การแยกตัวประกอบของพหุนาม

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์

เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบของพหุนาม
รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม ค 23201 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 3

เล่มที่ 2

เรอ่ื ง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
โดยวธิ ที าเปน็ กาลังสองสมบูรณ์

นายอุดร ขาคม
ตาแหนง่ ครู วทิ ยฐานะ ชานาญการ
โรงเรยี นบ้านไร่พิทยาคม อาเภอศรสี าโรง จงั หวดั สโุ ขทยั
สานกั งานเขตพน้ื ท่ีการศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 38

1

คานา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ไดจ้ ดั ทาข้ึนเพอ่ื ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนรายวชิ า
คณิตศาสตร์เพมิ่ เติม 5 รหสั วชิ า ค 23201 ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 มีจุดมุง่ หมายเพอ่ื ใหน้ กั เรียนเกิด
ความรู้ ทกั ษะทางคณิตศาสตร์ ซ่ึงจะทาใหน้ กั เรียนเรียนรู้อยา่ งมีความสุข มีเจตคติที่ดีต่อวชิ า
คณิตศาสตร์ และมีผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนสูงข้ึน โดยผจู้ ดั ทาไดท้ าแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
ท้งั หมด 4 เล่ม ดงั น้ี

เล่มที่ 1 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเป็นผลต่างกาลงั สอง
เล่มท่ี 2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์
เล่มท่ี 3 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสูงกวา่ สองท่ีมีสมั ประสิทธ์ิเป็น

จานวนเตม็
เล่มท่ี 4 การแยกตวั ประกอบของพหุนามท่ีมีสัมประสิทธ์ิเป็นจานวนเตม็ โดยใช้

ทฤษฏีบทเศษเหลือ

ผจู้ ดั ทาหวงั เป็นอยา่ งยงิ่ วา่ แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง การแยกตวั ประกอบของ

พหุนาม เล่มที่ 2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบูรณ์ เล่มน้ี

จะเป็นประโยชนต์ อ่ นกั เรียน พฒั นานกั เรียนดา้ นความรู้ ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร์

ซ่ึงช่วยยกระดบั ผลระดบั ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนรู้ใหส้ ูงข้ึน

อุดร ขาคม

2

สารบัญ

เร่ือง หน้า

คานา…………………………………………………………………………….. 1

คาแนะนาการใชส้ าหรับครู……………………………………………………… 3

คาแนะนาการใชส้ าหรับนกั เรียน………………………………………………… 4

สาระ / มาตรฐานการเรียนรู้ / ผลการเรียนรู…้ …………………………………… 5

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้……………………………………………………………. 6

แบบทดสอบก่อนเรียน…………………………………………………………… 7

ใบความรู้ท่ี 2.1 พหุนามดีกรีสอง………………………………………………… 9

ใบความรู้ท่ี 2.2 พหุนามดีกรีสองในรูปกาลงั สองสมบรู ณ…์ ……………………. 10

ใบความรู้ที่ 2.3 ทบทวนการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง……………… 12

ใบความรู้ที่ 2.4 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ 13

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.1……………………………………………………………… 19

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.2……………………………………………………………… 21

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.3……………………………………………………………… 23

แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.4……………………………………………………………… 25

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.5……………………………………………………………… 31

แบบทดสอบหลงั เรียน………………………………………………………….. 37

บรรณานุกรม…………………………………………………………………… 39

ภาคผนวก………………………………………………………………………. 40

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน / แบบทดสอบหลงั เรียน………………………….. 41

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 2.1...................................................................................... 43

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.2...................................................................................... 45

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 2.3................................................................................. ...... 47

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.4................................................................................... .... 49

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.5................................................................................... .... 55

ตารางบนั ทึกผลคะแนน...................................................................................... .... 65

3

คาแนะนาการใช้สาหรับครู

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหุนาม ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3
มีท้งั หมด 4 เล่ม เล่มน้ีเป็นเล่มท่ี 2 เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง โดยวธิ ีทาเป็น
กาลงั สองสมบรู ณ์ ใชเ้ วลา 4 ชวั่ โมง จดั ทาข้ึนเพ่อื ใหน้ กั เรียนเกิดความรู้ ความเขา้ ใจ และเสริม
ทกั ษะการคิดคานวณ การแกป้ ัญหาในเรื่องการแยกตวั ประกอบของพหุนาม เป็นการทบทวน
ความรู้ความสามารถดว้ ยตนเอง ซ่ึงทาใหน้ กั เรียนเรียนรู้อยา่ งมีความสุข มีเจตดติที่ดีต่อวชิ า
คณิตศาสตร์ และมีผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนรู้สูงข้ึน ดงั น้นั ก่อนนาแบบฝึกทกั ษะไปใชค้ วรปฏิบตั ิ
ดงั น้ี

1. ศึกษาข้นั ตอนและทาความเขา้ ใจเก่ียวกบั การนาแบบฝึกทกั ษะไปใชอ้ ยา่ งละเอียด
2. ดาเนินการจดั กิจกรรมการเรียนการเรียนการสอนโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ดงั น้ี

2.1 ช้ีแจงใหน้ กั เรียนเขา้ ใจถึงวธิ ีการศึกษาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
2.2 ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียนจานวน 10 ขอ้ เป็นปรนยั 4 ตวั เลือก
ใชเ้ วลา 15 นาที
2.3 หลงั จากการจดั กิจกรรมการเรียนรู้ตามเน้ือหาแลว้ ใหน้ กั เรียนทาแบบฝึกทกั ษะ
คณิตศาสตร์ทุกชุด เพอื่ ทบทวนและตรวจสอบความรู้ความเขา้ ใจของแตล่ ะเรื่อง
2.4 ครูผสู้ อนคอยดูแลใหค้ าแนะนาช่วยเหลือ แกไ้ ขปัญหาในขณะที่นกั เรียนปฏิบตั ิ
กิจกรรมฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์อยา่ งใกลช้ ิด
2.5 ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียนจานวน 10 ขอ้ เป็นปรนยั 4 ตวั เลือก
ใชเ้ วลา 15 นาที เพ่อื ประเมินความรู้ความเขา้ ใจของแต่ละเร่ือง
2.6 นอกจากใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ในเวลาเรียนแลว้ ยงั สามารถเรียนรู้ไดโ้ ดย
นาไปใชซ้ ่อมเสริมความรู้ตนเองนอกเวลาเรียน ไดท้ ้งั ที่บา้ นและที่โรงเรียน หรือในกรณีที่นกั เรียน
ขาดเรียน จะทาใหเ้ ขา้ ใจบทเรียนยง่ิ ข้ึน
2.7 ผลการปฏิบตั ิกิจกรรม สามารถนาไปวดั และประเมินผลการผา่ นจุดประสงคก์ าร
เรียนรู้ได้

4

คาแนะนาการใช้สาหรับนักเรียน

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนาม ช้นั มธั ยมศึกษา ปี
ท่ี 3 มีท้งั หมด 4 เล่ม เล่มน้ีเป็นเลม่ ที่ 2 เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง โดย
วธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ ใชเ้ วลา 4 ชว่ั โมง จดั ทาข้ึนเพ่ือใหน้ กั เรียนเกิดความรู้ความเขา้ ใจ
และเสริมทกั ษะการคิดคานวณ การแกป้ ัญหาในเรื่องการแยกตวั ประกอบของพหุนาม เป็น
การทบทวนความรู้ ทกั ษะทางคณิตศาสตร์ ซ่ึงทาใหน้ กั เรียนเรียนรู้อยา่ งมีความสุข มีเจตดติ
ที่ดีต่อวชิ าคณิตศาสตร์ และมีผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนรู้สูงข้ึน ดงั น้นั ก่อนนาแบบฝึ กทกั ษะไป
ใชค้ วรปฏิบตั ิดงั น้ี

1. ศึกษาและทาความเขา้ ใจผลการเรียนรู้ และจุดประสงคก์ ารเรียนรู้ของแบบฝึ ก
ทกั ษะคณิตศาสตร์

2. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน จานวน 10 ขอ้ เป็นปรนยั 4 ตวั เลือก ใชเ้ วลา 15 นาที
ลงในกระดาษคาตอบ

3. ศึกษาเน้ือหาและตวั อยา่ งก่อนทาแบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์
4. ทาแบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ทีละชุดตามลาดบั
5. ตรวจสอบคาตอบจากเฉลยในภาคผนวก เพือ่ ทราบผลการเรียนรู้
6. เมื่อพบขอ้ บกพร่องควรกลบั ไปศึกษาใหม่อีกคร้ัง เพ่ือใหเ้ กิดทกั ษะการคิดคานวณ
จนเกิดความชานาญ
7. เมื่อทาแบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ครบทุกชุดแลว้ ใหท้ าแบบทดสอบหลงั เรียน
จานวน 10 ขอ้ เป็นปรนยั 4 ตวั เลือก ใชเ้ วลา 15 นาที ลงในกระดาษคาตอบ
8. ตรวจคาตอบแบบทดสอบก่อนเรียนและหลงั เรียน จากเฉลยในภาคผนวก
9. บนั ทึกผลคะแนนท่ีไดล้ งในตารางบนั ทึกผลการทาแบบฝึ กทกั ษะเพอื่ ทราบผลการ
เรียนรู้ และความกา้ วหนา้ ของตนเอง
10. ในการทาแบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์และแบบทดสอบ นกั เรียนตอ้ งมีความซ่ือสตั ย์
ไม่เปิ ดดูเฉลยก่อนเดด็ ขาด หากนกั เรียนทาขอ้ ใดผิด ใหศ้ ึกษาเพิ่มเติม เพ่อื ใหน้ กั เรียนไดแ้ กไ้ ข
ขอ้ บกพร่องในขอ้ ที่ผิดใหถ้ กู ตอ้ ง

5

สาระ / มาตรฐานการเรียนรู้ / ผลการเรียนรู้

สาระ / มาตรฐานการเรียนรู้

สาระที่ 4 : พชี คณติ
มาตรฐาน ค 4.1 เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรูป (pattern) ความสมั พนั ธ์ และฟังกช์ นั
สาระที่ 6 ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การใหเ้ หตุผล การส่ือสาร การส่ือทาง
คณิตศาสตร์และการนาเสนอ การเช่ือมโยงความรู้ตา่ ง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเช่ือมโยงคณิตศาสตร์
กบั ศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเร่ิมสร้างสรรค์

ผลการเรียนรู้

1. แยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ได้

6

จุดประสงค์การเรียนรู้

หลงั จากการศึกษาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 3 เรื่อง การแยกตวั
ประกอบของพหุนาม เล่ม 2 เร่ือง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สอง
สมบูรณ์ แลว้ นกั เรียนมีความรู้ความสามารถ ดงั น้ี

ด้านความรู้

1. นกั เรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง ax2 + bx + c เมื่อ a = 1
โดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ได้

2. นกั เรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง ax2 + bx + c เมื่อ a ≠ 0 และ
a ≠ 1 โดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบูรณ์ได้

ด้านทักษะ / กระบวนการ

1. การใหเ้ หตุผล
2. การแกป้ ัญหา

ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์

1. ซื่อสตั ยส์ ุจริต
2. มีวนิ ยั
3. ใฝ่ เรียนรู้
4. มุง่ มน่ั ในการทางาน

7

แบบทดสอบก่อนเรียน
แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2
เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองโดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนทาเครื่องหมาย (x) กากบาททบั ตวั อกั ษร ก , ข , ค และ ง ขอ้ ท่ีถูกตอ้ งที่สุดเพียง
ขอ้ เดียว

1. พหุนาม x2– 4x + 4 แยกตวั ประกอบไดต้ ามขอ้ ใด

ก. ( x + 2 ) 2 ข. ( x + 4 ) 2

ค. ( x - 2 ) 2 ง. ( x – 4 ) 2

2. พหุนาม x2+ 6x + 9 แยกตวั ประกอบไดต้ ามขอ้ ใด

ก. ( x + 3 ) 2 ข. ( x + 9 ) 2

ค. ( x - 3 ) 2 ง. ( x – 9 ) 2

3. ขอ้ ใดไม่ใช่ตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง x2+ 3x -18

ก. x - 3 ข. x + 2

ค. x + 6 ง. ( x – 3 )(x + 6)

4. คา่ k ที่ทาใหพ้ หุนาม x2- 7x – k ถอดรากที่สองไดค้ ือขอ้ ใด
7 7
ก. 4 ข.  4

ค. 49 ง.  49
4 4

5. พหุนามในขอ้ ใดไม่สามารถแยกตวั ประกอบได้

ก. x2 + 1 ข. 4x2 - 9

ค. x2 – 10x + 25 ง. 0.027 – x3

8

6. พหุนาม 49x2- 70x + 25 แยกตวั ประกอบไดต้ ามขอ้ ใด

ก. ( 7x + 5 ) 2 ข. ( 7x - 5 ) 2

ค. ( 49x + 5 ) 2 ง. ( 49x – 5 ) 2

7. kx + 6x2 + 2 เป็นกาลงั สองสมบูรณ์ แลว้ k มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด
3

ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง . 4

8. พหุนาม x2+ 6x -1 แยกตวั ประกอบไดต้ ามขอ้ ใด

ก. [( x + 3 ) + 6][( x + 3 ) - 6] ข. [( x + 3 ) + 10][( x + 3 ) - 10]

ค. [( x + 3 ) + 6 ][( x + 3 ) - 6 ] ง. [( x + 3 ) + 10 ][( x + 3 ) - 10 ]

9. ( 2x + 3 )2 เป็นตวั ประกอบของพหุนามขอ้ ใด

ก. 2x2 – 6x + 9 ข. 2x2 + 6x + 9

ค. 4x2 – 12x + 9 ง. 4x2 + 12x + 9

10. ( 5x - 5 )2 เป็นตวั ประกอบของพหุนามขอ้ ใด

ก. 5x2 – 25x + 25 ข. 5x2 + 25x + 25

ค. 25x2 – 50x + 25 ง. 25x2 + 50x + 25

9

ใบความรู้ท่ี 2.1
พหุนามดกี รีสองตวั แปรเดยี ว

รูปทวั่ ไป

พหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว คือ พหุนามในรูป ax2 + bx + c

เมื่อ a , b , c เป็นค่าคงตวั โดยที่ a ≠0 และ x เป็นตวั แปร

ตวั อย่าง พหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียว

1. 3x2
2. x2 + 2x
3. 5x2 – 5x
4. x2 – 9
5. 4x2 + 25
6. x2 + 2x + 1
7. x2 - 3x + 5
8. x2 – 4x -7
9. 4x2 +16x + 4
10. 3x2 + 3x + 9

10

ใบความรู้ที่ 2.2
ทบทวนการแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง

 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองโดยใช้สมบัตกิ ารแจกแจง

ตวั อย่างท่ี 1

1. 5x2– 20x = 5x ( x – 4 )
2. -3x2– x = -x ( 3x + 1 )
3. 3x2+ 9x = 3x ( x + 3 )
4. 2x2– 4x = 2x ( x – 2 )
5. 3x2 + 6x + 18 = 3 ( x2 + 2x + 6 )

 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองโดยใช้หลกั

ax2 + bx + c = (mx + p)(nx + q)
โดย mn = a

pq = c
pn + qm = b

ตวั อย่างท่ี 2

1. x2 – 3x + 2 = (x – 2 )(x – 1)
2. x2 + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1)
3. 2x2 + 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1)
4. 12x2 – 20x + 8 = (4x – 4)(3x – 2)
5. 30x2 + 37x - 84 = (6x – 7)(5x + 12)

11

 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองทเ่ี ป็ นผลต่างกาลงั สอง

พหุนามดีกรีสองท่ีเป็นผลต่างกาลงั สอง
A2 – B2 = ( A + B )( A – B )

เม่ือ A และ B เป็นพหุนาม

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปน้ี

1. x2 - 4 = x2 - 22  10 2 = 10
2. x2 - 25 = ( x + 2 )( x – 2 )
3. x2 - 10 = x2 - 52
= ( x + 5 )( x – 5 )

= x2 -  10 2

= (x + 10 )(x - 10 )

4. x2 - 27 = x2 -  27 2 3 3 2 = 27

5. 9x2 - 49 = x2 - 3 3 2
6. 25x2 - 16
7. 16x2 - 13 =( x + 3 3 )(x - 3 3 )
8. 49x2 - 20 = (3x)2 - 72
= ( 3x + 7 )( 3x – 7 )
= (5x)2 - 42
= ( 5x + 4 )( 5x – 4 )

 = (4x)2 - 13 2 ( 13 )2= 13

= ( 4x + 13 )( 4x - 13 )

= (7x)2 -  20 2 ( 2 5 )2= 20

= (7x)2 - ( 2 5 )2

= ( 7x + 2 5 )( 7x – 2 5 )

12

ใบความรู้ที่ 2.3
พหุนามดกี รีสองในรูปกาลงั สองสมบูรณ์

 พหุนามดกี รีสองในรูปกาลงั สองสมบูรณ์

ในกรณีพหุนามดีกรีสองแยกตวั ประกอบแลว้ ไดต้ วั ประกอบเป็นพหุนามดีกรีหน่ึงซ้ากนั
เช่น x2 + 6x + 9 = (x + 3)( x + 3) = (x + 3)2
x2 - 4x + 4 = (x - 2)( x - 2) = (x + 2)2

เรียก พหุนามดีกรีสองที่มีลกั ษณะเช่นน้ีวา่ กาลงั สองสมบรู ณ์
ในกรณีทวั่ ไปพหุนามดีกรีสองท่ีเป็นกาลงั สองสมบูรณ์ แยกตวั ประกอบ ไดด้ งั น้ี

x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 เช่น x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
x2 - 2ax + a2 = (x - a)2 เช่น x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 - 2x + 1 = (x - 1)2
x2 - 8x + 16 = (x - 4)2
x2 - 12x + 36 = (x - 6)2

ตัวอย่าง พหุนามดีกรีสองในรูปกาลงั สองสมบรู ณ์

1. x2 + 2x + 1 = x2 + 2(1)x + 12 = ( x + 1)2

2. x2 + 4x + 4 = x2 + 2(2)x + 22 = ( x + 2)2

3. x2 + 8x + 16 = x2 + 2(4)x + 42 = ( x + 4)2

4. 4x2 + 12x + 9 = (2x)2 + 2(3)2x + 32 = ( 2x + 3)2

5. 9x2 + 30x + 25 = (3x)2 + 2(5)3x + 52 = ( 3x + 5)2

6. x2 - 6x + 9 = x2 - 2(3)x + 32 = ( x - 3)2

7. x2 - 10x + 25 = x2 - 2(5)x + 52 = ( x - 5)2

8. x2 - 22x + 121 = x2 - 2(11)x + 112 = ( x - 11)2

9. 16x2 - 16x + 4 = (4x)2 - 2(2)4x + 22 = ( 4x - 2)2

10. 25x2 - 70x + 49 = (5x)2 - 2(7)5x + 72 = ( 5x - 7)2

13

ใบความรู้ท่ี 2.4
การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองโดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

นกั เรียนรู้จกั สูตรการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์มาแลว้
ดงั น้ี

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
จากสูตรน้ีจะไดว้ า่
x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 เมื่อ a เป็ นคา่ คงตวั
x2 - 2ax + a2 = (x - a)2 เม่ือ a เป็ นคา่ คงตวั

นกั เรียนสามารถแยกตวั ประกอบของพหุนามที่เป็นกาลงั สองสมบูรณ์ได้ ดงั น้ี
ตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 + 4x + 4

วธิ ีทา x2 + 4x + 4 = x2 + 2(2)x + 22
= ( x + 2 )2

ดงั น้ัน x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม 4x2 - 20x + 25

วธิ ีทา 4x2 - 20x + 25 = (2x)2 - 2(5)2x + 52
= ( 2x - 5 )2

ดงั น้ัน 4x2 - 20x + 25 = ( 2x - 5 )2

14

ตัวอย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 - 4 3 x + 12
วธิ ีทา x2 - 4 3 x + 12= x2 - 2( 2 3 )x + ( 2 3 )2
= ( x - 2 3 )2
ดงั น้ัน x2 - 4 3 x + 12 = ( x - 2 3 )2

นอกจากการใชส้ ูตรน้ีในการแยกตวั ประกอบพหุนามแลว้ ยงั มีการใชค้ วามรู้เรื่องกาลงั สอง
สมบูรณ์มาจดั รูปพหุนามใหม่แลว้ แยกตวั ประกอบ ซ่ึงการแยกตวั ประกอบโดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สอง
สมบรู ณ์จะช่วยใหก้ ารแยกตวั ประกอบพหุนามดีกรีสองท่ีไมส่ ามารถแยกตวั ประกอบได้ ดงั
ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

กรณที ่ี 1 a = 1

ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตวั ประกอบพหุนาม x2+ 6x + 5 จัดรูปเปน็ กาลงั สองสมบูรณ์
วธิ ีทา x2 + 6x + 5 = (x2 + 6x ) + 5

= [x2 + 2(3)x + 32] - 32 + 5

= (x + 3)2 – 9 + 5 เพ่มิ 32 และหกั 32 ออก เพอ่ื ใหพ้ หุนามมีคา่ เทา่ เดมิ

= (x + 3)2 – 4 จดั รูปเปน็ ผลต่างกาลังสอง

= (x + 3)2 – 22

= [(x+3) + 2][(x+3) – 2]

= (x+5)(x+1)

ดงั น้ัน x2+ 6x + 5 = (x+5)(x+1)

15

ตวั อย่างท่ี 5 จงแยกตวั ประกอบพหุนาม x2- 10x + 7

วธิ ีทา x2 - 10x + 7 = ( x2 - 10x ) + 7 จดั รูปเปน็ กาลังสองสมบรู ณ์

= [x2 - 2(5)x + 52] - 52 + 7

= (x - 5)2 – 25 + 7 เพิ่ม 52 และหัก 52 ออก
= (x - 5)2 – 18 เพอ่ื ให้พหุนามมคี า่ เทา่ เดิม

จดั รปู เป็นผลตา่ งกาลังสอง

= (x - 5)2 – ( 3 2 )2

= [(x-5) + 3 2 ][(x-5) – 3 2 ]

= (x-5 + 3 2 )(x-5 – 3 2 )

ดังน้ัน x2- 10x + 7 = (x-5 + 3 2 )(x-5 – 3 2 )

ตวั อย่างที่ 6 จงแยกตวั ประกอบพหุนาม x2- 10x + 16

วธิ ีทา x2- 10x + 16 = ( x2 - 10x ) + 16 จัดรูปเปน็ กาลังสองสมบูรณ์

= [x2 - 2(5)x + 52] – 52 +16

= (x - 5)2 – 25 + 16 เพม่ิ 52 และหัก 52 ออก
= (x - 5)2 – 9 เพือ่ ให้พหุนามมีค่าเทา่ เดิม

จัดรูปเป็นผลต่างกาลังสอง

= (x - 5)2 – 32

= [(x - 5) + 3 ][(x - 5) – 3]

= (x - 2)(x - 8)

ดงั น้นั x2- 10x + 16 = (x - 2)(x - 8)

16

กรณที ี่ a  0 และ a  1

ตวั อย่างที่ 7 จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม 3x2- 24x - 21 ทาสมั ประสทิ ธิ์ของ x2 ให้เป็น 1 โดยใช้
วธิ ีทา 3x2 - 24x - 21 = 3 [x2 - 6x - 7] สมบัติการแจกแจงนา 3 ออกมาเป็นตัวคณู ร่วม

จัดรปู เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ = 3 [(x2 - 6x ) – 7]
= 3[(x2 - 2(3)x + 32) – 32 -7]

= 3(x - 3)2 – 9 - 7 เพิ่ม 32 และหกั 32 ออก
= 3(x - 3)2 – 16 เพือ่ ให้พหุนามมีคา่ เท่าเดิม
= 3(x - 3)2 - 42
จัดรูปเปน็ ผลตา่ งกาลงั สอง

= 3(x - 3 + 4 )(x - 3 – 4)

= (3x -3)(x - 7)

ดงั น้นั x2- 24x - 21 = (3x -3)(x - 7)

17

ตวั อย่างท่ี 8 จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม 5x2+ 20x - 2

วธิ ีทา 5x2  20x  2 = 5  x 2  4x  2 ทาสมั ประสิทธ์ิของ x2ให้เป็ น 1 โดยใชส้ มบตั ิ
 5  การแจกแจง นา 5 ออกมาเป็นตวั คูณร่วม

= 5  x2  4x  2
 5 
จดั รูปเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

 =  22 2 
5  x2  22x  22   5 

= 5  x  22  4  2  เพมิ่ 22 และหกั 22 ออก
5  เพื่อใหพ้ หุนามมีคา่ เท่าเดิม

= 5  x  22  20  2
5 5 

= 5  x  22  22 
5 

  22 2  จดั รูปเป็นผลต่างกาลงั สอง
 5 
= 5 x  22   
  

= 5  x  2  22   x  2  22 
5  
   5 

= 5 x  2  22  x  2  22  )
 5  5 
 

ดงั น้นั 5x2  20x  2 = 5 x  2  22   x  2  22 
 5   
  5 

18

ตวั อย่างที่ 9 จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม -x2+5x -2 ทาสมั ประสิทธ์ิของ x2ให้เป็ น 1 โดยใชส้ มบตั ิ
การแจกแจง นา -1 ออกมาเป็นตวั คูณร่วม
วธิ ีทา x2  5x  2 = 1 x2  5x  2

จดั รูปเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ = 1 x2  5x  2

=  1  x2  2  5  x   5 2    5 2  2
  2   2    2  

=  1  x  5 2  25  2 เพมิ่ 5 2 และหกั 5 2 ออก
2  4 
22
2
 เพือ่ ใหพ้ หุนามมีคา่ เทา่ เดิม

=  1  x  5  25  8 
 2 4 4 


=  1  x  5 2  17 
2  4 
 จดั รูปเป็ นผลตา่ งกาลงั สอง

=  1  x  5 2   17 2 
2   4 
  


=  1  x  5 2   17 2 
2   2 
  


=  1  x  5   17   x  5   17 
 2  2   2  
 2 

=  1 x  5  17  x  5  17 
2 2  2 
  2 

ดังน้ัน x2  5x  2 =  1  x  5 17  x  5 17 
 2  2 
  

19

แบบฝึ กทักษะที่ 2.1

คาชี้แจง จงเติมจานวนเตม็ บวกใน  ที่ทาใหพ้ หุนามดีกรีสองทีกาหนดใหอ้ ยใู่ นรูป
กาลงั สองสมบรู ณ์

ตัวอย่าง x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
16x2– 48x + 36 = (4x – 6)2

1. x2 + 26x + = (x+ )2

2. x2 - 14x + = (x+ )2

3. x2 + x + 225 = (x+ )2

4. x2 - x + 196 = (x+ )2

5. x2 - x + 289 = (x+ )2

20

6. 9x2 + x + 289 = ( x + 17 )2

7. 16x2 + x + 144 = ( x + 12 )2

8. 4x2 – 52x + = ( x + 13 )2

9. x2 + 132x + 36 = ( x + 6 )2

10. x2 – 112x + 64 = ( x + 8 )2

21

แบบฝึ กทกั ษะที่ 2.2

คาชี้แจง จงเขียนพหุนามดีกรีสองต่อไปน้ีในรูปกาลงั สองสมบรู ณ์

ตัวอย่าง x2 + 2x +1 = x2 + 2(1)x + 12
x2 – 2x + 1 = (x + 1)2
= x2 - 2(1)x + 12
= (x – 1)2

1. x2 + 6x + 9 =………………………………………
2. x2 + 8x + 16 =………………………

=………………………………………
=………………………

3. x2 + 24x + 144 =………………………………………
=………………………

4. x2 + 28x + 196 =………………………………………
=………………………

22

5. x2+ 10x + 25 =………………………………………
=………………………

6. x2 – 14x + 49 =………………………………………
=………………………

7. x2 – 30x + 225 =………………………………………
=………………………

8. x2 – 34x + 289 =………………………………………
=………………………

9. x2 – 50x + 625 =………………………………………
=………………………

10. x2 – 54x + 729 =………………………………………
=………………………

23

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.3

คาชี้แจง จงเขียนพหุนามต่อไปน้ีในรูปกาลงั สองสมบรู ณ์

ตวั อย่าง 4x2 + 4x +1 = (2x)2 + 2(1)2x + 12
9x2 – 12x + 4 = (2x + 1)2
= (3x)2 + 2(2)3x + 22
= (3x – 2)2

1. 16x2 + 24x + 9 =………………………………………
=………………………

2. 9x2 + 30x + 25 =………………………………………
=………………………

3. 4x2 + 52x + 169 =………………………………………
=………………………

4. 25x2 + 50x + 25 =………………………………………
=………………………

5. 36x2+ 48x + 16 =………………………………………
=………………………

24

6. 49x2– 42x + 9 =………………………………………
=………………………

7. 16x2– 32x + 16 =………………………………………
=………………………

8. 4x2– 36x + 81 =………………………………………
=………………………

9. 25x2– 120x + 144 =………………………………………
=………………………

10. 9x2– 90x + 225 =………………………………………
=………………………

25

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.4

คาชี้แจง จงแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบรู ณ์

ตัวอย่าง จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 + 4x + 2 โดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบูรณ์
วธิ ีทา x2 + 4x + 2 = [x2 + 2(2)x +22] – 22 + 2
= (x + 2)2 – 4 + 2
= (x + 2)2 – 2
= (x + 2)2 – ( 2 )2
= [(x + 2)+ ( 2 )][(x + 2) - ( 2 )]
= (x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )
ดงั น้นั x2 + 4x + 2 = (x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )

1. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + 6x + 5 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………

26

2. จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 + 10x + 6 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

3. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + 24x + 140 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

27

4. จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 - 26x – 155 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

5. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 - 8x – 10 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

28

6. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 - 8x +11 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

7. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + 10x + 5 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

29

8. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 - 12x – 7 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

9. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x2 + 8x – 84 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

30

10. จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม x2 - 24x – 112 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

31

แบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.5

คาชี้แจง จงแยกตวั ปะกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

ตวั อย่าง จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม 2x2 + 12x + 10 โดยวธิ ีทาเป็นกาลงั สองสมบูรณ์

วธิ ีทา 2x2 + 12x + 10 = 2[x2 + 6x +5]

= 2[(x2 + 6x) + 5]

= 2[(x2 + 2(3)x + 32) – 32 + 5

= 2[(x + 3)2- 4

= 2[(x + 3)2- 22]

= 2[(x + 3)+ 2][(x + 3)- 2]

=2(x + 3 +2)(x + 3 - 2)

= 2(x +5)(x + 1)

= (2x + 10)(x + 1)

ดงั น้ัน 2x2 + 12x + 10 = = (2x + 10)(x + 1)

32

1. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 3x2 + 12x – 6 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

2. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 4x2 - 4x – 1 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………

33

3. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 6x2 + 36x + 24 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

4. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 11x2 - 142x – 4 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

34

5. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 4x2 + 40x + 64 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

6. จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม 4x2 + 32x + 24 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

35

7. จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม 5x2 + 40x + 35 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

8. จงแยกตวั ประกอบของพหุนาม 12x2 - 48x + 24 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

36

9. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 4x2 + 16x – 28 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

10. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 16x2 - 50x + 25 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

37

แบบทดสอบหลงั เรียน
แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 2
เรื่อง การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสองโดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

คาชี้แจง ใหน้ กั เรียนทาเครื่องหมาย (x) กากบาททบั ตวั อกั ษร ก , ข , ค และ ง ขอ้ ถูกตอ้ งที่สุดเพยี ง
ขอ้ เดียว

1. พหุนามในขอ้ ใดไม่สามารถแยกตวั ประกอบได้

ก. x2 + 1 ข. 4x2 - 9

ค. x2 – 10x + 25 ง. 0.027 – x3

2. พหุนาม x2– 4x + 4 แยกตวั ประกอบไดต้ ามขอ้ ใด

ก. ( x + 2 ) 2 ข. ( x + 4 ) 2

ค. ( x - 2 ) 2 ง. ( x – 4 ) 2

3. พหุนาม x2+ 6x + 9 แยกตวั ประกอบไดต้ ามขอ้ ใด

ก. ( x + 3 ) 2 ข. ( x + 9 ) 2

ค. ( x - 3 ) 2 ง. ( x – 9 ) 2

4. พหุนาม 49x2- 70x + 25 แยกตวั ประกอบไดต้ ามขอ้ ใด

ก. ( 7x + 5 ) 2 ข. ( 7x - 5 ) 2

ค. ( 49x + 5 ) 2 ง . ( 49x – 5 ) 2

5. ( x + 3 )2 เป็นตวั ประกอบของพหุนามขอ้ ใด

ก. x2 – 6x + 9 ข. x2 + 6x + 9

ค. x2 – 12x + 9 ง. x2 + 12x + 9

38

6. ( 5x - 5 )2 เป็นตวั ประกอบของพหุนามขอ้ ใด

ก. 5x2 – 25x + 25 ข. 5x2 + 25x + 25

ค. 25x2 – 50x + 25 ง. 25x2 + 50x + 25

7. ขอ้ ใดไม่ใช่ตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสอง x2+ 3x -18

ก. x - 3 ข. x + 2

ค. x + 6 ง. ( x – 3 )(x + 6)

8. คา่ k ท่ีทาใหพ้ หุนาม x2- 7x – k ถอดรากท่ีสองไดค้ ือขอ้ ใด
7 7
ก. 4 ข.  4

ค. 49 ง.  49
4 4
2
9. kx + 6x2 + 3 เป็นกาลงั สองสมบรู ณ์ แลว้ k มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 0 ข. 1

ค. 2 ง . 4

10. พหุนาม x2+ 6x -1 แยกตวั ประกอบไดต้ ามขอ้ ใด

ก. [( x + 3 ) + 6][( x + 3 ) - 6] ข . [( x + 3 ) + 10][( x + 3 ) - 10]

ค. [( x + 3 ) + 6 ][( x + 3 ) - 6 ] ง. [( x + 3 ) + 10 ][( x + 3 ) - 10 ]

39

บรรณานุกรม

จารัส อินสม. คู่มือคณติ ศาสตร์เพมิ่ เตมิ เล่ม 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 3 ภาคเรียนที่ 1.กรุงเทพฯ :
แมค็ , 2548.

พนิดา พิสิฐอมรชยั และคณะ.แบบฝึ กหัด รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติมช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 3
ภาคเรียนท่ี 1.กรุงเทพฯ : แมค็ , 2555.

โชคชยั สิริหาญอุดม. แบบฝึ กคณติ ศาสตร์ ม.3 เล่ม 1 สาระการเรียนรู้เพม่ิ เตมิ . กรุงเทพฯ :
เดอะบุคส์, 2552.

ฝ่ ายวชิ าการพบี ีซี. ยอดคณติ ศาสตร์ ม.ต้น ชุดที่ 1. กรุงเทพฯ : เยลโล่การพมิ พ,์ 2553.
พรรณี ศิลปวฒั นานนั ท์. ส่ือเสริมทกั ษะเพอื่ มาตรฐานการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์เพม่ิ เตมิ 3 เล่ม 1.

กรุงเทพฯ : ฟิ สิกเซนเตอร์, 2549.
ยพุ นิ พพิ ธิ กลุ . ชุดกจิ กรรมพฒั นาการคดิ วเิ คราะห์คณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ม.3 เล่ม1. กรุงเทพฯ :

บริษทั พฒั นาคุณภาพวชิ าการ (พว) จากดั , 2550.
สถาบนั ส่งเสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพมิ่ เตมิ
คณติ ศาสตร์ เล่ม ๑ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 3. กรุงเทพฯ :

โรงพมิ พ์ สกสค.ลาดพร้าว, 2555.
สุเทพ จนั ทร์สมบรู ณ์กุล. ส่ือเสริมการเรียนรู้เพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.3 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : เดอะบุคส์,

2550.
วนิ ิจ วงศร์ ัตนะ. คณติ คิดวเิ คราะห์ ม.3 เล่ม 1. กรุงเทพ : ไฮเอด็ พบั ลิชช่ิง , 2555.
กนกวลี อุษณกรกลุ และคณะ.คู่มือเตรียมสอบรายวชิ าเพมิ่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.3 เล่ม 1.กรุงเทพ:

ภูมิบณั ฑิตการพิมพ,์ 2558
ไพศาล จรรยา และคณะ.ลบั คม คณติ ม.3 เพม่ิ เติม เทอม 1-2.กรุงเทพ:ภูมิบณั ฑิตการพมิ พ,์ 2558

40

ภาคผนวก

41

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน

เกณฑ์การให้คะนน ระดบั คะแนน
1
ข้อที่ เกณฑ์การให้คะแนน 0
1 - 10 คาตอบถูกตอ้ ง

คาตอบไม่ถกู ตอ้ ง

ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ

1ค6ข
2ก7ง
3ข8ง
4ง9ง
5 ก 10 ค

42

เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน

เกณฑ์การให้คะนน ระดบั คะแนน
1
ข้อที่ เกณฑ์การให้คะแนน 0
1 - 10 คาตอบถูกตอ้ ง

คาตอบไม่ถูกตอ้ ง

ข้อ คาตอบ ข้อ คาตอบ

1ก6ค
2ค7ข
3ก8ง
4ข9ง
5 ข 10 ง

43

เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 2.1

เกณฑ์การให้คะนน ระดบั คะแนน
2
ข้อท่ี เกณฑ์การให้คะแนน 1
1 - 10 คาตอบถูกตอ้ งท้งั สองคาตอบ 0

คาตอบถูกเพียงคาตอบเดียว
คาตอบไม่ถกู ตอ้ ง

คาชี้แจง จงเติมจานวนเตม็ บวกใน  ท่ีทาใหพ้ หุนามดีกรีสองที่กาหนดใหอ้ ยใู่ นรูป
กาลงั สองสมบรู ณ์

1. x2 + 26x + 169 = ( x + 13 )2

2. x2 - 14x + 49 = ( x + 7 )2

3. x2 + 30 x + 225 = ( x + 15 )2
33 = ( x - 14 )2

30
4. x2 - 28 x + 196

44

5. x2 - 34 x + 289 = ( x + 17 )2

6. 9x2 + 102 x + 289 = ( 3 x + 17 )2

7. 16x2 + 96 x + 144 = ( 4 x + 12 )2

8. 4x2 – 52x + 169 = ( 2 x + 13 )2

9. 121 x2 + 132x + 36 = ( 11 x + 6 )2

10. 49 x2 – 112x + 64 = ( 7 x + 8 )2

45

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 2.2

เกณฑ์การให้คะนน ระดบั คะแนน
2
ข้อท่ี เกณฑ์การให้คะแนน 1
1 - 10 คาตอบถูกตอ้ งท้งั หมด 0

คาตอบถกู ตอ้ งบางส่วน
คาตอบไม่ถกู ตอ้ ง

คาชี้แจง จงเขยี นพหุนามดีกรีสองต่อไปนีใ้ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์

1. x2 + 6x + 9 = X2 + 2(3)X + 32
2. x2 + 8x + 16 = (x + 3)2

= X2 + 2(4)X + 42
= (x + 4)2

3. x2 + 24x + 144 = X2 + 2(12)X + 122
= (x + 12)2

4. x2 + 28x + 196 = X2 + 2(14)X + 142
= (x + 14)2

46

5. x2+ 10x + 25 = X2 + 2(5)X + 52
= (x + 5)2

6. x2 – 14x + 49 = X2 - 2(7)X + 72
= (x - 7)2

7. x2 – 30x + 225 = X2 - 2(15)X + 152
= (x - 15)2

8. x2 – 34x + 289 = X2 - 2(17)X + 172
= (x - 17)2

9. x2 – 50x + 625 = X2 - 2(25)X + 252
= (x - 25)2

10. x2 – 54x + 729 = X2 - 2(27)X + 272
= (x - 27)2

47

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะท่ี 2.3

เกณฑ์การให้คะนน ระดับคะแนน
2
ข้อที่ เกณฑ์การให้คะแนน 1
1 - 10 คาตอบถกู ตอ้ งท้งั หมด 0

คาตอบถกู ตอ้ งบางส่วน
คาตอบไม่ถูกตอ้ ง

คาชี้แจง จงเขยี นพหุนามดีกรีสองต่อไปนีใ้ นรูปกาลงั สองสมบูรณ์

1. 16x2 + 24x + 9 = (4X)2 + 2(3)4X + 32
= (4x + 3)2

2. 9x2 + 30x + 25 = (3X)2 + 2(5)3X + 52
= (3x + 5)2

3. 4x2 + 52x + 169 = (2X)2 + 2(13)2X + 132
= (2x + 13)2

4. 25x2 + 50x + 25 = (5X)2 + 2(5)5X + 52
= (5x + 5)2

5. 36x2 + 48x + 16 = (6X)2 - 2(4)6X + 42
= (6x + 4)2

48

6. 49x2– 42x + 9 = (7X)2 - 2(3)7X + 32
= (7x - 3)2

7. 16x2– 32x + 16 = (4X)2 - 2(4)4X + 42
= (6x - 4)2

8. 4x2 – 36x + 81 = (2X)2 - 2(9)2X + 92
= (2x - 4)2

9. 25x2– 120x + 144 = (5X)2 - 2(12)5X + 122
= (5x - 12)2

10. 9x2 – 90x + 225 = (3X)2 - 2(15)3X + 152
= (6x - 4)2

49

เฉลยแบบฝึ กทกั ษะที่ 2.4

เกณฑ์การให้คะนน ระดบั คะแนน
2
ข้อท่ี เกณฑ์การให้คะแนน 1
1 – 10 คาตอบถูกตอ้ ง แสดงวธิ ีทาถกู ตอ้ งท้งั หมด 0

คาตอบถูกตอ้ ง แสดงวธิ ีทาถกู ตอ้ งบางส่วน
คาตอบ แสดงวธิ ีทาไม่ถกู ตอ้ ง

คาชี้แจง จงแยกตัวปะกอบของพหุนามดกี รีสองโดยวธิ ที าเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

1. จงแยกตวั ประกอบพหุนาม x2 + 6x + 5 โดยวธิ ีทาเป็ นกาลงั สองสมบูรณ์

วธิ ที า x2 6 x 5 = x2  6x5
ดังน้ัน x2 6x 5 =  x2  23x  32  32  5
= x  32 9 5

= x  32 4

=  x  32 22 

=  x  3 2 x  32

= x 5x 1

= x 5x 1