ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ตวั อยา่ งทBี 5 กาํ หนดให้ A = 1 1 B =  −1 2 และ C 5 3
วธิ ีคิด 0 3 −2 1 0 −1

จงหาค่า (A + B) + C

หาค่า A + B = 1 1 +  −1 2 = 0 3
0 3 2×2 −2 −1 2×2 −2 
4  2×2

หา ( A + B) + C = 0  + 5 3 = 5 6
−2 4  2×2 0 −1 2×2 −2 
 2×2

ตวั อยา่ งทBี 6 กาํ หนดให้ A = 1 2 3 จงหา A + A ตอบ
วธิ ีคิด 0 1 2 ตอบ

หา A + A = 1 2 3 = 1 2 3
0 1 2  2×3 0 1 22×3

= 1 + 1 2+2 3+3
0 + 0 1+1 2 + 22×3

= −2 4 6
0 2 4  2×3

นิยาม การลบเมทริกซ์ กาํ หนดให้ A = aij  และ B = bij  เป็ นเมทริกซ์ ขนาด m × n เท่ากนั

จะได้ A − B = A + (−B) เพราะวา่ (−B = (−1)B)

เช่น กาํ หนดให้ A= 1 2 B = 2 4 จงหา A−B
3 4 1 3

วธิ คิด A − B = 1 2 − 2 4
3 4 1 
2×2 3  2×2

= 1 − 2 2 − 4 = −1 −2 ตอบ
3 − 1 4 − 32×2  2 1 2×2

สรุป การลบเมทริกซ์ไดจ้ ะตอ้ ง 1. มีมิติเท่ากนั
2. จบั สมาชิกตาํ แหน่งเดียวกนั มาลบกนั ได้เลย
3. ผลลพั ธ์มีมิติเหมือนเดิม

ข้อควรจํา คุณสมบตั ิการบวกของเมทริกซ์

กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A, B,C และ O (เมทริกซ์ศนูย)์ มีขนาดเท่ากนั จะได้

1) A + B = B + A (การสลบั ทBี)

2) A + (B + C) = ( A + B) + C (การมีจดั หม่)ู

3) A + O = O + A = A (การมีเอกลกั ษณ์)

4) A + C = B + C ก็ต่อเมBือ A = B (การตดั ออก)

5) A + (−A) = O = (−A) + A (การมีวนิ เจอร์ส์)

นิยาม กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A = aij  มีขนาดเป็ น m × n และ k ∉ R

จะได้ kA = k aij  = [ka]m×n

สรุป การคูณดว้ ยสเกลาร์ ใหน้ าํ สเกลาร์ไปคูณสมาชิกในเมทริกซ์ทุก ๆ ค่า

เช่น กาํ หนดให้ A = 1 2 จงหาค่า 3A และ −2A
−3 0

วธิ ีคิด 3A = 3 1 2 = 3 6
−3 0  2×2 −9 0  2×2

−2 A = −2 1 2 = −2 −4
−3 0  6 
0  2×2

ระวงั เคร;ืองหมาย บวก ×บวก ได้ค่าบวก (เครBืองหมายเหมอื นกนั คูณกันได้บวก)

ลบ × ลบ

บวก ×ลบ ได้ค่าลบ (เครืBองหมายต่างกนั คูณกนั ได้ลบ)
ลบ × บวก

ควรจาํ เครืBองหมายเหมือนกนั คูณกนั ไดบ้ วก แต่ถา้ ต่างกนั คูณกนั ไดล้ บ

ตวั อยา่ งทีB 5.7 กาํ หนดให้ A = 1 1 B =  −1 2 และ C = 5 3
จงหาค่าของ 0 3 −2 1 0 −1

วธิ ีคิด หาค่าของ 4 A + (2B − 3C)
หาค่าของ
หาค่าของ 4 A = 4 1 1 = 4 4
หาค่าของ 0 3 2×2 0 12  2×2
หาค่าของ
2B = 2  −1 2 = −2 4
−2  −4 22×2
1  2×2

3C = 3 −5 3 = 15 9
 −1 2×2  −3 2×2
 0  0

(2B 3C ) −2 4 15 9
− −4 2  2×2 =  −32×2
 0

4 A + (2B − 3C ) 4 4 = 17 −5 ตอบ
0 12  2×2 −4 
5  2×2

หมายเหตุ โจทยน์ \ีมีนกั เรียนจะตอ้ งรู้เรBือง การบวก การลบ และ การคูณ ดว้ ยจาํ นวนของเมทริกซ์

กาํ หนดให้ A = aij m×n และ k ∈ R ( R แทน จาํ นวนจริง)
จะไดว้ า่ kA = k aij m×n = kaij m×n

ใหน้ าํ ค่า k คูณสมาชิกทุกตวั ในเมทริกซ์

! คุณสมบตั กิ ารคูณเมทริกซ์ดวั ยจาํ นวนจริง

กาํ หนดให้ A B เป็ นเมทริกซ์ ขนาด mxn และ k,l ∈ R จะได้
1) kA จะมีมิติเป็ น m x n
2) (kl) A = k (lA) = l(kA)
3) k( A + B) = kA + kB
4) (k + l) A = kA + lA
5) 1⋅ A = A
6) (−1) A = − A

ตวั อยา่ งทRี 6.1 กาํ หนดให้ A = 1 8 จงหาค่า 1 A
2 4 4

วธิ ีคิด 1A = 1 1 8
4 4 2 4  2×2

= 12××1414 8 × 1 
4 × 
4 
1  2×2
4 

1 2
 
=  4 ตอบ
 1 12×2 ตอบ

 2

ตวั อยา่ งทRี 6.2 กาํ หนดให้ A = −1 3 จงหาค่า (−2)A
 2 4

วธิ ีคิด (−2) A = (−2) −1 3
 
 2 4  2×2

= (−1) × (−2) 3× (−2)
 2(−2) 4 × (−2)2×2

= 2 −6
−4 −8 2×2

ตวั อยา่ งทRี 6.3 กาํ หนดให้ A = −1 2 จงหาค่า (2 × 4)A
 4
 3

วธิ ีคิด (2 × 4) A = 8 A = 8 −1 2
 
 3 4  2×2

= 8×1 8× 2
8 × 3 8 × 42×2

= 8 16 
24 32  2×2

หรือ (2 × 4) A = 2( 4 A) = 2 4 1 2  (จากคุณสมบตั ิ 2)
 3 4  ตอบ
2×2 

= 2  4 ×1 4 × 2 
4 × 3 4 
4 × 2×2 

= 2 4 6
12 16  2×2

=  4×2 8×2 
12 × 2 16 × 22×2

= 8 16 
24 32  2×2

ตวั อยา่ งทRี 6.4 กาํ หนดให้ A = 1 −2 0 3 จงหาค่า − 1 A
0 −1 1 0  2×4 2

วธิ ีคิด (− 1 ) A = − 1 1 −2 0 3
2 2 0 −1 1 0  2×4

1. − 1 −2. − 1  0. − 1  3. − 1 
0. − 2  2  2  2  
=
1  −1. 1  1. 1   1 
2 − 2 − 2 0. − 2

2×4

− 1 1 0 − 3
 2 − 
= 1 2 
2
..0 1 02×4
2

ตอบ

นิยาม กาํ หนดให้ A = aij m×n และ B = bij n×p แลว้

A ⋅ B = aij m×n ⋅ bij n× p = cij m× p

โดยทีR cij = aij ⋅ bij + ai2b2 j + ... + ain ⋅ bnj

แผนภาพอธบิ ายนิยาม

a11 a12 ⋯ a1n  bb1211 b12 b1p  cc1211 c12 c1p 
⋮ b22  c22 
A ⋅ B = a21 a22 ⋯ a2n  ⋅ ⋮ b2 p  = c2 p 
⋮ ⋮ 
⋯⋮  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
am1   
am 2 ⋯ amn  m×n
bn1 bn2 bnp n× p cm1 cm2 cmp m× p

C1p = a11 ⋅ b1p + a12 ⋅ b2 p + ... + a1n ⋅ bnp
C12 = a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22 + ... + a1n ⋅ bn2
C11 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 + ... + a1n ⋅ bn1

จากภาพการคูณเมทริกซ์ดวั ยเมทริกซ์

1) มติ ิของาคอลมั น์ (n) ของเมทริกซ์ เท่ากบั มิตขิ องแถว (n) ของเมทริกซ์หลัง
2) คําตอบของเมทริกซ์ จะมมี ติ ิเป็ น m × p (ส่วนมติ ิทเีM หลอื จากข้อ 1)
3) สมาชิกแต่ละค่าหาได้จากผลบวกของแถวเมทริกซ์แรกคูณกบั คอลมั น์เมทริกซ์สอง

(ทาํ จนครบจํานวนสมาชิกของคําตอบ)

ตวั อยา่ งทีR 6.5 กาํ หนดให้ A = [2 ]4 และ B = 1 2 จงหา A ⋅ B
1×2 4 2  2×2

วธิ ีคิด 1 2
4 22×2
[ ] [ ]=A⋅ B = 2
4 ⋅ c11 c12 1×2
1×2

c12 = (2 × 2) + (4 × 2) = 4 + 8 = 12

จะได้ A ⋅ B = [18 ]12 c11 = (2 ×1) + (4 × 4) = 2 + 16 = 18
1×2
ตอบ

ตวั อยา่ งทRี 6.6 กาํ หนดให้ A = 3 2 B = 1 4 5 จงหา AB และ BA
6 4 2 3 2

วธิ ีคิด 1) หาค่า A⋅ B = 3 2 ⋅ 1 4 =5 c11 c12 c13 
6 4  2×2 2 3 c21 c22 
2  2×3 c23  2×3

c23 = (6 × 5) + (4 × 2) = 30 + 8 = 38
c22 = (6 × 4) + (4 × 3) = 24 + 12 = 36
c21 = (6 ×1) + (4 × 2) = 6 + 8 = 14

c11 = (3×1) + (2 × 2) = 3 + 4 = 7
c12 = (3× 4) + (2 × 3) = 12 + 6 = 18
c13 = (3× 5) + (2 × 2) = 15 + 4 = 19

A ⋅ B = 7 18 19 
14 36 38 2×3

2) หาค่า B ⋅ A = 1 4 5 ⋅ 3 2
2 3 2  2×3 6 42×2

∴ หาค่าไม่ไดเ้ พราะมิติของคอลมั น์ ไม่เท่ากนั มิติของแถวนaนั 3 ≠ 2

ตอบ

คุณสมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

กาํ หนดให้ A = aij m×n และ B = bij n×p จะไดว้ า่
1) มีสมบตั ิปิ ดการคูณ

2) AB ≠ BA (ไม่การสลบั ทRี)

3) ( AB)C = A(BC) (มีการจดั หม่)ู

4) AI = IA = A (มีเอกลกั ษณ์)

5) AO = OA = O (มีอินเวอรส)

6) A(B + C) = AB + AC (มีการแจกแจง)

ตวั อยา่ งทRี 6.7 กาํ หนดให้ A = 3 2 I = 1 0 จงหา AI และ IA
−1  0 
0  2×2 1  2×2

วธิ ีคิด หาค่า AI = 3 2 ⋅ 1 0 = 3 2 = A
−1 0  2×2 0 12×2 −1 1  2×2

หาค่า IA = 1 0 ⋅ 3 2 =  c11 c12 
0  −1  c21 
1  2×2 0  2×2 c22  2×2

c22 = (0 × 2) + (1× 0) = 0

c21 = (0 × 3) + (1× −1) = −1

c11 = (1× 3) + (0 × −1) = 3

c12 = (1× 2) + (0 × 0) = 2

= 3 2 =A ตอบ
−1 0

ตวั อยา่ งทRี 6.8 กาํ หนดให้ 1 3
จงหาค่า A = 2 −1
4 
0

B = 1 0 −1 0
2 1 3 4

A⋅B

1 3  c11 c12 c13 c14 
A ⋅ B = 2 −1 ⋅  
วธิ ีคิด 1 0 −1 0 =  □ □ □ □ 
0 4 3×2 2 1 3 4  2×4
□ □ □ □
 
 □ □ □ □ 3×4

c14 = (1× 0) + (3 × 4) = 0 + 12 = 12

c13 = (1× −1) + (3 × 3) = −1 + 9 = 8

c12 = (1× 0) + (3 ×1) = 0 + 3 = 3

c11 = (1×1) + (3 × 2) = 1 + 6 = 7

…… ค่าอืRนๆ หาเหมือนกนั …….
……………………………………

7 3 8 12  ตอบ
= 0 −1 −5 −4

8 4 12 16 3×4

ดเี ทอร์มแิ นนต์ (Determinant)

1) ความหมาย

ดีเทอร์มิแนนต์ หมายถึง ผลการบวกของผลคูณระหวา่ งสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุม
กาํ หนดเมทริกซ์ A เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัส ดีเทอร์มิแนนตข์ อง A เขียนแทนดว้ ย det A

2) การหาค่าดเี ทอร์มแิ นนต์

กาํ หนดใหเ้ มทรืกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัสขนาด 2 × 2 การหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ ไดด้ งั นLี

ให้ A =  a11 a12 
a21 
a22  2×2

−(a21 ⋅ a12 ) =

หาค่า det A =  a11 a12  + ผลลพั ธ์
a21 
a22 

+(a11 ⋅ a22 ) =

เช่น กาํ หนดให้ A = 3 2 จงหาค่า det A
1 5

−(1× 2) = −2

แนวคิด det A A= 3 2 + 13
1 5

∴ det A = +(3 × 5) = 15

13 ตอบ

เช่น กาํ หนดให้ A =  −1 3 จงหาค่า det A
−5 7

−(−5 × 3) = 15

แนวคิด det A −1 3 + 8
−5 7

+(−1× 7) = −7

∴ det A = 8 ตอบ

กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด 3×3 การหาดีเทอร์มิแนนต์ ไดด้ งั นLี

a11 a12 a13 
ให้ A = a21 
a22 a23 

a31 a32 a33 3×3

หาค่า =det A a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

1 0 1 จงหา det A

เช่น กาํ หนดให้ A = 3 −1 2 −(2 × −1×1) = +2 −8
−(5 × 2 ×1) = −10
2 5 83×3 −(8 × 3× 0) = 0

1 0 11 0 + −1

แนวคิด det A = 3 -1 2 3 -1

2 5 82 5

+(1× 3× 5) = 15 +7
+(0 × 2 × 2) = 0
+(1× −1× 8) = −8

จะได้ det A = −1 ตอบ

 2 1 3

เช่น กาํ หนดให้ A = −1 0 1 จงหาค่า det A

 2 4 53×3

−0
−8 −3
+5

แนวคิด 2 1 32 1 + −13

det A = -1 0 1 -1 0

2 4 52 4

จะได้ det A = −13 −12
+2 −10
0

ตอบ

3) คุณสมบตั ขิ องดเี ทอร์มิแนนต์

1) ถา้ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n × n แลว้ มีแถว หรือ คอลมั น์ใดมีค่าเป็น 0 ทLงั หมด
แลว้ det A = 0

เช่น กาํ หนดให้ 1 0 2
A = 3 2 4

0 0 03×3

แนวคิด จากโจทย์ เมทริกซ์ A มีแถวทีV 3 มีค่าเป็น 0 ทLงั หมด

สรุปวา่ det A = 0 เราพสิ ูจนไ์ ดด้ งั นLี

0
00
0

1 0 31 0 +0

det A = 3 2 4 3 2

0 0 00 0

0 0
0
0

จะได้ det A = 0

2) ถา้ เมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n × n ซVึงมี 2 แถว หรือ 2 คอลมั นใ์ ด ๆ เท่ากนั
แลว้ det A = 0

2 −2 1

เช่น A = 2 −2 1

3 1 03×3

แนวคิด จากโจทย์ เมทริกซ์ A มี แถวทีV 1 และ แถวทVี 2 มีค่าเท่ากนั จะได้ det A= 0
(ตามคุณสมบตั ิขอ้ 2) เรามาพสิ ูจน์โดยหาค่าของ det A ดงั นLี

+6
−2 +4
−0

2 -2 1 2 -2 + 0
det A = 2 -2 1 ..2 -2

3 1 031

+2
−6 −4
..0

จะได้ det A = 0 ตอบ

3) ถา้ เมทริกซ์ B เกิดจากการสลบั 2 แถวใด ๆ หรือ 2 คอลมั น์ใด ๆ ของเมทริกซ์ A
แลว้ det B = −det A

1 2 3 2 1 1 (สลบั แถว 1 กบั 2)

เช่น 2 1 1 = 1 2 3

3 3 2 3 3 2

-9 -3 -8 = -20

det B = 1 2 31 2 +6
2 1 1 ..2 1
3 3 23 3

2+6 + 18 = 26

-6 -18 -2 = -26

2 1 121 + −6
det A = 1 2 3 ..1 2

3 3 23 3

+8+9+3 = +20

จะได้ det B = − det A ตอบ

4) ทราสโพสของเมทริกซ์ (Transport)

นิยาม กาํ หนดใหเ้ มทริกซ์ A มีขนาด m× n แลว้ ทรานสโพส์ของเมทริกซ์ A จะมี

ขนาดเป็ น n × m เขียนแทนดว้ ย At

สรุป การหาค่าทรานสโพส์ของเมทริกซ์ใด ๆ ใหเ้ ราเปลVียนค่าของแถวไปเป็ นคอลมั น์ ดงั นLี

เปลVียน แถว → คอลมั น์

เช่น ให้ A = 1 3 2 14
4 5 0  2×3 35
20

1 4
At = 3 5
03×2
2

5) ไมเนอร์ (Minor)

นิยาม กาํ หนดให้ A = aij  แลว้ ไมเนอร์ของ aij คือ ดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทริกซ์

n×n

ทVีได้ จากการตดั แถวทVี i และคอลมั นท์ Vี j ของเมทริกซ์ A ออก เขียนแทนดว้ ย Mij

สรุป การหาค่าไมเนอร์

1) ตอ้ งเป็นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n × n
2) หาไมเนอร์ของ Mij ใหต้ ดั แถวทVี i และคอลมั น์ j ออก

เช่น a11 a12 a13 
ให้ A = a21 
a22 a23 

a31 a32 a33 3×3

a11 a12 a13 
หา   ใหต้ ดั แถวทVี 1 คอลมั น์ทVี 1 ออก
M11 =  a21 a22 a23 

a31 a32 a33 3×3

M11 = a22 a23 
a32 a33 2×2

3) หาค่า det M11

ตวั อยา่ งทีV 7.1 กาํ หนดให้ A = 2 4  จงหาค่า M11, M12 , M 21 และ M 22
3 1 
2×2

วิธีคิด 1) หา M11 ใหต้ ดั แถวทีV 1 คอลมั น์ 1 ออก ดงั นLี

M11 = 2 4
3 1

M11 = 1 det (M11 ) = 1

2) หา M12 ใหต้ ดั แถวทีV 1 คอลมั น์ 2 ออก ดงั นLี

M12 = 2 4
3 1

M12 = 3 det (M12 ) = 3

3) หา M21 ใหต้ ดั แถวทีV 2 คอลมั น์ 1 ออก ดงั นLี

M 21 = 2 4
3 1

M 21 = 4 det (M21 ) = 4

4) หา M22 ใหต้ ดั แถวทีV 2 คอลมั น์ 2 ออก ดงั นLี

M 22 = 2 4
3 1

M 22 = 2 det ( M22 ) = 2 ตอบ

1 4 1 

ตวั อยา่ งทีV 7.2 กาํ หนดให้ A = 3 1 −1 จงหาไมเนอร์ของเมทริกซ์ A

2 −2 3 3×3

1 4 1 

วธิ ีคิด หา M11 = 3 1 −1 ตดั แถว 1 คอลมั น์ 1 ออก

2 −2 3 

M11 = 1 −1
−2 3 

-2

det M11 = 1 −1 = 1
−2 3

+3

1 4 1  ตดั แถว 1 คอลมั น์ 2 ออก

หา M12 = 3 1 −1

2 −2 3 

M12 = 3 −1
2 3 

+2

det M12 = 3 −1 = 11
2 3

+9

1 4 1  ตดั แถว 1 คอลมั น์ 3 ออก

หา M13 = 3 1 −1 −8

2 −2 3 

M13 = 3 1
2 −2

-2

det M13 = 3 1 =
2 −2

-6

1 4 1  ตดั แถว 2 คอลมั น์ 1 ออก

หา M21 = 3 1 −1 14

2 −2 3  ตดั แถว 2 คอลมั น์ 2 ออก

M 21 = 4 1 1
−2 3
ตดั แถว 2 คอลมั น์ 3 ออก
+2
−10
det M 21 = 4 1 =
−2 3

+12

1 4 1 

หา M22 = 3 1 −1

2 −2 3 

M 22 = 1 1
2 3

-2

det M 22 = 1 1 =
2 3

+3

1 4 1 

หา M23 = 3 1 −1

2 −2 3 

M 23 = 1 4
2 −2

-8

det M 23 = 1 4 =
2 −2

-2

1 4 1  ตดั แถว 3 คอลมั น์ 1 ออก

หา M31 = 3 1 −1 −5

2 −2 3  ตดั แถว 3 คอลมั น์ 2 ออก

M 31 = 4 1 −4
1 −1

-1

det M 31 = 4 1 =
1 −1

-4

1 4 1 

หา M32 = 3 1 −1

2 −2 3 

M 32 = 1 1
3 −1

-3

det M 32 = 1 1 =
3 −1

-1

1 4 1  ตดั แถว 3 คอลมั น์ 3 ออก

หา M33 = 3 1 −1 −11

2 −2 3  ตอบ

M 33 = 1 4
3 1

-12

det M 33 = 1 4 =
3 1

+1

6. โคแฟกเตอร์ (Cofactor)

นิยาม กาํ หนดให้ A = aij  โคแฟกเตอร์ของผลคูณของ aij คือ ผลคูณของ (−1)i+ j

n×n

และ Mij (A) เขียนแทนดว้ ย Cij ดงั นLี

Cij = (−1)i+ j Mij

สรุป การหาโคแฟกเตอร์

1) เป็ นเมทริกซ์จตั ุรัส ขนาด n × n
2) หาไมเนอร์ของ Mij ตามทีVไดศ้ ึกษามาแลว้ นนVั คือ

2.1 หา Mij ใหต้ ดั แถวทVี i และคอลมั นท์ ีV j ออก
2.2 หา det Mij ก็จะไดไ้ มเนอร์ตามตอ้ งการ
3) หาโคแฟกเตอร์จาก Cij = (−1)i+ j Mij

ตวั อยา่ งทVี 7.3 กาํ หนดให้ A = 1 −2 จงหาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ A
3 
−4  2×2

วธิ ีคิด ขLนั 1 หาค่าไมเนอร์ ก่อนดงั นLี

M 11 = 1 −2 ตดั แถว 1 คอลมั น์ 1 ออก M11 = −4
3 −4 ตดั แถว 1 คอลมั น์ 2 ออก M12 = 3
−2 ตดั แถว 2 คอลมั น์ 1 ออก M 21 = −2
M12 = 1 −4 ตดั แถว 2 คอลมั น์ 1 ออก M 22 = 1
3 −2
−4
M 21 = 1 −2
3 −4

M 22 = 1
3

ขLนั 2 หาค่าโคแฟกเตอร์ จาก Cij = (−1)i+ j Mij

C11 = (−1)1+1 ⋅ M11 = (−1)2 ⋅ (−4) = (1)(−4) = −4
C12 = (−1)1+2 ⋅ M12 = (−1)3 ⋅ (3) = (−1)(3) = −3
C21 = (−1)2+1 ⋅ M 21 = (−1)3 ⋅ (−2) = (−1)(−2) = 2
C22 = (−1)2+2 ⋅ M 22 = (−1)4 ⋅ (1) = (1)(1) = 1

Cof.(A) = −4 −3 ตอบ
 2 1 2×2

ข้อสังเกต นกั เรียนจะเห็นวา่ ค่าของ (−1)i+ j จะมีค่าไดเ้ พียง 2 ค่า คือ
−1 ถา้ i + j เป็ น จาํ นวนเลข คVี
+1 ถา้ i + j เป็ น จาํ นวนเลข คู่

ตวั อยา่ งทVี 7.4 1 3 1  จงหาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์
วธิ ีคิด
กาํ หนดให้ A = 0 −1 −1

1 2 4 3×3

ขLนั 1 หาไมเนอร์ของ Mij ไดด้ งั นLี

+2

1 3 1  −1 −1 = −2
M11 = 0 −1 −1 =2 4

1 2 4 

-4

+1

1 3 1  0 −1 =1
M12 = 0 −1 −1 =1 4

1 2 4 

0

+1

1 3 1  0 −1 =1
M13 = 0 −1 −1 =1 2
0
1 2 4 

-2

1 3 1  31 = 10
M 21 = 0 −1 −1 =2 4

1 2 4 

+12

-1

1 3 1 11 =3
M 22 = 0 −1 −1 =1 4
2 4  +4
1

-3

1 3 1  13 = −1
M 23 = 0 −1 −1 =1 2
+2
1 2 4 

+1

1 3 1  31 =4
M31 = 0 −1 −1 = −1 1
+3
1 2 4 

0

1 3 1  11 = −1
M32 = 0 −1 −1 = 0 −1
-1
1 2 4 

0

1 3 1  13 = −1
M33 = 0 −1 −1 = 0 −1
-1
1 2 4 

ขLนั 2 หาค่าโคแฟกเตอร์ จาก Cij = (−1)i+ j Mij ได้ ดงั นLี

C11 = (−1)1+1 ⋅ M11 = (−1)2 (−2) = (1)(−2) = −2
C12 = (−1)1+2 ⋅ M12 = (−1)3 (1) = (−1)(1) = −1
C13 = (−1)1+3 ⋅ M13 = (−1)4 (1) = (1)(1) = 1
C21 = (−1)2+1 ⋅ M 21 = (−1)3 (10) = (−1)(10) = −10
C22 = (−1)2+2 ⋅ M 22 = (−1)4 (3) = (1)(3) = 3
C23 = (−1)2+3 ⋅ M 23 = (−1)5 (−1) = (−1)(−1) = 1
C31 = (−1)3+1 ⋅ M 31 = (−1)4 (4) = (1)(4) = 4

C32 = (−1)3+2 ⋅ M 32 = (−1)5 (−1) = (−1)(−1) = 1
C33 = (−1)3+3 ⋅ M 33 = (−1)6 (1) = (1)(−1) = −1

ตอบ

ข้อสังเกต การหาค่าโคแฟกเตอร์ เราจะเห็นวา่ ค่าทีVไดเ้ กิดจากค่าของ (−1)i+ j
(ซVึงมีค่าเป็น +1 หรือ −1) มาคูณกบั Mij จะเห็นวา่ เป็นการเปลีVยน
เครVืองหมาย + หรือ − เท่านLนั

1) ความหมาย

นิยาม กาํ หนดให้ A = aij  เป็นจตั ุรัสเทริกซ์ และ A−1 = aij  เป็ น

n×n n×n

จตั ุรัสเมทริกซ์ ถา้ A⋅ A−1 = A−1⋅ A = I แลว้ A−1 เป็ น อินเวอร์สของเมทริกซ์ A

A−1 อ่านวา่ อินเวอร์สของ A”

หมายเหตุ เมทริกซ์จตั ุรัสใด ๆ อาจจะไม่มีอินเวอร์สก็ได้ เพราะ A ⋅ A−1 ≠ A−1 ⋅ A ≠ I

เช่น ให้ A = 1 −2 B = −1 2
1 −1 −1 1

ขHนั 1 หาค่า A ⋅ B

A⋅B = 1 −2 ⋅ −1 2 = C11 C12 
1 −1 2×2 −1  C21 
1  2×2 C22  2×2

C22 = (1)(2) + (−1)(1) = 2 −1 = 1
C21 = (1)(−1) + (−1)(−1) = −1+1 = 0
C12 = (1)(2) + (−2)(1) = 2 − 2 = 0
C11 = (1)(−1) + (−2)(−1) = −1+ 2 = 1

A⋅B = 1 0 = I2
0 
1  2×2

ขHนั 2 หาค่า B ⋅ A

B⋅A = −1 2 ⋅ 1 −2 = C11 C12 
−1  1 −1 2×2 C21 
1  2×2 C22  2×2

C22 = (−1)(−2) + (1)(−1) = 2 −1 = 1
C21 = (−1)(1) + (1)(1) = −1+1 = 0
C12 = (−1)(−2) + (2)(−1) = 2 − 2 = 0
C11 = (−1)(1) + (2)(1) = −1+ 2 = 1

B⋅A = 1 0 = I2
0 1  2×2

จะได้ A ⋅ B = B ⋅ A = I2

นนัL คือ เมทริกซ์ B เป็ นอินเวอร์สของเมทริกซ์ A หรือ A = B−1
เมทริกซ์ A เป็ นอินเวอร์สของเมทริกซ์ B หรือ B = A−1

2×2

กาํ หนดให้ A = a b
c 
d  2×2

A−1 = 1 A ⋅ adjA
det

! ข1นั ตอนการหาอนิ เวอร์ส 2 × 2

1) หา det A

2) หาโคแฟกเตอร์ A (cof ⋅ A)

3) หาแอ็ดจ๊อยของ A (adj A) โดยการทรานสโพส (At) โคแฟกเตอร์ของ A

4) หา A−1 = 1 A .adj.A
det

ตวั อยา่ งทีL 8.1 ให้ A = 2 4 จงหา A−1
1 3  2×2

-4

วธิ ีคิด ขHนั 1 หา det A = 2 4 =2
1 3

+6

ขHนั 2 หา cof ⋅ A

C11 = (−1)1+1 M11 = (−1)2 2 4 = (1)(3) = 3
1 3

C12 = (−1)1+2 M12 = (−1)3 2 4 = (−1)(1) = −1
1 3

C21 = (−1)2+1 M 21 = (−1)3 2 4 = (−1)(4) = −4
1 3

C22 = (−1)2+2 M 22 = (−1)4 2 4 = (1)(2) = 2
1 3

cof .A = 3 −1
−4 
2 

ขHนั 3 adj.A = [cof .A]t = 3 −4
−1 2 

ขHนั 4 หา A−1 = 1 A ⋅ adjA
det

แทนค่า A−1 = 1 3 −4
2 −1 
2 

3 −2 ตอบ
A−1 = −212 

1 

ตวั อยา่ งทLี 8.2 ให้ A = 1 3 จงหา A−1
−4 2  2×2

+12

วธิ ีคิด ขHนั 1 หา det A = 1 3 = 14
−4 2

+2

ขHนั 2 หา cof ⋅ A

C11 = (−1)1+1 M11 = (−1)2 1 3 = (1)(2) = 2
−4 2

C12 = (−1)1+2 M12 = (−1)3 1 3 = (−1)(−4) = 4
−4 2

C21 = (−1)2+1 M 21 = (−1)3 1 3 = (−1)(3) = −3
−4 2

C22 = (−1)2+2 M 22 = (−1)4 1 3 = (1)(1) = 1
−4 2

cof .A = 2 4
−3 1

ขHนั 3 adj.A = [cof .A]t = 2 −3
4 1 

ขHนั 4 หา A−1 = 1 A ⋅ adjA
det

แทนค่า A−1 = 1 2 −3
14 4 1 

1 − 3 
 14 
A−1 =  7 
 2 1 

 7 14 

ตอบ

3×3

1) หา det A

2) หา cof .A

3) หา adj.A = (cof .A)t คือ แอ็ดจ๊อยเมนตข์ องเมทริกซ์ A

4) หา A−1 = 1 A ⋅ adj.A
det

ตวั อยา่ งทีL 8.3 กาํ หนดให้ 1 2 −1
A = 0  จงหา A−1
−3 2 

4 −1 0 3×3

-12 +2 0 = -10

1 2 -1 1 2 =6

วธิ ีคิด ขHนั 1 หา det A = 0 -3 2 ..0 -3

4 -1 0 4 -1

0 +16 0 = +16

ขHนั 2 หา cof .A

+2

1 2 −1 −3 2
C11 = (−1)1+1 M11 = (−1)2 0 −3  −1 0
−1 2  = (1) = (1)(2) =2
4
0 

0

−8

1 2 −1 0 2
C12 = (−1)1+2 M12 = (−1)3 0 −3  4 0
−1 2  = (−1) = (−1)(−8) =8
4
0 

0

+12

1 2 −1 0 −3
C13 = (−1)1+3 M13 = (−1)4 0 −3  4 −1
−1 2  = (1) = (1)(12) = 12
4
0 

0

-1

1 2 −1 2 −1
C21 = (−1)2+1 M 21 = (−1)3 0 −3  −1 0
−1 2  = (−1) = (−1)(−1) =1
4
0 

0

+4

1 2 −1 1 −1
C22 = (−1)2+2 M 22 = (−1)4 0 −3  4 0
−1 2  = (1) = (1)(4) = 4
4
0 

0

-8

1 2 −1 1 2
C23 = (−1)2+3 M 23 = (−1)5 0 −3  4 −1
−1 2  = (−1) = (−1)(−9) = 9
4
0 

-1

-3

1 2 −1 2 −1
C31 = (−1)3+1 M31 = (−1)4 0 −3  −3 2
−1 2  = (1) = (1)(1) =1
4
0 

4

0

1 2 −1 1 −1
C32 = (−1)3+2 M32 = (−1)5 0 −3  0 2
−1 2  = (−1) = (−1)(2) = −2
4
0 

2

0

1 2 −1 1 2
C33 = (−1)3+3 M33 = (−1)6 0 −3  0 −3
−1 2  = (1) = (1)(−3) = −3
4
0 

-3

2 8 12
cof .A = 1 4 
∴ 9 

1 −2 −3

ขHนั 3 หา adj.A = [cofA]t

2 1 1
 4 −2
adj.A =  8

12 9 −3

ขHนั 4 หา A−1 = 1 A ⋅ adjA
det

แทนค่า 1 2 1 1
6  −2
A−1 =  8 4 −3
9
12

1 1 1 
 
 3 6 6 
 4 2 
= − 1  ตอบ
3 3 3
 
2 3 − 1 
 2 2 

ตวั อยา่ งทีL 8.4 ให้ A = 2 1 และ B = 1 −1
1 1 2×2 −1 
2  2×2

จงแสดงวา่ B เป็นอินเวอร์สการคูณของ A

วธิ ีคิด โจทยใ์ หห้ าวา่ B เป็ นอินเวอร์สการคูณของ A นนัL คือ A ⋅ B = I

หา A ⋅ B = 2 1 ⋅ 1 −1 = C11 C12 
1 1 2×2 −1  C21 
2  2×2 C22  2×2

C22 = (1)(−1) + (1)(2) = −1+ 2 = 1
C21 = (1)(1) + (1)(−1) = +1−1 = 0
C12 = (2)(−1) + (1)(2) = −2 + 2 = 0
C11 = (2)(1) + (1)(−1) = +2 −1 = 1

A ⋅ B = 1 0 = I2
0 1  2×2

แสดงวา่ B เป็นอินเวอร์สของการคูณของเมทริกซ์ A ตอบ

นกั เรียนไดเ้ รียนรู้เกี-ยวกบั วธิ ีแกส้ มการเชิงเส้น 2 ตวั แปร มาแลว้ ในคณิตศาสตร์ประยุกต์ 1
(2000 – 1501) โดยวธิ ีแทนค่า หรือ การกาํ จดั ตวั แปร มาแลว้ สาํ หรับในหน่วยเรียนนSีเราจะใชเ้ มทริกซ์
มาช่วยแกร้ ะบบสมการเชิงเส้น โดยใช้

1) อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์
2) กฎของคราเมอร์

เช่น กาํ หนดให้ 3x + 4 y = −7 ---------------- !
2x + y = −3 ----------------- "

เขียนเป็ นเมทริ กซ์ 3 4  x = −7 (ใชก้ ารคูณเมทริกซ์)
เช่น กาํ หนดให้ 2 1  2×2  y 2×1  −3  2×1

x + y − z = 2 ----------------- !
2x − y − 3z = 5 ----------------- "
x + 2 y + z = 5 ----------------- #

1 1 −1  x 2
2 −1 −3  y  = 5
เขียนเป็ นเมทริ กซ์  (ใชก้ ารคูณเมทริกซ์)

1 2 1 3×3  z 3×1 53×1

การแกส้ มการเพ-อื หาคาํ ตอบดว้ ยอินเวอร์สของเมทริกซ์ ไดจ้ าก

X = A−1⋅ B

ตวั อยา่ ง 9.1 จงแกส้ มการโดยใช้ Inverse Matrixของสมการ

x + y = 3 ----------------- !
2x − 3y = −4 ----------------- "

วธิ ีคิด ขSนั 1 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปเมทริกซ์

1 1  x = 3
2 −3  y  −4

ขSนั 2 จดั ใหอ้ ยใู่ นรูปของอินเวอร์ส X = A−1 ⋅ B

นนั- คือ  x = 1 1 −1  3 
 y  2 −3 −4

ขSนั 3 หาค่าอินเวอร์สของ 1 1 −1 ซ-ึงมีขนาด 2×2 ดงั นSี
2 −3

-2

3.1 หา det A = 1 1 = −5
2 3

-3

3.2 หา A−1 = 1 A ⋅ adjA
det

C11 = (−1)1+1 M11 = (−1)2 1 1 = (1)(−3) = −3
2 −3

C12 = (−1)1+2 M12 = (−1)3 1 1 = (−1)(2) = −2
2 −3

C21 = (−1)2+1 M 21 = (−1)3 1 1 = (−1)(1) = −1
2 −3

C22 = (−1)2+2 M 22 = (−1)4 1 1 = (1)(1) = 1
2 −3

จะได้ cof .A = −3 −2
−1 
1 

3.4 หา adj.A = [cof .A]t = −3 −1
3.5 หา −2 1 

A−1 = 1 A ⋅ adjA
det

แทนค่า = 1 −3 −1
−5 −2 
1 

3 1
 
A−1 =  5 5 
 2 
− 1 
 5 5

ขSนั 4 แทนค่า ต่าง ๆ ใน ขSนั ที- 2 และหาผลคูณของเมทริกซ์ ดงั นSี

3 1 c11 
 
 x =  5 5  ⋅  3 = c12 
 y  2   −4 
 − 1   2×1 2×1
5
 5 2×2

c12 = ( 2 ⋅ 3) + (− 1 ⋅ −4) = 2
5 5

c11 = ( 3 ⋅ 3) + ( 1 ⋅ −4) = 1
5 5

 x = 1
 y 2×1 22×1

จะได้ x =1 (การเท่ากนั ของเมทริกซ์)
y=2

ตอบ

ตวั อยา่ งที- 9.2 จงแกส้ มการโดยใชอ้ ินเวอร์สของเมทริกซ์

2x + y + z = 0 ----------------- !
4x + 3y + 2z = 2 ----------------- "
2x − y − 3z = 0 ----------------- #

วธิ ีคิด ขSนั 1 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของเมทริกซ์

2 1 1   x 0
4 3    2
2   y  =

2 −1 −3  z  0

ขSนั 2 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของอินเวอร์ส x = A−1 ⋅ B

 x 2 1 1 −1 0
 y 4  ⋅ 2
 = 3 2 

 z  2 −1 −3 0

2 1 1 
หาอินเวอร์สของเมทริกซ์ 4 
ขSนั 3 3 2  มีขนาด 3×3 ไดจ้ าก

2 −1 −3

A−1 = 1 A ⋅ adjA
det

-6 +4 +12 = +10

3.1 หา 2 1 1 21 = −8
detA = 4 3 2 ..4 3

2 -1 -3 2 -1

-18 +4 - 4 = - 18

3.2 หา cof .A

2

2 1 1 3 2
C11 = (−1)1+1 M11 = (−1)2 4 3  −1 −3
−1 2  = (1) = (1)(−7) = −7
2
−3

-9

-4

2 1 1 4 2
C12 = (−1)1+2 M12 = (−1)3 4 3  2 −3
−1 2  = (−1) = (−1)(−16) = 16
2
−3

-12

-6

2 1 1 4 3
C13 = (−1)1+3 M13 = (−1)4 4 3  2 −1
−1 2  = (1) = (1)(−10) = −10
2
−3

-4

+1

2 1 1 1 1
C21 = (−1)2+1 M 21 = (−1)3 4 3  −1 −3
−1 2  = (−1) = (−1)(−2) = 2
2
−3

-3

-2

2 1 1 2 1
C22 = (−1)2+2 M 21 = (1)4 4 3  2 −3
−1 2  = (1) = (1)(−8) = −8
2
−3

-6

-2

2 1 1 2 1
C23 = (−1)2+3 M 23 = (−1)5 4 3  2 −1
−1 2  = (−1) = (−1)(−4) = 4
2
−3

-2

-3

2 1 1 1 1
C31 = (−1)3+1 M31 = (1)4 4 3  3 2
−1 2  = (1) = (1)(−1) = −1
2
−3

+2

-4

2 1 1 2 1
C32 = (−1)3+2 M32 = (−1)5 4 3  4 2
−1 2  = (−1) = (−1)(0) = 0
2
−3

+4

-4

2 1 1 2 1
C33 = (−1)3+3 M33 = (1)6 4 3  4 3
−1 2  = (1) = (1)(2) = 2
2
−3

6

−7 16 −10
 
จะได้ cof ⋅ A =  2 −8 4 

−1 0 2 

3.3 หาค่า adj ⋅ A = [cof ⋅ A]t

 −7 2 −1
 
adi.A =  16 −8 0 

−10 4 2 

3.4 หาอินเวอร์สของเมทริกซ์

A−1 = 1 A ⋅ adjA
det

แทนค่า 1  −7 2 −1
−8  
A−1 =  16 −8 0 
4
−10 2 

7 − 2 1 1 
−818621 8 4 
8 

= 81 − 0 
8
 81 
 
10 5 − 4 1 −4182 
8 2
 8 4

7 − 1 1
= −82 4 
8 
1 0 

 5 − 1 − 1 
 4 2 4 
 

ขSนั 4 แทนค่าต่าง ๆ ลงในขSนั ตอนที- 2 และหาผลคูณของเมทริกซ์ ดงั นSี

x 7 − 1 1 0 C11 
y −82 4  ⋅ 2
  8  = C21 
  = 1 0  
 
 z  5 1 1 03×1 C31 3×1
 − 2 − 
 4 4 3×3

c31 = 0 +  − 1  ( 2) + 0 = −1
 2 

c21 = 0 + (1)(2) + 0 = 2

c11 = 0 +  − 1  1 + 0 = − 1
 4  2
(2)

−−−2112  2

x 
  
 y  = 

 z   

จะได้ x=−1 (จากการเท่ากนั ของเมทริกซ์)
2

y=2

z = −1

ตรวจคาํ ตอบ ใหน้ าํ ค่า x = − 1 , y = 2, z = −1 ไปแทนในสมการใดสมการหน-ึง ถา้ แทนแลว้ ทาํ ใหไ้ ด้
2

ค่าเท่ากนั แสดงวา่ ค่า x, y, z ที-ไดถ้ ูกตอ้ ง ดงั นSี

จาก สมการ 1 2x + y + z = 0
แทนค่า
2(− 1 ) + 2 + (−1) = 0
2

−1+ 2 −1 = 0

0=0

หรือ จากสมการ 3 2x − y − 3z = 0

แทนคาํ 2(− 1 ) − 2 − 3(−1) = 0
2

−1− 2 + 3 = 0 ตอบ
0=0

กาํ หนดให้ A เป็ นเมทริกซ์ขนาด m× n โดยที- det(A) ≠ 0 แลว้ ระบบสมการท-ีเขียนในรูป
ของเมทริกซ์ Ax = B เม-ือตวั แปร คือ x1, x2,..., xn และ ค่าคงที- คือ b1,b2,...,bn โดยที-

 x1  b1 
  b2 
x =  x2  และ B = ⋮ 
 
⋮ 
  bn 
 xn 

จะไดค้ ่าของตวั แปร คือ x1 = det( A1)
det( A)

x2 = det( A2 )
det( A)

⋮⋮

xn = det( An )
det( A)

เมอื0 Ai คอื เมทริกซ์ทไ0ี ด้จากการแทนหลกั ที0 i ของ A ด้วยหลกั ของ B

ตวั อยา่ ง 9.3 จงแกร้ ะบบสมการโดยใชก้ ฎของคราเมอร์
วธิ ีคิด
3x + 4 y = −2 ----------------- !
5x + 3y = 4 ----------------- "

ขSนั 1 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของเมทริกซ์

3 4 x = −2
5 3  y   
  4 

ขSนั 2 หาค่าของ det A ดงั นSี

-20

det A = 3 4 = −11
5 3

+9

ขSนั 3 หาค่าของ det A1 โดยนาํ คอลมั น์ของเมทริกซ์ B = −2 ไปแทนคอลมั น์ท-ี 1
 
 4 

ของเมทริกซ์ก่อนหา det A1 ดงั นSี

-16

det A1 = -2 4 = −22
 3
 4

-6

∴ การหา det A2 ก็หาเหมือนขา้ งตน้ ดงั นSี
+10

det A2 = 3 -2 = 22
5 4 

+12

ขSนั 4 หาค่า x และ y ดงั นSี

x = det A1 = −22 = 2
det A −11

y = det A2 = 22 = −2
det A −11

จะได้ x = 2

y = −2

ตรวจคาํ ตอบ โดยนาํ ค่า x = 2, y = −2 ไปแทนค่าในสมการ 1

จากสมการ 1 3x + 4 y = −2

แทนค่า x, y 3(2) + 4(−2) = −2

6 − 8 = −2

−2 = −2

หรือ นาํ ไปแทนในสมการ 2 จะได้

จากสมการ 2 5x + 3y = 4

แทนค่า x, y 5(2) + 3(−2) = 4

10 − 6 = 4
4=4

ตอบ

ตวั อยา่ งท-ี 9.4 จงใชก้ ฎของคราเมอร์ หาระบบสมการของ

x − 3z = 2 ----------------- !
2x − y + z = 4 ----------------- "
----------------- #
y − 2z = 1

วธิ ีคิด ขSนั 1 เขียนใหอ้ ยใู่ นรูปของเมทริกซ์

1 0 −3  x 2
2    4
−1 1   y  =

0 1 −2  z  1

สมการ A . X = B

ขSนั 2 หาค่าของ det A

0 -1 0 = −1

1 0 -3 1 0 + จะได้ − 5
det A = 2 -1 1 ..2 -1

0 1 -2 0 1

+2 0 -6 = − 4

ขSนั 3 หาค่าของ det A1, det A2 และ det A3 โดยนาํ ค่าคอลมั น์ 2 ไปแทนใน
B = 4

1

คอลมั น์ที- 1, 2,3 ของเมทริกซ์ A ดงั นSี

-3 -2 0 = -5
จะได้ −13
2 0 -3 2 0
det A1 = 4 -1 1 ..4 -1 = -8

1 1 -2 1 1

4 0 -12

0 -1 8 = +7

1 2 -3 1 2 จะได้ −7

det A2 = 2 4 1 .. 2 4
0 1 -2 0 1

-8 0 -6 = -14

0 -4 0 = -4

1 0 21 0 จะได้ −1

det A3 = 2 -1 4 .. 2 -1
0 1 101

-1 0 4 = 3

ขSนั 4 หาค่าของ x, y, z ดงั นSี

x = det A1 = −13 = 13
det A −5 5

y = det A2 = −7 = 7
det A −5 5

z = det A3 = −1 = 1
det A −5 5

ตรวจคาํ ตอบ โดยนาํ ค่า x = 13 , y = 7 และ z = 1 ไปแทนในสมการใด สมการหน-ึง ดงั นSี
5 5 5

จากสมการ # y − 2z = 1

แทนค่า y, z 7 − 2  1  = 1
5  5 

7 − 2 = 1
5 5

5 = 1
5

1=1 ตอบ