ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมติ ิ เป็นศาสตร์ท.ีวา่ ดว้ ยเร.ืองของ มุม และ ดา้ น ซ.ึงมีประโยชนใ์ นการนาํ มาใชง้ านใน

ชีวติ ประจาํ วนั เป็ นอยา่ งมาก เช่น ดา้ นวศิ วกรรมการก่อสร้าง เป็นตน้

จากรูป A O! C = BO! D

BO! C = A O! D

นนั. คือ มุมตรงขา้ มจะเท่ากนั

หน่วยท.ีใชว้ ดั มุม มี 2 หน่วย คือ องศา และ เรเดียน

หน่วยเป็ นองศา 1 องศา เท่ากบั 60 ลิปดา

1 ลิปดา เท่ากบั 60 ฟิ ลิปดา

1 องศา เท่ากบั 60 " 60 = 3600 ฟิ ลิปดา

หน่วยเรเดียน 180 องศา =π เรเดียน

มุมวงกลมหน.ึงหน่วย มีหน่วยเป็น องศา และ เรเดียน

เช่น มุม = 3π มีค่าเท่ากบั กี.องศา
6

เราทราบวา่ π = 180°
= 3 ×618013=0 90°
ดงั นSนั 3π ตอบ
6 ตอบ

เช่น มุม 30 องศา เท่ากบั ก.ีเรเดียน

มุม 180 องศา เท่ากบั π เรเดียน
มุม 30 องศา เท่ากบั π ×130 เรเดียน
6 180
มีค่าเท่ากบั π
6 เรเดียน

จากแผนภาพ เป็ นสามเหล.ียมมุมฉาก
เป็นความยาวอยตู่ รงขา้ มมุม
เป็นความยาวอยตู่ รงขา้ มมุม
เป็นความยาวอยตู่ รงขา้ มมุม

! ถ้าให้ θ เป็ นมุมภายในรูปสามเหลย?ี มมุมฉาก ดังรูป

(ตรง) (ฉาก)

(ชิด)

" อตั ราส่วนตรีโกณมิติของรูป ∆ มุมฉาก คือ

1) sinθ = = b อ่านวา่ ไซน์ (Sine) ของมุม θ
2) cosθ = a
3) tanθ =
4) cosecθ = = c อ่านวา่ โคไซน์ (Cosine) ของมุม θ
5) si cθ = a
6) cotθ =
= b อ่านวา่ แทนแจนต์ (Tangent) ของมุม θ
c

= a อ่านวา่ โดเซคแคนต์ (Cosecant) ของมุม θ
b

= a อ่านวา่ เซแคนต์ (Secant) ของมุม θ
c

c อ่านวา่ โดแทนแจนต์ (Cotangent) ของมุม θ
=b

ข้อสังเกต จะเห็นวา่ มุม cosecθ เป็ นส่วนกลบั ของ sinθ นนั. คือ cosecθ = 1
sin θ

มุม secθ เป็ นส่วนกลบั ของ cosθ นนั. คือ secθ = 1
cosθ

มุม cotθ เป็ นส่วนกลบั ของ tanθ นนั. คือ cot θ = 1
tan θ

การท่องจาํ นกั เรียนสามารถจาํ อตั ราส่วนตรีโกณมิติทSงั 6 มุมไดง้ ่าย ๆ ดงั นSี

sinθ = cosecθ =
cosθ = secθ =
tanθ = cotθ =

เช่น จากรูปท.ีกาํ หนดใหจ้ งหาค่าอตั ราส่วนตรีโกณมิติทSงั 6 ของมุม θ

sinθ = = 3 cosecθ = = 5
cosθ = 5 secθ = 3
tanθ = cotθ =
4 5
=5 =4

= 3 = 4
4 3

จากตัวอย่าง การหาค่าของอตั ราส่วนตรีโกณมิติ เราตอ้ งทราบค่าความยาวของดา้ นทSงั 3 ดา้ น

ซ.ึงมีบางโจทยห์ รือปัญหา ท.ีเราจาํ เป็ นตอ้ งหาดา้ นอื.นๆ ซ.ึงโจทยจ์ ะบอกความยาวดา้ นมาให้ 2 ดา้ น เราจะใช้

ทฤษฎขี องปิ ทาโกรัสหาดา้ นท.ี 3 ไดด้ งั นSี

วธิ จี ํา ดา้ นที.ยาวท.ีสุดยกกาํ ลงั สอง(ฉาก2) = ดา้ นท.ีสSนั สองดา้ นยกกาํ ลงั สองบวกกนั (ตรง2 + ชิด2)

ตวั อยา่ งท.ี 1.1 กาํ หนดให้ ∆ ABC ซ.ึงมีมุม B! = 90° และ sin A = 3 จงหาความยาวดา้ น AB
5

วธิ ีคิด โจทยบ์ อกวา่ sin A = 3 =
5

เราจะได้ ความยาวดา้ นตรง (BC) = 3
ความยาวดา้ นฉาก (AC) = 5

โจทยใ์ หห้ าดา้ น AB ซ.ึงเราทราบดา้ น BC = 3
และ AC = 5 จากสูตร ปิ ทาโกรัส

สูตร AC 2 = AB2 + BC 2

แทนค่า (5)2 = AB2 +(3)2

25 = AB2 +9 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
25 − 9 = AB2

16 = AB2 (หารากที. 2)
± 16 = AB

±4 = AB ( 16 = 4 × 4 = 4) ตอบ

∴ ดา้ น AB = 4 (ดูเฉพาะค่าบวก)

ตวั อยา่ งท.ี 1.2 กาํ หนดให้ ∆ ABC มีมุม B! = 90° และ sin A = 4 จงหาค่าของ cosec A + cot A
5

วธิ ีคิด จากโจทย์ บอกวา่ sin A = 4
5

เราทราบดา้ นตรง BC = 4

ดา้ นฉาก AC = 5

เราตอ้ งหาดา้ นชิด AB โดยใชส้ ูตรปิ ทาโกรัส คือ

สูตร AC 2 = AB2 + BC 2

แทนค่า (5)2 = AB2 +(4)2

25 = AB2 +16 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
25 −16 = AB2

9 = AB2

± 9 = AB (หารากที. 2 )

±3 = AB ( 9 = 3× 3 = 3)
3 = AB
(ดูเฉพาะค่าบวก)
หาค่า cosec A = = 5
4 ตอบ

หาค่า cot A = = 3
4

จะได้ cosec A = + cot A = 5 + 3
4 4

= 8 2
4 1

=2

0° 30° 45° 60° และ 90° โดยใช้กฎมอื ซ้าย
1) ใหน้ ิSวต่างๆ เป็ นมุม 0° 30° 45° 60° 90° ดงั นSี

หมายเหตุ การหาค่าของมุม cosec θ, sec θ, cot θ เป็ นส่วนกลบั ของมุม sin θ, cos θ, tan θ
ตามลาํ ดบั

2) หาค่าของมุมใด ใหห้ กั นิSวนSนั ลง (มีค่าเป็น 2) และเติม ใหก้ บั นิSวทSงั สองขา้ ง และหาค่าอตั ราส่วน
ตรีโกณมิติ ดงั นSี

ค่าของรากท?ี 2

0 =0
1 =1
2 = 1.414
3 = 1.732
4=2

ข้อสังเกต ค่าของ cosec ,sec ,cot จะเป็นส่วนกลบั sin , cos , tan ตามลาํ ดบั





ตวั อยา่ งที. 1.3 จงหาค่าของ sin 30o + tan 45o + sec 60o
วธิ ีคิด ใหใ้ ชก้ ฎมือซา้ ยหาค่ามุมต่าง ๆ ดงั นSี

sin 30" = 1 = 1 tan 45" = 2 = 1 sec 60" = 2 = 2
2 2 2 1

จะได้ sin 30" + tan 45" + sec 60" = 1 +1+ 2 ตอบ
2

= 1 + 3
2

= 7
2

ตวั อยา่ งที. 1.4 จงหาค่าของ sin2 30" +4 cos2 45"
วธิ ีคิด หาค่าของมุมต่าง ๆ ดว้ ยกฎมือซา้ ย

sin 30" = 11 cos 45" = 2
2 =2 2

จากโจทย์ sin 2 30" +4 cos2 45" =  1 2 + 4  2 2
 2   2 

=  1 × 1  + 4  2 × 2
 2 2   2 2 

= 1 + 4  2 
4  4 

= 1 + 8
4 4

= 9 ตอบ
4

ตวั อยา่ งท.ี 1.5 จงหาค่าของ cos ec30" − tan 45"
sin2 60"

วธิ ีคิด หาค่าของมุมต่าง ๆ ดวั ยกฎมือซา้ ย

cos ec30" = 2 = 2 tan 45" = 2 = 1 sin 60" = 3
1 2 2

จากโจทย์ cos ec30" − tan 45" = 2− 1
sin 2 60"  3 2

 2 

= 2 − 1
9

4

= 2 −  1 × 4 
 1 9 

= 2 − 4 = 18 − 4 = 14 ตอบ
9 9 9

จากท.ีไดศ้ ึกษามาจะเป็ นมุม 0° 30° 45° 60° 90° ซ.ึงสามารถใชก้ ฎมือซา้ ยหาค่าตรีโกณมิติได้
แต่ถา้ มุมท.ีใหห้ าไม่ใช่มุมหลกั ๆ ที.กล่าวมา นกั เรียนตอ้ งหาค่าโดยใชต้ ารางตรีโกณมิติ (อยใู่ นภาคผนวก)
ดงั นSี

จากรูป การหาค่าตรีโกณมิติ ไดโ้ ดยแบ่งเป็น 2 กรณี คือ
กรณีท?ี 1 ตSงั แต่มุม 0" − 45" ใหด้ ูจากข้างบนลงล่าง

เช่น หาค่ามุม sin 21" = 0.3584

กรณีที? 2 ตSงั แต่มุม 46" − 90" ใหด้ ูจากข้างล่างขนึV บน

เช่น หาค่ามุม tan 82" = 7.1154

ตวั อยา่ งที. 1.6 จงใชต้ ารางตรีโกณมิติ หาค่าของ tan20o+cos70o

วธิ ีคิด จากตาราง tan 20" = 0.3640

cos 70" = 0.3420

จากโจทย์ tan 20" + cos 70" = 0.3640 + 0.3420

= 0.7060 ตอบ

ตวั อยา่ งท.ี 1.7 จงหาค่าของ tan122" ⋅ cos 33" + sec 316"
cosec 229" sin 3"

วธิ ีคิด ขSนั 1 จากตาราง cos33" = 0.8387

sin 3" = 0.0523

หาค่า tan122" ตอ้ งใชว้ งกลมหน.ึงหน่วยกบั ตารางตรีโกณมิติ

จตุภาค 2 (Q2) ค่า tan θ เป็ น ลบ

( )มุม tan122" = − tan 180" − 58"

= − tan 58"

จากตาราง − tan 58" = −1.6003

หาค่า sec316" อยใู่ นจตุภาค 4 (Q4) ค่า secθ จะเป็ น บวก

มุม sec 316" = + sec(360" − 44" )
= + sec 44"

จากตาราง sec 44" = 1.3902

หาค่า cos ec229" อยใู่ นจตุภาค 3 ค่า cos ecθ จะเป็ น ลบ

มุม cos ec229" = −co sec(180" − 49" )

= −co sec 49"

จากตาราง - cosec 49" = −1.3250

ขSนั ท.ี 2 แทนค่ามุมต่าง ๆ ลงในโจทย์

จากโจทย์ tan122" ⋅ cos 33" + sec 316"
cos ecθ 229" sin 3"

แทนค่า = (−1.6003)(0.8387) + 1.3902
(−1.3250) 0.0523

= −1.3421 + 1.3902
−1.3250 0.0523

= 1.0129 + 26.5812 ตอบ
= 27.5941

วงกลมหน*ึงหน่วย คือ วงกลมท*ีมีจุดศูนยก์ ลาง(0,0) และมีรัศมีเท่ากบั หน*ึงหน่วย (r =1) ซ*ึงเกิด
จากสมการ x2 + y2 = 1 ดงั ภาพขา้ งล่าง

จากภาพจะได้ว่า

sinθ = = y = y = y ( y = sinθ )
cosθ = r 1 (x = cosθ )
tanθ =
= x = x = x
r 1

= y = sin θ
x cosθ

cosecθ = 1 = 1
sin θ y

s ecθ = 1 1
cosθ =x

cot θ = 1 = x
tan θ y

ข้อสังเกต ตาํ แหน่งโดออดิเนตรของ (x, y) คือ (cosθ ,sinθ ) เพราะวา่ x = cosθ , y = sinθ

จากภาพขา้ งบน

สรุป วงกลมหน*ึงหน่วย ทาํ ใหน้ กั เรียนทราบค่าต่างๆ ดงั นKี

จากภาพข้างบน

1) นกั เรียนจะทราบวา่ ค่าโดออดิเนตร (x, y) ในแต่ละจตั ุภาค (Q) วา่ มีค่าเป็ น + หรือ −

2) ทราบวา่ จุดตดั บนแกน x และแกน y มีค่าเป็นเท่าไร และค่าของมุมเท่าไร

(ทKงั องศาและเรเดียน)

3) อยา่ ลืมวา่ x = cosθ , y = sinθ นะครับ

เช่น (x, y) = (0,1) มีมุมเป็ น 90! = π แสดงวา่
2

cos 90! = 0 และ sin 90! = 1 เพราะวา่

(x, y) คือ โดออดิเนตรของ (cosθ ,sinθ )

การหาค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติท*ีมีมุมค่าเกินกวา่ 90! นกั เรียนตอ้ งใชแ้ ผนภาพขา้ งบนประกอบ
ในการแกป้ ัญหาโจทย์ เพราะจากการศึกษาในหน่วยเรียนที* 1 นกั เรียนจะหาค่าระหวา่ งมุม 0! − 90!
เท่านKนั ซ*ึงหากมุมเกิน 90! นกั เรียนใชแ้ ผนภาพขา้ งบนจะทาํ ใหห้ าค่าไดง้ ่ายขKึน เพราะค่าท*ีเกินจะอยู่
ระหวา่ ง 0! − 90! ซ*ึงเราสามารถใชก้ ฎมือซา้ ย และตารางหาค่าได้ โดยค่าที*ไดจ้ ะเป็ น + หรือ − ตาม
จตุภาค (Q) ที*ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติอยู่ และหามุมได้

ตวั อยา่ งท*ี 2.1 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติมุม tan150! 1. มีค่าเป็นลบ
วธิ ีคิด ขKนั 1 มุม tan150! อยใู่ นจตุภาคที* 2 แสดงวา่ 2. มุมคือ (180 − θ )

ขKนั 2 จะได้ tan150! = − tan(180 − 30) เพราะ 180! − 30! = 150!

= − tan 30! (ใชก้ ฎมือซา้ ย)
=− 1

3

ตอบ

ตวั อยา่ งท*ี 2.2 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติมุม cos120! มีค่าเป็ นลบ
วธิ ีคิด ขKนั 1 มุม cos120! อยใู่ นจตุภาค 2 แสดงวา่ มุมคือ (180 − θ )

ขKนั 2 จะได้ cos120! = − cos(180! − 60! ) เพราะ 180! − 60! = 120!

= − cos 60!

= − 1 (กฎมือซา้ ย) ตอบ
2

ตวั อยา่ งท*ี 2.3 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของมุม 240! ทKงั หมด

วธิ ีคิด 1. tan 240! ,cot 240! เป็ นบวก

ขKนั 1 มุม 240! อยใู่ นจตุภาค 3 แสดงวา่ นอกนKนั เป็ นลบ

2. มุม (180 +θ )

ขKนั 2 จะได้ sin 240! = − sin (180! + 60! )

= − sin 60!

=− 3 (กฎมือซา้ ย)
2

! มุมท*ีเป็ นส่วนกลบั คือ cosce 240! = − 2

3

cos 240! = − cos (180! + 60! )

= − cos 60!

= − 1 (กฎมือซา้ ย)
2

! มุมท*ีเป็ นส่วนกลบั คือ sec 240! = −2

tan 240! = + tan (180! + 60! )

= + tan 60!

= 3 (กฎมือซา้ ย)

! มุมท*ีเป็ นส่วนกลบั คือ cot 240! = 1 ตอบ

3

ตวั อยา่ งท*ี 2.4 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ cos 5π
3

วธิ ีคิด ขKนั 1 cos 5π = cos 5 × 180! = cos 300!
3 3

1. cosθ ,secθ เป็ นบวก

อยใู่ นจตุภาค 4 แสดงวา่

2. มุม (360 − θ )

ขKนั 2 cos 300! = + cos(360! − 60! ) เพราะ 360! − 60! = 300!

= + cos 60!

= 1 (กฎมือซา้ ย) ตอบ
2

ตวั อยา่ งที* 2.5 จงหาค่าฟังกช์ นั โกณมิติ cos 240! + tan 300!

1. tanθ ,cotθ เป็ นบวก
วธิ ีคิด ขKนั 1 cos 240! อยใู่ นจตุภาค 3 แสดงวา่

2. มุม (180 + θ )

ขKนั 2 จะได้ cos 240! = − cos (180! + 60!)

= − cos 60!

= − 1 (กฎมือซา้ ย)
2

= −0.5

" หามุม tan 300! 1. cosθ ,secθ เป็ นบวก
ขKนั 1 tan 300! อยใู่ นจตุภาค 4 แสดงวา่ 2. มุม (360 − θ )

ขKนั 2 จะได้ tan 300! = − tan 360! − 60!

= − tan 60!

=− 3 (กฎมือซา้ ย)

= −1.732

จากโจทย์ cos 240! + tan 300! = (−0.5 + (−1.732))

= −2.232 ตอบ

360o

การหาค่ามุมมากกวา่ 360! (เกิน 1 รอบ) นKนั ถา้ เราพิจารณาจากรูปวงกลมหน*ึงหน่วย ทาํ ใหเ้ รา
ทราบวา่ เม*ือครบรอบวงกลมแลว้ ส่วนท*ีเกินจะตกอยใู่ นจตุภาคทKงั 4 จตุภาค หรือ สรุปไดว้ า่ ใหน้ กั เรียนลบ
จาํ นวนรอบที*เกินออกก็จะไดม้ ุมภายในวงกลมหน*ึงหน่วยมาหาค่าไดแ้ บบเดิมนน*ั เอง

เช่น มุม 780! จะอยใู่ นจตุภาค 1 (คือ มุม 60! )

เพราะวา่ 1 รอบวงกลม เท่ากบั 360!

2 รอบวงกลม เท่ากบั 720!

ดงั นKนั มุม 780! − 720! = 60!

สรุป การหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติท*ีมีมุมเกิน 360! (> 360! ) ใหล้ บจาํ นวนรอบที*เกินออก

ก็จะไดเ้ ป็นวงกลมหน*ึงหน่วย การหาค่าต่าง ๆ ก็ใชห้ ลกั การเดิมที*เรียนมาแลว้

ตวั อยา่ งที* 2.6 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ sin 750!
วธิ ีคิด

ขKนั 1 sin 750! = sin(750! − 720! ) เพราะเกินไป 2 รอบ

= sin 30! 1. ทุกฟังกช์ นั เป็นบวก
2. มุม θ
นนั* คืออยใู่ นจตุภาค 1 แสดงวา่

ขKนั 2 จะได้ sin 30! = + sin 30!

= + 1
2

ตอบ

ตวั อยา่ งท*ี 2.7 จงหาค่าฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ cot1125!

1 รอบเท่ากบั 360!
2 รอบเท่ากบั 720!
3 รอบเท่ากบั 1080!

ขKนั 1 cot1125! = cot(1125! − 1080! = 45! )
= cot 45!

นนั* คืออยใู่ นจตุภาค 1 แสดงวา่ 1. ทุกฟังกช์ นั เป็น บวก
2. มุม (θ )

ขKนั 2 จะได้ cot 45! = + cot 45!

=+ 2 ตอบ
2

=1

การเขียนกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตินKนั กาํ หนดให้ แกน x เป็นค่าของมุมในฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
และแกน y เป็นค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิตินKนั ๆ

เช่น ใหเ้ ขียนกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ y = sin x ดงั นKี

ขKนั 1 หาค่าของ y โดยใชก้ ฎมือซา้ ยกบั วงกลมหน*ึงหน่วย

x 0 30! 45! 60! 90! 120! 135! 150! 180! 210! 225! 240!

y = sin x 0 1 23 3 21 0 1 2 3
2 221 2 22 −2 −2 −2

270! 300! 315! 330! 360!

−1 − 3 − 2 − 1 0
2 2 2

ขKนั 2 เขียนกราฟ

ตอบ

ตวั อยา่ งที* 2.8 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติของ y = − 3 cos x
5

วธิ ีคิด ขKนั 1 หาค่า y โดยใชก้ ฎมือซา้ ย และวงกลมหน*ึงหน่วย ดงั นKี

x0 45! 90! 135! 180! 225! 270! 315! 360!

y = cos x 2 0 −2 −2 0 2
2 0 2 2
1 −1 2 1
32
y = − 3 cos x − 3 − 32 10 3 32 − 32 − 3
5 5 10 5 10 0 10 5

ขKนั 2 เขียนกราฟ

ตอบ

นกั เรียนไดศ้ ึกษาเร1ืองของสมการเชิงเส้นมาแลว้ จะเห็นวา่ สมการจะเขียนในรูปของตวั แปร x, y
เช่น 2x + 3y − 5 = 0 แต่ถา้ เป็ นสมการของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติจะเขียนอยใู่ นรูปของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ
คือ sinθ ,cosθ , tanθ เช่น sin2 x + 6sin x + 9 = 0 ซ1ึงการหาค่าสมการ จะใชว้ ธิ ีแยกตวั ประกอบ
เหมือนกบั สมการทว1ั ไป โดยคาํ ตอบของสมการตรีโกณมิติจะเป็นค่าของ θ

1. sinθ ⋅ cosceθ = 1

2. sinθ ⋅ cosceθ = 1

3. tanθ ⋅ cotθ = 1

4. tan θ = sin θ
cosθ

5. cot θ = cosθ
sin θ

6. sin2 θ + cos2 θ = 1

7. sin2 θ − tan2 θ = 1

8. cos ec2θ − cot2 θ = 1

9. sin 2θ = 2sinθ cosθ = 1 2 tan θ
+ tan2 θ

10. cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

ตวั อยา่ งที1 3.1 จงหาค่า x จากสมการ 2sin x −1 = 0

วธิ ีคิด ข[นั 1 จากสมการ 2sin x −1 = 0

2sin x = 1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

sin x = 1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
2

ข[นั 2 ใชว้ งกลมหน1ึงหน่วย หาค่ามุม x เพราะค่าที1ไดจ้ ะมี 2 ค่า

y

Q2 Q1

sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +

มุม (180! −θ ) มุม θ

x

tanθ , cotθ เป็ น + cosθ ,secθ เป็ น +
มุม (180! + θ ) มุม (360! −θ )

Q3 Q4

จากวงกลมหน1ึงหน่วย เราจะทราบวา่ sin x อยใู่ น Q1 และ Q2

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาค 1 (Q1)
2

จาก sin x = 1 (มุมคือ θ )
2

sin 30! = 1 (ใชก้ ฎมือซา้ ย จะไดม้ ุม 30! )
2

∴ จะได้ x = 30!

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาค 2 (Q2)
2

จาก sin x = 1 (มุม 180! − θ )
2

sin = 150! = 1 (180! − 30! = 150! )
2

∴ จะได้ x = 150!

ดงั น[นั x = 30! และ 150! ตอบ

ตวั อยา่ งที1 3.2 จงหาค่า x จากสมการ 2sin2 x − 3sin x +1 = 0

วธิ ีคิด ข[นั 1 จากสมการ 2sin2 x − 3sin x + 1 = 0

วธิ ีแยกตวั ประกอบ 2sin x ⋅ sin x 1×1

(2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0

−1sin x
−2sin x

−3sin x

นาํ ค่าแต่ละวงเลบ็ ใหเ้ ท่ากบั ศูนย์ แลว้ ใชว้ ธิ ียา้ ยขา้ งเพอ1ื หาค่ามุมของแต่ฟังกช์ นั

2sin x −1 = 0 sin x −1 = 0

2sin x = 1 sin x = 1

sin x = 1
2

จากการแกส้ มการดว้ ยวธิ ีแยกตวั ประกอบ จะได้ sin x = 1 และ sin x = 1
2

ข[นั 2 ใชว้ งกลมหน1ึงหน่วย และกฎมือซา้ ย

Q2 y Q1 x

sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +
มุม (180! −θ ) มุม θ

tanθ , cotθ เป็ น + cosθ ,secθ เป็ น +
มุม (180! + θ ) มุม (360! −θ )

Q3 Q4

หาคาํ ตอบกรณีท1ี 1 sin x = 1 อยใู่ นจตุภาคท1ี 1 และ 2
หาค่า 2

sin x = 1 ในจตุภาคท-ี 1 ดงั น[ี
2

จาก sin x = 1 sinθ =
2

sin 30! = 1 sin 30! = 1 = 1
2 2 2

จะได้ x = 30! #

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาคท-ี 2 ดงั น[ี
2

จาก sin x = 1 มุมในจตุภาคท1ี 2 คือ (180! −θ )
2

sin 150! = 1 (มุม 180! − 30! = 150! )
2

จะได้ x = 150! #

หาคาํ ตอบกรณีท1ี 2 sin x = 1 อยใู่ นจตุภาคที1 1 และ 2

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาคที1 1 ดงั น[ี ซ้าย
จาก sin x = 1 sinθ =

sin 90! = 1 2

จะได้ x = 90! sin 90! = 4 = 2 =1
2 2

หาค่า sin x = 1 ในจตุภาคท1ี 2 ดงั น[ี

จาก sin x = 1 มุมในจตุภาคท1ี 2 คือ (180! −θ )

sin 90! = 1 (180! − 90! = 90! )

จะได้ x = 90!

ดงั น[นั x = 30! ,90! ,150! ตอบ

ตวั อยา่ งท1ี 3.3 จงหาค่า x จากสมการ tan2 x − 3 = 0

วธิ ีคิด ข[นั 1 จากสมการ tan2 x − 3 = 0

tan2 x = 3 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

tan x = ± 3 (วธิ ีรากท1ี 2)

จะได้ tan x = 3 เท่าน[นั (tan x = − 3 หาคาํ ไม่ได)้

ข[นั 2 ใชว้ งกลมหน1ึงหน่วย และกฎมือซา้ ย

Q2 y Q1

sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น + x
มุม (180! −θ ) มุม θ

tanθ , cotθ เป็ น + cosθ ,secθ เป็ น +
มุม (180! + θ ) มุม (360! −θ )

Q3 Q4

∴จะเห็นวา่ tan x = 3 จะอยใู่ นจตุภาค 1 และจตุภาค 3 เพราะค่าเป็ นบวก

หาวา่ tan x = 3 ในจตุภาค 1 ดงั น[ี tan 60! = ซ้าย
จาก tan x = 3 ขวา

tan 60! = 3 tan 60! = 3 = 3
1
จะได้ x = 60!

หาวา่ tan x = 3 ในจตุภาค 3 ดงั น[ี

จาก tan x = 3 มุมในจตุภาคท1ี 3 คือ (180! +θ )

tan 240! = 3 (180! + 60! = 240! )

จะได้ x = 240!

ดงั น[นั x = 60! และ 240! ตอบ

ตวั อยา่ งท1ี 3.4 จงหาค่า x จากสมการ 4 cos2 x −1 = 0
วธิ ีคิด ข[นั 1 จากสมการ 4 cos2 x −1 = 0

4 cos2 x = 1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
(วธิ ียา้ ยขา้ ง)
cos2 x = 1 (หารากท1ี 2)
4 (ใชเ้ ฉพาะค่าบวก)

cos x = ± 1
4

cos x = 1
4

cos x = 1
2

ข[นั 2 ใชว้ งกลมหน1ึงหน่วย จะได้ cos x = 1 อยใู่ นจตุภาคที1 1 และ 4 เพราะวา่
2

ค่า cos เป็ น + ดงั รูป

Q2 y Q1

sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +
มุม (180! −θ )
มุม θ
tanθ , cotθ เป็ น +
มุม (180! + θ ) x

Q3 cosθ ,secθ เป็ น +

มุม (360! −θ )

Q4

หาค่า cos x = 1 อยใู่ นจตุภาค 1 ดงั น[ี
2

จาก cos x = 1 ฎมือซา้ ย cosθ = ขวา
2
2

cos = 60! = 1 cos 60! = 1 = 1
2 2 2

จะได้ x = 60!

หาค่า cos x = 1 อยใู่ นจตุภาค 4 ดงั น[ี
2

จาก cos x = 1 มุมในจตุภาคที1 4 คือ (360! −θ )
2

cos 300! = 1 (360! − 60! = 300! )
2

จะได้ x = 300!

ดงั น[นั x = 60! และ 300! ตอบ

จากที'นกั เรียนไดศ้ ึกษาเก'ียวกบั ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ซ'ึงนกั เรียนสามารถนาํ ความรู้ที'เรียนมาใช้
ประยกุ ตใ์ นชีวติ ประจาํ วนั ได้ เช่น นกั เรียนตอ้ งเขา้ แถวหนา้ เสาธงของโรงเรียนทุกวนั ถา้ นกั เรียนอยาก
ทราบวา่ เสาธงโรงเรียนสูงเท่าไร นกั เรียนสามารถนาํ ความรู้เรื'องตรีโกณมิติมาใชห้ าความสูงได้ ดงั นOี

จากเสาธงใหน้ กั เรียนเดินออกห่างจากฐานของเสาธง 4 ม. แลว้ มองไปที'ยอดเสาธงเป็น

มุม 60 องศา (ดงั ภาพขา้ งบน)

เราจะทราบความยาวดา้ น (AB) = 4 เมตร และความยาวดา้ น (AC) คือความสูงของเสาธง

และ มุม θ = 60! tan 60! = ตรง = AC
จะได้ ชิด AB

แทนค่า 3 = AC
4

4 3 = AC

6.928 = AC

∴ เสาธงสูง 6.928 เมตร

สรุป การนําตรีโกณมิตมิ าแก้ปัญหาโจทย์ นักเรียนจะต้องมคี วามรู้ คอื

1) อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ ทDัง 6 ฟังก์ชันได้ คอื

1. sinθ = ตรง = c 4. cosceθ = ฉตารกง = a
ฉาก a c

2. cosθ = ชิด = b 5. secθ = ฉาก = a
ฉาก a ชิด b

3. tanθ = ตรง = c 6. cotθ = ตชริดง = b
ชิด b c

2) สูตรปิ ทาโกรัสหาค่าด้านทีสK าม

c2 = a2 +b2

3) กฎมือซ้ายหาค่ามุม 0!, 30!, 45!, 60!, 90!

4. วงกลมหนKึงหน่วยหาค่ามุมทีเK กนิ 360!

Q2 y Q1

sinθ , cosecθ เป็ น + ทุกฟังกช์ นั เป็น +

มุม (180! − θ ) มุม θ

x

tanθ , cotθ เป็ น + cosθ , secθ เป็ น +
มุม (180! + θ ) มุม (360! −θ )

Q3 Q4

ตวั อยา่ งท'ี 4.1 จอ๊ บยนื ห่างจากเสาโทรศพั ท์ 6 เมตร สงั เกตเห็นเสาทาํ มุม 60 องศา ถา้ จอ๊ บ
มีความสูง 1.50 เมตร เสาโทรศพั ทส์ ูงเท่าไร

วธิ ีคิด จากรูป

จะไดว้ า่ tanθ =
แทนค่า
tan 60! = h ( tan 60! = 3 = 3 )
6
1
3 = h
6 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

1.732 × 6 = h

10.392 = h

ความสูงเสาโทรศพั ท์ = h + ความสูงของจอ๊ บ

= 10.392 +1.5 ตอบ

= 11.892 เมตร

ตวั อยา่ งท'ี 4.2 นอ้ งฟ้ า อยบู่ นประภาคารสูง 90 ฟุต มองเห็นเรือ 2 ลาํ อยใู่ นแนวเดียวกนั เป็ นมุม
กบั 30! และ 45! ตามลาํ ดบั อยากทราบวา่ เรือทOงั 2 ลาํ อยหู่ ่างกนั เท่าไร

วธิ ีคิด ……………………………………………………………… … ระดบั สายตา

90 ฟุต ทะเล
ประภาคาร

จากรูป เรือจะอยหู่ ่างกนั เท่ากบั X2- X1

หาค่า X1 คือ เรือลาํ ท'ี 1 อยหู่ ่างจากประภาคารสูง 90 ฟุต และทราบมุม θ = 30!

จะได้ tan 30! = X1 ( tanθ = ตรง )
90 ชิด

1 = X1
3 90

90 = X1 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
1.732

51.96 = X1

หาค่า X 2 คือ เรือลาํ ที' 2 อยหู่ ่างจากประภาคารสูง 90 ฟุต และทราบมุม θ = 45!

จะได้ tan 45! = X2 ( tanθ = ตรง )
90 ชิด

1= X2
90

1×90 = X 2 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)

90 = X 2

∴ เรือทOงั สองลาํ อยหู่ ่างกนั เท่ากบั X2 – X1 = 90 − 51.96 = 38.04 ฟุต ตอบ

กาํ หนดให้ ABC เป็ นสามเหล'ียมใด ๆ มี a เป็ นความยาวตรงขา้ มมุม A"
b เป็ นความยาวตรงขา้ มมุม B"
c เป็ นความยาวตรงขา้ มมุม C"

จะไดว้ า่ a A = b = c
sin sin B sin C

ตวั อยา่ งที' 4.4 ให้ ABC เป็ นรูป ใด ๆ กาํ หนดให้ a,b,c เป็ นความยาวดา้ นตรงขา้ มมุม A, B
และ C ตามลาํ ดบั ถา้ a = 10, A" = 30!, B" = 120! จงหาความยาวดา้ น b

วธิ ีคิด

จากรูป เราจะใช้ a A = b B
แทนค่า sin sin

10 b
sin 30! = sin120!

10 = b
1 3

22

20 = b ⋅ 2
3

3 ⋅ 20 = b
2

17.32 = b ตอบ

ตวั อยา่ งท'ี 4.5 ให้ ABC เป็ นรูป ใด ๆ ถา้ b = 6 และ c = 2 3 และมุม B = 30!
จงหามุม C

วธิ ีคิด

จากรูป b = c
sin B sin C

แทนค่า 6 = 2 3
sin 30! sin C

6 = 23
1 sin C

2

2 6 = 23
sin C

sin C = 2 3
26

sin C = 3
3⋅ 2

sin C = 1
2

sin 45! = 1 ( 2 = 2 . 2= 2 = 1)
2 2 2 2 22
2

∴ C" = 45! ตอบ

จะไดว้ า่ กาํ หนดให้ เป็นสามเหล'ียมใด ๆ มี
a เป็นความยาวตรงขา้ มมุม
b เป็นความยาวตรงขา้ มมุม
c เป็นความยาวตรงขา้ มมุม

a2 = b2 + c2 − 2bc COS A
b2 = a2 + c2 − 2ac COS B
c2 = a2 + b2 − 2ac COS C

ตวั อยา่ งท'ี 4.6 ให้ ABC เป็ นสามเหลี'ยมใด ๆ ถา้ มุม B = 120! ความยาว a = 2 c = 4
จงหาความยาวดา้ น b

วธิ ีคิด จากรูป b2 = a2 + c2 − 2ac COS B

แทนค่า b2 = (22 ) + (42 ) − 2(2)(4) COS 120!

b2 = 4 + 16 − 16 COS 120!

b2 = 20 − 16  − 1 
 2 

b2 = 20 + 8

b2 = 28

b = ± 28 (ใชค้ ่าบวก)
b=2 7

ตอบ

ตวั อยา่ งที' 4.7 ชายคนหน'ึงนาํ บนั ไดยาว 60 ฟุต พาดกบั กาํ แพง โดยปลายบนของบนั ไดชิดกาํ แพง
พอดี เขาสังเกตเห็นบนั ไดทาํ มุม 60! กบั พOืนราบ จงหาความสูงของกาํ แพงและระยะห่างระหวา่ ง
ปลายล่างของบนั ไดถึงกาํ แพง

วธิ ีคิด

! หาความสูงของกาํ แพง (h)

จากโจทยเ์ ราทราบ มุม θ = 60! และดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก = 60 ฟุต และตอ้ งการหาความสูง
กาํ แพง (h) ไดจ้ าก

sinθ = ตรง
ฉาก

แทนค่า sin 60! = h
60

3h
2 = 60!

60 ⋅ 3 = h
2

30 ×1.732 = h ( 3 = 1.732 )

51.96 = h

! หาระยะทางระหว่างปลายล่างของบนั ไดถงึ กาํ แพง

จากรูป x2 = (60)2 + (51.96)2 − (60)(51.96) cos 60!

x2 = 3600 + 2699.84 − 3117.60 cos 60!
x2 = 6299.84 − 3117.60(0.5)

x2 = 6299.84 − 1558.80 ตอบ
x2 = 4741.04
x = ± 4741.04

x = 68.85 ฟุต

เมทริกซ์ (Matrix) หมายถึง กลุ่มของจาํ นวนเลขทBีเขียนอยใู่ นรูปของแถว (Row) และ คอลมั น์
(Column) ภายใตเ้ ครBืองหมาย [ ] หรือ ( ) และมีตวั เลขกาํ กบั เพือB ใชบ้ อกขนาดของเมทริกซ์วา่ มีกีBแถว
กีBคอลมั น์ (m x n) เรียกวา่ “ขนาด” หรือ “มิติ” ดงั น\ี

เช่น  5 0 เป็นเมทริกซ์ขนาด 2 แถว 2 คอลมั น์
−2 32×2

5

0 เป็ นเมทริกซ์ขนาด 3 แถว 1 คอลมั น์

13×1

1 2 3 −1
4  เป็นเมทริกซ์ขนาด 3 แถว 4 คอลมั น์
5 6 0 

7 2 0 1 3×4

 a11 a12 a13  เป็นเมทริกซ์ขนาด 3 แถว 3 คอลมั น์
 aa3211 aa3222 aa3233 
 
 3×3

( )1 0 เป็นเมทริกซ์ขนาด 2 แถว 2 คอลมั น์
เป็นเมทริกซ์ขนาด 1 แถว 1 คอลมั น์
0 1 2×2
( 2 )1×1

กาํ หนดให้ A เป็นเมทริกซ์ขนาด m x n (คือ มี m แถว และ n คอลมั น์)

a11 a12 ⋯ a1n  แถวที' 1
a21  แถวท'ี 2
เขียนไดเ้ ป็น A = ⋮ a22 ⋯ a2n 
⋮ ….
⋮
am1  แถวที' m
am2 ⋯ amn 

คอลมั น์ 1 คอลมั น์ 2 คอลมั น์ n

จากเมทริกซ์ A เราจะทราบวา่

- A เป็ นชBือของเมทริกซ์ ซBึงเราจะใชต้ วั อกั ษรพิมพใ์ หญ่แทน เช่น B,C, D เป็ นตนั
- a11,a12,...amn เป็ นสมาชิกของเมทริกซ์ A โดย สมาชิกแต่ละตวั จะมีเลขกาํ กบั ไว้

เพBือบอกใหท้ ราบวา่ เป็ นสมาชิกอยทู่ Bีแถว (Row) หรือ คอลมั น์ (colamn) ใด ของ
เมทริกซ์ A ดงั น\ี

a11 บอกวา่ สมาชิกตวั น\ีอยทู่ ีB แถวทีB 1 คอลมั น์ทBี 1
a12 บอกวา่ สมาชิกตวั น\ีอยทู่ Bี แถวทีB 1 คอลมั น์ทีB 2
a34 บอกวา่ สมาชิกตวั น\ีอยทู่ Bี แถวทBี 3 คอลมั นท์ Bี 4
amn บอกวา่ สมาชิกตวั น\ีอยทู่ ีB แถวทBี m คอลมั น์ทีB n

- m x n เป็นมิติของเมทริกซ์ A บอกใหท้ ราบวา่ เมทริกซ์ A มีจาํ นวนแถวท\งั หมด
m แถว และมีจาํ นวนคอลมั น์ท\งั หมด n คอลมั น์

เราสามารถเขียนเมทริกซ์ A ขนาด m x n เป็นแบบยอ่ ได้ ดงั น\ี

A = aij 

mxn

โดยทBี i แทน แถว (Row) i = 1, 2,..., m
j แทน
m x n แทน คอลมั น์ (Column) j = 1, 2,..., n

เป็นมิติของเมทริกซ์ A

ตวั อยา่ งทีB 5.1 กาํ หนดให้ A = 1 0 2 จากเมทริกซ์ A นกั เรียนทราบอะไร
วธิ ีคิด 3 −1 5

1. เป็นเมทริกซ์ขนาด 2×3 คือมี 2 แถว 3 คอลมั น์

2. สมาชิกแถวทีB 1 คอลมั น์ทีB 1 a11 คือ 1
สมาชิกแถวทีB 1 คอลมั นท์ Bี 2 a12 คือ 0
สมาชิกแถวทีB 1 คอลมั นท์ Bี 3 a13 คือ 2
สมาชิกแถวทีB 2 คอลมั นท์ Bี 1 a21 คือ 3
สมาชิกแถวทBี 2 คอลมั นท์ Bี 2 a22 คือ -1
สมาชิกแถวทีB 2 คอลมั น์ทีB 3 a23 คือ 5

3. จาํ นวนสมาชิกเมทริกซ์ A มี 6 ตวั ซBึงหาไดจ้ าก

จาํ นวนสมาชิก = จาํ นวนแถว × จาํ นวนคอลมั น์

แทนค่า = 2×3
=6
ตอบ

ตัวอย่างที- 5.2 โรงงานแห่งหนBึงผลิตเส\ือ กางเกง รองเทา้ ดงั ตารางต่อไปน\ี

เดือน ม.ค. ก.พ. มี.ค.

เส\ือ 160 180 170

กางเกง 140 120 200

รองเทา้ 150 130 90

จากขอ้ มูลของโรงงานแห่งน\ี ใหน้ าํ เขียนอยใู่ นรูปของเมทริกซ์ไดอ้ ยา่ งไร

วธิ ีคิด จากทีBเราไดเ้ รียนมาจะเห็นวา่ เมทริกซ์จะอยใู่ นรูปของตารางคือ มีแถวกบั คอลมั น์
ดงั น\นั เราสามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ ดงั น\ี

160 180 170
A = 140 120 200

150 130 90 3×3

ตอบ

3.1 เมทริกซ์แถว (Row Matrix) เป็นเมทริกซ์ทBีมี 1 แถวเท่าน\นั (จะมีกBีคอลมั นก์ ็ได)้
หรือ มีมิติเป็ น 1× n

เช่น A = [1 0 5 ]7
1×4

B = [1 ]−1 1×2

C = [1]1×1

3.2 เมทริกซ์คอลมั น์ (Column Matrix) เป็นเมทริกซ์ทBีมี 1 คอลมั น์เท่าน\นั (จะมีกBีแถวก็ได)้
หรือ มีมิติเป็ น m ×1

1

เช่น A = 2

33×1

0
−1
B = 2

 4 
  4×1

C = [5]1×1

ขอ้ สังเกต เมทริกซ์ [ ]a11 1×1 เช่น [1] หรือ [5] เป็ นท\งั เมทริกซ์แถว และเมทริกซ์คอลมั น์

3.3 เมทริกซ์ศนู ย์ (Zero Matrix) เป็นเมทริกซ์ทีBมีสมาชิกทุกตวั เป็นศูนยเ์ ขียนแทนดว้ ย
O (เมทริกซ์ศนู ย์ )

เช่น A = [O]

B = [O O O]

C = O O
O O

3.4 เมทริกซ์จตั ุรัส (Square Matrix) เป็นเมทริกซ์ทBีมีจาํ นวนแถวเท่ากบั จาํ นวนคอลมั น์
หรือมีมิติเท่ากนั คือ n × n

เช่น A = [ ]−3 1×1

B = 2 0
1 3 2×2

1 0 −1
C = 3 −2 
4 

0 1 0 3×3

3.5 เมทริกซ์เฉียง (Diagonal Matrix) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสและสมาชิกเหนือและใตข้ อง

เส้นทแยงมุมหลกั เป็นศูนยท์ \งั หมด ส่วนแนวเส้นทแยงเป็ นอะไรก็ได้

เช่น A = 3 0
0 −1 2×2

1 0 0 
B = 0 3 
0 

0 0 −13×3

3.6 เมทริกซ์สเกลาร์ (Scalar Matrix) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ทีBมีสมาชิกในแนวเส้น
ทแยงมุมหลกั เท่ากนั หมด ส่วนสมาชิกอBืน ๆ เป็นศูนยท์ \งั หมด

เช่น A = 2 0
0 2  2×2

1 0 0
B = 0 0 0

0 0 13×3

3.7 เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ (Identity Matrix) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ทีBมีสมาชิกแนว
เส้นทแยงมุมหลกั เท่ากบั 1 ส่วนสมาชิกอืBน ๆ เป็นศูนยท์ \งั หมด

เช่น A = 1 0
0 1  2×2

1 0 0
B = 0 1 0

0 0 1 3×3

ท\งั เมทริกซ์เฉียง เมทริกซ์สเกลาร์ เมทริกซ์เอกลกั ษณ์ จะมีสมาชิกอืBนๆ เป็น 0 ท\งั หมด
แต่ในแนวเส้นทแยงมุมหลกั จะแตกต่างกนั คือ

เมทริกซ์เฉียง แนวเส้นทแยงหลกั มคี ่าเท่าไรกไ็ ด้
เมทริกซ์สเกลาร์ แนวเส้นทแยงหลกั มีค่าเท่ากนั
เมทริกซ์เฉียง แนวเส้นทแยงหลกั มคี ่าเป็ น 1 เสมอ

3.8 เมทริกซ์สามเหลีBยมบน (Upper Triangular Matrix) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส และ
สมาชิกใตเ้ ส้นทแยงมุมหลกั เป็น 0 ท\งั หมด

1 3 0 

เช่น A = 0 2 −1

0 0 1 3×3

B = 1 3
0 1 2×2

3.9 เมทริกซ์สามเหลีBยมล่าง (Lower Triangulor Matrix) เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัส และ
สมาชิกเหนือเส้นทแยงมุมหลกั เป็น 0 ท\งั หมด

1 0 0

เช่น A = 2 −3 0

1 1 03×3

B = 1 0
5 1  2×2

ดูรูปสามเหลBียม ถา้ เป็นเมทริกซ์สามเหลBียมบน จะอยลู่ ่าง
แต่เป็นเมทริกซ์สามเหลBียมล่าง จะอยบู่ น
(ตรงข้ามกบั ชื;อเมทริกซ์นะครับ)

2 0 0

ตวั อยา่ งทีB 5.3 ให้ A = 0 2 0 เป็ นเมทริกซ์ชนิดใดไดบ้ า้ ง

0 0 2

วธิ ีคิด 1) เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส เพราะมีมิติเป็ น 3×3 (Row = column)

2) เป็นเมทริกซ์สเกลาร์ เพราะสมาชิกแนวเส้นทแยงหลกั เท่ากนั ท\งั หมด (คือ2)

เพราะสมาชิกอBืนเป็ น 0 หมด

3) เป็นท\งั เมทริกซ์สามเหลBียมบน และเมทริกซ์สามเหลีBยมล่าง ตอบ

1. ขนาดหรือมติ ิเท่ากนั

เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์จะเท่ากนั ตอ้ งมี

2. สมาชิกทอี; ยู่ตําแหน่งเดยี วกนั เท่ากนั

เช่น A = [2 ]9
1×2

B =  4 32  หรือ 4 = 2 32 = 3 × 3 = 91×2
 2 1×2  2

1. มีมิติเท่ากนั คือ 1× 2

จะได้ A = B เพราะ

2. สมาชิกตาํ แหน่งเดียวกนั เท่ากนั คือ

a11 = 2 = 4
2

a12 = 9 = 32 = 3 × 3 = 9

เช่น A = 2 3
1 0  2×2

A≠ B เพราะมีมิตไิ ม่เท่ากนั

B = 0
1 
1×2

คุณสมบัติทค;ี วรจําของเมทริกทเ;ี ท่ากนั

กาํ หนดให้ A, B และ C เป็ นเมทริกซ์ ใดๆ

1) กฎไตรวภิ าค (Trichotomy law) คือ A = B หรือ A ≠ B อยา่ งไรอยา่ งหนBึงเท่าน\นั
2) การสะทอ้ น (Reflexive property) คือ A = A
3) การสมมาตร (Symmetric property) คือ ถา้ A = B แลว้ B = A
4) การถ่ายทอด (Transitive property) คือ ถา้ A = B แลว้ B = C จะไดว้ า่ A = C ดวั ย

! คุณสมบตั ิเหล่าน\ีนกั เรียนสามารถนาํ ไปใชแ้ กป้ ัญหาโจทยไ์ ด้ ดงั น\นั นกั เรียนควรเรียนรู้และ
จาํ ใหไ้ ดน้ ะครับ

ตวั อยา่ งทีB 4 กาํ หนดให้ A =  x + 2 3
 4 1 − y

B = 4 − x 3
 4 5


จงหาค่า x + 2 y เมืBอ A = B

วธิ ีคิด จากโจทยก์ าํ หนดให้ A = B ดงั น\นั เราทราบวา่ 1. มีมิติเท่ากนั 2 × 2
2. สมาชิกทBีอยใู่ นตาํ แหน่ง
นนัB คือ x + 2 1 3 y  = 4 − x 3
 4 −   4 52×2 เดียวกนั เท่ากนั
2×2
(วธิ ียา้ ยขา้ ง)
จะได้ x + 2 = 4 − x
(วธิ ียา้ ยขา้ ง)
x+ x = 4−2

2x = 2

x = 2
2

x =1

และ 1 − y = 5

1−5 = y

−4 = y

∴ เราทราบค่า x = 1 และ y = −4 ตอบ
หาค่า x + 2 y
แทนค่า = 1 + 2(−4)

=1−8
= −7

นิยาม การบวกเมทริกซ์ ให้ A = aij  และ B = bij  เป็ นเมทริกซ์ขนาด m × n เท่ากนั

จะได้ A + B = aij + bij m×n

1. มีมิติเท่ากนั

สรุป A + B ไดก้ ็ต่อเมืBอ 2. จบั สมาชิกในตาํ แหน่ง เดียวกนั บวกกนั ได้เลย

3. ผลลพั ธ์มีมิติเหมือนเดิม

เช่น กาํ หนดให้ A = 1 −4 และ B = 1 2 จงหา A + B
0  −1 
3  2×2 4  2×2

1. เมทริกซ์ A และมีมิติเท่ากนั คือ 2 × 2

วธิ ีคิด A + B ไดเ้ มBือ 2. นาํ สมาชิกตาํ แหน่งเดียวกนั บวกกนั

3. ไดม้ ิติเดิม คือ 2 × 2

จะได้ 1 −4 + 1 2 = 2 −2
0  −1 4 −1 
3  7  2×2