PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
ii
Hak Cipta
MILIK UNIVERSITAS JEMBER
TIDAK DIPERDAGANGKAN
BELAJAR MATEMATIKA
Dengan Pendekatan Realistic Mathematics Education
Untuk Kelas XII Sekolah Menengah Atas / Sekolah
Menengah Kejuruan / Madrasah Aliyah
Penulis (180210101052)
Girlyas Rasta Yunta
Pembimbing :
Ervin Oktavianingtyas, S.Pd., M.Pd
Saddam Hussen, S.Pd., M.Pd
Editor : Girlyas Rasta Yunta
Ukuran Buku : 21 cm x 29, 7 cm
Indonesia, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan – Universitas Jember
Jember : Universitas Jember, 2020
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
iii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahhirobbil’alamin,
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas limpahan
rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan penulisan buku Matematika
SMA/SMK kelas XII ini. Buku Siswa ini merupakan salah satu sumber buku
pegangan bagi siswa Sekolah Menengah Atas (SMA), Sekolah Menengah Kejuruan
(SMK), dan Madrasah Aliyah (MA) kelas XII sub pokok bahasan Peluang Kejadian
Majemuk.
Buku ini kami susun dengan menggunakan pendekatan matematika realistik
(Realistic Mathemathics Education / RME) dan menggunakan model Problem Based
Learning (PBL). Dengan cara ini kami berharap buku ini dapat memudahkan siswa
dalam belajar matematika. Materi kami susun secara sistematis dan didasarkan pada
satu atau lebih indikator.
Penulis menyadari bahwa buku ini masih memiliki kekurangan. Oleh karena
itu kami mengharapkan kritik dan saran yang memiliki relevansi dengan
penyempurnaan buku ini. Semoga buku ini dapat memberikan manfaat dan mampu
memberikan nilai plus bagi penggunanya.
Jember, 22 Mei 2020
Penulis
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
iv
DAFTAR ISI
Kata Pengantar ........................................................................................................ iii
Daftar Isi ................................................................................................................. iv
Daftar Gambar ........................................................................................................ vi
Daftar Tabel ............................................................................................................ vii
Petunjuk Penggunaan Buku .................................................................................... viii
Rasionalisasi ........................................................................................................... xii
Standar Proses : Kemampuan Pemecahan Masalah ...................................... xii
Aktivitas dan Penilaian ................................................................................. xiii
Standar Konten : Peluang Kejadian Majemuk .............................................. xiv
Relevansi Materi ........................................................................................... xv
Kompetensi Inti ...................................................................................................... 2
Kompetensi Dasar .................................................................................................. 2
Indikator ................................................................................................................. 3
Tujuan Pembelajaran .............................................................................................. 3
Peta Konsep ............................................................................................................ 4
Mengenal Tokoh ..................................................................................................... 5
Kegiatan 1.1 Kejadian Majemuk ............................................................................ 6
Masalah 1 ...................................................................................................... 6
Contoh Soal 1.1 ............................................................................................. 8
Contoh Soal 1.2 ............................................................................................. 9
Contoh Soal 1.3 ............................................................................................. 10
Kegiatan 1.2 Kejadian Saling Lepas dan Tidak Lepas ........................................... 12
Masalah 2 ...................................................................................................... 12
Masalah 3 ...................................................................................................... 14
Contoh Soal 1.4 ............................................................................................ 16
Contoh Soal 1.5 ............................................................................................ 17
Contoh Soal 1.6 ............................................................................................ 19
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
v
Kegiatan 1.3 Kejadian Saling Bebas ...................................................................... 23
Masalah 4 ...................................................................................................... 23
Contoh Soal 1.7 ............................................................................................ 26
Contoh Soal 1.8 ............................................................................................ 27
Kegiatan 1.4 Kejadian Bersyarat ........................................................................... 30
Masalah 5 ...................................................................................................... 30
Contoh Soal 1.9 ............................................................................................ 33
Contoh Soal 1.10 .......................................................................................... 34
Ayo Kita Merangkum ............................................................................................ 36
Uji Kompetensi ...................................................................................................... 37
Daftar Pustaka ........................................................................................................ 41
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
vi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1.1 Bola warna – warni ........................................................................ 6
Gambar 1.1.2 Sebuah dadu dan uang koin ........................................................... 6
Gambar 1.1.3 Satu set kartu bridge dan buah – buahan ........................................ 11
Gambar 1.2.1 Uang koin, dua dadu, dan spiner .................................................... 12
Gambar 1.2.2 Dua dadu ........................................................................................ . 12
Gambar 1.2.3 Satu set kartu bridge ....................................................................... 14
Gambar 1.2.4 Sebuah dadu .................................................................................... 22
Gambar 1.3.1 Satu set kartu bridge ....................................................................... 23
Gambar 1.3.2 Kelereng warna – warni .................................................................. 23
Gambar 1.3.3 Satu set kartu bridge dan dadu ....................................................... 29
Gambar 1.4.1 Dadu bersisi enam .......................................................................... 30
Gambar 1.4.2 Sebuah dadu .................................................................................... 30
Gambar 1.4.3 Satu set kartu bridge dan bola warna – warni ................................. 36
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
vii
DAFTAR TABEL
Tabel 1 Ruang sampel pelambungan dua dadu ..................................................... 13
Tabel 2 Ruang sampel pelambungan sebuah dadu dan uang logam .................... 26
Tabel 3 Komposisi bola – bola yang ada dalam kotak .......................................... 34
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
viii
PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
Pokok bahasan yang akan dibahas dalam bab ini.
Peluang sering kita jumpai...
Penjelasan mengenai narasi awal bab.
KATA KUNCI
Berisi tentang istilah – istilah yang digunakan
dalam materi Peluang Kejadian Majemuk
KOMPETENSI INTI
Kompetensi Inti matematika SMA/SMK/MA
kelas XII sesuai dengan Kurikulum 2013
KOMPETENSI DASAR
Kompetensi Dasar matematika SMA/SMK/MA
kelas XII sesuai dengan Kurikulum 2013
INDIKATOR
Kompetensi Inti matematika SMA/SMK/MA kelas
XII sesuai dengan Kurikulum 2013
TUJUAN PEMBELAJARAN
Tujuan yang akan dicapai dalam materi Peluang
Kejadian Majemuk.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
ix
PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU
PETA KONSEP
Peta konsep dari materi yang akan dipelajari.
MENGENAL TOKOH
Berisi sejarah dan keterkaitan antara tokoh
dengan materi Peluang Kejadian Majemuk.
AYO MEMAHAMI MASALAH
Dilakukan dengan cara membaca, mendengar,
menyimak, melihat (tanpa atau dengan alat)
objek - objek matematika tertentu terkait
masalah atau topik kegiatan.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
x
PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU
AYO MENJELASKAN MASALAH
Pengalaman belajar ini, memfasilitasi siswa
untuk ‘menanya’ hal – hal yang belum
dipahami saat kegiatan mengamati atau dapat
pula untuk mendapatkan informasi tambahan
tentang hal – hal yang diamati.
AYO MENYELESAIKAN MASALAH
Siswa diharapkan mampu menyelesaiakan
permalahan – permasalahan yang terdapat pada
kegiatan Ayo Menyelesaiakan Masalah. Siswa
juga dapat berdiskusi untuk menyelesaiakan
kegiatan tersebut.
AYO MENALAR
Disajikan dalam bentuk pertanyaan - pertanyaan
yang diharapkan akan terjawab oleh siswa.
Hasil dari membelajarkan menalar ini berupa
jawaban, pernyataan, atau kesimpulan.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
xi
PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU
AYO MENGOMUNISASIKAN
Melatih siswa untuk berani menyampaikan ide
kepada orang lain dan diharapkan akan tumbuh
pada diri siswa sikap empati, saling
menghargai, dan menghormati perbedaan orang
lain.
AYO KITA INGAT
Pada kegiatan ini, merupakan review dari
materi yang dipalajari, berupa informasi
tambahan. Berguna dalam memfasilitasi siswa
mengingat semua semua materi yang telah
dipalajari
AYO KITA MERANGKUM
Berisi pertanyaan – pertanyaan yang
mengarahkan siswa untuk membuat rangkuman
tentang materi yang telah dipelajari dalam satu
bab.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
xii
RASIONALISASI
Standar Proses : Kemampuan Pemecahan Masalah
Ilmu matematika selalu bersentuhan dengan banyak hal dalam kehidupan
sehari – hari. Dimana, kehidupan sehari – hari manusia sering sekali banyak terjadi
masalah. Nah, disinilah matematika berperan pentting dalam membantu manusia
dalam menyelesaiakan masalah – masalah yang terjadi dalam kehidupan sehari –
hari. Contohnya adalah masalah menghitung keuntungan dan kerugian, menghitung
uang tabungan dan gaji, memprediksi perkiraan biaya listrik dan air, dan masih
banyak lagi. Jadi, dapat dipahami bahwa matematika tidak pernah terlepas dari
pemecahan masalah.
Salah satu standar proses dalam matematika adalah pemecahan masalah.
Sehingga, dapat dipahami bahwa kemampuan pemecahan masalah menjadi bagian
integral dari matematika. Menurut Holmes dalam NCTM (2000), pemecahan
masalah merupakan jantungnya matematika. Matematika penuh sekali dengan
masalah – masalah yang perlu diselesaikan. Masalah tersebut bersifat intelektual,
sehingga diperlukan kemampuan intelektual seseorang dalam menyelesaikannya,
yaitu kemampuan pemecahan masalah (Anggo, 2011). Dengan demikian, standar
proses yang penting untuk dibentuk yaitu kemapuan pemecahan masalah.
Menurut Anderson dalam Achin (Achin, 2016), pemecahan masalah
merupakan keterampilan hidup dengan melibatkan proses menganalisis,
menafsirkan, menalar, memprediksi, mengevaluasi dan merefleksikan. Sedangkan
menurut Krulik dan Rudnick (1995) mendefinisikan kemampuan pemecahan
masalah sebagai alat bagi individu untuk menggunakan pengetahuan dan
kemampuan yang telah dimiliki sebelumnya untuk disintesis dan diterapkan pada
situasi yang lain. Menurut Winarti dan Harmini dalam Hafiziani Putri (2017) dalam
pemecahan masalah merupakan proses menerima tantangan dan kerja keras untuk
menyelesaikan suatu masalah yang membutuhkan penalaran yang rumit dan luas.
Dari dua pendapat diatas dapat disimpulkan bahwa kemampuan pemecahan masalah
merupakan kemampuan yang digunakan oleh individu dengan melibatkan proses
analisis, tafsir, menalar, prediksi, evaluasi, dan refleksi yang diaplikasikan pada
keadaan dan permasalahan yang berbeda.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
xiii
Dalam pemecahan masalah, tentunya diperlukan adalanya indikator –
indikator yang harus dicapai. Menurut Amir (2009, p. 24) adalah 1) indikator –
indikator pemecahan masalah dituntut agar “mampu mengklarifikasi istilah konsep
yang belum jelas, 2) mampu merumuskan masalah dan menganalisis masalah, 3)
mampu menata gagasan secara sistematis dan menganalisisnnya dengan dalam, dan
4) mampu mencari informasi tambahan dari sumber lain”.
Aktivitas dan Penilaian
1. Aktivitas dalam Pembelajaran
Suatu kegiatan yang dilakukan seseorang dinamakan aktivitas. Sedangkan,
suatu aktivitas untuk mendapatkan informasi baru dan menghasilkan perubahan
tingkah laku dinamakan belajar (Suardi, 2018). Aktivitas dalam pembelajaran
merupakan suatu kegiatan yang mendukung berjalannya kegiatan belajar.
Menurut Sudirman (2011) bahwa Di dalam aktivitas tersebut terdapat proses
interaksi belajar mengajar yang menjadi prinsip penting dalam melakukan
aktivitas dalam pembelajaran.
Buku ini kami susun memuat kegiatan dengan jenis kegiatan – kegiatan
mental. Siswa akan dibimbing untuk menyelesaikan berbagai permasalahan
dengan cara menganalisis setiap permasalahan yang ada, dan juga diakhir buku
ini kami sediakan Uji Kompetensi sebagai latihan evaluasi bagi siswa setelah
belajar peluang kejadian majemuk. Adapun indikator dari kegiatan – kegiatan
mental ini adalah merenungkan, mengingat, memecahkan masalah, menganalisis
faktor – faktor, menemukan hubungan – hubungan, membuat keputusan
(Hamalik, 2001).
Aktivitas dalam buku ini menuntun dan membantu siswa untuk
menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang. Permasalahan yang
ditampilkan adalah pelemparan satu dan dua buah dadu, pelemparan uang
logam, pengambilan bola, pengambilan kelereng, pengambilan kartu bridge,
serta permasalahan peluang yang terjadi dalam kehidupan sehari – hari.
Kemudian siswa diminta untuk menemukan peluang suatu kejadian tertentu.
Siswa diminta untuk mendata semua peluang kejadian yang akan muncul
misalkan jika dua dadu dilemparkan, kemudian siswa akan menghitung peluang
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
xiv
suatu kejadian tertentu dengan ruang sampel yang sudah dibuat. Setelah itu,
siswa akan dibimbing untuk mengkonstruksi rumus dari peluang kejadian
tersebut dengan memberikan pertanyaan – pertanyaan stimulus yang dapat
membuat siswa berpikir kritis terhadapt permasalahan yang diberikan.
2. Penilaian
Menurut Sudjana (2010) menjelaskan bahwa “penilaian adalah kegiatan yang
digunakan untuk melihat sejauh mana tujuan pembelajaran tercapai secara
menyeluruh kepada setiap siswa dalam bentuk hasil belajar setelah kegiatan
belajar-mengajar dilakukan”. Pada akhir proses pembelajaran biasanya akan
dilakukan kegiatan penilaian. Penilaian dibagi menjadi dua, yaitu penilaian tes
tertulis dan tidak tertulis. Penilaian dalam buku ini menggunakan tes tertulis dan
tes praktik. Tes tertulis merupakan tes yang soal beserta jawabannya
direpresentasikan dalam bentuk tulisan (Hamid, 2019). Tes tertulis juga bisa
dilakukan dengan memberikan soal yang tidak tertulis namun jawaban dalam
bentuk tulisan. Sedangkan, tes praktik merupakan bentuk penilaian yang
mengukur keterampilan motorik siswa dengan melakukan kegiatan uji coba.
Buku ini menggunakan tes tertulis dengan soal – soal pemecahan masalah.
Materi dalam tes tersebut tentang peluang kejadian majemuk, yang terdiri dari
kejadian saling lepas dan tidak saling lepas, kejadian saling bebas serta kejadian
bersyarat.
Standar Konten : Peluang Kejadian Majemuk
Peluang kejadian majemuk adalah peluang yang memiliki lebih dari satu titik
sampel dengan melibatkan dua peluang kejadian atau lebih. Pelung kejadian
majemuk sangat berkaitan erat dengan kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh dalam
permaian remi. Seseorang dapat memprediksi kartu apa yang akan muncul jika orang
tesebut memahami secara masif prinsip – prinsip peluang. Contoh lainnya adalah
seseorang mampu menentukan peluang mengambil buah yang tidak busuk dalam
keranjamg. Jika seseorang kurang mengetahui dalam membedakan antara buah
busuk dan tidak busuk, maka seseorang dapat menggunakan konsep peluang dalam
pengambilan buah tersebut. Peluang kejadian majemuk dibagi menjadi beberapa
bagian, yaitu kejadian saling lepas dan tidak lepas, kejadian saling bebas dan
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
xv
kejadian bersyarat. Dalam buku ini akan membahas semua bagian dari peluang
kejadian majemuk.
Menurut NCTM (2000), siswa SMA harus belajar untuk mengidentifikasi
dengan saling eksklusif, bersama, dan bersyarat suatu peristiwa dengan menggambar
pada pengetahuan mereka tentang kombinasi, permutasi, dan menghitung untuk
menghitung probabilitas yang terkait dengan peristiwa tersebut. Penarikan
kesimpulan yang mendalam merupakan titik akhir dalam melihat pemahaman siswa
akan probabilitas. Kemampuan siswa dalam menganalisis soal – soal kemudian
memecahkan masalah dengan benar merupakan aspek yang sangat diharapkan.
Siswa seharusnya mampu menyelesaikan masalah berkaitan dengan peluang
kemudian dilanjutkan dengan menarik kesimpulan yang mendalam dari masalah
tersebut, dengan cara menggunakan prinsip – prinsip probabilitas,
Relevansi Materi
Materi dalam modul ini adalah peluang kejadian majemuk. Awal munculnya
teori peluang adalah dari perjudian. Namun kemudian teori berkembang hingga ke
ranah medis, ekonomi, statistika, edukasi, penelitian dan masih banyak lagi.
Misalkan penggunaan dalam penelitian adalah bagaimana cara mengambil sampel.
Pengambilan sampel sangat penting, karena pengambilan sampel yang salah akan
membuat penelitian menjadi tidak valid. Sedangkan, dalam kehidupan sehari-hari,
teori peluang bisa menjadi acuan untuk pengambilan keputusan yang tepat. Masa
depan manusia sangatlah abstrak. Untuk menyiasati itu, teori peluang mampu
memprediksi masa yang akan datang, sehingga manusia mampu menentukan
keputusan yang tepat untuk mengatur kehidupannya. Dengan mengunakan teori
peluang ini dapat memengaruhi pikiran manusia supaya memiliki pemikiran yang
lebih baik lagi dan mampu mengantisipasi keburukan di masa yang akan datang.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
1
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
Peluang sering sekali kita jumpai dalam kehidupan nyata. Peluang
digunakan untuk memprediksi penjualan. Bidang lain adalah kedokteran.
Peluang digunakan untuk meramalkan diagnosa suatu penyakit. Peluang juga
dapat digunakan dalam bidang statistika. Cara pengambilan sampel sangat
diperlukan untuk keperluan penelitian dalam statistika.
Kalian sebelumnya telah mempelajari konsep dasar dari peluang
sejak di Sekolah dasar. Nah, pada buku ini kalian akan mempelajari peluang
lebih mendalam, yaitu peluang kejadian tertentu
Kata Kunci Peluang
Saling Lepas
Titik Sampel Tidak Saling Lepas
Ruang sampel Bersyarat
Percobaan
Kejadian
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
2
KOMPETENSI INTI
1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli
(gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif
dan proaktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai
permasalahan dalam berinteraksi secara dalam berinteraksi
secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta alam
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan
dunia.
3. Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi
pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa
ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni,
budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab
fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan
prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan
bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, menyaji, dan mencipta dalam ranah
konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari
yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, serta bertindak
secara efektif dan kreatif dan mampu menggunakan metoda
sesuai kaidah keilmuan.
KOMPETENSI DASAR
3.4 Mendeskripsikan dan menentukan peluang kejadian majemuk
(peluang kejadian – kejadian saling bebas, saling lepas, dan
kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak.
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kejadian
majemuk (peluang kejadian – kejadian saling bebas, saling
lepas, dan kejadian bersyarat)
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
3
INDIKATOR
1. Memahami konsep peluang kejadian majemuk
2. Mengidentifikasi fakta pada peluang kejadian majemuk
(peluang kejadian – kejadian saling lepas dan tidak lepas,
saling bebas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan
acak
3. Mendeskripsikan peluang kejadian majemuk (peluang
kejadian – kejadian saling lepas dan tidak lepas, saling bebas,
dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak
4. Menentukan peluang kejadian majemuk (kejadian – kejadian
saling lepas dan tidak lepas, saling bebas, dan kejadian
bersyarat) dari suatu percobaan acak
5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang
kejadian majemuk (kejadian – kejadian saling lepas dan tidak
lepas, saling bebas, dan kejadian bersyarat)
6. Menyajikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian
majemuk (peluang kejadian – kejadian saling lepas dan tidak
lepas, saling bebas, dan kejadian bersyarat)
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Memahami konsep peluang kejadian majemuk
2. Mengidentifikasi fakta pada peluang kejadian majemuk
(peluang kejadian – kejadian saling lepas dan tidak lepas,
saling bebas, dan kejadian bersyarat) dari suatu percobaan
acak
3. Mendeskripsikan peluang kejadian majemuk (peluang
kejadian-kejadian saling bebas, saling lepas, dan kejadian
bersyarat) dari suatu percobaan acak
4. Menentukan peluang kejadian majemuk (peluang kejadian –
kejadian saling lepas dan tidak lepas, saling bebas, dan
kejadian bersyarat) dari suatu percobaan acak
5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang
kejadian majemuk (kejadian – kejadian saling lepas dan tidak
lepas, saling bebas, dan kejadian bersyarat)
6. Menyajikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian
majemuk (peluang kejadian – kejadian saling lepas dan tidak
lepas, saling bebas, dan kejadian bersyarat)
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
4
PETA KONSEP
MASALAH KONTEKSTUAL
PELUANG
KEJADIAN
MAJEMUK
KEJADIAN SALING KEJADIAN KEJADIAN
LEPAS dan TIDAK SALING BEBAS BERSYARAT
LEPAS
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
5
MENGENAL TOKOH
Girolamo Cardano lahir pada 24 September 1501
di Pavia, Lombardy, Italia. Beliau adalah seorang
ahli matematika, dokter, ahli biologi, fisika, kimia,
astrolog, astronom, filosofi dan penulis. Girolamo
cardano adalah ilmuan italia yang menjadi tokoh
utama dalam bidang teori peluang, yang merupakan
bagian dari ilmu matematika. Teori peluang
terinspirasi oleh perjudian, dan girolamo cardano
adalah seorang penjudi sejati.
Meski kebiasaannya dalam berjudi membawa pengaruh buruk dalam
keluarganya, namun judi juga memacu girolamo cardano untuk mempelajari
peluang dalam aktivitas tersebut. Dia menggunakan permainan melemparkan
dadu untuk memahami konsep-konsep dasar probabilitas. Dia menunjukkan
peluang sebagai rasio menguntungkan dengan hasil yang tidak menguntungkan.
Hasilnya, pada 1965, ia berhasil menerbitkan buku berjudul “book on dice
games” (Buku tentang Game Keberuntungan), yang berisi pemikiran-
pemikirannya mengenai peluang dalam permainan judi. Buku itulah yang
menjadi titik awal berkembangnya teori peluang.
Dalam teori peluang terdapat istilah nilai harapan atau ekspektasi yang dapat
digunakan untuk mengukur nilai harapan besar hadiah yang akan diterima, untuk
mengukur risiko bermain judi. Meski berhasil menulis buku mengenai judi,
namun jirolamo cardano tidak disebutkan berhasil kaya karena bermain judi.
Berdasarkan uraian di atas dapat kita ambil beberapa hikmah, antara lain;
1. Girolamo memiliki pendirian yang kuat. Ia lebih memilih ilmu yang ia
minati yakni filsafat dan sains dari pada mengambil ilmu hukum pilihan
ayahnya.
2. Dalam kondisi buruk, Girolamo dapat menghasilkan hal yang positif dan
bermanfaat, khususnya bagi ilmu matematika dengan teori peluang yang
ia pelajari dari aktivitas perjudian.
3. Girolamo memiliki rasa ingin tahu yang tinggi. Ia menggunakan
permainan melemparkan dadu untuk memahami konsep-konsep dasar
probabilitas/ peluang.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
KEGIATAN 1.1 6
Kejadian majemuk
Gambar 1.1.1. Bola warna – warni
Pada suatu hari, jika Anda diminta Ibu untuk merapikan bola warna-warni
yang Anda miliki ke dalam kotak mainan. Namun tiba – tiba, adikmu yang masih
kecil minta diambilkan bola. Secara acak, kamu akan mengambil kembali bola
tersebut. Nah, peluang terambilnya bola warna biru dan merah kira – kira ada berapa
ya ? Kejadian – kejadian seperti ini dapat dijawab dengan mempelajari materi
kejadian majemuk di dalam teori peluang matematika.
Apabila ada kejadian atau percobaan yang terjadi lebih dari satu kali
sehingga menghasilkan kejadian baru, maka kejadian baru itu disebut kejadian
majemuk. Terdapat beberapa kejadian yang disebut sebagai kejadian majemuk.
Mari kita pelajari lebih lanjut !
AYO MEMAHAMI MASALAH
Masalah 1
Perhatikan gambar dibawah ini !
Gambar 1.1.2. Sebuah dadu dan uang koin
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
7
Dari pengamatan gambar koin dan dadu diatas, apabila koin dan dadu diatas
dilambungkan secara bersamaan maka akan muncul kemungkinan – kemungkinan
yang akan terjadi yaitu {(A,1), (A,2), (A,3), (A,4), (A,5), (A,6), (G,1), (G,2), (G,3),
(G,4), (G,5), (G,6)}
Analisislah istilah – istilah apa yang Anda dapatkan dari hasil pengamatan pada
kotak di bawah ini.
AYO MENJELASKAN MASALAH
Setelah Anda melakukan pengamatan terhadap gambar koin dan sebuah dadu diatas,
maka sekarang Anda dapat membuat pertanyaan agar Anda dapat mendefinisikan
kejadian majemuk. Berikut mungkin salah satu pertanyaan Anda, adalah
1. Berapa jumlah kejadian minimal yang dapat membentuk kejadian majemuk ?
2. Apa saja hubungan yang kemungkinan dapat terjadi pada kejadian majemuk ?
Anda dapat menuliskan pertanyaan pada kotak dibawah ini.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
8
AYO MENYELESAIKAN MASALAH
Untuk menjawab semua pertanyaan yang telah Anda buat, pasti Anda memerlukan
informasi lebih agar dapat memahami kejadian majemuk. Untuk itu, dibawah ini
disediakan contoh soal berkaitan dengan kejadian majemuk, kemudian Anda diminta
untuk melengkapi beberapa kegiatan berikut.
Contoh Soal 1.1
Kayla merupakan anak berusia 6 tahun. Dia gemar sekali bermain, sehingga ibunya
membelikan banyak kotak mainan untuknya. Pada suatu hari, dia ingin sekali
bermain bersama teman – temannya. Kemudian, dia membawa salah satu kotak
mainan miliknya. Kotak mainan tersebut berisi bola warna – warni yang terdiri dari
bola biru, bola merah dan bola kuning. Kemudian, dia ingin mengeluarkan bola
warna – warni itu dalam kotak. Tentukanlah kejadian yang mungkin terjadi pada
pengambilan dua bola dalam kotak mainan tersebut.
Penyelesaian :
Misal : A = Kejadian terambil bola biru
B = Kejadian terambil bola merah
C = Kejadian terambil bola kuning
Kejadian I :
Kejadian terambilnya bola biru dan merah
Dinotasikan : ( ∩ )
Kejadian II :
..................................................................................................................................
Dinotasikan : ................................................
Kejadian III :
..................................................................................................................................
Dinotasikan : ................................................
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
9
Contoh Soal 1.2
Toko elektronik “Jaya Abadi” dikunjungi banyak pengunjung. Pengunjung tersebut
diklasifikasikan berdasarkan jenis kelamin yaitu laki – laki dan perempuan serta
berdasarkan usia kurang dari 35 tahun dan lebih dari 35 tahun. Tentukanlah kejadian
majemuk yang mungkin terjadi !
Penyelesaian :
Misal : P = Kejadian pengunjung laki – laki
Q = Kejadian pengunjung perempuan
R = Kejadian pengunjung berusia kurang dari 35 tahun
S = Kejadian pengunjung berusia lebih dari 35 tahun
Kejadian I :
Kejadian pengunjung toko laki – laki atau perempuan
Dinotasikan : ( ∪ )
Kejadian II :
..................................................................................................................................
Dinotasikan : ................................................
Kejadian III :
..................................................................................................................................
Dinotasikan : ................................................
Kejadian IV :
Kejadian pengunjung toko laki – laki
Dinotasikan : ................................................
Kejadian V :
..................................................................................................................................
Dinotasikan : ( ∩ )
Kejadian VI :
..................................................................................................................................
Dinotasikan : ................................................
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
10
Contoh Soal 1.3
Perpustakaan daerah “X” memiliki koleksi 2 jenis buku, yaitu buku pelajaran dan
novel. Setiap pengunjung diperbolehkan paling banyak meminjam 2 buku. Pada
suatu hari, Lisa akan meminjam buku di perputakaan daerah “X”. Tentukanlah
kejadian majemuk yang mungkin terjadi.
Penyelesaian :
Misal :
M = Kejadian meminjam buku pelajaran
N = ...........................................................................................................................
Kejadian I :
Kejadian Lisa meminjam buku pelajaran atau novel
Dinotasikan : ( ∪ )
Kejadian II :
Kejadian Lisa meminjam buku pelajaran dan novel
Dinotasikan : ................................................
AYO MENALAR
Dari kegiatan diatas, tuliskanlah kesimpulan yang Anda dapat tentang kejadian
majemuk berdasarkan jawaban Anda dari kegiatan diatas pada kotak dibawah ini.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
11
AYO MENGOMUNISASIKAN
Komunikasikan jawaban Anda di depan kelas. Kemudian, diskusikan bersama teman
– teman dan guru untuk mendapatkan jawaban yang benar dan lengkap. Tuliskan
hasil diskusi pada kotak di bawah ini.
AYO KITA INGAT
Gambar 1.1.3. Satu set kartu bridge dan buah – buahan
Pada hakikatnya, peluang kejadian majemuk sangat erat kaitannya dengan
masalah kehidupan sehari – hari. Contohnya adalah dalam permaian remi. Seseorang
dapat memprediksi kartu apa yang akan muncul jika orang tesebut memahami secara
masif prinsip – prinsip peluang. Contoh lainnya adalah seseorang mampu
menentukan peluang mengambil buah yang tidak busuk dalam keranjang. Jika
seseorang kurang mengetahui dalam membedakan antara buah busuk dan tidak
busuk, maka dapat dikatakan bahwa seseorang dapat menggunakan konsep peluang
dalam pengambilan buah tersebut. Peluang kejadian majemuk dibagi menjadi
beberapa bagian, yaitu peluang kejadian saling lepas dan tidak saling lepas,
peluang kejadian saling bebas, dan peluang kejadian bersyarat. Nah, mari kita
pelajari lebih lanjut semua bagian – bagian dari kejadian majemuk.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
KEGIATAN 1.2 12
Kejadian saling lepas
Dan tidak lepas
Gambar 1.2.1. Uang koin, dua dadu, dan spiner
Apakah Anda pernah perhatikan ketika seorang wasit melemparkan koinnya
pada setiap awal pertandingan sepak bola, atau spiner yang digunakan untuk
mengundi hadiah, atau pelemparan dadu ketika bermain ular tangga ? Dari peristiwa
- peristiwa tersebut, dapat diklasifikasi menjadi kejadian saling lepas dan kejadian
saling tidak lepas. Nah, sekarang dapatkah Anda klasifikasikan manakah yang
termasuk kejadian saling lepas dan kejadian tidak lepas ?
AYO MEMAHAMI MASALAH
Masalah 2
Misalkan pada acara kegiatan arisan PKK di Desa Suka Maju biasanya dilakukan
pelambungan dua dadu sebanyak satu kali untuk menentukan anggota yang akan
mendapatkan uang arisan yang telah terkumpul.
Gambar 1.2.2. Dua dadu
Terdapat aturan dalam pelambungan dadu tersebut yaitu apabila ada anggota yang
mendapatkan jumlah mata dadu terbesar maka dia yang berhak untuk mendapatkan
uang tersebut. Jika pada saat pelambungan mata dadu yang dilakukan Bu Ani dan Bu
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
13
Ririn berturut – turut mendapatkan mata dadu berjumlah 11 dan 12, maka peluang
munculnya mata dadu berjumlah 11 atau 12 dapat didapat dengan cara :
Misalkan : = Kejadian muncul mata dadu berjumlah 11
= Kejadian muncul mata dadu berjumlah 12
Banyaknya ruang sampel keseluruhan adalah 36
( ) = 36
Tabel 1. Ruang sampel pelambungan dua dadu
Dadu II 1 2 34 5 6
Dadu I ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) ( 1, 3 ) ( 1, 4 ) ( 1, 5 ) ( 1, 6 )
1
2 ( 2, 1 ) ( 2, 2 ) ( 2, 3 ) ( 2, 4 ) ( 2, 5 ) ( 2, 6 )
3 ( 3, 1 ) ( 3, 2 ) ( 3, 3 ) ( 3, 4 ) ( 3, 5 ) ( 3, 6 )
4 ( 4, 1 ) ( 4, 2 ) ( 4, 3 ) ( 4, 4 ) ( 4, 5 ) ( 4, 6 )
5 ( 5, 1 ) ( 5, 2 ) ( 5, 3 ) ( 5, 4 ) ( 5, 5 ) ( 5, 6 )
6 ( 6, 1 ) ( 6, 2 ) ( 6, 3 ) ( 6, 4 ) ( 6, 5 ) ( 6, 6 )
Ruang sampel dari mata dadu yang berjumlah 11 ada 2, yaitu
= {(5,6), (6,5)}
Ruang sampel dari mata dadu yang berjumlah 12 ada 1, yaitu
= {(6,6)}
Sehingga peluang munculnya mata dadu 11 atau 12 adalah
( ∪ ) = ( ) + ( )
= 2+1
36 36
=3
36
=1
12
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
14
Masalah 3
Perhatika gambar berikut !
Gambar 1.2.3. Satu set kartu bridge
Terdapat 5 orang sedang bermain poker. Dalam permainan poker tersebut, digunakan
satu set kartu bridge tanpa joker. Apabila salah satu anggota akan mengambil satu
kartu secara acak, maka peluang terambilnya kartu diamond atau kartu bergambar
wajah didapat dengan cara :
Misalkan : M = Kejadian terambil kartu bergambar diamond
N = Kejadian terambil kartu bergambar wajah
Banyaknya ruang sampel keseluruhan adalah 36
( ) = 52
Banyak ruang sampel dari kartu bergambar diamond, yaitu
( ) = 13
Banyak ruang sampel dari kartu bergambar wajah, yaitu
( ) = 12
( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )
= 13 + 12 − 3
52 52 52
= 22
52
= 11
26
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
15
Analisislah istilah – istilah apa yang Anda dapatkan dari hasil pengamatan masalah 2
dan masalah 3 pada kotak di bawah ini.
AYO MENJELASKAN MASALAH
Setelah Anda melakukan pengamatan terhadap masalah 2 dan 3, maka sekarang
Anda dapat membuat pertanyaan agar Anda dapat mendefinisikan peluang kejadian
saling lepas dan tidak saling lepas. Berikut mungkin salah satu pertanyaan Anda,
adalah
1. Kejadian – kejadian seperti apakah yang dapat membentuk kejadian saling lepas
dan tidak saling lepas ?
2. Bagaimana cara menentukan peluang dari kejadian saling lepas dan tidak saling
lepas ?
Anda dapat menuliskan pertanyaan pada kotak dibawah ini.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
16
AYO MENYELESAIKAN MASALAH
Untuk menjawab semua pertanyaan yang telah Anda buat, pasti Anda memerlukan
informasi lebih agar dapat memahami peluang kejadian saling lepas dan kejadian
tidak saling lepas. Untuk itu, dibawah ini disediakan contoh soal berkaitan dengan
kejadian saling lepas dan tidak saling lepas, kemudian Anda diminta untuk
melengkapi beberapa kegiatan berikut.
Contoh Soal 1.4
Pada pelemparan dua buah dadu tentukanlah probabilitas munculnya muka dua dadu
dengan jumlah 7 atau 11.
Penyelesaian :
Misalkan : U = Kejadian muncul mata dadu yang berjumlah 7
V = Kejadian muncul mata dadu yang berjumlah 11
Peluang dari kejadian munculnya mata dadu berjumlah 5 atau mata dadu berjumlah 7
didapat dengan cara :
Banyaknya sampel keseluruhan adalah 36 → ( ) = 36
Sampel dari mata dadu yang berjumlah 7
= {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
Banyaknya sampel mata dadu yang berjumlah 7 → ( ) = 6
Sampel dari mata dadu yang berjumlah 11
= { }
Banyaknya sampel mata dadu yang berjumlah 7
( ) =
Sehingga peluang munculnya mata dadu 7 atau 11 adalah
( ∪ ) = ( ) + ( )
= …+…
36 36
=…
36
=…
…
Jadi, peluang munculnya mata dadu dengan jumlah 7 atau 11 pada pelemparan
dua dadu sebanyak satu kali secara bersamaan adalah ............
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
17
Kejadian ini merupakan kejadian saling lepas karena munculnya mata dadu yang
berjumlah 7 tidak mungkin bersamaan dengan munculnya mata dadu berjumlah 11
atau dapat dikatakan peluang kejadian ini tidak memiliki irisan satu sama lain. Untuk
membuktikan definisi ini, coba Anda ilustrasikan kejadian tersebut didalam diagram
Venn pada kotak dibawah ini.
Contoh Soal 1.5
Ardi memiliki sebuah dadu, kemudian dadu tersebut ditos sekali. Pada saat ditos
sekali dia mengharapkan mata dadu yang muncul yaitu mata dadu bilangan ganjil
atau mata dadu bilangan prima. Misalkan K adalah kejadian munculnya mata dadu
bilangan ganjil, sedangkan L adalah kejadian munculnya mata dadu bilangan prima,
maka tentukan peluang munculnya mata dadu bilangan ganjil atau mata dadu
bilangan prima
Penyelesaian :
Misalkan : K = Kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil
L = Kejadian muncul mata dadu bilangan prima
Peluang dari kejadian munculnya mata dadu bilangan ganjil atau mata dadu bilangan
prima didapat dengan cara :
Banyaknya sampel keseluruhan adalah 6
( ) = 6
Sampel dari mata dadu bilangan ganjil → = { }
Banyaknya sampel mata dadu bilangan ganjil → ( ) = ...................
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
18
Sampel dari mata dadu bilangan prima → = { }
Banyaknya sampel mata dadu bilangan prima → ( ) = .............
Sampel mata dadu bilangan ganjil yang juga merupakan sampel mata dadu
bilangan prima → ∩ = { }
Banyak sampel mata dadu bilangan ganjil yang juga merupakan sampel mata
dadu bilangan prima → ( ∩ ) = ..............
Sehingga diperoleh,
( ) = ( ) = … = …
( ) … …
( ) = … = …
……
( ∩ ) = … = … = …
………
( ∪ ) = ( ) + ( ) − ( ∩ )
=… + … − …
………
=…
…
Jadi, peluang dari munculnya mata dadu bilangan ganjil atau mata dadu bilangan
prima adalah ...............
Kejadian ini merupakan kejadian tidak saling lepas karena munculnya mata dadu
bilangan ganjil bersamaan dengan munculnya mata dadu bilangan prima atau dapat
dikatakan peluang kejadian ini memiliki irisan satu sama lain.
Untuk membuktikan definisi ini, coba Anda ilustrasikan kejadian didalam diagram
Venn pada kotak dibawah ini.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
19
Contoh Soal 1.6
Pada hari terakhir pendaftaran peserta didik baru tahun 2020 di SMAN 4 Jember
yang menerapkan sistem zonasi, seorang petugas Penerimaan Peserta Didik Baru
(PPDB) di SMAN 4 Jember sedang melakukan verifikasi berkas pendaftaran peserta
didik baru secara acak untuk diperiksa dari dua puluh berkas yang dianjukan oleh 15
lulusan SMP Negeri dan 5 lulusan SMP Swasta. Para pendaftar yang mengajukan
terdapat 7 pendaftar memiliki jarak rumah kurang dari 10 km dari sekolah, 5
pendaftar memiliki jarak rumah lebih dari 10 km, dan 8 pendaftar memiliki jarak
rumah 5 km dari sekolah. Tentukan kejadian saling lepas yang mungkin terjadi dan
hitunglah peluang dari kejadian saling lepas yang diperoleh !
Penyelesaian :
Misal :
T = Kejadian pendaftar lulusan SMP Negeri
U = ..........................................................................................................................
V = ..........................................................................................................................
W = Kejadian pendaftar yang memiliki jarak rumah lebih 10 km dari sekolah
X = ..........................................................................................................................
Kejadian I :
Pendaftar lulusan SMP Negeri atau lulusan SMP Swasta
Dinotasikan : ................................................
Kejadian ini merupakan kejadian saling lepas karena terpilihnya berkas
pendaftar lulusan SMP Negeri dengan lulusan SMP Swasta tidak mungkin terjadi
pada waktu yang sama. Peluang dari kejadian terpilihnya berkas pendaftar
lulusan SMP Negeri atau lulusan SMP Swasta didapat dengan cara :
( ∪ ) = ( ) + ( )
= …+…
40 40
=…
…
=…
…
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
20
Kejadian II :
Pendaftar .................................................... atau ...................................................
Dinotasikan : ∪
Kejadian ini merupakan kejadian saling lepas karena terpilihnya berkas
pendaftar yang memiliki jarak rumah kurang 10 km dari sekolah dengan
pendaftar yang memiliki jarak rumah lebih 10 km dari sekolah tidak mungkin
terjadi pada waktu yang sama. Peluang dari kejadian terpilihnya berkas pendaftar
yang memiliki jarak rumah kurang 10 km dari sekolah atau pendaftar yang
memiliki jarak rumah lebih 10 km dari sekolah didapat dengan cara :
( ∪ ) = ( ) + ( )
=…+…
40 40
=…
…
=…
…
Kejadian III :
Pendaftar .................................................... atau ...................................................
Dinotasikan : ................................................
Kejadian ini merupakan kejadian saling lepas karena ..........................................
................................................................................................................ ...........................
.................................................................................................................................
Peluang dari kejadian terpilihnya berkas pendaftar yang memiliki jarak rumah
lebih 10 km dari sekolah atau pendaftar memiliki jarak rumah 5 km dari sekolah
didapat dengan cara :
( . . .. ∪ . . . . ) = (… ) + (… )
=…+…
……
=…
…
=…
…
Kejadian IV :
Pendaftar .................................................... atau ...................................................
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
Dinotasikan : ................................................
21
AYO MENALAR
Dari kegiatan diatas, tuliskanlah kesimpulan yang Anda dapat tentang kejadian
saling lepas dan tidak saling lepas berdasarkan jawaban Anda dari kegiatan diatas
pada kotak dibawah ini.
AYO MENGOMUNISASIKAN
Komunikasikan jawaban Anda di depan kelas. Kemudian, diskusikan bersama teman
– teman dan guru untuk mendapatkan jawaban yang benar dan lengkap. Tuliskan
hasil diskusi pada kotak di bawah ini.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
22
AYO KITA INGAT
Gambar 1.2.4. Sebuah dadu
Pada hakikatnya, dalam sebuah eksprerimen, kadang – kadang kita temui ada
kejadian-kejadian yang tidak mungkin terjadi bersama (bersamaan waktu). Misalnya,
pada pelemparan sebuah dadu sebanyak satu kali, tidak mungkin sisi bermata dadu 4
dan sisi bermata dadu 5 muncul bersamaan. Kejadian – kejadian semacam ini
dinamakan kejadian yang saling lepas (mutually exclusive). Jika A dan B tidak
mungkin terjadi kedua – duanya sekaligus (bersamaan waktu), A dan B
dikatakan saling lepas.
Lain halnya dengan kejadian-kejadian pada contoh berikut. Pada pelemparan
sebuah dadu, mungkin saja terjadi muncul sisi dengan banyaknya mata dadu
ganjil sekaligus lebih dari 3. Kejadian-kejadian semacam ini, yang mungkin terjadi
bersamaan waktu (sekaligus), dinamakan kejadian yang tidak saling lepas (not
mutually exclusive). Jika A dan B mungkin terjadi kedua – duanya sekaligus
(bersamaan waktu), A dan B dikatakan tidak saling lepas.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
23
KEGIATAN 1.3 Kejadian saling bebas
Gambar 1.3.1. Satu set kartu bridge
Pernahkah Anda perhatikan kejadian pengambilan kartu bridge pada
permainan Poker ? Nah, pada permainan poker seseorang dapat mengambil sebuah
kartu secara acak dari satu set kartu bridge yang telah disediakan. Misalnya, kejadian
terambilnya kartu diamond yang tidak ada hubungannya dengan nomor kartu lain
(apakah 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K atau As). Dengan diketahuinya bahwa kartu
yang terambil adalah kartu diamond, kita tidak dapat menyimpulkan apa pun
mengenai kartu yang terambil. Nah, untuk lebih memahami permasalah tersebut mari
kita lebih lanjut belajar mengenai peluang kejadian saling bebas.
AYO MEMAHAMI MASALAH
Masalah 4
Perhatikan gambar berikut !
Gambar 1.3.2. Kelereng warna warni
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
24
Bayu memiliki sebuah kotak mainan yang berisi kelereng. Dalam kotak tersebut
terdapat 7 buah kelereng, 3 kelereng merah, 2 kelereng putih, dan 2 kelereng biru.
Dalam kotak tersebut Bayu akan mengambil dua kelereng secara bergantian. Satu
kelereng diambil, kemudian dikembalikan lagi. Setelah itu, Bayu mengambil satu
kelereng lagi. Berapakah peluang kejadian terambilnya kelereng putih pada
pengambilan pertama dan kelereng merah pada pengambilan kedua ?
Untuk menjawab permasalahan tersebut, perhatikanlah uraian di bawah ini,
kemudian isi bagian yang rumpang.
Misalkan : A = Kejadian muncul kelereng putih
B = Kejadian muncul kelereng merah
C = Kejadian muncul kelereng biru
Pertama, kita tentukan dulu banyaknya ruang sampelnya. Karena banyaknya
kelereng adalah 7 dan banyaknya bola yang akan diambil dalam setiap pengambilan
adalah 1, maka ruang sampelnya adalah ( ) = 17 = .......
Apa saja ruang sampelnya : .....................................................................................
Kedua, kita tentukan peluang kejadian kelereng putih pada pengambilan pertama.
Oleh karena banyaknya kelereng putih adalah 2 dan akan diambil 1 kelereng, maka
peluang kejadian kelereng putih adalah ( ) = 12 = …
( ) 7
Ketiga, kita tentukan peluang kejadian kelereng merah pada pengambilan kedua.
Kelereng pada pengambilan pertama akan dikembalikan lagi, sehingga ruang sampel
pada pengambilan kedua tidak berubah. Oleh karena banyaknya kelereng merah
adalah 3 dan akan diambil 1 kelereng, maka peluang kejadian kelereng putih adalah
( ) = 13 = …
( ) 7
Keempat, menentukan peluang kejadian pengambilan pertama dan pengambilan
kedua. Permasalahan ini menggunakan konjungsi “dan” sehingga kedua peluang
harus dikali untuk mencari hasilnya. Maka :
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
25
( ∩ ) = ( ) × ( )
= …+…
77
=…
…
Lalu bilamana kelereng pada pengambilan kelereng pertama tidak dikembalikan ?
(*Petunjuk: Jika tidak dikembalikan, maka ruang sampel pada pengambilan
kedua berkurang). Analisislah istilah – istilah apa yang Anda dapatkan dari hasil
pengamatan pada kotak di bawah ini.
AYO MENJELASKAN MASALAH
Setelah Anda melakukan pengamatan diatas, maka sekarang Anda dapat membuat
pertanyaan agar Anda dapat mendefinisikan peluang kejadian saling bebas. Berikut
mungkin salah satu pertanyaan Anda, adalah
1. Kejadian – kejadian seperti apakah yang dapat membentuk kejadian saling bebas?
2. Bagaimana cara menentukan peluang dari kejadian saling bebas ?
Anda dapat menuliskan pertanyaan pada kotak dibawah ini.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
26
AYO MENYELESAIKAN MASALAH
Untuk menjawab semua pertanyaan yang telah Anda buat, pasti Anda memerlukan
informasi lebih agar dapat memahami kejadian saling bebas dan menentukan rumus
peluang saling bebas. Untuk itu, dibawah ini disediakan contoh soal berkaitan
dengan kejadian saling bebas, kemudian Anda diminta untuk melengkapi beberapa
kegiatan berikut.
Contoh Soal 1.7
Sekeping mata uang dan sebuah dadu dilambungkan secara bersamaan sebanyak satu
kali. Berapa kali peluang munculnya angka (A) pada mata uang logam dan bilangan
genap pada mata dadu?
Penyelesaian :
Misalkan : M = Kejadian muncul angka (A) pada mata uang logam
N = Kejadian muncul bilangan genap pada mata dadu
Kejadian ini merupakan kejadian saling bebas karena munculnya mata dadu
bilangan genap tidak mempengaruhi kejadian munculnya angka (A) pada uang
logam.
Peluang dari kejadian munculnya mata dadu bilangan genap dan angka (A) pada
uang logam didapat dengan cara :
Tabel 2. Ruang sampel pelambungan sebuah dadu dengan uang logam
Uang Dadu 1 2 3 4 5 6
Logam ( 1, A ) ( 2, A ) ( 3, A ) ( 4, A ) ( 5, A ) ( 6, A )
A
G ( 1, G ) ( 2, G ) ( 3, G ) ( 4, G ) ( 5, G ) ( 6, G )
Ruang banyaknya sampel keseluruhan → ( ) = 12
Ruang sampel dari munculnya mata dadu bilangan genap , yaitu
= {(2, ), (2, ), (4, ), (4, ), (6, ), (6, )}
Banyaknya ruang sampel dari munculnya mata dadu bilangan genap, yaitu
( ) = 6
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
27
Sampel dari munculnya angka (A) pada uang logam
= { }
Banyaknya sampel dari munculnya angka (A) pada uang logam
( ) =
Sehingga peluang munculnya mata dadu bilangan genap dan angka (A) pada
mata uang logam adalah
( ∩ ) = ( ) × ( )
=…×…
12 12
= …×…
……
=…
…
Jadi, peluang munculnya angka (A) pada uang logam dan mata dadu bilangan
genap pada pelemparan sebuah dadu dan uang logam sebanyak satu kali secara
bersamaan adalah
Contoh Soal 1.8
Suatu hari Lala dan Lili sedang bermain monopoli. Pada permainan monopoli
tersebut terjadi pelambungan dua buah dadu secara bersama – sama . Terdapat aturan
dalam permainan ini yaitu tiap anggota diberi kesempatan untuk melambungkan
dadu secara bersamaan sebanyak dua kali. Berapakah peluang munculnya jumlah
mata dadu dengan jumlah 7 dan mata dadu dengan jumlah 11 pada permainan
monopoli tersebut ?
Penyelesaian :
Misalkan : 1 = Kejadian muncul jumlah 7 pada pada lambungan pertama
2 = Kejadian muncul jumlah 7 pada pada lambungan kedua
1 = Kejadian muncul jumlah 11 pada pada lambungan pertama
2 = Kejadian muncul jumlah 11 pada pada lambungan kedua
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
28
Kejadian ini merupakan kejadian saling bebas karena ...........................................
...................................................................................................................................
Peluang dari kejadian munculnya mata dadu dengan jumlah 7 dan mata dadu
dengan jumlah 11 pada dua kali lambungan didapat dengan cara :
( 1 ∩ 2) ∪ ( 1 ∩ 2) = ( 1) ( 2) + ( 2) ( 1)
=(…) ( … )+( … ) (…)
6 18 18 6
= (…)+(…)
……
=…
…
=…
…
Jadi, peluang dari kejadian munculnya mata dadu dengan jumlah 7 dan mata dadu
dengan jumlah 11 pada dua kali lambungan adalah .............
AYO MENALAR
Dari kegiatan diatas, tuliskanlah kesimpulan yang Anda dapat tentang kejadian
saling bebas berdasarkan jawaban Anda dari kegiatan diatas pada kotak dibawah ini.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
29
AYO MENGOMUNISASIKAN
Komunikasikan jawaban Anda di depan kelas. Kemudian, diskusikan bersama teman
– teman dan guru untuk mendapatkan jawaban yang benar dan lengkap. Tuliskan
hasil diskusi pada kotak di bawah ini.
AYO KITA INGAT
Gambar 1.3.3. Satu set kartu bridge dan dadu
Pada dasarnya, dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya kejadian
yang satu tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian lain. Sebagai
contoh ketika terjadi pelemparan koin sebanyak dua kali, hasil lemparan pertama
tidak akan mempengaruhi hasil lemparan kedua. Contoh lainnya yaitu ketika terjadi
pengambilan dua buah kartu dari satu set kartu bridge (52 kartu), kejadian
mendapatkan raja (K) pada pengambilan kartu pertama dan kejadian mendapatkan
kartu diamond pada pengambilan kartu kedua adalah kejadian tidak saling bebas.
Namun, peluang pada kartu kedua berubah setelah kartu pertama diambil. Nah,
kedua kejadian diatas akan menjadi kejadian saling bebas jika setelah mengambil
kartu yang pertama, kartu tersebut dikembalikan ke set semula.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
30
KEGIATAN 1.4 Kejadian BERSYARAT
Gambar 1.4.1. Dadu bersisi enam
Coba Anda perhatikan pada kejadian percobaan pelemparan dadu bersisi
enam sebanyak satu kali, akan ditentukan kejadian munculnya mata dadu angka
ganjil jika disyaratkan kejadian munculnya mata dadu prima terlebih dulu. Mula-
mula ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6}. Dengan syarat bahwa kejadian
munculnya mata dadu angka prima terjadi dulu, ruang sampelnya menjadi {2, 3, 5}.
Dalam ruang sampel yang baru tersebut, kejadian munculnya mata dadu angka ganjil
adalah {3, 5}. Kejadian ini disebut kejadian bersyarat. Dari permasalahan tersebut
dapatkah Anda mendefiniskan apa itu kejadian bersyarat ?
AYO MEMAHAMI MASALAH
Masalah 5
Peerhatikan gambar berikut !
Gambar 1.4.2. Sebuah dadu
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
31
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam sebanyak satu kali, akan
ditentukan peluang kejadian munculnya mata dadu angka ganjil jika disyaratkan
kejadian munculnya mata dadu prima terlebih dulu, maka didapat dengan cara :
Misalkan : = Kejadian muncul mata dadu prima
= Kejadian muncul mata dadu angka ganjil
Ruang sampel dari keseluruhan
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Banyaknya ruang sampel keseluruhan adalah 6
( ) = 6
Ruang sampel dari mata dadu prima, yaitu
= { 2, 3, 5 }
Banyaknya ruang sampel dari mata dadu prima, yaitu
( ) = 3
Ruang sampel dari mata dadu angka ganjil, yaitu
= { 1, 3, 5 }
Banyaknya ruang sampel dari mata dadu angka ganjil, yaitu
( ) = 3
Kejadian ini merupakan kejadian bersyarat karena kejadian munculnya suatu
kejadian A jika disyaratkan kejadian munculnya kejadian B terlebih dahulu
dapat ditulis A B . Sebaliknya, jika kejadian B dengan syarat kejadian A
terjadi lebih dulu, maka ditulis B A
Ruang sampel kejadian bersyarat A B , yaitu
A B 3, 5 ( Mengapa ? )
Ruang sampel kejadian bersyarat A B , yaitu
( | ) = 2
Sehingga peluang munculnya mata dadu ganjil dengan syarat mata dadu prima
diketahui terlebih dahulu adalah
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
32
( ∩ ) = ( ) × ( | )
= 3×2
63
=2
6
=1
3
Analisislah istilah – istilah apa yang Anda dapatkan dari hasil pengamatan pada
kotak di bawah ini.
AYO MENJELASKAN MASALAH
Setelah Anda melakukan pengamatan diatas, maka sekarang Anda dapat membuat
pertanyaan agar Anda dapat mendefinisikan peluang kejadian bersyarat. Berikut
mungkin salah satu pertanyaan Anda, adalah
1. Kejadian – kejadian seperti apakah yang dapat membentuk kejadian bersyarat ?
2. Bagaimana cara menentukan peluang dari kejadian bersyarat ?
Anda dapat menuliskan pertanyaan pada kotak dibawah ini.
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
33
AYO MENYELESAIKAN MASALAH
Untuk menjawab semua pertanyaan yang telah Anda buat, pasti Anda memerlukan
informasi lebih agar dapat memahami kejadian saling bersyarat dan menentukan
rumus peluang bersyarat. Untuk itu, dibawah ini disediakan contoh soal berkaitan
dengan kejadian bersyarat, kemudian Anda diminta untuk melengkapi beberapa
kegiatan berikut.
Contoh Soal 1.9
Sebuah kotak mainan berisi 4 kelereng biru dan 8 kelereng kuning. Dari kantong
tersebut akan diambil secara acak 2 kelereng tanpa pengembalian. Jika diasumsikan
bahwa peluang setiap kelereng terambil mempunyai peluang yang sama, berapa
peluang bahwa kedua kelerang yang terambil berwarna kuning ?
Penyelesaian :
Misalkan : 1 = Kejadian terambil kelereng kuning pada pengambilan pertama
2 = Kejadian terambil kelereng kuning pada pengambilan kedua
Kejadian ini merupakan kejadian bersyarat karena ....................................
..................................................................................................................................
Apabila pada pengambilan pertama telah diketahui kelereng kuning, maka dalam
kantong tersebut tersisa ialah ....... kelereng kuning dan ...... kelereng biru,
sehingga ( 2| 1 ) = …
11
Sedangkan, peluang kelereng kuning pada pengambilan pertama adalah
( 1 ) = …
12
Jadi, peluang terpilihnya dua kelerang warna kuning adalah
( 1 ∩ 2 ) = ( 1) × ( 2 | 1)
= …×…
12 11
=…
…
=…
…
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII
34
Contoh Soal 1.10
Pada sebuah kotak berisi bola hitam dan bola putih, dan setiap bola diberi tanda X
atau tanda Y. Berikut
Tabel 3. Komposisi bola – bola yang ada dalam kotak
Tanda Hitam (B) Putih (W) Total
X5 3 8
Y1 2 3
Total 6 5 11
Akan dipilih satu bola secara acak dari kotak tersebut. Tentukan peluang dari
kejadian terambilnya bola hitam bertanda X.
Penyelesaian :
Kejadian ini merupakan kejadian bersyarat karena ...............................................
..................................................................................................................................
Terdapat ....... bertanda X dari total 11 bola, sehingga peluangnya adalah
…
( ) = …
Dari ....... bola bertanda X terdapat ....... warna hitam, artinya
( ∩ ) =
Sehingga, peluang terambil bola bertanda X apabila terdapat bola hitam adalah
( ∩ ) = …
…
Peluang terambil bola warna hitam (B) dengan syarat bertanda X adalah
( ∩ ) = ( ) × ( | )
= …×…
11 11
=…
…
Jadi, peluang dari kejadian terambilnya bola hitam bertanda X adalah .............
PELUANG KEJADIAN MAJEMUK SMA/SMK/MA KELAS XII