OMG 5 Maths Tg 4

Oh My Guru (Modul) Matematik Tingkatan 4OH MY GURU Modul Versi 5.0Praktis
Berpandu
SISIPAN JAWAPAN Baharu Aras 1 & 2

Dicetak pada Edisi Pelajar Baharu Praktis
Mirip Buku Teks
Edisi Guru DWIBAHASA
Sebenar
4 Matematik
Tingkatan 4 Format
SPM Terkini daripada
OMG 5 Maths Tg 4 - 00 Cover.indd 3 Lembaga Peperiksaan

Malaysia

Penerapan
Teknik PDPC

Edisi Guru

6/11/2020 4:31:52 PM

STRATEGI PENERAPAN TEKNIK PdPc

Cikgu, adakah cikgu tahu kelebihan 21 1
buku OMG 5.0 ini? 3 4

Apakah kelebihan buku ini? 4
3
Jika dahulu, guru ibarat memberikan ikan terus
kepada pelajar, iaitu memberikan ilmu dan bahan
kepada pelajar secara terus, namun sekarang
cikgu perlu mengajar dan melatih pelajar
untuk mendapatkan ilmu seperti kita mengajar
cara-cara untuk menangkap ikan sama ada
menggunakan pancing atau jala. Begitu juga latihan-
latihan dalam buku ini.

Naskah DemoBoleh terangkan dengan lebih lanjut. 1 Memenuhi kehendak 3 Contoh + Penerangan + Nota
SP dan TP

Untuk pengetahuan cikgu, buku ini memenuhi

kehendak SP dan TP seperti dalam petunjuk 1. 2 Rujukan muka surat 4

Seterusnya, ramai guru mengajar menggunakan buku Buku Teks Praktis Berpandu Aras 1 (Rendah)

teks. Jadi, selepas sesi pengajaran, guru dan pelajar

boleh menggunakan buku ini sebagai buku latihan Praktis Berpandu Aras 2 (Sederhana)
Kaedah langkah demi langkah
kerana soalan dalam buku ini merupakan soalan klon

buku teks. Setiap latihan disertakan dengan muka

surat buku teks seperti petunjuk 2. Praktis DSKP

merangkumi contoh, penerangan dan nota seperti

dalam petunjuk 3. Tambahan lagi, latihan Praktis

Berpandu yang terdapat dalam buku ini turut disertai

dengan petunjuk cara menjawab soalan tersebut

seperti dalam petunjuk 4. 1234

Menarik buku ini. Ada apa-apa maklumat tambahan
lagi?

56 5

Dalam Praktis SPM, kami turut memberikan

rujukan dan panduan jawapan kepada para

pelajar untuk menjawab soalan tersebut seperti

petunjuk 5 dan 6. Dengan ini, cikgu boleh mengajar

mereka cara untuk mencari jawapan. (Teknik:

Berikan pancing atau jala) Latihan dalam praktis 5 Rujukan: 6 Panduan jawapan:
a) Mukasurat BukuTeks (OMG m.s. 1 DSKP 1.1a, TP1)
SPM ini sebenarnya pernah dijawab oleh pelajar b) Aras kesukaran
a) Buku OMG muka surat 1
dalam Praktis DSKP. 56 b) DSKP Praktis 1.1a
c) TP1
Wah, buku ini sangat menarik dan membantu para
pelajar.

Ya, betul cikgu. Walau bagaimanapun cara pelaksanaan
setiap guru mungkin berbeza tetapi paling penting
objektif pembelajarannya tercapai. Kaedah PdPc ini
mempunyai pelbagai cara dan langkah. Buku ini ibarat
senjata manakala guru pula ibarat Jeneral Tentera.
Jika kita mengajar tentera menggunakan senjata
dengan cara yang berkesan, tentu setiap perjuangan
(peperiksaan) akan memperoleh kejayaan.

KANDUNGAN

FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRATIK DALAM BAB RANGKAIAN DALAM TEORI GRAF
NETWORK IN GRAPH THEORY
BAB SATU PEMBOLEH UBAH 05
QUADRATIC FUNCTIONS AND EQUATIONS IN ONE
01

VARIABLE 5.1 Rangkaian | Network 69
79
1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik | 1 Praktis Komprehensif 81
84
Quadratic Functions and Equations Praktis SPM
Praktis Komprehensif
Praktis SPM 10 Boss Battle
Boss Battle 12
15

BAB KETAKSAMAAN LINEAR DALAM DUA PEMBOLEH UBAH
LINEAR INEQUALITIES IN TWO VARIABLES
06

6.1 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah | 85

Linear Inequalities in Two Variables

BAB ASAS NOMBOR 6.2 Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua 90
NUMBER BASES
02 Pemboleh Ubah | System of Linear Inequalities in
Naskah Demo
1.1 Asas Nombor | Number Bases 16 Two Variables 96
Praktis Komprehensif 24 Praktis Komprehensif 101
Praktis SPM 26 Praktis SPM 103
Boss Battle 29 Boss Battle

BAB GRAF GERAKAN
GRAPHS OF MOTION
07

BAB PENAAKULAN LOGIK 7.1 Graf Jarak-Masa | Distance-Time graphs 104
LOGICAL REASONING 7.2 Graf Laju-Masa | Speed-Time graphs 109
03 30 Praktis Komprehensif 113
38 Praktis SPM 115
3.1 Pernyataan | Statements 44 Boss Battle 118
45
3.2 Hujah | Aguments

Praktis Komprehensif

Praktis SPM

Boss Battle 49

BAB SUKATAN SERAKAN DATA TAK TERKUMPUL
MEASURES OF DISPERSION FOR UNGROUPED DATA
08

BAB OPERASI SET 8.1 Serakan | Dispersion 119
OPERATIONS ON SETS 8.2 Sukatan Serakan | Measures of Dispersion 122
04 50 Praktis Komprehensif 131
55 Praktis SPM 133
4.1 Persilangan Set | Intersection of Sets 59
4.2 Kesatuan Set | Union of Sets
4.3 Gabungan Operasi Set | Combined Operations 63
on Sets 65
Praktis Komprehensif 68
Praktis SPM
Boss Battle Untuk Pesanan, Sila Hubungi/ SMS/ WhatsApp:

Nicholas 012-2885 285 Vally 016-522 5313

John 017-331 3993 Alvis 011-3550 9166

Vincent 012-973 9386 Jackson 011-1890 9869

Kelvin 011-1527 8088 Johnny 011-5507 1039

BAB KEBARANGKALIAN PERISTIWA BERGABUNG
PROBABILITY OF COMBINED EVENTS
09

9.1 Peristiwa Bergabung | Combined Events 137

9.2 Peristiwa Bersandar dan Peristiwa Tak Bersandar 138

| Dependent Events and Independent Events

9.3 Peristiwa Saling Eksklusif dan Peristiwa Tidak 143

Saling Eksklusif | Mutually Exclusive Events and

Non-Mutually Exclusive Events

9.4 Aplikasi Kebarangkalian Peristiwa Bergabung | 148

Application of Probability of Combined Events

Praktis Komprehensif 150

Praktis SPM 152

Boss Battle 156

BAB MATEMATIK PENGGUNA: PENGURUSAN KEWANGANNaskah Demo
CONSUMER MATHEMATICS: FINANCIAL MANAGEMENT
10

10.1 Perancangan dan Pengurusan Kewangan | 157
Financial Planning and Management
160
Praktis Komprehensif 162
Praktis SPM

BAHAGIAN KERTAS 2: Bahagian C
C Format SPM terkini (2021)

165

JAW JAWAPAN/ Answer
(Dicetak pada Edisi Pelajar)

BaGAIMANAKAH GURU-GURU

MENGAJAR SEMASA PELAKSANAAN PKP?

iPDPC 2.0

Anti PowerPoint Mesra
Copy  Mesra Pengguna Google
 Boleh diedit Meet

i

Ekosistem Pengajaran

Kombinasi (Bahan Digital + Cetakan)

01 Mengajar 02 Praktis 03 Semakan

PERCUMA Buku OMG/ PERCUMA
Modul Mudah Pdf buku
iPDPC (Versi 2.0) - Penerapan PdPc & PdPR Myteach
(PowerPoint)
- Panduan Pelajar Mesra
bagi guru yang (seperti Teknik Tangkap Google
memesan buku Ikan) Classroom
- Teknik FOKUS PROSES
Myteach. bukan JAWAPAN
SIAPA CEPAT DIA - KBAT & PAK21

DAPAT

*Terhad 1,000 unit
*Terhad penggunaan
1 tahun

ii

Judul iPDPC 2.0 (PowerPoint):
Bahasa Melayu Tg 1, 2, 3, 4, 5
English Form 1, 2, 3, 4 & 5
Matematik Tg 1, 2, 3, 4 & 5 (versi BM/ English)
Sains Tg 1, 2, 3, 4 & 5 (versi BM/ English)
Sejarah Tg 1, 2, 3, 4, 5 (versi BM)
Sejarah Tg 1, 2, 3, 4, 5 (versi BM/ 中文)
Geogra Tg 1, 2, 3
Reka Bentuk dan Teknologi Tg 1, 2 & 3

(Versi Demo)
Imbas Kod QR atau https://qrs.ly/racz2nf

iii

Judul Buku:
OMG Bahasa Melayu Tg 1, 2, 3, 4, 5
OMG English Form 1, 2, 3, 4 & 5
OMG Matematik Tg 1, 2, 3, 4 & 5 (DWIBAHASA)
OMG Sains Tg 1, 2, 3, 4 & 5 (DWIBAHASA)
OMG Sejarah Tg 1, 2, 3, 4, 5
OMG Geogra Tg 1, 2, 3
OMG Reka Bentuk dan Teknologi Tg 1, 2 & 3
Modul Mudah Matematik Tg 1, 2, 3, 4, 5 (DWIBAHASA)

iv

v

BAB

01 FUNGSI DAN PERSAMAAN KUADRATIK DALAM SATU PEMBOLEH UBAH
QUADRATIC FUNCTIONS AND EQUATIONS IN ONE VARIABLE

1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik | Quadratic Functions and Equations
Naskah Demo
Praktis DSKP 1.1a m.s. 5 BAB 01Mengenal pasti dan menerangkan ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah. SP 1.1.1

1 Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah atau
bukan. TP1

Determine whether each of the following expressions is a quadratic expression in one variable.

Contoh/ Example (a) 15x2 + 8y2 (b) x2 – 9x – 10
x2 + 8 Bukan/ No Ya/ Yes
Ya/ Yes

(c) 6p2 – 3 (d) 11k(2k + 1) (e) n2
p 2

Bukan/ No Ya/ Yes Ya/ Yes


2 Nyatakan nilai-nilai a, b dan c bagi setiap ungkapan kuadratik di bawah. TP1
State the values of a, b and c for each of the quadratic expressions below.

Contoh/ Example (a) 5 y2 – y (b) 7 – 2x – x2
12x2 – 5x + 1 8 –x2 – 2x +
7
a = 12, b = –5, c = 1 5
a = 8 ,b= –1 ,c= 0 a = –1 , b = –2 , c = 7

(c) 20x2 (d) 9 – 6x2 TIPS

a = 20 , b = 0 , a = –6 , b = 0 , Nilai pemalar b dan c boleh jadi
sifar.
c= 0 c= 9 The values of constants b and c can be
zero.

TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ungkapan, fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu   9
pemboleh ubah.

Praktis DSKP 1.1b m.s. 10 Mengenal fungsi kuadratik sebagai hubungan banyak kepada satu, dan seterusnya SP 1.1.2
memerihalkan ciri-ciri fungsi kuadratik.

1 Tentukan bentuk graf bagi setiap fungsi kuadratik di bawah sama ada atau . TP1
Determine the shape for each of the quadratic functions below either or .

Contoh/ Example (a) f(x) = 5x2 – 9x – 2 (b) f(x) = 5 – x – 4x2
f(x) = 3x2 + 8x – 3

1

2 Bagi setiap graf fungsi kuadratik f(x) = ax2 + bx + c yang diberi, lengkapkan jadual di bawah. TP2
For each graphs of quadratic equation f(x) = ax2 + bx + c given, complete the table below.

y y
y
12
2 10

51

BAB 014 0 x 8
3 –5 2 4 6 8 10 6
Naskah Demo
2 –10 4

1 –15 2 1234 x
0 12345 x –20 –3 –2 –1 0
–1 –25
–2

Rajah I/ Diagram I Rajah II/ Diagram II Rajah III/ Diagram III
y
TIPS
(–5, 15) y
15 (1, 15) Nilai a menentukan bentuk
graf.
The value of a determine the shape of
the graph.

10 info

(0, 7) (6, 7) Titik maksimum atau titik
minimum juga disebut titik
5 pegun atau titik pusingan.
The maximum or minimum point
–4 –2 0 –2 x 0 x also called a stationary point or
Rajah IV/ Diagram IV Rajah V/ Diagram V turning point.

Rajah Julat bagi nilai a Titik maksimum/ titik minimum dan Persamaan paksi
Diagram Range of value of a koordinat simetri

Maximum point/ minimum point and coordinates Equation of axis of
symmetry
Contoh a.0 Titik minimum/ Minimum point (2, –1)
Example x=2

I x= 5

II a.0 Titik minimum/ Minimum point (5, –25 )

III a,0 Titik maksimum/ Maximum point ( 1 , 9) x= 1

IV a.0 Titik minimum/ Minimum point (–2, 6) x = –2

V a,0 Titik maksimum/ Maximum point (3, 16) x= 3

TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ungkapan, fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu   2
pemboleh ubah.   4

TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang ungkapan, fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.

2

BAB 01

Praktis DSKP 1.1c m.s. 14 Menyiasat dan membuat generalisasi tentang kesan perubahan nilai SP 1.1.3
a, b dan c ke atas graf fungsi kuadratik, f(x) = ax2 + bx + c.

1 Hitung nilai c bagi setiap fungsi kuadratik berikut jika graf itu melalui titik yang diberi. TP3
Calculate the value of c for each of the following quadratic functions if the graph passes through the point given.

Contoh/ Example (a) f(x) = 12x2 – x + c, (0, –4) (b) f(x) = x2 – 10x + c, (–2, 5)
f(x) = 2x2 + 7x + c, (1, 8) 5= –2 2– 10( –2 )+c
Titik (0, –4) berada pada 5= 4 + 20 + c
8 = 2(1)2 + 7(1) + c paksi- y . Maka, c = –4 5= 24 + c
8=9+c Point (0, –4) lies on the c = 5 – 24
c =8–9 y -axis. Hence, c = –4 c = –19
c = –1

Naskah Demo
(c) f(x) = –x2 – x + c, BAB 01(d) f(x) = c + 6x – 3x2; (3, 2)

pintasan-y/ y-intercept = 8 2 = c + 6 (3) – 3(3)2 info

Pintasan-y = 8, maka c = 8. 2 = c + 18 – 27 Jika f(x) = ax2 + bx + c, nilai c ialah
pintasan-y bagi fungsi kuadratik
The y-intercept = 8, hence 2=c–9 ini.
If f(x) = ax2 + bx + c, the value of c is the
c = 8. c = 2 + 9 y-intercept of the quadratic function.

c = 11

2 Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi kuadratik y = mx2 + 6x + n dengan keadaan P(–3, –15) ialah titik

minimum di mana m dan n ialah integer. TP4

The diagram below shows a graph of quadratic function y = mx2 + 6x + n where P(–3, –15) is the minimum point where

m and n are integers.
y (a) Tentukan nilai m jika –2 , m , 2.

Determine the value of m if –2 , m , 2.

0n x Daripada rajah, kita dapati bahawa m . 0.
Jika –2 , m , 2, jadi m = 1.
From the diagram, we notice that m . 0.
If –2 , m , 2, thus m = 1.

P (–3, –15)

(b) Dengan menggunakan nilai m daripada (a), hitung
nilai n.

By using the value of m from (a), calculate the value of n.

TIPS Pada titik P(–3, –15),
At point P(–3, –15),
Nilai c menentukan kedudukan
pintasan-y. y = mx2 + 6x + n
The value of c determine the position of –15 = (–3)2 + 6(–3) + n
y-intercept. –15 = 9 – 18 + n

n = –15 – 9 + 18
n = –6

3

(c) Nyatakan persamaan fungsi kuadratik yang dibentukkan jika graf itu dipantulkan pada paksi-x.
Berikan jawapan anda dalam bentuk y = ax2 + bx + c.

State the equation of the quadratic function formed if the graph is reflected about the x-axis. Give your answer in

the form y = ax2 + bx + c.

Apabila graf itu dipantulkan pada paksi-x, a , 0 dan a = –1.

When the graph is reflected in the x-axis, a , 0 and a = –1.
BAB 01
c = –n
Naskah Demo
= –(–6)

=6

Pada titik maksimum (–3, 15),

At the maximum point (–3, 15),

y = ax2 + bx + c

15 = –(–3)2 + b(–3) + 6

15 = –9 – 3b + 6

3b = –15 – 9 + 6

b = –18
3

b = –6

Jadi, persamaan ialah y = –x2 – 6x + 6.
Thus, the equation is y = –x2 – 6x + 6.

TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah untuk   4
melaksanakan tugasan mudah.   3

TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan persamaan kuadratik dalam
satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

Praktis DSKP 1.1d m.s. 15 Membentuk fungsi kuadratik berdasarkan suatu situasi dan SP 1.1.4
1 seterusnya menghubungkaitkan dengan persamaan kuadratik.

Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kuboid dengan panjang (x + 8) cm, lebar
x cm dan tinggi 30 cm. TP3

The diagram shows a cuboid with length of (x + 8) cm, width of x cm and height of 30 cm.
(a) Bentuk satu fungsi yang mewakili isi padu, V cm3, kuboid itu dalam

sebutan x.
Form a function that represents the volume, V cm3, of the cuboid in terms of x.

V = 30x(x + 8)

(b) Jika isi padu kuboid itu ialah 10 350 cm3, tulis satu persamaan kuadratik dalam bentuk ax2 + bx + c = 0. x cm
If the volume of the cuboid is 10 350 cm3, write a quadratic equation in the form ax2 + bx + c = 0.

30 x(x + 8) = 10350
30x2 + 240x – 10 350 = 0

x2 + 8x – 345 = 0

4

BAB 01

2 Gaji mingguan Amin ialah RMx. Gaji mingguan Bryan ialah tiga kali ganda daripada gaji Amin manakala
gaji mingguan Calista ialah RM900 kurang daripada gaji Bryan. Jika hasil darab gaji Amin dan gaji Calista
ialah RM720 000 setiap minggu, tulis satu persamaan kuadratik dalam bentuk ax2 + bx + c = 0. TP3

Amin’s weekly salary is RMx. Bryan’s weekly salary is thrice of Amin’s whereas Calista’s weekly salary is RM900 less
than Bryan’s. If the product of Amin’s and Calista’s weekly salary is RM720 000 every week, write a quadratic equation
in the form of ax2 + bx + c = 0.

Gaji Amin/ Amin’s salary = RMx
Gaji Bryan/ Bryan’s salary = RM3x
Gaji Calista/ Calista’s salary = RM(3x – 900)

x(3x – 900) = 720 000
3x2 – 900x – 720 000 = 0

x2 – 300x – 240 000 = 0
Naskah Demo
BAB 01
TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah untuk   3
melaksanakan tugasan mudah.

Praktis DSKP 1.1e m.s. 20 Menerangkan maksud punca suatu persamaan kuadratik. SP 1.1.5

1 Nyatakan punca persamaan kuadratik bagi setiap graf di bawah. TP2
State the roots of the quadratic equations for each of the graphs below.

Contoh/ Example (a) –2x2 + 15x – 25 = 0
8x2 – 6x – 9 = 0 y

y 5

10 –1 0 123456 x
–5
–0.75 0 0.5 x
–1 –0.5 1 1.5 –10
–15
–10 –20
–25

x = –0.75 atau/ or 1.5

(b) 2x2 + 3x – 2 = 0 y x = 2.5 atau/ or 5
2 (c) –x2 + 4x + 12 = 0

x y
1 (2, 16)

12

–2 –1 0 –2 0 6x
–2

x cm x = – 2 atau/ or 6

x = – 2 atau/ or 0.5

5

2 Tentukan sama ada setiap nilai berikut ialah punca bagi persamaan kuadratik di bawah atau bukan.

TP3

Determine whether each of the following values are the roots of the quadratic equations.

Contoh/ Example SLOT KALKULATOR
x2 – 2x – 80 = 0; x = –8, x = 10 Tekan/ Press:

BAB 01Apabila/ When x = –8, 1 ALPHA X x2 – 2 ALPHA X – 8 0
2 CALC – 8 = 0
Naskah DemoKiri/ Left:Kanan/ Right: 3 CALC 1 0 = 0

x2 – 2x – 80 0 TIPS

= (–8)2 – 2(–8) – 80 Punca-punca bagi satu persamaan kuadratik ialah
nilai-nilai x yang memuaskan persamaan itu.
= 64 + 16 – 80
The roots of a quadratic equation are the values of x that
= 0 Sama/ Equal satisfy the equation.

Maka, x = –8 ialah punca bagi persamaan.

Hence, x = –8 is the root of the equation.

Apabila/ When x = 10,

Kiri/ Left: Kanan/ Right:

x2 – 2x – 80 0

= (10)2 – 2(10) – 80

= 100 – 20 – 80

= 0 Sama/ Equal

Maka, x = –10 ialah punca bagi persamaan.

Hence, x = –10 is the root of the equation.

(a) 4x2 + 3x – 10 = 0; x = –2, x = 6 (b) –x2 + 12x – 32 = 0; x = –3, x = 8

Apabila/ When x = –2, Kanan/ Right: Apabila/ When x = – 3 ,
Kiri/ Left: =0
4x2 + 3x – 10 Kiri/ Left: Kanan / Right:
–x2 + 12x – 32 =0
= 4(–2)2+ 3(–2) – 10

= 16 – 6 – 10 = –( – 3 )2 + 12( – 3 ) – 32

=0 = – 9 – 36 – 32
= – 77

Maka, x = – 2 ialah punca bagi persamaan. Maka, x = – 3 ialah bukan punca bagi persamaan.

Hence, x = – 2 is the root of the equation. Hence, x = –3 is not the root of the equation.

Apabila/ When x = 6, Kanan/ Right: Apabila/ When x = 8 , Kanan/ Right:
Kiri/ Left: =0 =0
4x2 + 3x – 10 Kiri/ Left:
–x2 + 12x – 32
= 4(6)2 + 3(6) – 10

= 144 + 18 – 10 = –( 8 )2 + 12( 8 ) – 32

= 152 = – 64 + 96 – 32
Maka, x = 6 ialah bukan punca bagi persamaan. =0
Hence, x = 6 is not the root of the equation. Maka, x = 8 ialah punca bagi persamaan.
Hence, x = 8 is the root of the equation.

6

BAB 01

(c) 6x2 – 2x + 8 = 21x – 7; x = 1, x = 3 (d) 2x2 + 25x + 3 = 10x2 + 6; x = 1 ,x= 3
8

Apabila/ When x = 1, Kanan/ Right: Apabila/ When x = 1 ,
Kiri/ Left: 21x – 7 8
6x2 – 2x + 8 = 21(1) – 7
= 6(1)2 – 2(1) + 8 = 14 Kiri/ Left: Kanan/ Right:
=6–2+8
= 12
Naskah Demo 2x2 + 25x + 3 10x2 + 6
BAB 01
= 2( 1 )2 + 25( 1 ) + 3 = 10( 1 )2 + 6
8 8 8

Maka, x = 1 bukan punca bagi persamaan. = 197 = 197
Hence, x = 1 is not the root of the equation. 32 32

Apabila/ When x = 3, Maka, x = 1 ialah punca bagi persamaan.
Kiri/ Left: 8
6x2 – 2x + 8
= 6(3)2 – 2(3) + 8 Kanan/ Right: Hence, x = 1 is the root of the equation.
= 54 – 6 + 8 21x – 7 8
= 56 = 21(3) – 7
= 56 Apabila/ When x = 3,
Kiri/ Left:
Maka, x = 3 ialah punca bagi persamaan. 2x2 + 25x + 3 Kanan/ Right:
Hence, x = 3 is the root of the equation. = 2(3)2 + 25(3) + 3 10x2 + 6
= 96 = 10(3)2 + 6
= 96

Maka, x = 3 ialah punca bagi persamaan.
Hence, x = 3 is the root of the equation.

TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang ungkapan, fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah.   3
  4
TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah untuk
melaksanakan tugasan mudah.

Praktis DSKP 1.1f m.s. 23 Menentukan punca suatu persamaan kuadratik dengan kaedah pemfaktoran. SP 1.1.6

1 Tentukan punca bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut menggunakan kaedah pemfaktoran. TP4
Determine the roots of each of the following quadratic equations using the factorisation method.

Contoh/ Example (a) 3x2 – 6x = 0 (b) x2 + 17x + 72 = 0
x2 – 9 = 0 3(x2 – 2x ) = 0 (x + 9 )(x + 8 ) = 0
x( x – 2) = 0 x = –9 atau/ or x = –8
(x + 3)(x – 3) = 0
x = –3 atau/ or x = 3

x = 0 atau/ or x = 2

7

(c) 6y2 + 5y – 6 = 0 (d) –k2 + k = –20 (e) –4m2 + 12 = 22m

(2y + 3)(3y – 2) = 0 k2 – k – 20 = 0 4m2 + 22m – 12 = 0
(k + 4)(k – 5) = 0 2m2 + 11m – 6 = 0
y=– 3 atau/ or y = 2 k = –4 atau/ or k = 5
2 3 (m + 6)(2m – 1) = 0

BAB 01 m = –6 atau/ or m = 1
2
Naskah Demo
2 Tulis setiap persamaan kuadratik yang berikut dalam bentuk am. Seterusnya, selesaikan persamaan
kuadratik itu. TP4
Write each of the following quadratic equations in the general form. Hence, solve the quadratic equation.

Contoh/ Example (a) 9 – 13h =4 (b) (2k – 1)(2k – 5) = –3
2x(x – 5) = x + 40 h

2x2 – 10x = x + 40 9 – 13h2 = 4h 4k2 – 10k – 2k + 5 = –3
2x2 – 11x – 40 = 0 13h2 + 4h – 9 = 0 4k2 – 12k + 8 = 0
(2x + 5)(x – 8) = 0 k2 – 3k + 2 = 0

x=– 5 atau/ or x = 8 (h + 1 )(13h – 9 ) = 0 (k – 1 )(k – 2 ) = 0
2

TIPS h= –1 atau/ or h = 9
13
Punca suatu persamaan
kuadratik ax2 + bx + c = 0 k = 1 atau/ or k = 2
ialah nilai x yang memuaskan
persamaan kuadratik.
The root of a quadratic equation ax2
+ bx + c = 0 is the value of x which
satisfies the quadratic equation.

(f ) p p2 = p+ 6 (g) 5a – 7a – 2 =0 (h) (3 – x)2 = 8x + 40
–1 2 2 2a 2

2p2 = (p – 1)(p + 6) 5a2 – (7a – 2) = 0 9 – 6x + x2 = 8x + 40
2p2 = p2 + 6p – p – 6 2
p2 – 5p + 6 = 0 5a2 – 7a + 2 = 0
(p – 2)(p – 3)= 0
p = 2 atau/ or p = 3 (5a – 2)(a – 1) = 0 2(9 – 6x + x2) = 8x + 40

a= 2 atau/ or a = 1 18 – 12x + 2x2 = 8x + 40
5
2x2 – 20x – 22 = 0

x2 – 10x – 11 = 0

(x + 1)(x – 11) = 0

x = –1 atau/ or x = 11

TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan persamaan kuadratik dalam   10
satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

8

BAB 01

Praktis DSKP 1.1g m.s. 25 Melakar graf fungsi kuadratik. SP 1.1.7

1 Lakar graf bagi setiap fungsi kuadratik di bawah. TP4
Sketch the graphs for each of the quadratic functions below.

Contoh/ Example (a) f(x) = –x2 + 10x – 16

f(x) = x2 – 4x – 5
Naskah Demo
a . 0, bentuk / shape BAB 01a , 0, bentuk/ shape

c = –5, pintasan-y/ y-intercept = –5

Apabila / When f(x) c = –16 , pintasan-y/ y-intercept = –16
f(x) = 0, x2 – 4x – 5 = 0
Apabila / When
(x + 1)(x – 5) = 0

x = –1 atau/ or x = 5 f(x) = 0, –x2 + 10x – 16 = 0 f(x)

TIPS x2 – 10x + 16 = 0
( x – 2 )( x – 8 ) = 0
f(x) = x2 + 1 –1 0 x
a = 1, b = 0, c = 1 –5 5
f(x) = –x2 – 2
a = –1, b = 0, c = –2 x = 2 atau/ or x = 8 02 8x
–16

(b) f(x) = 2x2 – x – 21 (c) f(x) = –4x2 – 4x – 1

a . 0, bentuk/ shape a , 0, bentuk/ shape

c = –1, pintasan-y/ y-intercept = –1

c = –21 , pintasan-y/ y-intercept = –21 Apabila/ When
Apabila / When
f(x) = 0 , f(x) = 0, –4x2 – 4x – 1 = 0

4x2 + 4x + 1 = 0

(2x + 1)2 = 0 – 1 f(x)
2
2x2 – x – 21 = 0 f(x) x=– 1 x
2
0

( x + 3 )( 2x – 7 ) = 0 –1

x= –3 atau/ or x = 7 –3 0 x
2 –21 7
2

(d) f(x) = –2x2 + 32 (e) f(x) = 3x2 + 2

a , 0, bentuk / shape a . 0, bentuk / shape
b = 0, paksi-y ialah paksi simetri.
b = 0, paksi-y ialah paksi simetri.

b = 0, y-axis is the axis of symmetry. b = 0, y-axis is the axis of symmetry.

c = 32, pintasan-y / y-intercept = 32 c = 2, pintasan-y/ y-intercept = 2

Apabila / When f(x) Apabila/ When x = 1, f(x)
f(x) = 0, –2x2 + 32 = 0 32
x2 – 16 = 0 f(1)

= 3(1)2 + 2 5 (1, 5)

(x + 4)(x – 4) = 0 4x =5
x = –4 atau / or x = 4
–4 0 2
0x

TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan persamaan kuadratik dalam   5
satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

9

Praktis DSKP 1.1h m.s. 27 Membentuk fungsi kuadratik berdasarkan suatu situasi dan SP 1.1.7
seterusnya menghubungkaitkan dengan persamaan kuadratik.

1 Rajah di sebelah menunjukkan sebuah kolam ikan yang perlu dipasang

pagar dengan dawai pagar. Panjang kolam itu ialah (3y – 5) m dan
lebarnya ialah y m. TP4
The diagram shows a fish pond that needs to be fenced up using mesh wire. The
length of the pool is (3y – 5) m and the width is y m.
(a) Ungkapkan luas, A cm2, kolam itu dalam sebutan y.
Express the area, A cm2, of the pond in terms of y.
BAB 01

Naskah Demo
A = (3y – 5)y

= 3y2 – 5y

(b) Diberi luas kolam itu ialah 78 m2, hitung kos memagar kolam itu jika kos dawai pagar itu ialah RM25 semeter.
Given the area of the pond is 78 m2, calculate the cost of fencing the pond if the cost of the mesh wire used is RM25 per meter.

3y2 – 5y = 78 Kos memagar kolam/ cost of fencing the pond
3y2 – 5y – 78 = 0 = 38 × 25
(3y + 13)(y – 6) = 0 = RM950

y = – 13 @ y = 6
3

Perimeter kolam/ perimeter of pond
2(3y – 5) + 2(y)
2(3(6) – 5) + 2(6)
2(13) + 12
= 38 m

TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan persamaan kuadratik dalam   2
satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.

Praktis Komprehensif m.s. 27

1 Tentukan sama ada setiap ungkapan berikut ialah ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah atau
bukan.
Determine whether each of the following expressions is a quadratic expression in one variable.

(a) t2 + 4t – 12 (b) k2 – 2k + m (c) 6 – q
Ya/ yes Bukan/ no Bukan/ no

2 Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut.
Solve each of the following quadratic equations.

(a) 9x2 – 1 = 0 (b) (x – 3)2 = 4 (c) 2x2 – 9x + 9 = 0

9x2 = 1 (x – 3)(x – 3) = 4 (2x – 3)(x – 3) = 0
x2 – 6x + 9 – 4 = 0
x2 = 1 x2 – 6x + 5 = 0 x= 3 @3
9 (x – 1)(x – 5) = 0 2
x=1@5
x= 1 @– 1
3 3

10

BAB 01

3 Diberi salah satu punca bagi persamaan kuadratik x2 – px + 12 = 0 ialah 3, hitung nilai p.
Given one of the roots of the quadratic equation x2 – px + 12 = 0 is 3, calculate the value of p.

32 – p(3) + 12 = 0
3p = 9 + 12
3p = 21
p = 7
Naskah Demo
BAB 01
4 Tentukan koordinat titik minimum bagi fungsi kuadratik f(x) = x2 – 4x – 12.
Determine the coordinates of the minimum point from the graph of the quadratic function f(x) = x2 – 4x – 12.

x2 – 4x – 12 = 0 f(x)
(x – 6)(x + 2) = 0
x=–2@6

x = 2; –2 0 2 x
22 – 4(2) – 12 –12 6
= 4 – 8 – 12
= –16 –1•6 (2, –16)

(2, –16)
Titik minimum/ The minimum point =

5 Diberi x = 6 ialah paksi simetri bagi graf fungsi kuadratik f(x) = 9 + 6x – x2, tentukan koordinat bagi titik
maksimum.
Given x = 6 is the axis of symmetry of the graph of the quadratic function f(x) = 9 + 6x – x2, determine the coordinates
of the maximum point.

Gantikan x = 6 ke dalam persamaan
Substitute x = 6 into the equation
9 + 6(6) – 62
= 9 + 36 – 36
=9
Titik maksimum/ The maximum point = (6, 9)

6 Rajah di sebelah menunjukkan graf bagi fungsi kuadratik f(x) = ax2 – 4x + c.
y Hitung nilai bagi setiap yang berikut.
The diagram shows the graph of the quadratic function f(x) = ax2 – 4x + c.
–1 0 Calculate the value of each of the following.
–5
(a) c (b) a

–5 1

x
5 (c) Titik minimum/ The minimum point

(2, –9)

11

PRAKTIS spm | KERTAS 1: OBJEKTIF ANEKA PILIHAN (OAP)

Jawab semua soalan.
Answer all question.

1 Antara berikut, yang manakah merupakan 4 Tentukan koordinat titik maksimum bagi fungsi
kuadratik f(x) = –4x2 + 24x – 11.

Determine the coordinates of the maximum point of
the quadratic function f(x) = –4x2 + 24x – 11.

BT m.s. 8 OMG m.s. 2 DSKP 1.1b, TP1 ARAS : S
BAB 01ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah?

Naskah Demo Which of the following is the quadratic expression in one

variable? BT m.s. 3 OMG m.s. 1 DSKP 1.1a, TP1 ARAS : R

y2 + 7y – 1 A (–5, –231)
A 3 B (–3, –119)

7 – 5x2 C (3, 25)
B 3x
C p2 + pq – 6 D (5, 9)

D –m 20m – 50
2
5 Punca bagi persamaan kuadratik =
m + 5 – 3(m – 4)2 merupakan
2 Rajah di bawah menunjukkan fungsi kuadratik.
The diagram below shows a quadratic function. The roots of the quadratic equation 20m – 50 =m+
5 – 3(m – 4)2 are 2
f(x)
BT m.s. 21 OMG m.s. 7 DSKP 1.1f, TP4 ARAS : S

A m = –13 atau/ or m = 2

x B m = –3 atau/ or m = –2

0 C m = –2 atau/ or m = 13
(–1, –5)
(–7, –5) D m = 2 atau/ or m = 3

Nyatakan persamaan paksi simetri. 6 Bagi fungsi kuadratik f(x) = x2 + 4x – 45, koordinat
titik minimum dan paksi simetri masing-masing
State the equation of the axis of symmetry.
ialah (–2, h) dan x = k. Cari nilai-nilai h dan k.
BT m.s. 8 TP2 ARAS : R For quadratic function f(x) = x2 + 4x – 45, the coordinates

A x = –7 of the minimum point and the axis of symmetry are
(–2, h) and x = k. Find the values of h and k.
B x = –6 TP4 ARAS : S

C x = –5 A h = –49 atau/ or k = –2
B h = –45 atau/ or k = –2
D x = –4 C h = –2 atau/ or k = –49
D h = –2 atau/ or k = –45

3 Jika –1 ialah salah satu punca bagi persamaan 7 Jika pintasan-y bagi fungsi kuadratik f(x) =

kuadratik px2 + (p2 + 2)x + 8 = 0, dengan keadaan (x + 1) 2 + p ialah –3, tentukan nilai p.

p ialah pemalar, cari nilai p. If the y-intercept of a quadratic function f(x) = (x + 1) 2

If –1 is one of the roots of the quadratic equation px2 + + p is –3, determine the value of p. TP4 ARAS : S
(p2 + 2)x + 8 = 0, where p is a constant, find the value of p.

OMG m.s. 3 DSKP 1.1c, TP4 ARAS : T A –4

A –5 B –3

B –3 C –2

C 2 D –1

D 3

12

BAB 01

PRAKTIS spm | KERTAS 2: SUBJEKTIF RESPON TERHAD (SRT)

Jawab semua soalan.
Answer all question.

A Bahagian A

1 Rajah di bawah menunjukkan graf bagi fungsi
kuadratik f(x) = a(2x + m)(x + n). Titik A ialah
titik maksimum bagi graf itu.

The diagram below shows a graph of a quadratic
function f(x) = a(2x + m)(x + n). Point A is the maximum
point of the graph.

y

A
Naskah Demo x = 1 (– 1 + 6)
BAB 0122

= 11
4

f(x) = –(2x + 1)(x – 6)

= –(2[ 11 + 1]) ( 11 – 6)
4 4

6 = 169 \ A ( 11 , 169 )
8 4 8
6x
– 1 0
2

(a) Hitung nilai-nilai a, m dan n. [2 markah] 2 Diberi f(x) = 9 – (x – 10)2.
Calculate the values of a, m and n. [2 marks] Given f(x) = 9 – (x – 10)2.
(a) Tulis f(x) dalam bentuk f(x) = ax2 + bx + c.
OMG m.s. 3 DSKP 1.1c, TP4 ARAS : T OMG m.s. 8 DSKP 1.1f, TP4 ARAS : S [2 markah]
Write f(x) in the form f(x) = ax2 + bx + c. [2 marks]
Daripada graf, didapati bahawa x = – 1
2 f(x) = 9 – (x – 10)2
f(x) = 9 – (x2 – 20x + 100)
dan x = 6 apabila f(x) = 0. f(x) = 9 – x2 + 20x – 100
f(x) = –x2 + 20x – 91
From the graph, it is found that x = – 1 and x
2

= 6 when f(x) = 0.

\ – m = – 1 atau/ or –n = 6
2 2

m=1 n = –6

Pada titik (0, 6)/ At point (0, 6),

f(x) = a(2x + 1)(x – 6)

6 = a[2(0) + 1](0 – 6)

–6a = 6 (b) Selesaikan f(x) = 0. [2 markah]
Solve f(x) = 0. TP3 ARAS : S [2 marks]
a = –1

–x2 + 20x – 91 = 0
x2 – 20x + 91 = 0
(b) Tentukan koordinat bagi titik A. [2 markah] (x – 7)(x – 13) = 0
Determine the coordinates of point A. [2 marks] x = 7 atau/ or x = 13
TP4 ARAS : T

13

B Bahagian B

3 Rajah di bawah menunjukkan sebidang tanah –2x2 + 12 000 = 11 800
ABCD yang berbentuk segi empat tepat yang 2x2 – 12 000 + 11 800 = 0
dimiliki oleh Susie. Dia bercadang untuk memagari
sebahagian tanah untuk membina sebuah 2x2 – 200 = 0
kebun yang berbentuk segi tiga CEF. ARAS : T x2 – 100 = 0
The diagram below shows a rectangular land ABCD
which owned by Susie. She decides to fence part of the (x + 10)(x – 10) = 0
lands to build a triangular orchard CEF. x = –10 (tidak diterima/ Not accepted)
atau/ or x = 10
A E 4x B
BAB 01 EF = (120 – 10)2 + [200 – 4(10)]2
(120 – x) m Kebun 120 m = 1102 + 1602
Naskah Demo Orchard C = 37 700 m
F
D 200 m CE = 1202 + [4(10)]2
= 1202 + 402
(a) Tunjukkan bahawa luas, A m2, kebun itu = 16 000 m

diberi oleh A = –2x2 + 12 000. [3 markah] CF = 2002 + 102
= 40 100 m
Show that the area, A m2, of the orchard is given
Kos yang diperlukan/ Cost needed
by A = –2x2 + 12 000. [3 marks] = ( 37 700 + 16 000 + 40 100 ) ×

OMG m.s. 10 DSKP 1.1b, TP4 RM18
= (194.16 + 126.49 + 200.25) × RM18
A = (200)(120) – 1 (200)(x) – 1 (120)(4x) = 520.9 × RM18
2 2 = RM9 376.2

– 1 (200 – 4x)(120 – x) Oleh sebab RM9 376.20 , RM10 000, jadi
2 Susie mempunyai bajet yang mencukupi.
Since RM9 376.20 , RM10 000, thus Susie has
= 24 000 – 100x – 240x – 1 (24 000 –200x enough budget.
2

– 480x + 4x2)

= 24 000 – 340x –12 000 + 340x – 2x2

= –2x2 + 12 000

(b) Bajet Susie ialah RM10 000 dan dia ingin

membina kebun seluas 11 800 m2. Tentukan

sama ada Susie mempunyai bajet yang

mencukupi atau bukan jika kos dawai pagar

ialah RM18 semeter. [6 markah]

Susie’s budget is RM10 000 and she wants to build

an orchard with area 11 800 m2. Determine

whether she has enough budget if the cost of the

fence wire is RM18 per meter. [6 marks]

TP4 ARAS : T

14

BAB 01

Boss Battle

1 100 – 100 =
100 – 100

A 0 Naskah Demo Boss Battle (Aras: Kesukaran yang
BAB 01 Melampau)
B 1
Tidak mengapa jika anda gagal melakukan sesuatu,
C 2 sekurang-kurangnya anda telah mencuba.

D 4 Boss Battle (Level: Extreme Difficulty)
When you fail at something at least you're trying.
Buktikan/ Prove that 0 =2
0 ∴ a2 – b2 = (a + b)(a – b)

0 = 100 – 100 i
0 100 – 100 Saya tidak takut gagal 1 000 kali. Sedangkan cahaya lampu
hanya terhasil setelah melalui 1 000 langkah penciptaannya.
0 = (102 – 102) I didn't fail 1 000 times. The light bulb was an invention with
0 10(10 – 10) 1 000 steps.

0 = (102 – 102) Thomas A. Edison
0 10(10 – 10)

0 = (10 + 10)(10 – 10)
0 10(10 – 10)

0 = 20
0 10

0 = 2,
0

Jawapan/ Answer : C

2 John mempunyai 32 biji gula-gula. Dia makan 28 biji gula-gula itu. Apa yang dia ada sekarang?
John has 32 candy bars. He eats 28. What does he have now?

John ada kencing manis.
John has diabetes.

Kurangkan manis dalam minuman tambahkan manis dalam senyuman.
Reduce the sweetness in the drink add the sweetness in the smile.

15

BAB

02 ASAS NOMBOR
NUMBER BASES

2.1 Asas Nombor | Number Bases

Praktis DSKP 2.1a m.s. 40 Mewakil dan menjelaskan nombor dalam pelbagai asas sari segi angka, nilai tempat, nilai digit dan nilai SP 2.1.1
nombor berdasarkan proses pengumpulan.

1 Kenal pasti dan senaraikan nombor bersesuaian dengan asas di bawah. TP1
Identify and list the numbers which corresponding to the base below.
BAB 02
123 817 289 520 801 267 101 400 info asas
Naskah Demo nombor base
Contoh/ Example 455
Asas enam/ Base six: number
123, 520, 101, 400
(a) Asas empat/ Base four: dibaca sebagai
is read as

123, 101 "empat lima asas lima"

" four five base five"

(b) Asas tujuh/ Base tujuh: (c) Asas lapan/ Base eight: (d) Asas sembilan/ Base nine:
123, 520 , 101, 400 123, 520, 267, 101, 400 123, 817, 520, 801, 267,
101, 400

2 Tentukan nilai tempat bagi setiap digit yang digaris di bawah. TP2 TIPS
Determine the place values for each of the underlined digits below. Setiap asas mempunyai digit 0 hingga digit
yang kurang daripada asasnya.
Contoh/ Example (a) 67257 Every base has digit 0 until digit which less than it.
10111102 = 26 = 70
(b) 123458
(c) 2230145 (d) 5204326 = 82
= 54 = 64
(e) 2003
= 32

3 Tentukan nilai digit bagi setiap digit yang bergaris. TP2
Determine the digit values for each of the underlined digits.

Contoh/ Example (a) 35216 (b) 642078
11102

Nombor 1 1 1 0 Nombor 3 5 2 1 Nombor 6 4 2 0 7
Number Number Number

Nilai 23 22 21 20 Nilai 63 62 61 60 Nilai 84 83 82 81 80

tempat tempat tempat
Place Place Place
value value value

1 × 22 = 4 2 × 61 = 12 6 × 84 = 24 576

16

BAB 01

(c) 20435 (d) 322124 (e) 1200213

Nombor 2 0 4 3 Nombor 3 2 2 1 2 Nombor 1 2 0 0 21
Number Number Number

Nilai 53 52 51 50 Nilai 44 43 42 41 40 Nilai 35 34 33 32 31 30

tempat tempat tempat
Place Place Place
value value value

3 × 50 = 3 2 × 43 = 128 1 × 35 = 243

4 Tentukan setiap nilai nombor di bawah dalam asas sepuluh. TP3
Determine each of the number values below in base ten.
Naskah Demo
Contoh/ Example BAB 02(a) 6325(b) 25418

110112 = (6 × 52 ) + (3 × 51 ) = (2 × 83 ) + (5 × 82 ) +
= (1 × 24) + (1 × 23) + (0 × 22) +

(1 × 21) + (1 × 20) + (2 × 50 ) ( 4 × 81) + (1 × 80 )

= 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 150 + 15 + 2 = 1 024 + 320 + 32
= 167 + 1
= 27 = 1 377
Nombor dalam asas dua
hanya ada digit 0 dan 1.

Numbers in base two have only
digits 0 and 1.

(c) 21013 (d) 546 (e) 1316
= (2 × 33) + (1 × 32) + (0 × 31) = (5 × 61) + (4 × 60) = (1 × 62) + (3 × 61) + (1 × 60)
+ (1 × 30) = 30 + 4 = 36 + 18 + 1
= 54 + 9 + 0 + 1 = 34 = 55
= 64

5 Hitung nilai h dan nilai k. TP3 (b) 230415 = (2 × h4) + (k × 53) + (4 × 51) + (1 × 50)
Calculate the values of h and k.
) + 230415 = (2 × 54 ) + (3 × 53 ) +
(a) 101012 = (1 × h) + (1 × 2k) + (1 × 20)
(4 × 51 ) + (1 × 50 )
101012 = (1 × 24 ) + (1 × 22

(1 × 20 )

Melalui perbandingan/ By comparison: Melalui perbandingan/ By comparison:
h = 24 = 16 , k = 2 h= 5 ,k= 3

(c) (1 × 25) + (1 × 23) + (1 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20) = 1h1k112
(1 × 25) + (0 × 24) + (1 × 23) + (1 × 22) + (1 × 21) + (1 × 20) = 1011112
Melalui perbandingan / By comparison:

h = 0, k = 1

17

6 Selesaikan yang berikut. TP4
Solve the following.

(a) Hitung hasil tambah nilai digit 3 antara (b) Hitung beza nilai digit 2 yang bergaris dalam

nombor 101304 dengan 213156. nombor 251208.
Calculate the sum of the value of digit 3 for numbers Calculate the difference of the value of digit 2

101304 and 213156. underlined in number 251208.

101304: 3 × 41 = 12 251208: 2 × 81 = 16

213156: 3 × 62 = 108 251208 : 2 × 84 = 8 192

Hasil tambah / Sum Beza / Difference
= 12 + 108 = 8 192 – 16
= 120 = 8 176
BAB 02
 
Naskah Demo  
TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang asas nombor.   4
10
TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang asas nombor.  
8
TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang asas nombor untuk melaksanakan tugasan mudah.
2
TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor dalam konteks
penyelesaian masalah rutin yang mudah.

Praktis DSKP 2.1b m.s. 45 Menukar nombor daripada satu asas kepada asas yang lain menggunakan pelbagai kaedah. SP 2.1.2

1 Tukar 85 kepada nombor dalam asas berikut. TP3
Convert 85 to number in the following base.

Contoh/ Example (a) Asas tiga/ Base three
Asas dua/ Base two

2 85 Baki/ Remainder 3 85 Baki/ Remainder
3 28 –1
2 42 –1 SLOT KALKULATOR 39 –1
2 21 –0 33 –0
2 10 –1 Semak Jawapan/ Check answer : 31 –0
25 –0 Tekan/ Press: –1
22 –1 1. MODE MODE 3 DEC 0
2. 8 5 = BIN

2 1 –0 Pembahagian diteruskan hingga

0 –1 digit 0 diperoleh 85 = 100113
The division is continued until digit 0

85 = 10101012 is obtained

(b) Asas lima/ Base five (c) Asas lapan/ Base eight

5 8 5 Baki/ Remainder 8 8 5 Baki/ Remainder
5 17 – 0 810–5
5 3–2 8 1–2

0–3 0–1

8 5 = 3 2 05 8 5 = 1 2 58

18

BAB 01

2 Tukar setiap nombor yang berikut dalam asas yang diberi dalam kurungan. TP3
Convert each of the following numbers in base given in the bracket.

Contoh/ Example (a) 11100112 (asas tiga/ base three)
12213 (asas lima/ base five) = (1 × 26) + (1 × 25) + (1 × 24 ) + (1 ×
12213 21 ) + (1 × 20 )
= (1 × 33) + (2 × 32) + (2 × 31) + (1 × 30)
= 27 + 18 + 6 + 1 = 64 +32 + 16 + 2 + 1
= 52

5 52 Baki/ Remainder = 115
5 10 –2

5 2 –0 3 1 1 5 Baki/ Remainder
0 –2 3 38 – 1
Naskah DemoPembahagian diteruskan
12213 = 5210 = 2025 BAB 02hingga digit 0 diperoleh3 12 – 211100112 = 11510
3 4 –0 = 110213
The division is continued 3 1 –1

until digit 0 is obtained

0 –1

(b) 33024 (asas lapan/ base eight) (c) 7829 (asas enam/ base six)

= (3 × 43 ) + (3 × 42 ) + (2 × 40 ) = (7 × 92 ) + (8 × 91 ) + (2 × 90 )

= 192 + 48 + 2 = 567 + 72 + 2

= 242 = 641

8 2 4 2 Baki/ Remainder 6 6 4 1 Baki/ Remainder
6106–5
8 30 – 2 33024 = 24210 6 17–4
8 3– 6 6 2–5

0– 3 = 3628 0–2
78 29 = 64 110 = 25 456
(d) 4135 (asas dua/ base two) (e) 234607 (asas sembilan/ base nine)
= (2 × 74) + (3 × 73) + (4 × 72) + (6 × 71)
= (4 × 52) + (1 × 51) + (3 × 50) = 4 8 02 + 1 02 9 + 196 + 42
= 6 0 69
= 100 + 5 + 3
Baki/ Remainder
= 108 96069
9 674–3
2 1 0 8 Baki/ Remainder 9 74–8
9 8–2
2 54–0
0–8
2 27–0
23 46 07 = 6 06 910 = 82839
2 13–1 41 35
2 6–1 = 10 810
2 3–0 = 11 01 10 02
2 1–1

0–1

19

3 Tukar setiap nombor yang berikut dalam asas lapan. TP3
Convert each of the following numbers in base eight.

Contoh/ Example (a) 101112
10102

Asas 2 22 21 101 0 Asas 2 1 011 1
Base 2 20 Base 2 20
00 20 22 21 0 22 21 20 22 21 1
Nilai 0+0+1 Nilai
tempat =1 102 tempat 02 042
Place value 0+2+0 Place value 0+2+0 4+2+1
=2 =2 =7
Nilai digit Nilai digit
Digit value Digit value

Asas 8 Asas 8
Base 8 Base 8
BAB 02
10102 = 128 101112 = 278
Naskah Demo (c) 11010002
(b) 1100112

Asas 2 11 001 1 Asas 2 1101000
Base 2 20 Base 2
22 21 20 22 21 1 22 21 20 22 21 20 22 21 20
Nilai Nilai
tempat 42 002 tempat 001401000
Place value 4+2+0 0+2+1 Place value 0+0+1 4+0+1 0+0+0
=6 =3 =1 =5 =0
Nilai digit Nilai digit
Digit value Digit value

Asas 8 Asas 8
Base 8 Base 8

1100112 = 638 11010002 = 1508

(d) 1000111012 (e) 1110000012

Asas 2 100011101 Asas 2 111000001
Base 2 Base 2
22 21 20 22 21 20 22 21 20 22 21 20 22 21 20 22 21 20
Nilai Nilai
tempat 400021401 tempat 421000001
Place value 4+0+0 0+2+1 4+0+1 Place value 4+2+1 0+0+0 0+0+1
=4 =3 =5 =7 =0 =1
Nilai digit Nilai digit
Digit value Digit value

Asas 8 Asas 8
Base 8 Base 8

1000111012 = 4358 1110000012 = 7018

20

BAB 01

4 Tukar setiap nombor yang berikut dalam asas dua. TP3
Convert each of the following numbers in base two.

Contoh/Example (a) 5028
318

3 1 502
Asas 8 2+1 Asas 8
Base 8
1 Base 8 4+1 0 2

Nilai 22 21 20 22 21 20 Nilai 22 21 20 22 21 20 22 21 20
tempat 011001 tempat 101000010
Place value Naskah Demo Place value
BAB 02
Asas 2 Asas 2
Base 2 Base 2

318 = 110012 5028 = 1010000102
(b) 4658 (c) 3718

Asas 8 465 Asas 8 37 1
Base 8 Base 8 2+1 4+2+1 1
4 4+2 4+1

Nilai 22 22 21 20 21 20 22 21 20 Nilai 22 22 21 20 21 20 22 21 20
tempat 100110101 tempat 011111001
Place value Place value

Asas 2 Asas 2
Base 2 Base 2

4658 = 1001101012 3718 = 111110012
(d) 2408 (e) 1768

Asas 8 240 Asas 8 176
Base 8 240 Base 8 1 4+2+1 4+2

Nilai 22 21 20 22 21 20 22 21 20 Nilai 22 21 20 22 21 20 22 21 20
tempat 010100000 tempat 001111110
Place value Place value

Asas 2 Asas 2
Base 2 Base 2

2408 = 101000002 1768 = 11111102

TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang asas nombor untuk melaksanakan tugasan mudah.  18

21

Praktis DSKP 2.1c m.s. 48 Membuat pengiraan yang melibatkan operasi tambah dan tolak bagi nombor dalam pelbagai asas. SP 2.1.3

1 Hitung nilai bagi setiap yang berikut. TP4
Calculate the values for each of the following.

Contoh/ Example TIPS (a) 2123 + 1023 = 10213
1112 + 112 = 10002 Tulis 0 di ruang jawapan.
1 di bawa ke nilai tempat 2 1 23
1 1 12 seterusnya. + 1 0 23
+ 1 12
Write 0 in the answer space. 1 is 1 0 2 13
1 0 1 02
brought to the next place value.

1 + 1 = 210 = 102
1 + 1 + 1 = 310 = 112
1 + 1 = 210 = 102
BAB 02
(b) 3214 + 1234 = 11104 (c) 1435 + 32045 = 34025 (d) 54116 + 10556 = 105106
Naskah Demo 3 2 14
1 4 35 5 4 1 16
+ 1 2 34 + 3 2 0 45 + 1 0 5 56

1 1 1 04 3 4 0 25 1 0 5 1 06

(e) 563327 + 1457 = 565107 (f) 27768 + 46738 = 76718 (g) 186769 + 23259 = 221129

5 6 3 3 27 2 7 7 68 1 8 6 7 69
+ 1 4 57 + 4 6 7 38 + 2 3 2 59

5 6 5 1 07 7 6 7 18 2 2 1 1 29

2 Hitung nilai bagi setiap yang berikut. TP4
Calculate the values for each of the following.

Contoh/Example TIPS (a) 12013 – 1123 = 10123
34035 – 2135 = 31405
Pemindahan nombor 1 2 0 13
35 mengikut asas lima. – 1 1 23
Gunakan lima untuk
3 4 0 35 membuat operasi tolak. 1 0 1 23
– 2 1 35 Tolak seperti biasa.
Transfer the number in base
3 1 4 05 five. Use five to do substraction.

3 – 3 = 05 Subtract as usual.
5 – 1 = 45
3 – 2 = 15

(b) 20314 – 3224 = 11034 (c) 43135 – 21225 = 21415 (d) 235506 – 54126 = 141346
2 0 3 14
4 3 1 35 2 3 5 5 06
– 3 2 24 – 2 1 2 25 – 5 4 1 26

1 1 0 34 2 1 4 15 1 4 1 3 46

22

BAB 01

(e) 605317 – 2567 = 565107 (f) 572608 – 47318 = 523278 (g) 710549 – 668539 = 31019

6 0 5 3 17 5 7 2 6 08 7 1 0 5 49
– 2 5 67 – 4 7 3 18 – 6 6 8 5 39

6 0 2 4 27 5 2 3 2 78 3 1 0 19

TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor dalam konteks   14
penyelesaian masalah rutin yang mudah.

Praktis DSKP 2.1d m.s. 50 Naskah DemoMenyelesaikan masalah yang melibatkan asas nombor. SP 2.1.4
BAB 02
1 Sekeping papan dipotong kepada tiga bahagian yang sama panjang. Tentukan nilai p. TP4
A plank is cut into three equal parts. Determine the value of p.

0 1105 cm p8 cm 2306 cm
p8 = 60
Panjang papan/ Length of plank = 2306
= (62 × 2) + (61 × 3) + (60 × 0) 8 6 0 Baki/ Remainder
= (36 × 2) + (6 × 3) + (1 × 0) 8 7–4
= 72 + 18 + 0
= 90 0–7

Panjang setiap bahagian/ Length of each part p = 74
= 90 ÷ 3
= 30 cm

2 Aminah membeli seutas rantai dan sepasang kasut dari sebuah kedai atas talian masing-masing dengan
harga RM5638 dan RM2256. TP5

Aminah buys a necklace and a pair of shoes from an online store with the price of RM5638 and RM2256 respectively.
(a) Hitung jumlah harga jualan. Berikan jawapan anda dalam asas sepuluh.
Calculate the total sale price. Give your answer in base ten.

5638 = (5 × 82) + (6 × 81) + (3 × 80) 2256 = (2 × 62) + (2 × 61) + (5 × 60)
= 32 0 + 48 + 3 = 72 + 12 + 5

= 37110 = 8910

Jumlah harga jualan / Total sale price

= RM37110 + RM8910
= RM46010

23

(b) Jika caj penghantaran ialah RM10 dan Aminah mendapat potongan harga sebanyak RM10012,
berapakah jumlah wang yang perlu dibayar oleh Aminah, dalam asas dua?

If the delivery charges is RM10 and Aminah gets a discount of RM10012, how much does Aminah has to pay, in
base two?

Jumlah wang yang perlu dibayar 2 4 7 0 Baki/ Remainder

Total amount should be paid 2235–0

= RM46010 +RM1010 – RM10012 2117–1 1 1 1 0 1 0 1 1 02
= RM47010 – RM10012 2 58–1 – 1 0 0 12
= RM1110101102 – RM10012 2 29–0
= RM1110011012 2 14–1 1 1 1 0 0 1 1 0 12
2 7–0
BAB 02
2 3–1
Naskah Demo
2 1–1

0–1

TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor dalam konteks   1
penyelesaian masalah rutin yang mudah.   2

TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor dalam konteks
penyelesaian masalah rutin yang kompleks.

Praktis Komprehensif m.s. 50

1 Lengkapkan urutan nombor asas yang diberikan mengikut tertib menaik.
Complete the following number sequences in ascending order.

(a) 648, 658 , 668 , 678 .

(81 × 6) + (80 × 4) = 48 + 4
= 5210

8 5 3 Baki/ Remainder 8 5 4 Baki/ Remainder 8 5 5 Baki/ Remainder
8 6–5 8 6–6 8 6–7

0–6 0–6 0–6

(b) 337, 347 , 357 , 367 .

(71 × 3) + (70 × 3) = 21 + 3
= 2410

7 2 5 Baki/ Remainder 7 2 6 Baki/ Remainder 7 2 7 Baki/ Remainder
7 3–4 7 3–5 7 3–6

0–3 0–3 0–3

24

BAB 01

2 Selesaikan yang berikut.
Solve the following.

(a) Tukar1100112 kepadanombordalamasaslapan. (b) Tukarkan 2538 kepada nombor dalam asas dua.
Convert 1101112 to a number in base eight. Convert 2538 to a number in base two.

Nombor 110011 Asas 8 253
dalam asas 2 Base 8
Number in 22 21 20 22 21 20 2 1+4 1+2
base 2 420021
4+2+0=6 0+2+1=3 Nilai 22 21 20 22 21 20 22 21 20
Nilai
tempat 638 tempat
Place value Place value
Naskah Demo
Nilai digit BAB 02Asas 2010101011
Digit value Base 2 101010112

Asas 8
Base 8

3 Hitung nilai bagi setiap yang berikut.
Calculate the values for each of the following.

(a) 111012 + 1102 = 1000112 (b) 2134 + 3134 = 11324 (c) 13556 – 4136 = 5426

1 1 1 0 12 1 9
+ 1 1 02
2 1 34 1 3 5 56
1 0 0 0 1 12 + 3 1 34 – 4 1 36

1 1 3 24 5 4 26

4 Hitung nilai 1012 + 3169 + 1234 dalam asas sepuluh.
Calculate the value of 1012 + 3169 + 1234 in base ten.

Tukarkan setiap nombor kepada asas 10/ Convert each number to base 10
(22 × 1) + (21 × 0) + (20 × 1) + (92 × 3) + (91 × 1) + (90 × 6) + (42 × 1) + (41 × 2) + (40 × 3)

= (4 + 0+ 1)10 + (243 + 9 + 6)10 + (16 + 8 + 3)10
= (5 + 258 + 27)10
= 29010

5 Azian membeli sehelai selendang dengan diskaun 25%. Harga asal selendang itu ialah RM2304.
Berapakah harga selendang itu selepas diskaun dalam asas 6?

Azian buys a shawl at a discount of 25%. The original price of the shawl is RM2304 . What is the price of the shawl after
the discount in base 6?

Tukarkan harga asal selendang kepada asas 10 Tukarkan 3310 kepada asas 6
Convert 3310 to base 6
Convert the price of the shawl to base 10
(42 × 2) + (41 × 3) + (40 × 0) 6 3 3 Baki/ Remainder
= (32 + 12 + 0)10 6 5–3
= 4410
Harga selendang selepas diskaun 0–5

Price of shawl after discount Harga selendang selepas diskaun ialah RM536.
The price of the shawl after the discount is
= ( 75 × RM44) = RM33
100 RM536.

25

PRAKTIS SPM | KERTAS 1: Objektif Aneka Pilihan (OAP)

Jawab semua soalan.
Answer all question.

1 Nilai tempat bagi digit 4 dalam nombor 6 Jika 25 + 23 + 1 = p2, nyatakan nilai p.
OMG m.s. 17 DSKP 2.1a, TP3 ARAS : S
34025 ialah BT m.s. 35 OMG m.s. 16 DSKP 2.1a, TP2
If 25 + 23 + 1 = p2 , state the value of p.
ARAS : R A 10101

The place value of the digit 4 in the number 34025 is B 10111
A 0 C 101001

B 1 D 101010
BAB 02
C 2
Naskah Demo
D 5

2 Nilai bagi digit 5 dalam nombor 75289 ialah 7 Ungkapkan 6(62 + 5) sebagai satu nombor
5 × 9k. Apakah nilai bagi k? dalam asas 6. OMG m.s. 19 DSKP 2.1b, TP3 ARAS : S
BT m.s. 37 ARAS : R Express 6(62 + 5) as a number in base 6.
A 10506
The value of the digit 5 in the number 75289 is 5 × 9k. B 10156
What is the value of k? OMG m.s. 16 DSKP 2.1a, TP2 C 10556
D 61056
A 0
B 1 8 Tentukan nilai x jika 3(74) + 4(72) + 6 = x5.
C 2 ARAS : S TP4
D 3
Determine the value of x if 3(74) + 4(72) + 6 = x5.
3 Apakah nilai bagi digit 1, dalam asas sepuluh, A 346
B 7405
bagi nombor 2202103? BT m.s. 39 ARAS : R C 30406
What is the value of the digit 1, in base ten, of the D 214110

number 2202103? OMG m.s. 17 DSKP 2.1a, TP3 9 Diberi 1000112 , x8 , 1001012, cari nilai x
A 1 yang mungkin. ARAS : T TP4
B 3 Given 1000112 , x8 , 1001012 , find the possible
C 9 value of x.

D 10 A 36
B 44
4 Hitung hasil tambah bagi nilai digit 4 dalam C 100010
D 100100
nombor 3402416. OMG m.s. 18 DSKP 2.1a, TP4
Calculate the sum of the values of digit 4 in the 1 0 Hitung 101012 + 358 – 11112. ARAS : T TP4
number 3402416. ARAS : S Calculate 101012 + 358 – 11112.
A 260 A 1000112
B 5 208 B 1001112
C 31 248 C 128
D 458
D 40 040

5 Diberi 22103 = 2m + (2 × 32) + 3, cari nilai m.

ARAS : S TP4

Given 22103 = 2m + (2 × 32) + 3, find the value of m.
A 1

B 3

C 9
D 27

26

BAB 01

PRAKTIS SPM | KERTAS 2: Subjektif Respon Terhad (SRT)

Jawab semua soalan.
Answer all question.

A Bahagian A 2134
= ( 2 × 42) + ( 1 × 41) + ( 3 × 40)
1 (a) Susun semula nombor-nombor berikut
= 32 + 4 + 3
mengikut tertib menaik. [2 markah]

Rearrange the following numbers in ascending = 39

order. ARAS : T TP4 [2 marks] 1068 – x6 = 2134
70 – x6 = 39
111102, 358, 1223, 100112 x6 = 31
x6 = 516
x = 51
Naskah Demo 6 3 1 Baki/ Remainder
BAB 026 5–1
Asas 8 3 5
Base 8 2+1 4+1 0–5

Nilai tempat 22 21 20 22 21 20
Place value

Asas 2 011101 B Bahagian B
Base 2
2 Encik Rashid mempunyai wang RM3505206
358 = 111012 dan dia membahagikan wang itu kepada anak-

anaknya, Rahimah, Salleh dan Tsana dengan

nisbah 3 : 5 : 2.

1223 Encik Rashid has money RM3505206 and he divides the
= (1 × 32) +(2 × 31) + (2 × 30) money to his children, Rahimah, Salleh and Tsana with

=9+6+2 the ratio of 3 : 5 : 2.

= 17 (a) Berapakah jumlah wang yang diperoleh

2 1 7 Baki/ Remainder Salleh dalam asas sepuluh? [2 markah]
2 8–1
How much money does Salleh get in base ten?

ARAS : T TP4 [2 marks]

2 4–0 RM3505206
= RM[(3 × 65) + (5 × 64) + (0 × 63)
2 2–0
+ (5 × 62) + (2 × 61) + (0 × 60)]
2 1–0 = RM (23 328 + 6 480 + 180 + 12)
= RM30 000
01 Wang yang diperoleh Salleh

1223 = 1710 = 100012 Money that Salleh gains
∴ 1223 , 100112 , 358 , 111102



(b) Selesaikan 1068 – x6 = 2134. TP4 [2 markah] = RM30 000 × 5
3+5+2
Solve 1068 – x6 = 2134. ARAS : T [2 marks]
= RM15 000
1068

= (1 × 82) + (0 × 81) + (6 × 80) (b) Hitung beza wang yang diterima antara

= 64 + 6 Rahimah dan Tsana dalam asas empat.
= 70
ARAS : T TP4 [4 markah]

Calculate the difference of money that received

between Rahimah and Tsana in base four.

[4 marks]

27

Beza wang yang diterima antara 3 Lina membeli sebuah beg tangan daripada

Rahimah dan Tsana Serine dengan harga RM6607 selepas diskaun
30%.
Difference of money that received
Lina buys a handbag from Serine with the price

between Rahimah and Tsana RM6607 after the discount of 30%.
(a) Hitung harga asal beg tangan itu dalam
= RM30 000 × 3 – 2
3 + 5 + 2 asas lapan. TP4 ARAS : T [5 markah]

= RM3 000 Calculate the original price of the handbag in

base eight. [5 marks]

4 3 0 0 0 Baki/ Remainder RM6607
4 750–0 = (6 × 72) + (6 × 71) + (0 × 70)
= RM(294 + 42)
4 187–2 = RM336
Harga asal / The original price
= RM336 4 70%
BAB 02 4 46–3

Naskah Demo 4 11–2

4 2–3

0–2 100
70
RM3 000 = RM2323204 = RM336 ×

(c) Selepas Tsana memperoleh wang daripada 8 4 8 0 Baki/ Remainder
8 60–0
ayahnya, dia bercadang untuk membeli
8 7–4
sebuah telefon bimbit yang berharga 0 – 7 RM480 = RM7408

RM78289. Tentukan sama ada Tsana
mempunyai wang yang mencukupi untuk

membeli telefon bimbit itu. ARAS : T

TP4 [3 markah] (b) Walaupun potongan diskaun telah diberi,

After Tsana obtains the money from her father,

she decides to buy a mobile phone with price Serine masih memperoleh keuntungan

RM78289. Determine whether she has enough sebanyak 50% daripada harga kosnya.
money to buy the mobile phone. [3 marks]
Cari harga kos beg tangan itu. Beri

Wang yang diperoleh Tsana jawapan anda dalam asas dua. ARAS : T

Money that Tsana gains TP4 [4 markah]

Although discount is given, Serine still can

= RM30 000 × 3 + 2 + 2 obtains profit for 50% from the cost. Find the
5 cost of the handbag. Give your answer in base

= RM6 000 two. [4 marks]

RM78289 Kos / Cost 2 2 2 4 Baki
= RM[(7 × 93) + (8 × 92) + (2 × 91) + (8 × = RM336 4 150% Remainder
2112–0

90)] = RM336 × 100 2 56–0
150 2 28–0
= RM(5 103 + 648 + 18 + 8)

= RM5 777 = RM224 2 14–0

Oleh sebab RM5 777 , RM6 000, maka 2 7–0

Tsana mempunyai wang yang mencukupi 2 3–1

untuk membeli telefon bimbit itu. 2 1–1

Since RM5 777 , RM6 000, thus Tsana has 2 0–1
RM224 = RM111000002
enough money to buy the mobile phone.



28

BAB 01

Boss Battle

1

9 20 35 54 ?

Nyatakan nombor yang tepat di dalam bentuk heptagon di atas.
State the correct number in the shape of the heptagon above.

9=3×3
20 = 4 × 5
35 = 5 × 7
54 = 6 × 9

? = 7 × 11
= 77
Naskah Demo
BAB 02

2 Jika/ If
5 + 3 = 2 8
9 + 1 = 8 10
2 + 1 = 1 3
5 + 4 = ?

5 + 3 = (5 – 3) dan/and (5 + 3)
= 2 dan/and 8 = 2 8
9 + 1 = (9 – 1) dan/and (9 + 1)

= 8 dan/and 10 = 8 10
2 + 1 = (2 – 1) dan/and (2 + 1)
= 1 dan/and 3 = 1 3
5 + 4 = (5 – 4) dan/and (5 + 4)
= 1 dan/and 9 = 1 9

29

BAB

03 PENAAKULAN LOGIK
LOGICAL REASONING

3.1 Pernyataan | Statements

Praktis DSKP 3.1a m.s. 58 Menerangkan maksud pernyataan dan seterusnya SP 3.1.1
menentukan nilai kebenaran bagi suatu pernyataan.

1 Tentukan sama ada ayat berikut pernyataan atau bukan. Berikan justifikasi anda. TP1
Determine whether the following sentences are statements. Give your justification.

Contoh/ Example (a) Heksagon mempunyai 6 sisi.
Sangat cantik! / So beautiful! Hexagons have 6 sides.

Bukan pernyataan kerana ayat itu tidak dapat Pernyataan kerana ayat itu benar.
Statement because the sentence is true.
ditentukan nilai kebenarannya.
Not statement because the sentence cannot be
determined its truth value.
BAB 03
(b) Keluar! / Go out! (c) Set yang mempunyai 3 unsur, mempunyai
Naskah Demo 9 subset.
Bukan pernyataan kerana ayat itu tidak A set with 3 elements has 9 subsets.
dapat ditentukan nilai kebenarannya. Pernyataan kerana ayat itu palsu.
Not statement because the sentence cannot be Statement because the sentence is false.
determined its truth value.

(d) 5 ialah faktor bagi 20. info
5 is a factor of 20.
Pernyataan kerana ayat itu benar. Bukan semua pernyataan matematik adalah benar.
Statement because the sentence is true. Nilai kebenaran pernyataan matematik boleh
ditentukan.
Not all the mathematical statements are true. The
truth values of the mathematical statements can be
determined.

2 Bina satu pernyataan yang benar dengan menggunakan maklumat yang diberi. TP1
Construct a true statement by using the given information.

Contoh/ Example (a) 23, 32, . (b) 8, {2, 8}, ∈
10, ,, 2, +, 5

2 + 5 , 10 32 . 23 8 ∈ {2, 8}

(c) , 3, =, 12, ×, 6 (d) {a, b, c}, ∅, ⊂ (e) 1 , ÷, 2, =, 2
∅ ⊂ {a, b, c } 3 3
12 × 3 = 6
2 1
30 ÷2= 3

BAB 01 3

3 Nyatakan sama ada pernyataan berikut benar atau palsu. TP2
State whether the following statements are true or false.

Pernyataan Benar/ True
Statement Palsu/ False
Benar/ True
Contoh Semua gandaan bagi 4 merupakan gandaan bagi 2.
Example All multiples of 4 are multiples of 2. Benar/ True

(a) Sebilangan nombor genap ialah nombor perdana. Palsu/ False
Some even numbers are prime numbers.
Palsu/ False
(b) Semua segi empat tepat merupakan segi empat sama.
All rectangles are squares. Palsu/ False

(c) Sebilangan nombor mempunyai faktor 1. Palsu/ False
Some numbers have factor of 1.

(d) Semua segi empat selari mempunyai dua paksi simetri.Naskah Demo
All parallelograms have two axes of symmetry. BAB 03

(e) Semua poligon mempunyai enam bucu.
All polygons have six vertices.

 9
TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pernyataan dan hujah.  5

TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.

Praktis DSKP 3.1b m.s. 60 Menafikan suatu pernyataan. SP 3.1.2

1 Bentukkan penafian (~p) bagi setiap pernyataan yang berikut dengan menggunakan "tidak" atau
"bukan". TP1

Form a negation (~p) for each of the following statements by using the word "no" or "not".

Contoh 12 mempunyai dua faktor perdana. 12 tidak mempunyai dua faktor perdana.
Example 12 has two prime factors. 12 do not have two prime factors.

(a) 9 ialah nombor ganjil. 9 bukan nombor ganjil.
9 is an odd number. 9 is not an odd number.

(b) 36 ialah nombor kuasa dua sempurna. 36 bukan nombor kuasa dua sempurna.
36 is a square number. 36 is not a square number.

(c) 82 kg bersamaan 8 200 g. 82 kg tidak bersamaan 8 200 g.
82 kg is equals to 8 200 g. 82 kg do not equal to 8 200 g.

(d) Pentagon mempunyai 5 sisi. Pentagon tidak mempunyai 5 sisi.
Pentagons have 5 sides. Pentagons do not have 5 sides.

 4
TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pernyataan dan hujah.

31

Praktis DSKP 3.1c m.s. 63 Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majmuk. SP 3.1.3

1 Gabungkan pernyataan p dan q dengan menggunakan perkataan yang diberi dalam kurungan untuk
membentuk pernyataan majmuk. TP1

Combine statements p and q by using the word given in the bracket to form a compound statement.

Contoh/ Example (a) p : 3 ∉ {5, 10, 15} (dan / and)
p:2+3=5 q : {a} ⊂ {a, p, r, i, l}
q : 5 × 9 = 45 (atau / or)

2 + 3 = 5 atau 5 × 9 = 45 3 ∉ {5, 10, 15} dan {a} ⊂ {a, p, r, i, l}
2 + 3 = 5 or 5 × 9 = 45 3 ∉ {5, 10, 15} and {a} ⊂ {a, p, r, i, l}

(b) p : Piramid mempunyai 5 permukaan. (c) p : –1 . –10 (dan / and)
q : (–3)2 , 23 (dan / and)
Pyramids have 5 faces. (atau / or)
q : Luas bulatan ialah πr 2.
–1 . –10 dan (–3)2 , 23
–1 . –10 and (–3)2 , 23

(e) p : 60° ialah sudut tirus.
60° is an acute angle.

q : 88° ialah sudut tirus.
88° is an acute angle.
BAB 03 Area of circle = πr2.

Naskah Demo Piramid mempunyai 5 permukaan atau luas
bulatan ialah πr 2.
Pyramids have 5 faces or area of circle = πr 2.

(d) p : 12 ialah faktor bagi 60. (atau / or)
12 is a factor of 60.

q : 12 ialah gandaan bagi 3.
12 is a multiple of 3.

12 ialah faktor bagi 60 atau gandaan bagi 3. 60° dan 88° ialah sudut tirus.

12 is a factor of 60 or multiple of 3. 60° and 88° are acute angles.


2 Tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan majmuk berikut. TP2
Determine the truth value of each of the following compound statements.

Contoh Pernyataan majmuk Benar/ True
Example Compound statement Palsu/ False
Palsu/ False
(a) 12 – 2 = 10 dan 3 64 = 8
(b) 12 – 2 = 10 and 3 64 = 8 Benar/ True
{2, 4, 6} ⊂ {x : x ialah nombor genap} atau {2} ∉ {3, 5}
{2, 4, 6} ⊂ {x : x is an even number} or {2} ∉ {3, 5} Benar/ True

2x + 9x = 11x dan 8mn – 9mn = –mn
2x + 9x = 11x and 8mn – 9mn = –mn

(c) – 2 . – 2 atau 32 , 23 / – 2 .– 2 or 32 , 23 Benar/ True
5 3 5 3 Palsu/ False

(d) 8 ialah faktor bagi 2 dan 4.
8 is factor of 2 and 4.

TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pernyataan dan hujah.  5
TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.  4

32

BAB 01

Praktis DSKP 3.1d m.s. 65 Membina pernyataan dalam bentuk implikasi SP 3.1.4
(i) Jika p, maka q (ii) p jika dan hanya jika q

1 Bentuk implikasi “jika p, maka q” bagi setiap antejadian dan akibat berikut. TP2
Form implication “if p, then q” for each of the following antecedents and consequents.

Akibat / Consequent Antejadian / Antecedent Implikasi / Implication

Contoh x . 10 x.5 Jika x . 5, maka x . 10.
Example If x . 5, then x . 10.

(a) sin θ = –0.5 θ = 210° Jika θ = 210°, maka sin θ = –0.5.

If θ = 210°, then sin θ = –0.5.

Jika A ⊂ B, maka n(A) < n(B).
If A ⊂ B, then n(A) < n(B).
(b) n(A) < n(B) Naskah Demo A⊂B
BAB 03
(c) y = 9 11y = 99 Jika 11y = 99, maka y = 9.
If 11y = 99, then y = 9.

2 Kenal pasti antejadian dan akibat bagi setiap implikasi berikut. TP2
Identify antecedent and consequent for each of the following implications.

Implikasi Antejadian Akibat
Implication Antecedent Consequent

Contoh Jika x . y, maka –x , –y. x.y –x , –y
Example If x . y, then –x , –y.

Jika p ialah nombor perdana, p mempunyai dua faktor
maka p mempunyai dua faktor sahaja.
(a) sahaja. p ialah nombor perdana. p has only two factors.
If p is a prime number, then p has p is a prime number.

only two factors.

(b) Jika –2n . 18, maka n , –9. –2n . 18 n , –9
If –2n . 18, then n , –9.

(c) Jika K ⊂ L dan L ⊂ M, maka K ⊂ M. K ⊂ L dan L ⊂ M K⊂M
If K ⊂ L and L ⊂ M, then K ⊂ M. K ⊂ L and L ⊂ M
∠U dan ∠V ialah sudut
Jika ∠U + ∠V = 90°, maka ∠U dan pelengkap.
∠V ialah sudut pelengkap. ∠U and ∠V are complementary
(d) If ∠U + ∠V = 90°, then ∠U and ∠V are ∠U + ∠V = 90° angles.

complementary angles. 33

3 Tulis satu pernyataan dalam bentuk “p jika dan hanya jika q” daripada implikasi yang diberi. TP2
Write a statement in the form “p if and only if q” from the implications given.

Contoh/ Example (a) Implikasi I: Jika x = 6, maka x + 2 = 8.
Implikasi I: Jika x . 0, maka x 3 . 0. Implication I: If x = 6, then x + 2 = 8.
Implication I: If x . 0, then x 3 . 0. Implikasi II: Jika x + 2 = 8, maka x = 6.
Implikasi II: Jika x 3 . 0, maka x . 0.
Implication II: If x 3 . 0, then x . 0. Implication II: If x + 2 = 8, then x = 6.

x . 0 jika dan hanya jika x 3 . 0. x = 6 jika dan hanya jika x + 2 = 8.
x . 0 if and only if x 3 . 0. x = 6 if and only if x + 2 = 8.

(b) Implikasi I: Jika sin x = kos x, maka tan x = 1. (c) Implikasi I: Jika A ∩ B = ∅, maka set A dan
set B adalah tidak bertindan.
Implication I: If sin x = cos x, then tan x = 1.

Implikasi II: Jika tan x = 1, maka sin x = kos x. Implication I: If A ∩ B = ∅, then set A and set B
are not overlapped.
Implication II: If tan x = 1, then sin x = cos x.

Implikasi II: Jika set A dan set B adalah tidak
BAB 03 sin x = kos x jika dan hanya jika tan x = 1. bertindan, maka A ∩ B = ∅.
sin x = cos x if and only if tan x = 1.
Naskah Demo
Implication II: If set A and set B are not overlapped,
then A ∩ B = ∅.


A ∩ B = ∅ jika dan hanya jika set A dan set B

adalah tidak bertindan.
A ∩ B = ∅ if and only if set A and set B are not
overlapped.

4 Tulis dua implikasi berdasarkan setiap pernyataan “p jika dan hanya jika q” yang berikut. TP2
Write two implications for each of the following statements “p if and only if q”.

Contoh/ Example (a) Set A mempunyai satu element jika dan hanya
Set P ialah set kosong jika dan hanya jika set P tidak jika n(A) = 1.

mempunyai sebarang unsur. Set A has one element if and only have

Set P is an empty set if and only if set P has no elements. n(A) = 1.

Implikasi I: Jika set P ialah set kosong, maka set P Implikasi I: Jika set A mempunyai satu element,
tidak mempunyai sebarang unsur. maka n(A) = 1.

Implication I: If set P is an empty set, then set P has no Implication I: If set A has one element, then n(A) = 1.
Implikasi II: Jika n(A) = 1, maka set A
elements.

Implikasi II: Jika set P tidak mempunyai sebarang mempunyai satu elemen.
unsur, maka set P ialah set kosong. Implication II: If n(A) = 1, then set A has one element.


Implication II: If set P has no elements, then set P is an

empty set.

(b) A ⊂ B jika dan hanya jika A ∪ B = B. (c) x . y jika dan hanya 5x . 5y.
A ⊂ B if and only if A ∪ B = B. x . y if and only if 5x . 5y.

Implikasi I: Jika A ⊂ B, maka A ∪ B = B. Implikasi I: Jika x . y, maka 5x . 5y.
Implication I: If A ⊂ B, then A ∪ B = B. Implication I: If x . y, then 5x . 5y.
Implikasi II: Jika A ∪ B = B, maka A ⊂ B. Implikasi II: Jika 5x . 5y, maka x . y.
Implication II: If A ∪ B = B, then A ⊂ B.
Implication II: If 5x . 5y, then x . y.



TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.  17

34

BAB 01

Praktis DSKP 3.1e m.s. 69 Membina dan membandingkan nilai kebenaran akas, SP 3.1.5
songsangan dan kontrapositif bagi suatu implikasi.

1 Tulis akas, songsangan dan kontrapositif bagi setiap implikasi berikut. TP2
Write the converse, inverse and contrapositive for each of the following implications.

Contoh Jika (2x – 3y)2 > 0, maka 4� 2 – 12xy + 9y 2 > 0.
Example If (2x – 3y)2 > 0, then 4x 2 – 12xy + 9y 2 > 0.

Akas Jika 4x 2 – 12xy + 9y 2 > 0, maka (2x – 3y)2 > 0.
Converse If 4x 2 – 12xy + 9y 2 > 0, then (2x – 3y)2 > 0.
Songsangan
Inverse Jika (2x – 3y)2 , 0, maka 4x 2 – 12xy + 9y 2 , 0.
If (2x – 3y)2 , 0, then 4x 2 – 12xy + 9y 2 , 0.

TIPS
~p merupakan pelengkap bagi p.
Maka, pelengkap bagi (2x – 3y)2 > 0 ialah (2x – 3y)2 , 0.
~p is the complementary of p.
Hence, the complementary of (2x – 3y)2 > 0 is (2x – 3y)2 , 0.
Naskah Demo
BAB 03
Kontrapositif Jika 4x 2 – 12xy + 9y 2 , 0, maka (2x – 3y)2 , 0.
Contrapositive If 4x 2 – 12xy + 9y 2 , 0, then (2x – 3y)2 , 0.

(a) Jika 2x – 6 = 10, maka x = 8.
If 2x – 6 = 10, then x = 8.

Akas Jika x = 8, maka 2x – 6 = 10
Converse If x = 8, then 2x – 6 = 10.

Songsangan Jika 2x – 6 ≠ 10, maka x ≠ 8.
Inverse If 2x – 6 ≠ 10, then x ≠ 8.

Kontrapositif Jika x ≠ 8, maka 2x – 6 ≠ 10.
Contrapositive If x ≠ 8, then 2x – 6 ≠ 10.

(b) Jika m ialah salingan bagi n, maka mn = 1.
If m is the reciprocal of n, then mn = 1.

Akas Jika mn = 1, maka m ialah salingan bagi n.
Converse If mn = 1, then m is the reciprocal of n.

Songsangan Jika m bukan salingan bagi n, maka mn ≠ 1.
Inverse If m is not the reciprocal of n, then mn ≠ 1.

Kontrapositif Jika mn ≠ 1, maka m bukan salingan bagi n.
Contrapositive If mn ≠ 1, then m is not the reciprocal of n.


35

2 Lengkapkan jadual di bawah bagi nilai kebenaran, implikasi, akas, songsangan dan kontrapositif. TP2
Complete the table below for the truth value, implications, converses, inverses and contrapositives.

Pernyataan Antejadian Akibat Nilai
Statement Antecedent Consequent kebenaran
Truth value

Implikasi Jika 2 + 3 = 5, maka 2 + 3 × 4 = 20. Benar Palsu Palsu
Implication If 2 + 3 = 5, then 2 + 3 × 4 = 20. True False False

Akas Jika 2 + 3 × 4 = 20, maka 2 + 3 = 5. Palsu Benar Benar
Converse If 2 + 3 × 4 = 20, then 2 + 3 = 5. False True True
Palsu Benar Benar
(a) False True True
Songsangan Jika 2 + 3 ≠ 5, maka 2 + 3 × 4 ≠ 20. Palsu Palsu
Inverse If 2 + 3 ≠ 5, then 2 + 3 × 4 ≠ 20. False False
Benar Benar
Kontrapositif Jika 2 + 3 × 4 ≠ 20, maka 2 + 3 ≠ 5. Benar True True
Contrapositive If 2 + 3 × 4 ≠ 20, then 2 + 3 ≠ 5. True
BAB 03 Benar Benar
Implikasi Jika a > b, maka a ialah pecahan Benar True True
Naskah DemoImplication b True
tak wajar. Palsu Benar
a False True
If a > b, then b is an improper fraction.
Palsu Benar
a False True
Jika b ialah pecahan tak wajar,
Akas mIf aabkias a > b. Benar Palsu Benar
Converse an improper fraction, then a > b. True False True

(b) Jika a < b, maka a ialah bukan
b
Songsangan pecahan tak wajar. Palsu
Inverse a False
If a < b, then b is not an improper Palsu
fraction. False

wJikaajarab, miaaklaaha bukan pecahan tak
< b.
Kontrapositif a
Contrapositive If b is an not improper fraction, then
a < b.

Implikasi Jika 11 × 22 = 33, maka 111 × 222 Palsu
Implication = 333. False
If 11 × 22 = 33, then 111 × 222 = 333.

Akas Jika 111 × 222 = 333, maka Palsu Palsu Benar
Converse 11 × 22 = 33. False False True
If 111 × 222 = 333, then 11 × 22 = 33. Benar Benar Benar
True True True
(c) Jika 11 × 22 ≠ 33, maka 111 × 222 Benar
≠ 333. True
Songsangan If 11 × 22 ≠ 33, then 111 × 222 ≠ 333.
Inverse

Kontrapositif Jika 111 × 222 ≠ 333, maka Benar Benar
Contrapositive 11 × 22 ≠ 33. True True
If 111 × 222 ≠ 333, then 11 × 22 ≠ 33.



TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.  48

36

BAB 01

Praktis DSKP 3.1f m.s. 70 Menentukan contoh penyangkal untuk menafikan kebenaran pernyataan tertentu. SP 3.1.6

1 Tentukan nilai kebenaran bagi setiap pernyataan berikut. Berikan satu contoh penyangkal untuk

menyokong jawapan anda sekiranya pernyataan itu palsu. TP2
Determine the truth value for each of the following statements. Give an example of denial to support your answer if the

statement is false.

Contoh/ Example (a) Sebilangan poligon mempunyai dua paksi
Semua nombor perdana ialah nombor ganjil. simetri.
All the prime numbers are odd numbers.
Some polygons have two axes of symmetry.

Palsu kerana 2 ialah nombor perdana dan nombor Benar
True
genap.

False because 2 is a prime number and an even number.

(b) 30 ialah gandaan sepunya bagi 5 dan 6. (c) 2 dan 5 ialah faktor perdana bagi 16.
30 is the common factor of 5 and 6. 2 and 5 is a prime factor of 16.
Benar Palsu kerana 5 bukan faktor perdana bagi 16.
True False because 5 not the prime factor of 16.
Naskah Demo
BAB 03


2 Tulis pernyataan matematik yang dikehendaki berdasarkan perkataan yang diberi dalam kurungan.
Kemudian, tentukan nilai kebenaran bagi pernyataan yang ditulis. Sekiranya palsu, berikan sebab atau
satu contoh penyangkal untuk menyokong jawapan anda. TP2

Write the required mathematical statement based on the word given in the bracket. Then, determine the truth value for
the written statement. If the statement is false, give a reason or an example of denial to support your answer.

Contoh/ Example (a) {8, 9} ⊂ {6, 8, 9, 10} (penafian/ disclaimer)
1102 + 1012 ≠ 1 0112 (penafian/ disclaimer)
Penafian/ Disclaimer : 1102 + 1012 = 1 0112 Penafian/ Disclaimer : {8, 9} ⊄ {6, 8, 9, 10}
Benar/ True Palsu kerana {8, 9} ialah subset bagi
{6, 8, 9, 10}.
False because {8, 9} is the subset of {6, 8, 9, 10}.

(b) Jika x = 30°, maka sin x = 0.5. (songsangan) (c) Jika 3x = 1 , maka x = –2. (kontrapositif)
If x = 30°, then sin x = 0.5. (inverse) If 3x 9 (contrapositive)
1
= 9 , then x = –2.

Songsangan: Jika x ≠ 30°, maka sin x ≠ 0.5. Kontrapositif: Jika x≠ –2, maka 3x ≠ 1 .
(Benar) (Benar) 9
Inverse: If x ≠ 30°, then sin x ≠ 0.5. (True)

Contrapositive: If x ≠ –2, then 3x ≠ 1 . (True)
9



TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.  6

37

3.2 Hujah | Arguments

Praktis DSKP 3.2a m.s. 74 Menerangkan maksud hujah, dan membezakan hujah deduktif dan hujah induktif. SP 3.2.1

1 Tentukan sama ada hujah berikut hujah deduktif atau hujah induktif. TP1
Determine whether the following arguments are deductive arguments or inductive arguments.

Contoh/ Example (a) Isi padu sfera ialah 4 πj 3, dengan keadaan j
Semua set yang mempunyai x elemen, mempunyai ialah jejari sfera. 3
2x subset.
Set A mempunyai 3 elemen. Sfera P mempunyai jejari 21 cm.
Kesimpulannya, set A mempunyai 8 subset.
All sets with x elements, have 2x subsets. Kesimpulannya, isi padu sfera P ialah 38 808 cm3.
Set A has 3 elements. 4
In conclusion, set A has 8 subsets. The volume a sphere is 3 πr 3, where r is the radius
of sphere.
Hujah deduktif (Umum => Khusus)
Deductive argument (General => Specific) Sphere P has a radius of 21 cm.
In conclusion, the volume of sphere P is 38 808 cm3.

BAB 03 Hujah deduktif (Umum => Khusus)
Deductive argument (General => Specific)
Naskah Demo
(b) 6 = (1)2 + 5 (c) 48 = 3(1 – 5)2

9 = (2)2 + 5 27 = 3(2 – 5)2

14 = (3)2 + 5 12 = 3(3 – 5)2

… …

Kesimpulannya, pola nombor 6, 9, 14, … boleh Kesimpulannya, pola nombor 48, 27, 12, …
ditulis sebagai n 2 + 5, n = 1, 2, 3, … boleh ditulis sebagai 3(n – 5)2, n = 1, 2, 3, …

In conclusion, the number pattern 6, 9, 14, … can be In conclusion, the number pattern 48, 27, 12, … can

written as n 2 + 5, n = 1, 2, 3, … be written as 3(n – 5) 2, n = 1, 2, 3, …

Hujah induktif (Khusus => Umum) Hujah induktif (Khusus => Umum)
Inductive argument (Specific => General) Inductive argument (Specific => General)

(d) Semua integer negatif ialah kurang daripada (e) 10 = 10 – 3(0)

sifar. 7 = 10 – 3(1)

–8 ialah integer negatif. 4 = 10 – 3(2)

Kesimpulannya, –8 ialah kurang daripada sifar. …

All negative integers are less than zero. Kesimpulannya, pola nombor 10, 7, 4, … boleh
–8 is a negative integer. ditulis sebagai 10 – 3n, n = 0, 1, 2, …
In conclusion, –8 is less than zero.
In conclusion, the number pattern 10, 7, 4, … can be

written as 10 – 3n, n = 0, 1, 2, …

Hujah deduktif (Umum => Khusus) Hujah induktif (Khusus => Umum)
Deductive argument (General => Specific) Inductive argument (Specific => General)



info

• Hujah deduktif ialah proses kesimpulan khusus dibina berdasarkan premis umum.
Deductive argument is a process of making a specific conclusion based on general premises.

• Hujah induktif ialah proses kesimpulan umum dibina berdasarkan premis khusus.
Inductive argument is a process of making a general conclusion based on specific premises.

TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pernyataan dan hujah.  5

38

BAB 01

Praktis DSKP 3.2b m.s. 76 Menentukan dan menjustifikasikan keesahan suatu hujah dan seterusnya SP 3.2.2
menentukan sama ada hujah yang sah itu munasabah.

1 Tentukan sama ada setiap hujah berikut adalah sah dan munasabah. Sekiranya tidak, berikan justifikasi
anda. TP2

Determine whether each the following arguments are valid and sound. If not, give your justification.

Contoh/ Example (a) Premis I: Jika x . 0, maka x 2 . 0.
Premis I: Semua gandaan 2 boleh dibahagi tepat Premise I: If x . 0, then x 2 . 0.
dengan 4. Premis II/ Premise II: 12 . 0
Premise I: All the multiples of 2 are divisible by 4. Kesimpulan/ Premise: 144 . 0

Premis II: 18 ialah gandaan 2. Sah dan munasabah
Premise II: 18 is the multiple of 2. Valid and sound

Kesimpulan: 18 boleh dibahagi tepat dengan 4.
Conclusion: 18 is divisible by 4.

Naskah DemoSah tetapi tidak munasabah kerana premis 1 dan
BAB 03
kesimpulan adalah tidak benar.
Valid but not sound because premise 1 and conclusion is
not true.

(b) Premis I: Jika x . y, maka –x . –y. (c) Premis I: Jika 3 x , 0, maka x . 0.
Premise I: If x . y, then –x . –y. Premise I: If 3 x , 0, then x . 0.
Premis II/ Premise II: 80 . 8 Premis II/ Premise II: 6 . 0
Kesimpulan/ Conclusion: –80 . –8 Kesimpulan/ Conclusion: 3 6 , 0

Sah tetapi tidak munasabah kerana premis 1 dan Tidak sah kerana tidak mematuhi bentuk hujah
kesimpulan adalah tidak benar.
Valid but not sound because premise 1 and conclusion is deduktif yang sah. Tidak munasabah kerana
not true.
premis 1 dan kesimpulan adalah tidak benar.
Not valid because it does not comply a valid deductive

argument form. Not sound because premise 1 and

conclusion is not true.



info

• Suatu hujah deduktif dikatakan munasabah jika semua premis dan kesimpulannya
ialah benar.

A deductive argument is said to be reasonable if all premises and conclusions are true.
• Kesahan suatu hujah ditentukan berdasarkan bentuk hujah itu, bukan berdasarkan

kebenaran premis atau kesimpulan.
The validity of an argument is determined based on the form of the argument, not on the truth of

the premise or conclusion.

TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.  3

39

Praktis DSKP 3.2c m.s. 79 Membentuk hujah deduktif yang sah bagi suatu situasi. SP 3.2.3

1 Tulis premis atau kesimpulan bagi setiap hujah deduktif berikut supaya hujah deduktif yang sah dan

munasabah dapat dibentuk. TP3
Write the premise or conclusion for each of the following deductive arguments so that a valid and sound deductive

argument can be formed.

Contoh/ Example (a) Premis I: Semua segi empat sama ialah segi

Premis I: Semua gandaan 9 boleh dibahagi tepat empat selari.

dengan 3. Premise I: All squares are parallelograms.
Premise I: All the multiples of 9 are divisible by 3. Premis II: Poligon A ialah sebuah segi empat

Premis II: 45 ialah gandaan 9. sama.

Premise II: 45 is the multiple of 9.

Kesimpulan: 45 boleh dibahagi tepat dengan 3. Premise II: Polygon A is a square.

Conclusion: 45 is divisible by 3.

Kesimpulan: Poligon A ialah sebuah segi

empat selari.
Conclusion: Polygon A is a parallelogram.
BAB 03
(b) Premis I: Jika garis lurus y = mx + c ialah (c) Premis I: Jika m xn = x n , maka 3 82 = 4.
Naskah Demo selari dengan paksi-x, maka y = c. m

n
Premise I: If the straight line y = mx + c is parallel Premise I: If m xn = x m , then 3 82 = 4.
n
to the x-axis, then y = c. Premis II: m xn = x m

Premis II: Garis lurus y = 2x + 9 ialah selari n
dengan paksi-x. m
Premise II: m xn = x

Premise II: The straight line y = 2x + 9 is parallel

to the x-axis. Kesimpulan: 3 82 = 4
Kesimpulan: y = 9.

Conclusion: y = 9.

(d) Premis I: Jika P ⊂ Q, maka P ∩ Q = P. (e) Premis I: Jika n ialah gandaan 2, maka n ialah
Premise I: If P ⊂ Q, then P ∩ Q = P. nombor genap.
Premis II/ Premise II: P ∩ Q ≠ P
Kesimpulan: P ⊄ Q Premise I: If n is a multiple of 2, then n is an even
number.
Conclusion: P ⊄ Q
Premis II: 36 ialah gandaan 2.
Premise II: 36 is a multiple of 2.
Kesimpulan: 36 ialah nombor genap.
Conclusion: 36 is an even number.

  5

TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang hujah deduktif dan hujah induktif untuk melaksanakan tugasan
mudah.

40

BAB 01

Praktis DSKP 3.2d m.s. 82 Menentu dan menjustifikasikan kekuatan suatu hujah induktif dan SP 3.2.4
seterusnya menentukan sama ada hujah yang kuat itu menyakinkan.

1 Tentukan sama ada setiap hujah berikut adalah kuat atau lemah serta menyakinkan atau tidak
menyakinkan. Berikan justifikasi anda. TP3

Determine whether each of the following arguments is strong or weak and cogent or not cogent. Give your justification.

(a) Hujan turun pada hari Isnin.
Premis 1: Rain falls on Monday.
Premise 1: Hujan turun pada hari Selasa.
Premis 2: Rain falls on Tuesday.
Premise 2: Hujan turun pada hari Jumaat.
Premis 3: Rain falls on Friday.
Premise 3: Hujan turun pada setiap hari.
Kesimpulan: Rain falls every day.
Conclusion:

Naskah Demo
BAB 03
Hujah ini lemah dan tidak menyakinkan kerana premis adalah benar tetapi kesimpulan mungkin
palsu.
This argument is weak dan not congent because the premises are true but the conclusion maybe is false.

(b) a2 × a3 = a5
a 9 × a 10 = a 19
Premis 1: am × an = am+n
Premise 1:
Premis 2:
Premise 2:
Kesimpulan:
Conclusion:

Hujah ini kuat dan menyakinkan kerana semua premis dan kesimpulan adalah benar.
This argument is strong dan congent because all the premises and conclusion are true.

(c)

Premis 1: 33 ialah gandaan bagi 9.
Premise 1: 3 3 is the multiple of 9.
Premis 2: 35 ialah gandaan bagi 9.
Premise 2: 3 5 is the multiple of 9.
Kesimpulan: 3 n ialah gandaan bagi 9.
Conclusion: 3 n is the multiple of 9.

Hujah ini lemah dan tidak menyakinkan kerana premis adalah benar tetapi kesimpulan adalah

palsu sedangkan 3 bukan gandaan bagi 9.
This argument is weak dan not congent because the premises are true but the conclusion is false where 3 is not
the multiple of 9.



TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang hujah deduktif dan hujah induktif untuk melaksanakan tugasan   3
mudah.

41