รายวิชา คณิตศาสตร์(พค11001)

44

การนําจาํ นวนใด ๆ ไปคณู กับผลบวกของจาํ นวนอีกสองจํานวน จะมผี ลคูณเทากับการนํา
จาํ นวนนน้ั ไปคูณทลี ะจํานวน แลว บวกกัน เราเรียกสมบตั ิขอ นีว้ า “สมบัติการแจกแจงของการคูณ”

สมบตั ิการแจกแจงของการคณู นี้ นยิ มนําไปใชใ นการคูณจาํ นวน 2 จํานวน ท่ีเปน ตัวเลข
ต้ังแต 2 หลักขึ้นไป โดยวธิ กี ระจายจาํ นวนตามคําประจําหลกั ตามแนวนอน แตสําหรบั ในชน้ั นี้ นยิ มใชก บั ตวั
คณู ท่เี ปน เลขไมเ กนิ สองหลกั ซง่ึ ผูเ รียนไดเรยี นมาบา งแลวในการคณู ที่มตี วั คูณเปน เลขหลักเดยี วนั่นเอง

แบบฝก หดั ที่ 19

จงเติมจํานวนเลขลงใน  เพอ่ื ใหป ระโยคเปน จริง

1.  ÷ 7 = 0

2.  × 1 = 4

3. 10 ÷  = 10

4. 46 +  = 46

5.  + 0 = 0 + 8

6. 0 × 9 = 9 × 

7. 716 +  = 210 + 716

8. 50 × 70 = 70 × 

9. (9 +7) + 26 = 9 + (  + 26)

10. (40 × 17) × 69 = 40 × (17 ×  )

11. (5,040 + 1,460) × 445 = + (1,460 × 445)

45

7.4 การหาร

ความหมายของการหาร
การหารเปน การแบงของออกเปนกลุมยอยเทา ๆกนั หรือเปน การนบั ลดลงครง้ั ละเทา ๆ กัน และ
สามารถแสดงไดโ ดยการหารของจํานวนเพยี ง 2 จํานวน จํานวนทไี่ ดจากการหารกนั ของ 2 จาํ นวน เรียกวา
“ผลหาร” และใชเครือ่ งหมาย ÷ เปน สญั ลกั ษณแ สดงการหาร เชน 8 ÷ 2

ตวั อยา งท่ี 1 15 ถาลบออก ครงั้ ละ 3 จะตอ งลบก่คี ร้ัง จึงจะหมด

คร้งั ที่ 1 15 – 3 เหลือ 12

คร้งั ท่ี 2 12 – 3 เหลอื 9

ครง้ั ท่ี 3 9 – 3 เหลอื 6

ครง้ั ท่ี 4 6 – 3 เหลอื 3

ครั้งที่ 5 3 – 3 เหลือ 0

จะเหน็ วา 15 ลบออกคร้งั ละ 3 ได 5 ครง้ั จงึ จะหมด

นั่นคอื 15 ÷ 3 = 5

ตวั อยา งท่ี 2 มีขนม 10 ช้นิ แบงใสจาน จานละ 4 ชิน้ จะไดก จี่ าน

มขี นม 10 – ช้ิน
แบงใสจานแรก 4 ช้ิน

เหลือ 6 – ช้นิ
แบง ใสจ านทสี่ อง 4 ชนิ้

เหลอื 2 ชน้ิ

ดังนัน้ แบง ขนมใสจ านได 2 จาน และเหลือเศษอกี 2 ช้นิ

นน่ั คือ 10 ÷ 4 = 2 เศษ 2

การลบออกคร้ังละเทา ๆ กัน จนคร้งั สดุ ทายไดผ ลลบเปน 0 ดังตัวอยางท่ี 1 เรยี กวา
“การหารลงตัว”

แตถาลบออกจนครง้ั สุดทายไมเ ปนศนู ย ดังตวั อยางที่ 2 เรียกวา “การหารไมล งตวั ” และ
จํานวนทีเ่ หลอื จากการลบออกครงั้ สดุ ทาย เรียกวา “เศษ”

46

จากตวั อยา งการลบขา งตน จะเห็นวา การหารเปน วิธลี ัดของการลบ และประโยคท่แี สดงการหาร
เชน

15 ÷ 3 = 5 เรยี กวา ประโยคสัญลกั ษณแสดงการหาร อานวา 15 หารดวย 3 เทากบั 5
15 เรยี กวา ตวั ต้งั
3 เรียกวา ตัวหาร
5 เรียกวา ผลหาร
ดงั น้นั ตัวตง้ั ÷ ตัวหาร = ผลหาร

ความสมั พนั ธระหวางการคูณและการหาร

มีมะนาว 3 กอง

กองละ 4 ผล

รวมมีมะนาวท้ังหมด 12 ผล

ประโยคสัญลกั ษณ คือ 3 × 4 = 12

มมี ะนาวทง้ั หมด 12 ผล มีมะนาวทัง้ หมด 12 ผล

แบงเปน 3 กอง แบง กองละ 4 ผล

ไดม ะนาวกองละ 4 ผล ไดมะนาว 3 กอง

ประโยคสัญลกั ษณค ือ 12 ÷ 3 = 4 ประโยคสญั ลักษณ คือ 12 ÷ 4 = 3

ตวั ตง้ั ตวั คณู ผลคณู ตวั ตัง้ ตวั หาร ผลหาร

3 × 4 = 12 12 ÷ 3 = 4
12 ÷ 4 = 3

ตวั ตัง้ ตัวหาร ผลหาร

47

จากตวั อยางขางตน จะเห็นวา การคูณและการหารมีความสัมพันธก นั กลา วคอื
1. การคณู เปลย่ี นเปน การหาร ไดด งั น้ี

1.1 การคณู เปลี่ยนเปนการหาร เมอ่ื
- ตวั ตง้ั ของการคูณ จะเปลีย่ นเปน ตวั หารหรือผลหาร
- ตัวคณู ของการคณู จะเปล่ียนเปนผลหารหรือตวั หาร
- ผลคณู ของการคณู จะเปล่ยี นเปนตวั ต้ัง

1.2 ประโยคสญั ลกั ษณแสดงการคณู เปลย่ี นเปน ประโยคสัญลกั ษณแ สดงการหารได

2. การหารเปลี่ยนกลบั เปนการคณู ได ดังน้ี ตัวหาร × ผลหาร = ตวั ตงั้
ตวั ตัง้ ÷ ตวั หาร = ผลหาร

ประโยคความสัมพันธข องการคณู และหาร
1. ใชต รวจสอบผลหารวาถูกตองหรือไม โดยใช
ตวั หาร × ผลหาร = ตวั ตง้ั

ตัวอยาง 10 ÷ 2 =

วิธที าํ 10 ÷ 2 = 5
ตอบ 5

ตรวจคาํ ตอบ 5 × 2 = 10 ดงั นั้นคาํ ตอบถกู ตอ ง

2. ใหหาผลหารไดสะดวกและรวดเรว็ ขนึ้ โดยใชตารางการคณู หรือการทอ งสตู รคณู

ตวั อยา ง 15 ÷ 5 =

วิธที ํา 15 ÷ 5 = 3
ตอบ 3

ตรวจคาํ ตอบ 5 × 3 = 15 ดงั นนั้ คําตอบถูกตอง

วธิ คี ิด
ตัวหาร × ผลหาร = ตัวตัง้
จากตารางการคณู 5 × 3 = 15
ดังนนั้ 5 ไปหาร 15 ไดผลหารเปน 3

วิธีใชตารางการคูณในการหาผลหาร
ในตารางการคูณแถวนอนบนสดุ ซ่ึงเปนตัวตั้งใหเ ปลีย่ นเปน ตัวหาร
ในตารางการคณู แถวซายสุด ซง่ึ เปนตวั คูณใหเ ปล่ียนเปนตวั หาร
ในตารางการคณู ตวั เลขในตาราง ซึ่งเปน ผลคณู ใหเปลยี่ นเปน ตัวตั้ง ดงั นี้

48

ตัวตัง้ ของการคณู ผลหาร

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ตัวคูณ ตัวหาร 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36

4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132

12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144

ตวั อยาง 15 ÷ 3 = 
วิธีดู ขน้ั ท่ี 1 ดูจากตารางแถวตง้ั ซงึ่ อยซู ายสุด ตรงเลข 3
ขั้นที่ 2 จากเลข 3 มองตามแนวนอนในบรรทดั เดียวกนั จากซา ยไปขวา

จนถึงเลข 15
ข้นั ที่ 3 จาก 15 มองตามแนวต้งั ไลขึ้นจนถงึ บรรทดั บนสุดจะพบเลข 5
ดงั นนั้ ผลหารของ 15 ÷ 3 = 5

ตวั อยาง 42 ÷ 7 = 
วธิ ีดู ข้ันท่ี 1 ดจู ากตารางแถวต้งั ซง่ึ อยูซา ยสดุ ตรงเลข 7
ข้ันที่ 2 จากเลข 7 มองตามแนวนอนในบรรทดั เดยี วกนั จากซายไปขวา

จนถงึ เลข 42
ขน้ั ท่ี 3 จาก 42 มองตามแนวต้ังไลข้นึ จนถึงบรรทดั บนสดุ จะพบเลข 6
ดงั นั้น ผลหารของ 42 ÷ 7 = 6

49

ในทาํ นองเดยี วกนั ถาจะหาผลหารของจาํ นวนอ่ืน ๆ 2 จาํ นวน กใ็ หใชว ธิ ดี เู ชนเดยี วกบั ตัวอยาง

ขา งบน

รูปแบบของการหาร

การหารตามแนวนอน การหารตามแนวตง้ั

1. 3.

96 ÷ 4 = 24 4 ) 96

24

2. 4.

96 24
4 = 24 4 ) 96

80 4 × 20

16

16 4 × 4

00

การหารเมือ่ ตวั หารเปนจํานวนทไี่ มเ กนิ สามหลกั และผลหารไมม ีเศษ

เมื่อตวั หารเปน จํานวนเลขหลกั เดียว

ตัวอยาง 184 ÷ 8 มีคาเทาไร

วิธีท่ี 1 โดยวธิ ีหารยาว (เครื่องหมายหารยาว คอื “ ) ”)

ประโยคสัญลกั ษณ คือ 184 ÷ 8 = 

วธิ ที าํ วิธีคิด

23 1. 20 เปน จํานวนมากท่สี ุดทคี่ ณู กบั 8 แลว ได
8)184 ไมเกนิ 184

1 6 0 8 × 20 2. นาํ ผลคณู 8 × 20 คือ 160 ไปลบออกจาก
24 184 เหลือ 24
2 4 8× 3
00 3. 3 เปน จํานวนท่คี ณู กับ 8 แลว ได 24 พอดี
ตอบ 23 นาํ 24 ไปลบออกจาก 24 ซง่ึ เปน ตวั ตั้งได 0
ดังนนั้ ผลหารท้งั หมด คอื 23
ตรวจคําตอบ 8 × 23 = 184

แสดงวาคําตอบถูกตอ ง

50

วธิ ที ี่ 2 โดยวธิ ีการหารยาว (วธิ ลี ดั )

ประโยคสญั ลกั ษณ คอื 184 ÷ 8 = 

วิธที าํ วธิ ีคดิ วธิ ีนี้ใชตวั หารหารตวั ต้งั ทลี ะหลัก
1. นาํ 8 ไปหาร 1 ซง่ึ เปนเลขหลักสูงสุด กอ น
023
8)184 จะเห็นวา 8 มากกวา 1 ฉะนนั้ ใหพ จิ ารณา
16 – ไปรวมกับหลักถัดไป เปน 18
2. นาํ 8 ไปหาร 18 จากตารางการคณู
24 – 8 × 2 = 16 ซ่งึ เปน คา ที่ใกลเ คยี ง 18
24 มากที่สุด และไมเกิน 18 ดังนน้ั ผลหาร คอื
2 ใสไวเ หนอื 8 ซึ่งเปนหลักสิบของตัวตงั้
00 นาํ 16 ไปลบออกจาก 18 เหลือเศษ 2 ชัก 4
ลงมาใหต รงหลัก เปน 24
ตอบ 23 3. นาํ 8 ไปหาร 24 จากตารางการคณู
8 × 3 = 24 ดงั นั้นผลหารคอื 3 ใสไวเ หนอื
ตรวจคําตอบ 8 × 23 = 184 4 ซ่งึ เปนตวั ตง้ั แลวนํา 24 ท่ไี ดไปลบกบั
24 ได 0
แสดงวา คําตอบถูกตอง ดังน้ัน ผลหารท้งั หมด คอื 23

วิธีที่ 3 โดยวธิ หี ารสัน้ (เคร่ืองหมายหารสน้ั คอื “ ) ”)

ประโยคสญั ลกั ษณ คอื 184 ÷ 8 =  วิธีคิด
วธิ ีทํา 8 ) 1 8 4 มีวธิ ีคิดเหมอื นวิธีหารยาว ซึ่งจะคิดตามวธิ ที ่ี 1
หรอื 2 กไ็ ด แลว แตถนดั และถา ผูเรียนทองสูตร
023 คูณแมน และเขา ใจวิธกี ารหารยาวดี ก็สามารถ
ตอบ 23 คดิ ในใจ ไดแ ละจะหาผลหารไดร วดเรว็ ข้นึ
ตรวจคาํ ตอบ 8 × 23 = 184
แสดงวาคําตอบถูกตอง

51

เมอื่ ตวั หารเปน จาํ นวนเลขสองหลกั วิธที ี่เหมาะสมมดี งั น้ี
ตัวอยา ง ใหหาคา ของ 7,936 ÷ 31

วิธที ี่ 1 โดยวิธหี ารยาว วิธีท่ี 2 โดยวิธหี ารยาว (วธิ ีลดั )

ประโยคสญั ลกั ษณ คอื 7,936 ÷ 31 =  ประโยคสัญลกั ษณ คือ 7,936 ÷ 31 = 

วิธีทํา วิธีทํา

256 256
31 ) 7 9 3 6 31) 7 9 3 6
6200 – 31 × 200 62 –
31 × 50
1736 – 31 × 6 173 –
1550 155
186
186 – 186
186
000 –

ตอบ 256 000

ตอบ 23

ตรวจคําตอบ 31 × 256 = 7,936 ตรวจคาํ ตอบ 31 × 256 = 7,936
แสดงวา คาํ ตอบถูกตอ ง
แสดงวาคาํ ตอบถกู ตอ ง

วธิ ีที่ 3 โดยวธิ หี ารสัน้ (แยกตวั หารใหเปน ตวั ประกอบ)
วิธนี ีใ้ ชเ ม่ือสามารถแยกตัวหารใหเ ปนตวั ประกอบหลักเดียวได แลวนาํ ตวั ประกอบไปหารตวั ตงั้

ทลี ะตวั จะชวยใหห ารเลขไดง ายและประหยัดเวลา

ตัวอยาง 1,218 ÷ 21 =  วิธคี ดิ
วิธที ํา 21 = 3 × 7 1. นาํ 3 ไปหาร 1,218 ได 406
2. นํา 7 ไปหาร 406 ได 58 ลงตวั พอดี
3)1218 ดงั นนั้ ผลหาร คอื 58
7 )4 0 6

58
ตอบ 58
ตรวจคําตอบ 58 × 7 × 3 = 1,218
แสดงวา คาํ ตอบถูกตอง

52

เมื่อตัวหารเปนจาํ นวนเลขสามหลกั

ตัวอยาง ใหห าร 34,932 ดวย 246

วิธีที่ 1 โดยวธิ หี ารยาว วธิ ที ี่ 2 โดยวิธหี ารยาว (วธิ ีลดั )

ประโยคสัญลกั ษณ คอื 34,932 ÷ 246 =  ประโยคสญั ลกั ษณ คือ 34,932 ÷ 246 = 

วิธที ํา วิธีทํา

142 142
246) 3 4 9 3 2 246) 3 4 9 3 2–
24600 – 246 × 100 2 4 6
246 × 40
1 0 3 3 2 – 246 × 2 1033
9 8 4 0 984
4 9 2 –
4 9 2
– 492
492
000 –

ตอบ 142 000

ตอบ 142

ตรวจคาํ ตอบ 246 × 142 = 34,932 ตรวจคําตอบ 246 × 142 = 34,932
แสดงวาคาํ ตอบถูกตอง
แสดงวาคาํ ตอบถูกตอง

ทยี่ กตวั อยา งมาท้งั หมดน้ี จะเห็นวา เปนการหารตามแนวตงั้ ท้ังหมด สว นการหารตามแนวนอนนนั้ มี
ใชอยบู างในเร่อื งของโจทยป ญหา ซึง่ นิยมใชวิธหี ารในรปู ของประโยคสัญลกั ษณเ ทา นน้ั

แบบฝกหดั ท่ี 20
ก. ใหหาคําตอบตอ ไปน้ี
(1) เรม่ิ จาก 20 นับลดคร้ังละ 4 กคี่ ร้งั จึงจะหมดพอดี
(2) เริม่ จาก 24 นบั ลดครงั้ ละ 6 กค่ี รั้ง จงึ จะหมดพอดี
(3) เริม่ จาก 35 นบั ลดคร้งั ละ 7 กค่ี ร้ัง จึงจะหมดพอดี
(4) มีฟุตบอล 24 ลูก ใสต ะกราใบละ 8 ลกู จะไดก ่ีตะกรา
(5) มีเชอื กยาว 54 เมตร ถาตัดเปน ทอ น ๆ ยาวทอ นละ 6 เมตร จะตัดไดก ่ที อ น
ข. ใหเ ติมประโยคตอ ไปนใ้ี หถกู ตอ ง
(1) 6 ÷ 2 = 
(2) 15 ÷ 5 = 
(3) 48 ÷ 8 = 
(4) 7 ÷  = 1
(5) 25 ÷  = 5

53

(6) 54 ÷  = 6

(7)  ÷ 2 = 4

(8)  ÷ 7 = 7

(9)  ÷ 8 = 10

ค. ใหห าผลหารตอ ไปนี้ โดยวธิ ีหารยาว

(1) 84 ÷ 4 (2) 784 ÷ 7 (3) 2,600 ÷ 13
(3) 726 ÷ 6
(4) 27,600 ÷ 24 (5) 985,472 ÷ 32

ง. ใหห าผลหารตอ ไปน้ี โดยวธิ หี ารส้ัน

(1) 96 ÷ 6 (2) 99 ÷ 9

(4) 968 ÷ 8 (5) 200 ÷ 25

เมอ่ื ตัวหารเปน จาํ นวนเลขหลักเดียว

ตวั อยาง ใหห าคา ของ 137 ÷ 5

วธิ ที ี่ 1 โดยวิธหี ารยาว วิธีท่ี 2 โดยวธิ หี ารสั้น
วธิ ีทํา
วิธที ํา
5 )1 3 7
27 2 7 เศษ 2
5) 1 3 7
100 – 5 × 20 ตอบ 27 เศษ 2
5× 7
37 – ตรวจคําตอบ (5 × 27) + 2 = 135 + 2
35 = 137
2
แสดงวาคาํ ตอบถูกตอ ง
ผลหาร คือ 27 เศษ 2

ตอบ 27 เศษ 2

ตรวจคาํ ตอบ (5 × 27) + 2 = 135 + 2

= 137

แสดงวาคําตอบถูกตอ ง

54

เม่อื ตัวหารเปนจาํ นวนเลขสองหลกั

วิธีท่ี 1 โดยวธิ หี ารยาว (วธิ ลี ดั ) วธิ ีท่ี 2 โดยวธิ หี ารสน้ั
วิธที ํา
วิธีทํา
32 = 4 × 8
21 4 )6 9 2
8 )1 7 3
32) 6 9 2 –
64 2 1 เศษ 5

52 – เศษท่ีแทจ รงิ คอื 5 × 4 = 20
32 ผลหารคือ 21 เศษ 20
ตอบ 21 เศษ 20
20
ตรวจคาํ ตอบ (21 × 8 + 5) × 4
ผลหาร คือ 21 เศษ 20 = 173 × 4 = 692

ตอบ 21 เศษ 20 แสดงวาคําตอบถกู ตอง

ตรวจคาํ ตอบ (32 × 21) + 20

= 672 + 20 = 692

แสดงวา คําตอบถกู ตอ ง

วธิ ีคดิ หาเศษท่แี ทจริงของการหารสนั้
5 ไมใชเศษท่ีแทจ รงิ เพราะกอนทจ่ี ะนํา 8 มาหารนน้ั มี 4 เปนตวั หารกอนจงึ ทําใหค า ของ

จาํ นวนเลขที่เหลืออยนู อ ยลงไป 4 เทา ดงั นนั้ ถา ตองการหาเศษท่ีแทจ ริง ตอ งนํา 4 มาคูณกบั 5 เปน 20 จงึ จะ
เปนเศษทแ่ี ทจรงิ

แตถา เปนการหารที่มีเศษทง้ั 2 คร้งั ใหน ําเศษครง้ั แรกบวกดวย

ตัวอยาง 1,526 ÷ 28 =  วธิ ีคดิ หาเศษทแ่ี ทจ รงิ
วิธที ํา 28 = 4 × 7 1. ตองหาเศษของตวั สดุ ทา ยกอ น คอื 4 × 3 = 12
2. นาํ 2 ซ่ึงเปน เศษตัวแรกไปบวกคอื 12 + 2
4)1526 ได 14 จงึ เปนเศษท่แี ทจ รงิ
7) 3 8 1 เศษ 2
ขนั้ ท่ี 2 ได (381 × 4) + 2 =1,526
5 4 เศษ 3
เศษท่ีแทจ รงิ (3 × 4) + 2 = 14
ตอบ 54 เศษ 14
ตรวจคาํ ตอบ
ข้ันที่ 1 ได (54 × 7) + 3 = 381
แสดงวา คําตอบถกู ตอ ง

55

เม่ือตัวหารเปนเลขสามหลัก วิธีที่งา ยคอื การหารยาว

ตัวอยา ง 52,148 ÷ 462 = 
วธิ ีทาํ 1 1 2

462 ) 5 2 1 4 8
462 –
594
462 –
1328 –
924
404

ผลหาร คอื 112 เศษ 404

ตอบ 112 เศษ 404

ตรวจคาํ ตอบ (462 × 112) + 404 = 51,744 + 404 = 52,148
แสดงวา คาํ ตอบถกู ตอง

แบบฝกหดั ท่ี 21

ก. จงหาคําตอบตอไปน้ี

(1) 9 ÷ 2 =  เศษ 

(2) 25 ÷ 5 =  เศษ 

(3) 75 ÷ 7 =  เศษ 

(4) 100 ÷ 9 =  เศษ 

(5) มีเงาะอยู 50 กิโลกรมั แบงใส 6 ชะลอม ๆ ละ 8 กโิ ลกรัม ทเี่ หลอื ใหล กู รับประทาน

ลกู จะไดรับประทานเงาะก่ีกิโลกรมั

(6) เลย้ี งเปด 495 ตัว แบงขาย 7 ครงั้ ครัง้ ละเทา ๆ กนั ขายเปดไดครง้ั ละกี่ตวั และจะเหลือเปด กี่ตวั

ข. จงหาผลหารแลว ตรวจคําตอบ

(1) 20 ÷ 3 (2) 35 ÷ 4 (3) 82 ÷ 2

(4) 150 ÷ 12 (5) 1,031 ÷ 51 (6) 28,023 ÷ 145

56

โจทยป ญ หาการหาร
โจทยปญหานเ้ี ปน ปญหาที่เกีย่ วขอ งกับชวี ิตประจําวัน ซงึ่ อาจมวี ิธีทําทั้งการบวก ลบ คณู หาร
ปนกนั อยใู นขอ เดียว หรืออาจมบี างวิธกี ็ได

ตัวอยา ง คนงาน 7 คน รบั จา งขดุ บอ แหง หน่ึงไดคาจางทั้งหมด 12,460 บาท ถา แบง เงนิ คาจา ง

เทา ๆ กนั จะไดค นละเทา ไร

ประโยคสญั ลกั ษณ คือ 12,460 ÷ 7 = 

วธิ ที ํา คนงานไดค า จางขดุ บอ ทัง้ หมด 12,460 บาท

แบง เงนิ คา จางเทา ๆ กัน 7 คน

ดังนั้น จะไดคนละ 7 ) 12,460 บาท

1,780 บาท

ตอบ 1,780 บาท

ตวั อยาง มปี ากกา 8,460 ดาม นํามาใสก ลอง กลอ งละ 250 ดาม จะใสไดก กี่ ลอง

ประโยคสญั ลกั ษณ คือ 8,460 ÷ 250 = 

วิธที าํ มปี ากกา 8,460 ดา ม

นํามาใสกลอ ง กลองละ 250 ดาม

ดงั นน้ั จะใสไ ด 33 กลอง

250) 8460

750

960 –
750

210

ดังนนั้ จะใสไ ด 33 กลอง และเหลอื เศษ 210 ดา ม

ตอบ 33 กลอง เหลอื 210 ดาม

ตวั อยา ง สปั ดาหแรกขายของได 1,789 บาท สปั ดาหที่สองขายได 1,826 บาท สัปดาหทส่ี าม

ขายได 2,310 บาท เฉลย่ี แลวขายของไดเ งินสัปดาหล ะเทาไร

ประโยคสญั ลักษณ คอื (1,789 + 1,826 + 2,310) ÷ 3 = 

วิธีทํา สัปดาหแรกขายของได 1,789 + บาท
สปั ดาหท ่สี องขายได 1,826 บาท
สัปดาหท่สี ามขายได 2,310 + บาท

รวมสามสัปดาหข ายของไดเ งิน 5,925 บาท

ดงั นน้ั เฉลยี่ แลวขายของไดเ งินสัปดาหล ะ 5,925 ÷ 3 = 1,975 บาท

ตอบ 1,975 บาท

57

โจทยปญ หาการบวก ลบ คูณและหาร
โจทยป ญ หาซึ่งเปนเร่อื งราวทเ่ี กยี่ วของกบั ชวี ติ ประจําวนั นนั้ อาจมกี ารแกปญ หาโดยวิธกี ารบวก ลบ

คณู และหารปนกนั อยู ดงั ตวั อยา งตอ ไปนี้

ตัวอยาง นายมิ่งขายโคเนือ้ 2 ตวั หนกั ตวั ละ 186 กิโลกรัม และ 174 กโิ ลกรมั ตามลําดบั โดยขาย

กิโลกรมั ละ 38 บาท แลวซอื้ ตนกลามะมวงพนั ธดุ มี า 100 ตน ราคาตน ละ 25 บาท จะเหลอื เงนิ เทาไร

ประโยคสัญลักษณ คอื (186 + 174) ÷ 38 – (100 × 25) = 

วิธีทาํ โคเนอื้ ตัวแรกมีน้ําหนกั 186 + กโิ ลกรัม
โคเนอ้ื ตวั ที่สองมนี ํา้ หนกั 174 กิโลกรัม

โคเนอ้ื 2 ตวั มนี า้ํ หนกั รวม 360 × กโิ ลกรมั
ขายกิโลกรมั ละ 38 บาท

2880 บาท
1 0 8 0 –– บาท

รวมเปนเงนิ ท่ีขายโคได 13680 บาท

ตนกลามะมว งพันธด ีราคาตน ละ 25 × บาท
ซอ้ื ตน กลา มะมว ง 100 ตน

คดิ เปน เงนิ ท่ีซือ้ ตน กลามะมว ง 2500 บาท

เงินท่ขี ายโคได 13680 – บาท
จา ยเงนิ คาตน กลามะมว ง 2500 บาท

ดังน้ันจะเหลือเงิน 11180 บาท

ตอบ 11,180 บาท

แบบฝก หดั ที่ 22
ใหเขียนประโยคสัญลกั ษณและแกป ญหาโจทยตอไปนี้ โดยแสดงวิธีทํา
1. นายสินชัยรบั จา งแกรถจักรยานยนต มีรายไดเ ฉล่ยี วนั ละ 3,670 บาท ส้นิ เดือนหักคา อปุ กรณ
และคาใชจ า ยอ่นื ๆ 45,298 บาท จะเหลือเงินเทา ไร
2. ศูนยอพยพแหง หนงึ่ มีผูล ี้ภยั อาศยั อยู 3,144 คน ตอ งเสยี คา ใชจ า ยในการเลยี้ งดผู ูอ พยพวันละ
141,480 บาท อยากทราบวา ศูนยตองเสียคา ใชจ ายในการเลย้ี งดูผอู พยพคดิ เปนรายหวั ละเทา ไร
3. ประชาชนในจงั หวดั แหงหนึง่ มีผทู ไี่ ดรับความเดอื ดรอนจากภัยแลง ถงึ ขั้นวิกฤตรนุ แรง 428
หมูบาน รุนแรงปานกลาง จาํ นวน 82 หมูบ าน รฐั บาลไดใ หค วามชวยเหลอื ในดานอาหารและ
เมล็ดพันธพุ ืช สาํ หรบั หมบู านทเ่ี ดอื นรอ นขั้นรนุ แรงเฉล่ยี หมบู านละ 50,000 บาท สวนหมบู าน
ทเี่ ดือดรอ นปานกลางเฉลยี่ หมบู านละ 37,000 บาท อยากทราบวา รฐั บาลตองเสยี คา ใชจา ยใน
การชว ยเหลือครัง้ น้เี ทา ไร

58

4. สมใจจบั ปลาในบอ แรกไปขายสง ท่ตี ลาดไดเงิน 79,600 บาท บอท่สี องไดเ งนิ 83,400 บาท แลว
ซือ้ เครอ่ื งสบู นํ้า 1 เครือ่ ง ราคา 37,500 บาท และซ้ือลูกพันธปุ ลามาเลี้ยงใหมอีก 5,000 ตัว ๆ ละ
7 บาท จะเหลอื เงินอีกเทา ไร

5. สหกรณเพ่ือการเกษตรแหงหน่งึ มีสมาชิกรว มหุน ทัง้ หมด 3,796 หุน ถงึ ส้นิ ปม ีกําไรสทุ ธิ
318,864 บาท อยากทราบวา สมาชกิ จะไดเ งนิ ปน ผลหุนละกบ่ี าท

เรื่องท่ี 8 ตวั ประกอบของจํานวนนบั และการหาตวั ประกอบ

ความหมายของตวั ประกอบ
พจิ ารณาขอความตอไปนี้
30 หารดว ย 5 ลงตัว เรากลา ววา 5 เปนตวั ประกอบของ 30
24 หารดว ย 8 ลงตวั เรากลาววา 8 เปน ตัวประกอบของ 24
19 หารดวย 6 ไมล งตวั เรากลา ววา 6 ไมเปนตัวประกอบของ19

ตวั ประกอบของจํานวนนบั ใดก็ตาม กค็ ือ จาํ นวนนับที่หารจํานวนนน้ั ไดลงตัว

แบบฝกหดั ที่ 23
จงตอบคําถามตอไปนี้

(1) 4 เปนตัวประกอบของ 20 หรอื ไม เพราะเหตุใด
(2) 3 เปน ตัวประกอบของ 18 หรือไม เพราะเหตุใด
(3) 7 เปน ตัวประกอบของ 37 หรือไม เพราะเหตใุ ด
(4) 9 เปนตวั ประกอบของ 45 หรอื ไม เพราะเหตใุ ด
(5) จํานวนนบั ใดมี 2 เปน ตวั ประกอบ 2, 5, 8, 9, 12, 14
(6) จํานวนนบั ใดมี 3 เปนตวั ประกอบ 2, 3, 6, 15, 20, 24
(7) จงยกตวั อยางจาํ นวนนบั ระหวาง 21 และ 39 ทมี่ ี 5 เปน ตวั ประกอบ
(8) จงยกตวั อยางจาํ นวนนบั ระหวา ง 15 และ 40 ที่มี 6 เปนตวั ประกอบ

59

พิจารณาจาํ นวนนบั ที่เปน ตัวประกอบของ 8

นํา 1 ไปหาร 8 ไดล งตัว ดังนัน้ 1 เปน ตวั ประกอบของ 8

นาํ 2 ไปหาร 8 ไดลงตัว ดงั นน้ั 2 เปน ตวั ประกอบของ 8

นาํ 4 ไปหาร 8 ไดลงตวั ดงั นนั้ 4 เปนตวั ประกอบของ 8

นํา 8 ไปหาร 8 ไดล งตวั ดังน้ัน 8 เปน ตวั ประกอบของ 8

ไมม จี ํานวนนับอน่ื ท่ีนําไปหาร 8 ไดล งตัวอกี ดังนน้ั 8 มตี ัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 2, 4 และ8

พิจารณาจํานวนนับที่เปน ตัวประกอบของ 5

นาํ 1 ไปหาร 5 ไดล งตัว ดงั น้นั 1 เปน ตวั ประกอบของ 5

นํา 5 ไปหาร 5 ไดล งตัว ดังนนั้ 5 เปน ตัวประกอบของ 5

ไมม จี าํ นวนนับอน่ื ทีน่ าํ ไปหาร 5 ไดล งตัวอกี ดงั นนั้ 5 มตี ัวประกอบ 2 ตวั คอื 1 และ 5

แบบฝก หดั ท่ี 24
ก. ตอบคาํ ถามตอไปน้ี
(1) มีจาํ นวนนบั ใดบา งท่ีหาร 12 ลงตวั
(2) มจี ํานวนนับใดบางทเี่ ปนตวั ประกอบของ 12
(3) มีจํานวนนับใดบางทีห่ าร 18 ลงตวั
(4) ตัวประกอบของ 18 มจี ํานวนใดบาง

60

ดอกไมป ระกอบ

61

เรือ่ งท่ี 9 จาํ นวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะ

9.1 จาํ นวนเฉพาะ
พิจารณาตวั ประกอบของจาํ นวนตอไปนี้
2 มีตวั ประกอบ 2 ตัว คอื 1 และ 2
3 มตี ัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 3
5 มตี ัวประกอบ 2 ตวั คอื 1 และ 5
11 มีตวั ประกอบ 2 ตวั คือ 1 และ 11
จาํ นวนนับขางตนแตละจาํ นวนมตี ัวประกอบทตี่ างกนั เพียงสองตวั คือ 1 และตวั ของมันเอง

จํานวนนบั ท่มี ตี ัวประกอบที่ตางกนั เพียงสองตวั คอื 1 กับจาํ นวนนบั นนั้ เรียกวา จาํ นวนเฉพาะ

2 เปน จํานวนเฉพาะ เพราะ 2 มีตวั ประกอบเพยี ง 2 ตวั คือ 1 และ 2
7 เปนจาํ นวนเฉพาะ เพราะ 7 มตี ัวประกอบเพยี ง 2 ตวั คือ 1 และ 7
8 ไมเ ปนจาํ นวนเฉพาะ เพราะ 8 มตี วั ประกอบมากกวา 2 ตวั คอื 1, 2, 4 และ 8
แบบฝกหดั ท่ี 25
จงตอบคาํ ถามตอไปนี้
(1) 13 เปน จาํ นวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตใุ ด
(2) 15 เปนจาํ นวนเฉพาะหรอื ไม เพราะเหตใุ ด
(3) จาํ นวนตงั้ แต 20 ถึง 30 มจี ํานวนใดบา งเปนจาํ นวนเฉพาะ
(4) จํานวนต้งั แต 50 ถงึ 60 มีจํานวนใดบา งเปนจํานวนเฉพาะ
(5) จาํ นวนต้งั แต 90 ถึง 100 มจี ํานวนใดบา งเปนจํานวนเฉพาะ

9.2 ตัวประกอบเฉพาะ
ตัวประกอบของ 12 มี 6 ตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 แต 2 และ 3 เทาน้ันทเ่ี ปนจาํ นวนเฉพาะ

ดงั น้นั 2 และ 3 เปนตวั ประกอบทีเ่ ปนจํานวนเฉพาะของ 12

ตวั ประกอบท่ีเปน จํานวนเฉพาะ เรยี กวา ตัวประกอบเฉพาะ

ตัวประกอบของ 8 มี 1, 2, 4 และ 8
ตวั ประกอบเฉพาะของ 8 คือ 2
ตวั ประกอบของ 30 มี 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30
ตัวประกอบเฉพาะของ 30 คือ 2, 3 และ 5

62

แบบฝกหดั ท่ี 26
จงตอบคําถามตอ ไปนี้

ตวั ประกอบของจํานวนตอ ไปนี้มจี ํานวนใดบาง และตัวประกอบเฉพาะคือ จาํ นวนใด
(1) ตัวประกอบของ 9 มี ___________________________________________________

ตัวประกอบเฉพาะของ 9 คอื _____________________________________________
(2) ตวั ประกอบของ 22 มี ___________________________________________________

ตัวประกอบเฉพาะของ 22 คอื _____________________________________________
(3) ตวั ประกอบของ 36 มี ___________________________________________________

ตัวประกอบเฉพาะของ 36 คือ_____________________________________________
(4) ตวั ประกอบของ 50 มี ___________________________________________________

ตวั ประกอบเฉพาะของ 50 คือ______________________________________________
(5) ตัวประกอบเฉพาะของ 37 มีจํานวนใดบาง __________________________________

แบบฝก หดั ที่ 27

ก. จงเขยี นจํานวนตอ ไปนใ้ี นรูปผลคณู ของตวั ประกอบสองตวั ทีไ่ มมตี ัวใดเปน 1

(1) 21 (2) 24 (3) 28 (4) 36 (5) 49

(6) 51 (7) 63 (8) 81 (9) 72 (10) 90

ข. เราสามารถเขียนจํานวนตอ ไปนใ้ี นรูปผลคณู ของตวั ประกอบสองตวั ทีไ่ มมีตวั ใดเปน 1 ไดหรอื ไม

เพราะเหตุใด 11, 13, 17, 23, 29

63

เร่อื งท่ี 10 การแยกตวั ประกอบ

การเขยี นจาํ นวนในรูปผลคณู ของตวั ประกอบ

ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 12 เราสามารถเขยี นจํานวนในรูปผลคณู ของตวั
ประกอบของแตล ะจํานวนน้ันได เชน

12 = 1 × 12
หรือ 12 = 2 × 6
หรอื 12 = 3 × 4

พิจารณาการเขียน 12 ในรปู ผลคณู ของตัวประกอบสองตัวท่ไี มมีตัวใดเปน 1

12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 × 4

เนอื่ งจาก 6 และ 4 ไมเปนตัวประกอบเฉพาะ ดังนน้ั เราสามารถเขียน 6 และ 4

ในรูปผลคณู ของตวั ประกอบ ตอ ไปไดอ ีก ดังนี้

12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 × 4

= 2×2×3 = 3 ×2×2

เมอื่ เราเขยี น 12 = 2 × 2 × 3 หรอื 12 = 3 × 2 × 2

จะเปนการเขยี น 12 ในรูปผลคูณของตวั ประกอบเฉพาะ

เขียนจาํ นวนในรูปผลคณู ของตวั ประกอบเฉพาะเรยี กวา การแยกตัวประกอบ

ตวั อยาง จงแยกตวั ประกอบของ 20
วธิ ีทํา 20 = 4 × 5

= 2×2×5
แยกตัวประกอบของ 20 ไดเปน 2 × 2 × 5
ตอบ 20 = 2 × 2 × 5

ตวั อยาง จงแยกตวั ประกอบของ 48
วธิ ีทาํ 48 = 3 × 16

= 3×2×8
= 3×2×2×2×2
แยกตัวประกอบของ 48 ได 3 × 2 × 2 × 2 × 2
หรอื 3 × 24
ตอบ 48 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 หรือ 3 × 24

64

จาํ นวนทค่ี ูณกบั ตวั เองหลาย ๆ คร้ัง เชน 2 × 2 × 2 × 2 สามารถเขยี นในรปู เลขยกกําลงั
ไดเปน 24 อานวา สองยกกําลังส่ี

แบบฝก หดั ท่ี 28 (3) 28 (10) 100
จงแยกตวั ประกอบของจํานวนตอ ไปนี้ (6) 52
(9) 72
(1) 6 (2) 14
(4) 35 (5) 36
(7) 45 (8) 60

การแยกตัวประกอบโดยวิธตี ง้ั หาร

ในการแยกตวั ประกอบของ 20 เราอาจทําไดโ ดยนําจาํ นวนเฉพาะที่หาร 20 ไดล งตวั มาหาร 20

แลวพิจารณาผลหารไดลงตวั มาหารผลหารนน้ั ทาํ เชนนีเ้ รอื่ ยไปจนกระท่ังผลหารท่ีไดเ ปนจํานวนเฉพาะ

เราสามารถเขยี น 20 ในรปู ผลคูณของตวั หารทกุ ตัวกับผลหารสดุ ทาย ซ่ึงทกุ ตวั เปน จาํ นวนเฉพาะ

ตวั อยาง จงแยกตวั ประกอบของ 20

วิธีทํา 2 ) 20

2 ) 10

แจบงแบยฝกกตหวั ดัปทระี่ 3ก0อบแขยอกงต5จัวําปนรวะนกตออ บไขปอนงี้ 20 ได 2 × 2 × 5

แบบฝก หดั ท่ี 29 จงแยกตวั ประกอบของจาํ นวนตอ ไปน้ี

(1) 27 (2) 39 (3) 42 (4) 56

(6) 68 (6) 96 (7) 250 (8) 216

การหาผลคณู โดยใชต ัวประกอบ
การหาผลคูณระหวางจํานวนสองจํานวนอาจทาํ ไดโดยเขยี นจาํ นวนใดจํานวนหน่งึ ในรปู ผลคณู ของ

ตัวประกอบ แลว ใชค ณุ สมบตั กิ ารเปล่ยี นกลมุ ของการคณู

ตวั อยา ง จงหาผลคูณ 97 × 35 ตรวจคําตอบโดยใชคณู ในแนวตั้ง
วธิ ีทํา 97 × 35 = 97 × (5 × 7)
97 ×
= (97 × 5) × 7 35
= 485 × 7
= 3,395 485
ตอบ 3,395
2,910 +
3,395

ตอบ 3,395

65

แบบฝกหดั ที่ 30

จงหาผลคูณโดยใชตวั ประกอบและตรวจคําตอบดว ยวธิ ีอน่ื

(1) 46 × 36 (2) 92 × 48

(3) 126 × 45 (4) 218 × 28

(5) 118 × 25 (6) 256 × 32

เรื่องท่ี 11 ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

11.1 การหา ห.ร.ม.
ตัวหารรว ม
เราทราบมาแลว วาตัวประกอบของจาํ นวนใด ๆ สามารถนําไปหารจาํ นวนน้นั ไดล งตวั เชน

ตวั ประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ทกุ ตวั สามารถนําไปหาร 12 ไดลงตวั ดงั นั้นเราอาจเรยี กตวั
ประกอบของ 12 แตละตวั นีว้ า เปนตวั หาร ของ 12

ลองพิจารณาตวั หารของ 8 และ 12
ตวั หารของ 8 คือ 1, 2, 4, 8
ตัวหารของ 12 คอื 1, 2, 3, 4, 6, 12
ตัวหารของ 8 และ 12 ทเ่ี หมอื นกันคือ 1, 2 และ 4 เราเรียก 1, 2 และ 4 วา เปนตัวหารรว มหรอื
ตัวประกอบรว ม ของ 8 และ 12

จาํ นวนนับที่หารจาํ นวนตั้งแตสองจํานวนขน้ึ ไปลงตวั เรยี กวา ตัวหารรว มของจํานวนเหลาน้ัน

ตัวอยา ง จงหาตวั หารรว มของ 9, 15 และ 21

วธิ ีทํา ตวั หารของ 9 คือ 1, 3, 9

ตวั หารของ 15 คอื 1, 3, 5, 15

ตัวหารของ 21 คอื 1, 3, 7, 21

ตัวหารรว มของ 9, 15 และ 21 คอื 1, 3

ตอบ 1 และ 3

66

แบบฝก หดั ที่ 31

จงหาตัวหารรว มของจํานวนตอไปน้ี

(1) 12, 18 (2) 16, 24

(3) 27, 36 (4) 9, 21

(5) 8, 14, 18 (6) 5, 10, 15

ตวั หารรวม (ห.ร.ม.)

ตวั หารของ 16 คอื 1, 2, 4, 8, 16

ตวั หารของ 20 คือ 1, 2, 4, 5, 10, 20

ตวั หารรว มของ 16 และ 20 คอื 1, 2, 4

ตวั หารรว มทม่ี คี า มากที่สดุ ของ 16 และ 20 คอื 4

เราเรียกตัวหารรวมท่มี คี า มากทสี่ ุดวา ตัวหารรว มมาก ใชต วั ยอวา ห.ร.ม.

ดังนนั้ ตวั หารรวมมาก หรือ ห.ร.ม. ของ 16 และ 20 คือ 4

ตัวอยา งจงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27
วธิ ีทาํ ตวั หารของ 18 คือ 1, 2, 3, 6, 9, 18

ตวั หารของ 27 คือ 1, 3, 9, 27
ตวั หารรวมมาก หรอื ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คือ 9
ตอบ 9

แบบฝก หดั ท่ี 32

จงหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนตอไปนี้

(1) 10, 14 (2) 9, 12 (3) 14, 28
(6) 18, 24
(4) 8, 27 (5) 16, 28 (9) 18, 27, 63

(7) 6, 4, 22 (8) 10, 20, 30

67

การหา ห.ร.ม. โดยวิธแี ยกตัวประกอบ

การหา ห.ร.ม. ของจํานวนตา ง ๆ เราอาจใชก ารแยกตวั ประกอบชวยหาได โดยนําตวั ประกอบ

ท่เี หมอื นกันมาคณู กนั ตวั อยา งเชน เราจะหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 เมอื่ แยกตัวประกอบของ 18 และ 27

จะไดดงั นี้ 18  2  3  3
27  3  3  3

จาํ นวนทม่ี คี า มากทส่ี ดุ ท่หี าร 18 และ 27 ลงตวั คือจํานวนทอี่ ยใู นรูป 3 × 3 นั่นคอื ห.ร.ม. ของ 18
และ 27 คอื 3 × 3 = 9

ลองดูตัวอยา งใหม เราจะหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 30
40 = 2 × 2 × 2 × 5
30 = 2 × 3 × 5

จาํ นวนทม่ี คี ามากทส่ี ดุ ท่หี าร 40 และ 30 ลงตัว คือ จาํ นวนทีอ่ ยูในรูป 2 × 5 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 40
และ 30 คอื 2 × 5 = 10

ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 16, 24 และ 28
วิธีทํา 16 = 2 × 2 × 2 × 2

24 = 2 × 2 × 2 × 3
28 = 7 × 2 × 2

ห.ร.ม. ของ 16, 24 และ 28 คือ 2 × 2 = 4
ตอบ 4

แบบฝก หดั ท่ี 33

จงหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนตอ ไปน้ี

(1) 16, 36 (2) 15, 25 (3) 26,34
(6) 42, 64
(4) 12, 27 (5) 35, 21 (9) 18, 27, 54

(7) 49, 56, 63 (8) 15, 30, 45

68

การหา ห.ร.ม. โดยวิธกี ารต้งั หาร

ในการหา ห.ร.ม. ของจํานวนหลาย ๆ จาํ นวน เราอาจใชวธิ ตี ้ังหารทาํ นองเดียวกับการแยก

ตัวประกอบ โดยวธิ ีตงั้ หารได ตวั อยา งเชน เราจะหา ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 เราสามารถทาํ ไดด ังน้ี

(1) หาจาํ นวนเฉพาะทีเ่ ปนตัวหารรว มของ 2 ) 12, 18, 24

12, 18 และ 24 เชน นํา 2 ไปหาร 12, 18 และ 24 6, 9, 12

ไดผลหารเปน 6, 9 และ 12 ตามลําดบั

(2) หาจาํ นวนเฉพาะทเี่ ปนตวั หารรว มของ 2 ) 12, 18, 24

6, 9 และ12 ซึ่งเปนผลหารที่ได คือ นาํ 3 ไปหาร 3) 6, 9, 12

6, 9 และ 12 ไดผ ลหารเปน 2, 3, 4 ตามลําดับ 2, 3, 4

(3) หาจํานวนเฉพาะทเ่ี ปน ตัวหารรวมของ 2 ) 12, 18, 24

2, 3 และ 4 ซงึ่ เปนผลหารท่ไี ด แตไ มม จี ํานวนเฉพาะ 3) 6, 9, 12

ดงั กลาว 2, 3, 4

ดงั นั้น ตวั หารรวมมากท่ีสุด หรอื ห.ร.ม. ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24

ของ 12, 18 และ 24 คือ ผลคูณของตวั หารรว มทกุ ตวั คือ 2 × 3 = 6

ซ่งึ เทากับ 2 × 3 = 6 ตอบ 6

ตวั อยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 15, 25 และ 35
วธิ ที ํา 5 ) 15, 25, 35

3, 5, 7
ห.ร.ม. ของ 15, 25 และ 35 คือ 5
ตอบ 5

ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 60, 36

วธิ ที ํา 2 ) 24, 60, 36

2 ) 12, 30, 18

3 ) 6, 15, 9

แบบฝกหดัหท.ร่ี 3.ม5. ของ 2, 5, 3 36 คือ 2 × 2 × 3 = 12 ตอบ 12
24, 60 และ

69

จงฝก ทกั ษะตอ ไปน้ี

ก. จงหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนทก่ี ําหนดให

(1) 21, 35, 42 (2) 27, 63, 81 (3) 10, 25, 30

(4) 24, 32, 64 (5) 16, 20, 36 (6) 20, 15, 45 และ 40

(7) 24, 12, 60 และ 48 (8) 28, 14, 70 และ 84

ข. ดอกไม ตัวประกอบ

70

การหา ค.ร.น.

ตัวคูณรวม

จาํ นวนทม่ี ี 4 เปน ตวั ประกอบ คอื 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

จํานวนทม่ี ี 6 เปน ตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...

จาํ นวนทมี่ ที ั้ง 4 และ 6 เปน ตัวประกอบ คือ 12, 24, 36,... เราเรียกจํานวนทีม่ ที ั้ง 4 และ 6

เปน ตัวประกอบวา ตวั คณู รวม ของ 4 และ 6

ตวั คณู รวมของจํานวนตั้งแตส องจาํ นวนข้ึนไป หมายถงึ จํานวนนบั ท่ีมีจํานวนเหลา น้ัน
เปน ตวั ประกอบ

ตวั อยาง จงหาตัวคณู รว มของ 3 และ 4
วิธที ํา จํานวนท่ีมี 3 เปน ตวั ประกอบ คอื 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 36, ...
จํานวนทีม่ ี 4 เปน ตัวประกอบ คอื 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
ตวั คณู รวมของ 3 และ 4 คอื 12, 24, 36, ...

ตอบ 12, 24, 36

แบบฝก หดั ท่ี 34

จงหาตวั คณู รวมของจาํ นวนตอไปน้ี

(1) 2, 3 (2) 4, 8 (3) 6, 9
(6) 10, 15, 20
(4) 10, 15 (5) 4, 6, 8

ตวั คณู รวมนอย (ค.ร.น.)
จํานวนทีม่ ี 6 เปน ตวั ประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...
จาํ นวนทมี่ ี 8 เปน ตัวประกอบ คือ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...
ตวั คณู รว มของ 6 และ 8 คือ 24, 48, ...
ตัวคณู รว มท่มี คี า นอ ยทีส่ ดุ ของ 6 และ 8 คือ 24

เราเรยี กตัวคณู รว มทม่ี คี านอยทส่ี ดุ วา ตวั คณู รว มนอ ย ใชต วั ยอ วา ค.ร.น.

71

ดงั น้นั ตวั คณู รว มนอ ย หรือ ค.ร.น. ของ 6 และ 8 คอื 24

ตวั อยาง จงหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6
วธิ ีทํา จํานวนท่มี ี 4 เปน ตัวประกอบ คอื 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...
จํานวนทีม่ ี 6 เปน ตัวประกอบ คอื 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...
ตัวคณู รว มของ 4 และ 6 คือ 12, 24, 36, ...
ตวั คณู รวมนอย หรือ ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 12

ตอบ 12

แบบฝก หดั ท่ี 35

จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตอไปน้ี

(1) 5, 6 (2) 2, 4 (3) 6, 9
(6) 8, 10, 20
(4) 10, 15 (5) 4, 6, 8

การหา ค.ร.น. โดยวิธแี ยกตัวประกอบ
ในการหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตา ง ๆ เราอาจใชก ารแยกตัวประกอบชว ยหาได เชน เราจะหา

ค.ร.น. ของ 4 และ 6 เม่ือแยกตวั ประกอบของ 4 และ 6 ไดด ังนี้
4 = 2 ×2
6 = 2 ×3

จะเหน็ วา จาํ นวนทน่ี อ ยท่สี ดุ ที่มี 4 และ 6 เปนตัวประกอบ คอื 12 ซึง่
12 = 2 × 2 × 3

เราได 2 × 2 × 3 จากวธิ กี ารดงั น้ี
4 =2×2
6 =2×3
2 × 2 × 3 = 12

ดงั น้นั ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 12

72

ตวั อยาง จงหา ค.ร.น ของ 15 และ 21
วธิ ีทาํ

15  3  5
21  3  7

ค.ร.น. ของ 15 และ 21 คือ 3 × 5 × 7 = 105
ตอบ 105

ตวั อยา ง จงหา ค.ร.น . ของ 18, 24
วิธีทํา 18 = 2 × 3 × 3

24 = 2 × 2 × 2 × 3
ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ 2 × 3 × 3 × 2 × 2 = 72

ตอบ 72

ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 8, 10, 12
วธิ ที าํ 8 = 2 × 2 × 2

10 = 2 × 5
12 = 2 × 2 × 3
ค.ร.น. ของ 8, 10, 12 คอื 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120
ตอบ 120

แบบฝกหดั ท่ี 36

จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตอ ไปน้ี

(1) 6, 10 (2) 30, 50 (3) 6, 9, 15
(6) 15, 45
(4) 15, 20, 30 (5) 12, 20

(7) 8, 14, 16 (8) 12, 48, 60

การหา ค.ร.น. โดยวิธตี งั้ หาร
ในการหา ค.ร.น. ของจํานวนหลาย ๆ จํานวน เราอาจใชวิธตี ั้งหาร ตัวอยา งเชน เราจะหา ค.ร.น. ของ
8, 10, และ 12 เราสามารถทําไดดังน้ี

73

(1) หาจํานวนเฉพาะที่เปน ตวั หารรว มของ 2 ) 8, 10, 12
8, 10, และ 12 หรืออยา งนอย 2 จํานวน เชน นํา 2 ไปหาร 4, 5, 6
8, 10 และ 12 ผลหาร เปน 4, 5 และ 6 ตามลาํ ดบั
2 ) 8, 10, 12
(2) หาจาํ นวนเฉพาะที่เปน ตวั หารรว มของ 2) 4, 5, 6
4, 5 และ6 หรืออยา งนอ ย 2 จํานวน เชน 2 เพราะนาํ ไปหาร
4 และ 6 ไดลงตวั แตน าํ ไปหาร 5 ไมลงตวั เขียน 5 ไวด งั เดมิ 2, 5, 3
2 ) 8, 10, 12
(3) หาจาํ นวนเฉพาะท่ีเปนตัวหารรวมของ 2) 4, 5, 6
2, 5 และ 3 หรืออยางนอย 2 จาํ นวน แตจาํ นวนเฉพาะนนั้ ไมมี
2, 5, 3
ดงั น้นั จํานวนทน่ี อยที่สุดมี 8, 10 และ 12 ค.ร.น. ของ 8, 10 และ 12
เปน ตัวประกอบคอื 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120 คอื 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120
ตอบ 120

ตัวอยา ง จงหา ค.ร.น. ของ 12, 16, 18
วธิ ีทาํ 2 ) 12, 16, 18

2 ) 6, 8, 9
3 ) 3, 4, 9

1, 4, 3
ค.ร.น. ของ 12, 16 และ 18 คือ 2 × 2 × 3 × 1 × 4 × 3 = 144
ตอบ 144

ตวั อยาง จงหา ค.ร.น. ของ 18, 24
วิธที าํ 2 ) 18, 24

3 ) 9, 12
3, 4

ค.ร.น. ของ 18, 24 คอื 2 × 3 × 3 × 4 = 72
ตอบ 72

แบบฝกหดั ท่ี 37

จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตอ ไปนี้

(1) 16, 24 (2) 15, 45 (3) 9, 36, 24 (4) 4, 12, 24, 32
(7) 14, 28, 49 (8) 44, 66, 99
(5) 20, 28 (6) 16, 30, 48

74

บทท่ี 2

เศษสวน

สาระสาํ คัญ

การอานและเขยี นเศษสว น การเปรยี บเทยี บเศษสว น การบวก ลบ คณู หาร เศษสวน และ
การแกโ จทยป ญ หาตามสถานการณ

ผลการเรียนรูทค่ี าดหวัง

1. บอกความหมาย ลกั ษณะและอา นเศษสวนได
2. เขยี นเศษสว นใหอยใู นรปู เศษสว นอยา งตาํ่ จาํ นวนคละและเศษสว นเกนิ ได
3. เปรียบเทยี บและเรียงลาํ ดับเศษสวน ได
4. บวก ลบ เศษสว นและนาํ ความรเู กีย่ วกับเศษสวนไปใชแ กโจทยป ญหาได
5. คณู เศษสวนและนําความรเู ก่ียวกับการคณู เศษสวนไปใชแ กโ จทยป ญ หาได
6. หารเศษสวนและนําความรูเ กย่ี วกบั การหารเศษสว นไปใชแ กโ จทยป ญ หาได
7. บวก ลบ คณู หารเศษสวนและนําความรูไ ปใชแ กโ จทยป ญ หาได

ขอบขายเน้ือหา

เรื่องที่ 1 ความหมาย ลักษณะของเศษสวนและการอานเศษสวน
เรื่องที่ 2 เขียนเศษสว นใหอยูในรปู เศษสว นอยา งต่ํา จาํ นวนคละและเศษเกิน
เร่ืองที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวน
เรอ่ื งที่ 4 การบวก ลบ เศษสว นและโจทยป ญ หา
เรื่องท่ี 5 การคูณเศษสวนและโจทยป ญหา
เรื่องท่ี 6 การหารเศษสว นและโจทยป ญ หา
เรอ่ื งที่ 7 การบวก ลบ คูณ หารเศษสว นระคนและโจทยป ญ หา

75

เร่อื งท่ี 1 ความหมาย ลักษณะของเศษสว นและการอานเศษสวน

1.1 เศษสว น หมายถึง สว นตาง ๆ ของจาํ นวนเต็มท่ถี ูกแบง ออกเปนสวนละเทา ๆ กัน เชน

รูปวงกลม 1 วง แบง ออกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน

สว นท่แี รเงาเปน 1 สว น ใน 4 สวน
1
เขยี นแทนดว ย 4 อา นวา “เศษหน่ึงสว นส”่ี

รูปส่เี หล่ยี ม 1 รปู แบง ออกเปน 5 สว นเทา ๆ กัน

สว นท่ีแรเงาเปน 2 สว นใน 5 สว น
2
เขยี นแทนดว ย 5 อานวา “เศษสองสวนหา”

76

ลักษณะของเศษสว น มี 3 ชนดิ คอื 1 3 2 11
4 5 7 15
1. เศษสวนแท เปนเศษสวนท่ีมตี ัวเศษนอ ยกวาตวั สวน เชน , , ,

2. เศษเกินเปนเศษสว นทมี่ ตี วั เศษมากกวา ตวั สวน เชน 7 , 12
3 5
1 4 5
3. จํานวนคละ เปน จาํ นวนทีม่ จี ํานวนเต็มและเศษสวนแท เชน 3 2 , 5 7 , 11 12

แบบฝก หดั ที่ 1

ก. จงเขยี นเศษสวนแสดงสว นทแ่ี รเงาตอไปนี้

(1) (2) (3) (4) (5)

ข. จงเขียนคําอานของเศษสว น
2
ตวั อยาง 3 อา นวา เศษสองสวนสาม

(1) 5 (2) 4 (3) 7 (4) 1 (5) 6
6 8 9 7 7
ค. จงเขยี นใหอ ยูในรปู ของเศษสว น

(1) เศษหา สว นแปด = __________________________________

(2) เศษสองสวนสาม = __________________________________

(3) เศษเจด็ สว นเกา = __________________________________

(4) เศษหกสว นเจด็ = __________________________________

(5) เศษสามสวนหา = __________________________________

1.2 เศษสว น หมายถึง สว นตาง ๆ ของกลมุ ทีถ่ กู แบง ออกเปนกลมุ ยอ ย ซงึ่ มีสมาชิกเทากัน เชน
1
มีไขไก 6 ฟอง ตองการแบง เปน 3 กองเทา ๆ กัน แตละกอง เปน 3 ของไขไ กท ง้ั หมด

ไขไ กแ ตล ะกองเปน 1 ใน 3 ของไขไ ก
ท้ังหมด

เขยี นแทนดว ย 1 ของไขไ กทง้ั หมด เทา กบั
3
1
3 ของไขไก 6 ฟอง หรือเทากบั กองละ2 ฟอง

มีสม 6 ผล ตอ งการแบงเปน 2 กองเทา ๆ กัน แตละกองเปน 1 ของสม ทง้ั หมด
2

จะไดสมท้งั หมด 2 กอง เขยี นแทนดว ย 1 ของสม ทั้งหมด 6 ผล หรอื เทากับกองละ 3 ผล
2

77

การอา นเศษสว น เศษสว นจาํ นวนคละ เศษเกนิ
ภาพ
เขยี นเปน อา นวา เขยี นเปน อา นวา
1. จํานวนคละ เศษสว น

2. 1 1 หนง่ึ เศษหน่ึง 5 เศษหา
4 สว นส่ี 4 สว นส่ี

1 สองเศษหน่งึ 17 เศษสบิ เจด็
8 8
2 สว นแปด สว นแปด

3. 5 หนึง่ เศษหา 11 เศษสิบเอด็
6 6
1 สว นหก สวนหก

78

เร่อื งท่ี 2 การเขียนเศษสวนใหอ ยใู นรูปเศษสว นอยางตาํ่ จาํ นวนคละ
และเศษเกนิ

2.1 การเขียนเศษสว นใหอ ยใู นรูปเศษสว นอยา งต่าํ ใหผเู รยี นศึกษาจากภาพตอไปน้ี

2 = 1
4 2

4 = 2
8 4

2= 1

63

2.2 จาํ นวนคละ ใหผเู รยี นศึกษาจากเศษสวนตอ ไปน้ี 3 1 , 5 3 , 4 10 , 7 21 , 10 101
2 7 13 35 135
2.3 เศษเกนิ ใหผ ูเ รียนศกึ ษาจากจาํ นวนคละใน ขอ 2.2 และเขยี นใหเ ปน เศษเกนิ
1 3 10
3 2 = …………………… , 5 7 =…………………, 4 13 = …………………….

7 21 = …………………… , 10 101 = ……………………
35 135

79

เร่ืองที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวน

การเปรียบเทียบเศษสวน คือ การนําเอาเศษสว นมาเปรยี บเทียบกนั โดยใชเ คร่อื งหมายตา ง ๆ ดงั น้ี
ถาเศษสว นมีคาเทากนั ใชเครื่องหมาย =
ถาเศษสวนมคี าไมเ ทา กันใชเ ครื่องหมายนอ ยกวา (<) หรอื มากกวา (>)

3.1 การเปรียบเทยี บเศษสว นท่มี ตี วั สว นเทากนั แตม ีคา ไมเ ทากนั ใชเ คร่อื งหมาย < หรือ >

<

1 3
4 4
3.2 เศษสว นที่มีคา เทากนั

= 2
4
1
2

80

แบบฝกหดั ที่ 2

ใหผเู รยี นใชเคร่ืองหมาย < (นอ ยกวา ), > (มากกวา ) หรือ = (เทา กับ) ลงใน  ที่กาํ หนดใหถกู ตอ ง

(1) 2  5 (2) 3  4

66 44

(3) 1  2 (4) 5  4

44 99

(5) 1  2 (6) 3  1

22 77

(7) 6  7 (8) 8  7

88 99

(9) 3  5 (10) 4  2

66 77

(11) 2  5 (12) 3  4

66 44

(13) 1  2 (14) 5  4

44 99

(15) 1  2 (16) 3  1

22 77

(17) 6  7 (18) 8  7

88 99

(19) 3  5 (20) 4  2

66 77

81

เรอื่ งท่ี 4 การบวก ลบ เศษสว นและโจทยป ญ หา

4.1 การบวกและการลบเศษสว น

การบวกและการลบเศษสวนทม่ี ีตวั สวนเทากนั
การบวกและการลบเศษสว นท่มี ีตวั สว นเทา กนั ใหท ําดงั นี้
(1) นาํ เศษมาบวกลบกนั
(2) ตวั ท่เี ปน สว นใชเ ลขจาํ นวนเดิม

ตัวอยา ง การลบ
การบวก
3
2 4
4

1111 1 111
4444 4 444

วธิ ที าํ 1  1 = 11 = 2 วิธที าํ 4  3 = 43 = 1
44 44 44 44

แบบฝกหดั ท่ี 3

ใหผูเรยี นหาผลบวกและผลลบลงใน  ทก่ี าํ หนดไว
2 3 4 5
(1) 7 + 7 = (2) 5 + 5 =

(3) 4 + 3 = (4) 7 - 2 =
8 8 7 7
6 5 8 7
(5) 10 - 10 =  (6) 9 - 9 =

(7) 232 = (8) 1   2  2  =
999  4 4 

(9)  2  4  - 3 = (10)  3  2  1 =
 7 7  7  5 5 

(11)  2  2  + 3 = (12) 4   2  2  =
 7 7  7 5  5 5 

82

การทําเศษสวนใหม ีคาเทา กัน

1) การขยายสว น โดยหาจาํ นวนทีเ่ ทา กนั มาคณู ทงั้ ตัวเศษและตวั สวน เชน
1 1 2 2
2  22  4

1  1 3  3
3 3 3 9

2) การทอนเศษสวน โดยหาจํานวนทเ่ี ทากนั มาหารทั้งตวั เศษและตวั สว น เชน
2 2 2 1
4  4  2  2


4  44  1
12 12  4 3

การบวกและการลบเศษสวนทม่ี ตี วั สว นไมเทา กนั
การบวกและการลบเศษสว นทีไ่ มเ ทากนั โดยวิธขี ยายเศษสวน
การบวกและลบเศษสวนท่ีมตี วั สวนไมเทา กนั ใชวิธขี ยายเศษสว นใหเ ปนเศษสว นชนดิ เดียวกนั โดย

ทําตวั สวนใหเทา กันแลว จึงนําเศษมาบวกลบกัน
การขยายเศษสว น คือ การทาํ ตัวเลขทั้งเศษและสว นใหมากข้ึน โดยท่ีคาของเศษสว นไม

เปลย่ี นแปลง เชน

ตัวอยาง จงหาผลลพั ธของ 1 + 2
5 3
1 2 13 25
วิธีทํา 5 + 3 = 5 103 + 35 1 2
= 3 + 15 จะทาํ 5 , 3 ใหมีสวนเทากนั ไดอยางไร
15
3  10 แนวคดิ
15
= ตัวสว นของเศษสวน คอื 5, 3 ซึ่งหารกนั ไม
1
= 13 ลงตวั ดังนั้น จงึ นํา 3 ไปคูณ 5 ทัง้ เศษและสว น
15
13 และนาํ 5 ไปคูณ 2 ทงั้ เศษและสวน จะได
ตอบ 15 3
3 10
15 , 15 ซง่ึ มสี ว นเทา กัน

83

ตัวอยา ง จงหาผลลัพธข อง 5 - 1
7 3
5 1 53 17
วิธีทาํ 7 - 3 = 77 3 - 37 จะทํา 5 , 1 ใหมสี วนเทา กนั ไดอยา งไร
= 21 7 3
15 - แนวคดิ
21
15  7
= 21 ตัวสวนของเศษสวน คือ 7, 3 ซ่งึ หารกนั ไม
5
= 8 ลงตวั ดงั นัน้ จงึ นาํ 3 ไปคณู 7 ท้ังเศษและสว น
21
8 และนํา 7 ไปคณู 1 ท้ังเศษและสว น จะได 15 ,
ตอบ 21 3 21
7
21 ซงึ่ มีสว นเทา กนั

แบบฝกหดั ท่ี 4

จงหาผลลัพธ 2
1 5
(1) 2  (2) 2 + 2
64
(3) 1 + 3
58 (4) 1 + 3
37
(5) 1 + 2
45 (6) 11 - 8
12 13

84

4.2 สมบัตกิ ารสลบั ทข่ี องการบวกเศษสว น

ตวั อยาง จงเปรียบเทียบวา 2 + 1 และ 1 + 2 เทา กนั หรือไม
55 55

วธิ ีทํา 2 + 1 = 2 1 1 + 2 = 12
55 5 55 5

=3 = 3
55

ดังนัน้ 2 + 1 = 1 + 2
5 555

ตวั อยา ง จงเปรียบเทยี บวา 1 + 3 และ 3 + 1 เทากันหรอื ไม
27 72

วธิ ีทํา 1 + 3 = 17 + 32 3 + 1 = 32 + 17
2 7 27 72
7 2 72 27

= 7+6 = 6+7
14 14 14 14

= 76 = 67
14 14

= 13 = 13
14 14

ดงั นั้น 1 + 3 = 3 + 1
2772

แนวคดิ

เศษสว น 2 จํานวนทน่ี ํามาบวกกนั สามารถสลับท่กี ันได โดยท่ีผลบวกยังคงเดิม แสดงวา

การบวกเศษสวนมสี มบตั กิ ารสลบั ที่

แบบฝก หดั ที่ 5 (2) 12 + 19 =  + 12
จงเขยี นเศษสวนลงใน  ใหถ กู ตอง 25 27 25

(1) 5 + 7 = 7 +  (4) 13 +  = 25 + 13
9 13 13 25 29 25

(3) 2 + 8 = 8 +  (6) 21 +  = 19 + 21
5 27 27 91 87 91

(5)  + 5 = 5 + 11
12 12 23

85

4.3 สมบัตกิ ารเปลยี่ นหมูข องการบวกเศษสว น

ตัวอยาง จงเปรยี บเทยี บวา  1  2  + 3 และ 1 +  2  3  เทากนั หรือไม
5 7 7 5 7 7

วธิ ที าํ  1  2  + 3 =  1 7  2  5  + 3 1 +  2  3  = 1 + 5
5 7 7 57 75 7
5 7 7 5 7

=  7  10  + 3 = 17 + 55
 35 35  7 57 75

= 17 + 3 = 7 + 25
35 7 35 35

= 17 + 35 = 32
35 7  5 35

= 17 + 15 = 32
35 35 35

 1  2  + 3 และ 1 +  2  3 
5 7 7 5 7 7

แนวคดิ จงพจิ ารณาวา การหาคาํ ตอบของทัง้ 2 วิธนี ั้น วิธีใดงา ยกวากนั จะเหน็ ไดว า การคิด

แบบ 1 +  2  3  งา ยกวา เพราะเราทราบวา 2  3  5 ซึ่งเปนการบวกเศษสวนท่มี ตี ัว
5 7 7 77 7

สวนเทา กัน แลว นํา 5 ไปบวกกบั 1 ทีหลัง เปนการบวกเศษสว นท่ตี วั สว นไมเ ทา กนั
75
จะเหน็ ไดว า เราสามารถนําสมบตั กิ ารเปลยี่ นหมขู องการบวกเศษสว นชว ยใหหา

คําตอบไดเ ร็วขน้ึ และสรปุ ไดด ังนี้

เศษสวนสามจํานวนนาํ มาบวกกนั จะบวกสองจํานวนแรกกอน หรือสองจาํ นวน

หลงั กอน แลว จงึ นาํ ไปบวกกบั จาํ นวนทเ่ี หลอื ผลลพั ธจ ะเทากนั แสดงวา การบวกเศษสว นมี

สมบัติการเปล่ยี นหมขู องการบวก

แบบฝก หดั ที่ 6

จงเขียนเศษสว นลงใน   ใหถกู ตอ ง

 (1)  2  7  + 1 = +  7  1 
5 9 9 9 9

 (2)  1  2  + = 1 +  2   
3 7 3 7 

(3)  3  2  + 3 = 3 +   3 

4 9 9 4  9

(4)   1  + 3 = +3  1  3 

 8 8 4 8 8

86

4.4 โจทยป ญ หาการบวก การลบเศษสว น
การบวกเศษสว น

ตัวอยา ง มาลัยปลกู ผักได 5 ของแปลง มาลปี ลูกผกั ได 2 ของแปลง สองคนปลกู ผกั รวมกนั ไดเทา ใด
88

แนวคดิ โจทยก าํ หนดวา มาลยั ปลกู ผัก 5 ของแปลง มาลปี ลูกผักได 2 ของแปลง จะเหน็ วา ตวั สว นของ
88
สองจํานวนมีคาเทา กัน ดงั นน้ั เมอื่ เรานาํ เศษสว นของสองจํานวนมารวมกนั ใหนาํ ตวั เศษของสอง

จาํ นวนมาบวกกนั แลวหารดว ยตวั สวนคงเดมิ

วิธที าํ เขยี นเปน ประโยคสญั ลกั ษณ 5 + 2 = 
88

มาลยั ปลกู ผกั 5 ของแปลง
8

มาลปี ลกู ผัก 2 ของแปลง
8

สองคนปลูกผกั รวมกนั 5 + 2 = 5 2 ของแปลง
88 8

= 7 ของแปลง
8

ตอบ 7 ของแปลง
8

แบบฝกหดั ที่ 7

จงหาคําตอบจากโจทยต อไปน้ี

(1) อทุ ัยมปี ยุ 4 ถุง วนิ ยั มีปุย 3 ถุง สุภรณมปี ุย 1 ถงุ ทัง้ สามคนมปี ยุ รวมกนั เปน เศษสวนเทาใดของถงุ
99 9

(2) ปรีชามีเมล็ดถว่ั เขียว 2 ลิตร อนันตม เี มลด็ ถ่วั เขยี ว 3 ลติ ร ท้ังสองคนมีเมลด็ ถั่วเขยี วรวมกนั เทาไร
77

(3) ตวงแปงทาํ ขนมถวยฟู 3 ถวยตวง นํ้าตาล 2 ถวยตวง รวมตวงแปง และนา้ํ ตาลเทาไร
66

(4) กลั ยาปลกู ผกั บงุ 2 ของแปลง ผักกาดขาว 1 ของแปลง ผกั กาดหอม 1 ของแปลง
55 5

กัลยาปลกู ผกั รวมกนั เทาไร

(5) มานะปลกู กหุ ลาบโดยเอาดนิ ใสก ระถาง 3 ของกระถาง ใสป ยุ 1 ของกระถาง รวมดนิ และปยุ ทใี่ ส
55
กระถางคิดเปน เศษสวนเทา ไร

87

การลบเศษสวน

ตัวอยาง มานะมีเชอื กยาว 4 เมตร ตดั ไปผูกกลอ ง 3 เมตร เหลือเชอื กอีกกี่เมตร
99

แนวคิด การลบเศษสว นที่มีตวั สว นเทา กนั ใหนําเศษของแตล ะจาํ นวนมาลบกัน

ตัวสวนใชเ ลขจาํ นวนเดมิ

วิธที าํ เขียนเปน ประโยคสัญลักษณ 4  3 = 
99

มานะมเี ชอื กยาว 4 เมตร

9

ตัดไปผูกกลอ ง 3 เมตร

9

เหลือเชือก 4  3 = 43 เมตร
99 9 เมตร

=1
9

ตอบ 1 เมตร
9

แบบฝกหดั ท่ี 8

จงเขียนเปน ประโยคสญั ลกั ษณ แลวแสดงวธิ ีทาํ

(1) อรทัยมปี ยุ 9 กระสอบ นาํ ไปใสแ ปลงผัก 1 กระสอบ ใสโ คนตนมะมวง 2 กระสอบ
13 13 13
เหลอื ปุยอกี เทา ไร

(2) สายใจปลูกผกั ได 6 ของแปลง สดุ าปลกู ผกั ได 9 ของแปลง ใครปลกู ผกั ไดม ากกวา กันและ
11 11
มากกวา กนั เทาไร

(3) วนิ ยั มเี มลด็ พชื 11 ของกลอง เมือ่ นําไปปลกู เหลอื เมลด็ พืช 5 ของกลอง วนิ ัยใชเ มล็ดพืชไปเทา ไร
12 12

(4) ซอมถนนสายหนึง่ เปนระยะทาง 8 กโิ ลเมตร ซอ มไปแลว เปน ระยะทาง 7 กโิ ลเมตร คงเหลอื
15 15
ระยะทางเทาไรท่ีจะตอ งซอ ม

(5) วริ ชั เดนิ ทางไปโรงเรยี น 4 กโิ ลเมตร วณี าเดนิ ไปโรงเรียน 2 กโิ ลเมตร วิรชั เดนิ ทางมากกวา วณี าก่ี
77
กิโลเมตร

88

4.5 การบวก การลบเศษสว นชนดิ ตาง ๆ

การบวกลบเศษสวนที่ไดศกึ ษาจากทเี่ รยี นไปแลวนนั้ เปน การบวกลบเศษสวนในกรณีทเ่ี ปน

เศษสว นแท ตอไปนจี้ ะไดศ กึ ษาการบวกลบเศษสวนที่เปน เศษสวนจํานวนคละและเศษสว นเกนิ ดงั ตวั อยา ง

ขางลาง

ตวั อยาง จงหาผลบวกของ 2 7 + 3 1 แนวคดิ
88 1. ใหนําจาํ นวนเตม็ ของแตล ะจาํ นวนมา
บวกกนั ในทีน่ คี้ ือ 2 และ 3 แลว จึงบวก
วิธีทาํ 2 7 + 3 1 = 2 + 3 + 7 + 1 ดว ยเศษสว นของแตละจํานวน
88 88
2. 8 ทําเปน เศษสว นอยางตํ่า
=5+ 8 8
8 8 ÷ 8 =1
88
=5+1

=6

ตอบ 6

ตัวอยาง จงหาผลบวกของ 12 + 11 แนวคดิ
5 10
1. 12 มาจาก 552
วธิ ีทาํ 12 + 11 =  5  5  2  + 10 + 1 
5 10  5 5 5  10 10 5 555

=1+1+ 2+1+ 1 11 มาจาก 10 + 1
5 10 10 10 10

=3+ 22 + 1 2. 5 ทําเปนเศษสว นอยา งตํา่ 5  5 = 1
5 2 10 10 10 5 2

=3+ 4 + 1
10 10

=3+ 5
10

=3+ 1
2

= 31
2

ตอบ 3 1
2

ตัวอยา ง จงหาผลตา งของ 8 3 และ 5 2 89
7 21
แนวคดิ
วิธที าํ 8 3 5 2 = 8 – 5 + 3  2 1. นําจํานวนเต็มของแตละจํานวนมาลบ
7 21 7 21 กนั เศษสว นที่เหลือนาํ มาบวกลบกัน
ตามโจทยก ําหนด
=3+ 3 2 2. 7 ทําเปน เศษสวนอยา งตํ่า
7 21
21
= 3 +  3  3   2
 7 3  21 7 7 =1

=3+ 9  2 21 7 3
21 21
(2) 9 3  6 5 = 
=3+ 7 88
21
(4) 12 3  5 1 = 
=3+ 1 7 14
3
(6) 12 8  4 1 = 
= 31 9 18
3

ตอบ 3 1
3

แบบฝกหดั ท่ี 9
จงหาคําตอบ

(1) 3 2  7 3 = 
35

(3) 37 + 45 = 
6 12

(5) 48 3  30 1 = 
5 10

90

เรอ่ื งที่ 5 การคณู เศษสวนและโจทยปญหา

5.1 การหาผลคูณระหวางเศษสวนกบั เศษสวน

การหาผลคูณระหวา งเศษสวนกับเศษสวน ใหนาํ เศษคูณกบั เศษ และสวนคณู กับสว นแลว

ทาํ ใหเปนเศษสว นอยา งตํา่

ตวั อยาง 1 ของ 1 =  แนวคดิ
25 เมอื่ นาํ เศษคณู กับเศษ และสวนคณู กบั

วธิ ีทาํ 1 ของ 1 = 1  1 สวนได 20 แลว ทําใหเ ปนเศษสว นอยา งต่ํา โดย
2 5 25 30

= 11 นํา 10 ไปหารท้งั เศษและสวน จะไดผลลพั ธ 2
3
25

=1
10

ตอบ 1
10

ตวั อยาง 4  5 = 
56

วธิ ีทาํ 4  5 = 45
5 6 56
= 20
30
= 20 10
30 10
=2
3
ตอบ 2
3

แบบฝกหดั ที่ 10 (2) 12  26 = 
จงหาผลคณู แลว ทําเปนเศษสว นอยา งต่ํา 13 20

(1) 6  8 =  (4) 11  7 = 
79 14 15

(3) 14  9 = 
27 15

(5) 15  18 = 
18 27

91

5.2 การคูณระหวา งเศษสวนกบั จํานวนเตม็

การคณู ระหวา งเศษสว นและจาํ นวนเตม็ คือ การนาํ เศษสว นทม่ี คี าเทา กนั บวกกนั หลาย ๆ คร้งั ตาม

จาํ นวนเตม็ ท่ีนาํ มาคณู เชน

แบบฝก หดั ที่ 11

จงหาผลลพั ธตอไปนี้

(1) 7 6 =  (2) 9 5 =  (3) 6 3 = 
8 11 7

(4) 5  7 =  (5) 12  4 =  (6) 11 3 = 
6 13 15

(7) 13  4 =  (8) 10 8 = 
12 17

เศษสวนของจาํ นวนเต็ม

เศษสว นของจาํ นวนเต็ม มีความหมาย และวิธกี ารเชนเดยี วกับการคูณเศษสวนดว ยจํานวนเตม็ ดัง

ตวั อยาง

ตัวอยาง 3 ของเงนิ 50 บาท คดิ เปนเงินเทาไร
5

วธิ ที ํา 3 ของเงนิ 50 บาท = 3  50 บาท
55

= 350 บาท
5

= 150 บาท
5

= 30 บาท

ตอบ 30 บาท

แบบฝกหดั ท่ี 12

จงหาผลลัพธตอ ไปน้ี

(1) ปลูกสบั ปะรด 5 ของทีด่ นิ 400 ตารางวา ทด่ี นิ ท่ีปลกู สับปะรด คดิ เปน กตี่ ารางวา
8

(2) โรงเรยี นมธั ยมศกึ ษาแหงหน่ึง มนี กั เรียนทง้ั หมด 1,200 คน เปนนกั เรียนชาย 3 ของนักเรียนทั้งหมด
4
โรงเรียนมัธยมศึกษาแหงนีม้ นี กั เรียนชายทงั้ หมดกคี่ น

(3) เชอื กยาว 500 เมตร ตดั ไปขาย 2 ของเชอื กทั้งหมด ขายเชือกไดก่เี มตร
25

(4) เลีย้ งไก 200 ตวั เปน โรคระบาดตาย 1 ของไกท ้งั หมด ไกต ายกีต่ วั
20

(5) ปลกู มะมว ง 75 ตน เปน มะมว งแกว 1 ของตนมะมวงท้งั หมด คดิ เปนมะมว งแกว กต่ี น
3

92

เร่อื งท่ี 6 การหารเศษสวนและโจทยปญหา

การหารจํานวนนบั ดว ยเศษสวน

11 11 = ÷2  1  2  2   1  2 
22 22 2  1 2 1

มีท่ดี ิน 2ไร =  2  2  ÷ 1
 1
แบง ออกเปน สวนละ 1 ไรเ ทา ๆ กัน
2 = 2 2
1
ดงั นน้ั จะแบง ไดท งั้ หมด 4 สวน
ดังน้นั 2  1 = 2  2
21
=4

การหารเศษสว นดว ยจํานวนนบั

1 = ÷1  2  1  1   2  1 
3
3 3 2  2
11
66 =  1  1  ÷ 1
3 2
มีทด่ี นิ 1 ไร
3 = 11
32
แบงเปน 2 สวนเทา ๆ กนั
ดงั นัน้ 1  2 = 1  1
3 32
=1
6

ดังนน้ั จะไดสวนละ 1 ไร
6

การหารเศษสวนดวยเศษสวน

4 = ÷4  2  4  5   2  5 
5
5 5 5 2 5 2
22
55 =  4 5  ÷ 1

มที ดี่ ิน 4 ไร 5 2
5
= 45
แบงออกเปน สว นละ 2 ไรเ ทา ๆ กัน 52
5
ดงั น้นั 4  2 = 4  5
ดงั นั้นจะแบงไดทงั้ หมด 2 สว น 55 52
=2

93

“การหารเศษสว น หมายถึง การแบงเศษสว นออกเปนสวนยอ ยเทา ๆ กัน” การหารเศษสวนมี 3 แบบ
คอื การหารจาํ นวนนับดว ยเศษสวน การหารเศษสว นดว ยจาํ นวนนับ และการหารเศษสว นดว ยเศษสว น ซึง่ มี
หลกั การดังนี้
6.1 การหารจาํ นวนนบั ดว ยเศษสว น

การหารจํานวนนับดวยเศษสวน ทําไดโ ดยการคูณจาํ นวนนบั กบั สว นกลบั ของเศษสว นนัน้

ตวั อยา ง 6  2 = 
3

วธิ ีทาํ 6  2 = 6  3

3 12

= 63
2

= 18
2

=9
ตอบ 9

อธบิ าย (1) สว นกลบั ของ 2 คือ 3
32
(2) นาํ 3 มาคูณกับ 6 โดยนาํ เศษคณู กบั เศษ คือ 3 6 ได 18 เพราะ 6 เปนจํานวนเตม็ ถอื วา
2
6 เปน ตวั เศษ มีสว นเปน 1 แลวใสสวนเปน 2 เทา เดมิ เพราะ 21 ได 2 เทา เดมิ
(3) 18 เปนเศษเกนิ จึงให 2 หาร 18 ได 9
2

6.2 การหารเศษสว นดว ยจํานวนนบั
การหารเศษสวนดว ยจํานวนนับ ทําไดโดยการคูณเศษสวนกบั สว นกลบั ของจาํ นวนนบั น้นั

ตัวอยาง 8  4 = 
9

วิธที าํ 8  4 = 8  4
9 91
= 81
94
= 81
94
=8
36
= 84
36  4
=2
9

อธบิ าย (1) ทํา 4 ซึ่งตเปอนบจํา2นวนนับใหอ ยูใ นรปู ของเศษสวน โดยมสี ว นเปน 1
9