ตรีโกณมิติ

ตรีโกณมติ ิ เป็นศาสตร์ทีวา่ ดว้ ยเรืองของ มุม และ ดา้ น ซึงมีประโยชน์ในการนาํ มาใชง้ านใน

ชีวติ ประจาํ วนั เป็ นอยา่ งมาก เช่น ดา้ นวศิ วกรรมการก่อสร้าง เป็นตน้

จากรูป A OC = BO D

BOC = AOD

นนั คือ มุมตรงขา้ มจะเท่ากนั

หน่วยทีใชว้ ดั มุม มี หน่วย คือ องศา และ เรเดียน

หน่วยเป็ นองศา องศา เท่ากบั ลิปดา

ลิปดา เท่ากบั ฟิ ลิปดา

องศา เท่ากบั ൈ = ฟิ ลิปดา

หน่วยเรเดียน องศา =π เรเดียน

มุมวงกลมหนึงหน่วย มีหน่วยเป็น องศา และ เรเดียน

เช่น มุม = 3π มีค่าเท่ากบั กีองศา ตอบ
ตอบ
6

เราทราบวา่ π = 180°
ดงั นนั 3π = 3×1803=0 90°

6 61

เช่น มุม องศา เท่ากบั กีเรเดียน

มุม องศา เท่ากบั π เรเดียน
1
มุม องศา เท่ากบั π × 30 เรเดียน

มีค่าเท่ากบั π 6 180
6
เรเดียน

จากแผนภาพ เป็ นสามเหลียมมุมฉาก
เป็นความยาวอยตู่ รงขา้ มมุม
เป็นความยาวอยตู่ รงขา้ มมุม
เป็นความยาวอยตู่ รงขา้ มมุม

ถ้าให้ θ เป็ นมุมภายในรูปสามเหลยี มมุมฉาก ดังรูป

(ตรง) (ฉาก)

(ชิด)

อตั ราส่วนตรีโกณมิติของรูป ∆ มุมฉาก คือ

) sinθ = = b อ่านวา่ ไซน์ (Sine) ของมุม θ
) cosθ =
) tanθ = a
) cosecθ =
) si cθ = = c อ่านวา่ โคไซน์ (Cosine) ของมุม θ
) cotθ =
a

= b อ่านวา่ แทนแจนต์ (Tangent) ของมุม θ

c

= a อ่านวา่ โดเซคแคนต์ (Cosecant) ของมุม θ

b

= a อ่านวา่ เซแคนต์ (Secant) ของมุม θ

c

= c อ่านวา่ โดแทนแจนต์ (Cotangent) ของมุม θ

b

ข้อสังเกต จะเห็นวา่ มุม cosecθ เป็ นส่วนกลบั ของ sinθ นนั คือ cosecθ = 1
sin θ

มุม secθ เป็ นส่วนกลบั ของ cosθ นนั คือ secθ = 1
cosθ

มุม cotθ เป็ นส่วนกลบั ของ tanθ นนั คือ cot θ = 1
tan θ

การท่องจาํ นกั เรียนสามารถจาํ อตั ราส่วนตรีโกณมิติทงั มุมไดง้ ่าย ๆ ดงั นี

sinθ = cosecθ =
cosθ = secθ =
tanθ = cotθ =

เช่น จากรูปทีกาํ หนดใหจ้ งหาค่าอตั ราส่วนตรีโกณมิติทงั ของมุม θ

sinθ = =3 cosecθ = =5
cosθ = 5 secθ = 3
tanθ = cotθ =
=4 =5
5 4

=3 =4
4 3

จากตัวอย่าง การหาค่าของอตั ราส่วนตรีโกณมิติ เราตอ้ งทราบค่าความยาวของดา้ นทงั 3 ดา้ น

ซึงมีบางโจทยห์ รือปัญหา ทีเราจาํ เป็ นตอ้ งหาดา้ นอืนๆ ซึงโจทยจ์ ะบอกความยาวดา้ นมาให้ 2 ดา้ น เราจะใช้

ทฤษฎขี องปิ ทาโกรัสหาดา้ นที 3 ไดด้ งั นี

วธิ จี ํา ดา้ นทียาวทีสุดยกกาํ ลงั สอง(ฉาก2) = ดา้ นทีสนั สองดา้ นยกกาํ ลงั สองบวกกนั (ตรง2 + ชิด2)

ตวั อยา่ งที . กาํ หนดให้ ∆ ABC ซึงมีมุม B = 90° และ sin A = 3 จงหาความยาวดา้ น AB
วธิ ีคิด
5

โจทยบ์ อกวา่ sin A = 3 =

5

เราจะได้ ความยาวดา้ นตรง (BC) = 3
ความยาวดา้ นฉาก (AC) = 5

โจทยใ์ หห้ าดา้ น AB ซึงเราทราบดา้ น BC = 3
และ AC = 5 จากสูตร ปิ ทาโกรัส

สูตร AC 2 = AB2 + BC 2

แทนค่า (5)2 = AB2 +(3)2

25 = AB2 +9 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
25 − 9 = AB2

16 = AB2 (หารากที )
± 16 = AB

±4 = AB ( 16 = 4 × 4 = 4) ตอบ

∴ ดา้ น AB = 4 (ดูเฉพาะค่าบวก)

ตวั อยา่ งที . กาํ หนดให้ ∆ ABC มีมุม B = 90° และ sin A = 4 จงหาค่าของ cosec A + cot A
วธิ ีคิด
5

จากโจทย์ บอกวา่ sin A = 4

5

เราทราบดา้ นตรง BC = 4

ดา้ นฉาก AC = 5

เราตอ้ งหาดา้ นชิด AB โดยใชส้ ูตรปิ ทาโกรัส คือ

สูตร AC 2 = AB2 + BC 2
แทนค่า (5)2 = AB2 +(4)2

25 = AB2 +16 (วธิ ียา้ ยขา้ ง)
25 −16 = AB2

9 = AB2

± 9 = AB (หารากที )

±3 = AB ( 9 = 3× 3 = 3)
3 = AB
(ดูเฉพาะค่าบวก)
หาค่า cosec A = = 5
ตอบ
4

หาค่า cot A = =3
4

จะได้ cosec A = + cot A = 5 + 3

44

=8 2
41

=2

0° 30° 45° 60° และ 90° โดยใช้กฎมอื ซ้าย
) ใหน้ ิวต่างๆ เป็ นมุม 0° 30° 45° 60° 90° ดงั นี

หมายเหตุ การหาค่าของมุม cosec θ, sec θ, cot θ เป็ นส่วนกลบั ของมุม sin θ, cos θ, tan θ
ตามลาํ ดบั

2) หาค่าของมุมใด ใหห้ กั นิวนนั ลง (มีค่าเป็น 2) และเติม ใหก้ บั นิวทงั สองขา้ ง และหาค่าอตั ราส่วน
ตรีโกณมิติ ดงั นี

ค่าของรากที

0 =0
1 =1
2 = 1.414
3 = 1.732
4=2

ข้อสังเกต ค่าของ cosec ,sec ,cot จะเป็นส่วนกลบั sin , cos , tan ตามลาํ ดบั





ตวั อยา่ งที . จงหาค่าของ sin 30o + tan 45o + sec 60o
วธิ ีคิด ใหใ้ ชก้ ฎมือซา้ ยหาค่ามุมต่าง ๆ ดงั นี

sin 30 = 1 = 1 tan 45 = 2 = 1 sec 60 = 2 = 2
22 2 1

จะได้ sin 30 + tan 45 + sec 60 = 1 +1+ 2 ตอบ
2

= 1 +3
2

=7
2

ตวั อยา่ งที . จงหาค่าของ sin2 30 +4 cos2 45
วธิ ีคิด หาค่าของมุมต่าง ๆ ดว้ ยกฎมือซา้ ย

sin 30 = 1 = 1 cos 45 = 2
22 2

จากโจทย์ sin2 30 +4 cos2 45 =  1 2 +  2 2
 2  4  2 

=  1 × 1  + 4  2× 2 
2 2  2 2 

= 1 + 4  2 
4  4 

=1+8
44

= 9 ตอบ

4

ตวั อยา่ งที . จงหาค่าของ cos ec30 − tan 45

sin2 60

วธิ ีคิด หาค่าของมุมต่าง ๆ ดวั ยกฎมือซา้ ย

cos ec30 = 2 = 2 tan 45 = 2 = 1 sin 60 = 3
1 2 2

จากโจทย์ cos ec30 − tan 45 = 2− 1
sin2 60 
 3 2
2 

= 2 − 1
9

4

= 2 −  1 × 4 
 1 9 

= 2 − 4 = 18 − 4 = 14 ตอบ
99 9

จากทีไดศ้ ึกษามาจะเป็ นมุม 0° 30° 45° 60° 90° ซึงสามารถใชก้ ฎมือซา้ ยหาค่าตรีโกณมิติได้
แต่ถา้ มุมทีใหห้ าไม่ใช่มุมหลกั ๆ ทีกล่าวมา นกั เรียนตอ้ งหาค่าโดยใชต้ ารางตรีโกณมิติ (อยใู่ นภาคผนวก)
ดงั นี

จากรูป การหาค่าตรีโกณมิติ ไดโ้ ดยแบ่งเป็น กรณี คือ
กรณที ี ตงั แต่มุม 0 − 45 ใหด้ ูจากข้างบนลงล่าง

เช่น หาค่ามุม sin 21 = 0.3584

กรณีที ตงั แต่มุม 46 − 90 ใหด้ ูจากข้างล่างขนึ บน

เช่น หาค่ามุม tan 82 = 7.1154

ตวั อยา่ งที . จงใชต้ ารางตรีโกณมิติ หาค่าของ tan20o+cos70o
วธิ ีคิด จากตาราง tan 20 = 0.3640

cos 70 = 0.3420

จากโจทย์ tan 20 + cos 70 = 0.3640 + 0.3420

= 0.7060 ตอบ

ตวั อยา่ งที . จงหาค่าของ tan122 ⋅cos33 + sec316
cosec 229 sin 3

วธิ ีคิด ขนั จากตาราง cos33 = 0.8387

sin 3 = 0.0523

หาค่า tan122 ตอ้ งใชว้ งกลมหนึงหน่วยกบั ตารางตรีโกณมิติ

จตุภาค 2 (Q2) ค่า tan θ เป็ น ลบ

มุม tan122 = − tan (180 − 58 )

= − tan 58

จากตาราง − tan 58 = −1.6003

หาค่า sec316 อยใู่ นจตุภาค 4 (Q4) ค่า secθ จะเป็ น บวก

มุม sec 316 = + sec(360 − 44 )
= + sec 44

จากตาราง sec 44 = 1.3902

หาค่า cos ec229 อยใู่ นจตุภาค ค่า cos ecθ จะเป็ น ลบ

มุม cos ec229 = −co sec(180 − 49 )

= −co sec 49

จากตาราง - cosec 49 = −1.3250

ขนั ที แทนค่ามุมต่าง ๆ ลงในโจทย์

จากโจทย์ tan122 ⋅ cos 33 + sec 316
cos ecθ 229 sin 3

แทนค่า = (−1.6003)(0.8387) + 1.3902
(−1.3250) 0.0523

= −1.3421 + 1.3902
−1.3250 0.0523

= 1.0129 + 26.5812 ตอบ
= 27.5941