ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΄ ΤΟΜΟΣ

ΦΥΣΙΚΗ Θετικού
προσανατολισμού
γ΄λυκείου

Πολίτης Άρης • Θεωρία αλλά και επεκτάσεις της θεωρίας

Tόμος Α • Μεθοδολογίες και στρατηγικές επίλυσης
των ασκήσεων
Κρούσεις
Ταλαντώσεις • Θέματα προς λύση
Κύματα
Ρευστά ¨ ΘΕΜΑ Α : Περιέχει ερωτήσεις πολλαπλής
επιλογής και ερωτήσεις Σωστού - Λάθους.

¨ ΘΕΜΑ Β : Περιέχει ερωτήσεις ανάπτυξης με αιτιολόγηση.

¨ ΘΕΜΑ Γ : Περιέχεις ασκήσεις και προβλήματα στο πνεύμα
των εξετάσεων.

¨ ΘΕΜΑ Δ : Περιέχει σύνθετες ασκήσεις και προβλήματα
αυξημένης δυσκολίας.

 

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 9

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 10

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΟΡΜΗ – ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ:

Η ορμή είναι ένα φυσικό μέγεθος που αρχικά ονομαζόταν ποσότητα κίνησης, που χρησιμοποιείται

για να περιγράψει τη «μεταβίβαση της κίνησης» ενός σώματος σε ένα άλλο.
Είναι διανυσματικό μέγεθος που εκφράζει το γινόμενο της μάζας του σώματος επί την ταχύτητά

του, ενώ συμβολίζεται με το γράμμα p.

Α) Oρμή υλικού σημείου:  
p
Αν ένα υλικό σημείο μάζας m κινείται με ταχύτητα υ έχει ορμή m υ

p  m  υ που είναι ένα διάνυσμα ομόρροπο της ταχύτητας

με μέτρο: p  m  υ και μονάδα μέτρησης το 1 Kg‧m/s = 1 Ν‧s.

Β) Ορμή συστήματος υλικών σημείων:

Σε ένα σύστημα σωμάτων, ορμή ονομάζεται το διανυσματικό άθροισμα των ορμών των σωμάτων

που απαρτίζουν το σύστημα.   
τότε η ορμή pολ του
Εάν δηλαδή οι ορμές των σωμάτων του συστήματος είναι p1,p2,...,pν
συστήματος είναι: pολ  p1  p2  ...  pν .

Η διαδικασία προσδιορισμού της συνισταμένης ορμής γίνεται όπως και η σύνθεση των δυνάμεων.

Σύνθεση ορμών δύο κινούμενων σωμάτων:

1η Περίπτωση: Οι ορμές έχουν την ίδια κατεύθυνση, ομόρροπες.

φ  00    pολ  p1  p2
p2 p1 pολ

2η Περίπτωση: Οι ορμές έχουν αντίθετη κατεύθυνση, αντίρροπες.
p2
φ  1800  pολ  p1  p2

pολ p1

3η Περίπτωση: Οι ορμές έχουν κάθετες διευθύνσεις

φ  900   pολ  p12  p22
p2 pολ εφθ  p2
p1
θ 
p1

4η Περίπτωση: Οι ορμές έχουν τυχαίες διευθύνσεις 
p2 pολ
φ  900   900 
pολ φ p2 φθ

φθ  
p1 p1

pολ  p12  p22  2p1 p2 συνφ (μέτρο) εφθ  p2 ημφ (κατεύθυνση)
p1  p2  συνφ

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 11

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩΔΟΥΣ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ :

 ⇔  ⇔ dp  m  dυ ⇔   m  που σε συνδυασμό με το
Έχουμε p  mυ dp  mdυ dt dt dp α

 dt
dp
θεμελιώδη νόμο  δίνει τη σχέση   .
ΣF  mα ΣF dt

Η σχέση αυτή εκφράζει ότι η συνισταμένη των δυνάμεων που δρουν σε ένα σώμα ισούται με το
ρυθμό μεταβολής της ορμής του ενώ τα διανύσματα ΣF και dp είναι ομόρροπα μεταξύ τους.

Η σχέση αυτή γράφεται εναλλακτικά και με τη μορφή dp  ΣF  dt ή επίσης Δp  ΣF  Δt που

δείχνει ότι η ορμή μεταβάλλεται εφόσον στο σώμα ασκούνται δυνάμεις με ΣF  0 .

Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής μπορούμε να υπολογίσουμε την ταχύτητα ή το χρόνο που
διαρκεί η κίνηση , αρκεί η συνισταμένη δύναμη που δρά στο σώμα να είναι σταθερή, ενώ έχουμε

με αλγεβρική μορφή: p  p0  ΣF  Δt ⇔ m  υ  m  υO  ΣF  Δt .

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ:

Αν σε ένα σώμα ασκούνται δυνάμεις που η συνισταμένη τους ισούται με μηδέν τότε η ορμή του
παραμένει σταθερή.

Εφόσον ΣF  0 ⇔ Δp  0 ⇔ p  pO  0 ⇔ p  pO επίσης m υ  m υO οπότε υ  υO ,

δηλαδή επιβεβαιώνεται ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα της Αδράνειας.

ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΩΜΑΤΩΝ (Α.Δ.Ο.):

Ονομάζουμε σύστημα σωμάτων ένα σύνολο σωμάτων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Οι

δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων (μελών), ονομάζονται εσωτερικές και υπακούουν

στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα (Δράση-Αντίδραση). Αυτό σημαίνει ότι οι δυνάμεις είναι αντίθετες,

με αποτέλεσμα οι δυνάμεις αυτές να μην προκαλούν μεταβολή στην ορμή του συστήματος αφού

για αυτό έχουν συνισταμένη ίση με μηδέν αλλά σίγουρα να προκαλούν μεταβολή στην ορμή

κάθε μέλους αυτού.

Οι δυνάμεις που ασκούνται αντίστοιχα στα μέλη του συστήματος από άλλα σώματα που δεν

ανήκουν στο σύστημα ονομάζονται εξωτερικές, οι οποίες μπορούν να προκαλέσουν μεταβολή

στην ορμή του συστήματος:   ή 
dp ολ dp ολ  ΣFεξωτ Δpολ  ΣFεξωτ  Δt
dt  dt
 ΣFεσωτ  ΣFεξωτ ⇔

Αν σε ένα σύστημα σωμάτων ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις που η συνισταμένη τους ισούται με

μηδέν το σύστημα χαρακτηρίζεται μονωμένο, οπότε η ορμή του συστήματος παραμένει

σταθερή, (Α.Δ.Ο.).   
Εφόσον ΣFεξωτ  0 ⇔ Δpολ  0 ⇔ pολ(μετά)  pολ(πριν )  0 p  p⇔ ολ(πριν)
ολ(μετά )

     
p1  p2  p1  p2 ⇔ p1  p1  p2  p2 ⇔ Δp1  Δp2 .

Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι η μεταβολή της ορμής του πρώτου σώματος είναι πάντα αντίθετη της
μεταβολής της ορμής του δεύτερου σώματος.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 12

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Κρούση χαρακτηρίζουμε το φαινόμενο της απότομης μεταβολής της κινητικής κατάστασης ενός ή
δύο σωμάτων, εξαιτίας της δράσεως ισχυρών δυνάμεων που ασκούνται μεταξύ των
συγκρουόμενων σωμάτων, για πολύ μικρή χρονική διάρκεια.
Η κρούση είναι δυνατό να πραγματοποιείται είτε με επαφή των σωμάτων, μηχανική κρούση, είτε
χωρίς επαφή όπως συμβαίνει στο μικρόκοσμο όταν αλληλεπιδρούν στοιχειώδη σωματίδια
(πρωτόνια, ηλεκτρόνια ή πυρήνες) και ονομάζεται σκέδαση.
Με κριτήριο τη διεύθυνση των ταχυτήτων των συγκρουόμενων σωμάτων πριν και μετά την κρούση,
αυτές διακρίνονται στις α) κεντρικές ή μετωπικές κατά τις οποίες τα διανύσματα των ταχυτήτων
βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, β) στις έκκεντρες όπου οι φορείς των ταχυτήτων πρίν την κρούση
είναι παράλληλοι μεταξύ τους και γ) στις πλάγιες όπου οι διευθύνσεις των ταχυτήτων είναι τυχαίες.
Με κριτήριο την ύπαρξη απωλειών μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη διάρκεια της
κρούσης, αυτές διακρίνονται στις ελαστικές και στις ανελαστικές. Στις ελαστικές κρούσεις δεν
υπάρχει απώλεια μηχανικής ενέργειας του συστήματος, ενώ στις ανελαστικές κρούσεις υπάρχει
απώλειά της η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Η μηχανική ενέργεια εκφράζει το άθροισμα της κινητικής και της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας.
Κατά την πολύ μικρή διάρκεια της κρούσης όμως, τα σώματα δεν αλλάζουν την υψομετρική τους θέση,
οπότε η βαρυτική δυναμική ενέργειά τους δεν μεταβάλλεται. Αυτό σημαίνει ότι πιθανή απώλεια της
μηχανικής ενέργειας αφορά μόνο την κινητική ενέργεια οπότε ισχύει:

ΔΕμηχ  Δ(Kολ  Uβαρ(ολ))  ΔKολ  ΔUβαρ(ολ) ⇔ ΔΕμηχ  ΔKολ .

Στις ελαστικές κρούσεις ισχύει: ΔEμηχ  0 ⇔ Δ(Kολ  Uβαρ(ολ) )  0 ⇔ ΔKολ  ΔUβαρ(ολ)  0 ⇔

ΔKολ  0 ⇔ Kολ(πριν)  Kολ(μετά) ⇔ K1  K 2  K1  K2 ⇔ K1  K1  K2  K2 ⇔ ΔΚ1  ΔΚ 2 .

Στις ανελαστικές κρούσεις υπάρχει απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος, οπότε

K ολ(πριν )  K ολ(μετά) , η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

Η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει ακόμη και στην περίπτωση που ενώ ασκούνται εξωτερικές

δυνάμεις με ΣFεξωτ  0 , η χρονική διάρκεια δράσης τους είναι πολύ μικρή Δt→0, όπως στην

περίπτωση των κρούσεων.
Παράδειγμα αποτελεί η τριβή ολίσθησης, η οποία παρά την ύπαρξή της δεν ακυρώνει την ισχύ
της αρχής διατήρησης της ορμής κατά τις κρούσεις.

Η αρχή διατήρησης της ορμής έχει διανυσματικό χαρακτήρα, για αυτό πρέπει πάντα να προσέχουμε
τις διευθύνσεις των διανυσμάτων των ταχυτήτων.
Εάν όμως τα διανύσματα των ταχυτήτων πρίν και μετά την κρούση βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε
το διανυσματικό άθροισμα των ορμών μεταπίπτει σε αλγεβρικό, ορίζοντας αυθαίρετα κάποια φορά ως
θετική.
Αν κάποια ταχύτητα είναι άγνωστης φοράς, τότε στην Α.Δ.Ο. λαμβάνεται θετική και από την
επίλυση του προβλήματος προκύπτει η πραγματική φορά.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 13

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΣΧΕΣΗ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΡΜΗΣ: 

Αν ένα σώμα μάζας m κινείται μεταφορικά με ταχύτητα υ , τότε θα έχει ορμή μέτρου p  mυ (1)

και κινητική ενέργεια K  1  m  υ2 (2).
2

Λύνουμε τη σχέση (1) ως προς υ και αντικαθιστούμε στη σχέση (2), οπότε προκύπτει:

υ p και K  1 m p 2  1 m p2 ⇔ K  1  p2 (3).
m 2 m 2 m2 2m

Η σχέση (3) βρίσκει τέλεια εφαρμογή στις περιπτώσεις εκείνες που ένα σώμα διατηρεί σταθερή
την ορμή του, οπότε η κινητική του ενέργεια είναι αντιστρόφως ανάλογη της μάζας του.

ΠΛΑΓΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ ΣΕ ΤΟΙΧΟ:

Θεωρούμε ότι σφαίρα μάζας m συγκρούεται πλάγια και ελαστικά σε λείο τοίχο με γωνία

πρόσπτωσης π. Δεν υπάρχει απώλεια κινητικής ενέργειας οπότε οι ταχύτητες πριν και μετά

την κρούση είναι ίσες σε μέτρο υ  υ , οπότε αναλύοντας υ x
αυτές σε άξονες χ ,y έχουμε: υ2  υ2 ⇔ υx2  υy2  υ2x  υ2y (1). υx

Επειδή η δύναμη F που δέχεται η σφαίρα από τον τοίχο είναι υy 
yF
κάθετη σε αυτόν , θα μεταβάλλει μόνο τη συνιστώσα ταχύτητας
υy και όχι τη υ όπου υx  υx (2) , οπότε από τη σχέση (1)
x 

προκύπτει και υy  υy ή υy  υy (3)

Τότε για τις γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης από τον τοίχο  υ
ισχύουν: υx

ημπ  υx και ημα  υx οπότε ημπ  ημα άρα π  α . m 
υy
υ υ

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Κεντρική ελαστική κρούση δύο συγκρουόμενων σωμάτων:

Θεωρούμε ότι δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1, m2 κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες
υ1 και υ2 . Τα σώματα συγκρούονται μεταξύ τους και μετά αποκτούν ταχύτητες υ1 και υ2 , οι οποίες

για να προσδιοριστούν πρέπει να εφαρμόσουμε τις αρχές διατήρησης της ορμής και της κινητικής

ενέργειας του συστήματος. 
υ1 υ2
Αρχή διατήρησης της ορμής:    (+) m1 m2 (πριν)
pολ(πριν )  pολ(μετά) ⇔ p1  p2  p1  p2
p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα)

m1  υ1  m2  υ2  m1  υ1  m2  υ2 (1)  
m1  υ1  m1  υ1  m2  υ2  m2  υ2 υ1 υ2
m1  (υ1  υ1)  m2  (υ2  υ2 ) (2)
m1 m2 (μετά)

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 14

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔ K 1  K 2  K 1  K 2 ⇔ 1 m1  υ12  1 m2  υ22  1 m1  υ12  1 m2  υ22
2 2 2 2

m1  υ12  m1  υ12  m2  υ22  m2  υ22 ⇔ m1  (υ12  υ12 )  m2  (υ22  υ22 )

m1  (υ1  υ1)  (υ1  υ1)  m2  (υ2  υ2 )  (υ2  υ2 ) οπότε από τη σχέση (2) προκύπτει

υ1  υ1  υ2  υ2 (3), που αποτελεί το αλγεβρικό άθροισμα των ταχυτήτων (ΑΛ.Α.ΤΑ.) των

δύο σωμάτων πρίν και μετά την κρούση.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Αν λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει από το συνδυασμό της αρχής διατήρησης

της ορμής και του αλγεβρικού αθροίσματος των ταχυτήτων προκύπτουν οι ταχύτητες των σωμάτων
μετά των κρούση υ1 και υ2 .

υ1   m1  m2   υ1   2 m2   υ2 & υ2   2 m1   υ1   m2  m1   υ2
 m1  m2   m1  m2   m1  m2   m1  m2 

Κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων της ίδιας μάζας:

Θεωρούμεότι δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1 = m2 = m κινούνται πάνω στην ίδια υευ1 θκεαίιαυμ2 ε,
ταχύτητες υ1 και υ2 . Τα σώματα συγκρούονται μεταξύ τους και μετά αποκτούν ταχύτητες

οι οποίες για να προσδιοριστούν πρέπει να εφαρμόσουμε τις αρχές διατήρησης της ορμής και της

κινητικής ενέργειας του συστήματος. 
υ1 υ2
Αρχή διατήρησης της ορμής:  
  p1  p2
p  pp  pολ(πριν ) 
ολ(μετά ) ⇔ 1 2 (+) m1 m2 (πριν)

p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα) 
υ2
m1  υ1  m2  υ2  m1  υ1  m2  υ2 (1) 
υ1

m υ1  m υ1  m  υ2  m υ2 m1 m2 (μετά)

υ1  υ1  υ2  υ2 (2)

Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

K ολ(πριν)  K ολ(μετά) ⇔ K 1  K 2  K 1  K 2 ⇔ 1 m1  υ12  1 m2  υ22  1 m1  υ12  1 m2  υ22
2 2 2 2

m  υ12  m  υ12  m  υ22  m  υ22 ⇔ υ12  υ12  υ22  υ22
(υ1  υ1)(υ1  υ1)  (υ2  υ2 )(υ2  υ2 ) οπότε από τη σχέση (2) προκύπτει υ1  υ1  υ2  υ2 (3), που

αποτελεί το αλγεβρικό άθροισμα των ταχυτήτων (ΑΛ.Α.ΤΑ.) των σωμάτων πρίν και μετά την κρούση.
Αν λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει από το συνδυασμό των σχέσεων (2) & (3)
προκύπτουν οι ταχύτητες των σωμάτων μετά των κρούση υ1 και υ2 .
Προσθέτω κατά μέλη τις σχέσεις (2) & (3) οπότε: 2 υ1  2 υ2 οπότε: υ2  υ1 και υ1  υ2 .

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τα δύο σώματα ίδιας μάζας m1=m2 ανταλλάσσουν ταχύτητες μετά
την κεντρική ελαστική κρούση τους.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 15

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Κεντρική ελαστική κρούση κινούμενου σώματος μάζας m1 με άλλο αρχικά ακίνητο σώμα μάζας m2.


Θεωρούμε ότι δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1, m2 από τα οποία το Σ1 κινείται με ταχύτητα υ1,
ενώ το Σ2 είναι ακίνητο υ2  0 . Τα σώματα συγκρούονται μεταξύ τους και μετά αποκτούν ταχύτητες
υ1 και υ2 , οι οποίες για να προσδιοριστούν πρέπει να εφαρμόσουμε τις αρχές διατήρησης της

ορμής και της κινητικής ενέργειας του συστήματος, που συνδυαζόμενες δίνουν το αλγεβρικό
άθροισμα των ταχυτήτων (ΑΛ.Α.ΤΑ.). υ1

Αρχή διατήρησης της ορμής:   υ2  0

pολ(πριν )  pολ(μετά) ⇔ p1  p2  p1  p2 (+) m1 m2 (πριν)

p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα)  
m1  υ1  0  m1  υ1  m2  υ2 (1) υ1 υ2

m1  υ1  m1  υ1  m2  υ2 ⟺ m1  (υ1  υ1)  m2  υ2 (2) m1 m2 (μετά)

Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔ K 1  K 2  K 1  K 2 ⇔ 1 m1  υ12  0  1 m1  υ12  1 m2  υ22
2 2 2

m1  υ12  m1  υ12  m2  υ22 ⇔ m1  (υ12  υ12 )  m2  υ22 ⇔ m1 (υ1  υ1) (υ1  υ1)  m2 υ2 υ2

οπότε από τη σχέση (2) προκύπτει υ1  υ1  υ2 (3 ), που αποτελεί το αλγεβρικό άθροισμα των

ταχυτήτων (ΑΛ.Α.ΤΑ.) των δύο σωμάτων πρίν και μετά την κρούση.

Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στη σχέση (1) προκύπτει:

m1  υ1  0  m1  υ1  m2  (υ1  υ1) ⇔ m1  υ1  m1  υ1  m2  υ1  m2  υ1

m1  υ1  m2  υ1  m1  υ1  m2  υ1 ⇔ (m1  m2 )  υ1  (m1  m2 )  υ1 οπότε προκύπτει:

υ1  m1  m2  υ1 (4) που με αντικατάσταση στη σχέση (3) δίνει:
m1  m2

υ2  υ1  m1  m2  υ1 ⇔ υ2  1 m1  m2   υ1 ⇔ υ2  2 m1 υ1 (5).
m1  m2 m1  m2 m1  m2

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ (4) & (5):

Τα συγκρουόμενα σώματα έχουν την ίδια μάζα m1 = m2 :

Τότε προκύπτουν οι σχέσεις: υ1  υ2 και υ2  υ1 οπότε τα σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες.

Το αρχικά κινούμενο σώμα Σ1 έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα από το αρχικά ακίνητο σώμα Σ2,
m1 >> m2 :

Τότε ισχύουν: m1  m2  m1 και m1  m2  m1 οπότε: υ1  υ1 & υ2  2  υ1.

Το αρχικά κινούμενο σώμα Σ1 μετά την κρούση κινείται με την ίδια ταχύτητα, ενώ το αρχικά
ακίνητο σώμα Σ2 κινείται με διπλάσια ταχύτητα.

Το αρχικά κινούμενο σώμα Σ1 έχει πολύ μικρότερη μάζα από το αρχικά ακίνητο σώμα Σ2 ,
m1 << m2 :

Τότε ισχύουν: m1  m2  m2 και m1  m2  m2 οπότε: υ1  υ1 & υ2  0 .

Το αρχικά κινούμενο σώμα Σ1 μετά την κρούση κινείται με αντίθετη ταχύτητα, ενώ το αρχικά
ακίνητο σώμα Σ2 παραμένει ακίνητο.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 16

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Ποσοστό (%) της κινητικής ενέργειας του αρχικά κινούμενου σώματος Σ1 που μεταφέρεται στο
αρχικά ακίνητο σώμα Σ2.

Α.Δ.Κ.Ε.: K ολ(πριν )  K ολ(μετά) ⇔ K1  0  K1  K2 ⇔ K1  K1  K2

Π (%)  ΔK1  100 (%) ⇔ Π(%)  K 1  K 1  100 (%)   K 2  100 (%)
K1 K1 K1

Π(%)   1 m2  υ22  100 (%)   m2   υ2  2  100 (%)   m2   2  m1 2 100(%)
2 m1 υ1 m1 m1  m2

1  m1  υ 2
2 1

  m2  4  m 2  100 (%) 4 m1 m2
m1 1 (m 1  m 2 )2
 Π(%) ⇔ Π (%)    100 (%)
m1  m2 2

Η μεταφορά κινητικής ενέργειας είναι μέγιστη όταν το αρχικά ακίνητο σώμα αποκτήσει ολόκληρη

την κινητική ενέργεια του αρχικά κινούμενου.

Δηλαδή το αρχικά κινούμενο σώμα θα σταματήσει οπότε K2  K1 και υ1  0 .

Τότε από τη σχέση (4) προκύπτει ότι τα συγκρουόμενα σώματα έχουν την ίδια μάζα m1 = m2.

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Κεντρική ανελαστική κρούση δύο συγκρουόμενων σωμάτων:

Θεωρούμε ότι δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1, m2 κινούνται πάνω υστ1ηνκαίδι ιυα2ε.υΕθφείααρμμεόζτοαυχμύετηττηενς
υ1 και υ2 , συγκρούονται μεταξύ τους και μετά αποκτούν ταχύτητες

αρχή διατήρησης της ορμής, ενώ υπάρχει απώλεια κινητικής ενέργειας του συστήματος, η οποία

μετατρέπεται σε θερμότητα που μεταβιβάζεται στο περιβάλλον.

Η ανελαστική κρούση παρατηρείται σε σώματα που παραμορφώνονται κατά την κρούση ή όταν ένα

βλήμα διαπερνά κάποιο άλλο σώμα. υ1 υ2
(+) m1 m2 (πριν)
Αρχή διατήρησης της ορμής:  
p  pολ(πριν) ⇔ p1  p2  p1  p2
ολ(μετά )

p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα)

m1  υ1  m2  υ2  m1  υ1  m2  υ2 (1)  
υ1 υ2

Απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος: m1 m2 (μετά)

Προφανώς ότι K ολ(μετά)  K ολ(πριν) οπότε:

ΔK ολ  K ολ(μετά)  K ολ(πριν)  0

Για να υπολογίσουμε την απώλεια βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της: ΔK ολ  K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔

ΔΚ ολ  ( K 1  K 2 )  ( K 1  K 2 ) ⇔ ΔΚολ  1 m1  υ12  1 m2  υ22  1 m1  υ12  1 m2  υ22 (2)
2 2 2 2

Θερμότητα λόγω κρούσης:

Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας για το σύστημα των δύο σωμάτων κατά την κρούση

προκύπτει ότι: Ε μαηρχχ  Qκρ.  Ε τελ ⇔ Qκρ.  ΔΕμηχ ⇔ Qκρ.  ΔKολ .
μηχ

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 17

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Ποσοστό (%) της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάνεται κατά την κρούση και

μετατρέπεται σε θερμότητα.

Π (%)  Δ K ολ  100 (%)  K  Kολ(μετά) ολ (πριν ) 100 (%)   K ολ(μετά)  1  100 (%) ⇔
K ολ ( πριν ) K ολ ( πριν
K ολ (πριν ) )

Π(%)   K 1  K 2  1  100 (%) .
K  K
1 2

ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Κεντρική πλαστική κρούση δύο συγκρουόμενων σωμάτων: 

Θεωρούμε ότι δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1, m2 κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία με ταχύτητες υ1 και
υ2 , συγκρούονται μεταξύ τους ενώ μετά την κρούση προσκολλώνται μεταξύ τους και δημιουργείται
ένα συσσωμάτωμα που αποκτά ταχύτητα που χαρακτηρίζεται κοινή ταχύτητα υK .

Αυτή η ιδιάζουσα ανελαστική κρούση ονομάζεται πλαστική κρούση.

Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής, ενώ υπάρχει απώλεια κινητικής ενέργειας του

συστήματος, η οποία οφείλεται στις δυνάμεις αντίστασης που εμφανίζονται κατά την κρούση. Εκφράζει δε

την απαιτούμενη ενέργεια για την προσκόλληση των σωμάτων που τελικά μετατρέπεται σε θερμότητα και

μεταβιβάζεται στο περιβάλλον. 
υ1 υ2
Αρχή διατήρησης της ορμής: 
pολ(πριν )  pολ(μετά ) ⇔ p1  p2  pσυσσ. (+) m1 m2 (πριν)
p1  p2  pσυσσ. (αλγεβρικό άθροισμα) 
m1  υ1  m2  υ2  (m1  m2 )  υΚ (1) υκ

Απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος: m1  m2 (μετά)

Προφανώς θα ισχύει ότι: K  Kολ(μετά) ολ(πριν) οπότε

ΔK ολ  K ολ(μετά)  K ολ(πριν)  0

Για να υπολογίσουμε την απώλεια βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της: ΔK ολ  K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔

ΔΚ ολ  K 1  K 2  K συσσ. ⇔ ΔΚολ  1 m1  υ12  1 m2  υ22  1 (m1  m2 )  υΚ2 (2)
2 2 2

Θερμότητα λόγω κρούσης: Qκρ.  ΔKολ .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Ποσοστό (%) της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος που χάνεται κατά την κρούση και
μετατρέπεται σε θερμότητα.

Π(%)  Δ K ολ  100 (%) ⇔ Π(%)  K ολ(μετά)  K ολ (πριν )  100 (%)
K ολ ( πριν ) K ολ ( πριν )

Π(%)   K ολ(μετά)  1  100 (%) ⇔ Π(%)   K συσσ.  1 100 (%) .
K ολ ( πριν K1
) K 2

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 18

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΛΑΓΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Πλάγια (έκκεντρη) ελαστική κρούση ενός κινούμενου σώματος μάζας m1 με ένα άλλο αρχικά

ακίνητο σώμα μάζας m2. 

Θεωρούμε ότι δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1, m2 από τις οποίες η Σ1 κινείται με ταχύτητα υ1 η
διεύθυνση της οποίας δεν βρίσκεται πάνω στη διάκεντρό τους, ενώ η Σ2 είναι ακίνητη υ2  0 . Οι
σφαίρες συγκρούονται και μετά αποκτούν ταχύτητες υ1 και υ2 , οι οποίες σχηματίζουν γωνία φ μεταξύ

τους. Για να προσδιοριστούν πρέπει να εφαρμόσουμε τις αρχές διατήρησης της ορμής και της

κινητικής ενέργειας του συστήματος.

m1   (φ  θ1  θ2 ) 
υ1 m1 υ1 p1
φ 
θ1 p1

(πριν)  m2 θ2  p2
υ2  0 υ2
(μετά)
m2

Αρχή διατήρησης της ορμής:  
p  pολ(πριν) ⇔ p1  0  p1  p2 , όπου η διανυσματική πρόσθεση των ορμών γίνεται με τον
ολ(μετά ) 

κανόνα του παραλληλογράμμου ενώ για τον υπολογισμό του μέτρου της p1 εφαρμόζουμε το

γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα: p12  p12  p22  2  p1  p2  συνφ (1)

Αρχή διατήρησης της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔ K 1  K 2  K 1  K 2 ⇔ 1 m1 υ12  0  1 m1 υ12  1 m2 υ22 (2)
2 2 2

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Αν οι συγκρουόμενες σφαίρες έχουν την ίδια μάζα (m1 = m2 = m) ισχύει:

p12  p12  p22  2 p1  p2  συνφ ⇔ m2υ12  m2υ12  m2υ22  2mυ1 mυ2  συνφ

υ12 υ12 υ22 2υ1υ2 συνφ (3) ,

1 m  υ 2 0 1 m 1  υ 12  1 m2  υ22 ⇔ υ12  υ12  υ22 (4)
2 1 2 2

Από τις σχέσεις (3) & (4) προκύπτει ότι: 2υ1 υ2  συνφ  0 οπότε συνφ 0 δηλαδή φ 90o .

Οι σφαίρες μετά την κρούση τους κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 19

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΛΑΓΙΑ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ:

Πλάγια πλαστική κρούση δύο κινούμενων σωμάτων μαζών m1 , m2. 

Θεωρούμεότι δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1, m2 όπου η Σ1 κινείται με ταχύτητα υ1 και η Σ2 με
ταχύτητα υ2 οι διευθύνσεις των οποίων δεν βρίσκονται πάνω στη διάκεντρό τους. Οι σφαίρες
συγκρούονται και μετά αποκτούν κοινή ταχύτητα υK , που για να προσδιοριστεί πρέπει να

εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της ορμής ενώ υπάρχει απώλεια της κινητικής ενέργειας του

συστήματος.  (μετά)   
υ2 υK p2 p συσσ.
m1 θ φ 
φ p1
(πριν)  θ
υ1

m2 (m1  m2 )

  
Αρχή διατήρησης της ορμής: p  pολ(πριν ) ⇔ p1  p2  pσυσσ. , όπου η διανυσματική
ολ(μετά )

πρόσθεση των ορμών γίνεται με τον κανόνα του παραλληλογράμμου ενώ για τον υπολογισμό του
μέτρου της pσυσσ. εφαρμόζουμε το γενικευμένο πυθαγόρειο θεώρημα:

pσυσσ  p12  p22  2 p1  p2  συνφ (1) όπου pσυσσ  (m1  m2 )υΚ , p1  m1 υ1 και p2  m2 υ2

και της κατεύθυνσης με τη σχέση: ημθ  p2  ημφ (2)
p συσσ

Απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος:

Προφανώς ισχύει ότι: K ολ(μετά)  K ολ(πριν) οπότε ΔKολ  Kολ(μετά)  Kολ(πριν)  0

Για να υπολογίσουμε την απώλεια βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της: ΔK ολ  K  Kολ(πριν) ολ(μετά) ⇔

ΔΚ ολ  K 1  K 2  K συσσ. ⇔ ΔΚολ  1 m1  υ12  1 m2  υ22  1 (m1  m2 )  υΚ2 (3)
2 2 2

Θερμότητα λόγω κρούσης: Q  ΔKολ .

Πλάγια πλαστική κρούση βλήματος μάζας m με σώμα μάζας Μ που είναι δεμένο στο άκρο νήματος.


Θεωρούμε ότι βλήμα μάζας m κινούμενο με ταχύτητα υο που σχηματίζει γωνία φ με την οριζόντια

διεύθυνση, συγκρούεται με σώμα μάζας Μ που κρέμεται από το άκρο κατακόρυφου νήματος, και
σφηνώνεται σε αυτό. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα αποκτά κοινή ταχύτητα υκ που είναι κάθετη

στο νήμα, οπότε οι διευθύνσεις των ταχυτήτων δεν είναι στην ίδια ευθεία. 
Στην περίπτωση αυτή αναλύουμε την ταχύτητα υο σε δύο συνιστώσες υο(x) και υο(y) , οπότε η αρχή

διατήρησης της ορμής μπορεί να εφαρμοστεί μόνο στον άξονα χ, γιατί μετά την κρούση το

συσσωμάτωμα δεν έχει ταχύτητα στον άξονα y.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 20

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Αρχή διατήρησης της ορμής:

p  pολ(πριν )x ⇔ m  υo(x)  (m  M)  υΚ
ολ(μετά )x

m υo  συνφ  (m  M) υΚ ⇔ υΚ  m υo  συνφ  
mM υο(x) ℓT
φ (+)
Γενικευμένος 2ος νόμος του Νεύτωνα στον άξονα y: υ0
 m 
Είναι προφανές ότι όταν δεν ισχύει η αρχή διατήρησης υο(y) υο Μ υκ
της ορμής ισχύει ΣF  0 , οπότε εφαρμόζεται ο 
wολ (Μ+m)
γενικευμένος 2ος νόμος του Νεύτωνα στον άξονα y και
υπολογίζουμε τη μέση τάση του νήματος που ασκείται

στο σώμακατά τη διάρκεια Δt της κρούσης.
 Δpολ(y)
 ή αλγεβρικά: ΣFy  Δp ολ( y ) ⇔ ΣFy  p  pολ(μετά)y ολ(πριν) y
ΣFy Δt Δt
Δt

 Τ  wολ
 0 m υo(y) Τ  (Μ  m)g  m υo ημφ
Δt Δt
⇔ .

Πλάγια πλαστική κρούση βλήματος μάζας m με σώμα μάζας Μ που βρίσκεται σε οριζόντιο ή

κεκλιμένο επίπεδο.


Θεωρούμε ότι βλήμα μάζας m κινούμενο με ταχύτητα υο που σχηματίζει γωνία φ με το δάπεδο,

συγκρούεται με σώμα μάζας Μ και σφηνώνεται σε αυτό. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα αποκτά
κοινή ταχύτητα υκ που είναι παράλληλη στο δάπεδο, οπότε οι διευθύνσεις των ταχυτήτων δεν είναι

στην ίδια ευθεία.  

Στην περίπτωση αυτή αναλύουμε την ταχύτητα υο σε δύο συνιστώσες υο(x) και υο(y) , οπότε η αρχή

διατήρησης της ορμής μπορεί να εφαρμοστεί μόνο στον άξονα χ, γιατί μετά την κρούση το

συσσωμάτωμα δεν έχει ταχύτητα στον άξονα y.


υ0(x) υ  0

   φ m Μ  
υο(x) N (+) υ0(y) υΚ
 
wολ  υο N
φ υΚ
υ0
 (Μ+m) φ
υο( y )  wολ(x) φ 
υοm Μ
 w ολ(y)
φ wολ


p  pολ (πριν )x m  υo(x)  (m  M)  υΚ ⇔
Αρχή διατήρησης της ορμής: ολ (μετ ά )x ⇔

m  υo  συνφ  (m  M)  υΚ οπότε: υΚ  mυo συνφ .
mM

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 21

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Γενικευμένος 2ος νόμος του Νεύτωνα στον άξονα y: 

Είναι προφανές ότι όταν δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει ΣF  0 , οπότε εφαρμόζεται ο

γενικευμένος 2ος νόμος του Νεύτωνα στον άξονα y και υπολογίζουμε τη μέση κάθετη δύναμη που

ασκείται στο σώμα κατά τη δΣιFάyρκειΔα pΔΔοttλτ( yη)ς κρούσης. ΣFy  Δpολ(y ) ⇔
Στο οριζόντιο επίπεδο: ή αλγεβρικά: Δt

 ΣFy 0 m υo(y) N  (Μ  m)g  m υo ημφ
 p  pολ(μετά) y ολ (πριν ) y N wολ  Δt Δt
⇔ ⇔
Δt

 Στο
N  wολ(y)  0 m υo(y) N  (Μ  m)gσυνφ  m υo ημφ
Δt Δt
κεκλιμένο επίπεδο: ⇔

ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΟΡΜΗΣ:

Γενικότερα πρέπει να πούμε ότι η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει σε κάθε περίπτωση που η
συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων ισούται με μηδέν.

ΚΡΟΥΣΕΙΣ:
Σε κάθε κρούση όπως είδαμε κεντρική ή πλάγια, ελαστική ή ανελαστική.

ΕΚΡΗΞΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΑΣΗ ΕΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΟΜΜΑΤΙΑ:

Θεωρούμε ένα σώμα μάζας Μ που εκρήγνυται εξαιτίας εσωτερικού μηχανισμού και διασπάται σε δύο

κομμάτια με μάζες m1 και m2. Εξαιτίας των εσωτερικών δυνάμεων δράσης – αντίδρασης που

αναπτύσσονται μεταξύ τους, τα σώματα θα κινηθούν σε αντίθετες κατευθύνσεις, αν το σώμα Μ ήταν

αρχικά ακίνητο. υ=0 (πρίν)

Μ (+) Μ

  m1 
υ2 m2 m1 υ1 υ2 m2 υ1

(μετά)

Αρχή διατήρησης της ορμής: 
p  pολ(πριν ) ⇔ολ(μετά ) p  p1  p2 ⇔ p  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα)

0  m1  υ1  m2  υ2 ⇔ m1  υ1  m2  υ2 ⇔ υ1  m2 .
υ2 m1

Δηλαδή ο λόγος των ταχυτήτων που αποκτούν τα σώματα είναι αντιστρόφως ανάλογος του λόγου των

μαζών τους. 

Αν το σώμα μάζας Μ κινείται αρχικά με ταχύτητα υ0 τότε μετά την έκρηξη το δεύτερο σώμα μάζας m2
μπορεί να κινηθεί είτε ομόρροπα είτε αντίρροπα της υ0 .

Αρχή διατήρησης της ορμής: 
p  pολ(πριν) ⇔ p  p1  p2 ⇔ p  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα)
ολ(μετά )

M  υ0  m1  υ1  m2  υ2 .

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 22

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΕΚΤΟΞΕΥΣΗ ΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΠΌ ΟΠΛΟ ΠΟΥ ΑΝΑΚΡΟΥΕΤΑΙ Ή ΣΩΜΑΤΟΣ ΑΠΌ ΔΙΣΚΟ ΠΟΥ ΕΙΧΕ
ΤΟΠΟΘΕΤΗΘΕΙ:

Θεωρούμε ένα σώμα μάζας m που εκτοξεύεται από όπλο ή δίσκο μάζας Μ, τότε εξαιτίας των

εσωτερικών δυνάμεων δράσης – αντίδρασης που αναπτύσσονται μεταξύ τους, τα σώματα θα κινηθούν

σε αντίθετες κατευθύνσεις. 
υ0
Αρχή διατήρησης της ορμής: υ=0 υ=0
p  p ολ (μετά) ⇔ m mm 
 ολ(πριν ) ΜΜ υ
Μ (+)
p1  p2  p1  p2 ή

p1  p2  p1  p2  
υ m υο
(αλγεβρικό άθροισμα)

0  0  m υ0 M υ ⇔ ΚΚ

M υ  m υ0 ⇔ υ  m  υ0 Μ
M

ΕΚΤΊΝΑΞΗ ΣΩΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΕΠΑΦΗ ΜΕ ΤΑ ΑΚΡΑ ΕΝΟΣ ΑΡΧΙΚΑ ΣΥΣΠΕΙΡΩΜΕΝΟΥ
ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗ ΤΟΥ:

Θεωρούμε δύο σώματα με μάζες m1 και m2 που βρίσκονται ακίνητα σε λείο οριζόντιο δάπεδο σε
επαφή με συσπειρωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ.

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συγκρατεί τα άκρα του ελατηρίου οπότε αυτό απελευθερώνεται

ασκώντας δυνάμεις στα σώματα m1 και m2που χάνουν την επαφή τους με αυτό όταν αποκτά το φυσικό
του μήκος ℓ0. N2
 υ=0  υ=0 
N1
Κ
F2 m2 m1 F1 (+)

  
 w2 Κ w1 m1 υ1
υ2 m2


 0


Τότε για να υπολογίσουμε τις ταχύτητες υ1 και υ2 που αποκτούν τελικά πρέπει να εφαρμόσουμε:


ΣFεξωτ  0 .
Αρχή διατήρησης της ορμής αφού το σύστημα είναι μονωμένο ( Ν = w ) ,
  
p  pολ(πριν ) ⇔ p1  p2  p1  p2 ⇔ p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα) ⇔
ολ(μετά )

0  m1  υ1  m2  υ2 ⇔ m1  υ1  m2  υ2 ⇔ υ1  m2 .
υ2 m1
Αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας:

Έχουμε διατηρητικές δυνάμεις οπότε , Ε(αρχ )  Ε(τελ) ⇔ K  U(ααρχ (αρχ )  U(αρχ )  K ( τελ )  U(τελ)  U( τελ )
μηχ μηχ ολ βαρ ελ ολ βαρ ελ

⇔ 1 Κ  Δ2  1 m1 υ12  1 m2 υ22 , όπου Δℓ η αρχική συσπείρωση του ελατηρίου.
2 2 2

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 23

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΙ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ:

Έργο σταθερής δύναμης λόγω μεταφορικής κίνησης: y 
Έστω ότι η σταθερή δύναμη F ασκείται στο σώμα μάζας m με διεύθυνση  υ
Fy F
που σχηματίζει γωνία φ με το οριζόντιο επίπεδο. Κατά τη μετατόπιση Δχ
του δίσκου παράγεται έργο λόγω μεταφορικής κίνησης σύμφωνα με 
φ Fx
τη σχέση WF  F  Δχ  συνφ .
χ
Ισοδύναμα μπορούμε να αναλύσουμε τη δύναμη σε δύο συνιστώσες
Fx , Fy από τις οποίες η Fyδεν παράγει έργο αφού είναι κάθετη στη
μετατόπιση ενώ η συνιστώσα Fx εκτελεί έργο WF  WFx   Fx  Δχ .

Το έργο μιας δύναμης που προκαλεί μεταφορά ενός σώματος είναι θετικό, όταν η συνιστώσα της


δύναμης Fx είναι ομόρροπη της ταχύτητας υ , Fx  υ οπότε WF  Fx  Δχ .

Το έργο μιας δύναμης που προκαλεί μεταφοράενόςσώματος είναι αρνητικό, όταν η συνιστώσα της

δύναμης Fx είναι αντίρροπη της ταχύτητας υ , Fx  υ οπότε WF   Fx  Δχ .

Διατηρητικές (συντηρητικές) δυνάμεις:

Είναι οι δυνάμεις εκείνες που σε κλειστή διαδρομή εκτελούν έργο μηδέν, ενώ σε ανοιχτή διαδρομή το
έργο τους δεν εξαρτάται από την ακολουθούμενη διαδρομή αλλά μόνο από την αρχική και την τελική
θέση. Παραδείγματα διατηρητικών δυνάμεων στη μηχανική είναι το βάρος και η δύναμη που ασκεί ένα
παραμορφωμένο ελατήριο, για τις οποίες ορίζονται οι αντίστοιχες δυναμικές ενέργειες.

Η βαρυτική Uβαρ  m  g  h όπου h είναι το ύψος του κέντρου μάζας του στερεού από ένα οριζόντιο

επίπεδο αναφοράς στο οποίο λαμβάνουμε ότι Uβαρ 0 και η ελαστική Uελ  1 Κ  Δ2 όπου Δℓ
2

είναι η παραμόρφωση του ελατηρίου όπως τη μετράμε από τη θέση του φυσικού μήκους.

Το έργο μιας διατηρητικής δύναμης ισούται με την αρνητική μεταβολή της δυναμικής της ενέργειας:

W AB   ΔUβαρ  UΑ  UΒ και αντίστοιχα W AB   ΔUελ  UΑ  UΒ .
w βαρ βαρ Fελ ελ ελ

Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.):

Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων

όλων των ασκούμενων δυνάμεων: ΔΚ  ΣW .

Το θεώρημα αυτό μπορούμε να το εφαρμόσουμε σε κάθε περίπτωση που θέλουμε να συσχετίσουμε
μεγέθη όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η μετατόπιση, ή οτιδήποτε άλλο εκτός από το χρόνο κίνησης ή
την επιτάχυνση του σώματος.

Το θεώρημα ισχύει πάντοτε άσχετα από το αν οι ασκούμενες δυνάμεις είναι διατηρητικές ή όχι.

Το θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί με τον ακόλουθο τρόπο:

ΔΚ  ΣW ⇔ Κ τελ  Καρχ  ΣW όπου K  1  m  υ2 και WF  WFx   Fx  Δχ ενώ οι δυνάμεις
2

του άξονα y που είναι κάθετος στη μετατόπιση έχουν μηδενικό έργο.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 24

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Η μέθοδος που ακολουθούμε για την εφαρμογή του (Θ.Μ.Κ.Ε.) έχει ως εξής:

1) Σχεδιάζουμε όλες τις ασκούμενες δυνάμεις στο σώμα και αναλύουμε όσες χρειάζεται σε ορθογώνιους
άξονες χ , y ώστε ο χ να συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης και ο y να είναι κάθετος σε αυτή.

2) Βρίσκουμε τις αντίστοιχες συνιστώσες τριγωνομετρικά και θέτουμε ΣFy  0 εφόσον δεν έχουμε
κίνηση στον άξονα y, υπολογίζοντας την κάθετη δύναμη Ν και εφόσον υπάρχει την τριβή ολίσθησης,

T  μ  Ν ή ακόμη Tστ(max)  μστ  Ν.

3) Εφαρμόζουμε το (Θ.Μ.Κ.Ε.) λαμβάνοντας υπόψη όσα περιγράψαμε για την περίπτωση του έργου
μιας δύναμης και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει υπολογίζοντας το άγνωστο μέγεθος.

Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.):

Η μηχανική ενέργεια ενός σώματος ή ενός συστήματος σωμάτων διατηρείται σταθερή εφόσον οι
ασκούμενες δυνάμεις είναι διατηρητικές ή έχουν μηδενικό έργο. Κατά την εφαρμογή της (Α.Δ.Μ.Ε.)
ενδιαφερόμαστε μόνο για την αρχική και την τελική θέση του σώματος και όχι για τη διαδρομή που
ακολουθεί το σώμα, για να βρούμε μεγέθη όπως η ταχύτητα, η δύναμη, η μετατόπιση, ή οτιδήποτε
άλλο εκτός από το χρόνο κίνησης ή την επιτάχυνση.

Η μηχανική ενέργεια εκφράζει το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας (βαρυτικής ή
ελαστικής) τις οποίες εξισώνουμε στην αρχική και την τελική θέση:

Ε  Εαρχ τελ ⇔ K αρχ  Uαρχ  U αρχ  K τελ  U τελ  U τελ όπου:
μηχ μηχ βαρ ελ βαρ ελ

Α) K  1 m  υ2 εκφράζει την κινητική ενέργεια του σώματος,
2

Β) Uβαρ  mgh εκφράζει τη βαρυτική δυναμική ενέργεια του σώματος και

Γ) Uελ  1 Κ  Δ2 εκφράζει την ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου , όπου Δℓ είναι
2

η παραμόρφωση του ελατηρίου όπως τη μετράμε από τη θέση του φυσικού του μήκους (Θ.Φ.Μ.).

Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.):

Είναι η γενικότερη αρχή διατήρησης, η οποία εφαρμόζεται σε κάθε περίπτωση, αφού περιλαμβάνει
πάσης φύσεως μετατροπές ενέργειας από μια μορφή σε μία άλλη άσχετα από το αν οι ασκούμενες
δυνάμεις είναι διατηρητικές ή όχι.

Έτσι στην αρχική μηχανική ενέργεια του συστήματος προσθέτουμε αλγεβρικά τα έργα των
δυνάμεων που βοηθούν την κίνηση προσφέροντας ενέργεια στο σύστημα, ή αντιστέκονται στην
κίνηση όπως η τριβή ολίσθησης ή άλλης ανθιστάμενης δύναμης οι οποίες αφαιρούν ενέργεια από το
σύστημα οπότε βρίσκουμε την τελική μηχανική ενέργεια του συστήματος.
Εμαηρχχ  WF  WΤ  Εμτεηλχ όπου WΤ   WΤ .

Αν ζητηθεί η θερμότητα που εκλύεται κατά τη διάρκεια κάποιας κρούσης , τότε από την (Α.Δ.Ε.) για

το σύστημα των δύο σωμάτων προκύπτει ότι: Qκρουσ.  ΔΚ ολ ή

Qκρουσ .  Κ πριν  Κ μετά  (Κ1  Κ 2 )  (Κ1  Κ2 ) όπου Κ 1 , Κ 2 , Κ 1, Κ  είναι οι κινητικές ενέργειες
ολ ολ
2

των μελών του συστήματος πρίν και μετά την κρούση.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 25

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Ασκήσεις στις οποίες ένα σώμα κινείται μεταξύ δύο θέσεων πάνω σε οριζόντιο ή κεκλιμένο
επίπεδο (λείο ή όχι) και ζητείται να βρεθεί η ταχύτητα ή τη μετατόπιση ή κάποια δύναμη, χωρίς να
ζητείται ο χρόνος κίνησης.

Τρόπος εργασίας:

Α) Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και αναλύουμε όσες χρειάζεται σε
ορθογώνιους άξονες χ , y όπου ο άξονας χ συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης ενώ ο άξονας y
είναι κάθετος σε αυτή.

Β) Βρίσκουμε τις αντίστοιχες συνιστώσες τριγωνομετρικά και εφόσον στον άξονα y δεν υπάρχει κίνηση

θέτουμε ΣFy  0 . Από τη σχέση αυτή βρίσκουμε την κάθετη αντίδραση του δαπέδου Ν και κατόπιν
την τριβή ολίσθησης T  μ  Ν .

Γ) Όσες δυνάμεις βρίσκονται στον άξονα y, είναι κάθετες στη μετατόπιση οπότε έχουν μηδενικό έργο.
Από τις δυνάμεις του άξονα χ όσες είναι ομόρροπες με τη μετατόπιση έχουν θετικό έργο , ενώ
όσες είναι αντίρροπες με τη μετατόπιση έχουν αρνητικό έργο , όπως για παράδειγμα η τριβή

ολίσθησης WΤ  T  Δχ . Φυσικά το έργο της τριβής ολίσθησης μετατρέπεται σε θερμότητα και
μεταβιβάζεται στο περιβάλλον , Qτριβής  WΤ .

Δ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.) υπολογίζοντας όπως

είπαμε τα έργα των δυνάμεων του άξονα χ της κίνησης , ΔΚ  ΣW ⇔ Κ τελ  Καρχ  ΣW .

Θα μπορούσαμε βέβαια να εφαρμόσουμε και την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.) :

Εμαηρχχ  WF  WΤ  Εμτεηλχ .

Ασκήσεις στις οποίες ένα σώμα κινείται μεταξύ δύο θέσεων πάνω σε οριζόντιο ή κεκλιμένο
επίπεδο (λείο ή όχι) και ζητείται να βρεθεί ο χρόνος κίνησης.

Τρόπος εργασίας:

Α) Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και αναλύουμε όσες χρειάζεται σε
ορθογώνιους άξονες χ , y όπου ο άξονας χ συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης ενώ ο
άξονας y είναι κάθετος σε αυτή.

Β) Βρίσκουμε τις αντίστοιχες συνιστώσες τριγωνομετρικά και εφόσον στον άξονας y δεν υπάρχει

κίνηση θέτουμε ΣFy  0 . Από τη σχέση αυτή βρίσκουμε την κάθετη αντίδραση του δαπέδου Ν

και κατόπιν την τριβή ολίσθησης T  μ  Ν .    .
Γ) Εφαρμόζουμε το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής στη γενικευμένη της μορφή: ΣFχ Δp
Δt

Η σχέση αυτή εφαρμόζεται αλγεβρικά , όσον αφορά τις ασκούμενες δυνάμεις και τις ταχύτητες ,

ορίζοντας αυθαίρετα κάποια φορά ως θετική , οπότε: ΣFχ  Δp ⇔ Δt  Δp ⇔ Δt  pτελ pαρχ .
Δt ΣFχ ΣFχ

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 26

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Παρατήρηση:

Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται επίσης με τη βοήθεια της κινηματικής μέσω των χρονικών εξισώσεων
της κίνησης και υπολογισμού της επιτάχυνσης από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής: ΣF  mα .

Ασκήσεις στις οποίες ένα σώμα είναι δεμένο στο άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος, το άλλο
άκρο του οποίου δένεται σε σταθερό σημείο , έτσι ώστε να διαγράφει κύκλο ή τόξο κύκλου.

Τρόπος εργασίας:

Α) Το σώμα κινείται από κάποια αρχική σε κάποια τελική θέση , οπότε για να υπολογίσουμε μεγέθη
όπως η ταχύτητα σε κάποια θέση , η γωνία εκτροπής του νήματος , το ύψος από κάποιο επίπεδο
αναφοράς, χωρίς να εμπλέκεται ο χρόνος κίνησης εφαρμόζουμε τα ακόλουθα.

i) Αν οι μόνες ασκούμενες δυνάμεις είναι το βάρος του σώματος που είναι δύναμη διατηρητική και
η τάση του νήματος που είναι πάντα κάθετη στην ταχύτητα οπότε έχει μηδενικό έργο, εφαρμόζουμε

την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας: Εμαηρχχ  Εμτεηλχ ⇔ K αρχ  Uβααρρχ  K τελ  Uβτεαλρ .

Το ύψος h στον τύπο της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του σώματος, υπολογίζεται από κάποιο
οριζόντιο επίπεδο αναφοράς που επιλέγεται αυθαίρετα, συνήθως στην κατώτερη θέση του σώματος.
Η προτιμότερη επιλογή όταν ζητείται η γωνία εκτροπής του νήματος , είναι το επίπεδο αυτό να περνά
από το σημείο ανάρτησης Ο του νήματος.

ii) Αν επιπλέον ασκούνται και άλλες δυνάμεις που είτε βοηθούν είτε αντιστέκονται στην κίνηση τότε

εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (Α.Δ.Ε.): Ε αρχ  WF  Εμτεηλχ .
μηχ

Β) Για να υπολογίσουμε την τάση του νήματος σε κάποια θέση, εφαρμόζουμε την ικανή και αναγκαία
συνθήκη εκτέλεσης κυκλικής κίνησης , που είναι η ύπαρξη της απαραίτητης κεντρομόλου
δύναμης. Σχεδιάζουμε το βάρος και την τάση του νήματος και αναλύουμε εφόσον χρειάζεται το
βάρος σε δύο συνιστώσες , την wx εφαπτομενικά του κύκλου και την wy ακτινικά. Η κεντρομόλος

δύναμη εκφράζει τη συνισταμένη των ασκούμενων δυνάμεων πάνω στη διεύθυνση της ακτίνας

της κυκλικής τροχιάς , Fκεντρ.  ΣFακτιν.  ΣFy  Twy  mυ2 .


Γ) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος σε κάποια θέση υπολογίζεται από τη σχέση:

dp  ΣF  ΣFχ2  ΣFy2 όπου ΣFx  w x και ΣFy  T  wy  mυ2 .
dt 

Δ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του σώματος σε κάποια θέση ως προς το κέντρο του

κύκλου Ο υπολογίζεται από τη σχέση: dL  Στ(O)  τw  τ T  τw  τwx   wx  .
dt

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 27

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Περίπτωση οριακής ανακύκλωσης:

Για να εκτελέσει το σώμα οριακή ανακύκλωση , πρέπει να περάσει από το ανώτερο σημείο (Γ ) της

τροχιάς του με κάποια ελάχιστη απαιτούμενη ταχύτητα. Η κεντρομόλος δύναμη στην ανώτερη θέση

m  υ32 T3  w  m  υ23 υ3 Γ
(Γ) είναι: ΣFy   ⇔  ⇔ 
υ4
T3  m  υ 2 mg . Για να είναι τεντωμένο το Δ 
3  T3
wx wy ℓw
 φOℓ 
φ υ2
m υ 2  
νήμα πρέπει: T3  0 ⇔  3 mg  0  T4 T2 B
w
2
⇔ m  υ 3  mg ⇔ υ 2  g ⇔ Uβαρ  0
3
 ℓ φ h 
T1 w
υ3  g   , οπότε έχουμε: υ3(min)  g   . x  T4

Αυτή λοιπόν είναι η ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να Ζ wx w 
έχει το σφαιρίδιο στο ανώτερο σημείο της τροχιάς wy φ υ1
του, ώστε να εκτελέσει οριακά ανακύκλωση. 
y υ5 A
Το μέτρο της ταχύτητας που έχει τότε το σώμα στη w

θέση (Α) μπορεί να υπολογιστεί εφαρμόζοντας την

Α.Δ.Μ.Ε. μεταξύ των θέσεων (Α) , (Γ ). Εμ(Αηχ)  Ε(μΓη)χ ⇔ K (A)  U (A)  K (Γ )  U (Γ ) ⇔
βαρ βαρ

1 m υ12  m g  1 m υ23  m g ⇔ υ12 υ23  4g ⇔ υ1  υ23  4g .
2 2

Αν λοιπόν το σώμα στη θέση (Γ ) έχει την ελάχιστη ταχύτητά του , υ3(min)  g   , τότε αντίστοιχα η

ελάχιστη ταχύτητά του στην κατώτερη θέση (Α) της τροχιάς του ισούται με:

υ1(min)  υ 2  4g ⇔ υ1(min)  g    4  g   ⇔ υ1(min)  5  g   .
3(min)

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Στην περίπτωση που η ταχύτητα εκτόξευσης του σφαιριδίου από τη θέση (Α) είναι μικρότερη της υ1(min) ,
τότε το σφαιρίδιο δεν θα φτάσει ποτέ στην ανώτερη θέση (Γ) , αλλά το νήμα θα χαλαρώσει νωρίτερα ,
Τ = 0 , με το σφαιρίδιο να έχει κάποια ταχύτητα κάθετη στο νήμα , με την οποία θα εκτελέσει πλάγια
βολή με μόνη ασκούμενη δύναμη το βάρος.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 28

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Ασκήσεις στις οποίες ένα σώμα είναι δεμένο στο άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου ή απλά είναι σε
επαφή με αυτό, και κινείται μεταξύ δύο θέσεων δεχόμενο την ελαστική δύναμη.

Τρόπος εργασίας:

Α) Το σώμα κινείται από κάποια αρχική σε κάποια τελική θέση , οπότε για να υπολογίσουμε μεγέθη
όπως η ταχύτητα σε κάποια θέση , το διάστημα που διανύει το σώμα , ή την παραμόρφωση του
ελατηρίου, χωρίς να εμπλέκεται ο χρόνος κίνησης εφαρμόζουμε τα ακόλουθα.

i) Αν δεν ασκείται κάποια εξωτερική δύναμη F και δεν υπάρχει τριβή ολίσθησης, τότε επειδή το βάρος

του σώματος και η δύναμη του ελατηρίου είναι δυνάμεις διατηρητικές , εφαρμόζουμε την

Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής ενέργειας , Εαρχ  Ετελ ⇔
μηχ μηχ

K αρχ  Uαρχ  Uαρχ  K τελ  Uτελ  Uτελ .
βαρ ελ βαρ ελ

ii) Αν ασκείται κάποια εξωτερική δύναμη F ή υπάρχει τριβή ολίσθησης στην κίνηση του σώματος,

τότε εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας, (Α.Δ.Ε.): Εαρχ  WF  WΤ  Ετελ ⇔
μηχ μηχ

K αρχ  Uαρχ  Uαρχ  WF  WT  Kτελ  Uτελ  Uτελ .
βαρ ελ βαρ ελ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Εφόσον το σώμα δεν είναι δεμένο με το ελατήριο, αλλά βρίσκεται σε επαφή με το άκρο του, τότε όταν το
ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του μήκος (Θ.Φ.Μ.), το σώμα χάνει την επαφή του με αυτό.

Β) Εφόσον δεν ασκείται κάποια εξωτερική δύναμη F και δεν υπάρχει τριβή ολίσθησης, τότε το
πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί και ταλαντωτικά. Αυτό μάλιστα είναι προτιμότερο αν κατά την
κίνηση του σώματος δεν γνωρίζουμε την τελική του θέση, δηλαδή αν είναι πριν ή μετά ή πάνω στη
θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, οπότε αποφεύγουμε τη διερεύνηση. Επίσης εφόσον μας δίνουν ή
ζητούν το χρόνο κίνησης του σώματος, η ταλαντωτική μελέτη είναι μονόδρομος.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 29

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΤΑΛΑΝΤΩΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ:

Τρόπος εργασίας:

1ο βήμα:

Σημειώνω τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου (Θ.Φ.Μ.) όπου Δ  0 .

2ο βήμα:

Σημειώνω τη θέση ισορροπίας (Θ.ΙΣ.) του σώματος που ταλαντώνεται όπου x = 0 και από τη συνθήκη
ισορροπίας ΣF = 0 βρίσκω την παραμόρφωση Δℓ του ελατηρίου εφόσον βέβαια είναι κατακόρυφο
ή πλάγιο. Αν υπάρχει πλαστική κρούση ή απόσπαση κομματιού οπό το αρχικό σώμα , τότε έχουμε
αλλαγή μάζας οπότε βρίσκουμε τη θέση ισορροπίας (Θ.ΙΣ.) του νέου σώματος.
Αν το ελατήριο είναι σε οριζόντιο επίπεδο τότε η (Θ.Φ.Μ.) ταυτίζεται με τη (Θ.ΙΣ.) του σώματος η οποία
μάλιστα δεν επιρρεάζεται από την αλλαγή μάζας.

3ο βήμα:

Γράφουμε τις αρχικές συνθήκες της Α.Α.Τ. , καθορίζοντας για t = 0 τις τιμές της απομάκρυνσης x
και της ταχύτητας υ (αλγεβρικά), με βάση τα δεδομένα και τη θετική φορά της απομάκρυνσης
όπως τα μετράμε από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης x = 0.

4ο βήμα:

Εφαρμόζω την Α.Δ.Ε. για την Α.Α.Τ. οπότε με βάση τις τιμές των x , υ βρίσκω το πλάτος Α της

Α.Α.Τ. U  K  E ⇔ 1 Dx2  1 mυ2  1 D Α2 .
2 2 2

5ο βήμα:

Σημειώνω στο σχήμα τις ακραίες θέσεις της Α.Α.Τ., μετρώντας το πλάτος Α από τη θέση ισορροπίας

της ταλάντωσης, συγκρίνοντας τα μήκη των Α και Δℓ. Αντίστοιχα υπολογίζω τη μέγιστη παραμόρφωση
του ελατηρίου ή το διάστημα που διανύει το σώμα μέχρι να σταματήσει.

6ο βήμα:

Υπολογίζουμε την κυκλική συχνότητα τον τύπο ω  k / m .

7ο βήμα:

Βρίσκουμε την αρχική φάση φο της Α.Α.Τ. από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος, οπότε μπορώ
αντίστοιχα να γράψω και τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης της ταχύτητας και της

επιτάχυνσης: x  A ημ(ω  t  φο ) , υ  υmax συν(ω t  φο ) , α   αmax ημ(ω  t  φο ) .

8ο βήμα:

Για να βρούμε τη χρονική διάρκεια της κίνησης μεταξύ δύο θέσεων , εφαρμόζουμε είτε τον κύκλο
αναφοράς της Α.Α.Τ. (μεθοδολογία ταλαντώσεων) είτε την τριγωνομετρική λύση από τις χρονικές
εξισώσεις.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 30

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΔΥΟ ΣΩΜΑΤΩΝ

Σώμα Σ1 μάζας m1 βρίσκεται στο σημείο Α λείου κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου (ΑΓ). Η ακτίνα ΟΑ

είναι οριζόντια και ίση με R = 5 m. Το σώμα αφήνεται να ολισθήσει κατά μήκος του τεταρτοκυκλίου.

Φθάνοντας στο σημείο Γ του τεταρτοκυκλίου, υ  0

το σώμα συνεχίζει την κίνησή του σε οριζόντιο Α Σ1 R Ο
επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή

τριβής μ = 0,5. Αφού διανύσει διάστημα

S1 = 3,6 m, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά R 
στο σημείο Δ με σώμα Σ2 μάζας m2 = 3∙m1 , το υ1 υ2

οποίο τη στιγμή της κρούσης κινείται αντίθετα

ως προς το Σ1, με ταχύτητα μέτρου υ2 = 4 m/s, Σ1 Σ2
όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

1. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του Γ S1 Δ
σώματος Σ1 στο σημείο Γ, όπου η ακτίνα ΟΓ είναι κατακόρυφη.

2. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων Σ1 και Σ2 αμέσως μετά την κρούση.

3. Να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Σ2 κατά την κρούση και να

προσδιορίσετε την κατεύθυνσή της. Δίνεται η μάζα του σώματος Σ2 , m2 = 3 kg.

4. Να υπολογίσετε το ποσοστό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 κατά την

κρούση.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 , ενώ η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα.

( Πανελλήνιες εξετάσεις 2016 )

Επίλυση:

1. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα του σώματος Σ1 στο σημείο Γ , αρκεί να εφαρμόσουμε την αρχή
διατήρησης της μηχανικής ενέργειας , αφού όλες οι ασκούμενες δυνάμεις είναι διατηρητικές.

Ε  Ε(Γ) (A) ⇔ K (Γ)  U (Γ )  K(A)  U (A) ⇔ υ0
μηχ μηχ βαρ βαρ Α Σ1

1 m 1 υ20  0  m 1 gR  0 ⇔ υ0  2gR R Ο
2

υ0  2105 ⇔ υ0  10 m/ s . R

2. Αρχικά βρίσκουμε την ταχύτητα του σώματος   
Σ1 λίγο πριν την κρούση υ1, εφαρμόζοντας το υ0  N1 υ1 υ2
θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας Τ1
Σ1 Σ1 Σ2

Θ.Μ.Κ.Ε. : ΔΚ  ΣW ⇔ Κ τελ  Κ αρχ  WΤ1 Γ w1 Δ
1 1
S1
1 υ12 1 υ20 1 υ12 1 υ02
2 m1  2 m1  Τ1 S1 ⇔ 2 m1  2 m1 μm1 g S1

⇔ υ1  υ02 2μgS1  102 20,5103,6 ⇔ υ1  8 m/ s .

Η κρούση των σωμάτων Σ1, Σ2 είναι κεντρική και ελαστική , οπότε για τις ταχύτητες μετά την κρούση

έχουμε: υ1   m1  m2  υ1   2  m2  υ2   m1  3m1   8   2 3  m1 (4) ⇔ υ1  10 m/s
 m1  m2   m1  m2  m1  3m1 m1  3m1

και υ2   2  m1   υ1   m2  m1   υ2   2m1 8   3m1 m1 (4) ⇔ υ2  2 m/s
 m1  m2   m1  m2  m1  3m1 m1  3m1

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 31

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

3. Η αλγεβρική μεταβολή της ορμής του σώματος Σ2 κατά την κρούση υπολογίζεται από τη σχέση:

Δp2  p2 p2 m2 υ2 m2 υ2 m2 (υ2 υ2 )  3[2 (4)] ⇔ Δp2  18 Kg m/ s .

Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Σ2 ισούται με: Δp2  18 Kg m / s .
Το διάνυσμα της μεταβολής της ορμής, έχει φορά προς τα δεξιά.

 () p2    p2   p2   )
p2  Δp2  p2 (p2

 p2 Δp2

4. Το ποσοστό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 κατά την κρούση , βρίσκεται
σύμφωνα με τη σχέση:

Π(%)  Δ K 1 100 (%) ⇔ Π(%)  K   K 1 100 (%)   K   1 100 (%)
K1
1 1

K1 K1

Π(%)   1 m 1  υ12  1 100 (%)   υ   2  100 (%)    10 2   100(%)
 2  1 8 1
1
 
1 m1  υ 2 υ1
2 1

Π(%)   25  1 100(%)  9 100(%) ⇔ Π(%)  56,25 (%) .
16 16

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΔΕΜΕΝΟ ΜΕ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟ ΙΔΑΝΙΚΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

Ένα σώμα μάζας m  1Kg τοποθετείται χωρίς να είναι δεμένο στο πάνω άκρο ενός αβαρούς

και ιδανικού ελατηρίου με σταθερά k  100 N/m , το κάτω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο

στο δάπεδο και ισορροπεί υπό την επίδραση υ0
κατακόρυφης προς τα κάτω δύναμης F  20N .
 (Z)
Να υπολογίσετε τα ακόλουθα:  h3 w
1. Τη συσπείρωση του ελατηρίου στη θέση Α Δ  0 Fελ(2) 
 υ2
που περιγράψαμε προηγουμένως. ( Θ.Φ.Μ.) Δ2 υ1 w
2. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας που θα ( Θ.ΙΣ.)   (Δ)
w Uβαρ0
αποκτήσει το σώμα κατά την κίνησή του, Δ1 Fελ(1) h2
αφού καταργηθεί η δύναμη F. h1
3. Το μέτρο της ταχύτητας που θα αποκτήσει  m Uβαρ0
το σώμα στη θέση που χάνει την επαφή του kF 
με το ελατήριο. w
4. Το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το
σώμα μέχρι να ακινητοποιηθεί στιγμιαία.

(A) (Γ )

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 32

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Επίλυση:

1. Αφού το σώμα ισορροπεί στη θέση Α θα ισχύει η συνθήκη ΣF  0 οπότε έχουμε: Fελ(1)  w  F

⇔ k  Δ1  mg  F ⇔ 100 Δ1  10 20 ⇔ Δ1  0,3 m.


Παρατηρούμε ότι το μέτρο της Fελ μειώνεται καθώς ανεβαίνει
2. με τη σταθερή δύναμη του βάρους w , οπότε θα ισχύει το σώμα και κάποτε θα γίνει ίση
, άρα Fελ(2) w ⇔
ΣF  0

k  Δ2  mg ⇔ 100 Δ2 10 ⇔ Δ2  0,1m.

Για 0,1m  Δ  0,3 m ισχύει ότι Fελ  w οπότε ΣF  υ και η κίνηση είναι επιταχυνόμενη, ενώ
για 0  Δ  0,1m ισχύει ότι Fελ  w οπότε και η κίνηση είναι επιβραδυνόμενη.

ΣF  υ

Από την παραπάνω μελέτη συμπεραίνουμε ότι στη θέση ισορροπίας Δ2  0,1m όπου ΣF  0 ,

το σώμα έχει αποκτήσει τη μέγιστη ταχύτητά του υ1  υmax που θα υπολογιστεί από την (Α.Δ.Μ.Ε.)

μεταξύ των θέσεων Α , Γ γιατί το βάρος και η δύναμη του ελατηρίου που δέχεται το σώμα είναι

διατηρητικές, ενώ επιλέγουμε σαν επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας αυτό που

περνά από την αρχική οριζόντια θέση A .

Ε(μAηχ)  Ε(μΓη)χ ⇔ K(A)  U(εAλ)  U(βAα)ρ  K(Γ)  U(εΓλ)  U(βΓα)ρ ⇔

00 1  k  Δ21  1  m  υm2 ax  mgh1  1  k  Δ22 ⇔
2 2 2

k Δ21  mυm2 ax 2mg(Δ1  Δ2)k Δ22 ⇔ k Δ21 k Δ22  2mg(Δ1  Δ2)  mυm2 ax

k  ( Δ21  Δ22 )  2  g  (Δ 1  Δ 2 )  υm2 ax ⇔ υm2 ax  100 (0,32  0,12 )  2 10 (0,3  0,1) ⇔
m 1

υm2 ax  1000,08  2100,2 ⇔ υm2 ax  100  0,08  2 10  0,2  4 ⇔ υmax  2 m/ s .

3. Θα υπολογιστεί από την (Α.Δ.Μ.Ε.) μεταξύ των θέσεων Α , Δ ενώ επιλέγουμε σαν επίπεδο

μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας αυτό που περνά από την αρχική οριζόντια θέση A .

Ε(μAηχ)  Ε(μΔηχ) ⇔ K(A)  U(εAλ)  U(βAα)ρ  K(Δ)  U(εΔλ)  U(βΔα)ρ ⇔ 1  k  Δ21  1  m  υ22  mgh2
2 2

⇔ k  Δ21  mυ22  2mg Δ1 ⇔ υ22  k  Δ21  2g Δ1 ⇔ υ22  100  0,32  2100,3
m 1

⇔ υ22  9  6 ⇔ υ2  3 m / s .

4. Εφαρμόζουμε την (Α.Δ.Μ.Ε.) μεταξύ των θέσεων Δ , Ζ γιατί η μοναδική δύναμη που δέχεται το
σώμα είναι το βάρος που είναι δύναμη διατηρητική , ενώ επιλέγουμε σαν επίπεδο μηδενικής
βαρυτικής δυναμικής ενέργειας αυτό που περνά από την οριζόντια θέση Δ.

Ε(μΔηχ)  Ε(μΖη)χ ⇔ K(Δ)  U(βΔαρ)  K(Ζ)  U(βΖα)ρ ⇔ 1 m  υ22  0  0  m  g  h3 ⇔
2

h3  υ22  3 ⇔ h3  0,15 m .
2g 2 10

Επομένως το συνολικό διάστημα που διανύει το σώμα ισούται με: Sολ  h2  h3  0,45 m .

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 33

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3: ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΟΣ ΔΕΜΕΝΟ ΜΕ ΙΔΑΝΙΚΟ ΕΛΑΤΗΡΙΟ ΣΕ ΤΡΑΧΥ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ
ΔΑΠΕΔΟ.

mΣώ2 μ=α2Σ∙m1 1μ,ετμοάοζπαοmίο1ακρινχεικίτάαει ίσνεαι οριζόντιο επίπεδο ολισθαίνοντας προς άλλο σώμα Σ2 με μάζα
ακίνητο. Έστω υ0 η ταχύτητα που έχει το σώμα Σ1 τη στιγμή

t0 = 0 και ενώ βρίσκεται σε απόσταση d = 1 m από το σώμα Σ2. Αρχικά , θεωρούμε ότι το σώμα

Σ2 είναι ακίνητο πάνω στο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με

αμελητέα μάζα και σταθερά ελατηρίου k, και το οποίο έχει το φυσικό του μήκος ℓ0. Το δεύτερο
άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Αμέσως μετά τη κρούση, που είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ1 αποκτά ταχύτητα με μέτρο

υ1ʹ = 10 m/s και φορά αντίθετη της αρχικής ταχύτητας.

1. Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα υ0 του σώματος Σ1.
2. Να υπολογίσετε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μεταφέρθηκε από το σώμα Σ1 στο

σώμα Σ2 κατά την κρούση.
3. Να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο κίνησης του σώματος Σ1 από την αρχική χρονική στιγμή

t0 = 0 μέχρι να ακινητοποιηθεί τελικά.

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

2. Το ποσοστό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 κατά την κρούση , βρίσκεται
σύμφωνα με τη σχέση:

Π(%)  ΔK1 100 (%) ⇔ Π(%)  K   K 1  100 (%)   K   1 100 (%)
K1 K
1 1
1
K1

Π(%)   1 m1  υ12  1 100 (%)   υ   2     10 2 
 2  1 100 (%)  3  1 100(%)
1

1 m1  υ12 υ1 10  
2

Π(%)   1  1 100(%)   8 100(%) ⇔ Π(%)   800 (%) .
9 9 9

3. Για να βρούμε το χρόνο κίνησης του σώματος Σ1 εφαρμόζουμε το 20 νόμο του Newton αρχικά από
τη θέση (Α) στη (Β) και κατόπιν από τη θέση (Β) στη (Γ):

(Α) → (Β) : ΣFx  Δp1  p1(Β) p1( Α) ⇔ Δt1  p1(Β) p1(Α) ⇔ Δt1  m1 υ1 m1 υ0  m1υ1 m1υ0
Δt1 Δt1 ΣFx  Τ1  μm1 g

Δt1  υ0 υ1  103 10  10  3  3,2 y () υ1 υ2
μg 0,510 0,510
υ0 N1 
m1 x T1 m1 m2
⇔ Δt1  0,08 s .

(Β) → (Γ) : ΣFx  Δp2  p1(Γ) p1(Β) ⇔ (Γ)  (B)
Δt2 Δt2 w1

Δt2  p1(Γ) p1(Β) ⇔ Δt2  0  m1 υ1  m1 υ1  υ1  10  3,2 ⇔ Δt2  0,64 s .
ΣFx  Τ1 μm1  g μg 0,510 5

Επομένως ο συνολικός χρόνος κίνησης είναι: Δtολ  Δt1  Δt2  0,080,64 ⇔ Δtολ  0,72 s .

4. H μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου θα υπολογιστεί
με εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ενέργειας

(Α.Δ.Ε.) , για το σώμα Σ2 : Εμαηρχχ  WΤ  Εμτεηλχ

K(αρχ)  U(εαλρχ)  Uβ(ααρρχ)  WT  K(τελ)  U(ετλελ)  U(βταερλ)

⇔ 1 mυ22  Τ  Δ max  1 k  Δ2max ⇔
2 2

1 k  Δ2max  μm2 g Δ max  1 m2 υ22  0 ⇔
2 2

k  Δ2max  2μm2 g Δmax m2 υ22  0 ⇔

105 Δ2max  20,5110 Δmax 140  0 ⇔

105Δ2max 10Δmax 40  0

Δ 102 4105(40) 16.900 οπότε: Δ max  10  16.900   10  130 , με δεκτή λύση
2 105 210

Δ max   10  130  120 ή Δmax  4 m.
210 210 7

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 35

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4: ΠΛΑΓΙΑ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ

Ξύλινος κύβος μάζας M  1Kg ισορροπεί ακίνητος στη θέση Α , δεμένος στο ελεύθερο άκρο

κατακόρυφου, αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους ℓ  1,25 m το άλλο άκρο του οποίου

είναι ακλόνητα στερεωμένο στο σημείο Ο της οροφής. Φέρνουμε τον κύβο στη θέση Γ ώστε

το νήμα να γίνει οριζόντιο και τον αφήνουμε από τη θέση αυτή ελεύθερο να κινηθεί χωρίς

αρχική ταχύτητα. Όταν ο κύβος φθάνει ℓ ΜO
στην κατώτερη θέση Α της τροχιάς του O
με ταχύτητα υ1 συγκρούεται με βλήμα (Γ)
φ (A) ℓ
μάζας m 0,4Kg που κινείται σε
κατακόρυφο επίπεδο με ταχύτητα υ2 , m Μm
μέτρου υ2  50 m/s , της οποίας ο
υ2  Μ
φορέας σχηματίζει με την οριζόντια
διεύθυνση γωνία φ  600 , όπως υ1

φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Η διεύθυνση κίνησης του βλήματος κατά τη δίοδό του μέσα από τον κύβο δεν μεταβάλλεται

και το βλήμα εξέρχεται από αυτόν με κινητική ενέργεια της οποίας η τιμή είναι μικρότερη κατά

75% σχετικά με αυτήν που είχε ακριβώς πριν από την κρούση. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα:

1. Το μέτρο της ταχύτητας υ1 .

2. Το μέτρο της ταχύτητας του κύβου ακριβώς μετά την έξοδο του βλήματος από αυτόν.

3. Το μέτρο της τάσης του νήματος στον κύβο μόλις πρίν και αμέσως μετά την έξοδο του

βλήματος από αυτόν.

4. Το μέτρο της μέσης τάσης του νήματος στον κύβο κατά την κρούση του βλήματος με αυτόν ,

η οποία διαρκεί Δt = 0,01 s.

5. Τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κύβος – βλήμα εξαιτίας της κρούσης.

Δίνεται ότι g 10m/s2 , συν600 = 0,5 και ημ600 = 0,87.

Επίλυση:

1. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα του κύβου Σ1 στο σημείο (Α), αρκεί να εφαρμόσουμε την αρχή
διατήρησης της μηχανικής ενέργειας , αφού όλες οι ασκούμενες δυνάμεις είναι διατηρητικές.

Ε(Γ )  Ε( A ) ⇔ K (Γ )  U (Γ )  K(A)  U (A) ⇔
μηχ μηχ βαρ βαρ

m 1 g  0  1 m 1 υ12  0 ⇔ υ1  2g O ℓ Μ
2
 (Γ)
υ1  2101,25 ⇔ υ1  5 m/ s . ℓ T1

2. Η κινητική ενέργεια του βλήματος μετά τη κρούση  Μ
είναι μικρότερη κατά 75% σε σχέση με την αρχική. υ1

K  K2  75 K 2  25  K 2 ⇔ K   1 K 2 (A) w1 (Uβαρ  0)
100 100 4
2 2

1 m2 υ22  1  1 m2 υ22 ⇔ υ22  1 υ22 ⇔ υ2  1  υ 2 .
2 4 2 4 2

Η κρούση που πραγματοποιείται είναι πλάγια και ανελαστική και για αυτό αναλύεται η ταχύτητα σε
άξονες χ , y κάθετα και παράλληλα στο νήμα. Η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει στον άξονα χ:

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 36

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

 ⇔ m  υ2x  Μ υ1  m  υ2x  Μ υ1 ⇔
pολ(πριν )x  pολ(μετά)x

m υ2 συνφ  Μ υ1  m υ2 συνφ  Μυ1 ⇔ m υ2 συνφ Μ υ1 m υ2 συνφ  Μυ1
2

⇔ m υ2 συνφ Μ υ1  Μυ1 ⇔ υ1  m  υ2 συνφ  υ1 ⇔ υ1  0,4  50 0,5  5 οπότε
2 M 2 12

προκύπτει ότι υ1  0 .

3. Για να υπολογίσουμε την τάση του νήματος στη θέση (Α), πρίν και μετά την κρούση εφαρμόζουμε

την ικανή και αναγκαία συνθήκη εκτέλεσης κυκλικής κίνησης, που είναι η ύπαρξη της απαραίτητης

κεντρομόλου δύναμης. Στη θέση αυτή ασκούνται το βάρος και η τάση του νήματος:

(πριν): ΣFy  Μυ12 ⇔ T1  w1  Μυ12 ⇔ T1  Μ  υ 2  Μ g  152  110 ⇔ Τ1  30 Ν
1 1,25
  

(μετά): ΣFy  Μυ12 ⇔ T1  w1  Μ 0 ⇔ T1  Μ  g  110 ⇔ Τ1 10 Ν



O OO

   () 
υ2χ T1 T T1 υ1  0

φ ()

  m υ2υχ2
υ2y υ2
Μ (A)  Μm
w2
   φ
υ1 w1 w1 w1 υ2y


4. Είναι προφανές ότι όταν δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής αφού έχουμε ΣFy  0 , τότε

εφαρμόζεται ο γενικευμένος 2ος νόμος του Νεύτωνα στον άξονα y και υπολογίζουμε τη μέση τάση

του νήματος που ασκείται στο σώμα κατά τη διάρκεια Δt της κρούσης.

  Δpολ(y) ⇔ ΣFy  Δpολ(y) ⇔ ΣFy  pολ(μετά) y  pολ(πριν) y ⇔
ΣFy Δt Δt
Δt

     Τwολ υ2y
 m υ2y  m υ2y ⇔ Τ  wολ  m υ2y  m υ2  υ2 ημφ
Δt Δt ⇔ Τ (Μm)g  Δt

Τ (10,4)10  0,450250,87 ⇔ Τ  884 Ν .

0,01

5. Η μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του συστήματος κύβος – βλήμα εξαιτίας της κρούσης, ισούται

με την απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος: ΔKολ  Kολ(μετά)  Kολ(πριν)  0

Για να υπολογίσουμε την απώλεια βρίσκουμε την απόλυτη τιμή της: ΔKολ  Kολ(πριν)  Kολ(μετά)

ΔΚολ (K1 K2) (K1 K2) ⇔ ΔΚολ  1 Μυ12  1 mυ22 0 1 mυ22 ⇔
2 2 2

ΔΚολ  1 Μυ12  1 m(υ22 υ22 ) ⇔ ΔΚολ  1 152  1 0,4(502 252) ⇔ ΔΚολ  387,5 J .
2 2 2 2

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 37

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5: ΟΡΙΑΚΗ ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΗ


Σώμα Σ1 μάζας m1 = 0,2 kg κινείται με ταχύτητα υ1, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και

συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σφαιρίδιο Σ2 μάζας m2 = 0,1 kg , το οποίο

ισορροπεί προσδεμένο στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου, Ο

αβαρούς και μη εκτατού νήματος μήκους ℓ  0,5 m . Το

άλλο άκρο είναι ακλόνητα του νήματος είναι στερεωμένο  ℓ
σε σημείο Ο , όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. υ1
Μετά την κρούση το σφαιρίδιο εκτελεί κατακόρυφη 
κυκλική τροχιά και εκτελεί οριακά ανακύκλωση. Σ1 m1 υ2  0
Να υπολογίσετε τα ακόλουθα: Σ2 m2
1. Το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου στην ανώτερη

θέση της τροχιάς του.

2. Το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου αμέσως μετά την κρούση.
3. Το μέτρο της ταχύτητας υυ11,, του σώματος Σ1 μόλις πριν από τη σύγκρουσή του με το σφαιρίδιο.
4. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ1 αμέσως μετά από την κρούση.

5. Τον ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σφαιριδίου , όταν η διεύθυνση του

νήματος γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά.
Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.

Επίλυση:

1. Για να εκτελέσει το σώμα οριακή ανακύκλωση , πρέπει να περάσει από το ανώτερο σημείο (Γ )

της τροχιάς του με κάποια ελάχιστη απαιτούμενη ταχύτητα. Η κεντρομόλος δύναμη στην ανώτερη

θέση (Γ) είναι: ΣFy  m2 υ23 ⇔ T3  w  m2 υ23 
 υ3 Γ


m 2  υ 2 T3
T3  3 m2 g . Για να είναι τεντωμένο το ℓw
 
υ4
νήμα πρέπει: T3  0 ⇔ m 2 υ 2  m2 g  0  B
3
 T2 
w
⇔ m 2 υ 2  m2 g ⇔ υ 2  g  ⇔ O
 3 3 ℓ ℓ

υ3  g   , οπότε έχουμε: υ 3(min)  g   . T1

Δηλαδή υ3(min)  10  0,5 ⇔ υ3(min)  5 m/s . m2 υ2
2. Το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου αμέσως Uβαρ  0 A 

w

μετά την κρούση , εφαρμόζουμε την Α.Δ.Μ.Ε.

μεταξύ των θέσεων (Α) , (Γ ). Ε(μΑηχ)  Εμ(Γη)χ ⇔ K (A)  U (A)  K (Γ )  U (Γ ) ⇔
βαρ βαρ

1 m 2 υ22(min)  1 m 2 υ32(min)  m 2 g  2   ⇔ υ22(min)  υ23(min)  4 g ⇔
2 2

υ2(min)  υ32(min)  4 g  g  4g ⇔ υ2(min)  5 g  

υ  (min)  5 10  0,5 ⇔ υ2(min)  5 m/ s .

2

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 38

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ


3. Το μέτρο της ταχύτητας υ1 , του σώματος ακριβώς πριν από τη σύγκρουσή του με το σφαιρίδιο,

υπολογίζεται από τη γνωστή σχέση της κεντρικής ΟΟ

ελαστικής κρούσης του κινούμενου σώματος Σ1 (πρίν) ℓ (μετά) υℓ2(min)
με το αρχικά ακίνητο σώμα Σ2 , όπου m1 = 2∙m2 . υ2  0
 υ1
υ2(min)   2  m1   υ1   2  2 m2   υ1  4 υ1 υ1
m1  m2 2m2  m2 3

⇔ 5  4 υ1 ⇔ υ1 15/4 m/s . Σ1 m1 m2 Σ2 m1 m2
3

4. Το μέτρο της ταχύτητας υ1 , του σώματος Σ1 αμέσως μετά από την κρούση είναι:

υ1   m1  m2  υ1   2 m2  m2   υ1 ⇔ υ1  1  15 ⇔ υ1  5/4 m/s .
m1  m2 2 m2  m2 3 4

5. Ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας του σφαιριδίου , όταν η διεύθυνση του νήματος

γίνεται οριζόντια για πρώτη φορά, υπολογίζεται ως εξής:
Η ταχύτητα στην οριζόντια θέση υ4 είναι εφαπτόμενη στον κύκλο (γραμμική), οπότε ο ζητούμενος

ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας εκφράζει τη γραμμική επιτάχυνση,η οποία θα υπολογιστεί από το

δεύτερο νόμο του Newton στην εφαπτομενική διεύθυνση: ΣFεφ  ΣFχ  mαγρ ⇔ m2 g  m2 αγρ


 Δυγρ 
⇔ αγρ  g 10 m/s2 όπου αγρ  Δt  w , δηλαδή με φορά κατακόρυφα προς τα κάτω.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 39

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6: ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΔΕΜΕΝΩΝ ΣΕ ΑΒΑΡΈΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟ

Σώμα Σ1 μάζας m1  1Kg κινείται με ταχύτητα μέτρου υ0  4 m/s πάνω σε λείο οριζόντιο

επίπεδο και συναντά το ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου αμελητέας μάζας , το
άλλο άκρο του οποίου είναι προσαρμοσμένο υ0
σε αρχικά ακίνητο σώμα Σ2 μάζας m2  3 Kg , k 0

όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο άξονας του Σ1 m1 m2 Σ2
ελατηρίου έχει τη διεύθυνση της ταχύτητας
υ 0 και η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου

κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης των δύο σωμάτων είναι Δmax  0,2 m . Να υπολογίσετε:

1. την ταχύτητα του κάθε σώματος, τη στιγμή που η συσπείρωση του ελατηρίου είναι μέγιστη.

2. τη σταθερά του ελατηρίου.

3. την ταχύτητα κάθε σώματος, όταν το σώμα Σ1 αποχωρίζεται από το ελατήριο.

Επίλυση:

1. Όταν το σώμα Σ1 έρθει σε επαφή με το ελατήριο , αυτό θα αρχίσει να συσπειρώνεται οπότε θα
ασκείται ελαστική δύναμη στο κάθε σώμα , έτσι ώστε το Σ1 να επιβραδύνεται και το σώμα Σ2 να
επιταχύνεται. Αρχικά λοιπόν τα σώματα θα πλησιάζουν μεταξύ τους , μέχρι κάποια στιγμή να
αποκτήσουν την ίδια ταχύτητα , οπότε το ελατήριο θα έχει τη μέγιστη συσπείρωση.
Στη συνέχεια τα σώματα θα απομακρύνονται αφού το ελατήριο τείνει να αποκτήσει και πάλι το
φυσικό του μήκος.

 0 
υ0 υ0
m2
(1) m1

  k   
(2) Fελ(1) υ1 υ2 Fελ(2) (υ1  υ2 )
m1 m2

(3)  υ 1 k υ 2  (υ1  υ2 )
Fελ(1) m1 m2 Fελ(2)

υ 1 k υ 2 (  1  2 )
υ υ
 m1
(4) Fελ(1) m2 Fελ(2)

 0 
υ1( τελ ) υ2( τελ )

(5) m1 m2


Ηελαστικές δυνάμεις Fελ(1) , Fελ(2) είναι εσωτερικές του συστήματος, το οποίο είναι μονωμένο αφού
ΣFεξ  0 καθώς Ν  w . Αυτό σημαίνει ότι ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) και επειδή
οι δυνάμεις είναι συντηρητικές , ισχύει και η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.).

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 40

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

  
(Α.Δ.Ο.): pολ(1)  pολ(3) ⇔ p1  p2  p1  p2 ⇔ p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα)

m1 υ0  0  m1 υ1  m2 υ2 όπου: υ1  υ2 και m2  3 m1 οπότε: m1 υ0  m1 υ1  3m1 υ1

ή υ1  1 υ0 ⇔ υ1  υ2  1m/s (2). ( περίπτωση κεντρικής πλαστικής κρούσης )
4

2 . (Α.Δ.Μ.Ε.): Εμ(1η)χ  Ε(μ3η)χ ⇔ K1  Κ2  U(ε1λ)  Uβ(1α)ρ(1)  U(β1α)ρ(2)  K1  Κ2  U(ε3λ)  U(β3α)ρ(1)  U(β3α)ρ(2) ⇔





 21 m υ  21 m υ  21 m υ  21 k  Δ
2 2 2 2 ⇔ m1 16υ12  m1 υ12  3m1 υ12 kΔ 2
10 11 22 max max

⇔ 12 m1 υ12  k  Δ2 ⇔ 12 112  k  0,22 ⇔ k  300 Ν/m .
max

  
3. (Α.Δ.Ο.): pολ(1)  pολ(5) ⇔ p1  p2  p1  p2 ⇔ p1  p2  p1  p2 (αλγεβρικό άθροισμα)

m1 υ0  0  m1 υ1(τελ)  m2 υ2(τελ) (1)




(Α.Δ.Μ.Ε.): Εμ(1η)χ  Ε(μ5η)χ ⇔ K1  Κ2  U(ε1λ)  Uβ(1α)ρ(1)  U(β1α)ρ(2)  K1  Κ2  U(ε5λ)  Uβ(5α)ρ(1)  U(β5α)ρ(2) ⇔





1 m1 υ20  1 m1 υ12(τελ)  1 m2 υ22(τελ) (2) (είναι οι εξισώσεις της κεντρικής ελαστικής κρούσης)
2 2 2

Ανάλυση:

(1) : m1 υ0  m1 υ1(τελ)  m2 υ2(τελ) ⇔ m1 (υ0  υ1(τελ) )  m2 υ2(τελ) (3)

(2) : m1 υ02 m1 υ12(τελ)  m2 υ22(τελ) ⇔ m1 (υ02 υ12(τελ) )  m2 υ22(τελ) ⇔
m1 (υ0  υ1(τελ) )(υ0  υ1( τελ) )  m2 υ22(τελ) (4) οπότε διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις

(3) και (4) προκύπτει: υ0  υ1(τελ)  υ2(τελ) (5) , που αποτελεί το αλγεβρικό άθροισμα των

ταχυτήτων (ΑΛ.Α.ΤΑ.) των δύο σωμάτων πρίν και μετά την αλληλεπίδρασή τους.

Αντικαθιστώντας τη σχέση (5) στη σχέση (1) προκύπτει:

m1 υ0  m1 υ1( τελ)  m2 (υ0  υ1( τελ) ) ⇔ m1 υ0  m1 υ1( τελ)  m2 υ0  m2 υ1( τελ)
m1 υ0  m2 υ0  m1 υ1( τελ)  m2 υ1( τελ) ⇔ (m1  m2 ) υ0  (m1  m2 ) υ1(τελ ) οπότε

προκύπτει: υ1( τελ )  m1  m2 υ0 (6) που με αντικατάσταση στη σχέση (5) δίνει:
m1  m2

υ2( τελ )  υ0  m1  m2 υ0 ⇔ υ2( τελ )  1 m1  m2  υ 0 ⇔ υ2( τελ )  2 m1 υ0 (7).
m1  m2  m1  m2  m1  m2

υ1( τελ)  m1  3 m1 υ0 ⇔ υ1( τελ)   1 υ0 ⇔ υ1( τελ)   2 m / s .
m1  3 m1 2

υ2(τελ )  2 m1 υ0 ⇔ υ2( τελ)  1 υ0 ⇔ υ1( τελ)  2 m / s .
m1  3 m1 2

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 41

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

1. Στη φάση (4) το σώμα Σ1 συνεχίζει να μειώνει την ταχύτητά του , οπότε στην περίπτωση που
m1  m2 , « προλαβαίνει » να σταματήσει πριν αποχωριστεί από το ελατήριο , οπότε εξαιτίας της
ασκούμενης ελαστικής δύναμης Fελ(1) αλλάζει φορά στην κίνησή του κινούμενο αντίρροπα,
οπότε υ1(τελ)  0 .

2. Στη φάση (4) το σώμα Σ1 συνεχίζει να μειώνει την ταχύτητά του , οπότε στην περίπτωση που
m1  m2 , αποχωρίζεται από το ελατήριο « πριν προλάβει » να σταματήσει , οπότε υ1(τελ)  0 .

3. Στη φάση (4) το σώμα Σ1 συνεχίζει να μειώνει την ταχύτητά του , οπότε στην περίπτωση που
m1  m2 , αποχωρίζεται από το ελατήριο « ακριβώς τη στιγμή » που σταματά , οπότε υ1(τελ)  0
και υ2(τελ)  υ0 αντίστοιχα , δηλαδή τα σώματα Σ1 και Σ2 ανταλλάσσουν ταχύτητες.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7: ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

Η σανίδα Σ2 του σχήματος έχει μάζα m2 = 4 kg και βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο.

Πάνω στη Σ2 βρίσκεται δεύτερο σώμα Σ1 που έχει μάζα m1 = 950 g. Το επίπεδο επαφής των

σωμάτων Σ1 , Σ2 είναι οριζόντιο και ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι μ = 0,5. Στο Σ1

σφηνώνεται ένα βλήμα, μάζας mβλ = 50 g 
που κινείται με οριζόντια ταχύτητα υ0 υ  0

υ0 = 100 m/s , ενώ η χρονική διάρκεια mβλ m1 Σ1 M Σ2
της κρούσης του βλήματος με το σώμα Σ1 LΒ
θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: Α

1. Την κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα

σώματα Σ1 , βλήμα , Σ2 .

2. Τη συνολική θερμότητα που μεταφέρεται στο περιβάλλον.

3. Το χρονικό διάστημα από τη στιγμή της κρούσης και μέχρι τα σώματα Σ1 και Σ2 να αποκτήσουν

κοινή ταχύτητα.

4. Την απόσταση d , που μετακινήθηκε το σώμα Σ1 πάνω στη σανίδα Σ2 , μέχρι την παραπάνω

χρονική διάρκεια.

Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.

Επίλυση:

1. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) για το σύστημα βλήμα –σώμα Σ1 μόλις
πριν και αμέσως μετά την πλαστική κρούση. p  pολ(πριν ) ⇔ p1  p2  pσυσσ. ⇔
ολ(μετά )

p1  p2  pσυσσ. (αλγεβρικό άθροισμα) ⇔ mβλ υ0  (m1  mβλ )υΚ ⇔ υΚ  mβλ υ0 ⇔
m1  mβλ

υΚ  50 100 ⇔ υΚ  5 m/s .
950  50

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 42

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

(1)  m2
υκ
Α 
(m1 mβλ ) υ1 Nολ
(2) L
 
Α  T2 υ2
(3)  Ν1,βλ 
T1  w2 d
L
w1, βλ

 Γ
Ν1,βλ υορ

Α S2 Β
S1

Στο στιγμιότυπο (2) , έχουμε σχεδιάσει τις δυνάμεις που ασκούνται στο συσσωμάτωμα και στη
σανίδα Σ2 , οπότε οι εσωτερικές δυνάμεις είναι οι τριβές ολίσθησης T1 , T2 και οι κάθετες
δυνάμεις αντίδρασης Ν1 , Ν2 , ενώ οι εξωτερικές δυνάμεις w1,βλ , w2 και Νολ έχουν
συνισταμένη ίση με μηδέν , οπότε το σύστημα είναι μονωμένο. Η τριβήολίσθησης T1 προκαλεί
μείωση της ταχύτητας του συσσωματώματος , ενώ η τριβή ολίσθησης T2 προκαλεί αύξηση της
ταχύτητας της σανίδας Σ2 , μέχρι κάποια στιγμή να αποκτήσουν την ίδια οριακή ταχύτητα υορ .

Εφαρμόζουμε και πάλι την αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) για το σύστημα συσσωμάτωμα
– σανίδα Σ2 για τα στιγμιότυπα (1) , (3) και έχουμε: pολ(πριν )  pολ(μετά) ⇔ p1,βλ  p2  pολ ⇔

p1,βλ  p2  pολ (αλγεβρικό άθροισμα) ⇔ (m1  mβλ )υK  (m1  mβλ  m2 )υορ ⇔


υορ  (m1  mβλ )υK  (950  50)5 ⇔ υορ 1 m/s .
m1  mβλ  m2 950  50  4000

2. Αν εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της ενέργειας Α.Δ.Ε. για το όλο σύστημα βλήμα , σώμα Σ1 ,

σανίδα Σ2 έχουμε: Εμαηρχχ  Qολ  Εμτεηλχ ⇔ Κβλ  Qολ  Κ τελ , αφού δεν υπάρχει υψομετρική
ολ

διαφορά στην κίνηση των σωμάτων. Η συνολική θερμότητα που παράγεται λοιπόν είναι ίση με τη
διαφορά της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος και της τελικής κινητικής ενέργειας του

συστήματος: Qολ  Κβλ  Κ τελ  1  mβλ  υ20  1  (m1  mβλ  m2 )υο2ρ ⇔
ολ 2 2





Q  21  50 10 100  21  (950 10  50 10  4 ) 1 ⇔ Q  247,5 J .
3 2 3 3 2
ολ
ολ

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 43

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

3. Το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από τη στιγμή της πλαστικής κρούσης και μέχρι τα σώματα Σ1

και Σ2 να αποκτήσουν κοινή ταχύτητα , μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια του 2ου νόμου του

Newton κατά την κίνηση του συσσωματώματος πάνω στη σανίδα εξαιτίας της τριβής ολίσθησης
Tσ1α.νίΠδραέαπλελι άνκαινπερίοτασιέωξοςυπμρεοόςττιοστέοδατέφλοοςςμτηεςτηκνίνοηρσιηαςκήτοτασχυύστσηωταμάυτοωρμ. αΗ
«σταματά» ως προς τη
τριβή που ασκείται στο

συσσωμάτωμα στη διάρκεια της κίνησής του από το (Α) στο (Γ) , έχει μέτρο: ΣFy  0 ⇔




Nσυσσ  wσυσσ ⇔ Nσυσσ  (m1 mβλ )g οπότε Τ1  μNσυσσ ⇔ T1  μ(m1 mβλ )g

T1  0,5(950 50)10  3 10 ⇔ T1  5 Ν .

ΣFx  Δpσυσσ  pσυσσ pσυσσ ⇔ Δt1  pσυσσ pσυσσ ⇔ Δt1  (m1  mβλ )υορ (m1  mβλ )υΚ
Δt1 Δt1 ΣFx  Τ1

Δt1  (m1  mβλ)υορ  (m1  mβλ ) υΚ ⇔ Δt1  υΚ  υορ  51 ⇔ Δt1  0,8 s .
 μ(m1  mβλ )g μ g 0,510

4. Την απόσταση d, που μετακινήθηκε το συσσωμάτωμα πάνω στη σανίδα Σ2 , μέχρι την παραπάνω
χρονική διάρκεια , θα την υπολογίσουμε μέσω του διαστήματος που διανύουν τόσο η σανίδα
όσο και το συσσωμάτωμα από την αρχική τους θέση , ως προς το έδαφος , με τη βοήθεια του
θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας Θ.Μ.Κ.Ε. :

Συσσωμάτωμα: ΔΚ  ΣW ⇔ Κ (Γ)  Κ (A)  WT1 ⇔

1  (m1  mβλ )  υ2ορ  1  (m1  mβλ )  υΚ2   Τ1 S1 ⇔
2 2



1 (m1  mβλ )  (υ2ορ  υΚ2 )   μ  (m1  mβλ )gS1 ⇔ 1 (υο2ρ  υΚ2 )   μgS1 ⇔
2 2

S1  υΚ2  υ2ορ 52  12 ⇔ S1  2,4 m .
2μg  2 0,510

Σανίδα Σ2 : ΔΚ  ΣW ⇔ Κ (Β)  Κ (A)  WT2 ⇔ 1 m2  υο2ρ  0  Τ2 S2 όπου
2

Τ2  T1  5 Ν , αφού οι δυνάμεις είναι δράση – αντίδραση (3ος νόμος του Newton).



S2  m2 υ 2  4 12 ⇔ S2  0,4 m .
ορ 25

2  T2

Τελικά το συσσωμάτωμα μετακινήθηκε ως προς τη σανίδα Σ2 κατά d  S1  S2  2,4  0,4

d2 m.

Πολίτης Άρης Θεωρία – Επεκτάσεις Θεωρίας – Μεθοδολογίες 44

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής που ακολουθούν να σημειώσετε τη
σωστή απάντηση.

1.Α.1 Η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας ισχύει: Β. στις ελαστικές κρούσεις
Α. σε όλα τα είδη των κρούσεων Δ. στις ανελαστικές κρούσεις
Γ. στις πλαστικές κρούσεις

1.Α.2 Κατά το φαινόμενο της κρούσης δύο ελεύθερων σωμάτων ισχύουν τα ακόλουθα:
Α. οι εσωτερικές δυνάμεις μεταβάλλουν τη συνολική ορμή του συστήματος
Β. η ορμή του συστήματος διατηρείται πάντα σταθερή
Γ. η μηχανική ενέργεια του συστήματος διατηρείται πάντα σταθερή
Δ. τίποτα από τα παραπάνω

1.Α.3 Δύο σφαίρες με ίσες μάζες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Οι δύο σφαίρες ανταλλάσσουν:
Α. ταχύτητες, ορμές και κινητικές ενέργειες.
Β. ορμές, αλλά όχι κινητικές ενέργειες και ταχύτητες.
Γ. κινητικές ενέργειες και ορμές, αλλά όχι ταχύτητες.
Δ. ταχύτητες, αλλά όχι ορμές και κινητικές ενέργειες.

1.Α.4 Δυο μικρές σφαίρες Σ1 και Σ2 συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά , ενώ παρατηρείται μείωση της
κινητικής ενέργειας της Σ1 κατά 100 J.
Α. η κινητική ενέργεια του συστήματος αυξήθηκε 100 J.
Β. η απώλεια ενέργειας προς το περιβάλλον είναι 100 J.
Γ. η κινητική ενέργεια της Σ2 αυξήθηκε κατά 100 J.

Δ. η ορμή της Σ2 αυξήθηκε κατά 100 Ν‧s.

1.Α.5 Σφαίρα Σ1 μάζας 2 Kg κινείται με ταχύτητα μέτρου 10 m/s και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά
με ακίνητη σφαίρα Σ2 ίσης μάζας. Αμέσως μετά την κρούση:
Α. η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι μεγαλύτερη από 100 J.
Β. η ορμή της σφαίρας Σ1 διατηρείται σταθερή.

Γ. η ορμή της σφαίρας Σ2 αυξάνεται κατά 20 Ν‧s.
Δ. οι σφαίρες Σ1 και Σ2 αποκτούν κινητική ενέργεια 50 J η καθεμιά.

1.Α.6 Σε μια πλαστική κρούση δύο σωμάτων με διαφορετικές μάζες:
Α. διατηρείται η κινητική ενέργεια κάθε σώματος.
Β. διατηρείται η κινητική ενέργεια και η ορμή του συστήματος.
Γ. το συσσωμάτωμα κινείται με τη φορά της συνισταμένης ορμής που είχαν τα σώματα πριν
την κρούση.
Δ. το συσσωμάτωμα κινείται κατά τη φορά της μεγαλύτερης ταχύτητας που έχει κάποιο από τα
σώματα πριν την κρούση.

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 111

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

1.Α.7 Δύο ηλεκτρόνια κινούνται το ένα προς το άλλο στην ίδια ευθεία με αντίθετη φορά και ταχύτητες
μέτρων υ και υ/2 αντίστοιχα:
Α. τα ηλεκτρόνια, έρχονται στιγμιαία σε επαφή και ανταλλάσσουν ταχύτητες.
Β. τα ηλεκτρόνια, μετά τη σύγκρουση τους κινούνται με αντίθετες ταχύτητες.
Γ. τα ηλεκτρόνια μετά την αλληλεπίδραση τους ανταλλάσσουν ταχύτητες.
Δ. τα ηλεκτρόνια θα συγκρουστούν πλαστικά και το συσσωμάτωμα που προκύπτει αμέσως μετά
την κρούση θα κινηθεί με ταχύτητα μέτρου V = υ / 2.

1.Α.8 Δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά και το συσσωμάτωμα παραμένει ακίνητο

αμέσως μετά την κρούση. Τα σώματα πριν την κρούση είχαν:

Α. ίσες κινητικές ενέργειες. Β. αντίθετες ταχύτητες.

Γ. αντίθετες ορμές. Δ. ίσες μάζες.

1.Α.9 Να σημειώσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι Σωστές και ποιες Λανθασμένες.
Α. Στο μακρόκοσμο η ελαστική κρούση αποτελεί μια εξιδανίκευση.
Β. Στο μικρόκοσμο πραγματοποιούνται κρούσεις χωρίς τα σώματα να έρχονται σε επαφή.
Γ. Στο μικρόκοσμο οι κρούσεις είναι πάντα πλαστικές.
Δ. Η ορμή ενός συστήματος σωμάτων, κατά τη διάρκεια της κρούσης, διατηρείται μόνο αν
η κρούση είναι απολύτως ελαστική.

1.Α.10 Να σημειώσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι Σωστές και ποιες Λανθασμένες.
Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 αντίστοιχα , κινούνται με ταχύτητες υ1 , υ2 και

συγκρούονται μεταξύ τους.
Α. Οι σχέσεις p  pολ(πριν ) και K  Kολ(πριν) ισχύουν μόνο αν η κρούση είναι
ολ(μετά ) ολ(μετά)

κεντρική και ελαστική.

Β. Αν η κρούση είναι πλάγια, δε διατηρείται η ορμή του συστήματος.  
Γ. Αν η κρούση είναι έκκεντρη και ισχύει m 2  m1 τότε θα ισχύει υ1  υ2 και υ2  υ1, όπου
υ1 , υ2 είναι οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρούση.

Δ. Αν η κρούση είναι ελαστική και ισχύουν m1  m2 και υ2  0 τότε θα ισχύει υ1  υ1 και
υ2  2  υ1

1.Α.11 Να σημειώσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι Σωστές και ποιες Λανθασμένες.

Δυο σφαίρες μικρών διαστάσεων Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 συγκρούονται μεταξύ τους.
Α. Αν η κρούση είναι ανελαστική, έχουμε απώλεια μηχανικής ενέργειας του συστήματος και

πάντα δημιουργείται συσσωμάτωμα.
Β. Αν η κρούση είναι μετωπική ελαστική η ανελαστική, οι ταχύτητες των σφαιρών πριν και

μετά την κρούση έχουν την ίδια διεύθυνση.

Γ. Αν η κρούση είναι έκκεντρη και πλαστική, η ορμή του συστήματος των σφαιρών δε διατηρείται.
Δ. Αν οι σφαίρες συγκρούονται μετωπικά , έχουν ίσες μάζες και η Σ2 είναι ακίνητη πριν την

κρούση, τότε μετά την κρούση η Σ1 ηρεμεί και η Σ2 κινείται.

1.Α.12 Να σημειώσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι Σωστές και ποιες Λανθασμένες.
Α. Αν στη διάρκεια της σύγκρουσης δύο σωμάτων ελαττώνεται η μηχανική ενέργεια του
συστήματος, τότε η κρούση είναι πλαστική.
Β. Δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά και το συσσωμάτωμα που δημιουργείται
παραμένει ακίνητο μετά την κρούση. Η ορμή του συστήματος πριν την κρούση ήταν μηδέν.
Γ. Οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ δυο συγκρουόμενων σωμάτων έχουν κατά τη διάρκεια
της επαφή τους ίσα μέτρα και αντίθετη φορά.
Δ. Η συνολική ορμή δύο σωμάτων που συγκρούονται δεν παραμένει πάντα σταθερή.

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 112

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

1.Α.13 Σε κάθε μετωπική κρούση δύο σφαιρών μικρών διαστάσεων διατηρείται:

Α. η ορμή και η κινητική ενέργεια του συστήματος Β. η ορμή του συστήματος.

Γ. η κινητική ενέργεια κάθε σώματος. Δ. η μηχανική ενέργεια του συστήματος.

1.Α.14 Σε μια κρούση δύο σφαιρών μικρών διαστάσεων:
Α. το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο
με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών τους μετά από την κρούση.
Β. οι διευθύνσεις των ταχυτήτων των σφαιρών πριν και μετά από την κρούση βρίσκονται
πάντα στην ίδια ευθεία.
Γ. το άθροισμα των ορμών των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο με το άθροισμα
των ορμών τους μετά από την κρούση.
Δ. το άθροισμα των ταχυτήτων των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο με το
άθροισμα των ταχυτήτων τους μετά από την κρούση.

1.Α.15 Να σημειώσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι Σωστές και ποιες Λανθασμένες.
Α. Στο μακρόκοσμο η ελαστική κρούση αποτελεί μια εξιδανίκευση , η οποία μπορεί να
προσεγγιστεί μόνο εάν η κρούση γίνεται μεταξύ δύο πολύ (συμπαγών) σκληρών σωμάτων.
Β. Στο μικρόκοσμο δεν μπορούν να υπάρξουν απολύτως ελαστικές κρούσεις.
Γ. Όλες οι κρούσεις στις οποίες δε διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των
σωμάτων που συγκρούονται ονομάζονται πλαστικές.
Δ. Σε μια ανελαστική κρούση μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων που
συγκρούονται μετατρέπεται σε θερμότητα.

1.Α.16 Να σημειώσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι Σωστές και ποιες Λανθασμένες.
Δύο σώματα τα οποία κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούονται πλάγια και πλαστικά.
Α. Το σύστημα των δύο σωμάτων έχει μετά την κρούση την ίδια κινητική ενέργεια που είχε και
πριν την κρούση.
Β. Η διεύθυνση της ταχύτητας κίνησης του συσσωματώματος που προκύπτει μετά την κρούση
μπορεί να είναι ίδια με τη διεύθυνση της ταχύτητας που είχε το ένα από τα δύο σώματα πριν
την κρούση.
Γ. Η ορμή του συστήματος των δύο σωμάτων δε διατηρείται.
Δ. Μέρος της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων μετατράπηκε εξαιτίας
της κρούσης σε θερμότητα.

1.Α.17 Να σημειώσετε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι Σωστές και ποιες Λανθασμένες.
Δύο σώματα (1) και (2) με μάζες m1 και m2 αντίστοιχα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά.
Α. Αν πριν την κρούση το σώμα (2) είναι ακίνητο και οι μάζες των δύο σωμάτων ικανοποιούν τη
σχέση m1  m 2 , τότε το σώμα (1) αποκτά ταχύτητα που έχει αντίθετη φορά από την αρχική.
Β. Αν τα δύο σώματα έχουν ίσες μάζες και το σώμα (2) πριν την κρούση είναι ακίνητο, τότε το
σώμα (1) μετά την κρούση κινείται με αντίθετη ταχύτητα από αυτή που είχε πρίν την κρούση.
Γ. Αν τα δύο σώματα έχουν ίσες μάζες και πριν την κρούση κινούνται με αντίθετες ταχύτητες,

τότε αμέσως μετά την κρούση οι ταχύτητες των δύο σωμάτων είναι ίσες με μηδέν.

Δ. Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος (1) είναι αντίθετη της μεταβολής της

κινητικής ενέργειας του σώματος (2).

1.Α.18 Κεντρική ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα διανύσματα των ταχυτήτων των κέντρων

μάζας των σωμάτων που συγκρούονται:

Α. είναι ίσα. Β. είναι μεταξύ τους κάθετα.

Γ. βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία. Δ. βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες.

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 113

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής που ακολουθούν να σημειώσετε
τη σωστή απάντηση αφού δικαιολογήσετε την επιλογή σας.


1.Β.1 Σφαίρα Σ1 μάζας m1 κινούμενη με ταχύτητα υ1 συγκρούεται κεντρικά με ακίνητη σφαίρα Σ2

ίσης μάζας. Αν μετά την κρούση η σφαίρα Σ1 παραμένει ακίνητη, ενώ η Σ2 κινείται με ταχύτητα
μέτρου υ2 τότε η κρούση είναι:

Α. ελαστική Β. ανελαστική Γ. πλαστική

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.


1.Β.2 Σφαίρα Σ1 μάζας m1, κινούμενη με ταχύτητα υ1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη

σφαίρα Σ2 μάζας m2. Μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις με
ταχύτητες ίσου μέτρου. Με εφαρμογή των αρχών που διέπουν την κρούση υπολογίσαμε ότι ο
λόγος των μαζών των δύο σφαιρών είναι:

Α. m1  1 Β. m1  1 Γ. m1  3
m2 3 m2 2 m2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.


1.Β.3 Σφαίρα Σ1 μάζας m1, κινούμενη με ταχύτητα υ1 συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητη

σφαίρα Σ2 μάζας m2. Αν με Κ1 συμβολίσουμε την κινητική ενέργεια της Σ1 πριν την κρούση και

ΔΕμηχ τις απώλειες μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά τη διάρκεια της κρούσης, τότε:

Α. ΔΕμηχ  m2 K1 Β. ΔΕμηχ  m1 K1 Γ. ΔΕμηχ  m1  m2 K1
m1  m2 m1  m2 m1  m2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.


1.Β.4 Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 , που κινούνται στην ίδια ευθεία με ταχύτητες υ1 και

υ2 αντίστοιχα , ίδιας κατεύθυνσης συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Αμέσως μετά την
κρούση το συσσωμάτωμα κινείται , οπότε με εφαρμογή των αρχών που διέπουν την κρούση,

υπολογίσαμε ότι η απώλεια ενέργειας του συστήματος δίνεται από τη σχέση:

Α. ΔΕμηχ  m1  m2 )  (υ1  υ2 )2 Β. ΔΕμηχ  m1  m2  (υ1  υ2 )2
(m1  m2 2(m1  m2 )

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.


1.Β.5 Σφαίρα Σ1 μάζας m1 κινούμενη με ταχύτητα υ1 , συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη

σφαίρα Σ2 μάζας m2. Το ποσοστό (%) της κινητικής ενέργειας της αρχικά κινούμενης σφαίρας Σ1
που μεταφέρεται στο αρχικά ακίνητο σώμα Σ2 είναι:

Α. Π(%)   4 m1 m2  100 (%) Β. Π(%)   2  m 1  m 2 100 (%)
(m 1  m 2 )2 m1  m2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 114

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

1.Β.6 Δυο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 αντίστοιχα , κινούνται στην ίδια ευθεία με την ίδια
φορά, οπότε συγκρούονται κεντρικά. Αν τα μέτρα των ταχυτήτων των σφαιρών πρίν και μετά

την κρούση είναι αντίστοιχα υ1  20m / s , υ2  10m / s , υ1  10m / s , υ2  6m / s

τότε η κρούση είναι: Α. ελαστική Β. ανελαστική

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1.Β.7 Σώμα Σ1 μάζας m1 συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με αρχικά ακίνητο σώμα Σ2 μάζας m2.
Αν το ποσοστό μείωσης της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση είναι 50 %,

τότε για τις μάζες των σωμάτων ισχύουν:

Α. m 2  m 1 Β. m 2  2  m1 Γ. m 2  3  m1

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1.Β.8 Σφαίρα Σ1 με μάζα m1 =m, κινείται με ταχύτητα  προς ακίνητη σφαίρα Σ2 με μάζα m2 = 5∙m.
υ

Αν η κρούση των σφαιρών είναι κεντρική και ελαστική, τότε αμέσως μετά την κρούση η ορμή

και η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι αντίστοιχα:

Α.    και Κ ολ(μετά)  1 mυ2 Β.   και Κ ολ(μετά) 1 mυ2
pολ(μετά) mυ 2 pολ(μετά) mυ 2

Γ.  και Κ ολ(μετά)  1 m  υ2
pολ(μετά)  2 m υ 4

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1.Β.9 Δυο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 αντίστοιχα, κινούνται στην ίδια ευθεία με αντίθετες
ταχύτητες, οπότε συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Αν αμέσως μετά την κρούση η σφαίρα
Σ2 παραμένει ακίνητη τότε ισχύει:

Α. m1  m 2 Β. m1 m2 Γ. m1  3 m 2 Δ. m2  3 m1

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.


1.Β.10 Σώμα Σ1 με μάζα m κινείται με ταχύτητα υ και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο

σώμα Σ2 ίσης μάζας με το Σ1. Μετά την κρούση η μεταβολή της ορμής και της κινητικής ενέργειας

του σώματος Σ1 είναι:

Α.    1  m   και ΔΚ1   3  m  υ2 Β.  και ΔΚ1   3  m  υ2
Δp1 2 υ 8 Δp1  2 mυ 8

Γ.    1  m   και ΔΚ1   3  m  υ2
Δp1 2 υ 4

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.


1.Β.11 Ελαστική σφαίρα μάζας m κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα υ1 και φορά προς τα

αριστερά χωρίς να περιστρέφεται , οπότε συναντά λείο κατακόρυφο τοίχο και συγκρούεται με

αυτόν. Αν η κρούση είναι τελείως ελαστική , τότε η μεταβολή της ορμής της σφαίρας είναι:

Α. έχει μέτρο Δp  2 m υ1 και φορά προς τα αριστερά.

Β. έχει μέτρο Δp  2 m υ1 και φορά προς τα δεξιά.

Γ. έχει μέτρο Δp  m υ1 και φορά προς τα αριστερά.

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 115

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

1.Β.12 Δυο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 αντίστοιχα, κινούνται στην ίδια ευθεία και κάποια

στιγμή συγκρούονται κεντρικά. Στο διπλανό διάγραμμα απεικονίζονται οι αλγεβρικές τιμές

των ταχυτήτων των σωμάτων πρίν και μετά την κρούση σε συνάρτηση με το χρόνο.

Ο λόγος των μαζών των δύο σφαιρών είναι:

Α. m1  1 Β. m1  1 (πριν) (μετά)
m2 4 m2 2 υ(m/s)

1 Σ1

Γ. m1  3 0 t(s)
m2 4 –1
Σ1
Η κρούση που πραγματοποιήθηκε είναι: – 3 Σ2 Σ2
–4
Α. Ελαστική Β. Ανελαστική

Να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας.

1.Β.13 Κατά την κεντρική και ελαστική κρούση δύο σωμάτων Σ1 και Σ2 με μάζες m1 και m2 , που
κινούνται με ταχύτητες υ1, υ2 ισχύουνοι σχέσεις:

Α. Δp1  Δp2 & ΔΚ1  ΔΚ2 Β. Δp1  Δp2 & ΔΚ1  ΔΚ2 Γ. Δp1  Δp2 & ΔΚ1  ΔΚ2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.


1.Β.14 Μικρό σώμα μάζας m κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ0 και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά

με μικρό σώμα μάζας 4∙m το οποίο είναι ακίνητο. Το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής
κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων που μετατράπηκε σε θερμότητα λόγω
της κρούσης ισούται με:

Α. 50% Β. 75% Γ. 80%
Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1.Β.15 Δύο σώματα , το Α με μάζα m1 και το Β με μάζα m2 , είναι διαρκώς σε επαφή και κινούνται σε

λείο οριζόντιο επίπεδο με την ίδια ταχύτητα υ. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά με σώμα Γ

μάζας 4∙m1 , το οποίο αρχικά είναι ακίνητο. Μετά την κρούση το Ασταματά , ενώ το Β κολλάει
στο Γ και το συσσωμάτωμα αυτό κινείται με ταχύτητα υ / 3. υ
Τότε θα ισχύει: υ0

Α. m1  1 Β. m1  1 Γ. m1  2 AB Γ
m2 m2 2 m2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1.Β.16 Δυο όμοιες σφαίρες Σ1 και Σ2 κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητες ίσου
μέτρου υ και φορέα που σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα χ΄χ. Οι σφαίρες συγκρούονται έτσι

ώστε να δημιουργηθεί ένα συσσωμάτωμα που κινείται κατά τη θετική φορά του άξονα χ΄χ με

ταχύτητα μέτρου υΚ  0,5  3  υ . m1  (μετά) 
Τότε η γωνία φ είναι ίση με : υ1 υK
Α. φ  600 (πριν)
Β. φ  450 χ΄ φ x
Γ. φ  300
Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. m2 φ
υ2

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 116

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ


1.Β.17 Μια ελαστική σφαίρα προσκρούει πλάγια σε τοίχο με ταχύτητα υ1 που σχηματίζει γωνία θ με

την κάθετο σε αυτόν στο σημείο πρόσπτωσης, ενώ θεωρούμε ότι η τριβή μεταξύ του τοίχου

και της σφαίρας είναι αμελητέα. Αν ονομάσουμε φ τη γωνία που σχηματίζει η διεύθυνση της
ταχύτητας πρόσπτωσης υ1 με τη διεύθυνση της ταχύτητας ανάκλασης υ2 , τότε ισχύει:

Α. φ  θ Β. φ  2  θ Γ. θ  2  φ

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.


1.Β.18 Σφαίρα Σ1 μάζας m1, κινούμενη με ταχύτητα υ1 συγκρούεται έκκεντρα και ελαστικά με αρχικά

ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας m2. Αν μετά την κρούση τους οι σφαίρες Σ1 και Σ2 κινούνται σε
κάθετες διευθύνσεις, τότε ο λόγος των μαζών τους είναι:

Α. m1  1 Β. m1  2 Γ. m1  3
m2 m2 m2

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1.Β.19 Σφαίρα Σ1 μάζας m1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με δεύτερη ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας m2 .
Το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας που έχει μεταφερθεί από την Σ1 στη Σ2 μετά την κρούση
γίνεται μέγιστο όταν:

Α. m 2  m1 Β. m 2  m 1 Γ. m 2  m1

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1.Β.20 Ραδιενεργός πυρήνας που ηρεμεί στιγμιαία στη θέση  y 
pΑ py
Ο διασπάται σε τρία σωματίδια. Τα δύο από αυτά
έχουν ορμές px και py αμέσως μετά τη διάσπαση,

όπως δείχνει το σχήμα. Το διάνυσμα που αντιστοιχεί x
px
στην ορμή του τρίτου σωματιδίου είναι το:  
Α. pΑ Β. pB Γ. pΓ  pB
pΓ
Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1.Β.21 Το βλήμα μάζας m του διπλανού σχήματος κινείται με φ
ταχύτητα υ0 υπό γωνία φ  600 ως προς το λείο οριζόντιο
δάπεδο και σφηνώνεται σε ξύλινο κύβο μάζας M  9m. Το  υ0
υ0 m Μ
ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του συστήματος
εξαιτίας της κρούσης ισούται με:

Α. 50% Β. 75% Γ. 97,5%

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

1.Β.22 Δύο μικρά σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m και 3m αντίστοιχα κινούνται σε κάθετες διευθύνσεις με
ορμές ίσου μέτρου και συγκρούονται πλαστικά. Αν Κ1 είναι η κινητική ενέργεια του σώματος Σ1
πριν την κρούση, τότε το συσσωμάτωμα που προκύπτει έχει κινητική ενέργεια:

Α. Κ συσσ  1 Κ1 Β. Κ συσσ  5 Κ1 Γ. Κ συσσ  4 Κ1
2 4 5

Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 117

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

Να επιλύσετε τις ακόλουθες ασκήσεις.
Να επιλύσετε τα ακόλουθα προβλήματα.

ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΩΝ ΠΑΝΩ ΣΕ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟ Η΄ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΛΕΙΟ Η΄ ΤΡΑΧΥ

1.Γ.1 Δύο σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1  1,8 Kg και m2  0,2 Kg κινούνται πάνω σε οριζόντιο

επίπεδο στην ίδια διεύθυνση με αντίθετη φορά και με ταχύτητες που έχουν μέτρα υ1  10m/ s

και υ2  10 m / s αντίστοιχα , ενώ οι σφαίρες συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Αν ο
συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ αυτών και του επιπέδου είναι μ  0,2 , να υπολογίσετε:

1. τη μέση δύναμη που δέχεται κάθε σώμα κατά τη διάρκεια της κρούσης που διαρκεί 0,02 s.
2. το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της πρώτης σφαίρας κατά την κρούση.
3. την απόσταση μεταξύ των σφαιρών όταν ακινητοποιηθούν στο οριζόντιο δάπεδο.
4. τη χρονική διαφορά ακινητοποίησης των σφαιρών πάνω στο οριζόντιο δάπεδο , g  10m/ s2 .

1.Γ.2 Σφαίρα Σ1 μάζας m1  3 Kg κινούμενη σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ1

συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ2 μάζας m2 . Η ταχύτητα της σφαίρας Σ1
μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο , όπως φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος , όπου

η χρονική διάρκεια της κρούσης Δt  t2  t1 είναι αμελητέα. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα:

1. τη μάζα της σφαίρας Σ2 και την ταχύτητα της μετά την κρούση.

2. την απόσταση των σφαιρών 10 s μετά την κρούση. υ1(m/s) Σ1
3. να σχεδιάσετε τα διανύσματα των δυνάμεων και 10

των ορμών κατά τη διάρκεια της κρούσης (υπό

κλίμακα) και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. (πριν) (μετά)

4. το ποσοστό επί τοις εκατό (%) της αρχικής κινητικής 0 t1 t2 t(s)
ενέργειας της σφαίρας Σ1 που μεταβιβάζονται στη –5 Σ1
σφαίρα Σ2.

Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g  10 m/ s2 .

1.Γ.3 Μικρή σφαίρα Σ1 μάζας m1  0,4 Kg αφήνεται ελεύθερη από την κορυφή λείου πλάγιου επιπέδου
ύψους h  1,8 m . Όταν η σφαίρα Σ1 φθάνει στη βάση του πλάγιου επιπέδου, συναντά δεύτερη

σφαίρα Σ2 μάζας m2  1,2 Kg , η οποία αρχικά ηρεμεί. Η κρούση των δύο σφαιρών είναι κεντρική

και ελαστική. Να υπολογίσετε: m1
1. τις ταχύτητες των δύο σφαιρών αμέσως μετά την κρούση.

2. τη συνολική ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών h

αμέσως μετά την κρούση. m2

3. το κλάσμα της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ1 που φ

μεταφέρθηκε στη Σ2 κατά την κρούση.

4. το διάστημα που διανύει η σφαίρα Σ1 πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο γωνία κλίσης φ  300 μέχρι

να σταματήσει στιγμιαία. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g  10 m / s2 .

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 118

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

1.Γ.4 Δύο μικρές σφαίρες Σ1 και Σ2 με μάζες m1 = 2 Kg και m2 = 0,5 Kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο

δάπεδο στην ίδια διεύθυνση με αντίθετη φορά , με ταχύτητες που έχουν μέτρα υ1  10 m / s και

υ2  20 m / s αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

( πριν την κρούση ) ( μετά την κρούση ) h
υ1 υ2

m1 m2 υ2

φ

Οι σφαίρες συγκρούονται μετωπικά , οπότε μετά την κρούση η σφαίρα Σ1 ακινητοποιείται , ενώ η
Σ2 κινούμενη με αντίθετη φορά από την αρχική της ανεβαίνει στο πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης
φ = 600 και σταματάει στιγμιαία σε ύψος h  16 m .

1. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ2 αμέσως μετά την κρούση.
2. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική ή ανελαστική.
3. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ορμής κάθε σφαίρας.
4. να υπολογίσετε το συντελεστή της τριβής ολίσθησης του κεκλιμένου επιπέδου.
Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g  10 m / s2 .

1.Δ.5 Από την κορυφή πλάγιου επιπέδου μεγάλου μήκους που σχηματίζει γωνία 30° με το οριζόντιο

δάπεδο εκτοξεύεται προς τα κάτω κύβος μάζας m1  2 Kg με ταχύτητα μέτρου υ0  20m / s .

Κατά την κάθοδό του και ενώ έχει διανύσει διάστημα S  4 m συναντά ακίνητο πανομοιότυπο

κύβο, ο οποίος ηρεμούσε οριακά , ενώ η σύγκρουση των δύο κύβων είναι κεντρική και ελαστική.

Να υπολογίσετε τα ακόλουθα: 
1. την ταχύτητα του πρώτου κύβου λίγο πριν την κρούση. υ0 m1
2. τις ταχύτητες των δύο κύβων αμέσως μετά την κρούση.

3. την απόσταση των δύο κύβων 5 s μετά την κρούση. m2
4. το ποσό της θερμότητας που εκλύεται στη διάρκεια των

5 s μετά την κρούση. φ
Δίνονται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g  10 m/ s2

και ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των σωμάτων με το κεκλιμένο επίπεδο ισούται με το
συντελεστή στατικής τριβής.

1.Γ.6 Δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1  20 Kg και m2  5 Kg κινούνται σε οριζόντιο επίπεδο στην

ίδια διεύθυνση με αντίθετη φορά, με ταχύτητες που έχουν μέτρα υ1  5m / s και υ2  10 m / s

αντίστοιχα. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά, ενώ ο συντελεστής τριβής ολίσθησης

μεταξύ αυτών και του επιπέδου είναι μ  0,2 και g  10 m/ s2 . ( πριν την κρούση )
υ1 υ2
1. Να υπολογίσετε το επί τοις εκατό (%) ποσοστό της μηχανικής
ενέργειας του συστήματος που χάθηκε κατά την κρούση. m1 m2

2. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ορμής του σώματος Σ2 και τη
μέση δύναμη που δέχτηκε από το σώμα Σ1 κατά τη διάρκεια
της κρούσης που είναι 0,04 s.

3. Να υπολογίσετε μετά την κρούση το διάστημα που θα διανύσει

το συσσωμάτωμα και το χρόνο κίνησής του μέχρι να ακινητοποιηθεί.

4. Να υπολογίσετε το συνολικό ποσό θερμότητας που εκλύεται στη διάρκεια του φαινομένου.

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 119

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

1.Γ.7 Σώμα Σ1 μάζας m1 , κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ1 10 m/s

συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ2 μάζας m2 . Η χρονική διάρκεια της
κρούσης θεωρείται αμελητέα και αμέσως μετά την κρούση, το σώμα Σ1 κινείται αντίρροπα με
ταχύτητα μέτρου υ1  5 m / s .

1. Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών m1 και την ταχύτητα του σώματος Σ2 μετά την κρούση.
m2

2. Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 μάζας m1 , που
μεταβιβάστηκε στο σώμα Σ2 μάζας m2 λόγω της κρούσης.

3. Αν m1  1Kg να βρεθεί ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η ορμή του σώματος αυτού
Σ1, κατά τη διάρκεια της ολίσθησής του πάνω στο δάπεδο μετά την κρούση, εάν θεωρηθεί
ότι είναι σταθερός σε όλη τη διάρκεια της ολίσθησης .

4. Να υπολογισθεί πόσο θα απέχουν τα σώματα μεταξύ τους όταν θα σταματήσουν, εφόσον
ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε σώματος είναι μ  0,1.

Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g  10 m/ s2 .

1.Γ.8 Δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m1  4 Kg και m2  3 Kg αντίστοιχα βρίσκονται πάνω σε τραχύ
οριζόντιο επίπεδο , με το οποίο εμφανίζεται τριβή ολίσθησης ο συντελεστής της οποίας είναι
μ  0,1. Το σώμα Σ1 κινείται προς το σώμα Σ2 που αρχικά ηρεμεί και συγκρούεται με αυτό
μετωπικά , ενώ τα δύο σώματα μετά την κρούση, αφού διανύσουν αποστάσεις S1  4,5 m και
S2  8 m αντίστοιχα , ηρεμούν. Αν δίνεται g  10 m/ s2 , να υπολογίσετε τα ακόλουθα:
1. τα μέτρα των ταχυτήτων των δύο σωμάτων αμέσως μετά την κρούση.

2. τη φορά κίνησης των σωμάτων και να δικαιολογήσετε αν η κρούση είναι ελαστική ή όχι.

3. τη μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά τη διάρκεια της κρούσης.

4. το κλάσμα της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ1 που μεταφέρεται στο Σ2 κατά την κρούση.

5. το συνολικό ποσό θερμότητας που εκλύεται στη διάρκεια του φαινομένου.

1.Δ.9 Το σώμα Σ2 με μάζα m2  2 Kg και πάχος d  10 cm ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο με γωνία
κλίσης φ  300 . Η σφαίρα Σ1 μάζας m1  0,1Kg m1
κινείται με ταχύτητα μέτρου υ0  400m / s 
υ  0 υ0

παράλληλα στο κεκλιμένο επίπεδο, συγκρούεται m2

με το σώμα Σ2 και αφού το διαπεράσει εξέρχεται

από αυτό με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ1 . Κατά d

την έξοδό της η σφαίρα έχει χάσει τα 75% της

αρχικής της κινητικής ενέργειας , ενώ ο χρόνος φ

διέλευσης της σφαίρας θεωρείται αμελητέος.

1. Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος Σ2 τη στιγμή που η σφαίρα Σ1 εξέρχεται από αυτό.

2. Να βρείτε το συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου Σ2 και του επιπέδου, αν

είναι γνωστό ότι διανύει διάστημα S  4 m μέχρι να σταματήσει στο κεκλιμένο επίπεδο.

3. Να βρείτε τη μέση δύναμη που δέχεται η σφαίρα Σ1 κατά τη διέλευσή της μέσα από το σώμα.
4. Να βρείτε το συνολικό ποσό θερμότητας που εκλύεται στη διάρκεια του φαινομένου.
5. Να βρείτε το χρόνο κίνησης του σώματος Σ2 πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι να σταματήσει.
Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g  10 m/ s2 .

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 120

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

1.Γ.10 Βλήμα μάζας m  0,1Kg εκτοξεύεται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ1  300m / s εναντίον
ξύλινου συμπαγούς κιβωτίου μάζας M  2 Kg που ηρεμεί αρχικά πάνω σε τραχύ οριζόντιο
επίπεδο. Το βλήμα εξέρχεται από το κιβώτιο με επίσης οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ1  100m / s
ενώ το κιβώτιο ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο και σταματά αφού διανύσει διάστημα S  20 m .
Αν δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g  10 m/ s2 , να υπολογίσετε τα ακόλουθα:
1. το συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του επιπέδου.
2. την ενέργεια που απαιτήθηκε για την « διάτρηση » του κιβωτίου από το βλήμα.
3. τη μέση δύναμη που δέχτηκε το βλήμα από το κιβώτιο κατά τη διέλευσή του μέσα από αυτό
αν γνωρίζουμε ότι το πάχος του κιβωτίου είναι d  20 cm .
4. το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που μεταβιβάζεται στο περιβάλλον.

1.Δ.11 Ένα βλήμα μάζας m  0,1Kg κινείται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ  100m / s και προσκρούει

σε ακίνητο κιβώτιο μάζας M  4,9 Kg οπότε και δημιουργείται συσσωμάτωμα. Να υπολογίσετε:

1. Την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.
2. Τη θερμότητα η οποία ελευθερώθηκε λόγω της σύγκρουσης.
3. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής για κάθε σώμα ξεχωριστά κατά τη διάρκεια της κρούσης.
4. Τη μέση δύναμη που δέχεται το βλήμα από το κιβώτιο κατά τη διάρκεια της ενσφήνωσής

του , διανύοντας μέσα σε αυτό απόσταση d  1m , υποθέτοντας ότι το κιβώτιο παραμένει

ακίνητο κατά τη διάρκεια της ενσφήνωσης του βλήματος.
5. Τη μέση δύναμη που δέχεται το βλήμα από το κιβώτιο κατά τη διάρκεια της ενσφήνωσής

του, διανύοντας μέσα σε αυτό απόσταση d  1m , υποθέτοντας ότι το κιβώτιο και το βλήμα

εκτελούν ευθύγραμμες ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις κατά τη διάρκεια της κρούσης.
6. Τη χρονική διάρκεια της ενσφήνωσης του βλήματος στην περίπτωση του ερωτήματος (5).
Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g  10 m/ s2 .

1.Δ.12 Σώμα Σ2 μάζας m2  2,9 Kg στέκεται οριακά ακίνητο σε σημείο Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας
κλίσης φ  300 . Βλήμα Σ1 μάζας m1  0,1Kg το οποίο κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου

υ1  40 3 m/ s σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο υ0

μάζας του σώματος Σ2. Κατόπιν το συσσωμάτωμα  m2 (Γ)
που προκύπτει ολισθαίνει επί του πλάγιου επίπεδου υ1
και ακινητοποιείται ύστερα από χρονικό διάστημα (A)
Δt σε σημείο Γ, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. m1

Να υπολογίσετε τα ακόλουθα: φ
1. Τον συντελεστή της τριβής ολίσθησης μ που

παρουσιάσει το σώμα με το κεκλιμένο επίπεδο.

2. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.

3. Την κατακόρυφη απόσταση των θέσεων (Α) και (Γ).

4. Το χρονικό διάστημα Δt.
Να θεωρήσετε ότι το κεκλιμένο επίπεδο παρουσιάσει με το συσσωμάτωμα τον ίδιο συντελεστή

τριβής ολίσθησης που παρουσιάζει και με το σώμα Σ2 , που είναι μάλιστα ίσος με το συντελεστή
της στατικής τριβής. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g  10 m/ s2 .

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 121

Φυσική Γ΄ Λυκείου
ΚΡΟΥΣΕΙΣ

1.Δ.13 Ξύλινος συμπαγής κύβος Σ2 μάζας m2  2,9 Kg βρίσκεται ακίνητος σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο.
Βλήμα Σ1 μάζας m1  0,1Kg κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο με ταχύτητα υ1 ο φορέας της

οποίας σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση φ Σ1 υ0 υ0
υ1
γωνία φ  600 και μέτρο υ1  300 m/ s όπως Σ2

απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Το βλήμα Σ1
σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο μάζας του

ξύλινου κύβου Σ2 και το συσσωμάτωμα που (A) S (Γ)
δημιουργείται αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο

οριζόντιο δάπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ = 0,2.

Να υπολογίσετε τα ακόλουθα:

1. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.
2. Το διάστημα S που διανύει το συσσωμάτωμα πάνω στο οριζόντιο επίπεδο, μέχρι να σταματήσει.
3. Το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος , όταν η κινητική του ενέργεια μεταβάλλεται

με ρυθμό dK   45 J/ s .
dt

4. Το ποσό θερμότητας που εκλύεται στο περιβάλλον κατά τη διάρκεια της κρούσης.
5. Το ποσοστό επί τοις (%) της αρχικής κινητικής του βλήματος που μετατράπηκε σε

θερμότητα εξαιτίας της ολίσθησης του συσσωματώματος επί του οριζοντίου επιπέδου.
Δίνεται η τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας g 10 m/s2 .

1.Δ.14 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια σανίδα ΑΒ μήκους L = 40 m και μάζας M = 9 kg , η οποία

αρχικά ηρεμεί ακίνητη σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Στη μια άκρη Α της σανίδας βρίσκεται ακίνητο
ένα μικρό σώμα μάζας m1 = 0,8 Κg. υ0
Βλήμα μάζας m = 0,2 Kg που κινείται υ0 M
οριζόντια με ταχύτητα υ0 μέτρου υ0 , m m1

συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά Α L Β

με το σώμα μάζας m1 , οπότε το

συσσωμάτωμα ολισθαίνει πάνω στην

επίπεδη επιφάνεια της σανίδας εμφανίζοντας με αυτή τριβή ολίσθησης με συντελεστή μ = 0,45.

Όταν το συσσωμάτωμα σταματήσει να κινείται σε σχέση με τη σανίδα , η κινητική ενέργεια του

συστήματος σανίδα – συσσωμάτωμα ισούται με 20 J. Να υπολογίσετε τα ακόλουθα:

1. Το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος ( m1 + m ) τη στιγμή που σταμάτησε να κινείται σε

σχέση με τη σανίδα. 

2. Το μέτρο της αρχικής ταχύτητας υ0 του βλήματος.

3. Τη συνολική θερμότητα που μεταφέρθηκε στο περιβάλλον σε όλη τη διάρκεια του φαινομένου.

4. Την απόσταση του συσσωματώματος από το άλλο άκρο Β της σανίδας τη χρονική στιγμή

που το συσσωμάτωμα σταμάτησε να κινείται σε σχέση με τη σανίδα.

5. Τη χρονική διάρκεια που μεσολαβεί από τη στιγμή της κρούσης μέχρι το συσσωμάτωμα να

σταματήσει να κινείται σε σχέση με τη σανίδα.

Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει μέτρο g  10 m / s2 και ότι το συσσωμάτωμα έχει

αμελητέες διαστάσεις σε σχέση με τη σανίδα.

Πολίτης Άρης Ερωτήσεις – Ασκήσεις 122