MODUL MATEMATIKA KELAS XI SMK

Nurur Rachmawati, S.Pd.
MODUL

MATEMATIKA

KELAS

XI

SEMESTER 2

Kata Pengantar Daftar Isi

Segala puji syukur kami panjatkan Bab 1 STATISTIKA DAN ATURAN
kepada Tuhan Yang Maha Kuasa yang PENCACAHAN .................... 2
telah memberikan rahmat dan A. Statistika ........................ 3
bimbingan-Nya sehingga kami mampu B. Aturan Pencacahan ....... 7
menyusun buku untuk SMA/SMK. Uji Kompetensi 1 ................ 10

Buku ini kami susun berdasarkan Bab 2 LINGKARAN ...................... 16
kurikulum terbaru. Dikemas dengan A. Persamaan Lingkaran .. 17
ringkasan materi yang menarik beserta B. Persamaan Garis
soal-soal latihan yang memadai Singgung Lingkaran ..... 19
memungkinkan siswa untuk kreatif dan Uji Kompetensi 2 ................ 23
terpadu guna lebih meningkatkan
kemampuan daya pikir, senantiasa Bab 3 TRANSFORMASI .............. 27
kritis, berpikir logis, dan efektif dalam A. Translasi dan Refleksi .. 28
proses kegiatan belajar. B. Rotasi dan Dilatasi ....... 30
Uji Kompetensi 3 ................ 32
Kami mengharap buku ini
bermanfaat bagi siswa dan guru dalam Ulangan Tengah Semester ........... 37
proses kegiatan belajar mengajar, Bab 4 TURUNAN .......................... 41
sehingga mampu menambahkan
pengetahuan bagi guru dan A. Turunan suatu Fungsi .. 42
meningkatkan kecerdasan bagi siswa. B. Aplikasi Turunan .......... 44
Uji Kompetensi 4 ................ 47
Karena itu, demi perbaikan buku ini, Bab 5 INTEGRAL ......................... 51
segala saran, kritik, dan masukan yang A. Integral Tak Tentu dan
membangun akan senantiasa kami
terima dengan lapang hati. Semoga Notasinya ..................... 52
buku ini berguna dan bermanfaat bagi B. Aplikasi Integral Tak
peserta didik dan guru pengajarnya
Tentu ............................ 53
Penyusun Uji Kompetensi 5 ................ 56
Ulangan Akhir Semester ............... 61
Nurur Rachmawati, Daftar Pustaka ............................... 64
S.Pd.

BAB STATISTIKA DAN ATURAN
PENCACAHAN
1

Kompetensi Inti

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong-royong, kerja sama,

toleran, damai), santun, responsif, dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas
berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin
tahu tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk
memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari
yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Dasar

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap

toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam

melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.
3.12 Mendeskripsikan dan menggunakan berbagai ukuran pemusatan, letak dan penyebaran data sesuai dengan

karakteristik data melalui aturan dan rumus serta menafsirkan dan mengkomunikasikannya.
3.13 Mendeskripsikan dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata serta

menyajikan alur perumusan aturan perpecahan (perkalian, permutasi dan kombinasi) melalui diagram atau
cara lainnya.
3.14 Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata.
4.9 Menyajikan dan mengolah data statistik deskriptif ke dalam tabel distribusi dan histogram untuk memperjelas
dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kehidupan nyata.
4.10 Memilih dan menggunakan aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah nyata serta
memberikan alasannya.
4.11 Mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam
pemecahan masalah tersebut.

Indikator

1. Memahami berbagai ukuran pemusatan data
2. Memahami ukuran letak data
3. Memahami berbagai ukuran penyebaran data
4. Memahami aturan pencacahan (perkalian, permutasi, dan kombinasi).
5. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan prinsip permutasi dan kombinasi

Apersepsi Berat Jumlah
Siswa
Di sebuah SMA diadakan pengukuran data fisik siswa-siswi kelas XI Badan
berupa tinggi badan dan berat badan. Berat badan siswa bervariasi 3
mulai dari 40 kg sampai 69 kg. Oleh karena itu, dibuatlah tabel (kg) 15
distribusi frekuensi dengan kelas interval tertentu seperti yang 40 – 44 14
disajikan pada tabel disamping. Dari data tersebut dapat diketahui 45 – 49 21
ukuran pemusatan maupun penyebaran datanya. Apakah yang 50 – 54 5
dimaksud ukuran pemusatan dan penyebaran data? Bagaimana cara 55 – 59 2
mencarinya? Jawaban dari pertanyaan-pertanyaan tersebut dapat 60 – 64
Anda temukan pada bab berikut.
65 - 69
Peta Konsep

Statistika dan Aturan Pencacahan

Statistika Aturan Pencacahan

Ringkasan Materi

A. Statistika

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang membahas cara pengumpulan dan
penyusunan data, pengolahan data, dan penganalisisan data, serta penyajian data
berdasarkan kumpulan dan analisis data yang dilakukan. Pada ilmu statistik kali ini akan
dipelajari ukuran pemusatan, letak, dan penyebaran data

1. Ukuran Pemusatan Data
Ukuran pemusatan data disebut juga tendensi sentral, yaitu ukuran untuk

memberikan gambaran wakil data dari sampel yang diambil, yang selanjutnya akan
mewakili populasinya. Ukuran pemusatan terdiri dari mean (rata-rata hitung), median (nilai
tengah), dan modus (nilai yang sering muncul).
a. Mean

Rataan hitung (mean) adalah jumlah semua nilai data yang diamati dibagi
dengan banyaknya data yang diamati.

1) Untuk data tunggal Keterangan:
x = mean
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + xn = data ke-n
n = banyaknya data

Apabila datanya dalam bentuk tabel, maka rataan dirumuskan sebagai berikut.

= ∑ .
∑

Keterangan: = frekuensi data ke-i
Σ = sigma artinya jumlah
̅ = mean
= data ke-i

3 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Untuk data rata-rata gabungan digunakan rumus berikut.

̅ = 1. ̅1+ 2. ̅2 Keterangan:

1+ 2 ̅ = mean gabungan

xi = mean kelompok ke-i

ni = banyaknya data kelompok ke-i
2) Untuk data kelompok

a) Mean dengan titik tengah

= ∑ . Keterangan: fi = frekuensi kelas ke-i
∑ x = mean Σ = jumlah (sigma)
xi = titik tengah ke-i

b) Mean dengan rata-rata sementara

̅ = ̅ + ∑ .
∑

Keterangan:

x = mean
di = simpangan kelas ke-i dengan di = xi - xs
fi = frekuensi kelas ke-i
xs = rataan hitung sementara (diambil dari titik tengah kelas frekuensi

terbanyak)

Mengamati

Amati ilustrasi berikut!
Sebuah toko sepatu buka setiap harinya. Penjualan sepatu di hari Senin 21 pasang, Selasa
19 pasang, Rabu 17 pasang, Kamis 23 pasang, Jumat 24 pasang, Sabtu 20 pasang, dan hari
Minggu 22 pasang. Menurut Anda, jika diambil sebuah angka yang mewakili penjualan sepatu
tiap harinya, angka berapakah itu? Bagaimana cara mencarinya?

Menanya

Tanyakan kepada guru Anda mengenai perbedaan antara mean, median, dan modus
b. Median

Median adalah nilai tengah suatu data yang telah diurutkan. Untuk data

berkelompok berdistribusi frekuensi median ditentukan sebagai berikut.

= + − . Keterangan:
2
Me = median
n = banyak data dari statistik terurut ΣFi
tb = tepi bawah kelas median
F = frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas median
L = panjang kelas

fm = frekuensi kelas median

c. Modus

Modus adalah nilai data ynag paling sering muncul. Jila data disajikan

dengan tabel, maka modus adalah data dengan frekuensi paling besar atau
paling tinggi. Modus data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

4 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Keterangan:

= + 1 . Mo = modus
1+ 2 tb = tepi bawah kelas modus
L = panjang kelas
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

2. Ukuran Letak Data

Ukuran letak data meliputi kuartil, desil, dan persentil.

a. Kuartil

Jika semua data yang telah diurutkan mulai dari data terkecil sampai data

terbesar, maka data tersebut dapat dibagi menjadi empat bagian. Ukuran letak yang

membagi empat bagian dari sekumpulan data disebut kuartil.

Xmin Q1 Q2 Q3 Xmaks

Untuk menentukan kuartil data berdistribusi, maka dirumuskan sebagai berikut.

= + − . Keterangan:
4 Qi = kuartil ke-i data, untuk i = 1,2,3
tb = tepi bawah kelas kuartil ke-i
L = panjang kelas

n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil ke-i

b. Desil f = frekuensi kelas kuartil ke-i

Jika kuartil membagi data yang terurut menjadi empat bagian, maka desil

menjadi 10 bagian dengan ukuran data n>0. Untuk menentukan desil data

berdistribusi, maka dirumuskan:
Keterangan:

= + − . Di = desil ke-i data, untuk i = 1,2,3, ..., 9
10 tb = tepi bawah kelas desil ke-i
L = panjang kelas
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil ke-i

c. Persentil f = frekuensi kelas desil ke-i

Jika kuartil dan desil membagi data yang terurut menjadi empat dan sepuluh

bagian, maka persentil menjadi 100 bagian data. Untuk menentukan persentil data

berdistribusi maka dirumuskan:

= + − . Keterangan:
100 Pi = persentil ke-i data, untuk i = 1,2,3, ..., 99
tb = tepi bawah kelas persentil ke-i
L = panjang kelas

n = banyak data

F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil ke-i

f = frekuensi kelas persentil ke-i

3. Ukuran Penyebaran Data
Ukuran penyebaran data menunjukkan perbedaan data yang satu dengan data yang

lain serta menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki nilai yang
berbeda.
a. Jangkauan (range)

Range merupakan selisih antara data terbesar dengan data terkecil.
Sedangkan untuk data berdistribusi, data tertinggi diambil dari nilai tengah kelas
tertinggi dan data terendah diambil dari nilai kelas yang terendah.

5 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

b. Jangkauan antarkuartil (simpangan kuartil)

Jangkauan antarkuatil dirumuskan selisih kuartil terbesar dengan kuartil terkecil yaitu
kuartil atis (Q3) dengan kuartil bawah (Q1).
Simpangan kuartil = Q3 – Q1
c. Simpangan rata-rata

∑ =1 − ̅ ∑ =1 | − ̅ |
∑ =1
= =
Adapun untuk data berkelompok:

Keterangan: n = banyak data
SR = simpangan rata-rata fi = frekuensi kelas ke-i
xi = nilai data ke-i
x = nilai rata-rata
d. Ragam dan simpangan baku

Simpangan baku: = √1 ∑ = . ( − ̅ )2 Ragam atau varian: 2 = 1 ∑ = . ( − ̅ )2



Keterangan:

SB = simpangan baku x = nilai rata-rata
SB2 = ragam/varian xi = nilai tengah kelas ke-i
fi = frekuensi kelas ke-i n = banyak data

Tugas Individu 1

Kerjakan tugas berikut secara mandiri!
Carilah informasi dari buku atau internet, bagaimana cara menghitung rata-rata data
berkelompok dengan cara coding.

Tugas Kelompok 1

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!
Buatlah sebuah kelompok. Kumpulkan data mengenai berat badan masing-masing siswa di
kelas Anda. Susun datanya dalam tabel distribusi frekuensi. Kemudian, hitunglah mean,
median, dan modusnya.

Latihan 1

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Perhatikan tabel berikut!

Nilai Frekuensi

70-74 4
75-79 5
80-84 14
85-89 17
90-94 10

Jumlah 50

Tentukan mean (rata-rata hitung) dari data tersebut!

Jawab: ..............................................................................................................

6 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

2. Perhatikan tabel berikut!

Nilai Frekuensi

70-74 4
75-79 5
80-84 14
85-89 17
90-94 10

Jumlah 50

Tentukan median dari data tersebut!

Jawab: ..............................................................................................................

3. Perhatikan data tabel berikut!

Interval Frekuensi

21-25 2
26-30 8
31-35 9
36-40 6
41-45 3
46-50 2

Tentukan modus dari data tersebut!

Jawab: ..............................................................................................................

4. Suatu seleksi perekrutan anggota Paskibra di sebuah sekolah diperoleh data

tinggi badan siswa yang mendaftar adalah sebagai berikut!

Tingggi Badan (cm) Banyak Siswa yang Mendaftar

140-144 7

145-149 8

150-154 12

155-159 16

160-164 24

165-169 13

170-174 2

Tentukan range dari data distribusi tersebut!

Jawab: ..............................................................................................................

5. Perhatikan data berikut!

Nilai Frekuensi Berdasarkan data tersebut, tentukan:
40-49 4 a. desil ke-2, dan
50-59 5 b. desil ke-9.

60-69 14
70-79 10

80-89 4

90-99 3

Jawab: ..............................................................................................................

B. Aturan Pencacahan

Aturan pencacahan merupakan cara atau aturan yang digunakan untuk menghitung
semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan. Metode yang sering
digunakan antara lain permutasi dan kombinasi.

1. Menemukan Konsep Pencacahan (Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi)

7 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Konsep pencacahan yang akan dibahas meliputi perkalian, faktorial, permutasi,

kombinasi, dan binomial Newton.

a. Perkalian

Misalkan sebuah prosedur dapat dipecah dalam dua penugasan. Penugasan

pertama dapat dilakukan dalam n, cara dan tugas kedua dapat dilakukan dalam n2

cara setelah tugas pertama dilakukan. Dengan demikian, dalam mengerjakan

prosedur tersebut ada (n1 x n2) cara.

b. Faktorial

n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n. Notasi
dari n faktorial dilambangkan dengan n! (dibaca “n faktorial”).
n! = n x (n-1) x (n-2) ... x 3 x 2 x 1
c. Permutasi

Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda
tanpa adanya pengulangan. Permutasi dirumuskan sebagai berikut.

!
( , ) = ( − )!
d. Kombinasi

Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda yang diambil r unsur ditulis
sebagai C(n,k) sehingga dirumuskan sebagai berikut.

!
( , ) = ( − )! !
e. Binomial Newton

Konsep kombinasi dapat dikembangkan pada bahasan tentang Binomial
Newton dengan aturan sebagai berikut.

( + ) = 0 + 1 −1 1 + ⋯ + −1 −1 +
atau ( + ) = ∑ =0 − dengan n, r merupakan bilangan asli

2. Peluang
Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian. Peluang berhubungan dengan

gagasan atau konsep kesempatan atau kemungkinan. Sebelum menentukan peluang,
maka ruang sampel dari suatu kejadian perlu didata terlebih dahulu.
a. Konsep ruang sampel

Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam, hasil yang muncul dapat
dituliskan dengan menggunakan notasi himpunan. Misalkan: “G” dimaksudkan
munculnya gambar dan “A” munculnya angka. Himpunan dari semua hasil yang mungkin
muncul pada percobaan ditulis S={G,A}, S disebut sebagai ruang sampel.

Inet

Kaidah pencacahan banyak diaplikasikan pada kejadian-kejadian yang masih dalam tahap
kemungkinan, belum menjadi kenyataan. Jika Anda ingin menambah pengetahuan tentang
kaidah pencacahan dan peluang, maka kunjungilah situs berikut:
https://mtksmampsw.wordpress.com/kelas-xi/kelas-xi-ipa-semester-i/peluang/

Mengeksplorasi

Carilah data ruang sampel dari percobaan-percobaan seperti berikut!

a. Dua uang logam d. Dua dadu

b. Tiga uang logam e. Satu uang logam dan satu dadu

c. Satu dadu

Infokini

8 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Teori peluang awalnya terinspirasi oleh masalah perjudian yang diamati oleh matematikawan
dan fisikawan Italia bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24
September 1501. Cardano merupakan seorang pejudi. Walaupun judi berpengaruh buruk
terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam
bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565,
Cardano banyak membahas konsep dasar peluang yang berisi tentang masalah perjudian.
Sayangnya buku tersebut tidak pernah dipublikasikan sampai tahun 1663. Girolamo
merupakan salah seorang dari bapak probability.

b. Peluang kejadian majemuk
Peluang suatu kejadian A adalah banyaknya anggota kejadian A dibandingkan
dengan semua kejadian yang terjadi. Suatu percobaan yang mempunyai beberapa
hasil, masing-masing mempunyai peluang yang sama, dapat dirumuskan sebagai
berikut.

( ) = ( )

( )
Keterangan:
P(A) = peluang munculnya suatu kejadian A
n(A) = banyaknya anggota dalam kejadian A
n(S) = banyaknya anggota dalam himpunan ruang sampel

Nilai P(A) berkisar antara 0 ≤ P(A) ≤ 1 . P(A) = 1 merupakan kejadian pasti
sedangkan P(A) = 0 merupakan kejadian mustahil.

Kreativitas

Bermain kartu bridge membutuhkan taktik berupa peluang. Cobalah mainkan kartu bridge di
rumah bersama teman Anda untuk mempelajari peluang. Cari tahu mengenai ruang sampel
dan kemungkinan peluang-peluang kejadian yang dapat terjadi dari kasus kartu bridge.

Mengasosiasi

Analisislah mengenai aturan pencacahan yang sesuai dalam pemecahan masalah
matematika. Berikan contohnya!

Mengkomunikasikan

Presentasikan tentang sebuah pemanfaatan konsep aturan pencacahan dalam kehidupan
sehari-hari, kepada teman-teman sekelas Anda.

Tugas Individu 2

Kerjakan tugas berikut secara mandiri!
Carilah informasi melalui buku atau internet tentang cara menyelesaikan permasalahan
permutasi dengan unsur yang berbeda, permutasi dengan unsur-unsur yang sama, dan
permutasi siklis.

Tugas Kelompok 2

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!
Buatlah kartu berangka 1 – 25. Lalu kocok dan ambil 1 kartu secara acak. Diskusikanlah
berapa peluang terambilnya kartu yang berangka genap, ganjil, dan prima.

9 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Tulislah hasil diskusi kelompok Anda pada selembar kertas, kemudian presentasikan
bagaimana cara kelompok Anda menentukan jawabannya di depan kelas.

Latihan 2

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Berapakah cara yang dapat dilakukan oleh 4 orang remaja (w, x, y, z) dalam menempati

tempat duduk yang akan disusun dengan suatu susunan yang teratur?

Jawab: ..................................................................................................................................

2. Berapakah banyaknya cara yang bisa dilakukan untuk memilih 3 orang menjadi satu

kelompok dari 4 orang pedagang kaki lima yang diwawancarai?

Jawab: ..................................................................................................................................

3. Lima buah angka 2, 3, 5, 7, dan 9 akan disusun menjadi suatu bilangan yang terdiri dari

4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun jika:

a. Angka-angka boleh berulang, dan
b. Angka-angkanya tidak boleh berulang.

Jawab: ..................................................................................................................................

4. Tentukan hasil permutasi dari:

a. 7P3 b. 5P5 c. 6P1

Jawab: ..................................................................................................................................

5. Sepuluh keping uang logam yang bersisi G dan A akan dilempar bersama-sama.

Tentukan:

a. Banyaknya ruang sampel, c. Peluang munculnya 7 angka,

b. Peluang munculnya 3 gambar, d. Peluang munculnya paling sedikit 8 gambar

Jawab: ..................................................................................................................................

Penanaman Nilai Karakter

Setelah mempelajari bab ini, siswa dapat memahami tentang statistika dan kaidah dalam
melakukan pencacahan. Selain itu, dalam bab ini siswa juga dilatih untuk mengembangkan
kreativitas untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan peluang. Informasi-
informasi pada bab ini sangat penting sebagai pelajaran bahwa segala sesuatu yang ada
dapat ditelaah dengan menggunakan konsep berpikir analitis, mandiri, kreatif, runtut, dan
eksperimentatif.

Uji Kompetensi 1

A. Berilah tanda silang (X) pada huru a, b, c, d, atau e di depan jawaban yang benar!

1. Data berat badan dari sejumlah siswa Mean dari data tersebut adalah ....
disajikan dalam tabel sebagai berikut:
a. 66,75 d. 68,07

Berat Frekuensi b. 67.13 e. 68,50
50-54 4
55-59 6 c. 67, 65
60-64 15
65-69 35 2. Hasil survei upah karyawan di
70-74 30
75-79 8 suatu perusahaan disajikan pada
80-84 2
tabel berikut:

Upah (Ribuan Rupiah) Frekuensi
110-118 4
119-127 5
128-136 8

10 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

137-145 12 51 – 55 2
146-154 6 56 – 60 4
61 – 65 5
155-163 4 66 – 70 6
71 – 75 4
164-172 1 76 – 80 1
81 – 85 1
Median dari data tersebut adalah ...

a. 148 d. 137,25

b. 147 e. 137,15

c. 138,75 Median berat badan mahasiswa

adalah ...

3. Perhatikan histogram berikut! a. 63 d. 65

Frekuensi b. 64 e. 65,5

11 c. 64,5

Perhatikan tabel berikut untuk soal nomor

6 dan 7!

4

2 Data nilai tes Matematika terhadap 40
1 orang siswa SMK kelas 11 adalah
sebagai berikut.
24,5 34,5 44,5 54,5 Panjang (cm)

Grafik Histogram Nilai Frekuensi
Panjang Daun Tumbuhan A 40 – 49 4
5
Rata-rata panjang daun tumbuhan A 50 – 59 14
60 – 69 10
pada histogram tersebut adalah ... cm. 70 – 79 4
80 – 89 3
a. 34,82 d. 36,24 90 – 99

b. 35,64 e. 36,72

c. 35,75

4. Perhatikan tabel data umur berikut! 6. Kuartil bawahnya adalah ...

Umur Frekuensi a. 56,33 d. 59,11
6
7 – 10 8 b. 57,54 e. 59,57
11 – 14 10
15 – 18 12 c. 58,78
19 – 22 8
23 – 26 6 7. Nilai kuartil atasnya adalah ...
27 – 30
a. 74,5 d. 76

b. 75 e. 76,5

c. 75,5

Median dari tabel tersebut adalah .... 8. Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5

a. 17,75 d. 18,83 Desil ke-4 adalah

b. 18,25 e. 19,25 a. 5,1 d. 6,9

c. 18,53 b. 6,4 e. 7,2

5. Sebanyak 26 orang mahasiswa terpilih c. 6,7

sebagai sampel dalam penelitian 9. Banyaknya sepeda motor yang terjual

kesehatan di sebuah universitas. dalam lima minggu terakhir pada suatu

Mahasiswa tersebut diukur berat dealer dalam unit adalah 8, 4, 6, 10, 12.

badannya. Hasil pengukuran berat Simpangan baku data tersebut adalah ...

badan disajikan dalam bentuk data a. 2√2 d. 4

berkelompok seperti berikut. b. 2 e. 8

c. √3

Berat Badan (kg) Frekuensi

46-50 3

11 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

10. Simpangan baku dari data 4, 5, 6, 6, 4 16. Tiga keping uang logam dilempar secara

adalah .... bersamaan sebanyak 320 kali. Frekuensi

a. 1 √2 d. 2 √5 harapan munculnya ketiga-tiganya
2
5

b. √2 e. √5 gambar adalah ... kali.
pergantian kepengurusan
c. 2 √3 a. 40 d. 120
3
b. 80 e. 180

11. Menjelang c. 90

OSIS, akan dibentuk panitia inti 17. Sebuah kantong berisi 5 kelereng merah,

sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan 4 kelereng putih, dan 6 kelereng hijau.

wakil ketua). Calon panitia tersebut ada 6 Jika diambil 3 kelereng sekaligus maka

orang yaitu a, b, c, d, e, dan f. Banyak

cara pasangan calon yang dapat duduk peluang terambilnya 2 kelereng hijau dan

sebagai panitia inti adalah .... 1 kelereng merah adalah ....

a. 12 d. 72 a. 12 d. 18

b. 24 e. 120 91 91

c. 30 b. 15 e. 20

12. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 91 91

10 orang akan mengadakan rapat dan c. 16

91

duduk mengelilingi sebuah meja.

Banyaknya cara semua mahasiswa 18. Sebuah kantong berisi 8 kelereng merah

tersebut dapat diatur pada sekeliling dan 6 kelereng berwarna putih. Jika

meja adalah ... diambil satu per satu tanpa pengambilan,

a. 362.880 d. 187.980 maka peluang terambil kedua kelereng

b. 272.540 e. 123.650 berwarna merah adalah....

c. 212.640 a. 56 d. 8

13. Dalam sebuah kotak obat terdapat 10 182 14

tablet A dan 6 tablet B. Jika dari dalam b. 64 e. 156
182 196
kotak obat diambil 2 tablet sekaligus,

maka peluang terambilnya kedua tablet c. 7

B adalah .... 13

a. 1 d. 3 19. Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah

8 8 dan 3 kelereng kuning. Jika diambil dua

b. 1 e. 3 kelereng secara acak satu persatu
5 5

c. 2 berturut-turut tanpa pengembalian, maka

8 peluang terambil pertama kelereng

14. Sebuah kantong berisi 10 kelereng merah dan kedua kelereng kuning

merah dan 6 kelereng warna biru. Dari adalah ....

kantong itu diambil 5 kelereng sekaligus. 3 15
4 56
Banyaknya cara pengambilan yang a. d.

menghasilkan 3 kelereng merah dan 2 b. 8 e. 15
kelereng biru adalah ... cara
15 64

a. 252 d. 1.800 c. 5

b. 900 e. 2.200 14

c. 1.200 20. Dari seperangkat kartu bridge diambil

15. Tiga mata uang logam dilempar dua kartu sekaligus secara acak.
Peluang terambil dua kartu “KING”
bersama-sama sebanyak 280 kali.
Frekuensi harapan muncul dua gambar adalah ....

adalah ... kali a. 1 d. 11

a. 35 d. 140 221 221

b. 70 e. 175 b. 1 e. 8
13 663
c. 105
c. 4

221

12 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

B. Isilah titik-titik pada soal-soal berikut dengan jawaban yang benar!

1. Perhatikan data tabel berikut!

Interval Frekuensi

21-25 2

26-30 8

31-35 9

36-40 6
41-45 3

46-50 2

Jumlah 30

Nilai mean (rata-rata hitung) dari data tersebut adalah ....

2. Perhatikan data tabel berikut!

Interval Frekuensi fk

20-29 77

30-39 13 20

40-49 20 40

50-59 12 52

60-69 8 60

Median dari data tersebut adalah ....

3. Diketahui sekelompok data tunggal: 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10. Kuartil pertama adalah ....

4. Diketahui sekelompok data tunggal: 2, 4, 3, 7, 6, 9, 11, 10, 13, 12, 13. Kuartil ketiga adalah ....

5. Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Persentil ke-75 adalah ....

6. Banyaknya kata yang terbentuk dari kata “STMIK” adalah ....

7. Dari 15 orang apoteker yang mengikuti pemilihan apoteker teladan tingkat provinsi akan

ditentukan juara I, II, dan III. Banyaknya kemungkinan pilihan adalah ....

8. Dari 7 calon pengurus OSIS akan dipilih 3 orang untuk mengisi jabatan ketua, sekretaris,

dan bendahara. Banyaknya cara pemilihan yang terjadi adalah ... cara.

9. Jika dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada tiga

jalan, maka banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke

Jakarta melalui Bandung ada ... jalan

10. Akan disusun secara berjajar bendera negara-negara Inggris, Prancis, Jerman, Belanda,

Spanyol, dan Yunani. Banyaknya cara memasang bendera tersebut jika bendera Inggris

dan Prancis harus selalu berdampingan adalah ....

C. Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Perhatikan data tabel berikut!

Interval Frekuensi
21-25 2
26-30 8
31-35 9
36-40 6
41-45 3
46-50 2

Dari data tabel tersebut, carilah mean dengan menggunakan rata-rata sementara!
Jawab: .................................................................................................................................

13 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

2. Perhatikan tabel berikut

Nilai Frekuensi Tentukan:
10 a. batas atas, batas bawah, tepi atas, tepi bawah, dan
31 – 38 4
40 – 47 10 titik tengah
49 – 56 8 b. rata-rata,
58 – 65 6 c. standar deviasi, dan
67 – 74 12 d. ragam.
76 – 83

Jawab: .................................................................................................................................

3. Perhatikan tabel berikut!

Nilai 3 4 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 3 5 2 8 10 8 1 3

Tentukan:

a. kuartil bawah, median, kuartil atas b. jangkauan antarkuartil c. simpangan kuartil

Jawab: .................................................................................................................................

4. Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang

yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Ada berapa cara peternak tersebut dapat

memilih ternak-ternak yang diinginkannya?

Jawab: .................................................................................................................................

5. Sebuah kotak berisi 6 bola putih dan 4 bola merah. Dari kotak tersebut diambil sebuah

bola secara acak. Berapa peluang yang terambil untuk:

a. sebuah bola putih b. sebuah bola merah

Jawab: ................................................................................................................................

Perbaikan
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Perhatikan tabel berikut!

Nilai Statistik Frekuensi
41-45 2
46-50 6
51-55 15
56-60 11
61-65 6

Tentukan median dari data dalam tabel tersebut!
Jawab: ................................................................................................................................
2. Diketahui data hasil percobaan adalah 6, 8, 6, 7, 8, 7, 9, 7, 7, 6, 7, 8, 6, 5, 8, 7.
Berapakah simpangan rata-ratanya?
Jawab: ................................................................................................................................
3. Berapakah banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf M A T E M A T I K A?
Jawab: ................................................................................................................................
4. Andi, Budi, dan Candra akan duduk mengelilingi sebuah meja. Tentukan banyaknya
cara mereka untuk dapat duduk mengelilingi meja tersebut!
Jawab: ................................................................................................................................

14 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

5. Adi, Seno, dan Rudi saat bertemu saling berjabat tangan. Berapakah banyaknya jabat
tangan yang terjadi?
Jawab: ................................................................................................................................

Pengayaan

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Perhatikan data berikut!

Nilai Frekuensi

41-45 2

46-50 6

51-55 15

56-60 11

61-65 6

Berdasarkan data tersebut, tentukan:

a. persentil ke-25 b. persentil ke-60

Jawab: ................................................................................................................................

2. Dalam pelatihan bulu tangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain putri.

Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:

a. ganda putra b. ganda putri c. ganda campuran

Jawab: ................................................................................................................................

3. Dari 7 siswa putra dan 3 siswa putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika

disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, berapakah banyaknya

cara membentuk tim tersebut?

Jawab: ................................................................................................................................

4. Di dalam sebuah kotak terdapat 9 bola yang diberi nomor 1 sampai 9. Apabila 2 bola

diambil secara acak (random), tentukan peluang terambilnya:

a. kedua acak bernomor ganjil,

b. kedua bola bernomor genap, dan

c. satu bola bernomor ganjil dan satu bola bernomor genap.

Jawab: ................................................................................................................................

5. Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal

yang tersedia. Tentukan:

a. banyaknya jenis pilihan soal yang mungkin untuk dikerjakan, dan

b. banyaknya jenis pilihan soal yang mungkin dikerjakan jika nomor 6 dan 7 wajib dikerjakan

Jawab: ................................................................................................................................

Portofolio

A. Tugas Kelompok
Lakukan pengocokan seperangkat kartu bridge. Tentukan peluang terambilnya kartu As,
King, Merah, King Hitam, Queen Merah, dan Queen Hitam. Setelah itu, buatlah
laporannya dalam lembar portofolio

B. Tugas Individu
Tuliskan secara lengkap langkah-langkah menentukan rata-rata data dengan
menggunakan rataan sementara

15 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

BAB

2 LINGKARAN

Kompetensi Inti

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong-royong, kerja sama,

toleran, damai), santun, responsif, dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas
berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin
tahu tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk
memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari
yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Dasar

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap

toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam

melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.
3.18 Mendeskripsikan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran dengan

menggunakan metode koordinat
3.19 Mendeskripsikan konsep dan kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menurunkan persamaan umum

lingkaran dengan metode koordinat
4.13 Mengolah informasi dari suatu masalah nyata, mengidentifikasi sebuah titik sebagai pusat lingkaran yang

melalui suatu titik tertentu, membuat model matematika berupa persamaan lingkaran dan menyelesaikan
masalah tersebut
4.14 Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait garis singgung lingkaran serta menyelesaikannya dengan
melakukan manipulasi aljabar dan menerapkan berbagai konsep lingkaran

Indikator

1. Memahami persamaan lingkaran
2. Memahami sifat garis singgung lingkaran

Apersepsi
Di Taman bermain ada sebuah bianglala berbentuk lingkaran.
Seorang anak bermain dengan menaiki bianglala yang berbentuk
lingkaran itu. Jika diasumsikan titik pusat bianglala sebagai titik
pangkal koordinat kartesius dalam meter, tentukan persamaan
lingkaran yang dilalui oleh anak tersebut. Permasalahan tersebut
dapat diselesaikan dengan persamaan lingkaran. Tahukah Anda
apa itu persamaan lingkaran? Bagaimana cara menyelesaikan
masalah tersebut? Untuk lebih jelasnya, pelajarilah urutan materi
berikut dengan seksama
Peta Konsep

16 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Lingkaran

Persamaan Persamaan
Lingkaran Garis Singgung

Lingkaran

Ringkasan Materi

A. Persamaan Lingkaran r
P
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang
berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut
dinyatakan sebagai pusat lingkaran, sedangkan jarak titik
terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Gambar di
samping menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.

1. Konsep Persamaan Lingkaran Y X
a. Persamaan lingkaran yang berpusat O(0,0) dan berjari-jari r
A(x,y)
Perhatikan gambar berikut! r
Pada lingkaran di samping diketahui jari-jari atau r=̅ ̅ ̅ ̅
Jarak dari O(0,0) ke A(x, y) adalah y
Ox
d = √( − 0)2 + ( − 0)2
d2= ( − 0)2 + ( − 0)2
d2= x2 + y2 (karena OA = r, maka d=r)
r2 = x2 + y2 atau x2 + y2 = r2
Dengan demikian, persamaan lingkaran yang
berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari r yaitu:
x2 + y2 = r2

Mengamati

Amatilah persamaan-persamaan berikut! Di antara persamaan-persamaan berikut, manakah

yang merupakan persamaan lingkaran?

1. 4x + 3y – 4 = 0 4. x2 + y2 – 6x + 10y + 3 =0

2. x2 + 3y – 10y + 6 = 0 5. x2 + y2 + 2xy + 2x – 4y + 2 = 0
3. y2 – 3x + 4y – 8 = 0 6. x2 – y2 + 4x – 5y + 10 = 0

Menanya

Tanyakan kepada guru Anda tentang hasil pengamatan dan identifikasi Anda dari kegiatan
mengamati

Mengeksplorasi

17 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Carilah informasi dari berbagai kajian literatur mengenai persamaan lingkaran. Berikan
contoh benda-benda di sekitar Anda yang berbentuk lingkaran.

b. Persamaan lingkaran yang berpusat A(a,b) dan berjari-jari r P’ (x + a, y + b)
Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan Y

berjari-jari r dapat diperoleh dari persamaan lingkaran r
yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari r dengan
menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0,0) bergeser (a, b)

(a,b) maka titik (x,y) bergeser ke (x + a, y + b). Oleh

karena itu, kita peroleh persamaan: P’ (x, y)
x’ = x + a  x = x’ – a r
y’ = y + b  y = y’ – b
Persamaan lingkaram menjadi (x’ – a)2 + (y’ – b)2 = r2

Dengan demikian, persamaan lingkaran yang berpusat di oQ X
titik A(a,b) dan berjari-jari r yaitu: (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Jarak antara titik A (x1 , y1) dan B (x2 , y2) adalah:

AB = √( 1 − 2)2 + ( 1 − 2)2
2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Bentuk Umum persamaan lingkaran didapat dengan menurunkan persamaan

lingkaran yang berpusat di titik (a, b) berikut.

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 =0

x2 + y2 + Ax + By + C =0

Di mana A = -2a, B = -2b dan C = a2 + b2 – r2 atau

a = −1 A b = −1 B dan r = √(− 1 )2 + (− 1 )2 −

2 2 22

Jadi, bentuk umum persamaan lingkaran adalah sebagai berikut.

x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (-A, -B) dan jari-jari

(r) = √ 2 + 2 − atau r = √ 2 + 2 −

Tugas Individu 1

Kerjakan tugas berikut secara mandiri!
Buatlah beberapa lingkaran sembarang dengan jari-jari tertentu. Kemudian berlatihlah
untuk menentukan persamaan lingkarannya.

Tugas Kelompok 1

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!
Carilah benda-benda di sekitar Anda yang berbentuk lingkaran. Ukurlah panjang
diameternya dan prediksikan letak titik pusatnya. Kemudian bersama teman sekelompok
Anda, susunlah persamaan lingkaran dari benda tersebut.

Latihan 1 Semester 2
18 Matematika Kelas XI SMK, Nurur

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari:

a. 4 cm b. 5 cm

Jawab: ................................................................................................................................

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik:

a. (-1, 2) dan berjari-jari 3 b. (3, 2) dan berjari-jari 4

Jawab: ................................................................................................................................

3. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik P (2,3) yang melalui Q (5, -1)!

Jawab: ................................................................................................................................

4. Tentukan koordinat pusat dan panjang jari-jari lingkaran apabila diketahui persamaan
lingkaran x2 + y2 – 4x – 12y – 30 = 0 !

Jawab: ................................................................................................................................
5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0 !

Jawab: ................................................................................................................................

B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Suatu lingkaran dapat ditinjau dari titik atau harus yang ada di sekitarnya. Oleh karena
itu, terdapat beberapa kedudukan antara titik dengan lingkaran dan antara garis dengan
lingkaran.
1. Kedudukan Titik terhadap Lingkaran

a. Kedudukan suatu titik terhadap lingkaran L ≡ x2 + y2 = r2

y yy

r P(a,b) r r P(a,b)

P(a,b) x xx

P(a,b) di dalam L P(a,b) pada L P(a,b) di luar L

Titik P(a,b) terletak di dalam lingkaran jika x2 + y2 < r2
Titik P(a,b) terletak pada lingkaran jika x2 + y2 = r2
Titik P(a,b) terletak di luar lingkaran jika x2 + y2 > r2

b. Kedudukan suatu titik terhadap lingkaran L ≡ (x – a)2 + (y – b)2 = r2

yL y P(h,k) y P(h,k)

r r r
A(a,b) A(a,b) A(a,b)

P(h,k)

0 x0 x 0 x

P(h,k) di dalam L P(h,k) pada L P(h,k) di luar L

Titik P(h,k) terletak di dalam lingkaran jika (h – a)2 + (k – b)2 < r2

19 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Titik P(h,k) terletak pada lingkaran jika (h – a)2 + (k – b)2 = r2
Titik P(h,k) terletak di luar lingkaran jika (h – a)2 + (k – b)2 > r2

Inet

Konsep persamaan dan garis singgung lingkaran banyak diaplikasikan pada benda-
benda yang berbentuk lingkaran. Jika Anda ingin menambah pengetahuan tentang
lingkaran maka kunjungilah situs berikut: http://www.rumus.web.id/matematika/rumus-
persamaan-lingkaran-matematika/

c. Kedudukan suatu titik terhadap lingkaran L ≡ x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0
Posisi atau kedudukan titik P(h,k) terhadap lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C =

0 dengan K adalah kuasa titik P terhadap lingkaran L dapat dirumuskan sebagai
berikut.
Titik P(h,k) terletak di dalam lingkaran L jika K<0
Titik P(h,k) terletak pada lingkaran L jika K=0
Titik P(h,k) terletak di luar lingkaran L jika K>0
2. Kedudukan Garis terhadap Lingkaran
Kedudukan garis terhadap lingkaran dapat dibedakan menjadi tiga yaitu garis berada
di luar lingkaran, garis menyinggung lingkaran, dan garis berada di dalam lingkaran
sehingga memotong lingkaran di dua titik yang berbeda.

yk y l m
A yC

o oB o

x x x
(i) (ii) (iii)

Berdasarkan gambar tersebut, kita dapat mengetahui bahwa garis k tidak memotong

lingkaran O, garis l menyinggung lingkaran O di titik A, dan garis m memotong lingkaran

O di titik B dan C. Karena suatu garis singgung tepat melalui satu titik pada lingkaran

(misalkan titik A), maka garis singgung tersebut akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran

yang menghubungkan titik A dengan titik pusat lingkaran. Sifat dari garis singgung

tersebut dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran.

Untuk mengetahui kedudukan atau posisi sebuah garis terhadap lingkaran, maka

substitusikan persamaan garis terhadap persamaan lingkaran sehingga didapatkan

persamaan baru dalam bentuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Perhatikan nilai diskriminannya! D=b2 – 4ac.

Jika D<0 maka garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran).

Jika D=0 maka garis menyinggung lingkaran.

Jika D>0 maka garis memotong lingkaran di dua titik yang berbeda.

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik tersebut

disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung selalu tegak lurus

dengan garis singgung.

a. Persamaan garis singgung melalui P(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2

Y

20 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

P(x1,y1) Persamaan garis singgung melalui P(x1,y1)

pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2

b. Persamaan garis singgung melalui P(x1,y1) pada lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2

Y

Q(x1,y1) Persamaan garis singgung melalui P(x1,y1)
y1 pada lingkaran (x - a)2 + (y – b)2 = r2 adalah

b P(a,b) (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

O a x1 X

c. Persamaan garis singgung melalui P(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C

Persamaan garis singgung melalui P(x1,y1) pada lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C adalah x1x + y1y + Ax1 + Ax + By1 + By + C = 0

d. Persamaan garis singgung jika gradien garis singgung m diketahui pada lingkaran
x2 + y2 = r2

Y Persamaan garis singgung dengan gradient m
P(x1,y1) terhadap lingkaran x2 + y2 = r2 adalah

OX y = mx + r √1 + 2

Kreativitas

Konsep mengenai persamaan garis lingkaran dan persamaan garis singgung sering dijumpai
dalam kehidupan sehari-hari. Amatilah as roda sepeda Anda, kemudian carilah persamaan
garis singgung yang menghubungkan rantai dengan as roda sepeda depan dan belakang.
Kegiatan ini akan menambah pemahaman Anda mengenai materi pada bab ini.

e. Persamaan garis singgung dengan gradient m terhadap lingkaran (x - a)2 + (y - b)2 = r2

Persamaan garis singgung dengan gradient m terhadap lingkaran
(x - a)2 + (y – b)2 = r2 adalah (y - b) = m(x – a) + r √1 + 2

21 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

f. Persamaan garis singgung dengan gradien m terhadap lingkaran x2 + y2 + 2Ax +
2By + C = 0

Persamaan garis singgung dengan gradient m terhadap lingkaran
x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah (y - b) = m(x – a) + r √1 + 2

Mengasosiasi

Analisislah mengenai sifat garis singgung lingkaran yang digunakan dalam manipulasi
aljabar!

Mengomunikasikan

Presentasikan tentang sebuah pemanfaatan konsep persamaan lingkaran dalam kehidupan
sehari-hari kepada teman-teman sekelas Anda.

Tugas Individu 2

Kerjakan tugas berikut secara mandiri!
Carilah informasi mengenai kegunaan atau aplikasi persamaan lingkaran dan garis singgung
lingkaran dalam kehidupan sehari-hari. Tuliskan hasilnya di buku catatan Anda.

Tugas Kelompok 2

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!
Ukurlah jari-jari sepeda Anda. Kemudian buatlah persamaan lingkarannya. Bandingkan
dengan hasil pekerjaan teman dalam 1 kelompok. Apakah bentuk persamaan lingkarannya
saman? Jelaskan mengapa demikian!

Latihan 2

Kerjakan soal – soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x2 + y2 = 10 yang melalui titik (-3, 1)!

Jawab: ................................................................................................................................

2. Bagaimana persamaan garis singgung lingkaran (x – 5)2 + (y + 1)2 = 25 pada titik A (2,1)?

Jawab: ................................................................................................................................

3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(4, -2) pada lingkaran x2 + y2 –
6x + 2y – 8 =0 !

Jawab: ................................................................................................................................

4. Tuliskan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 5 yang mempunyai gradien 2!

Jawab: ................................................................................................................................

5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 6 yang membentuk sudut

α dengan sumbu x positif sehingga cos α = 1 √6 !
6

Jawab: ................................................................................................................................

22 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Info Kini

Penemu Phi Lingkaran

Zu Chongzhi lahir di kota Jiankang (Nanjing) Tiongkok pada tahun 429 M sajak kecil ia
sangat cerdas dan suka pengetahuan di bidang matematika dan astronomi. Pada tahun 464
M, Zu Chongzhi mulai tertarik untuk menemukan bilangan phi. Dari sekian ahli matematika
Tiongkok yang berupaya menemukan bilangan phi, Zu cho0ngzhi mampu menemukan
bilangan yang paling akurat dengan phi yang saat ini kita ghunakan dalam sebuah
penghitungan lingkaran.

Penanaman Nilai Karakter

Setelah mempelajari bab ini, siswa dapat memahami tentang persamaan lingkaran. Selain
itu, dalam bab ini siswa juga dilatih untuk mengembangkan kreativitas dalam menyelesaikan
permasalahan yang berkaitan dengan persamaan lingkaran. Informasi-informasi pada bab ini
sangat penting sebagai pembelajaran bahwa segala sesuatu yang ada di sekitar kita dapat
ditelaah dengan menggunakan konsep berpikir analitis, mandiri, kreatif, runtuk, dan
eksperimentatif.

Uji Kompetensi 2

A. Berilah tanda silang (X) pada huruf a, b, c, d atau e di depan jawaban yang benar!

1. Perhatikan gambar berikut! 3. Pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan

y x2 + y2 – 4x + 12y – 9 = 0 adalah ....

a. (2, -6) dan 6 d. (-2, 6 ) dan 7

b. (-2, 6) dan 6 e. (2, 6) dan 7

-8 0 8x c. (2, -6) dan 7
4. Jari – jari lingkaran dari persamaan x2 +

y2 – 6x – 4y – 3 = 0 adalah ....

a. 4 d. 7

b. 5

c. 6

Persamaan lingkaran dari gambar 5. Sebuah lingkaran berpusat di titik (1, 2)

tersebut adalah... dengan jari-jari 4 mempunyai

a. x2 + y2 = 25 persamaan....
b. x2 + y2 = 36 a. x2 + y2 – 2 x – 4y + 11 = 0
c. x2 + y2 = 49 b. x2 + y2 – 2x – 4y – 11 = 0
d. x2 + y2 = 64 c. x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0

e. x2 + y2 = 81 d. x2 + y2 + 2x – 4y + 11 = 0
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di e. x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0

(3,2) dan berjari-jari 4 adalah .... 6. Persamaan lingkaran yang berpusat di
a. x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0
b. x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0 titik P(3,5) dengan jari-jari 7 adalah ....
c. x2 + y2 + 6x – 4y – 3 = 0 a. x2 + y2 – 6x – 10y + 15 = 0
d. x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0 b. x2 + y2 – 6x – 10y – 15 = 0
e. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0 c. x2 + y2 + 6x – 10y – 15 = 0
d. x2 + y2 + 6x – 10y + 15 = 0
e. x2 + y2 – 6x + 10y – 15 = 0

23 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

7. Persamaan lingkaran yang berpusat di 14. Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x2

titik Q(0, 0) dan melewati titik (5, 12) + y2 + 2x – 5y – 21 = 0, maka nilai k

adalah .... adalah ....

a. x2 + y2 = 25 d. x2 - y2 = 169 a. -1 atau -2 d. 0 atau 3

b. x2 + y2 = 144 e. x2 - y2 = 144 b. 2 atau 4 e. 1 atau -6

c. x2 + y2 = 169 c. -1 atau 6

15. Persamaan lingkaran yang pusatnya di

8. Pusat dan jari-jari lingkaran dengan di (3, -2) dan melalui titik (2, 5) adalah ...
persamaan 3x2 + 3y2 + 6x + 9 y + 12 = 0
a. x2 + y2 + 6x + 4y + 37 = 0

a. (1,11) dan √13 b. x2 + y2 – 6x + 4y – 37 = 0

24 c. x2 + y2 + 6x – 4y – 37 = 0
d. x2 + y2 – 6x – 4y – 37 = 0
b. (-1,11) dan √13
e. x2 + y2 – 6x + 4y + 37 = 0
24

c. (-1,-112) dan √13 16. Diketahui lingkaran x2 + y2 + 2px + 10y +

4 9 = 0 mempunyai jari – jari 5 dan

d. (1,-11) dan √15 menyinggung sumbu X. Pusat lingkaran

24 tersebut adalah ...

e. (-1,11) dan √15 a. (-5, -3) d. (-6, -5)

24 b. (-5, 3) e. (3, -5)

9. Persamaan lingkaran dengan pusat c. (6, -5)

(0,0) dan jari-jari 4 adalah ... 17. Titik berikut yang terletak di luar
lingkaran x2 + y2 + 4x – 8y – 5 =0
a. x2 + y2 = 12 d. x2 + y2 = 16

b. x2 + y2 = 4 e. x2 - y2 = 16 a. (3,0) d. (1, 1)

c. x2 + y2 = 9 b. (0,7) e. (4, 3)

10. Jika lingkaran x2 + y2 – 4x – 10y = 0 c. (2,1)

mempunyai pusat (2,a); maka nilai a 18. Persamaan garis singgung dengan
gradient – 3 pada lingkaran x2 + y2 = 18
adalah ...

a. -5 d. 5 adalah ....

b. -3 e. 10 a. y = -3x + 6√5 d. y = -3x + 2√2

c. 2 b. y = -3x + 6√2 e. y = -3x + 2√5

11. Jika titik A (a, 3) terletak pada lingkaran c. y = 3x + 6√5
x2 + y2 – 13x + 5y + 6 = 0, maka nilai a
19. Persamaan garis singgung lingkaran x2

adalah .... + y2 + 10x – 12y + 20 = 0 yang melalui

a. 3 d. -3 atau 10 titik (-9, 1) adalah ...
b. – 1 e. -3 atau -10
a. 4x – 5y + 31 = 0 d.4x + 5y + 11=0

c. 3 atau 10 b. 4x – 5y + 41 = 0 e.4x + 5y + 42=0
c. 4x – 5y – 31 = 0
12. Pusat lingkaran dari persamaan 3x2 +

3y2 – 4x + 6y – 12 = 0 20. Persamaan lingkaran dengan pusat

a. (2,1) d. ( 1 , 5) P(3,1) dan menyinggung garis 3x + 4y +
b. (5,9)
3 7 = 0 adalah ...

e. ( 2, -1) a. x2 + y2 – 6x – 2y + 6 = 0
b. x2 + y2 – 6x – 2y + 9 = 0
3

c. (2,3)

13. Jarak antara titik pusat lingkaran x2 + y2 c. x2 + y2 – 6x – 2y – 6 = 0
– 4x + 4 = 0 dari sumbu Y adalah...
d. x2 + y2 + 6x – 2y – 9 = 0

a. 3 d. 1 e. x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0
b. 21 e. 1

2 2

c. 2

24 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

B. Isilah titik-titik pada soal-soal berikut dengan jawaban yang benar!
1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 10 adalah ....
2. Persamaan lingkaran yang pusatnya di (-3,-3) dengan jari-jari 6 adalah ....
3. Persamaan lingkaran yang pusatnya di (1,-3) dengan jari-jari 5 adalah ....
4. Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan 9x2 + 9y2 – 6x + 12y – 4 = 0
5. Persamaan lingkaran x2 + y2 – 6x – 2y + 4 = 0 mempunyai pusat ....
6. Jari-jari lingkaran x2 + y2 – 8x + 6y + 20 = 0 sama dengan ...
7. Jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 81 adalah ...
8. Pusat lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 4x – 4y – 20 = 0 adalah ...
9. Jari – jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 - 2x + 6y + 1 = 0 adalah ...
10. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 100 yang melalui titik (6,8) adalah ...

C. Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan melalui titik (10, -2)!
Jawab: ................................................................................................................................

2. Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 17 =
0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0!
Jawab: ................................................................................................................................

3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 29 jika melalui titik (2, -5)!
Jawab: ................................................................................................................................

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x + 3)2 + (y – 2)2 = 16 pada titik A(-4,-1)!
Jawab: ................................................................................................................................

5. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient 2 pada lingkaran x2 + y2 = 9!
Jawab: ................................................................................................................................

Perbaikan

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Tentukan titik pusat dari lingkaran x2 + y2 = 36 !

Jawab: ................................................................................................................................

2. Tentukan jari-jari dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 4x – 6y – 12 = 0!

Jawab: ................................................................................................................................

3. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat di titik A(2,-1) dan jari-jarinya 5!

Jawab: ................................................................................................................................

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 10x – 2y + 6 =0 yang sejajar

garis 2x + y + 7 = 0!

Jawab: ................................................................................................................................

5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 yang membentuk sudut

β dengan sumbu x sehingga cos β = 1 √3 !
2

Jawab: ................................................................................................................................

25 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Pengayaan

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0)!

a. Berjari-jari 4 b. Berjari-jari 7

Jawab: ................................................................................................................................

2. Bagaimanakah persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan melalui titik

berkoordinat (8,6) ?

Jawab: ................................................................................................................................

3. Tentukan persamaan lingkaran jika diketahui:

a. pusatnya (3,1) dan melalui (-2, -1)

b. pusatnya (3,2) dan menyinggung sumbu X

Jawab: ................................................................................................................................

4. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + 6x – 8y – 10 = 0!
Jawab: ................................................................................................................................

5. Tuliskan letak kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 = 25!
a. (2,3)
b. (3,4)
c. (6,8)
Jawab: ................................................................................................................................

Portofolio

A. Tugas Individu
Beberapa waktu yang lalu terjadi gempa bumi di Jawa Tengah. Getaran gempa
mencapai radius 50 km hingga dapat dirasakan oleh masyarakat yang ada di Bali.
Berdasarkan informasi tersebut, buatlah persamaan lingkarannya. Tuliskan hasilnya di
selembar folio!

B. Tugas Kelompok
Bersama teman sekelompok Anda, pikirkan dan carilah informasi mengenai
persamaan garis singgung yang menghubungkan tiga lingkaran. Tuliskan hasilnya
pada lembar portofolio!

26 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

BAB

3 TRANSFORMASI

Kompetensi Inti

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong-royong, kerja sama,

toleran, damai), santun, responsif, dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas
berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin
tahu tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk
memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari
yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Dasar

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap

toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam

melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.
3.20 Menganalisis sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi garis, dilatasi dan rotasi) dengan pendekatan

koordinat dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah
4.15 Menyajikan objek kontekstual, menganalisis informasi terkait sifat-sifat objek dan menerapkan aturan

transformasi geometri (refleksi, translasi, dilatasi, dan rotasi) dalam memecahkan masalah

Indikator

1. Memahami konsep translasi
2. Memahami konsep refleksi
3. Memahami konsep rotasi
4. Memahami konsep dilatasi

Apersepsi

Apakah yang Anda lihat pada gambar kucing yang berada di
depan cermin di samping? Bercermin atau pencerminan
merupakan salah satu bentuk transformasi. Apakah yang
dimaksud transformasi? Bagaimanakah sifat –sifat objek yang
mengalami transformasi? Ada beberapa tipe transformasi dan
masing-masing jenis transformasi memiliki ciri dan sifat
tersendiri. Pada pembahasan bab ini, kita akan membahas
tentang transformasi, jenis, dan masing-masing sifatnya

Peta Konsep Semester 2
27 Matematika Kelas XI SMK, Nurur

Transformasi

Translasi Refleksi Rotasi Dilatasi

Ringkasan Materi

A. Translasi dan Refleksi
Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang meliputi perubahan letak

maupun bentuk penyajiannya yang didasarkan dengan gambar dan matriks transformasi
geometri atau transformasi adalah mengubah setiap koordinat titik-titik ( titik-titik dari suatu
bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan satu aturan tertentu. transformasi
terdiri translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.

1. Translasi
Translasi adalah transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang menurut jarak
dan arah tertentu. Di dalam operasi translasi bangun geometri bayangan kongruen
terhadap bangun geometri semula. Translasi T dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan
terurut dua bilangan AB dan dituliskan sebagai T = ( )
Bayangan titik P (x,y) oleh translasi T = ( ) adalah P’(x’, y’)dengan x’=x+a dan y’=y+b
Bayangan garis y = mx + c oleh translasi T =( ) adalah garis y – b = m (x – a) + c.

Mengamati
Amatilah seseorang yang sedang menaiki tangga Menurut Anda apakah orang tersebut
melakukan translasi? berikan alasan Anda!

2. Refleksi
Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan
menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang akan dipindahkan. Jika sebuah
bangun geometri dicerminkan terhadap sebuah garis tertentu, maka bangun bayangan
kongruen dengan bangun semula. Pada transformasi refleksi, jarak titik pada bangun
bayangan ke sungguh cermin sama dengan jarak titik pada bangun semula ke sumbu
cermin.

Kreativitas
Konsep transformasi geometri banyak dijumpai dalam permasalahan editing. Pernahkah Anda
melakukan editing flip horizontally atau vertically pada sebuah foto atau gambar? Konsep
transformasi apa sajakah yang diterapkan sewaktu melakukan editing flip horizontally atau
vertically foto atau gambar? Carilah informasi kemudian tuliskan penjelasannya.

a. Persamaan transformasi terhadap sumbu X

P(x,y) sb. X P’(x,-y).

b. Persamaan transformasi terhadap sumbu Y

28 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

P(x,y) sb. Y P’(-x,y).

c. Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = x

P(x,y) y= x P’(y,x).

d. Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = - x

P(x,y) y = -x P’(-y,-x).

e. Persamaan transformasi refleksi terhadap titik asal O(0,0)

P(x,y) titik asal O P’(-x,-y).

f. Persamaan transformasi refleksi terhadap garis x = h

P(x,y) x=h P’(2h-x,y).

g. Persamaan transformasi refleksi terhadap garis y = k

P(x,y) y= k P’(x,2k-y).

Menanya
Tanyakan kepada guru Anda tentang hasil pengamatan dan jawaban Anda dari kegiatan
mengamati

Inet
Transformasi banyak diaplikasikan dalam bidang arsitektur. Jika Anda ingin menambah
pengetahuan tentang transformasi geometri maka bukalah website berikut:
http://hernakuncoro.blogspot.co.id/2010/02/transformasi-geometri.html

Infokini
Tahukah Anda bahwa selama ini Anda sudah sering menggunakan rumus transformasi
geometri dalam kehidupan sehari-hari? Ketika mengedit sebuah foto dengan software
seperti Adobe Photoshop, sebetulnya Anda sedang melakukan transformasi geometri.
Anda mungkin tidak sadar karena yang melakukan perhitungan (perkalian matriks) adalah
komputer. Ketika Anda melakukan zoom in atau Sumut sebetulnya Anda melakukan
transformasi geometri titik-titik dengan transformasi yang disebut dilatasi dengan faktor
skala pembesaran dalam persen. Misalnya Anda melakukan zoom out sebesar 200%
berarti skala dilatasi nya adalah 2.

Tugas Individu 1
Kerjakan Tugas Berikut Secara Mandiri
Lani, Dinda, dan Fera sedang bermain permainan tradisional tapak gunung. Mereka
membuat kotak-kotak di tanah kemudian secara bergantian melompatinya. Lani bergerak
ke depan dengan cara melompati 4 kotak kemudian ke kanan dengan cara melompati 2
kotak. Dinda bergerak dua kotak ke kanan kemudian ke depan sebanyak 4 kotak.
Sedangkan Fera bergerak ke depan sebanyak 3 lompatan.
a. Berapa jauh Lani berpindah tempat?
b. Berapa jauh Dinda berpindah tempat?
c. Berapa jauh Fera berpindah tempat?
d. Adakah yang menempati kotak terakhir yang sama. Jika ada siapa sajakah itu?
e. Buatlah kesimpulan dari persoalan tersebut?

29 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Tugas Kelompok 1

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!

Bersama kelompok Anda lakukan analisa dan penjabaran bagaimana cara menemukan
koordinat titik (x, y) yang direfleksikan terhadap garis x = h dan y = k. Bayangan (2h – x,y) dan
(x, 2k-y).

Latihan 1

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar

a. Tentukan bayangan titik K(2,5), L(-2,3), dan M(-5,-4) oleh translasi T(32)!
Jawab: ................................................................................................................................

b. Tentukan bayangan titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) oleh translasi T(23) !
Jawab: ................................................................................................................................

c. Koordinat bayangan titik A(7,4) oleh translasi T( ) adalah A’(1,9) Tentukan translasi T !
Jawab: ................................................................................................................................

d. Tentukan bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) jika dicerminkan terhadap
sumbu x !
Jawab: ................................................................................................................................

e. Tentukan bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) jika dicerminkan terhadap
garis y = x !
Jawab: ................................................................................................................................

B. Rotasi dan dilatasi

1. Rotasi

Rotasi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik lainnya

dengan cara memutar pada pusat titik tertentu. Titik pusat rotasi adalah titik tetap atau titik

pusat yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi. Titik

pusat dapat berada di dalam pada atau di luar bangun geometri yang hendak di rotasi.

Arah rotasi disepakati dengan aturan bahwa jika perputaran berlawanan dengan arah

jarum jam kata rotasi bernilai positif sedangkan jika perputaran searah jarum jam maka rotasi

bernilai negatif. Besarnya sudut putar rotasi menentukan jauhnya rotasi. Jauh rotasi

dinyatakan dalam bilangan pecahan terhadap 1 kali putaran penuh atau besar sudut dalam

Ukuran derajat atau radian. Bayangan titik P(x,y) yang dirotasikan terhadap pusat O(0,0)

sebesar θ adalah P'(x’,y’) dengan:

x’ = x cos θ – y sin θ y’ = x sin θ + y cos θ

Bayangan titik P(x,y) yang dirotasikan terhadap pusat A(a,b) sebesar θ adalah P'(x’,y’)

dengan:

x’ – a = (x – a) cos θ – (y – b) sin θ y’ – a = (x – a) sin θ + (y – b) cos θ

Mengeksplorasi

Carilah informasi Bagaimanakah cara menemukan persamaan umum yang dihasilkan dari titik
P(x,y) yang diputar sejauh dengan pusat pemutaran titik A(a,b).

30 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Dilatasi

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun geometri

(pembesaran atau pengecilan) tetapi tidak mengubah bentuk bangunan tersebut. Bayangan

titik P(x,y) oleh dilatasi [O,k] adalah P’ (x’,y’) dengan x’=kx dan y’=ky. Sedangkan dilatasi

dengan pusat P(p,q) dan faktor skala k dinyatakan sebagai berikut.

A(a,b) D[P(p,q),k] A’(a’,b’).

( ′′) = − + ( )
( − )

Mengasosiasi

Buatlah kesimpulan untuk memudahkan Anda dalam belajar memahami transformasi geometri

Mengomunikasikan

Pikirkanlah tentang sebuah pemanfaatan konsep transformasi geometri dalam kehidupan
sehari-hari. Kumpulkan data-data pendukungnya, kemudian komunikasikan kepada teman-
teman sekelas Anda.

Tugas Individu 2 y
Kerjakan tugas berikut secara mandiri!

Putarlah kurva di samping sebesar 270º searah putaran jarum x
jam dengan pusat O(0,0). Tunjukkanlah bahwa rotasi kurva
tersebut memenuhi sifat-sifat rotasi.

Tugas Kelompok 2

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!

salah satu aplikasi dilatasi adalah perancangan mobil. Dalam bidang ini, dilatasi disebut skala.
Amatilah gambar replika mobil dan mobil yang sebenarnya. Bandingkan data ukuran replika
dan mobil tersebut. Tentukan di mana letak penggunaan dilatasi pada mobil tersebut.
Diskusikan bersama kelompok Anda!

Latihan 2

Kerjakanlah soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Salinlah gambar berikut!

Q

OQ P O
P O P

Q

31 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Gambarlah bayangan PQ pada masing-masing gambar jika diputar terhadap titik O

sebesar:

a. -90º b. 180º

Jawab: ................................................................................................................................

2. Tentukan bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) pada rotasi terhadap titik

pusat O (0,0) sebesar 90º berlawanan arah jarum jam!

Jawab: ................................................................................................................................

3. Tentukan koordinat bayangan titik P(a,b) jika titik P diputar terhadap titik O(0,0) sebesar

a. 90º c. 180º

b. -90º d. -180º

Jawab: ................................................................................................................................

4. Tentukan bayangan titik A(2,-4) oleh dilatasi (0,3)!

Jawab: ................................................................................................................................

5. Titik sudut sebuah persegi adalah A(1,3), B(4,3), C(4,6), dan D(1,6). Tentukanlah

bayangan oleh dilatasi (0,2)!

Jawab: ................................................................................................................................

Penanaman Nilai Karakter

Setelah mempelajari bab ini, siswa dapat memahami tentang transformasi dan sifat-sifatnya.
Selain itu, siswa juga dilatih untuk mengembangkan kreativitas dalam menyelesaikan
permasalahan yang berkaitan dengan translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi. Informasi-
informasi pada bab ini sangat penting sebagai pelajaran bahwa segala sesuatu yang ada di
sekitar dapat ditelaah dengan menggunakan konsep berpikir analitis, mandiri, kreatif, runtut,
dan eksperimentatif.

Uji Kompetensi 3

A. Berilah tanda silang (X) pada huruf a, b, c, d, atau e di depan jawaban yang benar!

1. Koordinat bayangan titik A(-3,4) oleh c. (9,12)
translasi T=(36) adalah ....
a. (0,10) d. (-9,-12)

e. (12,9)

b. (0,-10) 4. Bayangan dari titik A(1,2) oleh translasi

c. (10,0) T=(21) dilanjutkan oleh translasi U= (34)

d. (-10,0) adalah ....

e. (10,10) a. A”(8,5) d. A”(8,-5)
2. Jika titik A(2,5) ditranslasikan oleh T(23)
b. A”(5,-8) e. A”(-5,8)
maka bayangannya adalah ...
c. A”(5,8)

a. (8,4) d. (4,8) 5. Disediakan suatu persamaan garis lurus

b. (2,4) e. (8,2) y=3x + 5. Persamaan garis lurus yang

c. (4,2) dihasilkan oleh translasi T=(12) adalah ....

3. Bayangan dari titik P(5,10) oleh translasi a. y = 2x d. y = 3x-1
T = (42) adalah ....
a. (9,-12) b. y = 3x e. y = 2x+2

c. y = 2x+1

b. (-9,12)

32 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

6. Titik A memiliki koordinat (3,5). Koordinat a. (2,-5)

bayangan hasil pencerminan titik A b. (-2,-5)

terhadap garis y = x adalah .... c. (-5,2)

a. A’(5,3) d. A’(-3,-5) d. (5,-2)

b. A’(-5,-3) e. A’(5,-3) e. (-5,-2)
c. A’(-3,5)
14. Titik F(3,5) dirotasikan dengan pusat di

7. Titik A memiliki koordinat (3,5). Koordinat O(0,0) sebesar 270º, maka bayangan

hasil pencerminan titik A terhadap garis x koordinat titik F tersebut adalah ....

= 10 adalah .... a. (5,-3)

a. A’(3,-15) d. A’(17,5) b. (5,3)
b. A’(3,15) e. A’(-3,-15)
c. A’(17,-5) c. (-5,-3)

d. (-5,3)

8. Titik B memiliki koordinat (5,3). Koordinat e. (3,-5)

hasil pencerminan titik B terhadap garis y 15. ABCD adalah sebuah persegi dengan

= 8 adalah .... koordinat titik-titik sudut A91,1), B(2,1),

a. B’(-11,3) d. B’(5,13) C(2,2) dan D(1,2). Bayangan dari titik-
b. B’(11,3) e. B’(-11,13)
titik sudut persegi tersebut oleh dilatasi

c. B’(5,-13) [O, 2] adalah ....
a. A’(2,2); B’(2,4); C’(4,4); dan D’(4,2)
9. Titik A memiliki koordinat (5,-2). b. A’(2,2); B’(-2,4); C’(4,4); dan D’(-4,2)

Koordinat bayangan hasil pencerminan

titik A terhadap garis y = x adalah .... c. A’(2,2); B’(4,2); C’(4,4); dan D’(2,4)
d. A’(2,2); B’(-4,2); C’(4,4); dan D’(4,-2)
a. A’(2,-5) d. A’(-5,-2)

b. A’(2,5) e. A’(-2,5) e. A’(-2,2); B’(4,-2); C’(4,4); dan D’(4,-2)

c. A’(5,2) 16. Persamaan peta dari garis 3x - 5y + 15 =

10. Bayangan titik P(-4,5) oleh refleksi 0 oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0)

terhadap garis y = -x dilanjutkan dengan dengan faktor skala 5 adalah ....

refleksi terhadap garis x = 2 adalah .... a. 3x + 5y + 75 = 0

a. (9,4) d. (-8,2) b. 3x - 5y + 75 = 0

b. (-9,4) e. (-8,-2) c. 3x + 5y - 75 = 0

c. (8,2) d. 3x - 5y - 75 = 0

11. Bayangan titik C(-2,1) oleh rotasi e. -3x + 5y + 75 = 0

sebesar 90º dengan pusat O(0,0) 17. Titik A’ (-16,24) merupakan bayangan

adalah .... dari titik A(x,y) yang didilatasikan dengan

a. C’(2,1) d. C’(1,1) pusat O(0,0) dan faktor skala -4.

b. C’(-2,-1) e. C’(-1,-2) Koordinat titik A adalah ....
c. C’(-1,2)
a. (4,-6)

12. Titik D(-1,3) dirotasikan dengan pusat di b. (-4,6)

O(0,0) sebesar 270º, maka bayangan c. (4,6)

koordinat titik D tersebut adalah .... d. (-4,-6)

a. (3,1) d. (3,-1) e. (6,-4)

b. (-3,1) e. (1,-3) 18. Bayangan dari titik D(4,2) oleh dilatasi

c. (-3,-1) dengan faktor skala -2 dan pusat (0,0)

13. Titik E(2,5) dirotasikan dengan pusat di adalah ....

O(0,0) sebesar 90º, maka bayangan a. (-8,-4) d. (2,1)

koordinat titik E tersebut adalah .... b. (-8,4) e. (8,4)

c. (-2,1)

33 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

19. Bayangan titik M(-3,5) oleh refleksi 20. Matriks yang bersesuaian dengan

terhadap garis y = x dilanjutkan dilatasi dilatasi pusat (0,0) dan faktor skala 3

dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 1 dilanjutkan dengan refleksi terhadap
2
garis y = x adalah ....
adalah .... a. (30 30) d. (03 30)
b. (−03 −03) e. (30 −03)
a. M’(21, 11) d. M’(10,-6) c. (−03 30)
e. M’(12,3)
22

b. M’(10,11)

2

c. M’(21,-11)

22

B. Isilah titik-titik pada soal-soal berikut dengan jawaban yang benar

1. Bayangan dari titik A(3,-5) oleh transformasi T = (32) adalah ....
2. Bayangan titik A(3,-7) oleh transformasi T = (42) adalah ....
3. Bayangan dari titik B(3,-5) oleh pencerminan terhadap garis y = -2 adalah ....

4. Segitiga DEF dengan koordinat D(-5,1), E(-3,5), dan F(3,3) dicerminkan terhadap
sumbu x, maka koordinat bayangan titik D’, E’, dan F’ berturut-turut adalah ....

5. Segitiga KLM dengan koordinat K(5,9), L(10,15), dan M(12,4) dicerminkan terhadap
sumbu y, maka koordinat bayangan titik K’, L’, dan M’ berturut-turut adalah ....

6. Titik Q(2,5) dicerminkan terhadap garis x=h menghasilkan bayangan Q’(10,5). Nilai

h sama dengan ....
7. Titik A(4,2) dicerminkan terhadap garis x=1, kemudian ditranslasikan dengan (43).

Bayangan akhir di titik A adalah ....
8. Jika garis x – 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y, maka persamaan

bayangannya adalah ....

9. Segitiga ABC dengan koordinat A(2,1), B(4,1), dan C(4,3) dirotasi -90º dengan
pusat O(0,0). Koordinat bayangan ΔABC adalah ....

10. Bayangan titik P(-6,3) oleh dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan faktor skala

− 1 adalah ....
2

C. Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0,0), A(3,0), dan B(3,5). Tentukan
koordinat bayangan segitiga OAB tersebut apabila ditranslasi oleh T = (31)!
Jawab: ..........................................................................................................................

2. Tentukan koordinat bayangan titik P(4,5) jika dicerminkan terhadap garis:

a. x = 3 c. x = -2

b. x = 8 d. x = -112

Jawab: ..........................................................................................................................

34 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

3. Tentukan bayangan PQRS jika titik P(1,2), Q(3,1), R(3,3), dan S(5,2) didilatasikan
dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 3!
Jawab: ..........................................................................................................................

4. Segitiga DEF dengan titik-titik sudut D(2,5); E(-1,3), dan F(-3,6).
a. Gambarlah ΔDEF dan bayangannya yaitu ΔD’E’F’ jika ΔDEF diputar dengan
(O,90º)!
b. Tentukan koordinat titik-titik D’, E’, F!
Jawab: ..........................................................................................................................

5. Segi empat PQRS dengan P(1,5), Q(7,7), R(5,1), dan S(-2,-2) dicerminkan pada
garis y = x kemudian dilanjutkan oleh rotasi 270º searah jarum jam dengan pusat O.
Tentukan bayangan segitiga ABC tersebut!
Jawab: ..........................................................................................................................

Perbaikan
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Perhatikan gambar berikut!

B

A A’

a. Lengkapi gambar sehingga A’B’ merupakan bayangan dari AB pada translasi AA’!
b. Sebutkan ruas garis berarah yang sejajar dengan AA’!
c. Sebutkan ruas garis berarah yang sama dengan AA’!
d. Apakah AB = A’B’? Jelaskan!
Jawab: ..........................................................................................................................
2. Tentukan bayangan dari titik-titik P(-2,3), Q(3,3), dan R(3,6) jika dicerminkan
terhadap garis y = -x!
Jawab: ..........................................................................................................................
3. Tentukan bayangan dari titik-titik X(3,4), Y(-5,2), dan Z(7,-1) pada rotasi terhadap titik
pusat O(0,0) sebesar 90º searah jarum jam!
Jawab: ..........................................................................................................................
4. Bagaimanakah bayangan garis x – y – 3 = 0 oleh dilatasi [O,4]?
Jawab: ..........................................................................................................................
5. Tentukan bayangan persegi panjang ABCD dengan A(2,3), B(4,-1), C(5,-4), dan
D(3,4) jika dilakukan dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 3!
Jawab: ..........................................................................................................................

Pengayaan
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Transformasi (1 −+21)yang dilanjutkan dengan transformasi (−21 −13) terhadap
titik A(2,3) dan B(4,1) menghasilkan bayangan A(22,-1) dan B’(24,-17). Oleh
komposisi transformasi yang sama, bayangan titik C adalah C’(70,35). Tentukan
koordinat titik C!
Jawab: ..........................................................................................................................

35 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

2. Lingkaran (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks (11 −01) dilanjutkan
oleh matriks (01 01) maka tentukan bayangan lingkaran itu!

Jawab: ..........................................................................................................................
3. Titik P(2,5) dirotasikan sebesar diputar berlawanan arah jarum jam dengan pusat

2

rotasi di A(4,-5) kemudian dilanjutkan refleksi terhadap garis y = x, maka tentukan

koordinat bayangan terakhir!

Jawab: ..........................................................................................................................

4. Lingkaran yang telah direfleksikan terhadap garis y = 2 kemudian dilanjutkan dengan

translasi sejauh (5,-1) adalah x2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0. Tentukan:

a. persamaan lingkaran, dan

b. luas bayangan lingkaran jika didilatasi oleh [O,3] dilanjutkan dengan rotasi [O,90º]

Jawab: ..........................................................................................................................

5. Tentukanlah persamaan bayangan dari garis 3x – y + 2 = 0 oleh refleksi terhadap

garis y = x dilanjutkan dengan rotasi 90º terhadap O!

Jawab: ..........................................................................................................................

Portofolio
A. Tugas Individu

Buatlah soal yang memadukan transformasi translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.
Tukarkan dengan soal yang dibuat oleh teman Anda. Kemudian selesaikanlah dan
tuliskan jawabannya pada lembar portofolio
B. Tugas Kelompok
Bersama kelompok Anda, temukan bahwa pencerminan terhadap garis y = -x diwakili
dengan matriks y = -x (−01 −01)

36 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Ulangan Tengah Semester
A. Berilah tanda silang (X) pada huruf a, b, c, d, atau e di depan jawaban yang benar!

1. Nilai ulangan matematika dari 32 4. Tabel berikut adalah data berat badan

siswa disajikan pada tabel berikut. 40 siswa.

Nilai Frekuensi Berat Badan Frekuensi

31-40 1 26-30 5

41-50 2 31-35 7

51-60 10 36-40 17

61-70 8 41-45 9

71-80 7 46-50 2

81-90 4 Quartil ketiga dari data tersebut

Modus dari data tersebut adalah .... adalah ...

a. 58,0 d. 60,5 a. 40,82 d. 42,12

b. 58,5 e. 62,0 b. 41,03 e. 42,74

c. 59,0 c. 41,06

2. Tabel berikut adalah hasil ulangan 5. Simpangan baku dari data 4, 7, 3, 8,

Bahasa Inggris suatu kelas 6, 5, 12, dan 3 adalah ....

Nilai Frekuensi a. √2 d. 4√2

31-36 4 b. 2√2 e. 2√3

37-42 6 c. 3√2

43-48 9

49-54 14 6. Simpangan baku dari data 2, 4, 1, 6,

55-60 10 6, 4, 8, 9, dan 5 adalah ....

61-66 5 a. √6 d. 3√6
e. 6√2
67-72 2 b. 3 √3
2
Jumlah 50

Metode menghitung modus data c. 3√3

tersebut yang benar adalah .... 7. Terdapat 9 lembar kartu bernomor 1-

a. = 48,5 + ( 4 ).6 9 yang dikocok kemudian diambil

4+4 secara acak. Banyaknya cara

b. = 48,5 + ( 4 ).6 terambilnya kartu bernomor angka

5+4 prima adalah ... cara

c. = 48,5 + ( 5 ).6 a. 21

4+4 b. 90

d. = 48,5 + ( 5 ).6 c. 126

5+4 d. 196

e. = 48,5 + ( 5 ).6

5+5

3. Tinggi rata-rata 16 siswa adalah 163

cm. Jika ditambah 4 siswa lagi, maka e. 256

tinggi rata-rata 20 siswa menjadi 162 8. Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan

cm. Maka tinggi rata-rata 4 siswa 5 bola kuning. Jika diambil 3 bola

tersebut adalah ... cm sekaligus secara acak, banyaknya

a. 155 d. 160 cara terambilnya dua bola merah dan

b. 156 e. 161 satu bola kuning adalah...

c. 158 a. 21 d. 75

b. 36 e. 96

c. 72

37 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

9. Terdapat 5 bola merah dan 4 bola biru 14. Lingkaran dengan persamaan 4x2 +

dalam satu wadah. Jika diambil 3 bola 4y2 – ax + 8y – 24 = 0 melalui titik (1,-

secara acak maka banyak cara 1), maka jari-jari lingkaran tersebut

terambilnya sebuah bola merah dan adalah ....

dua bola biru adalah a. 2 d. 8

a. 15 d. 35 b. 4 e. 10

b. 21 e. 72 c. 6

c. 30 15. Salah satu persamaan garis singgung

10. Ada sebuah keluarga yang terdiri dari lingkaran (x – 2)2 + (y + 1)2 = 13 di titik

Ayah, Ibu, dan ketiga anaknya yang yang berabsis -1 adalah ....

akan duduk mengelilingi meja makan. a. 3x – 2y – 3 = 0
b. 3x – 2y – 5 = 0
Banyaknya cara seluruh anggota

keluarga untuk duduk mengelilingi c. 3x + 2y – 9 = 0

meja makan tersebut adalah .... d. 3x + 2y + 9 = 0

a. 15 d. 24 e. 3x + 2y + 5 = 0

b. 17 e. 35 16. Jika titik A(1,-3) ditranslasikan oleh
(−12) maka bayangannya adalah ....
c. 21

11. Dalam sebuah kotak terdapat 10 a. (2,4) d. (5,8)

kelereng yang terdiri dari 6 buah b. (2,-5) e. (5,2)

berwarna merah dan 4 buah berwarna c. (4,5)

putih. Dari kotak tersebut diambil 3 17. Pencerminan terhadap garis x = 3

buah kelereng sekaligus. Peluang dilanjutkan pencerminan terhadap

terambil 2 kelereng merah dan 1 garis x = 5 maka bayangan titik (3,2)

kelereng putih adalah .... adalah ....

a. 1 d. 2 a. (2,3) d. (7,6)

18 5 b. (3,6) e. (6,2)

b. 1 e. 1 c. (7,2)

10 2

c. 1 18. Bayangan titik A(2,3) sejauh 90º, jika

5

12. Sebuah dadu dan sebuah mata uang diputar searah jarum jam dengan

logam dilemparkan bersamaan satu pusat putaran di O(0,0) adalah ....

kali. Peluang munculnya gambar a. (-2,3) d. (-3,-2)

pada mata uang logam dan bilangan b. (-3,2) e. (-2,-3)

lebih dari 2 pada dadu adalah .... c. (3,-2)

a. 1 d. 1 19. Jika segitiga ABC dengan A(0,0),
12
3 B(2,0), dan C(1,3) didilatasikan oleh
b. 1
e. 1 [O,2], hasil dilatasinya adalah ....
8 a. A’(2,3); B’(0,2); C(3,1)
2

c. 1 b. A’(0,0); B’(-3,2); C(6,2)

4

13. Persamaan lingkaran yang berpusat c. A’(3,-2); B’(4,0); C(2,6)

di (2,3) dan menyinggung sumbu x d. A’(-3,-2); B’(0,0); C(2,6)

adalah .... e. A’(0,0); B’(4,0); C(2,6)

a. x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0
b. x2 – y2 + 5x + 4y – 9 = 0

c. x2 + y2 – 5x – 4y – 4 = 0

d. x2 – y2 + 4x – 6y – 4 = 0

e. x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0

38 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

20. Koordinat bayangan segmen garis AB a. A’(2,2) dan B’(6,6)
dengan A(2,2) dan B(4,-2) oleh b. A’(4,-2) dan B’(12,6)
dilatasi dengan faktor skala k=3 dan c. A’(6,6) dan B’(12,6)
pusat dilatasi O adalah .... d. A’(12,6) dan B’(12,7)
e. A’(6,6) dan B’(12,-6)

B. Isilah titik-titik pada soal-soal berikut dengan jawaban yang benar!

1. Perhatikan data panen kacang tanah (dalam satuan kg) berikut!

24, 26, 22, 25, 28, 20, 18, 15, 23, 11, 25, 36, 25, 28, 30, 12, 28, 34

Besarnya range atau jangkauan dari data tersebut adalah ....

2. Perhatikan data nilai ulangan harian matematika Wahyu berikut!

Nilai (x) 80 77 83 79 85 93 100 87 98 99

Frekuensi (fi) 2324342 342

Nilai rata-rata ulangan harian matematika Wahyu adalah

3. Perhatikan data berat badan siswa kelas XI SMK berikut!

Berat Badan (kg) Frekuensi

35-39 3

40-44 5

45-49 8

50-54 21

55-59 9

60-64 4

Modus data tersebut adalah ....

4. Mita akan membentuk rangkaian bunga yang terdiri atas 3 bunga berbeda warna dari

7 tangkai bunga yang berbeda-beda warnanya. Banyaknya cara untuk menyusun

rangkaian tersebut adalah ... cara

5. Disediakan angka 2, 3, 4, 5, dan 6. Banyak bilangan ratusan genap disusun dari

angka yang berbeda adalah ... bilangan

6. Akan ada 8 orang yang mengadakan rapat dengan duduk mengelilingi sebuah meja

bundar. Banyak cara yang dapat dilakukan kedelapan orang tersebut agar dapat

duduk mengelilingi meja bundar adalah ....

7. Pusat lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 20 adalah ....
8. Jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 144 = 0 adalah ....

9. Bayangan garis y = 2x + 8 yang dicerminkan terhadap sumbu y = x adalah ....

10. Jika segitiga KLM dengan K(0,0), L(2,0), dan M(1,3) didilatasikan oleh [O, 1], hasil

2

dilatasinya adalah ....

C. Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar! Semester 2
37 Matematika Kelas XI SMK, Nurur

1. Perhatikan tabel data berikut!

Nilai Frekuensi

41-50 8

51-60 5

61-70 14

71-80 8

81-90 3

91-100 2

Tentukan median dan modus dari data tersebut!

Jawab: ..........................................................................................................................

2. Suatu keluarga mempunyai 8 anak. Anak berumur (x+1) tahun dan anak B berumur

(2x+1) tahun. Enam anak yang lain berturut-turut berumur x+2, x+3, x+4, ..., x+7

Apabila rata-rata umur kedelapan anak tersebut 7 tahun, berapakah umur masing-

masing anak?

Jawab: ..........................................................................................................................

3. Dari angka-angka 1, 2, 4, 6 akan disusun bilangan ribuan ganjil. Berapakah banyak

bilangan yang dapat disusun bila angka boleh diulang?

Jawab: ..........................................................................................................................

4. Permainan bulutangkis akan diikuti 5 laki-laki dan 7 perempuan. Hitung banyaknya

pasangan yang dapat dipasangkan bila

a. ganda putra b. ganda putri c. ganda putra putri

Jawab: ..........................................................................................................................

5. Ada 6 orang yang akan duduk mengelilingi meja untuk belajar bersama. Berapa

banyak cara mereka duduk jika dua orang harus selalu berdampingan?

Jawab: ..........................................................................................................................

6. Ana mempunyai baju merah, hijau, biru, dan ungu. Ana juga memiliki rok hitam, putih,

dan cokelat. Berapa banyak pasangan baju dan rok yang dapat dipakai Ana?

Jawab: ..........................................................................................................................

7. Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4 akan dibentuk menjadi suatu bilangan yang terdiri dari

4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun jika:

a. angka boleh berulang b. angka tidak boleh berulang

Jawab: ..........................................................................................................................

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang ujung-ujung diameternya (1,-3)

dan (9,3) yang tegak lurus dengan garis x + 2y – 3 = 0

Jawab: ..........................................................................................................................

9. Tentukan bayangan dari titik-titik berikut yang direfleksikan terhadap sumbu x,

kemudian gambarkan bayangannya pada bidang koordinat kartesiusnya!

Jawab: ..........................................................................................................................

10. Tentukan bayangan jajargenjang ABCD dengan titik sudut A(-2,4), B(0,-5), C(3,2),

dan D(1,11) jika:

a. dicerminkan terhadap sumbu x b. dicerminkan terhadap sumbu y

Jawab: ..........................................................................................................................

40 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

BAB

4 TURUNAN

Kompetensi Inti

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong-royong, kerja sama,

toleran, damai), santun, responsif, dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas
berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam
menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin
tahu tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan,
kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan
pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk
memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari
yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Dasar

1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.
2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap

toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplin dalam

melakukan tugas belajar matematika.
2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.
3.21 Mendeskripsikan konsep turunan dengan menggunakan konteks matematika atau konteks lain dan

menerapkannya
3.22 Menurunkan aturan dan sifat turunan fungsi aljabar dari aturan dan sifat limit fungsi
3.23 Memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah dunia nyata dan matematika yang melibatkan

turunan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya
3.24 Mendeskripsikan konsep turunan dan menggunakannya untuk menganalisis grafik fungsi dan menguji sifat-

sifat yang dimiliki untuk mengetahui fungsi naik dan fungsi turun
3.25 Menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi untuk menentukan gradien garis singgung kurva, garis tangen,

dan garis normal
3.26 Mendeskripsikan konsep dan sifat turunan fungsi terkait dan menerapkannya untuk menentukan titik stasioner

(titik maksimum, titik minimum, dan titik belok)
3.27 Menganalisis bentuk model matematika berupa persamaan fungsi serta menerapkan konsep dan sifat turunan

fungsi dalam memecahkan masalah maksimum dan minimum
4.16 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang

turunan fungsi aljabar
4.17 Memilih strategi yang efektif dalam menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang

fungsi naik dan fungsi turun
4.18 Merancang dan mengajukan masalah nyata tentang menggunakan konsep dan sifat turunan fungsi terkait

dalam titik stasioner (titik maksimum, titik minimum, dan titik belok)
4.19 Menyajikan data dari situasi nyata memilih variabel dan mengkomunikasikannya dalam bentuk model

matematika berupa persamaan fungsi, serta menerapkan konsep dan sifat turunan fungsi dalam memecahkan
masalah maksimum dan minimum

Indikator

1. Memahami konsep garis sekan dan garis tangen
2. Memahami turunan limit fungsi
3. Memahami turunan fungsi aljabar
4. Memahami fungsi naik dan fungsi turun beserta aplikasinya dalam permasalahan sehari-hari
5. Memahami konsep turunan dalam permasalahan maksimum dan minimum
6. Memahami konsep turunan dari permasalahan kecepatan dan percepatan

7. Memahami sketsa kurva fungsi

41 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Apersepsi

Pernahkah Anda memperhatikan angka yang ditunjukkan
speedometer sepeda motor angka pada speedometer
menunjukkan besarnya kecepatan kendaraan Tahukah Anda
bahwa kecepatan diturunkan dari besaran jarak pada pokok
pembahasan Berikut kita akan membahas tentang turunan fungsi
dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.

Peta Konsep

Turunan

Turunan Suatu Fungsi Aplikasi Turunan

Ringkasan Materi

A. Turunan Suatu Fungsi

Sebelum membahas turunan fungsi maka perhatikan konsep mengenai turunan fungsi
berikut!

1. Garis Sekan dan Garis Tangen
Perhatikan grafik berikut!

y

Garis Normal

Garis sekan/tali busur

y1 Garis singgung

Q=(x2, y2) P=(x1, y1)
Δy
y2

Δx

o x2 x1 x

Misalkan suatu titik mulai bergerak dari titik Q(x2,y2) ke titik P(x1,y1) sehingga titik tersebut

akan bergerak dari titik Q mendekati titik p. Garis yang menghubungkan kedua titik disebut

garis tali busur atau garis sekan. Sepanjang pergerakan tersebut terdapat banyak garis

sekan yang dapat dibentuk dari titik Q menuju titik P dengan gradien awal msec = 2− 1
2− 1

dapat disimpulkan jika f: RR adalah fungsi kontinu dan titik P(x1,y1) dan Q(x1+Δx,y1+Δy)

pada kurva f, maka garis sekan akan menghubungkan titik P dan Q dengan gradien msec

42 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

= ( 1+∆ )− ( 1) sedangkan garis tangen konsepnya hampir sama dengan garis
∆

sekan. Hanya saja pada garis tangen hanya menyentuh kurva pada satu koordinat

Mengamati

Amatilah kurva berikut kemudian buatlah garis sekan dan garis tangen

Menanya

Tanyakan kepada guru Anda mengenai perbedaan garis sekan dan garis tangen dalam
konsep turunan

2. Turunan sebagai Limit Fungsi

Turunan dapat dicari dari limit. Misalkan x2 = x1 + Δx dan y2 = y1 + Δy maka titik Q akan
bergerak mendekati P untuk Δx makin kecil. Gradien garis singgung di titik P disebut turunan

fungsi pada titik P yang dapat disimbolkan dengan:

f’(x) = lim ( + ∆ )− ( )
∆
∆ →0

3. Turunan Fungsi Aljabar

lim ( +ℎ)− ( ) disebut turunan fungsi f di x yang ditulis dengan notasi f’(x) sehingga

ℎ→0 ℎ

diperoleh rumus sebagai berikut: ′( ) = lim ( +ℎ)− ( )

ℎ→0 ℎ

Jika nilai limit nya ada fungsi, f dikatakan diferensiabel di x dan f’ disebut fungsi turunan dari f.
Turunan dari y = f(x) sering kali ditulis dengan y’ = f’(x). Notasi dari y’ = f’(x) suka dapat ditulis

dan ( ).



Misalkan f, u, v adalah fungsi bernilai real dan dapat diturunkan di interval l, a bilangan real

maka dapat diturunkan:
f(x) = a → f’(x) = 0
f(x) = ax → f’(x) = a
f(x) = axn → f’(x) = naxn-1
f(x) = au(x) → f’(x) = au’(x)
f(x) = u(x) + v(x) → f’(x) = u’(x) + v’(x)
f(x) = u(x) . v(x) → f’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)

( ) ′( ). ( )+ ( ). ′( )
f(x) = ( ) → f’(x) =
[ ( )]2

43 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Tugas Individu 1

Kerjakan tugas berikut secara mandiri!
Buktikanlah suatu teorema jika y = uv maka y’ = u’v + uv’ !

Tugas kelompok 1

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!

Coba Anda diskusikan dan buktikan teorema berikut dengan teman sekelompok Anda.

Jika y = maka y’ = ′ − ′
2

Latihan 1

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 12 !

Jawab: ..........................................................................................................................
2. Tentukan f’(x) jika diketahui f(x) = 4x3 !

Jawab: ..........................................................................................................................
3. Tentukan f’(x) jika diketahui f(x) = x(5x+3)

Jawab: ..........................................................................................................................
4. Tentukan turunan pertama dari y = (2x2 + 4x – 3)10 !

Jawab: ..........................................................................................................................
5. Tentukan gradien garis singgung dari fungsi f(x) = x3 – 3x2 di titik (-2, -20)!

Jawab: ..........................................................................................................................

A. Aplikasi Turunan

Konsep turunan banyak diaplikasikan untuk menyelesaikan permasalahan, misalnya
masalah fungsi naik dan fungsi turun, nilai maksimum dan nilai minimum, serta masalah
kecepatan dan percepatan.

1. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Perhatikan kurva berikut!

Y

Fungsi naik Fungsi turun Fungsi naik Fungsi turun
Fungsi turun f(x) X

Fungsi naik

44 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Pada gambar tersebut semua arah garis singgung berfungsi naik miring ke kanan
dan pada fungsi turun semua arahnya miring ke kiri karena semua garis yang miring ke
kanan mempunyai gradien yang positif dan semua garis yang miring ke kiri mempunyai
gradien yang negatif maka:
Grafik fungsi f(x) naik apabila m > 0 atau f(x) > 0
Grafik fungsi f(x) turun apabila m < 0 atau f(x) < 0
Grafik fungsi f(x) tidak naik apabila m < 0 atau f(x) < 0
Grafik fungsi f(x) tidak turun apabila > 0 atau f(x) > 0
2. Nilai maksimum dan minimum

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi dalam interval tertutup
dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
a. Menentukan nilai fungsi pada batas interval
b. Menentukan nilai stasioner apabila stasioner dicapai pada x di dalam interval
c. Menentukan nilai minimum dan maksimum berdasarkan hasil dari (a) dan (b)

Inet
Turunan banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari Jika anda ingin menambah
pengetahuan tentang turunan maka bukalah website berikut: http://
www.aksiomaid.com/Matematika/Ringkasan-Materi/0117010600000000/Aplikasi-Turunan/

3. Kecepatan dan Percepatan

Apabila diketahui fungsi y = f(x), maka turunan pertama dapat ditulis y’=f’(x), f’(x) sering

juga ditulis ( ) dan y’ sering ditulis .


Apabila diketahui s=f(t) maka turunan pertama dari s ditulis = f’(t) =


lim ( +ℎ)− ( ) . merupakan besar kecepatan sesaat untuk setiap saat, atau ditulis v

ℎ→0 ℎ

atau a = = 2
= 2 di mana merupakan besarnya percepatan setiap saat.

Mengeksplorasi

Carilah informasi mengenai permasalahan yang berkaitan dengan turunan fungsi dari internet
atau buku referensi

4. Sketsa Kurva Fungsi dengan Konsep Turunan
Langkah-langkah dalam menggambar grafik suatu fungsi aljabar atau suatu kurva sebagai
berikut:

a. Menentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y)
b. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum,

dan titik belok).
c. Menentukan nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negatif

Mengasosiasi

45 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Analisalah hubungan mengenai aplikasi turunan yang digunakan dalam menjawab persoalan
tentang kecepatan dan percepatan.

Mengkomunikasikan

Presentasikan mengenai pemanfaatan konsep turunan dalam kehidupan sehari-hari kepada
teman-teman sekelas Anda.

Tugas Individu 2

Kerjakan tugas berikut secara mandiri!
Gambarlah grafik kurva y = 3x2 – x3

Tugas Kelompok 2

Kerjakan tugas berikut secara berkelompok!
Bagaimanakah aplikasi konsep turunan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan
dengan titik stasioner dan titik belok? Diskusikan bersama kelompok Anda!

Latihan 2

Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Tentukan batas nilai x sehingga fungsi f(x) = x2 + 10x - 3 naik!

Jawab: ..........................................................................................................................

2. Tentukan batas nilai x sehingga fungsi f(x) = x2 + 4x - 11 turun!

Jawab: ..........................................................................................................................
3. Berapakah nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x2 + 4x – 1, -5 ≤ x ≤ 5 ?

Jawab: ..........................................................................................................................

4. Seorang pengamat melihat seseorang melepas balon udara dari jarak 200 meter. Balon

tersebut naik secara vertikal ke udara dengan kecepatan 2 m/s. Jika pengamat dan

seseorang yang melepas balon dianggap tepat berada di atas tanah, maka tentukan

kecepatan bertambahnya jarak antara pengamat dan balon saat:

a. ketinggian pohon mencapai 100 m 1
b. setelah 12 menit

Jawab: ..........................................................................................................................

5. Dua buah bilangan jumlahnya 40. Tentukan nilai minimum dari kuadrat bilangan pertama

ditambah enam kali bilangan kedua!

Jawab: ..........................................................................................................................

Infokini

Konsep turunan dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang kehidupan sebagai contoh dalam

bidang ekonomi. Pada bidang ekonomi fungsi turunan dipakai untuk mencari biaya marginal
yaitu dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total. Bisa ditulis BM = BT’.

Kreativitas

Konsep turunan tidak hanya digunakan dalam bidang ekonomi namun turunan juga sudah
mutlak diperlukan dalam bidang teknik. Coba cari tahu bagaimanakah bentuk aplikasi turunan
dalam bidang teknik.

46 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

Penanaman Nilai Karakter

Setelah mempelajari bab ini siswa dapat memahami tentang turunan. Selain itu siswa juga
dilatih untuk mengembangkan penalaran tentang turunan fungsi serta menyelesaikan
permasalahan yang berkaitan dengannya. Informasi-informasi pada bab ini sangat penting
sebagai pelajaran bahwa segala sesuatu yang ada di sekitar kita dapat ditelaah dengan
menggunakan konsep berpikir analitis, mandiri, kreatif, runtut, dan eksperimentatif.

Uji Kompetensi 4

A. Berilah tanda silang pada huruf a, b, c, d, atau e di depan jawaban yang benar!

1. Jika f(x) = x – 4x2, maka nilai dari 5. Turunan pertama dari f(x) = 1 4

(3+ℎ)− (3) 2

ℎ adalah ... adalah ....

a. -33h d. -23 – 4h

b. -23h e. -19 – 33h

c. -19h a. x3 1
b. 2x3 d. 2x3
2. Jika f(x) = 3x2 , maka nilai dari e. 8x3

(4+ℎ)− (4) c. 4x3
ℎ adalah
1
a. 12h d. 24 + 3h 6. Turunan pertama dari f(x) = 2 3

b. 24h e. 48 + 3h

c. 48h adalah ....

1 a. − 2 d. − 3
3. Jika diketahui g(x) =2 2, maka g(1+t) 3 2 4

– g(1) adalah .... b. − 3 e. − 2
2 4
2 + 2 + 2
a. −2(1+ )2 d. (1+ )2 c. − 3
4
2 + 2 1+
b. 2(1+ )2 e. 1+ 2 7. Jika f’(x) adalah turunan pertama dari

2 + 2 f(x), maka turunan pertama dari fungsi
c. (1+ )2
f(x) = 2 +1 , x ≠ -3 adalah
+3

1 27
4. Jika g(x) = , maka g(3+t) – g(3) a. ( +3)2 d. ( +3)2

adalah .... 5 9
b. ( +3)2 e. ( +3)2
1
a. 3+ d. 3(3+ ) 6
c. ( +3)2
− −
b. 3+ e. 3(3+ ) 8. Turunan pertama dari f(x) = (3x2 +

2)(x+1) adalah ....
c. 3+ a. f’(x) = 9x2 + 6x + 2

b. f’(x) = 9x2 – 6x + 2

47 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

c. f’(x) = 9x2 – 6x – 2 b. y = 2x – 4
d. f’(x) = 3x2 + 6x – 2 c. y = 3x – 10
e. f’(x) = 3x2 + 6x + 2
d. y = 4x + 7
9. Turunan pertama dari fungsi e. y = 5x – 6
+3 1 15. Ditentukan f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x.

f(x) = 2 +1, x= adalah.... Fungsi f naik dalam interval ....

a. -1 < x < 2

b. -2 < x < -1

−5 c. 1 < x < 2
a. f’(x) = (2 +1)2
d. x < -2 atau x > 1

−1 e. x < 1 atau x > 2
(2 +1)2
b. f’(x) = 16. Untuk produksi x pasang sepatu

dilakukan biaya produksi yang

2 dinyatakan oleh fungsi B(x) = 3x2 –
c. f’(x) = (2 +1)2
60x + 500 (dalam ribuan rupiah).

5 Biaya minimum yang diperlukan
d. f’(x) = (2 +1)2
adalah ....

6 a. Rp50.000,00
(2 +1)2
e. f’(x) = b. Rp75.000,00

10. Diketahui fungsi f(x) = (2x+5)6. c. Rp100.000,00

Turunan pertama dari f(x) adalah .... d. Rp150.000,00

a. 12(2x + 5)6 d. 6(2x + 5)6 e. Rp200.000,00

b. 12(2x + 5)7 e. 6(2x + 5)5 17. Jika suatu proyek akan diselesaikan

c. 12(2x + 5)5 dalam x hari, maka biaya proyek per

11. Nilai titik balik minimum dari fungsi f(x) hari menjadi (4x + 10.000 – 40) ribu

= x3 - 3x2 + 7 adalah ...
rupiah. Biaya proyek minimum

a. -4 d. 5 adalah ... ribu rupiah

b. -2 e. 7 a. 900 d. 450

c. 3 b. 880 e. 360

12. Titik-titik stasioner dari fungsi f(x) = x3 c. 720

+ 3x2 – 9x – 7 adalah .... 18. Hasil penjualan x potong kaos
dinyatakan oleh fungsi p(x)=90x – 3x2
a. (-3,20) dan (1,-12)

b. (-3,1) dan (-12,20) (dalam ribuan rupiah). Hasil penjualan

c. (-3,-12) dan (1,20) maksimum yang diperoleh adalah ...

d. (-3,12) dan (1,-20) ribu rupiah.

e. (-3,-20) dan (1,-12) a. 150 d. 675

13. Titik-titik stasioner dari fungsi f(x) = x3 b. 450 e. 750

– 3x2 + 1 adalah ... c. 600

a. (0,1) dan (2,-3) 19. Keliling minimum persegi panjang jika

b. (0,1) dan (1,1) luas persegi panjang itu 250 m2

c. (-1,-3) dan (1,2) adalah ...
a. 70
d. (3,1) dan (0,1) d. 10√10

e. (2,-3) dan (3,1) b. 100 e. 20√10

14. Persamaan garis singgung kurva f(x) c. 200

= x2 + 3x – 5 di titik (1,-1) adalah ....

a. y = 2x + 1

48 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2

20. Jumlah dua bilangan adalah 40, hasil d. 200

kali terbesar dua bilangan tersebut e. 100

adalah ....

a. 500

b. 400

c. 300

B. Isilah titik-titik pada soal berikut dengan jawaban yang benar!

1. Turunan pertama dari f(x) = 2x3 adalah ...

2. Turunan pertama dari f(x) = 2x2 + 6x adalah ...
3. Jika f(x) = x(4x – 7) maka turunan pertama dari f(x) adalah ...

3 −2
4. Jika f(x) = 5 +6 maka turunan pertama dari f(x) adalah ....
5. Gradien garis singgung dari fungsi f(x)=x3 + 3x2 di titik (2,10) adalah ...
6. Nilai maksimum fungsi f(x) = 2x – x2 pada interval {x| -1 < x < 2} adalah ...
7. Nilai minimum fungsi f(x) = 2x – x2 pada interval {x| -1 < x < 2} adalah ...
8. Turunan kedua dari f(x) = 2x3 + 3x – 4 adalah ...

9. Turunan kedua dari f(x) = 5x3 + 2x2 + 6x + 12 adalah ...
10. Persamaan garis singgung kurva y = 3x2 – 4x + 5 pada titik (1,4) adalah ...

C. Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

1. Tentukan interval-interval dari fungsi f(x) = x2 – 4x agar fungsi:

a. naik b. turun

Jawab: ..........................................................................................................................

2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) = 2x2 – x untuk {x| -6 < x < -4}

Jawab: ..........................................................................................................................

3. Salah satu titik stasioner dari f(x) = 2x3 + ax2 + 6x + b adalah (-3,5), maka tentukan titik

stasioner yang lain!

Jawab: ..........................................................................................................................

4. Diketahui biaya produksi barang sebuah perusahaan dinyatakan dalam fungsi f(x) = 8x2 –

1
120x. Kemudian harga jual tiap barang dinyatakan dalam f(x) = 3 x2 – 10x + 200, x

menyatakan jumlah barang. Tentukan jumlah barang yang harus diproduksi untuk

mencapai keuntungan maksimum!

Jawab: ..........................................................................................................................

5. Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Dalam waktu t detik, ketinggian yang dicapai oleh
bola dengan persamaan h(t) = 36t – 9t2.

a. Tentukan waktu (t) yang diperlukan sehingga tinggi bola maksimum

b. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola itu

Jawab: ..........................................................................................................................

Perbaikan
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan benar!

49 Matematika Kelas XI SMK, Nurur Semester 2