MODELOS DISCRETOS

MODELOS ALEATORIOS
UNIDIMENSIONALES

Vladimir Moreno G.
[email protected]

15 de agosto de 2019

1

Cap´ıtulo 1
Modelos discretos

Consideraremos en este capitulo variables aleatorias X definidas en un
espacio de probabilidad (Ω, F, P), cuyo rango es un conjunto contable, es
decir variables aleatorias discretas. Es decir

X : Ω −→ R

tal que Rank(X) := {x1, x2, . . . , xn}, o bien Rank(X) := {x1, x2, . . .}

1.1. Modelo uniforme discreto

Se considera un experimento aleatorio arbitrario, y se observa una carac-
ter´ıstica num´erica que toma un nu´mero finito de valores, {x1, x2, . . . , xn},
que por simplicidad los tomaremos como {1, 2, . . . , n}, todos con la misma

probabilidad, es decir la funci´on masa de probabilidad de X esta´ dada por:

P (X = x) = 1 , si x = k, k = 1, 2, . . . , n
n

0, si x = k, k = 1, 2, . . . , n

2

1.1. MODELO UNIFORME DISCRETO 3

La Funci´on de distribucio´n de X, esta´ dada por



0, si x < 1
 si 1 ≤ x < 2
si 2 ≤ x < 3
 1 ,
 n si n − 1 ≤ x < n
 si n ≤ x



 2 ,
 n


P (X = x) = ...



 n−1 ,
 n






1,

Valor esperado: E[X ] = n+1
2

Varianza: Var(X ) = n2−1
12

Funci´on generadorade momentos: MX(t) = et + e2t + . . . + ent

n

Ejemplo 1.1.1. Considere el lanzamiento de un dado legal. La variable
aleatoria que describe el nu´mero que aparece en la cara superior del dado
es uniforme discreta con fmp:

1
P (X = j) = , j = 1, 2, 3, 4, 5, 6

6

Ejemplo 1.1.2. De una baraja espan˜ola, que tiene 40 cartas distribuidas
en 4 palos: espadas, oros, copas y bastos (cada palo tiene cartas del 1 al 7
junto con tres figuras 10, 11 y 12). Al tener el mazo de naipes bien barajado

4 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

y seleccionar una carta al azar, la variable aleatoria que describe la carta
extra´ıda es uniforme discreta con fmp:

1
P (X = j) = , si j = 1, 2, . . . , 40

40

1.2. MODELO BERNOULLI

Definici´on 1.2.1. Una prueba o ensayo de Bernoulli es un experimento
o fen´omeno aleatorio cuyos resultados dan lugar a exactamente dos eventos
elementales, uno llamado ´exito y el otro fracaso.
Definici´on 1.2.2. Una variable aleatoria definida sobre el espacio muestral
de un ensayo de Bernoulli, y que toma los siguientes valores:

1, si el resultado es ´exito
X=

0, si el resultado es fracaso

se llama modelo Bernoulli

Funcio´n masa de probabilidad:

p, si k = 1
P (X = k) =

q, si k = 0

donde q := 1 − p.
Valor esperado: E[X] = p
Varianza: Var(X) = pq
Funci´on generadora de momentos: MX(t) = q + pet
Notacio´n: X ∼ B(1, p)

Ejemplo 1.2.1. Un dado es cargado de manera que las caras del dado con
nu´mero par de puntos tienen el doble de probabilidad de salir que las caras
con nu´mero impar. Si la variable aleatoria X modela si el nu´mero que sale
en la cara superior del dado, en un lanzamiento, es impar. Determine el
valor esperado de X.

1.3. MODELO BINOMIAL 5

Soluci´on. En este caso el evento ´exito corresponde a que salga un nu´mero
impar, de esta manera la variable aleatoria tomara dos valores posibles: 1
si en el dado sale un nu´mero impar y 0 si en el dado sale un nu´mero par de
puntos, en consecuencia la fmp para X es:

P (X = k) = 1 , si k = 1
3 si k = 0

2 ,
3

1
por tanto E(X) = 3

Ejemplo 1.2.2. Un pregunta de un examen de selecci´on mu´ltiple cuenta
con cuatro respuestas posibles, una sola de las cuales es correcta y las otras
tres son incorrectas. Sea X lavariable aleatoria definida como 1 si la respeus-
ta seleccionada es la correcta y 0 si las respuesta seleccionada es incorrecta.
Entonces la fmp de X es:

P (X = k) = 1 si k=1
4

3 si k=0
4

1.3. MODELO BINOMIAL

Definici´on 1.3.1. Un modelo binomial consiste de la repetici´on de un en-
sayo Bernoulli, un nu´mero finito de veces, bajos las mismas condiciones en
cada repetici´on.

Definici´on 1.3.2. La variable aleatoria X que mide el nu´mero de ´exitos
en un modelo binomial con n repeticiones del ensayo Bernoulli, se llama
variable binomial.

La funci´on masa de probabilidad de X esta´ definida por:

P (X = k) := n pk q n−k , si k = 0, 1, 2, . . . , n
k

0, en los dema´s casos

Valor esperado: E[X] = np
Varianza: Var(X) = npq
FGM: MX(t) = (q + pet)n

6 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

Funciones en el programa R

A continuacio´n referenciamos las funciones m´as importantes del modelo
Binomial que el programa R tiene implementadas:

Funci´on Caracter´ısticas
dbinom(x,size,prob,log=F) Devuelve el valor de la fmp
pbinom(q,size,prob,lower.tail=T,log.p=F) Devuelve el valor de la FD
qbinom(p,size,prob,lower.tail=T,log.p=F)
Devuelve el cuantil q
rbinom(n,size,prob) Devuelve un n-vector valores binomiales aleato

La gr´afica de la funcio´n masa de probabilidad del modelo binomial
X ∼ Bin(n = 10, p = 0.6)

se muestra a continuacio´n:

1.3. MODELO BINOMIAL 7

Y la funci´on de distribucio´n (acumulativa):

8 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

Ejemplo 1.3.1. Un examen de seleccio´n mu´ltiple con respuesta u´nica cons-
ta de 20 preguntas independientes. Cada pregunta tiene 5 opciones de res-
puesta, una sola de las cuales es correcta. Si una persona que presenta el
examen, responde cada pregunta seleccionando aleatoriamente la respuesta,
cua´l es la probabilidad de aprobar el examen si ´este se aprueba respondiendo
bien el 70 % o ma´s de las preguntas?
Soluci´on. El modelo es binomial ya que cada pregunta es un ensayo de
Bernoulli (´exito si responde bien y fracaso si responde mal), cada respuesta
es seleccionada con independencia de lo seleccionado en el resto.

1.3. MODELO BINOMIAL 9

Sea X la variable aleatoria que mide el “nu´mero de preguntas bien con-
testadas”, entonces X ∼ B(n = 20, p = 0.2). La solucio´n al interrogante de
aprobar el examen es:

20 20 (0.2)k(0.8)20−k ≈ 1.85 × 10−6
k
P (X ≥ 14) =

k=14

Ejemplo 1.3.2. Un reconocido m´edico asegura que el 60 % de los pacientes
que padecen de c´ancer de pulm´on son fumadores habituales. Aceptando que
la afirmaci´on de este m´edico es verdadera hallar la probabilidad:

a) que de 10 pacientes recientemente admitidos al hospital, menos de la
mitad son fumadores habituales.

b) que de 20 pacientes recientemente admitidos al hospital, menos de la
mitad son fumadores habituales.

Soluci´on. En ambos casos estamos frente a un modelo binomial, en el
primer caso n = 10 y en el segundo n = 20 y en ambos casos la probabilidad
de ´exito (pacientes con la caracter´ıstica de fumadores habituales) es p = 0.6,
por tanto

a) X ∼ B(n = 10, p = 0.6), con X “nu´mero de pacientes fumadores habi-
tuales” la respuesta a la pregunta es:

4 10 (0.6)k(0.4)10−k ≈ 0.17
k
P (X ≤ 4) =

k=0

b)

9 20 (0.6)k(0.4)20−k ≈ 0.13
k
P (X ≤ 9) =

k=0

Proposici´on 1.3.1. Sea X una variable aleatoria binomial con para´metros

n y p, 0 < p < 1, y funci´on masa de probabilidad p(x). Entonces p(x) es
ma´xima para x = (n + 1)p 1

1El s´ımbolo m indica el mayor nu´mero entero que es menor o igual a m

10 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

Demostracio´n. Observemos que

p(k) n! pk(1 − p)n−k
p(k − 1) = k!(n−k)!

= n! pk−1(1 − p)n−k+1
(k−1)!(n−k+1)!

(n + 1)p − k
k(1 − p) + 1

Esta igualdad

p(k) (n + 1)p − k
p(k − 1) = k(1 − p) + 1

implica que p(k) > p(k − 1) si y solamente si (n + 1)p − k > 0, es decir
si y solamente si k < (n + 1)p. De esta manera cuando k cambia de 0
a (n + 1)p , entonces p(k) crece y cuando k cambia de (n + 1)p a n,
entonces p(k) decrece, por consiguiente el m´aximo valor de p(k) ocurre
en k = (n + 1)p

Ejemplo 1.3.3. Un jugador de fu´tbol erra tiros desde el punto penal con
probabilidad 0.65. Determine el o los valores de k para el cual, k goles en
diez tiros desde el punto penal es ma´ximo, y halle su probabilidad.

Soluci´on. Cada tiro desde el punto penal es un ensayo Bernoulli: hace gol

(´exito) con probabilidad 0.35 o no hace gol (fracaso) con probabilidad 0.65.

Cada disparo desde el punto penal es independiente del disparo anterior

y del resto de disparos que se han dado, por tanto tenemos un modelo

binomial donde X, la variable aleatoria mide el nu´mero de goles hechos en

10 tiros; es decir X ∼ Bin(n = 10, p = 0.65), entonces el valor ma´ximo

probable se obtiene en k = (10 + 1)0.65 = 7 y su valor de probabilidad es

p(7) = 10 (0.65)7(0.35)3 ≈ 0.25
7

EJERCICIOS

1. En cierta localidad de una ciudad, la necesidad por conseguir dinero
para comprar droga es establecida como la razo´n principal para el 75 %
de todos los robos. Hallar la probabilidad que entre los siguientes cinco
casos de robo en esta localidad,

a) exactamente 2 resulten de la necesidad para adquirir droga.
b) a lo m´as 3 resulten de la necesidad para conseguir dinero para

comprar droga.

1.3. MODELO BINOMIAL 11

2. Se lanza un dado legal 5 veces. Un ´exito es cuando la cara superior
del dado muestra un nu´mero primo. Determinar la probabilidad de
obtener tres nu´meros primos.

3. Supongamos que en una caja de 100 chips de computadora, la pro-
babilidad de que un chip sea defectuoso es del 3 %. El proceso de
inspecci´on para chips defectuosos consiste en seleccionar al azar de la
caja 5 chips, con reemplazo; la caja se env´ıa si ninguno de los cinco
chips est´a defectuoso.

a) Escriba la variable aleatoria de inter´es.
b) Escriba la fmp de la variable aleatoria definida.
c) Determine la probabilidad de que la caja de chips sea enviada.

4. Suponga que 40 % de los potenciales votantes de una ciudad esta´n en
favor de colocar vallas publicitarias mostrando los individuos corrup-
tos. Suponga que se seleccionan al azar 5 potenciales votantes de la
ciudad. Hallar la probabilidad de que:

a) 2 est´en a favor.
b) menos de 4 est´en a favor.
c) al menos uno est´e a favor.

5. Un estudiante toma un test consistente de 10 preguntas de verdadero-
falso.

a) Cua´l es la probabilidad que el estudiante responda correctamente
al menos 6 preguntas?

b) Cua´l es la probabilidad que el estudiante responda a lo m´as 3
preguntas correctamente?

6. Un estudio de salud muestra que el 25 % de personas con edades entre
50 y 60 an˜os, en cierta ciudad, tienen presi´on arterial alta. Cu´al es la
probabilidad que en una muestra aleatoria de 20 personas con edades
entre 50 y 60, ma´s de 15 tengan presio´n alta.

7. Un sistema de comunicacio´n consiste de n componentes, cada una de
las cuales funcionara´, independientemente del resto con probabilidad
p. El sistema completo funcionara´ operar´a efectivamente si al menos
la mitad de sus componentes funciona.

12 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

a) Determine los valores de p para los cuales un sistema de 5 compo-
nentes operara´ ma´s efectivamente que un sistema de 3 componen-
tes.

b) En general, en que caso o casos un sistema de 2k + 1 componentes
funcionara´ ma´s efectivamente que un sistema con 2k − 1 compo-
nentes?

8. Se sabe que los tornillos producidos por una determinada compan˜´ıa
sera´n defectuosos con probabilidad 0.01, independientemente el uno
del otro. La compan˜´ıa vende los tornillos en paquetes de 10 y ofrece
una garant´ıa de devolucio´n de dinero si en el paquete hay no ma´s de
un tornillo defectuoso. ¿Qu´e proporcio´n de paquetes vendidos debe
reemplazar la compan˜´ıa?

9. El siguiente juego de juego, conocido como la rueda de la fortuna (o
chuck-a-luck ), es bastante popular en muchos carnavales y casinos de
juego: un jugador apuesta en uno de los nu´meros del 1 al 6. Luego
se lanzan tres dados, y si el nu´mero apostado por el jugador aparece
i veces, i = 1, 2, 3, entonces el jugador gana i unidades; si el nu´mero
apostado por el jugador no aparece en ninguno de los dados, entonces
el jugador pierde 1 unidad. Es este juego justo para ¿el jugador? (En
realidad, el juego se juega haciendo girar una rueda que se detiene en
una ranura etiquetada por tres de los nu´meros del 1 al 6, pero esta
variante es matem´aticamente equivalente a la versi´on de los dados.)

10. Supongamos que un rasgo particular (como el color de ojos o la zur-
dera) de una persona es clasificados sobre la base de un par de genes,
y supongamos tambi´en que d representa un gen dominante y r un gen
recesivo. Por lo tanto, una persona con genes dd es puramente domi-
nante, y una con rr es puramente recesivo, y uno con rd es h´ıbrido.
El puramente dominante y los individuos h´ıbridos son parecidos en
apariencia. Los nin˜os reciben un gen de cada padre. Si, con respecto
a un rasgo particular, dos padres h´ıbridos tienen un total de 4 hijos,
¿Cu´al es la probabilidad de que tres de los cuatro nin˜os tengan la
apariencia externa del gen dominante?

11. Sea X la variable aleatoria “nu´mero de veces que aparece el nu´mero
6” cuando se lanzan setenta y dos dados legales. Determine el valor
esperado de la variable aleatoria X2.

1.3. MODELO BINOMIAL 13

12. Suponga que cada d´ıa el precio de una acci´on, en la bolsa de valores,

sube un octavo de un punto con probabilidad 1 y baja un octavo
3
2
de un punto con probabilidad 3 . Si el precio de las acciones fluctu´a

aleatoriamente de un d´ıa a otro en forma independiente, cua´l es la

probabilidad que despu´es de seis d´ıas la acci´on tenga su precio inicial?

13. Del conjunto {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}, se seleccionan cien nu´meros
en forma aleatoria y, se redondean a tres cifras decimales. Cua´l es la
probabilidad de que al menos uno de ellos sea igual a 0.345?

14. Cierto jugador de baloncesto hace un lanzamiento errado a la cesta
con probabilidad 0.55. Determine el valor de k para el cual k encestas
en diez lanzamientos sea ma´ximo, y halle su m´axima probabilidad.

15. Una pareja, mujer-hombre, quieren tener un 95 % de probabilidad
de tener al menos un nin˜o y al menos una nin˜a. Cua´l es la cantidad
m´ınima de hijos que deber´ıan planear tener?. Suponga que los eventos
nacimiento de una nin˜a y un nin˜o son equiprobables e independientes
del g´enero de otros nin˜os nacidos en la familia.

16. Un sistema electr´onico contiene tres componentes de refrigeraci´on que
operan independientemente. La probabilidad que cada componente
falle es 0.05. El sistema se sobrecalentara´ si y solamente si al menos
dos componentes fallan.

a) Halle el valor esperado y la varianza del nu´mero de componentes
que fallan.

b) Calcule la probabilidad que el sistema se sobrecaliente.

17. Cierto m´odem de conexio´n tiene una tasa de error de bit de canal de
p = 0.01. Dado que los datos se env´ıan como paquetes de 100 bits,
cua´l es la probabilidad de que

a) solo 1 bit sea errado?
b) tres bits est´en en error?

18. En la transmisio´n de un paquete de 128 bytes, los errores de un byte,

ocurren independientemente con probabilidad 1 . Determinar la pro-
9

babilidad de que ocurran menos de cinco bytes con error en el paquete

de 128 bytes.

14 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

19. Se realiza una prueba para determinar la concentracio´n de una sus-
tancia qu´ımica en un herbicida que mata a las plantas de coca. Se
encuentra que una concentracio´n dada de la sustancia qu´ımica mata-
r´a en promedio el 80 % de las matas de coca en un lapso de 24 horas.
Se realiza una prueba en 20 plantas de coca. Encontrar la probabilidad
de que

a) exactamente 14 plantas no sobrevivan en 24 horas.
b) al menos 10 plantas de cocas mueran en 24 horas

20. Un fabricante de celdas secas fabrica dos bater´ıas que parecen ser
id´enticas. Las bater´ıas de tipo A duran ma´s de 600 horas con pro-
babilidad 0.30 y las bater´ıas de tipo B duran m´as de 600 horas con
probabilidad 0.40.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que 5 de cada 10 bater´ıas tipo A duren
ma´s de 600 horas?

b) De 50 bater´ıas tipo B, ¿cua´ntas se espera que duren al menos 600
horas?

c) ¿Cu´al es la probabilidad de que tres bater´ıas tipo A tengan m´as
bater´ıas que duren 600 horas que dos bater´ıas tipo B?

1.4. MODELO GEOME´TRICO

Definici´on 1.4.1. Un modelo geom´etrico se caracteriza por la repeticio´n
de un ensayo Bernoulli, en las mismas condiciones, hasta alcanzar un ´exito.

Definici´on 1.4.2. Sea X la variable aleatoria que mide el nu´mero de veces
que se repite un ensayo Bernoulli hasta alcanzar ´exito por primera vez. El
rango de este variable es Rank(X) = {1, 2, . . .}

Funci´on masa de probabilidad

qn−1p, para n = 1, 2, . . .
P (X = n) =

0, en los dema´s casos

1
Valor esperado: E[X] = p

1.4. MODELO GEOME´TRICO 15
q

Varianza: Var(X) = p2
pet

FGM: MX(t) = 1 − qet

Ejemplo 1.4.1. La probabilidad que un bit transmitido por un canal de
transmisi´on digital sea recibido erradamente es 0.1. Suponga que las trans-
misiones son eventos independientes. Sea X la variable aleatoria “nu´mero
de bits transmitidos hasta que el primer bit errado ocurra”. Cu´antos bits,
en promedio son transmitidos por el canal hasta que ocurra el primer error?

16 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

Soluci´on. La vartiable aleatoria X se distribuye geom´etrica con par´ametro

p = 0.1, que es la probabilidad de transmitir un bit errado. Luego su fmp

es:
P (X = k) = (0.9)k−10.1

entonces su valor esperado es E[X ] = 1 = 10, es decir el nu´mero esperado
0.1

de bits transmitidos por el canal hasta recibir el primero errado es 10.

Definici´on 1.4.3. La variable aleatoria X no tiene memoria si y solamente
si verifica

P (X > s + t|X > s) = P (X > t), ∀s, t

Teorema 1.4.1 (No memoria). Si X es una variable aleatoria geom´etrica,
con para´metro p, entonces X no tiene memoria.

Demostracio´n. Observemos que

∞ ∞∞ 1

P (X > k) = qj−1p = p qj+k = qkp qj = qkp 1−q = qk

j=k+1 j=0 j=0

P (X > s + t|X > s) P (X > s + t)
=
P (X > s)

qs+t
= qs

= qt

= P (X > t)

Teorema 1.4.2. Sea X una variable aleatoria discreta con rango {1, 2, . . .}
y tal que para todo i, j ∈ Z+ X verifica:

P (X > i + j|X > i) = P (X > j)

entonces X es una variable aleatoria geom´etrica.

Demostraci´on. De la condici´on dada es una consecuencia inmediata que X
satisface

P (X > i + j) = P (X > i)P (X > j)

1.4. MODELO GEOME´TRICO 17

Tom´ando i = j = 1 obtenemos P (X > 2) = (P (X > 1))2. Denotemos con
la letra y la probabilidad P (X > 1) entonces P (X > 2) = y2; de igual
manera tenemos:

P (X > 3) = P (X > 2 + 1) = P (X > 2)P (X > 1) = y2y = y3

Conjeturamos que para todo j, j = 1, 2, . . ., P (X > j) = yj. Probamos
inductivamente que esta conjetura es una proposicio´n verdadera.

• La proposici´on es cierta para j = 1, j = 2, j = 3

• Hipo´tesis de induccio´n: para j = n es cierto que P (X > n) = yn

• Prueba de induccio´n: Demostrar que P (X > n + 1) = yn+1. En efecto

P (X > n + 1) = P (X > n)P (X > 1) = yny = yn+1

Ahora bien, como ∞
entonces
es decir P (X = k) = 1

k=1

∞

P (X = 1) + P (X = k) = 1

k=2

P (X = 1) + P (X > 1) = 1 ⇒ P (X = 1) + y = 1 ⇒ P (X = 1) = 1 − y

Entonces
P (X = k) = P (X > k − 1) − P (X > k) = yk−1 − yk = yk−1(1 − y)

esto significa que la funci´on masa de probabilidad de X es un modelo geo-
m´etrico, por tanto X ∼ geom(y)

Nota. El modelo geom´etrico frecuentemente aparece en los siguientes t´er-
minos:

La variable aleatoria X se define como “el nu´mero de fracasos previos a la
ocurrencia del primer ´exito”.

18 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

Proposici´on 1.4.3. Si X es la variable aleatoria definida como “el nu´mero
de fracasos previos a la ocurrencia del primer ´exito”, entonces:

a) La funci´on masa de probabilidad es:

P[X = n] = qnp, n = 0, 1, 2, . . .

b) E[X] = q
p

q2 q
c) Var[X] = +

p2 p

EJERCICIOS

1. Una empresa de pedidos por correo env´ıa una carta a sus clientes. La
probabilidad de que un cliente elegido al azar conteste a esa carta es
de p = 15 %. Hallar:

a) La distribucio´n de probabilidad del nu´mero X de cartas que debe
enviar hasta recibir una respuesta.

b) La esperanza y varianza de X

2. La probabilidad de una alineacio´n ´optica con ´exito en el montaje de
un producto ´optico, segu´n especificaciones para su almacenamiento,
es del 80 %. Suponga que los intentos de montaje son independientes.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la alineacio´n con ´exito se produzca
por primera vez en el quinto ensayo?

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera alineaci´on con ´exito
requiera como m´ınimo cuatro intentos?

c) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera alineaci´on con ´exito
requiera a lo menos cuatro y a lo m´as 6 intentos?

d) ¿Cu´antos intentos se espera realizar para lograr el primer ´exito?

e) Calcular la desviaci´on est´andar del nu´mero de intentos hasta lograr
´exito en la alineaci´on.

3. Un cient´ıfico inocula varias ratas, una a la vez, con un germen de cierta

enfermedad hasta lograr una que la haya contra´ıdo. Si la probabilidad

de contraer la enfermedad es 1 ,
5

1.4. MODELO GEOME´TRICO 19

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que se requieran 8 inoculaciones hasta
encontrar una rata que haya contra´ıdo la enfermedad?

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que por primera vez a lo ma´s en la
cuarta inoculacio´n se encuentre una rata que haya contra´ıdo la
enfermedad?

c) ¿Cu´al es la probabilidad de que se requiera como m´ınimo cinco
inoculaciones para encontrar la primera rata que haya contra´ıdo la
enfermedad?

d) ¿Cu´al es la probabilidad de que se requiera a lo menos cuatro y a
lo ma´s seis inoculaciones para encontrar la primera rata que haya
contra´ıdo la enfermedad?

e) ¿Cu´antos intentos se espera realizar para encontrar la primera rata
que haya contra´ıdo la enfermedad?

f ) Calcular la desviacio´n est´andar del nu´mero de intentos hasta en-
contrar la primera rata que haya contra´ıdo la enfermedad?

4. En un estudio cl´ınico, los voluntarios son puestos a prueba de un gen
que se ha encontrado que aumenta el riesgo de contraer una enferme-
dad. La probabilidad de que una persona sea portadora del gen es de
0, 05.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de tener que probar 4 o ma´s personas
para detectar un portador del gen?

b) ¿Cu´antas personas se espera probar para detectar un portador del
gen?

5. Supongamos que cada una de las llamadas a una reconocida emisora
de radio tiene una probabilidad del 2 % de obtener conexi´on (es decir,
de no obtener una sen˜al de ocupado). Suponga que las llamadas son
independientes.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera llamada que se conecta
la d´ecima que se realiza?

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que se requiera m´as de cinco llamadas
para que usted pueda conectarse?

c) ¿Cu´al es el nu´mero medio de llamadas necesarias para conectarse?

20 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

6. En su viaje de cada man˜ana al trabajo, un sem´aforo particular esta´ de
color verde el 20 % de las veces en que Julian se acerca en su veh´ıculo a
´el. Supongamos que cada man˜ana representa un evento independiente.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que hayan pasado ma´s de cinco man˜a-
nas hasta que Julian se encuentre con el sema´foro en verde?

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que hayan pasado veinte man˜anas has-
ta que Julian se encuentre con el sema´foro en verde?

c) ¿Cu´al es la probabilidad de que hayan pasado m´as de veinte ma-
n˜anas hasta que Julian se encuentre con el sema´foro en verde?

d) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera man˜ana en que la luz
est´e en verde sea la cuarta man˜ana en que Julian se aproxima al
sema´foro?

7. Una empresa tiene un equipo computacional que utiliza para el co-
mercio al exterior de su regi´on. La probabilidad de que el equipo falle
en un d´ıa es de 0.005, y cuando falla el equipo es reparado inmedia-
tamente por la noche. Cada d´ıa es un evento independiente.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que el equipo falle el primer d´ıa en que
es puesto en funcionamiento?

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el equipo falle despu´es del tercer
d´ıa de funcionamiento? ¿Se puede estar tranquilo en la empresa al
observar este resultado?

c) ¿Cu´al es el nu´mero medio de d´ıas de buen funcionamiento hasta
que el equipo falle?

8. En una operacio´n de llenado automa´tico, una b´ascula electro´nica de-
tiene la l´ınea de fabricaci´on despu´es de detectar un paquete de peso
inferior al normal. Supongamos que la probabilidad de que se produz-
ca un paquete de bajo peso es de 0.001 y que el relleno de cada uno
es independiente.

a) ¿Cu´al es el nu´mero medio de rellenos antes de que se detenga la
l´ınea de produccio´n?

b) ¿Cu´al es la desviacio´n est´andar del nu´mero de rellenos antes de
que se detenga la l´ınea de produccio´n?

1.4. MODELO GEOME´TRICO 21

9. La probabilidad de que una persona, que vive en un determinado lugar
de la ciudad, sea propietaria de un perro se estima en 0, 3. Encuentre
la probabilidad de que una persona entrevistada al azar en d´ecimo
lugar sea la primera propietaria de un perro en esa zona de la ciudad

10. La probabilidad de que un alumno pase la prueba escrita para certifi-
carse en control electr´onico, despu´es de haber seguido un curso, es de
0, 7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante pase la prueba

a) en el tercer intento.

b) antes del cuarto intento

11. En el control de equipaje de un aeropuerto se sabe que el 3 % de las
personas revisadas tienen objetos ilegales en su equipaje.

option ¿Cu´al es la probabilidad de que una cadena de 15 personas
pase el control con ´exito antes de que pase un individuo con
un objeto cuestionable?

optiion ¿Cu´al es el nu´mero esperado de individuos que pasan el
control en una fila antes de que un individuo detenga el
proceso?

12. Suponga que la longitud de un caracter (en bits) es una distribu-
cio´n geom´etrica con par´ametro p. Suponga, adema´s, que la longitud
de caracteres son variables aleatorias independientes. Cua´l es la dis-
tribuci´on del nu´mero total de los bits que forman un mensaje de k
caracteres aleatorios?

13. Mil doscientos huevos, de los cuales doscientos esta´n con la c´ascara
quebrada, se distribuyen aleatoriamente en cien cubetas para huevos,
cada una conteniendo doce huevos. Estas cubetas son vendidas a un
restaurante. Cu´antas cubetas deber´ıan esperarse que el chef del res-
taurante abra antes de hallar una cubeta sin huevos rotos?

14. 25 % de los automoviles exhibidos en un concesionario son autom´ati-
cos. Un vendedor del concesionario muestra los veh´ıculos uno a conti-
nuaci´on del otro, a potenciales compradores, en forma aleatoria. Sea X
la variable aleatoria “nu´mero de autos automa´ticos” que un potencial
comprador vera´ antes del primer vehiculo mec´anico.

22 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

a) Cua´l es la funcio´n masa de probabilidad de X?

b) Cua´l es la funci´on masa de probabilidad de la variable aleatoria
Y = X + 1?

15. Como parte de un proceso de seleccio´n de personal para operar ma-
quinaria de precisio´n, a cada candidato se le realiza una prueba cl´ınica
de presi´on arterial. Sea X la variable aleatoria “nu´mero de candida-
tos probados cl´ınicamente hasta que la primera persona con presi´on
arterial alta aparece. El valor esperado de X es 12.5. Calcule la pro-
babilidad que la sexta persona probada cl´ınicamente sea la primera
candidata con presi´on arterial alta.

16. Un laboratorio computacional consistente de veinte computadores fue
atacado por un virus inform´atico. Dicho virus ingresa a un compu-
tador con probabilidad 0.40, independientemente del resto de los compu-
tadores. La ingeniera administradora responsable del laboratorio exa-
mina cada computador, uno a uno para determinar si fue o no infecta-
do por el virus. Cu´al es la probabilidad de que la ingeniera tenga que
examinar al menos seis computadores para hallar el primero infectado.

17. Una prueba de resistencia de la soldadura implica cargar juntas solda-
das hasta que se produzca una fractura. Para cierto tipo de soldadura,
el 80 % de las fracturas ocurren en la soldadura, mientras que el otro
20 % ocurren en la viga. Se prueban varias soldaduras y las pruebas
son independientes. Hallar la probabilidad de que se requieran por lo
menos cinco pruebas hasta obtener la primera viga fracturada.

18. Una red de laboratorio que consta de un cluster de 50 computado-
ras fue atacada por un virus informa´tico. Este virus ingresa a ca-
da computadora con probabilidad 0.3, independientemente de otras
computadoras. El t´ecnico responsable de la salade co´mputo revisa las
computadoras del laboratorio, una tras otra, para ver si estaban in-
fectadas por el virus. ¿Cua´l es la probabilidad de que tenga que no
tenga que probar ma´s de 20 computadoras para encontrar la primera
computadora infectada?

19. Un estudiante travieso quiere entrar en un archivo de computadora,
que esta´ protegido con contrasen˜a. Suponga que que hay n contrase-
n˜as, solo una de las cuales es correcta, y que el estudiante intenta con-
trasen˜as posibles en un orden aleatorio. Sea N el “nu´mero de pruebas

1.5. MODELO BINOMIAL NEGATIVA 23

requeridas para entrar en el archivo”. Determinar la funcio´n masade
probabilidad de N .

20. Los componentes inform´aticos id´enticos se env´ıan en cajas de 5. Al-
rededor del 15 % de los componentes son defectuosos. Las cajas se
prueban en un orden aleatorio.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar solo
tenga componentes no defectuosos?

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos 8 de las 10 cajas seleccio-
nadas al azar tengan solo componentes defectuosos? componentes?

c) ¿Cu´al es la distribucio´n del nu´mero de cajas probadas hasta que
se encuentra una caja sin componentes defectuosos?

1.5. MODELO BINOMIAL NEGATIVA

Definici´on 1.5.1. Un modelo binomial negativa consiste en repetir un ensa-
yo Bernoulli, bajo las mismas condiciones en cada repeticio´n, hasta alcanzar
r ´exitos.

Definici´on 1.5.2. La variable aleatoria X definida por: “nu´mero de re-
peticiones hasta alcanzar r ´exitos en un modelo binomial, se distribuye
binomial negativa, X ∼ BN (r, p),

Funci´on masa de probabilidad:

P (X = k) := k−1 pr q k−r , para k = r, r + 1, . . .
r−1

0, en los dema´s casos

r
Valor esperado: E[X] = p

rq
Varianza: Var[X] = p2

Funciones en el programa R

A continuacio´n referenciamos las funciones m´as importantes del modelo
Binomial Negativa que el programa R tiene implementadas:

24 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

Funci´on Caracter´ısticas
dnbinom(x,size,prob,mu,log=F) Devuelve el valor de la fmp
pnbinom(q,size,prob,mu,lower.tail=T,log.p=F) Devuelve el valor de la FD
qnbinom(p,size,prob,mu, lower.tail=T,log.p=F) Devuelve el cuantil q
Devuelve vector aleatorio binomiales neg
rnbinom(n,size,prob,mu)

La gr´afica de la funcio´n masa de probabilidad del modelo binomial

X ∼ BN (r = 3, p = 0.7)

se muestra a continuacio´n:

1.5. MODELO BINOMIAL NEGATIVA 25

Ejemplo 1.5.1. Una compan˜´ıa petrolera realizo´ un estudio geolo´gico res-
pecto a hallazgo de petr´oleo. El estudio indica que una exploraci´on de petro´-
leo (perforacio´n) tendr´ıa una probabilidad del 20 % para extraer petro´leo.
Determinar la probabilidad que el segundo hallazgo de petro´leo ocurra en
la quinta perforacio´n.

Soluci´on. Observemos que el problema establece como fijo el nu´mero de
perforaciones exitosas (2) y como variable el nu´mero de ensayos (las perfo-
raciones), por tanto estamos en presencia de un modelo binomial negativo.

Definimos la variable aleatoria X como “nu´mero de perforaciones nece-
sarias para obtener exactamente 2 hallazgos de petr´oleo”, en consecuencia
tenemos que X ∼ BN (r = 2; p = 0.2), cuya fmp es:

P (X = k) = k − 1 (0.2)2(0.8)k−2
2−1

es decir

P (X = k) = (k − 1)(0.2)2(0.8)k−2

De esta manera la peticio´n: “Determinar la probabilidad que el segundo
hallazgo de petr´oleo ocurra en la quinta perforacio´n”se resuelve al calcular
la probabilidad P (X = 5):

P (X = 5) = 4(0.2)2(0.8)3 = 0.08192 ≈ 8.2 %

Una manera alternativa de presentar el modelo binomial es la
siguiente:

Se repite un ensayo de Bernoulli, siempre bajo las mismas condiciones,
se pretende determinar el nu´mero fallas previas hasta que el r-´esimo ´exito
ocurra.

Sea X la variable aleatoria “nu´mero de fallas previas a alcanzar el -´esimo
´exito”. En orden a hallar una expresio´n para la fmp de la variable aleatoria
X necesitamos analizar el evento X = x.

El evento X = x significa que antes de la ocurrencia del r-´esimo ´exito
han ocurrido exactamente x fallas, en consecuencia tambi´en han ocurrido r-
1 ´exitos, es decir antes del r-´esimo ´exito se han hecho x + r − 1 repeticiones
del ensayo Bernoulli. Un argumento combinatorio nos permite establecer
que la manera de distribuir las x fallas en las x + r − 1 repeticiones es:

x+r−1

x

26 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

y por lo tanto la fmp de la variable aleatoria X es:

P (X = x) = x + r − 1 qxpr, para x = 0, 1, 2, . . .
x

Se deja como ejercicio demostrar que:

rq rq
E[X] = , Var[X] =
p p2

Ejemplo 1.5.2. En la unidad de tratamiento contra el dolor de la central
de urgencias de un hospital se desarrolla una investigacio´n respecto de un
nuevo farmaco contra el dolor (del cu´al se ha estimado que podr´ıa causar
una reaccio´n adversa en el 5 % de los pacientes a quienes se les administre.
El experimento de investigaci´on consiste en tomar ciertos datos relevantes
a pacientes que llegan a la unidad y se termina cuando se atienda el d´eci-
mo paciente que presente reacci´on negativa al fa´rmaco. Cua´l es el nu´mero
esperado de pacientes sin reacci´on negativa al fa´rmaco antes de recibir al
d´ecimo paciente con reaccio´n adversa al f´armaco.

Soluci´on. Consideremos la variable aleatoria X definida por “nu´mero de
pacientes sin reaccio´n negativa al fa´rmaco contra el dolor previos al d´ecimo
paciente con reacci´on negativa al fa´rmaco”, entonces

X ∼ BN (r = 5, p = 0.05)

y funcio´n masa de probabilidad

P (X = x) = x + 10 − 1 (0.95)x(0.05)10
x

por tanto el nu´mero esperado de pacientes, en la unidad, que no muestran
reaccio´n adversa al f´armaco previos a que se presente el paciente d´ecimo
con una reaccio´n negativa al fa´rmaco es:

10 × 0.95
= 190

0.05

EJERCICIOS

1. Tres personas lanzan, cada una, una moneda legal. De los tres el que
obtenga un resultado distinto invita a los tres un caf´e. En caso de
que las monedas muestren el mismo resultado, vuelven a lanzar hasta
obtener el desempate. Halle la probabilidad de que se requieran menos
de cuatro lanzamientos para terminar.

1.5. MODELO BINOMIAL NEGATIVA 27

2. Un m´edico que se especializa en cirug´ıa de mano derecha experimenta
con ratones hasta lograr un resultado o´ptimo en la cirug´ıa (de acuerdo
con protocolos m´edicos y ´eticos). En dicho tipo de experimentaci´on
la probabilidad de alcanzar un resultado ´optimo es del 25 %, halle la
probabilidad de que se requiera experimentar con ocho ratones.

3. Un estudio de inventario determina que, en promedio, las demandas
de un art´ıculo particular en un almac´en son hechas cinco veces por dia
Determine la probabilidad de que en un determinado d´ıa este art´ıculo
sea solicitado:

a) ma´s de diez veces.

b) ninguna vez.

c) exacatamente cinco veces.

4. De acuerdo con estudios de Medicina Legal, cerca del 30 % de las per-
sonas que son hurtadas diariamente han sido afectadas con alguna
sustancia que inhibe su voluntad. Asumiendo que este estudio es va´li-
do, halle la probabilidad de que en un d´ıa dado la quinta persona que
es llevada a Medicina Legal por hurto sea

a) la primera que ha sido drogada.

b) la tercera que ha sido drogada.

c) por cualquier otra causa distinta a ser drogada.

5. La probabilidad de que un estudiante obtenga un score de 80 puntos
en la prueba TOEFL, con una preparacio´n laxa, es de 0.40. Si las
condiciones de preparacio´n se conservan, determine la probabilidad
de que el estudiante obtenga un puntaje de 80 puntos en esta prueba:

a) en el primer intento.

b) en el quinto intento.

c) en el cuarto intento.

6. Una zona de descanso en carretera tienen una capacidad para tres
vehiculos (de un solo eje). Determine la probabilidad de que esta zona
est´e llena en un intervalo de tiempo de diez minutos. Por estad´ısticas
de movilidad de esta carretera se tiene estimado que seis carros de un

28 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

solo eje pasan por este espacio de descanso en lapsos de tiempo de
diez minutos y, que en promedio un 80 % de todos los autos de un eje
deseara´n parquear en dicha zona de descanso.

7. Una moneda cargada es tal que cara sale el triple de veces que sello.
Cua´l es la probabilidad que el quinto sello observado se obtenga en el
d´ecimo lanzamiento?

8. Un estudio de investigaci´on se refiere a los efectos secundarios de un

nuevo medicamento. La droga es administrada a los pacientes, uno a

la vez, hasta que dos pacientes desarrollen efectos secundarios. Si la

probabilidad de obtener un efecto secundario de la droga es 1 , Cu´al
6

es la probabilidad que se necesitan ocho pacientes?

9. Una persona est´a realizando una encuesta telef´onica. Si se define “´exi-
to” como el evento que una persona complete la encuesta y, sea Y la
variable aleatoria “cantidad de fallas antes del tercer ´exito. Cu´al es
la probabilidad de que haya 10 fallas antes del tercer ´exito? Suponga
que dos de cada cinco personas contactadas complet´o la encuesta.

10. Una pira´mide regular de cuatro caras, nuemradas del uno al cuatro,
se lanza repetidas veces. Se considera “´exito” cuando se obtiene un
tres. Cua´l es la probabilidad que el d´ecimo ´exito ocurra en el vig´esimo
quinto lanzamiento?

11. Una persona esta´ realizando una encuesta telefo´nica. Si se define “´exi-
to” como el evento que una persona complete la encuesta y, sea Y la
variable aleatoria “cantidad de fallas antes del tercer ´exito. Cu´antas
encuestas fallidas se espera realizar?

12. Recientemente se descubrio´ que cierta regio´n de la Orinoqu´ıa colom-
biana tiene reservas potenciales de petr´oleo. Suponga que una perfora-
cio´n tiene un 20 % de chance de hallar petr´oleo. Halle la probabilidad
que la tercera perforaci´on llegue a ser la quinta con hallazgo de pe-
tr´oleo.

13. Considere un mazo de cartas de po´ker con 52 cartas. En forma repetida
se toma una carta se observa y anota lo que sale, se devuelve al mazo
y se baraja para tomar una nueva carta. Sea X la variable aleatoria
“nu´mero de extracciones necesarias para obtener tres reyes”.

1.5. MODELO BINOMIAL NEGATIVA 29

a) Determine la fmp de X

b) Cua´l es la probabilidad de que X = 36?

14. Existe un 70 % de probabilidad de aprobar una prueba de habilidad
sicomotriz para obtener la licencia de conduccio´n. Cua´l es la probabi-
lidad que una persona pase la prueba en el segundo intento?

15. Alguno camareros en un caf´e esta´n extremadamente distra´ıdos hoy y
esta´n mezclando o´rdenes de servicio de los clientes lleva´ndoles caf´e
descafeinado cuando pidieron caf´e normal. Supongamos que hay un
60 % de probabilidad de cometer un error en la orden. Cua´l es la
probabilidad de obtener el segundo descafeinado en la s´eptima orden
de caf´e normal?

16. Un pediatra desea reclutar a cinco parejas, cada una de las cuales
espera su primer hijo, para participar en un nuevo m´etodo de parto
natural. La probabilidad que una pareja acepte participar en el estudio
es 0.2. Cua´l es la probabilidad de que se les pida a quince parejas antes
de que se encuentren cinco que acepten participar?

17. El x % de los bits transmitidos a trav´es de una transmisio´n digital se
reciben errados, y se sabe que los bit recibidos errados no superan el
30 %. Los bits se transmiten hasta el segundo bit errado recibido. Se
sabe que la probabilidad de detener la transmisio´n en el quinto bit
enviado es 0.08192. Determine el porcentaje de bits transmitidos que
llegan con error.

18. Se lanza un dado legal hasta que ocurran tres veces la cara con los
seis puntos. Sea X la v.a. que denota “el nu´mero de lanzamientos”.

a) Encuentre la funci´on masa de probabilidad de X.

b) Encuentra la media y la desviacio´n esta´ndar de X.

c) Encuentre la probabilidad de que se necesiten al menos 20 lanza-
mientos.

19. Un cierto tipo de misil tiene una probabilidad de falla de 0.02. Sea N
la v.a. “nu´mero de lanzamiento hasta el cuarto lanzamiento con falla”.

a) Encuentre la funci´on masa de probabilidad de N .

30 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

b) Encuentra la media y la varianza de N .
c) Encuentre la probabilidad de que haya al menos 4 fallas en los

primeros 200 lanzamientos.

20. Un examen de sen˜ales consta de 20 preguntas tipo test y se conoce
de experiencias anteriores que un alumno tiene probabilidad 0.7 de
contestar bien cada pregunta. Hallar:

a) La probabilidad de que la primera pregunta que contesta bien sea
la cuarta.

b) Sabiendo que para aprobar el examen es necesario contestar bien a
12 preguntas, ¿cu´al es la probabilidad de que apruebe al contestar
la pregunta duod´ecima?

1.6. MODELO HIPERGEOME´TRICO

Ejemplo 1.6.1. Una tienda tiene 20 guitarras en existencia, pero 3 son
defectuosas (leves errores en un par de trastes); las guitarras son del mismo
tipo, las diferencia solo el color y algunos adornos de manera que a los ojos
de un comprador solo son distinguibles por el gusto y en consecuencia cada
guitarra es igualmente probable de ser elegida. Alejandro compra 5 guitarras
de este lote. Encuentre la probabilidad de que Alejandro haya comprado 2
guitarras defectuosas.

Soluci´on. La poblacio´n consta de N = 20 elementos igualmente probables
de ser seleccionados, la seleccio´n se hace sin reposicio´n (repeticio´n) ya que
no tiene sentido que compre una guitarra y la devuelva al lote para volver a
comprarla, en consecuencia en cada selecci´on (ensayo de Bernoulli: buena o
defectuosa) el taman˜o de la poblaci´on va cambiando (las condiciones en la
repeticio´n en los ensayos de Bernoulli no se mantienen) modificando la pro-
babilidad de selecci´on. Veamos formalmente la seleccio´n y la probabilidad
solicitada:

i) Casos totables (nu´mero de grupos de 5 guitarras que pueden selec-
cionarse del lote de 20 guitarras disponibles en la tienda):

20
5

1.6. MODELO HIPERGEOME´TRICO 31

ii) Casos favorables (nu´mero de grupos de 5 guitarras que pueden se-
leccioanrse del lote de 20 guitarras, con 2 son defectuosas y 3 buenas):

Selecci´on de las 2 guitarras defectuosas:

3
2

Selecci´on de 3 guitarras sin defectos:

17
3

En consecuencia el nu´mero de casos favorables, por el principio de
multiplicaci´on, es:

3 17

23

iii) Probabilidad de obtener 2 guitarras defectuosas de 5 com-
pradas (seleccionadas de un lote de 20 guitarras de las cuales hay 3
defectuosas y 17 buenas):

3 17 = 5 ≈ 0.1316
38
23
20

5

El ejemplo anterior corresponde al modelo hipergeom´etrico caracterizado
por.

Una muestra de taman˜o n tomada de una poblaci´on finita de taman˜o N ,
la muestra es tomada sin reposicio´n (repeticio´n). En el ejemplo N = 20
y n = 5.

La poblacio´n tiene dos subconjuntos disyuntos bien definidos, uno (el de
inter´es) de taman˜o r con r ≥ n. En el ejemplo el subconjunto de inter´es
son las guitarras defectuosas, r = 3.

La variable aleatoria de inter´es X mide el “nu´mero de miembros del
subconjunto de inter´es” en la muestra tomada.

Definici´on 1.6.1. Un modelo aleatorio es hipergeom´etrico si y solo si
tienen las siguientes caracteristicas:

32 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

i) Una poblacio´n finita de taman˜o N

ii) La poblaci´on esta´ particionada en dos clases mutuamente excluyentes
C1 y C2, con |C1| = r y C2| = N − r

iii) Se extrae una muestra aleatoria de taman˜o n, n < r, sin reposicio´n de
la poblacio´n.

iv) Los elementos de la clase C1 se identifican como los ´exitos y los de la
clase C2 como los fracasos.

v) Se pretende medir “el nu´mero de ´exitos en la muestra de taman˜o n”

Definici´on 1.6.2. La variable aleatoria X se distribuye hipergeom´etrica-
mente, en simbolos X ∼ Hg(N, r; n), si y solo si:

i) X mide “el nu´mero de ´exitos en la muestra de taman˜o n” seleccionada
al azar y sin repeticio´n de una poblacio´n finita de taman˜o N con r
elementos denominados ´exitos y N − r denominados fracasos.

ii) La funcio´n masa de probabilidad de X esta´ dada por.

N −r r

P (X = k) := n−k k; k = 0, 1, 2, . . . , n, r≥n
N

n

Valor esperado: E[X ] = nr
N

Varianza: Var[X ] = nr × N −r N −n
N N N −1

Funciones en el programa R

A continuacio´n referenciamos las funciones m´as importantes del modelo
Hipergeom´etrico que el programa R tiene implementadas:

Funci´on Caracter´ısticas
dhyper(x,m,n,k,log=F) Devuelve el valor de la fmp
phyper(q,m,n,k,lower.tail=T,log.p=F) Devuelve el valor de la FD
qhyper(p,m,n,k,lower.tail=T,log.p=F) Devuelve el cuantil q
Devuelve vector aleatorio hipergeom´etrico
rhyper(nn,m,n,k)

1.6. MODELO HIPERGEOME´TRICO 33
Donde:

x, q: Vector de cuantiles. Corresponde al nu´mero de particulares en la
muestra.

m: Selecci´on aleatoria particular.

n: El nu´mero total de la poblaci´on menos la seleccio´n aleatoria particular.
n = N − m.

n: El nu´mero de la seleccio´n a evaluar.

prob: Probabilidad.

nn: Nu´mero de observaciones.

log, log.p: Para´metro booleano, si es TRUE, las probabilidades p son
devuelatas como log(p).

lower.tail: Par´ametro booleano, si es TRUE (por defecto), las probabi-
lidades son P [X ≤ x], de lo contrario son P [X > x].

A continuacio´n una gr´afica de una distribucio´n hipergeom´etrica en la
cual se tiene una poblacio´n de N = 20 bolas, divididas en m = 8 blancas
y n = 12 negras. Se saca una muestra de taman˜o k = 4 bolas, en forma
aleatoria.

34 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

El modelo binomial y el modelo hipergeom´etrico esta´n relacionados en el
sentido que ambos est´an sustentados en pruebas Bernoulli, la diferencia
es que mientras en el modelo binomial los ensayos son independientes y la
probabilidad de ´exito se mantiene estable (constante) en cada repetici´on, en
el modelo hipergeom´etrico los ensayos son dependientes y la probabilidad de
´exito va cambiando. Sin embargo, cuando el taman˜o de la poblaci´on, de la
cual se muestrea, es grande y el taman˜o de la muestra es pequen˜o entonces es
posible aproximar el modelo hipergeom´etrico mediante el modelo binomial.
A continuacio´n el teorema que establece esta aproximacio´n.
Teorema 1.6.1. Aproximacio´n Binomial al modelo hipergeom´etrico Supon-

1.6. MODELO HIPERGEOME´TRICO 35

gamos que N → ∞, r → ∞, de manera que r → ∞, entonces
N

Hg(N, r; n) ←→ Bin(n, p)

es decir

P (X = k) = N −r r −→ P (X = k) = n pk(1 − p)n−k
r n−k k k

donde p := N
N n

Ejemplo 1.6.2. En la fabricaci´on de neum´aticos para bicicletas, se sabe
que un determinado proceso de producci´on produce 10 neuma´ticos con pa-
redes defectuosas en cada lote de 100 neum´aticos producidos. De un lote de
producci´on de 100 llantas, se selecciona una muestra de 4 para probar y en
caso de que alguna sea defectuosa proceder a su destrucci´on. Hallar:

a) La probabilidad que la muestra tenga un neum´atico defectuoso.

b) El nu´mero esperado de neuma´ticos en la muestra de los 4 neuma´ticos
seleccionados.

c) La desviaci´on esta´ndar del nu´mero de neum´aticos defectuosos en la
muestra de taman˜o 4.

Soluci´on. Consideremos la variable aleatoria X definida como “nu´mero de
neuma´ticos defectuosos en la muestra de taman˜o 4 seleccionada aleatoria-
mente del lote de 100 neum´aticos producidos”. En consecuencia se tiene que
X ∼ Hg(N = 100, r = 10; n = 4), y su fmp es:

100−10 10 90 10

P (X = k) = 4−k k = 4−k k
100 100

44

Luego

a) P (X = 1) = 90 10 = 1424 ≈ 0.3.
4753
31
100

4

4 × 10
b) E[X] = 100 = 0.4.

c) Var[X] = 0.4 × 90 × 96 ≈ 0.36 por tanto σX = 0.60.
100 99

36 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

EJERCICIOS

1. Sea X una distribuci´on hipergeom´etrica con N = 11, r = 6 y n = 7.
Calcular

a) P (X = 4)
b) P (X = 5)
c) P (X ≥ 4)

2. Una delegacio´n consiste de 8 hinchas del equipo A y 7 hinchas del
equipo B. Se forma un comit´e de cinco miembros, seleccionados al
azar de entre todas las quince personas que conforman la delegaci´on.
Considere la variable aleatoria “nu´mero de miembros del comit´e que
son hinchas del equipo B”.

a) Halle la fmp de la variable aleatoria.
b) Trace la gra´fica de la fmp.
c) Determine la media y la varianza de la variable aleatoria.

3. Cincuenta motocicletas de bajo cilindraje han sido devueltas al dis-
tribuidor debido al a presencia de un ruido oscilante agudo cuando
la motocileta esta´ prendida y detenida. Supongamos que 20 de estas
50 motos tienen discos defectuosos y las otros 30 tienen problemas
menores. Si se examinan al azar 10 de estas 50 motos. Considere la
variable aleatoria “nu´mero entre las 10 examinadas que tienen disco
defectuoso”.

a) Halle la fmp de esta variable aleatoria.
b) Determine la probabilidad de que se encuentren 6 motos con disco

defectuoso de las 10 examinadas.
c) Cua´ntas motos con disco defectuoso se espera encontrar en esta

muestra de 10?

4. En una bolsa negra hay 100 fichas identicas en todo salvo en su color,
distinguidas por roja y negra. Hay 40 fichas rojas y 60 fichas negras.
De las cien fichas se selecciona una muestra aleatoria de taman˜o 30.
Si estamos interesados en la cantidad de fichas rojas que aparecen en
esta muestra, entonces:

1.6. MODELO HIPERGEOME´TRICO 37

a) Defina una variable aleatoria que mida el “nu´mero de fichas rojas
en la muestra de taman˜o 30”.

b) Halle la esperanza y la varianza de esta variable aleatoria.

c) Determine la probabilidad de que en la muestra de taman˜o 30
hayan 20 o m´as fichas rojas.

5. Un grupo de amigos se reu´nen en la casa de Juli´an para comer un
asado. En este grupo hay 12 mujeres y 8 hombres. De las mujeres 6
estudian ingenier´ıa, 2 econom´ıa y el resto arquitectura; mientras que
de los varones dos estudian economia y el resto ingenier´ıa.

a) Si las primeras en llegar a casa de Juli´an son dos chicas, cua´l es la
probabilidad de que estudien la misma carrera?

b) Si tres de estos compan˜eros se encargan de hacer el asado, cual es
la probabilidad de que estudien lo mismo?

c) Si se seleccionan al azar dos de este conjunto de amigos y se define
la variable aleatoria “nu´mero de amigos que estudia econom´ıa de
esta muestra”, hallar la fmp, la esperanza y la varianza de esta
variable aleatoria.

6. Considere un mazo de poker: 4 palos cada uno con 13 cartas del 1 al
10 m´as tres figuras J, Q y K; adema´s 2 jockers o comodines. Es decir
en total tiene 54 cartas.

38 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

Se seleccionan aleatoriamente, sin reemplazo, cinco cartas del mazo
(previamente barajado) de poker.
a) Cua´l es la probabilidad que tres de estas sean figuras (J, Q, K)?
b) Cua´l es la probabilidad de obtener un Full?
c) Cua´l es la probabilidad de obtener un Poker?
d) Cua´l es la probabilidad de obtener un Trio?
e) Cua´l es la probabilidad de obtener una Escalera?
7. Se selecciona un jurado de 6 personas de un grupo de 25 personas
conformado por 13 mujeres y 12 hombres.
a) Cua´l es la probabilidad de que el jurado contenga exactamente 5

mujeres?
b) Cua´l es la probabilidad de que el jurado contenga a lo m´as 2 hom-

bres?
c) Suponga que el jurado de seis personas es seleccionado de un gru-

po de 2500 personas de las cuales 1300 son mujeres y 1200 son
hombres. Utilice la aproximaci´on binomial a la distribuci´on hiper-
geom´etrica para hallar un valor aproximado dela probabilidad de
que en el jurado hayan exactamente 5 mujeres. Determine el error
en la aproximaci´on.
8. Un lote contiene 100 rollos de papel cresp´on de un proveedor local
y 200 unidades de un proveedor de papel crespo´n del extranjero. Se
seleccionan seis piezas al azar, sin reemplazo.
a) Cua´l es la probabilidad de que todos los rollos sean del proveedor
local?
b) Cua´l es la probabilidad de que por lo menos cuatro rollos de la
muestra sean del proveedor local?

1.6. MODELO HIPERGEOME´TRICO 39

c) Cua´l es la probabilidad de que al menos un rollo de papel crespo´n
de la muestra sea del proveedor local?

9. Un recaudador de impuestos, al verse corto de fondos, decide retrasar
el dep´osito de un pago de impuesto de una gran propiedad para fon-
dearse financieramente. El dinero fue reembolsado posteriormente y el
monto total depositado en la cuenta correspondiente. El aviso de este
comportamiento fue el retraso del depo´sito. Durante el per´ıodo de es-
tas irregularidades, hubo un total de 470 recaudaciones de impuestos.
Una firma de auditor´ıa realiza una auditor´ıa anual de rutina de estas
transacciones; la firma decide muestrear al azar diecinueve del total
de recaudos por impuestos (aproximadamente el 4 %) de los pagos.
Los auditores asumir´ıan un patr´on de malversacio´n solo si vieran tres
o ma´s irregularidades. ¿Cu´al es la probabilidad de que se elijan tres o
ma´s de los dep´ositos diferidos en esta muestra?

10. De una urna que contiene 6 bolas rojas y 4 bolas negras se extrae una
muestra aleatoria de taman˜o 4.

a) Cua´l es la probabilidad de obtener 3 bolas rojas?

b) Suponga que el experimento anterior se repite tres veces, reinte-
grando las bolas extraidas y agregando el mismo nu´mero de bolas
extraidas (por ejemplo si en el primer ensayo se sacan 3 bolas ne-
gras y 2 rojas entonces se retornan estas bolas y se an˜aden otras 3
bolas negras y otras 2 bolas rojas). Determine la probabilidad de
obtener una secuencia de 1, 2 y 3 bolas rojas en los tres ensayos.

11. Se recibieron 50 facturas en el mes, de las cuales hay 5 que tienen
errado el impuesto facturado. En una auditoria se toma una muestra
aleatoria de 10 facturas.

a) Cua´l es el nu´mero esperado de facturas erradas en esa muestra?

b) Cua´l es la probabilidad que en la muestra aparezcan por lo menos
3 facturas erradas.

12. El senado de la repu´blica cuenta con 100 miembros de circunscripci´on
nacional y 2 de circunscripci´on especial. De este total 75 han tenido
investigacio´n por corrupcio´n y 27 no han tenido ningu´n tipo de in-
vestigacio´n por corrupcio´n. Si se elige al azar una muestra de diez
honorables senadores

40 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

a) Cua´l es el nu´mero esperado de honorables senadores sin investiga-
cio´n por corrupci´on en esta muestra aleatoria?

b) Cua´l es la probabilidad de que en la muestra todos los seleccionados
no tengan investigacio´n por corrupci´on?

c) Cua´l es la probabilidad de que en la muestra todos los seleccionados
tengan investigaci´on por corrupcio´n?

13. En 500 calculos, independientes, que un estudiante de ingenier´ıa elec-
tr´onica hace ha cometido 25 errores. En la evaluaci´on del proyecto su
profesor revisa siete calculos aleatoriamente. Cua´l es la probabilidad
de que ´el detecte dos errores?

14. Cierta ciudad tiene a + b potenciales votantes, a esta´n en favor de
reducir a dos legisturas a congresistas y b (con b < a) est´an en contra.
Supongamos que se realiza una votaci´on para determinar la voluntad
de la mayor´ıa con respecto a reducir el periodo como congresista a
ma´ximo dos legislaturas. Si n (con n < b) personas aleatorias de
las a + b potenciales votantes no votaron, cu´al es la probabilidad que
aquellas que votaron en contra de reducir el periodo de los congresistas
ganen?

15. En una sala de un hospital hay 16 pacientes, cuatro de los cuales
tienen algu´n tipo de c´ancer. Un doctor es asignado a seis de estos
pacientes, tomados aleatoriamente de los 16. Cua´l es la probabilidad
de que a este doctor le correspondan dos pacientes con algu´n tipo de
ca´ncer?

16. Se tienen diez cartas de poker colocadas cara-abajo sobre una mesa
(los jugadores no pueden ver las pintas o figuras de las cartas), y
dos de estas cartas son ases. Si cinco de estas cartas se seleccionan
aleatoriamente, cua´l es la probabilidad de que dos de estas sean ases?

17. De una baraja espan˜ola de 40 cartas se toma una muestra de cinco
cartas sin reemplazamiento. Obtener la probabilidad de obtener al
menos dos aces.

18. Suponga que se emiten 1000 billetes de una loter´ıa y, entre estos bi-
lletes 100 pagan el costo del boleto. Si usted compra diez billetes de
esta loter´ıa, determine la probabilidad de que gane al menos el costo

1.7. MODELO POISSON 41

de cinco boletos. ¿Cua´l es el nu´mero esperado de boletos que hay que
comprar para obtener uno que pague al menos su valor de compra?

19. Existen dos vacantes en el Departamento de Ingenier´ıa Electr´onica
de cierta prestigiosa universidad, para asistente de investigaci´on. A
un llamado a concurso de estudiantes de posgrado, se presentan cinco
postulantes: tres tienen experiencia en modelos de control y dos en
dispositivos. El comit´e de posgrado se encarga de elegir tres miembros
en forma aleatoria.

a) ¿Cu´al es la probabilidad de que dos tengan experiencia en modelos
de control?

b) ¿Cu´al es la probabilidad de que a lo ma´s dos tengan experiencia
en modelos de control?

c) ¿Cu´al es el valor esperado de postulantes, en la muestra, que tienen
experiencia en modelos de control?

20. Tarjetas de circuitos impresos se colocan en prueba de funcionamiento,
despu´es de haber sido dotadas con chips semiconductores. Un lote
contiene 100 tarjetas, y 25 son seleccionadas sin sustitucio´n, para la
prueba de funcionamiento.

a) Si 30 tarjetas son defectuosas, ¿cua´l es la probabilidad de que al
menos una tarjeta defectuosa aparezca en la muestra?

b) Si 10 tarjetas son defectuosas, ¿cua´l es la probabilidad de que al
menos una tarjeta defectuosa aparezca en la muestra?

1.7. MODELO POISSON

El modelo Poisson es, junto con la distribucio´n binomial, una de las
ma´s importantes distribuci´on de probabilidad para variables discretas, es
decir, so´lo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, . . ..

La distribucio´n de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre
otros:

• El nu´mero de servidores de investigacio´n que se acceden por minuto.

• El nu´mero de particulas de un elemento radiactivo que atraviesan por un
aparato Geiger.

42 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

• El nu´mero de autom´oviles que salen por un peaje en una hora.

• El nu´mero de errores tipogra´ficos por p´agina en un libro.

• El nu´mero de llamadas que ingresan a un call center.

• El nu´mero de mutaciones de determinada cadena de nucleotidos despu´es
de cierta radiacio´n.

• El nu´mero de reclamaciones por mes en un portafolio de po´lizas de veh´ıcu-
los de gama alta.

• El nu´mero de usuarios que llegan a hacer fila en un centro financiero.

• El nu´mero de hormigas por dec´ımetro cuadrado en una plantacio´n de
platano.

• El nu´mero de ´arboles de caf´e contaminados de broca por deca´metro cua-
drado en una finca de caf´e.

• El nu´mero de bacterias por metro cu´bico.

Definici´on 1.7.1. Un modelo Poisson es un modelo aleatorio caracteri-
zado por la realizaci´on de un ensayo de Bernoulli, con probabilidad de ocu-
rrancia pequen˜a manteni´endose estable el promedio de ocurrencias cuando
la repetici´on de los ensayos se hace grande.

Proposici´on 1.7.1. La distribuci´on Poisson es un caso l´ımite de la distri-
buci´on binomial que ocurren cuando el nu´mero de ensayos Bernoulli, n, se
incrementa indefinidamente mientras el producto λ = np, que corresponde
al valor esperado del nu´mero de ´exitos en las repeticiones del ensayo de
Bernoulli, permanece constante.

Demostraci´on. Consideremos la variable aleatoria X ∼ Bin(n, p) con fun-
cio´n masa de probabilidad

P (X = k) = n p(1 − p)n−k
k

De la hip´otesis λ = np obtenemos p = λ , por tanto
n

n! λ k 1 − λ n−k
P (X = k) =
k!(n − k)! n n

1.7. MODELO POISSON 43

es decir

λk n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) λ n−k
P (X = k) = 1−
k! nk n

reagrupando t´erminos obtenemos

P (X = k) = 1 − λ n λk n n−1 × n−k+1 1
n k! n nn 1− λ k

como: n

l´ım 1− λ n
n→∞ n
= e−λ

λk
l´ım 1 − = 1
n→∞ n

∀j = 0, 1, . . . , k − 1 : n−j
l´ım = 1,
n→∞ n

entonces al tomar l´ımite en

P (X = k) = 1 − λ n λk n n − 1 × n−k+1 1
λk
n k! n n n
1−
n

obtenemos: e−λλk

P (X = k) = k! , para k = 0, 1, . . .

La probabilidad: P (X = k) = e−λλk se interpreta como la probabilidad

k!
de que ocurran k eventos (´exitos) en un nu´mero suficientemente grande de

repeticiones de un ensayo de Bernoulli.

44 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

Definici´on 1.7.2. La variable aleatoria X es de tipo Poisson, en simbolos
X ∼ Poi(λ), si y solamente si su funci´on masa de probabilidad es

P (X = k) = e−λλk , para k = 0, 1, . . .

k!

Valor esperado: E[X] = λ
Varianza: Var[X] = λ

Funciones en el programa R

A continuacio´n referenciamos las funciones m´as importantes del modelo
Poisson que el programa R tiene implementadas:

Funci´on Caracter´ısticas
dpois(x,λ,log=F) Devuelve el valor de la fmp
ppois(q,λ,lower.tail=T,log.p=F) Devuelve el valor de la FD
qpois(p,λ,lower.tail=T,log.p=F) Devuelve el cuantil q
Devuelve vector aleatorio hipergeom´etrico
rpois(n,λ)

Donde:

x: Vector de cuantiles.

q: Vector de cuantiles.

p: Vector de probabilidades.

n: El nu´mero valores aleatorios a devolver.

prob: Probabilidad de ´exito en cada ensayo.

λ: Vector de medias (valor no negativo).

log, log.p: Para´metro booleano, si es TRUE, las probabilidades p son
devuelatas como log(p).

lower.tail: Par´ametro booleano, si es TRUE (por defecto), las probabi-
lidades son P [X ≤ x], de lo contrario son P [X > x].

1.7. MODELO POISSON 45

A continuacio´n una gra´fica de una distribuci´on Poisson con par´ametro
λ = 2.

La tasa λ corresponde al nu´mero de eventos que ocurren por unidad de
tiempo o unidad de espacio (longitud, a´rea, volumen). Una presentaci´on ma´s
general del modelo aleatorio Poisson ser´a dada posteriormente, sin embargo
para propo´sitos pedag´ogicos es conveniente tener en cuenta la siguiente
presentacio´n.

Definici´on 1.7.3. Un proceso de conteo es un proceso aleatorio {N (t) :
t ≥ 0}, donde N (t) representa el “nu´mero total de eventos que ocurren en
el intervalo [0, t]”, que satisface los siguientes axiomas:

46 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

i) N (t) ≥ 0

ii) N (t) es de valor entero

iii) Si s < t entonces N (s) ≤ N (t)

iv) Para s < t, N (t) − N (s) representa “el nu´mero de eventos que han
ocurrido en el intervalo (s, t]

Un proceso de conteo se dice que es de incrementos independientes s´ı
el nu´mero de eventos que ocurren en intervalos disyuntos son independien-
tes, es decir el nu´mero de eventos que ocurren hasta t, es decir N (t), es
independiente del nu´mero de eventos que ocurre entre t y t + s, es decir
N (t + s) − N (t).

Un proceso de conteo se dice estacionario s´ı la distribuci´on de probabili-
dades es la misma en todo intervalo de igual longitud, es decir el nu´mero de
eventos que ocurre en el intervalo (s, t] es igual, en probabilidad, al nu´mero
de eventos en el intervalo (s + h, t + h] para todo h > 0.

Definici´on 1.7.4. El proceso de conteo {N (t) : t ≥ 0} es un proceso de
Poisson, con tasa λ > 0 por unidad de tiempo, si y solamente si {N (t) :
t ≥ 0} satisface los siguientes axiomas

i) N (0) = 0

ii) {N (t) : t ≥ 0} es de incrementos independientes.

iii) {N (t) : t ≥ 0} es de incrementos estacionario, y satisface:

P (N (t + h) − N (h) = n) = P (N (t) = 0) = e−λt (λt)n , n = 0, 1, 2, . . .
n!

Una consecuencia inmediata de esta definici´on es:

E[N (t)] = λt

Var[N (t)] = λt

Ejemplo 1.7.1. Supongamos que se conoce que los nacimientos en una
cl´ınica ocurren aleatoriamente a una tasa promedio de 1.8 nacimientos por
hora. Determinar la probabilidad de que se observen 5 nacimiento en un
intervalo de tiempo de 2 horas.

1.7. MODELO POISSON 47

Soluci´on. Para un intervalo de dos horas la tasa de nacimiento ser´a de 3.8
nacimientos por 2 horas. De esta manera consideramos la variable aleatoria
N definida como “Nu´mero de nacimientos en un periodo de dos horas”. Asu-
mimos que este proceso de nacimientos es modelado segu´n una distribuci´on
Poisson, es decir

N ∼ Poi(λ = 3.6)

Luego necesitamos calcular P (N = 5):

P (N = 5) = e−0.38(0.38)5 ≈ 0.13768

Ejemplo 1.7.2. En una cl´ınica el promedio de atencio´n es 20 pacientes por
4 horas, determinar la probabilidad que en 40 minutos se atiendan menos
de 3 personas y que en 180 minutos se atiendan 18 pacientes.

Soluci´on. La tasa de atenci´on es de 20 pacientes por intervalos de 4 horas,

esto significa que en periodos de 2 horas atendera´n 10 pacientes, por tanto

la tasa de atencio´n en un periodo de 40 minutos ( 1 de hora) ser´a de 10
3 3

pacientes por periodo de 40 minutos.

Asumimos que el proceso de atencio´n es tipo Poisson con tasa λ = 10 ,
3

entonces definimos la variable aleatoria N : “nu´mero de pacientes atendicos

en intervalos de 40 minutos”, luego la fmp de N es:

P (N = n) = e− 10 ( 10 )n
3 3

n!

Entonces la probabilidad de que en un periodo de 40 minutos atiendan
menos de 3 pacientes es P (N < 3) equivalente a P (N ≤ 2), luego

P (N ≤ 2) = P (N = 2) + P (N = 1) + P (N = 0) = e− 10 ( 10 )2 + 10 +1 ≈
3 3 3

2! 1!

entonces

[P (N ≤ 2) ≈ 0.35277

Ejemplo 1.7.3. Si para una distribucio´n Poisson con fmp dada por f (k) :=
P (X = k) se verifica

f (2) + 6f (0) = 4f (1)

determinar el valor de la desviaci´on est´andar de esta distribucio´n.

48 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

Soluci´on. Como P (X = k) = e−λ λk , entonces
k!

f (0) = e−λ, f (1) = λe−λ, f (2) = λ2 e−λ
2

luego la condicio´n f (2) + 6f (0) = 4f (1) es equivalente a:

λ2 e−λ + 6e−λ = 4λe−λ
2

cancelando el t´ermino comu´n e−λ y multiplicando por 2 obtenemos la ecua-

cio´n cuadra´tica en la inc´ognita λ y sus soluciones:

λ2 − 8λ + 12 = 0 ⇒ λ = 8 ± √ 64 − 48 8 ± 4 6
==
2 22

En conclusio´n los valores posibles de la desviaci´on esta´ndar son

√√
σX = 2; σX = 6

Ejemplo 1.7.4. En una gran ciudad 5 de cada mil habitantes, en pro-
medio, tienen sangre tipo AB−. Si 200 donantes de sangre, son tomados
aleatoriamente. Halle la probabilidad de que por lo menos 10 tengan grupo
sangu´ıneo AB−

Soluci´on. Cada donante de sangre es un ensayo Bernoulli: “o bien tiene
grupo sangu´ıneo AB− o bien no lo tiene” por tanto estamos en presencia

de un modelo binomial con para´metro n = 200 y p = 0.005. Sea X la
variable aleatoria “nu´mero de donantes con grupo sangu´ıneo AB−, entonces

X ∼ Bin(n = 200, p = 0.005).
Por tanto debemos calcular: P (X ≥ 10) que es equivalente a:

9 200 (0.005)k(0.995)200−k ≈ 9.2559 × 10−8
k
1 − P (X ≤ 9) = 1 −

k=0

Si empleamos el modelo Poisson, como una aproximacio´n al modelo bino-
mial, con λ = 200 × 0.005 = 1 entonces obtenemos

P (X ≥ 10) = 1 − P (X ≤ 9) = 9 e−1 ≈ 1.11424 × 10−7
k!

k=0

Cua´l es el error porcentual que se comete con esta aproximacio´n?

1.7. MODELO POISSON 49

EJERCICIOS

1. Una empresa fabricante de autom´oviles sabe de su proceso de control
de calidad que existe una falla en el sistema de frenos de cierto mo-
delo. La falla puede causar, en raras ocasiones, un siniestro cuando
los autos de este modelo exceden cierta velocidad (alta). De acuerdo
con el estudio de control de calidad se establecio´ que la distribucio´n
del nu´mero de carros por an˜o que experimentar´an siniestros (como
consecuencia de falla por el mecanismo de frenos) es Poisson con tasa
λ = 5.

a) Determine las unidades de λ.

b) Defina la variable aleatoria relevante.

c) Determine la probabilidad de que a lo ma´s tres carros por an˜o
experimenten un siniestro de este tipo.

d) Determine la probabilidad que por lo menos tres de estos por an˜o
experimenten un siniestro de este tipo.

2. El nu´mero de usuarios que llega por hora a cierta unidad de salud
sigue una distribuci´on de Poisson con una media de 7 usuarios por
hora.

a) Defina la variable aleatoria de inter´es y esciba su fmp.

b) Determine la probabilidad que ma´s de 20 usuarios acudan por aten-
cio´n a esta unidad de saludo en un lapso de 2 horas.

c) Determine el promedio de usuarios que llegar´a por atenci´on a esta
unidad en un periodo de 90 minutos.

3. Pequen˜as aeronaves arriban a un aeropuerto de acuerdo con un pro-
ceso de Poisson, a una tasa de 6 aeronaves por hora.

a) Determine el nu´mero medio de pequen˜as aeronaves que arriban a
este aeropuerto en un periodo de t horas.

b) Determine la probabilidad de que arriben exacatamente 10 aero-
naves pequen˜as en un lapso de tiempo de 90 minutos.

c) Determine la probabilidad de que por lo menos 4 aeronaves peque-
n˜as arriben a este aeripuerto en una hora.

50 CAP´ITULO 1. MODELOS DISCRETOS

d) Cua´l es la probabilidad de que al aeropuerto aariben aeronaves
pequen˜as en un turno de 8 horas?

4. Un hipermercado recibe 10 billetes falsos por d´ıa.

a) Determine la probabilidad que un d´ıa dado el hipermercado reciba
entre 15 y 20 billetes falsos.

b) Determine la probabilidad de que el hipermercado reciba a los ma´s
25 billetes falsos en dos d´ıas consecutivos.

5. En la inspeccio´n de hojalata producida por un proceso electrolitico
continuo, se detectan 0.2 imperfecciones, en promedio, por minuto.

a) Determine la probabilidad de detectar una imperfecci´on en 3 mi-
nutos.

b) Determine la probabilidad de detectar cuando menos una imper-
fecci´on por minuto.

c) Determine el nu´mero esperado de imperfecciones en un lapso de
4.5 minutos.

6. El 5 % de los registros contables de una empresa presentan inconsis-
tencias (errores contables legales). Si el auditor de una investigacio´n
contra esta empresa toma 25000 registros contables determine la pro-
babilidad de que no ma´s de 2500 registros presenten inconsistencias.

7. Si un call center recibe en promedio 15 llamadas por hora, calcular
las siguientes probabilidades:

a) Que en una hora se reciban diez llamadas.
b) Que en una hora se reciban treinta llamadas.
c) Que en una hora se reciba, al menos, veinte llamadas.
d) Que en una hora se reciban, cuanto mucho 15 llamadas.

8. Suponga que el nu´mero de accidentes que suceden en un carretera
cada d´ıa se distribuye Poisson con para´metro λ = 3.

a) Determine la probabilidad de ocurran por lo menos tres accidentes
enesta carretera hoy.