MODUL SAKTI UTBK SBMPTN Matematika Saintek

MATEMATIKA
SAINTEK

81

Bab 1
Eksponen dan Logaritma

A. Pengertian Eksponen D. Pertidaksamaan Eksponen

Bilangan bereksponen (berpangkat) dinyatakan 1. Untuk 0 < a < 1 maka berlaku:
dengan: af(x) ≥ ag(x) ⇒ f(x) ≤ g(x)
af(x) ≤ ag(x) ⇒ f(x) ≥ g(x)
a× a × a ×a×a×........×a = an 2. Untuk a > 1 maka berlaku:
af(x) ≥ ag(x) ⇒ f(x) ≥ g(x)
n kali af(x) ≤ ag(x) ⇒ f(x) ≤ g(x)

Contoh: 2 x 2 x 2 = 23 = 8 E. Pengertian Logaritma
Notasi: an dibaca “a pangkat n”
• a disebut bilangan pokok (basis) Logaritma adalah invers dari perpangkatan,
• n disebut bilangan pangkat yaitu men­cari pangkat dari suatu bilangan pokok
seh­ ingga hasilnya sesuai dengan yang telah
B. Sifat-Sifat Eksponen diketahui.

Untuk a, b, m, dan n anggota bilangan real berlaku Jika an = b maka alogb = n
sifat: dibaca “n = log b dengan basis a”
1. am. an = am + n
2. am : an = am – n • a disebut basis (bilangan pokok), a > 0 dan
3. 1 : an = a–n a≠1
4. (am)n = am x n
5. a0 = 1; a ≠ 0 • b disebut bilangan yang dilogaritmakan, b > 0
6. an. bn = (ab)n
7. am : bm = (a : b)m F. Sifat-Sifat Logaritma

m 1. log 1 = 0
2. log 10 = 1
8. n am = a n 3. alog b.c = alogb + alogc
4. alog b = alogb – alogc
C. Persamaan Eksponen
c
• Bentuk : af(x) = 1 ⇒ f(x) = 0
• Bentuk : af(x) = ap ⇒ f(x) = p 5. alog bn = n . alogb
• Bentuk : af(x) = ag(x) ⇒ f(x) = g(x) 6. alog a = 1
• Bentuk : af(x) = bf(x) ⇒ f(x) = 0
• Bentuk : a2f(x)+b + af(x)+ c + d = 0
a2f(x) .ab + a f(x) .ac + d = 0

01

7. alogb = 1 = logb = p logb H. Pertidaksamaan Logaritma
b loga loga p loga
1. Untuk bilangan pokok a > 1 berlaku:
8. alog b . blog c . clog d = alog d • Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka:

9. am logbn n = n a logb

= a logbm m

10. a a logb = b a loga = b f(x) ≥ g(x)

G. Persamaan Logaritma • Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka:

f(x) ≤ g(x)

• Bentuk : alog f(x) = a log p atau alog f(x) = c 2. Untuk bilangan pokok 0 < a < 1, berlaku:
Solusi : f(x) = p atau f(x) = ac
• Bentuk : alog f(x) = b log p atau g(x) log f(x) = c • Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka:
Solusi : f(x) = p = 1 atau f(x) = g(x)c
• Bentuk : a (plog x)2 + b plog x + c = 0 f(x) ≤ g(x)
Solusi : Gunakan sifat persamaan kuadrat
• Jika a log f(x) ≤ a log g(x) maka:
atau dengan cara singkat, yaitu:
f(x) ≥ g(x)

x1.x2 = −b Syarat: f(x) > 0 dan g(x) > 0.

pa



• Bentuk : af(x) = bg(x)
Solusi : Kedua ruas dilogaritmakan menjadi:

f(x) log a = g(x) log b

02

Bab 2
Persamaan Kuadrat

A. Bentuk Umum Persamaan Contoh:
Kuadrat x2 + 6x + 8 = 0

ax2 + bx + c = 0  x + 6 2 = −8 +  6 2
ay2 + by + c = 0  2   2 
untuk a, b, c ∈ bilangan real
x, y variabel dan a ≠ 0 (x + 3) = ± −8 + 9
Rumus diskriminan:
x = −3 ± 1
D = b2 – 4ac x1= –2 atau x2 = – 4

c. Rumus Al-Khawarizmi (abc)

B. Menentukan Akar-Akar x1,2 = −b ± b2 − 4ac
Persamaan Kuadrat 2a

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan C. Bentuk Simetri Akar-Akar
kuadrat ax2 + bx +c = 0 maka akar-akar tersebut Persamaan Kuadrat
dapat diperoleh dengan cara:
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat
a. Faktorisasi ax2 + bx +c = 0 maka berlaku:

a(x − x1).(x − x2 ) = 0 • x1 + x2 = −b
a
Contoh:
x2 – 5x + 6 = 0 • x1 . x2 = c
(x – 3)(x – 2) = 0 a
Maka x = 3 atau x = 2
• x1 – x2 = D
a

b. Melengkapi Kuadrat Sempurna • x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 ⋅ x2
x2 + bx + c = 0 di mana a = 1 maka:
• x12 − x22 = (x1 + x2 )(x1 − x2 )
 x + b 2 = −c +  b 2
 2   2  • 1 + 1 = x1 + x2

x1 x2 x1 ⋅ x2

( )• x14 + x24 = x12 + x22 2 − 2(x1 ⋅ x2 )2
( )( )• x14 − x24 = x12 + x22 x12 − x22

03

• x13 + x32 = (x1 + x2 )3 − 3x1 ⋅ x2 (x1 + x2 ) E. Menyusun Persamaan
• x13 − x32 = (x1 − x2 )3 + 3x1 ⋅ x2 (x1 − x2 ) Kudrat Baru

(x – a)(x – b) = 0

D. Jenis-Jenis Akar Persamaan atau
Kuadrat
x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
x2 – (JAA)x + (PAA) = 0

Berdasarkan nilai diskriminan D = b2 – 4ac, akar-

akar terbagi menjadi dua jenis, yaitu: a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat
JAA = Jumlah akar-akar (a + b)
a. Jika D ≥ 0 maka akar-akarnya real PAA = Perkalian akar-akar (a.b)

• Jika D > 0, akarnya real berlainan Contoh:

• Jika D = 0, akarnya real kembar Jika akar-akarnya adalah kebalikan dari akar-akar
yang diketahui maka:
b. Jika D < 0, akar-akarnya tidak real ax2 + bx + c = 0 menjadi cx2 + bx + a = 0

Jika akar-akarnya real maka hubungan akar-

akar x1 dan x2 mempunyai syarat-syarat,
yaitu:

• Akar-akarnya real positif:

• D ≥ 0, x1 + x2 > 0, x1.x2 > 0
•
Akar-akarnya real negatif:

D > 0, x1 + x 2 = 0, x1.x2 < 0
Akar-akarnya berlawanan tanda:

• D > 0, x1.x2 = 1

Akar-akarnya berlawanan:
• D > 0, x1 + x 2 = 0, x1.x2 < 0
Akar-akarnya saling berkebalikan:

D > 0, x1.x2 = 1

04

Bab 3
Bentuk Akar

A. Sifat-Sifat Bentuk Akar ( )2

• a + b = a + b × a + b = a + b
a. Bentuk Umum Akar a− b a− b a+ b a−b

m m C. Persamaan Bentuk Akar

n am = a n am = a 2

1 1 • (a + b) + 2 ab = a + b , syarat: a > b > 0
Bukti:
n a = an a = a 2

b. Penjumlahan dan Pengurangan (a + b) + 2 ab
1. a c + b c = (a + b) c
= a + 2 ab + b
2. a c − b c = (a − b) c = a + ab + ab + b

c. Perkalian dan Pembagian = ( a2 ) + ab + ab + ( b2 )

2

1. a ⋅ a = a2 = a 2 = a

= a( a + b) + b( a + b)

2. n a ⋅ n b = n ab = ( a + b)( a + b)

3. n am ⋅ n ap = n am+p 2

a+ b = a+ b
( ) =

4. n p a = np a • (a + b) − 2 ab = a − b,ssyyaarraatta: a>>bb> >0 0
5. n a = n a Bukti:

nb b (a + b) − 2 ab

B. Merasionalkan Penyebut = a − 2 ab + b
= a − ab − ab + b
• a = a × b = a b = ( a2 ) − ab − ab + ( b2 )
b bb b = a( a − b) − b( a − b)
= ( a − b)( a − b)
• a = a × b = ab = ( a − b)2 = a − b
b bb b

• c = c × a − b
a+ b a+ b a− b

= c( a − b )

a−b

05

Bab 4
Fungsi Kuadrat

A. Definisi Fungsi Kuadrat Gambar kurva parabola:

Fungsi f yang didefinisikan sebagai Nilai D>0 D=0 D<0
f(x) = ax2 + bx + c, di mana a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 (2 titik potong) (menyinggung) (tidak memotong)
disebut sebagai fungsi kuadrat.
a>0
B. Bentuk Umum Fungsi (terbuka
Kuadrat ke atas)

 Bentuk umum fungsi kuadrat adalah sebagai a<0
berikut: (terbuka
ke bawah)
y = f(x) = ax2 + bx + c
• Suatu kurva disebut definit positif (selalu
Dengan a, b, c ∈ real dan a ≠ 0. bernilai positif untuk setiap x), jika a > 0 dan
• x ∈ R disebut Domain (daerah asal) D < 0.
• y = f (x) ∈ R disebut Range (daerah
hasil). • Suatu kurva disebut definit negatif (selalu
• Range ∈ disebut kodomain (daerah bernilai negatif untuk setiap x), jika a < 0 dan
kawan) yang berpasangan dengan D < 0.
Domain.
definit
 Diskriminan (D) adalah nilai konstanta yang positif
besarnya: a>0 D<0
D = b2 – 4ac
definit
C. Sifat-Sifat Kurva Fungsi negatif
Kuadrat a<0 D<0

Bentuk kurva fungsi kuadrat adalah parabola se­ Jika (Xe,Ye) adalah koordinat titik ekstrem maka:
hingga sering disebut fungsi parabola, yaitu:
• Xe = −b = x1 + x2
y = f(x) = ax2 + bx + c 2
2a

Titik Xe disebut sumbu simetri.

• Ye = − D = axe2 + bxe + c
4a

Titik Ye disebut nilai ekstrem.

06

D. Persamaan Fungsi Kuadrat • Untuk menentukan hubungan kedua

fungsi tersebut maka kedua persamaan

Menentukan fungsi kuadrat dapat menggunakan disubstitusikan sebagai berikut:
tiga cara, yaitu:
1. Jika diketahui tiga titik sembarang maka: y parabola = ygaris

y = ax2 + bx + c px2 + qx + r = mx + n

2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x px2 + (q – m)x + (r – n) = 0
di (x1,0), (x2,0), dan sebuah titik sembarang
maka: Dari hasil substitusi tersebut diperoleh:
a = p, b = q – m, dan c = r _ n

y = a(x − x1)(x − x2 ) Gambar Keterangan

3. Jika diketahui titik puncak (xe,ye) dan sebuah D > 0 ⇒ parabola
titik sembarang maka: memotong garis di dua
titik.
y = a(x − xe )2 + ye
D = 0 ⇒ parabola
E. Hubungan Garis Dan memotong garis di 1 titik
Parabola (menyinggung garis).

• Persamaan garis lurus adalah y = mx + n, D < 0 ⇒ parabola tidak
sedangkan persamaan fungsi parabola memotong garis.
adalah y = f(x) = px2 + qx + r.

07

Bab 5
Pertidaksamaan

A. Sifat-Sifat Pertidaksamaan B. Bentuk-Bentuk
Pertidaksamaan
1. Pemindahan suku tanda tetap.
Contoh: a + b > c maka a + b _ c > 0 a. Pertidaksamaan Linear

2. Perkalian atau pembagian dengan bilangan ax – b > 0
negatif tanda berubah. ax > b
x > b
Contoh: a > c maka – a < – c
a
−1
Contoh: 2x _ 6 > 0
3. Pemangkatan genap mempunyai syarat

kedua ruas sama nilainya. 2x > 6

• Jika kedua ruas positif tanda tetap x > 6

• Jika kedua ruas negatif tanda berubah 2

Contoh: b. Pertidaksamaan Kuadrat

3 ≥ 1 → jika keduanya dikuadratkan 32 ≥ 1 Bentuk umum:

menjadi 9 ≥ 1 (tanda tetap) ax2 + bx + c > 0
–3 ≤ –1 → jika keduanya dikuadratkan akan

menjadi 9 ≥ 1 (tanda berubah dari ≤ menjadi Langkah-langkah umum penyelesaian pertidak­
samaan kuadrat adalah sebagai berikut:
≥). • Nolkan ruas kanan, kemudian pindahkan
4. Operasi dua pertidaksamaan
suku kanan ke ruas kiri.
Operasi penjumlahan tanda pertidaksamaan • Faktorkan menjadi faktor-faktor linier.
• Buat garis bilangan untuk menentukan
tetap. pen­ yelesaian.
Jika sulit difaktorkan maka:
Contoh: • Untuk D > 0 gunakan rumus abc
• Untuk D < 0 maka berlaku:
a < b
- a > 0 maka fungsinya adalah definit
c<d positif atau lebih dari nol.
+
- a < 0 maka fungsinya adalah definit
a+c<b+d negatif atau kurang dari nol.

Operasi perkalian atau pembagian mengikuti

rumus:

(+) x (+) = + (–) x (–) = +
(+) x (–) = – (–) x (+) = –

08

c. Pertidaksamaan Pecahan 2. f (x) < g
Bentuk umum:
• Jika g > 0 maka solusinya adalah
a > c , b ≠ 0 dan d ≠ 0
bd ( ) f (x) 2 < g2 dan f (x) > 0.

Langkah-langkah umum penyelesaian •J ika g < 0 maka tidak mempunyai
pertidak­samaan pecahan adalah sebagai solusi.
berikut:
• Nolkan ruas kanan dengan memindahkan e. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
suku kanan ke ruas kiri.
• Faktorkan pembilang dan penyebut Bentuk umum:
menjadi faktor-faktor linier. • Jika |f(x)| < g maka f(x) < g dan f(x) > –g
• B u a t l a h g a r i s b i l a n g a n u n t u k atau
menentukan pen­ yelesaian. ditulis: –g < f(x) < g
• Jika |f(x)| < g maka f(x) < g dan f (x) < –g
d. Pertidaksamaan Bentuk Akar • Jika |f(x)| > g maka f(x) > g dan f(x) < –g
Bentuk umum:
• Jika |f(x)| < |g(x)| maka:
1. f (x) > g
(f(x) + g(x)).(f(x) – g(x)) < 0
• Jika g > 0 maka solusinya adalah
• Jika f(x) < k maka:
( ) f (x) 2 > g2 dan f (x) > 0.
g(x)
• Jika g < 0 maka solusinya adalah f
(x) > 0. (f(x) – k.g(x)).(f(x) + k.g (x)) < 0

09

Bab 6
Logika Matematika

A. Pernyataan, Kalimat ‘‘dan’’. Konjungsi dari pernyataan p dan q
dilambangkan p ∧ q .
Terbuka, dan Ingkaran Dua pernyataan p ∧ q bernilai benar hanya
jika pernyataan p benar dan q juga benar.
• Pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat Tabel kebenarannya:
ditentukan salah atau benar, tetapi tidak
kedua-duanya. pq p∧q
BB B
Contoh: BS S
1. Tambun berada di Kabupaten Bekasi SB S
SS S
(Benar)
2. 9 adalah bilangan prima (Salah) b. Disjungsi

• Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih Disjungsi adalah penggabungan dua
mengandung variabel atau peubah dan pernyataan menggunakan kata penghubung
belum dapat ditentukan kebenarannya. Jika ‘‘atau’’. Disjungsi dari pernyataan p dan q
variabel tersebut diganti dengan konstanta ditulis dengan p ∨ q .
maka akan menjadi pernyataan.
Dua pernyataan p ∨ q bernilai salah hanya jika
Contoh: pernyataan p salah dan q juga salah.
1. 3x _ 9 = 12
2. x + 5 = 19 Tabel kebenarannya:

• Negasi atau ingkaran adalah pernyataan baru pq p∨q
dengan nilai kebenaran berlawanan dengan
nilai pernyataan semula. Negasi dinotasikan BB B
dengan “  ”. BS B
SB B
Contoh: SS S
a. Pernyataan
p : 6 > 2 (B) maka  p : 6 ≤ 2 (S) c. Implikasi
b. Hari ini hujan.
Negasinya: Hari ini tidak hujan Implikasi adalah penggabungan dua
pernyataan menggunakan kata ‘‘jika...
B. Operasi Logika Matematika maka...’’. Implikasi dari pernyataan p dan q
ditulis p → q .
a. Konjungsi
Dua pernyataan p → q bernilai salah hanya
Konjungsi adalah penggabungan dua jika pernyataan p benar dan q salah.
pernyataan menggunakan kata penghubung
10

Tabel kebenarannya: D. Konvers, Invers, dan

p q p→q Kontraposisi

BB B Jika implikasi p → q maka:
• q → p disebut konvers dari p → q
BS S
•  p →  q disebut invers dari p → q
SB B •  q →  p disebut kontraposisi dari p → q

SS B

d. Biimplikasi E. Penarikan Kesimpulan

Biimplikasi adalah penggabungan dua a. Prinsip Modus Ponens
pernyataan menggunakan kata penghubung
“jika dan hanya jika”. Biimplikasi dari Bentuk umum:
pernyataan p dan q ditulis p ↔ q .
Premis 1 : p → q = benar
Dua pernyataan p ↔ q bernilai salah hanya Premis 2 : p = benar
jika kedua pernyataan bernilai sama. –––––––––––––––––––––
Kesimpulan : q = benar
Tabel kebenarannya:

p q p↔q Contoh:
Premis 1 : Jika saya makan maka saya
BB S
kenyang.
BS B Premis 2 : Saya makan.
Kesimpulan : Saya kenyang.
SB B

SS S

C. Pernyataan Majemuk b. Prinsip Modus Tollens

Bentuk umum:

a. Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen Premis 1 : p → q = benar

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen KPeresmimispu2l an– –::–––p–––q–– –==–––bb––ee–nn–aa––rr–
( ≡ ) jika kedua pernyataan majemuk tersebut
memp­ unyai nilai kebenaran yang sama. Contoh: : Jika saya rajin belajar maka
Premis 1 nilai saya bagus.
Contoh: Premis 2 : Nilai saya buruk.
p → q ≡ p∨ q
Kesimpulan : Saya malas belajar.
Dapat dibuktikandengantabelkebenaran,yaitu:

p q p p∨ q p → q c. Prinsip Silogisme

BB S B B Bentuk umum:
Premis 1 : p → q = benar
BS S S S Premis 2 : q → r = benar
–––––––––––––––––––––
SB B B B Kesimpulan : p → r = benar

SS B B B Contoh:
Premis 1 : Jika saya rajin belajar maka
b. Negasi Pernyataan Majemuk
nilai saya bagus.
•  (p ∧ q) ≡ p∨  q Premis 2 : Jika nilai saya bagus maka
•  (p ∨ q) ≡ p∧  q
•  (p → q) ≡ ( p ∨ q) ≡ p∧  q saya naik kelas.
•  ∃ ≡ ∀ ⇔  ∀ ≡ ∃ Kesimpulan : Jika saya rajin belajar maka

Simbol: ∀ dibaca “untuk setiap/semua” saya akan naik kelas.
Simbol: ∃ dibaca “sebagian/ada beberapa”

11

Bab 7
Trigonometri

A. Perbandingan Trigonometri B. Rumus Sudut yang Berelasi

a. Perbandingan Sisi Suatu Segitiga Siku-siku Pada tiap kuadran, nilai sin, cos, dan tan dapat
bernilai positif atau negatif. Tabel di bawah ini
• sin α = y menunjukkan tanda di setiap kuadran.

r Kuadran

• cos α= x Fungsi I II III IV
0o—90o 90o—180o 180o—270o 270o—360o
r r
y Sin + + – –
• tan α = y
x Cos + – – +
x
Tan + – + –
• ctg α = x
Hubungan dari sin, cos, dan tan pada masing-
y masing kuadran adalah:
a. Pada Kuadran I (0o—90o)
• sec α = r
sin (90o – ) = cos
x cos (90o – ) = sin
tan (90o – ) = cot
• cosec α = r

y

b. Nilai Perbandingan Sudut-sudut Istimewa

b. Pada Kuadran II (90o—180o)

45o 30o sin (180o – ) = sin
21 2 cos (180o – ) = –cos
tan (180o – ) = –tan
2

45o 60o c. Pada Kuadran III (180o—270o)
1 1
sin (180o + ) = –sin
x 0o 30o 45o 60o 90o cos (180o + ) = –cos
tan (180o + ) = tan
sin 0 1 12 13 1
2 2 2

cos 1 1 3 1 2 1 0 d. Pada Kuadran IV (270o—360o)
2
22 sin (360o – ) = –sin
cos (360o – ) = cos
tan 0 1 3 1 3∞ tan (360o – ) = –tan

3

Keterangan: ∞ = tidak terdefinisi (tak
berhingga)

12

C. Rumus-Rumus Segitiga • tan 2A = 2tan A
Dalam Trigonometri
1− tan2 A
a. Hubungan Sin, Cos, dan Tan
c. Perkalian Sinus dan Kosinus
1. sin x = tan x
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
2. cos x 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
sin2x + cos2x = 1 –2 sin A sin B = cos (A + B) – cos (A – B)

tan2 x + 1 = sec2x

b. Pada Setiap Segitiga Sembarang Berlaku d. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan
Kosinus
A

cb sin A + sin B = 2 sin  A +B  cos  A −B 
2   2 

Ba C sin A – sin B = 2 cos  A + B  sin  A −B 
 2  2 

1. Aturan sinus cos A + cos B = 2 cos  A + B  cos  A −B 
 2   2 
a =b= c
sin A sinB sinC
cos A – cos B =  A + B   A − B 
2. Aturan kosinus −2 sin  2  sin  2 

• a2 = b2 + c2 − 2bc cos A E. Grafik Fungsi Trigonometri
• b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
• c2 = a2 + b2 − 2abcos C

3. Luas segitiga ABC a. f(x) = A cos (kx + b) = A cosk  x + b
 k 
1 1 1
2 absinC = 2 bc sin A = 2 ac sinB b. f(x) = A sin (kx + b) = A sink  x + b
 k 

D. Rumus-Rumus Trigonometri Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x)

a. Jumlah dan Selisih Dua Sudut = A cos k  x + b  atau y = A cosk  x + b 
 k   k 

sin (A + B) = sin A cos B + cosA sinB gunakan langkah-langkah sebagai berikut:
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B 1. Gambar grafik y = cosx atau y =sin x
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B 2. Kalikan semua ordinatnya (y) dengan k

tan (A + B) = tan A + tanB 3. Geser grafik ke kiri sejauh b jika b

1− tan A tanB kk

tan (A – B) = tan A − tanB positif, dan geser grafik ke kanan sejauh
b jika b negatif.
1+ tan A tanB
kk
b. Sudut Rangkap atau Kembar
4. Periode grafik adalah 2π

k

• sin 2A = 2 sin A cos A

• cos 2A = cos2A – sin2 A

= 2 cos2 A – 1

= 1 – 2sin2 A

13

F. Persamaan dan 3. Persamaan yang dapat diubah ke bentuk
Pertidaksamaan persamaan kuadrat
Trigonometri Contoh:

a. Persamaan Trigonometri cos2 x + 3cos x − 4 = 0
1. Persamaan dasar
Misalkan, cos x = p maka persamaan di
sin x = sin a x = a + k.2π atas menjadi:
x = (π − a) + k.2π
p2 + 3p – 4 = 0
cos x = cos a → x = ±a + k ⋅ 2π Kemudian selesaikan seperti penyelesaian

tan x = tan a → x = a + kπ persamaan kuadrat.

2. Persamaan yang diselesaikan dengan 4. Bentuk persamaan asin x + bcos x = c
faktorisasi dapat diubah menjadi dengan syarat
Contoh: a2 + b2 ≥ c2 , di mana:
sin 2x + cos x = 0
2 sin x cos x + cos x = 0 k = a2 + b2 dan tan a = a .
cos x (2 sin x + 1) = 0
cos x = 0 atau 2 sin x + 1 = 0 b
2 sin x = –1
b. Pertidaksamaan Trigonometri
sin x = − 1
2 Pertidaksamaan trigonometri dapat
diselesaikan dengan:
a. Menggambar grafiknya.
b. Menggunakan garis bilangan seperti per­
tidaks­ amaan biasa.
c. Untuk soal-soal pilihan ganda bisa
dilakukan cara uji pilihan ganda.

14

Bab 8
Dimensi Tiga

A. Pengertian Titik, Garis, dan 3. Dua garis sejajar.
Bidang pada Bangun Ruang Contoh:
Garis sejajar AB dan CD membentuk bidang
• Titik adalah sebuah noktah. Contoh: titik A
( • A). ABCD.
AC
• G a r i s l u r u s d i l u k i s k a n d e n g a n
menghubungkan dua buah titik. BD
4. Dua garis yang berpotongan.
Contoh: Contoh:
Garis AB menghubungkan titik A dan titik B. Garis AB dan CD berpotongan membentuk

AB bidang AOD atau COB.

• Bidang datar dapat dilukiskan dengan unsur- CB

unsur berikut ini: O

1. Sebuah garis lurus dan sebuah titik di D
A
luar garis. • Bangun ruang tersusun atas bidang-

Contoh: bidang yang membentuk ruangan,
seperti kubus, balok, prisma, limas, dan
Garis AB dengan titik C membentuk lain sebagainya.
• Garis dikatakan tegak lurus dengan bidang
bidang ABC. B jika garis tersebut membentuk sudut 900
terhadap dua garis pada suatu bidang.

B. Irisan Bangun Ruang
•C
A Irisan bidang a dengan bangun ruang adalah
bidang datar yang dibatasi oleh garis potong-garis
2. Tiga buah titik yang tidak terletak potong bidang a dengan sisi-sisi bangun ruang
tersebut.
segaris. Contoh:

Titik A, B, dan C membentuk bidang

ABC. •C

A•

•

B
15

Irisan bidang dapat digambarkan dengan cara b. Proyeksi Titik pada Bidang
menggambarkan sumbu afinitas. A
Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang
irisan dengan alas bagian ruang yang diirisnya.

T B

P Q• Titik B = proyeksi titik A pada bidang a (AB
• tegak lurus bidang a).
C
A •R c. Proyeksi Garis pada Bidang
1. Garis g menembus bidang a
B A
g
Pada gambar di atas, diketahui limas T.ABC. Titik B
P pada rusuk TA, titik Q pada bidang ACT, dan titik A′
R pada rusuk BC. Lukis garis potong-garis potong
bidang yang melalui P, Q, R dengan sisi limas. Garis AB menembus bidang a dititik B. Titik
Langkah-langkah: A' = proyeksi titik A pada bidang a. Proyeksi
1. Tarik garis PQ sehingga memotong rusuk TC garis AB ke bidang a adalah BA'.

di K dan memotong rusuk perpanjangan AC 2. Garis g sejajar bidang a
di L. A Bg
2. Hubungkan L dengan R sehingga memotong
BC dan AB di R dan M. A′ B′
3. Hubungkan K ke R dan P ke M sehingga
terlukis bidang PKRM. Garis AB sejajar bidang a. Titik A' dan B'
Garis potong-garis potongnya adalah PK, KR, = proyeksi titik A dan B pada bidang a.
RM, MP. Proyeksi garis AB ke bidang a adalah A'B'.

T

P Q K
• C
•
• L
B
A R

M


D. Jarak Dalam Bangun Ruang

Garis LRM disebut sumbu afinitas. 1. Jarak titik A ke titik B adalah panjang ruas garis
AB, dihitung dengan menggunakan rumus:
C. Proyeksi
A B
a. Proyeksi Titik pada Garis
A (x1,y1) (x2,y2)
Titik B = proyeksi
titik A pada garis g. Jarak AB = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2

Bg 2. Jarak antara titik A ke garis g adalah panjang
garis AA', di mana A' adalah proyeksi titik A ke
garis g.

16

A 2. Sudut antara garis dengan bidang.
Sudut antara garis g dengan bidang U adalah

sudut a yang dibentuk antara garis g dengan
A' g proyeksi garis g, yaitu g' pada bidang U.
g
3. Jarak antara titik A ke bidang a adalah
panjang ruas garis AA', di mana A' adalah g′
proyeksi titik ke bidang a. U
A

A′ 3. Sudut antara bidang dengan bidang
Sudut antara bidang U dengan bidang V
E. Sudut Dalam Bangun Ruang
adalah sudut a yang dibentuk oleh m dan n
1. Sudut antara dua garis yang bersilangan masing-masing pada bidang U dan V. Garis
Buatlah garis h' yang sejajar dengan garis h m dan n tersebut tegak lurus dengan garis
potong antara bidang U dan V.
dan memotong garis g maka terbentuk sudut
a, yaitu sudut antara perpotongan garis g n
dengan h'. V

m
U

g g

h′
hh

17

Bab 9
Statistika

A. Pengertian Me = Xn+1

Statistika adalah salah satu cabang dari matematika 2
yang berkaitan dengan cara pengumpulan data,
penyusunan data, penyajian data, dan pengolahan Untuk jumlah data (n) ganjil
data, kemudian hasilnya dapat digunakan untuk
pengambilan keputusan atau kesimpulan sesuai Me = 1  X + X 
karakteristik data tersebut. 2  
n n +1
2 2

Untuk jumlah data (n) genap

B. Rumus Untuk Data Tunggal 4. Kuartil (Q) adalah nilai data yang membagi
se­kelompok data menjadi 4 bagian sama
Misalkan, diketahui data-data sebagai berikut: x1, banyak. Kuartil data terdiri atas kuatil bawah
x2, x3, x4, x5, ......, xn maka: (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3).
1. Mean (rataan hitung) = x Di mana kuartil tengah (Q2 ) = Median (Me).

n 5. Jangkauan (J) adalah nilai data terbesar
∑x = x1 + x2 + x3 + ......... + xn = dikurangi nilai data terkecil.
xi

i=1

nn

atau J = Xn – X1
6. Jangkauan antarkuartil
n
∑∑x
= f1x1 + f2x2 + f3x3 + ......... + fnxn = fixi H = Q3 – Q1

f1 + f2 + f3 + ....... + fn i=1 7. Jangkauan semi interkuartil atau simpangan
n kuartil (Qd)

fi

i=1

2. Modus (Mo) adalah nilai data yang paling Qd = 1 (Q3 − Q1 )
banyak muncul (data yang frekuensinya 2
terbesar).
8. Simpangan rata-rata
3. Median (Me) adalah nilai tengah data
setelah data disusun dari yang terkecil hingga ∑SR = 1 n xi − x
terbesar. n i=1

Median membagi data tersusun menjadi dua
bagian sama banyak.

18

9. Ragam atau variansi c. Kuartil (Qn)

∑S2 =1 n 2 n 
n i=1 ∑ 
xi − x 

Qn =  4 f − fkn , dimana n = 1, 2, 3
p fQn
tb +

10. Simpangan baku

∑S = 1 n 2 Keterangan:
S2 = n i=1
xi − x Untuk n = 2, berarti rumus Q2 = median
tb = tepi bawah kelas kuartil ke-n (Qn)
C. Rumus Untuk Data p = panjang interval kelas
Kelompok
∑f = jumlah frekuensi
a. Mean atau Rataan Hitung
fkn = frekuensi kumulatif sebelum kelas Qn
fQn = frekuensi kelas Qn

n
∑ fidi
x = xs + i=1 D. Perubahan Data
n
∑ fi
i=1 Jika terjadi perubahan pada data tunggal dengan
nilai perubahan sama untuk setiap data maka
Keterangan: perubahannya adalah:

xs = rataan sementara (nilai dari salah satu Setiap nilai data di: Bagi P
Statistik
titik tengah interval kelas)
Tambah p Kurangi p Kali p
xi = titik tengah interval kelas data ke-i
di = xi − xs x x' = x +p x' = x −p x' =p x x' = x:p
xi = frekuensi kelas ke-i
M0 MM00+' =p M0' = M0 – p MM00' = p M0 '= M0 : p

b. Modus (Mo) Q Q' = Q + p Q' = Q – p Q' = Q' = Q : p

pQ

Mo = tb + p  d1  J J' = J J' = J J' = p.J J' = J : p
 + d2 
d1 SR SR' = SR SR' = SR SR' = SR' = SR : p

p.SR

Di mana: Qd Qd' =Qd Qd' =Qd Qd' Qd' = Qd
d1 = f0 – f–1
d2 = f0 – f+1 =p.Qd : p

Keterangan: S S' = S S' = S S' = p.S S' = S : p

tb = tepi bawah kelas modus data Keterangan:
p = panjang interval kelas x : rata-rata
Mo : modus
f–1 = frekuensi kelas data sebelum kelas modus Q : kuartil
fo = frekuensi kelas modus J : jangkauan
f+1 = frekuensi kelas data setelah kelas modus SR : simpangan rata-rata
Qd : simpangan kuartil
S : simpangan baku

19

Bab 10
Peluang

A. Kaidah Pencacahan Jawab:

a. Aturan Pengisian Tempat P34 = (4 4! = 24 cara
Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam p − 3)!

cara berlainan dan kejadian berikutnya dapat Jenis-jenis permutasi, antara lain:
terjadi dalam q cara berlainan maka kedua 1. Permutasi yang memuat beberapa unsur
kejadian tersebut dapat terjadi dalam (p x q) yang sama
cara. Jika ada beberapa susunan n unsur
dengan n1 unsur sama, n2 unsur sama,
b. Notasi Faktorial dan seterusnya maka:
Perkalian bilangan asli yang pertama disebut
P = n! cara
faktorial (!).
n1! × n2 ! × ....
n! dibaca “n faktorial”
2. Permutasi siklis (melingar)
n! = n × (n − 1) × (n − 3) × ......3 × 2 ×1 Jika tersedia n unsur yang berbeda maka

Contoh: banyaknya permutasi siklis dari n unsur
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 tersebut adalah:
1! = 1
0! = 1 P(siklis) = (n − 1)! cara

c. Permutasi B. Kombinasi (C)
Banyak permutasi (susunan yang
Banyak kombinasi (susunan acak) k unsur dari n
memerhatikan urutan) k unsur dari n unsur unsur yang tersedia adalah:
adalah:

P(n,k) = = n! , dimana n≥k C(n,k) = Cnk = n! dimana
(n − k)!
(n − k)!k! n≥k

Contoh:
Ada berapa cara 4 orang duduk berjajar

pada tiga kursi yang disediakan?

20

C. Teorema Binomial Newton E. Peluang Kejadian Majemuk

(a + b)n = C(n,0)an + C(n,1)an−1b + a. Peluang Gabungan Dua Kejadian
C(n,2)an−2b2 + ... + C(n,n)bn Misalkan, A dan B adalah dua kejadian yang

Contoh: terdapat dalam ruang sampel S maka peluang
gabungan dua kejadiannya dituliskan sebagai
(x + y)4 = 1.x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1.y4 berikut:

D. Peluang Suatu Kejadian P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

a. Menghitung Peluang Suatu Kejadian Keterangan:
Peluang suatu kejadian A dirumuskan sebagai P(A) = peluang kejadian A
P(B) = peluang kejadian B
berikut: P(A ∪ B ) = peluang kejadian A atau B

P(A) = k = n(A) P(A ∩ B ) = peluang kejadian A dan B

s n(S) b. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang
Saling Lepas
Keterangan:
k = hasil kejadian A Peluang dua kejadian A dan B yang saling
s = seluruh hasil yang mungkin terjadi lepas dituliskan sebagai berikut:
n(A) = banyak anggota himpunan A
n(S) = banyak anggota himpunan ruang P(A ∪ B ) = P(A) + P(B)
sampel
n = banyaknya percobaan c. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang
P(A) = peluang kejadian A Saling Bebas

b. Kisaran Nilai Peluang Kejadian A dan B disebut saling bebas jika dan
Nilai peluang berkisar antara 0 ≤ P(A) ≤ 1. hanya jika:

Untuk P(A) = 1, artinya kejadian A pasti terjadi, P(A ∩ B ) = P(A).P(B)
sedangkan P(A) = 0, artinya kejadian A tidak
mungkin terjadi. d. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
c. Frekuensi Harapan Kejadian a (fh(a)) Jika diketahui kejadian A maka komplemen

fh(a) = P(A) x N kejadian A dinotasikan dengan Ac dan peluang
dari Ac ditulis P(Ac) dan dirumuskan sebagai
Keterangan: berikut:
fh(a) = frekuensi harapan kejadian a
N = banyak percobaan P(Ac) = 1 – P(A)
P(A) = peluang kejadian A
Keterangan:
21 P(Ac) = peluang kejadian komplemen A
P(A) = peluang kejadian A

e. Kejadian Bersyarat
Peluang munculnya kejadian A dengan syarat

kejadian B muncul adalah:
P A B = P(A ∩ B) atau

P(B)

P(A ∩ B) = P(B) × P A B dengan P(B) ≠ 0.
Analog dengan rumus di atas diperoleh:

P B A = P(A ∩ B) atau

P(A)

P(A ∩ B) = P(A) × P B A dengan P(A) ≠ 0.
Keterangan:

P A B = peluang kejadian A setelah
kejadian B

P(A ∩ B) = peluang kejadian A dan B
P(A) = peluang kejadian A
P(B) = peluang kejadian B

22

Bab 11
Lingkaran

A. Persamaan Lingkaran 4. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x2

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0, + y2 + Ax + By + C = 0 berpusat di  − 1 A, − 1 B 
0) dengan jari-jari r adalah:  2 2 
dengan jari-jari:
y x2 + y2 = r2
r=  1 A 2 +  1 B 2 − C
 2   2 

r B. Jari-Jari Lingkaran
ox
Untuk memperjelas pengertian lingkaran perhati­
kan gambar di bawah ini:
2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b)
y
dengan jari-jari r adalah:
P (a . b) I
(x _ a)2 + (y _ b)2 = r2
y r

x

r r II

(a,b) P (a . b)

x

3. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) y
men­ yinggung garis mx + ny + p = 0 Garis Px + Qy + R = 0

Y r III
Garis mx + ny + p = 0
(a,b)
r
(a , b) x

X (I) Lingkaran I:
Menyinggung sumbu x maka r = b
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan r = am + bn + p (II) Lingkaran II:
m2 + n2 Menyinggung sumbu y maka r = a

23

(III) Jika lingkaran berpusat di (a,b) Contoh:
Menyinggung garis Px + Qy + R = 0 maka Garis : y = mx + n... (1)
Lingkaran : x2 + y2 + Ax + Bx + C = 0... (2)
r = P.a + Q.b + R Persamaan (1) disubstitusikan ke
persamaan (2) diperoleh:
P2 + Q2 x2 + (mx + n)2 + Ax + B(mx + n) + C = 0
(1+ m2)x2 + (2mn + a + mB)x + (n2 + Bn +
C. Kedudukan Titik Terhadap C) = 0... (3)
Lingkaran Persamaan (3) adalah persamaan kuadrat
sehingga hubungan garis dan lingkaran
Jika persamaan lingkaran adalah x2 + y2 + Ax + By + dapat ditentukan nilai diskriminannya (D),
C = 0 maka kuasa titik P(x1, y1) terhadap lingkaran yaitu:
adalah: D = (2mn + a + mB)2 – 4(1 + m2)(n2 + Bn + C)

K = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C Kedudukan garis terhadap lingkaran
ditentukan sebagai berikut:
1. Titik P (x1, y1) terletak di luar lingkaran maka
K > 0. 1. Garis memotong lingkaran di dua titik
berlainan apab­ ila nilai diskriminannya lebih
2. Titik P (x1, y1) terletak pada lingkaran maka K dari nol (D > 0).
= 0. y

3. Titik P (x1, y1) terletak di dalam lingkaran maka x
K < 0. 2. Garis menyinggung lingkaran/memotong di

D. Kedudukan Garis Terhadap satu titik apabila diskriminan hasil substitusi
Lingkaran bernilai nol (D = 0).
Jarak garis ax + by + c = 0 ke pusat ling-karan
Kedudukan garis ax + by + c = 0 terhadap P (x1, y1) dirumuskan dengan:
persamaan lingkaran:

• x2 + y2 = r2 ax1 + by1 + c
• (x – a)2 + (y – b)2 = r2 a2 b2
• x2 + y2 + Ax + By + C = 0
y
Ditentukan sebagai berikut:
1. Nyatakan x dalam y atau y dalam x dari ax + by + c = 0

persamaan garis ax + by + c = 0. d
2. Substitusikan x atau y ke persamaan lingkaran
P(x1,y1)
sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam
x atau y. x
3. Tentukan diskriminan D dari persamaan
kuadrat tersebut.

24

3. Garis tidak memotong lingkaran maka 2. Jika persamaan lingkaran
diskriminan substitusi kurang dari nol 0 (D < 0). (x − a)2 + (y − b)2 = r2 maka persamaan
garis singgungnya adalah:
y
(x − a)(x1 − a) + (y − b)(y1 − b) = r2
x
3. Jika persamaan lingkaran
E. Persamaan Garis Singgung
Lingkaran Melalui Sebuah x2 + y2 + Ax + By + C =0maka
Titik pada Lingkaran
persamaan garis singgungnya adalah:
a. Persamaan Garis Singgung di Titik (x1, y1)
pada Lingkaran xx1 + yy1 + A  x + x1  + B  y + y1  + C = 0
1. Jika persamaan lingkaran x2 + y2 = r2  2   2 
maka persamaan garis singgungnya
adalah xx1 + yy1 = r2 b. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien
m pada Lingkaran
1. x2 + y2 = r2 adalah y = mx ± r m2 + 1
2. (x − a)2 + (y − b)2 = r2 adalah:

y − b = m(x − a) ± r m2 + 1

3. x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah:

( )y + 1 B = m(x + 1 A) ± r m2 + 1
22

25

Bab 12
Suku Banyak (Polinomial)

A. Pengertian dan Bentuk Suku x2 − 3x − 4 polinom yang dibagi {f(x)}
Banyak
x−5
f(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + .... x + 2 x2 − 3x − 4

+a2x2 + a1x1 + a0 x2 + 2x −
− 5x − 4
• Bentuk di atas dinamakan suku banyak −5x − 10 −
(polinom) berderajat n, bervariabel x, dan n
bilangan cacah. 6

• Derajatpolinomditentukanpangkattertinggi(n). Jadi, x – 5 adalah hasil bagi {h(x)} dan 6 adalah
• an, an – 1,..., an – 2 disebut koefisien dari xn, xn sisa pembagian {s(x)}

–1,..., xn – 2 Cara 2: Metode sintetik Horner

Contoh: Koefesien suku-suku dituliskan sebagai berikut:
f(x) = x3 − 7x2 + 4x − 6 merupakan polinom
koefisien-koefisien f(x)
berderajat 3 dengan:
• Koefisien x3 adalah 1 x = –2 1 –3 –4
• Koefisien x2 adalah –7 P(x)
• Koefisien x adalah 4 _2 10
• Suku tetapnya adalah –6 x
+
B. Pembagian Suku Banyak 1 –5 6

Jika suatu suku banyak dibagi dengan suku banyak koefisien h(x) s(x)
lain yang lebih rendah derajatnya atau sama
derajatnya akan memberikan sisa pembagian. Jika Langkah-langkah:
sisa pembagian 0, berarti suku banyak pembaginya 1. Menuliskan koefisien xn dari suku banyak,
adalah faktor dari suku banyak yang dibagi.
yaitu 1, –3, dan –4.
Contoh: 2. Menjumlahkan koefisien dimulai dari
Berapakah hasil x2 – 3x – 4 dibagi x + 2?
Cara 1: Pembagian biasa koefisien paling kiri ke bawah (hasilnya 1).
x + 2 polinom pembagi {P(x)} 3. Melakukan operasi pada tanda panah,

artinya 1 x (–2) = –2 dan jumlahkan ke
bawah lagi.
4. Mengulang langkah ke-3 pada koefisien
berikutnya.
5. Maka x – 5 adalah hasil pembagian {h(x)}
dan 6 adalah sisa pembagian {s(x)}.

26

C. Teorema Sisa 1. Nilai x yang memenuhi f (x) = 0 adalah akar-
akar atau penyelesaian dari suku banyak
• Jika suatu suku banyak f(x) dibagi P(x) akan tersebut.
diperoleh hasil bagi H(x) dan sisa S(x) dapat
dirumuskan sebagai berikut: 2. Untuk mencari akar-akar suku banyak dapat
di­gunak­ an cara, yaitu:
f(x) = P(x).H(x) + S(x) • Cara faktorisasi (derajat 2)
• Cara Horner (derajat 3 atau lebih)
Sehingga jika suku banyak f(x) dibagi (x – n)
maka nilai sisanya S(n) sama dengan nilai f(n). a. Fungsi Berderajat Dua

ax2 + bx + c = 0

• Jika f (x) suku banyak dibagi dengan a(x − x1)(x − x2 ) = 0

(ax + b) maka sisanya adalah f  − b  . = − b
 a  a
x1 + x2

• Jika f(x) suku banyak dibagi oleh ax2 + bx x1 ⋅ x2 = c
+ c maka sisanya px + q. a

• Jika f(x) suku banyak dibagi oleh (x – a) b. Fungsi Berderajat Tiga
(x – b) maka sisanya dapat dicari dengan
rumus: ax3 + bx2 + cx + d = 0

Sisa = (x − a) ⋅ f(b) + (x − b) ⋅ f(a) a(x − x1)(x − x2 )(x − x3 ) = 0
(b − a) (a − b)

x1 + x2 + x3 = − b
a
D. Teorema Faktor
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c
• Jika suku banyak dibagi oleh bentuk faktornya a
maka sisa pembagiannya adalah nol.
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = − d
Sehingga, jika suku banyak f(x) dibagi (x – n), a
di mana (x – n) adalah faktor dari f(x) maka
nilai sisanya sama dengan nilai f(n) = 0. c. Fungsi Berderajat Empat

• Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
f(b) = 0 maka f(x) habis dibagi (x – a). (x – b). a(x − x1)(x − x2 )(x − x3 )(x − x4 ) = 0

• Jika (x – n) adalah faktor dari f(x) maka x = n x1 + x2 + x3 + x4 = − b
adalah akar dari f(x). a

E. Akar-Akar Suku Banyak x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = c
a
Perhatikan suku banyak berderajat n di
bawah ini: x1x2x3 + x1x 3 x 4 + x2x3x4 + x1.x2.x4 = − d
a
anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 +
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ x4 = e
.... + a2x2 + a1x1 + a0 = 0 a

27

Bab 13

Fungsi Komposisi
dan Invers

A. Definisi Fungsi Notasi komposisi fungsi sebagai berikut:

Fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke Af Bg C
him­punan B adalah suatu relasi khusus yang
mem­ asangkan setiap elemen dari himpunan A xy z
(domain) dengan tepat pada satu elemen dari
himpunan B (kodomain). h

B. Domain dan Range Fungsi x ∈ A, y ∈B, dan z ∈ C
f(x) = y, g(y) = z, dan h(x) = z
• Daerah asal (domain) fungsi y = f (x) adalah h(x) = g(f(x)) = g  f(x)
nilai-nilai x supaya y = f (x) ada nilainya g  f(x) dibaca “Komposisi fungsi f dilanjutkan
(terdefinisi).
dengan fungsi g”.
• Anggota x disebut domain (daerah asal) dan
y disebut range (daerah hasil). D. Sifat Komposisi Fungsi

• Syarat domain agar fungsi di bawah ini Jika f, g, dan h suatu fungsi maka berlaku:
terdefinisi adalah: 1 . g  f ≠ f  g
1. y = f(x) → syaratnya: f(x) ≥ 0 2. f  I = I  f = f, I(x) = x → fungsi identitas

2. y = f(x) → syaratnya: g(x) ≠ 0 3. (f  g)  h = f  (g  h)

g(x) E. Fungsi Invers

3. y = a logb → syaratnya a > 0 dan a ≠ 1, b > 0 A fB

4. y = f(x) → syaratnya f(x) ≥ 0 xy
g(x) g(x) f–1

dan g(x) ≠ 0 1. Jika x anggota A (x ∈ A) dan y anggota B (y ∈B)
maka:

C. Komposisi Fungsi Fungsi f: A → B, sedangkan invers fungsi f
ditulis f –1 : B → A.
Komposisi fungsi adalah pemetaan dua fungsi
(lebih) secara berturutan.

28

2. Jika f(x) = y maka f –1 (y) = x
3. Fungsi f mempunyai fungsi invers jika f

korespon­densi (berpasangan) satu-satu.
4. Sifat fungsi invers:

• f  f −1 = f −1  f = I = x

• (g  f )−1 = f −1  g−1


Rumus Ringkas Beberapa Fungsi Invers:

1. f(x) = ax + b → f-1(x) = x − b

a

2. f(x) = 1 x − b → f-1(x) = (x + b)a
a

3. f(x) = ax + b → f-1(x) = x2 − b

a

4. f(x) = ax + b → f–1(x) = −dx + b
cx + d cx − a

5. f(x) = ax2 − b → f-1(x) = ± x + b

a

6. f(x) = ax2 + bx + c

f-1(x) = −b ± 4ax + D

2a

7. f(x) = a log nx → f–1(x) = 1.ax

n

8. f(x) = anx → f–1(x) = 1. a log x

n

29

Bab 14
Limit Fungsi

A. Pengertian Limit 1. Jika nilai f (a) tertentu, yaitu:

Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah k, c , c , k , dan k
L, ditulis: ∞
aa∞

lim f(x) = L 2. Jika f (a) adalah nilai tak tentu, yaitu: c ,

x→a

L adalah nilai pendekatan suatu fungsi untuk x ∞ , dan ∞−∞ maka a
disekitar a. ∞
f(x) harus diubah ke

dalam bentuk tertentu.

B. Teorema Limit b. Mengubah Bentuk Tak Tentu Menjadi

Bentuk Tertentu

1 . limb = b , b adalah konstanta 1. Bentuk tak tentu:
x→a
0
2. lim (bx + c) = ab + c lim f(x) = 0
x→a x→a

3 . lim{f(x) ± g(x)} = lim f(x) ± lim g(x)
x→a x→a x→a
Dapat diselesaikan dengan tiga cara,
4 . lim{f(x) ⋅ g(x)} = lim f(x) ⋅ lim g(x) yaitu:
x→a x→a x→a q Faktorisasi
q Kali sekawan (jika bentuk akar)
5 . lim c ⋅ f(x) = c ⋅ lim f(x) q Dalil L’Hospital (turunan limit)
x→a x→a

6. Jika lim 1 = L maka:

x→a g(x)

lim g(x) = 1 . Syarat: L ≠ 0 lim f (x) = lim f '(x)
x→a L

7. lim f(x) = lim f(x) , dengan g(x) ≠ 0 x→a x→a

x→a



x→a g(x) lim g(x)
x→a

Jika f(x) dan g(x) suatu suku banyak maka 2. Bentuk tak tentu:
lim f(x) = f(a) dengan g(a) ≠ 0.
lim f (x) = ∞
x→a g(x) g(a)
x→a ∞

C. Penyelesaian Limit Dapat diselesaikan dengan dua cara, yaitu:
q Membagi pembilang dan penyebut
a. Penyelesaian Umum Limit Fungsi
dengan x pangkat tertinggi.
Penyelesaian umum limit fungsi lim f(x)
x→a
adalah sebagai berikut:

30

q Rumus: Rumus limit fungsi trigonometri adalah:

m > n,hasiln ya = ∞ 1. lim sin x = 1 7. lim tan x =1
x
axm +d m a x→0 x→0 x
bxn +c  b
lim = n,hasiln ya = 2. lim x = 1 8. lim x =1
sin
x→∞ x→0 x→0 tan x

m < n,hasiln ya = 0 x

3. lim ax =a 9. lim sinbx =b
sinbx ax
x→0 b x→0 a

3. Bentuk tak tentu:
4. lim
ax =a 10. lim tan bx = b

lim f (x) = ∞ − ∞ x→0 tan bx b x→0 ax a

x→a 5. lim tan ax = a 11. lim tan ax = a
x→0 sin bx b x→0 tan bx b
Pada umumnya berbentuk:

6. lim tan ax = a 12. lim sin bx = b
lim ax2 + bx + c − px2 + qx + r x→0 sin bx b x→0 tan ax a

x→∞ Jika terdapat fungsi cos maka diubah terlebih
dahulu menjadi:
Dapat diselesaikan dengan cara, yaitu:
q Kalikan dengan akar sekawan, cos x = 1 – 2sin2 1 x atau
selanjutnya membagi pembilang
dengan penyebut dengan x pangkat 2
tertinggi.
q Gunakan konsep jitu, yaitu: cos2 x = 1 – sin2 x

Hasil limitnya = b − p , jika a = p Rumus trigonometri yang sering digunakan
untuk menguraikan soal limit, yaitu:
2a
1. sin2 x + cos2 x = 1
Hasil limitnya = −∞ , jika a < p
Hasil limitnya = ∞ , jika a > p 2. cos x = sin  π − x 
 2 

D. Penyelesaian Limit Fungsi 3. sin x = cos  π − x 
Trigonometri  2 

Untuk limit fungsi trigonometri digunakan 4. sin 2x = 2 sin x cos x
beberapa cara, yaitu:
1. Rumus dasar limit trigonometri 5. 1 – cos 2x = 2sin2 x

6. sin A + sin B = 2sin 1 (A + B)cos 1 (A − B)

22

7. sin A – sin B = 2cos 1 (A + B)sin 1 (A − B)

22

lim sinax = lim ax = a 8. cos A + cos B = 2 cos 1 (A + B)cos 1 (A − B)
x→0 bx b 2 2
x→0 sinbx

lim tan ax = lim ax = a 9. cos A – cos B = −2 sin 1 (A + B) sin 1 (A − B)
bx x→0 tanbx b 2 2
x→0

2. Jika fungsinya mudah diturunkan maka guna­
kan dalil L’ Hospital (turunan limit).

31

Bab 15
Turunan Fungsi

A. Definisi Turunan C. Rumus Turunan Fungsi

Turunan pertama fungsi y terhadap x didefinisikan a. Turunan Fungsi Aljabar
sebagai:
f(x) = c → f '(x) = 0
y' = f ' (x) = dy = lim f(x + h) − f(x) f(x) = xn → f '(x) = nxn – 1
dx f(x) = axn → f '(x) = anxn – 1
h→0 h
f(x) = ln x → f '(x) = 1
Nilai fungsi turunan f ' untuk x = a adalah
x
f '(a) = lim f(a + h) − f(a)
h→0 h b. Turunan Fungsi Trigonometri

B. Sifat-Sifat Turunan Fungsi f(x) = sin x → f '(x) = cos x
f(x) = cos x → f '(x) = –sin x
Untuk U = g(x), V = h (x), dan c = konstanta maka f(x) = tan x → f '(x) = sec2 x
berlaku: f(x) = cot x → f '(x) = –cosec2 x
f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x tan x
f(x) = cosec x → f ‘(x) = –cosec xcot x

y=c → y ' = 0 Untuk U = U (x), dapat dirumuskan menjadi:
f(x) = sin u → f '(x) = u' cos u
y = c.V → y ' = c.V ' f(x) = cos u → f '(x) = –u' sin u
f(x) = tan u → f '(x) = u' sec2 u
y = U ± V → y ' = U'± V ' f(x) = cot u → f '(x) = –u' cosec2 u
f(x) = sinn u → f '(x) = n.sinn – 1 u. (u' cos u)
y = U.V → y ' = U'.V + U.V ' f(x) = cosn u → f '(x)= –n.cosn – 1 u. (u' sin u)

y=U → y' = U'.V − U.V ' D. Aplikasi Turunan
V2
V a. Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva
g
y = Un → y ' = n.Un−1.U'
(x1,y1)

f(x)

32

Titik (x1,y1) adalah titik singgung garis g 3. Titik belok horizontal
dengan kurva y = f (x). Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) = 0

Gradien (kemiringan) garis singgung kurva y = d. Menyelesaikan Soal-Soal Terapan
f (x) adalah m = f '(x1) maka persamaan garis
singgungnya: y – y1 = m (x – x1) Langkah-langkah menentukan maksimum dan
minimum dalam soal-soal terapan.
b. Menentukan Interval Fungsi Naik dan 1. Tuliskan rumus apa yang maksimum atau
Fungsi Turun minimum dalam soal tersebut.
2. Jika rumus maksimum dan minimum
Fungsi akan naik jika f '(x) > 0 dan fungsi akan tersebut lebih dari satu variabel maka
turun jika f '(x) < 0. jadikan satu variabel dengan persamaan
lain.
c. Menentukan Titik Stasioner 3. Tentukan kondisi stasioner fungsi
4. Jawablah yang ditanyakan soal.
Fungsi y = f(x) mengalami stasioner jika f '(x)
= 0 dan terdapat titik-titik stasioner.

Jenis-jenis titik stasioner:
1. Titik balik maksimum
Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) < 0
2. Titik balik minimum
Syarat: f '(x) = 0 dan f ''(x) > 0

33

Bab 16
Integral

A. Definisi dan Sifat-Sifat B. Integral Fungsi Aljabar dan
Integral eksponen

Integral fungsi merupakan kebalikan dari turunan ∫1. dx = x + C
(antidifferensial).

f ( x ) Differensial f '(x) ∫2. xndx = 1 xn+1 + C
Integral n+1

Jenis-jenis integral, antara lain: ∫3. axndx = 1 axn+1 + C
a. Integral tak tentu n+1

4. ∫ k dx = kx + c

∫ f '(x) dx = f(x) + c 5. ∫ 1 dx = ln x + c
x
b. Integral tertentu
∫6. ax dx = ax + c
b
ln a

∫f '(x)dx = f(x) b = f(b) − f(a) ∫7. ex dx = ex + C
a

a

Sifat-sifat integral, yaitu:

∫ ∫1. k.f(x)dx = k f(x)dx C. Rumus Integral Tak Tentu
∫ ∫ ∫2. {f(x) ± g(x)}dx = f(x)dx ± g(x)dx Fungsi Trigonometri

ba a. Integral dengan Variabel Sudut x dan
Sudut ax
∫ ∫3. f(x)dx = − f(x)dx
ab ∫1. sin x dx = −cos x + C
a ∫2. cos x dx = sin x + C
∫3. sin ax dx = − 1 cos ax + C
4. ∫ f(x) dx = 0
a a

bb ∫4. cos ax dx = 1 sin ax + C
a
5. ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
aa ∫5. sec2 xdx = tan x + C

pb b 34

6. ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx
ap a

b bb

7. ∫[f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
a aa

b. Integral dengan Bentuk Pangkat Contoh:

∫1. sinn x ⋅ cos x dx = 1 sinn+1 x + C ∫• (ax + n = 1 1) (ax + )b n+1 + C

n+1 b) dx a(n +

∫2. cosn x ⋅ sin x dx = − 1 cosn+1 x + C • ∫ sin(ax + b)dx = − 1 cos(ax + b) + C
n+1 a

3. ∫ ∫cosn x dx = cosn−1 x ⋅ cos x dx, jika n ganjil ∫• cos(ax + b)dx = 1 sin(ax b) C
a
4. ∫ ∫cosn x dx = cosn−1 x ⋅ cos x dx, jika n ganjil + +

n

sinn xdx = (sin2 x)2 dx, jika n genap
∫ ∫5. ∫• sec2(ax + b)dx = 1 tan(ax + b) + C

n a

cosn x dx = (cos2 x)2 dx, jika n genap
∫ ∫6. b. Teknik Parsial

D. Integral Tertentu Teknik parsial biasanya digunakan untuk
mencari integral suatu fungsi yang tidak dapat
• Integral tertentu adalah integral yang dicari menggunakan teknik substitusi.
memiliki nilai batas-batas tertentu.
Jika u = f(x) dan v = g(x) maka berlaku rumus:
• Jika f(x) adalah fungsi kontinu dan terdefinisi
pada interval a ≤ x ≤ b maka integral tertentu ∫ ∫u.dv = u.v − v.du
f(x) terhadap x dari x = a sampai x = b
dirumuskan oleh: F. Aplikasi Integral

b a Menghitung Luas daerah

∫ f(x)dx = F(x)ba = F(b) – F(a) Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu
a x:

Keterangan: Y
F(x) : Hasil integral
a : Batas bawah y = f(x) b
b : Batas atas
X ∫L = f(x) dx
E. Teknik Integral a

a. Teknik Substitusi x=a x=b
Misalkan, u = g(x) dengan g(x) merupakan
Y X
fungsi yang mempunyai turunan maka: x=a x=b

∫ f (g(x)).g'(x)dx y = f(x) bb

Dapat diubah menjadi: L = −∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx
aa
∫ f(u).du
Luas daerah yang dibatasi dua buah kurva
Jika F(u) adalah anti-urunan dari f(u) maka terhadap batas sumbu x:
dapat dituliskan:
Y
∫ ∫ f(g(x)).g'(x)dx = f(u)du = F(u) + c
y1­ = f1(x)

x=a y2­ = f2(x) X
x=b

35

bb Volume benda putar terhadap sumbu y

L = (y1 − y2 ) dx = [f1(x) − f2(x)] dx Y

aa x = f(y)
∫ ∫
b
L uas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu y: b
V = π∫ (f(y))2 dx
Y a

y=d x = f(y) d a
y=c X
L = ∫ f(y) dy
c Volume daerah yang dibatasi dua buah kurva
terhadap batas sumbu x:
x = f(y) Y X y
X y=d
dd
y=c
L = −∫ f(y)dy = ∫ f(y)dy
cc

b. Menghitung Volume Benda Putar y1= f(x) x
Volume benda putar terhadap sumbu x
y2= g(x)
ab

Y b
y = f(x)
∫V = π (y12 − y22 )dx
a
y
a b xX

b b
x1= f(y)
b ∫V = π (x12 − x22 )dy
x2= g(y) a
V = π∫(f(x))2 dx a
a

x

36

Bab 17

Persamaan Garis Lurus
dan Program Linear

A. Persamaan Garis Lurus b. Jika Diketahui Dua Titik (x1, y1) dan (x2, y2)
y − y1 = x − x1
Bentuk umum persamaan garis lurus:
Bentuk eksplisit : y = m x + c, dengan m adalah y2 − y1 x2 − x1
gradien garis
atau
Bentuk implisit : A x + b y + c = 0 (x2 − x1)y = (y2 − y1)x + (x1y2 − x2y1)
dengan gradien m = − b

a

B. Kemiringan Garis Lurus D. Hubungan Dua Garis Lurus
(Gradien)
Jika garis a1x + b1y = c1 dan garis a2x + b2y = c2 yang
Gradien (m) adalah ukuran kemiringan suatu garis.
Pada gambar di bawah ini gradien sama dengan memilki gradien m1 = − a1 dan m2 = − a2 terdapat
tangen a (tan a). hubungan sebagai beribk1ut: b2

(x2,y2) (i). Dua garis saling sejajar jika:

a m1 = m2
x1,y1
Gradien (m) = y2 − y1 = tan a (ii). Dua garis tegak lurus jika:

x2 − x1 m1 x m2 = –1

C. Menyusun Persamaan Garis (iii). Dua garis saling berimpit jika:
Lurus
a1 = b1 = c1
a. Jika Diketahui Sebuah Titik (x1, y1) dan
Gradien (m) a2 b2 c2

(iv). Dua garis membentuk sudut a jika:

y – y1 = m(x – x1) tan a = m1 − m2
1+ m1m2

37

E. Menggambar Kurva Garis a. Menentukan Daerah Penyelesaian
Lurus
Daerah penyelesaian masalah program
linear, yaitu suatu model matematika yang
berbentuk pertidaksamaan linear ax + b ≤ c
Menghubungkan dua titik koordinat yang terletak atau ax + by ≤ c.

pada persamaan garis lurus tersebut. Daerah penyelesaian dapat ditentukan
dengan cara berikut:
Contoh: Gambar kurva garis lurus 2x – 3y = 12!
1. Jika ax + by ≤ c maka daerah penyelesaian
• Tahap 1
berada di sebelah kanan garis, dengan
Tentukan koordinat titik potongnya terhadap
syarat: koefisien x positif (a > 0).
sumbu-Y dengan cara mensubstitusikan x = 0:
2. Jika ax + b ≤ c maka daerah penyelesaian
2(0) – 3y = 12
_3y = 12 berada di sebelah kiri garis, dengan syarat

y = –4 koefisien x positif (a > 0).

Jadi, koordinat titik potong terhadap sumbu-Y kiri ( ≤ )
adalah (0, –4). kanan ( ≤ )

• Tahap 2 kanan ( ≤ )
Tentukan koordinat titik potongnya terhadap kiri ( ≤ )

sumbu-X dengan cara mensubstitusikan y = 0: kiri ( ≤ ) kanan ( ≤ ) kanan/atas ( ≤ )
2x – 3(0) = 12 kiri/bawah ( ≤ )
2x = 12
x = 6 b. Menentukan Nilai Optimum

Jadi, koordinat titik potong terhadap sumbu-X Untuk menentukan nilai optimum (maksimum
adalah (6,0) dan minimum) dapat digunakan:

Jadi, gambar kurvanya adalah: Cara 1: Dengan uji titik-titik sudut
Langkah-langkah:
Y
1. Buat model matematika
(6,0) 2. Gambar grafik daerah penyelesaiannya
X 3. Tentukan titik-titik sudut dari grafik

(0, –4) himpunan penyelesaian
4. Substitusikanlah titik-titik tersebut ke
F. Program Linear
dalam fungsi sasaran

Program linear adalah suatu metode matematika Cara 2: Dengan menggunakan garis selidik
untuk mencari nilai optimum suatu fungsi Langkah-langkah:
sasaran/objektif dalam bentuk linear pada daerah 1. Buat model matematika
himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 2. Gambar grafik daerah penyelesaiannya
linear. 3. Membuat persamaan garis selidik

Sistem pertidaksamaan linear menentukan (diambil dari fungsi objektif)
daerah penyelesaian, kemudian titik-titik pojok 4. Titik-titik yang dilalui garis selidik yang
pada daerah penyelesaian tersebut menentukan
nilai optimum dari suatu fungsi sasaran. paling kanan atau yang paling kiri
merupakan penyelesaian optimum

38

Bab 18
Matriks

A. Definisi Matriks d. Matriks Identitas

• Matriks adalah susunan bilangan berbentuk Matriks identitas adalah matriks yang memiliki
persegi panjang yang diatur dalam baris dan elemen diagonal utamanya 1, dan sisanya 0.
kolom.
Contoh: I= 1 0 Sifatnya: A x I = 1 x A = A
• Banyaknya baris dan kolom disebut ordo  1
matriks.  0

• Contoh bentuk matriks: C. Transpose Matriks

Ordo matriks (baris dan kolom) • Transpose matriks A adalah matriks baru yang
diperoleh dengan cara menukar elemen baris
A2x3 = 1 35 Baris 1 menjadi elemen kolom, atau sebaliknya.
0 24 Baris 2
• Jika diketahui sebuah matriks:

Nama matriks A= a b c maka transpose matriks A
Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3  e 
 d f 

a d
 
B. Jenis-Jenis Matriks dituliskan: AT =  b e 

 c f 

a. Matriks Persegi

Matriks persegi, yaitu matriks yang memiliki D. Kesamaan Matriks
baris dan kolom yang sama, berordo n x n.
Dua buah matriks dikatakan sama bila memiliki
Contoh: ordo sama dan elemen yang posisinya seletak
besarnya sama.
A2 x 2 = 2 1 , ordo matriks 2 x 2.
 −1 Contoh:
 0

b. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya Jika 2 3 = 2 3
memiliki satu baris dan beberapa kolom.  1  1
 0  0
Contoh: A1 x 3 = (3 –4 0)
Di mana a = p, b = q, c = r, dan d = s
c. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya E. Operasi Matriks
memiliki satu kolom.
a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Contoh: A3 x 1 = 1  , ordo matriks 3 x 1
 2  Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau
 dikurang­kan bila ordonya sama dan elemen yang
 3 

39

posisinya seletak dapat dijumlah atau dikurangi. Jika B adalah matriks berordo 3 x 3 seperti di
bawah ini:
Contoh:

Misalkan, A = a b dan B m n
   
 c d   o p  a b c
 
Maka A ± B adalah: B =  d e f 

(a ± m) (b ± n)   g h i 
 (c ± o) (d ± p)
A ±B= Maka determinan B adalah:

b. Perkalian Matriks abcab

B= d e f d e

Perkalian dengan bilangan konstanta dapat ghi gh
dilaku­kan dengan mengalikan ke setiap
elemen matriks tersebut. ––– + ++
= (aei + bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi)
Contoh:
Sifat-sifat determinan matriks:

k a b  =  ka kb  1. A = AT 3. A−1 = 1
 d   
 c   kc kd  A

Perkalian matriks dengan matriks, syaratnya 2. AB = C → AkoBns=taCnt a 4. k.A = kn A
kolom matriks A sama dengan baris matriks B. Di dan
mana, k = n= ordo

matriks persegi.

Am×n × Bn×p = Cm×p G. Invers Matriks

Cara mengalikan: elemen baris pada matriks a. Dua Matriks Saling Invers
pertama dikali dengan elemen kolom pada • Dua matriks saling invers terjadi jika A dan
matriks kedua hingga semua elemen terkalikan. B adalah matriks persegi yang berordo
sama dan memilki hubungan syarat:
Contoh:
A . B = B. A = I (I = matriks identitas)
A = a b dan B m n
 d   • Maka dikatakan A adalah invers B dan B
 c  o p  adalah invers A.

Maka A x B adalah: • Invers A dinotasikan dengan A–1, sedangkan
invers B dinotasikan dengan B-1.
AxB= a bm n =  a.m + b.o a.n + b.p
      b. Invers Matriks Persegi Berordo 2x2
 c d   o p   c.m + d.o c.n + d.p 
Jika diketahui matriks A adalah:
f. Determinan Matriks

• Misalkan, A adalah matriks persegi berordo A = a b
2 x 2 maka determinan matriks A adalah  d
hasil kali elemen-elemen yang berada pada  c
diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-
elemen yang berada pada diagonal samping. Maka invers matriks A adalah:

(A−1) = 1 ×  d −b 
A  −c 
 a 

A = a b
 
 c d  c. Sifat-sifat Invers Matriks

Determinan (A) adalah: 1. A-1A = AA-1 = Identitas (I)

|B| = a b = ad – bc ( )2. A -1 −1
c d
=A

( )3. AB -1 = B−1A-1

4. AB = C BA = CB−1
= A -1C

40

Bab 19
Vektor

A. Definisi Vektor 2. Panjang vektor posisi  adalah:
b
• Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan
arah. Contoh: gaya dan percepatan dalam b = (x2 )2 + (y2 )2
bidang fisika.
3. Panjang vektor posisi  adalah:
• Vektor digambarkan dengan garis anak panah. AB
Contoh: panjang garis (dari A ke B) adalah
besar nilai vektor. Arah panah menunjukkan AB = ( x2 − )x1 2 + ( y2 − )y1 2
arah vektor.
B. Operasi Vektor
• Sdiimatbaosl(vAekBto=rad)itautlaisukdanendgeanngahnurtuafntdeabpaal n(AaBh
= a). a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan
Jika diketahui terdapat dua buah vektor a
Jika diketahui vektor a dan b pangkalnya
melalui titik asal O (0,0) dan memiliki dan b maka penjumlahan vektor a dan vektor
koordinat di titik A (x1,y1) dan B (x2,y2) maka b dapat dilakukan dengan metode sebagai
vektor OA atau OB disebut vektor posisi a berikut:
atau b. Sedangkan, vektor AB ditentukan
oleh: 
b

b

 A (x1, y1) B (x2, y2) Penjumlahan (  +  )
b a b

 1. Metode segitiga  
b a b
O (0,0)

   Langkah-langkah penjumlahan ( + ):
OA AB
( ) + AB = OB   • Letakkan pangkal vektor b berimpit
AB = OB − OA b−a dengan ujung vektor a.
= =
• Tarik garis dari pangkal vektor a ke ujung
( x2 − x1),( y2 − y1 ) vektor b maka vektor R adalah hasil
p( eRn=juam +labh)a.n kedua vektor tersebut
Maka panjang vektor a, b, dan AB

dirumuskan oleh:

1. Panjang vektor posisi  adalah:
a

a = (x1)2 + (y1)2

41

 2. Metode jajargenjang
b
 Langkah-langkah pengurangan (  −  ):
b  a b
R
• Letakkan pangkal vektor a dan negatif

2. Metode jajargenjang vektor b saling berimpit.
Langkah-langkah penjumlahan
(  +  ): • Tarik garis putus-putus sejajar vektor a
a b
dan negatif vektor b sampai bertemu
• Letakkan pangkal vektor a dan b saling
pada satu titik.
berimpit.
• Tarik garis dari pangkal kedua vektor
• Tarik garis putus-putus sejajar vektor a
sampai titik pertemuan garis putus-
dan b sampai bertemu pada satu titik.
putus tersebut maka vektor R adalah
• Tarik garis dari pangkal kedua vektor
(hRas=ilap−enbg)u. rangan kedua vektor tersebut
sampai titik pertemuan garis putus-

putus tersebut maka vektor R adalah

(hRas=ilap+enbju).mlahan kedua vektor tersebut  
 R b
−b
q

  Besar vektor hasil pengurangan secara
b R geometris:

q 
b

Besar vektor hasil penjumlahan secara a −  = a 2 + 2 − 2 a  cos θ
geometris: b b b

a −  = a 2 + 2 − 2 a  cos θ Keterangan:
b b b a = panjang vektor a
b = panjang vektor b
Kaet e r=anpgaannja:ng vektor a
b = panjang vektor b q = sudut antara vektor a dan vektor b

q = sudut antara vektor a dan vektor b b. Operasi Perkalian Vektor dengan Bilangan
Real (Skalar)
Pengurangan (  −  ) 1. Jika m adalah bilangan real dan a adalah
a b
vektor maka hasil kalinya:
1. Metode segitiga  
Langkah-langkah pengurangan ( a − b ):  =  ....(sebanyak m kali)
a+a+a+
• Letakkan pangkal negatif vektor b m ⋅ a

berimpit dengan ujung vektor a. 2. Jika nilai m adalah bilangan real positif
maka vektor m.a searah dengan vektor a
• Tarik garis dari pangkal vektor a ke ujung
3. Jika nilai m adalah bilangan real negatif
negatif vektor b maka vektor R adalah maka vektor m.a berlawanan arah
dengan vektor a
(hRas=ilape−nbg)u.rangan kedua vektor tersebut
c. Sifat Operasi Penjumlahan, Pengurangan,
 dan Perkalian dengan Bilangan Real
−b
1. Sifat komutatif, yaitu:

 b 
R
a + b = b + a

42

2. Sifat asosiatif, yaitu: 2. Pembagian dalam bentuk vektor
z
( ) ( )     
mn
a+b +c =a+ b+c AP
3. Sifat identitas (vektor nol), yaitu: B

   b 
b b
a + 0 = a
O(0,0) Y
4. Memiliki invers, yaitu vektor lawannya:
 X  
( )  a b p
Jika , , dan adalah vektor posisi dari
a + −a = 0
titik A, B, dan P dengan perbandingan AP

C. Vektor di Ruang Tiga : PB = m : n.
Dimensi
Maka: 

AP = m
a. Vektor Satuan PB n
 − a) = 
1. Vektor satuan adalah vektor yang n ⋅ (p  − p)
nn⋅⋅ppp(+n−m+nm⋅⋅ ap) === m ⋅ (b

memiliki besar satu satuan. m ⋅ b − m ⋅p
m ⋅ b +n ⋅ a
2. Jika vektor a berada di ruang tiga dimensi m ⋅ b +n ⋅ a
m ⋅ b +n ⋅ a
maka posisinya bisa dituliskan di dalam 
p
koordinat (x,y, dan z). = (n + m)

   
a xi + yj + zk
( )Contoh: = 3. Pembagian dalam bentuk koordinat

Dimana: Jika titik P (xp, yp , zp) membagi garis AB di

i = vektor satuan di sumbu x mana A (x1, y1 , z1) dengan perbandingan
j = vektor satuan di sumbu y maka:
k = vektor satuan di sumbu z   =m :n
AP : PB

xp = m ⋅ x2 + n ⋅ x1 ,
m+n

b. Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk yp = m ⋅ y2 + n ⋅ y1 ,
Vektor dan Koordinat
m+n
1. Pembagian dalam ruas garis
zp = m ⋅ z2 + n ⋅ z1
n
mB m+n

P D. Perkalian Skalar Dua
A Vektor

Titik P berada di antara titik A dan B dan a. Perkalian Skalar Dua Vektor
memb­ agi garis AB dengan perbandingan
AP : PB = m : n Perkalian skalar naonttaasiraa .vbe k(tdoibraaca:daa nb
dituliskan dengan dot
m
b) yang didefinisikan sebagai berikut:
P
B 1. Jika diketahui dua vektor berbentuk

An komponen:

Titik P membagi garis AB di luar dengan  =  a1  dan  =  b1 
perb­ andingan AP : PB = m : (–n) a  a2  b  b2 
   
a3  b3 

Maka: a .b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3

43

2. Jika dua vektor membentuk sudut q E. Proyeksi Vektor

maka perkalian skalarnya adalah: 
a .b = a b cosθ
Jpiakanjvaenkgtoar daandanb b mengapit sudut a dengan
 seperti gambar di bawah ini:
a
Dengan: = panjang vektor a

b = panjang vektor b 
b
θ = sudut antara a dan b

Sedangkan sudutnya adalah: a 
b b

Kce=tevreakntgoarnp:royeksi
cos q = a.b

ab

= x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 dari vektor  ke vektor 
a b
x12 + y12 + z12 . x22 + y22 + z22
Maka berlaku:
Tanda perkalian skalar: 1. vPeroktyoerkbsiasdkaalalahr: ortogonal vektor  pada
a
 
a ⋅ b > 0 atau positif maka sudut dua vektor

  lancip  
a b c a⋅ b
⋅ < 0 atau positif maka sudut dua vektor = b

  tumpul 
a ⋅b b
= 0 atau maka sudut dua vektor saling 2. vPeroktyoerksai skalar ortogonal vektor pada
adalah:
tegak lurus
 
   c b⋅ a

a ⋅ b = a ⋅ b maka sudut dua vektor berimpit

atau sejajar = a

b. Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor 3. vPeroktyoerksbi vektor ortogonal vektor  pada
  adalah: a
a⋅b =b⋅a
1. Sifat komutatif:

2. Sifat distributif:         
a.(b + c) = a.b + a.c c b

3. Jika k skalar,  dan  vektor di mana: = a⋅ b
a b
b 2

 =  a1  dan  =  b1  4. vPeroktyoerksai vektor ortogonal vektor  pada
a  a2  b  b2  adalah: b
   
b3 
a3 

Mba..baa=k=aab11b22e++rabla222k2 +u+:ab3322 = a 2   
= b 2 c a⋅ b a
=
2
a

a + b = a 2 + b 2 + 2 a b .cosθ

a −b = a 2 + b 2 − 2 a b .cosθ

Keterangan:
θ : Sudut antara vektor a dan vektor b

44

Bab 20
Transformasi Geometri

A. Pengertian Transformasi b. Refleksi (Pencerminan)

Transformasi adalah suatu proses pemetaan suatu Pencerminan Pemetaan Matriks
objek ke objek lain dalam satu bidang. Terhadap Transformasi

Jika titik A (x,y) ditransformasikan oleh transformasi Sumbu X (x, y) → (x, –y) 1 0 
T akan menghasilkan A' (x',y').
 0 − 1 
 

Sumbu Y (x, y) → (–x, y)  −1 0

 x'  a b x   0 1 
 y '   c  
A(x,y) T → A '(x ',y ') atau  
= d   y  Garis Y = X (x, y) → (–x, y) 0 1
 

a b  1 0 

Di mana = matriks transformasi
 c d  Garis X = –Y (x, y) → (–y, –x) 0 −1
 

 −1 0 
 

B. Jenis-jenis Transformasi Titik asal O (x, y) → (–x, –y)  −1 0 

 0 − 1 
 

a. Translasi (Pergeseran) Garis x = k (x, y) → (2k–x, y)
Garis y = h (x, y) → (x,
Suatu objek P ditranslasikan oleh T maka 2h–y)
hasilnya P′.

P(x,y) (ba)→P'(x',y') c. Rotasi (Perputaran)
1. Rotasi terhadap titik O (0,0)
 x '  =  x  +  a  →  x = x '− a
 y '   y   b   
       y = y '− b  Matriks
Transformasi
Rotasi Pemetaan

T(a, b) berarti: π atau − π (x, y) → (–y, x) 0 −1
2 2
1. Objek digeser sejauh a satuan ke kanan  1 0 
(+)/kiri (–).  

2. Objek digeser sejauh b satuan ke atas (+)/ − π atau 3π (x, y) → (y, –x)  0 1
bawah (–). 2 2
 −1 0 
 

±π (x, y) → (–x, –y)  −1 0 

 0 − 1 
 

45

a (x, y) → (x', y')  cosα − sinα  C. Komposisi Transformasi

x' = x cos a – y  sinα cos α  a. Komposisi dua translasi berurutan T1
sin a   dilanjutkan T2 dapat diganti dengan translasi
tunggal (komposisi kedua translasi).
y' = x sin a – y

cos a

2. Rotasi terhadap titik (a, b) T= T1  T2 =  a  +  c = a + c
Jika titik A (x,y) dirotasikan sebesar a  b   d  d 
    b +
terhadap titik (a,b) berlaku hubungan:

 x '− a  −  cos α − sinα  x − a  b. K o m p o s i s i d u a r e f l e k s i b e r u r u t a n
 y '− b   sinα  b  menghasilkan translasi dua kali jarak antara
   cos α  y − dua sumbu. Urutan refleksi menentukan arah
translasi.
d. Dilatasi (Perkalian atau Pembesaran)
Misalkan, M1 dan M2 adalah refleksi terhadap
Suatu titik A (x,y) didilatasikan dengan pusat garis x = a dan x = b maka:
O (0,0) dengan faktor skala k akan mempunyai
bayangan A'(x',y') dapat dituliskan: ( )P(x,y) M1oM2→P' 2(a − b) + x,y
P(x,y) M1oM2→P'(2(a − b) + x,y)
A(x,y) [O,k] → A '(kx,ky) atau  x' = k 0 x 
 y '     c. Komposisi dua rotasi yang sepusat sebesar
  0 k  y  θ1 dilanjutkan θ2 dapat diganti dengan rotasi
sebesar ( θ1 + θ2 ) dengan pusat rotasi sama.
Jika titik A (x,y) didilatasikan pada titik P (a,b)
dengan faktor skala k maka bayangan A′(x′,y′)
dapat dirumuskan:

 x '− a  k 0 x −a  D. Luas Bangun Hasil Suatu
 y '− b 
  =  0 k  y − b  Transformasi
 

Suatu bangun A ditransformasikan dengan

matriks a c , hasilnya bangun A' maka luas A′
 d
 b

= ad − bc × luas A (luas bayangan = determinan

(M) x Luas semula).

46

Bab 21
Baris dan Deret

A. Notasi Sigma b. Pengertian Deret
Deret adalah penjumlahan suku-suku suatu
Notasi sigma atau ∑ digunakan untuk
barisan bilangan.
menyatakan operasi penjumlahan bilangan Bentuk umum deret adalah:
berurutan.
Sifat-sifat notasi sigma: Sn = U1 + U2 + U3 + .......+ Un

∑ ∑1. n i = n p Keterangan:
i=m p=m Sn = jumlah n suku pertama

∑ ∑2. n ki = k n i , k = konstanta C. Barisan dan Deret
i=m i=m Aritmetika

a −1 n n a. Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan
ki + ki
∑ ∑ ∑3. ki = yang mempunyai beda (selisih) yang tetap
untuk setiap dua suku yang berurutan.
i=m i=a i=m Bentuk umum barisan aritmetika adalah:

n+a (i − a) = n−a U1, U2, U3....... Un
∑ ∑4. a, a + b, a + 2b,........., a + (n – 1)b
(i + a)
Pada barisan aritmetika terdapat beberapa
i=m+a i=m−a rumusan sebagai berikut:

5. nn n • Rumus beda (b)

∑ai ± ∑bi = ∑(ai ± bi) b = Un – Un-1
i=m i=m i=m b = U2– U1= U3– U2= U4– U3= U5– U4

B. Pengertian Barisan dan
Deret

a. Pengertian Barisan
Barisan adalah rangkaian bilangan yangdisusun

menurut aturan atau pola tertentu.
Bentuk umum barisan adalah sebagai berikut:

U1, U2, U3....... Un
Keterangan:
U1 = suku pertama
U2 = suku kedua
U3 = suku ketiga
Un = suku ke –n

47

• Rumus mencari suku ke – n Contoh:
Deret aritmetika:
Un = a + (n – 1) b 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ....
Tentukan jumlah 10 suku pertama?
U1 = a = suku pertama/suku awal
U2 = a + b Pembahasan:
U3 = a + 2b Perhatikan barisan aritmetika di atas:
U4 = a + 3b n = 10, a = 3, dan b = 7 – 3 = 4
U5 = a + 4b
Contoh: Sn = n (2a + (n – 1).b)
Barisan aritmetika: 2
3, 7, 11, 15, 19...
Tentukan suku ke-10? S10 = 10 (2.3 + (10 – 1).4)
2
Pembahasan: = 5 (6 + 36) = 210

b = U2 – U1 = 7 – 3 = 4 D. Barisan dan Deret Geometri
Suku ke –10 adalah:
Un = a + (n – 1) ⋅ b a. Barisan Geometri
U10 = 3 + (10 – 1) .4 Bentuk umum barisan geometri adalah
= 3 + (9.4) = 3 + 36 = 39
sebagai berikut:
b. Deret Aritmetika U1, U2, U3 ....... Un
Bentuk umum deret aritmetika adalah: a, ar, ar2, ........ arn–1

U1 + U2 + U3.+...... +Un Pada barisan geometri terdapat beberapa
a + (a + b) + (a + 2b)+......+(a + (n – 1)b) rumusan sebagai berikut:

Pada deret aritmetika terdapat rumusan • Rumus rasio (r)
sebagai berikut:
r = Un = U2 = U3
• Rumus mencari jumlah n suku pertama
Un−1 U1 U2
Sn = n (a + Un ) = n 2a + (n − 1)b
2 2 • Rumus mencari suku ke – n

Sn adalah jumlah n suku yang pertama. Un = arn−1

• Rumus mencari suku tengah U1= a, U2 = ar, U3 = ar2
Jika banyak sukunya ganjil maka terdapat suku
Contoh:
tengah (Ut): Barisan geometri:
2, 6, 18, 54, ...........
Ut = 1 (a + Un ) Tentukan U10 dan rasionya?
2 Rasionya adalah:

Hubungan antara jumlah n suku pertama dan r = 6 = 18
suku tengah adalah:
26
Sn = n × Ut
= 54 = 3
18

48