ f1 = (x,y) y = x2 + 5 f4 = (x,y) y = 5 − x 

 f3 = (x,y) y = x + 25

ชุดกิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั กช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  10

9. เรนจ์ของฟังกช์ นั ในขอ้ ใดเทา่ กัน

ก. เรนจข์ อง f1 เทา่ กบั เรนจ์ของ f3 ข. เรนจ์ของ f2 เท่ากับ เรนจข์ อง f3
ค. เรนจข์ อง f1 เท่ากบั เรนจ์ของ f4 ง. เรนจ์ของ f2 เทา่ กบั เรนจ์ของ f4

10. ฟังกช์ ันก์ f(x) ซึง่ มี Df = Rf คอื ข้อใด ข. f(x) = (x,y) y = 4x +1

ก. f(x) = (x,y) y = 4 − x2  ง. f(x) = (x,y) y = x + 2 + 4

ค. f(x) = (x,y) y = x2 − 4 

 

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 3 ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  11

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น

ช่อื – นามสกุล ..................................................................... ชน้ั ................. เลขท่ี ...........
คำชีแ้ จง จงทำเครือ่ งหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ขอ้ ท่ี ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี นเสร็จแล้ว

ไป...เรียนรฟู้ งั กช์ ันกันเลย

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั กช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  12

ความหมายของฟังก์ชนั

บทนิยาม

ฟังกช์ นั คอื ความสัมพนั ธ์ที่สมาชกิ ในโดเมนแตล่ ะตัวจับคู่กบั สมาชกิ ในเรนจข์ อง
ความสมั พนั ธ์เพียงตัวเดยี ว

ตวั อย่างท่ี 1 จงพิจารณาวา่ ความสมั พันธใ์ ดเปน็ ฟงั กช์ ันจากแผนภาพทีก่ ำหนดให้ต่อไปนี้

1) 5
2 6
3

48

r1

จากแผนภาพพบว่าไม่มสี มาชิกใดในโดเมนของ r1 จับค่กู บั สมาชกิ ในเรนจข์ อง r1
มากกวา่ 1 ตวั ดงั นน้ั r1 เปน็ ฟงั กช์ นั

2) 5
ก 6
ข

ค8
r2

จากแผนภาพพบวา่ ก และ ข ซงึ่ อยู่ในโดเมนของ r2 จับคกู่ บั สมาชิกในเรนจ์ของ r2
มากกวา่ 1 ตัว ดงั นั้น r2 ไมเ่ ป็นฟงั ก์ชนั

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 3 ฟังก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชัน หน้า  13

ตัวอยา่ งความสมั พันธ์ที่เปน็ ฟงั ก์ชัน

AB A B
a5 a 5
b 6
b6 c
c r1 8 d r2 B
5
AB A 6
a5 a
b
b6 c
c8 d

r3 r4

ตัวอย่างความสัมพันธ์ท่ีไม่เป็นฟงั ก์ชนั A B
5
AB a 8
a5 b 6
b c
c6 d r2
d8

r1

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดท่ี 3 ฟงั กช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หน้า  14

ความสัมพนั ธท์ ี่กำหนดใหเ้ ขียนเปน็ แบบแจกแจงสมาชกิ

วิธีการตรวจสอบสามารถทำไดโ้ ดยดูที่สมาชิกตวั หนา้ ว่ามกี ารใช้ซ้ำกันหรือไม่
1.1 ถ้าไมม่ กี ารใช้ซ้ำ ความสัมพันธ์นนั้ จะเปน็ ฟังก์ชัน
1.2 ถา้ มกี ารใช้ซำ้ ใหพ้ จิ ารณาสมาชิกตวั หลงั ของคอู่ นั ดบั ดังกล่าว
ซึ่งถา้ มคี ่าเท่ากันกจ็ ะเป็นฟังก์ชัน แตถ่ ้ามีค่าไม่เท่ากันก็จะไมเ่ ปน็ ฟังกช์ ัน

การวิเคราะห์การตรวจสอบฟงั ก์ชนั ด้วยเทคนคิ KWDL

ตวั อยา่ งที่ 2

จงพิจารณาความสมั พันธ์ r1 = {(-1, 1), (3, 5), (-1, sin 90  ), (2, 1)}
r2 = {(2, 3), (3, 3), (5, 7), (7, 9)}
r3 = {(-3, 1), (7, 2), (-3, -1), (2, 7)} เปน็ ฟงั ก์ชันหรือไม่

(ส่งเสริมความสามารถในการส่อื สารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้

นักเรยี นรู้อะไรบ้างจากทโี่ จทย์กำหนดให้ r1 = {(-1, 1), (3, 5), (-1, sin 90  ), (2, 1)}

r2 = {(2, 3), (3, 3), (5, 7), (7, 9)}

r3 = {(-3, 1), (7, 2), (-3, -1), (2, 7)}

2. W (What we want to know) สิ่งทโ่ี จทย์ต้องการทราบ

นกั เรียนหาส่งิ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบหรือ ความสัมพนั ธ์ r1 , r2 และ r3 เป็นฟังก์ชันหรอื ไม่

ส่ิงท่นี กั เรียนต้องการรู้

3. D (What we do to find out)

นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพือ่ หาคำตอบตามท่โี จทย์ต้องการ หรือสง่ิ ท่ีตนเองต้องการรู้

วิธแี ก้ปัญหา

r1 = {(-1, 1), (3, 5), (-1, sin 90  ), (2, 1)}

วิธที ำ r1 เปน็ ฟังก์ชันเพราะวา่ มคี ู่อนั ดับอยู่ 2 คู่ที่มสี มาชกิ ตัวหนา้ เหมอื นกัน
แต่สมาชกิ ตวั หลังเทา่ กันด้วย sin 90  = 1 จึงทำให้ r1 เปน็ ฟังกช์ ัน

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 3 ฟงั กช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  15

r2 = {(2, 3), (3, 3), (5, 7), (7, 9)}
วธิ ีทำ เป็นฟังก์ชันเพราะวา่ ไมม่ ีคอู่ นั ดับต้ังแต่ 2 คู่ขน้ึ ไปทีม่ สี มาชกิ ตัวหน้าเหมอื นกันเลย

r3 = {(-3, 1), (7, 2), (-3, -1), (2, 7)}

วิธีทำ ไม่เป็นฟงั ก์ชนั เพราะวา่ มคี อู่ นั ดับ 2 คู่ ทม่ี ีสมาชกิ ตัวหน้าเหมือนกนั คือ(-3, 1)
และ(-3, -1) ซงึ่ สมาชิกตวั หลังตา่ งกนั 1  -1 ทำให้ r3 ไมเ่ ป็นฟังกช์ ัน

4. L (What we learned) คำตอบ
นักเรียนสรุปส่ิงทไ่ี ดเ้ รียนรู้ r1 = {(-1, 1), (3, 5), (-1, sin 90  ), (2, 1)}
เป็นฟงั กช์ ัน
r2 = {(2, 3), (3, 3), (5, 7), (7, 9)}
เปน็ ฟงั กช์ นั
r3 = {(-3, 1), (7, 2), (-3, -1), (2, 7)}
ไม่เป็นฟงั ก์ชัน

ถ้าความสัมพนั ธท์ ีก่ ำหนดให้เปน็ แบบกราฟ
จะพิจารณาความสมั พนั ธ์นน้ั วา่ เปน็ ฟังก์ชันอย่างไรนะ

ถ้าเงอ่ื นไขของความสมั พันธ์เราทราบรูปแบบของกราฟหรอื โจทยก์ ำหนดกราฟมาให้
ลากเส้นตรงขนานกับแกน Y ใดๆตดั กราฟของความสมั พนั ธ์แล้วพจิ ารณาดงั นี้
1. ถา้ เสน้ ตรงตดั กราฟเพยี งจดุ เดียวเสมอความสัมพนั ธ์ดังกลา่ วกจ็ ะเป็นฟังก์ชนั
2. ถา้ เส้นตรงตดั กราฟมากกวา่ 1 จุดความสัมพันธด์ งั กลา่ วก็จะไม่เป็นฟังกช์ นั

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 3 ฟังกช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  16

การวิเคราะห์การตรวจสอบฟงั ก์ชัน ดว้ ยเทคนิค KWDL

ตวั อย่างที่ 3

จงพิจารณาความสมั พันธ์ r1 = {(x, y) | y = 3} เป็นฟังกช์ นั หรอื ไม่
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสื่อสารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิง่ ที่โจทย์กำหนดให้
r1 = {(x, y) | y = 3}
1. K (What we know)
นกั เรียนรอู้ ะไรบ้างจากทีโ่ จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่งิ ที่โจทยต์ ้องการทราบ
นกั เรยี นหาส่ิงทีโ่ จทยต์ ้องการทราบหรอื
ส่งิ ท่ีนกั เรยี นตอ้ งการรู้ ความสมั พนั ธ์ r1 = {(x, y) | y = 3}
เป็นฟังก์ชันหรอื ไม่

3. D (What we do to find out) วธิ ีแก้ปญั หา
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หาคำตอบ จาก r1 = {(x, y) | y = 3} เขยี นกราฟไดด้ ังนี้
ตามทโี่ จทย์ต้องการ หรอื สิ่งท่ีตนเอง
ตอ้ งการรู้ Y

3 y=3

-3 0 3 X

4. L (What we learned) คำตอบ
นักเรยี นสรปุ สงิ่ ทไ่ี ด้เรยี นรู้ จากรปู ไมม่ เี ส้นขนานกบั แกน Y เสน้ ใด
ตดั กราฟของ r1 มากกวา่ 1 จดุ

 r1 เป็นฟังกช์ นั

ผา่ นไปสำหรับตัวอย่างการตรวจสอบฟงั ก์ชัน
กรณฟี ังก์ชันที่กำหนดมาแบบกราฟ

ไปดูตัวอย่างตอ่ ไป.......กันตอ่ เลยนะครบั

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 3 ฟังกช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  17

การวิเคราะห์การตรวจสอบฟงั กช์ ัน ด้วยเทคนคิ KWDL

ตวั อยา่ งที่ 4

จงพิจารณาความสมั พันธ์ r2 = {(x, y) | y = 2x2} เปน็ ฟงั ก์ชนั หรือไม่
(ส่งเสริมความสามารถในการสอื่ สารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL ส่งิ ท่ีโจทย์กำหนดให้
r2 = {(x, y) | y = 2x2}
1. K (What we know)
นกั เรยี นรอู้ ะไรบา้ งจากที่โจทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่งิ ทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบ
นกั เรียนหาสิง่ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบหรือ ความสมั พนั ธ์ r2 = {(x, y ) | y = 2x2}
สิง่ ที่นกั เรียนต้องการรู้ เป็นฟงั กช์ ันหรอื ไม่

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปญั หา
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพ่อื หาคำตอบ จาก r2 = {(x, y) | y = 2x2} เขยี นกราฟไดด้ ังน้ี
ตามท่ีโจทยต์ อ้ งการ หรอื สิ่งทต่ี นเอง
ต้องการรู้ x 0 1 2 -1 -2
y02828

Y
8

6

4

2

-2-10 1 2 X

4. L (What we learned) คำตอบ
นกั เรียนสรปุ ส่งิ ทีไ่ ด้เรยี นรู้ จากรูป ไมม่ เี ส้นขนานกบั แกน Y เส้นใด
ตัดกราฟของ r2 มากกวา่ 1 จดุ

 r2 เปน็ ฟงั กช์ ัน

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 3 ฟังกช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  18

ความสมั พนั ธ์ท่กี ำหนดใหเ้ ขยี นเปน็ แบบบอกเง่อื นไขของสมาชิก

วธิ กี ารตรวจสอบสามารถทำได้ ดังน้ี
1) ตรวจสอบโดยลองแทนค่าแตล่ ะตวั ของ x ใดๆที่เปน็ สมาชิกตวั หน้าของความสมั พันธ์ลงในความสมั พนั ธ์
แล้วพจิ ารณา

1.1 ถ้าในแต่ละตัวของ x ได้ค่า y เพียงค่าเดยี วสรปุ ได้ว่าความสมั พันธ์นนั้ เป็นฟังก์ชัน
1.2 ถา้ มี x บางตวั ท่ที ำใหไ้ ด้ค่า y มากกวา่ 1 คา่ สรุปไดว้ า่ ความสัมพันธน์ นั้ จะไมเ่ ปน็

ฟงั กช์ ัน

การวเิ คราะห์การตรวจสอบฟังก์ชัน ด้วยเทคนิค KWDL

ตัวอยา่ งที่ 1

จงพิจารณาความสมั พนั ธ์ r = {(x, y) RR | y = 2 + 3x - x2} เปน็ ฟงั ก์ชันหรือไม่
(สง่ เสริมความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้
r = {(x, y) RR | y = 2 + 3x - x2}
1. K (What we know)
นักเรยี นรูอ้ ะไรบา้ งจากที่โจทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) สง่ิ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ
นกั เรยี นหาสงิ่ ทโี่ จทย์ต้องการทราบหรอื ความสมั พนั ธ์ r เป็นฟงั ก์ชันหรือไม่
สงิ่ ทนี่ ักเรยี นตอ้ งการรู้
วธิ ีแก้ปญั หา
3. D (What we do to find out) r เป็นฟังก์ชนั เพราะว่า เงื่อนไขของ r1
นักเรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอื่ หาคำตอบ (y = 2 + 3x - x2)
ตามทโี่ จทยต์ ้องการ หรอื สิ่งทต่ี นเอง เม่ือลองแทนค่า x ใด ๆ ลงไปก็จะไดค้ ่า y
ตอ้ งการรู้ เพียงคา่ เดียว สำหรบั คา่ x
เช่น x = 0 จะได้ y = 2 + 3(0) - 02 = 2

x = 2 จะได้ y = 2 + 3(2) - 22 = 4

4. L (What we learned) คำตอบ
นักเรยี นสรุปสงิ่ ทีไ่ ดเ้ รียนรู้ r เปน็ ฟงั กช์ ัน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 3 ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  19

ใบกิจกรรมที่ 3.1 ฟังก์ชันและการตรวจสอบฟังกช์ ัน

1) ให้นกั เรียนกาเครอ่ื งหมาย  ลงในตารางตอ่ ไปน้ีให้ถกู ตอ้ ง (15 คะแนน)

ขอ้ ท่ี ความสมั พนั ธ์ ฟงั กช์ ัน
เป็น ไม่เปน็
1 r = {(1, 2), (3, 7), (4, 9), (8, 6), (10, 8)}
2 r = {(3, 2), (4, 2), (6, 2)}
3 r = {(1, 3), (2, 4), (3, 6), (3, 8)}
4 r = {(x, y) | y = x2 - 1}
5 r = {(x, y) | xy = 2}
6 r = {(x, y) | y2 = x + 3}
7 r = {(x, y) | y = x3}
8 r = {(x, y) | y = x2 + 3}
9 r = {(2, 3), (2, 4), (3, 6), (4, 9)}
10 r = {(x, y) | x = y2 + 2y + 1}
11 r = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
12 r = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)}
13 r = {(2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 6)}
14 r = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 7)}
15 r = {(5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10)}

นักเรยี นตอ้ งขยันทบทวนความรบู้ ่อยๆ นะครับ...
เพ่ือใหเ้ กง่ ขึ้นเร่ือยๆ....ต้องขยนั ๆๆ นะครับ
ไปดูทำใบกจิ กรรมข้อตอ่ ไปเลย

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั กช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หน้า  20

คำชแี้ จง 2) จงพจิ ารณาความสัมพันธ์ r3 = {(x, y) | y  x และ x  0}
เป็นฟังก์ชนั หรอื ไม่ (5 คะแนน)

(ส่งเสริมความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากทโี่ จทย์กำหนดให้ .............................................................................

2. W (What we want to know) สง่ิ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นักเรยี นหาส่งิ ท่โี จทยต์ อ้ งการทราบหรือ .............................................................................
ส่งิ ทน่ี ักเรียนตอ้ งการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ัญหา (2 คะแนน)
นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอื่ หาคำตอบ .............................................................................
ตามท่โี จทย์ตอ้ งการ หรอื สิง่ ทีต่ นเอง .............................................................................
ต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นักเรยี นสรปุ ส่ิงทไ่ี ดเ้ รียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ทำได้หรอื เปลา่ คะ...ไปตรวจคำตอบกัน

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 3 ฟังกช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  21

คำชแ้ี จง 3) ให้นักเรยี นกาเครอื่ งหมาย  ลงในตารางต่อไปนใี้ หถ้ ูกต้อง (5 คะแนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสื่อสารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

ขอ้ ท่ี ความสัมพนั ธ์ ฟงั ก์ชนั
เปน็ ไม่เป็น
1 r = {(x, y) | y = 3x – 1}
2 r = {(x, y) | y = 3x2– x + 3}
3 r = {(x, y) | y = 2x2 + 1}
4 r = {(x, y) | y = 4x2}
5 r = {(x, y) | x2 + y2 = 4 , x  0}

คำชแ้ี จง 4) แผนภาพที่กำหนดให้ตอ่ ไปนแ้ี ผนภาพในขอ้ ใดแทนความสมั พนั ธท์ เ่ี ป็นฟังก์ชัน
(3 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

(1) A B
a 6 เป็นฟังก์ชัน
b 5
c 4 ไม่เปน็ ฟงั ก์ชัน

(2) A B
a 6 เป็นฟงั ก์ชัน
b 5
c 4 ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ ัน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ชุดท่ี 3 ฟังก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  22

(3) A B
a
b 6 เป็นฟังกช์ ัน
c 5
d 4
3 ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ นั

5. จากความสัมพันธท์ กี่ ำหนดใหใ้ นรูปตารางตอ่ ไปน้ี ความสมั พนั ธใ์ ดเปน็ ฟงั ก์ชนั
(2 คะแนน)

(1) (2)

A B เป็ นฟังก์ชัน A B เป็ นฟังก์ชัน
a 1 ไม่เป็ นฟังก์ชัน a 1 ไม่เป็ นฟังก์ชัน
b 2 b 2
c 2 a 3
d 4 b 4
e 3 c 5

นักเรยี นตอ้ งขยันทบทวนความรู้บ่อยๆ นะครบั ...
เพ่ือให้เกง่ ขน้ึ เรือ่ ยๆ....ต้องขยันๆๆนะครบั
ไปทำขอ้ ต่อไปเลย

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟังกช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  23

คำช้ีแจง 6) จงพจิ ารณาความสมั พนั ธ์ r2 = {(x, y) R  R | x2 + y2 - 8x + 7 = 0}
เปน็ ฟังกช์ นั หรือไม่ (5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการส่อื สารด้านการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นกั เรียนรู้อะไรบา้ งจากที่โจทย์กำหนดให้ .............................................................................

2. W (What we want to know) ส่ิงท่โี จทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรียนหาส่งิ ทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบหรอื .............................................................................
ส่ิงท่นี ักเรียนต้องการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปญั หา (2 คะแนน)
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่อื หาคำตอบ .............................................................................
ตามทีโ่ จทยต์ อ้ งการ หรอื ส่งิ ท่ีตนเอง .............................................................................
ต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นักเรยี นสรปุ สิ่งท่ไี ดเ้ รียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ทำได้หรอื เปลา่ ครับ...ไปตรวจคำตอบกนั

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชุดท่ี 3 ฟังก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  24

สญั ลกั ษณข์ องฟังก์ชนั

ถา้ x แทนสมาชกิ ในโดเมนของฟังกช์ นั f จะใช้สัญลกั ษณ์ f(x) (อา่ นวา่ เอฟของเอกส์)
ในตำแหน่งของ y คือ แทนค่าของสมาชกิ ในเรนจข์ องฟังกช์ นั f ท่คี ู่กบั x

การหาค่าของฟังกช์ ัน

ถ้า f เปน็ ฟังกช์ นั และ (x, y)  f แล้ว เรากลา่ วว่า y เปน็ ค่าของฟงั ก์ชนั f ท่ี x
ค่าของฟังก์ชนั f ที่ x เขยี นแทนดว้ ย f(x) อา่ นวา่ เอฟของเอกซ์
ดังนั้น y = f(x) หมายถงึ y เปน็ ค่าฟังก์ชันของ x ภายใตฟ้ ังก์ชนั f

เชน่ f(2) หมายถงึ คา่ y ของฟงั ก์ชนั f เมอื่ x มคี ่าเทา่ กับ 2
f(-1) หมายถงึ ค่า y ของฟังกช์ ัน f เม่ือ x มคี า่ เทา่ กับ -1
f(8) หมายถงึ คา่ y ของฟงั ก์ชนั f เมอ่ื x มคี า่ เทา่ กบั 8

ตวั อย่างท่ี 1

ถา้ f เปน็ ฟงั ก์ชนั และ (x, y)  f แล้ว จะเรยี ก y เป็นค่าของฟังก์ชัน f ท่ี x
ซ่ึงเขียนแทนดว้ ย y = f(x) ดังนน้ั
1. ถา้ (a, b)  f แลว้ จะเรียก b เป็นค่าของฟังก์ชนั f ท่ี a เขียนแทนดว้ ย …………..
2. ถา้ (m, n)  f แลว้ จะเรยี ก n เปน็ ค่าของฟังก์ชัน f ท่ี m เขยี นแทนดว้ ย …..………

ตัวอยา่ งท่ี 2 f(2) หมายถงึ ค่า y ของฟังก์ชัน f เม่อื x = 2 ดงั นั้น
f(3) หมายถึง ………………………………………………………………………
f(4) หมายถงึ ………………………………………………………………………
f(5) หมายถงึ ………………………………………………………………………
f(-10) หมายถึง ………………………………………………………………………

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หน้า  25

การวิเคราะหก์ ารหาค่าของฟังกช์ นั ดว้ ยเทคนคิ KWDL

ตวั อย่างท่ี 3

ให้ f(x) = 2x + 2 จงหาคา่ ของฟังกช์ นั f ท่ี x = 1, 3, 6
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้
f(x) = 2x + 2
1. K (What we know)
นกั เรยี นรอู้ ะไรบา้ งจากทโ่ี จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) สิง่ ที่โจทย์ต้องการทราบ
นกั เรียนหาสงิ่ ทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบหรอื คา่ ของฟังก์ชนั f ท่ี x = 1, 3, 6
สง่ิ ทน่ี ักเรยี นต้องการรู้
วิธีแก้ปญั หา
3. D (What we do to find out) จาก f(x) = 2x + 2
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพอื่ หาคำตอบ จะได้ f(1) = 2(1) + 2 = 4
ตามทโี่ จทยต์ ้องการ หรอื สง่ิ ท่ตี นเอง
ตอ้ งการรู้ f(3) = 2(3) + 2 = 8
f(6) = 2(6) + 2 = 14

4. L (What we learned) คำตอบ
นักเรียนสรุปส่ิงทไ่ี ดเ้ รยี นรู้ f(1) = 4
f(3) = 8
f(6) = 14

ไม่ยากเลยใช่ไหม...ไปศกึ ษาตัวอย่างกนั ต่อเลย

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 3 ฟังกช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  26

การวิเคราะห์การหาค่าของฟังก์ชันด้วยเทคนคิ KWDL

ตวั อย่างที่ 4

ให้ f(x) = 2x2 − x + 3 จงหาค่าของฟังกช์ นั f ท่ี x = -1 , 0 , 1
(ส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารด้านความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิง่ ท่ีโจทย์กำหนดให้
f(x) = 2x2 − x + 3
1. K (What we know)
นกั เรียนรู้อะไรบา้ งจากทีโ่ จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่ิงทโี่ จทยต์ ้องการทราบ
นกั เรยี นหาส่ิงที่โจทยต์ อ้ งการทราบหรือ ค่าของฟังก์ชนั f ที่ x = -1 , 0 , 1
สิ่งทน่ี กั เรยี นตอ้ งการรู้
วิธีแกป้ ัญหา
3. D (What we do to find out) จาก f(x) = 2x2 − x + 3
นักเรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพื่อหาคำตอบ จะได้
ตามท่ีโจทยต์ ้องการ หรอื สงิ่ ท่ตี นเอง
ตอ้ งการรู้ f(−1) = 2(−1)2 − (−1) + 3 = 6
f(0) = 2(0)2 − (0) + 3 = 3
f(1) = 2(1)2 − (1) + 3 = 4

4. L (What we learned) คำตอบ
นกั เรยี นสรปุ สิ่งทไ่ี ด้เรยี นรู้ f(-1) = 6
f(0) = 3
f(1) = 4

ไม่ยากเลยใชไ่ หม...ไปศึกษาตัวอย่างกันตอ่ เลย

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 3 ฟังก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  27

การวิเคราะห์การหาคา่ ของฟังกช์ นั ดว้ ยเทคนิค KWDL

ตวั อยา่ งที่ 5

ให้ f(x) = 3x2 – 4x + 1 จงหาค่าของ f(x –3)
(ส่งเสริมความสามารถในการสือ่ สารดา้ นความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงที่โจทย์กำหนดให้

นกั เรยี นรอู้ ะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้ f(x) = 3x2 – 4x + 1

2. W (What we want to know) ส่ิงทโี่ จทยต์ ้องการทราบ
นักเรียนหาส่ิงที่โจทยต์ ้องการทราบหรือ คา่ ของ f(x –3)
ส่ิงที่นกั เรยี นต้องการรู้
วธิ ีแกป้ ัญหา
3. D (What we do to find out) จาก f(x) = 3x2 – 4x + 1
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอื่ หาคำตอบ จะได้
ตามทีโ่ จทยต์ ้องการ หรอื สง่ิ ท่ีตนเอง f(x-3) = 3(x-3)2 – 4(x-3) + 1
ต้องการรู้
= 3(x2 - 6x + 9) - 4x + 12 + 1
= 3x2 - 18x + 27 - 4x + 12 + 1
= 3x2 - 22x + 40

4. L (What we learned) คำตอบ
นักเรียนสรปุ สง่ิ ทีไ่ ด้เรียนรู้ f(x-3) = 3x2 - 22x + 40

ไม่ยากเลยใชไ่ หม...ไปศึกษาตัวอย่างกนั ตอ่ เลย

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั ก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  28

การวิเคราะห์การหาคา่ ของฟังกช์ นั ดว้ ยเทคนคิ KWDL

ตัวอย่างท่ี 6

กำหนดให้ f(a – 2) = 5a + 8 จงหา f(x), f(3), f(5)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารด้านความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้ …………….. (1)
1. K (What we know) f(a – 2) = 5a + 8 ……………… (2)
นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากทีโ่ จทย์กำหนดให้ ………………(3)
2. W (What we want to know) สิ่งทโี่ จทยต์ อ้ งการทราบ
นักเรยี นหาสงิ่ ทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบหรือ คา่ ของ f(x), f(3), f(5)
สงิ่ ทนี่ กั เรยี นตอ้ งการรู้
3. D (What we do to find out) วธิ แี ก้ปญั หา
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพื่อหาคำตอบ จาก f(a – 2) = 5a + 8
ตามทโี่ จทย์ตอ้ งการ หรอื สงิ่ ท่ตี นเอง ให้ a – 2 = x
ตอ้ งการรู้ จาก (2) จะได้ a =x + 2
แทนคา่ a = x +2 จะได้
4. L (What we learned) จา f(x) = 5(x + 2) + 8
นกั เรียนสรปุ ส่งิ ทไี่ ดเ้ รียนรู้
= 5x + 10 + 8
= 5x + 18
หา f(3)
จาก f(x) = 5x + 18
f(3) = 5(3) + 18
= 15 + 18
= 33
หา f(5)
จาก f(x) = 5x + 18
f(5) = 5(5) + 18
= 25 + 18
= 43
คำตอบ
f(x) = 5x + 18
f(3) = 33
f(5) = 43

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 3 ฟังก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  29

การวิเคราะห์การหาคา่ ของฟงั กช์ ันด้วยเทคนคิ KWDL

ตวั อย่างที่ 7

กำหนดให้ f(x) = x3 −1 จงหา f(5) - f(2)
x

(ส่งเสริมความสามารถในการสอ่ื สารด้านความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งท่ีโจทย์กำหนดให้
นกั เรียนรอู้ ะไรบ้างจากทีโ่ จทย์กำหนดให้
f(x) = x3 −1
2. W (What we want to know) x
นกั เรยี นหาสิง่ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบหรือ
สงิ่ ท่ีนักเรียนต้องการรู้ สิ่งทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ
3. D (What we do to find out) ค่าของ f(5) - f(2)
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่อื หาคำตอบ
ตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรอื ส่งิ ทีต่ นเอง วธิ ีแก้ปัญหา
ตอ้ งการรู้
f(x) = x3 −1
4. L (What we learned) x
นักเรยี นสรุปสิง่ ทไ่ี ดเ้ รียนรู้
f(5) = 53 −1 = 124
5 5

f(2) = 23 −1 = 7
2 2
124 7
 f(5) - f(2) = 5 − 2

คำตอบ = 213
10

 f(5) - f(2) = 213
10

อย่าเพง่ิ เบ่อื นะครบั ไปทำใบกิจกรรมท่ี 3.2 กันดีกว่า

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 3 ฟงั กช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  30

ใบกิจกรรมที่ 3.2 การหาคา่ ของฟังกช์ นั

1) ให้ f(x) = x2 − 5 จงหาคา่ ของฟงั กช์ นั f ท่ี x = 0,1,5 (5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอื่ สารด้านความชัดเจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิ่งท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
.............................................................................
1. K (What we know)
นักเรยี นรูอ้ ะไรบา้ งจากทโี่ จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่งิ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรยี นหาสงิ่ ทโี่ จทย์ต้องการทราบหรือ .............................................................................
สิ่งที่นักเรยี นต้องการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธีแกป้ ญั หา (2 คะแนน)
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หาคำตอบ .............................................................................
ตามทโี่ จทย์ตอ้ งการ หรอื สิง่ ที่ตนเอง .............................................................................
ต้องการรู้ .............................................................................
.............................................................................
4. L (What we learned) .............................................................................
นกั เรียนสรุปส่ิงท่ไี ด้เรียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

คำตอบ (1 คะแนน)
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ทำได้หรือเปล่าครับ...ไปทำขอ้ ท่ี 2 กนั ตอ่ เลย
ชุดกิจกรรมการเรียนร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 3 ฟังกช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  31

2)

กำหนดให้ f(x) = x2 − 3 จงหา f(-2) f(2) (5 คะแนน)
(สง่ เสริมความสามารถในการสื่อสารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL สิ่งท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
.............................................................................
1. K (What we know)
นักเรยี นรู้อะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) สง่ิ ท่ีโจทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรยี นหาสง่ิ ทีโ่ จทย์ตอ้ งการทราบหรอื .............................................................................
ส่งิ ทน่ี กั เรียนตอ้ งการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปญั หา (2 คะแนน)
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพือ่ หาคำตอบ .............................................................................
ตามท่ีโจทยต์ อ้ งการ หรอื สง่ิ ท่ีตนเอง .............................................................................
ตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นกั เรยี นสรปุ สง่ิ ท่ไี ดเ้ รียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ทำไดห้ รอื เปลา่ ครบั ...ไปตรวจคำตอบกนั
ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  32

โดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชนั

บทนิยาม กำหนดฟังกช์ นั f ซง่ึ f จะเป็นฟังก์ชนั จาก A ไป B กต็ อ่ เมอื่
Df = A และ Rf  B

ถา้ f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B แลว้ เซต A จะเปน็ โดเมนของฟังกช์ นั f เรียกเซต B
วา่ เซตฝ่ายรับ(codomain) ของฟงั ก์ชัน f เซตของสมาชกิ ท่ีอยู่ใน B จะเปน็ เรนจข์ องฟังกช์ นั f

เราจะเขยี น Df แทนโดเมนของฟงั กช์ นั f ซง่ึ Df = x (x,y)f
และ Rf แทนเรนจข์ องฟงั กช์ นั f ซง่ึ Rf = y (x,y)f

จากหลกั การดงั กลา่ วทำให้เราสามารถ
หาโดเมนและเรนจ์ของฟงั กช์ นั ได้ดงั นี้

ตวั อย่างที่ 1

จากฟังก์ชนั ในรูปแผนภาพทีก่ ำหนดให้จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชนั
(ส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารด้านภาษาทางคณติ ศาสตร์)

1) A B
6
2 5
1 4
0 3
-1 2
-2

f1
ดงั น้นั Df = {-2,-1,0,1,2} และ Rf = {4,5,6}

ชุดกิจกรรมการเรียนร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั กช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  33

2) A B

1a
2b
3c

f2
ดงั นน้ั Df = {1,2,3} = A และ Rf ={a,b,c} = B

ตัวอยา่ งท่ี 2

จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชนั ตอ่ ไปน้ี
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นภาษาทางคณิตศาสตร์)

(1) f1 = (1,a),(1,b),(2,a),(3,c)Rf = a,b,c
Df = 1,2,3

(2) f2 = (0,1),(1,3),(2,5),(3,7),(4,9)
Df = 0,1,2,3,4 Rf = 1,3,5,7,9

ตวั อย่างที่ 3

จากกราฟของฟงั ก์ชนั ทกี่ ำหนดให้ จงหาโดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ ันต่อไปนี้
(ส่งเสริมความสามารถในการส่อื สารด้านภาษาทางคณิตศาสตร์)

1) 2)

y1
yR

xR xR

จากกราฟ พบว่า x เป็นจำนวนจริง และ จากกราฟ พบว่า x เป็นจำนวนจรงิ และ
y เปน็ จำนวนจริง y 1

ดังน้นั Df = R ดงั น้นั Df = R
Rf = R Rf = [1, )

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

3) ชดุ ท่ี 3 ฟังกช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  34
Y
4)
Y

XX

จากกราฟ พบว่า x เป็นจำนวนจริง และ จากกราฟ พบว่า x เป็นจำนวนจรงิ และ
y เปน็ จำนวนจริง y 1

ดงั นั้น Df = (-, 4] ดังน้ัน Df = [-3, 3]
Rf = [0, ) Rf = [0, 3]

กรณีฟงั กช์ นั แบบบอกเงอ่ื นไข

1. การหาโดเมน ควรเขียนฟงั ก์ชนั ใหอ้ ยู่ในรปู ของ
y = เทอมของ x

แล้วพจิ ารณาวา่ ภายในเซตทกี่ ำหนดให้ x มีคา่ อะไรบ้างทีท่ ำใหห้ าคา่ y ได้
โดยท่ี y น้นั ตอ้ งอย่ภู ายในเซตที่กำหนดให้ คา่ x เหลา่ น้ันจะเปน็ สมาชกิ
ในโดเมน
2. การหาเรนจ์ ควรเขียนฟงั ก์ชันให้อยู่ในรูปของ

x = เทอมของ y
แล้วพจิ ารณาว่า y มีคา่ เปน็ อะไรบา้ งท่ที ำให้หาคา่ x ได้ โดยท่ี x น้ัน
ตอ้ งอยู่ภายในเซตที่กำหนดให้ คา่ y เหลา่ นนั้ จะเป็นสมาชิกในเรนจ์

ไม่ยากเลยใช่ไหมครับ....
ไปดตู วั อย่างท่ี 4 ต่อกนั เลย

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟังก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชัน หน้า  35

ตวั อย่างท่ี 4 กรณีฟงั ก์ชันแบบบอกเง่อื นไข

จงหาโดเมนและเรนจข์ อง f(x) = (x,y) y = 16 − x2 
(สง่ เสริมความสามารถในการส่อื สารด้านการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL ส่งิ ที่โจทย์กำหนดให้

1. K (What we know) f(x) = (x,y) y = 16 − x2 
นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากทีโ่ จทย์กำหนดให้
สง่ิ ท่โี จทยต์ อ้ งการทราบ
2. W (What we want to know)
นกั เรียนหาสงิ่ ทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรอื โดเมนและเรนจข์ อง
สง่ิ ที่นักเรียนต้องการรู้
f(x) = (x,y) y = 16 − x2 
3. D (What we do to find out)
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพื่อหาคำตอบ วิธีแกป้ ญั หา
ตามที่โจทย์ต้องการ หรอื สงิ่ ทต่ี นเอง พจิ ารณาโดเมน
ตอ้ งการรู้ พิจารณา 16 − x2 จะเหน็ ว่า 16 − x2
ต้องไมเ่ ปน็ จำนวนลบ เพราะรากทีส่ องของ
จำนวนลบไมเ่ ป็นจำนวนจริง

4. L (What we learned) ดังนน้ั 16 − x2  0 จงึ ทำให้ x มีคา่ ตง้ั แต่
นกั เรยี นสรุปสิง่ ท่ไี ดเ้ รยี นรู้ -4 ถงึ 4 หรอื เขียนในรูป [-4,4] หรือ x  4

ดังนัน้ Df = x − 4  x  4 หรอื

x x  4 หรือ [-4,4]

พจิ ารณาเรนจ์
เนือ่ งจาก 16 − x2 ไม่เป็นจำนวนลบ และ
มคี ่ามากทส่ี ดุ เป็น 4 เมอ่ื x = 0

ดงั นัน้ Rf = y 0  y  4 หรือ [0,4]

คำตอบ

Df = x − 4  x  4 หรือ [-4,4]
Rf = y 0  y  4 หรือ [0,4]

ชดุ กิจกรรมการเรียนร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั ก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  36

ตัวอยา่ งที่ 5 กรณีฟงั ก์ชันแบบบอกเง่อื นไข

จงหาโดเมนและเรนจข์ อง f(x)= {(x, y)  R  R | y = 2x + 1}
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้
f(x)= {(x, y)  R  R | y = 2x + 1}
1. K (What we know)
นักเรยี นรู้อะไรบา้ งจากท่โี จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่ิงทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ
นักเรยี นหาสง่ิ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบหรอื
สง่ิ ทนี่ ักเรยี นต้องการรู้ โดเมนและเรนจ์ของ
f(x)= {(x, y)  R  R | y = 2x + 1}

3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ญั หา
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่ือหาคำตอบ จากฟงั ก์ชันทีก่ ำหนดให้ y = 2x + 1
ตามท่โี จทย์ตอ้ งการ หรอื สิง่ ที่ตนเอง เราสามารถหาค่า y ท่ีเป็นจริงและสอดคลอ้ งกับ
ตอ้ งการรู้ ความสัมพันธท์ ่ีไดเ้ สมอ
หาเรนจ์ จาก y = 2x + 1 จะตอ้ งทำให้อยใู่ นรปู

x = เทอมของ y
จะได้ 2x = y - 1

x = y-1
2

จาก x = y - 1 เราสามารถหาคา่ x
2

ท่เี ปน็ จริงและสอดคลอ้ งกับฟงั กชื นั นี้ไดเ้ สมอ

 Rr = {y | y  R}

4. L (What we learned) คำตอบ
นักเรียนสรปุ ส่ิงท่ีได้เรยี นรู้ Df =R
Df =R

โดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ันง่ายนิดเดยี ว
ไปทำใบกิจกรรมท่ี 3.3 กันต่อเลย

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชุดท่ี 3 ฟังก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  37

ใบกจิ กรรมที่ 3.3 โดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชัน

1) กำหนด f(x) = {(x, y)  RR | y = 4 – x2} จงหาโดเมนและเรนจข์ อง f
(5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสือ่ สารดา้ นความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิ่งที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
.............................................................................
1. K (What we know)
นักเรียนรอู้ ะไรบา้ งจากทโ่ี จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) สิ่งที่โจทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นักเรยี นหาสิ่งท่ีโจทย์ต้องการทราบหรือ .............................................................................
สิ่งทน่ี ักเรียนตอ้ งการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out) วิธแี กป้ ญั หา (2 คะแนน)
นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอ่ื หาคำตอบ .............................................................................
ตามท่ีโจทยต์ ้องการ หรอื สิ่งทีต่ นเอง .............................................................................
ตอ้ งการรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

4. L (What we learned) คำตอบ (1 คะแนน)
นกั เรียนสรุปสิง่ ทไ่ี ด้เรียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

ทำไดห้ รอื เปลา่ ครบั ...ไปตรวจคำตอบกัน

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 3 ฟังก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชัน หน้า  38

2)
ให้นกั เรียนเขยี นโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ท่ีกำหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี (15 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารดา้ นภาษาทางคณิตศาสตร์)

1. r = (x,y) y = 3x + 5 2. r = (x, y) y = 2x −1
3 
 
Df = .......................................... Df = ..........................................
Rf = .......................................... Rf = ..........................................
4. r = (x,y) y = x2 −2
3. r = (x,y) y = x2 +3

Df = .......................................... Df = ..........................................
Rf = .......................................... Rf = ..........................................

5. r = (x,y) y = (x −2)2 6. r = (x,y) y = (x −2)2 +1

Df = .......................................... Df = ..........................................
Rf = .......................................... Rf = ..........................................

7. r = (x,y) y = 4 − x2 8. r = (x,y) y = −2 −(x +3)2

Df = .......................................... Df = ..........................................
Rf = .......................................... Rf = ..........................................

9. r = (x,y) y = x − 3 10. r = (x,y) y = x + 2 +1

Df = .......................................... Df = ..........................................
Rf = .......................................... Rf = ..........................................

11. r = (x,y) y = x2 + 4  12. r = (x,y) y = x2 − 4 
Df = .......................................... Df = ..........................................
Rf = .......................................... Rf = ..........................................

13. r = (x, y) y = 2x − 3  14. r = (x,y) y = 9 − x2 
3x − 4  Df = ..........................................
  Rf = ..........................................
Df = ..........................................
Rf = ..........................................

15. r = (x,y) y = 1 

 x2 − 4 

Df = ..........................................
Rf = ..........................................

โดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ นั
ก็งา่ ยนะน่ี...นกั เรยี นเก่งมากๆ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 3 ฟงั กช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  39

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม2 (ค31202) ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 4
คำชี้แจง ให้เลือกข้อท่ีถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

1. ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี เป็นฟงั ก์ชัน ข. {(2,a),(3,b),(2,a),(3,c)}
ง. {(2,3),(3,3),(3,7), (7,9)}
ก. {(1,9),(1,8),(3,7)}
ค. {(1,a),(2,a),(3,a),(4,a)} ข. {(x , y) | y < x }
ง. {( x, y ) | y2 = x + 4 , y0}
2. ข้อใดตอ่ ไปนี้ เป็นฟงั ก์ชนั
f2
ก. { (x , y) | x = –2 }
ค. {(x , y) |  y  = x }
ใชข้ อ้ มลู ตอ่ ไปนต้ี อบคำถามขอ้ 1
f1

f3 f4

3. จากทกี่ ำหนดให้ ขอ้ ใดต่อไปน้ี ถกู ตอ้ ง

ก. f1 และ f3 เป็นฟังก์ชนั ข. f3 เท่านน้ั เป็นฟังกช์ นั
ค. f1 และ f4 เปน็ ฟงั ก์ชนั ง. f1 เท่านน้ั เป็นฟงั กช์ นั

4. กำหนดให้ A = {1 ,3 , 4}, B = {2 ,4 ,5 ,7 ,8 , 9 , 11} และ
f = {(x , y)AB y = 3x - 1} เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนผ้ี ิด

ก. f (1) + f(3) = f(4) ข. f (4) - f(3) > f(1)
ค. f (1) + f(4) > f(3) ง. f(4) – 1 = f(3) + f(1)

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 3 ฟังก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  40

5.  − 3 − 2x, x  −2
กำหนด f(x) = x,
− 2x2 ข้อใดไม่ถกู ตอ้ ง

− 3 + 2x, x  2

ก. f(- 3 ) = 3 ข. f(- 1 ) = - 1
2 2 2 2
3 3 1 1
ค. f( 2 ) = 2 ง. f( 2 ) = 2

6. กำหนดให้ f = {(1 ,2) , (2 ,4), (3 ,6) , (4 ,8) แลว้ f (1) + f(3) มคี ่าตรงกับขอ้ ใด

ก. f (1) + f(3) = 6 ข. f (1) + f(3) = 8
ค. f (1) + f(3) = 10 ง. f (1) + f(3) = 12

7. กำหนดให้ f(3x - 1) = 16 − x2 แล้ว f(-1) มคี า่ เทา่ ใด

ก. 16 ข. -16
ค. 4 ง. -4

8. ฟงั ก์ชันก์ f(x) ซึ่งมี Df = Rf คอื ข้อใด

ก. f(x) = (x,y) y = 4 − x2  ข. f(x) = (x,y) y = 4x +1

ค. f(x) = (x,y) y = x2 − 4  ง. f(x) = (x,y) y = x + 2 + 4

 

9. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = { 3, 4 ,6 ,8 ,9 ,10 } โดเมนของ f ={ (x, y)ABy= 2x–1}
คอื ข้อใด

ก. { 1 , 2 , 3, 4 , 5 } ข. { 1 , 2 , 3 , 4 }
ค. { 2 ,5 } ง. { 1 , 2 , 4 }

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ชดุ ท่ี 3 ฟังกช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  41

ใชข้ ้อมูลตอ่ ไปนตี้ อบคำถามข้อ 10 f2 = (x,y) y = x2 − 25 
ให้ f1 = (x,y) y = x2 + 5 
f4 = (x,y) y = 5 − x 
 f3 = (x,y) y = x + 25
ข. เรนจข์ อง f2 เทา่ กบั เรนจข์ อง f3
10. เรนจ์ของฟงั กช์ นั ในข้อใดเทา่ กนั ง. เรนจข์ อง f2 เทา่ กบั เรนจข์ อง f4

ก. เรนจข์ อง f1 เท่ากับ เรนจ์ของ f3
ค. เรนจข์ อง f1 เท่ากับ เรนจข์ อง f4

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชุดท่ี 3 ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  42

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบหลังเรียน

ชอ่ื – นามสกุล ..................................................................... ชนั้ ................. เลขที่ ...........
คำชี้แจง จงทำเครื่องหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ข้อท่ี ก ข ค ง
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

เปน็ ไงบ้างครบั แบบทดสอบหลังเรยี น

เรอ่ื งฟงั ก์ชันไม่ยากเลย

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 3 ฟังก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชัน หน้า  43

แบบบันทกึ คะแนน

ชุดกิจกรรม ชุดที่ 3 เรอื่ ง ฟงั กช์ ันและการตรวจสอบฟงั ก์ชัน

ชื่อ.............................................................เลขท.ี่ ..........ช้นั ...........ห้อง........

รายการ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ ผลการประเมิน
แบบทดสอบก่อนเรียน 10
35
ใบกิจกรรมท่ี 3.1 10
ใบกิจกรรมท่ี 3.2 20
ใบกิจกรรมที่ 3.3 10
85
แบบทดสอบหลังเรียน
รวม

เกณฑ์การประเมิน ในแตล่ ะชดุ นกั เรียนต้องทำใบกจิ กรรม ให้ไดค้ ะแนน

ไม่น้อยกวา่ ร้อยละ 80 เชน่ ใบกิจกรรมทมี่ ี 10 คะแนน นกั เรยี นตอ้ ง

ทำใหไ้ ด้ไม่นอ้ ยกว่า 8 คะแนนจงึ จะถอื วา่ “ผา่ นเกณฑ์”

“ผา่ นเกณฑ์” “ไม่ผา่ นเกณฑ”์

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 3 ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  44

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น เฉลยใบกจิ กรรม
และเฉลยแบบทดสอบหลังเรยี น ชดุ ที่ 3
ชดุ ท่ี 2
แฟกทอเรยี ลและวธิ เี รียงสบั เปลีย่ น

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 3 ฟงั ก์ชันและการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  45

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น ชดุ ท่ี 3

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน ชุดท่ี 3

ข้อ คำตอบ ขอ้ คำตอบ
1. ข. f3 เทา่ น้นั เป็นฟังกช์ ัน
6. ค. 4
2. ค. {(1,a),(2,a),(3,a),(4,a)}
7. ก. f(- 3 ) = 3
3. ง. {( x, y ) | y2 = x + 4 , y0} 2 2
4. ข. f (1) + f(3) = 8 8. ค. { 2 ,5 }
5. ก. f (1) + f(3) = f(4)
9. ข. เรนจ์ของ f2 เท่ากบั เรนจ์ของ f3

10. ข. f(x) = (x,y) y = 4x +1

ถา้ นกั เรียนทราบผลคะแนนแลว้
อยใู่ นเกณฑ์ทีไ่ มน่ ่าพอใจ

ลองกลบั ไปศกึ ษาเน้อื หาไดอ้ ีกนะครบั ...

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟังกช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หนา้  46

เฉลยใบกิจกรรมท่ี 3.1 ฟงั ก์ชันและการตรวจสอบฟังกช์ นั

1) ใหน้ ักเรยี นกาเครอื่ งหมาย  ลงในตารางตอ่ ไปนใ้ี ห้ถกู ต้อง (15 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

ขอ้ ที่ ความสมั พนั ธ์ ฟังก์ชัน
เป็น ไม่เปน็
1 r = {(1, 2), (3, 7), (4, 9), (8, 6), (10, 8)} 
2 r = {(3, 2), (4, 2), (6, 2)} 
3 r = {(1, 3), (2, 4), (3, 6), (3, 8)}
4 r = {(x, y) | y = x2 - 1} 
5 r = {(x, y) | xy = 2} 
6 r = {(x, y) | y2 = x + 3} 
7 r = {(x, y) | y = x3}
8 r = {(x, y) | y = x2 + 3} 
9 r = {(2, 3), (2, 4), (3, 6), (4, 9)} 
10 r = {(x, y) | x = y2 + 2y + 1} 
11 r = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}
12 r = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4)} 
13 r = {(2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 6)} 
14 r = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 6), (3, 7)} 
15 r = {(5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10)} 




นกั เรียนต้องขยันทบทวนความรู้บอ่ ยๆ นะครับ...
เพ่ือใหเ้ ก่งขน้ึ เร่อื ยๆ....ต้องขยนั ๆๆนะครบั
ไปดูเฉลยขอ้ ตอ่ ไปเลย

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 3 ฟังกช์ ันและการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  47

คำชแ้ี จง 2) จงพิจารณาความสัมพันธ์ r3 = {(x, y ) | y =  x และ x  0}
เป็นฟังก์ชนั หรือไม่ (5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่ือสารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้

นักเรยี นรู้อะไรบา้ งจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ r3 = {(x, y ) | y =  x และ x  0}

2. W (What we want to know) สง่ิ ท่ีโจทยต์ ้องการทราบ
นักเรยี นหาส่ิงที่โจทย์ต้องการทราบหรือ
สงิ่ ทีน่ ักเรียนต้องการรู้ ความสมั พันธ์ r3= {(x, y)| y=  x และ x  0}
เป็นฟังกช์ นั หรือไม่

3. D (What we do to find out) วิธีแกป้ ัญหา
นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอื่ หาคำตอบ จาก r3 = {(x, y ) |y =  x และ x  0}
ตามทโ่ี จทยต์ ้องการ หรอื สงิ่ ทต่ี นเอง
ต้องการรู้ x 0 1 4 9 16
y 0 1 2 3 4

Y

3
2
1
-01 4 8 X
-2

4. L (What we learned) คำตอบ
นกั เรียนสรปุ สิง่ ท่ีได้เรยี นรู้ จากรูป พบวา่ มีเสน้ ขนานกบั แกน Y เสน้ ใดตดั
กราฟของ r3 สองจดุ
แสดงวา่ มี x ท่ที ำใหเ้ กดิ ค่า y ทเี่ ทา่ กัน

 r3 ไม่เปน็ ฟังก์ชัน เพราะว่า มี x ที่ทำให้ได้
y ท่ีเทา่ กันสองค่า

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 3 ฟงั กช์ นั และการหาค่าของฟงั ก์ชนั หน้า  48

คำชแ้ี จง 3) ให้นักเรยี นทำเครอ่ื งหมาย  ลงในตารางต่อไปนีใ้ ห้ถกู ต้อง (5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่ือสารด้านการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

ข้อท่ี ความสัมพันธ์ ฟงั ก์ชนั
เปน็ ไม่เป็น
1 r = {(x, y) | y = 3x – 1} 
2 r = {(x, y) | y = 3x2– x + 3} 
3 r = {(x, y) | y = 2x2 + 1} 
4 r = {(x, y) | y = 4x2} 
5 r = {(x, y) | x2 + y2 = 4 , x  0}


คำชี้แจง 4) แผนภาพทีก่ ำหนดใหต้ ่อไปนี้แผนภาพในข้อใดแทนความสมั พันธท์ ่ีเป็นฟังกช์ ัน
(3 คะแนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสื่อสารด้านการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

(1) A B
a 6  เป็นฟงั ก์ชัน
b 5
c 4 ไม่เปน็ ฟงั ก์ชนั

(2) A B
a 6  เปน็ ฟังก์ชนั
b 5
c 4 ไมเ่ ป็นฟังก์ชัน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 3 ฟังก์ชนั และการหาค่าของฟงั ก์ชัน หนา้  49

(3) A B
a
b 6 เปน็ ฟงั กช์ ัน
c 5
d 4
3  ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั

5) จากความสมั พนั ธ์ทก่ี ำหนดใหใ้ นรปู ตารางตอ่ ไปน้ี ความสมั พันธใ์ ดเป็นฟงั กช์ นั
(2 คะแนน)

(1) (2)

AB AB

a1 a1

b2 b2

c2 a3
d 4  เป็ นฟังก์ชัน b 4 เป็ นฟังก์ชัน
 ไม่เป็ นฟังก์ชัน
e3 ไม่เป็ นฟังก์ชัน c 5

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่อื ง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน