หน่วยที่ 1ตรรกศาสตร์

CHA2PTER

ตรรกศาสตร์

บริบทของเนอ้ื หา

2.2 2.4 05
2.1 2.3
การสมมลู เชิง
ค่าความจรงิ ของ สมมูล นเิ สธ ตรรกศาสตร์

ประพจนเ์ ชิงเดย่ี วและ ประพจนท์ ่มี ตี ัวเชื่อม การหาค่าความจริงของ และสัจนิรันดร์
ประพจน์เชงิ ประกอบ
ประพจนท์ ่ีมตี ัวเชอื่ ม

บรบิ ทของเนือ้ หา

2.6 2.8

2.7 2.9

การอา้ งเหตผุ ล นเิ สธของประพจนท์ มี่ ี

วลบี ง่ ปริมาณและการหาค่าความ วลบี ง่ ปรมิ าณ การตรวจสอบความสมเหตสุ มผล
โดยใชแ้ ผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์
จรงิ ของประพจน์ท่มี ีวลบี ่งปรมิ าณ

ตรรกศาสตร์เป็นศาสตร์ที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์และวิธีการอ้าง
เหตุผลหรือให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วย
ประพจน์ ประพจน์เชิงเด่ียวและประพจน์เชิงประกอบ
ตัวเช่ือมประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มี
ตัวเช่ือม การสมมูล สัจนิรันดร์ การให้เหตุผล วลีบ่ง
ปริมาณและการหาค่าความจริงของวลีบ่งปริมาณ นิเสธ
ของประพจน์ท่ีมีวลีบ่งปริมาณ การตรวจสอบความ
สมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพแวนน์-ออยเลอร์ ซึ่งเป็น
เน้อื หาสาคญั อยา่ งย่ิงในการศกึ ษาตรรกศาสตร์

ประพจนเ์ ชิงเด่ยี วและประพจนเ์ ชงิ ประกอบ

ประพจนเ์ ชิงเดีย่ วและประพจนเ์ ชิงประกอบ

การศกึ ษาตรรกศาสตร์ให้เขา้ ใจสง่ิ แรกหรือหัวขอ้ แรกท่จี ะต้องศกึ ษาเพื่อเปน็ พนื้ ฐานในการศึกษาเนื้อหาอื่นเป็น
ลาดบั ตอ่ ไปคือ “ประพจน์” (proposition) โดยมบี ทนยิ ามดังน้ี

บทนยิ าม 2.1 ประพจน์ คอื ประโยคที่เป็นจรงิ หรือเปน็ เท็จเพียงอยา่ งใดอย่างหนงึ่ เทา่ น้นั

ตัวอยา่ ง 2.1 เน่ืองจาก ข้อ 1) – 4) สามารถบอกได้
วา่ ประโยคเหล่านนั้ เป็นจริงหรือเป็นเท็จ
1.จังหวดั นครศรธี รรมราชอยู่ทางภาคใต้ของประเทศไทย จึงเป็นประพจน์
2. 25=5
3. 1 < 3 ส่วนข้อ 5) – 8) บอกไม่ได้ว่าเป็นจริง
4. -24 <4-1 หรือเทจ็ จึงไม่เป็นประพจน์
5.ทาไมนักศึกษาชอบเล่นไลน์
6.เขาเป็นประธานนักศึกษา
7.กรุณาฟังหน่อย
8.ได้โปรดชว่ ยฉนั เถอะ

ประพจน์เชงิ เด่ยี วและประพจน์เชิงประกอบ

โดยนิยมเขียนแทนประพจน์ด้วยสัญลักษณ์ตัวอักษรตัวพิมพ์เล็กในภาษาอังกฤษ เช่น p , q , r, s เป็นต้น
แทนสัญลักษณ์ค่าความจริงของประพจนท์ เี่ ปน็ จริง ด้วย “ T ” และค่าความจริงของประพจน์ท่ีมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ดว้ ย “ F ” โดยมบี ทนยิ ามดังนี้

บทนิยาม 2.2 เรียก ประพจน์ที่เป็นจริงว่า ประพจน์ที่มีค่าความจริง (true value) เป็นจริง แทนด้วย
สัญลกั ษณ์ T และเรยี กประพจน์ทีเ่ ป็นเทจ็ วา่ ประพจนท์ ่มี คี ่าความจริงเป็นเท็จ แทนดว้ ยสญั ลักษณ์ F

ตวั อยา่ ง 2.2 จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปนี้เมอ่ื กาหนดให้

p แทน “กลองเปน็ ตราสัญลกั ษณป์ ระจาจงั หวดั จนั ทบรุ ี ”

q แทน “  49  7 ”
25  3 3
r แทน “ 24 ”

วิธีทา จะพบว่า p มีค่าความจริงเป็น “ F ” เพราะตราสัญลักษณ์ประจาจังหวัดจันทบุรีเป็นรูปกระต่ายในดวงจันทร์

เปลง่ แสงเปน็ ประกายไมใ่ ชก่ ลอง , q มคี า่ ความจรงิ เปน็ “ F ” เพราะ  49  7 และ r มีค่าความจริงเป็น “ T ”

เพราะ 25  3 3 ดงั นั้น ประพจน์ p ,q ,r มคี า่ ความจริงเปน็ F ,F ,T ตามลาดบั
24

ประพจน์เชงิ เด่ยี วและประพจน์เชิงประกอบ

ประพจนท์ ่มี ีคา่ ความจริงตรงข้ามกับประพจนท์ ี่กาหนดจะเรียกว่า “นิเสธ” (negation) ของประพจน์น้ัน โดย
มบี ทนิยามดังนี้

บทนิยาม 2.3 ให้ p เป็นประพจน์ใดๆ นิเสธ ของ p เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ~p เป็นประพจน์ที่มีค่า
ความจรงิ ตรงกนั ขา้ มกับ p ดังตาราง

จากตวั อย่าง 2.2 พบว่า p ,q และ r เปน็ ประพจนท์ ่ไี ม่สามารถแยกออกเป็นประพจนย์ ่อยมากกว่าหนึ่งประพจน์ได้
เรียกว่า “ประพจน์เชิงเด่ียว(simple proposition)” ส่วนประพจน์ที่เกิดจากการนิเสธประพจน์หรือรวมต้ังแต่สอง
ประพจน์ข้ึนไปเข้าด้วยกันด้วยตัวเช่ือมทางตรรกศาสตร์ (logical connective) ได้แก่ ,, หรือ เรียก
ประพจนท์ ไ่ี ด้วา่ “ประพจน์เชงิ ประกอบ(complex proposition)” เช่น p q , p  (p q) เป็นตน้

คา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ่มี ีตวั เช่อื ม

คา่ ความจรงิ ของประพจน์ทม่ี ีตวั เชอ่ื ม

การเชอื่ มประพจนจ์ ะทาได้โดยนาประพจน์เชิงเด่ียวตั้งแต่ 2 ประพจน์ขึ้นไป สามารถนาประพจน์น้ันมาสร้างประพจน์
ใหม่โดยใชก้ ารเชือ่ มประพจน์ด้วยตวั เชื่อม ซงึ่ มี 4 แบบดงั น้ี

1.การเชือ่ มประพจน์ดว้ ย “และ” ( ) (conjunction)

กาหนดให้ p , q เป็นประพจน์โดยเชื่อมสอง
ประพจน์น้ีด้วยด้วยตัวเชื่อม “และ” เขียนแทน
ด้วย สัญลักษณ์ “p^q” อา่ นว่า “p และ q”
การเช่ือมด้วยตัวเช่ือม “และ” จะมีค่าความจริง
เป็นจริงกรณีที่ประพจน์ท่ีนามาเช่ือมเป็นจริงทั้งคู่
เท่านั้น กรณีอ่ืนจะมีค่าความจริงของประพจน์
เป็นเท็จ แสดงว่าค่าความจริงของ “p^q” ได้ดัง
ตารางค่าความจรงิ (truth table) ตอ่ ไปนี้

ค่าความจริงของประพจนท์ ม่ี ีตัวเชอ่ื ม

2.การเชื่อมประพจนด์ ้วยตวั เช่อื ม “หรอื ” (  ) (disjunction)

กาหนดให้ p , q เป็นประพจน์โดยเช่ือมสอง
ประพจน์น้ีด้วยตัวเช่ือม “หรือ” เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ “pq” อ่านวา่ “p หรอื q”
การเช่ือมด้วยตัวเชื่อม “หรือ” จะมีค่าความจริง
เป็นเท็จกรณีเดียวคือ ประพจน์ที่นามาเช่ือมเป็น
เท็จทั้งคู่ กรณีอ่ืนจะมีค่าความจริงของประพจน์
เป็นจริง แสดงว่าค่าความจริงของ “ p q ” ได้
ดงั ตารางค่าความจรงิ ตอ่ ไปน้ี

ค่าความจริงของประพจน์ทม่ี ตี วั เช่อื ม

3.การเช่ือมประพจน์ด้วยตวั เชอ่ื ม “ถ้า...แลว้ ...” ( ) (conditional)

กาหนดให้ p , q เป็นประพจน์ โดยเชื่อมสองประพจน์น้ี
ด้วย ตัวเชื่อม “ถ้า…แล้ว…”เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ด้วย
สัญลกั ษณ์ “pq” อา่ นว่า “ถ้า p แล้ว q”
การเช่ือมด้วยตวั เชอื่ ม “ถา้ ...แล้ว...” จะมีคา่ ความจริงเป็นเท็จ
กรณีเดียวคือ เมื่อประพจน์เหตุ (เหตุ)มีค่าความจริงเป็นจริง
และประพจน์ผล (ผล) มีค่าความจริงเป็นเท็จเท่าน้ัน กรณีอ่ืน
จะมีค่าความจริงของประพจน์เป็นจริง แสดงค่าความจริงของ
ประพจน์ p q ไดด้ ังตารางคา่ ความจริงตอ่ ไปนี้

คา่ ความจรงิ ของประพจนท์ มี่ ีตวั เชอื่ ม

4.การเช่อื มประพจน์ดว้ ยตัวเชื่อม “กต็ อ่ เมอ่ื ” ( ) (biconditional)

กาหนดให้ p , q เปน็ ประพจน์ โดยเช่อื มสองประพจน์
นี้ด้วยตัวเช่ือม “ ก็ต่อเมื่อ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
“pq” โดยอา่ นวา่ “ p กต็ อ่ เมอื่ q”
การเชื่อมด้วยตัวเช่ือม “ก็ต่อเม่ือ” จะมีค่าความจริง
เป็นจริงกรณีท่ีประพจน์ท่ีนามาเช่ือมมีค่าความจริง
เหมือนกัน กรณีอื่นมีค่าความจริงของประพจน์
เป็นเท็จ แสดงค่าความจริงของประพจน์ p q ได้ดัง
ตารางคา่ ความจริงต่อไปน้ี

ขอ้ ตกลง

การหาคา่ ความจริงของประพจน์ท่มี ีตวั เช่อื ม

การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ที่มีตวั เช่ือม

ถ้า p เป็นประพจน์ใด ๆ จะมีกรณีพิจารณาค่าความจริงของประพจน์เป็น 2 กรณี คือ p มีค่า
ความจรงิ เป็นจรงิ แทนดว้ ย T หรอื เป็นเทจ็ แทนดว้ ย F

ถ้า p และ q เป็นประพจน์ใด ๆ ทั้ง p และ q มีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ดังน้ัน
ถ้ามีสองประพจน์จะมีกรณีท่ีต้องพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ 4 กรณี ได้ดังตารางค่าความจริง
ตอ่ ไปนี้

การหาคา่ ความจริงของประพจน์ท่มี ตี ัวเช่อื ม

ตวั อย่าง 2.3 จงหาคา่ ความจรงิ ของ q  (p q)

การหาค่าความจริงของประพจน์ท่ีมตี ัวเช่ือม

ตวั อย่าง 2.4 จงหาค่าความจรงิ ของ p q  r

การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ที่มตี ัวเชื่อม

ขอ้ สังเกต
ถ้ามปี ระพจน์ 1 ประพจน์ จะมีกรณพี จิ ารณาคา่ ความจริงของประพจน์ 2 กรณี
ถา้ มีประพจน์ 2 ประพจน์ จะมกี รณีพจิ ารณาคา่ ความจริงของประพจน์ 4 กรณี
ถา้ มีประพจน์ 3 ประพจน์ จะมีกรณพี ิจารณาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ 8 กรณี

ในทานองเดียวกันถ้ามีประพจน์ n ประพจน์ จะมีกรณีพิจารณาค่าความจริงของ
ประพจน์ 2n กรณี เมื่อทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อย สามารถหาค่าความจริงของ
ประพจน์เชงิ ประกอบท่มี ีตัวเช่ือมหลายตวั ได้ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้

การหาค่าความจรงิ ของประพจน์ที่มตี วั เช่ือม

ตวั อย่าง 2.5 จงหาค่าความจริงของ p  qp  r เมอื่ กาหนดใหป้ ระพจน์ p , q และ r มคี ่าความ
จรงิ เปน็ T , F และ T ตามลาดับ

การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ท่ีมีตวั เชอ่ื ม

ตัวอย่าง 2.6 จงหาค่าความจริงของ p q   r  s เม่ือกาหนดให้ประพจน์ p ,q ,r มีค่า
ความจริงเป็น “เทจ็ ” และ s มคี ่าความจรงิ เปน็ “จริง”
วิธที า แทนคา่ ความจรงิ ของประพจน์ทกี่ าหนดจะได้

ดังนน้ั p q   r  s มคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ

การหาค่าความจรงิ ของประพจนท์ ี่มีตวั เชื่อม

บางครง้ั การวเิ คราะห์ค่าความจรงิ ของประพจนไ์ มจ่ าเปน็ ต้องวิเคราะหใ์ หค้ รบทกุ ขน้ั ตอนกส็ ามารถตอบได้
วา่ ประพจน์นนั้ มีคา่ ความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จ เพียงแค่ทราบค่าความจริงของประพจน์บางประพจน์ และผลสรุป
ของการเชือ่ มดว้ ยตวั เชื่อมประพจน์ ดังนี้

1.ประพจน์เชือ่ มด้วย “และ” เปน็ เทจ็ เสมอ ถ้าประพจนท์ ี่นามาเชื่อมประพจนใ์ ดประพจน์หนึง่ เป็นเท็จ

2.ประพจน์เช่อื มดว้ ย “หรือ” เป็นจริงเสมอ ถ้าประพจนท์ ่ีนามาเชื่อมประพจนใ์ ดประพจนห์ นง่ึ เปน็ จรงิ

3.ประพจน์เชื่อมด้วย “ถ้า...แล้ว...” เป็นเท็จเม่ือประพจน์ตัวหน้าท่ีนามาเชื่อมมีค่าความจริงเป็นจริง
และประพจนต์ ัวหลังทน่ี ามาเชอ่ื มมคี ่าความจรงิ เป็นเทจ็

4.ประพจนเ์ ช่ือดว้ ย “...ก็ตอ่ เมอื่ ...” เป็นจรงิ เสมอ เมอื่ ประพจน์ท่ีนามาเช่ือมมีค่าความจริงเป็นจริงท้ัง
คู่หรือเปน็ เทจ็ ท้ังคู่

การหาคา่ ความจริงของประพจน์ท่มี ีตวั เช่อื ม

การหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ท่มี ตี ัวเชือ่ ม

ตัวอย่าง 2.7 จงหาค่าความจรงิ ของประพจน์ r q  p  s  r เมื่อกาหนดให้ p และ s มี
คา่ ความจรงิ เปน็ “T” และ “F” ตามลาดับ
วธิ ที า

ดังนน้ั ประพจน์ r q  p  s  r มีค่าความจรงิ เป็นจรงิ

การหาคา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ีม่ ตี วั เชือ่ ม

ในทางกลับกันหากทราบคา่ ความจรงิ ของประพจน์รวมท้ังหมดก็สามารถหาค่าความจริงของแต่
ละประพจน์ย่อยได้ดังนี้

ตัวอย่าง 2.8 กาหนดให้ p p  r  q  r มีค่าความจริงเป็นจริง จงหาค่าความจริงของ
ประพจน์ p , q และ r
วิธที า เน่ืองจาก p p  r  q  r มีค่าความจริงเป็นจริง

แสดงวา่ p และ p  r  q  r มีคา่ ความจริงเปน็ จริง
นนั้ คอื p  r และ q  r มีค่าความจรงิ เปน็ จริงดว้ ย

ดงั นั้น p มคี า่ ความจริงเปน็ “จรงิ ”
q มคี ่าความจริงเปน็ “เทจ็ ”
r มีคา่ ความจรงิ เป็น “เทจ็ ”

การหาคา่ ความจริงของประพจน์ท่มี ีตวั เช่อื ม

สมมลู นิเสธ และสจั นิรนั ดร์

สมมลู นเิ สธ และสจั นิรันดร์

บางครั้งการเชื่อมประพจน์หลายประพจน์แล้วหาค่า
ความจริงพบวา่ มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ บ้างเป็นเท็จบ้าง บางคร้ังมี
ค่าความจริงเป็นเท็จทุกกรณี แต่ถ้าค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
เรยี กวา่ “สจั นิรนั ดร”์ โดยมบี ทนิยามดังนี้

บทนิยาม 2.4 สัจนิรนั ดร์ (tautology) คือประพจน์เชงิ ประกอบทม่ี คี า่
ความจริงเปน็ จริงทกุ ค่าความจริงของประพจน์เชิงเด่ียว
ทน่ี ามาเช่อื มกนั

สมมูล นเิ สธ และสัจนิรนั ดร์

ตวั อย่าง 2.9 จงแสดงว่า p  (p q) เปน็ สัจนิรันดร์
วธิ ที า ถา้ p  (p q) เป็นสจั นิรนั ดร์ แสดงว่ามีค่าความจริงเปน็ จรงิ ทกุ คา่ ของประพจน์ย่อย จึงหาคา่ ความจริงทุก
คา่ ของประพจนย์ อ่ ยจากตารางคา่ ความจริง ดงั ตาราง

จากตารางคา่ ความจรงิ พบวา่ คา่ ความจรงิ ของ p หรือ q จะมีคา่ ความจริงเป็นจริงหรือเป็นเทจ็ จะได้ p  (p q)
มีค่าความจรงิ เปน็ จริงทุกกรณี
ดงั นน้ั p  (p q) เปน็ สจั นริ ันดร์

สมมูล นิเสธ และสัจนิรันดร์

การตรวจสอบโดยใชข้ อ้ ขัดแยง้ ตามรูปแบบของประพจน์ที่เกดิ จากตัวเชื่อมดังนี้

1. รูปแบบเชื่อมด้วย “”ด้วยพิจารณารูปแบบ p  qพบว่าเป็นเท็จกรณีเดียวเท่านั้นคือ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ

และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังน้ันในการตรวจสอบโดยใช้ข้อขัดแย้งทาได้โดยกาหนดให้ผลสุดท้ายมีค่าความจริง
เป็น เท็จ และคา่ ความจริงของประพจน์ที่อยูท่ างซ้ายและขวาของตวั เชื่อม “”เป็นเทจ็ ท้งั คู่ ทาให้เกิดข้อขัดแย้งหรือไม่
ถา้ เกิดการข้อขดั แย้งข้นึ แสดงวา่ ท่กี าหนดใหผ้ ลสุดท้ายมีคา่ ความจริงเป็น เท็จ น้ันไมถ่ กู ต้องจงึ เปน็ สัจนิรนั ดร์

2. รูปแบบเช่ือมด้วย “ ” ด้วยพิจารณารูปแบบ p  q พบว่าเป็นเท็จกรณีเดียวเท่าน้ันคือ p มีค่าความจริงเป็น
จริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังน้ันในการตรวจสอบโดยใช้ข้อขัดแย้งทาได้โดยกาหนดให้ผลสุดท้ายมีค่าความ
จรงิ เปน็ เท็จ และค่าความจริงของประพจน์ท่ีอยู่ทางซ้ายและขวาของตัวเช่ือม “” เป็นจริงและเท็จตามลาดับ ทาให้
เกิดข้อขัดแย้งหรือไม่ ถ้าเกิดการข้อขัดแย้งข้ึนแสดงว่าท่ีกาหนดให้ผลสุดท้ายมีค่าความจริงเป็น เท็จ นั้นไม่ถูกต้องจึง
เปน็ สัจนิรนั ดร์

สมมลู นิเสธ และสจั นริ ันดร์

การตรวจสอบโดยใชข้ อ้ ขดั แยง้ ตามรูปแบบของประพจน์ทเ่ี กิดจากตัวเช่ือมดังนี้

3. รูปแบบเช่ือมด้วย “ ” ด้วยพิจารณารูปแบบ p  qพบว่าเป็นเท็จกรณีท่ีค่าความจริงของ p
และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน ดังนั้นในการตรวจสอบโดยใช้ข้อขัดแย้งทาได้โดยกาหนดให้ผล
สุดทา้ ยมีค่าความจรงิ เป็น เท็จ และคา่ ความจริงของประพจน์ที่อยูท่ างซา้ ยและขวาของตัวเชอ่ื ม “”
เป็นตรงข้ามกันทั้งคู่ ทาให้เกิดข้อขัดแย้งหรือไม่ ถ้าเกิดการข้อขัดแย้งข้ึนแสดงว่าท่ีกาหนดให้ผล
สุดทา้ ยมีคา่ ความจริงเปน็ เท็จ นน้ั ไมม่ โี อกาสเกิดขน้ี จงึ เปน็ สัจนิรนั ดร์

สมมลู นิเสธ และสจั นริ ันดร์

ตัวอย่าง 2.10 จงแสดงวา่ p  (p q) ไมเ่ ปน็ สัจนริ นั ดร์
วิธที า (1) สร้างตารางคา่ ความจริงได้ดังน้ี

จากตารางค่าความจริงพบวา่ บรรทัดท่ี 2 เมอื่ p มคี า่ ความจริงเป็น T และ q มีค่าความจริงเป็น F
จะเหน็ วา่ p  (p q) มีคา่ ความจริง เป็น F
แสดงวา่ p  (p q) ไม่เปน็ สัจนิรนั ดร์

สมมูล นิเสธ และสัจนิรันดร์

ตวั อย่าง 2.10 จงแสดงวา่ p  (p q) ไม่เป็นสัจนิรนั ดร์

วธิ ีทา (2) เมื่อใชก้ ารวิเคราะห์ กรณีประโยคท่เี ชือ่ ดว้ ย มีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จเมื่อคา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ้งั สอง
ไม่เหมือนกัน
พิจารณาจาก ให้ p มีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง q มคี ่าความจรงิ เป็น F
พบว่า มคี ่าความจรงิ เปน็ F
จะได้ มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็
นน่ั คือ ไม่เปน็ สัจนริ นั ดร์

ตัวอย่าง 2.11 จงแสดงว่า p  (p q) เป็นสัจนิรันดร์
วิธีทา (โดยวิธีใชข้ อ้ ขดั แยง้ ) กาหนดให้คา่ ความจรงิ ของ p  (p q) มคี ่าความจรงิ เป็นเท็จ

จะไดว้ ่า p มคี า่ ความจรงิ เป็น จรงิ และ p q มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็
แสดงว่า p มคี า่ ความจรงิ เป็นเท็จ ซึง่ เกิดการขัดแย้ง
ดงั น้ัน p  (p q) เปน็ สจั นริ ันดร์

สมมูล นิเสธ และสจั นิรนั ดร์

ตัวอย่างของสัจนิรนั ดร์ เม่อื กาหนดให้ p , q , r เปน็ ประพจน์ใด ๆ

สมมูล นิเสธ และสจั นิรนั ดร์

ตัวอย่างของสัจนิรนั ดร์ เม่อื กาหนดให้ p , q , r เปน็ ประพจน์ใด ๆ

สมมูล นิเสธ และสจั นิรนั ดร์

ตัวอย่างของสัจนิรนั ดร์ เม่อื กาหนดให้ p , q , r เปน็ ประพจน์ใด ๆ

สมมลู นเิ สธ และสัจนิรนั ดร์

พิจารณาค่าความจริงของประพจน์ p  q และ p q

จะเหน็ วา่ p  q และ p q มีคา่ ความจรงิ ตรงกันข้ามซงึ่ ต่อไปเราจะเรียกประพจน์ทีม่ ีค่าความจริงตรงกันขา้ ม
วา่ เปน็ นเิ สธกัน โดยมีบทนยิ ามดังนี้

บทนยิ าม 2.5 ให้ p และ q เป็นประพจน์ เรากลา่ ววา่ p และ q เป็นนเิ สธ ของกันและกนั
ก็ตอ่ เมอ่ื ประพจน์ทัง้ สองมีค่าความจริงตรงกันข้ามกัน

สมมูล นิเสธ และสจั นิรนั ดร์

ตวั อยา่ ง 2.12 จงพจิ ารณาวา่ ประพจนต์ อ่ ไปน้เี ปน็ นเิ สธกนั หรอื ไม่
1. p q และ ( p q)
2. p q และ p  q

วิธีทา สรา้ งตารางค่าความจริง p q , ( p q) และ p  q

สมมลู นเิ สธ และสจั นริ นั ดร์

ตัวอยา่ ง 2.13 จงแสดงวา่ p  q และ p  q เปน็ นิเสธกัน
วธิ ที า จากประพจน์ทกี่ าหนดให้ สร้างตารางคา่ ความจริงไดด้ ังน้ี

สมมูล นเิ สธ และสัจนิรนั ดร์

ตัวอย่าง 2.14 จงแสดงว่านิเสธของ p  q คอื p  q
วิธีทา เนือ่ งจาก p  q  p q เปน็ สัจนริ นั ดร์

และ p  q   p q

 p q

น่ันคอื p  q เป็นนเิ สธของ p  q

การสมมลู เชิงตรรกศาสตร์

การสมมูลเชงิ ตรรกศาสตร์

ในการหาค่าความจรงิ ของประพจน์เชงิ ประกอบบางครั้งพบว่ารปู แบบของประพจน์เชิงประกอบไม่
เหมอื นกนั แต่มีค่าความจริงเหมอื นกันทุกกรณจี ะกล่าวว่าประพจน์เชงิ ประกอบท้ังสองสมมูลกัน โดยนิยามดังน้ี

บทนิยาม 2.6 ประพจน์เชิงประกอบสองประพจนจ์ ะสมมลู กนั ก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองมคี า่
ความจริงเหมอื นกนั ทุกกรณี

บทนยิ าม 2.7 ให้ p และ q เปน็ ประพจน์ เรากลา่ ววา่ p และ q สมมลู กันเชิงตรรกศาสตร์
กต็ ่อเมื่อประพจน์ท้ังสองมีคา่ ความจรงิ เหมอื นกนั ทุกกรณี กรณตี ่อกรณี ถ้า
p และ q สมมูล กนั เชิงตรรกศาสตรจ์ ะเขยี นแทน p  q ด้วย

การสมมูลเชิงตรรกศาสตร์

ตัวอย่าง 2.15 จงแสดงวา่ p  q และ q  p เป็นนิเสธกนั
วิธีทา จากตารางค่าความจริงของ p  q และ q  p

การสมมูลเชงิ ตรรกศาสตร์

ตัวอย่างของประพจน์ทีส่ มมูลกนั
เมื่อกาหนดให้ p , q , r เปน็ ประพจน์ใด ๆ
t เป็นประพจน์ที่มคี ่าความจรงิ เปน็ จริงทกุ กรณี
f เป็นประพจน์ทีม่ ีค่าความจริงเป็นเทจ็ ทุกกรณี

การสมมลู เชงิ ตรรกศาสตร์

ตัวอย่างของประพจน์ทีส่ มมลู กัน

การสมมูลเชงิ ตรรกศาสตร์

ตวั อยา่ ง 2.16 จงหานเิ สธของ p  q  r
วธิ ีทา

การอา้ งเหตผุ ล

การอ้างเหตผุ ล

การให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์แบ่งเป็น 2 ส่วนคือ ส่วนท่ีเป็นเหตุหรือส่ิงท่ีกาหนดให้ และส่วนท่ี
เป็นข้อสรุปหรือผล แลว้ ถงึ การสมเหตุสมผล(valid) หรอื ไมส่ มเหตสุ มผล(invalid) โดยมีบทนิยามดงั นี้

บทนยิ าม 2.8 การใหเ้ หตุผลคอื การอา้ งวา่ จากเหตุ p1, p2,..., pn
สามารถสรปุ ผล q

บทนิยาม 2.9 การให้เหตุผลทป่ี ระกอบดว้ ย p1, p2,..., pn และขอ้ สรปุ q จะสมเหตุสมผล
กต็ อ่ เมอื่ p1 p2... pn  q เปน็ สัจนิรันดร์

การอา้ งเหตผุ ล

ตวั อยา่ ง 2.17 จงพิจารณาการใหเ้ หตผุ ลสมเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1. ถา้ ฝนตกแลว้ ถนนเล่อื น
2. ฝนตก
ผลสรุป ถนนเล่อื น

วิธที า กาหนดให้ p แทน ฝนตก และ q แทน ถนนเล่ือน

จะได้ เหตุ 1. p  q

2. p

ผลสรุป q

นาเหตทุ กุ เหตุเชอ่ื มด้วยตัวเช่อื ม “และ” และเชื่อมกบั ผลสรปุ ดว้ ย “ถ้า...แลว้ ...” จะได้

p  q  p  q

การอา้ งเหตุผล

ตวั อย่าง 2.17 จงพิจารณาการใหเ้ หตผุ ลสมเหตสุ มผลหรอื ไม่
เหตุ 1. ถา้ ฝนตกแลว้ ถนนเล่ือน
2. ฝนตก
ผลสรุป ถนนเล่ือน

วิธีทา และสร้างตารางคา่ ความจริงได้ดังน้ี

จากตารางพบว่าเปน็ จริงทุกกรณแี สดงวา่ p  q  p  q เป็นสจั นริ ันดร์
ดังน้ันผลสรปุ คือ q หรอื ถนนเล่อื น นัน่ คือ การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล