ชุดที่ 5 เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ

+ –  ชดุ ที่ 5 ฟงั กช์ นั กำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  0


ชดุ กิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 5 ฟังกช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  1

คำนำ

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่อื ง ความสมั พนั ธแ์ ละฟงั ก์ชันสำหรบั การเรยี นรู้แบบ
แบ่งกลุ่มผลสัมฤทธิ์ (STAD) โดยเน้นเทคนิค KWDL เพ่ือส่งเสริมความสามารถในการสื่อสาร
ทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4 จัดทำข้ึนเพ่ือส่งเสรมิ และสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน
เกิดความคิดรวบยอดในเรื่องความสัมพันธ์และฟังก์ชัน อีกทั้งยังส่งเสริมและพัฒนาความสามารถใน
การส่ือสารทางคณิตศาสตร์ มีการประเมินตนเองตามผลสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตร
กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน
พทุ ธศักราช 2551 และ ซ่ึงมีท้ังหมด 9 ชุด เวลา 24 ชว่ั โมง ดงั น้ี

ชุดท่ี 1 เรอื่ ง การเขยี นคอู่ ันดบั และผลคูณคารท์ ีเซียน (3 ชัว่ โมง)
ชดุ ท่ี 2 เรอื่ ง ความสมั พนั ธ์และอนิ เวอร์สของความสมั พนั ธ์ (4 ชวั่ โมง)
ชดุ ท่ี 3 เรอ่ื ง ฟงั ก์ชันและการหาคา่ ของฟังก์ชัน (3 ชว่ั โมง)
ชุดท่ี 4 เรื่อง ฟังก์ชันเชงิ เสน้ และการแก้ปญั หา (2 ช่วั โมง)
ชุดที่ 5 เรื่อง ฟังกช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ (3 ชั่วโมง)
ชดุ ท่ี 6 เร่อื ง การแกป้ ญั หาโดยใชฟ้ งั ก์ชนั กำลงั สอง (2 ชว่ั โมง)
ชดุ ท่ี 7 เรื่อง ฟังก์ชนั คา่ สัมบรู ณ์และฟังก์ชนั ขั้นบันได (2 ช่ัวโมง)
ชดุ ท่ี 8 เรอ่ื ง ชนดิ และการดำเนินการของฟังกช์ นั (3 ชว่ั โมง)
ชุดที่ 9 เรื่อง อินเวอร์สของฟงั ก์ชันและฟงั กช์ นั ประกอบ (2 ชว่ั โมง)

โดยในชุดที่ 5 เร่ือง ฟังก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ ประกอบด้วย คำช้ีแจงสำหรับครู
คำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรมคณิ ตศาสตร์ ผลการเรียนรู้ สาระ
การเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมและแบบทดสอบ
หลังเรียน โดยเนื้อหาแต่ละเร่ืองมีตัวอย่างประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาชุดกิจกรรม
การเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ตามลำดับข้ันตอน พร้อมท้ังตรวจคำตอบท่ีถูกต้องของชุดกิจกรรม
การเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ได้ด้วยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 เรื่อง ฟังก์ชันกำลัง
สองและการวาดกราฟ จะช่วยพัฒนาความคิดรวบยอด และส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารทาง
คณติ ศาสตร์ และเหมาะสมกบั ผเู้ รยี นทกุ คน เหมาะสมสำหรบั ครทู ่จี ะนำไปจดั การเรยี นการสอน

นายสรุ ชัย สุขรี
ตำแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ครูชำนาญการพเิ ศษ

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดที่ 5 ฟงั ก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  2

สารบัญ

เร่อื ง หนา้

คำนำ 1
สารบญั 2
คำชี้แจงสำหรบั ครู 3
คำแนะนำสำหรับนกั เรยี น 4
แผนผงั การใช้ชดุ กิจกรรมการเรียนรชู้ ดุ ท่ี 5 5
การจดั การเรียนรแู้ บบแบ่งกลุม่ ผลสัมฤทธ์ิ (STAD) โดยเนน้ เทคนคิ KWDL 6
ผลการเรยี นรู้ 7
สาระการเรยี นรเู้ พม่ิ เตมิ 7
จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ 7
แบบทดสอบก่อนเรยี นชุดที่ 5 ฟงั กช์ ันกำลังสองและการวาดกราฟ 8
5.1 ฟงั กช์ นั กำลงั สอง y = ax2 และ y = ax2+ k 12
12
ใบความรทู้ ่ี 5.1 ฟงั กช์ นั กำลงั สอง y = ax2 และ y = ax2+ k 23
ใบกจิ กรรมท่ี 5.1 ฟังก์ชนั กำลังสอง y = ax2 และ y = ax2+ k 27
5.2 ฟังกช์ นั กำลังสอง y = a(x – h)2 และ y = a(x – h)2+ k 27
ใบความรทู้ ี่ 5.2 ฟังก์ชันกำลงั สอง y = a(x – h)2 และ y = a(x – h)2+ k 35
39
ใบกจิ กรรมท่ี 5.2 ฟังก์ชนั กำลงั สอง y = a(x – h)2 และ y = a(x – h)2+ k 39
5.3 ฟงั กช์ นั กำลังสอง y = ax2 + bx + c 48
52
ใบความรทู้ ่ี 5.3 ฟงั กช์ นั กำลงั สอง y = ax2 + bx + c 58
ใบกจิ กรรมที่ 5.3 ฟงั ก์ชนั กำลังสอง y = ax2 + bx + c 59
แบบทดสอบหลงั เรยี นชุดที่ 5 ฟังกช์ นั กำลงั สองและการวาดกราฟ 63
เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนชุดที่ 5 ฟงั ก์ชนั กำลังสองและการวาดกราฟ 67
เฉลยใบกิจกรรมที่ 5.1 การจดั ให้อยใู่ นรปู y = a(x – h)2+ k 71
เฉลยใบกิจกรรมท่ี 5.2 ฟังก์ชนั กำลังสอง y = a(x – h)2 และ y= a(x–h)2+ k 72

เฉลยใบกจิ กรรมที่ 5.3 การหาจุดวกกลับโดยใชส้ ตู ร
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนชุดที่ 5 ฟงั ก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ
บรรณานุกรม

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั ก์ชนั กำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  3

คำช้ีแจงสำหรบั ครู

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 5 เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ

รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 รหัสวิชา ค31202 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดยในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์
ชดุ ที่ 5 เรอ่ื ง ฟังก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ ใชเ้ วลาจัดการเรยี นรู้ 3 ชว่ั โมง ประกอบด้วยเนือ้ หา

ดังน้ี
5.1) ฟงั ก์ชนั กำลงั สอง y = ax2 และ y = ax2+ k (1 ชวั่ โมง)
5.2) ฟงั กช์ ันกำลังสอง y = a(x – h)2 และ y = a(x – h)2+ k (1 ชวั่ โมง)
5.3) ฟังก์ชนั กำลงั สอง y = ax2 + bx + c (1 ชว่ั โมง)

ในชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ ชุดท่ี 5 เร่ือง ฟังก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ

ประกอบด้วยคำช้ีแจงสำหรับครูคำแนะนำสำหรับนักเรียน แผนผังการใช้ชุดกิจกรรม ผลการเรียนรู้

สาระการเรียนรู้ จุดประสงค์การเรียนรู้ แบบทดสอบก่อนเรียน ใบความรู้ ใบกิจกรรมที่มีแนวทางการหา

คำตอบโดยใช้เทคนิค KWDL แบบทดสอบหลังเรียน และภาคผนวกซ่ึงประกอบด้วยเฉลยแบบทดสอบ

ก่อนเรียน เฉลยใบกิจกรรม เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน แบบบันทึกคะแนนและเกณฑ์การประเมิน
ในการใช้ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้ชุดน้ี ครผู ู้สอนควรปฏบิ ัตติ ามขัน้ ตอนต่อไปน้ี

ขขัน้ ้นั ทที่ ี่11 ชี้แจงขัน้ ตอนการเรียนโดยใช้ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้นใ้ี หน้ ักเรียนเขา้ ใจ

ขขัน้ ้นั ทที่ ่ี22 ให้นักเรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี นกอ่ นศกึ ษาเน้อื หาจากใบความรู้
ทำใบกจิ กรรมและตรวจคำตอบตามเฉลยในภาคผนวกทีละใบกจิ กรรม

ขข้ัน้นั ทที่ ่ี33 ดูแลให้นักเรยี นปฏิบัตติ ามข้นั ตอนและใหค้ ำแนะนำเมื่อนักเรยี นพบปญั หา

ขข้ัน้นั ทที่ ่ี44 ประเมนิ ผลการเรียนของนักเรยี นอยา่ งต่อเนื่องและใหแ้ รงเสรมิ
ในการปฏิบตั ิกจิ กรรมของนักเรยี น

ขข้ัน้นั ทท่ี 5่ี 5 ใหน้ กั เรียนทำแบบทดสอบหลังเรยี น เม่ือศึกษาเนอ้ื หาจากใบความรู้
และทำใบกิจกรรมเสรจ็ สิน้

ขข้นั ้นั ทที่ 6่ี 6 บนั ทกึ ผลการประเมินหลงั การจดั การเรยี นรู้โดยใช้ชุดกจิ กรรมทุกครั้ง

ชดุ กิจกรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 5 ฟังก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  4

คำแนะนำสำหรับนกั เรยี น

นักเรียนควรปฏิบัติในการใช้ชุดกิจกรรมคณิตศาสตร์ชุดท่ี 5 เร่อื ง ฟังกช์ นั กำลังสองและ
การวาดกราฟ ดังนี้

ขนั้ ที่ 1 ศกึ ษาขัน้ ตอนการใชช้ ดุ กจิ กรรมมการเรยี นรู้ให้เขา้ ใจชดั เจน

ขน้ั ที่ 2 ศกึ ษาผลการเรียนรู้ สาระการเรยี นรู้ จุดประสงค์การเรยี นรู้
เวลาท่ใี ช้ในการจดั การเรียนรู้

ขน้ั ที่ 3 ทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี น ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แลว้ บนั ทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ขน้ั ท่ี 4 ศกึ ษาและทำความเข้าใจเน้ือหาจากใบความรแู้ ละทำใบกจิ กรรม
ดว้ ยตนเองและตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวกไปทีละใบกิจกรรม

ตามลำดับเมอ่ื พบปญั หาใหข้ อคำแนะนำจากครทู นั ที

ข้ันที่ 5 ทำแบบทดสอบหลังเรียน ตรวจคำตอบจากเฉลยในภาคผนวก
แลว้ บันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน

ประเมนิ ผลวา่ นักเรียนผ่านเกณฑห์ รือไม่
ขน้ั ท่ี 6  “ผา่ นเกณฑ์การประเมิน” ให้นกั เรยี นศกึ ษาชดุ กจิ กรรมชดุ ต่อไป

 “ไมผ่ า่ นเกณฑก์ ารประเมนิ ” ให้นกั เรยี นยอ้ นกลบั ไปศึกษาและ
ทำความเขา้ ใจเนอื้ หาจากใบความรู้และทำใบกิจกรรมด้วยตนเองใหม่

อา่ นคำแนะนำให้เขา้ ใจและปฏิบัตติ ามใหถ้ กู ต้อง
กอ่ นทจ่ี ะลงมือทำกจิ กรรมในชุดกิจกรรม
และท่ีสำคัญต้องมีความซ่ือสตั ย์นะครบั

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั ก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  5

แผนผังการใชช้ ุดกิจกรรมคณิตศาสตร์ชดุ ท่ี 5

ศึกษาขัน้ ตอนการใช้ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้
ศึกษาผลการเรยี นรู้ และจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ทำแบบทดสอบก่อนเรยี น

ศกึ ษาเนอื้ หา ศึกษาใบความรู้ที่ 5.1-5.3
และทำใบกิจกรรม
คณิตศาสตร์

ศกึ ษาเนอื้ หาสาระใบความรู้
ตัวอย่างการหาคำตอบตามเทคนคิ KWDL

ในชุดที่ 5 ให้ครบตามกำหนดไว้

ทำใบกจิ กรรม 5.1-5.3

ตรวจใหค้ ะแนนดว้ ยตนเอง

ไมผ่ ่านเกณฑ์รอ้ ยละ 80

ผา่ นเกณฑ์รอ้ ยละ 80

เก็บสถติ ิคะแนน
ทดสอบหลงั เรยี น

ไม่ผา่ นเกณฑร์ อ้ ยละ 80 ผา่ นเกณฑ์ร้อยละ 80

จบชุดที่ 5

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 5 ฟงั ก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ หนา้  6

การจดั การเรยี นรแู้ บบแบ่งกลุ่มผลสมั ฤทธ์ิ (STAD) โดยเน้นเทคนิค KWDL

ขนั้ ที่ 1 ขน้ั นำเขา้ สู่บทเรยี น
กระตุ้นความสนใจ เตรียมความพร้อมของนกั เรียน หรอื ทบทวนความรทู้ จ่ี ำเปน็

ขนั้ ที่ 2 ข้นั เสนอบทเรยี นตอ่ ทัง้ ชั้น
ครูนำเสนอตัวอย่างการแกป้ ัญหาตามแผนผงั เทคนคิ KWDL ตอ่ นกั เรยี นทง้ั หอ้ ง
โดยใชเ้ ทคนิควิธีการสอน ใช้สอ่ื การเรยี นการสอน ใช้คำถามกระตนุ้ ความคดิ

ข้นั ท่ี 3 ขัน้ กิจกรรมกลุ่มยอ่ ยเทคนิค KWDL
นักเรยี นทมี่ ีความสามารถตา่ งกันทำงานร่วมกนั เป็นกล่มุ เล็กๆ กลมุ่ ละ 4 คน
(อัตราสว่ น เกง่ : ปานกลาง : ออ่ น = 1 : 2 : 1) นกั เรยี นศึกษาใบความรู้

ทมี่ ตี ัวอยา่ งการแก้ปัญหาตามแผนผังเทคนิค KWDL
1. (K) นกั เรียนรู้อะไรจากทีโ่ จทย์ 2. (W) นกั เรยี นหาส่ิงทโี่ จทยต์ ้องการทราบ
3. (D) นกั เรียนตอ้ งทำอะไรเพ่ือหาคำตอบ 4. (L) นักเรียนสรปุ สิง่ ท่ีไดเ้ รยี นรู้

ครูเดนิ สำรวจการศกึ ษาใบความรู้พรอ้ มทงั้ ใหข้ อ้ เสนอแนะ และตอบขอ้ ซักถาม

ขั้นที่ 4 ขนั้ วัดและประเมนิ ผล ทำใบกิจกรรม คิดคะแนนพัฒนาการ
เมอ่ื นกั เรยี นศกึ ษาใบความรู้เรียบร้อยแล้ว ให้นักเรยี นทำใบกจิ กรรมเป็นรายบุคคล

เพื่อพฒั นาความสามารถในการส่อื สารทางคณติ ศาสตรต์ ามแผนผงั KWDL
เมอื่ ทำใบกจิ กรรมเสรจ็ แล้วครเู ฉลยใบกจิ กรรม พรอ้ มทง้ั คิดคะแนนพัฒนาการ

ข้ันที่ 5 ข้นั สรุปบทเรียนและยกยอ่ งกลุ่มที่ประสบผลสำเร็จ
นักเรยี นและครูร่วมกนั อภิปรายสรปุ สิ่งท่ไี ด้จากการปฏิบตั ิกิจกรรมการเรียนรรู้ ่วมกนั

ครูยกยอ่ งกลุม่ ทป่ี ระสบความสำเรจ็ และนำคะแนนพฒั นาของสมาชิกทุกคน
มาเฉลย่ี เพื่อนำไปเทียบกับเกณฑก์ ารกำหนดกลมุ่ ทีไ่ ด้รับรางวลั

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 5 ฟงั กช์ นั กำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  7

ผลการเรียนรู้/สาระการเรยี นรเู้ พิม่ เตมิ
/จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ผลการเรียนรู้

สาระจำนวนและพชี คณิต
เขา้ ใจและวิเคราะหแ์ บบรูป ความสมั พนั ธ์ ฟงั กช์ นั ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้
ผลการเรยี นรู้
1. หาผลลัพธ์ของการบวก การลบ การคูณ การหารฟังกช์ ัน หาฟงั ก์ชันประกอบ

และฟงั กช์ ันผกผนั
2. ใช้สมบตั ขิ องฟังกช์ ันในการแก้ปญั หา

สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม

ความสมั พันธ์ ฟังก์ชัน ฟงั ก์ชนั ในชีวติ จริง กราฟของฟงั ก์ชัน การดาํ เนินการของฟงั ก์ชนั

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

ด้านความรู้ นักเรียนสามารถ
1. อธิบายเก่ียวกับฟงั กช์ นั กำลังสอง y = ax2 และ y = ax2+ k ได้
2. อธิบายเกย่ี วกบั ฟังกช์ นั กำลงั สอง y = a(x – h)2 และ y = a(x – h)2+ k ได้
3. อธิบายเกีย่ วกับฟังกช์ นั กำลงั สอง y = ax2 + bx + c ได้
ดา้ นทักษะ/กระบวนการ นักเรียนสามารถ
1. แกป้ ญั หาเกีย่ วกบั ฟงั กช์ ันกำลังสองได้
2. ใหเ้ หตุผลเก่ียวกบั ฟงั กช์ ันกำลงั สองอยา่ งสมเหตุสมผล
3. ใช้ภาษา หรอื สัญลกั ษณ์ หรอื แผนภาพทางคณิตศาสตร์ เพอื่ เขียนอธบิ ายหรือ
นำเสนอขนั้ ตอนการเขียนกราฟของฟงั กช์ นั กำลงั สองได้
ด้านคณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ นักเรียนมี
1. ความใฝ่รู้ไฝ่เรยี น
2. ความมงุ่ มนั่ ในการทำงาน
3. ความรับผดิ ชอบ
4. ความรอบคอบ

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 5 ฟังกช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  8

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ 2 (ค31202) ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4
คำชี้แจง ให้เลือกข้อท่ีถูกต้องที่สุดเพียงคำตอบเดียว คะแนนเต็ม 10 คะแนน เวลา 10 นาที

1. ฟังก์ชันกำลงั สอง y = x 2 – 2x – 15 ในรปู y = a(x – h) 2 + k ตรงกับข้อใด

ก. y = (x – 1) 2 + 16 ข. y = (x – 1) 2 – 16
ค. y = (x + 1) 2 + 16 ง. y = (x + 1) 2 – 16

2. ฟังก์ชนั ในขอ้ ใดมจี ุดวกกลับทจี่ ดุ (0,3)

ก. y = 2x2 +3 ข. y = 3x2+1
ค. y = 2x2 -3 ง. y = 3x2

3. ฟงั กช์ นั กำลังสอง y = 3x 2 + 12x + 3 มจี ุดวกกลับตรงกบั ข้อใด

ก. ( 2, 9 ) ข. ( 2, –9 )
ค. (–2, –9 ) ง. (–2, 9 )

4. จากกราฟเป็นกราฟของฟงั กช์ ันในขอ้ ใด

ก. y = – (x – 5) 2
ข. y = – (x + 5) 2
ค. y = –x 2 – 5
ง. y = – x 2 + 5

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 5 ฟงั ก์ชันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  9

5. กราฟในข้อใดเปน็ กราฟของฟังกช์ ัน y = 2x2 ข.
ก.

ค. ง.

ใช้กราฟตอบคำถามข้อ 6 - 7

•(1, -4)

6. จากกราฟทก่ี ำหนดให้เป็นกราฟของฟังก์ชันในข้อใด

ก. y = x 2 + 2x – 3 ข. y = x 2 – 2x – 3
ค. y = x 2 – 2x + 3 ง. y = x 2 + 2x + 3

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดท่ี 5 ฟังกช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  10

7. จากกราฟท่กี ำหนดให้ ข้อใดกลา่ วไม่ถูกต้อง

ก. เรนจฟ์ งั กช์ นั คือ (1 ,) ข. ค่าตำ่ สดุ คอื y = – 4
ค. จดุ วกกลับ คอื (1, -4) ง. โดเมนฟังกช์ นั คอื R

8. ฟังก์ชนั ในข้อใดมจี ดุ วกกลับที่จดุ (0,-2) ข. y = 4x2-2
ง. y = 3x2
ก. y = x2 -3
ค. y = x2 +5

ใช้กราฟตอ่ ไปน้ีตอบคำถามขอ้ 9 – 10

9. จากกราฟท่ีกำหนดใหเ้ ปน็ กราฟของฟังกช์ ันในขอ้ ใด

ก. y = (x – 3) 2 + 5 ข. y = (x + 3) 2 – 5
ค. y = (x – 3) 2 – 5 ง. y = (x – 5) 2 – 3

10. จากกราฟทก่ี ำหนดให้ ข้อใดกล่าวไมถ่ ูกตอ้ ง

ก. Rf = (–,–3] ข. คา่ ตำ่ สดุ คอื y = – 5
ค. Df = R ง. จุดวกกลบั คอื (–3, –5)

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 5 ฟงั ก์ชันกำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  11

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบกอ่ นเรียน

ชื่อ – นามสกุล ..................................................................... ช้ัน ................. เลขที่ ...........

คำชีแ้ จง จงทำเครอ่ื งหมายกากบาท (  ) ลงในกระดาษคำตอบ

ขอ้ ที่ 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ทำแบบทดสอบกอ่ นเรียนเสร็จแล้ว
ไปเรยี นรู้ ฟังกช์ ันกำลงั สอง

กนั เลย

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 5 ฟังกช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  12

ความหมายของฟังกช์ นั กำลงั สอง

ฟงั ก์ชันกำลงั สอง (quadratic function) คือ ฟงั กช์ นั ที่อยใู่ นรปู f(x) = ax2 + bx + c
เมอ่ื a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ และ a  0 ลกั ษณะของกราฟของฟังกช์ นั ข้นึ อยกู่ บั คา่ ของ
a, b และ c ถา้ a > 0 กราฟเป็นเส้นโคง้ หงาย และ a < 0 กราฟเปน็ เสน้ โคง้ ควำ่

กราฟของฟังก์ชนั กำลังสองในรปู นม้ี ชี ื่อว่า พาราโบลา

เช่น

1) y = 2x2 + 3x – 10 เมือ่ a = 2 , b = 3 และ c = -1

2) y = x2 + 1 เม่อื a = 1 , b = 0 และ c = 1

3) y = -x2 + 2x + 1 เม่อื a = -1 , b = 2 และ c = 1

ลักษณะของกราฟท่ีกำหนดดว้ ย
a, h และ k ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี
จะได้ศกึ ษา กราฟทถี่ กู กำหนดด้วย

สมการ y = ax2 เม่อื a  0
ไปศึกษาเรยี นร้กู ันเลย

ชดุ กิจกรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั กช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  13

กรณีท่ี 1 กราฟของฟงั ก์ชนั กำลังสองที่อยู่ในรปู y = ax2 เม่อื a  0

ตวั อยา่ งที่ 1

จงเขียนกราฟจากสมการตอ่ ไปนี้ 1) y = x2 2) y = 1 x2 3) y = 1 x2
24

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้

นักเรียนร้อู ะไรบ้างจากที่โจทย์กำหนดให้ สมการของฟงั กช์ ันกำลงั สองท่ีอยใู่ นรูป

y = ax2 เมือ่ a  0

2. W (What we want to know) สิ่งทีโ่ จทย์ต้องการทราบ

นกั เรียนหาสิ่งทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบหรอื กราฟของสมการ

สง่ิ ทีน่ กั เรยี นตอ้ งการรู้ 1) y = x2

2) y = 1 x2
2

3) y = 1 x2
4

3. D (What we do to find out)

นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หาคำตอบตามทโี่ จทยต์ ้องการ หรอื สิง่ ทีต่ นเองต้องการรู้

วธิ ีแกป้ ัญหา
วธิ ที ำ 1) จาก y = x2 จะได้

x 1 2 3 0 -1 -2 -3 -4

y 1 4 9 0 1 4 9 16

2) จาก y = 1 x2 จะได้
2
x 2 4 6 0 -2 -4 -6
y 2 8 18 0 2 8 18

3) จาก y = 1 x2 จะได้
4
X 2 4 8 0 -2 -4 -8
Y 1 4 16 0 1 4 16

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั กช์ นั กำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  14

นำข้อมูลในตารางมาเขยี นกราฟ Y

y = 1 x2
2

y = 1 x2
4

y = x2

X

4. L (What we learned) คำตอบและสิง่ ท่คี น้ พบ
นักเรยี นสรปุ สิ่งทไี่ ด้เรยี นรู้ ลกั ษณะของกราฟทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ y = ax2

เมอ่ื a  0
1) เม่ือ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย
2) จุดตำ่ สดุ อย่ทู ่ี (0, 0)
3) แกนสมมาตรคอื แกน Y หรอื เสน้ ตรง X = 0
4) เมื่อ a > 0 คา่ ตำ่ สุดคอื 0
5) | a | ย่ิงมากกราฟย่งิ แคบ

ร้จู ักลกั ษณะของกราฟทก่ี ำหนดด้วยสมการ

y = ax2 เมื่อ a  0 เมือ่ a > 0 กันแลว้
ไปศึกษาตวั อยา่ งท่ี 2 กนั เลย

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 5 ฟงั ก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ หนา้  15

ตัวอย่างที่ 2

จงเขยี นกราฟจากสมการตอ่ ไปน้ี

1) y = -x2 2) y = - 1 x2 3) y = - 1 x2
2 4

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สง่ิ ท่โี จทย์กำหนดให้

นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากที่โจทย์กำหนดให้ สมการของฟงั กช์ ันกำลงั สองทอ่ี ยใู่ นรปู

y = ax2 เม่ือ a  0

2. W (What we want to know) ส่ิงท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบ

นักเรียนหาสงิ่ ที่โจทย์ต้องการทราบหรือ กราฟของสมการ

ส่ิงที่นักเรยี นต้องการรู้ 1) y = -x2

2) y = - 1 x2
2

3) y = - 1 x2
4

3. D (What we do to find out)

นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพือ่ หาคำตอบตามที่โจทย์ตอ้ งการ หรอื ส่งิ ที่ตนเองต้องการรู้

วธิ แี ก้ปญั หา
วธิ ที ำ 1) จาก y = - x2 จะได้
x 1 2 3 0 -1 -2 -3
y -1 -4 -9 0 -1 -4 -9

2) จาก y = - 1 x2 จะได้
2
x 2 4 6 0 -2 -4 -6
y -2 -8 -18 0 -2 -8 -18

3) จาก y = - 1 x2 จะได้
4
x 2 4 8 0 -2 -4 -8
y -1 -4 -16 0 -1 -4 -16

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 5 ฟังก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  16
นำข้อมลู ในตารางมาเขยี นกราฟ Y

X

4. L (What we learned) y = -x2
นกั เรียนสรปุ ส่ิงที่ได้เรยี นรู้
y = - 1 x2
4

y = - 1 x2
2

คำตอบและส่งิ ท่ีคน้ พบ
ลักษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2
เมอ่ื a  0
1) เม่อื a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ
2) จุดสูงสดุ อยทู่ ี่ (0, 0)
3) แกนสมมาตรคือ แกน Y หรอื เส้นตรง X = 0
4) เมื่อ a < 0 คา่ สูงสุดคอื 0
5) | a | ยงิ่ มากกราฟยิ่งแคบ

รู้จกั ลักษณะของกราฟทกี่ ำหนดด้วยสมการ

y = ax2 เมอื่ a  0 เม่อื a < 0 กนั แล้ว
ไปดสู รุปลกั ษณะกราฟท้ัง 2 กรณีต่อเลย

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 5 ฟังก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  17

สรุปลกั ษณะของกราฟทกี่ ำหนดด้วยสมการ y = ax2 เมอ่ื a  0
1) เม่อื a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย จดุ ตำ่ สุดอยู่ที่ (0, 0)

เมื่อ a < 0 ไดพ้ าราโบลาคว่ำ จุดสงู สุดอยทู่ ี่ (0, 0)

a เป็นบวกกราฟที่ได้จะเป็น
กราฟหงายได้ f(x) = ax2
จุดต่ำสดุ ของกราฟอยูท่ ่ี (0, 0)

a เป็นลบกราฟ ที่ได้จะเป็น
กราฟควำ่ ได้ f(x) = ax2
จดุ สูงสดุ ของกราฟอยู่ท่ี (0, 0)

2) แกนสมมาตรคอื แกน Y หรอื เสน้ ตรง X = 0 ,
สมการแกนสมมาตรคอื X = 0

3) เมอื่ a > 0 คา่ ต่ำสดุ คอื 0 และ เมื่อ a < 0 คา่ สูงสดุ คือ 0
4) | a | ยิ่งมากกราฟยงิ่ แคบ

a เพ่มิ ขน้ึ กราฟแคบ
เบนเข้าหาแกน Y

a ลดลงกราฟกวา้ ง
เบนเขา้ หาแกน X

X

ไปศกึ ษาฟังกช์ นั กำลังสองในรูปแบบ
y = ax2+ k ต่อกันเลย

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 5 ฟังกช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  18

ถา้ h = 0 ฟังกช์ นั กำลงั สอง
จะอยู่ในรูปแบบ y = ax2+ k

ไปศึกษาเรียนรกู้ ันเลย

กรณที ่ี 2 กราฟของฟงั กช์ นั กำลงั สองท่อี ยูใ่ นรปู y = ax2 + k เมอ่ื a  0, k  0

ตัวอยา่ งที่ 3 2) y = -x2 + 2

จงเขียนกราฟจากสมการต่อไปน้ี 1) y = x2 + 2

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL ส่งิ ท่ีโจทย์กำหนดให้
สมการของฟงั กช์ นั กำลงั สองทีอ่ ยู่ในรปู
1. K (What we know)
นกั เรียนรู้อะไรบา้ งจากท่ีโจทยก์ ำหนดให้ y = ax2 + k เม่อื a  0, k  0

2. W (What we want to know) ส่งิ ท่โี จทยต์ ้องการทราบ
นกั เรียนหาสงิ่ ทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรอื
ส่งิ ที่นกั เรียนต้องการรู้ กราฟของสมการ
1) y = x2 + 2 2) y = -x2 + 2

3. D (What we do to find out)
นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพ่อื หาคำตอบตามท่ีโจทย์ตอ้ งการ หรือสง่ิ ทีต่ นเองต้องการรู้

วธิ ีแก้ปัญหา
วิธีทำ 1) y = x2 + 2 2) y = -x2 + 2 จะได้

X -3 -2 -1 0 1 2 3
y = x2 + 2 11 6 3 2 3 6 11
y = -x2 + 2 -7 -2 1 2 1 -2 -7

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 5 ฟังกช์ นั กำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  19

นำข้อมูลในตารางมาเขยี นกราฟ

Y

y = x2 + 2

2 (0, 2)
1
X
- 2 - 1- 1 1 2
-2

y = -x2 + 2

4. L (What we learned) คำตอบและสิ่งทีค่ น้ พบ
นกั เรียนสรปุ สิ่งท่ไี ดเ้ รียนรู้ ลกั ษณะกราฟของฟงั กช์ นั กำลังสองท่ีอยูใ่ นรูป
y = ax2 + k เม่ือ a  0, k  0
1) ถ้า a > 0 ได้พาราโบลาหงาย
จุดตำ่ สดุ อยู่ท่ี (0, k) คา่ ตำ่ สดุ = k
ถา้ a < 0 ไดพ้ าราโบลาคว่ำ
จุดสงู สุดอยู่ท่ี (0, k) คา่ สงู สุด = k

2) แกนสมมาตรคอื แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = 0
สมการแกนสมมาตรคอื x = 0

3) ถา้ k > 0 จดุ วกกลบั อยเู่ หนือแกน X
ถา้ k < 0 จุดวกกลบั อยู่ใตแ้ กน X

4) ถ้า a, k มีเครอื่ งหมายเหมอื นกนั
กราฟไม่ตดั แกน X

ถา้ a, k มีเคร่อื งหมายตา่ งกัน
กราฟจะตดั แกน X

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั กช์ นั กำลังสองและการวาดกราฟ หนา้  20

ไมย่ ากเลยใช่ไหมคะ
ไปศึกษาตวั อยา่ งท่ี 4 กนั ต่อเลย

ตวั อยา่ งที่ 4 2) y = – x2 – 4

จงเขียนกราฟจากสมการตอ่ ไปนี้
1) y = x2 – 4

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL ส่ิงท่ีโจทย์กำหนดให้
1. K (What we know) สมการของฟังกช์ นั กำลังสองที่อยู่ในรปู
นกั เรียนรู้อะไรบา้ งจากที่โจทย์กำหนดให้ y = ax2 + k เม่ือ a  0, k  0

2. W (What we want to know) สิ่งทโ่ี จทย์ตอ้ งการทราบ
นกั เรียนหาสงิ่ ทีโ่ จทย์ต้องการทราบหรอื กราฟของสมการ
ส่งิ ทนี่ กั เรยี นต้องการรู้ 1) y = x2 – 4
2) y = –x2 – 4

3. D (What we do to find out)
นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หาคำตอบตามท่โี จทย์ต้องการ หรอื สงิ่ ทตี่ นเองตอ้ งการรู้

วธิ ีแกป้ ญั หา
วธิ ที ำ

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y = x2 – 4 5 0 -3 -4 -3 0 5
y = –x2 – 4 -13 -8 -5 -4 -5 -8 -13

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ที่ 5 ฟังก์ชนั กำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  21

นำขอ้ มูลในตารางมาเขียนกราฟ

Y

y = x2– 4

X

(0, – 4)

y = –x2 – 4

4. L (What we learned) คำตอบและส่งิ ทค่ี น้ พบ
นกั เรยี นสรุปสิ่งท่ไี ด้เรียนรู้ ลกั ษณะกราฟของฟงั ก์ชนั กำลงั สองทีอ่ ยใู่ นรปู
y = ax2 + k เม่ือ a  0, k  0
1) ถ้า a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย
จดุ ตำ่ สุดอยูท่ ่ี (0, k) คา่ ตำ่ สดุ = k
ถา้ a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ
จุดสูงสดุ อยูท่ ี่ (0, k) คา่ สูงสดุ = k

2) แกนสมมาตรคือ แกน Y หรอื เส้นตรง x = 0
สมการแกนสมมาตรคอื x = 0

3) ถา้ k > 0 จดุ วกกลบั อยูเ่ หนอื แกน X
ถ้า k < 0 จดุ วกกลบั อยู่ใต้แกน X

4) ถ้า a, k มีเคร่ืองหมายเหมอื นกัน
กราฟไม่ตดั แกน X

ถา้ a, k มีเครือ่ งหมายตา่ งกัน
กราฟจะตดั แกน X

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 5 ฟังกช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  22

รู้จักลักษณะของกราฟทีก่ ำหนด
ดว้ ยสมการ y = ax2 + k กันแลว้
ไปดสู รุปลักษณะกราฟท้งั 2 กรณตี ่อเลย

สรุปลกั ษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + k เม่ือ a  0, k  0
1) เม่ือ a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย จุดต่ำสดุ อยู่ท่ี (0, k) คา่ ตำ่ สุด = k

เมื่อ a < 0 ไดพ้ าราโบลาควำ่ จดุ สงู สดุ อยทู่ ่ี (0, k) คา่ สูงสุด = k
2) แกนสมมาตรคือ แกน Y หรอื เส้นตรง x = 0

สมการแกนสมมาตรคือ x = 0

3) ถ้า k > 0 จดุ วกกลบั อยู่เหนอื แกน X
ถ้า k < 0 จุดวกกลบั อยใู่ ตแ้ กน X
ถา้ a, k มีเครื่องหมายเหมือนกนั กราฟไมต่ ดั แกน X
ถา้ a, k มเี คร่ืองหมายต่างกัน กราฟจะตัดแกน X

k เป็นลบกราฟเล่ือนลงดว้ ยf(x) = ax2+ k f(x) = ax2+ k k เปน็ บวกกราฟเลื่อนข้ึน

ระยะ k หนว่ ย จดุ ตำ่ สดุ หรอื ด้วยระยะ kหน่วย
สูงสุดของกราฟอยทู่ ี่ (0, k) จุดตำ่ สดุ หรอื สูงสดุ
ของกราฟอยทู่ ี่ (0, k)

เหน็ ไหมครับนักเรยี นวา่ ......ไม่ยากเลย
ศึกษาเนือ้ กนั แลว้ ...ไปทำใบกิจกรรมกนั เลย

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 5 ฟังก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  23

ใบกจิ กรรมท่ี 5.1 ฟงั กช์ ันกำลงั สอง y = ax2 และ y = ax2+k

1) ให้นักเรยี นเตมิ คำตอบหรือใสเ่ ครื่องหมาย  ลงในตาราง (4 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

ข้อที่ สมการ กราฟ สมการ ค่า จุด

1. y = 5x2 หงาย ควำ่ แกนสมมาตร สูงสุด ต่ำสุด สงู สุด ตำ่ สดุ
2. y = -3x2
3. y = 12x2
4. y = -6x2

2) จงเขียนกราฟของ y = 2x2 และ y = -2x2 โดยใชแ้ กนคู่เดียวกนั (6 คะแนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสื่อสารดา้ นภาษาทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิ่งท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
.............................................................................
1. K (What we know)
นักเรยี นร้อู ะไรบ้างจากทีโ่ จทย์กำหนดให้

2. W (What we want to know) ส่งิ ท่โี จทยต์ ้องการทราบ (1 คะแนน)
นักเรียนหาสิ่งทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรือ .............................................................................
สิ่งทีน่ ักเรยี นตอ้ งการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out)
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่ือหาคำตอบตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรอื สิ่งท่ตี นเองต้องการรู้

วธิ ีแก้ปญั หา (2 คะแนน) 2.2) y = -2x2

2.1) y = 2x2 x 1 2 3 0 -1 -2
y
x 1 2 3 0 -1 -2
y

ชุดกิจกรรมการเรียนร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 5 ฟังก์ชันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  24
นำขอ้ มูลในตารางมาเขยี นกราฟ (1 คะแนน)

4. L (What we learned) คำตอบและส่ิงท่ีคน้ พบ (1 คะแนน)
นกั เรยี นสรุปสง่ิ ทไี่ ดเ้ รยี นรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

เหน็ ไหมครับนกั เรียนวา่ ......ไม่ยากเลย
ไปทำใบกิจกรรมขอ้ ตอ่ ไปกันเลย

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั ก์ชันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  25

3) ให้นักเรียนเติมคำตอบหรือใสเ่ คร่ืองหมาย ลงในตาราง (4 คะแนน)
(สง่ เสริมความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

ขอ้ ที่ สมการ กราฟ สมการ คา่ จดุ

หงาย คว่ำ แกนสมมาตร สูงสุด ต่ำสุด สงู สุด ตำ่ สุด

1. y = –2x2 – 5

2. y = 3x2 + 5

3. y = –5x2 + 6

4. y = 4x2 – 7

2) จงเขยี นกราฟของ y = 2x2 + 2 และ y = –2x2 – 2 โดยใช้แกนคูเ่ ดียวกัน (6 คะแนน)
(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสื่อสารดา้ นภาษาทางคณติ ศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สงิ่ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นักเรยี นรู้อะไรบ้างจากท่ีโจทย์กำหนดให้ .............................................................................

2. W (What we want to know) สง่ิ ท่ีโจทยต์ อ้ งการทราบ (1 คะแนน)
นักเรียนหาสิง่ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบหรอื .............................................................................
ส่ิงท่นี กั เรยี นต้องการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out)
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพื่อหาคำตอบตามท่ีโจทย์ตอ้ งการ หรอื สิง่ ที่ตนเองต้องการรู้

วธิ แี ก้ปัญหา (2 คะแนน) 2.2) y = –2x2 – 2

2.1) y = 2x2 + 2 x 1 2 3 0 -1 -2 -3
y
x 1 2 3 0 -1 -2 -3
y

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั ก์ชัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั ก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  26
นำขอ้ มลู ในตารางมาเขียนกราฟ (1 คะแนน)

4. L (What we learned) คำตอบและสงิ่ ท่ีค้นพบ (1 คะแนน)
นักเรียนสรุปสิง่ ท่ีไดเ้ รยี นรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

นกั เรยี นทุกคนเก่งจรงิ ๆ

ขอปรบมอื ให้ดงั ๆ ...
ไปศกึ ษา y = a(x – h)2 ต่อกนั เลย

ชุดกจิ กรรมการเรียนรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ชุดท่ี 5 ฟงั กช์ ันกำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  27

ถ้า h = 0 ฟงั ก์ชันกำลังสอง
จะอยู่ในรูปแบบ y = a(x – h)2

ไปศึกษาเรยี นรกู้ นั เลย

กรณีท่ี 3 กราฟของฟงั ก์ชันกำลงั สองท่ีอยู่ในรปู y = a(x – h)2 เม่อื a  0, h  0

ตัวอย่างท่ี 1 2) y = –2(x – 3)2

จงเขยี นกราฟจากสมการต่อไปน้ี 1) y = (x – 3)2

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL สิ่งที่โจทย์กำหนดให้
สมการของฟงั กช์ นั กำลงั สองท่อี ยูใ่ นรูป
1. K (What we know)
นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากทีโ่ จทย์กำหนดให้ y = a(x – h)2 เมอ่ื a  0, h  0
ส่ิงทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ
2. W (What we want to know) กราฟของสมการ
นักเรยี นหาส่ิงทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรอื 1) y = (x – 3)2 2) y = –2(x – 3)2
สง่ิ ที่นักเรยี นตอ้ งการรู้

3. D (What we do to find out)
นักเรยี นจะต้องทำอะไรบา้ งเพื่อหาคำตอบตามทโี่ จทย์ต้องการ หรอื สงิ่ ที่ตนเองต้องการรู้

วธิ ีแก้ปญั หา 2) y = –2(x – 3)2 จะได้
วธิ ที ำ 1) y = (x – 3)2

X 0234567

y = (x – 3)2 9 1 0 1 4 9 16

y = –2(x – 3)2 -18 -2 0 -2 -8 -18 -32

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 5 ฟงั กช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  28

นำขอ้ มูลในตารางมาเขยี นกราฟ

Y

y = (x – 3)2

สมการ
แกนสมมาตร

x=3

(0, 0) X

สมการ
แกนสมมาตร

x=3
y = -2(x – 3)2

4. L (What we learned) คำตอบและสงิ่ ท่ีคน้ พบ
นกั เรยี นสรุปสง่ิ ที่ไดเ้ รียนรู้ ลกั ษณะกราฟของฟังก์ชนั กำลงั สองทีอ่ ยใู่ นรปู

y = a(x – h)2 เมอื่ a  0, h  0
1) ถา้ a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย

จดุ ตำ่ สุดอยทู่ ่ี (h, 0) คา่ ตำ่ สุด = 0
ถา้ a < 0 ไดพ้ าราโบลาควำ่
จดุ สงู สดุ อยทู่ ี่ (h, 0) คา่ สูงสดุ = 0
2) แกนสมมาตรคือ แกน Y หรอื เส้นตรง x = h
สมการแกนสมมาตรคือ x = h
3) h > 0 แกนสมมาตรอยู่ทางขวาของแกน Y
h < 0 แกนสมมาตรอยทู่ างซา้ ยของแกน Y

ไม่ยากเลยใชไ่ หมครบั
ไปศึกษาตัวอย่างที่ 2 กันเลย

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ท่ี 5 ฟังก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  29

ตวั อย่างที่ 2

จงเขียนกราฟจากสมการตอ่ ไปนี้

1) y = (x + 4)2 2) y = –2(x + 2)2

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL สิ่งท่ีโจทย์กำหนดให้
1. K (What we know) สมการของฟังกช์ ันกำลงั สองทีอ่ ยใู่ นรปู
นกั เรยี นรูอ้ ะไรบ้างจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ y = a(x – h)2 เม่อื a  0, h  0

2. W (What we want to know) สิง่ ทโ่ี จทยต์ ้องการทราบ
นักเรียนหาส่งิ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบหรือ กราฟของสมการ
สิง่ ทน่ี กั เรียนต้องการรู้ 1) y = (x + 4)2
2) y = –2(x + 2)2

3. D (What we do to find out)
นักเรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่อื หาคำตอบตามทีโ่ จทย์ตอ้ งการ หรอื สิง่ ที่ตนเองตอ้ งการรู้

วธิ แี กป้ ัญหา
วธิ ที ำ

x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
y = (x + 4)2 1 0 1 4 9 16 25 36
y = –2(x + 2)2 -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 -32

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชดุ ที่ 5 ฟังก์ชันกำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  30

นำข้อมูลในตารางมาเขยี นกราฟ

Y

y = (x + 4)2

สมการแกน
สมมาตร

x = -4

(-2, 0) X
(-4, 0)

สมการ
แกนสมมาตร

x = -2
y = -2(x + 2)2

4. L (What we learned) คำตอบและส่ิงที่ค้นพบ
นกั เรียนสรปุ สง่ิ ทไี่ ดเ้ รียนรู้ ลกั ษณะกราฟของฟงั กช์ นั กำลังสองท่อี ยู่ในรูป
y = a(x – h)2 เมือ่ a  0, h  0
1) ถ้า a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย

จดุ ตำ่ สดุ อยทู่ ี่ (h, 0) ค่าตำ่ สดุ = 0
ถา้ a < 0 ไดพ้ าราโบลาควำ่
จดุ สงู สุดอยทู่ ่ี (h, 0) คา่ สงู สดุ = 0
2) แกนสมมาตรคือแกน Y หรือ เส้นตรง x = h
สมการแกนสมมาตรคอื x = h
3) h > 0 แกนสมมาตรอยูท่ างขวาของแกน Y
h < 0 แกนสมมาตรอยทู่ างซ้ายของแกน Y

รจู้ กั ลกั ษณะของกราฟที่กำหนด
ดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 กนั แลว้

ไปดูสรปุ ลกั ษณะกราฟทั้ง 2 กรณตี อ่ เลย

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชุดท่ี 5 ฟงั กช์ นั กำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  31

สรปุ ลกั ษณะของกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เม่ือ a  0, h  0
1) เมือ่ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย จุดตำ่ สดุ อยทู่ ี่ (h, 0) คา่ ตำ่ สุด = 0

เมอ่ื a < 0 ไดพ้ าราโบลาควำ่ จดุ สูงสดุ อยทู่ ่ี (h, 0) คา่ สงู สดุ = 0
2) แกนสมมาตรคอื เส้นตรง x = h

สมการแกนสมมาตรคือ x = h

3) h > 0 แกนสมมาตรอยู่ทางขวาของแกน Y
h < 0 แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายของแกน Y

f(x) = a(x - h)2 h เปน็ บวกกราฟเลอื่ น
f(x) = a(x - hข)ว2าด้วยระยะ
h เปน็ ลบกราฟเลอื่ นซา้ ย
 h หน่วย จดุ ตำ่ สดุ
ด้วยระยะ h หน่วย หรอื สงู สุดของกราฟ
จุดตำ่ สดุ หรอื สงู สดุ ของ อยู่ท่ี (h, 0)
กราฟอยทู่ ี่ (h, 0)

รู้จักลักษณะของกราฟทก่ี ำหนด
ดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 กันแล้ว
ไปศกึ ษา y = a(x – h)2+ k ตอ่ เลย

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธแ์ ละฟังก์ชัน

ชุดท่ี 5 ฟงั กช์ นั กำลังสองและการวาดกราฟ หนา้  32

เม่อื a  0, h  0 และ k  0
ฟังก์ชนั กำลงั สองจะอยู่ในรูปแบบ y = a(x – h)2 + k
ลกั ษณะของกราฟจะเป็นอยา่ งไรไปศกึ ษาเรยี นรู้กันเลย

กรณที ี่ 4 ฟงั กช์ นั กำลงั สองทีอ่ ยูใ่ นรูป y = a(x – h)2+ k เมื่อ a  0, h  0, k  0

ตัวอย่างท่ี 3

จงเขียนกราฟจากสมการตอ่ ไปนี้ 2) y = -(x + 2)2 + 2
1) y = -(x + 2)2 – 4 4) y = (x – 3)2 + 1

3) y = (x – 3)2 – 5

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้

นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากทโี่ จทย์กำหนดให้ สมการของฟงั กช์ ันกำลังสองทีอ่ ยู่ในรูป

y = a(x – h)2+ k เมอ่ื a  0, h  0, k  0

2. W (What we want to know) สิ่งทีโ่ จทย์ต้องการทราบ

นกั เรยี นหาสงิ่ ท่โี จทยต์ ้องการทราบหรือ กราฟของสมการ

สงิ่ ทนี่ กั เรียนต้องการรู้ 1) y = -(x + 2)2 – 4 2) y = -(x + 2)2 + 2

3) y = (x – 3)2 – 5 4) y = (x – 3)2 + 1

3. D (What we do to find out)

นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอื่ หาคำตอบตามทีโ่ จทย์ตอ้ งการ หรือส่งิ ท่ีตนเองตอ้ งการรู้

วิธแี ก้ปญั หา
วิธีทำ

x -4 -3 -2 0 x 2345
y = -(x + 2)2 – 4 -8 -5 -4 -8 y = (x – 3)2 – 5 -4 -5 -4 -1
y = -(x + 2)2 + 2 -2 1 2 -2 y = (x – 3)2 + 1 2 1 2 5

ชุดกิจกรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ท่ี 5 ฟังก์ชันกำลังสองและการวาดกราฟ หนา้  33

นำข้อมูลในตารางมาเขยี นกราฟ Y

y = (x – 3)2 + 1

(-2, 2) y = (x – 3)2 – 5
(3, 1)

X

y = -(x + 2)2 + 2

(-2, -4)

(-3, -5)

y = -(x + 2)2 – 4

4. L (What we learned) คำตอบและสงิ่ ทคี่ ้นพบ
นักเรยี นสรปุ ส่งิ ท่ไี ดเ้ รยี นรู้ เมื่อ a > 0 ได้พาราโบลาหงาย
จดุ ตำ่ สดุ อยทู่ ่ี (h, k) คา่ ต่ำสดุ = k
เมอ่ื a < 0 ไดพ้ าราโบลาควำ่
จุดสูงสุดอยู่ท่ี (h, k) คา่ สงู สดุ = k
ถา้ k > 0 จดุ วกกลับอยู่เหนอื แกน X
ถ้า k < 0 จดุ วกกลับอย่ใู ตแ้ กน X
แกนสมมาตรคอื แกน Y หรือ เสน้ ตรง x = h
สมการแกนสมมาตรคือ x = h
ถา้ h>0 แกนสมมาตรอย่ทู างขวามอื ของแกน Y
ถา้ h<0 แกนสมมาตรอย่ทู างซ้ายมือของแกน Y
ถ้า a และ k มเี ครื่องหมายเหมอื นกนั
กราฟไม่ตดั แกน X
ถา้ a และ k มีเครื่องหมายต่างกัน
กราฟตดั แกน X

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ชุดที่ 5 ฟงั ก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  34

สรปุ

ลักษณะของกราฟทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k
เมือ่ a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย จุดต่ำสดุ อยทู่ ่ี (h, k) คา่ ตำ่ สุด = k
เมือ่ a < 0 ได้พาราโบลาคว่ำ จดุ สูงสดุ อย่ทู ี่ (h, k) คา่ สงู สดุ = k
ถา้ k > 0 จดุ วกกลับอยเู่ หนือแกน X
ถ้า k < 0 จดุ วกกลบั อยใู่ ตแ้ กน X
แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h สมการแกนสมมาตรคือ x = h
ถ้า h > 0 แกนสมมาตรอยู่ทางขวามือของแกน Y
ถ้า h < 0 แกนสมมาตรอยู่ทางซ้ายมือของแกน Y
ถ้า a และ k มเี ครื่องหมายเหมือนกันกราฟไม่ตัดแกน X
ถ้า a และ k มีเครอ่ื งหมายต่างกันกราฟตดั แกน X

เรียกจุด V วา่ จดุ วกกลบั หรอื จุดยอด
กรณที ี่ กราฟหงาย (a > 0) จะเรยี กจดุ V วา่ จดุ ตำ่ สดุ
กรณที ี่ กราฟควำ่ (a < 0) จะเรยี กจดุ V วา่ จดุ สงู สุด
เรยี กเสน้ ปะว่า เส้นสมมาตร หรอื แกนสมมาตร

สมการ จดุ วกกลับ สมการเส้นสมมาตร ค่าสูงสุดหรอื ต่ำสดุ
f(x) = ax2 (0,0) x=0 0
f(x) = ax2 + k (0,k) x=0 k
f(x) = a(x-h)2 (h,0) x=h 0
f(x) = a(x-h)2+ k (h,k) x=h k

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 5 ฟังกช์ นั กำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  35
ใบกจิ กรรใท่ี 5.2 ฟังกช์ ันกำลงั สอง y=a(x–h)2 และ y= a(x–h)2+k

1) ให้นกั เรียนเตมิ คำตอบหรือใสเ่ ครื่องหมาย  ลงในตาราง (4 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการสอื่ สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)

ข้อท่ี สมการ กราฟ สมการ ค่า จุด

หงาย คว่ำ แกนสมมาตร สงู สุด ต่ำสดุ สูงสุด ตำ่ สดุ

1. y = (x + 8)2

2. y = -(x + 3)2

3. y = 2(x – 3)2

4. y = -3(x – 2)2

2) จงเขียนกราฟของ y = (x + 6)2 และ y = –(x – 8)2 โดยใชแ้ กนคู่เดียวกนั (6 คะแนน)
(สง่ เสริมความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นภาษาทางคณติ ศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นกั เรยี นร้อู ะไรบ้างจากที่โจทย์กำหนดให้ .............................................................................

2. W (What we want to know) ส่ิงท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบ (1 คะแนน)
นกั เรียนหาสงิ่ ทโ่ี จทยต์ อ้ งการทราบหรือ .............................................................................
ส่งิ ที่นกั เรยี นต้องการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out)
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพื่อหาคำตอบตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรอื สิ่งท่ีตนเองต้องการรู้

วธิ ีแก้ปญั หา (2 คะแนน) 2.2) y = –(x – 8)2

2.1) y = (x + 6)2 x 6 7 8 9 10 11
y
x -4 -5 -6 -7 -8 -9
y

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟังกช์ ัน

ชุดที่ 5 ฟังก์ชันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  36
นำขอ้ มลู ในตารางมาเขยี นกราฟ (1 คะแนน)

4. L (What we learned) คำตอบและสง่ิ ทคี่ น้ พบ (1 คะแนน)
นกั เรยี นสรุปส่งิ ที่ไดเ้ รียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

นกั เรยี นทุกคนเก่งจริงๆ

ขอปรบมอื ให้ดงั ๆ ...ไปทำใบกจิ กรรม
y = a(x – h)2 +k ต่อกนั เลย

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 5 ฟังกช์ นั กำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  37

3) ให้นกั เรียนเตมิ คำตอบหรอื ใส่เครื่องหมาย ลงในตาราง (4 คะแนน)
(สง่ เสริมความสามารถในการสือ่ สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)

ข้อท่ี สมการ กราฟ สมการ คา่ จุด

หงาย คว่ำ แกนสมมาตร สูงสดุ ต่ำสดุ สูงสดุ ตำ่ สดุ

1. y = -(x + 8)2 – 6

2. y = 2(x – 4 )2 + 3

3. y =-4(x + 4)2 – 10

4. y= 3(x + 2)2 + 7

4) จงเขยี นกราฟของ y = (x – 5)2 + 4 และ y = -(x + 5)2 – 3 โดยใช้แกนคเู่ ดยี วกัน
(6 คะแนน)

(ส่งเสริมความสามารถในการส่ือสารดา้ นภาษาทางคณติ ศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่งิ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)

นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากท่โี จทย์กำหนดให้ .............................................................................

2. W (What we want to know) ส่ิงท่โี จทยต์ อ้ งการทราบ (1 คะแนน)
นักเรียนหาส่ิงทีโ่ จทยต์ อ้ งการทราบหรอื .............................................................................
สิง่ ทนี่ ักเรียนตอ้ งการรู้ .............................................................................

3. D (What we do to find out)
นกั เรยี นจะต้องทำอะไรบ้างเพ่อื หาคำตอบตามทโ่ี จทย์ต้องการ หรือส่ิงทตี่ นเองตอ้ งการรู้

วิธแี ก้ปญั หา (2 คะแนน) 2.2) y = –(x + 5)2 – 3
2.1) y = (x – 5)2 + 4
x -5 -4 -3 -2
x65432 y
y

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 5 ฟงั กช์ นั กำลังสองและการวาดกราฟ หน้า  38
นำข้อมลู ในตารางมาเขยี นกราฟ (1 คะแนน)

4. L (What we learned) คำตอบและส่งิ ทีค่ น้ พบ (1 คะแนน)
นกั เรียนสรปุ ส่งิ ท่ไี ดเ้ รยี นรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

นกั เรียนทกุ คนเก่งจริงๆ
ขอปรบมอื ให้ดังๆ ...
ไปทำแบบทดสอบหลังเรียนต่อได้เลย

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดที่ 5 ฟังก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  39

การเขยี นกราฟควรจดั สมการให้อยู่ในรปู
y = a(x – h)2 + k จะทำให้เขยี นกราฟ

ได้งา่ ยขึน้ ....ไปศกึ ษาเรยี นรู้กนั เลย

ฟังกช์ นั กำลงั สอง y = ax2 + bx + c

กราฟทกี่ ำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ่ื a  0 การเขยี นกราฟ
ควรจดั สมการให้อย่ใู นรปู y = a(x – h)2 + k จะทำใหเ้ ขยี นกราฟได้งา่ ยขึน้

จากสมการ y = ax2 + bx + c สามารถเปล่ียนให้อย่ใู นรูป y = a(x – h)2 + k
ได้โดยใชค้ วามรเู้ รื่องกำลงั สองสมบูรณ์ ดังนี้

y = ax2 + bx + c

= a  x2 + bx + c 
 a a

=a  x 2 + 2bx +  b 2 - b2 +c 
 2a  2a  4a2 a 
 

=a   x + b  2 + 4ac - b 2 
  2a  4a 2 
 

=  -b  2 + 4ac - b 2
ax-  2a  4a


y = a ( x – h)2 + k

ไปดูตวั อย่างการจัดสมการ y = ax2 + bx + c
ใหอ้ ยู่ในรปู y = a(x – h)2 + k กนั เลย

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์และฟงั ก์ชัน

ชดุ ที่ 5 ฟังกช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  40

การวิเคราะห์จดั สมการใหอ้ ยูใ่ นรูป y = a(x – h)2 + k ด้วยเทคนิค KWDL

ตัวอยา่ งท่ี 1

ใหจ้ ัดสมการ y = x2 – 2x – 15 อยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k

(สง่ เสริมความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL สิ่งที่โจทย์กำหนดให้
ฟังกช์ ันกำลังสอง ในรูป y = ax2 + bx + c
1. K (What we know)
นกั เรยี นรู้อะไรบ้างจากทโี่ จทยก์ ำหนดให้

2. W (What we want to know) สง่ิ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบ
นกั เรียนหาสิง่ ทโี่ จทยต์ ้องการทราบหรอื สมการ y = x2 – 2x – 15
สงิ่ ทีน่ กั เรยี นตอ้ งการรู้ ในรปู y = a(x – h)2 + k

3. D (What we do to find out) วิธแี ก้ปญั หา

นกั เรยี นจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอ่ื หาคำตอบ จาก y = x2 – 2x – 15

ตามท่ีโจทย์ตอ้ งการ หรอื สง่ิ ท่ตี นเองตอ้ งการรู้ ทำใหอ้ ยู่ในรปู กำลงั สองสมบูรณไ์ ด้ดงั นี้
y = (x2 − 2x +1) −15 −1

y = (x – 1)2 – 16

จะได้ h = 1 และ k = -16

4. L (What we learned) คำตอบ และส่ิงทค่ี น้ พบ
นกั เรยี นสรปุ ส่ิงที่ไดเ้ รยี นรู้
ใชค้ วามรู้เรอื่ งกำลงั สองสมบูรณ์
จดั สมการ y = x2 – 2x – 15
ใหใ้ นรปู y = (x – 1)2 – 16

คำช้ีแจง

เหน็ ไหมคะการจดั สมการ y = ax2 + bx + c
ใหอ้ ยูใ่ นรูป y = a(x – h)2 + k ไม่ยากเลย

ไปศึกษาตวั อยา่ งท่ี 2 กนั ตอ่ เลยนะคะ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟังกช์ ัน

ชดุ ที่ 5 ฟงั กช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  41

การวิเคราะห์จัดสมการใหอ้ ยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k ด้วยเทคนคิ KWDL

ตวั อย่างท่ี 2

ใหจ้ ดั สมการ y = 2x2 + 4x – 16 อยใู่ นรปู y = a(x – h)2 + k

(ส่งเสริมความสามารถในการสือ่ สารด้านการแสดงแนวคิดทางคณิตศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้
นักเรยี นรู้อะไรบา้ งจากทโี่ จทย์กำหนดให้ ฟังก์ชนั กำลังสอง ในรปู y = ax2 + bx + c

2. W (What we want to know) สงิ่ ที่โจทย์ต้องการทราบ
นกั เรียนหาสิ่งทโี่ จทยต์ อ้ งการทราบหรอื สมการ y = 2x2 + 4x – 16
สงิ่ ที่นักเรยี นต้องการรู้ ในรูป y = a(x – h)2 + k

3. D (What we do to find out) วธิ ีแกป้ ัญหา

นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพื่อหาคำตอบ จาก y = 2x2 + 4x – 16

ตามท่โี จทย์ตอ้ งการ หรอื ส่งิ ทีต่ นเองต้องการรู้ ทำให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบรู ณ์ได้ดังนี้

y = 2(x2 + 2x – 8)

= 2{(x2 + 2x + 1) – 8 – 1}

= 2{(x + 1)2 – 9}

= 2(x + 1)2 – 18

= 2(x – (–1))2 – 18

จะได้ h = –1 และ k = –18

4. L (What we learned) คำตอบ และส่ิงที่ค้นพบ

นกั เรยี นสรุปส่ิงที่ได้เรียนรู้ ใช้ความรูเ้ ร่อื งกำลงั สองสมบูรณ์

จดั สมการ y = 2x2 + 4x – 16

ใหใ้ นรปู y = 2(x + 1)2 – 18

ตวั อย่างที่ 2 ไม่ยากเลย
ไปศึกษาการจดั สมการ y = ax2 + bx + c

ในตวั อยา่ งที่ 3 กันตอ่ เลยนะครับ

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

ชุดท่ี 5 ฟังกช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  42

การวิเคราะห์จดั สมการให้อยูใ่ นรูป y = a(x – h)2 + k ดว้ ยเทคนิค KWDL

ตวั อยา่ งท่ี 3

ใหจ้ ัดสมการ y = –x2 – 6x – 8 อยู่ในรปู y = a(x – h)2 + k

( สง่ เสริมความสามารถในการสือ่ สารดา้ นการแสดงแนวคิดทางคณติ ศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) ส่ิงที่โจทย์กำหนดให้
นกั เรยี นรอู้ ะไรบา้ งจากทโี่ จทยก์ ำหนดให้ ฟงั กช์ ันกำลังสอง ในรูป y = ax2 + bx + c

2. W (What we want to know) ส่งิ ท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบ
นักเรยี นหาสิ่งท่โี จทยต์ ้องการทราบหรอื สมการ y = –x2 – 6x – 8
สิ่งท่ีนักเรยี นต้องการรู้
ในรปู y = a(x – h)2 + k

3. D (What we do to find out) วธิ แี กป้ ญั หา

นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพ่อื หาคำตอบ จาก y = –x2 – 6x – 8

ตามท่โี จทยต์ อ้ งการ หรือสิ่งที่ตนเองตอ้ งการรู้ ทำให้อย่ใู นรูปกำลงั สองสมบรู ณ์ได้ดังน้ี

y = – (x2 +6x +8)

= – [(x2 +6x +9)+8 –9 ]

= –[(x+3)2 –1 ]

= –(x+3)2 +1

= –(x– (–3))2 +1

จะได้ h = –3 และ k = 1

4. L (What we learned) คำตอบ และส่ิงท่คี น้ พบ

นักเรยี นสรุปสงิ่ ท่ไี ดเ้ รยี นรู้ ใช้ความร้เู ร่ืองกำลังสองสมบรู ณ์

จดั สมการ y = –x2 – 6x – 8

ใหใ้ นรปู y = –(x+3)2 +1

เข้าใจการจดั สมการ y = ax2 + bx + c
ให้อยู่ในรปู y = a(x – h)2 + k ดแี ล้ว

ครมู ีวธิ กี ารท่งี ่ายขึน้ ไปศกึ ษากนั เลยนะครบั

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังกช์ ัน

ชุดที่ 5 ฟงั กช์ ันกำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  43

จากสมการ y = ax2 + bx + c สามารถเปลย่ี น
ให้อยู่ในรูป y = a(x – h)2 + k

ไดโ้ ดยใช้ความรู้เร่อื งกำลงั สองสมบรู ณ์ ดงั น้ี

y = ax2 + bx + c

= a  x2 + bx + c 
 a a

=a  x 2 + 2bx +  b 2 - b2 +c 
 2a  2a  4a2 a 
 

=a   x + b  2 + 4ac - b 2 
  2a  4a 2 
 

=  -b  2 + 4ac - b 2
ax-  2a  4a


y = a ( x – h)2 + k

จะได้วา่ h = − b และ k = 4ac - b2
2a 4a

จุดวกกลับของฟังกช์ ันกำลงั สอง y = ax2+ bx + c

จากสมการทอี่ ยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k พบวา่ กราฟของ y = ax2+ bx + c, a  0
4ac - b2
มจี ุดวกกลบั ท่จี ดุ  − b , 4a 
 2a 

แตเ่ นื่องจาก f(h) = k ดงั นั้น จงึ อาจเขียนจุดวกกลบั ของ f

ในรปู  − b , f - b   ได้
2a  2a 

ไปดูตัวอย่างการหาจดุ วกกลบั ของฟงั ก์ชันกำลังสอง
y = ax2 + bx + c ดว้ ยการใชส้ ูตรกนั เลย

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟังก์ชัน

ชุดที่ 5 ฟงั กช์ นั กำลังสองและการวาดกราฟ หนา้  44

การวิเคราะห์การหาจุดวกกลับของ y = ax2 + bx + c โดยใชส้ ตู ร ดว้ ยเทคนิค KWDL

ตัวอยา่ งท่ี 4

จงหาจุดวกกลับของฟังกช์ ันกำลงั สอง y = 2x2 + 4x – 16

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารด้านการแสดงแนวคดิ ทางคณิตศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิง่ ที่โจทย์กำหนดให้
นกั เรียนรู้อะไรบ้างจากทโี่ จทย์กำหนดให้ ฟังกช์ ันกำลังสองในรปู y = ax2 + bx + c

2. W (What we want to know) สง่ิ ที่โจทย์ตอ้ งการทราบ
นักเรยี นหาส่ิงทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรอื
สิ่งที่นกั เรียนตอ้ งการรู้ จดุ วกกลบั ของฟงั ก์ชนั กำลงั สอง
y = 2x2 + 4x – 16

3. D (What we do to find out) วธิ ีแก้ปัญหา

นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบา้ งเพอ่ื หาคำตอบ จาก y = 2x2 + 4x – 16

ตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรือส่ิงท่ีตนเองต้องการรู้ ตรงกับรปู แบบ y = ax2 + bx + c

จะได้ a = 2, b = 4 และ c = –16

หาจดุ วกกลบั ของฟงั กช์ นั โดยใช้สตู ร
4ac - b2
จดุ วกกลับ (h, k) =  − b , 4a 
 2a 

แทนค่า a = 2, b = 4 และ c = –16
(4)2
จะได้ (h, k) =  − 4 , 4(2)(−16) − 
 2(2) 4(2) 

(h, k) =  − 4 , -128 − 16 
4 8 


(h, k) = −1 , −144 
8 


(h, k) = (−1, −18 )

ชุดกิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน

4. L (What we learned) ชุดท่ี 5 ฟังกช์ ันกำลังสองและการวาดกราฟ หนา้  45
นกั เรยี นสรปุ สิ่งทไ่ี ดเ้ รียนรู้
คำตอบ และสง่ิ ทีค่ ้นพบ
นำขอ้ มลู ไปเขยี นกราฟ ไดด้ ังนี้ จากฟงั กช์ นั กำลังสอง y = 2x2 + 4x – 16
สรุปไดว้ า่
1) a > 0 ไดพ้ าราโบลาหงาย
2) มจี ดุ วกกลับ หรือจดุ ตำ่ สดุ คอื จุด (-1, -18)
3) แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = -1

x = -1 Y

X

(-1, -18)

คำชแ้ี จง
จากกราฟพิจารณาโดเมน เรนจ์ และค่าตำ่ สดุ ของฟงั กช์ ันพบวา่
1) Df = R และ Rf = [-18, )
2) คา่ ต่ำสุดของฟงั กช์ นั y = -18

เห็นไหมครับวา่ การหาจดุ วกกลบั ของฟงั กช์ นั
ท่อี ยู่ในรูป y = ax2 + bx + c ไมย่ ากเลย

ไปศกึ ษาตวั อย่างท่ี 5 กันต่อเลยนะครับ

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสมั พันธ์และฟงั ก์ชัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั ก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  46

การวิเคราะห์การหาจุดวกกลับของ y = ax2 + bx + c โดยใช้สูตร ดว้ ยเทคนิค KWDL

ตัวอยา่ งท่ี 5

จงหาจุดวกกลับของฟังกช์ ันกำลงั สอง y = –3x2 + 6x + 3

(ส่งเสรมิ ความสามารถในการสอ่ื สารดา้ นการแสดงแนวคดิ ทางคณติ ศาสตร์)
แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนคิ KWDL

1. K (What we know) สิ่งที่โจทย์กำหนดให้
นกั เรียนรู้อะไรบ้างจากทโ่ี จทย์กำหนดให้ ฟังก์ชนั กำลังสองในรูป y = ax2 + bx + c

2. W (What we want to know) สิ่งท่ีโจทย์ตอ้ งการทราบ
นักเรยี นหาส่ิงทโ่ี จทย์ต้องการทราบหรอื
สงิ่ ที่นกั เรียนตอ้ งการรู้ จุดวกกลบั ของฟังก์ชนั กำลังสอง
y = –3x2 + 6x + 3

3. D (What we do to find out) วิธแี กป้ ัญหา

นกั เรียนจะตอ้ งทำอะไรบ้างเพอ่ื หาคำตอบ จาก y = –3x2 + 6x + 3

ตามที่โจทยต์ อ้ งการ หรอื ส่ิงท่ีตนเองต้องการรู้ ตรงกบั รปู แบบ y = ax2 + bx + c

จะได้ a = –3, b = 6 และ c = 3

หาจุดวกกลับของฟงั ก์ชนั โดยใช้สตู ร
4ac - b2
จดุ วกกลับ (h, k) =  − b , 4a 
2a

แทนคา่ a = −3 , b = 6 และ c = 3
(6)2
จะได้ (h, k) =  − 6 , 4(−3)(3) − 
2(−3) 4(−3)

(h, k) =  − 6 , − 36 − 36 
 −6 − 12 

(h, k) = 1 , − 72 
− 12 


(h, k) = (1, 6 )

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธ์และฟงั กช์ ัน

4. L (What we learned) ชดุ ที่ 5 ฟังกช์ นั กำลงั สองและการวาดกราฟ หน้า  47
นักเรยี นสรุปส่งิ ทไ่ี ดเ้ รียนรู้
คำตอบ และส่ิงทีค่ น้ พบ
นำข้อมลู ไปเขยี นกราฟ ไดด้ งั น้ี ได้ฟงั ก์ชันกำลงั สอง y = –3x2 + 6x + 3
สรุปไดว้ ่า
1) a < 0 ไดพ้ าราโบลาควำ่
2) มจี ุดวกกลบั หรอื จดุ สงู สดุ คือ จดุ (1, 6)
3) แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = 1

Y x= 1

(1, 6)

X

คำชี้แจง

จากกราฟพจิ ารณาโดเมน เรนจ์ และคา่ ตำ่ สดุ ของฟงั ก์ชนั พบวา่
1) Df = R และ Rf = (- , 6]
2) ค่าสูงสดุ ของฟงั ก์ชนั y = 6

ผ่านไปแลว้ 5 ตัวอย่าง การหาจดุ วกกลับของฟงั กช์ นั
ทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2 + bx + c ไมย่ ากเลย

ไปทำใบกจิ กรรม.............กันตอ่ เลยนะครบั

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความสมั พันธ์และฟงั กช์ ัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั ก์ชนั กำลงั สองและการวาดกราฟ หนา้  48

ใบกิจกรรมท่ี 5.3 ฟงั ก์ชันกำลงั สอง y = ax2 + bx + c

1) ใหจ้ ดั สมการ y = x2 – 2x – 3 อยู่ในรปู y = a(x – h)2 + k (5 คะแนน)
(สง่ เสรมิ ความสามารถในการส่ือสารด้านความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL สงิ่ ที่โจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
1. K (What we know) .............................................................................
นักเรยี นรอู้ ะไรบ้างจากทโ่ี จทยก์ ำหนดให้ .............................................................................
.............................................................................
2. W (What we want to know)
นักเรยี นหาสงิ่ ท่ีโจทย์ต้องการทราบหรือ สิ่งท่ีโจทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)
สิ่งทน่ี ักเรียนตอ้ งการรู้ .............................................................................
3. D (What we do to find out) .............................................................................
นกั เรียนจะต้องทำอะไรบา้ งเพอ่ื หาคำตอบ .............................................................................
ตามทโ่ี จทยต์ ้องการ หรอื สง่ิ ท่ีตนเอง
ต้องการรู้ วธิ แี กป้ ัญหา (2 คะแนน)
.............................................................................
4. L (What we learned) .............................................................................
นักเรียนสรปุ สิ่งท่ีได้เรียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

คำตอบ และสิ่งท่คี ้นพบ (1 คะแนน)

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

เพือ่ ความตอ่ เน่อื งในการจดั สมการ
ใหอ้ ยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k

ไปทำใบกิจกรรมขอ้ ที่ 2 กันตอ่ เลย

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชัน

ชดุ ท่ี 5 ฟงั กช์ นั กำลังสองและการวาดกราฟ หนา้  49

2) ใหจ้ ดั สมการ y = –2x2 – 8x +16 อยใู่ นรูป y = a(x – h)2 + k (5 คะแนน)
(ส่งเสริมความสามารถในการสื่อสารดา้ นความชดั เจนของการนำเสนอ)

แนวทางหาคำตอบ ตามเทคนิค KWDL สง่ิ ท่ีโจทย์กำหนดให้ (1 คะแนน)
1. K (What we know) .............................................................................
นักเรียนรู้อะไรบา้ งจากท่ีโจทย์กำหนดให้ .............................................................................
.............................................................................
2. W (What we want to know)
นักเรียนหาสิง่ ท่ีโจทยต์ อ้ งการทราบหรอื สง่ิ ท่ีโจทย์ต้องการทราบ (1 คะแนน)
สิ่งทีน่ ักเรยี นตอ้ งการรู้ .............................................................................
3. D (What we do to find out) .............................................................................
นักเรียนจะต้องทำอะไรบ้างเพอื่ หาคำตอบ .............................................................................
ตามที่โจทยต์ ้องการ หรอื ส่งิ ท่ตี นเอง
ตอ้ งการรู้ วธิ ีแก้ปญั หา (2 คะแนน)
.............................................................................
4. L (What we learned) .............................................................................
นกั เรียนสรุปสงิ่ ท่ีได้เรียนรู้ .............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

คำตอบ และส่ิงทีค่ ้นพบ (1 คะแนน)

.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................

นักเรยี นทุกคนเกง่ จรงิ ๆ
ขอปรบมือใหด้ ังๆ ...
ไปทำใบกจิ กรรมขอ้ ตอ่ ไปกันเลย

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความสัมพันธแ์ ละฟงั กช์ ัน