Buku Siswa Matematika - Matriks

Kata Pengantar

SMA/SMK/MA

KELAS
XI

Lembar Pengesahan

Hak Cipta

MILIK UNIVERSITAS JEMBER

MILIK TUIDNAIVKERDSIIPTAESRJJUEAMLBBEERLIKAN

TIDAK DIPERDAGANGKAN

Matematika

DenBDgaeEnnLPgAeannJdAPideRiknadMnekAMaTattaEenmMRaAteiakTalIisKRteiAcaMlisatitkhIenmdoaetnicssia

Education
Untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Sekolah
Menengah Kejuruan / Madrasah Aliyah

Penulis i
Girlyas Rasta Yunta
(180210101052)

Pembimbing :
Arif Fatahillah, S.Pd., M.Si.
Saddam Hussen, S.Pd., M.Pd

Editor : Girlyas Rasta Yunta
Ukuran Buku : 21 cm x 29, 7 cm

Indonesia, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan – Universitas Jember
Jember : Universitas Jember, 2021

Kata Pengantar

Syukur alhamdulillah saya panjatkan kehadirat Allah swt., karena hidayah dan
inayah-Nya penulisan buku siswa ini dapat terselesaikan dengan baik dan lancar.
Sebelumnya, saya mengucapkan terima kasih terhadap semua pihak yang membantu
penulisan buku siswa ini.

Buku siswa ini merupakan bahan ajar untuk mata pelajaran Matematika dan sebagai
pegangan siswa pada jenjang SMA/MA/SMK/MAK kelas XI semester ganjil
berdasarkan Kurikulum 2013 yang disempurnakan dengan tujuan untuk membantu
siswa dalam proses belajar Matematika.

Buku siswa ini membahas tentang materi yang diajarkan pada siswa kelas XI.
Dengan memanfaatkan Pendidikan Matematika Realistik Indonesia, buku siswa ini
sangatlah mudah untuk dipahami siswa kelas XI. Selain itu, beberapa latihan soal telah
disediakan agar siswa semakin paham tentang materi yang telah didapatkan.

Sesuai dengan tujuan dalam pembelajaran matematika, siswa diharapkan dapat
memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antar konsep, dan
mengaplikasikannya untuk memecahkan masalah. Siswa juga diharapkan mampu
menggunakan penalaran, mengkomunikasikan gagasan dengan berbagai perangkat
matematika, serta memiliki sikap menghargai matematika dalam kehidupan.

Terakhir saya ucapkan, selamat belajar dan semoga sukses.

Penulis

ii

Petunjuk Penggunaan

Pokok bahasan

Manfaat yang akan
diperoleh siswa setelah

mempelajari materi

Istilah penting dalam
materi

Kompetensi dasar
matematika kelas XI sesuai

kurikulum 2013

Berisi poin-poin materi
yang akan dipelajari

iii

Petunjuk Penggunaan

Judul Sub Bab

masalah kontekstual yang
digunakan untuk

mempelajari materi

Berisi solusi dari masalah/contoh
yang disajikan

Berisi latihan untuk
memeriksa pemahaman

siswa

Pengertian dari
suatu materi

iv

Petunjuk Penggunan

Berisi conoth soal untuk Berisi soal untuk
memperjelas materi//konsep memperdalam
pemahaman
Berisi soal yang berfungsi
sebagai evaluasi dari materi

yang telah dipelajari

v

Daftar Isi

Lembar Pengesahan i
Kata pengantar ii
Petunjuk Penggunaan iii
Daftar Isi vi
BAB 3. Matriks vii
Peta Konsep viii
Tokoh Matematika ix
Materi Pembelajaran 1
1
3.1 Membangun Konsep Matriks 7
3.2 Jenis-Jenis Matriks 10
3.3 Kesamaan Dua Matriks 12
3.4 Operasi Pada Matriks 25
3.5 Determinan dan Invers Matriks 44
PENUTUP 45
DAFTAR PUSTAKA

vi

BAB 3.

Matriks

Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar

3.15 Menerapkan operasi Melalui pembelajaran materi
matriks dalam menyelesaikan matriks, siswa memperoleh
masalah yang berkaitan dengan pengalaman belajar :
matriks  Mengamati secara cermat

4.15 Menyelesaikan masalah aturan susunan objek.
yang berkaitan dengan matriks
 Berpiki mandiri mengajukan ide
3.16 Menentukan nilai secara terbuka dan bebas.
determinan, invers dan tranpos
pada ordo 2 x 2 dan nilai  Menemukan hubungan—
determinan dan transpos pada hubungan diantara objek—
ordo 3 x 3 objek.

4.16 Menyelesikan masalah yang  Melattih berpikir kritis dan
berkaitan dengan determinan, kreatif.
invers dan tranpose pada ordo 2
x 2 serta nilai determiann dan  Bekerjasama menyelesaikan
tranpos pada ordo 3 x 3 masa-lah.

 Entry Matriks Kata Kunci
 Ordo Matriks
 Operasi

Matriks
 Transpose
 Determinan
 Invers
 Identitas

vii

Peta Konsep

Sistem
Persamaan Linier

Matriks

Operasi Relasi Unsur-unsur

Pengurangan Kesaman Matriks Elemen Baris Elemen Kolom
Penjumlahan
Perkalian

Determinan

Invers

viii

Tokoh
Matematika

Arthur Cayley

16 Agustus 1821—26 Januari 1895

Arthur Cayley lahir pada tanggal 16 Agustus 1821 di
Richmond, Lon-don, Inggris. Beliau merupakan ahli matematika yang
pertama kali menemukan rumus matriks. Arthur Cayley
mengatakan bahwa, setiap matriks bujur sangkar dengan elemen
real maupun kompleks memenuhi persamaan karakteristiknya. Hal
ini dikemukakan ole Arthur Cayley pad atahun 1858. Ia hanya
membuktikan hingga matriks berorodo 3 x 3.

ix

1

Materi Pembelajaran

3.1. CMobeamkbamanugpuenrhKatoiknasnepsumsuantarnikbsenda-benda di sekitar kamu! Sebagai contoh,

susunan keramik lantai, susunan buku di lemari, posisi siswa berbaris di lapangan, dan
lain-lain.

z
Gambar 3. 1. Susunan buku di lemari
Sumber: https://pixabay.com/

Tentu kamu dapat melihat susunan tersebut dapat berupa pola baris atau kolom,
bukan? Bentuk susunan berupa baris dan kolom akan melahirkan konsep matriks yang
akan kita pelajari. Sebagai contoh lainnya adalah susunan angka dalam bentuk tabel.
Pada tabel terdapat baris atau kolom, banyak baris atau kolom bergantung pada ukuran
tabel tersebut. Ini sudah merupakan gambaran dari sebuah matriks. Agar kamu dapat
segera menemukan konsepnya, mari perhatikan beberapa gambaran dan permasalahan
berikut ini! Sebagai gambaran awal mengenai matriks, mari cermati uraian berikut.
Diketahui harga tiket masuk suatu museum berikut ini.

2

Anak-Anak Tabel 3.1: Harga Tiket Bioskop Hari
Dewasa Biasa
Hari
Minggu/ Rp. 7.500,00
Rp. 15.000,00
Libur
Rp. 15.000,00
Rp. 30.000,00

Data tersebut, dapat disajikan kembali tanpa harus di dalam tabel seperti berikut:

15.000 7.500  15.000 7.500 
30.000 15.000 atau  
 30.000 15.000 

Bentuk penulisan tersebut, menunjukkan terdapat 2 baris dan dua kolom.

Masalah 3.1

Seorang wisatawan lokal hendak berlibur ke beberapa tempat wisata
yang ada di Pulau Jawa. Untuk memaksimalkan waktu liburan, dia mencatat
jarak antara kota-kota tersebut sebagai berikut.

Surabaya – Yogyakarta 325 km

Yogyakarta – Purwekerto 170 km

Surabaya – Purwekerto 483 km

Dapatkah kamu membuat susunan jarak antar kota tujuan wisata tersebut jika
wisatawan tersebut memulai perjalanannya dari Surabaya! Kemudian berikan
makna setiap angka dalam susunan tersebut.

3

Alternatif Penyelesaian
Wisatawan tersebut akan memulai perjalanannya dari Surabaya ke kota-kota wisata

di Pulau Jawa. Jarak antarkota tujuan wisata dituliskan sebagai berikut.

Tabel 3.2: Jarak Antarkota

Surabaya Yogyakarta Purwokerto

Surabaya 0 325 483

Yogyakarta 325 0 170

Purwokerto 483 170 0

Berdasarkan tampilan di atas, dapat dilihat jarak antarkota tujuan wisata dengan

membaca data dari baris ke kolom. Susunan tersebut dapat juga dituliskan sebagai

 0 325 483
325 
0 170 

483 170 0 

Susunan jarak antarkota di Pulau Jawa tersebut terdiri dari 3 baris dan 3 kolom.

Kegiatan 3.1
Agar lebih memahami matriks mari lakukan kegiatan berikut ini.

1. Bentuklah kelompok yang masing-masing beranggotakan 3-4 orang.
2. Wawancaralah setiap anggota kelompok untuk mendapatkan informasi nilai siswa

terhadap tiga mata pelajaran yang diminatinya.
3. Sajikan data yang diperoleh dalam bentuk tabel seperti di bawah ini.
4. Sajikan pula data tersebut dalam bentuk matriks dan jelaskan.

Nama Siswa Pelajaran P Nilai Siswa Pelajaran R
…… ……
Siswa X …… Pelajaran Q ……
Siswa Y …… …… ……
Siswa Z ……
……

4

Definisi 3.1

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan
kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan
bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”.

Matriks diberi nama dengan menggunakan huruf kapital, seperti A, B, C, dan lain-
lain. Selain memiliki baris dan kolom, matriks juga memiliki entry yaitu setiap
anggota dalam matriks tersebut. Entry suatu matriks dinotasikan dengan huruf kecil
seperti a, b, c, ... dan biasanya disesuaikan dengan nama matriksnya.

Masalah 3.2

Pemilik toko klontong ingin menata koleksi barang yang tersedia.
Ubahlah bentuk susunan barang di took klontong di bawah ini menjadi
matriks dan tentukan entry-entrynya.

KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI
Mie Snack Soda

50 item 75 item 26 item

KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI
Pewangi Sabun Detergen

11 item 15 item 7 item

KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI
Obat Masker Koyo

28 item 4 item 3 item

Gambar 3.2: Susunan barang pada rak supermarket

5

Alternatif Penyelesaian
Gambar di atas mendeskripsikan susunan barang-barang pada rak toko klontong
yang terdiri atas tiga baris dan tiga kolom. Bentuk matriks dari susunan barang
tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

50 75 26  baris1
R  11 15 
7   baris 2

28 4 3   baris 3



kolom1  kolom3
kolom 2

Misalkan pada matriks R di atas, entry-entrynya dinyatakan dengan r, dan
umumnya entry-entry dari suatu matriks diberi tanda indeks, misalnya rij yang artinya
entry dari matriks A yang terletak pada baris i dan kolom j. Maka koleksi mie yang
terdapat pada baris ke-1, kolom ke-1 dapat dinyatakan r11  50 . Koleksi barang yang
terdapat pada baris ke-2, kolom ke-3 adalah koleksi detergen yang dinyatakan pula
dengan r23  7 dan untuk selanjutnya entry matriks R dapat dinyatakan dengan:

r11  50 r21  11 r31  28
r12  75 r22  15 r32  4
r13  26 r23  7 r33  3

Maka entry matriks A dapat dinyatakan sebagai berikut:

r11 r12 r13 
R  r21 
r22 r23 

r31 r32 r33 

6

Secara induktif, entry matriks sebelumnya dapat dibentuk menjadi:

 r11 r12 r13 r1n   baris ke-1
 
 r21 r22 r23 r2n   baris ke-2

R   r31 r32 r33 r3n   baris ke-3
 
 
rm1 rm2 rm3 rmn   baris ke-m



kolom ke-n

rij : entry matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j dengan, i = 1, 2, 3, .., m;
dan j = 1, 2, 3, …, n.

m n : menyatakan ordo matriks R dengan m adalah banyak baris dan n
banyak kolom matriks R.

Contoh 3.1

Diah adalah seorang siswa kelas X SMK Suka Maju, ia akan menyusun
anggota keluarganya berdasarkan umur dalam bentuk matriks. Anggota
keluarganya terdiri dari Ayah (46 tahun), Ibu (43 tahun), Lestari (22 tahun),
Syarif (19 tahun), dan Asya (12 tahun). Adapun usia Diah adalah 14 tahun.

Berbekal dengan materi yang dia pelajari di sekolah dan kesungguhan
dia dalam berlatih, dia mampu mengkreasikan susunan matriks yang
merepresentasikan umur anggota keluarga Diah sebagai berikut (berdasarkan
urutan umur dalam keluarga Diah).

i. Alternatif susunan I

D23  46 43 22
19 14 
12 

Matriks D23 adalah matriks persegi panjang dengan berordo 2 × 3.

7

ii. Alternatif susunan I

46 43
D32  22 
19 
14
12

Matriks D32 adalah matriks persegi panjang berordo 3 × 2.
Dapatkah kamu menciptakan susunan matriks, minimal dua cara dengan cara yang
berbeda? Kamu perlu memikirkan cara lain yang lebih kreatif!

3.2. Jenis-Jenis Matriks

Contoh 3.1 sebelumnya menyajikan beberapa variasi ordo matriks yang
merepresentasikan umur anggota keluarga Diah. Secara detail, berikut ini akan
disajikan jenis-jenis matriks.

a. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang terdiri atas satu baris saja. Biasanya, ordo

matriks seperti ini adalah 1 × n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut.

D12  46 33
D13  22 19 12

matriks baris berordo 1 × 2 merepresentasikan umur orang tua Diah sedangkan

matriks berordo 1 × 3 merepresentasikan umur saudara Diah

b. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Biasanya, ordo

matriks seperti ini adalah m × 1, dengan m banyak kolom pada matriks tersebut.

43
22
D31  14  , matriks kolom berordo 3 × 1 yang merepresentasikan umur semua

12 


wanita pada keluarga Diah.

8

c. Matriks Persegi Panjang
Matriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan
banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo m × n.

D23  46 43 22 , matriks persegi panjang berordo 2 × 3 yang
19 14 
12 

merepresentasikan umur anggota keluarga Diah.

d. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama.

Matriks ini memiliki ordo n × n.

D22  46 43
22 19 , matriks persegi berordo 2 × 2 yang merepresentasikan umur

orang tua Diah dan kedua kakaknya.
Tinjaulah matriks persegi berordo 4 × 4 di bawah ini.

e11 e12 e13 e14 
e21 
E44  ee3411 e22 e23 e24 
e32 e33
e42 e43 e34 
e44 


Diagonal utama suatu matrik adalah semua entry matriks yang terletak pada garis
diagonal dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah. Diagonal samping matriks

adalah semua entry matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut kiri
bawah ke sudut kanan atas.

e. Matriks Segitiga
Mari kita perhatikan matriks I berordo 4 × 4. Terdapat pola susunan pada suatu

matriks persegi, misalnya:

2 3 7 12 25 0 0 0
   11 0 0
 0 1 4 8   7 23 9 0
I 44   0 0 9 atau J 44   6
13
 11 21 5 14 1
 0 0 0

Matriks persegi yang berpola seperti matriks I atau J disebut matriks segitiga.

9

Jadi, matriks segitiga merupakan suatu matriks persegi berordo n × n dengan
entry-entry matriks di bawah atau di atas diagonal utama semuanya bernilai nol.
f. Matriks Diagonal
Dengan memperhatikan konsep pada matriks segitiga di atas, jika kita cermati
kombinasi pola tersebut pada suatu matriks pesegi, seperti matriks berikut ini:

 F  66 0
 0 99

1 0 0
 G  0 2 0

0 0 3

11 0 0 0 0 
 
 0 22 0 0 0 

 H 0 0 0 0 0
 
 0 0 0 44 0 

 0 0 0 0 55

maka matriks persegi dengan pola “semua entrynya bernilai nol, kecuali entry

diagonal utama tidak semua nol” disebut matriks diagonal.

g. Matriks Identitas
Mari kita cermati kembali matriks persegi dengan pola seperti matriks berikut ini.

 I 22  1 0
0 1

1 0 0
 I33  0 1 0

0 0 1

Cermati pola susunan angka 1 dan 0 pada ketiga matriks persegi di atas. Jika pola
tersebut terdapat suatu matriks persegi, yaitu semua entry diagonal utama semua
bernilai positif 1, disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan sebagai I
berordo n × n.

10

h. Matriks Nol

Jika entry suatu matriks semuanya bernilai nol, seperti berikut:

O22  0 0 atau O13  0 0 0 atau O24  0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

maka disebut matriks nol

3.3. Kesamaan Dua Matriks

Perhatikan untuk matriks berikut ini:

a. 19 21  19 21
17 11 17 11

b. 2 11 43    22 64
 13  25 
 5 
13

Kedua matriks pada contoh a dan b adalah sama. Entry masing-masing matriks juga
sama, bukan? Bagaimana dengan ordo kedua matriks? Dari kedua contoh di atas
tampak bahwa entry-entry seletak dari kedua matriks yang berordo sama mempunyai
nilai yang sama. Nah bagaimana untuk matriks berikut ini?

4 9 4 5
5 8 dan 9 8

serta

8 0 0  10 0 0
0 9   0
0  dan  0 9

0 0 10  0 0 8

Menurut kamu apakah matriks-matrik di atas sama? Apakah kedua matriks
memiliki ordo yang sama? Apakah entry-entry seletak dari kedua matriks mempunyai
nilai yang sama? Jika kalian telah memahami kasus di atas maka kita dapat
menyatakan kesamaan matriks jika memenuhi sifat berikut ini.

11

Definisi 3.2

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika:

i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.

ii. Setiap entry yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai

nilai yang sama, (untuk semua nilai i dan j).

Untuk lebih mendalami kesamaan matrik mari perhatikan contoh berikut.
Contoh 3.2
Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi matriks At  B, dengan

2a  4 3b b  5 3a  c 4
A  d  2a 2c  3 6 7
7  dan B 
 4

Alternatif Penyelesaian

Karena A merupakan matriks berordo 2 × 3, maka At merupakan matriks berordo 2
× 3. Matriks B merupakan matriks berordo 2 × 3. Oleh karena itu berlaku kesamaan
matriks At  B .

Dengan At  2a  4 d  2a 4 At  B dapat dituliskan:
 3b 2c 7 . Akibatnya, kesamaan

2a  4 d  2a 4  b  5 3a  c 4
2c 7  3 6 7
 3b 


Dari kesamaan di atas, kita temukan nilai a, b, c, dan d sebagai berikut.

 3b = 3 maka b = 1, dan 2c = 6 maka c = 3.
 2a – 4 = –4 maka a = 0.
 Karena a = 0 maka d = –3.

Jadi, a = 0, b = 1, c = 3, dan d = –3.

12

3.3. Operasi Pada Matriks

3.4.1 Operasi Penjumlahan Matriks

Masalah 3.3

Toko kue berkonsep waralaba ingin mengembangkan usaha di dua kota yang

berbeda. Manajer produksi ingin mendapatkan data biaya yang akan

diperlukan. Biaya untuk masing-masing kue seperti pada tabel berikut.

Tabel Biaya Toko di Kota P (dalam Rupiah)

Bolu Tart

Bahan Kue 1.500.000 1.800.000

Chef 2.500.000 3.000.000

Tabel Biaya Toko di Kota Q (dalam Rupiah)

Bolu Tart

Bahan Kue 1.700.000 2.000.000

Chef 3.000.000 3.300.000

Berapa total biaya yang diperlukan oleh kedua toko kue?

Alternatif Penyelesaian

Jika kita misalkan matriks biaya di Kota P, sebagai matriks P dan matriks

biaya di Kota Q sebagai matriks Q, maka matriks biaya kedua toko disajikan

sebagai berikut.

P  1.500.000 1.800.000 dan Q  1.700.000 2.000.000
2.500.000 3.000.000 3.000.000 3.300.000

Total biaya yang dikeluarkan oleh untuk kedua toko kue tersebut dapat

diperoleh sebagai berikut.
 Total biaya bahan untuk bolu = 1.500.000 + 1.700.000 = 3.200.000
 Total biaya bahan untuk tart = 1.800.000 + 2.000.000 = 3.800.000

13

 Total biaya chef untuk bolu = 2.500.000 + 3.000.000 = 5.500.000
 Total biaya chef untuk tart = 3.000.000 + 3.300.000 = 6.300.000

Keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks adalah sebagai

berikut.

Total Biaya Untuk Kedua Toko (dalam Rupiah)

Bolu Tart

Bahan Kue 3.200.000 3.800.000

Chef 5.500.000 6.300.000

Total biaya pada tabel di atas dapat ditentukan dengan menjumlahkan matriks

P dan Q.

P  Q  1.500.000 1.800.000  1.700.000 2.000.000
2.500.000 3.000.000 3.000.000 3.300.000

3.200.000 3.800.000
= 5.500.000 6.300.000

Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan diakibatkan

kedua matriks biaya memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2. Seandainya ordo

kedua matriks biaya tersebut berbeda, kita tidak dapat melakukan operasi

penjumlahan terhadap kedua matriks.

Nah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat didefinisikan penjumlahan

dua matriks dalam konteks matematis.

Definisi 3.3

Misalkan A dan B adalah matriks berordo m × n dengan entry-entry
Matriks C adalah jumlah matriks A dan matriks B, ditulis C = A +

B, apabila matriks C juga berordo m × n dengan entry-entry ditentukan oleh:
(untuk semua i dan j).

14

Catatan: Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika memiliki ordo yang sama
dan ordo matriks hasil penjumlahan dua matriks adalah sama dengan ordo
matriks yang dijumlahkan.

Perhatikan contoh-contoh berikut untuk lebih memahami penjumlahan matriks.

Contoh 3.3

1. Jika X  1 4 3 dan Y  2 7 6
5 1 8 1 3 5 , maka:

X  Y  1 4 3  2 7 6
5 1 8 1 3 5

 3 11 9
4 4 13

8 5 6
2. Diketahui matriks M  11 9 
7  . kita tunjukkan bahwa M + O = M

12 13 10

dan O + M = M!

Matriks O dalam hal ini adalah matriks nol berordo 3 × 3, karena matriks

tersebut akan dijumlahkan dengan matriks M berordo 3 × 3 juga.

 8 5 6  0 0 0 0 0 0  8 5 6 
M  O  11 9  0 0 O  M  0 0  11 
7   0 0 9 7 

12 13 10 0 0 0 0 0 0 12 13 10

80 50 60   08 05 06 
 11 0   0 11 0  9 
90 7  0  0  7 

12  0 13  0 10  0 0 12 0 13 0 10

8 5 6 8 5 6
 11 9   11 9 
7   M 7   M

12 13 10 12 13 10

3.4.2 Operasi Pengurangan Matriks
Sebagai gambaran awal mengenai operasi pengurangan dua matriks, mari

kita cermati contoh masalah berikut ini.

15

Masalah 3.4

Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan

penyusutan mesin selama 1 tahun yang dinilai sama dengan 10% dari

harga perolehan sebagai berikut:

Jenis Aktiva Harga Perolehan Penyusutan Tahun I Harga Baku

(Rp) (Rp) (Rp)

Mesin A 33.000.000 3.300.000

Mesin B 76.000.000 7.600.000

Mesin C 41.000.000 4.100.000

Lengkapilah tabel tersebut dengan menggunakan matriks!

Alternatif Penyelesaian

Misalkan:
33.000.000

Harga perolehan merupakan matriks U  76.000.000
41.000.000
3.300.000

Penyusutan tahun pertama merupakan matriks V  7.600.000
4.100.000

Untuk mencari harga baku pada tabel tersebut adalah
33.000.000 3.300.000 29.700.000

U V  76.000.000  7.600.000  68.400.000
41.000.000 4.100.000 36.900.000

Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita terapkan untuk
memahami konsep pengurangan matriks U dengan matriks V.

16

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan
matriks A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A
dengan matriks –B. Ingat, Matriks –B adalah lawan dari matriks B. Ditulis:

A – B = A + (–B).
Matriks dalam kurung merupakan matriks yang entrynya berlawanan
dengan setiap entry yang bersesuaian matriks B.

Contoh 3.4

Mari kita cermati contoh berikut ini.

Diketahui matriks-matriks K, L dan M sebagai berikut:

1 3   2 4  2 3 5
K  5     13
7  , L   6 8  , dan M   7 11

9 11 10 12 17 19 23

Jika ada, tentukan pengurangan-pengurangan matriks berikut ini.

a. L-K

b. L-M

c. K-L

Alternatif Penyelesaian

Matriks K dan L memiliki ordo yang sama, yaitu berordo 3 × 2, sedangkan

matriks M berordo 3 × 3. Oleh karena itu, menurut aturan pengurangan dua

matriks, hanya bagian (a) saja yang dapat ditentukan, (b) dan (c) tidak dapat

dioperasikan, (kenapa)?

 2 4  1 3  1 1
  5  1 1
Jadi, LK   6 8   7  

10 12 9 11 1 1

17

Dari pemahaman contoh sebelumnya, pengurangan dua matriks dapat juga
dilakukan dengan mengurangkan langsung entry-entry yang seletak dari kedua
matriks tersebut, seperti yang berlaku pada penjumlahan dua matriks, yaitu:

A  B  [aij ]  bij  .
3.4.3 Operasi Perkalian Skalar pada Matriks

Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar.
Oleh karena itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai
perkalian skalar dengan matriks.

Sebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A – B = A + (–B), (–B)
dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan –1 dengan semua entry matriks B.
Artinya, matriks (–B) dapat kita tulis sebagai:

–B = k.B, dengan k = –1
Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut.
Misalkan A adalah suatu matriks berordo m × n dengan entry-entry aij dan k
adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k
terhadap matriks A, dinotasikan C = k.A, bila matriks C berordo m × n dengan
entry-entrynya ditentukan oleh:

cij  k.aij (untuk semua i dan j).

Contoh 3.5

4 9 3 4 39 12 27
a. Jika G  1 7  7  21
maka 3.G   31 3   3 9 
8
3 38 33 24

4 8 4  14 1 8 14 
 4 4 4 
 
  1 .U  1 12 1 16 1 8 
b. Jika U   12 16 8  maka 4   4 4 4 

13 19 10  1   13 1  19 1  
 4 4
 4  10 

18


 1 2 1
 
  3 4 2 

 13  19  5 
 4 4 2 

c. Jika S  48 60 72
12 24 36

1  48 1  60 1  72  3  48 3  60 3  72
 4 4   4 4 4 
1 S  3 S   4 1  24   3  24
4 4
4 4  1 12 1  36  3 12 3  36
 4 4  4 4

 12 15 18  36 45 54
 6   18 27
 3 9   9

 48 60 72  M
12 24 36

Selanjutnya, untuk M suatu matriks berordo m n, p dan q bilangan real,

tunjukkan bahwa  p  q M  p.M  q.M

Silakan diskusikan!

d. Diketahui matriks X  2 3 dan Y  5 6
5 7 8 10 . Jika c  1, maka

c. X Y    2 3  5 6   133 3  3 3
1 5 7 8 10  3 3 3 .



Di sisi lain, jika matriks X dan Y merupakan dua matriks berordo sama, dan c

adalah bilangan real, maka c. X Y   c.X  c.Y. Tentunya hasil c. X  Y 

sama dengan c.X  c.Y. (Tunjukkan!)

19

12 30 10 1
 18 , 2
e. Dengan menggunakan matriks W   0 24 16 r  2, dan s  ,
8
 6

Kita dapat memahami bahwa:

1 12 30 10 6 15 5
2  24 18  0 12 9
s.W   0 8 16 3 4 8
 6

Jika kita mengalikan hasil r dengan s.W , maka kita akan diperoleh:

Karena r dan s adalah skalar, ternyata dengan mengalikan r dengan s

terlebih dahulu, kemudian mengalikannya dengan matriks W, merupakan

langkah lebih efektif untuk menyelesaikan r.(s.W).

Sekarang, untuk matriks M berordo m × n, r dan s adalah skalar anggota

himpunan bilangan real, tunjukkan bahwa: r × (s × Q) = (r × s) × Q.

3.4.4 Operasi Perkalian Dua Matriks

Masalah 3.5

Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang jasa akan membuka tiga cabang

besar di pulau Kalimantan, yaitu cabang 1 di kota Samarinda, cabang 2 di kota

Banjarmasin, dan cabang 3 di kota Pontianak. Untuk itu, diperlukan beberapa

peralatan untuk membantu kelancaran usaha jasa tersebut, yaitu handphone,

laptop, dan sepeda motor. Di sisi lain, pihak perusahaan mempertimbangkan

harga per satuan peralatan tersebut. Perusahaaan ingin mengetahui total biaya

pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang..Lengkapnya, rincian data

tersebut disajikan sebagai berikut.

HP Laptop Sepeda Harga Laptop : 5 juta

Cabang 1 (unit) (unit) Motor (unit) Harga Handphone : 2 juta
Cabang 2 7 8 3 Harga Sepeda Motor : 15 juta
5 6 2

Cabang 3 4 5 2

20

Alternatif Penyelesaian
Tidaklah sulit menyelesaikan persoalan di atas. Tentunya kamu dapat

menjawabnya. Sekarang, kita akan menyelesaikan masalah tersebut dengan
menggunakan konsep matriks.

7 8 3
Kita misalkan matriks C33  5 6 2 yang merepresentasikan jumlah unit

4 5 2

2
 
setiap peralatan yang dibutuhkan di setiap cabang dan matriks D31   5 

15

yang merepresentasikan harga per unit setiap peralatan.
Untuk menentukan total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang,
kita peroleh sebagai berikut.

Cabang 1
Total biaya = (7 unit handphone × 2 juta) + (8 unit komputer × 5 juta) + (3

unit sepeda motor 15 juta).
= Rp99.000.000,00
Cabang 2
Total biaya = (5 unit handphone × 2 juta) + (6 unit komputer × 5 juta) + (2

unit sepeda motor × 15 juta)
= Rp70.000.000,00
Cabang 3
Total biaya = (4 unit handphone × 2 juta) + (5 unit komputer × 5 juta) + (2

unit sepeda motor × 15 juta)
= Rp63.000.000,00

Jadi total biaya pengadaan peralatan di setiap unit dinyatakan dalam matriks
berikut.

21

99.000.000, 00
E31  70.000.000, 00

63.000.000, 00

Dapat kita cermati dari perkalian di atas, bahwa setiap entry baris pada
matriks C berkorespondensi satu-satu dengan setiap entry kolom pada matriks
D. Seandainya terdapat satu saja entry baris ke-1 pada matriks C tidak
memiliki pasangan dengan entry kolom ke-1 pada matriks D, maka operasi
perkalian terhadap kedua matriks itu tidak dapat dilakukan. Jadi, dapat
disimpulkan operasi perkalian terhadap dua matriks dapat dilakukan jika
banyak baris pada matriks C sama dengan banyak kolom pada matriks D.
Banyak perkalian akan berhenti jika setiap entry baris ke-n pada matriks C
sudah dikalikan dengan setiap entry kolom ke-n pada matriks D.

Secara matematis, kita dapat menyatakan perkalian dua matriks sebagai
berikut. Misalkan matriks Amn dan matriks Bnp , matriks A dapat dikalikan
dengan matriks B jika banyak baris matriks A sama dengan banyak kolom
matriks B. Hasil perkalian matriks A berordo m × n terhadap matriks B
berordo n × p adalah suatu matriks berordo m × p. Proses menentukan entry-
entry hasil perkalian dua matriks dipaparkan sebagai berikut.

 a11 a12 a13 a1n  b11 b12 b13 b1p 
  b21 b22 b23 
 a21 a22 a23 a2 n  b2 p 

Amn   a31 a32 a33 a3n  ,dan Bn p  b31 b32 b33 b3 p 
  
 
 bn1 bn2 bn3 bnp 
am1 am2 am3 amn 

Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks Amn terhadap matriks Bnp
dan dinotasikan C  A.B, maka
 Matriks C berordo m × p.

22

 Entry-entry matriks C pada baris ke-i dan kolom ke-j, dinotasikan cij,
diperoleh dengan cara mengalikan entry baris ke-i dari matriks A terhadap
entry kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan:

cij  ai1b1 j  ai2b2 jai3b3 j   ainbnj

Mari kita pelajari contoh-contoh di bawah ini, untuk memudahkan kita
mengerti akan konsep di atas!

Contoh 3.6

a11 a12 a13  b11 b12 b13 
Diketahui matriks A33  a21  b21 
a22 a23  dan B33  b22 b23 

a31 a32 a33  b31 b32 b33 

Matriks hasil perkalian matriks A dan matriks B:

a11 a12 a13  b11 b12 b13 
A.B  a21  b21 
a22 a23   b22 b23 

a31 a32 a33  b31 b32 b33 

 a11.b11  a12.b21  a13.b31 a11.b12  a12.b22  a13.b32 a11.b13  a12.b23  a13.b33 
 a21.b12  a22.b22  a23.b32 
=  a21.b11  a22 .b21  a23.b31 a31.b12  a32.b22  a33.b32 a21.b13  a22 .b23  a23.b33 

a31.b11  a32.b21  a33.b31 a31.b13  a32.b23  a33.b33 

Sekarang, tentukan hasil perkalian matriks B terhadap matriks A. Kemudian,
simpulkan apakah berlaku atau tidak sifat komutatif pada perkalian matriks?
Berikan alasanmu!

Dari contoh di atas, 1 2
silahkan periksa, apakah matriks 3 4 dapat

5 6

2 3 4
dikalikan terhadap matriks 1 2 0 ? Berikan penjelasanmu!

23

3.4.5 Tranpose Matriks

Misalkan ada perubahan pada posisi entry-entry matriks seperti entry baris
ke-1 pada matriks B menjadi entry kolom ke-1 pada matriks Bt , setiap entry
baris ke-2 pada matriks menjadi entry kolom ke-2 pada matriks Bt , demikian
seterusnya, hingga semua entry baris pada matriks B menjadi entry kolom pada
matriks Bt . Hal inilah yang menjadi aturan menentukan transpose matriks suatu
matriks.

Transpose dari matriks A berordo m × n adalah matriks yang diperoleh dari
matriks A dengan menukar entry baris menjadi entry kolom dan sebaliknya,
sehingga berordo n × m. Notasi transpose matriks Amn adalah Atmn .

Contoh 3.7

15 92 15 23 50
Jika N  23 84 , maka 92 84 76
1. 50 76 Nt 

12 15 51 41 12 61 16 81
2. Jika E  61 21 31 14 , maka Et  15 21 18 19
16 18 17 13 51 31 17 91
81 19 91 71 41 14 13 71

Dari pembahasan contoh di atas, dapat kita pahami perubahan ordo matriks.
Misalnya, jika matriks awal berordo m × n, maka transpose matriks berordo n
× m.
Coba kamu pikirkan.
 Mungkinkah suatu matriks sama dengan transpose matriksnya sendiri?

Berikan alasanmu!
 Periksa apakah (At + Bt) = (A + B)t untuk setiap matriks A dan B berordo

m × n?

24

Uji Kompetensi 3.1

21 27 38
1. Diberikan matriks W  5 9 1

 2 3 4 

Sebutkan entry matriks yang terletak pada:

a. baris ke-3

b. kolom ke-2

c. baris ke-1 dan kolom ke-3

d. baris ke-2 dan kolom ke-1

2. Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut:

a. 3x1  4x2  2x3  5

b. x1  5x2  2x3  7

c. 2x1  x2  3x3  9

Nyatakanlah

i. matriks koefisien sistem persamaan linear tersebut;

ii. ordo matriks yang terbentuk.

3. Buatlah matriks yang terdiri atas 4 baris dan 5 kolom dengan entrynya adalah

20 bilangan prima yang pertama.

3x 2 2y 4  5 6
4. Diketahui Diketahui matriks A = 5 7 , B = 4x 1 ,C= 7 6

Jika A+B=C, tentukan nilai x dan y!

5. a  b 2   3 3a  5  7 3 a 7b
Jika   3b 2b  5  8 5 , maka nilai 5
 3 2a 1

adalah…

25

Soal Proyek
Temukan contoh penerapan matriks dalam Ilmu Komputer, bidang Ilmu

Fisika, Kimia, dan Teknologi Farmasi. Selanjutnya coba terapkan berbagai konsep
dan aturan matriks dalam menyusun buku teks di sebuah perpustakaan. Pikirkan
bagaimana susunan buku teks, seperti: buku Matematika, Fisika, Biologi, Kimia,
dan IPS dari berbagai jenisnya (misalnya jenis buku Matematika tersedia buku
Aljabar, Geometri, Statistika, dan lain-lain) tampak pada susunan baris dan kolom
suatu matriks. Kamu dapat membuat pengkodean dari buku-buku tersebut agar
para pembaca dan yang mencari buku tertentu mudah untuk menemukannya.

Buat laporan hasil kerja kelompokmu dan hasilnya disajikan di depan kelas.

3.5. Determinan dan Invers Matriks

3.5.1 Determinan Matriks

Masalah 3.6
Jihan dan teman-temannya makan di kedai dekat sekolah. Mereka memesan
3 mie ayam dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian,
Naya dan teman-temannya datang memesan 5 porsi mie ayam dan 3 gelas es
jeruk. Jihan menantang Andini menentukan harga satu porsi mie ayam dan
harga es jeruk per gelas, jika Jihan harus membayar Rp40.000,00 untuk
semua pesanannya dan Naya harus membayar Rp65.000,00 untuk semua
pesanannya.

26

Alternatif Penyelesaian

Cara I
Petunjuk: Ingat kembali materi sistem persamaan linear yang sudah kamu
pelajari. Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan
dengan matriks.
Misalkan x  harga mie ayam per porsi

y  harga es jeruk per porsi

Sistem persamaan linearnya: 3x  2y  40.000

5x  3y  65.000

Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut.

3 2  x  40.000 (3.1)
5 3  y 65.000

Mengingat kembali bentuk umum persamaan linear.

a1x  b1 y  c1    a1 b1   x    c1 
a2 x  b2 y  c2  a2 b2   y  c2 
  

Solusi persamaan tersebut adalah:

x  b2.c1  b1.c2 dan y  a1.c2  a2.c1 , a1.b2  a2 .b1 (3.2)
a1.b2  a2.b1 a1.b2  a2.b1

Ingat kembali bagaimana menentukan himpunan penyelesain SPLDV.

Tentunya kamu mampu menunjukkannya.

Cara II

Dalam konsep matriks, nilai a1.b2  a2.b1  disebut sebagai determinan matriks

 a1 b1  , dinotasikan a1 b1 atau det A, dengan matriks  a1 b1   A
 b2  a2 b2 a2 b2 
 a2  

Oleh karena itu, nilai x dan y pada persamaan (3.2), dapat ditulis menjadi:

27

c1 b1 a1 c1 (3.3)
x  c2 b2 dan y  a2 c2
b1 a1 b1
a1 b2 a2 b2
a2

Dengan  a1 b1   0.
a2 b2 


Kembali ke persamaan (3.1), dengan menerapkan persamaan (3.3), maka
diperoleh:

40.000 2

x  65.000 3 = 120.000 130.000 = 10.000 =10.000
32 9 10 1

53

3 40.000

y  5 65.000  195.000  200.000  5.000  5.000
32 9 10 1

53

Jadi, harga mie ayam satu porsi adalah Rp10.000,00 dan harga es jeruk satu

gelas adalah Rp5.000,00.

Notasi Determinan

Misalkan matriks A  a b
c d  Determinan dari matriks A dapat dinyatakan

sebagai det A  A  ab  ad  bc

cd

3.5.2 Sifat-Sifat Determinan

Misalkan matriks C  2 3 dan matriks D  2 3
1 0  
 1 0 

28

det C  C  23  0  3  3

1 0

det D  D  2 3 033

1 0

Jadi |C| × |D| = –9

Matriks C  D  2 3  2 3
1 0  
 1 0 

 7 6
 
 2 3 

Dengan demikian

det C  D  CD  7 6  21 12  2112  9

23

Sifat 3.1
Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A = |A| dan
det B = |B|, maka |AB|= |A|.|B|

Soal Tantangan
 Selidiki apakah |A.B.C| = |A|.|B|.|C| untuk setiap matriks-matriks A, B, dan
C berordo n × n.
 Jika matriks A adalah matriks persegi dan k adalah skalar, coba telusuri
nilai determinan matriks k.A.s

Contoh 3.9

Matriks S ordo 2 × 2 dengan P  a b dimana a, b, c, d ∈ R. Jika determinan
c d 

S adalah a, dengan a ∈ R, tentukanlah determinan dari matriks

Q   a b  dengan x, y ∈ R.
   
 xc sa xd sb 

29

Alternatif Penyelesaian

Jika P  a b dan determinannya adalah α, maka berlaku
c d  ,

a b  ad  bc  
cd

Entry matriks Q memiliki hubungan dengan matriks P, yaitu:

q21 = hasil kali skalar x terhadap p21 - hasil kali skalar s terhadap p11

q22 = hasil kali skalar x terhadap p22 - hasil kali skalar s terhadap p12 .

Tujuan kita sekarang adalah mereduksi matriks Q menjadi kelipatan matriks P.

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Q   xc a sa b   baris1
  xd  sb  baris2

Entry baris 1 matriks Q = entry baris 1 matriks P. Mereduksi dalam hal ini

adalah mengoperasikan entry baris 2 matriks Q menjadi entry baris 2 matriks

P.

Jadi, q21 dapat dioperasikan menjadi:  q21 *  s.q11  q21 , akibatnya kita

peroleh:

Q    a  sa b   baris1
 xc sa xd  sb  sb  baris2

Q  a b   baris1*
cx dx  baris2*

Menurut sifat determinan matriks (silakan minta penjelasan lebih lanjut dari

Guru Matematika), maka:

Q  a b  a.dx  b.cx
cx dx

 x a.d  b.c

 x.

Jadi Q  x. .

30

Soal Tantangan
Misal matriks P adalah matriks berordo 3 × 3, dengan | P   dan matriks

Q berordo 3 × 3 dan mengikuti pola seperti contoh di atas. Tentukan
determinan matriks Q.

Perhatikan kembali matriks A di atas dan ingat kembali menentukan
transpose sebuah matriks yang sudah dipelajari,

Matriks A  3 4
2 1 dan matriks transpose dari matriks A adalah

At  3 2
4 1

det At  At  3 2
 3  8  5
4 1

Perhatikan dari hasil perhitungan det A dan det At. Diperoleh det A  det At

Sifat 3.2
Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N. Jika det A = |A|
dan det At  At |, maka | A  At

Coba buktikan sifat berikut setelah kamu mempelajari invers matriks.

Sifat 3.3
Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m ∈ N.
Jika det  A dan det A1  A1 , maka A1  1

A

31

Masalah 3.6

Sebuah perusahaan penerbangan menawarkan perjalanan wisata ke

negara A, perusahaan tersebut mempunyai tiga jenis pesawat yaitu

Airbus 100, Airbus 200, dan Airbus 300. Setiap pesawat dilengkapi

dengan kursi penumpang untuk kelas turis, ekonomi, dan VIP. Jumlah

kursi penumpang dari tiga jenis pesawat tersebut disajikan pada tabel

berikut.

Kategori Airbus 100 Airbus 200 Airbus 300

Kelas Ekonomi 50 75 40

Kelas Bisnis 30 45 25

Kelas Eksekutif 32 50 30

Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti

perjalanan wisata ke negara C seperti pada tabel berikut.

Kategori Jumlah Penumpang

Kelas Ekonomi 305

Kelas Bisnis 185

Kelas Eksekutif 206

Berapa banyak pesawat yang harus dipersiapkan untuk perjalanan

tersebut?

Alternatif Penyelesaian

Untuk memudahkan kita menyelesaikan masalah ini, kita misalkan:
x = banyaknya pesawat Airbus 100
y = banyaknya pesawat Airbus 200
z = banyaknya pesawat Airbus 300
Sistem persamaan yang terbentuk adalah:

32

50x  75y  40z  305  50 75 40  x 305
 30 25   185 
30 x  45 y  25z  185   32 45  y   
32 x  50 y  30z 50
 206 30  z  206

Sebelum ditentukan penyelesaian masalah di atas, terlebih dahulu kita
periksa apakah matriks A adalah matriks nonsingular.

Ada beberapa cara untuk menentukan det A, antara lain Metode Sarrus. Cara
tersebut sebagai berikut.

a11 a12 a13 
 
Misalnya matriks A33   a21 a22 a23  , maka deteminan A adalah:

a31 a32 a33 

a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23  a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32

 a11.a22.a33  a12.a23.a31  a13.a21.a32  a31.a22.a13  a32.a23.a11  a33.a21.a12
Untuk matriks pada Masalah 3.7

50 75 40 50 75 40 50 75
30 45 25  30 45 25 30 45
32 50 30 32 50 30 32 50

 50 4530  75 2532  403050  32 45 40  50 25 50  30 30 75

 100

Analog dengan persamaan (2), kita akan menggunakan determinan matriks
untuk menyelesaikan persoalan di atas.

33

305 75 40

185 45 25

x  206 50 30  300  3
50 75 40 100

185 45 25

32 50 30

50 305 40

30 185 25

y  32 206 30  100 1
50 75 40 100

30 45 25

32 50 30

50 75 305

30 45 185

z  32 50 206  200  2
50 75 40 100

30 45 25

32 50 30

Oleh karena itu, banyak pesawat Airbus 100 yang disediakan sebanyak 3 unit,

banyak pesawat Airbus 200 yang disediakan sebanyak 1 unit, banyak pesawat

Airbus 300 yang disediakan sebanyak 2 unit.

3.5.3 Invers Matriks

Perhatikan Masalah 3.7 di atas. Kamu dapat menyelesaikan masalah

tersebut dengan cara berikut. Perhatikan sistem persamaan linear yang

dinyatakan dalam matriks berikut,

3 2 x  40.000  A.X  B  X  A1.B
5 3  y 65.000

Karena A adalah matriks nonsingular, maka matriks A memiliki invers. Oleh

karena itu, langkah kita lanjutkan menentukan matriks X.

X  1 3 2 40.000
32 5 3  65.000

53

34

X  1 10.000  10.000
1  5.000   5.000 

Diperoleh  x  10.000  x  10.000, y  5.000
 y   
  5.000 

Ditemukan jawaban yang sama dengan cara I. Akan tetapi, perlu

pertimbangan pemilihan cara yang digunakan menyelesaikan persoalannya.

Misalkan A dan B adalah matriks yang memenuhi persamaan berikut

A.X  B (1)

Persoalannya adalah bagaimana menentukan matriks X pada persamaan (1)?

Pada teori dasar matriks, bahwa tidak ada operasi pembagian pada matriks

tetapi yang ada adalah invers matriks atau kebalikan matriks.

Misalkan A matriks persegi berordo 2 × 2. A  a b
c d  . Invers matriks A,

dinotasikan A1 :

A1   a.d 1 b.c d b dengan a.d  b.c
 c a  ,

 d b
c a  disebut adjoin matriks A dan dinotasikan Adjoin A.

Salah satu sifat invers matriks adalah A1.A  A.A1  I

Akibatnya persamaan (1) dapat dimodifikasi menjadi:

A1.A.X  A1B (semua ruas dikalikan A1) (2)

 A1.A .X  A1B

I.X  A1B
X  A1B (karena I.X  X )

35

Rumusan ini berlaku secara umum, dengan syarat det A ≠ 0.

Definisi 3.4

Misalkan A sebuah matriks persegi dengan ordo n × n, n ∈ N
 Matriks A disebut matriks nonsingular, apabila det A ≠ 0.
 Matriks A disebut matriks singular apabila det A ≠ 0.
 disebut invers matriks A jika dan hanya jika

. I adalah matriks identitas perkalian

Masalah 3.7
Agen perjalanan Sumatera Holidays menawarkan paket perjalanan ke
Danau Toba, yaitu menginap di Inna Parapat Hotel, transportasi ke tiap
tempat wisata, dan makan di Singgalang Restaurant. Paket perjalanan
yang ditawarkan yaitu Paket I terdiri 4 malam menginap, 3 tempat
wisata, dan 5 kali makan dengan biaya Rp2.030.000,00. Paket II dengan
3 malam menginap, 4 tempat wisata, dan 7 kali makan dengan biaya
Rp1.790.000,00. Paket III dengan 5 malam menginap, 5 tempat wisata,
dan 4 kali makan dengan biaya Rp2.500.000,00. Berapakah biaya sewa
hotel tiap malam, transportasi, dan makan?

Alternatif Penyelesaian

Misalkan:
x = biaya sewa hotel
y = biaya untuk transportasi
z = biaya makan

Sewa hotel Paket A Paket B Paket C
Transportasi 4 3 5
3 4 5
7 4
Makan 5
Biaya total 2.030.000 1.790.000 2.500.000

36

Dalam bentuk matriks adalah seperti berikut:

4 3 5  x 2.030.000
3 7  y 1.790.000 
4   

5 5 4  z  2.500.000

a. Determinan untuk matriks masalah 3.7 di atas:

4 3 5 4 3 54 3

A  3 4 7 , maka det A= 3 4 7 3 4
5 5 4
5 5 45 5

 (4 4 4)  (3 7  5)  (5 3 5)  (5 4 5)  (4 7  5)  (3 3 4)

 32

2.030.000 3 5

1.790.000 4 7

x  2.500.000 5 4  12.800.000  400.000
435 32

347

554

4 2.030.000 5

3 1.790.000 7

y  5 2.500.000 4  1.920.000  60.000
435 32

347

554

4 3 2.030.000

3 4 1.790.000

z  5 5 2,500.000  1.600.00  50.000
435 32

347

554

Oleh karena itu, biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp400.000,00 biaya
transportasi adalah Rp60.000,00 dan biaya makan adalah Rp50.000,00.

37

Cobalah kamu menyelesaikan masalah tersebut dengan cara menentukan
invers matriks. Mintalah bimbingan dari gurumu.
Metode Kofaktor
Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu
matriks A dilambangkan dengan Mij adalah determinan matriks bagian dari A
yang diperoleh dengan cara menghilangkan entry-entry pada baris ke-i dan
kolom ke-j.

Jika A adalah sebuah matriks persegi berordo n × n, maka minor entry aij

yang dinotasikan dengan Mij , didefinisikan sebagai determinan dari submatriks
A berorde (n – 1) × (n – 1) setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan.

a11 a12 a13 
Misalkan matriks A  a21 
a22 a23 

a31 a32 a33 

a11 a12 a13 
Minor entry a11 adalah determinan a21 
a22 a23 

a31 a32 a33 

sehingga M11  a22 a23
a32 a33

M11, Mi12, M13 , M12, dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1
dari matriks A. Kofaktor suatu entry baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A
dilambangkan:

38

kij  (1)i j Mij  (1)ij det(Mij )

k11  (1)11 4 7
5  19

4

k12  (1)12 3 7
5  23

4

k13  (1)13 3 4
5  5

5

k21  (1)21 3 5
5  13

4

k22  (1)22 3 5
5  13

4

k23  (1)23 4 3
5  5

5

k31  (1)31 3 5
4 1

7

k32  (1)32 4 5
3  13

7

k33  (1)33 4 3
3 7

4

Dari masalah di atas diperoleh matriks kofaktor A dengan menggunakan
rumus:

 a22 a23  a12 a13  a12 a13 
 a32 a33 a32 a33 a22 a23 
 
 a23  a11 a13  a11 
K ( A)   a21 a33 a31 a33 a21 a13 

 a31 a22  a11 a12  a11 a23 
 a32 a31 a32 a21 
 a21
  a31 5 a12 
5 a22 
7 
19 23
 9
  13 13

 1

39

Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor

 matriks tersebut, dilambangkan dengan t
Adj  A  kij yaitu:
,

 k11 k12 k13  19 13 1 
   9 18
Adj  A   k21 k22 k23    23 5 7 
k32 k33  5
 k31

Dari masalah di atas, diperoleh invers matriks A. Dengan rumus:

A1  1 Adj  A

det A

 19 13 1 
 
 19 13 1  32 32 32 

Sehingga: A1  1 Adj  A   1  23 9 13   23 9 13 
det 32  5 5 7   32 32 32 
A   5 5 
 32 32 
7
32

Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok, coba tunjukkan bahwa
AA1  A1A  I , dengan I adalah matriks identitas 3 × 3.

Bentuk matriks permasalahan 3.8 adalah seperti berikut:

4 3 5  x 2.030.000
3 7  y 1.790.000 
4   

5 5 4  z  2.500.000

Bentuk ini dapat kita nyatakan dalam bentuk persamaan AX = B. Untuk

memperoleh matriks X yang entry-entrynya menyatakan biaya sewa hotel,
biaya transportasi, dan biaya makan, kita kalikan matriks A1 ke ruas kiri dan
ruas kanan persamaan AX = B, sehingga diperoleh:

40

 19 13 1 
 
 32 32 32   2.030.000 

X  A1B   23 9 13    1.790.000 
 32 32 32   2.500.000 
 5 7 
 5 32 32 
32

 400.000
 
X   60.000 
50.000

Hasil yang diperoleh dengan menerapkan cara determinan dan cara invers,
diperoleh hasil yang sama, yaitu; biaya sewa hotel tiap malam adalah
Rp400.000,00; biaya transportasi adalah Rp60.000,00; dan biaya makan adalah
Rp50.000,00.

3.5.4 Sifat-Sifat Invers Matriks

Misalkan matriks A   2 3 
 1 
 2 

det( A)  2(2) 1(3)  1

A1  1 adj ( A)  1  2 3    2 3   A
det  2   1 2 
A 1  1   

1 1  2 3   2 3 
det A1 1  1 2   1 2 
 ( A1)1 A1       
adj A

 Perhatikan uraian di atas diperoleh bahwa A1 1  A .

Sifat 3.4
Misalkan matriks A berordo n × n dengan n ∈ N, det(A) ≠ 0. Jika A1

 adalah invers matriks A, maka A1 1  A .