TURUNAN

TURUNAN

Here is where your
presentation begins

SUB-MATERI

01. Turunan Fungsi Aljabar

02. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

03. Nilai Stasioner dan Jenisnya

04. Turunan Fungsi Trigonometri



Definisi Turunan

Turunan (Derivatif) merupakan suatu pengukuran terhadap
bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input(variabel).
Proses dalam menemukan suatu turunan disebut sebagai diferensiasi.

Misalkan diketahui fungsi y = f(x) terdefinisi untuk setiap nilai x disekitar x=a

jika lim +ℎ − ( ) ada. Maka bentuk lim +ℎ − ( ) dinamakan turunan
ℎ→0 ℎ ℎ
dari fungsi f(x) terhadap a. ℎ→0

Lambang turunan dengan f ′(a) (dibaca: f aksen a) disebut turunan
atau derivatifdari fungsi f ′(x) terhadap x pada x = a.

Terus Ngapain Belajar Turunan?

01. Turunan dapat 02. Turunan dapat 04. Turunan dapat
diterapkan untuk digunakan untuk diterapkan untuk
menentukan nilai
menghitung menentukan interval
gradien suatu garis dimana suatu fungsi stasioner suatu fungsi

singgung suatu naik atau turun.
kurva.
03. Turunan dapat
digunakan untuk
menyelesaikan
permasalahan

maksimum- minimum

Notasi Turunan

Notasi untuk diferensiasi yang umum digunakan untuk

menunjukan turunan adalah notasi Newton dan Leibniz.

Contoh Soal

Carilah turunan fungsi f (x) = 3−2x pada x = 1 menggunakan definisi turunan!

Penyelesaian :

Pada x = 1 berarti f ′(1)

f(x+h) = 3-2(x+h)= 3 – 2x – 2h

f’(x)= +ℎ − ( )
ℎ→0 ℎ

f’(x)= (3−2x−2h )−(3−2x)

ℎ→0 ℎ

f’(1)= lim 3−2 1 −2ℎ −(3−2 1 )
ℎ
ℎ→0

= −2ℎ
ℎ
ℎ→0

= -2
Jadi, turunan fungsi f (x) = 3 − 2x pada x = 1 atau f ′(1) = − 2

RUMUS - RUMUS TURUNAN ALJABAR

1. Jika f(x) = k dengan k konstanta real maka f ′(x) = 0.
2. Jika f(x) sebuah fungsi identitas atau f(x) = x maka f ′(x) = 1.
3. Jika f(x) = ax maka f ′(x) = a.
4. Jika f(x) = axn dengan a konstanta real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka

f ′(x) = anxn − 1.

5. Jika f(x) = u(x) ± v(x), dengan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi yang

mempunyai turunan u ′(x) dan v ′(x), maka f ′(x) = u ′(x) ± v ′(x).

6. Jika f(x) = u(x) ⋅ v(x), dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai

turunan u′ (x) dan v′ (x), maka f ′(x) = u ′(x) ⋅ v (x) + u (x) ⋅ v ′(x).

7. Jika f(x)= dengan u(x) dan v(x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan u′

(x) dan v′ (x), maka f ′(x)= ′ − ′.

8. Jika f(x) = ( + ) maka f’(x)= n( + ) − .a.

.

DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN

Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x)
Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x)

Jika g(x) = u→ g’ (x) = dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) → = f’(u) = f’(g(x))


Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi:

= ∙


Contoh Soal

1. Diketahui suatu fungsi f(x) = 5x. Tentukan f ′(x) !

Penyelesaian:

Jika f(x) = ax maka f ′(x) = a.

Maka f’(x) = 5

2. Diketahui suatu fungsi f(x) = 4 3. Tentukan f’(x) !
Penyelesaian:
Jika f(x) = axn dengan a konstanta real tidak nol dan n
bilangan bulat positif, maka f ′(x) = anxn − 1.
Maka:
a=4, n=3

f’(x)=4(3) 3−1
f’(x)=12 2

Contoh Soal

3. Jika f(x) =( x5  2x4 )+( 6x2  x + 8). Tentukan f’(x)!
Penyelesaian:
f (x) = u (x)  v (x).
Maka:
f(x) = ( x5  2x4 )+( 6x2  x + 8).
f (x) = ((1)(5)x5  1  (2)(4) 4−1 ) + ((6)(2) x2  1 - (1) 1−1)
= 5x4  8x3 + 12x  1

Contoh Soal

4. Carilah turunan dari fungsi f(x) = (x2 − x)(x3 + 2).

Penyelesaian:
u(x) = x2 − x, maka u ′(x) = 2x − 1
v(x) = x3 + 2, maka v ′(x) = 3x2

f ′(x) = u ′(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v ′(x)
= (2x − 1)(x3 + 2) + (x2 − x)(3x2)
= 2x4 + 4x − x3 − 2 + 3x4 − 3x3
= 5x4 − 4x3 + 4x − 2.

Contoh Soal

5. Hitung turunan dari f(x)= 2−+23 ?
Penyelesaian:

u= x-2, maka u’= 1

v= 2 + 3, maka v’= 2x

f ′(x) = ′ − ′


= 1 2+3 −(x−2)(2x)
2+3 2

= 2+3 −(2 2−4x)
2+3 2

= 2−2 2 +4x+3
2+3 2

= − 2+4x+3
2+3 2

Contoh Soal

6. Diketahui f(x)=(4 + 2)5. Tentukan f ′ x !

Penyelesaian:
Jika f (x) = ( + ) maka f ’(x)= n( + ) − .a
Maka: a=4, b=2, n=5

f ’(x)=5(4 + 2)5−`1. 4
f ’(x)=20(4 + 2)4

4

Jika y = ( 2−3 )3. Tentukan y’ dengan menggunakan aturan rantai!

Penyelesaian: = ∙

4
Sehingga:
y = ( 2−3 )3
= ∙ = 4 1
2 →
Misal: u = − 3 = 2x-3 3 2 − 3x 3.(2x-3)

y = 4 → dy = 4 1 = (8 − 4).( 2 − 1
du 3 3
u3 u3 3 )3

=4 1
3
2 − 3x 3

6. Diketahui f(x)=(4 + 2)5. Tentukan f ′ x dalam aturan rantai !

Jawab :

Misal :

(4x+2)= U maka = 4



F(x)=(4x+2)5= 5 Ketik kutipan di sini., maka = 5 4


Rumus aturan rantai = = ∙



Maka :

= ∙



Masukkan nilai & yang sudah ditemukan tadi ke dalam persamaan rumus tsb:


= 4. 5 4
= 20 4
= 20 (4x+2)4



TITIK STASIONER
SUATU FUNGSI DAN

JENIS-JENIS
EKSTRIM

TITIK

STASIONER

Pengertian Nilai Stasioner dan Titik Stasioner

Teorema: Nilai Stasioner
Jika fungsi y = f(x) dideferensiabel di x = a dengan f (a) = 0 maka f(a) adalah nilai stasioner dari
fungsi f(x) di x = a .

Titik (a,f(a)), dengan f (a) = 0, yang terletak pada garfik fungsi y = f(x) disebut sebagai titik satsioner
Titik stasioner termasuk dalam kelompok titik kritis, yaitu titik yang merupakan bakal calon titik
ekstrim.

Pengertian Nilai Stasioner dan Titik Stasioner

Nilai-nilai stasioner yaitu nilai hasil dari titik dimana turunan pertama bernilai nol (f’(x)=0) atau
disebut titik stasioner. Ada 2 jenis ektrim fungsi, yaitu nilai balik maksimum dan nilai ba
minimum. Nilai balik maksimum/minimum sering juga disebut
dengan nilai maksimum/minimum global atau maksimum/minimum lokal.

4 Titik Stasioner Keterangan:
3.5 Tanda yaitu titik maksimum global
1234 Tanda yaitu titik maksimum lokal
3 Tanda yaitu titik minimum global
2.5 Tanda yaitu titik minimum lokal

2 5
1.5

1
0.5

0
0

Jenis-jenis Ekstrim,
Nilai maksimum, dan

Nilai Minimum

Nilai Maksimum dan Minimum

Suatu f(x)= a 2 − + , a = 0
1. Jika a<0, maka kurva parabola terbuka ke bawah disebut dengan

maksimum.

01

2. Jika a>0, maka kurva parabola terbuka ke atas disebut dengan minimum

Jenis-jenis Ekstrim, Nilai Balik Maksimum,
dan Nilai Balik Minimum

A. Uji Turunan Pertama

Tiap nilai stasioner belum tentu nilai ekstrim, tetapi fungsi yang mencapai nilai
ekstrim pada x = a dan diferensiabel di titik itu, maka dapat dapat dipastikan bahwa
x = a adalah titik stasioner.

Jenis-jenis nilai stasioner, yaitu nilai ekstrim (nilai balik maksimum atau nilai balik
minimum) atau bukan nilai ekstrim, dapat ditentukan dengan cara mengamati
tanda-tanda dari turutan pertama f(x) fungsi di sekitar x = a . Memeriksa jenis-
jenis nilai stasioner dengan cara seperti itulah yang disebut Uji Turunan Pertama.

Jenis Ekstrim fungsi

Untuk menemukan jenis ekstrim fungsi dilakukan 2 cara:
1. Uji turunan pertama

01 a. jika f’(c)=0 maka f(c) adalah nilai stasioner f(x) pada x=c.
b.Nilai stasioner mungkin berupa nilai balik maksimum dan balik minimum atau titik
belok horizontal dan untuk mengetahui jenisnya dengan;
1) Menentukan nilai x dari f’(x)=0
2) Kemudian substitusikan nilai x yang sudah ditemukan ke dalam fungsi f(x)
awal. Hasilnya merupakan nilai maksimum/ minimum dari kurvanya.

Jika f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada a,
maka f memiliki minimum pada (a, f(a)).

Jika f ’(x) berubah dari positif menjadi negatif pada a,
maka f memiliki maksimum pada (a, f(a)).

Jika f ’(x) bernilai positif pada kedua sisi a atau negatif
pada kedua sisi a, maka f(a) bukanlah minimum
ataupun maksimum ( titik belok).

Jenis-jenis Ekstrim, Nilai Balik Maksimum,
dan Nilai Balik Minimum

B. Uji urutan kedua untuk menentukan jenis ekstrim

 Misalkan fungsi f(x) kontinu dalam interval I yang memuat x = a.
Turunan pertama f (x) dan turunan kedua f (x) ada pada interval I serta f (a) = 0 (ini
berarti f(a) adalah nilai stasioner).
1. Jika f (a)  0 maka f(a) adalah nilai balik maksimum fungsi f .
2. Jika f (a)  0 maka f(a) adalah nilai balik minimum fungsi f .
3. Jika f (a) = 0, maka nilai stasioner f(a) belum dapat ditetapkan.

Dalam kasus f (a) = 0 penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali
menggunkan Uji Turunan Pertama.

Contoh Soal

1. Titik stasioner dari fungsi g(x)= 3 − 3 + 3 adalah ⋯⋅

Jawab: Untuk x=−1, diperoleh

Diketahui: g(−1)= (−1)3−3(−1) + 3
g(x)= 3 − 3 + 3
Titik stasioner dicari saat g′(x)=0. =−1+3+3=5
g′(x)=0
3 2 −3=0 sehingga titik stasionernya adalah (−1,5).
3( 2 −1)=0 Untuk x=1, diperoleh
3(x+1)(x−1)=0
x=−1 atau x=1 g(1)=(1)3−3(1) + 3

=1−3+3=1
sehingga titik stasionernya adalah (1,1).
Jadi, fungsi g memiliki dua titik stasioner,
yaitu (−1,5) dan (1,1)

Contoh soal

2.Fungsi f(x)=4 3 − 18 2 + 15 − 20 akan mencapai maksimum saat nilai x?

3. Fungsi = 1 3 −

3

1 2 10 ?

2

Jawab :

4. Tentukan nilai balik maksimum pada grafik fungsi f(x)= 3 − 3 2 + 10?

Jawab:

Uji titik balik

IT’S TIME TO

QUIZ !!!

https://quizizz.com/join?gc=492357

Pembahasan Quiz

1. Titik minimum fungsi f(x)= + − + ?

Jawab: Substitusi nilai x ke persamaan f(x) awal

f(x)= + − + Uji x=1
F’(x)=0 f(1)= ( ) + ( ) − ( ) + =-6
F’(x)= 6 + − =0 :6
Uji x = -2
+ − =0 f(-2)= (− ) + (− ) − − + =
(x+2)(x-1)=0
X=-2 V X=1 Maka titik minimumnya yaitu (1,-6)

Pembahasan Quiz

2. Titik balik maksimum dari kurva f(x)=14 4 − 2 2adalah ⋯

Jawab :

f(x)=14 4 − 2 2
Titik stasioner f’(x)=0

F’(x)= 3 − 4 = 0

= x ( 2 − 4 )

x(x+2)(x−2)=0

x=0 atau x=−2 atau x=2 Karena sudah diketahui bahwa f ”(0) bernilai negatif dan itu
F”(x)= 3 2 − 4 <0 maka dikatakan maksimum untuk mendapatkan nilainya ,
substitusikan x=0 tsb ke persamaan awal f(x).
Substitusikan nilai x tadi ke f”(x)

X=0 f(x)=14 4 − 2 2
F”(0)= 3(0)2 − 4=-4 <0 f(0)=14 (0)4−2(0)2=0
Maka titik balik maksimum (0,0)
X=-2
F”(-2)=3(−2)2 − 4=8>0

X=2

F”(2)=3(2)2 − 4=8>0

Pembahasan Quiz

3. titik stasioner dari f(x) =2 3 − 3 2 − 12 + 24 adalah?

Jawab:

f’(x)=0

F’(x)= 6 2 − 6 − 12 = 0 ∶ 6
= 2 − − 2 = 0

= (x-2)(x+1)=0

x=2 V x=-1

Substitusikan nilai x tersebut ke persamaan f(x) awal

Untuk x=2

f(2) =2(2)3−3 2 2 − 12(2) + 24=4 titik (2,4)
Untuk x=-1

f(-1) =2(−1)3−3 −1 2 − 12(−1) + 24=31 titik (-1,31)



Aplikasi
Turunan

Fungsi Naik

Fungsi Turun

KEMONOTONAN FUNGSI

Suatu fungsi dapat mengalami monoton naik
atau monoton turun pada interval tertentu.

Kemonotonan suatu fungsi pada interval
tertentu dapat diketahui berdasarkan
turunannya. Suatu fungsi monoton naik jika
turunan fungsi pada interval tersebut lebih
besar dari 0.

Fungsi Naik X1<X2
F(x1)<F(x2)
Fungsi Naik
F(x) m=f’(x) bernilai (+)
3.5
3

2.5
2

1.5
1

0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5

3.5
3

2.5
2

1.5
1

0.5
0
01234

Fungsi Turun

3.5 Fungsi Turun 2 X1<X2
3 F(x1)>F(x2)
0.5 1 1.5
2.5 F(x) m=f’(x) bernilai (-)
2

1.5
1

0.5
0
0

3.5 Nilai-Y 4
3
123
2.5
2

1.5
1

0.5
0
0

Konsep kemonotonan fungsi dapat didefinisikan:

\

Contoh Soal

1. Grafik fungsi f(x) = x² + 4x + 1 naik pada interval …

A. x ≥ – 2 B. x > -2 C. x ≤ -2 D. x < -2 E. x > 2

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal ini kita terapkan syarat fungsi naik yaitu f'(x) > 0 sehingga
diperoleh:

f'(x) > 0

2x + 4 > 0

2x > -4 formalization
x > -4/2

x > -2

Jadi interval fungsi naik f(x) = x² + 4x + 1 adalah x > – 2.

Jawaban B.

Contoh Soal

2. Grafik fungsi f(x) = 2x² + 8x – 4 turun pada interval …
A. x < – 4
B. x < – 2
C. x > 2
D. x > 4
E. x > 8

Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan soal ini kita terapkan syarat
fungsi turun yaitu f'(x) < 0 sehingga diperoleh:
f'(x) < 0
4x + 8 < 0
4x < – 8
x < -8/4
x<–2
Jadi interval fungsi turun x< – 2.
Jawaban B.

Contoh Soal

3. Kurva y = x3 – 6x2 + 9x + 7 naik untuk interval …

A. x > 0
B. -3 < x < 1
C. – 1 < x < 3
D. x < -3 atau x > 1
E. x < 1 atau x > 3

Penyelesaian:
Terapkan syarat fungsi naik yaitu y’ > 0 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
y’ > 0
3x2 – 12x + 9 > 0 (kedua ruas dibagi 3)
x2 – 4x + 3 > 0
(x – 3) (x – 1) > 0
x = 3 atau x = 1

Untuk menentukan interval fungsi naik kita buat garis bilangan seperti gambar
dibawah ini.

Garis bilangan untuk menentukan interval fungsi naik soal nomor 4.

Berdasarkan garis bilangan gambar diatas, maka interval fungsi naik soal
nomor 4 adalah x < 1 atau x > 3. Soal ini jawabannya E.

Untuk menentukan tanda positif atau negatif pada garis bilangan sebagai
berikut:
 masukkan nilai x < 1 (misalkan x = 0) ke y’ = x2 – 4x + 3. Kita peroleh y’ =

02 – 4 .0 + 3 = + 3. Hasilnya positif sehingga tanda pada garis bilangan
sebelah kiri adalah positif (+).
 masukkan nilai 1 < x < 3 (misalkan x = 2) ke y’ = x2 – 4x + 3 = 22 – 4 . 2 + 3 =
-1. Hasilnya negatif sehingga tanda pada garis bilangan yang ditengah
negatif (-).
 masukkan angka x > 3 (misalkan x = 4) ke y’ = x2 – 4x + 3 = 42 – 4 . 4 + 3 = +
3. Hasilnya positif sehingga tanda pada garis bilangan disebelah kanan
adalah positif (+).

Contoh Soal

4. Grafik fungsi y = x³ + 3x² – 45x + Buat garis bilangan untuk
4 turun pada interval … menentukan interval fungsi turun
sebagai berikut.
A. -5 < x < 3
B. -3 < x < 5 Berdasarkan garis bilangan diatas
C. x < -5 atau x > 3 fungsi turun pada interval -5 < x <
D. x < -3 atau x > 5 3.
E. x > 5 Jawaban A.

Penyelesaian:
Terapkan syarat fungsi turun y'< 0 dan
diperoleh hasil sebagai berikut.

y’ < 0
3x² + 6x – 45 < 0 (kedua ruas dibagi 3)
x² + 2x – 15 < 0
(x + 5) (x – 3) < 0
x1 = -5 dan x2 = 3.

CONTOH SOAL

5. Pada interval -1 < x < 3 maka grafik fungsi y = 1/3x³ – x² – 3x + 1 akan …
A. selalu naik
B. selalu turun
C. naik kemudian turun
D. turun kemudian naik
E. naik kemudian turun kemudian naik

Penyelesaian:
y’ = x² – 2x – 3
x² – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3 atau x = -1

Fungsi y turun pada interval -1 < x < 3.
Jadi pada interval -1 < x < 3 fungsi turun.
Jawaban B.

IT’S TIME TO QUIZ !!!

Open this link:

https://quizizz.com/join?gc=890983

QUIZNYA GAMPANG
ATAU SUSAH GUYS?

YUK KITA BAHAS!