พ2-3-63

การเช่อื มประพจน์

1. เขาเปน็ คนสูง (ไม่เป็นประพจน)์

2. ข้าวเป็นอาหารหลกั ของคนไทย (เป็นประพจน์ มคี า่ ความจริงเป็น จรงิ )

3. 2 + 5 = 8 (เปน็ ประพจน์ มคี า่ ความจรงิ เป็น เท็จ)

4. 1 เป็นจานวนเต็มบวก (เป็นประพจน์ มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ )

5. 1 เปน็ จานวนค่ี (เปน็ ประพจน์ มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ )

ตวั เช่อื มตา่ งๆ มี 5 ตวั

“และ”
“หรอื ”
“ถา้ ...แลว้ ...”
“กต็ ่อเมอ่ื ”
“ไม”่

สัญลักษณก์ ารเช่ือมประพจน์

การเชอ่ื มประพจน์ จะใชอ้ ักษรภาษาองั กฤษตวั พิมพเ์ ลก็
เช่น p, q, r, s, … แทนประพจน์ท่ีนามาเชือ่ ม

ค่าความจริงของประพจนท์ ่มี ีตัวเชื่อมข้ึนอยกู่ บั จานวนประพจน์
ทน่ี ามาเชอ่ื มกนั ซึ่งสามารถพิจารณาค่าความจรงิ ท่ีเปน็ ไปไดท้ ง้ั หมด
โดยใช้ T แทนจรงิ และ F แทนเท็จ ไดด้ ังน้ี

pq pq

T TT
T
TF
F FT
T FF
F

F

การเชอ่ื มประพจน์ด้วย
ตัวเชื่อม และ

T
F

การเชอื่ มประพจน์ 2 ประพจน์ ด้วย “และ” 

pq

T pq pq

T TT T

F TF F

F T FT F

F FF F

ดังน้นั ตัวอpย่างqท่ี 1แทน 1 เป็นจานวนเตม็ บวก และ 1 เป็นจานวนค่ี (T)
(T)
ให้ p แทน 1 เป็นจานวนเต็มบวก (T)
q แทน 1 เปน็ จานวนค่ี

ดังนน้ั p  q แทน 1 เป็นจานวนเต็มบวก และ 1 เป็นจานวนคี่

ดงัตนวั ั้นอยา่pงท่ี 2q แทน 1 + 2 = 3 และ 1 - 2 = 3 (T)
(F)
ให้ p แทน 1 + 2 = 3 (F)
q แทน 1 - 2 = 3

ดงั นัน้ p  q แทน 1 + 2 = 3 และ 1 - 2 = 3

ดงั นน้ั ตวั อpย่างทq่ี 3แทน 1 - 2 = 3 และ 1 + 2 = 3 (F)
(T)
ให้ p แทน 1 - 2 = 3 (F)
q แทน 1 + 2 = 3
(F)
ดงั น้นั p  q แทน 1 - 2 = 3 และ 1 + 2 = 3 (F)
(F)
ดังน้ัน ตวั pอย่างqทแี่ 4ทน 2 + 3 = 4 และ 2 x 3 = 4

ให้ p แทน 2 + 3 = 4
q แทน 2 x 3 = 4

ดงั น้ัน p  q แทน 2 + 3 = 4 และ 2 x 3 = 4

การเชอ่ื มประพจน์ด้วย
ตัวเชื่อม หรือ

T
F

การเชอื่ มประพจน์ 2 ประพจน์ ดว้ ย “หรือ” 

pq

T T pq pq
F
F TT T
T TF T
FT T
F
F FF

ดังนน้ั ตัวpอย่างqที่ แ1ทน 1 เป็นจานวนเต็มบวก หรือ 1 เปน็ จานวนค่ี

ให้ p แทน 1 เปน็ จานวนเตม็ บวก (T)

q แทน 1 เปน็ จานวนค่ี (T)

ดังนน้ั p  q แทน 1 เปน็ จานวนเต็มบวก หรือ 1 เปน็ จานวนคี่ (T)

ดงั นตน้ั วั อpยา่ งทq่ี 2แทน 1 + 2 = 3 หรือ 1 - 2 = 3 (T)
(F)
ให้ p แทน 1 + 2 = 3 (T)
q แทน 1 - 2 = 3

ดงั นน้ั p  q แทน 1 + 2 = 3 หรือ 1 - 2 = 3

ดงั น้นั ตวั อpยา่ งqท่ี แ3ทน 1 - 2 = 3 หรือ 1 + 2 = 3 (F)
(T)
ให้ p แทน 1 - 2 = 3 (T)
q แทน 1 + 2 = 3
(F)
ดังนัน้ p  q แทน 1 - 2 = 3 หรือ 1 + 2 = 3 (F)
(F)
ดังน้นัตัวอpยา่งทq่ี 4แทน 2 + 3 = 4 หรือ 2 x 3 = 4

ให้ p แทน 2 + 3 = 4
q แทน 2 x 3 = 4

ดงั น้นั p  q แทน 2 + 3 = 4 หรือ 2 x 3 = 4

สรป เป็นตารางไดด้ งั น้ี pq pq

pq T T
F T
TT F T
TF F F
FT
FF

แบบฝึ กหดั

1. 2 เปน็ จานวนคู่ และ 2 เปน็ จานวนค่ี

2. 20 = 1และ 22  2k + 1เม่ือ k = 1,2,3,...

3. 3  7 หรือ 7  3

4.  เปน็ จานวนเต็ม หรือ เปน็ จานวนตรรกยะ

การเช่อื มประพจน์ด้วย
ตัวเชือ่ ม ถ้า....แล้ว...

T
F

การเชือ่ มประพจน์ 2 ประพจน์ ดว้ ย “ถ้า...แลว้ ...”

pq

T pq p→q

T F TT T
F T TF F

FT T

F FF T

ดงั น้ันตัวอpย→า่ งทq่ี 1แทน ถ้า 2 + 3 = 3+ 2 แลว้ 3(2 + 3) = 3(3 + 2)

ให้ p แทน 2 + 3 = 3 + 2 (T)
(T)
q แทน 3(2 + 3) = 3(3 + 2)

ดังนั้น p → q แทน ถ้า 2 + 3 = 3 + 2 แลว้ 3(2 + 3) = 3(3 + 2) (T)

ดังนน้ั ตวัpอ→ยา่ งทqี่ 2แทน ถ้า 3 เป็นจานวนคี่ แลว้ 23 เปน็ จานวนคี่ (T)
(F)
ให้ p แทน 3 เป็นจานวนค่ี (F)
q แทน 23 เปน็ จานวนคี่

ดังน้นั p → q แทน ถ้า 3 เป็นจานวนคี่ แลว้ 23 เป็นจานวนค่ี

ดงั นนั้ ตวั pอย→า่ งทq่ี 3แทน ถา้ 23 เปน็ จานวนคี่ แลว้ 3 เปน็ จานวนคี่

ให้ p แทน 23 เปน็ จานวนคี่ (F)

q แทน 3 เป็นจานวนค่ี (T)

ดงั นั้น p → q แทน ถา้ 23 เปน็ จานวนคี่ แลว้ 3 เป็นจานวนค่ี (T)

ดงั น้ัน p → q แทน

งนนั้ pตวั →อย่าqงทแ่ี ท4น ถ้า ปลาเป็นสัตว์ไมม่ ีกระดกู สันหลงั แล้ว ปลาไมส่ ามารถวา่ ยน้าได้

มารถว่ายนา้ ได้ ให้ p แทน ปลาเปน็ สัตวไ์ มม่ กี ระดกู สันหลัง (F)

q แทน ปลาไมส่ ามารถว่ายน้าได้ (F)

ดงั นน้ั p → q แทน ถ้า ปลาเปน็ สัตว์ไม่มีกระดกู สนั หลัง แล้ว (T)

ปลาไม่สามารถว่ายนา้ ได้

การเช่อื มประพจน์ด้วยตวั เช่ือม ถ้า...แล้ว... อาจจะเขียนในรปู อ่ืนท่มี ี
ความหมายอยา่ งเดียวกัน เชน่

ถา้ ...ดังนน้ั ...
ถา้ ...จะได.้ ..

การเช่อื มประพจนด์ ้วย
ตัวเชือ่ ม ก็ตอ่ เม่ือ

T
F

การเชื่อมประพจน์ 2 ประพจน์ ดว้ ย “ก็ต่อเมอ่ื ” 

pq pq

T T pq T
F
F TT F
T TF T

F FT

F FF

ดงั นั้น p  q แทน ABC จะเป็นรปู ส

ดงั นั้น ตัวpอย่างqท่ี 1แทน ABC จะเปน็ รูปสามเหลย่ี มดา้ นเท่า ก็ตอ่ เมื่อ ABC มดี า้ นยาวเท่ากนั ทกด้าน

ABC มใีดหา้ น้ ยาวเทา่pกันทแกทดนา้ นABC จะเป็นรูปสามเหล่ยี มด้านเท่า (T)

q แทน ABC มดี า้ นยาวเท่ากันทกด้าน (T)

ดังนั้น p  q แทน ABC จะเปน็ รปู สามเหล่ยี มดา้ นเท่า ก็ต่อเม่อื (T)

ABC มดี า้ นยาวเท่ากันทกด้าน (T)
(F)
ดังน้ัน ตpวั อยา่ งqท่ี แ2ทน 22 = (− 2)2 กต็ ่อเมือ่ 2 = −2 (F)

ให้ p แทน 22 = (− 2)2

q แทน 2 = −2
ดงั นนั้ p  q แทน 22 = (− 2)2 กต็ ่อเมอ่ื 2 = −2

ตัวอย่างที่ 3

ให้ p แทน 2  3 (F)
q แทน 1  1 (T)
(F)
23

ดังนน้ั p  q แทน 2  3 กต็ อ่ เมอ่ื 1  1

23

ตวั อยา่ งที่ 4 (F)
(F)
ให้ p แทน 7 หารดว้ ย 2 ลงตวั (T)
q แทน 7 เป็นจานวนคู่

ดังนนั้ p  q แทน 7 หารด้วย 2 ลงตัว ก็ตอ่ เม่อื 7 เป็นจานวนคู่

นเิ สธของประพจน์

การเขยี นนิเสธของประพจน์ p

p ~p

ตวั อยา่ งท่ี 1 TF (T)
ให้ FT (F)

ดังนัน้ p แทน 5 + 2 = 7 (F)
(T)
ตัวอยา่ งที่ 2 ~ p แทน 5 + 2  7

ให้ p แทน ปลาเป็นสัตว์ไม่มีกระดูกสนั หลัง

ดงั นนั้ ~ p แทน ปลาเป็นสตั วม์ ีกระดกู สนั หลัง

สรปุ เปน็ ตารางได้ดงั นี้

p→q pq ~p

p q pq pq

TT T T T T F

TF F T F F F

FT F T T F T

FF F F T T T

แบบฝึ กหดั

1.
2.

3. ยะลาอยูท่ างภาคใต้ ก็ต่อเมื่อ เชียงรายอยทู่ างภาคเหนือ