หน่วยที่ 1ตรรกศาสตร์

การอ้างเหตผุ ล

ตัวอยา่ ง 2.18 จงพิจารณาการให้เหตุผลสมเหตสุ มผลหรอื ไม่
เหตุ 1. ถ้าแดงด่มื กาแฟแลว้ แดงรสู้ กึ กระชบั กระเฉง
2. แดงรสู้ ึกกระชับกระเฉง
ผลสรุป แดงดม่ื กาแฟ

วิธีทา กาหนดให้ p แทน แดงดืม่ กาแฟ q แทนแดงรสู้ กึ กระชบั กระเฉง
เขียนสงิ่ ทีก่ าหนดใหใ้ นรปู สัญลักษณ์ ได้ดงั นี้
เหตุ 1. p  q
2. q
ผลสรปุ p
นาเหตทุ ัง้ สองเชอื่ มดว้ ย “และ” และเชอื่ มกบั ผลสรปุ ดว้ ย “ถา้ ...แลว้ ...” จะไดป้ ระโยคสัญลกั ษณ์
p  q  p  q

การอา้ งเหตุผล

ตวั อย่าง 2.18 จงพิจารณาการใหเ้ หตุผลสมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1. ถา้ แดงดืม่ กาแฟแล้วแดงรสู้ กึ กระชบั กระเฉง
2. แดงรู้สึกกระชบั กระเฉง
ผลสรุป แดงด่มื กาแฟ

วิธีทา และสร้างตารางค่าความจริงได้ดังน้ี

จากตารางคา่ ความจริงจะไดว้ า่ ไมเ่ ป็นสัจนริ ันดร์
ดงั น้ัน การใหเ้ หตผุ ลนี้ ไม่สมเหตุสมผล

การอ้างเหตุผล

ต่อไปนี้เป็นรูปแบบของการให้เหตุผลท่ีสมเหตุสมผล นาไปใช้เป็นกฎอ้างอิง(rules of inference )
ดงั นี้

การอา้ งเหตผุ ล

ตัวอย่าง 2.19 จงพิจารณาการให้เหตผุ ลต่อไปน้สี มเหตสุ มผลหรอื ไม่
เหตุ 1. p  q
2. p  r
3. q
ผลสรุป r

วิธีทา

ดงั นนั้ การให้เหตผุ ลน้ีสมเหตสุ มผล

การอ้างเหตผุ ล

ตวั อย่าง 2.20 จงพิจารณาการใหเ้ หตุผลสมเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1. p  q
2. r s
3. q  r
4. s
ผลสรปุ p

วิธที า

ดังนั้น การใหเ้ หตผุ ลน้สี มเหตสุ มผล

การอ้างเหตผุ ล

ตวั อยา่ ง 2.21 จงพิจารณาการใหเ้ หตุผลลมเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1.อนชุ าติเรียนคณติ ศาสตร์หรอื ไพลินเรยี นสงั คม
2.ถ้าอนชุ าติเรยี นคณิตศาสตรแ์ ลว้ โยธินเรยี นคณติ ศาสตรด์ ้วย
3.ไพลินไมเ่ รยี นสงั คม
ผลสรปุ โยธินเรียนคณติ ศาสตร์

วธิ ที า ให้ p แทนอนุชาติเรียนคณติ ศาสตร์
q แทนไพลนิ เรยี นสังคม
r แทนโยธนิ เรียนคณิตศาสตร์

เขยี นสิง่ ทีก่ าหนดให้ในรปู สัญลักษณ์ ไดด้ งั นี้
เหตุ 1. p q

2. p  r
3. q
ผลสรปุ r

การอา้ งเหตผุ ล

ตัวอยา่ ง 2.21 จงพิจารณาการให้เหตผุ ลลมเหตุสมผลหรือไม่
เหตุ 1.อนุชาติเรียนคณติ ศาสตร์หรือไพลนิ เรยี นสงั คม
2.ถ้าอนุชาตเิ รยี นคณิตศาสตรแ์ ลว้ โยธนิ เรียนคณิตศาสตรด์ ้วย
3.ไพลนิ ไมเ่ รยี นสงั คม
ผลสรปุ โยธนิ เรยี นคณิตศาสตร์

วธิ ีทา

ดงั น้นั การใหเ้ หตุผลน้สี มเหตุสมผล

การอ้างเหตุผล

ตวั อยา่ ง 2.22 จงพิจารณาการใหเ้ หตผุ ลลมเหตสุ มผลหรือไม่
เหตุ 1.ไมตรไี ปห้องสมดุ แล้วนุชไปวา่ ยนา้
2.วิทวัสไมด่ ูละคร
3.ถา้ ไมตรีไมไ่ ปห้องสมดุ แลว้ พลอยไม่ไปซ้อื ของ
4.พลอยไปซอื้ ของหรอื วทิ วัสดลู ะคร
ผลสรุป พลอยไปซือ้ ของและนุชไปว่ายน้า

วธิ ีทา ให้ p แทนไมตรีไปว่ายน้า เขียนส่ิงท่กี าหนดใหใ้ นรูปสญั ลักษณ์ ได้ดังนี้
q แทนนชุ ไปว่ายน้า เหตุ 1. p  q
r แทนวิทวัสดูละคร
s แทนพลอยไปซอื้ ของ 2. r
3. p  s
4. s r
ผลสรปุ s q

การอา้ งเหตุผล

ตัวอย่าง 2.22 จงพจิ ารณาการให้เหตผุ ลลมเหตุสมผลหรอื ไม่
เหตุ 1.ไมตรไี ปหอ้ งสมดุ แลว้ นุชไปวา่ ยนา้
2.วิทวัสไม่ดลู ะคร
3.ถ้าไมตรีไมไ่ ปหอ้ งสมดุ แล้วพลอยไม่ไปซื้อของ
4.พลอยไปซอ้ื ของหรอื วิทวัสดลู ะคร
ผลสรุป พลอยไปซื้อของและนชุ ไปว่ายนา้

วธิ ีทา

ดังน้นั การใหเ้ หตผุ ลนี้สมเหตุสมผล

ประโยคเปดิ

วลบี ง่ ปรมิ าณและการหาค่าความจริง
ของประพจน์ที่มวี ลีบ่งปรมิ าณ

วลบี ่งปรมิ าณและการหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณ

1.วลีบง่ ปริมาณ(quantifier) ในทางตรรกศาสตร์ ใช้ ใน 2 ลักษณะ คือ บอกปริมาณเป็นจานวนที่
แนน่ อน เช่น นกั ศกึ ษา 45 คน นกแกว้ 15 ตัว เครอื่ งจักร 10 เคร่ือง และบอกปริมาณเป็นจานวนมากน้อย เช่น
นักศกึ ษาทุกคน จานวนเต็มบางจานวน เป็นต้น โดยเขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ดังนี้

1.1 วลีบ่งปริมาณทั้งหมด หมายถึง ทุกสิ่งทุกอย่างในเอกภพสัมพัทธ์ที่กล่าวถึง
มักใช้คาวา่ “ทง้ั หมด” “ทกุ ๆ” หรือ “แตล่ ะ” เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ “  ”

1.2 วลีบ่งปริมาณบางตัว หมายถึง บางส่ิงบางอย่างในเอกภพสัมพัทธ์ที่กล่าวถึง
มักใช้คาว่า “บางอยา่ ง” “บางส่งิ ” เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ “  ”

วลบี ่งปรมิ าณและการหาคา่ ความจริงของประพจน์ท่มี ีวลีบง่ ปรมิ าณ

การใช้สญั ลักษณ์แทนวลีบง่ ปรมิ าณตอ้ งใชค้ วบคูก่ บั ประโยคเปดิ เช่น
กาหนดขอ้ ความ “สาหรบั x ทุกตัวถา้ x เปน็ จานวนเตม็ แล้ว x เป็นจานวนจริง”
จากขอ้ ความขา้ งต้น ถา้ ขอบเขตของข้อความทีก่ ลา่ วถึงคือ เซตของจานวนเตม็
แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์  x[x  I  x  R]

หรอื กาหนดขอ้ ความ “จานวนเตม็ ทกุ จานวนเป็นจานวนตรรกยะ”
จากข้อความขา้ งต้น ถา้ ขอบเขตของข้อความท่ีกล่าวถงึ คอื เซตของจานวนเตม็
ให้ P(x) แทน x เป็นจานวนตรรกยะ สญั ลักษณแ์ ทนขอ้ ความ คือ  xP(x)
แต่ถ้าขอบเขตของส่ิงที่กล่าวถึงคือเซตของจานวนจริง สัญลักษณ์แทนข้อความคือ  x[x เป็นจานวนเต็ม แล้ว x
เปน็ จานวนตรรกยะ]

ต่อไปจะเรียกเซตของขอบเขตของส่ิงทกี่ ล่าวถงึ ว่า เอกภพสัมพทั ธ์ แทนดว้ ย U บางครั้ง อาจเขียนเอกภพสัมพทั ธ์
กากบั ไว้ด้วย ดังน้ี

 x  R [x เปน็ จานวนเตม็  x เป็นจานวนตรรกยะ]

วลีบ่งปรมิ าณและการหาค่าความจรงิ ของประพจนท์ มี่ วี ลีบง่ ปริมาณ

ตัวอยา่ ง 2.23 จงเขียนประพจน“์ สาหรบั x ทกุ ตัว x เปน็ จานวนเต็ม แล้ว x เป็นจานวนตรรกยะ”
ตอ่ ไปนีใ้ นรูปสญั ลักษณ์
วธิ ที า ให้ P(x) แทน x เปน็ จานวนเต็ม แลว้ x เป็นจานวนตรรกยะ

ประพจน์ “สาหรบั x ทกุ ตวั x เป็นจานวนเต็ม แลว้ x เปน็ จานวนตรรกยะ”
เขียนแทนดว้ ย xP(x) หรือ x[x เปน็ จานวนเต็ม แล้ว x เป็นจานวนตรรกยะ]
หรือ  xx  I  x  Q

วลีบ่งปริมาณและการหาค่าความจรงิ ของประพจนท์ ม่ี ีวลีบง่ ปรมิ าณ

2.การหาค่าความจริงของประพจน์ท่ีมีวลีบ่งปริมาณ โดยมีบทนิยามดังน้ี ประพจน์ท่ีมีวลีบ่ง
ปริมาณสามารถหาค่าความจริงเชน่ ประพจนท์ วั่ ไป โดยมีนิยามดังนี้

บทนยิ าม 2.10  xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเม่ือ นาค่าทุกค่าในเอกภพสัมพัทธ์
แทนค่าในตัวแปร x แลว้ ทาให้ P(x) เปน็ จรงิ เสมอ

 xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเม่ือ นาค่าทุกค่าในเอกภพสัมพัทธ์
แทนคา่ ในตวั แปร x แล้วมี x อยา่ งนอ้ ยหน่งึ ค่าที่ทาให้ P(x) เป็นเท็จ

วลีบ่งปริมาณและการหาคา่ ความจริงของประพจน์ท่มี วี ลบี ง่ ปริมาณ

ตวั อยา่ ง 2.24 กาหนด P(x) : x+ 2  5 และ 4,5,6
จงพจิ ารณาว่า  xP(x) มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ หรือเป็นเทจ็
วิธีทา

ดงั นั้น  xP(x) มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ

วลีบ่งปริมาณและการหาคา่ ความจริงของประพจน์ท่มี วี ลบี ง่ ปริมาณ

ตวั อยา่ ง 2.25 กาหนด P(x) : x+ 2  5 และ  1, 2, 4
จงพจิ ารณาว่า  xP(x) มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ หรือเป็นเทจ็
วิธีทา

ดงั นั้น  xP(x) มีคา่ ความจริงเป็นเทจ็

วลีบ่งปริมาณและการหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ท่ีมวี ลบี ่งปริมาณ

บทนิยาม 2.11 xP(x) มีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมื่อ นาค่าทุกค่าในเอกภพสัมพัทธ์
แทนคา่ ในตัวแปร x แลว้ ทาให้ P(x) เป็นเทจ็

xP(x) มีค่าความจริงเป็นจริงก็ต่อเม่ือ นาค่าทุกค่าในเอกภพสัมพัทธ์
แทนคา่ ในตัวแปร x แลว้ มี x อยา่ งน้อยหนึ่งคา่ ทีท่ าให้ P(x) เป็นจริง

วิธตีทัวาอย่าง 2.26 จงพจิ ารณาวา่ x[x 1 0] เมื่อ 1,0,1 มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ หรือเปน็ เทจ็

ดงั นัน้ x[x 1 0] เม่อื 1,0,1 มคี ่าความจรงิ เปน็ จรงิ

นเิ สธของประพจนท์ ี่มวี ลบี ่งปรมิ าณ

นิเสธของประพจน์ท่มี วี ลีบง่ ปริมาณ

นิเสธของประพจน์ทม่ี ีวลบี ่งปริมาณ คอื ประพจนท์ ม่ี ีค่าความจริงทต่ี รงกนั ขา้ มของประพจน์ท่มี วี ลบี ง่ ปริมาณนน้ั
กาหนดประพจนท์ ม่ี ีวลีบง่ ปริมาณ เชน่  x Px หรอื x Px นเิ สธของ  x Px เขยี นแทนด้วย x Px
ซึ่ง  x Px มคี า่ ความจริงตรงกนั ข้ามกับ x Px และนิเสธของ x Px เขียนแทนดว้ ย x Px ซึง่
มคี ่า x Px ความจรงิ ตรงกันข้ามกับ x Px

นเิ สธของประพจนท์ ี่มีวลบี ง่ ปริมาณ

การหานิเสธของประพจน์ท่ีมีวลีบ่งปริมาณ คือการหาประพจน์ท่ีมีค่าความจริงที่ตรงกันข้ามของ
ประพจน์ทม่ี วี ลีบ่งปริมาณน้ัน

นิเสธของประพจนท์ ่มี วี ลบี ง่ ปรมิ าณ

ตวั อย่าง 2.26 จงหานิเสธของ xx+ 2  4
วธิ ีทา

ดังน้ัน นเิ สธของ xx+ 2  4 คือ  xx+ 2  4

ตัวอยา่ ง 2.27 จงหานเิ สธของ  xx  3  x  2

วิธที า

ดงั นน้ั นิเสธของ  xx  3  x  2 คือ x x  3  x  2

การตรวจสอบความสมเหตสุ มผลโดยใช้
แผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์

การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์

การตรวจสอบความสมเหตุสมผลนอกจากการพิจารณาโดยการนาเอาแต่ละเหตุและผลมา
เช่ือมกันด้วยตัวเชื่อม “ถ้า...แล้ว...” และเหตุทุกเหตุที่กาหนดให้เช่ือมด้วยตัวเช่ือม “และ” ถ้าแสดง
ได้ว่าเป็นสัจนิรันดร์ สรุปได้ว่าสมเหตุสมผล นอกจากน้ียังสามารถแผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของ
ประพจน์ตา่ ง ๆ

วิธีการตรวจสอบความสมเหตุสมผลอีกวีธีหน่ึง โดยใช้แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของ
ประพจน์ต่างๆ ท่ีกาหนดให้ ซ่ึงพัฒนาโดย อารีสโตเติล ท่านได้พิจารณาความสัมพันธ์ของ 4 ข้อความ
ต่อไปน้ี

ทกุ ๆ....เปน็ ... เช่น หมอทกุ คนสูง
ไมม่ ี...เป็น... เชน่ ไมม่ ีหมอคนใดสงู
มบี าง...เป็น... เชน่ หมอบางงคนสงู
มบี าง...ไม่เปน็ ... เช่น หมอบางคนไมส่ ูง

การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชแ้ ผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์

นอกจากนยี้ งั พิจารณาถงึ ประโยคที่จะใช้อกี 2 ประโยค คือ ...เปน็ ... และ ...ไมเ่ ปน็ ...
ขอ้ ความ 4 ประโยคขา้ งต้น สามารถเขยี นแสดงความสมั พนั ธ์ไดด้ งั นี้

ภาพที่ 2.1 ความสมั พนั ธ์ระหว่างสมาชิกของ A และ B

การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชแ้ ผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์

ตัวอยา่ ง 2.28 เหตุ 1.สงิ โตทุกตัวสนี ้าตาล
2.สัตวท์ ่มี สี นี ้าตาลว่งิ เร็ว

ผล สงิ โตทุกตวั วง่ิ เรว็
วธิ ที า เขยี นแผนภาพแสดงขอ้ ความขา้ งต้นไดด้ ังนี้

จะเหน็ วา่ เซตที่แสดงสัตว์ท่วี ิ่งเรว็ คลุมสตั วท์ ี่มสี ีนา้ ตาล ซ่งึ มีสิงโตทกุ ตัวดว้ ย
ดังนัน้ ขอ้ สรุปทว่ี า่ ทกุ ตวั ว่ิงเร็วจึงเปน็ ข้อสรุปท่ีสมเหตุสมผล

การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชแ้ ผนภาพของเวนน-์ ออยเลอร์

ตวั อยา่ ง 2.29 พิจารณาข้อความทก่ี าหนด ว่าผลสรุปสมเหตุสมผลหรือไม่
1. นกั กฬี าทุกคนมรี ปู ร่างสงู ใหญ่
2. แดงมรี ูปร่างสงู ใหญ่
ผล แดงเป็นนกั กฬี า

วธิ ีทา เขียนแผนภาพแสดงขอ้ ความขา้ งต้นได้ดังนี้

จะเห็นได้ว่า ข้อความท่ี 2 แดงมีรูปร่างสูงใหญ่ แดงอาจจะเป็นนักกีฬาหรือไม่ได้เป็นนักกีฬาก็ได้
จะสรุปว่า “แดงเปน็ นกั กีฬา” ไมไ่ ด้ แสดงว่าขอ้ สรปุ น้ี ไม่สมเหตุสมผล

เอกสารอา้ งองิ

ปิยรัตน์ จาตรุ นั ตบตุ ร. (2547). หลักการคณติ ศาสตร์. กรุงเทพฯ : สานักพมิ พ์แหง่ จุฬาลงกรณ์.
ธนวัฒน์ ศรีศิรวิ ฒั น.์ (2558).หลักการคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ.

สมเดช บญุ ประจกั ษ์. (2551).หลักการคณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : มหาวิทยาลยั ราชภฏั พระนคร.
สเุ ทพ จนั ทร์สมศักด.์ิ (2554).สารตั ถะและวทิ ยวิธที างคณติ ศาสตร์.กรุงเทพ:สานักพิมพ์
มหาวิทยาลยั สุโขทยั ธรรมาธิราช.

CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by Flaticon, and
infographics & images by Freepik.