Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 37 ] Selanjutnya mencari nilai letak D6, ditentukan sebagai berikut: Letak kuartil 6 (D6) = data ke 10 (N+1) = data ke 6 10 (20 + 1) = data ke 126 10 = data ke 12,6 Jadi Letak D6 diantara data ke-12 (X12 = 25) dan data ke-13 (X13 = 27) Nilai Desil-6 (D6) = X12 + 0,6 (X13 – X12) = 25 + 0,6 (27 - 25) = 25 + 0,6 (2) = 25 + 1,2 = 25,2 Jadi nilai Desil ke-6 (D6) adalah 25,2 3. PERSENTIL/PERCENTILE (Pi) Jika suatu data dibagi menjadi 100 bagian yang sama didapat 99 pembagi, dan setiap pembagi disebut persentil. Nilai Persentil Data Tunggal Rumus untuk mencari Nilai Letak Persntil (Pi) data tunggal: Pi = data ke 100 (N+1) Dimana : Pi = Persentil ke-i i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … , 99 N = Banyak data/observasi Contoh : Tentukan letak P11 dan P90 serta nilainya dari data berikut ini : 35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95,88 Penyelesaian Data setelah diurutkan: 25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 88, 91, 95 (N = 10) a. Letak persentil 11 (P11) = data ke 100 (N+1) = data ke 11 100 (10 + 1)
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 38 ] S-1 MANAJEMEN = data ke 121 100 = data ke 1,21 Jadi Letak P11 diantara data ke-1 (X1 = 25) dan data ke-2 (X2 = 35) Nilai Persentil-11 (P11) = X1 + 0,21 (X2 – X1) = 25 + 0,21 (35 - 25) = 25 + 0,21 (10) = 25 + 2,1 = 27,1 Jadi nilai Persentil ke-11 (P11) adalah 27,1 b. Letak persentil 90 (P90) = data ke 100 (N+1) = data ke 90 100 (10 + 1) = data ke 990 100 = data ke 9,90 Jadi Letak P99 diantara data ke-9 (X9 = 91) dan data ke-10 (X10 = 95) Nilai Persentil-90 (P90) = X9 + 0,90 (X10 – X11) = 91 + 0,90 (95 - 91) = 91 + 0,90 (4) = 91 + 3,6 = 94,6 Jadi nilai Persentil ke-90 (P90) adalah 94,6. C. LATIHAN SOAL/TUGAS Selesaikanlah soal-soal berikut ini secara terstruktur dan rapih! 1. Diketahui data yang dikumpulkan : 30, 42, 76, 80, 90, 55, 66, 26, 95,80 Tentukanlah nilai dari: a. Quartil-1 (Q1) dan Quartil-3 (Q3) b. Desil-4 (D4) dan Desil-6 (D6) c. Persentil-20 (P20) dan Persentil-60 (P60)
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 39 ] 2. Hasil evaluasi UTS MK Statistik dari 80 orang mahasiswa diperoleh data yang disajikan dalam table berikut ini: Kelas Interval Frekuensi 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100 1 2 5 15 20 25 12 Jumlah 80 Dari data di atas, tentukanlah nilai dari: a. Quartil-1 (Q1) dan Quartil-3 (Q3) b. Desil-3 (D3) dan Desil-8 (D8) c. Persentil-30 (P30) dan Persentil-70 (P70) D. DAFTAR PUSTAKA Bambang Kustianto, Statistika 1, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Kazmier, L.J & N. F Pohl, Basic Statistics for Business and Economics, Mc Graw Hill Int. Ed. Singapore, 1987. Shim, J.K , J.G Siegel & C.J Liew. Strategic Business Forecasting. Mubaruk & Brothers, Singapore , 1994 Spiegel, M.R. Statistics. Schaum’s Outline Series, Asian student ed, Mc Graw Hill, Singapore, 1985. Walpole, R.E. Pengantar Statistik. Edisi terjemahan, PT Gramedia, Jakarta, 1992 Supranto,J., Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2009 Supardi, U.S., Aplikasi Statistika dalam Penelitian, Ufuk Press, Jakarta Selatan, 2012
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 40 ] S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE-7 POKOK BAHASAN UKURAN LETAK DATA BERKELOMPOK A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1.1.Menghitung nilai ukuran letak (kuartil, desil dan persentil) data berkelompok B. URAIAN MATERI UKURAN LETAK DATA BERKELOMPOK 1. Kuartil Data Berkelompok Kuartil merupakan nilai-nilai yang membagi suatu distribusi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama, sehingga dalam suatu gugus data didapati 3 kuartil (kuartil 1, kuartil 2 atau median, dan kuartil 3). Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut : Gugus data dalam kuartil Nilai Kuartil Data Kelompok Rumus untuk mencari nilai kuartil (Qi) untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah : Qi = TBK + ( − ) . Ci Dimana : 4 = Letak kuartil ke-i pada kelas interval Qi = kuartil ke-i i =1, 2, 3 TBK = Tepi bawah kelas yang mengandung Qi
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 41 ] fkq = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang mengandung Qi yang dicari. fq = frekuensi kelas yang mengandung Qi n = banyak observasi (banyak data) Ci = Panjang kelas interval Contoh : Tentukan letak dan nilai Q1, Q2, dan Q3 dari data sebagai berikut : Gaji karyawan Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif “Kurang Dari” 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 4 6 8 12 9 7 4 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 0 4 10 18 30 39 46 50 Penyelesaian: a. Kuartil 1 (Q1): Letak Q1 = 4 N = 1 4 . 50 = 12,5 Jadi Q1 terletak pada data ke 12,5 yaitu pada kelas 50-59. Diperoleh nilai : TBK = 49,9 ; Ci = 10 ; fkq = 10 dan fq = 8 Sehingga nilai Q1: Nilai Q1 = TBK + ( 1 4 − ) . Ci = 49,9 + ( 1 4 .50−10 8 ) . 10 = 49,9 + ( 12,5−10 8 ) . 10 = 49,5 + 3,125 = 52,625 Jadi Nilai Q1 adalah 52,625 b. Kuartil 2 (Q2): Letak Q2 = 4 N = 2 4 . 50 = 25 Jadi Q2 terletak pada data ke 25 yaitu pada kelas 60-69.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 42 ] S-1 MANAJEMEN Diperoleh nilai : TBK = 59,9 ; Ci = 10 ; fkq = 18 dan fq = 12 Sehingga nilai Q2: Nilai Q2 = TBK + ( 2 4 − ) . Ci = 59,9 + ( 2 4 .50−18 12 ) . 10 = 59,9 + ( 25−10 12 ) . 10 = 59,5 + 4,167 = 63,667 Jadi Nilai Q2 adalah 63,667 c. Kuartil 3 (Q3): Letak Q3 = 4 N = 3 4 . 50 = 37,5 Jadi Q3 terletak pada data ke 37,5 yaitu pada kelas 70-79. Diperoleh nilai : TBK = 69,5 ; Ci = 10 ; fkq = 30 dan fq = 9 Sehingga nilai Q3: Nilai Q3 = TBK + ( 3 4 − ) . Ci = 69,5 + ( 3 4 .50−30 9 ) . 10 = 69,5 + ( 37,5−30 9 ) . 10 = 69,5 + 8,333 = 74,833 Jadi Nilai Q3 adalah 74,833 2. Desil Data Berkelompok Jika kelompok suatu data dapat dibagi menjadi 10 bagian yang sama didapat 9 pembagi dan tiap pembagi disebut desil (desil ke-1 sampai desil ke-9). Nilai Desil Data Kelompok Rumus untuk mencari nilai Desil (Di) untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah : Di = TBK + ( − ) . Ci Dimana : 10 = Letak desil ke-i pada kelas interval Di = desil ke-i
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 43 ] i =1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 TBK = Tepi bawah kelas yang mengandung Di fkq = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang mengandung Di yang dicari. fq = frekuensi kelas yang mengandung Di n = banyak observasi (banyak data) Ci = Panjang kelas interval Contoh : Tentukan letak dan nilai D3 dan D7 dari data sebagai berikut : Gaji karyawan Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif “Kurang Dari” 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 4 6 8 12 9 7 4 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 0 4 10 18 30 39 46 50 Penyelesaian: a. Desil ke-3 (D3): Letak D3 = 3 10 N = 3 10 . 50 = 15 Jadi D3 terletak pada data ke 15 yaitu pada kelas 50-59. Diperoleh nilai : TBK = 49,5 ; Ci = 10 ; fkq = 10 dan fq = 8 Sehingga nilai D3: Nilai D3 = TBK + ( 3 10 − ) . Ci = 49,5 + ( 3 10 .50−10 8 ) . 10 = 49,5 + ( 15−10 8 ) . 10 = 49,5 + 6,25 = 54,75 Jadi Nilai D3 adalah 54,75 b. Desil ke-7 (D7): Letak D7 = 7 10 N = 7 10 . 50 = 35 Jadi D7 terletak pada data ke 35 yaitu pada kelas 70-79. Diperoleh nilai : TBK = 69,5 ; Ci = 10 ; fkq = 30 dan fq = 9
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 44 ] S-1 MANAJEMEN Sehingga nilai D7: Nilai D7 = TBK + ( 7 10 − ) . Ci = 69,5 + ( 7 10 .50−30 9 ) . 10 = 69,5 + ( 35−30 9 ) . 10 = 69,5 + 5,56 = 75,06 Jadi Nilai D7 adalah 75,06 3. Persentil (Percentile) Data Berkelompok Jika suatu data dibagi menjadi 100 bagian yang sama didapat 99 pembagi, dan setiap pembagi disebut persentil. Nilai Persentil Data Kelompok Rumus untuk mencari nilai Persentil (Pi) untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah : Pi = TBK + ( − ) . Ci Dimana : 10 = Letak persentil ke-i pada kelas interval Pi = Persenti ke-i i = 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 99 TBK = Tepi bawah kelas yang mengandung Pi fkp = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang mengandung Pi yang dicari. fp = frekuensi kelas yang mengandung Pi n = banyak observasi (banyak data) Ci = Panjang kelas interval Contoh : Tentukan letak dan nilai P10 dan P90 dari data sebagai berikut : Gaji karyawan Jumlah Karyawan Tepi Kelas Bawah Frekuensi Kumulatif “Kurang Dari” 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99 4 6 8 12 9 7 4 29,5 39,5 49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 0 4 10 18 30 39 46 50
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 45 ] Penyelesaian: a. Persentil ke-10 (P10): Letak P10 = 10 100 N = 10 100 . 50 = 5 Jadi P10 terletak pada data ke 5 yaitu pada kelas 40-49. Diperoleh nilai : TBK = 39,5 ; Ci = 10 ; fkp = 4 dan fp = 6 Sehingga nilai P10: Nilai P10 = TBK + ( 10 100 − ) . Ci = 39,5 + ( 10 100 .50−4 6 ) . 10 = 39,5 + ( 5−4 6 ) . 10 = 39,5 + 1,67 = 41,17 Jadi Nilai P10 adalah 41,17 b. Desil ke-90 (P90): Letak P90 = 90 100 N = 90 100 . 50 = 45 Jadi P90 terletak pada data ke 45 yaitu pada kelas 80-89. Diperoleh nilai : TBK = 79,5 ; Ci = 10 ; fkp = 39 dan fp = 7 Sehingga nilai P90: Nilai P90 = TBK + ( 90 100 − ) . Ci = 79,5 + ( 90 100 .50−39 7 ) . 10 = 79,5 + ( 45−39 7 ) . 10 = 79,5 + 8,57 = 88,07 Jadi Nilai P90 adalah 88,07
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 46 ] S-1 MANAJEMEN C. LATIHAN SOAL/TUGAS Selesaikanlah soal-soal berikut ini secara terstruktur dan rapih! 1. Hasil evaluasi UTS MK Statistik dari 80 orang mahasiswa diperoleh data yang disajikan dalam table berikut ini: Kelas Interval Frekuensi 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 - 100 1 2 5 15 20 25 12 Jumlah 80 Dari data di atas, tentukanlah nilai dari: a. Quartil-1 (Q1) dan Quartil-3 (Q3) b. Desil-3 (D3) dan Desil-8 (D8) c. Persentil-30 (P30) dan Persentil-70 (P70) D. DAFTAR PUSTAKA Bambang Kustianto, Statistika 1, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Kazmier, L.J & N. F Pohl, Basic Statistics for Business and Economics, Mc Graw Hill Int. Ed. Singapore, 1987. Shim, J.K , J.G Siegel & C.J Liew. Strategic Business Forecasting. Mubaruk & Brothers, Singapore , 1994 Spiegel, M.R. Statistics. Schaum’s Outline Series, Asian student ed, Mc Graw Hill, Singapore, 1985. Walpole, R.E. Pengantar Statistik. Edisi terjemahan, PT Gramedia, Jakarta, 1992 Supranto,J., Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2009 Supardi, U.S., Aplikasi Statistika dalam Penelitian, Ufuk Press, Jakarta Selatan, 2012
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 47 ] PERTEMUAN KE- 8 POKOK BAHASAN UKURAN PENYEBARAN [1] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1.1.Menghitung ukuran penyebaran suatu data B. URAIAN MATERI UKURAN PENYEBARAN DATA Ukuran keragaman ialah suatu nilai atau ukuran yang menunjukan besarnya simpangan data dari pusatnya. Ukuran keragaman yang akan dibahas disini ialah ukuran jarak (range), ragam (variance), simpangan baku (standard deviation), dan koefisien keragaman (coefficient of variation). Ukuran keragaman dapat menunjukan pula homogenitas atau kehomogenan data. Semakin besar nilai suatu ukuran keragaman maka semakin rendah homogenitas data (artinya data semakin tidak homogen). 1. Ukuran Jarak (Range/Jangkauan) Ukuran Jarak (Range) adalah selisih nilai-nilai ekstrim yang terdapat dalam kumpulan data atau dengan kata lain selisih nilai tertinggi (Xn) dengan nilai terendah (X1) dalam kumpulan data. Jangkauan atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran yang paling sederhana dari ukuran penyebaran. Ukuran Jarak (Range) adalah selisih nilai-nilai ekstrim yang terdapat dalam kumpulan data atau dengan kata lain jangkauan merupakan perbedaan antara nilai terbesar (Xmaks) dan terendah (Xmin) dalam suatu kelompok data baik data populasi maupun data sampel. Semakin kecil ukuran jangkauan menunjukkan karakter yang lebih baik, karena berarti mendekati nilai pusatnya. Range= Nilai terbesar-Nilai terkecil Range = Xmaks – Xmin
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 48 ] S-1 MANAJEMEN Contoh 1 : Carilah range/jarak dari data berikut: 50, 40, 30, 60, 70 Penyelesaian : Pertama-tama, data kita urutkan terlebih dahulu : X1 = 30, X2= 40, X3= 50, X4= 60, X5= 70 Range = X5 –X1 = 70 – 30 = 40 Contoh 2: Berikut adalah data penjualan /hari dari sampel tenaga penjual (salesman) CV. Dharma Jaya yang melakukan penjualan di dua kota Malang dan Surabaya, tentukan Jangkauan (range) nilai penjualan di dua Kota tersebut. Tenaga Penjual Surabaya Malang David 900.000,00 1.600.000,00 Eliza 1.100.000,00 1.400.000,00 Farrah 2.200.000,00 1.500.000,00 Galih 1.400.000,00 1.500.000,00 Handoyo 1.600.000,00 1.700.000,00 Indah 1.800.000,00 1.300.000,00 Penyelesaian: Jangkauan (range) nilai penjualan tenaga penjual CV. Dharma Jaya di Surabaya dan Malang adalah: Surabaya = Rp 2.200.000,00 – Rp 900.000,00 = Rp 1.300.000,00 Malang = Rp 1.700.000,00 – Rp. 1.300.000,00 = Rp 400.000,00 Jika diamati besarnya range, nilai penjualan di kota Surabaya memiliki variabilitas yang lebih tinggi dibanding dengan nilai penjualan di kota Malang. Jangkauan atau Range merupakan alat pengukuran variabilitas yang sederhana sehingga alat ukur ini memiliki kelemahan yakni tidak melibatkan seluruh data. Beberapa catatan tentang pengukuran dan penggunaan jangkauan diantaranya: a. Pengukuran jangkauan dalam pengawasan kualitas Hasil pengukuran jangkauan sebetulnya sudah menggambarkan dispersi (variasi) nilai-nilai observasi dengan cara yang paling sederhana sekali. Bila kita ingin memperoleh hasil pengukuran dispersi secara kasar dan cepat, pengukuran
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 49 ] jangkauan diatas dapat saja digunakan. Karena kesederhanaan pengukurannya, maka pengukuran jangkauan banyak sekali digunakan dalam pengawasan kualitas. b. Evaluasi hasil Pengukuran Jangkauan Jangkauan bukan pengukuran dispersi yang memuaskan karena pengukurannya tergantung kepada dua nilai, yaitu nilai tertinggi dan nilai terendah. Kedua nilai yang dimaksud ini adalah nilai-nilai yang ekstrim dalam distribusi. Oleh sebab itu, range akan mempunyai fluktuasi yang sangat besar, tergantung kepada nilai-nilai ekstrim. Kelemahan lain dari range sebagai alat pengukuran variabilitas adalah karena range tidak memenuhi definisi untuk menjadi alat semacam itu. Seperti diketahui sebelumnya bahwa variabilitas menunjukkan penyebaran nilai-nilai di sekitar tendensi sentral, dan dalam range tidak jelas petunjuk dimana letak tendensi sentralnya. Dengan kata lain, range tidak menunjukkan bentuk distribusi. 2. Ukuran Ragam / Varian Ukuran Varian (measures of variation) atau ukuran penyimpangan (measures of dispersion) adalah ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilia-nilai data berbeda dengan nilai pusatnya atau seberapa jauh penyimpanagan nilai-nilai data dari nilai pusatnya. Ukuran varian diperoleh dengan mencari nilai rata-rata dari jumlah nilai simpangan yang dikuadratkan sehingga nilai negatif telah berubah menjadi positif. Setelah nilai varian diperoleh, selanjutnya nilai tersebut diakarkan untuk mendapatkan kembali nilai asal dari variabel tersebut. Nilai asal dari varian disebut sebagai standar deviasi. a. Ragam/Varian data untuk data tunggal Bila data yang dianalisis adalah data populasi 2 = ∑ (−̅) 2 −1 atau 2 = 1 . ∑ ( − ̅) 2 =1 Bila dikaitkan dengan pengunaan data sampel 2 = ∑ (−̅) 2 −1 −1 atau 2 = 1 −1 . ∑ ( − ̅) 2 =1
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 50 ] S-1 MANAJEMEN Contoh : Tentukan ragam/varian dari sekumpulan data berikut: 50, 40, 30, 60, 70 Jawab : 50 5 250 5 30 40 50 60 70 X S 2 5 1 (30 50) (40 50) (50 50) (60 50) (70 50) 2 2 2 2 2 4 ( 20) ( 10) (0) (10) (20) 2 2 2 2 2 250 4 1000 b. Varian/Ragam Data yang dikelompokkan Data yang dikelompokkan adalah data yang telah disusun dalam bentuk distribusi frekeunsi. Pada bentuk yang demikian nilai tengah kelas (class mark Xi) dianggap sebagai nilai yang repesentatif bagi nilai yang terdapat dalam kelas bersangkutan. Bila data yang dianalisis adalah data populasi 2 = 1 .∑ ( − ̅) 2 =1 . Bila dikaitkan dengan pengunaan data sampel 2 = 1 − 1 .∑ ( − ̅) 2 =1 . Contoh : Tentukan Varian/Ragam dan hitunglah rata-rata hitung gaji Karyawan PT. Moe Ghi Oen Thoeng, dapat diamati pada tabel di bawah: Gaji karyawan (kelas) Jumlah Karyawan (frekuensi) 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 4 6 8 12 9 7 4 Jumlah 50
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 51 ] Penyelesaian: Tabel penolong perhitungan Gaji karyawan (kelas) Jumlah Karyawan (frekuensi) Nilai Tengah (Xi) f . Xi (Xi - ̅) 2 f. (Xi - ̅) 2 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 4 6 8 12 9 7 4 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 138 267 436 774 670,5 591,5 378 936,36 424,36 112,36 0,36 88,36 376,36 864,36 1573,44 2546,376 898.88 4.32 795,24 2634.52 3457,44 Jumlah 50 3255 11910,216 Dari tabel di atas diperoleh : Rata-ratanya (̅ ): ̅ = ∑ . = 3255 50 = 65,1 Simpangan bakunya (S): S 2 = 1 ∑ ( − ̅) 2 . =1 = 1 50 . 11910,216 = 238.20432 C. LATIHAN SOAL/TUGAS Selesaikanlah secara terstruktur! 1. Carilah range/jarak, dan ragam/varian dari data berikut: 60, 80, 30, 50, 90, 70, 20 2. Carilah range/jarak dan ragam/varian dari data kelompok berikut : Kelas Nilai F 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 5 10 15 25 20 10 5
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 52 ] S-1 MANAJEMEN D. DAFTAR PUSTAKA Bambang Kustianto, Statistika 1, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Kazmier, L.J & N. F Pohl, Basic Statistics for Business and Economics, Mc Graw Hill Int. Ed. Singapore, 1987. Shim, J.K , J.G Siegel & C.J Liew. Strategic Business Forecasting. Mubaruk & Brothers, Singapore , 1994 Spiegel, M.R. Statistics. Schaum’s Outline Series, Asian student ed, Mc Graw Hill, Singapore, 1985. Walpole, R.E. Pengantar Statistik. Edisi terjemahan, PT Gramedia, Jakarta, 1992 Supranto,J., Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2009 Supardi, U.S., Aplikasi Statistika dalam Penelitian, Ufuk Press, Jakarta Selatan, 2012
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 53 ] PERTEMUAN KE- 9 POKOK BAHASAN UKURAN PENYEBARAN [2] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Setelah mengikuti perkuliahan ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1.1.Menghitung ukuran penyebaran suatu data B. URAIAN MATERI UKURAN PENYEBARAN DATA 3. Simpangan Baku (Standart Deviation) Simpangan baku (Standar Deviation) merupakan ukuran variasi yang menunjukkan besar simpangan rata-rata keseluruhan nilai yang ada dalam kelompok data dengan nilai pusatnya dengan cara menghilangkan kemungkinan nilai 0 dan negatif dengan dikuadratkan. a. Data yang tidak dikelompokkan Bila data yang dianalisis adalah data populasi = √ ∑ (−̅) 2 −1 atau = √ 1 . ∑ ( − ̅) 2 =1 Bila dikaitkan dengan pengunaan data sampel = √ ∑ (−̅) 2 −1 −1 atau = √ 1 −1 . ∑ ( − ̅) 2 =1 Contoh : Tentukan simpangan baku dari sekumpulan data berikut: 50, 40, 30, 60, 70
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 54 ] S-1 MANAJEMEN Jawab : 50 5 250 5 30 40 50 60 70 X 5 1 (30 50) (40 50) (50 50) (60 50) (70 50) 2 2 2 2 2 S 4 ( 20) ( 10) (0) (10) (20) 2 2 2 2 2 250 15,8114 4 1000 b. Data yang dikelompokkan Data yang dikelompokkan adalah data yang telah disusun dalam bentuk distribusi frekeunsi. Pada bentuk yang demikian nilai tengah kelas (class mark Xi) dianggap sebagai nilai yang repesentatif bagi nilai yang terdapat dalam kelas bersangkutan. Bila data yang dianalisis adalah data populasi = √ 1 .∑ ( − ̅) 2 =1 . Bila dikaitkan dengan pengunaan data sampel = √ 1 − 1 .∑ ( − ̅) 2 =1 . Contoh : Tentukan simpangan baku dari Hitunglah rata-rata hitung gaji Karyawan PT. Moe Ghi Oen Thoeng, dapat diamati pada tabel di bawah: Gaji karyawan (kelas) Jumlah Karyawan (frekuensi) 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 4 6 8 12 9 7 4 Jumlah 50
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 55 ] Penyelesaian: Tabel penolong perhitungan Gaji karyawan (kelas) Jumlah Karyawan (frekuensi) Nilai Tengah (Xi) f . Xi (Xi - ̅) 2 f. (Xi - ̅) 2 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 4 6 8 12 9 7 4 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5 138 267 436 774 670,5 591,5 378 936,36 424,36 112,36 0,36 88,36 376,36 864,36 1573,44 2546,376 898.88 4.32 795,24 2634.52 3457,44 Jumlah 50 3255 11910,216 Dari tabel di atas diperoleh : Rata-ratanya (̅ ): ̅ = ∑ . = 3255 50 = 65,1 Simpangan bakunya (S): S = √ 1 ∑ ( − ̅) 2. =1 = √ 1 50 . 11910,216 = √238.20432 = 15.434 4. Koefisien Deviasi Variasi Koefisien Deviasi Standar disebut juga Koefisien Variasi, yang mempunyai peranan sangat penting guna membandingkan variasi dari sekelompok data dengan sekelompok data yang lain. Semakin kecil koefisien variasinya, maka datanya semakin homogen, semakin beesar koefisien variasinya maka data semakin heterogen. 100% X V Dimana; : Deviasi Standar X : Nilai rata-rata Sedangkan koefisien variasi untuk sampel adalah : 100% X S kv
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 56 ] S-1 MANAJEMEN Dimana; S : Deviasi stándar sampel X : rata-rata sampel 5. Ukuran Penyebaran Relatif a. Koefisien Range (KR) L S L S KR L : Nilai tertinggi S : Nilai Terendah b. Koefisien Deviasi Kuartil (QD) 3 1 3 1 K K K K QD K3: Kuartil 3 K1: Kuartil 1 c. Koefisien Deviasi Rata-rata (QR) X AD QR AD : Deviasi rata-rata X : Rata-rata C. LATIHAN SOAL/TUGAS Selesaikanlah secara terstruktur! 1. Carilah rata-rata, simpangan baku koefisien diviasi dari data berikut: 60, 80, 30, 50, 90, 70, 20 2. Carilah simpangan baku, dari data kelompok berikut : Kelas Nilai F 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 5 10 15 25 20 10 5
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 57 ] D. DAFTAR PUSTAKA Bambang Kustianto, Statistika 1, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Kazmier, L.J & N. F Pohl, Basic Statistics for Business and Economics, Mc Graw Hill Int. Ed. Singapore, 1987. Shim, J.K , J.G Siegel & C.J Liew. Strategic Business Forecasting. Mubaruk & Brothers, Singapore , 1994 Spiegel, M.R. Statistics. Schaum’s Outline Series, Asian student ed, Mc Graw Hill, Singapore, 1985. Walpole, R.E. Pengantar Statistik. Edisi terjemahan, PT Gramedia, Jakarta, 1992 Supranto,J., Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2009 Supardi, U.S., Aplikasi Statistika dalam Penelitian, Ufuk Press, Jakarta Selatan, 2012
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 58 ] S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE-10 POKOK BAHASAN UKURAN KEMENCENGAN DATA A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Setelah mengikuti perkuliahan ini, Anda diharapkan mampu: 1.1.Menghitung ukuran kemencengan (Skewness) data. B. URAIAN MATERI UKURAN KEMENCENGAN (SKEWNESS) Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah derajat ketidaksimetrisan atau penyimpangan dari kesimetrian dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya (̅ ≠ ≠ ), sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut distribusi menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Untuk distribusi miring, mean akan cenderung berada pada posisi yang sama dengan modus di ekor kurva yang lebih panjang. Kurva yang tidak simetris dapat menceng ke kiri atau ke kanan. Di dalam kurva yang simetris, letak modus, median dan rata-rata () sama. Ukuran tingkat kemencengan (sk) menurut Pearson adalah sebagai berikut:
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 59 ] Jadi ukuran ketidaksimetrisan dapat diperoleh dari selisih atau perbedaan nilai mean dan modus. Apabila kurva menceng ke kiri maka ̅ < < , apabila kurva menceng ke kanan maka > > ̅. Ukuran ini dapat dibuat menjadi ukuran tanpa dimensi atau satuan jika kita membaginya dengan suatu ukuran dispersi misalnya deviasi standar. Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut : 1. Koefisien Kemencengan (Sk) Pearson Ukuran tingkat Kemencengan (Sk) adalah : = ̅ − Dimana: Sk = koefisien kemencengan pearson X̅ = Rata-rata Mod = Modus S = Simpangan Baku Apabila secara empiris didapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai: X̅ – Mod = 3 (X̅ -Med) Maka rumus kemencengan diatas dapat dirubah menjadi: Sk = 3(X̅−) Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka: sk = 0 maka distribusi dikatakan simetris sekitar mean nya, makin jauh hasil sk dari nol, maka makin besar tingkat kemencengannya. sk>0 maka distribisi menceng ke kanan, nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi kanan (Mean terletak di sebelah kanan modus). Sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan/menceng ke kanan atau menceng positif.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 60 ] S-1 MANAJEMEN sk < 0 maka distribusi menceng kekiri, nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi kanan (Mean terletak di sebelah kiri modus). Sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri/menceng ke kiri atau menceng negatif. Contoh: Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa program studi Pendidikan Ekonomi Universitas Pamulang pada tahun 2016. Nilai Ujian Frekuensi (fi) 31-40 4 41-50 3 51-60 5 61-70 8 71-80 11 81-90 7 91-100 2 Jumlah 40 Tentukanlah : a. Nilai sk (skewness) dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) ! b. Gambarlah kurvanya ! Penyelesaian Soal: Tabel Penolong Perhitungan Nilai Ujian Frekuensi (fi) Nilai Tengah (Xi) fi . Xi (Xi-̅) . ( − ̅) 2 31-40 4 35.5 142 -32 4096 41-50 3 45.5 136.5 -22 1452 51-60 5 55.5 277.5 -12 720 61-70 8 65.5 524 -2 32 71-80 11 75.5 830.5 8 704 81-90 7 85.5 598.5 18 2268 91-100 2 95.5 191 28 1568 Jumlah 40 2700 10840 • Rata-rata/Mean (X̅) X̅ = ∑ . = 2700 40 = 67,5
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 61 ] • Median (Med) Letak median (Me) = = 1 2 = = 1 2 . 40 = 20 terletak pada kelas 61-70 TBK = 60,5 fm = 8 fk = 4 + 3 + 5 = 12 Ci = 10 Nilai median (Med) = TBK + ( 1 2 .−) . = 60,5 + ( 1 2 .40−12) 8 . 10 = 60,5 + 8 8 . 10 = 60,5 + 10 = 70,5 • Modus (Mod) Frekuensi terbesar adalah 12, berarti Mode terletak pada kelas ke-5 (71-80) TKBmo = 70,5 fmo = 11 d1 = 11 – 8 = 3 d2 = 11 – 7 = 4 Ci = 10 Nilai Modus (Mod) = TBKmo + 1 1+2 . Ci = 70,5 + 3 3+4 . 10 = 70,5 + 4,3 = 74,7 • Simpangan Baku (S) S =√ 1 −1 . ∑ ( − ̅) 2 =1 . = √ 1 40−1 . 10.840 = = √ 1 39 . 10.840 = √277,9487 = 16,67 Jadi ukuran tingkat Kemencengan (Sk): = ̅− = 67,5 −74,7 16,67 = −8,2 16,67 = - 0,4919 Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,4919) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 62 ] S-1 MANAJEMEN Gambar kurvanya : 2. Koefisien Kemencengan Bowley Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan : SkB = (3−2 )−(2−1) (3−2 )+(2−1) atau SkB = 3−22+1 3−1 Dimana: SkB = Koefisien kemencengan Bowley Q = Kuartil Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien Kemencengan.Apabila nilai skB dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan : 1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara positif. 2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara negatif. 3) SkB positif, berarti distribusi menceng ke kanan. 4) SkB negatif, berarti distribusi menceng ke kiri. 5) SkB = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan skB > 0,30 menggambarkan kurva yang menceng berarti.
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 63 ] Contoh soal : Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi Nilai Ujian Matematika Ekonomi dari 100 mahasiswa pada tahun 2015 menggunakan Koefisien Kemencengan Bowley. Nilai Ujian Frekuensi (fi) 20 – 29 4 30 – 39 9 40 – 49 25 50 – 59 30 60 – 69 27 70 – 79 5 Jumlah 100 Penyelesaian : • Letak Q1 = 1 4 N = 1 4 . 100 = 25 Jadi Q1 terletak pada data ke 25 yaitu pada kelas 40-49. Diperoleh nilai : TBK = 39,5 ; Ci = 10 ; fkq = 13 dan fq = 25 Sehingga nilai Q1: Nilai Q1 = TBK + ( 1 4 − ) . Ci = 39,5 + ( 1 4 .100−13 25 ) . 10 = 49,9 + ( 25−13 25 ) . 10 = 49,5 + 3,13 = 52,63 • Letak Q2 = 2 4 N = 2 4 . 100 = 50 Jadi Q2 terletak pada data ke 50 yaitu pada kelas 50-59. Diperoleh nilai : TBK = 49,5 ; Ci = 10 ; fkq = 38 dan fq = 30 Sehingga nilai Q2: Nilai Q2 = TBK + ( 1 4 − ) . Ci = 49,5 + ( 1 4 .100−38 30 ) . 10 = 49,5 + ( 50−38 30 ) . 10 = 49,5 + 4,0 = 53, 5
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 64 ] S-1 MANAJEMEN • Letak Q3 = 3 4 N = 3 4 . 100 = 75 Jadi Q3 terletak pada data ke 75 yaitu pada kelas 60-69. Diperoleh nilai : TBK = 59,5 ; Ci = 10 ; fkq = 68 dan fq = 27 Sehingga nilai Q3: Nilai Q3 = TBK + ( 1 4 − ) . Ci = 59,5 + ( 1 4 .100−68 27 ) . 10 = 59,5 + ( 75−68 27 ) . 10 = 59,5 + 2,59 = 62,09 Jadi koefisien kemencengan Bowley (SkB) SKB = 3−22+1 3−1 = 62,09 − 2.(53,5) +52,63 62,09 −52,63 = 7,72 9,46 = 0,816 Karena SkB positif (= 0,816) maka kurva menceng ke kanan. 3. Koefisien Kemencengan Persentil Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P90, P50 dan P10) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan : SkP = (90−50)−(50−10) 50−10 Keterangan : SkP = koefisien kemecengan persentil , P = persentil 4. Koefisien Kemencengan Momen Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan dengan α3. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif. Apabila nilai α3 dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan : 1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α3= 0, 2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif, 3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α3= negatif,
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 65 ] 4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3 ±0,50 adalah distribusi yang sangat menceng 5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2, bagi distribusi yang menceng. Kriteria : Jika -2,0 < ∝3 < +2,0 maka dapat diinterpretasikan berdistribusi normal atau hamper normal. Untuk mencari nilai α3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. a. Untuk data tunggal Koefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan : ∝3= 3 3 = 1 ∑( − ̅) 3 3 α3 = koefisien kemencengan momen b. Untuk data berkelompok Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan : ∝3= 3 3 = 1 ∑( − ̅) 3 . 3 Contoh: Tentukanlah koefisien kemencengan data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa program studi Pendidikan Ekonomi Universitas Pamulang pada tahun 2016 dengan menggunakan koefisien kemencengan momen (∝3). Nilai Ujian Frekuensi (fi) 31-40 4 41-50 3 51-60 5 61-70 8 71-80 11 81-90 7 91-100 2 Jumlah 40
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 66 ] S-1 MANAJEMEN Penyelesaian Soal: Tabel Penolong Perhitungan Nilai Ujian Frekuensi (fi) Nilai Tengah (Xi) fi . Xi (Xi-̅) . ( − ̅) 2 . ( − ̅) 3 31-40 4 35.5 142 -32 4096 -131072 41-50 3 45.5 136.5 -22 1452 -31944 51-60 5 55.5 277.5 -12 720 -8640 61-70 8 65.5 524 -2 32 -64 71-80 11 75.5 830.5 8 704 5632 81-90 7 85.5 598.5 18 2268 40824 91-100 2 95.5 191 28 1568 43904 Jumlah 40 2700 10840 -81360 • Rata-rata/Mean (X̅) X̅ = ∑ . = 2700 40 = 67,5 • Simpangan Baku (S) S =√ 1 −1 . ∑ ( − ̅) 2 =1 . = √ 1 40−1 . (10840) = = √ 1 39 . (10840) = √277,949 = 16,67 • Koefisien Kemencengan Momen (∝3) ∝3= 3 3 = 1 ∑(−̅) 3 . 3 = 1 40 .(−81360) 16,673 = −2.304 4632,41 = - 0,4391 Karena ∝3= - 0,4391 < 0, maka bentuk kurva negatif (menceng ke kiri). *****
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 67 ] C. LATIHAN SOAL/TUGAS Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini: 1. Berikut ini adalah daftar penggajian setiap minggunya dari karyawan 100 orang PT.Maju Sejahtera. Gaji Jumlah Karyawan 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 100 – 109 110 – 109 4 6 20 30 21 14 5 D. DAFTAR PUSTAKA Bambang Kustianto, Statistika 1, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Kazmier, L.J & N. F Pohl, Basic Statistics for Business and Economics, Mc Graw Hill Int. Ed. Singapore, 1987. Shim, J.K , J.G Siegel & C.J Liew. Strategic Business Forecasting. Mubaruk & Brothers, Singapore , 1994 Spiegel, M.R. Statistics. Schaum’s Outline Series, Asian student ed, Mc Graw Hill, Singapore, 1985. Walpole, R.E. Pengantar Statistik. Edisi terjemahan, PT Gramedia, Jakarta, 1992 Supranto,J., Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2009 Supardi, U.S., Aplikasi Statistika dalam Penelitian, Ufuk Press, Jakarta Selatan, 2012 Tentukanlah Ukuran kemencengan data di samping dengan menggunakan metode: a. Koefisien kemencengan Pearson (Sk), dan b. Koefisien kemencengan Momen (∝3).
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 68 ] S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE-11 POKOK BAHASAN UKURAN KERUNCINGAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Setelah mengikuti perkuliahan ini, Anda diharapkan mampu: 1.1.Menghitung ukuran keruncingan (Kurtosis) data. B. URAIAN MATERI UKURAN KERUNCINGAN DATA (KURTOSIS) Pengukuran kurtosis (peruncingan) sebuah distribusi teoritis adakalanya dinamakam pengukuran ekses (excess) dari sebuah distribusi. Sebenarnya kurtosis bisa dianggap sebagai suatu distorsi dari kurva normal. Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat ketinggian puncak atau keruncingan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut: 1) Leptokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi (kurva sangat runcing) 2) Platikurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar (kurva agak datar) 3) Mesokurtik Merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar Bila distribusi merupakan distribusi simetris, maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal. Pada kurva simetris, jika skala tegak lurus kurva normal ditarik secara memanjang dan skala horisontalnya dipersempit maka kurvanya akan menjadi tingggi dan ramping. Sebaliknya, jika skala tegak lurusnya diperpendek dan skala horisontal diperlebar, maka kurvanya akan menjadi pendek dan melebar.
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 69 ] Untuk mengetahui keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh: 1) Nilai α4 lebih kecil dari 3 (α4<3), maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik. 2) Nilai α4 lebih besar dari 3 (α4>3), maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik. 3) Nilai α4 yang sama dengan 3 (α4=3), maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik. Pengukuran Kurtosis Tingkat keruncingan suatu kurva distribusi dihitung dengan mempergunakan α4, yaitu moment coefficient of kurtosis yang rumusnya sebagai berikut: Untuk data yang tidak dikelompokkan (Data Tuggal): 4 = 4 4 = 1 ∑ ( − ̅) 4 =1 4 Untuk data yang dikelompokkan : 4 = 4 4 = 1 ∑ . ( − ̅) 4 =1 4 Dimana; Xi : nilai pada data ke-i X : Rata-rata i f : frekuensi Mi : Momen ke-i di sekitar rata-rata.
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 70 ] S-1 MANAJEMEN Contoh: 1. Tentukanlah koefisien keruncingan dari hasil praktikum pengukuran yang memperoleh hasil pengukuran panjang dalam cm sebagai berikut: 11, 16, 15, 12, 21, 19, 17. Penyelesaian: Tabel penolong perhitungan: Nomor Xi (X - ̅) ( − ̅) 2 ( − ̅) 4 1 11 (4.86) 23.5918 556.5748 2 16 0.14 0.0204 0.0004 3 15 (0.86) 0.7347 0.5398 4 12 (3.86) 14.8776 221.3415 5 21 5.14 26.4490 699.5485 6 19 3.14 9.8776 97.5660 7 17 1.14 1.3061 1.7060 Jumlah 111 76.8571 1,577.2770 • Rata-rata (X̅) = ∑ = 111 7 = 11,86 • Simpangan Baku (S) = √ 1 −1 . ∑( − ̅) 2 = √ 1 111−1 . (1577,277) = √15,7728 = 3,97 • Ukuran keruncingan (4): 4 = 1 ∑ (−̅) 4 =1 4 = 1 111 . (1577,277) (3,97) 4 = 1 111 . (1577,277) (3,97) 4 = 14,2097 248,406 = 0,057 Dari perhitungan diperoleh 4= 0,057 < 3 , maka kurva berbentuk landai. Gambar kurva Landai (Platikurtik)
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 71 ] 2. Tentukanlah koefisien keruncingan data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa program studi Pendidikan Ekonomi Universitas Pamulang pada tahun 2016 dengan menggunakan koefisien keruncingan momen (∝4). Nilai Ujian Frekuensi (fi) 31-40 4 41-50 3 51-60 5 61-70 8 71-80 11 81-90 7 91-100 2 Jumlah 40 Penyelesaian Soal: Tabel Penolong Perhitungan Nilai Ujian Frekuensi (fi) Nilai Tengah (Xi) fi . Xi (Xi-̅) . ( − ̅) 2 . ( − ̅) 4 31-40 4 35.5 142 -32 4096 4,194,304 41-50 3 45.5 136.5 -22 1452 702,768 51-60 5 55.5 277.5 -12 720 103,680 61-70 8 65.5 524 -2 32 128 71-80 11 75.5 830.5 8 704 45,056 81-90 7 85.5 598.5 18 2268 734,832 91-100 2 95.5 191 28 1568 1,229,312 Jumlah 40 2700 10840 7,010,080 • Rata-rata/Mean (X̅) X̅ = ∑ . = 2700 40 = 67,5 • Simpangan Baku (S) S =√ 1 −1 . ∑ ( − ̅) 2 =1 . = √ 1 40−1 . (10840) = = √ 1 39 . (10840) = √277,949 = 16,67 • Koefisien Keruncingan Momen (∝4) ∝4= 4 4 = 1 ∑(−̅) 4 . 4 = 1 40 .( 7,010,080) 16,674 = 175252 77222,241 = 2,2695 Karena ∝4= 2,2695 < 3, maka kurvanya berbentuk platikurtik (landai/datar) ******
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 72 ] S-1 MANAJEMEN C. LATIHAN SOAL/TUGAS Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini: 1. Tentukan koefisien keruncingan (kurtosis) dan jelaskan bentuk kurvanya hasil evaluasi Matakuliah Statistik-1 dari 6 orang mahasiswa diperoleh data sebagai berikut: 40, 60, 90, 80, 75, 65. 2. Hasil Ujian Matematika Ekonomi dari 80 mahasiswa disajikan dalam tabel berikut ini: Nilai Ujian Frekuensi (fi) 31-40 1 41-50 2 51-60 5 61-70 14 71-80 26 81-90 19 91-100 13 Jumlah 80 Tentukanlah koefisien keruncingan (∝4) dan jelaskan bentuk kurvanya. D. DAFTAR PUSTAKA Bambang Kustianto, Statistika 1, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Kazmier, L.J & N. F Pohl, Basic Statistics for Business and Economics, Mc Graw Hill Int. Ed. Singapore, 1987. Shim, J.K , J.G Siegel & C.J Liew. Strategic Business Forecasting. Mubaruk & Brothers, Singapore , 1994 Spiegel, M.R. Statistics. Schaum’s Outline Series, Asian student ed, Mc Graw Hill, Singapore, 1985. Walpole, R.E. Pengantar Statistik. Edisi terjemahan, PT Gramedia, Jakarta, 1992 Supranto,J., Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2009 Supardi, U.S., Aplikasi Statistika dalam Penelitian, Ufuk Press, Jakarta Selatan, 2012
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 73 ] PERTEMUAN KE-1 2 POKOK BAHASAN ANGKA INDEKS Team Teaching: Drs. Gatot Kusjono,MM ; Suprianto,SPd,MM, Drs. Fikron Al Khoir, MM, MPd; Ajimat, S.Si,MM A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Setelah mengikuti perkuliahan ini, Anda diharapkan mampu: 1.1.Menghitung Indeks Relatif sederhana (Indeks Harga, Indeks kuantitas dan Indeks Nilai) suatu data. 1.2.Menghitung Nilai Indeks Agregat Sederhana (Harga, Kuantitas, Nilai) data. B. URAIAN MATERI ANGKA INDEKS Sebuah angka yang menggambarkan perubahan relatif terhadap harga, kuantitas atau nilai yang dibandingkan dengan tahun dasar. Pemilihan Tahun Dasar: Tahun yang dipilih sebagai tahun dasar menunjukkan kondisi perekonomian yang stabil. Tahun dasar diusahakan tidak terlalu jauh dengan tahun yang dibandingkan, sehingga perbandingannya masih bermakna Banyak indikator ekonomi menggunakan angka indeks seperti Indeks Harga Konsumen, Indeks Harga Perdagangan Besar, Indeks Harga Saham Gabungan, Indeks Nilai Tukar Petani, dan lain-lain 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Ags Sep Okt Nov Des Jan IHSG Indonesia IHSG Korea Selatan IHSG M alaysia
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 74 ] S-1 MANAJEMEN ANGKA INDEKS RELATIF SEDERHANA Dikenal juga dengan unweighted index yaitu indeks yang tanpa memperhitungkan bobot setiap barang dan jasa. 1. Angka Indeks Harga Relatif Sederhana Angka Indeks harga relative sederhana menunjukkan perkembangan harga relatif suatu barang dan jasa pada tahun berjalan dengan tahun dasar, tanpa memberikan bobot terhadap kepentingan barang dan jasa. Rumus menentukan Indeks Harga Relatif Sederhana: IH = 0 x 100 Dimana: IH = Indeks Harga Ht = Harga Tahun Berjalan Ho = Harga Tahun Dasar Contoh: Tentukanlah Angka Indeks Harga dari data berikut ini! Tahun Harga 1996 1.014 1997 1.112 1998 2.461 1999 2.058 2000 2.240 2001 2.524 2002 2.777 Penyelesaian: Tahun Harga Perhitungan Angka Indeks Harga (IH) 1996 1,014 ( 1,014 1,014) 100 100 1997 1,112 ( 1,112 1,014) 100 110 1998 2,461 ( 2,461 1,014) 100 243 1999 2,058 ( 2,058 1,014) 100 203 2000 2,240 ( 2,240 1,014) 100 221 2001 2,524 ( 2,524 1,014) 100 249 2002 2,777 ( 1,014 1,014) 100 274
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 75 ] 2. Angka Indeks Kuantitas Relatif Sederhana Menunjukkan perkembangan kuantitas barang dan jasa dibandingkan dengan tahun atau periode dasarnya. Indeks kuantitas sederhana dihitung tanpa memberikan bobot pada setiap komoditas, karena dianggap masih mempunyai kepentingan yang sama. Rumus menentukan angka Indeks Kuantitas Relatif Sederhana: IK = 0 x 100 Dimana: IK = Indeks Kuantitas Kt = Kuantitas barang pada tahun berjalan Ko = Kuantitas barang pada tahun dasar Contoh: Tentukanlah Angka Indeks Kuantitas dari data berikut ini! Tahun Kuantitas 1996 31 1997 30 1998 32 1999 33 2000 32 2001 30 2002 31 Penyelesaian: Tahun Kuantitas Perhitungan Angka Indeks Kuantitas (IK) 1996 31 ( 30 31) 100 100 1997 30 ( 31 31) 100 97 1998 32 ( 32 31) 100 103 1999 33 ( 33 31) 100 106 2000 32 ( 32 31) 100 103 2001 30 ( 30 31) 100 97 2002 31 ( 31 31) 100 100
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 76 ] S-1 MANAJEMEN 3. Angka Indeks Nilai Relatif Sederhana Menunjukkan perkembangan nilai (harga dikalikan dengan kuantitas) suatu barang dan jasa pada suatu periode dengan periode atau tahun dasarnya. Rumus menentukan angka Indeks Kuantitas Relatif Sederhana: IV = 0 x 100 = . .0 x 100 Dimana: IV = Indeks Value/Nilai Vt = Nilai barang dan jasa pada tahun berjalan Vo = Nilai barang dan jasa pada tahun dasar Contoh: Tentukanlah Angka Indeks Nilai dari data berikut ini! Tahun Harga Kuantitas 1996 1.014 31 1997 1.112 30 1998 2.461 32 1999 2.058 33 2000 2.240 32 2001 2.524 30 2002 2.777 31 Penyelesaian: Tahun Harga Kuantitas Nilai Perhitungan Angka Indeks Nilai (IN) 1996 1,014 31 31,434 ( 31,434 31,434) 100 100 1997 1,112 30 33,360 ( 33,360 31,434) 100 106 1998 2,461 32 78,752 ( 78,752 31,434) 100 251 1999 2,058 33 67,914 ( 67,914 31,434) 100 216 2000 2,240 32 71,680 ( 71,680 31,434) 100 228 2001 2,524 30 75,720 ( 75,720 31,434) 100 241 2002 2,777 31 86,087 ( 86,087 31,434) 100 274
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 77 ] ANGKA INDEKS AGREGAT Angka indeks ini menekankan pada agregasi yaitu barang dan jasa lebih dari satu. 1. Angka Indeks Harga Agregat Sederhana (IHA) • Angka indeks yang menunjukkan perbandingan antara jumlah harga kelompok barang dan jasa pada periode tertentu dengan periode dasarnya. • Angka indeks yang menunjukkan perbandingan antara jumlah harga kelompok barang dan jasa pada periode tertentu dengan periode dasarnya. Rumus: IHA = ∑ ∑ 0 x 100 Dimana: IHA = Indeks Harga Agregat ΣHt = Jumlah harga barang dan jasa pada tahun berjalan ΣHo = Jumlah harga barang dan jasa pada tahun dasar Contoh: Tentukanlah Angka Indeks Harga Agregat (IHA) tahun 2012 dan tahun 2013 dari data berikut ini! Jenis Barang Harga 2012 2013 Beras 815 1.002 Jagung 456 500 Kedelai 1.215 1.151 Kacang Hijau 1.261 1.288 Kacang Tanah 2.095 2.000 Ketela Pohon 205 269 Ketela Rambat 298 367 Kentang 852 824 Penyelesaian: Jenis Barang Harga 2012 2013 Beras 815 1,002 Jagung 456 500 Kedelai 1,215 1,151 Kacang Hijau 1,261 1,288 Kacang Tanah 2,095 2,000 Ketela Pohon 205 269 Ketela Rambat 298 367 Kentang 852 824 Jumlah 7,197 7,401
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 78 ] S-1 MANAJEMEN Indeks Harga Agregat (IHA) tahu 2012 = ∑ ∑ 0 x 100 = 7,197 7,197 x 100 = 100 Indeks Harga Agregat (IHA) tahu 2013 = ∑ ∑ 0 x 100 = 7,401 7,197 x 100 = 103 2. Angka Indeks Kuantitas Agregat Sederhana Angka indeks yang menunjukkan perbandingan antara jumlah kuantitas kelompok barang dan jasa pada periode tertentu dengan periode dasarnya. Rumus: IKA = ∑ ∑ 0 x 100 Dimana: IKA = Indeks Kuantitas Agregat ΣKt = Jumlah Kuantitas barang dan jasa pada tahun berjalan ΣKo = Jumlah Kuantitas barang dan jasa pada tahun dasar Contoh: Tentukanlah Angka Indeks Kuantitas Agregat (IKA) tahun 2012 dan tahun 2013 dari data berikut ini! Jenis Barang Kuantitas 2012 2013 Beras 44.7 45.2 Jagung 6.2 6.7 Kedelai 1.3 1.5 Kacang Hijau 0.2 0.3 Kacang Tanah 0.1 0.7 Ketela Pohon 17.1 15.8 Ketela Rambat 2.2 1.9 Kentang 0.1 0.3
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 79 ] Penyelesaian: Jenis Barang Kuantitas 2012 2013 Beras 44.7 45.2 Jagung 6.2 6.7 Kedelai 1.3 1.5 Kacang Hijau 0.2 0.3 Kacang Tanah 0.1 0.7 Ketela Pohon 17.1 15.8 Ketela Rambat 2.2 1.9 Kentang 0.1 0.3 Jumlah 71.9 72.4 Indeks Kuantitas Agregat (IKA) tahu 2012 = ∑ ∑ 0 x 100 = 71,9 71,9 x 100 = 100 Indeks Kuantitas Agregat (IKA) tahu 2013 = ∑ ∑ 0 x 100 = 72,4 71,9 x 100 = 101 Indeks nilai agregat relatif sederhana menunjukkan perkembangan nilai (harga dikalikan dengan kuantitas) sekelompok barang dan jasa pada suatu periode dengan periode atau tahun dasarnya. Rumus: INA = ∑ ∑ 0 x 100 = ∑ . ∑ 00 x 100 Dimana: INA = Indeks Nilai Agregat ΣHt.Kt = Jumlah Nilai barang dan jasa pada tahun berjalan ΣHo.Ko = Jumlah Nilai barang dan jasa pada tahun dasar 3. Angka Indeks Nilai Agregate Relatif Sederhana
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 80 ] S-1 MANAJEMEN Contoh : Tentukanlah Indeks Nilai Agregat (INA) dari kedua data di atas: Jenis Barang 2012 2012 Harga Kuantitas Harga Kuantitas Beras 815 44.7 1,002 45.2 Jagung 456 6.2 500 6.7 Kedelai 1,215 1.3 1,151 1.5 Kacang Hijau 1,261 0.2 1,288 0.3 Kacang Tanah 2,095 0.1 2,000 0.7 Ketela Pohon 205 17.1 269 15.8 Ketela Rambat 298 2.2 367 1.9 Kentang 852 0.1 824 0.3 Jumlah 7,197 71.9 7,401 72.4 Penyelesaian: Jenis Barang 2012 2013 Harga Kuantitas Nilai Harga Kuantitas Nilai Beras 815 44.7 36,430.5 1,002 45.2 45,290.4 Jagung 456 6.2 2,827.2 500 6.7 3,350.0 Kedelai 1,215 1.3 1,579.5 1,151 1.5 1,726.5 Kacang Hijau 1,261 0.2 252.2 1,288 0.3 386.4 Kacang Tanah 2,095 0.1 125.7 2,000 0.7 1,400.0 Ketela Pohon 205 17.1 3,505.5 269 15.8 4,250.2 Ketela Rambat 298 2.2 655.6 367 1.9 697.3 Kentang 852 0.1 85.2 824 0.3 247.2 Jumlah 7,197 71.9 517,176.4 7,401 72.4 535,832.4 Indeks Nilai Agregat (INA) tahu 2012 = ∑ ∑ 0 x 100 = 517,176.4 517,176.4 x 100 = 100 Indeks Nilai Agregat (INA) tahu 2013 = ∑ ∑ 0 x 100 = 535,832.4 517,176.4 x 100 = 104
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 81 ] C. LATIHAN SOAL/TUGAS Selesaikanlah soal berikut ini: 1. Tentukanlah Indeks Relatif sederhana (IH,IK dan IN), beserta perhitungannya dari data berikut ini: Tahun Harga Kuantitas 2009 1.575 20 2010 1.850 27 2011 2.200 32 2. Hitunglah Nilai Indeks Agregat Sederhana (Harga, Kuantitas, Nilai) pada tahun 2014 dan tahun 2015 data berikut! Type Rumah/Luas Tahun 2014 Tahun 2015 (dlm Jutaan) Harga (Ho) (Jutaan) Kuantitas (Ko) Nilai (Jutaan) Harga-Ht (Jutaan) Kuantitas (Kt) Nilai (Jutaan) Type 21/60 45 20 unit 51 20 unit Type 29/60 52 50 unit 63 50 unit Type 29/72 75 30 unit 85 30 unit Jumlah D. DAFTAR PUSTAKA Bambang Kustianto, Statistika 1, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Kazmier, L.J & N. F Pohl, Basic Statistics for Business and Economics, Mc Graw Hill Int. Ed. Singapore, 1987. Shim, J.K , J.G Siegel & C.J Liew. Strategic Business Forecasting. Mubaruk & Brothers, Singapore , 1994 Spiegel, M.R. Statistics. Schaum’s Outline Series, Asian student ed, Mc Graw Hill, Singapore, 1985. Walpole, R.E. Pengantar Statistik. Edisi terjemahan, PT Gramedia, Jakarta, 1992 Supranto,J., Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2009 Supardi, U.S., Aplikasi Statistika dalam Penelitian, Ufuk Press, Jakarta Selatan, 2012
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 82 ] S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE-13 POKOK BAHASAN ANGKA INDEKS A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Setelah mengikuti perkuliahan ini, Anda diharapkan mampu: 1.1.Menghitung Indeks Tertimbang (Laspeyres, Paasche, dan Fisher) dari sekumpulan data. B. URAIAN MATERI ANGKA INDEKS TERTIMBANG Indeks tertimbang memberikan bobot yang berbeda terhadap setiap komponen. Hal ini dikarnekan setiap barang dan jasa mempunyai tingkat utilitas (manfaat dan kepentingan) yang berbeda. 1. Formula Laspeyres (IL) Etienne Laspeyres mengembangkan metode ini pada abad 18 akhir untuk menentukan sebuah indeks tertimbang dengan menggunakan bobot sebagai penimbang adalah periode dasar. Rumus: IL = ∑ . ∑ 00 x 100 Contoh: Tentukanlah Indeks Laspeyres (IL) dari data berikut ini! Jenis Barang Ho Ht Ko Beras 1.112 2.777 48,2 Jagung 662 1.650 7,9 Kedelai 1.257 1.840 1,9 Kacang Hijau 1.928 3.990 0,5 Kacang Tanah 2.233 3.100 0,8 Ketela Pohon 243 650 18,5 Ketela Rambat 351 980 2,2 Kentang 1.219 2.450 0,5
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 83 ] Penyelesaian: Jenis Barang Ho Ht Ko Ho.Ko Ht.Ko Beras 1.112 2.777 48,2 53.598 133.851 Jagung 662 1.650 7,9 5.230 13.035 Kedelai 1.257 1.840 1,9 2.388 3.496 Kacang Hijau 1.928 3.990 0,5 964 1.995 Kacang Tanah 2.233 3.100 0,8 1.786 2.480 Ketela Pohon 243 650 18,5 4.010 10.725 Ketela Rambat 351 980 2,2 772 2.156 Kentang 1.219 2.450 0,5 610 1.225 Jumlah 69.358 168.963 Indeks Laspeyres (IL) = ∑ . ∑ 00 x 100 = 168.963 69.358 x 100 = 244 2. Formula Paasche (IP) Menggunakan bobot tahun berjalan dan bukan tahun dasar sebagai bobot. Rumus: IL = ∑ . ∑ . x 100 Contoh: Tentukanlah Indeks Paasche (IP) dari data berikut ini! Jenis Barang Ho Ht Kt Beras 1.112 2.777 46,6 Jagung 662 1.650 6,8 Kedelai 1.257 1.840 1,6 Kacang Hijau 1.928 3.990 0,3 Kacang Tanah 2.233 3.100 0,6 Ketela Pohon 243 650 15,7 Ketela Rambat 351 980 1,8 Kentang 1.219 2.450 0,5
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 84 ] S-1 MANAJEMEN Penyelesaian: Jenis Barang Ho Ht Kt Ho.Kt Ht.Kt Beras 1.112 2.777 46,6 51.819 129.408 Jagung 662 1.650 6,8 4.502 11.220 Kedelai 1.257 1.840 1,6 2.011 2.944 Kacang Hijau 1.928 3.990 0,3 578 1.197 Kacang Tanah 2.233 3.100 0,6 1.340 1.860 Ketela Pohon 243 650 15,7 3.815 10.205 Ketela Rambat 351 980 1,8 632 1.764 Kentang 1.219 2.450 0,5 610 1.225 Jumlah 65.307 159.823 Indeks Laspeyres (IL) = ∑ . ∑ x 100 = 159.823 65.307 x 100 = 245 3. Formula Fisher (IF) • Fisher mencoba memperbaiki formula Laspeyres dan Paasche. • Indeks Fisher merupakan akar dari perkalian kedua indeks. • Indeks Fisher menjadi lebih sempurna dibandingkan kedua indeks yang lain baik Lasypeyres maupun Paasche. Rumus: Indeks Fisher (IF) = √ Jadi Indeks Fisher dari kedua contoh di atas: Indeks Fisher (IF) = √ = √ 244 245 = 244,5
Modul STATISTIK-1 PROGRAM STUDI MANAJEMEN S-1 MANAJEMEN [ 85 ] C. LATIHAN SOAL/TUGAS Selesaikanlah soal berikut ini beserta cara perhitungannya: 1. Tentukanlah Indeks Tertimbang (Laspeyres, Paasche, dan Fisher) dari data berikut: Jenis Barang Tahun 2014 Tahun 2015 HoKo Ht.Ko Ho.Kt Ht.Kt Ho Ko Ht Kt Type 21/60 45 20 unit 51 20 unit Type 29/60 52 50 unit 63 50 unit Type 29/72 75 30 unit 85 30 unit Jumlah D. DAFTAR PUSTAKA Bambang Kustianto, Statistika 1, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Haryono Subiyakto, Statistika 2, Seri diktat kuliah, Penerbit Gunadarma, Jakarta,1994 Kazmier, L.J & N. F Pohl, Basic Statistics for Business and Economics, Mc Graw Hill Int. Ed. Singapore, 1987. Shim, J.K , J.G Siegel & C.J Liew. Strategic Business Forecasting. Mubaruk & Brothers, Singapore , 1994 Spiegel, M.R. Statistics. Schaum’s Outline Series, Asian student ed, Mc Graw Hill, Singapore, 1985. Walpole, R.E. Pengantar Statistik. Edisi terjemahan, PT Gramedia, Jakarta, 1992 Supranto,J., Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2, Edisi Ketujuh, Erlangga, Jakarta, 2009 Supardi, U.S., Aplikasi Statistika dalam Penelitian, Ufuk Press, Jakarta Selatan, 2012
PROGRAM STUDI MANAJEMEN Modul STATISTIK-1 [ 86 ] S-1 MANAJEMEN PERTEMUAN KE-14 POKOK BAHASAN DERET BERKALA [TIME SERIES] A. TUJUAN PEMBELAJARAN : Setelah mengikuti perkuliahan ini, Anda diharapkan mampu: 1.1. Menentukan persamaan trend linier dengan menggunakan metode setengah rata-rata (semi everage). B. URAIAN MATERI TIME SERIES (DERET BERKALA) Data Berkala (Data Deret waktu) adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan atau sekumpulan hasil observasi yang diatur dan didapat menurut urutan kronologis waktu, misalnya perkembangan produksi, harga barang, hasil penjualan, jumlah penduduk, dll. Analisis data berkala memungkinkan kita untuk mengetahui perkembangan suatu/beberapa kejadian serta pengaruhnya/hubunganya terhadap kejadian lain. Dengan data berkala kita dapat membuat ramalan berdasarkan garis regresi atau garis trend. • Data berkala terdiri dari komponen-komponen, sehingga dengan analisis data berkala kita dapat mengetahui masing-masing komponen atau bahkan menghilangkan suatu/beberapa komponen. • Karena ada pengaruh dari komponen, data berkala selalu mengalami perubahanperubahan, sehingga apabila dibuat grafik akan menunjukkan adanya fluktuasi. KOMPONEN DATA BERKALA Ada empat komponen gerak/variasi data berkala, yaitu : 1. Gerak Jangka Panjang atau Trend Trend melukiskan gerak data berkala selama jangka waktu yang panjang/cukup lama. Gerak ini mencerminkan sifat kontinuitas atau keadaan yang serba terus dari waktu ke waktu selama jangka waktu tersebut. Karena sifat kontinuitas ini, maka trend